Cours DF 4ème 1

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Mécanique  -­‐  Cinématique  Des atomes aux galaxies, la plupart des objets étudiés par les physiciens sont en mouvement. La Terre tourne sur elle-même et décrit une orbite autour du Soleil, qui se déplace, lui-même, autour du centre de la galaxie. L’Univers est en expansion. Ainsi, tout est en mouvement. On ne peut espérer bien comprendre comment fonctionne la nature si l’on n’est pas capable de définir clairement le mouvement et de le mesurer.

Il y a 3 types de mécanique : - la mécanique classique élaborée par Newton (1642-1727). - la mécanique relativiste élaborée par Einstein (1905), indispensable lorsque les mobiles ont des vitesses proches de celle de la lumière c (300'000 km/s). - la mécanique quantique élaborée par Bohr, Heisenberg, Fermi, Einstein, Planck, De Broglie, Schrödinger (1900-1930), nécessaire lorsque l’on travaille à l’échelle de l’atome.

Sir Isaac Newton

Vitesse c Mécanique quantique Mécanique classique Cosmologie relativiste relativiste relativiste 1/10 c Mécanique quantique Mécanique classique Cosmologie 10-15 10-10 1020 Dimension[m] Historiquement, le développement de la mécanique s’est effectué en 3 étapes. Cette étude commence avec Aristote (384-322 av JC) et Archimède (287-212 av JC) pour se poursuivre de manière qualitative jusqu’à Galilée (1546-1642), Kepler (1571-1636) et Huygens (1629-1695). Avec Newton (1642-1727), on voit apparaître une étape quantitative, étape poursuivie par Euler (1707-1783). Il s’agit d’une vision déterministe du mouvement : connaissant les positions et vitesses initiales des corps, leur trajectoire peut en être déduite. Le début du XX ème siècle voit l’avènement de la mécanique quantique mettant fin au cadre déterministe avec le principe d’incertitude.

Horaire  Nous vivons dans un espace métrique euclidien à 3 dimensions. Nous allons utiliser la géométrie euclidienne pour décrire la position des objets et notamment d’un point matériel P. Un corps occupe un certain volume dans l’espace. On modélise cette réalité en supposant que toute la matière constituant ce corps est concentrée en 1 point : son centre de masse ou centre de gravité ou barycentre. Un corps ainsi idéalisé est un point matériel (abréviation PM).

On se donne un repère {O, i , j , k } où O est l’origine du repère et { i , j , k }

une base orthonormée formée par les vecteurs de base i , j , k définissant les 3 axes x,y,z. La position du point matériel est alors univoquement déterminée par le vecteur

position du point P, noté r . Soit x, y, z les composantes ou les projections de ce vecteur sur les 3 axes

orthogonaux Ox, Oy, Oz, porteurs des vecteurs unitaires i , j , k respectivement.

Le vecteur position r du point matériel considéré est représenté par :

r = x i + y j + z k . On le note r = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

zyx

L’unité fondamentale de la mesure de la position est le mètre : r = [ m] Le PM peut se déplacer dans l’espace et on peut repérer le PM en différents temps. Si le PM est mobile, les coordonnées de P deviennent des fonctions du temps.

Ainsi, le vecteur position r est une fonction du temps r (t). Définiton : L’horaire d’un PM est sa position en fonction du temps.

R → R 3 t → )(tr

γ

γ

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Définition : La trajectoire d’un PM est l’ensemble des points par lesquels passe le PM. A ne pas confondre :

trajectoire et horaire Courbe dans l’espace Fonction du temps

2 horaires différents peuvent avoir la même trajectoire. En effet, par exemple, une certaine trajectoire peut être parcourue dans un sens comme dans l’autre. Exemple : Horaire des trains et des bus qui fait correspondre à des instants particuliers (c’est-à-dire à certaines valeurs de t) la position du véhicule en question. Ce genre d’horaire est discret car la position du véhicule n’est connue que pour certains instants donnés.

