D. Halley ENSPS

Plan du cours1 Introduction:

• historique• Quelques effets magnétiques simples. • Quelques exemples d’applications industrielles.

2 Magnétisme de l’atome. Rôle du spin.

3 Magnétisme d’une assemblée d’atomes. Paramagnétisme.

4 Ferro-magnétisme. Couplage d’échange.

5 Matériaux ferro-magnétiques. Champs coercitifs.

6 Électronique de spin: influence du magnétisme sur le transport électrique

7 Électronique de spin: exemples d’applications (capteurs, mémoires, etc).

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Magnétisme d’une assemblée d’atomes

Magnétisme à l’échelle macroscopique

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Paramagnétisme

Considérons une assemblée de N particules magnétiques (ions, molécules,amas magnétiques, etc) ayant tous la même aimantation en norme voir chapitre précédent)

On suppose qu’il n’y a pas d’interaction magnétique entre particules. (très important!)

En l’absence de champ magnétique appliqué, le système est désordonné: les aimantations pointent dans différentes directions. Leur résultante M= est nulle.

B

M

En présence d’un champ magnétique appliqué, les moments s’orientent globalement selon B: leur résultante M= est non nulle.

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Loi de Curie

L’énergie magnétique de l’assemblée s’écrit:

E= - .B = - B N <cos()>

Reste à calculer <cos()> :

Traitement classique:

de

deE

E

)cos(

)cos( Où =1/kBT et est un angle solide

0

cos

0

cos

sin2

cossin2)cos(

de

de

B

B

En posant s= cos et x= B/kBT

xdx

dee

dx

ddse

dx

d

dse

dssexxsx

sx

sx

ln)ln()ln(cos1

11

1

1

1

)(/1)(cos xLxxcth

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Loi de Curie

On aboutit à E= - B N L(x)

Où x= B/(kBT ) et L est la fonction de Langevin = coth(x)-1/x

Pour x<<1, cth(x) ~1/x+x/3 donc L(x) ~x/3 d’où:

M~ N2B/(3kBT)

La susceptibilité magnétique s’écrit donc: =M/H=C/T où C est la constante de Curie.

Loi de CurieHaute température/bas moment: le désordre l’emporte, la susceptibilité est faible.

Basse température/haut moment: la susceptibilité croît.

0 1 2 3 40,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

L(x)

X

L(x) à T L(x) à 2 T

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La plupart des gaz, métaux, et certains sels sont paramagnétiques.

C’est souvent un effet à peine moins faible que le diamagnétisme.

Susceptibilité

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Champ magnétique dipolaire

Nous avons fait l’hypothèse de particules sans interactions magnétiques pour trouver la loi de Curie….

Hd

Le champ dipolaire Hd est le champ magnétique résultant créé par tous les dipôles magnétiques en un point donné du matériau.

C’est une interaction à longue distance.

…..c’est négliger l’influence du champ magnétique créé par les autres particules magnétique sur une particule donnée.

Il faudra prendre en compte ces interactions pour modéliser les matériaux fortement magnétiques.

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Résumé du chapitre

Ce qu’il faut retenir:

• Définition d’un matériau paramagnétique: assemblée de moments magnétiques de résultante

nulle sous champ nul, s’alignant le long du champ sous l’effet d’un champ magnétique.

• Loi de Langevin.

• Loi limite: loi de Curie.

• Champ dipolaire.

Ce qu’il faut savoir faire:

Appliquer les lois de Langevin et de Curie.

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Plan du cours

1 Introduction: • historique• Quelques effets magnétiques simples. • Quelques exemples d’applications industrielles.

2 Magnétisme de l’atome. Rôle du spin.

3 Magnétisme d’une assemblée d’atomes. Paramagnétisme.

4 Ferro-magnétisme. Couplage d’échange.

5 Matériaux ferro-magnétiques. Champs coercitifs.

6 Électronique de spin: influence du magnétisme sur le transport électrique

7 Électronique de spin: exemples d’applications (capteurs, mémoires, etc).

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Ferro-magnétisme

Certains métaux de transition: Fe, Co, Ni

Les terres rares

Certains oxydes comportant ces éléments… ?

Le paramagnétisme n’explique pas l’aimantation des aimants permanents (en l’absence de champ B appliqué).

Comment expliquer l’aimantation à rémanence (sous B=0) dans:

Pierre Weiss postule (vers 1900) l’existence d’un champ magnétique intrinsèque à ces

matériaux: même à champ H appliqué nul, les moments magnétiques s’alignent sur le champ

interne….

Ce n’est pas le champ dipolaire: il ne permettrait pas d’obtenir une aimantation à rémanence..

On l’appelle champ d’échange ou champ moléculaire He:

Weiss pose: He= M, avec indépendant de T.

Il s’agit d’un champ moyen vu par les spins et dû aux spins voisins.

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Loi de Curie-WeissLoi de Curie-WeissAu-dessus d’une température Tc dite de Curie, l’aimantation spontanée disparaît.En dessous, les spins s’alignent selon le champ interne: une aimantation spontanée apparaît (rémanence).

Au-dessus de Tc, les spins s’alignent sur un champ extérieur: paramagnétisme.

