cours de mathÉmatiquesfabienpucci.fr/wp-content/uploads/2020/04/2020_ts.pdf · chapitre i suites -...

Lycée Gontran DAMAS

Cours deMATHÉMATIQUES

— Fabien PUCCI —

Classe de TS - SI

Enseignement de MathématiquesPremier semestre

Année 2019-2020

Table des matières

Page

.I Suites - Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I Rappels de première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

II Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

III Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

IV Suites divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

V Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

VI Théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

VII Comportement des suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

VIII Théorème de convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Activité no 1 : Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Test no 1 : Contrôle de connaissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Devoir en temps libre no 1 : Suites particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Correction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Test no2 : G – Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Devoir en temps libre no2 : Une jolie courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Correction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Activité no2 : Un peu de géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Test no 3 : G – Limites de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Test no 4 : G – Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Activité no 3 : Étude de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Fiche no 1 : Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Fiche no2 : Calculs de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Devoir surveillé no 1 : Suites et Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

.II Probabilités Conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

I Probabilités Conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

II Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

III Variables aléatoires et loi binomiale (Rappels) . . . . . . . . . . . . . 70

IV Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Activité no 4 : Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Test no 5 : G – Probabilités Conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

I

Devoir en temps libre no 3 : Suites et Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Activité no 5 : Suites - Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Fiche no 3 : Probabilités Conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Devoir surveillé no2 : Suites - Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Devoir en temps libre no4 : Probabilités et Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

.III Dérivation (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

I Rappels et anticipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

II Calculs de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

III Dérivée et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

IV Plan d’étude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Test no 6 : G – Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Fiche no 4 : Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

.IV Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

I Vade-mecum de première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

II Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Activité no 6 : La fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Fiche no 5 : Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Devoir surveillé no 3 : Dérivabilité et Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Devoir en temps libre no 5 : Dérivabilité et Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

.V Limites & Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

I Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

II Limite à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

III Limite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

IV Limite d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

V Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

VI Les grands théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Activité no 7 : Une histoire d’asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Test no 7 : G – Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Test no 8 : G – Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Activité no 8 : Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Correction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Fiche no 6 : Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Fiche no 7 : Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Activité no 9 : Révisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Devoir commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

.VI Nombres Complexes I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

I L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

II Nombres et Plan complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

III Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

IV Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Test no 9 : G – Nombres Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Test no 10 : G – Nombres Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Devoir en temps libre no 6 : Nombres Complexes et Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

.VII L’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

I La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

II Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Activité no 10 : Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Test no 11 : G – Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Fiche no 8 : Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Devoir surveillé no 4 : Nombres Complexes et Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

.VIII Le Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259

I Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

II Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

III Propriétés analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

IV Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Fiche no 9 : Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Bac Blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

.IX Nombres Complexes II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

I Forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

II Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

III Ensemble de points (le retour) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Devoir en temps libre no 7 : Nombres Complexes et Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 307

Correction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

Devoir en temps libre no8 : Le pentagone régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

Correction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

Fiche no 10 : Les nombres Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

.X Géométrie dans l’espace I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .318

I Repérage dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

II Droites et Plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

III Positions relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

IV Parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

V Section de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

VI Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

Devoir en temps libre no9 : Géométrie dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

.XI Primitives et Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .360

I Un exemple de bac pour motiver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

II Intégrale et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

III Les primitives d’abord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

IV Exemples de calculs d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

V Le cours comme il devrait être : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

VI Conséquences du théorème (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

VII Calcul d’aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

VIII Intégration par parties (Hors-programme) . . . . . . . . . . . . . . 383

Devoir en temps libre no 10 : Antilles-Guyane 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

Correction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

Fiche no 11 : Calcul Intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

.XII Géométrie dans l’espace II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .391

I Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

II Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

III Positions relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

IV Hors-programme mais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

Fiche no 12 : Géométrie dans l’Espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

.XIII Lois Continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .427

I Rappels de première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

II Variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

III Exemples de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

IV La Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

V Loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

VI Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

VII Approximation normale d’une loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

VIII Un peu d’histoire et de culture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

Fiche no 13 : Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

Fiche no 14 : Lois Continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

Fiche no 15 : Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

.XIV Fluctuation d’échantillonnage - Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

I Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

II Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

Fiche no 16 : Fluctuation d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

Fiche no 17 : Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

Chapitre

I

Suites - Limites

L’année dernière, vous avez découvert le monde des suites et essentiellement celui dessuites particulières que sont les suites arithmétiques et géométriques.

Cette année concentre ses efforts sur le comportement des suites en général et aborde la notionde convergence , c’est-à-dire leur comportement à l’infini .

On parle alors de comportement asymptotique.

SommaireI Rappels de première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.1 Encadrement de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.2 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.3 Représentation graphique d’une suite récurrente . . . . . . . . . . . . 6I.4 Suites particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8III Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10IV Suites divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

IV.1 Suites de limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14IV.2 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16IV.3 Suites qui n’ont pas de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

V Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17V.1 Limite d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17V.2 Limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18V.3 Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18V.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

VI Théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20VII Comportement des suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . 21VIII Théorème de convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Activité no 1 : Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . 26Test no 1 : Contrôle de connaissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Devoir en temps libre no 1 : Suites particulières . . . . . . . . . . . . . 33Correction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Test no2 : G – Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . 39Devoir en temps libre no2 : Une jolie courbe . . . . . . . . . . . . . . 41Correction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Activité no2 : Un peu de géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Test no 3 : G – Limites de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Test no 4 : G – Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1

I. Suites - Limites I. RAPPELS DE PREMIÈRE

Activité no 3 : Étude de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Fiche no 1 : Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Fiche no2 : Calculs de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Devoir surveillé no 1 : Suites et Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

I Rappels de première

Une suite (un)n∈N est une fonction définie sur N.Une suite numérique est une suite à valeurs dans R ou C ⌊1⌋.

u : N Rn un

À chaque entier naturel n on associe un nombre réel un appelé terme de rang n de lasuite (un)n∈N.

Définition 1

Les suites (un)n∈N rencontrées au lycée sont définies :

— de manière explicite : un =3n − 1n + 2

.

Le terme de rang n est directement obtenu en fonction de n.

— de manière récurrente :

u0 = 2,

un+1 = 5 − 16un + 3

.

Le terme de rang n + 1 est obtenu en fonction du terme précédent.

1.

u0 = 2,

un+1 = 5 − 16un + 3

.

1: VARIABLES

2: N EST_DU_TYPE NOMBRE

3: U EST_DU_TYPE NOMBRE

4: DEBUT ALGORITHME

5: Lire N6: U PREND_LA_VALEUR 27: POUR I ALLANT_DE 1 A N8: DEBUT POUR

9: U PREND_LA_VALEUR 5 − 16U + 3

10: FIN POUR

11: AFFICHER U

12: FIN ALGORITHME

N 3 10 20 50U 1,571 4 1,285 7 1,666 1,074

2. Sn+1 = u0 + u1 + u2 . . . + un + un+1

= Sn + un+1.

