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Cours de mathématiques de 2nde (2018 − 2019)

Kevin Tanguy

2 juillet 2019

Table des matières

1 Probabilités sur un ensemble fini 71.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Evènements et notation ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Union, intersection et complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Loi de probabilité sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Quelques formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Probabilité d’une union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.2 Probabilité du complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Bilan du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Equations algébriques 152.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Expressions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Forme factorisée et developpée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Développement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.3 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Résolution d’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.1 Résolution algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17


3 Coordonnées d’un point du plan 213.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Coordonnées dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Coordonnées du milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Calcul de distance dans un repère orthornormée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4.1 Rappels sur la fonction racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4.2 Distance entre deux points du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.5 Propriétés géométriques : rappels du collège . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.6 Bilan du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.7 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.8 Curiosité en grande dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.8.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.8.2 Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3

4 TABLE DES MATIÈRES

4 Algorithmique, première partie 294.1 Affectation de variable et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Généralités sur les fonctions 335.1 Nombres réels et intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1.1 Les réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1.2 les entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1.3 Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 Notion de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.3 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.3.1 Méthode graphique pour résoudre une équation . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.4 Etude qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.4.1 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.4.2 Tableau de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4.3 Extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.5 Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.5.1 Fonctions linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.5.2 Fonctions affines et sens de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


6 Vecteurs 436.1 Translation et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.1 Translation et vecteur associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.2 Egalité de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.2 Somme de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.3 Coordonnées d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.3.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.3.2 Coordonnées d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.3.3 Produit d’un vecteur par un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7 Résolution d’inéquation et tableau de signe 477.1 Outils pour la résolution algébrique d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.1.1 Règles pour résoudre une inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.2 Tableau de signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.2.1 Signe d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.2.2 Signe d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.3 Etude graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.3.1 Résolution graphique d’inéquations de la forme f(x) > k . . . . . . . . . . . . 50

7.3.2 Position relative de deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8 Vecteurs et colinéarité 518.1 Colinéarité entre deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8.2 Applications de la colinéarité en géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

TABLE DES MATIÈRES 5

9 Equations de droite 539.1 Equations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9.1.1 Coefficient directeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

10 Algorithmie partie 2 5510.1 Boucle for et while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2 if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

11 Fonction polynôme du second degré 5711.1 Fonction carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5711.2 Polynômes de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5711.3 Représentation graphique d’un polynôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . 58

12 Statistiques descriptives et analyse de données 6112.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6112.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6112.3 Effectifs et fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.4 Représentation d’une série statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

12.4.1 Diagrammes circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312.4.2 Histogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312.4.3 Nuages de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

12.5 Moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6412.6 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

13 Fonction inverse 6913.1 Fonctions homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

14 Position relative de droite 7314.0.1 Droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7314.0.2 Droites sécantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

14.1 Equation cartésienne d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7414.2 Vecteur directeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

15 Racine carrée et fonction cube 7915.1 Racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

15.1.1 Point de vue algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7915.1.2 Point de vue analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

15.2 Fonction cube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

16 Evolution 8316.1 Variation absolue et taux d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8316.2 Coefficient multiplicateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8316.3 Evolutions successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8416.4 Evolution réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Probabilités sur un ensemble fini

1.1 Introduction

Contrairement à d’autres branches des mathématiques, la géométrie euclidienne ou l’algèbrepar exemple, les probabilités sont nées beaucoup plus tardivement. Quelques considérationsélémentaires furent abordées par Jérôme Cardan au début du XVI-ième siècle et par Galilée audébut du XVII-ième siècle mais le véritable début de cette théorie date de la correspondance entrePierre de Fermat et Blaise Pascal, en 1654.

Il fallut attendre la deuxième moitié du XVII-ième siècle, à la suite des travaux de Blaise Pascalet Pierre de Fermat, pour que le terme « probabilité » prenne peu à peu son sens actuel, grâce auxétudes menées par Jakob Bernoulli.

A la fin du XVIII-ième siècle, cette nouvelle théorie fera son apparition dans l’encyclopédie deDiderot. Cependant, il fallut patienter jusqu’au début du XX-ième siècle pour que la théorie desprobabilités un nouvel essor. Celui-ci est du à la mise en place, en 1933, par le mathématicienrusse Kolmogorov, d’une axiomatisation mathématique (que nous utilisons toujours actuellement)permettant de traiter la théorie des probabilités avec une véritable rigueur. Il fut d’ailleurs à l’originede travaux révolutionnaires dans cette branche et résolu un grand nombre de problèmes qui avaitdérouté de nombreux mathématiciens de l’époque.

1.2 Evènements et notation ensembliste

Avant d’aborder des calculs de probabilités, il est nécessaire de définir ce que nous entendonspar « expérience aléatoire », par « évènement », puis de rappeler quelque propriétés de la théoriedes ensembles.

1.2.1 Vocabulaire

Définition 1.2.1. • Une expérience aléatoire est une expérience dont les résultats possiblessont connu sans pour autant que nous puissions prédire lequel d’entre eux va se réaliser.

7

8 CHAPITRE 1. PROBABILITÉS SUR UN ENSEMBLE FINI

• Les éventuels résultats d’une expérience aléatoire sont appelés issues.

• L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers et sera désigné par Ω.

Il est possible de proposer de nombreuses expérience aléatoire apparaissant dans la vie commune,voici quelques exemples.

Exemple 1.2.1. 1. Lancer un dé (à six faces) et observer son résultat est une expériencealéatoire. « six » est une issue de cette expérience et Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 l’univers associé.

2. Tirer une carte (dans un paquet de 32 cartes). « As de pique » est une issue possible etΩ = as de pique, roi de pique, dame de pique,. . . l’univers associé.

Remarque. Bien entendu, il existe de nombreuses expériences aléatoires beaucoup plus complexesdont la description dépasse largement le cadre de ce cours. A titre d’exemple, voici un phénomènequ’il est possible de visualiser chez soi : imaginons que nous observions un grain de poivre dans unecasserole d’eau bouillante. Les molécules d’eau, agitées, vont venir frapper et déplacer le grain depoivre. La trajectoire du grain de poivre devient alors erratique, imprévisible et correspond à unobjet probabiliste très célèbre : le mouvement Brownien. Celui-ci a été découvert par le botanisteBrown (en 1827) et fut étudié par Einstein (en 1905), cet objet est notamment utilisé, entre autre,en finance pour décrire l’évolution de la bourse. Il est également possible de visualiser ceci en ligne,sur le site

http : //labs.minutelabs.io/Brownian − Motion/.

La plupart du temps nous allons étudier des sous-ensembles de l’univers, il s’agit de la notiond’évènement.

Définition 1.2.2. Un évènement A est un sous-ensemble de l’univers Ω.

Remarque. • Souvent, un évènement quelconque A peut s’exprimer à l’aide d’évènementsplus élémentaires (la plupart correspondant aux différentes issues composant l’univers d’uneexpérience aléatoire).

• Certains évènements portent un nom particuliers. L’ensemble vide, noté ∅, correspondà un évènement impossible (ne pouvant se réaliser). Au contraire, l’évènement Ω, estévènement certain et se réalise tout le temps.

Exemple 1.2.2. Lors de l’étude du lancer de dés (à six faces), il est possible de considérerl’évènement : A = obtenir un nombre pair. Il est évident que l’ensemble A se décrit de manièreéquivalente comme A = 2; 4; 6.

Quelques mots sur la terminologie : si jamais nous avions obtenu le nombre 4 après avoir lancerle dés, nous dirions que « l’issue 4 réalise l’évènement A » ; au contraire, l’issue 1 (par exemple)ne réalise pas l’évènement A.

1.3. LOI DE PROBABILITÉ SUR UN ENSEMBLE FINI 9

1.2.2 Union, intersection et complémentaire

Comme nous allons le voir, à partir d’évènements il est possible d’en construire de nouveau àl’aide d’opérations ensemblistes. Dans ce qui suit A et B désignerons deux évènements d’un universΩ.

Définition 1.2.3. 1. L’intersection de A et B, notée A ∩ B correspond à l’ensembles desissues appartenant à A et à B. Si jamais cet ensemble est vide, A ∩ B = ∅, nous dirons queles évènements A et B sont incompatibles (les deux évènements ne peuvent se réaliser enmême temps) ou disjoints.

2. L’union de A et de B, noté A ∪ B, correspond à l’ensemble des issues appartenant à aumoins l’un des deux évènements A ou B. Autrement dit, une issue appartient à A ∪ B sielle appartient à l’évènement A ou à l’évènement B ou les deux.

3. L’évènement complémentaire (aussi appelé évènement contraire) d’un évènement A cor-respond à l’ensemble des issues n’appartenant à pas à A. Nous désignerons cet évènement parAc ou A.

Voici des diagrammes, inventés par le mathématicien Venn (1834−1923), permettant d’illustrergraphiquement les définitions ci dessus.

Exemple 1.2.3. 1. Reprenons l’exemple du jeu de cartes avec les évènements A =obtenir une figure et l’évènement B = obtenir un pique. L’évènement A ∩ B corresponddonc à A ∪ B = obtenir un pique ou obtenir une figure ou obtenir une figure de pique.L’évènement A ∩ B = obtenir une figure de pique et Bc = ne pas obtenir un pique.

2. Si nous considérons un lancer de dés (à six faces) avec les évènements A =obtenir un nombre pair et B = obtenir un nombre impair, ces deux évènements sont in-compatibles : A ∩ B = ∅.

1.3 Loi de probabilité sur un ensemble fini

Voyons à présent de quelle manière il est possible de faire des probabilités à partir d’une expé-rience aléatoire. Débutons par un exemple.


Exemple 1.3.1. Considérons un jeu de pile ou face. L’univers associé est Ω = P, F. Si noussouhaitons décrire l’aléa associé, il est donc nécessaire de préciser avec quelle probabilité les issues Pet F sont obtenues. Cela revient à attribuer des nombres p1 et 2, compris entre 0 et 1, correspondantà ces probabilités. Ainsi, si la pièce est équilibrée nous aurions

P(F ) =1

2= p1 et P(P ) =

1

2= p2.

Si jamais la pièce n’était pas équilibrée, nous pourrions obtenir plus souvent P que F , par exemple

P(F ) =1

3= p1 et P(P ) =

2

3= p2.

Dans les deux cas présentés ci-dessus, les nombres p1 et p2 (décrivant l’aléa) correspondentà une loi de probabilité sur l’ensemble P, F. Pour traiter le cas général, il est nécessaire deconsidérer un univers comportant plus de deux issues possibles.

Dans cette section nous considérons donc un univers fini Ω = ω1, . . . , ωd composé de d ∈ N

issues distinctes ω1, . . . , ωd. Il est à noter que le nombre d sera toujours déterminer par les donnéesde l’énoncé d’un exercice. Lors du pile ou face, nous avions

d = 2 , ω1 = P et ω2 = F.

Si nous avions procédé à un lancer de dé (à 6 faces) nous aurions eu

d = 6, ω1 = « obtenir 1 », ω2 = « obtenir 2 », . . . ω6 = « obtenir 6 ».

Dans le cas général, nous devons donc préciser la probabilité pi d’obtenir l’issue ωi pour i =1, . . . , d.

Définition 1.3.1. 1. Définir une loi de probabilité sur cet univers Ω correspond à associerà chaque issues ωi, i = 1, . . . , d un nombre réel pi ∈ [0, 1] tel que

p1 + . . . + pd = 1

Le nombre pi, i = 1, . . . , d correspond à la probabilité que l’évènement ωi se réalise.Autrement dit P

(

ωi)

= pi pour tout i = 1, . . . , d. L’ensemble des nombres (pi)i=1,...,d,décrivant le comportement de l’aléa, est une loi de probabilité sur l’ensemble Ω.

2. Si A ⊂ Ω est un évènement P(A) correspond à la somme des probabilités des évènementsélémentaires composant A.

Remarque. Il est important de noter que, pour tout évènement A ⊂ Ω, nous avons

0 ≤ P(A) ≤ 1

De plus, l’évènement certain Ω se réalise avec une probabilité 1 : P(Ω) = 1. Tandis que l’évènementimpossible de réalise avec une probabilité nulle : P(∅) = 0.

1.3. LOI DE PROBABILITÉ SUR UN ENSEMBLE FINI 11

Exemple 1.3.2. Supposons que nous ayons à disposition un sac contenant six boules (indiscer-nables au touché) dont une rouge, deux vertes et trois bleues. Si nous mettons en place l’expériencealéatoire suivante : « tirer une boule du sac, au hasard » il est possible d’associer une loi deprobabilité à l’univers Ω = rouge, vert, bleue.

Pour alléger les notations, nous désignerons ces évènements élémentaires par R, V, B. Voici laloi de probabilité que nous obtiendrons :

Issue ωi R V B

probabilité pi16

13

12

Ainsi, si nous voulions calculer la probabilité de l’évènement A = ne pas obtenir une rougenous aurions : A = B, V donc P(A) = P(B) + P(V ) = 1

3 + 12 = 5

6 .

Fréquence et probabilité

Souvent, nous pouvons avoir accès à la fréquence d’un évènement. Cette fréquence est reliée à laprobabilité de cet évènement par le Théorème de la loi forte des grands nombres (du à Kolmogoroven 1929) dont nous donnons un énoncé simplifié ci-dessous.

Théorème 1 (Loi forte des grands nombres). • Lorsque nous répétons, dans les mêmesconditions, n fois une expérience aléatoire. La fréquence d’un évènement se rapproche de laprobabilité de cet évènement lorsque n devient de plus en plus grand.

• Ainsi, l’ensemble des fréquence d’évènements complémentaires se rapproche de la loi de pro-babilité (de l’expérience aléatoire) lorsque n devient de plus en plus grand.

Remarque. Typiquement, cela signifie qu’après avoir effectuer un certain nombre de lancer d’unepièce équilibrée, nous obtiendrons autant de pile que de face.

Equiprobabilité

Dans de nombreux exemples (lancer de dés, pile ou face, etc. . . ) les probabilités pi, i = 1, . . . , ddes évènements élémentaires sont toutes égales : il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.

Proposition 2. Considérons, dans une situation d’équiprobabilité, un univers Ω composé de d ∈ N

éventualités distinctes, nous avons alors les résultats suivants

1. La probabilité de chaque évènement élémentaire vaut p = 1d.

2. Si A est un évènement alors

P(A) =nombre d’issues réalisant A

nombre d’issues totales composant Ω

Démonstration. Démontrons la proposition précédente.

1. Puisque Ω est composé de d évènements élémentaires, nous avons Ω = ω1; . . . ; ωd avecpi = P

(

ωi)

, i = 1, . . . , d tels que


p1 + . . . + pd = 1

En outre, puisque nous sommes dans une situation d’équiprobabilité, nous avons p1 = . . . = pd.Donc

dpd = 1

d’où le résultat.

2. Si A est composé de k issues (évènements élémentaires), nous avons alors

P(A) =1

d+ . . . +

1

d=

k

d.

Exemple 1.3.3. Supposons que Sofiane ait un C.D. de dix morceaux proposant une compilationde

• trois morceaux de musique classique,• trois morceaux de jazz,• deux morceaux de death metal,• deux morceaux d’électro.

Il place le C.D. en mode « shuffle » dans sa chaine hi-fi : laquelle choisit donc, au hasard, l’un destitres de la compilation. Nous sommes en situation d’équiprobabilité (toutes les pistes ont la mêmechance d’être choisie) et obtenons les probabilités suivantes :

Issue ωi C J DM E

probabilité pi3

103

10210 = 1

515

où les lettres C, J, DM et E correspondent de manières évidentes aux différents styles de musiquecomposant le C.D. .

