cours de mécanique du solide - faculté des sciences d'el ......ensemble des points centraux : axe...

COURS DE MÉCANIQUE DU

SOLIDEPar

I.Mrani

Année 2018-2019

Plan du cours

■ Géométrie vectorielle

■ Les torseurs

■ Cinématique du solide

■ Cinématique de contact de deux solides

■ Cinétique du solide

■ Principe fondamentale de la dynamique

■ Puissance - Travail

Chap I. Géométrie vectorielle

■ I Les vecteurs

– I.1 Définitions

a) Les vecteurs liés

Composantes de A dans le repère R : 𝑨 ቮ

𝒙𝑨𝒚𝑨𝒛𝑨

Composantes de B dans le repère R : Bቮ

𝒙𝑩𝒚𝑩𝒛𝑩

Composantes de 𝐴𝐵 dans le repère R : 𝑨𝑩 ቮ

𝒙𝑨𝑩 = 𝒙𝑩 − 𝒙𝑨𝒚𝑨𝑩 = 𝒚𝑩 − 𝒚𝑨𝒛𝑨𝑩 = 𝒛𝑩 − 𝒛𝑨

Un vecteur lié est un couple de deux points (A,B) noté AB

Ce couple ordonné de deux points est défini par :

• son support (droite )

• son point d’application A

• son sens (de A vers B)

• son module (distance de A à B)


Propriétés :

– Deux vecteurs liés sont équipollents s’ils ont même sens et même module.

– Un vecteur nul est un vecteur dont toutes les composantes sont nulles.

– Remarque : l’équipollence est une relation d’équivalence.

– Réflexivité : 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵

– Symétrie : 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 ⇒ 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵

– Transitivité : ቋ𝐴𝐵 = 𝐶𝐷

𝐶𝐷 = 𝐸𝐹⟹ 𝐴𝐵 = 𝐸𝐹

a) Les vecteurs libres

– L’ensemble des vecteurs liés équipollents à un vecteur lié, c’est à dire la classe

d’équivalence définie par un de ces vecteurs liés constitue un vecteur libre 𝑉. Un

représentant est défini par :

o Son support,

o Son sens

o Son module 𝑉

Expression du vecteur libre dans le repère 𝑅 : 𝑉 ቮ𝑎𝑏𝑐⇒ 𝑉 = 𝑎 Ԧ𝑥 + 𝑏 Ԧ𝑦 + 𝑐 Ԧ𝑧


a) 𝐿es vecteurs glissants

Un vecteur glissant est défini par :

- Un vecteur libre 𝑉

- Un point du support P

On le note Ԧ𝐺(𝑃, 𝑉)

– I.2 calcul vectoriel (Porte sur les vecteurs libres)

a) Addition

𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 avec 𝑉1 ቮ

𝑥1𝑦1𝑧1

et 𝑉2 ቮ

𝑥2𝑦2𝑧2

⟹𝑉 ቮ

𝑥1 + 𝑥2𝑦1 + 𝑦2𝑧1 + 𝑧2

Propriétés de l’addition :

- Commutativité : V1 + V2 = V2 + V1

- Associativité : V1 + V2 + V3 = V1 + V2 + V3

- Elément symétrique : ∀ V , ∃ −V tel que : V + −V = 0

- Elément neutre : ∀ V , ∃ 0 tel que : V + 0 = V


L’addition donne à l’ensemble des vecteurs libres une structure de groupe

commutatif.

b) Multiplication par un scalaire

Etant donné un vecteur libre V = xx + yy + zԦz et un scalaire λ , le produit du vecteur

V par λ est un vecteur libre V′ = 𝜆𝑥 Ԧ𝑥 + 𝜆𝑦 Ԧ𝑦+𝜆𝑧 Ԧ𝑧.

Propriétés de la multiplication par un scalaire :

- Associativité : α 𝛽𝑉 = α𝛽 𝑉

- Elément neutre : ∀ V , ∃ 1tel que : 1V = V

- Distributivité par rapport à la somme vectorielle : α 𝑉1 + 𝑉2 = α𝑉1 + 𝛼𝑉2

- Distributivité par rapport à la somme scalaire : α + 𝛽 𝑉 = α𝑉 + 𝛽𝑉

Applications géométriques :

- Conditions d’alignement : 𝐴, 𝐵, 𝐶 alignés ⇔ ∃ 𝑘 ∈ ℝ ; 𝐴𝐵 = 𝑘𝐴𝐶

- Conditions de parallélisme : 𝑉 et 𝑉′ sont // ⇔ ∃k ∈ ℝ ; 𝑉 = 𝑘𝑉′


c) Produit scalaire

Définition :

Etant donné deux vecteurs libres 𝑉 ቮ𝑥𝑦𝑧

et 𝑉′ ቮ𝑥′𝑦′

𝑧′

définis dans la base orthonormée

Ԧ𝑖, Ԧ𝑗, 𝑘 , on appelle produit scalaire de 𝑉 par 𝑉′ le réél : 𝑉. 𝑉′ = 𝑥𝑥′ + 𝑦𝑦′ + 𝑧𝑧′

Propriétés de la multiplication par un scalaire :

- Commutativité : 𝑉. 𝑉′ = 𝑉′. 𝑉

- Distributivité : 𝑉. 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑉. 𝑉1 + 𝑉. 𝑉2

- Le produit scalaire n’est pas associatif : 𝑉. 𝑉1. 𝑉2 ≠ 𝑉. 𝑉1 . 𝑉2

- Associativité quand à la multiplication par un scalaire : α𝑉 . 𝑉′ = 𝑉. α𝑉′

- Carré scalaire : 𝑉𝑉′ = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

- On appelle longueur ou norme d’un vecteur le nombre 𝑉 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

Applications :

– Deux vecteurs non nuls 𝑉1 et 𝑉2 sont ⊥ si 𝑉1. 𝑉2 = 0

– Cosinus de deux vecteurs : 𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑂𝐴.𝑂𝐵

𝑂𝐴 𝑂𝐵


d) Produit vectoriel

On appelle produit vectoriel de 𝑉 et 𝑉′ le vecteur libre Ԧ𝐺 = 𝑉 ∧ 𝑉′ . Le vecteur Ԧ𝐺 est tel que:

- Direction de Ԧ𝐺 est ⊥ à 𝑉 et à 𝑉′

- Le sens de Ԧ𝐺 est tel que le trièdre Ԧ𝐺, 𝑉, 𝑉′ est direct.