1: VARIABLES

2: N EST_DU_TYPE NOMBRE

3: U EST_DU_TYPE NOMBRE

4: S EST_DU_TYPE NOMBRE

5: DEBUT ALGORITHME

6: Lire N7: U PREND_LA_VALEUR 28: S PREND_LA_VALEUR U9: POUR I ALLANT_DE 1 A N

10: DEBUT POUR

11: U PREND_LA_VALEUR 5 − 16U + 3

12: S PREND_LA_VALEUR S + U13: FIN POUR

14: AFFICHER S

15: FIN ALGORITHME

N 3 10 20 50S 7,039 16,672 28,77 61,969

Remarque : Les variables U et S ne servent stockent, à chaque étape, les valeurs de un

et Sn.Ces valeurs sont ensuite remplacées par les valeurs suivantes un+1 et Sn+1. Les valeurs deun et Sn sont alors perdues.

⌊1⌋. Un corps de nombres.

http://fabienpucci.fr/ 2

http://fabienpucci.fr/


Exercice 1 : À l’aide de la calculatrice ou d’un algorithme, calculer les premiers termes dessuites suivantes :

1.

u0 = 1

un+1 =√

2 + un. 2.

u1 =12

un+1 =n + 1

2nun

. 3.

u0 = 1, u1 = 2

un+2 = 5un+1 − 6un.

I.1 Encadrement de suites

— La suite (un)n∈N est majorée s’il existe un réel M tel que ∀n ∈ N , un 6M .

— La suite (un)n∈N est minorée s’il existe un réel m tel que ∀n ∈ N , un > m .

— La suite (un)n∈N est bornée si elle est à la fois majorée et minorée .

Définition 2 (Suites majorées, minorées, bornées. . . )

Avant de se lancer, on réfléchira à la méthode la plus adaptée :

— En général, on étudie le signe de la différence un − m ou un − M .

— Si la suite (un)n∈N est définie par un = f(n) ou un+1 = f(un), on peut utiliser letableau de variations de la fonction f pour montrer que (un)n∈N est majorée, minoréeou bornée.

— Si le terme général est donné sous la forme d’un quotient, on peut majorer/minorernumérateur et dénominateur.

Méthode 1 (Encadrer une suite)

Exercice 2 : Montrer que :

1. La suite (un)n∈N définie sur N∗ par un = 1 +1n

vérifie 1 < un 6 2, ∀ n ∈ N∗.

2. La suite (un)n∈N définie sur N∗ par un =

√1 + n2

nvérifie 1 < un < 1 +

1n

, ∀ n ∈ N∗.

Exercice 3 : Pour les cas suivants, préciser si la suite (un)n∈N est majorée, minorée oubornée.

1. un = sin n.

2. un =1

1 + n2.

3. un = 2n.

4. un = n + cos n.

5. un = (−1)n × n2.

Exercice 4 :

1. Donner un minorant de la suite (un) définie pour tout entier n > 0 par un = 5+2n(1

3

)n

.

2. Donner un majorant de la suite (sn) définie pour tout entier n > 0 par sn = −2n2+8n+3.

3. Montrer que la suite (vn) définie par vn =6n + 22n + 1

pour tout n ∈ N est majorée par 3.




Pour montrer qu’une suite (un)n∈N n’est pas majorée :

— On se donne un réel A quelconque .

— On montre que l’on peut toujours trouver un terme de la suite plus grand que A enrésolvant, par exemple, l’inéquation un > A .

Méthode 2 (Suite non majorée)

I.2 Suites monotones

On dit qu’une suite (un)n∈N est :

— croissante à partir d’un rang n0 si ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ un 6 un+1.

— décroissante à partir d’un rang n0 si ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ un > un+1.

— constante à partir d’un rang n0 si ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ un = un+1.

Une suite croissante ou décroissante est dite monotone .

Définition 3

On parlera aussi de suites strictement monotones lorsque les inégalités larges ci-dessus serontremplacées par des inégalités strictes .

Attention, une suite peut être ni croissante, ni décroissante.

Exemples 1 : un = (−1)n, un =(−1)n

n,

u0 = 1un+1 = sin(un)

, un = tan(n), . . .

Comparez deux termes d’une suite est difficile à faire directement. On se ramène donc encoreà comparer leur différence à 0 ou leur quotient à 1 .

Pour montrer qu’une suite (un)n∈N est croissante :

— On exprime un+1 − un, on factorise, réduit au même dénominateur, . . .

— À l’aide d’un tableau de signes, on montre que un+1 − un > 0.

Méthode 3 (Montrer qu’une suite est croissante)

Pour montrer qu’une suite (un)n∈N sous forme multiplicative et à termes strictement positifsest croissante :

— On exprimeun+1

un, on factorise, simplifie majore, minore, . . .

— On montre le numérateur est plus grand que le dénominateur c.-à-d.un+1

un> 1.

Méthode 4 (Montrer qu’une suite est croissante)




Exercice 5 : Étudier le sens de variation des suites suivantes :

1. un = n2 − n + 2

2.

w0 = 2wn+1 = wn − n

3. γn = 1+12

+13

+ . . .+1n

.

4. vn =(2

3

)n

5.

α0 = 1αn+1 = (n2 + 1)αn

Exercice 6 : On considère la suite (vn)n∈N définie par

v0 = 1

vn+1 =9

6 − vn.

En admettant que, pour tout entier naturel n, 0 < vn < 3.

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, vn+1 − vn =(3 − vn)2

6 − vn.

La suite (vn) est-elle monotone ?

2. (Plus tard) Démontrer que la suite (vn)n∈N est convergente.

Soient f une fonction définie sur [0 ; +∞ ] et (un)n∈N la suite définie par un = f(n).

— Si f est croissante alors la suite (un)n∈N est croissante .

— Si f est décroissante alors la suite (un)n∈N est décroissante .

Proposition 1 (Suites définies explicitement par une fonction)

En gros, la suite a le même comportement que la fonction mais la réciproque est fausse, c’est-à-dire que la fonction n’a pas nécessairement le même comportement que la suite.

Prenons par exemple, la fonctionf : x 7−→ x + sin(2πx) et la suite (un)n∈N

définie par un = f(n).

— ∀n ∈ N, un = n + sin(2πn) = n ⌊2⌋. Lasuite (un)n∈N est donc croissante .

— La fonction, représentée en rouge, n’estmême pas monotone.

u1 = 1 b

u1

u2 = 2 b

u2

u3 = 3 b

u3

u4 = 4 b

u4

u5 = 5 b

u5

1 2 3 4 5 n

un Cf

Exercice 7 : A l’aide des fonctions associées, déterminer le sens de variations des suitessuivantes :

1. un = n2 − 10n + 26.