L’horaire analytique r (t) est donné par une fonction mathématique : en tout instant, on peut connaître la position du PM, par exemple :

r (t) = a t2 + b t + c où a , b , c sont des vecteurs indépendants du temps. Théorème :

Soient 2 PM d’horaires r 1(t) et r 2(t). Il y a collision si et seulement s’il existe un instant critique tc de sorte que :

r 1(tc) = r 2(tc). (1-1) Cette condition est évidente car elle traduit le fait que les PM se trouvent au même endroit au même instant.

Vitesse  En parlant de vitesse, il nous faut distinguer la vitesse scalaire et la vitesse vectorielle. Nous sommes habitués à sa forme scalaire que l’on appelle communément la célérité. La célérité ou vitesse scalaire sera définie comme la norme du vecteur vitesse, c’est-à-dire sa « valeur », soit par exemple 100 km/h. La vitesse vectorielle est définie quant à elle par sa norme (sa célérité), sa direction et son sens. De plus, il nous faut distinguer la vitesse moyenne de la vitesse instantanée.

Exemple : Vitesse indiquée sur le compteur d’une voiture. Si une voiture parcourt un trajet de 500 km en 5 heures, son conducteur va conclure que sa vitesse moyenne était de 100 km/h. Mais cette célérité n’a pas toujours était de 100 km/h. En effet, le compteur indiquait tantôt 50 km/h, tantôt 150 km/h, etc…Nous en concluons que le compteur indique une vitesse instantanée. Définition La vitesse moyenne du PM est le rapport entre l’espace parcouru entre 2 points P et Q et le temps de parcours Δt :

v m(t) = tr

ttrttr

ΔΔ

=Δ−Δ+ )()(

(1-2)

Il faut bien insister sur la notion de moyenne : entre les points P et Q, la vitesse peut varier en norme, en direction et en sens. Comment peut-on alors définir la célérité en un point particulier entre P et Q, c’est-à-dire à un instant précis ? Nous allons choisir des intervalles de temps de plus en plus petits. Nous allons donc faire tendre Δt vers 0 de sorte que le PM n’ait pas le temps de modifier sa vitesse et de sorte que son déplacement soit considéré comme infiniment petit. La vitesse instantanée pour un point donné de la trajectoire est donc déterminée comme le rapport d'un petit déplacement sur une petite variation de temps, au cours duquel se réalise ce déplacement. Définition : La vitesse instantanée est définie par un vecteur:

v (t)= tr

ttrttr

tt ΔΔ

=Δ−Δ+

→Δ→Δ 00lim)()(lim (1-3)

où l’intervalle de temps Δt tend vers 0. Cette vitesse peut s’exprimer en fonction de ses composantes :

v (t) = (vx(t), vy(t), vz(t))

où norme du vecteur vr = || v || = v = 2z

2y

2x v v v ++ (1-4)

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P P v (t)

Δ r Q

r (t) Q r (t) Y r (t+Δt) y

O x O x

Vitesse moyenne Vitesse instantanée

Le schéma de gauche indique le déplacement Δ r du PM pendant l’intervalle de temps Δt. Dans le schéma de droite où Δt tend vers 0, nous constatons que la droite

qui relie P à Q tend vers la tangente à la trajectoire au point P, donc le vecteur v est toujours tangent à la trajectoire. En fait, c’est justement pour résoudre le problème de la vitesse instantanée que Newton a inventé le calcul infinitésimal. Il a donné la définition fondamentale de la dérivée :

v = t

tlttldtdl

tl

tt Δ

−Δ+==

Δ

Δ→Δ→Δ

)()(limlim00

Le vecteur vitesse donne donc toujours les informations suivantes : 1.- Sa norme (célérité) est la grandeur scalaire fournie par exemple par le compteur d’un véhicule. La norme de la vitesse se mesure en m/s. Elle donne le taux de variation de la position avec le temps. Géométriquement, elle correspond à la pente de la courbe qui représente la distance parcourue en fonction du temps à tout instant. 2.- Sa direction et son sens indiquent la direction et le sens instantanés du mouvement du PM. On utilise souvent les km/h comme unité de la vitesse. Il convient donc de convertir les km/h en m/s et réciproquement : 1 km/h = 1000 m / 3600 s = 0,278 m/s. 1 m/s = 3,6 km/h (le facteur de conversion est de 3,6) Il nous faut à présent inventorier les différents mouvements qui se présentent à nous.

