dac_mathematiques

collection cole Documents daccompagnement des programmes

Mathmatiquescole primaire

Ministre de lducation nationale, de lEnseignement suprieur et de la Recherche Direction de lenseignement scolaire

Applicable la rentre 2003

Centre national de documentation pdagogique

Ces textes ont t rdigs, la demande de la direction de lenseignement scolaire, par la commission mathmatique rattache au groupe dexperts pour les programmes de lcole primaire, pilote par Roland Charnay (professeur de mathmatiques, IUFM de Lyon) et compose des membres suivants : Luce DOSSAT Jean FROMENTIN Catherine HOUDEMENT Nicole MATULIK Guy PIGOT Paul PLANCHETTE inspectrice de lducation nationale, Clermont-Ferrand professeur de mathmatiques en collge, Niort matresse de confrence, IUFM de Haute-Normandie professeure des coles, matre-formateur conseiller pdagogique en circonscription, Chamalires professeur de mathmatiques en collge, Saint-Galmier

Le texte sur le calcul mental a bnfici de la contribution de Franois BOULE (professeur de mathmatiques, formateur au CNEFEI). Celui portant sur ltude de lespace et de la gomtrie au cycle 2 a bnfici de la contribution de Marie-Hlne SALIN (matre de confrences de mathmatiques luniversit de Bordeaux). Coordination : Vronique FOUQUAT, bureau du contenu des enseignements, direction de lenseignement scolaire.

Suivi ditorial : Christianne Berthet Secrtariat ddition : Nicolas Gouny Mise en pages : Michelle Bourgeois

CNDP, fvrier 2005 ISBN : 2-240-01750-X ISSN : 1629-5692

SommaireIntroduction ......................................................................................................................................................... Les problmes pour chercher .......................................................................................................................... Plusieurs fonctions pour la rsolution de problmes ............................................................................... Un pisode de recherche, en actes ......................................................................................................... Caractristiques du problme pour chercher ..................................................................................... Pourquoi des problmes pour chercher lcole primaire ? ............................................................. Mise en uvre du problme pour chercher ...................................................................................... Des problmes pour chercher lcole primaire ............................................................................... Exemples de problmes pour chercher ............................................................................................. Rsolution de problmes et apprentissage .................................................................................................... Solution personnelle, solution experte ..................................................................................................... Encourager linitiative ................................................................................................................................ Lapprentissage des solutions expertes .................................................................................................... Vers les mathmatiques quel travail en maternelle ? .................................................................................. Organisation pdagogique ....................................................................................................................... Dveloppement de la pense logique .................................................................................................... Domaines dactivits ................................................................................................................................. Le calcul mental lcole lmentaire ............................................................................................................. Calcul mental, calcul pens, calcul rflchi ............................................................................................. Les diffrentes fonctions du calcul mental ............................................................................................... Points dappui pour la mmorisation ........................................................................................................ Calcul rflchi diversit des procdures ............................................................................................... Les moments de calcul mental ................................................................................................................. Programmation des objectifs .................................................................................................................... Exemples dactivits et de supports ........................................................................................................ Le calcul pos lcole lmentaire ............................................................................................................... Addition pose ........................................................................................................................................ Soustraction pose ................................................................................................................................... Multiplication pose ................................................................................................................................. Division pose .......................................................................................................................................... 5 7 7 7 10 10 11 12 13 15 15 16 17 20 20 21 23 32 33 33 34 36 37 38 47 50 50 51 53 54

Utiliser les calculatrices en classe ..................................................................................................................... Introduction et choix de loutil ................................................................................................................. La calculatrice, outil de calcul ................................................................................................................... La calculatrice et ses fonctionnalits ......................................................................................................... Explorer des phnomnes numriques ................................................................................................... La calculatrice, support dexercices ou de problmes ............................................................................ Espace et gomtrie au cycle 2 ........................................................................................................................ Espace et gomtrie quels enjeux pour le cycle 2 ? ............................................................................ La dmarche du document dapplication ................................................................................................ Domaine spatial exemples dactivits .................................................................................................. Du domaine spatial au domaine gomtrique ......................................................................................... Solides et figures planes ........................................................................................................................... Grandeurs et mesure lcole lmentaire .................................................................................................... Lenseignement des grandeurs et de la mesure ........................................................................................ Le calcul sur les grandeurs ........................................................................................................................ Longueurs, aires, dates et dures ............................................................................................................. Articulation cole/collge .................................................................................................................................. Une place centrale pour la rsolution de problmes .............................................................................. Les contenus, les comptences ............................................................................................................... Parler, lire et crire en mathmatiques ...................................................................................................... De lenvironnement de lcolier celui du collgien ...............................................................................

55 56 58 59 62 63 66 66 67 70 75 76 78 78 81 82 89 89 90 94 96

Introduction

Les nouveaux programmes sont maintenant en application pour toute la scolarit primaire. Les documents dapplication apportent un clairage essentiel sur les conditions de leur mise en uvre. Les interrogations manifestes lors de la consultation des enseignants et les questions adresses aux formateurs ont conduit llaboration de documents complmentaires apportant un clairage spcifique sur quelques thmes sensibles. Destins aux enseignants, ces documents, rassembls dans le prsent ouvrage, serviront galement de supports aux actions de formation, initiale ou continue. Chacun deux concerne, en gnral, plusieurs cycles de lcole primaire (souvent les trois cycles) et gagneront donc tre travaills en quipes dcole. Certains thmes importants (numration dcimale, fractions et nombres dcimaux, proportionnalit, espace et gomtrie au cycle 3) ne sont pas abords en tant que tels dans cet ouvrage, dont les limites ont conduit faire des choix.

Introduction

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L

es problmes pour chercheren petits groupes, facilitant la confrontation des ides entre pairs et favorisant lintrt de tous les lves pour la tche propose 2.

Comme les prcdents, les programmes de 2002 mettent la rsolution de problmes au centre des activits mathmatiques de llve . Le programme tablit une liste de comptences gnrales concernant la rsolution de problmes acqurir en fin de cycle : voir le BO hors-srie n 1 du 14 fvrier 2002, page 53 (cycle 2) et page 84 (cycle 3). Les documents dapplication prcisent la place que doit avoir la rsolution de problmes dans les apprentissages (pages 13 et 14 pour le cycle 2, page 13 pour le cycle 3) 1. Pour mieux situer notre propos, voici trois extraits des introductions des documents dapplication concernant les activits de recherche : Ds lcole lmentaire, les lves peuvent tre confronts de vritables problmes de recherche, pour lesquels ils ne disposent pas de solution dj prouve et pour lesquels plusieurs dmarches de rsolution sont possibles. Cest alors lactivit mme de rsolution de problme qui est privilgie dans le but de dvelopper chez les lves un comportement de recherche et des comptences dordre mthodologique : mettre des hypothses et les tester, faire et grer des essais successifs, laborer une solution originale et en prouver la validit, argumenter. Ces situations peuvent enrichir leur reprsentation des mathmatiques, dvelopper leur dsir de chercher, leurs capacits de rsolution et la confiance quils peuvent avoir dans leurs propres moyens. [] Dans ces activits, lenseignant doit crer les conditions dune relle activit intellectuelle des lves []. Ils doivent tre mis en situation de prendre en charge les diffrentes tches associes la rsolution dun problme : faire des hypothses et les tester ; laborer une dmarche pertinente afin de produire une solution personnelle [] ; vrifier par eux-mmes les rsultats obtenus ; formuler une rponse dans les termes du problme ; expliquer leurs mthodes, les mettre en dbat, argumenter. [] Les sances denseignement comportent en gnral diffrentes phases, avec des modes dorganisation diversifis. Les phases de recherche sont souvent plus efficaces et plus riches si elles sont conduites

Plusieurs fonctions pour la rsolution de problmesQuatre types de problmes sont voqus et peuvent tre associs des objectifs dapprentissage diffrents : problmes dont la rsolution vise la construction dune nouvelle connaissance ; problmes destins permettre le rinvestissement de connaissances dj travailles, les exercer ; problmes plus complexes que les prcdents dont la rsolution ncessite la mobilisation de plusieurs catgories de connaissances ; problmes centrs sur le dveloppement des capacits chercher : en gnral, pour rsoudre ces problmes, les lves ne connaissent pas encore de solution experte. Dans ce dernier cas, nous parlons de problmes pour chercher alors que dans les prcdents nous parlions de problmes pour apprendre , en soulignant laspect rducteur de ces dnominations, puisque, dans tous les cas, llve mobilise des connaissances et se trouve plac en situation de recherche.

Un pisode de recherche, en actes10 h acte 1La matresse partage sa classe de CM1-CM2 en cinq groupes de quatre lves et un groupe de trois lves. Installs autour des tables qui ont t rapproches pour la circonstance, les lves coutent la matresse prsenter le problme quils vont rsoudre : Voici un jeu de cartes. Sur chaque carte est dessin soit un carr, soit un triangle. La matresse montre les cartes et amne les lves remarquer quil y a un 4 dans les coins des cartes portant un carr et un 3 dans les coins de celles portant un triangle : cest le nombre de cts

1. Mathmatiques, cycle 2 et Mathmatiques, cycle 3, CNDP, 2002, coll. cole . 2. Texte commun aux cycles 2 et 3, Une place centrale pour la rsolution de problmes , Mathmatiques, cycle 2, ibid., pages 7 et 8.

Les problmes pour chercher

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des figures concernes. Je vais passer avec mon jeu de cartes et chaque groupe choisira trois cartes, sans les regarder, et les mettra dans cette bote. La matresse passe dans la classe et chaque groupe met au fur et mesure ses trois cartes dans la bote. De retour son bureau, la matresse demande la classe le nombre de cartes quil y a dans la bote. On est six groupes et trois cartes par groupe. Il y a donc dix-huit cartes rpondent les lves les plus rapides. La matresse confirme et note cette information au tableau. Elle prend alors les cartes une une, sans les montrer aux lves et, en les remettant dans la bote, elle annonce : Jai compt le nombre total de cts sur les cartes que vous avez choisies et jen trouve soixante [elle crit : 60 cts au tableau]. Vous devez trouver le nombre de cartes portant des carrs et le nombre de cartes portant des triangles. La matresse indique aux lves les conditions dans lesquelles ils vont effectuer cette recherche : cinq minutes de recherche personnelle, puis une demi-heure de recherche en groupe. La matresse poursuit : Il faudra donc changer, discuter des propositions des uns et des autres, et arriver une seule production qui sera prsente toute la classe sous la forme dune affiche. Chaque groupe devra expliquer son affiche. Et la matresse conclut : Je ne donnerai aucun renseignement pendant votre travail. Je dciderai en temps voulu qui, dans chaque groupe, sera le rapporteur du groupe. Vous avez cinq minutes pour chercher personnellement.