- Le module de Ԧ𝐺 : = 𝑉 𝑉′ 𝑠𝑖𝑛𝛼 avec 𝛼 = 𝑉, 𝑉′

Propriétés du produit vectoriel

- Le produit vectoriel n’est pas commutatif : 𝑉 ∧ 𝑉′ = −𝑉′ ∧ 𝑉

- Multiplication par un scalaire : 𝜆𝑉 ∧ 𝑉′ = 𝜆 𝑉 ∧ 𝑉′

- Le produit vectoriel nul : 𝑉 ∧ 𝑉′ = 0 ⇔ ൝𝑠𝑖 𝑉 = 0 𝑜𝑢 𝑉′ = 0

ΤΤ𝑉 𝑉′ ⟹ 𝑉 = 𝑘𝑉′

- Double Produit vectoriel : 𝑉1 ∧ 𝑉2 ∧ 𝑉3 = 𝑉2. 𝑉1. 𝑉3 − 𝑉3. 𝑉1. 𝑉2

- Distributivité par rapport à la somme vectorielle :

𝑉1 ∧ 𝑉2 + 𝑉3 = 𝑉1 ∧ 𝑉2 + 𝑉1 ∧ 𝑉3

- Composantes du produit vectoriel : 𝑉 ∧ 𝑉′ = 𝑦𝑧′ − 𝑧𝑦′ Ԧ𝑖 + 𝑧𝑥′ − 𝑥𝑧′ Ԧ𝑗 + (

)

𝑥𝑦′ −

𝑦𝑥′ 𝑘

Application géométrique : sin𝛼 =𝑂𝐴.∧𝑂𝐵

𝑂𝐴 𝑂𝐵


Aire du parallélogramme :

Air du parallélogramme 𝑂𝐴𝐵𝐷 = 𝑂𝐴⋀𝑂𝐵

d) Produit mixte

Définition : On appelle produit mixte de trois vecteurs 𝑉1, 𝑉2 , 𝑉3 le nombre réel défini par :

𝑉1, 𝑉2 , 𝑉3 = 𝑉1. 𝑉2 ∧ 𝑉3

Propriétés :

- Si le trièdre 𝑉1, 𝑉2 , 𝑉3 est direct, le produit mixte est positif,

- Le produit mixte est invariant par permutation circulaire :

𝑉1, 𝑉2 , 𝑉3 = 𝑉3, 𝑉1 , 𝑉2

- Le produit mixte change de signe si on échange deux vecteurs :

𝑉1, 𝑉2 , 𝑉3 = − 𝑉1, 𝑉3 , 𝑉2

- Le produit mixte est nul si :

o Les trois vecteurs son coplanaire

o Deux vecteur sont parallèles.

Interprétation géométrique :

Le module de 𝑉1, 𝑉2 , 𝑉3 représente le volume du Parallélogramme.


f) Division vectorielle

Objectif : résoudre l’équation : Ԧ𝐴 ∧ 𝑋 = 𝐵 (1)

1. Si Ԧ𝐴 et 𝐵 ne sont pas perpendiculaires : pas de solution

2. Si Ԧ𝐴. 𝐵 = 0 et Ԧ𝐴 ≠ 0 , 𝐵 ≠ 0

a) Soit 𝑋0 ⊥ Ԧ𝐴 tel que Ԧ𝐴 ∧ 𝑋0 = 𝐵 ⇒ Ԧ𝐴 ∧ Ԧ𝐴 ∧ 𝑋0 = Ԧ𝐴 ∧ 𝐵

Ԧ𝐴. Ԧ𝐴. 𝑋0 − 𝑋0. Ԧ𝐴. Ԧ𝐴 = Ԧ𝐴 ∧ 𝐵 ⟹ 𝑋0 = −Ԧ𝐴∧𝐵

Ԧ𝐴2

b) Soit 𝑋 quelconque solution de (1) ⇒ Ԧ𝐴 ∧ 𝑋 − 𝑋0 = 0 (2)

Ԧ𝐴 ≠ 0 , 𝑋 ≠ 𝑋0 , l’équation (2) a une solution si : 𝑋 − 𝑋0 = 𝜆 Ԧ𝐴 avec 𝜆 ∈ ℝ

Donc la solution générale de (1) est :

𝑋 = −Ԧ𝐴 ∧ 𝐵

Ԧ𝐴2 + 𝜆

Ԧ𝐴

1. Résumé des solutions :

Ԧ𝐴. 𝐵 ≠ 0 ⟶ pas de solution

Ԧ𝐴. 𝐵 = 0 ⟶ Ԧ𝐴 = 0 ∶ ൝𝐵 = 0 ⟶ 𝑡𝑜𝑢𝑠 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝐸3 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛

𝐵 ≠ 0 ⟶ 𝑝𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛


Ԧ𝐴. 𝐵 = 0 ⟶ Ԧ𝐴 ≠ 0 ∶ ൝𝐵 ≠ 0 ⟶ Ԧ𝑋 = Ԧ𝑋0 + 𝜆 Ԧ𝐴

𝐵 = 0 ⟶ Ԧ𝑋0 = 0, Ԧ𝑋 = 𝜆 Ԧ𝐴

Interprétation géométrique

𝐵

Ԧ𝐴

𝑋0𝑋

𝜆 Ԧ𝐴Δ

𝑂


g) Moment d’un vecteur glissant

𝑃𝑀1 ∧ 𝑉 = 𝑃𝑀2 ∧ 𝑉

Le produit : 𝑃𝑀 ∧ 𝑉 est un vecteur libre indépendant de 𝑀 ∈ Δ

(support de 𝑉)

Définition :

Le champs de vecteurs qui à tout point 𝑀 de 𝐸3 fait correspondre le

Vecteur 𝑃𝑀 ∧ 𝑉 est le moment en 𝑃 du vecteur glissant 𝑉,𝑀

𝑀 𝑃, 𝑉 = 𝑃𝑀 ∧ 𝑉

Propriété :

𝑀 𝑃,𝑉 = 0 ⇔ 𝑃 ∈ (Δ)

Automoment d’un vecteur glissant :

𝑉.𝑀 𝑃, 𝑉 = 0 ∀𝑃

𝑉

𝑃𝑀2

𝑀1

(Δ)


g) Coordonnée vectorielle d’un vecteur glissant

Définition :

A tout vecteur glissant ቤ𝑉Δ

et un point 𝐴 on associe les vecteurs

อ𝑉

𝑀(𝐴, 𝑉)tels que : 𝑀 𝐴, 𝑉 = 𝐴𝑀 ∧ 𝑉 avec 𝑉.𝑀 𝐴, 𝑉 = 0

𝑀 𝑃, 𝑉 = 0 ⇔ 𝑃 ∈ (Δ)

Réciproque :

Soit Ԧ𝛾 = 𝐴𝐻 ∧ 𝑉 ⟹ 𝐴𝐻 =𝑉∧𝛾

𝑉2

𝑉

𝐴

(Δ)

𝑉

𝐴

(Δ)

Ԧ𝛾

Chapitre II. Les Torseurs

■ II.1 Définition

Un torseur

Tel que :

•

•

On note :

=)( vecteursde champ Un -

)( librer Un vecteu-

M

R

)()()( RABMM BA +=

de générale résultante laest )(R

Apoint au derésultant moment leest )( AM

A

AA

M

R

=)(

)(

II.2 Les invariantsa) Est indépendant du point ou sont pris les éléments de

réduction.

b) est un invariant appelé automoment

c) La projection de sur est constante.