 

Mouvement  uniforme     | |   v   | |   =   v  =   constante)  :  M.U   Définition : Le mouvement d’un PM est dit uniforme lorsque sa célérité (sa norme) est constante.

M.U ⇔ || v || = v = constante

La direction du mouvement peut varier ! Théorème : Soit un PM ayant un mouvement uniforme, alors le trajet r parcouru en fonction du temps est donné par : r (t) = v . t + ro (équation scalaire) (1-5) où ro correspond à la position du PM au temps t = 0. En effet, r(0) = v .0+r0 = r0 Développement :

Mouvement   uniforme   rectiligne   ( v=   cste)  :  MUR   Si la vitesse d'un corps, se déplaçant le long d'une droite, reste constante, on dit que le mouvement est uniforme et rectiligne. Dans ce cas, le déplacement est proportionnel au temps.

Le mouvement rectiligne uniforme est caractérisé par : v = constante En particulier donc, sa norme est constante.

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Théorème : Soit un PM ayant un mouvement uniforme rectiligne, son horaire est alors donné par :

r (t) = 0v t + 0r (équation vectorielle) (1-6)

où 0r correspond à la position du PM au temps t = 0. En effet, r(0) = v.0+r0 = r0

Il est à noter que l’équation r (t) = 0v t + 0r représente l’équation paramétrique d’une droite. Aparté mathématique : La dérivée et l’intégrale

 Relativité  des  mouvements  La plupart des gens croient qu’ils peuvent savoir avec certitude si un objet est en mouvement ou non ; ils considèrent que le mouvement est absolu. Mais la Terre se déplace en orbite autour du Soleil à 106'000 km/h et le Soleil se déplace autour du centre de notre galaxie, la Voie Lactée, à 770'000 km/h et l’Univers, dans son ensemble est en expansion exponentielle. Rien n’est donc immobile. Mais ce qui est plus important, est qu’il n’y a aucun moyen de mesurer la différence entre le repos et le mouvement uniforme (vitesse constante). C’est pour cela que vous avez l’impression d’être au repos en ce moment même.

Développement : exemple

 Accélération  Dans le langage populaire, nous parlons d’accélération lorsque la vitesse du mobile augmente. L’accélération est donc liée à la variation de la vitesse. L'accélération pour un point donné de la trajectoire (ou à un instant t) est le rapport d'une petite variation de la vitesse sur une petite variation du temps, pendant lequel la vitesse varie. L'accélération comme la vitesse est une grandeur vectorielle. La norme de l'accélération se mesure en m/s2. 1m/s² (mètre par seconde carrée) est l’accélération d’un mobile dont la vitesse varie de 1m/s chaque seconde. Définition L’accélération instantanée ou accélération d’un PM en P est la variation du vecteur vitesse sur l’intervalle de temps considéré ; elle est donc la dérivée de la vitesse par rapport au temps ou la dérivée seconde du déplacement par rapport au temps :

a (t) = 2

2

00lim)()(lim

dtrd

dtrd

dtd

dtvd

tv

ttvttv

tt

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==Δ

Δ=

Δ

−Δ+→Δ→Δ

(1-7)

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v (t) P v (t) r (t) v (t)

r (t) v (t+Δt) Δ v

r (t+Δt) v (t+Δt) a (t)

O O Accélération moyenne Accélération instantanée

a (t) = (ax(t), ay(t), az(t))

où norme de ar = || a || = a = 2z

2y

2x a a a ++ (1-8)

Exemple : Considérons un mobile dans un virage et supposons que son compteur indique une célérité constante, soit 100 km/h. Y a-t-il accélération ? Cas particulier du mouvement rectiligne Nous pouvons dans ce cas là introduire l’accélération moyenne dans le cas du mouvement rectiligne (unidimensionnel) : Définition : Lors d’un mouvement rectiligne, l’accélération moyenne est donnée par :

)(tam

= tv

ttvttv

ΔΔ

=Δ−Δ+ )()(

(1-9)

Le signe de am détermine un accroissement de la célérité (+) ou une décroissance (-) (décélération). Exemple :

t0 à 15h v0 = 90 km/h v0 = 25 m/s t1 à 15h 8s v1 = 126 km/h v1 = 35 m/s

Pour augmenter la vitesse de son automobile, le conducteur appuie sur la pédale de l’accélérateur. Quelle est la vitesse moyenne ? Quelle est l’accélération moyenne ?