69 cts Il faut continuer ! Dans un autre groupe : Si on essayait 9 triangles et 9 carrs ? a fait trop de cts, 63 Il faut moins de carrs. Les changes se poursuivent. Les lves se sont maintenant bien appropris le problme et sinvestissent davantage dans sa recherche. Pendant ce temps, la matresse passe discrtement de groupe en groupe, veille ce que chaque lve participe la rflexion du groupe, coute les arguments dvelopps, les affirmations annonces, regarde les essais sur les feuilles de recherche, mais napporte pas dlments susceptibles dorienter le travail des lves. Certains groupes privilgient le nombre de cartes, dautres privilgient le nombre de cts. Ces observations lui permettront de mieux grer la mise en commun quelle va organiser. Mais dj, elle voit se dessiner des procdures qui peuvent aboutir la solution.

10 h 40 acte 4Non sans difficult, la matresse demande une pause tous les groupes, pour faire un premier bilan des recherches. Chaque groupe dcide de son porteparole qui indique o en est le groupe, ce quil a trouv. Parfois les propos du rapporteur sont contests par les lves de son groupe. Un groupe annonce quil a trouv plusieurs solutions. Un autre affirme que ce nest pas possible avec 18 cartes. La matresse rappelle quil y a bien 18 cartes et quelle a bien compt 60 cts. Il faut faire 60 moins 18 ! sexclame un lve, aussitt contrecarr par ses camarades. Un autre groupe fait remarquer que 4 triangles ont le mme nombre de cts que 3 carrs. Un autre est content dannoncer que si on change un carr par un triangle, le nombre de cartes reste le mme, mais le nombre de cts diminue de un. La matresse annonce alors quelle leur laisse un quart dheure pour finir leur recherche et prparer la prsentation de leur proposition sur laffiche.

10 h 15 acte 2La recherche personnelle commence. Certains dessinent des triangles et des carrs, dautres crivent les informations du tableau comme pour bien sen imprgner, dautres posent des oprations ; les uns rflchissent, dautres soupirent, dautres enfin semblent attendre que le travail en groupe commence !

10 h 20 acte 3La matresse donne le signal du travail en groupe. Les voix slvent, la classe sanime. On peut entendre et l : cest pas possible , on peut pas savoir, a dpend , il faut faire une division . Les changes sengagent dans les groupes. Dans un premier groupe : Il y a 15 carrs Non, il doit y avoir aussi des triangles Oui, mais on ne sait pas combien. Dans un deuxime groupe : Il y a 10 triangles et 8 carrs Non ! a fait pas 60 cts ! Jessaie avec 10 carrs et 8 triangles non a fait 64 cts Mets moins de carrs et plus de triangles. Dans un troisime groupe : Il y a 20 triangles Mais non, il ny a que 18 cartes Il faut enlever des triangles et mettre des carrs 4 triangles, cest comme 3 carrs. Dans un quatrime groupe : Sil y a que des carrs, a fait 72 cts. Il faut donc enlever 3 carrs ! Oui mais il faut les remplacer par 3 triangles a fait alors

10 h 50 acte 5Forts de tous les renseignements obtenus loccasion de ce premier bilan, les groupes se remettent au travail. Les uns reprennent leur procdure et laffinent ; dautres explorent de nouvelles pistes. La matresse observe nouveau les travaux des groupes sans intervenir, seulement pour rappeler lordre des lves ou des groupes qui gnent le travail de la classe par leur comportement. Elle leur rappelle quils doivent prsenter leur proposition sur une affiche et repre les diffrentes mthodes.

11 h 05 acte 6Cest le moment de la mise en commun. La matresse dsigne le rapporteur de chaque groupe. Celui-ci prsente la proposition de son groupe.

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Mathmatiques cole primaire

Un premier groupe (G1) donne des possibilits de faire soixante cts : Que des carrs : 15 4 = 60 ; on na que 15 cartes. Que des triangles : 3 20 = 60 ; on a 20 cartes. On a essay 12 carrs et 4 triangles puis 9 carrs et 8 triangles. Mais on ny arrive pas ! Un deuxime groupe (G2) a considr le nombre de cts avec 10 carrs et 8 triangles : 60 cts. 4 cts en trop, il faut un carr en moins. La rponse est 9 carrs et 8 triangles. Un troisime groupe (G3) a suppos que toutes les cartes taient des triangles. 18 triangles, a fait 54 cts. On a enlev 6 triangles et on les a remplacs par des carrs pour faire 6 cts de plus. On a trouv : 12 triangles et 6 carrs. Un autre groupe (G4) a organis sa recherche en faisant varier le nombre de cartes de chaque figure partir de 9 triangles et 9 carrs : 9 triangles et 9 carrs donnent : 9 3 = 27 et 9 4 = 36 + 27 = 63 cts ; 10 triangles et 8 carrs donnent : 10 3 = 30 et 8 4 = 32 + 30 = 62 cts ; 11 triangles et 7 carrs donnent : 11 3 = 33 et 7 4 = 28 + 33 = 61 cts ; 12 triangles et 6 carrs donnent : 12 3 = 36 et 6 4 = 24 + 36 = 60 cts. Les autres groupes ont trouv des solutions voisines, correctes ou non. La matresse invite chaque groupe rflchir, noter ses questions et les remarques faire aux autres groupes, puis lance le dbat : Quelles remarques pouvez-vous faire sur les propositions de vos camarades ? Les uns voient lerreur du groupe G2 : Ils nont pas le bon nombre de cartes ! Dautres font remarquer, en parlant du groupe G1 : Sils avaient continu, ils y seraient arrivs ! Dautres encore signalent les critures incorrectes du groupe G4 qui se dfend en argumentant du bon nombre de cts pour chaque cas. Cest loccasion pour la matresse douvrir un dbat sur les diffrents types derreurs : erreur dans le choix ou lexcution de la procdure de rsolution pour certains, erreur dans lcriture de la solution pour dautres. Dautres lves ne comprennent pas la procdure du groupe G3. Les lves du groupe donnent alors des explications en dessinant des cartes au tableau et en montrant quen remplaant un triangle par un carr, on augmente le nombre de cts de un sans changer le nombre de cartes. Le dbat se poursuit sur lunicit de la rponse : Y a-t-il dautres cas o on a 18 cartes et 60 cts ? La matresse relance la recherche sur cette nouvelle question. lissue de ce nouveau temps de recherche, deux argumentations simposent : celle qui repose sur lchange dune carte carr par une carte triangle (explication du groupe G3) et celle qui repose sur lexhaustivit (procdure du groupe G4).

11 h 40 validation et synthseVoici le moment tant attendu, celui o on va vrifier la validit de la rponse, mme si tous les lves sont maintenant convaincus de cette rponse. La matresse ouvre la bote et un lve sort les cartes une une en annonant au fur et mesure triangle ou carr . Un autre lve les comptabilise au tableau. Le compte y est : 12 triangles et 6 carrs. La matresse demande enfin sil tait possible de vrifier la rponse sans ouvrir la bote : 12 + 6 = 18 prouve que le nombre de figures est correct et (12 3) + (6 4) = 60 prouve que le nombre de cts lest galement. Elle pointe ces galits comme un autre moyen de prouver la validit de la rponse. La matresse demande maintenant aux lves ce quils pensent de cette sance de problme. On savait pas faire et on a trouv quand mme ! , stonne un lve. Cest bien de pouvoir deviner sans voir les cartes , annonce un autre lve. Et comment avez-vous pu y arriver ? , rebondit la matresse. La formulation de rponses compltes cette question ncessite des relances de la part de lenseignante, avec des retours sur la phase de rsolution. Avec leur propre langage repris par la matresse, les lves voquent la ncessit de faire des essais et de rectifier les choix en fonction des rsultats, cest ce que nous appellerons les essaisajustements . Ils font remarquer combien il faut tre mthodique, organis, quil ne faut pas avoir peur dcrire des rsultats provisoires qui peuvent savrer inutiles pour la rponse mais en revanche trs utiles pour la recherche. tout moment, il est ncessaire de contrler sa proposition pour vrifier si elle respecte les contraintes du problme.

Une semaine plus tardLa matresse met en place les six mmes groupes : Vous vous souvenez des cartes sur lesquelles taient dessins des carrs ou des triangles ? Que fallait-il trouver ? Les lves rappellent quil y avait 18 figures et 60 cts et quil fallait trouver le nombre de figures de chaque sorte. Aujourdhui, chaque groupe va tre le propritaire dune basse-cour compose uniquement de poulets et de lapins. Je vais indiquer chaque groupe la composition de sa bassecour. Notez bien les renseignements. Groupe 1 : 26 ttes et 86 pattes Un brouhaha nat aussitt dans la classe. La matresse satisfaite de son effet interpelle les lves sur le nombre de pattes dun lapin, dun poulet, et les lves se rendent lvidence quil faudra trouver le nombre danimaux de chaque sorte. La matresse redonne la composition de la basse-cour du groupe 1 puis poursuit avec celles des autres groupes. Pour les groupes 5 et 6, qui avaient eu du mal rsoudre le problme de la semaine prcdente, elle a choisi un petit nombre danimaux et des nombres voisins de poulets et de lapins, ce qui rduit le nombre de cas envisager : Groupe 2 :


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25 ttes et 66 pattes ; groupe 3 : ; groupe 5 : 14 ttes et 44 pattes ; groupe 6 : 17 ttes et 48 pattes. Comme la semaine prcdente, les lves vont chercher individuellement puis en groupe et prsenteront leur solution toute la classe sous la forme dune affiche. Mais la matresse pourra peut-tre se dispenser de faire un bilan en cours de recherche. Les lves ne manquent pas dimagination, ni de perspicacit. Il faut seulement leur donner la possibilit de lexprimer.