)(R

teCIAMR ==),().(

)(R ),( AM

Remarque :

La donné des éléments de réduction

de au point permet de définir

ces éléments en tout point de l’espace.

A

■ II.3 Point central, axe central, moment central

Définitions :On appelle point central, un point M où

Ensemble des points centraux : axe centrala)

b)

)(

3E espacel' )( central axel' 0)( ==R

0)( R

❑ L’ensemble des points centraux d’un torseur à résultante non nulle est

une droite appelée axe central. Cette droite est parallèle à la résultante

générale.

A

H

M

)(

)(R ),( AM+

=

; )(

)(

),()( /

23

HM

AH

RR

AMRAMEM

❑ Détermination de l’axe central :

++=

++==

zNyMxLOM

zZyYxXRO

),(

)(

Soit le torseur :

ChapII. Les torseurs

• L’axe central () est l’intersection du plan P1 et du plan P2 :

• Moment central

Par définition c’est le moment en un point de l’axe central.

Remarque : l’axe central est le lieu des points ou le moment est minimum.

• Propriétés de l’axe central

➢ Le moment est indépendant du choix de M sur (D), on dit que le champ de

moment est de translation le long de () .

➢ Le champ de moment est de rotation autour de ().

L +Yz- Zy

X=

M + Zx- Xz

Yéquation du plan P1

=N + Xy-Yx

Zéquation du plan P2

)//()( , )('et ),(),'( = DDMMMMMM

■ II.3 Opérations sur les torseurs

a) Égalité de deux torseurs

Deux torseurs sont équivalents s’ils ont même éléments de réduction en tout

point de l’espace :

=

==

),(),(

)()( :

21

21321

PMPM

RREP


b) Addition de deux torseursOn peut définir le torseur :

tel que :

Propriétés de l’addition :

c) Multiplication par un réel

On peut définir le torseur :

Propriétés de la multiplication par un réel :

Associativité et distributivité.

21 +=

+=

+==

),(),(),(

)()()(

21

21

AMAMAM

RRRA

abélien additif groupe

unest torseursdes ensemblel'

opposéElément -

neutreElément -

itéAssociativ -

itéCommutativ -

−− MR

=

===

),(),(

)()(

1

1

1

AMAM

RR


Remarque :

Les deux opérations précédentes confèrent à l’ensemble des torseurs

une structure d’espace vectoriel.

d) Produit scalaire de deux torseurs :

Le produit scalaire de deux torseurs est définit par : 21 et

),()(),()(. 122121 AMRAMRAA +=

La quantité précédente est appelée : Comoment

Le produit scalaire est indépendant du point A.

e) Produit vectoriel de deux torseurs

L’ensemble constitué par :

- Le vecteur libre :

- Le champ :

Vérifie la définition d’un torseur appelé produit vectoriel des torseurs

On note :

)()()( 21 RRR =

),()()(),(),( 2121 AMRRAMAM +=

21 et

21 =

■ II.4 Torseurs élémentaires

a) Définition : Soit le torseur , s’il existe un ensemble finit de

vecteurs glissants dont le torseur associé soit on dit que cet

ensemble est un représentant de .


b) Couple : Un couple est un torseur dont la résultante générale est nulle.

On le note :

Conséquence :

Le champ des moments d’un couple est uniforme.

Réciproque : Tout torseur de champ uniforme est un couple.

c) Glisseurs ou torseurs univectoriels :

On appelle glisseur un torseur dont le moment central est nul :

BABMAMR , ),(),(0)( ==

=0

: central Axe R

GA A

Théorème 1 : Tout glisseur peut être représenté par un vecteur glissant unique et

réciproquement.

Théorème 2 : Pour qu’un torseur à résultante générale non nulle soit un glisseur il

faut et il suffit qu’il existe un point en lequel la résultante générale soit

perpendiculaire au moment résultant.


=)(

0

AMC A

Remarques :

Il y a une infinité de décompositions possibles qui dépendent du choix du point A.

On peut choisir A de sorte que soient colinéaires. Il suffit pour cela

que A appartient à () l’axe central du torseur .

est alors le support du glisseur et le moment du couple est égal au moment central

du torseur. D’où :

Tout torseur qui n’est pas un couple peut être décomposé d’une manière unique en un

glisseur et un couple colinéaires.

)(et ),( RAM


d) Décomposition d’un torseur

Quel que soit le torseur et quel que soit le point A il existe : Un couple et un

seul. Un glisseur et un seul dont le point A est central tel que : AGC +=

AG

C

Chapitre III : Cinématique du solide

I. Définition d’un solide :

Un solide est un ensemble lié à un repère :

fini ou infini de points dont les distances mutuelles sont indépendantes du

temps.

I.1 Conséquences :

- Tout ensemble de points liés à un repère (R) est un solide.

- A tout solide (S) on peut associer un repère (R) / les points de (S) sont

liés à ceux de (R) .

- On peut « prolonger » (S) à tout l’espace

de (R) : (S) est identifié à (R)

- On peut parler de points appartenant à (S)

mais n’ont pas d’existence matérielle.

0x

0y

0z(S)

0O

A

0R

B

0x

0y

0z

M

),( 0RM

),( 0RMV

x

z

0O

O

0R

R

(R) Est lié à (S)

(S) En mouvement dans (R0)

Mouvement de (S)/(R0) = Mouvement

de (R)/(R0)

I.3 Vecteur vitesse d’un point d’un solide

Définition : Le vecteur vitesse du point M du solide (S) par rapport au repère R0

, à la date t, est la dérivée par rapport à t du vecteur position

On note aussi :

0

00)/(

Rdt

MOdRMV

=

),(),()/( 000 RRMVRSMVRMV ==


I.2 Mouvement d’un solide par rapport à un repère :

Le mouvement de (R)/(R0) est défini si :

sont connues.