Pour un matériau paramagnétique, sous champ faible*, la loi de Curie nous donne:

=C/T

Or, par définition, on a : M= H où H est le champ magnétique total= Hext+He

Donc: M=C/T (Hext+He)=C/T(Hext+M)

D’où l’on tire M = C/(T- C ) Hext

Que se passe t’il quand T=C ?...

…un champ Hext même très faible donne une aimantation M du système importante.

Loi de Curie-Weiss

* Plus exactement pour une faible fractions des spins alignés…

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Température de Curie

En dessous de Tc le système possède une aimantation spontanée...

T=C est la température de Curie. Ces matériaux sont dits ferro-magnétiques.

Tc pour différents matériaux:

Fe : 1043 KCo : 1400 KNi : 631 KGd : 292KCrO2 : 392KEuO : 69K

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Influence de T sur l’aimantation

Comment varie l’aimantation spontanée M(H=0) en fonction de Tsous la température de Curie?

On ne peut plus faire l’hypothèse selon laquelle une faible fraction des spins est ordonnée.

M est toujours donnée par: M= N L ( H/kBT)

Ici, H est le champ interne He= M (en effet Hext=0 à rémanence)

On est donc amené à résoudre une équation implicite: M=N L(M/kBT)

0 1 2 3 40,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

L(x)

X

F1 F2 F3

0 200 400 6000,0

0,5

1,0

M(T

)/M

(T=0

)

T( K)

Transition du second ordre(pas de chaleur latente associée)(ici Tc=600K)

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Couplage d’échange

Le champ de Weiss est une modélisation simple du couplage d’échange:

L’énergie magnétique (effective) associée à deux spins voisins (1) et (2) s’écrit: E= - 2 A S1.S2

A est appelée intégrale d’échange, et ce modèle, modèle d’Heisenberg.

Réseau cristallin et atomes magnétiques portantun spin Si.

S1 S3S2

A A

Si A >0, les spins tendent à s’aligner: l’effet sur S1 est bien celuid’un champ interne au matériau, lié à l’aimantation (résultante des orientations de S).

M résultanteM résultante

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Couplage d’échange

Le couplage d’échange est un phénomène purement quantique: conséquence du principe d’exclusion de Pauli.

1 2

Il existe un énergie dite coulombienne de répulsion entre les deux électrons:

W= q1q2/ | r1-r2| en classique

Dans le cas où m1s=1/2 et m2

S=1/2 et où les n, l et ml sont égaux, (r1,r2) =0 si r1= r2 donc W est plus faible que si m1

s et m2s sont différents…

Celle-ci doit être intégrée sur toutes les positions possibles r1 et r2 en mécanique quantique, pondérées par les probabilités de présence ( module carré des fonctions d’onde).

Or, les deux électrons (fermions ) ne peuvent pas avoir la même position et les mêmes nombres quantiques:

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*Voir Cohen-Tannoudji, tome 2 p1418

On définit le ket à deux électrons |n, l; n’,l’ ;L,ML; S,MS> produit d’une partieorbitale et d’une partie de spin. Le ket doit être globalement antisymétrique sous échange des électrons 1 et 2.

On calcule alors (L,S)= <n, l; n’,l’ ;L,ML; S,MS |W | n, l; n’,l’ ;L,ML; S,MS>

• 3S: Si le spin total S vaut 1 (état triplet), la partie de spin est antisymétrique (la permutation

entre 1 et 2 fait apparaître un facteur (-1) S+1). La partie orbitale est alors antisymétrique: elle s’annule pour r1=r2.

• 1S: Si le spin total S vaut 0 (état singulet), la partie de spin est symétrique. La partie orbitale est alors symétrique: elle ne s’annule pas pour r1=r2.

Couplage d’échange: pour aller plus loin*

(3S) = K - J et (1S) = K + J

J est appelée intégrale d’échange, le plus souvent >0.3S est donc un état de plus basse énergie: les spins sontparallèles, dans une vision classique.

Attention ne pas confondre avec J moment cinétique!

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Anti-ferro et ferri-magnétiques

La constante de couplage d’échange K peut être négative:

dans ce cas les spins alternent de façon à minimiser l’énergie du système.

La résultante est une aimantation nulle.

Le système est dit anti-ferro magnétique. Ex: le chrome, le manganèse, NiO etc.

Si les sites ne sont pas équivalents (cf Fe2O3), une aimantationrésultante peut apparaître: on parle de ferri-magnétisme.

Les spins rouges ne sont pas compensés par les noirs…

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Résumé du chapitre

Ce qu’il faut retenir:

• Le ferro-magnétisme est dû au couplage d’échange entre spins.

• Ce couplage est un phénomène quantique et peut être modélisé en première

approche par un champ magnétique interne moyen (champ de Weiss).

• La température de Curie correspond à la température d’apparition d’une aimantation

spontanée.

• Si la constante de couplage est négative, on observe un ordre anti-ferro-magnétique

sans aimantation résultante.

Ce qu’il faut savoir faire:

• Appliquer la loi de Curie-Weiss, calculer une température de Curie.