Caractristiques du problme pour chercher Les situations sur lesquelles portent les problmes proposs peuvent tre issues de la classe, de la vie courante, de jeux, dautres domaines de connaissances ou sappuyer sur des objets mathmatiques. Elles sont prsentes sous des formes varies : expriences concrtes, description orale, support crit 3. Il ne faut pas en effet ngliger cette varit au niveau de la prsentation, y compris pour les problmes pour chercher . Un problme nest pas ncessairement donn sous la forme dun texte suivi dune question crite comme les pratiques les plus courantes pourraient le laisser croire. En effet lcrit peut dj tre, pour certains lves, un obstacle la comprhension de la situation. Or il faut garder lesprit que lobjectif essentiel ne se situe pas dans la lecture mais dans la rsolution du problme. Le problme peut consister en la fabrication dun objet (dessins, solides, assemblages) sous certaines contraintes. Il peut tre prsent par une situation mime dont on demande danticiper la suite ou par une question formule oralement (en particulier au cycle 2). Les lves doivent pouvoir sapproprier facilement la situation et se reprsenter la tche pour sy engager avec leurs connaissances antrieures. La difficult doit se situer non dans la comprhension de la situation, mais dans les moyens de rpondre la question pose. Le problme peut se situer dans les domaines numrique, gomtrique, logique, dans celui de la mesure ou dans plusieurs de ces domaines. Le problme doit tre consistant , cest--dire prsenter une certaine rsistance . Il ne doit pas donner lieu une rponse qui rsulte dun traitement immdiatement reconnu. Ainsi, la solution experte du problme dcrit dans le rcit prcdent est la rsolution dun systme de deux quations deux inconnues qui ne sera tudie quen dernire anne du collge. Donner un problme de recherche, cest lancer un dfi. Il est important que les lves sapproprient le3. BO hors-srie n 1 du 14 fvrier 2002, page 82 cycle 3.

problme et quils aient envie de relever le dfi. De ce point de vue, lattitude du matre est aussi dcisive que le choix du problme. La mise en scne quil a imagine conditionne lengagement des lves relever le dfi. Cet engagement dans la tche est souvent plus ais si les lves sont persuads quil existe une solution, parce quils ont vu le problme se crer (comme dans lexemple du problme des cartes) : ils sont ainsi mieux mme de se reprsenter la situation. Cependant, tous les problmes ne peuvent pas tre proposs dans les mmes conditions que celui voqu ci-dessus. La validation de la solution doit tre le plus possible la charge des lves. Ils doivent pouvoir se rendre compte par eux-mmes du bien-fond ou non de leur rponse, par lchange darguments destins dfendre ou contredire une proposition, par des contrles tout au long de leur recherche et, si possible, par une vrification, la fin, sur la situation elle-mme.

Pourquoi des problmes pour chercher lcole primaire ?Cinq objectifs diffrents peuvent tre dgags : 1) La pratique du problme pour chercher dveloppe la capacit de llve faire face des situations indites. 2) Dans la rsolution de ces problmes, llve prend conscience de la puissance de ses connaissances, mme si celles-ci sont modestes. Il existe en effet toujours plusieurs moyens dlaborer une rponse, faisant appel des registres de connaissances diffrents : ainsi, dans le problme des cartes, certains lves peuvent dessiner les figures et dnombrer, dautres nutiliser que laddition et certains combiner toutes les oprations tudies. 3) Lactivit de llve dans la rsolution dun problme pour chercher valorise des comportements et des mthodes essentiels pour la construction de leurs savoirs : prendre des initiatives (tenter, faire des essais), tre critique vis--vis de son travail (contrler, analyser ses erreurs), sorganiser, tre mthodique (rduire la part du hasard, le nombre de cas envisager), communiquer (par oral, dans le groupe et face la classe, par crit pour rendre compte de sa recherche). 4) Les phases dchanges et de dbats dveloppent les capacits argumentatives de llve. Les dbats qui sinstaurent soit dans les groupes, soit dans la classe conduisent les lves valider ou rfuter une proposition. Un lve qui est persuad du bien-fond de son ide, de lintrt de la piste quil veut explorer ou de la solution quil a trouve, devra

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convaincre ses camarades. La raison doit lemporter sur la passion. Pour cela, le matre gre les dbats afin que ce soit la valeur de largument qui lemporte. Ni la force de conviction de celui qui le dfend, ni le fait que cet argument soit accept par la majorit des lves ne doivent tre dcisifs quant la validit dun argument : en mathmatiques, laccord du plus grand nombre sur une proposition ne constitue pas un critre de sa validit. 5) Ce type dactivit contribue lducation civique des lves. Les moments de recherche sont plus efficaces si lon sentraide : les ides proposes par les uns, mme errones, alimentent celles des autres. Les moments de dbat offrent galement loccasion de travailler lcoute, la prise en compte et le respect dautrui.

porteur du groupe : cette fin, le matre choisit le rapporteur seulement au terme de la recherche.

Mise en commun, dbat et validationCette phase peut se situer lissue de la recherche ou dans la sance suivante, ce qui permet lenseignant de prendre connaissance des travaux de chaque groupe. Au cours de cette mise en commun, les rapporteurs prsentent aux autres groupes leur solution. Les choix du matre dans la dsignation des rapporteurs et dans leur ordre de passage 4 reposent sur les observations faites pendant la recherche. Le moment de dbat peut tre organis de diverses faons : les changes peuvent intervenir au fur et mesure de la prsentation des productions ou seulement lorsque toutes les propositions ont t prsentes. Lchange autour de plusieurs propositions contribue enrichir largumentation : les lves peuvent reprer des dmarches voisines et confronter celles qui sont diffrentes. Il est souhaitable que la validation des propositions soit faite par les lves eux-mmes. Dans lexemple propos, cette validation peut tre confirme par vrification de la conformit des rponses avec les informations donnes ou par un contrle du contenu effectif de la bote, ce qui contribue lintrt de ce problme. Pour que la validation relve effectivement de la responsabilit des lves, le matre doit viter autant que possible de donner un avis dautorit. Il veille, bien entendu, une certaine rigueur dans lexpression avec des exigences adaptes au niveau de la classe. Pour cela, il peut questionner, interpeller les uns ou les autres pour inciter les uns argumenter et les autres sinterroger sur la validit dune proposition.

Mise en uvre du problme pour chercher Plusieurs phases ponctuent, en gnral, une sance de problme pour chercher .

Prsentation du problmeComme cela a t signal prcdemment, le problme peut tre communiqu oralement (avec laide dun crit) ou seulement par crit (texte, schmas, tableaux, illustrations), avec ou sans matriel. Les lves ne doivent pas pouvoir rsoudre le problme uniquement en manipulant le matriel. En revanche, sa prsence peut les aider se reprsenter le problme et, la fin, permettre une vrification pratique de la solution. Il faut en effet veiller ce que les lves comprennent la situation et ce quil faut chercher pour quils se sentent personnellement engags pour relever le dfi qui leur est lanc.

SynthseIl sagit maintenant de conclure la sance, sous forme dchanges entre le matre et la classe, de valoriser les qualits observes, de dnoncer les dfauts, dancrer les comportements essentiels et les procdures intressantes qui pourront tre rinvesties dans une prochaine sance de problme pour chercher .

Temps de recherche personnelle, puis en groupeUne confrontation personnelle de chaque lve avec le problme est souvent ncessaire (environ cinq minutes). Mme si, en apparence, elle est peu productive pour certains, cette phase individuelle initialise le travail de groupe dont lobjectif est de produire une proposition de solution (procdure et rponse) commune. Les changes lintrieur du groupe sont essentiels lors de cette phase, les propositions des uns alimentant celles des autres. Il faut que chacun se sente responsable de la proposition de solution qui sera prsente la classe par le rap-

Le rle de lenseignantPendant une sance de problme pour chercher , le matre napporte aucune aide sur la rsolution du problme, ce qui ne veut pas dire quil est totalement absent de lactivit. Au bout dun moment, il circule, observe, note des lments intressants. Ces observations laideront dcider ventuellement dune courte mise en commun intermdiaire et du

4. Il est peu pertinent de situer en fin de prsentation des solutions errones, un moment o tout le monde est dj convaincu par une solution correcte.


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choix des travaux les plus intressants exploiter collectivement, ainsi que de lordre le plus pertinent pour cette exploitation. Le matre ne doit pas aider personnellement les lves afin quils nattendent pas systmatiquement un coup de pouce de sa part. Des aides peuvent venir des lves eux-mmes. Par exemple, un premier mini-dbat peut tre instaur, dans le but de porter la connaissance de tous les groupes les diffrentes recherches, de les amener avoir un regard critique sur leur propre recherche et de les redynamiser si leur recherche pitine. Pendant les phases de dbat, le matre doit plutt se placer au milieu des groupes ou en fond de classe pour que les changes se fassent rellement entre les lves et non pas entre le matre et les lves.

dplaables (par exemple, galiser le contenu de trois assiettes, avec des biscuits).

ProlongementCertains groupes auront rsolu le problme, dautres non. Pour exploiter pleinement une telle sance, le matre peut rebondir sur cette recherche et proposer dans une sance ultrieure des problmes du mme type mais avec des donnes adaptes aux difficults rencontres par les groupes lors de leur recherche. Forts des procdures discutes prcdemment, ils peuvent utiliser, ventuellement en lamliorant, leur proposition de solution antrieure, en choisir une autre ou en laborer une nouvelle. Les groupes qui navaient pas abouti ont loccasion de progresser. Il est galement possible, dans cette phase, de procder une redistribution des groupes.

