1

L’espace est muni d’une repère orthonormé direct ( )k,j,i,O .

Produit scalaire dans l’espace. Définition

Soit u et v deux vecteurs et les point O , M , N tels que OAu = et OBv = .

On appelle produit scalaire des vecteurs u et v le réel noté v.u et défini comme suit :

♦Si 0u = ou 0v = alors 0v.u = .

♦Si 0u ≠ et 0v ≠ alors ( )BOAcosvuv.u ×=

Conséquence

1°) OH.OAOB.OA = où H est le projeté orthogonal de B sur (OA).

2°)

−−+=222

vuvu2

1v.u

3°)

−−+=222

vuvu2

1v.u

4) 0v.uvu =⇔⊥

Propriétés :

Soit u , v et w trois vecteurs et a et b deux réels.

Déterminant

Soit B= ( )k,j,i est une base

Pour tout vecteur u , il existe un unique triplet (x,y,z) de réels tel que kzjyixu ++=

M(x,yz) � kzjyixOM ++=

Soit

c

b

a

u ,

'c

'b

'a

v et

''c

''b

''a

w

On appelle déterminant de ( )w,v,u dans la base B, et on note detB ( )"c'cc

"b'bb

"a'aa

w,v,u = le réel :

"b'b

"a'ac

"c'c

"a'ab

"c'c

"b'ba +−

Produit vectoriel dans l’espace. Définition :

Soit ABu = et ACv = deux vecteurs .

On appelle produit vectoriel de u par v , le vecteur défini comme suite :

▪Si u etv sont colinéaires alors 0vu =∧

▪Si u etv ne sont pas colinéaires alors :

i. vuu ∧⊥ et vuv ∧⊥ .

ii. ( )vu,v,u ∧ est une base direct.

22uu = u.vv.u = )v.u(ab)vb).(ua( =

v.u2vuvu22

2 ++=+ v.u2vuvu22

2 −+=+

+=−++22

2 vu2vuvu w.uv.u)wv(u +=+

Fiche de cours 4ème Maths Geometrie dans l’Geometrie dans l’Geometrie dans l’Geometrie dans l’EspaceEspaceEspaceEspace

Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee Maths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR

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2

iii. ( )CABsinvuvu ×=∧

Conséquences et propriétés

0uu =∧ 0vu =∧ , si et seulement si , u etv sont

colinéaires

( )kAC,ABsinACABACAB ××=∧ où k unitaire et

normale au plan (ABC)

( )uvvu ∧−=∧ ( )vuabvbua ∧=∧

( ) ( ) ( ) ( )w,v,udetv.uwu.wvw.vu =∧=∧=∧ ( ) wuvuwvu ∧+∧=+∧

Soit

c

b

a

u et

'c

'b

'a

v alors : k'bb

'aaj

'cc

'aai

'cc

'bbvu +−=∧

Propriétés

Soit u , v et w des vecteurs de l’espace.

L’aire du parallélogramme ABCD est égale à :

ADAB ∧ L’aire du triangle ABD est égale à : ADAB

2

1 ∧

Le volume d’un tétraèdre ABCD est égale à :

( )BA.BDBC6

1 ∧

Le volume d’un parallélépipède ABCDEFGH est

égale à : ( ) ( )AE,AD,ABdetAE.ADAB =∧

La distance d’un point M de l’espace à la droite ( )u,A∆ est le réel :

u

uMA)∆,M(d

∧=

AB

MBMA ∧= avec ∆B ∈

Translation

*) ( ) u'MMMt'Mu

=⇔=

*)u

1

utt

−− =

*) ξξ →:f / 'M)M(f = et 'N)N(f =

f est une translation si et seulement si MN'N'M = .

*)Toute translation de l’espace conserve la distance.

*) Toute translation de l’espace conserve le produit scalaire.

*)L’image d’une droite par une translation est une droite qui lui est parallèle.

*)L’image d’un plan par une translation est un plan qui lui est parallèle.

*)Toutes translation conserve la parallélisme et l’orthogonalité.

*) Toutes translation conserve le milieu

*)L’image d’un sphère S par une translation est une sphère 'S de même rayon et de centre l’image du centre.

*) Soit

c

b

a

u

Si ( ))z,y,x(Mt)'z,'y,'x('Mu

= alors

+=+=+=

cz'z

by'y

ax'x

Réciproquement : L’application qui à tout point )z,y,x(M associe le point )'z,'y,'x('M tel que

+=+=+=

cz'z

by'y

ax'x

est

la translation de vecteur

c

b

a

u .

