cours_h_mat

7/26/2019 cours_H_mat

1/22

LES ROTATIONS DE R3 : VERSION MATRICIELLE

1. Lespace Rn

Les structures dont Rn est muni appartiennent quatre niveaux :

Structure vectorielle: Vecteur. Combinaison linaire. Familles libres et lies. Sous-espaces vectoriels et affines. Base. Dimension. Matrice associe une application li-naire. Le groupe linaire gnral GLn(R).

Structure euclidienne: Produit scalaire. Norme euclidienne. Angle non sign entrevecteurs. Orthogonalit. Bases orthogonales et orthonormes. Isomtries. Symtriesorthogonales. Rotations. Projections orthogonales. Le groupe orthogonal On(R).

Structure oriente: Dterminant. Aire et volume signs. Elments daire et de volumepour les intgrales multiples. Orientation. Bases directes et indirectes. Le groupe li-naire spcial SLn(R).

Structure euclidienne oriente: Angle sign entre vecteurs dans R2. Produit vecto-riel dans R3. Bases orthonormes directes. Rotations dun angle sign donn. Le groupeorthogonal spcial SOn(R).

Notre tudierons les rotations. En principe elles apparaissent dj au niveau de la structureeuclidienne de R2 ou R3. Mais pour distinguer entre les rotations dangle et dangle ona besoin dorientations aussi.

Rappelons les produits scalaire et vectoriel, le dterminant (de matrices 2 2 et 3 3) etquelques autres notions lies.

Le produit scalairede deux vecteurs u= (u1, u2, u3) et v= (v1, v2, v3) dans R3 est

u v= u1v1+ u2v2+ u3v3. (1.1)Ce produit est bilinaire, cest dire pour u, v,w R3 et r R on a

(u + v) w= u w + v w, (ru) w= r(u w),u (v + w) =u v + u w, u (rv) =r(u v). (1.2)

Cest aussi symtrique, c--d vrifiant u v= v u. La norme euclidiennedun vecteur estu =

u u=

u21+ u

22+ u

23.

Pour r un rel on aru =|r|u. On au 0 pour tout u R3, et on au > 0 pourtout u =0.On a les ingalits de Cauchy-Schwarz et du triangle

|u v| uv, u + v u + v. (1.3)Lingalit de Cauchy-Schwarz permet de dfinir langle entre deux vecteurs non nuls par0 et

cos = u vuv . (1.4)

1


2/22

2 LES ROTATIONS DE R3 : VERSION MATRICIELLE

Deux vecteurs u et v sont orthogonaux sils vrifient u v = 0, ou quivalemment si langleentre eux est = 2 .

Dfinition 1.1. Une base orthogonale de R3 est une famille de trois vecteurs{u, v,w} nonnuls avec

u v= u w= v w= 0. (1.5)Une telle famille est toujours libre et ainsi une base de R3.

Unebase orthonormede R3 est une famille de trois vecteurs{u, v,w}avecu = v = w = 1, u v= u w= v w= 0. (1.6)

Cest une base orthogonale dont tous les membres sont de norme 1.

La base canoniquede R3 est orthonorme. Nous la noterons i, j, k avec

i= (1, 0, 0), j= (0, 1, 0), k= (0, 0, 1). (1.7)

La base canonique de R2, note i= (1, 0), j= (0, 1)est aussi orthonorme. Il y a une infinitdautres bases orthonormes. Par exemple

u1= 12(1, 1, 0), u2 = 13

(1, 1, 1), u3= 16(1, 1, 2) (1.8)est orthonorme parce quon a bien ui uj = 0 pour tout i=j mais ui ui = 1 pour tout i.Pour les mmes raisons

v1= (23 ,

23 ,

13), v2= (

13 , 23 , 23), v3= (23 , 13 , 23) (1.9)

est une base orthonorme de R3.Les coordonnes dun vecteur par rapport une base orthonorme sont particulirement

facile calculer.

Proposition 1.2. Soit u1, u2, u3 une base orthonorme de R3. Pour x R3 on a x =

a1u1+ a2u2+ a3u3 avecai= ui x pour i= 1, 2, 3.

Donc par exemple pourx= (1, 1, 1)et la base orthonorme u1, u2, u3 de (1.8) on au1 x=2et u2 x= 13 etu3 x=

26

. Donc on a x=

2u1+ 13

u2 26u3 par la proposition1.2.Pour le mme x = (1, 1, 1) et la base orthonorme v1, v2, v3 de (1.9) on a v1 x = 53 et

v2 x= 13 etv3 x= 13 . Donc on a x= 53v1+ 13v2+ 13v3 par la proposition1.2.Preuve de la proposition1.2. Comme u1, u2, u3 est une base de R

3 il existe a1, a2, a3 telsquon ait x= a1u1+ a2u2+ a3u3. On a alors

u1 x= u1 (a1u1+ a2u2+ a3u3)=a1(u1 u1) + a2(u1 u2) + a3(u1 u3) =a1 1 + a2 0 + a3 0 =a1.

On a similairementu2 x= a1 0+a2 1+a3 0 =a2et on au3 x= a1 0+a2 0+a3 1 =a3.

Le produit scalaire se calcule en utilisant les cordonnes par rapport une base orthonor-me quelconque.

Proposition 1.3. Soit{u, v,w} une base orthonorme de R3 et x = a1u+ a2v+ a3 w ety= b1u + b2v + b3 w des vecteurs. Alors on ax y= a1b1+ a2b2+ a3b3.

. Largument est le suivant. Soitu, v,w des vecteurs non nuls vrifiant (1.5), et soit r,s,t des rels avec

ru+sv +tw= 0. Alors on a0 =u 0= u (ru+sv +tw) = ru2. Mais on a u=0 et ainsiu> 0. Do

r= 0. En faisant les produits scalaires de ru +sv +t w= 0 avec v=0 et w=0, on dduit s = 0 et t = 0.


3/22

LES ROTATIONS DE R3 : VERSION MATRICIELLE 3

Preuve. On dveloppe

x y= (a1u + a2v + a3w) (b1u + b2v + b3 w)=a1b1u u + a1b2u v + a1b3u w + a2b1v u + a2b2v v

+ a2b3v w + a3b1 w u + a3b2w v + a3b3 w w=a1b1 1 + a1b2 0 + a1b3 0 + a2b1 0 + a2b2 1

+ a2b3 0 + a3b1 0 + a3b2 0 + a3b3 1=a1b1+ a2b2+ a3b3.

Dfinition 1.4. Le supplment orthogonaldun sous-espace vectoriel E R3 estE= {v R3 | e v= 0pour toute E}.

Par exemple

R(1, 2, 3)

= {(x ,y ,z) R3 | r(1, 2, 3) (x ,y ,z) = 0 pour tout r R}

= {(x,y,z) R3

| x + 2y+ 3z= 0}.Plus gnralement, pour un vecteur (a,b,c)dans R3 on

R(a,b,c)

= {(x ,y ,z) R3 | r(a,b,c) (x ,y ,z) = 0 pour tout r R}

= {(x ,y ,z) R3 | ax + by+ cz= 0}.Cest dire, le supplment orthogonal de la droite vectorielle engendre par (a,b,c)est le planvectoriel dquation ax + by+ cz= 0.