Interprétation géométrique :

I.4 Vecteur accélération d’un point d’un solide.

Définition : Le vecteur accélération de par rapport à R0, à la date

t, est la dérivée par rapport à t de

On note :

II Champ des vitesses d’un solide

II.1 Dérivations

Ct)(tM(t)Mt ànt est tangea ,0 quand +→

0x

0y

0z),( 0RMV

0O0R

)(tM

)( ttM +

C

)(SM

0

)/()/( 00

Rdt

RMVdRM

=


Soit (R) mobile / (R0) , on montre que :

Remarque : Le vecteur rotation de R/R0 est unique.

b) Formule du repère mobile :

Soit le vecteur appartenant au repère R :

on montre que :

c) Formule de dérivation composée :

Soit en mouvement par rapport à R et à R0 :

On montre que :

a) Définition du vecteur rotation :

xzqyrdtxd

R

=−=

0

yzpxrdtyd

R

=+=−

0

zypxqdtzd

R

=−=

0

)/( :où 0 zryqxpRR ++==

U )()()( ztzytyxtxU ++=


Remarque : Le vecteur rotation de S/R0 est indépendant de R (lié à S) :

Propriétés :

- Transport des moments :

II.2 Champ des vitesses :

Soit : après dérivation on a :

Le champ des vitesses d’un solide est le champ des moments du torseur

appelé torseur cinématique de S/R0 dont les éléments de réduction en O sont

:

)( )/()/()/( 000 SMOMRRROVRMV +=

OMRS)(O,S/RV)(M,S/RVSM += )/( 000



0x

0y

0z

0O 0R

x

y

z

R

La rotation de R/R0 est définie par :

Le vecteur rotation de R/R0 est :

- Le champ des vitesses est équiprojectif :

III. Calcul du vecteur rotation :

On montre que :

Cas particulier : Mouvement de rotation autour d’un axe


II.3. Champ des accélérations :

nous savons que :"O, M Î R

000

)/()/(')/,()/,(

0000

RRRdtOMdRROMRR

dtRROVd

dtRRMVd

++

=

OMOMOMRRRRORRM .) . .()/(')/,()/,( 2000 −++=

Remarque :

Le champ des accélération d’un solide n’est pas un champ de

moments d’un torseur.


III. Applications : mouvements élémentaires

III.1 Mouvement de translation :

◦ Définition : Un solide (S) est animé d’un mouvement de translation par

rapport à R0 si le torseur cinématique se réduit à un couple :

◦ Conséquences :

Tous les points de S ont la même vitesse.

Tout vecteur appartenant au solide S reste équipollent à un vecteur

fixe.

Connaissant la trajectoire de on peut en déduire la

trajectoire de tous les points du solide.

Le champs des accélérations est uniforme.

O

RSRSOV

tRS

=

=)/,(

0)/(

0

0/ 0

A Î (S)

◦ Conséquences :

Trajectoire : La trajectoire des points de (S) sont des cercles d’axe ().


IIII.2 Mouvement de rotation :

◦ Définition : Un solide (S) est animé d’un mouvement de rotation par rapport à R0 si le torseur cinématique est un glisseur :

() est l’axe de rotation de S/R0

0x

0y

0z

0O 0R

x

y

z

R

HM

A

l1

l2(S)

➢ Champ des vitesses : soit :

La répartition des vitesses est

Triangulaire :

➢ Champ des accélérations :


III.2 Mouvement de rotation :

)/( 0RSM

H )/,( 0RSMV

()z

0x

0y

t

n

x

y

M

Hr


IV. Composition de mouvement.

IV.1 Hypothèses. Définitions :

soit mobile par rapport à R1. De même R1 mobile / R0. On peut définir

les mouvements suivants :

◦ Le mouvement de P/R0 appelé mouvement absolu.

◦ Le ,, de P/R1 ,, mouvement relatif.

◦ Le ,, de R1/R0 ,, mouvement d’entraînement.

– Trajectoire absolue : Ca (fixe dans R0)

Ca est le lieu des positions de P dans R0 :

A P on affecte deux grandeurs

– Trajectoire relative : Cr (fixe dans R1)

Cr est le lieu des positions de P dans R1 :

A P on affecte deux grandeurs

P Î (S)

0

00)/(

R

adt

POdRPVV

==

0

)/()/( 00

R

adt

RPVdRP

==

1

11)/(

R

rdt

POdRPVV

==

1

)/()/( 11

R

rdt

RPVdRP

==


IV.1 Hypothèses. Définitions :

– Trajectoire d’entrainement : Ce ( )

Soit / p coïncide à l’instant t avec P. Le lieu des positions de p dans R0 est la trajectoire d’entraînement de P à t.

IV.2 Composition des vitesses : (voir cinématique du point)

VI.2 Composition des accélérations :

res trajectoide infinité une

p Î R1

A p on affecte deux grandeurs


IV.3 Composition des rotations :

R1

R3

D’où : Formule de composition des rotations

Généralement :

Si on a n repères en mouvement :

V Paramétrage d’un solide dans l’espace. Angles d’Euler

V.1 Généralités


0x

0y

0z

M3

x

z

0O

O

0R

R

(S)

M2M1

La position de R c-a-d (S) est entièrement

Déterminée par la position de M1, M2, M3.

La position de (S) est déterminé par :

M1

R0

x1

y1

z1

M2

R0

x2

y2

z2

M3

R0

x3

y3

z3

Les neufs coordonnées sont liés par les relation de distances :

x2- x

1( )2

+ y2- y

1( )2

+ z2- z

1( )2

= L21

2

x3- x

1( )2

+ y3- y

1( )2

+ z3- z

1( )2

= L31

2

x3- x

2( )2

+ y3- y

2( )2

+ z3- z

2( )2

= L32

2

ü

ý

ïïï

þ

ïïï

Þ

La position de (S) est

Déterminée par 6

Paramètres

Cas particuliers :

• Solide rectiligne : Sa position est déterminée par 5 paramètres.

• Point ponctuel : Sa position est déterminée par 3 paramètres

(coordonnées du point).

Exemple : La position d’un ensemble matériel composé de s solides, de r solides

rectilignes et de p solides ponctuels est définie par :

V.2 Mouvement d’un solide admettant un point fixe.

Définition.