1.4 Quelques formules

Comme nous l’avons vu un peu plus tôt dans ce chapitre, il est possible de construire de nou-veaux évènements à partir d’autres (union, intersection, complémentaire). Nous allons présenter,ci dessous, deux formules générales permettant de calculer la probabilité de ces évènements. Anouveau, A et B désignerons deux évènements d’un univers Ω.

1.4.1 Probabilité d’une union

Proposition 3. Pout tous évènements A et B nous avons

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

1.4. QUELQUES FORMULES 13

Remarque. En particulier, si A et B sont incompatibles nous avons

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

puisque A ∩ B = ∅ et donc P(A ∩ B) = 0. Attention, ce genre de formule n’est pas valable

pour l’intersection !

Démonstration. 1. Supposons, dans un premier temps que A et B sont des évènementsincompatibles. Ainsi, l’évènement A ∪ B est uniquement composé de la somme des évène-ments complémentaires composant A et B (puisque A et B sont disjoints). Autrement dit,P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

2. Traitons le cas général en introduisant l’ensemble A1 composé des évènements élémentairesde A n’appartenant pas à B. Puisque A1 ∪ B = A ∪ B et que A1 ∩ B = ∅ (par construction)nous avons

P(A ∪ B) = P(A1 ∪ B) = P(A1) + P(B) (1.4.1)

d’après le point précédent. De plus, les évènements A1 et A ∩B sont également incompatibles(puisque A1 comprend tous les éléments de A n’appartenant pas à B). En outre, A1∪(A∩B) =A, ainsi d’après le point précédent

P(A) = P(

A1 ∪ (A ∩ B))

= P(A1) + P(A ∩ B) ⇐⇒ P(A1) = P(A) − P(A ∩ B).

Il suffit alors de substituer cette nouvelle expression de P(A1) dans l’équation (1.4.1) pourconclure.

1.4.2 Probabilité du complémentaire

Proposition 4. Soit A un évènement de l’univers Ω alors

P(Ac) = 1 − P(A)

Démonstration. Par définition, A et son complémentaire Ac (ou A) sont incompatibles et A∪Ac = Ω(puisque Ac contient tous les éléments de l’univers Ω n’appartenant pas à A). Ainsi, en utilisant laforme de l’union et le fait que Ω est un évènement certain, nous avons

P(A) + P(Ac) = P(Ω) = 1

d’où le résultat.

Traitons à présent un exemple permettant de manipuler les deux formules précédemment intro-duites.


Exemple 1.4.1. Considérons trois évènements A, B et C issus d’une expérience aléatoire. Noussupposons que A et B sont des évènements incompatibles et que

P(A) = 0, 4 P(B) = 0, 3 P(C) = 0, 45 et P(B ∩ C) = 0, 2

A partir de ces données, calculons P(Ac), P(B ∪ C) et P(B ∪ C).

• en utilisant la formule de l’évènement complémentaire, nous avons

P(Ac) = 1 − P(A) = 0, 6

1. Puisque A et B sont incompatibles, la formule de l’union nous fournit

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0, 7

2. A nouveau, grâce à la formule de l’union, nous obtenons

P(B ∪ C) = P(B) + P(C) − P(B ∩ C) = 0, 55

1.5 Bilan du chapitre

Voici les savoirs faire à acquérir dans ce chapitre :

• Déterminer un univers ainsi que les issues d’une expérience aléatoire. Etre capable dedéterminer une loi de probabilité associé à une expérience aléatoire.

• Savoir reconnaitre une situation d’équiprobabilité et d’en utiliser les propritétés.

• Maitriser les opérations élémentaires (union, intersection, complémentaire) entre différentsévènements et utiliser les formules permettant de calculer les probabilités associées.

• Modéliser, à l’aide d’un arbre ou d’un tableau à double entrée, une expérience aléatoire.

Chapitre 2

Equations algébriques

2.1 Introduction

2.2 Expressions algébriques

2.2.1 Forme factorisée et developpée

Lorsque nous aurons à traiter une expression algébrique, celle-ci pourra se trouver sous formefactorisée (produit ou quotient de facteurs) ou bien sous forme développée (somme de termes).Voyons plutôt sur deux exemples.

Exemple 2.2.1. 1. La fonction f(x) = x2 − 2x − 3 se trouve sous forme développée, sa formefactorisée est f(x) = (x + 1)(x − 3).

2. La fonction g(x) = 4 − 32x+3 , x 6= − 3

2 se trouve sous forme développée. Sa forme factorisée

est g(x) = 8x+92x+3 , x 6= − 3

3 .

Remarque. 1. La fonction g, sous forme factorisée, fait partie de la famille des fractionsrationnelles.

2. Suivant le problème à résoudre, il faudra être à même de déterminer la forme la mieux adaptée.

2.2.2 Développement

Pour passer d’une forme factorisée à une forme développée, il suffit de développer l’expressionet d’effectuer les éventuelles simplifications.

Exemple 2.2.2.

(2x + 1)(−x + 3)−2(5x + 7) = 2x × (−x) + 2x × 3 + 1 × (−x) + 1 × 3 + (−2) × 5x + (−2) × 7

= −2x2 + 6x − x + 3−10x − 14

= −2x2 − 5x − 11

15

16 CHAPITRE 2. EQUATIONS ALGÉBRIQUES

Au début des calculs précédents, nous avons donc distribué le terme 2x dans la deuxième parenthèse.Ceci nous a donné les termes 2x × (−x) + 2x × 3. Puis nous avons procédé de manière similaire endistribuant 1 dans la deuxième parenthèse et obtenu 1 × (−x) + 1 × 3. Enfin, nous avons effectuédes calculs semblables pour développer −2(5x + 7).

Pour gagner du temps lors de certains développements, il sera essentiel de connaître, sur le boutdes doigts, les identités remarquables suivantes.

Proposition 5. Soient a, b ∈ R, les identités suivantes sont satisfaites.

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 et (a + b)(a − b) = a2 − b2.

Remarque. Notons que, dans chacune des égalités précédentes, le membre de droite correspond àla partie développée tandis que le membre de gauche correspond à la partie factorisée.

Démonstration. Démontrons la première égalité. Pour cela, il suffit d’observer que (a + b)2 = (a +b)(a + b). Ensuite, il suffit de distribuer les termes de la premières parenthèses dans la deuxième.Nous obtenons donc a × a + a × b + b × a + b × b = a2 + 2ab + b2 puisque ab = ba. Il est aiséede reproduire cette démonstration lorsque nous souhaitons traiter (a − b)2 et le même procédé (dedistribution) permet d’obtenir la dernière identité remarquable.

A titre d’illustration, voici un exemple d’application de telles formules.

Exemple 2.2.3. 1. (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9, ici nous utilisons l’identité remarquable(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 avec a = 2x et b = 3.

2. (2x − 1)(2x + 1) = 4x2 − 1, ici nous utilisons l’identité remarquable (a + b)(a − b) = a2 − b2

avec a = 2x et b = 1.

2.2.3 Factorisation

En classe de seconde, plusieurs outils sont à notre disposition pour factoriser une expressionalgébrique. Observons ces différentes méthodes par le biais d’exemples. Par la suite, ces méthodesseront essentielles pour résoudre des équations algébriques.

Exemple 2.2.4. Chercher un facteur commun :

(−x + 2)(3x + 1) − 2(−x + 2)(x + 4) = (−x + 2)[

(2x + 1) − 2(x + 4)]

= (−x + 2)(3x + 1 − 2x − 8)

= (−x + 2)(x − 7).

Si les identités remarquables sont utilisées pour développer une expression, elles sont aussi utilespour obtenir une factorisation. Pour cela, il suffit de les lire « dans l’autre sens ».

2.3. RÉSOLUTION D’ÉQUATION 17

Exemple 2.2.5. En utilisant l’identité a2 −b2 = (a+b)(a−b), nous pouvons factoriser l’expressionsuivante :

9x2 − 16 = (3x)2 − 42 = (3x + 4)(3x − 4)

Enfin, pour obtenir une fraction rationnelle à partir d’une somme de quotient, il suffit de déter-miner un dénominateur commun.

Exemple 2.2.6.

2

−x + 3− 3

2x + 1=

2(2x + 1)

(−x + 3)(2x + 1)− 3(−x + 3)

(2x + 1)(−x + 3)

=4x + 2 + 3x − 9

(−x + 3)(2x + 1)

=7x − 7

(−x + 3)(2x + 1)=

7(x − 1)

(−x + 3)(2x + 1)

2.3 Résolution d’équation

Dans ce qui suit, nous allons résoudre des équations de la forme

f(x) = k (2.3.1)

où f est une fonction donnée et k un nombre réel connu.

Définition 2.3.1. Résoudre l’équation (2.3.1) dans un ensemble de nombre réels I ⊂ R revient àdéterminer tout les élements appartenant à I pour lesquels l’égalité (2.3.1) est vérifiée.

Exemple 2.3.1. 1. 2 n’est pas solution de l’équation x2 −4x+3 = 0 car 22 −4×2+3 = −1 6= 0.

2. 3 est une solution, dans R, de l’équation x2 − 4x + 3 = 0 puisque 32 − 4 × 3 + 3 = 0.

Remarque. Une équation peut avoir une unique solution, plusieurs solutions ou aucune solution.

2.3.1 Résolution algébrique

Nous allons voir qu’il est possible de résoudre une équation par le calcul. Il est fondamental decomprendre comment traiter une équation de degré un (ceci signifie que l’équation (2.3.1) n’impliqueque des constantes ainsi qu’une inconnue x sans que celle-ci soit élevée à une quelconque puissance).

Equation de dégré un

Pour résoudre une équation de degré un, il faut et il suffit d’isoler x dans un membrede l’égalité. Pour cela, il est possible d’utiliser les opérations élémentaires d’addition, de sous-traction, de division, de multiplication, sur chacun des membres de l’équation pour arriver à nos fins.


Exemple 2.3.2. Résolvons, dans R, l’équation 3x + 3 = 5x − 7.

3x + 3 = 5x − 7 ⇐⇒ 3x−5x + 3 = 5x−5x − 7 ⇐⇒ −2x + 3 = −7

Poursuivons nos calculs

−2x + 3−3 = −7−3 ⇐⇒ −2x = −10 ⇐⇒ −2x

−2=

−10

−2

Pour enfin conclure que x = −10−2 = 5, nous indiquerons ensuite que l’ensemble des solutions S

vaut S = 5 signifiant que l’unique solution à l’équation est le nombre réels x = 5.

Se ramener à une forme factorisée

Comme souvent en mathématiques, nous chercherons à transformer un problème compliqué enun autre, plus simple que nous savons résoudre. Concernant les équations algébriques, cela reviendraà factoriser notre expression algébrique pour obtenir un produit ou un quotient. Nous utiliseronsensuite, les propriétés suivantes qui ramènerons notre problème à la résolution d’une équation dedegré un.

Propriétés 1. 1. Produit nul : A × B = 0 est équivalent à A = 0 ou B = 0.

2. Quotient nul : AB

= 0 est équivalent à A = 0 et B 6= 0.

3. Enfin, AB

= CD

si et seulement si A × D = B × C avec B 6= 0 et D 6= 0.

Voici deux exemples illustrant les propriétés précédentes.

Exemple 2.3.3. Cherchons à résoudre l’équation : (2x + 1)(x + 3) = (2x + 1)(−2x + 2). Toutd’abord, plaçons tous les termes dans le même membre afin de chercher une factorisation.

(2x + 1)(x + 3) = (2x + 1)(−2x + 2)

⇐⇒ (2x + 1)(x + 3) − (2x + 1)(−2x + 2) = 0

⇐⇒ (2x + 1)(x + 3 + 2x − 2) = 0

⇐⇒ (2x + 1)(3x + 1) = 0

Nous nous sommes ramenés à une forme du type A × B = 0. Ainsi, d’après le point 1 desPropriétés 1 précédentes, nous avons donc

2x + 1 = 0 ou 3x + 1 = 0

En d’autres termes

(2x1 + 1)(x + 3) = (2x + 1)(−2x + 2) ⇐⇒ x = −1

2ou x = −1

3

et l’ensemble des solutions, dans R, s’écrit S =

− 12 ; − 1

3

.

Remarque. Mise en garde : il n’est pas correct de simplifier directement l’équation (2x+1)(x+3) =(2x + 1)(−2x + 2) par 2x + 1 (apparaissant dans les deux membres) puisque cette quantité peutêtre nulle ! Cela reviendrait à diviser une quantité par 0 ce qui est interdit !

2.4. BILAN DU CHAPITRE 19

Voyons un exemple supplémentaire concernant un quotient.

Exemple 2.3.4. Tâchons de résoudre l’équation 2x+1x−2 = 3 lorsque x ∈ R\2. Observons qu’il est

important d’exclure les réels annulant le dénominateur. Ici, cela signifie qu’il exclure les réels telsque x − 2 = 0, i.e. x = 2.

2x + 1

x − 2= 3 ⇐⇒ 2x + 1

x − 2=

3

1⇐⇒ (2x + 1) × 1 = 3 × (x − 2)

⇐⇒ 2x + 1 = 3x − 6

⇐⇒ x = 7

L’ensemble des solutions de l’équations, dans R\2 est donc S = 7.



• Développer des expressions polynomiales simples.

• Mettre un problème en équation.

• Résoudre une équation (en utilisant les règles de produit ou quotient nul).

• Factoriser une expression algébrique.

• Utiliser les identités remarquables.

Chapitre 3

Coordonnées d’un point du plan

3.1 Historique

3.2 Coordonnées dans le plan

Comme nous allons le voir, associer des coordonnées à un point du plan permet de traiter, plussimplement, de manière algébrique des problèmes géométriques. Pour définir des coordonnées, il estimportant d’introduire un repère.

Définition 3.2.1. Définir un repère du plan consiste à choisir 3 points, distincts, non-alignés dansun ordre précis : O, I, J . Le repère est alors noté (O, I, J). et :

• le point O est appelé origine du repère ;• la droite (OI) est l’axe des abscisses et le point I donne l’unité sur cet axe ;• la droite (OJ) est l’axe des ordonnées et le point J donne l’unité sur cet axe.

Remarque. 1. Bien que l’axe des abscisses soit souvent horizontales, ce n’est pas une obligation.

2. Lorsque le triangle OIJ est rectangle en O, le repère (O, J, I) est dit orthogonal et les axesdu repère sont perpendiculaires.

3. Lorsque le triangle OIJ est rectangle-isocèle en O, le repère (O, J, I) est dit orthonormée. Lesaxes du repère sont perpendiculaires et l’unité de mesure est la même sur chaque axe.

Voyons à présent de quelle manière attribuer des coordonnées à un point du plan une fois qu’unrepère ait été choisi.

Définition 3.2.2. Soit (O, I, J) un repère du plan et M un point quelconque.• En traçant la parallèle à (OJ) passant par M , nous obtenons l’abscisse xM du point M sur

l’axe (OI).

• En traçant la parallèle à (OI) passant par M , nous obtenons l’ordonnée yM du point M surl’axe (OJ).

21

22 CHAPITRE 3. COORDONNÉES D’UN POINT DU PLAN

• Le couple de réels (xM , yM ) est le couple de coordonnées du point M dans le repère (O; I; J).

Comme nous le verrons par la suite, l’introduction d’un repère dans une figure fournit un outilsupplémentaire pour faire de la géométrie. Nous reverrons, en exercice, de quelle manière procéderet comment les coordonnées cartésiennes permettent de revisiter certains résultats vu au collège.

3.3 Coordonnées du milieu d’un segment

A partir de deux points du plan A et B, voyons comment déterminer les coordonnées du milieudu segment [AB].