Des problmes pour chercher lcole primaireLa pratique du problme pour chercher nest pas rserve aux lves du cycle 3. Bien au contraire, ds lcole maternelle, et ensuite au cycle 2, cette pratique doit tre encourage.

lcole maternelleLa plupart des questions poses aux lves de lcole maternelle sont des problmes pour chercher . En effet, les lves ont, ce moment de leur scolarit, encore construit peu de connaissances mathmatiques. Pour traiter les problmes qui leur sont proposs, ils doivent donc se dbrouiller et faire preuve dinventivit. Ainsi, un lve de moyenne section doit complter ces trois cartons (o des gommettes sont dj colles) en utilisant tout le tas de gommettes mis disposition afin que chacun comporte la fin exactement autant de gommettes que les deux autres. Il aura pu auparavant rsoudre un problme identique li la vie de la classe, avec des objets

Cet lve ne dispose que de la capacit comparer des collections par correspondance terme terme ou, peut-tre, de la capacit les dnombrer par comptage un par un. Il est donc peu probable quil puisse anticiper le rsultat ; la seule possibilit pour lui consiste poser les gommettes sur les cartons, contrler si la contrainte dquit est respecte et procder des ajustements ou enlever les cinq gommettes quil vient de placer pour se lancer dans une nouvelle tentative. Un lve de grande section peut tre confront une situation identique, mais dans laquelle les cinq gommettes ne sont pas directement sa disposition. Elles sont, par exemple, affiches au tableau et il doit indiquer sur chaque carton combien il doit coller de gommettes supplmentaires (ou bien les dessiner). Alors que la situation dans sa version moyenne section nest peut-tre plus pour lui un problme de recherche, car il peut produire la bonne solution rapidement, la nouvelle contrainte impose loblige un travail danticipation et un maniement simultan des nombres et des quantits qui transforment la situation en un nouveau problme pour chercher . lcole maternelle, les lves ne sont pas tous capables dexpliciter les dmarches utilises. Ils peuvent en revanche tre invits refaire laction devant leur camarade , lenseignant accompagnant, ce moment, llve par le langage, offrant ainsi une verbalisation en miroir . Cependant, les lves deviennent progressivement capables de reprer une rponse errone et de dire pourquoi elle ne convient pas.

Au cycle 2Les problmes pour chercher ont une importance toute particulire au cycle 2. Ils donnent aux lves des occasions de prendre conscience que les premiers outils mathmatiques quils se sont appropris leur permettent de traiter des problmes difficiles , leur rsolution ne se limitant pas lapplication des connaissances tudies. Ainsi, des lves de deuxime anne (ou mme de troisime anne) de cycle 2 peuvent tre invits chercher plusieurs faons (voire toutes les faons) de rpartir 34 objets dans des botes qui peuvent contenir 4 ou 6 objets.

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Ils deviennent progressivement capables de rendre compte de la dmarche utilise en sappuyant sur la trace crite quils ont labore et reprer des erreurs dans la solution dun autre lve. Ils ont souvent des difficults reconnatre que deux solutions sont identiques quand elles sont prsentes diffremment : il appartient lenseignant de les aider dans ces rapprochements. Les changes entre lves, au cours de la mise en commun, sont encourags, mais lenseignant est souvent amen reformuler une proposition et assurer le maintien de la discussion autour de celle-ci.

tiques est galement possible, par exemple en faisant voluer le nombre de pices de 2 de un en un.

Problme dont la rsolution ncessite une organisation pour obtenir toutes les possibilitsLes glaces Trouve tous les mlanges possibles de glaces trois boules diffrentes, avec cinq parfums : citron, vanille, chocolat, fraise, pomme.O.C.C.E. Aube, Les coles qui mathent , mai 1998 (fin de cycle 2 ou cycle 3).

Au cycle 3La gamme des problmes possibles slargit. Les lves deviennent capables de sinvestir davantage dans la phase dchange et de dbat autour des dmarches produites. Le travail sur largumentation senrichit. Dfendre une proposition ou la contester deviennent de vritables enjeux, au cours des mises en commun, lenseignant se limitant organiser le dbat, permettre lexpression, la confrontation des points de vue et lmergence dlments de preuve. Cette phase, difficile, est essentielle pour que les lves entrent dans un dbat scientifique et sen approprient progressivement les rgles. Elle ne se droule pas ncessairement sur toute sa dure sous forme collective. Souvent, limplication des lves doit tre relance, lenseignant les invitant discuter par petits groupes, pendant un court moment, dune proposition clairement identifie et formule avant de reprendre lchange collectif.

Ce type de problme encourage lorganisation de solutions pour sassurer de leur exhaustivit. Par exemple, fixer la premire boule sur citron , puis la deuxime sur vanille et explorer toutes les possibilits pour la troisime. Puis, en gardant la premire sur citron , fixer la deuxime sur chocolat et explorer nouveau les possibilits pour la troisime (en vitant de rpter un assortiment dj trouv)

Problmes dont la rsolution privilgie le recours la dductionSophie veut dcouper des tiquettes rectangulaires toutes identiques dans une plaque de carton rectangulaire de dimensions 10 cm et 15 cm. Elle en a dj trac 11 comme tu peux le voir sur le dessin.10 cm

Exemples de problmes pour chercher Les trois exemples qui suivent de problmes pour chercher sont propices la mise en uvre de trois types de raisonnements diffrents lcole lmentaire.

Problme dont la rsolution peut tre faite par essaisLa tirelire Dans ma tirelire, jai 32 pices et billets. Je nai que des pices de 2 et des billets de 5 . Avec ces 32 pices et billets, jai 97 . Combien y a-t-il de pices de 2 et de billets de 5 dans ma tirelire ?Groupe Ermel (CM2). 15 cm

Ce problme peut tre rsolu par essais et ajustements, comme le problme des carrs et des triangles. Il ncessite de savoir prendre en compte linformation apporte par les essais successifs pour engager un nouvel essai. Une procdure par essais systma-


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Calcule les dimensions relles dune tiquette et indiqueles sur le dessin ci-dessous. cm

Dans la 2e et la 3e assiettes, ensemble, il y a 43 croquettes. Dans la 3e et la 4e assiettes, ensemble, il y a 34 croquettes. Dans la 4e et la 5e assiettes, ensemble, il y a 30 croquettes. Combien de croquettes y a-t-il dans chaque assiette ?2e rallye mathmatique romand, 1994 (fin de cycle 2 ou cycle 3).

cm

O trouver de tels problmes ?La pratique du problme pour chercher commence se dvelopper sous plusieurs formes : certains manuels intgrent de tels problmes leur progression ; des travaux de recherches (comme ceux de lquipe Ermel de lINRP) fournissent galement des exemples de mise en uvre ; certaines productions de la Copilerem ou des revues pour les enseignants (comme la revue Grand N, dite par lIREM de Grenoble ; par exemple, un numro spcial de cette revue, Points de dpart , 2003, propose des Activits et problmes mathmatiques pour les lves du cycle 3 ) ; les concours et les rallyes mathmatiques organiss dans plusieurs rgions de France ou dans dautres pays sont une autre source dinspiration pour lenseignant : ces problmes sont souvent disponibles sur Internet et peuvent tre trouvs en utilisant un moteur de recherche. La revue suisse Math-cole publie galement les preuves du rallye mathmatique transalpin.

Daprs lvaluation lentre en sixime, 1999, exercice 29.

Ce troisime problme met laccent sur une comptence trop peu valorise actuellement lcole primaire : la dduction et lorganisation des tapes dune rsolution. Il faut, en effet dabord dterminer la largeur dune tiquette ( partir de linformation 15 cm qui correspond cinq largeurs ), puis en dduire sa longueur ( partir de linformation 10 cm qui correspond deux largeurs et une longueur ). La plupart des problmes sont propices plusieurs types de raisonnements. Ainsi, le problme suivant peut aussi bien tre rsolu par essais et ajustements que par une dmarche dductive.Les croquettes 100 croquettes ont t rparties dans 5 assiettes. Dans la 1re et la 2e assiettes, ensemble, il y a 52 croquettes.

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R

solution de problmes et apprentissage

Les textes introductifs des documents dapplication pour les cycles 2 et 3 voquent, propos de la rsolution de problmes, la distinction entre solutions personnelles et solutions expertes. Lobjectif de ce chapitre est dapporter quelques prcisions ce sujet, afin de clarifier ce que recouvrent ces deux expressions, de prciser comment elles permettent de repenser les enjeux de lactivit de rsolution de problmes et dindiquer quelques pistes pour un travail orient vers un apprentissage de nouvelles connaissances, donc pour aider les lves sapproprier un mode de rsolution expert en prolongement ou en rupture des modes de rsolution personnels mobiliss auparavant.

Solution personnelle, solution experteDans le document dapplication des programmes, le terme solution est utilis dans un sens peut-tre un peu inhabituel. Il ne dsigne pas la rponse un problme, mais la stratgie, la dmarche et les procdures mises en uvre pour y parvenir. Cest galement la signification que nous lui donnons ici. Voici deux exemples de problmes destins des lves de la fin du cycle 3 et qui permettent de prciser la distinction entre solution personnelle et solution experte.

distribus, il utilise le produit de 8 par 5 (mmoris) et quil additionne ensuite 40 et 3 pour fournir la rponse. Il utilise alors le mme raisonnement et les mmes calculs que ceux quutiliserait une personne experte. On parle alors de solution experte . Sil a compris la situation et la question pose et si, pour la premire tape, il ne reconnat pas que le recours au produit de 8 par 5 est efficace (ou sil a oubli le rsultat), il peut utiliser dautres modes de rsolution, comme calculer 8 + 8 + 8 + 8 + 8 ou mme schmatiser les 5 groupes de 8 bonbons et procder un dnombrement. Il utilise un mode de rsolution correct, mais diffrent de celui mis en uvre par une personne experte. On parle alors de solution personnelle . On peut tre tonn que, tant donn la varit et la simplicit des connaissances mathmatiques mises en jeu aussi bien dans la solution experte que dans les solutions personnelles, plus dun quart des lves soient en difficult face ce problme. Une hypothse plausible peut tre avance : ne reconnaissant pas immdiatement quelle solution experte peut tre utilise, certains lves nenvisagent pas ou nosent pas se lancer dans llaboration dune solution personnelle.