(S) Animé d’un mouvement à point invariant (ou à point fixe) par rapport à R0

Champ de vitesses

Champ des accélérations :


N = 6s+5r +3p

Û$O Î (S) tel que O soit fixe dans R0

V.3 Angles d’Euler

1ère rotation


La position de O est connue "t

La position de (S) dépend de 3 paramètres : Angle d'Euler Y , q , j

0x

0y

0z

0O 0R

OR

(S)


1ère rotation




0x

0y

0z

0O 0R


1ère rotation




0x

0z

0O 0R

y


1ère rotation




0x

0z

0O 0R

y

R'

0R


2ème rotation




0x

0z

0O 0R

y


2ème rotation


0x

0z

0O 0R

y

q

q

R"

R'


3ème rotation


0x

0z

0O 0R

y

q


3ème rotation


0x

0z

0O 0R

y

qR

O


3ème rotation


0x

0z

0O 0R

y

R

O


3ème rotation


0x

0z

0O 0R

y

O

R


3ème rotation


0x

0z

0O 0R

y

R

O


3ème rotation


0x

0z

0O 0R

y

O

R


3ème rotation


0x

0z

0O 0R

y

O

Rj

R

R"

Disposition géométrique


V.4 Vecteur rotation

D’après la composition des rotations :

Exemple dans Dans

: angle de précession

: angle de nutation

: angle de rotation propre

Trois angles correspondants à 3

Rotations Planes successives .

'

0R

0R

0R

0

"R

0

"R

'

0R

"

0R


V.5 Mouvement général d’un solide

La position de (S)/R0 dépend de 6

Paramètres. Soit tel que : AÎ (S)

0x

0y

0z

0O

xA y

z

0R

1R

(S)

A

R0

xy

z

Soit R1 tel que son origine coïncide

Avec A et ses axes soient // à R0.

- La position de R1par rapport à R0 est entièrement définie par la donnée des coordonnées

de A.

- La position de (S) par rapport à R1est définie par les 3 angles d’Euler (,,).

- Le vecteur rotation de (S/R0) :

- Interprétation cinématique : Le mouvement de (S) par rapport à R0 résulte :

- D’une translation du vecteur qui dépend de A,

- D’une rotation autour de A du vecteur indépendamment de A.

V.4 Cinématique de contact de deux solides

V.4.1 Définition


I

S2

p

S1

I

Soient deux solides S1 et S2 mobiles l’un par

rapport à l ’ autre de telle sorte que les

surfaces qui les limitent restent en contact.

Le contact est : ponctuel, linéaire ou

surfacique.

1

2

matérialisés par des paricules des deux solidesI S

I S

point géométrique coincidant avec le point de contact.I t

Remarque : Les 3 points sont confondus à l’instant t ne le sont plus à t+t.

Les vitesses sont différentes donc les 3 points en I sont cinématiquement distincts.

V.4.1 Vitesse de glissement


La vitesse de glissement de S2 par rapport à S1 est par définition :

Propriétés : a) La vitesse de glissement est contenue dans le plan tangent commun

en I aux deux solides :

- Le point I géométrique décrit une courbe (C1) sur (S1)

- Le point I géométrique décrit une courbe (C2) sur (S2)

b) La vitesse de glissement est indépendante du repère choisi.

(C1)(C2)

(S2)(S1)

p


a) Le torseur cinématique est tel que :

Le vecteur peut être décomposé :

V.4.2 Roulement sans glissement :

Par définition il y a roulement sans glissement si :

I

S1p

S2


VI. Mouvement plan sur plan

VI.1 Définition

On dit que (S) est animé d’un mouvement parallèle à un plan (P0) si / (P)

glisse sur (P0).

Remarque : Pour étudier (S)/(P0), on étudie (P)/(P0).

VI.2 Centre instantané de rotation

On montre qu’il existe

$ (P) Î (S)

P0

O0 x0

y0

x

y

O


Conséquences :

Théorème :

Le champs des vitesses est identique au champ des moments du glisseur

La distribution des vitesses est la même que dans une rotation de centre I appelé

centre instantané de rotation (CIR) et la droite D support du glisseur est l’axe

instantané de rotation.

VI.3 Propriétés du C.I.R

■ Le C.I.R est sur la normale aux trajectoires :

Le point géométrique I :

• décrit dans (P0) une courbe C0 appelée base.

• Décrit dans (P) une courbe C appelée roulante.

Théorème : La base et la roulante sont tangentes en I.

Au cours du mouvement, la roulante roule sans glisser

sur la base.


VI.3 Propriétés du C.I.R

■ Base et roulante :

En I on distingue 3 pts qui coïncident à l’instant t :

Matérialisés par des particules

des deux plans

P0

O0 x0

y0

x

OC

C0

I

Chap. IV : Lois de Coulomb, Modélisation des liaisons

I. Torseur d’action mécanique de contact.

- L’action mécanique de (S1) sur (S2) est représentée par le torseur d’actions

mécaniques de contact :

I

dsP

(S2)

(S1)

(S)

Soit (S) la surface de contact entre (S1) et

(S2) et ds un élément de surface pris dans

(S) qui entoure le point P.

L’action mécanique de contact de (S1) sur

(S2) est caractérisée au point P par la

densité surfacique de forces :

Remarque : si (S) est petite, est négligeable. C’est le cas du contact ponctuel.

Chapitre IV : Lois de Coulomb

II. Lois de Coulomb

Soient deux solides (S1) et (S2) en contact suivant une surface (S).

Soit (p) le plan tangent commun à (S1) et (S2).

I

(S2)

(S1)

p(S)dsP

(S2)

p

Avec :

: Projection de

Sur la normale à (p)

: Projection de

Sur le plan (p)


Définitions

■ est appelée densité surfacique

normale ou pression au point P des forces de

contact de (S1) sur (S2).

■ est appelée densité surfacique de contact tangentielle au point P des

forces de contact de (S1) sur (S2).

Enoncé des lois de Coulomb

Soit la vitesse de glissement au point p de (S2) sur (S1).

■ Premier cas :

- Lorsqu’il y a glissement est opposée à

- et sont proportionnels :

p

Où f est le coefficient de frottement en p de (S2) sur (S1)


Soit :

■ Deuxième cas : (R.S.G de S1 sur S2 en p)

La densité surfacique de force est à l’intérieur du cône de frottement :

Remarque :

f tg=

se trouve sur un cône de sommet p

d’axe perpendiculaire à (p) et de demi-angle au

sommet .

Le cône est appelé angle de frottement.