Proposition 6. Considérons le plan muni d’un repère (O; I; J) ainsi que des points A(xA; yA) etB(xB ; yB). Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnée

M(xA + xB

2;

yA + yB

2

)

Remarque. Les coordonnées du point M correspondent à la moyenne arithmétique des coordonnéesdes points A et B.

Voyons ceci sur un exemple.

Exemple 3.3.1. Dans un repère du plan, considérons les points suivants

A(1; −2), B(−3; 0) et C(−1; 2).

1. Le milieu K du segment [AB] a pour coordonnées

xK =xA + xB

2=

1 − 3

2= −1 et yK =

yA + yB

2=

−2 + 0

2= −1.

Autrement dit, K(−1; −1).

2. Le symétrique de B′ de B par rapport au point C, est tel que C est le milieu du segment[BB′]. Ses coordonnées vérifient donc :

xB′ + xB

2= xC et

yB′ + yB

2= yC .

D’où xB′ = 2xC − xB = −2 − (−3) = 1 et yB′ = 2yC − yB = 4. C’est à dire, B′(1; 4).

3.4 Calcul de distance dans un repère orthornormée

Dans un repère orthonormée il est possible d’utiliser les coordonnées pour calculer des dis-tances. Pour cela, nous devrons utiliser la fonction racine carrée dont nous rappelons ci-dessousquelques propriétés.

3.4. CALCUL DE DISTANCE DANS UN REPÈRE ORTHORNORMÉE 23

3.4.1 Rappels sur la fonction racine carrée

Nous noterons cette fonction x 7→ √x. Celle-ci est définie comme suit : étant donné un nombre

b ≥ 0, nous dirons qu’un nombre a ∈ R est la racine carré de b si a × a = a2 = b. De manière unpeu grossière, cette fonction permet de « défaire le carré d’un nombre ». D’un point de vue plusgéométrique, cela revient à déterminer le côté d’un carré lorsque nous connaissons l’aire de celui-ci.

Exemple 3.4.1. 1. Si b = 4, il est facile de constater que le choix de a = 2 convient. En effet,a × a = 2 × 2 = 4 donc

√4 = 2. Observons également que le choix de a = −2 est également

possible puisque (−2)×(−2) = 4. Ce curieux phénomène provient du fait suivant : déterminerla racine carrée de 4 revient à chercher les solutions de l’équation

x2 = 4

Bien entendu, cette équation s’écrit également sous la forme

x2 − 4 = 0 ⇐⇒ x2 − 22 = 0 ⇐⇒ (x + 2)(x − 2) = 0

où nous avons utilisé l’identité remarquable a2 − b2 = (a+ b)(a− b). Il convient alors d’utiliserla règle du produit nul pour trouver l’ensemble des solutions suivant : S = −2; 2 quivérifient l’équation x2 = 4. Il est important procéder ainsi pour ne pas oublier l’une des deuxsolutions. En pratique, lorsque nous ferrons de la géométrie et calculerons des distances, laracine négative sera régulièrement exclue car une telle valeur ne peut correspondre à unelongueur.

2. De manière similaire, nous pourrions calculer les racines carrées de b = 9 ou b = 36,. . .

3. Parfois, il ne sera pas possible de simplifier nos calculs pour obtenir un nombre entier. A titred’exemple, la raciné carrée (positive) de 2 s’écrira

√2 et nous ne pourrons pas l’exprimer

sous la forme d’une fraction de nombre entiers nd

avec (n, d), d 6= 0 n’ayant aucun diviseurcommun. En effet, si c’était le cas, nous aurions

√2 =

n

d

Ceci entraine, en élevant l’expression précédente au carré, que 2d2 = n2. Ceci implique doncque n2 est divisible par 2, en particulier n est aussi divisible par 2 (puisque, par contraposée,si n est impair alors n2 est également impair). En définitive, n = 2k avec k ∈ Z. Ainsi, aprèssubstitution, nous obtenons donc que

2d2 = 4k2 ⇐⇒ d2 = 2k2

Autrement dit, d2 est un multiple de 2 et le raisonnement précédent montre qu’en conséquenced est un nombre pair. En conclusion, nous avons donc montré que n et d sont des nombrespairs. Ceci est absurde car nous avons supposé qu’ils n’avaient aucun diviseurs commun. Ceciprouve donc que

√2 ne peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible. Le même type

de démonstration reste valable, à quelques modifications près, si nous remplaçons 2 par unnombre premier (i.e un nombre uniquement divisible par lui même et par 1).


Pour conclure ces brefs rappels, voici une propriété importante permettant de simplifier desracines carrées.

Propriétés 2. Soient a, b ≥ 0 alors√

ab =√

a√

b

Remarque. Attention, la propriété suivante n’est jamais vraie :√

a + b 6= √a +

√b. Pour s’en

convaincre, il suffit de choisir a = 16 et b = 9. Avec un tel choix, nous avons bien d’un part√a + b =

√25 = ±5 tandis que

√a +

√b = ±4 ± 3.

Voici un exemple d’application de ce qui précède.

Exemple 3.4.2. 1.√

12 =√

4 × 3 =√

4 ×√

3 = 2√

3.

2.√

18 =√

9 × 2 =√

9 ×√

2 = 3√

2.

Cette propriété est notamment utile pour résoudre des équations lorsqu’il n’y a pas de carréparfait. Par exemple, avec ce qui précède,

x2 − 12 = 0 ⇐⇒ (x + 2√

3)(x − 2√

3) = 0 ⇐⇒ x = ±2√

3

Nous reviendrons sur tout ceci plus en détails dans une leçon ultérieure.

3.4.2 Distance entre deux points du plan

Proposition 7. Considérons le plan muni d’un repère (O; I; J) ainsi que des points A(xA; yA) etB(xB ; yB). La distance entre les points A et B vaut

AB =√

(xA − xB)2 + (yA − yB)2,

l’unité de longueur étant l’unité commune aux deux axes.

Remarque. Sans grande surprise, la présence du carré dans la formule permet de constater queAB = BA.

Démonstration. Le fait que le repère soit orthonormé est essentiel et permet d’appliquer le Théo-rème de Pythagore. Sans perdre en généralité, nous pouvons supposer que xA < xB et yA > yB

(essentiellement, les autres cas de figures sont similaires). Soit E le point du plan ayant même abs-cisse que le point A et la même ordonnée que le point B. Les axes du repère étant orthogonaux, letriangle AEB est donc rectangle en E. Il est alors possible d’appliquer le Théorème de Pythagore,qui nous assure que

AB2 = AE2 + BE2.

or BE = xB − xA et AE = yA − yB. D’où, AB2 = (xB − xA)2 + (yB − yA)2. Une distance étantpositive, nous en déduisons que

AB =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2

3.5. PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES : RAPPELS DU COLLÈGE 25

3.5 Propriétés géométriques : rappels du collège

Dans cette section nous rappelons quelques propriétés élémentaires qui seront utiles pour ré-soudre certain exercice.

Proposition 8. Soient A, B et C trois points du plan. Ces points sont alignés si et seulement siAB + BC = AC.

Théorème 9 (Pythagore). Soit ABC un triangle (non aplati). L’équivalence suivante est vérifiée :

AB2 + BC2 = AC2 ⇐⇒ ABC est un triangle rectangle en B

Voici quelques propriétés des parallélogrammes .

Proposition 10. Soit ABCD un quadrilatère.

1. ABCD est un parallélogramme si et seulement si ses côtés opposés sont deux à deux parallèles.

2. ABCD est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu.

3. ABCD est un parallélogramme si et seulement si ses côtés opposés sont deux à deux demême longueur.

Voici quelques propriétés des losanges.


1. ABCD est un losange si et seulement si ses côtés ont même longueur.

2. ABCD est un losange si et seulement si ses diagonales se coupent perpendiculairement enleur milieu.

Voici quelques propriétés des rectangles.


1. ABCD est un rectangle si et seulement il admet trois angles droits

2. ABCD est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont même longueur et se coupenten leur milieu.

3. Si ABCD est un parallélogramme admettant un angle droit alors il s’agit d’un rectangle.

Enfin, observons qu’un carré combine les propriétés des losanges et des rectangles. En consé-quence, pour démontrer qu’un quadrilatère ABCD est un carré il suffit de prouver qu’il s’agit à lafois d’un losange et d’un rectangle.




• Repérer un point donné du plan, placer un point connaissant ses coordonnées.

• Calculer la distance de deux points connaissant leurs coordonnées.

• Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.

• Utiliser les propriétés des triangles, des quadrilatères, des cercles.

• Utiliser les propriétés des symétries axiale ou centrale.

3.7 Pour aller plus loin

3.8 Curiosité en grande dimension

Il n’est pas vraiment possible pour l’être humain de se représenter un objet en quatre dimension(ou plus). Il est cependant possible de conceptualiser ce qui doit se produire. Imaginons que noussurplombions un monde vivant dans une feuille en papier, un monde en deux dimension. Si nousprenions un cube de notre univers, les habitants de ce monde ne pourraient l’apercevoir qu’aumoment ou une partie du cube traverse la feuille de papier et pénètre dans leur monde. En faisantceci, les habitants observeraient une tranche du cube et seraient face à un carré. Il n’est donc pasdifficile de généraliser ce procédé en se disant que si des êtres nous observaient depuis un mondeen quatre dimension et s’amusaient à vouloir nous montrer un cube de leur univers (en quatredimensions) nous ne verrions qu’une tranche de celui-ci et ferions face à un cube normal.

Bien que notre intuition soit un peu gênée par des espaces de dimension supérieurs à trois, cesensembles interviennent très rapidement lors de l’étude de certains problèmes. En effet, grossière-ment, ajouter une dimension revient à considérer un paramètre supplémentaire. Par exemple, pourdécrire le mouvement d’un oiseau nous avons besoin de connaître sa position dans l’espace. Enrevanche, il est possible que nous ayons également besoin de connaitre la durée de son mouvement,la pression atmosphérique, la température, etc . . . la considération de ceci force à introduire plus dedimensions pour prendre en compte ces nouveaux paramètres. En statistiques, certains problèmesde modélisation comme la météorologie met en jeu plusieurs milliers de paramètres.

L’un des intérêts majeur des coordonnées cartésiennes est que nous pouvons étudier deschoses qui dépasse notre imagination. En effet, pour ajouter une dimension il suffit d’ajouter unecoordonnée à notre vecteur. Il devient donc possible de faire des calculs sur des choses que nousne pouvons visualiser. Cela va parfois à l’encontre de notre intuition. Voyons ceci au travers d’unexemple.

Débutons dans le plan et considérons un carré de côté 2 dont le centre est placé en (0, 0).

3.8. CURIOSITÉ EN GRANDE DIMENSION 27

Plaçons des disques de rayon 1 dans les zones suivantes : un premier disque centré au point (1; 1),un deuxième en (1; −1), un autre en (−1; 1) et un dernier en (−1; −1). Il est alors possible deplacer un dernier diqque en (0; 0) puis de l’agrandir jusqu’à ce qu’il touche les quatre disques quenous avons disposer. dans le carré au préablable.

Bien sûr, il est possible de procéder de manière similaire dans l’espace. Cette fois-ci nous avonsun cube de côté 2, 8 boules de rayon 1 centrées aux points (±1; ±1; ±1) et enfin une dernière bouleplacée en (0; 0; 0 dont le rayon est plus grand possible (avec pour condition que cette nouvelleboule ne puisse empiéter sur les autres).

A vrai dire, pourquoi s’arrêter en si bon chemin ? Il n’est plus possible de faire de dessin maisnous pouvons imaginer un hypercube de côté 2 (que nous noterions [−2; 2]d) en dimension d etplacer des boules aux points (±1; . . . , ±1) comme auparavant pour enfin placer une dernière bouleau centre avec les mêmes restrictions qu’auparavant.

A partir de quelle dimension cette dernière boule dépasse du cube [−2; 2]d?

De manière intuitive, nous serions tenter de répondre : jamais ! Voyons ce que nous disent lescalculs. Nous avons vu que la distance d’un point M = (x1; x2) à l’origine valait

d(O, M) =√

x21 + x2

2

En dimension d, il s’agit de la même formule. C’est-à-dire, si M a pour coordonnées (x1; x2; . . . , xd)(il n’est plus vraiment possible de parler d’abscisses ou d’ordonnées, nous numérotons donc lescoordonnées par des nombres x1, . . . , xd) nous avons la formule suivante :

d(O, M) =√

x21 + x2

2 + . . . + x2d

Or, dans le problème que nous considérons les points M , centres des boules, ont des coordonnées dela forme (±1; . . . ; ±1 donc d(O, M) =

√d. Ainsi, puisque ces boules sont de rayon 1, cela entraine

que le plus grand rayon possible pour la boule centrale vaut√

d − 1. En conséquence, la boulecentrale déborde du cube si

√d − 1 > 2 ⇐⇒ d > 9

ce qui n’était pas du tout intuitif. En fait, il est même possible de préciser ce résultat. Il s’agit d’undomaine des mathématiques qui s’appelle la concentration de la mesure. L’un des résultats de cettethéorie permet d’affirmer que le volume de la boule centrale restant dans le cube s’approche trèsvite (exponentiellement vite) de zéro lorsque la dimension devient de plus en plus grande.

3.8.1 Distance

La distance que nous venons de voir s’appelle la distance euclidienne. Il existe d’autre façonde mesurer la distance entre deux points, l’une d’elle s’appelle la distance de « Manhattan » (enrapport avec le quartier de New-York). La raison derrière cette terminologie est la suivante : laplupart des villes américaines sont construites sur la forme d’un quadrillage. Ainsi, pour rejoindreun point A à un point B de la ville, nous sommes forcés de suivre ce quadrillage et d’arpenter les


côtés des carrés de ce quadrillage. Ainsi, la distance calculée correspond à celle qui est effectivementparcouru à pied plutôt que celle obtenue « à vol d’oiseau ».

Formellement, si A(xA; yA) et B(xB ; yB), alors

AB = |xA − xB + |yA − yB|où | · | désigne la valeur absolue d’un nombre réel. Cette formulation n’engendre que très peu dedifférences notables avec la géométrie classique (grossièrement tout diffère d’une constante multi-plicative universelle). En revanche, certain objets bien connu sont un peu modifiés. Pour voir celanous devons adopter quelques notations : d2(A, B) pour désigner la distance euclidienne (celle vuen cours) entre deux points et par d1(A, B) pour la distance de Manhattan. Avec ces notations, ilest possible de définir un disque de centre A et de rayon r > 0 comme étant l’ensemble des pointsM vérifiant :

d2(A, M) ≤ r

et nous obtiendrons la figure classique que vous avez pu rencontré au collège. En revanche, sinous remplaçons d2 par d1 dans le formule précédente, notre cercle prendra alors la forme d’un carré !

Il existe d’innombrables distances en mathématiques, chacune ayant une utilité, les quelquesmots précédents ne font qu’effleurer la surface de cette notion.

3.8.2 Pythagore

Durant votre scolarité du collège, le théorème de Pythagore fut, sans doute, l’un des résultatsqui a occupé une grande partie du programme. Il est même fort possible que votre professeur aitproposé une démonstration permettant de vous assurer que l’énoncé de ce théorème était vrai.Néanmoins, votre professeur, a sûrement du omettre une chose fondamentale à son propos. Maquestion est donc la suivante :

le théorème de Pythagore est-il tout le temps vrai ?

Cette question peut sembler incongrue, pourtant elle mérite quelques mots. Votre professeur ducollège a du présenter le théorème de Pythagore et dessiner des triangles sur le tableau noir de lasalle de cours. Implicitement, cela signifie que ses dessins sont fait sur une surface plane ! A votreavis, le théorème de Pythagore est-il encore vrai si nous dessinions nos triangles sur un ballon ? ouà l’intérieur d’un bol ?