Problme 2Les lves dune cole ont ralis une grande fresque de forme carre en assemblant 196 petits tableaux raliss sur des panneaux de bois tous identiques et eux aussi de forme carre. Combien de panneaux y a-t-il sur chaque ct de la fresque ?

Problme 1Emma a un paquet de bonbons. Elle donne 8 bonbons chacun de ses 5 camarades. Il lui en reste 3. Combien y avait-il de bonbons dans le paquet ?valuation lentre en sixime, 2002.

On attend dun lve de fin de cycle 3 quil dtermine les deux tapes de la rsolution : dterminer le nombre de bonbons donns, puis le nombre de bonbons quil y avait dans le paquet. partir de l, on attend que, pour calculer le nombre de bonbons

Sils comprennent la situation, les lves de fin de cycle 3 disposent de connaissances sur la multiplication qui leur permettent denvisager que la rponse est le nombre qui, multipli par lui-mme, donne 196. Mais ils ne disposent pas encore de la notion de racine carre ; ils ne peuvent donc pas utiliser la solution experte qui consiste, par exemple, utiliser la touche [] dune calculatrice.

Rsolution de problmes et apprentissage

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Ils peuvent cependant rsoudre ce problme en mobilisant des connaissances disponibles, par des essais de produits, par des essais de sommes itres dun mme terme (avec le risque de ne pas aboutir !) ou mme en tentant une schmatisation de la fresque. Ils ont donc, ce moment de leur scolarit, ncessairement recours des solutions personnelles pour traiter ce problme qui peut tre class dans la catgorie des problmes pour chercher . La distinction entre solution personnelle et solution experte semble donc simple. En ralit, elle lest moins quil ny parat. Dautres paramtres que les connaissances utilises sont en effet prendre en compte pour dterminer le caractre expert dune solution, comme le montrent les deux problmes suivants.

Complte la phrase ci-dessous laide dune fraction choisie dans la liste suivante :

1 10

1 4

1 3

1 2

2 3

3 4

Laire du rectangle B est gale de laire du rectangle R.Daprs lvaluation lentre en sixime, 2000.

Problme 3Un autocar qui peut transporter 60 personnes est complet. 45 adultes y sont installs. Tous les autres passagers sont des enfants. Combien y a-t-il denfants dans lautocar ?

L encore, compte tenu des dimensions et de la disposition des rectangles, un expert pourrait avoir recours au moins deux solutions diffrentes (donc toutes deux considres comme solutions expertes) : dnombrer le nombre de carreaux sur la longueur du rectangle R et le nombre de carreaux sur la largeur du rectangle B, puis dterminer le rapport de ces longueurs ; paver rapidement ( main leve) le rectangle R avec le rectangle B, puis dterminer le rapport de ces aires.

Encourager linitiativeDepuis de nombreuses annes, les programmes insistent sur la diversit des fonctions didactiques attribues la rsolution de problmes. Cependant, la tradition scolaire lui confre une place bien particulire, souvent limite au problme dapplication que llve doit tre capable de rsoudre de manire experte, les connaissances ncessaires cette rsolution experte ayant t tudies pralablement. Cet tat de fait nest pas sans consquence. Il peut expliquer en partie qu lge de quinze ans, les lves franais obtiennent, en mathmatiques, des rsultats suprieurs la moyenne de lOCDE lorsquil sagit dexercices purement scolaires, mais cela nest plus le cas lorsque la situation ncessite une prise dinitiative 1 . Lexemple suivant illustre comment il est possible de travailler, lcole primaire, cette capacit prendre des initiatives . Il existe une formule qui permet dobtenir laire dun cerf-volant en calculant le demi-produit des longueurs de ses diagonales.

Une personne experte calcule mentalement soit le complment de 45 60, soit la diffrence entre 60 et 45 : ce sont donc deux solutions expertes. Il nexiste donc pas ncessairement une seule solution experte pour un problme dtermin ! Si le mme problme tait pos avec un train, lui aussi complet, qui peut transporter 926 personnes et dans lequel sont dj installs 389 adultes, un expert muni dune calculatrice (ou dune feuille de papier et dun crayon) utiliserait sans doute la soustraction et non le complment. Une personne experte est ainsi capable de choisir entre plusieurs rsolutions possibles celle qui est la plus efficace, en sachant que, dans certains cas, diffrentes rsolutions prsentent le mme niveau defficacit. Lexpertise de cette personne se caractrise par le fait quelle est capable : de reconnatre la validit de plusieurs rsolutions diffrentes, et donc leur quivalence du point de vue de leur adquation au problme pos ; de juger de lconomie de chaque solution pour faire un choix adapt

Problme 4

R

B

1. Note dinformation 01.52 de la direction de la programmation et du dveloppement : Les lves de quinze ans. Premiers rsultats dune valuation internationale des acquis des lves (PISA) .

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Mais, un novice, comme lest un lve de CM2 pour ce problme, doit imaginer une mthode originale . Aid ou non par lenseignant qui se limite dans un premier temps recueillir les diffrentes suggestions de la classe, il peut, par exemple, penser inscrire le cerf-volant dans un rectangle, en faisant apparatre ses diagonales.

Lapprentissage des solutions expertesLe plus souvent, llve ne passe pas spontanment des solutions personnelles aux solutions expertes. Ce passage ncessite un apprentissage et donc lorganisation de situations denseignement. Ainsi, pour la catgorie de problmes reprsente par le problme 3 (recherche dun complment), le programme prvoit quil doit pouvoir tre rsolu par des procdures personnelles la fin du cycle 2 et que la rsolution experte relve donc du cycle 3. Rappelons lnonc du problme 3 : Un autocar qui peut transporter 60 personnes est complet. 45 adultes y sont installs. Tous les autres passagers sont des enfants. Combien y a-t-il denfants dans lautocar ? La question se pose donc de savoir comment aider les lves, en premire anne de cycle 3, reconnatre que ce type de problme peut tre rsolu laide dune soustraction alors quils lenvisagent naturellement plutt comme un problme daddition , qui peut tre modlis par : Combien faut-il ajouter 45 pour obtenir 60 ? La rsolution experte attendue (60 45 = ?) va donc lencontre de cette rsolution naturelle . Constater que les deux calculs aboutissent au mme rsultat, mme si ce constat peut aider comprendre lquivalence du traitement, ne suffit en gnral pas rendre fonctionnelle lquivalence entre : Combien de 45 60 ? et Quel est le rsultat de 60 moins 45 ? La question devient : comment provoquer les lves penser eux-mmes cette quivalence ? Trois types dexpriences peuvent tre suggres.

A

B

C

D

partir de l, il existe plusieurs faons dobtenir laire cherche : calculer la somme des aires de quatre triangles rectangles, eux-mmes reconnus comme des demirectangles ; considrer que les aires des surfaces A et B sont gales et que la somme de leurs aires est la mme que celle du rectangle situ en haut, gauche ; puis appliquer le mme raisonnement pour les surfaces C et D ; remarquer que laire du cerf-volant est gale la moiti de celle du rectangle dans lequel le cerf-volant est inscrit . Autant de solutions personnelles valides, imaginables et comprhensibles par des lves de CM2. La dernire cite pourrait facilement tre exploite pour mettre en vidence la formule , mais ce nest pas lobjectif poursuivi. Il est plus intressant, ce niveau de la scolarit, de permettre aux lves de prendre conscience quavec des connaissances rduites, de linitiative et de limagination, il est possible de venir bout de problmes qui paraissent au dpart complexes. Concernant la rsolution de problmes, deux types dobjectifs complmentaires doivent donc tre viss : rendre llve expert dans la rsolution de certains problmes pour lesquels il reconnat rapidement le traitement appropri 2 ; rendre llve capable dinitiative pour dautres problmes, cest--dire capable dimaginer des solutions originales, de les tester et, en raisonnant, dadapter ses connaissances pour traiter la situation propose de manire personnelle, originale.

Lappui sur des situationsLe premier type dexpriences sappuie sur le fait que les lves ont construit, au cycle 2, une signification lmentaire de la soustraction en rsolvant des problmes dans lesquels est demand le rsultat dun retrait ou dune diminution. Pour le type de problme considr (recherche dun complment), il est intressant de les inciter formuler un raisonnement au terme duquel le problme initial est transform en un problme quils savent rsoudre laide dune soustraction. Ce raisonnement, exprim verbalement, consiste considrer, par exemple, que lorsque lautocar est plein (avec 60 personnes), pour ne garder que les enfants, il faut faire descendre (donc retirer) les 45 adultes : le calcul 60 45 permet de prvoir le rsultat de cette nouvelle action. Pour certains lves, cette explication verbalise peut tre suffisante, mais ce nest sans doute pas le cas pour tous.

2. En fin de cycle, ce sont les problmes qui sont placs dans le paragraphe Procdures expertes des documents dapplication.


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Le recours une exprience relle, comme celle qui est expose ci-aprs, est souvent utile pour soutenir cette explication. Lenseignant dispose dune bote dans laquelle il demande un lve de mettre 37 cubes. Ensuite, devant les lves, il prend sur le bureau une nouvelle poigne de cubes (sans dire combien aux lves) quil met galement dans la bote. Aprs avoir dnombr les cubes contenus dans la bote et annonc le rsultat (52 cubes), il demande aux lves de trouver combien de cubes il a lui-mme mis dans la bote. La plupart dentre eux ont recours des solutions personnelles consistant rechercher le complment de 37 52, soit en dessinant les cubes, soit en recourant un calcul qui leur permet de trouver ce quil faut ajouter 37 pour obtenir 52. Une criture, utilise par certains, peut tre associe cette rsolution : 37 + = 52. Linterrogation porte ensuite sur la validation des rponses trouves : comment faire pour navoir dans la bote quune quantit de cubes correspondant celle qui a t ajoute par lenseignant. Lide sera certainement mise quil suffit de retirer de la bote 37 cubes. Incits chercher le nombre de cubes que contient alors la bote (avant de le vrifier effectivement), il est probable que certains lves calculeront 52 37. Ainsi, deux critures peuvent tre associes la recherche de la rponse au problme initial, lune de type recherche de complment qui correspond au problme pos au dpart, lautre de type soustraction qui correspond au problme pos au moment de la validation. Le commentaire formul par lenseignant prend alors tout son sens : pour chercher le nombre de cubes qui ont t ajouts dans la bote, on peut soit penser aux cubes quon a ajouts et chercher le nombre qui, ajout 37, permet dobtenir 52, soit imaginer quon enlve 37 cubes de la bote et chercher le rsultat de 52 37.