   

Mouvement  uniformément  accéléré  (M.U.A)   Définition : Le mouvement d’un PM est dit uniformément accéléré lorsque son accélération est constante.

MUA ⇔ a = constante Théorème : Soit un PM en M.U.A. Son horaire et sa vitesse sont alors donnés par :

r (t) = ½ a t2 + 0v t + 0r (1-10)

v (t) = a t + 0v (1-11)

où a = accélération constante

0v = vitesse initiale (t = 0)

0r = position initiale (t = 0)

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Développement : Cas particuliers :

1.- a // 0v : dans ce cas là, le mouvement est rectiligne (M.R.U.A) 2.- Dans le cas contraire, on peut montrer que la trajectoire est une parabole.

Mouvement  circulaire  (M.C)   Définition : Le mouvement est circulaire lorsque la trajectoire du PM est un arc de cercle. Problème : Trouver l’horaire, la vitesse et l’accélération d’un PM en mouvement circulaire

v (t)

R r (t)

jr

θ(t)

ir

Horaire 1.- La trajectoire étant un arc de cercle, nous plaçons l’origine du référentiel au

centre du cercle avec i et j les vecteurs de base.

2.- La propriété du cercle est : || r || = R = constante où R est le rayon du cercle. 3.- Soit θ = θ (t) l’angle balayé par le PM en fonction du temps. 4.- L’horaire prend la forme suivante :

r (t) = x(t) i + y(t) j = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

θ

θ

θ

θ

sincos

sincos

)()(

RRR

tytx

Vitesse Définition : La vitesse angulaire ω est la variation de l'angle θ par unité de temps:

ω = =Δ

Δ

tθ

[rad /s] (1-12)

Il s’agit donc du nombre de radians balayés par seconde. La norme de la vitesse v est donnée par :

v = || v || = ω R (1-13) Remarque : 1.- le vecteur vitesse est toujours perpendiculaire au vecteur position.

M.C ⇔ v (t) ⊥ r (t)

Accélération Définition : L’accélération angulaire α est la dérivée temporelle de la vitesse angulaire ω:

α = =Δ

Δ

tω

[rad /s2] (1-14)

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Il s’agit donc de la variation de la vitesse angulaire par unité de temps. Elle va nous servir à déterminer l’accélération tangentielle ta

.

L’accélération linéaire a peut en effet se décomposer en une accélération

tangentielle ta

tangente à la trajectoire du corps en rotation et une accélération

normale ou centripète na

dirigée vers le centre du cercle. Ainsi :

at = α R = tvΔ

Δ (1-15) et an = ω2 R = Rv 2

(1-16)

Développement :

Mouvement   circulaire   uniforme  (v=cste)  (M.C.U)  

MCU ⇔ v = constante ⇔ at = 0 (1-17)

⇔ an = ω2 R = constante ⇔ ω = constante (1-18)

Interprétation : La première déduction (1-17) nous montre que l’accélération n’a qu’une composante normale (donnée par (1-16)). Remarquons que pour l’observateur qui est lui-même en rotation, celui-ci ressent une accélération centrifuge (mentionnée par une flèche blanche sur le schéma) dirigée vers l’extérieur du cercle équivalente en norme à l’accélération centripète perçue par un observateur immobile regardant le corps tourner.