La réponse à ces questions est négative ! D’ailleurs, il est même possible de construire, sur unun ballon, un triangle possédant 3 angles droits ! En d’autres termes, cette remarque signifie qu’ilexiste d’autre géométrie que celle d’Euclide (étudiée au collège, puis au lycée). Grossièrement, il ya aussi la géométrie sphérique (celle-ci pouvant être visible à l’échelle de la Terre, permettant auxavions d’effectuer des vols optimaux entre Paris et Tokyo) et la géométrie hyperbolique. Bien sûr, ilexiste d’autres géométries que celles que nous venons d’énoncer (bien qu’il s’agisse des principales).Par exemple, la géométrie qui a permis au physicien Albert Einstein de formaliser sa théorie de larelativité repose sur une géométrie dite « pseudo-riemannienne ».

Chapitre 4

Algorithmique, première partie

Dans ce chapitre nous allons découvrir les bases d’un nouveau langage de programmation quinous permettra de construire des fonctions sur un ordinateur. Ce langage de programmation estnée à la fin des années 1991 aux Pays-Bas. Il est l’oeuvre du programmeur Guido van Rossum. Celangage est conçu pour optimiser la productivité des programmeurs en offrant des outils de hautniveau tout en proposant une syntaxe simple d’emploi.

4.1 Affectation de variable et opérations

Un programme informatique consiste en une liste (ordonnée) d’instructions utilisant desvariables. Une variable peut-être vue comme une sorte de « boite »permettant à l’ordinateurde stocker momentanément des données (nombre, valeur fournie par un utilisateur, chaine decaractères, . . . ).

En ce qui nous concerne, nous utiliseront principalement des variables numériques. Autrementdit, les variables mises en jeu stockeront des valeurs numériques.

Pour stocker une valeur dans une variable, il faut utiliser un précédé d’affectation. En langagePython, cela revient à utiliser le symbole = avec la syntaxe nom_de_la_variable=valeur.

Exemple 4.1.1. L’instruction longueur=5.7 affecte la valeur 5.7 à la variable longeur.

Remarque. Prenons garde aux faits suivants :• le nom d’une variable ne doit pas contenir d’espace (ici les tirets « _ »les remplacent),

• sous Python les nombres décimaux s’écrivent avec un point et non un virgule.

29

30 CHAPITRE 4. ALGORITHMIQUE, PREMIÈRE PARTIE

Puisque nous avons affaire à des variables numériques, il est possible d’effectuer des opérationsélémentaires entre elles. Voici un exemple dans lequel la variable a reçoit la valeur 22 et la valeur breçoit la valeur 6.

Voici un exemple permettant d’appréhender ces nouvelles opérations ainsi que les résultats fournipar l’ordinateur après l’exécution de telles commandes.

Exemple 4.1.2. Le loyer mensuel d’un appartement est de 500 euros au cours de l’année 2018. Celoyer augmente de 5% en 2019.

1. Expliquer ce que font les instructions suivantes.

(a) loyer = 500

(b) taux = 0.05.

2. Le locataire veux calculer le montant de l’augmentation ainsi que le nouveaux prix du loyeren 2019, et affecter ces deux valeurs à deux variables nommées augmentation et nouveau-prix.Proposer des instructions en langage Python puis donner le résultat affiché par l’ordinateur.

4.2 Les fonctions

En programmation, il est possible de créer des fonctions. Celles-ci s’apparentent à des petitsprogrammes et sont souvent utilisées à l’intérieur d’un programme plus complexe et plus vaste. Cesfonctions sont désignées par un nom choisi par le programmeur et utilisent zéro, une ou plusieursvariables.

Présentons la syntaxe permettant de créer de tels objets.

Exemple 4.2.1. La fonction somme_carres ci dessous calcule et renvoie la somme a2 + b2 lorsquel’utilisateur donne les valeurs de variables a et b.

4.2. LES FONCTIONS 31

Remarque. A nouveau, le nom de la fonction ne doit comporter aucun espace. Il est possible deles substituer par des tirets « _ ». Si la fonction n’utilise aucun paramètre, nous la noterons defnom_de_la_fonction().

L’instruction return permet de renvoyer une valeur (entier, décimal ou chaine de caractère) quipeut-être utiliser de nouveau dans un autre programme ou une autre fonction. Elle interrompt leprogramme dès qu’elle s’est exécutée.

Notons qu’il est également possible d’utiliser une fonction écrite dans l’éditeur en utilisantdirectement son nom dans la console.

Exemple 4.2.2. Supposons que nous avons entré dans l’éditeur le programme déterminant lafonction somme_carres définies ci-dessus. Si nous tapons ensuite l’instruction somme_carres(10,2)dans la console de Python, celui-ci ira utilisera la fonction pour fournir le résultat 104.

Voici quelques exercices pour se familiariser avec cette nouvelle notion.

Exercice 1. Considérons la fonction

1. Combien de paramètres cette fonction possède-t-elle ? Le(s)quel(s) ?

2. Que renvoit la fonction exercice1 lorsque l’on tape les instructions suivantes ?

(a)

(b)

32 CHAPITRE 4. ALGORITHMIQUE, PREMIÈRE PARTIE

Exercice 2. Compléter la fonction vitesse ci-dessous pour qu’elle renvoit la vitesse (en km/h) lorsquel’utilisateur donne une distance en kilomètre et une durée en heure.

Exercice 3. On propose la fonction suivante :

1. Quelle est l’utilité de l’instruction de la première ligne ?

2. Combien de paramètre possède cette fonction ?

3. Parmi les propositions suivante, entourer celles qui ne peuvent pas être un résultat de cettefonction

2 ; 3, 1 ; 7 ; 1, 412 ; 6 ; 1

4. Proposer un cas concret dans lequel cette fonction aurait un intérêt.

Chapitre 5

Généralités sur les fonctions

5.1 Nombres réels et intervalles

Faisons une rapide mise au point sur différents ensembles de nombre que nous allons utilisé toutau long de l’année.

5.1.1 Les réels

L’ensemble des réels est celui que nous allons le plus rencontrer. Celui-ci se note R et peut sereprésenter à l’aide d’une droite graduée. Chaque nombre réel correspond à un point de cette droiteet, réciproquement, chaque point de la droite correspond à un nombre réel appelé abscisse de cepoint. Pour signifier qu’un nombre x appartienne à cet ensemble nous noterons ceci par x ∈ R.

Exemple 5.1.1. 100 ∈ R ; − 23 ∈ R ; π ∈ R ; 4, 56743 ∈ R etc. . .

5.1.2 les entiers

Parmi les réels, il y a un ensemble plus petit correspondant aux entiers :

1. l’ensemble des entiers positifs ou nuls, appelés entiers naturels, se note N.

N = 0; 1; 2; 3; 4; . . . par exemple 17 ∈ N et − 45 /∈ N

2. l’ensemble des nombres entiers, appelés entiers relatifs, se note Z :

Z = . . . ; −12; . . . ; −2; −1; 0; 1; 2; . . .25; 26; . . . par exemple −34 ∈ Z, 11 ∈ Z,3

4/∈ Z et π /∈ Z

5.1.3 Les intervalles

Lorsque nous étudierons des fonctions, nous aurons à considérer des sous-ensembles particuliersde R appelés intervalles. Il peut s’agir de segment, de demi-droite ou encore de la droite des réelstoute entière. Un point important est que ces ensembles n’ont pas de « trous » et sont d’un seul« tenant ».

33

34 CHAPITRE 5. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

5.2 Notion de fonction

Considérons un sous-ensemble I de R (pas nécessairement un intervalle). Définir une fonctionsur l’ensemble I revient à fournir une formule précisant les calculs à effectuer à partir d’un nombrex ∈ I. Comme nous le verrons, la calculatrice est un outil très pratique pour étudier des fonctions.

Un peu comme une recette de cuisine, il faut suivre les étapes dans l’ordre pour arriver aurésultat.

Définition 5.2.1. Une fonction f est définie sur l’ensemble I lorsque à tout point x ∈ I nousassocions un unique nombre noté f(x). Nous emploierons fréquemment la notation f : x 7→ f(x).

Remarque (Vocabulaire). 1. L’ensemble des réels I pour lesquels il est possible de déterminerf(x) est appelée l’ensemble de définition de f .

2. f(x) est appelée l’image de x par la fonction f .

5.3. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE 35

3. Si pour un nombre réel donné y, il est possible de trouver un autre réel x tel que y = f(x)nous dirons que x est l’antécédent de y par f .

Voici quelques exemples pour illustrer cette définition afin de la rendre plus concrète.

Exemple 5.2.1. 1. Il est possible de définir la fonction qui à un nombre lui associe le doublede sa valeur. C’est-à-dire, f : x 7→ 2x. Pour ce choix de fonction, l’image du point x = 2vaut f(2) = 2 × 2 = 4. Tout nombre réel admet un antécédent par la fonction f , par exempley = 17 admet pour antécédent 17

2 car f(

172

)

= 2 × 172 = 17.

2. Il est aussi possible de définir la fonction carrée qui à tout nombre associe son carré.C’est-à-dire : f : x 7→ x2. Observons que les nombres négatifs n’admettent pas d’antécédent.En effet, si y = −1 il n’est pas possible de trouver x ∈ R tel que f(x) = x2 = −1 car x2 ≥ 0et −1 < 0.

3. Bien entendu, il est possible de regarder des fonctions beaucoup plus compliquées en précisantles opérations que doit subir un nombre réel x pour obtenir la valeur de f(x).

f(x) = x2 − 3x + 12 ou f(x) =6x − 1

x + 1, x 6= −1 ou f(x) =

3x2 − (x + 2)(x3 − π)

x2 + 1. . .

Ces fonctions existent mais nous ne les étudierons que plus tard dans l’année.

5.3 Représentation graphique

Une manière de visualiser ces fonctions est d’utiliser une représentation graphique. Cela nouspermettra, notamment, de résoudre certains problèmes ou certaines équations à partir d’un gra-phique.

Définition 5.3.1. Soient (0; I; J) un repère du plan et f : I → R une fonction. La courbe ré-présentative Cf de la fonction f est l’ensemble des points M de coordonnées (x; y) avec x ∈ I ety = f(x).

Remarque. L’axe des abscisses permet de trouver les antécédents d’un point y tandis que l’axe desordonnées permet de trouver l’image d’un point x.

Ces manipulations doivent êtres sues : en cas de doute, aller voir les tutoriels d’Y. Monka surle site maths et tiques.

1. Sur la calculatrice, il suffit d’utiliser la touche f(x) pour entrer la formule y1 = f(x)définissant la fonction puis d’appuyer sur la touche graphique pour obtenir une figure.

2. Attention, il faut parfois ajuster la fenêtre de visualisation pour voir la courbe en entière.Pour cela, il faut cliquer sur la touche fenêtre pour ensuite modifier les abscisses avec Xminet Xmax ; ainsi que les ordonnées avec Y min et Y max.


3. Xgrad et Y grad permettent de définir la taille des graduations sur les axes des abscisses etdes ordonnées.

4. La touche zoom peut également être utile pour choisir judicieusement la fenêtre de visualisa-tion du graphique.

Il est important de savoir utiliser ce graphique pour trouver l’image d’un point, déterminer desantécédents, l’ensemble de définition.

5.3.1 Méthode graphique pour résoudre une équation

La représentation graphique d’une fonction f permet d’obtenir une nouvelle méthode pourrésoudre des équations de la forme f(x) = k avec k ∈ R. Pour cela, il convient de tracer la courbey = f(x) sur R ainsi que la droite d’équation y = k afin de déterminer l’ensemble S des éventuelspoints d’intersections de ces deux courbes.

Remarque. Si jamais la droite y = k et la courbe Cf ne se coupe pas, l’ensemble des solutions Sest vide et nous noterons ceci par S = ∅. Notons également qu’une telle méthode ne vaut pas pourdémonstration, elle permet seulement de guider son intuition et il est primordial d’être capabled’effectuer une résolution algébrique dans le cadre du programme.

La calculatrice est de nouveau utile pour résoudre, de manière approximative, ce genre d’équa-tion. Pour cela, il suffit :

1. d’aller dans l’onglet f(x) de la calculatrice pour définir y1 = f(x) et y2 = k.

2. cliquer sur la touche graphe

5.4. ETUDE QUALITATIVE 37

3. cliquer ensuite sur le bouton trace et sélectionner la valeur intersection.

Nous faisons la même manipulation pour trouver les antécédents du point y = 2 par la fonction f .

5.4 Etude qualitative

Nous allons étudier certaines propriétés d’une fonction. Nous allons donc aborder la notion demonotonie et d’extremum.

5.4.1 Sens de variation

Dire qu’une fonction est croissante, sur un intervalle I, revient à dire que lorsque la valeur de xaugmente dans l’intervalle I la valeur de f(x) augmente également.

Définition 5.4.1. La fonction est dite croissante sur l’intervalle I si, pour tous réels a ≤ b alors

f(a) ≤ f(b)

Une fonction croissante préserve l’ordre : c’est-à-dire, les réels de l’intervalle I et leurs images parf sont rangés dans le même ordre.

Remarque. Une fonction est dite strictement croissante si a ≤ b entraine que f(a) < f(b).

Par exemple, si f est croissante nous aurions 2 < 3 entraine que f(2) < f(3).

Exemple 5.4.1. 1. La fonction f(x) = 2x est croissante sur R.

2. La fonction f(x) = x2 est croissante sur R+ = [0, +∞[.

Allez voir la page 20 de votre livre pour d’autres exemples


De manière analogue, une fonction est décroissante sur un intervalle I lorsque la valeur del’image f(x) diminue lorsque x augmente dans l’intervalle I.

Définition 5.4.2. La fonction est dite décroissante sur l’intervalle I si, pour tous réels a ≤ b alors

f(a) ≥ f(b)

Une fonction décroissante renverse l’ordre : c’est-à-dire, les réels de l’intervalle I et leurs imagespar f sont rangés dans un ordre contraire.

Remarque. Une fonction est dite strictement décroissante si a ≤ b entraine que f(a) > f(b). Parexemple, si f est croissante nous aurions 2 < 3 entraine que f(2) > f(3).

Exemple 5.4.2. 1. La fonction f(x) = −2x est croissante sur R.

5.4. ETUDE QUALITATIVE 39

2. La fonction f(x) = x2 est décroissante sur R− =] − ∞, 0[.

5.4.2 Tableau de variation

Il est commode de résumer le sens de variations d’une fonction par un tableau de variations.

Exemple 5.4.3. 1. Débutons par la fonction x 7→ x2.

x

f(x) = x2

−2 0 +2

4400

44

Ce tableau signifie que la fonction est décroissante sur l’intervalle [−2; 0], puis croissante sur[0; 2]. Le tableau annonce aussi que f(−2) = 4, f(0) = 0 et f(2) = 4.

2. Voici ce que nous aurions obtenu avec la fonction x 7→ −2x.

x

f(x) =−2x

−3 +2

66-4-4

Il est important de maîtriser les compétences exposéespage 21 de votre livre : construire un tableau de variation à partir d’un graphique, comparerdes images à partir d’un tableau de variation.

Nous étudierons la fonction x 7→ x2 (et ses généralisations) ainsi que la fonction x 7→ 1x

plusprécisément dans un chapitre ultérieur.

5.4.3 Extremum

Il est parfois utile de déterminer, lorsqu’elles existent, la plus grande ou la plus petite valeuratteinte par une fonction f donnée.

Définition 5.4.3. 1. Le maximum d’une fonction f sur un intervalle I est, s’il existe, la plusgrande valeur possible des images, atteinte pour un réel b ∈ I. Ainsi, pour tout réel x ∈ I nousavons

f(x) ≤ f(b).

2. Le minimum d’une fonction f sur un intervalle I est, s’il existe, la plus petite valeur possibledes images, atteinte pour un réel a ∈ I. Ainsi, pour tout réel x ∈ I nous avons

f(a) ≤ f(x).