Proposition 1.5. Soit{u, v,w} une base orthonorme deR3. Alors on aRu

= Rv + Rw,

Rv + Rw

=Ru. (1.10)

Preuve. Exercice.

2. Le dterminant, le produit vectoriel, et orientations

Dfinition 2.1. Le dterminantdune matrice 2 2estdet

u1 v1u2 v2

=

u1 v1u2 v2 =u1v2 u2v1. (2.1)

Notation.Quand on entoure un tableau rectangulaire de parenthses

ou de crochets cest une matrice. Quand on entoure un tableau carr de lignes verticales

, cest undterminant.

Noter que quand on permute les deux colonnes de la matrice son dterminant change designe. Idemquand on permute les deux lignesv1 u1v2 u2

=v1u2 v2u1= u1 v1u2 v2

,u2 v2u1 v1

= u1 v1u2 v2

.Le dterminant dune matrice 2 2 est apparu dans le premier cours dalgbre linaire

comme une quantit qui est= 0si et seulement si la matrice est inversible, et alors on aa b

c d

1=

1

ad bc

d bc a

. (2.2)


4/22


Dfinition 2.2. Le produit vectoriel de u= (u1, u2, u3)et v= (v1, v2, v3)est

u v= (u2v3 u3v2, u3v1 u1v3, u1v2 u2v1) =u2 v2u3 v3

, u1 v1u3 v3

,

u1 v1u2 v2

. (2.3)

Certains crivent u v au lieu de u v.Le produit vectoriel est bilinaire : il vrifie des formules analogues ( 1.2). Il est anti-

symtriquedans le sens quon a

u v= v u, u u= 0.Le produit vectoriel vrifie aussi

u (u v) = 0, v (u v) = 0, u v = uv sin . (2.4)Les deux premires formules de (2.4) se vrifient par substitution. Pour la troisime on vrifiela formuleu v2 = u2v2 (u v)2 par substitution. Par (1.4) on a donc

u v2 = u2v2(1 cos2 ) = u2v2 sin2 avec dans un intervalle o sin

0.

Proposition 2.3. Une famille{u, v} de deux vecteurs dansR3 est libre si et seulement si ona u v=0. Quand ceci est vrifi, le plan vectoriel orthogonal u v est le plan engendrparu etv :

Ru + Rv= {x R3 | (u v) x= 0}. (2.5)Preuve. Montrons que les vecteurs u, v sont lis ssi u v = 0. Il y a deux cas : (i) Si u= 0ou v =0, alors u, v sont lis et satisfont u v = 0. (ii) Si u= 0 et v= 0, alors ils sontlis ssi il existe r R non nul avec u = rv. Et par (2.4) ils satisfont u v = 0 ssi on asin = 0, qui signifie = 0ou = et doncu= rvavec r >0 ou r 0). Donc lensemble droite est unsous-espace vectoriel de R3 de dimension < 3. Donc linclusionest une galit =. Proposition 2.4. Une famille{u, v,w} de trois vecteurs est une base orthonorme deR3 siet seulement si elle satisfait

u = v = 1, u v= 0, w= u v. (2.6)Preuve. () Pour trois vecteurs vrifiant (2.6), langle entre u et v vrifie 0 et cos = 0 par la formule (1.4). Par consquent sin = 1. Les formules (2.4) donnent lesconditions manquantes de la dfinition dune base orthonorme

u w= u (u v) = 0, v w= v (u v) = 0,w = u v = uv sin = 1 1 1 = 1.() Soit{u, v,w}une base orthonorme de R3. Par le () ci-dessus{u, v, u v}est une

base orthonorme de R3. Par consquent w et u v sont tous les deux orthogonaux u et v et de norme 1. Ils sont donc des gnrateurs de norme 1 de la droite vectorielle orthogonaleau plan vectoriel Ru+ Rv. Il y a exactement deux tels gnrateurs, qui sont opposs. Parconsquent w et u v sont gaux ou opposs.


5/22


Dfinition 2.5. Le dterminantdune matrice 3 3est

det

u1 v1 w1u2 v2 w2u3 v3 w3

=u1v2w3 u1v3w2+ u2v3w1 u2v1w3+ u3v1w2 u3v2w1. (2.7)

Pour trois vecteurs u= (u1, u2, u3), v= (v1, v2, v3) et w= (w1, w2, w3)de R3 notons

P(u, v,w) =

u1 v1 w1u2 v2 w2

u3 v3 w3

.

Donc (2.7) est une formule pour det P(u, v,w). En groupant les termes dans des diffrentesfaons, on voit quon a

det P(u, v,w) = (v w) u= (w u) v= (u v) w. (2.8)On en dduit que le dterminant est invariant quand on fait une permutation cyclique des 3colonnes

det P(u, v,w) = det P(v,w, u) = det P(w, u, v).En revanche lanti-symtrie du produit vectoriel implique que le dterminant change de signequand on change deux colonnes

det P(u, v,w) = det P(v, u,w) = det P(w, v, u) = det P(u,w, v).Proposition 2.6. Une famille de trois vecteurs{u, v,w} dans R3 est une base de R3 si etseulement si on adet P(u, v,w) = 0.Preuve. Montrons que cest une base ssi (u v) w = 0. Cest quivalent par (2.8).

Les trois vecteurs sont libres ssi{u, v} est libre et w Ru+ Rv. Par la proposition 2.3ces conditions sont quivalentes u v=0 et (u v) w= 0. Et ces deux conditions sontquivalentes la seule (u v) w = 0. Dfinition 2.7. Une famille ordonne de trois vecteurs {u, v,w} dansR3 est unebase directede R3 si on a det P(u, v,w) > 0. Cest une base indirectesi on a det P(u, v,w) < 0. (Cestune famille lie si on a det P(u, v,w) = 0.)

Proposition 2.8. Une base orthonorme{u, v,w} satisfaisant w = u v dans (2.6) estdirecte. Elle satisfait aussi u= v w etv= w u.

Une base orthonorme satisfaisant w= u v est indirecte.Preuve. Une base orthonorme satisfaisant (2.6) avec w = u v vrifie det P(u, v,w) =(u v) w= w w= 1.

Une base orthonorme avec w= u v vrifie det P(u, v,w) = w w= 1. La base canonique

{i,j, k

}avec

i= (1, 0, 0), j= (0, 1, 0), k= (0, 0, 1) (2.9)

est une base orthonorme directe de R3, ainsi que{(1, 0, 0), (0, cos , sin ), (0, sin , cos )}Corollaire 2.9. Soit{u, v,w} une base orthonorme directe deR3. Alors{v,w, u}, {w, u, v}sont aussi des bases orthonormes directes de R3, comme aussi{u, v,w} et{v, u, w}.

Mais{v, u,w}, {u,w, v}, {w, v, u}, {u, v, w} et{u, v, w} sont des bases orthonor-mes indirectes.