2. vn =3n − 1n + 2

.3. wn =

n2 + 12n

. 4. xn = 2n3 − 30n2 + 54n.

⌊1⌋. On démontrerait ce résultat par récurrence sur n ∈ N.⌊2⌋. sin(0π) = sin(2π) = sin(3π) = sin(4π) = . . . = 0 !




I.3 Représentation graphique d’une suite récurrente

Pour visualiser une suite définie par récurrence un+1 = f(un) dans un repère :

— On trace la courbe Cf représentative de la fonction f associée et de la premièrebissectrice (∆) : x 7−→ x.

— On place le point A0 (u0; 0).

— On trouve u1 = f(u0) à l’aide de Cf .

— . . .

Méthode 5 (Représentation d’une suite)

Exemple 2 : Soit (un)n∈N la suite définie par

u0 = 1

un+1 = 1 +1un

.

On applique la méthode (5) stricto sensu :

— On trace les courbes de f : x 7−→ 1 +1x

et x 7−→ x.

— On place le point A0 (u0; 0).

— On trouve u1 = f(u0) à l’aide de Cf .

— On place le point A1 d’ordonnée nulle et d’abscisse u1 par symétrie d’axe (∆).

— . . .

0 1 20

1

2

b

b b

bb

b b

Cf

|

A0

|

A1

|

A2

|

A3




Exercice 8 : Dans un repère, représenter les suites suivantes :

1.

u0 = −1

un+1 =√

2 + un

2.

u0 = 0,1

un+1 = 2un(1 − un) 3.

u0 = 5

un+1 =4un − 1un + 2

I.4 Suites particulières

Ne s’agissant que de rappels, les principaux résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous :

Suite arithmétique Suite géométriqueRelation

fondamen-tale

un+1 − un = run+1

un= q

Définitionrécurrente

un+1 = un + r un+1 = qun

un = u0 + nr un = qnu0Définitionexplicite un = up + (n − p)r un = qn−pup

u0 + . . . + un = (n + 1)u0 +n(n + 1)

2r

= (n + 1) × u0 + un

2

u0 + . . . + un = u0 × 1 − qn+1

1 − q, si q 6= 1

= (n + 1)u0 , si q = 1Somme de

termes

(m 6 n) um + . . . + un = (n − m + 1)u0 +(n − m)(n − m + 1)

2r

= (n − m + 1) × um + un

2

um + . . . + un = um × 1 − qn+1−m

1 − q, si q 6= 1

= (n + 1 − m)um , si q = 1

Exercice 9 : Au premier janvier 2007, un locataire paye un loyer mensuel de 110000 xpf.Ce loyer augmente de 3% chaque année.

1. Quel sera le montant du loyer en janvier 2015 ? (arrondir à l’unité)

2. Calculer le total des loyers payés par le locataire du premier janvier 2007 au 31 décembre2015. (arrondir à l’unité)

3. À quelle date le total des loyers payés depuis le premier janvier 2007 dépassera-t-il4000000 xpf.

Exercice 10 : On considère la suite (un)n∈N définie par u0 = 1 et, pour tout entier natureln, par :

un+1 =5un − 14un + 1

1. On définit (vn)n∈N par :

vn =1

un − 12

Démontrer que (vn)n∈N est une suite arithmétique. Exprimer le terme général vn enfonction de n.

2. En déduire le terme général un de la suite (un)n∈N en fonction de n.

Exercice 11 : Soit la suite numérique (vn) définie pour tout entier naturel n par :

v0 = 1

vn+1 =9

6 − vn.

On considère la suite (wn)n∈N définie pour tout n entier naturel par wn =1

vn − 3.



I. Suites - Limites II. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE

1. Démontrer que (wn) est une suite arithmétique de raison −13

2. En déduire l’expression de (wn), puis celle de (vn) en fonction de n.

3. (Plus tard) Déterminer la limite de la suite (vn).

II Comportement asymptotique

En introduction, considérons les trois suites ci-dessous :

—

u0 = −1

un+1 =43

un + 2, —

v0 = 0

vn+1 =√

3vn + 4,

— wn = (−2)n.

Pour de « grandes » valeurs de n, on a regroupé les termes de ces suites dans le tableau ci-dessous :

n 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

un 65,03 88,70 120,27 162,36 218,49 293,32 393,09 526,13 703,50 940,01 1255,34 1675,79 2236,39 2983,86 3980,48 5309,30

vn 3,999649 3,999868 3,999950 3,999981 3,999993 3,999997 3,999999 3,999999 3,999999 3,999999 3,999999 3,999999 3,999999 3,999999 4 4

wn 1024 -2048 4096 -8192 16384 -32768 65536 -131072 262144 -524288 1048576 -2097152 4194304 -8388608 16777216 -33554432

Que peut-on conjecturer ?

— La suite (un)n∈N prend des valeurs de plus en plus grandes : on dira qu’elle diverge vers+∞.

— la suite (vn)n∈N semble se stabiliser autour de 4 : on dira qu’elle converge vers 4.

— La suite (wn)n∈N prend des valeurs de plus en plus grandes, tantôt positives, tantôt néga-tives : on dira qu’elle diverge.

Exercice 12 (Liban 2013) : On considère la suite numérique (vn) définie pour tout entiernaturel n par :

v0 = 1

vn+1 =9

6 − vn.

1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous lestermes de la suite, du rang 0 au rang n.Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant laréponse.



I. Suites - Limites II. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE

Algorithme No 1 Algorithme No 2 Algorithme No 3Variables : Variables : Variables :v est un réel v est un réel v est un réeli et n sont des entiers natu-rels

i et n sont des entiers natu-rels

i et n sont des entiers natu-rels

Début de l’algorithme : Début de l’algorithme : Début de l’algorithme :Lire n Lire n Lire nv prend la valeur 1 Pour i variant de 1 à n faire v prend la valeur 1Pour i variant de 1 à n faire v prend la valeur 1 Pour i variant de 1 à n faire

v prend la valeur9

6 − vAfficher v Afficher v

Fin pour v prend la valeur9

6 − vv prend la valeur

96 − v

Afficher v Fin pour Fin pourAfficher v

Fin algorithme Fin algorithme Fin algorithme

2. Pour n = 10 on obtient l’affichage suivant :

1 1,800 2,143 2,333 2,455 2,538 2,600 2,647 2,684 2,714

Pour n = 100, les derniers termes affichés sont :

2,967 2,968 2,968 2,968 2,969 2,969 2,969 2,970 2,970 2,970

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (vn)n∈N ?

Exercice 13 : Pour chacune des suites suivantes, en calculant différents termes, conjecturerla valeur limite de un quand n devient infiniment grand c.-à-d. quand n tend vers +∞.