Remarque. Le mot extremum désigne sans distinction le minimum ou le maximum d’une fonction.


Attention à l’intervalle d’étude. Sur l’exemple ci-dessus, observons que sur [−2; 5] le maximumest atteint en x = 4 et vaut f(4) = 6. Tandis que sur l’intervalle [−2; 2], le maximum est atteint enx = −1 et vaut f(−1) = 4. Le minimum sur [−2; 6] est atteint en x = 1 et vaut f(1) = −2.

Remarque. La calculatrice est de nouveau utile pour déterminer, de manière approximative, lesextremums. Pour cela, il suffit :

1. d’aller dans l’onglet f(x) de la calculatrice pour définir y1 = f(x).

2. cliquer sur la touche graphe

3. cliquer ensuite sur le bouton trace et sélectionner la valeur maximum ou minimum.

Vous devez être capable d’utiliser la calculatrice pour déterminer les maximum/minimum d’unefonction.Les exercices corrigés de la page 23 peuvent vous aider à mieux comprendre ce que vousdevez savoir faire.

5.5 Fonctions affines

Tout au long de l’année, nous allons étudié certaines fonctions très courantes. Toutes ces fonc-tions seront appelées fonctions de références car elles apparaitront de manière fréquente duranttoute votre scolarité. Nous débutons par les plus simples d’entres elles, les fonctions linéaires etaffines.

5.5.1 Fonctions linéaires

Définition 5.5.1. Soit a ∈ R, la fonction définie sur R par f(x) = ax est appelée fonction linéaire.Le coefficient a est désigné sous le nom de coefficient directeur.

Remarque. 1. Il s’agit d’une des fonctions les plus simples car l’image d’un nombre réel x estobtenue en multipliant x par a.

2. La représentation graphique, dans un repère (O; I; J), d’une telle fonction est une droite quipasse l’origine O du repère.

Exemple 5.5.1. Tracer f(x) = 1, 5x et g(x) = − 14 x.

5.6. BILAN DU CHAPITRE 41

5.5.2 Fonctions affines et sens de variations

Il est possible de compliquer légèrement la situation à partir d’une fonction linéaire, il s’agit desfonctions affines.

Définition 5.5.2. Etant donnés des nombres réels a et b, une fonction affine est définie sur R parla formule suivante

f(x) = ax + b

Remarque. 1. Lorsque b = 0 nous retrouvons le cas des fonctions linéaires. Les fonctions affinessont une généralisation des fonctions linéaires.

2. Le nombre b est souvent désigné sous le nom de « ordonnée à l’origine ». En effet, lorsquex = 0 une fonction affine vaut donc f(x) = a × 0 + b = b. Ceci signifie que la courbe Cf d’unetelle fonction passe par le point (0, b). Graphiquement, lorsque b 6= 0, la droite représentantla courbe d’une fonction affine ne passe pas par l’origine du repère. En revanche, cette droitecoupe l’axe des ordonnées au point b.

Théorème 13. Soit f(x) = ax + b, avec a, b ∈ R, une fonction affine définie sur R. Alors

1. Si a > 0, la fonction affine est croissante sur R.

2. Si a < 0, la fonction affine est décroissante sur R.

Remarque. Graphiquement, si a > 0 la droite pointe vers le « haut » du repère tandis que si a < 0elle pointe vers le « bas » du repère. Il est facile de caractériser les variations d’une fonction affineà partir de son coefficient directeur "a"

Démonstration. Montrons le premier point, la deuxième assertion est laissée en exercice. Soit f(x) =ax + b une fonction affine avec (a, b) ∈ R

2. Soient x et y deux réels tels que x ≤ y, montrons alorsque f(x) ≤ f(y) à condition que a > 0. Le point important est que la multiplication d’une inégalitépar un nombre strictement positif ne change pas le sens de celle-ci ; l’ajout d’un nombre réel danschaque membre non plus.

x ≤ y ⇐⇒ ax ≤ ay ⇐⇒ ax + b ≤ ay + b ⇐⇒ f(x) ≤ f(y)


Voici les compétences à maitriser dans ce chapitre.• Notion d’intervalle (représentation graphique, notations, inégalités).

• Vocabulaire lié aux fonctions : images, antécédents, ensemble de définition.

• Savoir lire et établire une représentation graphique d’une fonction.


• Savoir lire et établir le tableau de variations d’une fonction (notion de fonction croissante,décroissante, . . . ).

• Savoir déterminer les extremums d’une fonction à l’aide d’un tableau de variations ou d’unereprésentation graphique.

• Connaitre les représentations graphiques des fonctions affines et savoir déterminer samonotonie en fonction du coefficient directeur.

• Utilisation de la calculatrice : tracer une fonction, tableau de valeur, déterminer lesextremums, trouver les points d’intersection avec une droite.

Chapitre 6

Vecteurs

Nous allons poursuivre notre étude des repères du plan, qui nous ont permis d’associer descoordonnées à un point, en introduisant la notion de vecteurs.

6.1 Translation et vecteurs

6.1.1 Translation et vecteur associé

Définition 6.1.1. Soient A et B deux points du plan donnés.

1. La translation t−−→AB

qui transforme le point A en le point B, associe à tout point M du planun nouveau point N tel que le quadrilatère ABNM soit un parallélogramme.

2. A cette translation, nous associons le vecteur−−→AB qui symbolise le déplacement de A vers B

(ou de M vers N). Il est commode de représenter un tel objet par une flèche allant de Ajusqu’au point B

Remarque. 1. De manière plus pratique, étant donné deux points distincts A et B du plan, il estpossible de tracer le vecteur permettant de les relier (en dessinant une flèche). Cette flècheest alors déterminé par plusieurs choses

• sa direction qui est définie par l’unique droite passant par les points A et B ;

• son sens qui précise si nous allons du point A vers le point B ou le contraire ;

• sa norme qui correspond à la distance entre les points A(xa; yA) et B(xB ; yB).

ces caractéristiques coïncident avec la définition d’un vecteur proposée en Physique.

Ainsi, étant donné un vecteur−−→AB et un point N , il est facile de construire le point M ,

translaté du point N , en « déplaçant la flèche−−→AB »(tout en s’assurant que le parallélisme

est conservé) afin de l’apposé au point M pour obtenir le point N à l’extrémité de cette flèche.

43

44 CHAPITRE 6. VECTEURS

2. Lorsque les points A et B sont confondus, le vecteur que nous obtenons−→AA est communément

appelé vecteur nul et noté−→0 .

3. Bien entendu, une fois construit le vecteur−−→MN à partir du vecteur

−−→AB, ces deux vecteurs

sont égaux. En effet, ils conduisent tout les deux à la même translation.

6.1.2 Egalité de deux vecteurs

Détaillons un peu plus le dernier point de la remarque précédente. Nous avons la propriétésuivante

Propriétés 3. Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan. Les assertions suivantes sontéquivalentes

1.−−→AB =

−−→CD ;

2. D est l’image de C par la translation qui transforme A en B ;

3. les segments [AD] et [BC] ont le même milieu ;

4. ABDC est un parallélogramme.

Remarque. Il est important de prendre à l’ordre des lettres du parallélogramme (obtenu via l’égalité−−→AB =

−−→CD, il faut inverser l’ordre des points C et D. La propriété impliquant les milieux des

segments [AD] et [BC] provient d’une caractérisation des parallélogrammes.

6.2 Somme de deux vecteurs

Comme nous allons le voir, il est possible d’additionner les vecteurs afin d’en obtenir un nouveau.

Propriétés 4. Soient A, B et C trois points. Appliquer successivement la translation t−−→AB

qui trans-forme A en B, puis la translation t−−→

BCqui transforme B en C, revient à appliquer la translation

t−→AC

qui transforme A en C.

Ceci conduit à la définition suivante

Définition 6.2.1 (Relation de Chasles). Soient A, B et C trois points, le vecteurs−→AC obtenu en

appliquant successivement les translations t−−→AB

et t−−→BC

est appelé somme des vecteurs−−→AB et

−−→BC.

Nous écrivons alors −−→AB +

−−→BC =

−→AC

cette égalité s’appelle la relation de Chasles.

Remarque. 1. Pour n’importe quels triplets de points A, B et C la relation de Chasles esttoujours vérifiée.

2. En particulier,−−→AB +

−−→BA =

−→AA =

−→0 . Dans ce cas, nous dirons que

−−→BA est l’opposé de

−−→AB.

C’est-à-dire, −−→BA = −−−→

AB

6.3. COORDONNÉES D’UN VECTEUR 45

6.3 Coordonnées d’un vecteur

Voyons ce qui peut se produire lorsque nous introduisons un repère du plan (O; I; J) et descoordonnées. Dans tout ce qui suit, un tel repère sera supposé fixé.

6.3.1 Définition et propriétés

Définition 6.3.1. Soit −→u un vecteur du plan. Par la translation de vecteur −→u , le point O setransforme en M . Nous dirons alors que les coordonnées du vecteur −→u sont celles du points Mdans le repère (O; I; J). Autrement dit, si M(x; y) nous aurons

−→u(

xy

)

Remarque. D’un point de vu pratique,

(

xy

)

signifie que pour obtenir le M à partir du point O il

faut se déplacer (dans le repère) « x fois vers la droite et y fois vers le haut ».

L’introduction d’un repère et l’utilisation de coordonnées pour repérer un vecteur simplifiebeaucoup de choses.

Propriétés 5. 1. Egalité entre deux vecteurs : deux vecteurs sont égaux si et seulement si, leurscoordonnées sont égales. C’est-à-dire

−→u(

xy

)

= −→v(

x′

y′

)

⇐⇒ x = x′ et y = y′.

2. Somme de vecteurs : soient −→u(

xy

)

et −→v(

xy

)

alors

−→u + −→v =

(

x + x′

y + y′

)

.

6.3.2 Coordonnées d’un vecteur

Poursuivons notre étude, voyons comment déterminer les coordonnées du vecteur−−→AB à partir

des coordonnées des points A(xA; yA− et B(xB ; yB).

Proposition 14. Soient A(xA, yA) et B(xB ; yB) deux points du plan. Nous avons alors les coor-

données suivantes−−→AB

(

xB − xA

yB − yA

)

.

Remarque. Il faut être prudent dans cette relation et observer qu’il faut faire la différence descoordonnées du point B (l’extrémité) avec celles du points A (le point de départ du vecteur).

Démonstration. Notons par M(x; y) le point obtenu en effectuant la translation de l’origine O par

le vecteur−−→AB. Par définition, cela signifie aussi

−−→AB

(

xy

)

. Déterminons une expression de x et de y

en fonction des coordonnées des points A et B. Pour cela, notons que par construction, nous avons−−→OM =

−−→AB. Ainsi, en utilisant la propriété (3), les segments [AM ] et [OB] ont le même milieu. Nous

46 CHAPITRE 6. VECTEURS

pouvons donc calculer les coordonnées de celui-ci à partir des coordonnées des points impliqués.C’est-à-dire,

xA + x

2=

0 + xB

2et

yA + y

2=

0 + yB

2

D’où, x = xB − xA et y = yB − yA. Ce qui est bien le résultat attendu.

Exemple 6.3.1. Soient A(2; 1) et B(3; −1) alors−−→AB

(

3 − 2−1 − 1

)

=

(

1−2

)

.

6.3.3 Produit d’un vecteur par un nombre réel

Comme nous venons de le voir, l’addition de vecteur permet d’en obtenir un nouveau. Il estégalement possible de multiplier un vecteur par un nombre réel pour avoir un nouveau vecteur.

Définition 6.3.2. Soient k ∈ R et −→u(

xy

)

. Le vecteur −→v =

(

kxky

)

est alors noté k−→u .

Remarque. Nous admettons que le vecteur k−→u ainsi obtenu ne dépend pas du choix du repère(O; I; J) sous-jacent.

Exemple 6.3.2. Si −→u(

2−1

)

alors −3−→u(

−63

)

.

Chapitre 7

Résolution d’inéquation et tableau

de signe

Ce chapitre est assez proche de celui qui concernait la résolution d’équation.

Définition 7.0.1. Résoudre une inéquation dans un ensemble de réels D, c’est trouver tous les

éléments de D qui vérifient l’inégalité donnée.

Exemple 7.0.1. 1. 3 est solution de l’inéquation 2x − 5 > 0 car 2 × 3 − 5 = 1 > 0.

2. −2 n’est pas solution de l’inéquation 2x − 5 > 0 car 2 × (−2) − 5 = −9 < 0.

Dans R l’ensemble des solutions de 2x − 5 > 0 est l’intervalle ]52 ; +∞[ car

2x − 5 > 0 ⇐⇒ x >5

2

Voyons plutôt quels moyen ont été mis en oeuvre pour résoudre l’inéquation précédente.

7.1 Outils pour la résolution algébrique d’inéquations

7.1.1 Règles pour résoudre une inéquation

Les propriétés suivantes décrivent les opérations qu’il est possible de faire sur une inéquation

Propriétés 6. 1. Ajouter ou soustraire un même nombre à chaque membre d’une inégaliténe change pas le sens de celle-ci.

2. Si a > 0 alors multiplier ou diviser par a les deux membres d’une inégalité ne changepas le sens de celle-ci.

3. Si a < 0 alors multiplier ou diviser par a les deux membres d’une inégalité change le sensde celle-ci.

47

48 CHAPITRE 7. RÉSOLUTION D’INÉQUATION ET TABLEAU DE SIGNE

Exemple 7.1.1. 1. 2x − 5 > 0 ⇐⇒ 2x > 5 ⇐⇒ x > 52 .

2. 4 − 3x < 0 ⇐⇒ −3x < −4 ⇐⇒ x > −4−3 = 4

3 .

7.2 Tableau de signe

Les techniques précédentes permettent d’établir des tableaux de signes (savoir à quel momentune quantité dépendant de x est positive ou négative). Il s’agit d’un point majeur du programmequi permettra de résoudre toutes les inéquations rencontrées en cours.

Proposition 15 (Signe de ax + b). Soient a, b ∈ R, les résultat suivant donnent le signe dupolynôme du premier degré x 7→ ax + b.

1. Si a < 0 alors

x

signe deax + b

−∞ − ba

+∞

+ 0 −

2. Si a > 0 alors

x

signe deax + b

−∞ − ba

+∞

− 0 +

Ces résultats, combinés à une règle de signe évidente, permet de résoudre des inéquations produitou quotient. Voyons plutôt sur des exemples.

7.2.1 Signe d’un produit

Supposons que nous souhaitons résoudre, dans R, l’inéquation 36 − 4x2 ≥ 0.

1. Il est essentiel de factoriser l’expression précédente afin de se ramener à un produit de poly-nômes du premier degré :

36 − 4x2 ≥ 0 ⇐⇒ 62 − (2x)2 ≥ 0 ⇐⇒ (6 + 2x)(6 − 2x) ≥ 0

où nous avons utilisé l’identité remarquable a2 − b2 = (a + b)(a − b) pour factoriser le membrede gauche.

7.2. TABLEAU DE SIGNE 49

2. Nous allons dresser un tableau de signe à partir de la proposition 15 qui va permettre derésoudre l’inégalité ci-dessus.

x

signe de 6 − 2x

signe de 6 + 2x

(6 − 2x)(6 + 2x)

−∞ −3 3 +∞

+ + 0 −

− 0 + +

− 0 + 0 −

Commentons le tableau précédent. La proposition 15 permet d’obtenir le signe de la deuxièmeet troisième ligne. La dernière ligne est obtenue en utilisant la règle suivante :

+ × + = +, + × − = − et − ×− = +.