Accélération  de  la  pesanteur   Expérience du tube de Newton : 1ère expérience : Si nous laissons tomber simultanément une bille de plomb et une plume, il est fort à parier que la bille arrivera avant la plume sur le sol. L’argument pourrait être le suivant : « la bille de plomb pèse plus lourd que la plume ». 2ème expérience : Refaisons l’expérience mais cette fois dans le vide. Nous mettons la bille et la plume dans un tube dans lequel nous faisons le vide d’air. Lâchons les objets simultanément. Nous constatons que la bille de plomb et la plume tombe … en même temps ! Dans le vide et sous les mêmes conditions initiales (même position initiale et même vitesse initiale), tous les corps en chute

libre ont le même horaire r (t). Il en est de même pour la vitesse et l’accélération. 3ème expérience : Si nous mesurons la norme de cette accélération à différents instants, on remarque que cette grandeur est une constante qui vaut 9,81 m/s2 (c.f laboratoire). Conclusion : A la surface du sol terrestre, l’accélération des corps en chute libre dans le vide, est un vecteur dirigé vers le centre de la Terre de norme constante : c’est l’accélération de la pesanteur

g = 9,81 m/s2 = accélération de la pesanteur à la surface de la Terre

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Le vecteur g est-il constant ? En toute généralité non puisque la Terre n’est pas

plate et que le vecteur g et toujours perpendiculaire au sol terrestre. Précisons les approximations suivantes que nous utiliserons en balistique : 1.- Si les frottements de l’air sur le PM sont négligeables (similaire au vide), alors

l’accélération du PM en chute libre a (t) = g .

2.- Si la chute s’effectue dans une portion restreinte de l’espace, alors g = constante. La première condition est plus difficile à remplir que la 2ème : elle sera satisfaite par des billes de plomb à des vitesses modérées mais pas pour des plumes ! !

Lorsque ces 2 conditions sont remplies, le mouvement du PM est uniformément

accéléré (M.U.A) puisque a (t) = g = constante. On obtient donc pour l’horaire et la vitesse. :

r (t) = 21 g t2 + 0v t + 0r (1-19)

v (t) = g t + 0v (1-20) Ordre de grandeurs : Soit un PM lâché dans le vide. Sa célérité va croître de 10 m/s (36 km/h) par

seconde et il franchit la distance h = 21

g t2 , soit 5 m la première seconde mais

déjà 20 m les 2 premières secondes.

Balistique   Comme application du M.U.A, nous considérons quelques problèmes de balistique : calcul de la portée xp, du temps de vol, des coordonnées du sommet de la trajectoire. Nous fixons l’origine O au point

de lancement. L’angle entre la vitesse initiale et le sol est θ.

En tenant compte que 0r = 0 , les projections sur les axes Ox et Oy des équations (1-19) et (1-20) sont respectivement : Ox : x = v0 cosθ t vx = v0 cos θ (1-21) Oy : y = v0 sinθ t -

21 g t2 vy = v0 sin θ - gt (1-22)

Sommet S Au sommet de la trajectoire (point S), le vecteur vitesse est parallèle à Ox :

sa composante suivant Oy est donc nulle : vy = 0 ⇒ temps pour arriver au sommet = tS = v0 sinθ / g Les coordonnées du sommet S sont données par : S = (x(ts), y(ts)) = ( v0

2sinθcosθ/g, ½ v02 sin2θ /g) (1-23)

La portée est caractérisée par la condition : y = 0. Cela détermine le temps de vol tv. y = 0 ⇒ tv = 2 v0 sinθ /g (1-24) En considérant la symétrie du problème, nous pouvons observer que le temps de vol vaut le double du temps mis pour arriver au sommet. Connaissant ce dernier temps de vol, nous en déduisons la portée xp : Xp = x(tv) = 2 v0

2 sinθ cosθ /g = v02 sin2θ /g (1-25)

La portée maximale est déterminée, lorsque v0 est fixée, par sin 2θ = 1 donc pour θ = π /4 = 45° (en négligeant les frottements). Finalement, par propriété trigonométrique, si cette portée xp est atteinte avec l’angle θ, nous pouvons aussi l’atteindre avec son angle complémentaire (π/2 -θ), car sin (π/2 - θ)cos (π/2 - θ) = sinθcosθ. Cette propriété n’est valable que lorsque le point de lancement se trouve à la même hauteur y que le point d’arrivée (dans le schéma, y = 0 pour le point de départ et d’arrivée.).