Ainsi demander de calculer une diffrence de faible cart (exemple 100 98) ou un complment dun nombre un autre beaucoup plus grand (de 5 200) serait propice la construction des quivalences entre calcul dune diffrence et recherche dun complment. Ces activits de calcul mental doivent tre accompagnes de formulations orales qui aident les rendre intelligibles : Que faut-il ajouter 45 pour avoir 60 ? Quel nombre obtient-on en soustrayant 45 de 60 ? Quelle est la diffrence entre 45 et 60 ? Les questions peuvent tre poses directement sur les nombres ou partir de petits problmes que les lves doivent rsoudre mentalement.

Lappui sur les critures symboliquesLe premier type dexpriences ( partir dune matrialisation de la situation) permet de justifier lquivalence alors que le deuxime type (calcul mental) permet de la faire fonctionner. Dans le prolongement de ces expriences, la mise en relation des critures symboliques permet dexprimer cette quivalence. Il est possible dutiliser des exercices utilisant des supports comme les petits tableaux ci-dessous avec des consignes du type : Trouve la rgle et complte les cases vides. 10 15 12 26 14 23 42 5 5 22 17 23 41 25 18

Lappui sur le calcul mentalLe deuxime type dexpriences concerne le calcul mental. Deux exemples suffisent pour lvoquer : si on demande de calculer mentalement 100 98, la solution la plus simple consiste chercher le complment de 98 100 plutt qu essayer de soustraire 98 de 100 : les lves qui y ont recours utilisent alors en actes lquivalence entre calcul dune diffrence et recherche dun complment : lchange entre les lves qui ont tent des rsolutions diffrentes permet de mettre en vidence que les deux procdures sont possibles, mais que la premire est plus conomique ; inversement, si on demande de calculer mentalement le complment de 5 200, la solution la plus simple consiste soustraire 5 de 200 : la mme quivalence a t utilise.

Ils peuvent tre prolongs par un travail sur les critures, comme par exemple : Pour chaque tableau, trouver toutes critures additives ou soustractives avec les trois nombres : 10 + 5 = 15, 5 + 17 = 22, etc., 5 + 10 = 15, 22 5 = 17, 15 5 = 10, 22 17 = 5, 15 10 = 5. La demande de formulations orales qualifiant le nombre chercher dans chaque tableau aide aussi les lves relier entre elles diffrentes significations. Par exemple, pour le cinquime tableau : Quel est le nombre qui, ajout 14, donne 23 ? Quel est le complment de 14 23 ? Quel est le nombre diffrence de 23 et 14 ? Quel est lcart de 14 et de 23 ? Des exercices systmatiques de ce type ne peuvent suffire seuls ni faire comprendre, ni rendre fonctionnelle lquivalence tudie. Mais associs aux deux autres types dexpriences, ils contribuent la construction et la consolidation de cette quivalence.

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Cependant, tous les lves ne construisent pas cette quivalence au mme moment et il faut admettre que, mme aprs avoir t confronts ces types dexpriences, certains continuent recourir des solutions personnelles pour rsoudre certains problmes alors que dautres pensent utiliser directement la solution experte. Lide de solution personnelle permet denvisager que chaque lve gagne progressivement en autonomie dans la rsolution des problmes. Elle permet aux lves de prendre conscience quils sont capables de rsoudre des problmes indits, quils nont pas encore rencontrs et pour lesquels ils ne disposent pas de solution dj prouve. Les solutions peuvent tre inventes 3 . Elle incite aussi accepter et valoriser la diffrence. Un problme peut tre reconnu comme problme dapplication par certains alors que dautres ne parviennent pas le situer dans une catgorie dj rencontre.

Ils savent quils peuvent le rsoudre comme un problme nouveau, en laborant une solution de faon originale : ils ne sont alors pas dmunis. La mise en uvre de cette ide, en classe, suppose, entre autres, que lon renonce exiger une forme de prsentation strotype de la solution du type : Solution Opration

Une prsentation plus ouverte peut tre envisage, par exemple : Recherche Conclusion

Pour certains problmes, lenseignant doit aider les lves sapproprier un mode de rsolution expert. Ce nest pas le produit dun apprentissage spontan : des activits, organises en progression, doivent tre proposes aux lves par lenseignant.

3. Voir ce sujet le chapitre Des problmes pour chercher du prsent document, page 7.


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V

ers les mathmatiques quel travail en maternelle ?

Le programme pour lcole maternelle ne comporte ni partie mathmatiques, ni autres parties disciplinaires. Cependant, il est possible de reprer dans la rubrique Dcouverte du monde , des propositions dactivits et des comptences qui trouveront un prolongement dans les apprentissages mathmatiques ultrieurs. En effet, les enfants nattendent pas le cycle 2 pour utiliser un mode de pense mathmatique et commencer laborer leurs premires connaissances dans ce domaine. Lobjectif de ce chapitre est de fournir aux enseignants dcole maternelle des repres pour baliser leur enseignement et leur permettre de mieux en assurer larticulation avec leurs collgues du cycle 2. Comme les autres activits du domaine dcouverte du monde, celles qui peuvent tre relies aux mathmatiques contribuent lapproche dune culture gnrale quilibre, au dveloppement de comptences transversales (sexprimer, communiquer, cooprer) et linstallation des fondements dune pense scientifique et logique, conditionne par le dveloppement des capacits identifier des ressemblances et des diffrences, comparer, effectuer des classements ou des rangements, dsigner et symboliser, reprer et utiliser des rythmes, oprer de premires dductions. Ces activits de comparaison, de classement, de sriation, de dsignation, dorganisation doivent rpondre des besoins ou des questions qui ont du sens pour lenfant : rangements usuels, fabrications dobjets de tous ordres (par exemple, sculpture, lego, lettre aux parents), conservation dune trace pour se souvenir, recherche dintrus ou dobjets manquants. Des indications plus prcises sont fournies ce sujet dans la deuxime partie de ce document.

Offrir aux lves un environnement richeOrganises en ateliers, sous forme d espaces amnags pour un travail autonome (espace cuisine, espace lego) ou sous forme collective, les activits proposes doivent sappuyer sur un matriel riche et vari : objets tout venant , jeux, supports fabriqus par lenseignant ou par les enfants Un quilibre doit tre trouv entre les occasions o lactivit est spontane et celles dans lesquelles elle est provoque par un questionnement de lenseignant. Dune manire gnrale, les activits doivent correspondre des centres dintrt des enfants. Les activits gratuites, non motivantes, sans rapport avec ce que vivent les enfants sont vites. En particulier, la place des activits papier/crayon doit tre limite. Sans intrt pour les enfants de petite section, elle doit tre rduite en moyenne section et rester modeste en grande section. Ces activits papier/crayon ne se justifient que si elles sont en lien avec un vcu (action effective, jeu) quelles accompagnent ou quelles prolongent pour en garder une trace figurative ou symbolique.

Aider les lves sapproprier une tcheLorsquil ne se situe pas dans le cadre dune activit dj familire aux enfants, le seul nonc dune consigne permet rarement aux enfants de sapproprier correctement la tche propose. Le recours au mime ou un mdiateur (marionnette), lutilisation dexemples et de contre-exemples, lexposition (momentane ou non) de lobjet attendu ou la reformulation par des enfants constituent autant de moyens de favoriser lappropriation des lments du contexte, de ses contraintes et du problme rsoudre. Dans certains cas, la richesse du matriel et les contraintes quil comporte permettent aux enfants de formuler des hypothses sur les tches possibles, lenseignant prcisant ensuite celle qui est retenue.

Organisation pdagogiqueLorganisation pdagogique des activits peut sinspirer de quelques points de repres relativement constants, voqus ci-aprs.

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Proposer des problmes pour dvelopper lactivit opratoireDans certaines circonstances, le questionnement spontan ou provoqu partir de situations familires, ludiques ou amnages spcialement par lenseignant, place les jeunes enfants en situation de rsolution de problme : la rponse nest alors pas disponible demble et son laboration ncessite dans un premier temps des actions de la part de lenfant, puis progressivement une anticipation sur laction raliser, le recours des essais et des ajustements Bien entendu, lampleur des problmes et le type de rponse attendue (production dun objet, rponse verbale, formulation par un crit figuratif ou symbolique) voluent avec lge des enfants, avec les connaissances dont ils disposent et galement avec leur capacit maintenir lintrt pour une question clairement perue comme problmatique. Stimul par le plaisir du jeu, de laction, de lexploration, lenfant se familiarise progressivement avec les contraintes imposes par ladulte dans certaines situations (rgles dun jeu, quit dun partage). Guid par la russite ou par lchec de son projet (ou de celui quon lui a fait partager), stimul par lenseignant qui veille ce que le dcouragement ne sinstalle pas, lenfant dveloppe des stratgies intelligentes par ttonnement et rgulation. Progressivement, il devient capable danticiper certaines dcisions dune part et dexpliquer, avec ses mots, son intention ou encore les raisons dun chec ou dune russite dautre part.

par lenseignant, constituent une aide la prise de conscience de certaines questions ou de certaines rgularits.

valuer les acquis lcole maternelle, tous les enfants ne progressent pas de la mme manire : ils nlaborent leurs connaissances ni par les mmes voies ni au mme moment. La prise dinformation sur le comportement des enfants face aux tches proposes et sur les comptences quils manifestent dans leur ralisation est donc primordiale pour adapter au mieux les situations proposes. Pour cela, les activits papier-crayon constituent rarement un moyen pertinent. Lobservation, au cours dun jeu, au cours dune activit en atelier ou collective, voire dans la cour de rcration, offre des occasions suffisantes pour cette prise dinformation, condition davoir clairement dfini ce que lon souhaite valuer. Lutilisation dune liste de comptences, en certaines occasions, peut aider prciser les observations (voir, page 30, un exemple de liste propos par lINRP pour le reprage de certaines comptences numriques).