III. Liaison sans frottement

Pour toutes le liaison théoriques de références entre deux solides (S1) et (S2)

nous supposons qu’il n’y a pas de frottement. On va déterminer les

caractéristiques du torseur d’action mécanique de contact de (S1) sur (S2).

- Le torseur d’action mécanique de contact s’écrit dans :

- Le torseur cinématique de mouvement de (S2)/(S1) autorisé par la liaison

- Pour chaque liaison élémentaire on donne :

z{ }O

=X LY MZ N

ì

íï

îï

ü

ýï

þïO

Le torseur transmissible associé

v{ }O

=a ub v

g w

ì

íï

îï

ü

ýï

þïO

Le torseur cinématique associé


Exemple

A

B

q

O

G


Exemple

A

B

q

O

G

P0

P


Exemple

A

B

q

O

G

I


Exemple

A

B

O

G

I

Chapitre V. Cinétique du solide

I. Définitions

I.1 La masse : A tout système matériel E, on associe un nombre positif m(E)

appelé masse de E qui satisfait les axiomes suivants :

- la masse m(E) reste constante au cours de toute évolution de E

- la masse d’un système matériel est la somme des masses des différents

sous-systèmes qui le composent :

I.2 Centre d’inertie

Le centre d’inertie G d’un système E est par définition :

1 2

1

si ( ) ( )n

n i

i

E E E E m E m E=

= =

Dans le repère les coordonnées de G sont :

Propriétés du centre d’inertie :

- Si E admet un plan de symétrie alors G appartient à ce plan,

- Si E admet un axe de symétrie alors G appartient à cet axe,

- Si E admet un centre de symétrie alors G est ce point.

I.3 Moments d’inertie

a) Définition : Le moment d’inertie d’un solide S par rapport à un plan P, à une

droite ou un point O est l’intégrale :

Chapitre V Cinétique du solide

xG

=1

mx.dm

E

ò ; yG =1

my.dm

E

ò ; zG =1

mz.dm

E

ò

H

M

P(S)

H

M

()

(S)H

M

(S)

b) Calcul du moment d’inertie par rapport à un axe :


M

H

(S)

()

O

I (S/ D) =a2A+ b 2B+g 2C- 2bgD- 2agE- 2abF

Propriétés :

- Le moment d’inertie par rapport à une droite est égal à la somme des moments

d’inertie par rapport à deux plans perpendiculaires passant par cette droite :

- Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un point est égal à la somme des

moments d’inertie par rapport à 3 plan perpendiculaires passant par ce point :

c) Théorèmes de Huygens :


I (S / O) = I (S / yoz)+ I (S / xoz) + I (S / xoy)

H

G

r

()xM y

z

aA b

c

(S)

- Soit G le centre de gravité de S,

- Soit () une droite parallèle à

qui perce le plan xGy en A.

2 2 2 2( / ) ( ) ( )S S

I S x y dm a b dm = + + +

1er Théorème : Le moment d’inertie d’un solide par rapport à une droite () est égal

au moment d’inertie du solide par rapport à la droite parallèle

augmenté du moment d’inertie qu’aurait toute la masse m si elle était

concentrée en G.

2eme Théorème : Produit d’inertie par rapport aux deux axes et


IXY

= Ixy

+ mabx

M yz

Gab

O

II. Opérateur d’inertie – Matrice d’inertie

II.1 Définitions :

Soit l’opérateur tel que :

avec :

Soit l’opérateur :

On vérifie que K est une application linéaire représentée par une matrice qu’on

appelle matrice d’inertie.

II.2 Matrice d’inertie :

La matrice d’inertie du solide (S) au point O relativement à la base est définie

de la façon suivante :


On a :

II.3 Axes principaux d’inertie :

Il existe une base, appelée base principale d’inertie, dans laquelle la matrice est

diagonale :


I0

(S) =A -F -E

-F B -D-E -D C

0 ( )SI

A1 , B1 , C1 sont les moments principaux

d’inertie (valeurs propres).

sont les vecteurs propres, sont

Parallèles aux axes principaux d’inertie.

Définitions :

1) Tout trièdre dont les axes sont respectivement parallèles aux 3 vecteurs

propres est appelé trièdre principal d’inertie en O.

2) Les produits d’inertie son nuls (D=E=F=0) par rapport aux axes principaux

d’inertie.

3) Tout trièdre principal dont l’origine est G le centre d’inertie du solide est

appelé trièdre central d’inertie.

Théorèmes :

1) Si S admet un plan de symétrie, alors tout axe perpendiculaire à ce plan

est principal d’inertie pour le point ou il perce le plan.

2) Tout axe de symétrie de S est axe principal d’inertie et même central

d’inertie.

3) Si S admet un centre de symétrie, alors tout axe passant par ce centre est

principal d’inertie.


II.4 Matrice d’inertie dans une autre base.

Soit M la matrice de changement de base :

Il résulte de l’algèbre linéaire :


I0

(S)/ R

1

= M -1.IO

(S)/ R

.M

III. Torseurs associés aux vitesses et aux accélérations

III.1 Définitions pour le point matériel :

Soit le point M de masse m mobile dans R, on définie :

- La quantité de mouvement de M dans son mouvement / R :

- Le moment cinétique en A de M dans son mvt / R :

- La quantité d’accélération de M dans son mvt / R :

- Le moment dynamique en A de M dans son mvt / R :

III.2 Torseur cinétique pour le solide S :

a) Définition : Pour le solide S en mouvement dans le repère R. on définit le torseur

cinétique tel que :

On note :


est la résultante cinétique

est le moment cinétique au point A

b) Calcul de la résultante cinétique :

où M est la masse de S et G son centre d’inertie

b) Calcul du moment cinétique en un point A :

Cas particulier : soit

Remarque :


Cas général : Théorème de Koenig

A l’instant t, il n’existe pas de point de S ayant la vitesse nulle.

Soit le repère tel que :

- le mouvement de RG/R est une translation :

- le mouvement de S/RG est le mouvement autour de G .

On montre que :


OR

GR

(S)

G

Théorème de Koenig

Le moment cinétique en un pt A d’un solide S en mouvement par rapport à un repère

R est la somme du moment cinétique en G dans le mouvement de S autour de G et

du moment cinétique en A du point G affecté de la masse totale du solide.

