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Cours de Mathmatiques Terminale STI Chapitre 1 : Les Suites

Chapitre 1 Les Suites

A) Comportement dune suite

1) DfinitionsUne suite de nombres peut avoir divers comportements. Parfois, les nombres de la suite sont de plus en plus grands, et finissent par dpasser nimporte quel nombre choisi au dpart.

On dit alors que cette suite est divergente, et quelle a comme limite + (plus linfini).Cest possible aussi quils diminuent et deviennent ngatifs jusqu tre plus petits que tout rel donn.

On dit alors que cette suite est divergente, et quelle a comme limite - (moins linfini).Parfois, les termes successifs de la suite se rapprochent de plus en plus dune valeur donne a.

On dit alors que cette suite est convergente, quelle converge vers a, ou encore quelle a comme limite linfini la valeur a.Parfois encore, on nest dans aucun de ces cas-l.

On dit alors que la suite est divergente, et quelle na pas de limite.

2) Dtermination dune limite

a) Limite = + Pour prouver quune suite donne a pour limite plus linfini, il faut dmontrer que pour tout nombre N donn, on peut trouver un entier n tel que tous les termes de la suite de niveau n ou plus sont suprieurs ce nombre.

On peut aussi se contenter de prendre un nombre N = 10p car tout nombre N est encadr par deux puissances de 10.

Exemples :Prouver que les suites suivantes ont pour limite + :i) un = 5 n + 3ii) un = 3niii) un = 3 n

b) Limite = - Pour prouver quune suite donne a pour limite plus linfini, il faut dmontrer que pour tout nombre N donn, on peut trouver un entier n tel que tous les termes de la suite de niveau n ou plus sont infrieurs ce nombre.

On peut aussi se contenter de prendre un nombre N = -10p car tout nombre N est encadr par deux puissances de 10.

Exemples :Prouver que les suites suivantes ont pour limite - :i) un = -2 n + 30ii) un = 4 - 3niii) un = 8 - n

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c) Limite finie = aIl faut alors prouver que pour tout rel p, on peut trouver un nombre N tel que tous les termes de la suite de rang n suprieur ou gal N, on ait |un a| < 10-p.

En effet, la valeur absolue de un a est la distance entre le terme de rang n et la valeur a.

Exemples :Prouver que les suites suivantes ont une limite finie ( dterminer) :i) un = 0,1nii) un = 5 0,52niii) u0 = 7 et pour tout n, un+1 = un

B) Les suites gomtriques

1) DfinitionUne suite est dite gomtrique si chaque terme est le produit du prcdent par une constante appele raison de la suite.Exemples ( droite entre parenthses, le premier terme et la raison de la suite) :

a) 3, 6, 12, 24, 48, (3 ; 2)

b) 5, 15, 45, 135, 405, 1215, (5 ; 3)

c) 8, 4, 2, 1 ; 0,5 ; 0,25 ; (8 ; 1/2)

2) Proprits

Dfinition par rcurrence : un+1=qun

Formule du terme gnral : un=qnu0

Relation entre deux termes : un=qn pu p

Somme des n premiers termes : Sn=u0+u1++un 1=1 qn

1qu0=

qn1q1

u0

(on prfrera utiliser 1 qn si q < 1, et qn 1 si q < 1 pour rester dans les positifs)Exemples :

a) un = 1 x 2 n = 2 n u10 = 210 = 1024

Sn = 1 x (2n 1) / (2 1) = 2n 1 S10 = 210 1 = 1023

b) un = 5 x 3 n u4 = 5 x 34 = 5 x 81 = 405Sn = 5 x (3n 1) / (3 1) = 5 x (3n 1) / 2 S4 = 5 x (34 1) / 2 = 5 x 80 / 2 = 200

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c) un = 8 x (1/2) n = 8 / 2 n u10 = 8 / 210 = 8 / 1024 = 1 / 128Sn = 8 x ((1/2)n 1) / (1/2 1) = 16 (1 1/2n) S10 = 16(1 1/210) = 16 (1 1 / 1024) = 1023 / 64

3) Limite dune suite gomtriquePartons de la formule du terme gnral : un = qn u0.

Si q > 1, la limite de la suite sera + si u0 > 0, et - si u0 < 0.

Si q = 1, tous les termes de la suite seront gaux u0 (donc la limite aussi).

Si -1 < q < 1, la limite de la suite sera 0.

Si q < 1, par contre, les termes de la suite changeront de signe sans cesse, leur valeur absolue aura pour limite +, mais la suite naura pas de limite.

Exemples :Trouver la limite des trois suites vues prcdemment et des suites suivantes :

d) un = 3 (-2)n

e) un = 5 et q = -0,3

C) Les suites arithmtiques

1) DfinitionOn appelle suite arithmtique toute suite dont chaque terme est la somme du prcdent et dune constante note r, positive ou ngative, appele raison de la suite.