6/22


Proposition 2.10. Soitu un vecteur deR3 avecu = 1. Alors il existe vecteursv et w telsque{u, v,w} soit une base orthonorme directe de R3.Preuve. On choisit un vecteurs= (x,y,z) = (0, 0, 0) avec u s= u1x + u2y+ u3z = 0, et onpose t= u set puis v=

1ss et w=

1tt. Cela suffit par la proposition 2.4.

Le produit vectoriel se calcule en utilisant les cordonnes par rapport une base ortho-norme directe quelconque.

Proposition 2.11. Soit{u, v,w} une base orthonormedirectedeR3 etr= a1u+a2v+a3 wets= b1u + b2v + b3 w des vecteurs. Alors

r s= (a2b3 a3b2)u + (a3b1 a1b3)v + (a1b2 a2b1)w.Cette proposition se dmontre par des substitutions comme la proposition1.3et en utilisant

les formules u v= w, v w= u et w u= v de la proposition2.8.

Maintenant regardons les matrices A

M

3(R

) qui induisent des isomtries linaires surR3.

Dfinition 2.12. La transposedune matrice A est la matrice tAobtenue en changeant leslignes et les colonnes de A. Cest dire si A= (aij)et

tA= (bij) avec aij et bij les coefficientdans la i-me ligne et j-me colonne, alors on a bij =aji.

Par exemple

A=

0 1 20 1 3

5 0 0

, tA=

0 0 51 1 0

2 3 0

.

Quand on travaille avec des matrices, souvent on identifie les vecteurs u= (u1, u2, u3) R3

avec les colonnes u=u1u2u3

. Le produit scalaire devient

u v= u1v1+ u2v2+ u3v3=

u1 u2 u3v1v2

v3

= tuv (2.10)

Pour les produits de matrices on a

t(AB) = tB tA (2.11)

parce que le coefficient dans la i-me ligne et j-me colonne de t(AB) comme de tB tA est le

produit (scalaire) de la j-me ligne de A et de la i-me colonne de B.Les proprits de base de dterminants sont les suivantes. Elles sont valables pour les dter-

minants de matrices carres de toute taille, non seulement les dterminants de matrices 2 2et3 3 que nous traitons ici.Thorme 2.13. (a) Le dterminant dune matrice identit vaut1 : det In = 1.

(b) Pour une matrice carreA on adet A= det tA.(c) PourA etB des matrices carres de la mme taille, on adet AB= (det A)(det B).


7/22


(d)On adet A = 0ssiA est inversible. Ceci est aussi quivalent ce que le systme linaireden quations enn inconnus(pourA= (aij))

a11x1+ a12x2+ + a1nxn = b1,a21

x1

+ a22

x2

+

+ a2n

xn

= b2

,

...

an1x1+ an2x2+ + annxn = bn.ait une solution unique(x1, . . . , xn) pour tout(b1, . . . , bn).

QuandA est inversible, on adet A1 = 1detA .

Les parties (a) et (b) du thorme sont faciles vrifier pour les matrices 2 2 et 3 3 partir des formules (2.1) et (2.7). Pour les parties (c) et (d) voir les cours dalgbre linaire.

3. Le groupe orthogonal O(n, R)

Dfinition 3.1. Une matrice carre A

Mn(R) est orthogonalesi elle satisfait

tAA= In.

La condition dtre orthogonale scrit aussitA= A1. (3.1)

LensembleO(n, R) = {A Mn(R) | A est orthogonale} (3.2)

sappelle le groupe orthogonal. Le mot groupe signifie que O(n, R) contient lidentit In etquil est stable sous la multiplication de matrices et sous linverse de matrices. (La loi degroupe est la multiplication de matrices.) Voir le thorme 3.4.

Lensemble

SO(n, R) = {A Mn(R) | A est orthogonale etdet A= 1} (3.3)

est le groupe orthogonal spcial.Thorme 3.2. Une matrice coefficients rels

A=

u1 v1 w1u2 v2 w2

u3 v3 w3

est dansO(3, R) si et seulement si ses colonnesu, v, w forment une base orthonorme deR3.Elle est dansS O(3, R) si et seulement si ses colonnesu, v, wforment une baseorthonormedirecte deR3.

Preuve. Les lignes de tA sont tu, tv et tw. Donc

tAA=

tutvtw

u v w = tuu tuv tuwtvu tvv tvwtwu twv tww

= u

u u

v u

w

v u v v v ww u w v w w

Cette matrice est gale la matrice identit I3 si et seulement si u, v, w satisfont

u u= v v= w w= 1, u v= u w= v w= 0, (3.4)qui sont les conditions (1.6) dfinissant une base orthonorme. Donc A est orthogonale si etseulement si u, v, w est une base orthonorme.


8/22


La matrice A est spciale orthogonale si en plus det A = det(u, v, w) est gal 1. Maiscette condition caractrise les bases orthonormes qui sont directes (voir (2.8)).

Par exemple les deux matrices

A=

1 0 00 1 0

0 0 1

, B =

925

1225 45

1225

1625

35

45 35 0

,

sont orthogonales parce que leurs colonnes u, v, w sont des bases orthonormes de R3. MaisA nest pas dans S O(3, R) parce que pour ses colonnes on a w = u v. En revanche B estdans S O(3, R) parce que ses colonnes vrifient w = u v.Thorme 3.3. SoitA M3(R). Les conditions suivantes sont quivalentes :

(a) A est une matrice orthogonale.(b) On a u v= Au Av pour tout u, v R3.(c) On au = Au pour toutu R

3

.

Donc les matrices orthogonales sont les matrices des isomtries linaires, cest dire desisomtries fixant lorigine. Elles prservent les normes de vecteurs et les angles entre vecteurs.

Preuve. (a)(b) : Par les formules (2.10) et (2.11) on au v= tu v= tu I3v, Au Av= t(Au)(Av) = tutAAv.

Ces deux quantits sont gales pour tout u, v R3 si et seulement si on a I3 = tAA, ce quicaractrise les matrices orthogonales.

(b)(c) : Les produits scalaires dterminent les normes et vice-versa par les formules

u = u uu v= 1

2(u + v2 u2 v2).

De cela on dduit facilement quune matrice prserve les normes ssi elle prserve les produitsscalaires.

Thorme 3.4. (a) La matrice I3 est dans O(3, R). De plus, siA et B sont dansO(3, R),alorsA1 etAB sont dansO(3, R).

(b) La matriceI3 est dansSO(3, R). De plus, siA etB sont dansSO(3, R), alorsA1 et

AB sont dansSO(3, R).

Preuve.(a) On a

t

I3I3= I3I3= I3. Donc on a I3 O(3,R

).De plus si on a tAA = I3 et tBB = I3, alors on a

t(AB)AB = tBtAAB = tBI3B = I3.Donc si A et B sont dans O(3, R)alors AB est dans O(3, R).

Enfin si tAA= I3alorsA est inversible avec inverseA1 = tA, et donc on a aussi A tA= I3.