1. un =1n

.

2. un = 2n2 − 1.

3. un =n

n + 1.

4. un =(1

3

)n

.

5. un =2n + 1n − 5

.

6.

u0 = 1

un+1 =2un + 1un − 5

.

7. un = sin n.

8.

u0 = 1

un+1 = sin un

.

Mettons un peu de formalisme dans ses premières impressions !



I. Suites - Limites III. SUITES CONVERGENTES

III Suites convergentes

On considère une suite numérique (un)n∈N et on s’intéresse à son comportement lorsque n → +∞.

Considérons la suite (un)n∈N définie par un =3n + (−1)n

2net représentée ci-dessous :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

1

2

n

un = f(n)

bc u2bc u4 bc u6 bc u8 bc u10 bc u12 bc u14 bc u16 bc u18 bc u20 bc u bc bc bc bc

bc u1

bc u3bc u5

bc u7bc u9

bc u11 bc u13 bc u15 bc u17 bc u19 bc u21 bc bc bc bc32

Rang à partir duquel tous lestermes un de la suite sont dansla bande centrée autour de ℓ.

Sur cet exemple, le graphique permet de conjecturer que la suite (un)n∈N converge vers32

: les

termes de la suite, pour n grand, semblent s’accumuler dans une bande de plus en plus étroite

centrée en32

. Bande que l’on pourrait prendre aussi fine que l’on voudrait.

Cette idée est formalisée par la définition ci-dessous et la plus importante du chapitre :

Dire que la suite numérique (un)n∈N converge vers un réel ℓ signifie que tout intervalleouvert contenant ℓ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.On dit alors que ℓ est la limite de la suite (un)n∈N et on note lim

n→+∞un = l.

Définition 4

En apparence absconse, cette définition, si on la regarde de plus près, traduitsimplement qu’une suite convergente, vu le nombre infini de ses termes, n’a pasd’autre choix que de s’agglutiner autour de sa limite.

1 2

u2u4u6bcbcbcbcbcbcbcbcbcbcbcbcbcbcbc

u1 u3 u5bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc b

ℓ

Les termes de la suite un =3n + (−1)n

2ns’agglutine autour de ℓ =

32

.




Quel que soit le voisinage de celle-ci, aussi petit soit-il, tous les termes, sauf unnombre fini entreront plus ou moins rapidement dans ce voisinage.

Toutefois, l’utilisation directe de cette définition n’est pas toujours commode. Heureusement,nous disposons de théorèmes (voir ci-dessous) pour prouver la convergence d’une suite dontl’emploi est bien plus aisé que cette définition. Cette dernière sera surtout utile dans la démons-tration de certains théorèmes (comme le théorème (9) des gendarmes par exemple).

On peut formuler la définition comme suit :

— (un)n∈N converge vers ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes dela suite sauf un nombre fini.

— (un)n∈N converge vers ℓ si pour tout intervalle ouvert I contenant ℓ, il existe un entier no

tel que n > no =⇒ un ∈ I.

A la manière de Newton et d’un point de vue infinitésimal, on peut encore voir cette définitionde la manière suivante :

— (un)n∈N converge vers ℓ si pour tout nombre réel strictement positif ε ⌊3⌋(lire « epsilon »),il existe un rang no, à partir duquel, toutes les valeurs de un sont proches de ℓ à ε près.

— ou encore : pour tout nombre réel ε > 0, il existe un entier no tel que : si n > no, alorsℓ − ε < un < ℓ + ε.

Enfin et à la manière des grands, une dernière écriture qui résume tous les commentairesprécédents :

La suite (un)n∈N converge vers ℓ si, et seulement si :

∀ε ∈ R+∗, ∃ no(ε) ∈ N / ∀ n ∈ N, n > no =⇒ −ε < un − ℓ < ε.

« Pour tout réel strictement positif ε, il existe un entier n0 (qui dépend de lui) tel que, pourtout entier n plus grand que n0, la distance un − ℓ est strictement inférieure à ε. »

Que pressent-on déjà ?

Les suites définies pour tout entier naturel n non nul par :

un =1n

, vn =1n2

, wn =1n3

, tn =1√n

ont pour limite 0.

Proposition 2

⌊3⌋. aussi petit soit-il.




Exemple 3 : La suite (un)n∈N définie par un =(−1)n

n, n ∈ N∗, converge vers 0.

Tout intervalle ouvert ] − a; a[, a ∈ R+∗, contenant 0 contient tous les termes de la suite

(un)n∈N à partir du rang n0 = E(1

a

)+ 1 où E désigne la fonction partie entière.

Remarques :— Si une suite ne converge pas elle est dite divergente . Autrement dit, une suite est

divergente si, et seulement si elle admet une limite infinie ou si elle n’admet pas de limite.Cette situation n’est pas aussi simple qu’elle n’y paraît. Une section est consacrée à cetype de suites.

— Si la suite (un)n∈N est de la forme un = f(n) avec f une fonction définie sur un intervallede la forme [a; +∞[, nous verrons que le comportement de la suite est intimement lié àcelui de la fonction en +∞. ⌊4⌋

Si une suite converge alors sa limite est unique.

Théorème 3

Par la contraposée, « si une suite possède plusieurs limites alors elle diverge. »

Par exemple, la suite définie par un = (−1)n qui possède deux valeurs d’adhérence 1 et −1 estdivergente.

Preuve: Soit (un)n∈N une suite convergente. Supposons qu’elle admette deux limites dis-tinctes ℓ et ℓ′ avec, par exemple, ℓ < ℓ′.

On va montrer que cela n’est pas possible sans contradiction.

Soit d un réel positif inférieur strictement àℓ′ − ℓ

2⌊5⌋.

On pose I =]ℓ − d ; ℓ + d [ et I ′ =]ℓ′ − d ; ℓ′ + d [.

I I ′

ℓ ℓ′

ℓ′ − ℓ

2

d d

⌊4⌋. Nous verrons plus tard.




Comme d <ℓ′ − ℓ

2alors 2d < ℓ′ − ℓ ou encore d + ℓ < ℓ′ − d. Les deux intervalles I et I ′ sont

donc disjoints et contiennent respectivement ℓ et ℓ′.

Venons-en à la contradiction : Par définition, si (un)n∈N converge vers ℓ, l’intervalle I contienttous les termes de la suite à partir d’un certain rang no. Mais (un)n∈N converge aussi vers ℓ′

donc I ′ contient aussi tous les termes de la suite à partir d’un certain rang n1.

Finalement, si l’on prend n supérieur au plus grand des deux nombres no et n1, un devraappartenir à la fois à I et I ′, ce qui est impossible car ces intervalles sont disjoints.

(un)n∈N ne peut donc admettre deux limites distinctes et la limite d’une suite est, de ce fait,unique.