Remarque : En utilisant la relation de transport de moment d’un torseur on a :


III.2 Torseur dynamique pour le solide S :

a) Définition : Pour le point associé à la masse dm, la quantité d’accélération

est :

Pour l’ensemble des points qui constituent S on définit :

On note :

a) Calcul de la résultante dynamique :

Soit M la masse de S, on a :


M Î S

est la résultante dynamique

est le moment dynamique au point A

a) Calcul du moment dynamique :

Cas particuliers :

- Le point A est fixe dans R :

- Le point A est confondu avec G :


III.3 Énergie cinétique :

a) Définition : L’énergie cinétique de l’ensemble matériel (E) dans son mouvement

par rapport à R est la quantité scalaire toujours positive T(E/R) définie par :

Remarque : Si E est constitué de n sous-systèmes :

Alors :

b) Expression de l’énergie cinétique :

- Solide présentant un point fixe :


1 2... nE E E E=

1( / ) ( / ) ... ( / )nT E R T E R T E R= + +

c) Cas général. Théorème de Koenig :

A l’instant t, il n’existe pas de point de S ayant la vitesse nulle.

Soit le repère tel que :

- le mouvement de RG/R est une translation :

- le mouvement de S/RG est le mouvement autour de G .

D’après la décomposition des mouvements on a :

Expression de l’énergie cinétique :

Théorème :

L’énergie cinétique d’un solide S de centre de gravité G est la somme de l’énergie

cinétique de S dans son mouvement autour de G et de l’énergie cinétique du point G

affecté de la masse totale de S :


V M /R =V M /RG

+V (M ÎRG

/R) et V (M ÎRG

/R) =VG/R

TS/R

= TS/R

G

+1

2MVG/R

2

TS/R

= TS/R

G

+1

2MVG/R

2

d) Autre expression de l’énergie cinétique :

Dans le mouvement de S/RG, G est un point fixe on a :

Comme on a :


TS/R

G

=1

2W(S/R

G). I

G(S).W(S/R

G)

éë

ùû

W(S/RG

) = W(S/R)

TS/R

=1

2W(S/R). I

G(S).W(S/R)

éë

ùû+

1

2MVG/R

2

Chap VI : Principe fondamental de la dynamique. Théorèmes généraux

I. Définitions, rappels.

I.1 Ensemble matériel

Un ensemble matériel est constitué de un ou plusieurs solides indéformables

pouvant présenter des liaisons entre eux.

Soit un ensemble matériel E constitué de n solides.

I.2 Torseur cinétique

Les éléments de réduction du torseur cinétique sont :

Avec :

On montre que :/ /

1i

n

E R S R

i=

= C C

I.3 Torseur dynamique

De même on montre que :

I.4 Énoncé du PFD

Il existe au moins un repère Rg, appelé repère galiléen, et au moins une

chronologie appelée chronologie galiléenne, tels que pour tout

ensemble matériel (E), le torseur dynamique de (E) dans son

mouvement par rapport à Rg soit égal au torseur des actions

mécaniques extérieurs.

Chapitre VI Théorèmes généraux

DE/R

= DS

i/R

i=1

n

å

I.5 Théorèmes généraux

Théorème de la résultante dynamique

La résultante générale du torseur des actions extérieures appliqués à tout ensemble

(E) est égale à la résultante dynamique de (E) dans son mouvement par rapport à (Rg)

:

Théorème du moment dynamique

Le moment dynamique du torseur des actions extérieures appliquées à tout

ensemble matériel (E) est égale au moment dynamique de (E) dans son mouvement

par rapport à (Rg).


Equations du mouvement

La projection sur un axe du repère d’une équation traduisant l’un des théorèmes

généraux donne une équation scalaire différentielle de second ordre et non linaire en

générale. Dans cette équation on trouve :

❑ Les paramètres de position de (E) dans (Rg),

❑ Les dérivées premières et secondes par rapport au temps des paramètres de

position

❑ La variable temps

❑ Des donnés du problème (géométrie, inertie, ..)

❑ Des composantes inconnues des actions mécaniques.

❑ L’ensemble des équations du mouvement et la donnée des conditions initiales

constitue le système d’équations différentielles du mouvement de E dans (Rg).


I.5 Théorème des actions mutuelles

Soit une partition de (E) :

- PDF appliqué à : avec

De même :

- PDF appliqué à

(a) + (b) + (c) :


E = E1È E

2 E

1Ç E

2= Æ

D(E1/ R

g) =z (E

1® E

1) E

1E1 = EÈ E

2

D(E1/ R

g) =z (E® E

1)+z (E

2® E

1) (a)

D(E2

/ Rg) =z (E® E

2)+z (E

1® E

2) (b)

E = E1È E

2D(E / R

g) =z (E® E)

D(E1/ R

g)+ D(E

2/ R

g) =z (E® E

1)+z (E® E

2) (c)

z (E® E1)+z (E

2® E

1)+z (E® E

2)+z (E

1® E

2) =z (E® E

1)+z (E® E

2)

z (E2® E

1) = -z (E

1® E

2)

L’action mécanique du sous ensemble (E2) sur le sous ensemble (E1) est opposée à

L’action mécanique de (E1) sur (E2)

I.6 Notion de transmetteurs d’efforts

Soit un système de 3 solides

- PDF appliqué à :

:

:

- Soit le solide de masse négligeable et soumis uniquement aux efforts de et


S1 S

2 et S

3

D(S1

/ Rg) =z (S

2®S

1)+z (S

3®S

1)+z (S®S

1) (a)S1

Le solide (S1) sur (S2) les mêmes actions que (S3) exerce sur lui. On dit que (S1) est

Un transmetteur d’effort : ce que S1 reçoit de S3 est intégralement transmis à S2.

Les ressorts, les fils, les tiges de masse négligeables sont des transmetteurs d’effort.

D(S2

/ Rg) =z (S

1®S

2)+z (S

3®S

2)+z (S®S

2) (b)

D(S3

/ Rg) =z (S

1®S

3)+z (S

2®S

3)+z (S®S

3) (c)

S2

S3

S1

S2

S3

D(S1

/ Rg) = 0 et z (S®S

1) = 0 0 =z (S

2®S

1)+z (S

3®S

1)

z (S1®S

2) =z (S

3®S

1)

Chap VII : Puissance - Travail

I. Définition de la puissance.

I.1 Puissance développée par une action mécanique extérieure à un

ensemble matériel.

- (E) et (S) deux système matériels mobiles

Par rapport à .

- (E) Exerce sur (S) une action mécanique

Représentée par la densité de force

Définition :

La puissance développée à la date t, par l’action

mécanique de (E) sur (S) dans le mouvement de

(S) par apport à est :

OR

0

(S)

M

(E)

R0

R0

Remarques :

- Lors que l’action mécanique de (E) sur (S) est représentée par la force

la puissance développée est :

I.2 Puissance développée par une action mécanique extérieure à un

solide.