Mais comme ttA= A, on a alors ttAtA= I3. Do, si Aest dans O(3, R), alors tA= A1 est

aussi dans O(3, R).(b) La partie (b) se dduit de la partie (a) et du thorme 2.13. Les dtails sont laisss au

lecteur.


9/22


4. Les isomtries linaires du plan R2

La distance euclidienneentre deux point x= (x1, . . . , xn) et y = (y1, . . . , yn)de Rn est

dist(x, y) =

x

y

= (x1

y1)2 +

+ (xn

yn)2.

Dfinition 4.1. Uneisomtrie de lespace euclidienRn est une applicationf: Rn Rn telleque les distances euclidiennes satisfont

dist(x, y) = dist(f(x), f(y))

pour tout x, y dans Rn.

Thorme 4.2. Une application f: Rn Rn est une isomtrie de lespace euclidien Rn siet seulement si il existe A O(n, R) and b Rn tels quon ait f(x) = Ax+ b pour toutx Rn.

Cest dire :Les isomtries de lespace euclidienRn sont les compositions de translations y y + b et

dapplications linaires x

Ax associes des matrices orthogonalesA.

Dfinition 4.3. Une isomtrief(x) =Ax+bde lespace euclidienRn estdirectesi la matriceA O(n, R) satisfait det A= 1, et cest indirectesi elle satisfait det A= 1.

Regardons maintenant les isomtries linaires du plan R2. Ce sont les f(x) = Ax avecA O(2, R). Alors on a

A=

u1 v1u2 v2

avec{u = (u1, u2), v = (v1, v2)} une base orthonorme de R2 par lanalogue pour n = 2 duthorme3.2. Que{u, v}soit une base orthonorme de R2 signifie quon a

u21+ u22= 1, v

21+ v

22 = 1, u1v1+ u2v2 = 0. (4.1)

Rappelons quun vecteur du plan a une forme polaire (x, y) = (r cos , r sin ). Les deuxpremires conditions sur u et v signifient alors quil existe et avec u = (cos , sin ) etv= (cos , sin ). La troisime condition est alors

0 = cos cos + sin sin = cos( ).On trouve alors que 2 (mod 2Z). On a deux cas.

Dans le premier cas = + 2 : On a u= (cos , sin )et

v= (cos , sin ) = (cos( + 2 ), sin( + 2 ))

= (cos cos 2 sin sin 2 , sin cos 2 + cos sin 2 ) = ( sin , cos ). (4.2)parce quon a (cos 2 , sin

2 ) = (0, 1). Dans ce cas la matrice est

A= R=

cos sin sin cos

. (4.3)

On adet R= 1 donc lisomtrie est directe.Dans le deuxime cas = 2 : On a u= (cos , sin ) et

v= (cos , sin ) = (cos( 2 ), sin( 2 ))= (cos cos 2 + sin sin

2 , sin cos

2 cos sin 2 ) = (sin , cos ). (4.4)


10/22


Dans ce cas la matrice est

A= S=

cos sin sin cos

. (4.5)

On adet R=

1, donc lisomtrie est indirecte.

Thorme 4.4. Soitf: R2 R2 une isomtrie linaire directe dont la matrice est leR de(4.3). Alorsfest la rotation dangle centre lorigine.

Preuve. Ecrivons(x, y) = (r cos , r sin ). Alors f envoyer cos r sin

cos sin sin cos

r cos r sin

=

r(cos cos sin sin )r(sin cos + cos sin )

=

r cos(+ )r sin(+ )

Donc la norme r du vecteur est inchang, mais laction sur largument est + . Cestlaction de la rotation dangle centre lorigine.

Thorme 4.5. Soit g : R2 R2 une isomtrie linaire indirecte dont la matrice est leS de (4.5). Alors g est la symtrie orthogonale par rapport la droite vectorielle D/2 =

R(cos2 , sin

2 ).

Preuve. Il faut montrer que la restriction de g D/2 est IdD/2 , et que sa restriction au

supplment orthogonal D/2= R( sin 2 , cos 2 ) est IdD/2 . Mais g envoyer cos 2r sin 2

cos sin sin cos

r cos 2r sin 2

=

r(cos cos 2 + sin sin

2 )

r(sin cos 2 cos sin 2 )

=

r cos( 2 )r sin( 2 )

=

r cos 2r sin 2

et il envoye

r sin 2

r cos 2

cos sin

sin cos r sin 2

r cos 2

= r(sin cos 2

cos sin 2 )

r(cos cos 2 + sin sin 2 )=

r sin( 2 )r cos( 2 )

=

r sin 2r cos 2

.

Donc cest bien lidentit sur R(cos 2 , sin2 ), et Id sur son supplment orthogonal.

5. Les rotations dans R3

Il y a deux notions de rotations dans Rn en utilisation. Pour les distinguer on les appelerarotations et isomtries directes. Nous regarderons seulement les rotations linaires, qui sontcelles qui fixent lorigine 0= (0, 0, . . . , 0). On verra que les deux notions sont quivalentes pourR3 [et R2] mais pas pour Rn avec n 4. Informellement :

Rotation: Une rotation fixe un sous-espace (affine ou vectoriel) de dimension n 2dansRn appel laxe une droite dans R3, ou un point dans R2 et agit sur les plansorthogonaux laxe dans la mme manire quune rotation du plan.

Isomtrie directe: Une isomtrie directe linaire est une application linaire f : Rn Rn correspondant un changement du systme de coordonnes des coordonnesusuelles (x ,y ,z) (ou (x1, x2, . . . , xn)) vers les coordonnes par rapport une baseorthonorme directe de Rn.


11/22


Nous tudions les rotations dans R3 autour daxes passant par lorigine 0 = (0, 0, 0). Ces

rotations-l envoyent0 0et sont desapplications linaires def: R3 R3. Pour dcrireune telle application linaire, il suffit de choisir une base {u, v,w} deR3 et donnerf(u),f(v)et f(w)parce quun membre gnral de R3 scrit ru + sv + twavecr, s, t

R, et son image

seraitf(ru + sv + tw) =rf(u) + sf(v) + tf(w). (5.1)

Maintenant soit{u, v,w}une base orthonorme directe de R3. La rotation dangle autourde u (cest dire autour de laxe Ru) devrait

(1) fixer laxe Ru, et

(2) agir sur le plan vectoriel orthogonal u dans la mme faon quune rotation du planR2 dangle centre lorigine. Ce plan orthogonal uest Rv + Rw.

Soite1= (1, 0)et e2= (0, 1)les membres de la base canonique de R2. Alors la rotation de

R2 dangle centre lorigine est lapplication linaire Rot avec

Rot(e1) = cos e1+ sin e2,

Rot

(e2

) =

sin e1

+ cos e2

. (5.2)

Ceci motive la dfinition suivante.

Dfinition 5.1. Soit u R3 un vecteur avecu = 1. Par la proposition 2.10 il existev,w R3 avec{u, v,w}une base orthonorme directe de R3. Soit R.