Cette dernière ligne fournit donc le signe du produit (6 − 2x)(6 + 2x). Ainsi, la solution denotre inégalité est l’intervalle [−3; 3]. Autrement dit,

36 − 4x2 ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ [−3; 3]

7.2.2 Signe d’un quotient

Bien entendu, tous ce qui précède peut-être appliquer pour résoudre une inéquation faisantintervenir un quotient. Il faudra cependant être prudent et indiquer dans le tableau de signe laprésence d’une valeur interdite.

Par exemple, résoudre l’inéquation x+4x−2 ≥ 0 revient à déterminer le signe du quotient.

x

signe de x + 4

signe de x − 2

x+4x−2

−∞ −4 2 +∞

− 0 + +

− − 0 +

+ 0 − +

A nouveau, commentons le tableau précédent. La proposition 15 permet d’obtenir le signe de ladeuxième et troisième ligne. La dernière ligne est obtenue en utilisant la règle suivante :

+

+= +,

+

− = − et−− = +.

Cette dernière ligne fournit donc le signe du quotient x+4x−2 . La présence de la double barre dans la

dernière ligne est là pour indiquer que 2 est une valeur interdite. Finalement, la solution de notreinégalité est l’intervalle ] − ∞; −4]∪]2; +∞[. Autrement dit,

50 CHAPITRE 7. RÉSOLUTION D’INÉQUATION ET TABLEAU DE SIGNE

x + 4

x − 2⇐⇒ x ∈] − ∞; −4]∪]2; +∞[

7.3 Etude graphique

7.3.1 Résolution graphique d’inéquations de la forme f(x) > k

Dans cette section, nous chercherons à résoudre graphiquement des inéquations de la formef(x) > k ou f(x) < k pour une fonction f donnée et un réel k prescrit.

Pour résoudre ce genre de problème, il est important de placer sur le graphique la droite hori-zontale D d’équation y = k (les points d’intersection de cette droite avec la courbe Cf sont solutionsde l’équation f(x) = k).

Proposition 16. Les solutions de l’inéquation f(x) > k sont les abscisses des points de la courbesCf situés au-dessus de la droite D.

Remarque. 1. Autrement dit, après avoir identifier la partie de la courbe se situant au dessousde la droite D, il ne reste plus qu’à déterminer les antécédents de ces points sur l’axe desabscisses afin d’obtenir un intervalle ou une réunion d’intervalles.

2. La méthode de résolution pour une inéquation de la forme f(x) < k s’effectue de la mêmemanière en considérant les points de la courbe situés en dessous de la droite D.

Exemple 7.3.1. insérer un graphique

7.3.2 Position relative de deux courbes

Nous allons généraliser les résultats précédents en résolvant, de manière graphique, deséquations de la forme g(x) = f(x) (ce genre de résolution peut s’effectuer à l’aide de la calculatrice)pour des fonctions f et g données. De manière similaire, nous étudierons des inéquations de laforme g(x) > f(x) ou f(x) < g(x).

Proposition 17. 1. Les solutions de l’équation f(x) = g(x) sont les abscisses des pointsd’intersections des courbes Cf et Cg.

2. Les solutions de l’inéquation f(x) > g(x) sont les abscisses des points de la courbes Cf situésau-dessus de la courbe Cg.

3.

4. Les solutions de l’inéquation f(x) < g(x) sont les abscisses des points de la courbes Cf situésen-dessous de la courbe Cg.

Remarque. En particulier, si Cg est une droite horizontale d’équation y = k nous retrouvons l’étudefaite à la section précédente.

Chapitre 8

Vecteurs et colinéarité

Dans ce chapitre nous allons poursuivre l’étude initié dans le chapitre introduisant les vecteurset leurs coordonnées. Nous allons voir de quelle manière il est possible de traduire des notions degéométrie rencontrées au collège à l’aide de vecteurs. Ici nous allons étudié la notion de parallélisme

8.1 Colinéarité entre deux vecteurs

Définition 8.1.1. Deux vecteurs, non nuls, −→u et −→v sont colinéaire lorsqu’il existe un réel k 6= 0tel que −→u = k−→v

Remarque. Géométriquement, cela signifie que ces vecteurs possèdent la même direction (pas né-cessairement le même sens). La définition précédente est symétrique : −→u est colinéaire à −→v si etseulement si −→v est colinéaire à −→u . En effet, si −→u est colinéaire à −→v , il existe k ∈ R non nul tel que

−→u = k × −→vPuisque k 6= 0 ceci peut aussi s’écrire −→v = 1

k× −→u . Si nous posons k′ = 1

k∈ R

∗, nous avons donc−→v = k′ × −→u . Autrement dit, v est colinéaire à u.

Exemple 8.1.1. 1. Les vecteurs −→u = (1; 2) et −→v = (−2; −4) sont colinéaires car −→v = −2 × −→u .

2. Les vecteurs −→u = (6; −3) et −→v = (4; −2) sont colinéaires car −→v = 23 × −→u .

Lorsqu’un repère du plan (O; I; J) est disponible, la notion de colinéarité entre deux vecteurscorrespond à une relation de proportionnalité entre les coordonnées de ces vecteurs. Nous avons lecritère suivant permettant d’établir la colinéarité entre deux vecteurs à partir de leurs coordonnées.

Proposition 18 (Critère de colinéarité). Soient −→u(

xy

)

et −→v(

x′

y′

)

deux vecteurs. Ces vecteurs

sont colinéaires si et seulement si la quantité suivante est nulle :

xy′ − xy = 0

51

52 CHAPITRE 8. VECTEURS ET COLINÉARITÉ

Remarque. La quantité précédente correspond au déterminant des vecteurs −→u et −→v . Elle est souventnotée de la manière suivante :

det(−→u , −→v ) =x x′

y y′ = xy′ − yx′.

Géométriquement, elle correspond à l’aire du parallélogramme engendré par les vecteurs −→u et −→v .

Exemple 8.1.2. Utilisons le critère précédent pour montrer que les vecteurs −→u = (6; −3) et−→v = (4; −2) sont colinéaires. Ici, nous avons

det(−→u ; −→v ) = 6 × (−2) − (−3) × 4 = 0.

Les vecteurs sont donc colinéaires.

8.2 Applications de la colinéarité en géométrie

La notion de colinéairité permet de savoir si des points sont alignés

Proposition 19. Soient A, B et C trois points du plan, deux à deux distincts. Les points A, B et

C sont alignés si et seulement si les vecteurs−−→AB et

−→AC sont colinéaires.

Remarque. Bien entendu, il est possible remplacer, dans le théorème précédent, les vecteurs−−→AB et−→

AC par les vecteurs−−→BA et

−−→BC ou

−→AC et

−−→CB. L’important est que les vecteurs mis en jeu aient un

point en commun.

La colinéarité de vecteurs permet également de savoir si des droites sont parallèles.

Théorème 20. Soient A, B, C et D quatre points du plan, deux à deux distincts. Les droites (AB)

et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs−−→AB et

−−→CD sont colinéaires.

Chapitre 9

Equations de droite

Dans ce chapitre nous allons déterminer une représentation algébrique des droites : il s’agirad’une équation qui caractérisera les points du plan appartenant à une droite donnée.

Rappel :

Dans un plan muni d’un repère, une droite peut-être :• soit parallèle à l’axe des ordonnées ;

• soit sécante à l’axe des ordonnées. Dans ce cas, il s’agit de la courbe représentative d’unefonction affine f (i.e. f(x) = ax + b).

Exemple 9.0.1. Insérer une figure

9.1 Equations de droites

Dans ce qui suit nous nous considérons un plan muni d’un repère.

Proposition 21. Une droite D sécante à l’axe des ordonnées a une équation de la forme

y = mx + p

où m, p ∈ R. En particulier, un point du plan M(x; y) appartient à la droite D si et seulement sises coordonnées vérifient la relation suivante

y = mx + p

Les nombres m et p introduits plus haut porte un nom. Plus précisément, nous avons la définitionsuivante.

Définition 9.1.1. 1. L’équation d’une droite D, de la forme y = mx + p, est appelée équation

réduite de la droite D.

53

54 CHAPITRE 9. EQUATIONS DE DROITE

2. Au niveau de la terminologie, m est le coefficient directeur de la droite d et p son ordonnée

à l’origine.

Remarque. Le point B(0; p) correspond à l’intersection d’une droite D avec l’axe des ordonnées.Ainsi, à l’origine (x = 0) la droite D passe par le point B d’ordonnée y = p. Ceci expliquant laterminologie.

Exemple 9.1.1. Insérer une figure et un exemple

9.1.1 Coefficient directeur

Il sera important de déterminer l’équation réduite d’une droite passant par deux points du planA et B donnés.

Proposition 22. Soient A(xA; yA et B(xB ; yB) deux points du plan vérifiant xA 6= xB alors lecoefficient directeur de la droite (AB) est :

m =yb − ya

xB − xA

Remarque. 1. Lorsque le coefficient directeur est connu, il n’est pas difficile de déterminerl’ordonnée à l’origine en utilisant le fait que A(xA; yA) doit vérifier l’équation y = mx + p.Puisque m est connu, il ne reste plus qu’à trouver la valeur de p en remplaçant y par yA et xpar xA.

2. Il est important d’avoir une interprétation géométrique de ce coefficient directeur. Leplus simple est de se souvenir de la phrase suivante qui permet de passer d’un point Ad’une droite D à un autre : « en partant du point A, si je me décale de 1 sur l’axe desabscisses, il faut que je monte de m sur l’axe des ordonnées pour être à nouveau sur la droite ».

Exemple 9.1.2. insérer un exemple

Chapitre 10

Algorithmie partie 2

10.1 Boucle for et while

10.2 if

55

56 CHAPITRE 10. ALGORITHMIE PARTIE 2

Chapitre 11

Fonction polynôme du second

degré

Rappels : dans un chapitre précédent nous avons étudié des fonctions affines. Il s’agit de fonctionde la forme f(x) = ax + b avec a ∈ R le coefficient directeur et b ∈ R l’ordonnée à l’origine. Cesfonctions peuvent être également désignées sous le nom de polynôme du premier degré. Dans cechapitre nous allons étudié des polynômes du second degré.

11.1 Fonction carré

Définition 11.1.1. La fonction carré est définie sur R par f(x) = x2

Proposition 23. La fonction carré est croissante sur [0; +∞[ et décroissante sur ] − ∞; 0]. Autre-ment dit, nous avons le tableau de variation suivant.

x

f(x) = x2

−∞ 0 +∞

00

Remarque. 1. Deux réels positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre.

2. Deux réels négatis et leurs carrés sont rangés dans l’ordre contraire.

3. La représentation graphique y = x2 correspond à une parabole. Celle-ci est symétrique parrapport à l’axe des ordonnée.

11.2 Polynômes de degré 2

Définition 11.2.1. Un polynôme de degré 2 est une fonction de la forme f(x) = ax2 + bx + c aveca, b, c des réels fixés et a 6= 0.

57

58 CHAPITRE 11. FONCTION POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ

Proposition 24 (Forme canonique). Tout polynôme du second degré f(x) = ax2 + bx + c peuts’écrire sous la forme

f(x) = a(x − α)2 + β

Remarque. Il est possible de montrer que α = −b2a

et β = − b2−4ac4a

.

Exemple 11.2.1. 1. 3x2 − 12x + 5 = 3(x − 2)2 − 7, ici α = 2 et β = −7.

2. −2x2 − 2x = −2(x + 12 )2 + 1

2 , ici α = − 12 et β = 1

2 .

Proposition 25. Les variations, sur R, de la fonction x 7→ a(x− α)2 + β dépendent du signe de a.• Si a > 0 alors

x

f(x)

−∞ α +∞

ββ

Ainsi, f admet pour mininum β atteint en x = α.

• si a < 0 alors

x

f(x)

−∞ α +∞

ββ

Ainsi, f admet pour maximumβ atteint en x = α.

11.3 Représentation graphique d’un polynôme du second

degré

Tout comme la fonction carré, les polynômes admettent pour représentation graphique uneparabole. En revanche, celle-ci n’est pas forcément centré en zéro, ni positionnée dans le mêmesens.

Proposition 26. Soit f(x) = ax2 + bx + c un polynôme du second degré.

1. Si a(x − α)2 + β désigne sa forme canonique alors le point S(α; β) correspond au sommet dela parabole.

2. Si a > 0 la parabole est tournée vers le bas tandis que si a < 0 la parabole est tournée vers lehaut.

3. Dans un repère orthogonal, la parabole admet pour axe de symétrie la droite parallèle à l’axedes ordonnées passant par le sommet. Autrement dit, la droite d’équation x = α.

11.3. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UN POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ 59

Exemple 11.3.1. 1. Si f(x) = 2x2 − 4x − 1, la parabole est tournée vers le bas et son sommeta pour coordonnées S(1; −3).

2. Si f(x) = −x2 +4x−3, la parabole est tournée vers le haut et son sommet a pour coordonnéesS(2; 1).

60 CHAPITRE 11. FONCTION POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ

Chapitre 12

Statistiques descriptives et analyse

de données

12.1 Introduction

La Statistique (l’étude de données statistique) est relativement récente (bien qu’il existe denombreuse traces, dans l’Histoire, de listes d’objets ou de nombres) et fait partie des mathématiquestraitant les évènements aléatoires.

12.2 Vocabulaire

Dans ce chapitre, nous considèrerons une série de n observations ordonnées, notées x1, . . . , xn,avec n ∈ N. Par exemple, pour fixer les idées, on peut penser à aux notes obtenues par une classelors d’un devoir surveillé.

Voici quelques mots de vocabulaire à connaitre .

Définition 12.2.1. Une série d’observations, ou série statistique, se définit à partir de deux para-mètres :

1. Une population qui est l’ensemble des individus (ou objets) observés.

2. Un caractère qui est la qualité étudiée dans la population.

Remarque. Observons que le caractère étudié peut-être de nature diverses :• qualitatif lorsqu’il n’est pas numérique.

• quantitatif discret lorsqu’il peut prendre un nombre fini de valeurs numériques.

• quantitatif continu lorsqu’il peut prendre un nombre infini de valeurs réelles.

Exemple 12.2.1. Supposons que nous ayons un sondage à disposition. Celui-ci a été réalisé auprèsde n personnes (composant la population étudiée) pour connaître leur intention de vote au second

61

62 CHAPITRE 12. STATISTIQUES DESCRIPTIVES ET ANALYSE DE DONNÉES

tour d’une élection (il s’agit du caractère étudié). Les réponses possibles de ce sondage sont : « Oui »,« Non » et « Ne se prononce pas »(il s’agit caractère qualitatif).

Exemple 12.2.2. Un professeur reporte les notes de son dernier contrôle sur son ordinateur. Pourchaque copie (l’ensemble des copies correspond à la population), il a attribué une note (correspon-dant au caractère étudié) pouvant aller de 0 à 20 avec un pas de 0, 25 (il s’agit donc d’un caractèrequantitatif discret).

12.3 Effectifs et fréquences

Définition 12.3.1. Etant donné une série statistique x1, . . . , xn, d’effectif total n ∈ N, il est possiblede déterminer la fréquence d’une observation (l’un des x1, . . . , xn) par la formule suivante

fréquence d’une valeur =effectif de la valeur

effectif total

Remarque. Cette formule est similaire à ce que nous faisions en probabilité dans une situationd’équiprobabilité avec le quotient « nombre de cas favorables / nombre de cas total ».

Exemple 12.3.1. Sur un parking, nous étudions la couleur des voitures. Le caractère étudié estdit qualitatif (les valeurs ne sont pas numériques). La distribution des effectifs est donnée dans letableau ci-dessous :

Couleur grise blanche bleue rougeEffectif 18 7 5 2

Ainsi, l’effectif total vaut 32, l’effectif de la valeur grise vaut 18 ; en conséquence, le fréquence decette valeur vaut 18

32 = 916 = 0, 5625 = 56, 25%.