⌊5⌋. La moitié de la distance entre ℓ et ℓ′.



I. Suites - Limites IV. SUITES DIVERGENTES

IV Suites divergentes

IV.1 Suites de limite infinie

Considérons, par exemple, la suite (un)n∈N définie par un =√

n + 2.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1

2

3

4

5

6

7

n

un = f(n)

bc

u0

bc

u1

bc

u2

bc

u3

bc

u4

bc

u5

bc

u6

bc

u7

bc

u8

bc

u9

bc

u10

bc

u11

bc

u12

bc

u13

bc

u14

bc

u15

bc

u16

bc

u17

bc

u18

bc

u19

bc

u20

bc

u21

bc

u22

bc

u23

bc

u24

A

Rang à partir duquel tous les termes un

de la suite sont supérieurs à A.

Par analogie avec une suite convergente, une suite qui diverge vers +∞ doit nécessairementdépasser toute valeur de A, aussi grand soit-il. La définition suivante formalise cette idée :

Une suite (un)n∈N a pour limite +∞ si tout intervalle ouvert de la forme ]A ; +∞ [ avecA ∈ R, contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.On dit alors que (un)n∈N diverge vers +∞ et on note lim

n→+∞un = +∞.

Définition 5

On définit de la même façon une suite qui diverge vers −∞ :

Comme les grands, cela s’écrit :

La suite (un)n∈N diverge vers +∞ si, et seulement si :

∀A ∈ R, ∃ no(A) ∈ N / ∀ n ∈ N, n > no =⇒ A 6 un.

« Pour tout réel A, il existe un un entier n0 (qui dépend de lui) tel que pour tout entier n plusgrand que n0, le terme un est plus grand que A. »

Remarque : On retrouve ici la définition de l’infini.

Vient alors un théorème simple mais important :




Si une suite (un)n∈N est croissante et non majorée, alors :

limn→+∞

un = +∞

Théorème 4 (Suites monotones 1)

Preuve: On applique la définition (5) ainsi que celle d’une suite croissante.

Soit A un nombre réel quelconque.

— Comme la suite (un)n∈N n’est pas majorée, on peut trouver un entier p tel que up > A.

— La suite (un)n∈N étant croissante, pour tout n > p, un > up d’où un > A.

— A partir du rang p, tous les termes de la suite sont donc dans l’intervalle ]A; +∞[.

— Conclusion, on est bien dans les cas d’application de la définition (5) .D’où lim

n→+∞un = +∞ .

Et pour les suites décroissantes, on a, par symétrie :

Si une suite (un)n∈N est décroissante et non minorée, alors :

limn→+∞

un = −∞


ATTENTION

La réciproque de ce théorème est fausse : si une suite diverge vers +∞, elle n’est pasnécessairement croissante.Il suffit de considérer la suite définie par un = n + (−1)n pour s’en convaincre.De même, toutes les suites croissante ne sont pas nécessairement divergente vers l’infini.

Considérez un = 3 − 1n

.

Les suites définies pour tout entier naturel par :

un = n, vn = n2, wn = n3, tn =√

n, rn = an, a > 1

ont pour limite +∞.

Corollaire 6




IV.2 Suites arithmétiques

Soit (un)n∈N une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r.

— Si r > 0 alors limn→+∞

un = +∞. La suite diverge vers +∞ .

— Si r < 0 alors limn→+∞

un = −∞. La suite diverge vers −∞ .

— Si r = 0 alors limn→+∞

un = u0. La suite est constante .

Théorème 7

Preuve: C’est relativement simple avec les propriétés précédentes. Si r > 0 alors la suite(un)n∈N est croissante. Il ne reste plus qu’à montrer qu’elle n’est pas majorée et appliqué lethéorème (4) .

Supposons, par l’absurde, que M ∈ R soit un majorant de (un)n∈N. Pour tout n entier, onaurait un 6M , c’est-à-dire u0 + nr 6M .

Or, tout entier no tel que no >M − u0

rcontredit cette inégalité. La suite ne peut donc être

majorée.

La suite (un)n∈N, croissante et non majorée, est donc divergente vers +∞.

Les autres cas se montrent de manière analogue.

Une suite arithmétique est donc, dans les cas non dégénérés, divergente vers ±∞.

IV.3 Suites qui n’ont pas de limite

ATTENTIONS’il est correct de dire qu’une suite non convergente est divergente, il est cependantfaux de penser qu’une suite divergente s’envole nécessairement vers l’infini ⌊6⌋. Eneffet, il existe des suites qui n’ont pas de limite. Elles sont, elles aussi, appelées suitesdivergentes.

Exemple 4 : Les suites (un)n∈N et (vn)n∈N respectivement définies par un = (−1)n etvn = sin n sont divergentes sans pour autant diverger vers l’infini.

⌊6⌋. et au-delà !



I. Suites - Limites V. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

V Opérations sur les limites

Les résultats de certaines opérations sur les limites sont intuitifs et parfaitement déterminés.

D’autres opérations mènent à des formes dites « indéterminées », c’est-à-dire qu’elles conduisentà plusieurs résultats possibles qu’ils faudra. . . déterminer.

Pour ce faire, il faudra alors user de différentes méthodes et techniques pour transformer l’écri-ture de la suite et « lever l’indétermination ». Notamment, factoriser une somme, développerun produit, décomposer une fraction en éléments simples ou multiplier le numérateur et ledénominateur par la quantité conjuguée. Nous verrons cela.

Les théorèmes suivants sont admis. Il est assez intuitif de penser que la limite de la somme, duproduit ou du quotient est la somme, le produit ou le quotient des limites et cela a déjà étémontré dans le cas des suites convergentes.

Seuls 4 cas à bien identifier représentent des formes indéterminées. Il faudra alors soit essayerde changer la forme de la suite, soit utiliser le théorème de comparaison ou des gendarmes, soitle théorème sur les suites monotones (voir plus loin) pour pouvoir conclure ⌊7⌋.

V.1 Limite d’une somme

Si (un)n∈N a pour limite ℓ ℓ ℓ +∞ −∞ +∞Si (vn)n∈N a pour limite ℓ′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞alors (un + vn)n∈N a pour limite ℓ + ℓ′ +∞ −∞ +∞ −∞ Forme

Indéter.

Cas de la forme indéterminée (+∞) − (+∞) :

— On peut obtenir n’importe quel réel ℓ : limn→+∞

(n + ℓ) = +∞ et limn→+∞

n = +∞, mais

limn→+∞

((n + ℓ) − n

)= ℓ.

— On peut obtenir n’importe ±∞ : limn→+∞

2n = +∞ et limn→+∞

n = +∞, mais limn→+∞

(2n−n−n

)= +∞.