La rotation dangle autour deu est lapplication linaire Rotu, : R3 R3 avec

Rotu,(u) =u

Rotu,(v) = cos v + sin w,

Rotu,(w) = sin v + cos w.(5.3)

Donc la matrice de lapplication linaire Rotu, dans la base{u, v,w}de R3 est

A =1 0 00 cos sin

0 sin cos

. (5.4)Noter que les coefficients dans les lignes de (5.3) deviennent les coefficients dans les colonnesde (5.4).

Proposition 5.2. (a) La rotationRotu, dangle autour de u ne dpend pas du choix dev,w compltant la base orthonorme directe{u, v,w}.

(b) Les rotationsRotu, etRotu, concident.(c) Les rotations dangles et+ 2n avecn Z concident.Comme u etu engendrent le mme axe Ru, une rotation autour de lun est aussi une

rotation autour de lautre, mais dans le sens oppos.

La dmonstration usuelle de cette proposition utilise des matrices de passage pour les chan-gements de base. Nous allons dmontrer plusieurs formules pour les matrices et quaternionsassocies des rotations o il sera immdiatement visible que la rotation ne dpend que de et u, et quon aRotu, = Rotu,.

La proposition se vrifie par des calculs avec des matrices de passage pour des changementsde base. Mais on peut viter ces calculs-l en notant que dans ( 5.9) ci-dessous on a une formulepour Rotu, qui ne dpend que de uet . Donc (a). De plus cette formule (5.9) est invariantequand on y substitue (u, )pour (u, ). Donc (b).


12/22


Thorme 5.3. Les rotations de R3 autour dunu fix vrifient :

Rotu,0= IdR3 , Rotu, Rotu, = Rotu,+, Rot1u, = Rotu,. (5.5)Preuve. La formule Rotu,0 = IdR3 est valide parce quen substituant = 0 dans (5.4) on

trouve la matrice identit I=I3. La formule Rotu, Rotu, = Rotu,+ est valide parce quele produit de matrices

1 0 00 cos sin 0 sin cos

1 0 00 cos sin

0 sin cos

vaut1 0 00 cos cos sin sin cos sin sin cos

0 cos sin + sin cos cos cos sin sin

=

1 0 00 cos(+ ) sin(+ )

0 sin(+ ) cos(+ )

.

La formule pour Rot1u, se dduit des deux autres.

La matrice (5.4) dcrit laction de Rotu, sur les cordonnes dun vecteur par rapport labase orthonorme directe{u, v,w}. En principe la matrice de Rotu, par rapport la basecanonique{i,j, k} de (2.9) et les cordonnes usuelles se calcule dans la manire suivante.Thorme 5.4. SoitM M3(R) et soit{u, v, w} une base deR3 avecu =

u1u2u3

, v =

v1v2v3

etw=

w1w2w3

. Supposons quon a

Mu= a1u + a2v + a3w,

Mv= b1u + b2v + b3w,

Mw= c1u + c2v + c3w.

(5.6)

Soit

P=

u1 v1 w1u2 v2 w2

u3 v3 w3

, A=

a1 b1 c1a2 b2 c2

a3 b3 c3

.

Alors on aM=P AP1.

Preuve. Les trois colonnes du produit M P sont Mu, Mv et Mw. Les trois colonnes de P Asont a1u+ a2v+ a3w, b1u+ b2v+ b3w et c1u+ c2v+ c3w. Les quations (5.6) sont ainsiquivalentes M P =P A. On en dduit M=M P P1 =P AP1.

Maintenant crivonsu= (u1, u2, u3), v= (v1, v2, v3)et w= (w1, w2, w3). Soit

P =u1 v1 w1u2 v2 w2

u3 v3 w3

. (5.7)Soit A la matrice de (5.4). Selon le thorme5.4 la matrice deRotu, dans la base canoniqueest alors

Ru, = P AP1. (5.8)

Cette formule a son intrt, mais beaucoup de calculs on utilise une autre formule.


13/22


Thorme 5.5 (Formule de Rodrigues). Pour toutx R3 on a

Rotu,(x) = cos x + (1 cos )(u x)u + sin u x. (5.9)

Preuve. Soitf(x)le membre de droite de lquation (5.9). Alors lapplicationf: R3

R3

estune combinaison linaire de trois applications linaires. Lapplication x x envoye u u,v v et w w. Lapplication x (u x)uenvoye u u, v 0 et w 0. Lapplicationx u xenvoyeu 0,v wet w v. La matrice defdans la base {u, v,w} est alors

cos

1 0 00 1 0

0 0 1

+ (1 cos )

1 0 00 0 0

0 0 0

+ sin

0 0 00 0 1

0 1 0

,

et cest la mme que (5.4).

La formule de Rodrigues (5.9) permet de calculer les images des vecteurs i = (1, 0, 0),

j= (0, 1, 0)et k= (0, 0, 1)et donc la matrice Ru, deRotu, par rapport la base canonique.

Thorme 5.6. Soitu= (u1, u2, u3) R3 avecu = 1, et soit R. Alors la matrice dela rotationRotu, dans la base canonique deR

3 est

Ru, = cos

1 0 00 1 0

0 0 1

+ (1 cos )

u

21 u1u2 u1u3

u1u2 u22 u2u3

u1u3 u2u3 u23

+ sin

0 u3 u2u3 0 u1

u2 u1 0

.

(5.10)

Preuve. Par la formule de Rodrigues lapplication Rotu, est la combinaison linaire de troisapplications linaires. La matrice de la premire application x xest la matrice identit. Ladeuxime application envoye

i= (1, 0, 0) (u i)u= u1(u1, u2, u3) = (u21, u1u2, u1u3).

Donc la premire colonne de la deuxime matrice est u2

1u1u2u1u3

. La troisime application envoye

i u i= (0, u3, u2).

Donc la premire colonne de la troisime matrice est

0u3u2

. Les autres colonnes se calculent

similairement en utilisant j et k.

Exemple 5.7. Quelle est la matrice Ede la rotation dangle =

3 autour de v = (1, 1, 1) ?On remarque dabord quev = 12 + 12 + 12 = 3. Le u parallle avecu = 1 est1vv=

13

(1, 1, 1). On a cos = 12 ,1 cos = 12 etsin =32 . Donc la matrice est

E= 12

1 0 00 1 0

0 0 1

+ 12

13

13

13

13

13

13

13

13

13

+ 32 13

0 1 11 0 1

1 1 0

=

23 13 2323

23 13

13 23 23


14/22


6. Dduire (u, ) de la matrice dune rotation

Supposons queAest une matrice spciale orthogonale. AlorsAest la matrice dune rotation.Mais comment trouve-t-on laxe u et langle de cette rotation ?

Une complication : vu que les matrices de rotations satisfont

Ru, =Ru,, Ru, =Ru, = tRu, =R1u,

le vecteur u et langle sont bien dfinis seulement signe prs, et les diffrents choix designesu et correspondent deux matrices spciales diffrentes (sauf quand = 0 ou= ) qui sont inverses.