Dans les exercices, il vous sera parfois demander de compléter un tableau en calculant deseffectifs cumulés croissant ou des fréquences cumulées croisantes. Illustrons ceci par un exemple.

Exemple 12.3.2. Dans un village, nous avons dénombré les foyers selon leur nombre d’enfants.Voici les données obtenues

Nombre d’enfants par foyers 0 1 2 3 4

Effectif (nombre de foyers) 18 14 8 7 3Effectif cumulé croissant 18 32 40 47 50

L’effectif cumulé croissant de la valeur 2 vaut bien 40 car 18 + 14 + 8 = 40. Cela signifie que 40foyers ont deux enfants ou moins. Bien entendu, si nous avions calculé les fréquences de chacundes caractères étudiés nous aurions pu, en procédant de la même manière, calculer les fréquencescumulées croissantes.

12.4 Représentation d’une série statistique

Il est possible de représenter de plusieurs manière différentes une série statistique.

12.4. REPRÉSENTATION D’UNE SÉRIE STATISTIQUE 63

12.4.1 Diagrammes circulaires

Il est possible d’utiliser des diagrammes circulaires (chaque secteur est proportionnel à lafréquence du caractère réprésenté) :

Figure 12.1 – Fréquences des langues parlées dans le monde

L’exemple des voitures (et leurs couleurs) aurait pu être résumer par un diagramme circulaire.

12.4.2 Histogrammes

Nous aurions pu aussi représenter ce genre de chose à l’aide d’histogrammes :

Figure 12.2 – Echantillon de 100 nombres générés de manière aléatoire


12.4.3 Nuages de points

Dans le cas de séries quantitatives (avec des valeurs numériques), il sera également importantde représenter les fréquences (ou effectifs cumulés) cumulées par un nuage de point :

12.5 Moyenne

Dans cette section, nous présentons une valeur numérique qu’il est possible d’associer à une sériestatistiques.

Définition 12.5.1. La moyenne de la série statistique x1, . . . , Xn est le nombre x défini par :

x =x1 + x2 + . . . + xn

n=

1

n

n∑

i=1

xi

Il est important de savoir calculer des moyennes pondérées. Cela signifie que les valeurs x1, . . . , xp

sont respectivement affectées de coefficients n1, . . . , np dans ce cas

x =x1 + x2 + . . . + xp

n1 + . . . + np

Exemple 12.5.1. Imaginons qu’un élève ait obtenu les notes suivantes durant un trimestre6; 12; 7; 14; 10. La moyenne de celui-ci vaut alors

x =6 + 12 + 7 + 14 + 10

5=

49

5= 9, 8

Si jamais les sont affectées, de manière respective, des coefficients 2; 5; 3; 6; 4, la moyenne pon-dérée de ses notes vaut alors

x =2 × 6 + 5 × 12 + 3 × 7 + 6 × 14 + 4 × 10

2 + 5 + 3 + 6 + 4

Voici un autre exemple dans lequel nous calculons une moyenne pondérée.

12.5. MOYENNE 65

Exemple 12.5.2.Don (en euros) 10 15 20 30 50 Total

Effectif 12 17 10 11 5 55

C’est pourquoi, le don moyen x est de 21 = 12×10+17×15+10×20+11×30+5×5055 euros.

La moyenne seule n’est qu’un outil limité ne tenant pas compte de la dispersion des valeurs dela série statistique. Pour palier ce manque, nous définissons les quantités suivantes.

Définition 12.5.2. . La variance de la série statistique (xk; nk), pour 1 ≤ k ≤ l, est notée V estdéfinie par

V =1

N

l∑

i=1

ni(x − xi)2 =

l∑

i=1

fi(x − xi)2

Remarque. Pour fixer les idées, l’écart type permet de quantifier de quelle manière les valeurs serépartissent autour de la moyenne. Prenons l’exemple suivant pour illustrer ceci.

Imaginons qu’une classe ait obtenu une moyenne de 11 à un devoir. L’enseignant décide alorsde calculer l’écart-type (associé à la série statistique des notes du devoir) pour obtenir plusd’information. Si σ est grand (σ = 6 par exemple), grossièrement cela signifie que certains élèvesont au 6 points de plus par rapport à la moyenne tandis que d’autres ont eu 6 points de moinspar rapport à la moyenne. Il est possible de montrer qu’une large partie de la classe a donc sesnotes comprises entre [x−σ; x+σ] = [5; 17]. Cela signifie que la classe a un niveau plutôt hétérogène.

Au contraire, si σ est petit (σ = 1, 5 par exemple). La majorité des notes sera comprise entre[9, 5; 12, 5] attestant que la classe a un niveau homogène.

σ peut aussi s’interpréter comme une mesure de précision, plus celui-ci est petit plus les valeursde la série vont rester proche de la moyenne. Cela peut notamment s’utiliser en sport si nousdécidions de faire des statistiques sur les tirs réussi d’un joueur de basket. Plus σ sera petit, plus lesportif sera régulier et obtiendra des scores proches de son score moyen.

Exemple 12.5.3. Comme nous allons le voir sur l’exemple suivant, la variance permet d’enapprendre plus sur une série statistique et complète l’information apportée par la moyenne.

Considérons les deux séries statistiques suivantes :

S1 : 9; 9; 11; 11 et S2 : 1; 1; 19; 19.

Ces deux séries ont la même moyenne : 10. Calculons la variance et l’écart-type de ces deuxséries :

1. Pour la première série S1, nous avons

V1 =2(9 − 10)2 + 2(11 − 10)2

4= 1 et σ1 =

√

V1 = 1

2. pour la deuxième série S2, nous obtenons

V 2 =2(1 − 10)2 + 2(19 − 10)2

4= 81 et σ2 =

√

V2 = 9


12.6 Quantiles

Pour décrire une série statistique nous allons déterminer des valeurs associées : il s’agit dequantile particuliers. Nous allons nous focalisé sur la médiane ainsi que sur le premier et dernierquartile permettant de mesurer la dispersion de la série autour de sa médiane.

Définition 12.6.1. Soit (x1, . . . , xn) une série statistique à caractère quantitatif. Voici la définitionde certains quantiles.

• La médiane est une valeur telle que :

1. 50% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Med ;

2. 50% des valeurs de la série sont supérieures ou égales à Med

Dans tous les cas, nous noterons la médiane par Med.

• Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle que 25% des valeurs de lasérie lui soient inférieures ou égales.

• Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur de la série telle que 75% des valeurs de lasérie lui soient inférieures ou égales.

La quantité Q3 − Q1 est appelé « écart interquartile »et correspond à 50% de la populationétudiée.

Remarque. 1. Rappelons que « l’étendue » d’une série statistiques est la différence entre la plusgrande valeur de la série ( son maximum) et la plus petite (son minimum). Nous la noterons e.

2. En pratique, lorsque les valeurs sont rangées par ordre croissant, si l’effectif total n est impairla médiane est la n+1

2 valeur ; si n est pair la médiane est la moyenne de la n2 -ième valeur et

de la n+12 valeur.

Exemple 12.6.1. Observons la série statistique suivante :

Longueur (en m) 37 39 40 41 42 43 44 48Effectif 4 3 4 2 2 4 5 2

Effectif cumulés 4 7 11 13 15 19 24 26

1. La longueur médiane des lancers de javelot présentés dans ce tableau est Med = 41, 5m. Eneffet, l’effectif total est pair (ici N = 26) donc la médiane est la moyenne des 13ème et 14èmelongueurs ; lesquelles sont égales à 41m et 42m.

2. Il est facile de déterminer le 1er quartile, puisque 264 = 6, 5, Q1 est la 7ème longueur, à

savoir : Q1 = 39m.

12.6. QUANTILES 67

3. Ce qui permet d’obtenir le troisième quartile : Q3 est la 20ème longueur, puisque3 × 6, 5 = 19, 5, à savoir : Q3 = 44m.

4. Enfin, l’écart interquartile correspond donc à 5.

L’ensemble de ces informations donne une première description de la série (x1, . . . , xn). Ellessont résumées dans la représentation graphique suivante.

Définition 12.6.2. Un diagramme de Tukey (aussi appelé « boîte à moustache ») est un résumé,sur un axe gradué, des quantiles définis ci-dessus. Ce diagramme est constitué

• d’une boîte (dont la hauteur est prise de manière arbitraire) délimitée par le 1er et 3èmequartiles. Cette même boite est ensuite partagée par la médiane.

• de « moustaches » qui relient les quartiles aux valeurs extrêmes de la série.

Un exemple est donné ci-dessous correspondant aux notes (sur 10) d’étudiants.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Exemple 12.6.2. Sur le diagramme précédent, nous lisons donc :

• La médiane Med vaut 5. Ainsi la moitié des élèves ont eu plus de la moyenne.

• Le premier quartile Q1 vaut 3 et le troisième quartile Q3 vaut 6.

• Les valeurs extrêmes valent 1 pour le minimum et 8 pour le maximum.

Exemple 12.6.3. Il est souvent utile de comparer des diagrammes de ce genre pour émettre deshypothèses. Par exemple, imaginons que nous ayons relevé, à différents intervalles (toutes les heures,pendant quatre jours), les températures dans une forêt (en noir ) et dans un champ (en bleu ) proche


de cette même forêt. Ces mesures ont donné lieu aux diagrammes suivants.

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Quelle semble être l’influence des arbres sur la température à l’intérieur de la forêt ?• Ces diagrammes montrent que les températures sont beaucoup plus dispersées dans les

champs. Il est possible de supposer que les arbres permettent de maintenir une températureplus stable.

• Ces diagrammes montrent aussi que les températures sont globalement plus basses en forêt,il est possible émettre l’hypothèse que les arbres aident à conserver la fraîcheur.

Chapitre 13

Fonction inverse

Définition 13.0.1. La fonction inverse est la fonction f qui a tout réel non nul associe son inverse.

f(x) =1

xpour x ∈ R∗

Remarque. La fonction inverse n’est pas définie en 0, il est usuel de dire que 0 est une valeur interditepour la fonction inverse.

Voici le tableau de variation de la fonction inverse.

x

1x

−∞ 0 +∞

Figure 13.1 – La courbe représentative de la fonction inverse s’appelle une hyperbole

69

70 CHAPITRE 13. FONCTION INVERSE

Remarque. Autrement dit, la fonction x 7→ 1x

est décroissante sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; +∞[. Enconséquence, deux réels (non nuls) de même signe et leurs inverses sont rangés dans des ordrescontraires.

Exemple 13.0.1.

Puisque 2 ≤ 4 nous avons 14 ≤ 1

2 .

13.1 Fonctions homographiques

La fonction inverse, permet de considérer des fonctions plus complexes. Il s’agit des fonctionshomographiques.

Définition 13.1.1. Une fonction de la forme x 7→ ax+bxc+d

avec a, b, c et d des réels tels que c 6= 0et ad − bc 6= 0 est une fonction homographique. La courbe représentative est encore une hyperbole(translatée).

Figure 13.2 – Représentation graphique d’une fonction homographique

Remarque. 1. Par exemple, ce genre de fonction apparait naturellement lorsque nous étudionsune fonction comme f(x) = −3 + 2

x+5 . En effet, en regroupant les termes définissant f aumême dénominateur, nous trouvons

13.1. FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES 71

f(x) =−3(x + 5)

x + 5+

2

x + 5=

−3x − 15 + 2

x + 5=

−3x − 13

x + 5

2. L’ensemble de définition d’une fonction homographique est R\− dc puisque le réel − d

cannule

le dénominateur.

Dans ce chapitre nous allons revoir comment résoudre une inéquation impliquant une fonctionhomographique.

Exemple 13.1.1. Supposons que nous soyons amené à résoudre l’inégalité suivante xx+1 < 1. Nous

devons alors nous ramener à une étude de signe.

x

x + 1< 1 ⇐⇒ x

x + 1− 1 < 0 ⇐⇒ x

x + 1− x + 1

x + 1< 0 ⇐⇒ −1

x + 1< 0

Il ne reste plus qu’à établir, en prenant garde aux valeurs interdites, le signe de x 7→ − 1x+1 pour

conclure et résoudre l’inéquation de départ.

72 CHAPITRE 13. FONCTION INVERSE

Chapitre 14

Position relative de droite

Nous allons voir que les équations réduites de droites permettent de traiter facilement, de manièrealgébrique, des problèmes géométriques impliquant des droites.

14.0.1 Droites parallèles

Proposition 27. Une droite D d’équation y = mx + p et une droite D′ d’équation y = m′x + psont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. En abrégé,

D//D′ ⇐⇒ m = m′

Remarque. 1. En particulier, la comparaison des coefficients directeurs permet d’apprendre desinformations sur les droites : si m 6= m′ les droites sont sécantes. Dans les cas contraires,elles sont parallèles. Ainsi, en pratique, il faudra être capable de déterminer des équationsréduites de droites à partir des coordonnées de points (appartenant à ces droites) pourensuite comparer les coefficients directeurs.

2. Observons que des droites de la forme x = c et x = c′ sont parallèles à l’axe des ordonnées,donc entre elles.

Démonstration. Soient D//D′ de telles droites. Considérons alors A et B deux points distincts dela droite D. Les droites parallèles à l’axe des ordonnées passant par A et par B coupent la droiteD′ en deux points notés A′ et B′. Par construction,

xA′ = xA et xB′ = xb (14.0.1)

73

74 CHAPITRE 14. POSITION RELATIVE DE DROITE

Il suffit ensuite d’observer les équivalences suivantes :

D et D′ sont parallèles ⇐⇒ ABB′A est un parallélogramme

⇐⇒ [A′B] et [AB′] ont le même milieu

⇐⇒ xA′ + xB

2=

xA + xB′

2et

yA′ + yB

2=

yA + yB′

2⇐⇒ xB − xA = xB′ − xA′ et yB − yA = yB′ − xA′

⇐⇒ yB − yA

xB − xA

=yB′ − yA′

xB′ − xA′

⇐⇒ m = m′

où, dans l’avant dernière équivalence, nous avons utilisé la relation fournie par l’équation (14.0.1).

14.0.2 Droites sécantes

Comme nous l’avons mentionnée plus tôt, lorsque les coefficients directeurs sont différents lesdroites sont sécantes. Le résultat suivant explique de quel manière déterminer le point de concours.

Proposition 28. Soient D : y = mx + p et D′ : y = m′x + p′ deux droites du plan telles quem 6= m′. Dans ce cas, les coordonnées du point d’intersection des droites D et D′ est l’uniquesolution du système

y = mx + py = m′x + p′

Exemple 14.0.1. Soient d et d′ deux droites d’équations réduites respectives :

d : y = 2x − 3 et d : y = −x + 3

Puisque les coefficients directeurs sont différents, ces droites sont sécantes. Notons par A(x; y) lepoint d’intersection de celles-ci. Pour déterminer les coordonnées de A, il faut et il suffit de résoudrele système suivant :

y = 2x − 3y = −x + 3

⇐⇒

y = 2x − 32x − 3 = −x + 3

⇐⇒

y = 2x − 33x = 6

y = 2 × 2 − 3 = 1x = 2

Ainsi A(2; 1).

14.1 Equation cartésienne d’une droite

Il est ennuyeux d’avoir à faire la distinction (vis-à-vis de leur équation) entre les droites parallèlesà (Oy) de celles qui ne le sont pas. Une solution à ceci est la notion d’équation cartésienne.

Définition 14.1.1. Toute équation de la forme (E) : ax + by + c = 0, avec (a, b, c) ∈ R3, est

appelée équation cartésienne.

14.2. VECTEUR DIRECTEUR 75

Comme nous allons le voir, les équations cartésiennes englobent les deux cas de figures de laProposition ??.