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Problèmes   1.- Un PM se déplace dans un plan. Son horaire est :

CtBtAr

++= 2 , où t varie de –2s à 2s. Dans une base orthonormée du plan, les paramètres

CBA,, s’expriment comme suit :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

mm

Csmsm

Bsmsm

A2

10,

/2/3

,/1/22

2

Calcule la position du mobile, de seconde en seconde, dans l’intervalle indiqué. Représenter graphiquement la trajectoire, en faisant correspondre 1m à 1 carreau.

2.- On observe que 2 mobiles ont les horaires respectifs suivants :

tBAr

+=1 et tDCr

+=2 où

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

0/2

,158

,/5/1

,520 sm

Dmm

Csmsm

Bmm

A

Les 2 mobiles gardent les mêmes horaires jusqu’à ce qu’un choc éventuel vienne perturber leur mouvement. Détermine s’il y a collision et, le cas échéant, où et à quelle heure.

3.- Un mobile a l’horaire : 2tCtBAr

++= où

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

2

/1/2

,/24/8

,100

smsm

Csmsm

Bm

A

Détermine sa vitesse en t = 4s en utilisant comme points auxiliaires les points où se trouve le mobile aux heures 4 s et 4,1 s.

4.- Soit l’horaire tBAr

+= où ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

smsm

BA/5/1

,520

Trouve la position du mobile, de seconde en seconde dans l’intervalle [-2s,2s] et le vecteur vitesse correspondant. Représente la trajectoire et les vecteurs vitesses dans un graphique Oxy. 5.- Un touriste monte sur une montagne et redescend par le même chemin. A l’aller, sa vitesse est de 3 km/h. Au retour, elle est de 7 km/h. Calcule sa vitesse moyenne.

6.- Un train parcourt 10 km à la vitesse de 80 km/h et les 10 km qui suivent à la vitesse de 100 km/h. A quelle vitesse aurait-il dû circuler pour franchir ces 20 km dans le même temps, avec un mouvement uniforme ? 7.- Achille et une tortue font la course. Achille se situe 20 m derrière la tortue au départ de la course. La vitesse d’Achille est de 10 m/s et celle de la tortue de 2 m/s. Quel est le temps nécessaire pour qu’Achille rattrape la tortue ? 8.- Un motocycliste roule à 60 km/h. Son véhicule est capable d’une accélération de 4 m/s2. a) Combien lui faut-il de temps pour atteindre 70 km/h ? b) Quelle distance lui faut-il pour atteindre cette vitesse ?

9.- Une voiture roulant à 50 km/h freine soudain. Son accélération dans le freinage est de 5 m/s2. Calculer sa vitesse a) après 0,5 s b) après un parcours de 5 m.

10.- Un wagonnet descendant sur un plan incliné, le long d’une ligne de plus grande pente, passe en 1 point P à une vitesse de 0,7 m/s. Son accélération, qui est constante, vaut 0,4 m/s2. Combien met-il de temps pour arriver en un point Q situé 6 m plus loin, et à quelle vitesse y arrive-t-il ? 11.- Si, du haut d’un mur de 10 m, nous tirons un boulet de canon à une vitesse de 1000 m/s horizontalement et qu’au même instant, nous lâchons une pierre verticalement, a) les 2 objets arrivent-ils en même temps au sol ? b) après combien de temps ? c) quelle est la distance parcourue par le boulet horizontalement avant qu’il

n’atteigne le sol ?

12.- Un lanceur de boule de bowling fait tourner son bras long de 75 cm à raison de 2 tours/s. et la lâche. Quelle est alors sa vitesse ? 13.- Un pendule a une longueur de 2 m. Au point le plus bas de sa trajectoire, il a une vitesse de 1,25 m/s. Quelle est son accélération en ce point ? 14.- Une voiture fait un virage à angle droit. Quelle est son accélération dans le virage si elle met 2 secondes pour décrire un quart de cercle de 5 m de rayon ? On suppose que le tachymètre (le compteur) indique une valeur fixe.