Dfinition 6.1. Latracedune matrice dansM3(R)est la somme de ses coefficients diagonaux

Tr A= Tr

a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

def= a11+ a22+ a33.

Par exemple pour les trois matrices apparaissant dans la version matricielle (5.9) de laformule de Rodrigues on a

Tr I3= Tr

1 0 00 1 0

0 0 1

= 1 + 1 + 1 = 3,

Tr

u

21 u1u2 u1u3

u1u2 u22 u2u3

u1u3 u2u3 u23

=u21+ u22+ u23= u2 = 1,

Tr

0 u3 u2u3 0 u1

u2 u1 0

= 0 + 0 + 0 = 0.

(6.1)

et on a aussi

Tr A =

1 0 00 cos sin

0 sin cos

= 1 + cos + cos = 1 + 2 cos . (6.2)

Les proprits lmentaires de la trace sont bien connues.

Thorme 6.2. SoitA, B,P M3(R) avecP inversible, et soitr R.(a) On aTr(A + B) = Tr A + Tr B, et on aTr(rA) =r Tr A, et aussiTr tA= Tr A.(b) On aTr(AB) = Tr(BA) et on aTr(P AP1) = Tr A.

Preuve. Exercice.

Thorme 6.3. Soit A = Ru, SO(3, R) la matrice dune rotation dangle . Alors satisfait

Tr A= 1 + 2 cos

et donc

arccosTr(A) 12

(mod 2).


15/22


Preuve. La premire formule se dduit soit de

Tr A= Tr Ru, = Tr(P AP1) = Tr A = 1 + 2 cos ,

soit de (5.10) et (6.1) et donc

Tr A= Tr Ru, = cos 3 + (1 cos ) 1 + sin 0 = 1 + 2 cos .La deuxime formule se dduit de la premire.

Par exemple pour la matrice

B=

925

1225 45

1225

1625

35

45 35 0

, (6.3)

on a Tr B= 925 + 1625+ 0 = 1. Donc cos =

Tr(B)12 = 0et 2 (mod 2).

Thorme 6.4. Soit A = Ru, la matrice dune rotation non triviale (A= I3) autour delaxe engendr par un u R3 avecu = 1. Soit x R3 un vecteur non nul satisfaisant (A I)x= 0. Alors on a u=

1xx.

(A I)x= 0 et x = 0, u= 1xx.

Pour la matrice B ci-dessus on a

B I=

925

1225 45

1225

1625

35

45 35 0

1 0 00 1 0

0 0 1

=

1625

1225 45

1225 925 3545 35 1

.

Donc on cherche les x =xyz

tels que

16

25

12

25 4

51225 925 3545 35 1

xyz

= 000

.Cest le systme linaire

1625x + 1225y 45z= 0,

1225x 925y+ 35z= 0,45x 35y z= 0.

En remplaant les deuxime et troisime quations par (E2) = (E2) + 34(E1) et (E

3) =

(E3) + 54(E1), on trouve un systme linaire quivalent

1625x + 1225y 45z= 0,

0 = 0,2z= 0.

On peut prendre y comme variable libre, et on trouve z = 0 et x = 34y. Donc x = (3, 4, 0)est une solution non nulle, et laxe de la rotation de matrice B est engendr par le vecteur denorme1

u= 132 + 42 + 02

(3, 4, 0) = (35 , 45 , 0).


16/22


Alors B est la matrice de la rotation dangle 2 ou2 autour de u = ( 35 , 45 , 0). Mais quelest le signe de langle (en fixant u) ? Pour rpondre, on a besoin de quelques notions.

Dfinition 6.5. Une matriceA M3(R)estsymtriquesi elle satisfait A = tA. Une matriceB

M

3(R) est anti-symtriquesi elle satisfait B=

tB. De telles matrices ont les formes

A=

a r sr b t

s t c

, B =

0 w vw 0 u

v u 0

.

Thorme 6.6. SoitA M3(R) une matrice. AlorsAsym = 12(A +

tA) Aanti = 12(A tA) (6.4)sont respectivement symtrique et anti-symtrique et satisfont A = Asym +Aanti. Cest leseul couple de matrices symtrique et anti-symtrique dont la somme estA.

Preuve. Exercice.

Dfinition 6.7. On appelleAsym

= 12(A +

t

A)la partie symtriquedeA et Aanti

= 12(A

t

A)la partie anti-symtrique.

Les matrices R et R1 = tR des rotations dangles autour deu sont transposes.Par consquent, elles ont les mmes parties symtriques, mais des parties anti-symtriquesopposes

12(R+

tR) = 12(tR+ R), 12(R tR) = 12( tR R)

Donc pour dterminer le signe de avec u fix (ou vice-versa), on peut regarder la partieanti-symtrique de la matrice de rotation.

La forme matricielle (5.10) de la formule de Rodrigues crit la matrice de rotation Ru,comme une combinaison linaire de trois matrices. Les deux premires sont des matrices sy-mtriques. La troisime est anti-symtrique. Donc la partie symtrique de R

u

, est

12(Ru,+

tRu,) = cos

1 0 00 1 0

0 0 1

+ (1 cos )

u

21 u1u2 u1u3

u1u2 u22 u2u3

u1u3 u2u3 u23

.

La partie anti-symtrique de Ru, est

12(Ru, tRu,) = sin

0 u3 u2u3 0 u1

u2 u1 0

.

Thorme 6.8. SoitA = Ru, la matrice de la rotation dangle autour deu= (u1, u2, u3) R3 avec

u

= 1. SoitA=

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 . Alors on a

sin (u1, u2, u3) =a32 a23

2 ,

a13 a312

,a21 a12

2

. (6.5)

Comme on au = 1, cela nous donne une formule|sin | =

a32 a232

,a13 a31

2 ,

a21 a122

(6.6)en plus de la formule|sin | = 1 cos2 .


17/22


La matrice B ci-dessus se dcompose en parties symtrique et anti-symtrique

B=

925

1225 45

1225

1625

35

4

5 3

5 0

=

925

1225 0

1225

1625 0

0 0 0

+

0 0 450 0 354

5 3

5 0

,

On dduit quon asin (u1, u2, u3) =35 , 45 , 0. On a|sin | = 35 , 45 , 0 = 1(mais on

a dj vu quon a cos = 0, et cela implique|sin | = 1). En prenant sin =1, on dduitque B est la matrice de la rotation dangle2 autour de

35 ,

45 , 0

.

Exemple 6.9. La matrice

C=

0 0 11 0 0

0 1 0

est dans SO(3, R) et est donc une matrice de rotation. On a Tr(C) = 0. Donc langle de la

rotation satisfait cos = Tr(C)

1

2 =1

2 . On a donc =2

3 . Aussi|sin |=3

2 . La partieanti-symtrique de C est

Canti = 12C 12 tC= 12

0 0 11 0 0

0 1 0

12

0 1 00 0 1

1 0 0

=

0

12

12

12 0 12

12 12 0

.