Proposition 29. A toute droite (d) il est possible d’associer une équation cartésienne où le couple(a, b) 6= (0, 0) et réciproquement.

Démonstration. 1. Considérons une équation cartésienne (E) pour laquelle (a, b) 6= (0, 0).• Si b = 0, alors a 6= 0 et l’équation (E) s’écrit x = − c

ace qui correspond bien à une

équation de droite de la forme x = k avec k = − ca

∈ R.

• Si b 6= 0, alors l’équation (E) s’écrit y = 1b(−ax − c) = − a

b− c

bce qui correspond à une

équation de droite de la forme y = mx + p avec m = − ab

∈ R et p = − cb

∈ R.

2. Réciproquement, considérons une droite (d) du plan. Deux cas de figures s’offrent à nous.• Si (d) a pour équation x = k, k ∈ R, alors elle admet pour équation cartésienne x − k = 0

correspondant aux paramètres (a, b, c) = (1, 0, −k).

• Si (d) a pour équation y = mx+p, (m, p) ∈ R2, alors elle admet pour équation cartésienne

−mx + y − p = 0 ce qui correspond au triplet (a, b, c) = (−m, 1, −p).

Remarque. Une droite (d) peut admettre plusieurs représentations cartésiennes.

Exemple 14.1.1. 1. Par exemple, si d est la droite d’équation réduite y = 2x−3. Cette équationpeut se reformuler en

−2x + y + 3 = 0

Il s’agit bien d’une équation cartésienne avec a = −2, b = 1 et c = 3.

2. Si d′ est la droite d’équation x = 3. Sous forme cartésienne, cette équation devient

x − 3 = 0

i.e. a = 1, b = 0 et c = −3.

14.2 Vecteur directeur

Le lien entre droites et calcul vectoriel s’effectue via la notion de vecteur directeur.

Définition 14.2.1. Un vecteur directeur d’une droite (d) est un vecteur dont la direction est pa-rallèle à celle de (d).

Remarque. En particulier, pour tout couple (A, B) de points appartenant à la droite (d), le vecteur−−→AB est un vecteur directeur de cette même droite. Aussi, si −→u est un vecteur directeur de (d) alorsk−→u avec k ∈ R∗ l’est également.


Voyons à présent de quelle manière il est possible d’obtenir un vecteur directeur à partir d’uneéquation cartésienne de droite.

Proposition 30. Soit (d) une droite du plan. Si (d) a pour équation cartésienne ax + by + c = 0,avec (a, b, c) ∈ R

3, alors −→u (−b; a) est un vecteur directeur de (d).

Démonstration. Soit (d) une droite admettant pour équation cartésienne ax + by + c = 0 ainsi que

A(xa; ya) ∈ (d) et M(x; y) ∈ (d) deux points de cette droite. Le vecteur−−→AM(x − xa; y − ya) est un

vecteur directeur de la droite (d). Vérifions que ce vecteur est bien colinéaire au vecteur −→u = (−b; a).

Pour cela calculons le déterminant entre −→u −−→AM et utilisons le fait que les coordonnées des points

M et A satisfont l’équation cartésienne de (d).

det(−−→AM, −→u ) = (x − xa) × a − (y − ya) × (−b) = ax + by − axa − bya = c − c = 0

Donc les vecteurs sont bien colinéaires et −→u est un vecteur directeur de (d).

La proposition suivante nous affirme qu’une droite (d) peut être caractérisée par la donnée d’unpoint A ∈ (d) et d’un vecteur directeur −→u .

Proposition 31. Soient (d) une droite, A ∈ (d) et −→u un vecteur directeur de cette droite. Nousavons la caractérisation suivante des points M appartenant à la droite (d).

M ∈ (d) ⇐⇒ −→u et−−→AM sont colinéaires.

Exemple 14.2.1. Dans un repère, déterminons une équation cartésienne des droites suivantes :

1. (d) passant par le point A(−1; 1) et de vecteur directeur −→u (3; 2).

2. (d′) passant par les points B(2; 3) et C(−3; 5).

Présentons deux manières de répondre à la première question.

• Puisque −→u est un vecteur directeur de (d), cela signifie que cette droite admet une équationcartésienne de la forme (E) : 2x−3y+c = 0 pour un certain c ∈ R. De plus, le point A ∈ (d)dont ses coordonnées vérifient l’équation (E). Autrement dit, 2 × (−1) − 3 × (−3) + c = 0d’où c = 5.

• Nous pouvons également suivre la démonstration de la proposition 31. Considérons un point

générique M(x; y) ∈ (d). Nous savons alors que le vecteur−−→AM(x + 1; y − 1) est colinéaire au

vecteur directeur −→u . Ainsi, leur déterminant est nul :

det(−−→AM, −→u ) = 0 ⇐⇒ 2(x + 1) − 3(y − 1) = 0 ⇐⇒ 2x − 3y + 5 = 0

Traitons à présent la deuxième question. Puisque B et C appartiennent à la droite (d′),−−→BC(−5, 2) est un vecteur directeur de (d′). C’est pourquoi (d′) admet pour équation cartésienne

(E′) : 2x + 5y + c = 0 c ∈ R

Pour déterminer la valeur de c, il suffit d’utiliser le fait que les coordonnées du point B (ou C)vérifie l’équation (E′). Nous obtenons ainsi c = −19.

14.2. VECTEUR DIRECTEUR 77

Enfin, voici une condition de parallélisme entre deux droites à partir de leurs vecteurs directeurs.

Proposition 32 (Condition de parallèlisme). Deux droites sont parallèles si et seulement si leursvecteurs directeurs sont colinéaires.

Remarque. Cette condition peut se vérifier à l’aide du déterminant. En particulier, lorsque lesvecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, les droites sont donc sécantes.

Pour conclure ce chapitre, traitons un dernier exemple

Exemple 14.2.2. Considérons les droites suivantes :

d : 2x − y − 3 = 0 et d : −x − y + 3 = 0

Alors −→u = (1; 2) dirige d et −→v = (1; −1) dirige d′. De plus, Det(−→u ; −→v ) = −1−2 = −3 6= 0, ainsi lesvecteurs ne sont pas colinéaires et les droites sont donc sécantes. Soit A(x; y) le point d’intersectionde celles-ci, déterminons ces coordonnées en résolvant le système suivant

2x − y − 3 = 0−x − y + 3 = 0

⇐⇒

2x − y − 3 = 02 × (−x − y + 3) = 2 × 0

⇐⇒

2x − y − 3 = 0 : L1

−2x − 2y + 6 = 0 : L2

Observons à présent que l’addition (membre à membre) de la ligne L1 avec la ligne L2 supprimela variable x de l’équation et permet de trouver la valeur de y. En effet,

(2x − y − 3) + (−2x − 2y + 6) = 0 ⇐⇒ −3y + 3 = 0 y = 1

Ainsi, en substituant la valeur de y dans la ligne L1 (par exemple), nous en déduisons que

2x − 1 − 3 = 0 ⇐⇒ x = 2.

Cette méthode, portant le nom de « pivot de Gauss », nous permet de retrouver un résultat obtenuplus tôt. L’avantage de cette façon de faire est quelle est robuste et se généralise à autant dessystèmes plus complexes (3 inconnues, trois equations par exemple).

Chapitre 15

Racine carrée et fonction cube

15.1 Racine carrée

15.1.1 Point de vue algébrique

Définition 15.1.1. Soient d ∈ R+ et c ∈ R+. Nous dirons que c est la racine carrée de d si l’égalitésuivante est satisfaite

c2 = d.

Il est usuel de noter c par√

d.

Exemple 15.1.1. 1.√

4 = 2 puisque 22 = 4. Puisque√

4 = 2 ∈ N, nous dirons que que 4 estun carré parfait.

2.√

8 = 2√

2 car (2√

2)2 = 2√

2 × 2√

2 = 4(√

2)2 = 4 × 2 = 8. Pour cet exemple, 8 n’est pas uncarré parfait car 2

√2 /∈ N.

Les racines carrées sont utiles pour résoudre certaines équations :

Proposition 33. Soit d ∈ R+. L’équation suivante

(E) : x2 − d = 0

admet deux solutions : x1 =√

d et x2 = −√

d.

Démonstration. En utilisant l’identité remarquable a2 − b2 = (a + b)(a − b) (avec a = x et b =√

d),l’équation (E) peut s’écrire

(x −√

d)(x +√

d) = 0.

Il suffit d’utiliser la règle du produit nul pour conclure.

Exemple 15.1.2. 1. L’équation x2 − 4 = 0 admet deux solutions x1 = 2 et x2 = −2.

79

80 CHAPITRE 15. RACINE CARRÉE ET FONCTION CUBE

2. L’équation x2 − 8 = 0 admet deux solutions x1 = 2√

2 et x2 = −2√

2.

Propriétés 7. Si a, b ∈ R+ alors√

a × b =√

a ×√

b.

Démonstration. Il suffit de vérifier que (√

a ×√

b)2 = ab.

Remarque. 1. Il est important d’observer que cette propriété n’est valable que pour la multi-plication. En effet, en général,

√a + b 6= √

a +√

b. Ceci peut être démontrer à l’aide d’uncontre-exemple. Si a = 9 et b = 16 nous avons, d’une part

√a + b =

√9 + 16 =

√25 = 5

et d’autre part √a +

√b =

√9 +

√16 = 3 + 4 = 7.

Comme nous allons le voir, cette propriété est utile pour simplifier des racines carrées.

Exemple 15.1.3. 1.√

8 =√

4 × 2 =√

4 ×√

2 = 2√

2

2.√

75 =√

25 × 3 =√

25 ×√

3 = 5√

3.

Il sera également important de savoir supprimer une racine carrée d’un dénominateur.

Exemple 15.1.4. 1√5

= 1√5

×√

5√5

=√

5(√

5)2=

√5

5 . ou encore 21−

√3

= 21−

√3

× 1+√

31+

√3

= − 2−2√

32 .

15.1.2 Point de vue analytique

Il est possible d’étudier la fonction x 7→ √x. Cette fonction est définie sur R+ et admet les

variations suivantes :

x

√x

0 +∞

00

Remarque. Attention, avant la classe de Terminale, la racine carrée d’un nombre négatif n’a pas desens.

15.2. FONCTION CUBE 81

15.2 Fonction cube

Voici une autre fonction qui sera étudiée plus en détails l’année prochaine : il s’agit de la fonctionqui a un nombre réel lui associe son cube.

Voici les variations de la fonction x 7→ x3

x

x3

−∞ +∞

Remarque. Observons que la courbe passe par l’origine (0, 0) puisque f(0) = 0. Elle vérifie égalementune propriété de symétrie centrale par rapport à ce même point. Il est usuel de dire que la fonctionest impaire :

f(−x) = −f(x) x ∈ R

Ceci est à comparer avec la symétrie axiale de la fonction x 7→ x2 qui est une fonction paire :

i.e. f(−x) = f(x) x ∈ R

82 CHAPITRE 15. RACINE CARRÉE ET FONCTION CUBE

Chapitre 16

Evolution

16.1 Variation absolue et taux d’évolution

Soient y1 et y2 deux nombres réels strictement positifs.

Définition 16.1.1. 1. La variation absolue de y1à y2 est le nombre y2 − y1.

2. Le taux d’évolution de y1 à y2 est le nombre t = y2−y1

y1

Remarque. Lorsque t est positif, il s’agit dune évolution ; lorsqu’il est négatif nous parlerons de dimi-nution. Observons qu’un taux d’évolution peut toujours s’exprimer sous la forme d’un pourcentage,lorsque cela sera le cas, nous parlerons de pourcentage d’évolution de y1 à y2.

Exemple 16.1.1. L’ancien prix de la bouteille de soda est y1 = 1, 17 euros, le nouveau prix esty2 = 1, 23 euros. Le taux d’évolution du prix de la bouteille est donc

t =y2 − y1

y1=

1, 23 − 1, 17

1, 17=

0, 06

1, 17≈ 0, 051

En d’autres termes, le prix de la bouteille a augmenté de t ≈ 5, 1%.

16.2 Coefficient multiplicateur

Il est possible d’exprimer différemment la relation t = y2−y1

y1

. En effet, cette formule est équiva-

lente à y2 = (1 + t)y1. Ceci mène à la définition suivante.

Définition 16.2.1. Si y2 = (1 + t)y1, le nombre 1 + t s’appelle le coefficient multiplicateur de y1

à y2.

Remarque. Faire évoluer une quantité d’un taux t revient à la multiplier par 1 + t. Ainsi, lorsquet est sous forme d’un pourcentage :

• augmenter une quantité d’un pourcentage égal à t revient à la multiplier par 1 + t ;

83

84 CHAPITRE 16. EVOLUTION

• diminuer une quantité d’un pourcentage égal à t revient à la multiplier par 1 − t.

Vous avez déjà du rencontrer ce genre de calculs lorsque vous désirez calculer une remise sur unarticle dans un magasin, au moment des soldes par exemple.

Exemple 16.2.1. La masse de céréales d’un paquet est augmenté de 20% pendant une période depromotion. La masse initiale dans un paquet était de 350g.

Le coefficient multiplicateur correspondant à cette évolution est donc de 1 + 20100 = 1, 2. Ainsi,

la masse du paquet en promotion contient 350 × 1, 2 = 420 grammes de céréales.

16.3 Evolutions successives

Proposition 34. Lorsqu’une grandeur subit deux évolutions successives (hausses ou baisses).Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients multiplicateurs de chaqueévolution.

Autrement dit, si cette grandeur subit une première évolution de taux t1, puis une seconde detaux t2 alors elle est multipliée par (1 + t1)(1 + t2).

Exemple 16.3.1. Le prix de l’essence subit une première évolution de taux égal à 0, 3 (augmenta-tion de 30% du prix initial) puis une seconde évolution de taux égal à −0, 2 (diminution de 20%).Le prix initial a donc été multiplié par 1 + 0, 3 = 1, 3 puis par 1 − 0, 2 = 0, 8.

Le prix a donc été, globalement, multiplié par 1, 3 × 0, 8 = 1, 04. Le taux d’évolution globaldu prix est ainsi : 1, 04 − 1 = 0, 04. En définitive, le prix a augmenté de 4%. Nous venons doncde voir qu’un augmentation de 30% suivi d’une diminution de 20% correspond donc à une uniqueaugmentation de 4%.

16.4 Evolution réciproque

Nous avons observé l’évolution d’une valeur y1 vers une autre valeur y2, cependant il égalementpossible d’étudier l’évolution réciproque allant de y2 à y1

Définition 16.4.1. Soit y1 et y2 deux valeurs d’une même grandeur. Ces valeurs permettent dedéfinir deux évolutions réciproques : la première est celle de y1 à y2 et la seconde de y2 à y1.

Proposition 35. Deux évolutions de taux respectifs t et t′ sont réciproques si et seulement si leproduit des coefficients multiplicateurs est égal à 1. C’est-à-dire, si et seulement si

(1 + t)(1 + t′) = 1

Exemple 16.4.1. Un prix subit une augmentation de 23%, soit un taux d’évolution t égal à 0, 23,ce qui fournit un coefficient multiplicateur (correspondant à cette évolution) égal à 1, 23. Le tauxd’évolution réciproque t′ (permettant de retrouver le prix initial après l’évolution décrite ci-dessus)est tel que

16.4. EVOLUTION RÉCIPROQUE 85

1, 23 × (1 + t′) = 1

Donc, 1 + t′ = 11,23 ≈ 0, 813 et 0, 813 − 1 = −0, 187. Donc, une valeur approché de t′ est −0, 187

(soit une réduction d’environ 18, 7%). En conclusion, une hause de 23% et une baisse de 18, 7%sont deux évolutions réciproques. La diminution de 18, 7% d’un prix augmenté de 23% permet deretrouver le prix initial.

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