Penser les apprentissages sur le long termeLes travaux relatifs aux diffrents domaines voqus dans ce document, entrepris ds le dbut de lcole maternelle, concernent des apprentissages qui se prolongent au cycle 2. Cest donc dans une perspective longue quil convient de les envisager. Lenseignant de maternelle doit avoir conscience de limportance et de la porte des acquis qui se structurent peu peu. Celui de cycle 2 doit, lui, avoir le souci de reprer et de prendre en compte tout ce qui a t construit par lenfant pendant ces premires annes, en en identifiant les points forts et ceux qui restent consolider ou complter.

Inciter les lves changer et collaborerLentraide lors de certaines phases dun projet commun, le partage des dcouvertes, le constat et lacceptation de lchec ou de la russite, lchange spontan ou provoqu sur leurs causes possibles et sur la proposition dune autre faon de procder contribuent apprendre connatre lautre, laccepter, lapprcier, le respecter et mesurer limportance de la collaboration.

Dveloppement de la pense logiqueLe programme prcdent comportait une rubrique Classifications et sriations qui nest pas reprise dans le programme actuel. Plus largement, aucune rubrique spcifique nest rserve ce qui est traditionnellement dsign sous les termes de dveloppement de la pense logique . Une explication est sans doute ncessaire. Elle tient en deux arguments complmentaires. Dune part, la plupart des activits correspondant cette rubrique concernent tous les domaines de lcole maternelle et pas seulement le domaine dcouvrir le monde , quil sagisse de reconnatre des proprits, de comparer, de classer,

Aider la structuration des acquisitionsLes connaissances se forgent autant par lactivit et son observation que par la verbalisation de laction, son examen critique, sa mise en relation avec dautres expriences vcues lcole ou dans la famille. Le langage et diffrentes sortes de reprsentations (maquettes, dessins, schmas, symboles) contribuent structurer ces connaissances et les mmoriser. Les formulations orales qui accompagnent lobservation et laction de lenfant, soutenues

Vers les mathmatiques quel travail en maternelle ?

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de ranger dorganiser une action et de tirer les consquences de son effet, didentifier ou dappliquer une rgle, de coder, de symboliser Dautre part, et plus fondamentalement, les travaux rcents sur ce type de comptences (souvent appeles transversales) montrent quelles se dveloppent partir des activits dans lesquelles elles sont sollicites et des connaissances que les lves construisent. Classer ne sapprend pas de faon gnrale, mais dans des activits o le classement des formes, des mots, des lments, des faits permet denrichir les connaissances sur les formes, les mots, les lments, les faits considrs. Aptitude classer et matrise des connaissances en jeu progressent ainsi simultanment. Chaque domaine du programme est donc concern par lutilisation et le dveloppement de ces diffrentes comptences, dites transversales. Ce paragraphe a pour but de prciser quelle contribution au dveloppement de la pense logique des enfants peut tre apporte par les activits orientes vers une premire approche des connaissances mathmatiques.

En petite sectionDe nombreuses occasions soffrent lenfant de classer les objets quil utilise, en fonction de lutilisation quil envisage den faire, de leur couleur, du matriau qui les constitue, de leur forme, de leur quantit pour les collections Il commence ainsi isoler certaines proprits des objets et des collections. On se reportera aux rubriques suivantes pour identifier les connaissances relatives lespace, aux formes, aux grandeurs, aux quantits, au temps qui commencent ainsi tre labores. Les classements effectus sont simples (sous forme de paquets). Ils peuvent tre loccasion de reprer un intrus ou didentifier un lment absent. Quelques activits de rangement, notamment pour ce qui concerne les grandeurs ( plus petit que, plus grand que ) et les quantits ( plus que, moins que ) peuvent tre ralises. La reconnaissance dun rythme dans une suite linaire ou la poursuite dune telle suite permettent galement un travail sur les formes, sur les grandeurs (alternance court/long par exemple) ou sur les petites quantits (alternance un/trois par exemple). Quelques jeux rgle sont proposs, en sachant que les enfants de cet ge sont souvent peu soucieux du respect de la rgle et choisissent presque toujours dorienter leur action dans une autre direction.

occupation suscitant lintrt des enfants : sorganiser avant un travail, regrouper des objets en vue dune nouvelle utilisation, rpartir des objets entre des enfants ou des groupes, trouver des intrus ou des absents. Les classements demeurent simples, ceux qui font intervenir deux critres ou plus tant rservs la grande section. Lors de ces activits, comme lors des activits spatiales, les enfants sont confronts la ncessit de coder un objet, une proprit, un emplacement, un dplacement pour se souvenir ou pour communiquer. Ces codages plus ou moins figuratifs (proposs ou non par lenseignant) permettent lenfant dentrer dans le monde de la symbolisation, utilise en mathmatiques comme dans beaucoup dautres domaines (par exemple, lorsquun enfant est repr par son prnom et son nom). Le reprage de rythmes plus complexes quen petite section, la ralisation de suites respectant ces rythmes, la recherche dlments manquants dans de telles suites, la ncessit de respecter les contraintes dun jeu, tout cela conduit les enfants prendre conscience de la ncessit de tenir compte de rgles, tenter de les verbaliser et mme commencer en laborer. Lenfant entre galement dans lunivers de lanticipation et de la dduction : essayer de prvoir le rsultat dune action (par exemple, lorientation dun objet pour quil sadapte sur un autre objet) ou tenir compte du rsultat dun essai pour rajuster son action (choisir une bote plus petite que celle qui vient dtre essaye pour raliser un embotement de botes gigognes). La pense inductive doit galement tre favorise : cest par exemple le cas lorsquil sagit de complter une suite selon un rythme non explicit verbalement, cest galement le cas lorsque lenseignant amorce un tri, sans rien dire, et demande un enfant de placer dautres objets.

En grande sectionLes activits de comparaison, de classement et de rangement concernent toutes les rubriques : organisation de lespace, formes, grandeurs, quantits, organisation du temps. Les problmes poss se complexifient et peuvent ncessiter le croisement de deux critres : comparaison dobjets selon deux proprits utilises simultanment, classement dobjets ou de collections en tenant compte de deux proprits et pouvant dboucher sur une organisation de type tableau double entre Les symboles utiliss pour reprsenter un objet, coder une proprit, dsigner un dplacement deviennent plus abstraits : les lves sont placs en situation de lecture, dinterprtation et de production de tels symboles. Lenfant est confront la reconnaissance et la production de rythmes rptitifs ou volutifs : par

En moyenne sectionLes activits de comparaison, de classement et de rangement sont largement utilises dans les diffrentes rubriques voques dans ce document. Elles doivent tre finalises par une question ou une pr-

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exemple, identification du rythme qui a prsid la cration dune partie dune suite pour pouvoir la complter. La pense inductive de llve est alors sollicite. La pratique de jeux comme les jeux de portrait, du Mastermind (adapt aux enfants de cet ge), les jeux dalignement, les memories permettent de dvelopper les capacits dduire, laborer une stratgie et ladapter en fonction des rponses obtenues. Enfin, dans les nombreux problmes quil a rsoudre, lenfant est conduit faire des essais et les rajuster en fonction des rsultats obtenus : il dveloppe ainsi sa capacit traiter une situation par essais et ajustements. Cest par exemple le cas lorsquil doit chercher combien il doit demander de bandes de deux gommettes et de bandes de cinq gommettes pour tre sr davoir onze gommettes.

Lutilisation du langage, la lecture dimages, de photos ou de dessins, leur production partir de contraintes respecter, la construction de maquettes (pte modeler, Lego), la production de dessins sont pour lenfant autant daides la structuration de lespace. Ce travail est videmment conduire en liaison avec les activits langagires, physiques ou plastiques proposes aux enfants.

Domaines dactivitsReprage dans lespaceLexploration et la structuration de lespace sont des objectifs fondamentaux de lcole maternelle. Ils conditionnent la construction de comptences utiles au dveloppement de lenfant, quil sagisse de la construction de ses repres (spatiaux et temporels), du dveloppement de son autonomie ou encore de ses apprentissages dans les diffrents domaines dactivits. La construction des comptences lies au reprage dans lespace se fait en lien avec le dveloppement des aptitudes sensorielles (vue, toucher, odorat, oue, got) et des facults motrices et intellectuelles. Lexprience spontane de lespace, incontestablement ncessaire, ne saurait elle seule garantir ces apprentissages. Le recours au langage et la verbalisation des actions ralises ou des relations utilises sont indispensables au progrs des enfants. Dans ce domaine, tout particulirement, les activits papiercrayon ne doivent pas se substituer aux expriences effectues dans lespace rel. Lidentification et la connaissance des espaces communs de lcole (salle de classe, salle de jeu, couloirs, cour) permettent lenfant de sy reprer. La possibilit dexplorer de grands espaces amnags (cole, quartier) doit galement tre envisage. Ces espaces constituent les terrains privilgis de ses expriences spatiales. Lenfant dcouvre et occupe ces lieux en se situant par rapport aux objets (ou aux personnes) et en situant les objets (ou les personnes) les uns par rapport aux autres. Par des dplacements contrls, effectus selon des rgles respecter, anticips et exprims verbalement avant dtre cods, par des actions finalises (amnagements, transformations), il devient capable dinvestir diffrents espaces : familiers, proches ou lointains.