— On peut ne pas obtenir de limite : limn→+∞

n + (−1)n = +∞ et limn→+∞

n = +∞, mais

limn→+∞

(n + (−1)n − n

)n’a pas de limite.

Exemple 5 : La suite (un)n∈N définie pour tout n ∈ N∗ par un = 2 +4√n

, converge vers 2.

En effet limn→+∞

4√n

= 0 donc limn→+∞

un = 2 + 0 = 2.

Exercice 14 : Déterminer les limites des suites suivantes :

1. ∀ n ∈ N∗, un = 3n + 1 +2n

.

2. ∀ n ∈ N∗, vn =(1

3

)n

+ 5 − 1n

.

3. ∀ n ∈ N, wn = n2 − n + 2.

⌊7⌋. Dans tous les cas, réfléchir avant d’affirmer.




V.2 Limite d’un produit

Si (un)n∈N a pour limite ℓ ℓ 6= 0 0 ∞Si (vn)n∈N a pour limite ℓ′ ∞ ∞ ∞alors (un×vn)n∈N a pour limite ℓ × ℓ′ ∞ ⌊8⌋ Forme

Indéter. ∞ ⌊8⌋

Cas de la forme indéterminée 0 × (∞) :

— On peut obtenir n’importe quel réel ℓ : limn→+∞

ℓ

n= 0 et lim

n→+∞n = +∞, mais lim

n→+∞ℓ

n×n = ℓ.

— On peut obtenir n’importe ±∞ : limn→+∞

1n

= 0 et limn→+∞

n2 = +∞, mais limn→+∞

1n

×n2 = +∞.

— On peut ne pas obtenir de limite : limn→+∞

(−1)n

n= 0 et lim

n→+∞n = +∞, mais lim

n→+∞(−1)n

n×n

n’a pas de limite.


1. ∀ n ∈ N, un = n2 − n + 2.

2. ∀ n ∈ N, un =√

n(3n2 − 7).

3. ∀ n ∈ N, vn = (2 − n) × 3n.

4. ∀ n ∈ N, wn =1

n + 1× (n2 + 3).

V.3 Limite d’un quotient

Si f apourlimite

ℓ ℓ > 0 ℓ > 0 0 ℓ ∞ ∞

Si g apourlimite

ℓ′ 6= 0 0+ 0− 0 ∞ ℓ′ ∞

alorsf

ga pourlimite

ℓ

ℓ′+∞ −∞ Forme

Indéter.0 ∞ ⌊8⌋ Forme

Indéter.


1. ∀ n ∈ N, un =5

2n2 + 1.

2. ∀ n ∈ N∗, un =1√

n + 7.

3. ∀ n ∈ N, vn =1 − n

0, 5n.

4. ∀ n ∈ N, wn =n2 + 3n + 1

.

5. ∀ n ∈ N, wn =5n2 − 3

n2 + n + 1.

6. ∀ n ∈ N, wn =0, 6n

0, 2n.

⌊8⌋. Appliquer la règle des signes d’un produit.




V.4 Synthèse

En prenant la convention que chaque fois que l’on verra ∞, la règle des signes s’applique, onpeut résumer tous les résultats précédents dans le tableaux ci-dessous :

Si (un)n∈N a pour li-mite

0 ℓ 6= 0 ℓ 6= 0 ℓ 6= 0 0 ∞ +∞ −∞ +∞Si (vn)n∈N a pour li-mite

0 ℓ′ 6= 0 ∞ ∞ ∞ 0 +∞ −∞ −∞

alors (un + vn)n∈N apour limite

0 ℓ + ℓ′ ∞ ∞ ∞ ∞ +∞ −∞ Forme

Indéter.

alors (un ×vn)n∈N apour limite

0 ℓ × ℓ′ ∞ ∞ Forme

Indéter.

Forme

Indéter.+∞ +∞ −∞

alors(

un

vn

)

n∈N

a

pour limite

Forme

Indéter.

ℓ

ℓ′ 0 0 0 ∞ Forme

Indéter.

Forme

Indéter.

Forme

Indéter.

On remarquera non seulement que la règle des signes s’appliquent pour les produits et lesquotients mais aussi les 4 types de formes indéterminées pour lesquelles il faudra travailler unpeu avant d’affirmer des bêtises :

—00

— 0 × ∞ —∞∞

— ∞ − ∞

Remarque : En tout état de cause, il faudrait en rajouter d’autres : 00, 0∞ et ∞∞ que noustraiterons au cas par cas en nous ramenant aux précédentes.

Exercice 17 : Donner les limites suivantes :

1. limn→+∞

2n + 3

2. limn→+∞

−n + 6

3. limn→+∞

n2

4. limn→+∞

6 − n2

5. limn→+∞

5√

n

6. limn→+∞

n2 + 3n + 1

7. limn→+∞

1n

8. limn→+∞

6n + 22n + 1

9. limn→+∞

10n + 5−5n + 2

10. limn→+∞

6 +5√n

11. limn→+∞

11n

12. limn→+∞

−2(1,1)n

13. limn→+∞

(−1

2

)n

+ 8

14. limn→+∞

3 × 0,99n+1

15. limn→+∞

6n8 + 3n

16. limn→+∞

2n6 + 3n4 − 5

17. limn→+∞

(6n8 + 3n)(2n6 + 3n4 − 5)

18. limn→+∞

−n3√n

19. limn→+∞

3n + 8

20. limn→+∞

0,5n

n

21. limn→+∞

−2n − 5n2

22. limn→+∞

√5

2n−1

23. limn→+∞

8 − πn

4 +3n

24. limn→+∞

5 +2n

− 8n2

+1n3

25. limn→+∞

0,236n + 5

10 − 5n12



I. Suites - Limites VI. THÉORÈMES FONDAMENTAUX

26. limn→+∞

2n

0,5n

27. limn→+∞

5(−0,4)n − 0,4 × 5n

28. limn→+∞

5(√

22

)n

29. limn→+∞

3√

n +5√n

− 6

30. limn→+∞

n2

−0,5n

31. limn→+∞

n2 − 2n

32. limn→+∞

−3n3 + 5n2 + 6n − 1

33. limn→+∞

n3 − 3n4 + 2n2 − 5n + 2

34. limn→+∞

(n2 − 7n + 2)(n3 − 8n + 1)

35. limn→+∞

6n2 + 3n + 5−2n2 + 5n − 1

36. limn→+∞

9n7 − 5n4 + n

n2 + 1

37. limn→+∞

6n2 + 4n − 28n3 + 7n2 − 4n + 7

38. limn→+∞

(−3n2 − 2n + 1)2

39. limn→+∞

0,2−n

40. limn→+∞

(n2 − 6n + 2)3

41. limn→+∞

5 × 10−n−1

42. limn→+∞

√2

−2n+1

n + 1

43. limn→+∞

(−1)nn2

(−0,2)n

44. limn→+∞

n − √n

45. limn→+∞

−2n2 + n√

n

46. limn→+∞

3n − 2n

47. limn→+∞

2n − 5n

3n + 2n

48.