• Calculer une aimantation à saturation.

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Plan du cours1 Introduction:

• historique• Quelques effets magnétiques simples. • Quelques exemples d’applications industrielles.

2 Magnétisme de l’atome. Rôle du spin.

3 Magnétisme d’une assemblée d’atomes. Paramagnétisme.

4 Ferro-magnétisme. Couplage d’échange.

5 Matériaux ferro-magnétiques. Champs coercitifs.

6 Électronique de spin: influence du magnétisme sur le transport électrique

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Matériaux ferro-magnétiques

Comportement de l’aimantation sous champ magnétique

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Couplage Zeeman

Mécanique quantique: levée de dégénérescence par effet Zeeman E= …..H. S, soit, en prenant l’axe de quantification selon H: E= ….H ms

H=0

ms= -1

ms= +1

État de plus basse énergie

H<>0

SHEffet du champ H sur un spin?

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D’un point de vue macroscopique, l’énergie de couplage s’écrit:

E = - M. H, minimale pour M et H alignés.

Effet du champ magnétique sur l’aimantation

L’aimantation d’un matériau ferromagnétique tend à s’aligner sur le champ extérieur.

Mais d’autres termes rentrent en jeux…..

H

M

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Anisotropie magnétique

L’environnement d’un atome (et donc du spin qu’il porte) n’est pasisotrope:

Exemple d’un cristal: les directions cristallographiques ne sont paséquivalentes (pas les mêmes distances entre atomes)

SS

L’énergie magnétique du système n’est pas la même dans les deux configurations…

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Anisotropie magnétiqueIl existe un ou des axes dits « faciles » le long desquels l’aimantation a « intérêt «  à s’aligner ». Ceci est dû au couplage spin-orbite (L.S cf cours de mécanique quantique): la partie orbitale de la fonction d’onde est anisotrope, ce qui induit une anisotropie sur le spin.

Deux axes faciles à 90°:Emag= K sin2(2)

Un seul axe facile:Emag= K sin2()

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Cycles d’aimantationLorsque l’on fait varier la norme du champ H appliqué au matériau en suivant un cycle, l’aimantation varie en suivant le champ H:

• Pour les champs forts, l’aimantation est selon H,

et égale à la valeur à saturation.• Pour les champs faibles celle-ci s’inverse.

• Elle s’annule pour un champ Hc appelé champ

coercitif.

-600 0 600

-3.0x10-5

0.0

3.0x10-5

-100 0 100

-3.0x10-5

0.0

3.0x10-5

M(

em

u/c

m3 )

H (Oe)

M(

em

u/c

m3)

H (Oe)

Msat

Hc

hystérésis

Aimantation projetée selon une direction donnée: celle du champ appliqué

M

HMprojetée

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Applications

• fort coercitif: matériaux magnétiquement durs:

• aimants de fermeture.

• aimants de moteurs, haut-parleurs, etc.

• bits d’enregistrement des disques durs

• faible coercitif, faible hystérèse: aimant doux

• tôles de transformateurs. • noyau d’électro-aimants.

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Domaines magnétiques

Tourne-vis

Nombreux aciers (inox) essentiellement à base de fer, mais non magnétiques!

Embout non magnétique…mais dur Tige magnétique…moins dure

Deux aciers différents

Pourquoi de telles différences avec des compositions proches?

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Domaines magnétiquesAu niveau microscopique, on a dans ces aciers inox, toujours du ferromagnétisme.

Mais apparaissent des domaines magnétiques dont la résultante est une aimantation faible ou nulle.Et pas de champs de fuite.

NNNN

SSSS

Aimant permanentMono-domaine

NNSS

SSNN

Aimant permanentBi-domaine

Champ magnétique de fuite

Pas d’aimantation macroscopiqueMultidomaine

Un faible changement de composition favorise l’apparition de domaines:Abaisse l’énergie de création de parois (voir champ dipolaire).

Parois magnétiques

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Domaines magnétiques

Blanc: M upNoir: M down

parois

Image à force magnétique de domaines dans FePd: les domaines magnétiques sont séparés par des parois.

L’application d’un champ magnétique H fait grossir les domaines « up » aux dépens des domaines« down ».

Ceci explique les cycles d’hystérèse non carrés.

H

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Comment écranter un fort champ magnétique?Effet sur la santé d’un champ statique de plusieurs Teslas?

Blindage magnétique

Susceptibilité magnétique élevée: matériaux ferro ou para magnétique. Le plus souvent, on Utilise le permalloy (alliage Fe-Ni).

Ex: Exposition des personnels médicauxsur IRM.

Source (bobine)Source (bobine)

Sans écran

Avec écran

Le champ « boucle » dans l’écran

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Lien avec la perméabilité

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Résumé du chapitre

Ce qu’il faut retenir:

• L’aimantation suit un cycle d’hystérésis en fonction de H. Le champ coercitif caractérise les propriétés de l’aimant.

• il y a compétition entre l’anisotropie et la tendance à aligner M selon H.

• Des domaines magnétiques peuvent se former et réduire l’aimantation globale.

Ce qu’il faut savoir faire:

• calculer un champ coercitif ou une force magnétique