Le premier terme u0 et la raison r dfinissent entirement la suite.Exemples :Trouver les suites arithmtiques dans les exemples suivants, et dterminer leur premier terme et leur raison :

a) 1, 3, 5, 7, 10, 13, 16, . Xb) 8, 5, 2, -1, -4, -7, . ; (8 ; -3)c) 1, 2, 4, 8, 16, 32, . Xd) 3 ; 3,2 ; 3,4 ; 3,6 ; 3,8 ; . (3 ; 0,2)e) 115, 109, 103, 97, 91, (115 ; -6)

2) Proprits

Dfinition par rcurrence : un=un 1+r

Formule du terme gnral : un=u0+nr

Relation entre deux termes : un=u p+(n p)r

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Somme des n premiers termes : S n=u0+u1+ ...+un1=nu0+un 1

2(La somme est gale au nombre de termes fois la moyenne du premier et du dernier terme)

Autre expression de la somme : S n=u0+u1+...+un1=nu0+n(n1)

2r

Somme des n premiers entiers : 1+2+3+ ...+n=n(n+1)2

Exemples (reprise des exemples du 1)) :

b) un = 8 3n u10 = 8 3 . 10 = 8 30 = -22S11 = 11 (8 22) / 2 = - 77

d) un = 3 + 0,2n u100 = 3 + 0,2 . 100 = 3 + 20 = 23S101 = 101 (3 + 23) / 2 = 101 . 13 = 1 313

e) un = 115 6n u20 = 115 6 . 20 = 115 - 120 = -5S21 = 21 (115 5) / 2 = 21 . 55 = 1 155

3) Limite dune suite arithmtiqueSi r = 0, la suite est constante et sa limite est gale son premier terme u0.Si r > 0, la suite aura pour limite +.Si r > 0, elle aura pour limite -.

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Les suites Fiche de rvision

Formules connatre

Suites arithmtiques Suites gomtriquesDfinition un=un 1+r un=un 1q

Terme gnral un=u0+nr un=u0qn

Relation entre deux termes un=u p+(n p)r un=u pqn p

Somme des n premiers termes S n=n

u0+un 12

S n=u01qn

1q

Autre formule S n=nu0+n(n1)

2r S n=u0

qn1q1

Somme des n premiers nombres 1+2+3+ ...+n=n (n+1)2

Somme des n premirespuissances dun nombre 1+q+q

2+q3+...+qn= qn+11q1

= 1qn+1

1q

Limites des suites gomtriquesSi q = 1, tous les termes de la suite seront gaux u0 (suite constante), donc la limite aussi.

Si q > 1, la limite de la suite sera + si u0 > 0, et - si u0 < 0.

Si -1 < q < 1, la limite de la suite sera 0.

Si q < 1, par contre, les termes de la suite changeront de signe sans cesse, leur valeur absolue aura pour limite +, mais la suite elle-mme naura pas de limite.

Limites des suites arithmtiquesSi r = 0, la suite est constante et sa limite est gale son premier terme u0.

Si r > 0, la suite aura pour limite +.Si r > 0, elle aura pour limite -.

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Chapitre 1 Les SuitesA) Comportement dune suite1) Dfinitions2) Dtermination dune limitea) Limite = +Exemples:

b) Limite = -Exemples:

c) Limite finie = aExemples:

B) Les suites gomtriques1) DfinitionExemples ( droite entre parenthses, le premier terme et la raison de la suite) :a) 3, 6, 12, 24, 48, (3; 2)b) 5, 15, 45, 135, 405, 1215, (5; 3)c) 8, 4, 2, 1; 0,5; 0,25; (8; 1/2)

2) PropritsDfinition par rcurrence:Formule du terme gnral:Relation entre deux termes :Somme des n premiers termes:Exemples:a) un = 1 x 2n = 2n u10 = 210 = 1024Sn = 1 x (2n 1) / (2 1) = 2n 1 S10 = 210 1 = 1023

b) un = 5 x 3n u4 = 5 x 34 = 5 x 81 = 405c) un = 8 x (1/2)n = 8 / 2n u10 = 8 / 210 = 8 / 1024 = 1 / 128

3) Limite dune suite gomtriqueExemples:

C) Les suites arithmtiques1) DfinitionExemples:

2) PropritsDfinition par rcurrence:Formule du terme gnral:Relation entre deux termes:Somme des n premiers termes:Autre expression de la somme:Somme des n premiers entiers:Exemples (reprise des exemples du 1)):

3) Limite dune suite arithmtique

Les suites Fiche de rvisionFormules connatreLimites des suites gomtriquesLimites des suites arithmtiques

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