Le torseur des vitesses de (S) est :

La puissance développée par l’action mécanique de (E) sur (S), dans le mouvement

de (S) par apport à , est égale au produit du torseur d’actions mécaniques de (E)

sur (S) par le torseur cinématique du mouvement de S par apport à .

Chapitre VII Puissance - Travail

P(E®S/ R0) = z (E®S){ }. VS/R

0{ }

R0

R0

Remarques :

- La notion de puissance n’a de sens que dans un repère.

I.3 Puissance développée par les actions mutuelles entre deux ensembles

matériels.

Définition : La puissance développée à la date t, par les actions mutuelles entre (E) et

(S), dans leurs mouvements par rapport à est :

Propriété : La puissance développée par les actions mutuelles entre (E) et (S) est

independente du repère R.


P(E«S) = P(E®S/ R)+ P(S®E / R)

R

I.4 Puissance des actions de contact entre deux solides.

Soient (S1) et (S2) deux solides en contact ponctuel avec frottement en un point I.

: Coefficient de frottement

: est le plan tangent en I à (S1) et (S2)

Le torseur des actions mécaniques de (S1) sur

(S2) au point I :

Avec :

Le torseur cinématique de mouvement de (S2)/(S1) :

Puissance développée par les actions mutuelles entre (S1) et (S2) :


P(S1«S

2) = P(S

1®S

2/ R

0)+ P(S

2®S

1/ R

0)

f = tgj

p

I

S1

pI

S2

La puissance est indépendante du repère :

Remarques :

• La puissance dépend du mouvement relatif des deux solides.

•

(car est opposé )

• Conditions pour que

a) roulement sans glissement de (S1) sur (S2) : ;

b) alors

P(S1«S

2) = P(S

1®S

2/ R

0)+ P(S

2®S

1/ R

0)

Si R0

º S1Þ P(S

1«S

2) = P(S

1®S

2/ S

1)


R0

P(S1«S

2) = 0

f ¹ 0

f = 0

I.5 Liaison parfaite entre deux solides.

Définition :

Deux solides (S1) et (S2) ont une liaison parfaite si, quel que soit le mouvement de

(S2) par rapport à (S1) autorisé par la liaison. La puissance développée par les actions

mutuelles entre (S1) et (S2) est nulle.

Conséquences :


P(S1«S

2) = 0

P(S1«S

2) = P(S

1®S

2/ R

0)+ P(S

2®S

1/ R

0)

Si R0

º S1Þ P(S

1«S

2) = P(S

1®S

2/ S

1)

z(S

1«S

2){ }. u(S

2/S

1){ } = 0

II Définition du travail

Définition :

Le travail entre les dates t1 et t2 de l’action mécanique de l’ensemble matériel (S) sur

l’ensemble matériel (E) dans le mouvement de (E) par apport à R0 est :

Unités :

L’unité du travail est le Joule

L’unité de la puissance est le Watt

III Champs de force – fonction de force

III.1 Définition : Soit une force , il y a champ de force si est fonction des

coordonnées de son point d’application.

• Si : sont constantes, le champ est uniforme


2

2

1

1

0 0( / ) ( / )

t

t

t

t

W E R P E R dtS → = S →

X ,Y et Z

III.2 Fonction de force :

La force dérive d’une fonction de force U (fonction scalaire) lorsqu’on peut écrire :

Condition d’existence de U :

étant donnée, il existe U telle que lorsque :

Remarques :

• La quantité V=-U est appelée le potentiel (Energie potentielle)

• Lorsque U=Cte on se trouve sur une surface équipotentielle.


¶X

¶y=

¶Y

¶x

¶X

¶z=

¶Z

¶x¶Y

¶z=

¶Z

¶y

IV Puissance d’une force dérivant d’une fonction de force:

Soit M soumis à une force et animé d’une vitesse

La puissance développée par :

Avec :

Si :

Cas particulier :

• Si U est indépendante du temps :

• Méthode de calcul d’une fonction de force indépendante du temps:

Exemple : Fonction de force pour une masse

La force dérive d’une fonction de force U (fonction scalaire) lorsqu’on peut écrire :


P =dU

dt-

¶U

¶t

¶U

¶t= 0 Þ P =

dU

dt

U = Pdtò +U0

Exemple :

- Fonction de force pour une masse

Soit M de masse m.

Calcul de la fonction de force :

• Si la verticale est ascendante :

• Si la verticale est descendante :


U = Pdtò +U0U = -mgz+U

0

U = +mgz+U0

0x

0y

0z

0O

Mxyz

0R

Exemple :

- Fonction de force pour un ressort

Soit un ressort de longueur libre et de raideur k reliant les solides S1 et S2.

La puissance développée par le ressort :

Avec :

- Fonction de force pour un couple constant

La puissance développée par un couple de moment :


U = -k

2L- L

0( )2

+U0

L0

0x

0y

0z

0O

A

0R

B

L

U = Cq +U0

V. Théorème de l’énergie cinétique

Le théorème de l’énergie cinétique est une des traductions énergétique du PFD

V.1 Pour le point matériel

Soit M en mouvement / (galiléen)

la résultante des efforts sur M

PFD :

Théorème : la dérivée de l’énergie cinétique du point M est égale à la puissance

des forces appliquée sur ce point.

Si on intègre entre les instants t1 et t2 :

Théorème : la variation de l’énergie cinétique du point M entre les instants t1 et t2 est

égale au travail des forces appliquées au point M entre les instants t1 et t2 .


R0

P(F) =d

dtT

M /R0

éë

ùû

0x

0y

0z

0O

M (m)

0R

P(F)t1

t2

ò dt = d TM /R0

éë

ùû

t1

t2

ò Þ T2 -T1 =W12

V.1 Pour un solide

L’énergie cinétique de S / :

D ’après le PFD :

Théorème : La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique galiléenne d’un

solide (S) est égale à la puissances des efforts extérieurs agissant sur S dans son

mouvement par rapport à un repère galiléen.


R0

0x

0y

0z

0O

M

0R

A

(S)

dT

dt

é

ëê

ù

ûú

R0

= uS/R

0{ }

AD

S/R0

{ }A

dT

dt

é

ëê

ù

ûú

R0

= P(S® S / R0)

cours de mécanique du solide - faculté des sciences d'el ......ensemble des points centraux : axe...

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