49. limn→+∞

0,5n − 0,2n

2n + 1

VI Théorèmes fondamentaux

— Si un > vn et si limn→+∞

vn = +∞ alors limn→+∞

un = +∞.

— Si un 6 wn et si limn→+∞

wn = −∞ alors limn→+∞

un = −∞.

Théorème 8 (Théorème de comparaison)

Preuve: Soit A un réel quelconque.

Comme limn→+∞

vn = +∞, il existe un entier n0 tel que si n > n0 alors vn ∈]A ; +∞ [.

Or, un > vn à partir d’un certain rang p donc si n > max(n0, p) alors un ∈]A ; +∞ [.

On a donc bien limn→+∞

un = +∞.

Exercice 18 : La suite (un)n∈N est définie par :

u0 = 1

un+1 = un + 2n + 3.

1. Démontrer que ∀ n ∈ N, un > n2.

2. En déduire la divergence de (un)n∈N.



I. Suites - Limites VII. COMPORTEMENT DES SUITES GÉOMÉTRIQUES

Exercice 19 : Montrer que la suite (un)n∈N définie par : un = n + sin n diverge vers +∞.

Soient trois suites (un)n∈N, (vn)n∈N et (wn)n∈N telles qu’il existe d’un certain rang p ∈ Ntel que pour tout entier naturel n > p on ait

wn 6 un 6 vn.

Si (vn)n∈N et (wn)n∈N convergent vers le même réel ℓ, alors (un)n∈N converge vers ℓ.

Théorème 9 (dit « des gendarmes »)

Exercice 20 : Démontrer que la suite (un)n∈N définie par un =sin n

n + 1est convergente.

Exercice 21 : Déterminer la limite de la suite (un)n∈N définie sur N∗ par un = 2 +(−1)n

n.

Exercice 22 : On considère la suite définie à la partie (III) sur N∗ par un =3n + (−1)n

2n.

Après avoir encadré un intelligemment, montrer que limn→+∞

un =32

.

Synthèse :

∀n > n0,vn 6 un 6 wn

limn→+∞

vn = limn→+∞

wn = ℓ

=⇒ lim

n→+∞un = ℓ.

VII Comportement des suites géométriques

Soit q un réel.

— Si −1 < q < 1 alors limn→+∞

qn = 0. La suite (qn)n∈N converge vers 0 .

— Si q = 1 alors limn→+∞

qn = 1. La suite (qn)n∈N est constante .

— Si q > 1 alors limn→+∞

qn = +∞. La suite (qn)n∈N diverge vers +∞ .

— Si q 6 −1, la suite (qn)n∈N n’a pas de limite .

Théorème 10

Pour démontrer la deuxième assertion, on aura besoin d’un lemme que l’on démontrera auchapitre suivant :

Soit un réel a strictement positif. On a alors :

∀n ∈ N, (1 + a)n> 1 + na.

Lemme 11 (Inégalité de Bernoulli)




Preuve:— Seule la 3ème assertion est exigible en terminale. Pour celle-ci on utilise l’inégalité de

Bernoulli (7) :∀ a > 0, ∀ n ∈ N, (1 + a)n

> 1 + na.

Posons q = 1 + a. Avec a > 0, on a bien q > 1 et l’inégalité devient

qn> 1 + na.

Comme a > 0, limn→+∞

1 + na = +∞. Puis, d’après le théorème de comparaison on obtient :

limn→+∞

qn = +∞.

— Pour la première assertion, il suffit de poser Q =1|q| . Comme −1 < q < 1 alors Q > 1.

D’après la démonstration précédente, la suite (Qn)n∈N converge donc vers +∞. D’après

les relations sur les quotient de limites, la suite(

1Qn

)

n∈N

converge donc vers 0 et le

résultat est prouvé.

— La deuxième assertion est évidente.

— Enfin et malheureusement, la dernière assertion est hors de notre portée. Lorsqu’on saurace que cela veut dire, il suffira de montrer que dans ce cas, la suite (qn)n∈N possède deuxvaleurs d’adhérence dans R.

Exemple 6 : Comme 0 <1

2< 1, lim

n→+∞qn = 0.

D’où, limn→+∞

1 +1

2+

1

22+ . . . + +

1

2n= lim

n→+∞

1 −(

1

2

)n+1

1 − 1

2

=11

2

= 2.

Si (un)n∈N est une suite géométrique de raison q alors un = uoqn. Le théorème précédent permet

donc de trouver sa limite.

Soit (un)n∈N, une suite géométrique de raison q non nulle.

— Si |q| < 1, limn→+∞

un = 0.

— Si q > 1, limn→+∞

un =

+∞ si u0 > 0,

−∞ si u0 < 0.

— Si q = 1, limn→+∞

un = u0.

— Si q 6 −1, la suite (un)n∈N n’a pas de limite .

Corollaire 12 (Limite d’une suite géométrique)




Exercice 23 (Nouvelle-Calédonie 2015) : On considère deux suites de nombres réels(dn) et (an) définies par d0 = 300, a0 = 450 et, pour tout entier naturel n > 0

dn+1 =1

2dn + 100

an+1 =1

2dn +

1

2an + 70

1. Calculer d1 et a1.

2. On souhaite écrire un algorithme qui permet d’afficher en sortie les valeurs de dn et an

pour une valeur entière de n saisie par l’utilisateur.L’algorithme suivant est proposé :

Variables : n et k sont des entiers naturelsD et A sont des réels

Initialisation : D prend la valeur 300A prend la valeur 450Saisir la valeur de n

Traitement : Pour k variant de 1 à n

D prend la valeurD

2+ 100

A prend la valeurA

2+

D

2+ 70

Fin pour

Sortie : Afficher DAfficher A

(a) Quels nombres obtient-on en sortie de l’algorithme pour n = 1 ?Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question 1. ?

(b) Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu’il affiche les résultats souhaités.

3. (a) Pour tout entier naturel n, on pose en = dn − 200.Montrer que la suite (en) est géométrique.

(b) En déduire l’expression de dn en fonction de n.

(c) La suite (dn) est-elle convergente ? Justifier.

4. On admet que pour tout entier naturel n,

an = 100n(

1

2

)n

+ 110(

1

2

)n

+ 340.

(a) Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 3, on a 2n2> (n + 1)2.

(b) Montrer par récurrence que pour tout entier n supérieur ou égal à 4,2n> n2.

(c) En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 4,

0 6 100n(

1

2

)n

6100

n.

(d) Étudier la convergence de la suite (an).