Langle et le vecteur u avecu = 1 dans laxe de la rotation satisfont alors (sin )u =(12 ,

12 ,

12). Si on choisit le signe sin =

32 , alors u=

2312(1, 1, 1) =

13

(1, 1, 1). Donc Cest la

matrice de la rotation dangle 23 autour de 13

(1, 1, 1)(ou autour du vecteur parallle (1, 1, 1)).

Dans lexemple5.7 on a calcul la matrice E de la rotation dangle 3 avec le mme axe.

Comme langle de lexemple actuel est le double de langle prcdent, on devrait avoir E2 =C.

Ceci se confirme par calcul.

Exemple 6.10. La matrice

D=

13

23

23

23 13 2323

23 13

est dans SO(3, R). Sa trace est Tr(D) =1, donc on a cos = Tr(D)12 =1 et = . Onasin = 0. La matrice D est symtrique. Sa partie anti-symtrique est 0, et elle nous fournitlinformation (sin )u= 0 et donc|sin | = 0 = 0, mais elle ne nous fournit pas laxe. Pourlaxe on cherche unx =0avec (D I)x= 0. Donc on rsout le systme

43 23 232

3 43 2323

23 43

xy

z

=

00

0

.

Les solutions sont les (x,y,z) multiples de (1, 1, 1). Donc on a encore u = 13

(1, 1, 1). Les

signes ne sont pas importants cette fois parce que les rotations dangles et autour dumme axe concident. En comparant aux exemples prcdents on a E3 =E C=C E= D.


18/22


7. Isomtries linaires indirectes de R3

Dfinition 7.1. Soit{u, v,w} une base orthonorme directe de R3. Alors lanti-rotationdangle autour deu est lapplication linaire g : R3 R3 avec

g(u) = ug(v) = cos v + sin w,

g(w) = sin v + cos w.Donc la matrice de g dans la base orthonorme directe{u, v,w}est

G =

1 0 00 cos sin

0 sin cos

Deux cas importants sont = et = 0. Alors les matrices sont

G =1 0 00 1 0

0 0 1 = I3, G0 =

1 0 00 1 00 0 1

.

AlorsG = I3est la matrice de lapplication linaire x x, qui est la symtrie par rapport lorigine 0. Mais G0 est la matrice de lapplication linaire qui sur le plan Rv+ R w est

lidentitbv + cw bv + cw, mais qui sur le supplment orthogonal Ru= Rv + Rw estloppos de lidentit au au. DoncG0est la matrice dans la base {u, v,w} de la symtrieorthogonale (ou rflexion) de R3 par rapport au plan Rv + Rw. Noter que

G =

1 0 00 1 00 0 1


=


1 0 00 1 00 0 1

Donc lanti-rotation dangle autour de u est la composition de la rotation dangle autour

de u et de la rflexion (ou symtrie orthogonale) par rapport au plan Rv+ R w =

Ru

orthogonal u. Lordre de la composition nest pas important parce que les deux oprationscommutent.

Etant donn une matrice orthogonale B O(3, R) avec det B = 1, on peut trouver le uet tel que B soit la matrice de lanti-rotation dangle autour de u. Il y a quelques dtailslgrement diffrents des rotations. Dabord on a Tr B = Tr G = 1 + 2 cos , do

|| = arccosTr B+ 12

. (7.1)

Deuximement les vecteurs dans laxe ne sont pas fixes mais sont envoys par B en leurs

opposs. Do on a Bu= u et(B+ I)u= 0, u = 1. (7.2)

Mais on a toujours

1

2

B tB = sin

0 u3 u2u3 0 u1

u2 u1 0

. (7.3)


19/22


Exemple 7.2. Soit

B=

23

23

13

23 13 2313

23

23

Les trois colonnes u, v,w vrifient u v = u w = v w = 0 et u u = v v = w w = 1,donc B est orthogonale. Mais on a w =u v, donc{u, v,w} est une base orthonormeindirecte de R3, et on a det B =1. On a Tr B =1 + 2 cos = 1, donc = 0, et B estla matrice dune symtrie orthogonale. Pour trouver laxe, qui est lorthogonal du plan de lasymtrie, on cherche les (x,y,z) tels quon ait

(B+ I)

xy

z

=

53

23

13

23

23 23

13 23 53

xy

z

=

00

0

On rsout le systme et on trouve (x ,y ,z) =z(1, 2, 1). Donc on a u= 16

(1, 2, 1), etB estla matrice de la symtrie orthogonal par rapport au plan (Ru)

=

{(x ,y ,z)

| x+2y+z= 0

}.

Exemple 7.3. Soit

C=

23

23

13

23 13 2313 23 23

Les trois colonnes sont encore orthonormes avec w =u v. Donc Cest la matrice duneanti-rotation. Langle vrifie1 + 2cos = Tr C= 13 , donc on a cos = 23 et||= arccos 23 .Pour trouver le u engendrant laxe, on rsout

(C+ I)

x

y

z

=

53

23

13

23 43 23

1

3

2

3

1

3

x

y

z

=

00

0

On trouve(x ,y ,z) =y(0, 1, 2), etu= 1

5(0, 1, 2). Finalement la partie anti-symtrique de

C est

12

C tC =

0

23

13

23 0 013 0 0

= sin

0 u3 u2u3 0 u1

u2 u1 0

.

On trouve sin u= 13(0, 1, 2) et ainsi sin =53 >0. Donc on a = arccos

23 >0. Donc C

est la matrice de la composition de la rotation dangle = arccos 23 autour de laxe engendr

paru= 15

(0, 1, 2)et de la symtrie orthogonale par rapport au plan vectoriel orthogonal u, qui est

{(x ,y ,z)

R3

|y

2z = 0

}.

8. Vecteurs propres

Thorme 8.1. SoitA M3(R). AlorsA est la matrice dune rotation si et seulement siAest dansSO(3, R).

Pour dmontrer ce thorme il faut connaitre aussi les notions de valeur propre et de vecteurpropre.


20/22


Dfinition 8.2. Soit A Mn(C) une matrice carre coefficients complexes. Un nombrecomplexe est une valeur propre de A si la matrice A In nest pas inversible. Pour unevaleur propre de A le sous-espace E(A) = ker(A In) Cn nest pas rduit {0}.Il sappelle lespace propre de A associ la valeur propre . Ses membres sont les vecteurs

propresassocis la valeur propre .Quand on a A Mn(R)et R, le sous-espace rel E(A) = ker(A In) Rn est aussi

appel lespace propre de Aassoci .

Un vecteur propre v de A associ la valeur propre satisfait (AIn)v= Avv= 0.Donc il vrifie

Av= v (8.1)

avec A Mn(C), C et 0= v Cn. Cette quation est souvent appele lquation desvaleurs propres.

Proposition 8.3. SoitRu, la matrice de la rotation dangle autour deu R3. SupposonsRu,

= I3 (cest dire

0 mod 2). Alors = 1 est une valeur propre de Ru,, et les

vecteurs propres associs sont lesru avecr R.Preuve. Pour = 1 lquation des valeurs propres est Ru,x = x, et ceci est vrifi pour lesx qui sont fixs par Ru,. Pour une rotation non triviale ce sont exactement les vecteurs danslaxe Ru de la rotation.