En petite section Lenfant explore et agit dans lespace qui lentoure. Lenseignant accompagne par le langage ses dcouvertes et ses progrs. Lamnagement et lutilisation des coins, les activits dans la salle de jeu, la recherche dobjets cachs ou dplacs conduisent lenfant investir diffrents espaces (la classe, la salle dvolution, la cour, par exemple). Les localisations dabord donnes oralement par le matre, puis formules par les enfants eux-mmes, offrent des occasions de structurer lespace par rapport des repres fixes. Elles aident comprendre et utiliser des locutions spatiales, en particulier celles fondes sur des oppositions : proche et lointain , sur et sous ( la marionnette est cache sous la table ou est pose sur la table ), dedans et dehors , ct de et loin de , dun ct et de lautre ct La structuration de lespace se construit galement lors de parcours suivant des consignes orales directionnelles ( aller vers la porte, monter sur le banc ) et par le rcit qui permet de situer les vnements de la vie quotidienne dans lespace et le temps ( nous sommes dans la salle de classe, avant nous tions dans la salle de jeux et tout lheure, nous serons dans la cour ). La manipulation et la ralisation dobjets ou des jeux dempilement et dembotement (comme la construction de tours avec du matriel modulaire ou avec des cartons) conduisent les enfants exprimenter lquilibre, la gravit et envisager une premire approche de la verticalit et lhorizontalit. Observer, reconnatre, commenter, dcrire des photos et des images reprsentant des espaces connus permettent desquisser de premires reprsentations de lespace. Il est par exemple possible de demander un enfant de se placer dans un endroit de la classe montr sur une photo. En moyenne section Lespace de lenfant sagrandit. Certains jeux obligent exprimer un reprage par rapport une personne (soi-mme ou un camarade) ou un objet fixe orient ( devant moi, derrire Thomas, devant la chaise ), ou respecter des consignes directionnelles ( en avant, en arrire, en haut, en bas, monter, descendre ). Cest le cas par exemple en motricit lors de jeux collectifs ou de danses.

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La confrontation des problmes o lenfant doit communiquer oralement un autre camarade la position dun objet cach dans un espace connu lamne choisir des repres (orients ou non) et utiliser un vocabulaire adquat pour situer lobjet par rapport aux repres choisis ( prs de larbre, ct du banc, sous le tableau, entre les deux fentres ) ou pour dcrire un espace de son point de vue propre ( en haut, derrire le poteau, devant le tableau ). Ce type dactivit oblige un effort de dcentration pour adopter le point de vue dune autre personne. Certaines activits visent initier lenfant au reprage sur une ligne oriente ; un vocabulaire temporel peut alors tre utilis : dbut, fin, avant, aprs . Des jeux comme le memory aident lenfant dvelopper progressivement une mmoire spatiale ou construire des organisations spatiales plus performantes. Des activits du type jeux de Kim visuels contribuent dvelopper le recours des organisations spatiales pour contrler linvariance dune collection : par exemple, dans une configuration dobjets, il sagit de retrouver celui qui a t dplac par lenseignant (sans que les enfants soient tmoins du dplacement). Progressivement, lenfant est amen reconnatre et utiliser des reprsentations despaces connus. Par exemple, il peut tre invit : raliser un parcours passant par quatre endroits de la cour indiqus par des photos ; retrouver une cachette indique sur une reprsentation ; communiquer un camarade un emplacement sur une photo ou sur une autre reprsentation dun espace rel.

En grande section Les activits dcrites prcdemment se poursuivent et senrichissent. Des espaces plus vastes peuvent tre explors. Lenfant amliore la construction de sa latralit, il repre progressivement sa droite et sa gauche. Il dcrit, de son point de vue, des dispositions plus complexes dobjets ou dassemblages dobjets, par exemple en vue de leur reconnaissance ou de leur reproduction, en reprant les lments les uns par rapports aux autres ( au-dessus de, devant, droite de, gauche de ). Ces situations o il faut dcrire des positions dans un espace sont souvent dune grande complexit, lie des conflits entre les diffrents systmes de repre en prsence, notamment celui centr sur le locuteur et celui centr sur la personne ou lobjet observ. Par exemple, sur une image reprsentant une poupe de face avec une fleur dans la main, dira-t-on que la fleur est la droite ou la gauche de la poupe ? De mme, les mots devant et derrire ont diverses significations, prenant ou non le point de vue du locuteur : Mets-toi dans la file indienne

derrire Yann ou Cache-toi derrire le buisson Il convient donc dviter dans un premier temps toute ambigut gnratrice de confusion de significations, en choisissant convenablement les espaces et les objets qui sont les supports des situations dapprentissage. Ainsi, lenseignant peut poser des questions ncessitant dorienter lespace par rapport une marionnette, une poupe, un autre enfant, ce qui amne comparer son point de vue propre avec celui dun camarade dans des jeux du type Jacques a dit . Plus tard, au cours des cycles suivants, les lves seront initis cette complexit et amens la grer. Mais, ds la grande section, ils sont sensibiliss au fait quun mme objet ou une mme situation peuvent tre perus et dcrits de diffrents points de vue, selon la position des observateurs. Le pilotage dobjets programmables ou denfants jouant les robots sur un parcours fix oblige une dcentration des systmes de repre sur un objet lui aussi orient et mobile : Va en avant, tourne droite Des activits peuvent tre proposes dans des espaces plus vastes (cour, cole, parc) comme une course au trsor ou la mise en place dun parcours. Par exemple, les enfants reoivent par crit des indications propos de positions dobjets ou ditinraires. Celles-ci sappuient sur des schmas (premires reprsentations) o sont identifis des repres bien connus (arbres, toboggan). Puis les lves peuvent tre amens communiquer eux-mmes des positions ou des trajets leurs camarades. Ces schmas pourront tre par la suite confronts des reprsentations plus conventionnelles (photos, maquettes, plans). Toute premire reprsentation doit ainsi tre mise (ou construite) en relation avec lespace vcu, en tenant compte des modifications dorientation qui peuvent apparatre. Ainsi, les objets, les dplacements, les actions donnent lieu des activits de codage ou de dcodage lorsque la situation le ncessite : situation de communication, mise en mmoire dun placement ou dun dplacement en vue de sa reproduction ultrieure Certaines activits peuvent se drouler dans lespace particulier que constitue un quadrillage dessin au sol ou sur papier : dplacements (en utilisant diffrents types de codage), placement dobjets par rapport des objets dj positionns, reproduction de configurations. Ces activits ne doivent cependant pas constituer lessentiel des expriences spatiales des enfants. Le codage des cases ou des nuds du quadrillage est un objectif du cycle 2. Lutilisation de notices de montage contribue aussi cette lecture et cette production de reprsentations conventionnelles dactions spatiales. Les activits dans lesquelles il est ncessaire de passer du plan horizontal au plan vertical (celui du tableau, par exemple) font lobjet dune attention particulire :

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lenseignant veille faire contrler la conservation des positions relatives, par exemple celles des objets situs sur le sol de la classe et celles de leurs reprsentations sur un plan dessin au tableau ; cet apprentissage est conduit en lien avec lapprentissage de lcrit, au cours duquel les lves ont reprer des lments sur le tableau et les transposer sur la feuille de papier : les expressions comme en haut, en bas, droite, gauche prennent alors une autre signification ( en haut du tableau sappuie sur la notion usuelle de verticalit, alors que en haut de la feuille se rapporte lorientation de la feuille dans le plan horizontal par rapport la personne qui lutilise). Les activits de reprage sur une ligne oriente ( avant, aprs ), de dplacements en suivant des directions ( monter, descendre ) ou dune trajectoire ( de gauche droite ) sont galement utiles lapprentissage de lcrit. Le vocabulaire spatial permet galement de diffrencier les lignes ouvertes des lignes fermes et de prciser la notion de frontire. En arrivant au CP, lensemble des comptences spatiales ncessaires aux lves nont pas t construites et des diffrences importantes peuvent tre constates entre les lves. Un reprage individuel de comptences doit tre ralis et de nouvelles activits dapprentissage sont envisager pour les deux annes du cycle 2 (se reporter au programme, au document dapplication et au document relatif aux apprentissages spatiaux et gomtriques pour le cycle 2).

Dcouverte des formes et des grandeursLe jeune enfant est trs tt capable de reconnatre une forme, bien avant de lanalyser, de la nommer, den reprer des proprits ou den donner une premire dfinition. En maternelle, une reconnaissance globale de certaines formes est vise, par la vue et par le toucher (reconnaissance laveugle), dans des activits qui ont du sens pour lenfant (jeux, rangements). Ds les petites classes, au cours dactivits quotidiennes, les enfants sont familiariss avec un vocabulaire qui leur permettra, terme, de caractriser les proprits dobjets quils auront dcrire, reconnatre, reproduire, construire (par exemple, lors dune collecte de feuilles en automne, ils remarquent que des feuilles ont une forme pointue, que dautres sont arrondies ou que leur contour ressemble une vague). Lexploitation de fiches techniques pour fabriquer un objet (dans des jeux de construction comme les Lego ou les Meccano) permet de confronter les enfants la reconnaissance de formes et leur diffrenciation par leur taille (petit, moyen, grand).

Les activits de classement et de rangement selon des grandeurs diverses sont ralises dans des situations qui ont du sens pour lenfant. Il peut sagir, par exemple : de faire ranger des tours de cubes empiles de la plus petite la plus haute pour raliser un escalier (domaine des longueurs) ; de trier des objets en plaant les plus lourds sous une tagre et les plus lgers sur cette tagre (domaine des masses) ; de trier des objets en plaant les plus gros dans un grand carton et les plus petits dans une bote (domaine des volumes) ; de construire des tours en empilant des disques de plus en plus petits (domaine des aires) ; de choisir des formes en vue de recouvrir une surface (dans des jeux tels que le Tangram). Ces activits doivent tre accompagnes de moments dexplicitation, soit par les lves eux-mmes, soit par le matre qui commente le rsultat de laction. Cest loccasion de prciser ou de donner un vocabulaire, au dbut fond sur des oppositions ( peu/beaucoup, lourd/lger, mince/gros, plein/vide, court/long ), puis exprimant des comparaisons ( plus lourd que, moins long que ). lcole maternelle, il sagit de faire apprhender les objets selon le critre dune grandeur particulire (sa longueur, sa masse ou son volume), de faire comparer deux objets selon un de ces critres, lorsque cela est possible, et davoir parfois recours un troisime objet de rfrence pour pouvoir faire cette comparaison. Les activits proposes, quelles soient libres ou diriges, doivent permettre lenfant de faire des essais et des constats en manipulant toutes sortes de matriaux tels que des morceaux de ficelle, des baguettes, des pices de puzzle, des cubes, de leau, du sable, de la p