3

Homothétie

*) ( )( ) IMk'IMMh'M k,I =⇔= , ( *)Rk ∈

*) ( )

− =

k

1,I

k,I1 hh

*) ξξ →:f / 'M)M(f = et 'N)N(f =

f est une homothétie si et seulement si MNk'N'M = .

*)L’image d’une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle.

*)L’image d’un plan par une homothétie est un plan qui lui est parallèle.

*)Toutes homothétie conserve la parallélisme et l’orthogonalité.

*) Toutes homothétie conserve le milieu

*)L’image d’un sphère S du centre I et de rayon R par une homothétie est une sphère 'S de centre 'I image de I

et de rayon Rk .

*) Toutes homothétie conserve le contact.

*) Soit )c,b,a(I et { }1*Rk −∈

Si ( )( ))z,y,x(Mh)'z,'y,'x('M k,I= alors

−+=−+=−+=

c)k1(kz'z

b)k1(ky'y

a)k1(kx'x

Réciproquement : L’application qui à tout point )z,y,x(M associe le point )'z,'y,'x('M tel que

+=+=+=

γ

β

α

kz'z

ky'y

kx'x

est

une homothétie de centre

−−− k1,

k1,

k1I

γβαet de rapport k.

Rappel

Soit )z,y,x(A 000 ,

c

b

a

u et

'c

'b

'a

v

Droite:

L'ensemble des points M tels que AM et u soient colinéaires est une droite, appelé droite passant par A et de

vecteur directeur u .

{ }uAM,R/M)u,A(D αα =∈∃℘∈=

Représentation paramétrique :

+=+=+=

czz

byy

axx

:)u,A(D

0

0

0

λ

λ

λ

; R∈λ

Plan:

Dans le cas où u et v non colinéaires:

L'ensemble des points M tels que AM soit combinaison linéaire de u et v , est un plan, appelé plan passant

par A et de vecteurs directeurs u et v .

{ }vuAM,R,/M)v,u,A(P βαβαξ +=∈∃∈=

.

Représentation paramétrique :

++=++=++=

'cczz

'bbyy

'aaxx

:)v,u,A(P

0

0

0

βλ

βλ

βλ

; R∈λ

Equation cartésienne d’un plan et d’une droite *)Plan : 0dczbyax:P =+++ avec ( ) ( )0,0,0c,b,a ≠

*)Droite : l’ensemble des points M(x,y,z) tels que

=+++=+++

0'dz'cy'bx'a

0dczbyax est une droite, si et seulement si, les

triplets ( )c,b,a et ( )'c,'b,'a ne sont pas proportionnels.

4

*)L’ensemble { }0n.AM/M =∈ ξ est le plan passant par A et de vecteur normal n

*)Le vecteur

c

b

a

n est le vecteur normale à P.

*)Le vecteur

γ

β

α

x est un vecteur de P si et seulement si 0cba =++ γβα

Position relatives

Soit )u,A(D , )'u,'A('D , 0dczbyax:P =+++ et 0'dz'cy'bx'a:'P =+++

Leur vecteurs normaux n et 'n

*) 'DD ⊥ si et seulement si 'uu ⊥

*) 'D//D si et seulement si 'u//u

*) 'PP ⊥ si et seulement si 'nn ⊥

*) 'P//P si et seulement si u//n

*) DP ⊥ si et seulement si 'nn ⊥

*) D//P si et seulement si un ⊥

Distance de A à P : ( )²c²b²a

dczbyaxP,Ad

000

++

+++=

La sphère Etant donnés un point I de ξ et un réel R strictement positif. On appelle sphère de centre I et de rayon R, et on

note ( )R,Iζ l’ensemble des points M de ξ tels que : IM = R.

Autre définition : Soit la sphère ζ de diamètre [AB]. MBMAM ⊥⇔∈ ζ

Equation cartésienne d’un sphère : ( )R),c,b,a(Iζ : ( ) ( ) ( ) ²Rczbyax222 =−+−+−

Réciproquement :

Soit { }0dzyx²z²y²x/)z,y,x(ME =++++++∈= γβαξ

On pose d4

²²²h −++= γβα

Si h <0 alors oE /= Si h = 0 alors

= )

2,

2,

2(IE

γβα

Si h>0 alors ( )h,IE ζ=

Intersection d’une sphère et d’un plan. Soit ζ une sphère de centre I et de rayon R. Soient P un plan , H le projeté orthogonal de I sur P et ( )P,Id = .

Si d > R alors OP /=ζ∩ , on dit que P et ζ sont extérieurs.

Si d = R alors { }HP =ζ∩ , on dit que P et ζ sont tangents.

Si 0 < d < R alors ζ∩P est le cercle de P de centre H et de rayon ²d²R − , on dit que P et ζ sont sécants.