La cl du thorme8.1 est le lemme suivant, qui sera dmontr dans le paragraphe suivant.

Lemme 8.4. SoitA dansSO(3, R). Alors= 1 est une valeur propre deA.

Preuve du thorme8.1. () SoitRu, la matrice de la rotation dangle autour dun u R3avec u = 1. Soit u, v, wla base orthonorme directe de R3 de la dfinition5.1.SoitA etPles matrices de (5.4) et (5.7). Par (5.8) on a Ru, =P AP

1

. Or Pest dans SO(3, R) parceque ses colonnesu, v, wforment une base orthonorme directe de R3. EtA et dansS O(3, R)

parce que ses colonnes100

,

0cos sin

,

0 sin cos

sont aussi une base orthonorme directe deR3.

Par le thorme3.4 les matrices P1 et Ru, =P AP1 sont aussi dans S O(3, R).() CommeI3 est une matrice de rotation (dangle 0), il suffit de montrer que tout A =I3

dans S O(3, R) est une matrice de rotation. Par le lemme 8.4 une telle A a = 1 comme unevaleur propre. Soit z un vecteur propre non nul associ (donc vrifiant Az= z et z =0). Enposantu = 1zz, on trouve un vecteur propre vrifiantAu= u et u = 1. Par la proposition2.10on peut complter u en une base orthonorme directe u, v, w de R3.

On a Au = u. Par la proposition 3.3 on a Ax Ay = x y pour tout x, u R3. On endduit quon a u Av= Au Av = u v= 0 et u Aw = Au Aw = u w= 0. Donc Av etAw sont orthogonaux u. Mais v et w engendrent le plan vectoriel orthogonal u. Donc ilexistea,b, c, d Ravec Av= av + bw et Aw= cv + dw. Mais par les propositions1.3 et 3.3on a aussi

1 =v v= Av Av= (av + bw) (av + bw) =a2 + b2,0 =v w= Av Aw= (av + bw) (cv + dw) =ac + bd,1 =v v= Av Av= (cv + dw) (cv + dw) =c2 + d2.


21/22


Donc les vecteurs (a, b), (c, d)R2 sont sur le cercle unit du plan R2 et sont orthogonaux.Il existe donc R avec (a, b) = (cos , sin ) et (c, d) = ( sin , cos ). On a ainsi

Au= u

Av= cos v + sin w,Aw= ( sin v + cos w).

La matrice dans la base u, v, w de lapplication linaire R3 R3 envoyant x Ax estdonc une des matrices suivantes

A =

1 0 00 cos sin

0 sin cos

, B =

1 0 00 cos sin

0 sin cos

.

Si P est la matrice de colonnes u, v, w, alors on a A = P AP1 ou A = P BP1. On a

det A= 1parce que Aest dans S O(3, R), mais par le thorme2.13on a

det P BP1 = (det P)(det B)

1

det P

= det B =

cos2

sin2 =

1.

Donc on a A= P BP1. Par consquent A = P AP1, et A est la matrice de la rotationdangle autour de u.

9. Annexe : lexistence de vecteurs propres pour = 1 pour A O(3, R)Dans ce paragraphe on dmontre le lemme 8.4.On utilise la notion suivante.

Dfinition 9.1. Soit A M3(C). Soit T un indtermin, et C[T] lanneau de polynmes enT coefficients dans C.

Le polynme caractristiquede A est le dterminant

PA(T) = det(A

T I3) =

a11 T a12 a13

a21 a22

T a23a31 a32 a33 T

= det A c2(A)T+ Tr(A)T

2

T3

En dveloppant on trouve un polynme de degr 3 dont les coefficients dpendent des coeffi-cients de A. Le terme de degr 3 estT3. Le terme constant se calcule en posant T = 0, etdonc PA(0) = det(A 0I3) = det A. Les coefficients de T et de T2 nous intresse moins ici.

Or un polynme de degr 3dans C[T]se factorise comme

P(T) =a(T 1)(T 2)(T 3)aveca C, et avec 1, 2, 3 Cles racinesdeP(T), les seuls nombres complexes vrifiantP(i) = 0. Pour le polynme caractristique de A M3(C) comme ci-dessus on a a= 1.Thorme 9.2. SoitA M3(C) et soit1, 2, 3 les racines du polynme caractristique deA tel quil y ait une factorisationPA(T) = (1 T)(2 T)(3 T). Alors1, 2, 3 sont lesvaleurs propres deA, et on a123= det A.

Preuve. Les i sont les nombres complexes vrifiant PA() = det(A I3) = 0. Mais ledterminant dune matrice 3 3 est 0 ssi la matrice est non inversible, et les C tels queA I3 est non inversible sont par dfinition les valeurs propres de A.

Pour la dernire partie de lnonc : les deux formules pourPA(T)donnentPA(0) = det(A0I3) = det A et PA(0) = (1 0)(2 0)(3 0) =123. Donc on a det A= 123.


22/22


Thorme 9.3. Soit A M3(R). Si C est une valeur propre (non relle) de A, alorsson conjugu est aussi une valeur propre deA.

Preuve. Pour A M3(R) le polynme caractristique PA(T) = det(A T I3) = a0+ a1T+a2T

2 + a3T3 a des coefficients rels donc vrifiant ai= ai. On en dduit que pour tout nombre

complexe on a PA() = PA(). Donc si on a PA() = 0 on a aussi PA() = PA() = 0.Comme les racines de PA(T) sont les valeurs propres de A, cela dmontre le thorme.

Thorme 9.4. SoitA O(3, R) et un valeur proprerelle deA. Alors= 1.Preuve. Les vecteurs propres x associes aux valeurs propres relles dune matrice relle Asont les solutions non nulles du systme linaire (A I3)x= 0 coefficients rels, et on peuttrouver des solutions relles. Donc il y a un vecteur propre xR3 avec Ax = x et x= 0.Par le thorme3.3 on a

x = Ax = x = ||x.En divisant parx = 0on trouve|| = 1. Preuve du lemme8.4. SoitA

SO(3, R), et soient1, 2, 3les trois racines de son polynme

caractristique. Par le thorme 9.2 on a 123 = det A = 1. Il faut montrer quau moinsune des i vaut 1. On distingue deux cas.

Cas 1. Si toutes les valeurs propres i sont relles, alors elles valent toutes 1 ou1 parle thorme 9.4. Comme leur produit est 1 on a soit 1 = 2 = 3 = 1 soit 1 = 1 et2 = 3 =1 ordre prs. Dans les deux sous-cas, 1 est parmi les valeurs propres de A,comme on avait dmontrer.

Cas 2. Si une des valeurs propres est non relle, disons 1= CR, alors son conjuguest aussi une valeur propre, disons 2 = . Soit 3 = la troisime valeur propre. On a1 = det A= 123= = ||2. On en dduit que est relle et positive. Par le thorme9.4on a donc = 1. Donc 1est encore parmi les valeurs propres de A.

cours_h_mat

Documents