Cours DF 4ème 10

2013-2014 P.G

15.- Un projectile est lancé à partir d’un sol horizontal avec une vitesse de 50 m/s faisant un angle de 53,13° avec l’horizontale. Calcule la portée du jet, la hauteur maximale atteinte par le projectile et la durée totale du jet. 16.- Depuis une tour ayant une hauteur de 80 m, un objet est lancé vers le haut à une vitesse de 30 m/s. a) Quelle hauteur atteint-il ? b) Quand arrive-t-il au sol ? c) A quelle vitesse arrive-t-il au sol ? 17.- Une sonde spatiale est lancée à partir d’une plate-forme et elle décrit une trajectoire rectiligne. Un observateur appelle cette trajectoire l’axe des x et mesure la distance x de la sonde à la plate-forme. Supposons que la position de la sonde est donnée, à tout instant, par l’expression x(t) = A+ Bt2 où A = 150 m et B = 30 m/s2. a) Détermine la vitesse moyenne de la sonde entre les instant ti = 7 s et tf = 9 s b) Quelle est la vitesse instantanée pour t = 8 s. c) Représente graphiquement x(t) et v(t) 18.- 2 chevaliers armés portant des lances et des bannières vont à la rencontre l’un de l’autre. Jean Lelent chevauche vers le sud à la vitesse de 5 km/h, tandis que Pierre Lerapide fonce vers le nord à la vitesse de 25 km/h. Quelle est la vitesse de Jean par rapport à Pierre ? 19.- Un avion pique à 45° à une vitesse constante de 800 km/h. Détermine sa vitesse dans la direction verticale, c’est-à-dire la vitesse à laquelle il perd de l’altitude. 20.- Un dirigeable a une vitesse de 180 km/h-nord par rapport à l’air. Le vent souffle à une vitesse de 100 km/h dans la direction sud-est à 45°. Quelle est sa vitesse par rapport au sol et quelle est sa vraie direction de vol ? Quelle est la distance parcourue en 3 h de vol ? 21.- Le mammifère le plus rapide est le guépard, dont la vitesse peut dépasser 113 km/h. On a observé qu’il peut atteindre 72 km/h en 2 s, départ arrêté. Calcule l’accélération maximum de cet animal, en supposant qu’elle est constante et qu’il a un parcours rectiligne. Quelle est la distance minimum nécessaire pour atteindre la vitesse de 17,9 m/s à partir de l’arrêt ?

22.- Il fait beau. Supposez que votre temps de réaction est de 0,5 s et que l’accélération de votre voiture est de -8,2 m/s2. Quelle est la distance parcourue par la voiture avant de s’arrêter, si sa vitesse initiale est de 26,8 m/s (96,5 km/h) ? 23.- Une balle est tirée d’un revolver, verticalement vers le haut à une vitesse initiale de 200 m/s. On négligera la résistance de l’air. a) Quelle est la hauteur maximum atteinte par cette balle ? b) Quelle sera sa vitesse lorsqu’elle redescend à la même altitude que l’arme ? c) Quelle est la durée du trajet ? 24.- Un jeune lance une pierre horizontalement à une vitesse de 10 m/s d’un pont à 50 m au-dessus d’un fleuve. On négligera la résistance de l’air. a) Quel temps faut-il pour que la pierre tombe dans l’eau ? b) Quelle est alors sa vitesse ? c) A quelle distance du pont tombe-t-elle ? 25.- La courbe représente la vitesse en fonction du temps d’une voiture miniature qui peut être propulsée par un gaz pendant 3 s. Quelle est approximativement la distance parcoure par cette voiture entre t = 2 s et t = 4 s ? 26.- Un malfaiteur prend l’autoroute, au volant d’une voiture volée, à la vitesse de 100 km/h, en direction de la frontière qui se trouve à 300 km. La police, avertie, arrive à l’entrée de l’autoroute une demi-heure après. Quelle doit être la vitesse minimale de la voiture de la police pour arrêter le malfaiteur avant qu’il n’atteigne la frontière ?