I. Suites - Limites VIII. THÉORÈME DE CONVERGENCE MONOTONE

VIII Théorème de convergence monotone

Commençons par un théorème logique. . . mais à montrer quand même :

Si une suite croissante a pour limite ℓ, alors tous les termes de la suite sont inférieurs ouégaux à ℓ.

limn→+∞

un = ℓ

(un)n∈N est croissante

=⇒ ∀ n ∈ N, un 6 ℓ.

Proposition 13

Preuve: Raisonnons par l’absurde, c’est-à-dire, supposons que (un)n∈N soit une suite crois-sante convergeant vers ℓ, qu’il existe un entier k tel que uk > ℓ et montrons qu’il y a contradic-tion.

Comme la suite est croissante, pour tout n tel que n >k, un > uk > ℓ. Notons d la distanceentre ℓ et uk.

L’intervalle ]ℓ − d ; ℓ + d [ contient ℓ pas pas les un pour n > k, ce qui contredit la convergencede (un)n∈N vers ℓ.

— Une suite croissante et majorée est convergente .

— Une suite décroissante et minorée est convergente .


Ce théorème est un théorème d’existence, il justifie l’existence d’une limite finie mais ne précisepas cette limite.

Preuve: Considérons une suite (un)n∈N croissante et majorée, α ∈ R, un réel quelconqueet notons A, le plus petit des majorants de (un)n∈N.

— Tout intervalle ]A − α; A + α[ contient au moins un terme up de la suite. Sinon, A − αserait un majorant de la suite, ce qui contredit le fait que A soit le plus petit des majorants.

— Comme la suite (un)n∈N est croissante, pour tout n > p, un > up.

— L’intervalle ]A − α; A + α[ contient donc tous les termes de la suite à partir du rang p.Ceci est vrai, quel que soit le réel α > 0.

— D’après la définition (4) , la suite (un)n∈N converge et à pour limite A.

La démonstration est identique pour une suite décroissante et minorée.

ATTENTIONCe théorème permet de montrer qu’une suite converge vers une limite ℓ mais ne donnepas la valeur de cette limite. On peut seulement dire que, si (un)n∈N est croissanteet majorée par M alors ℓ 6 M et si (un)n∈N est décroissante et minorée par m alorsℓ > m.



I. Suites - Limites VIII. THÉORÈME DE CONVERGENCE MONOTONE


u0 = 0

un+1 =√

3un + 4.

1. Démontrer que pour tout naturel n, 0 6 un 6 4.

2. Prouver que la suite est strictement croissante.

3. En déduire que (un)n∈N est convergente.

Exercice 25 : Reprendre et finir tous les exercices du deuxième chapitre.

Malheureusement ⌊9⌋ , toutes les suites ne sont pas monotones. Dans ce cas, on tentera d’utiliserle théorème (8) de comparaison et le théorème (9) d’encadrement en VI qui restent desoutils extrêmement puissants.

⌊9⌋. ou heureusement. On s’ennuierait !



Thème: Raisonnement par récurrence TS - SI - Activité no 1

Raisonnement par récurrence

Un exemple pour susciter l’intérêt :

Soit la suite (un)n∈N définie par :

u0 = 0

un+1 = 2un + 1.

On souhaiterait obtenir une formule permettant de calculer explicitement un en fonction de n.À première vue, cette formule ne saute pas aux yeux.

Dans une telle situation, le calcul des premiers termes est souvent intéressant pour dégager unerelation ⌊10⌋. Un calcul rapide donne :

u1 = 2u0 + 1 = 1 (21 − 1)

u2 = 2u1 + 1 = 3 (22 − 1)

u3 = 2u2 + 1 = 7 (23 − 1)

u4 = 2u3 + 1 = 15 (24 − 1)

u5 = 2u4 + 1 = 31 (25 − 1)

La suite (un)n∈N semble obéir à une loi toute simple : les puissances successives de 2 moins 1.

Nous pouvons donc émettre la conjecture suivante :

∀n ∈ N, un = 2n − 1.

ATTENTION Une conjecture n’est pas une preuve ⌊11⌋. Ce n’est que l’énoncé d’une propriété résul-tant d’un certain nombre d’observations. ⌊12⌋

Alors comment confirmer, par une démonstration, la propriété conjecturée ci-dessus ?

Pour n ∈ N, notons Pn la propriété, définie par : un = 2n − 1.

Supposons un instant, que pour un certain entier k, on ait effectivement la propriété uk = 2k −1.On aurait alors :

uk+1 = 2uk + 1 = 2(2k − 1) + 1 = 2k+1 − 1.

Ce qui correspond à la propriété Pk+1 à l’ordre k + 1.

Autrement dit, si la propriété est vraie à un certain rang k alors elle le sera également au rangsuivant k + 1. On dit que la propriété Pn est héréditaire.

Or, on a déjà vérifié que la propriété Pn était vraie au rang 0, 1, 2, 3, 4, 5, c’est-à-dire que P0,P1, P2, . . . , P5 sont vraie. On dit que la propriété Pn est initialisée.

Mais comme elle est héréditaire, elle sera vraie encore au rang n = 6, puis au rang n = 7,etc. . . Si bien que notre propriété est finalement vraie à tout rang n.

Conclusion, ∀n ∈ N, un = 2n − 1.

⌊10⌋. Ce ne sera JAMAIS une preuve !⌊11⌋. Ni une affirmation nécessairement vraie, certaines conjectures se révèlent parfois fausses. . . .⌊12⌋. En gros et comme toujours : « Affirmer n’est pas démontrer ».




I Démonstration par récurrence

Soit une propriété Pn définie sur N.

— Si la propriété est initialisée à partir du rang 0 (ou n0),

— et si la propriété est héréditaire à partir du rang 0 (ou n0), c’est à dire que pourtout k > 0 (ou k > n0), Pk =⇒ Pk+1,

Alors : la propriété est vraie à partir du rang 0 (ou n0) pour tout entier n.

Définition 6 (Axiome de récurrence)

Pour démontrer que pour tout entier n > n0, Pn (proposition qui dépend de n) est vraie,il faut et il suffit :

— (Initialisation) Vérifier que Pn0 est vraie ⌊13⌋.

— (Propriété d’hérédité) Démontrer que Pk+1 est vraie sous l’hypothèse que Pk estvraie pour un certain entier k > n0.

— (Conclusion) Pour tout n > n0, Pn est vraie.

Méthode 6 (Démonstration par récurrence)

Exemple 7 : Soit (vn) la suite définie par v0 = 4 et vn+1 = 2vn − 7 pour tout entier natureln.

Démontrer par récurrence que vn = 7 − 3 × 2n pour tout n > 0.

Correction : On veut montrer que vn = 7 − 3 × 2n est vraie pour tout n > 0.

— On considère donc la propriété : Pn : « vn = 7 − 3 × 2n ».

— Initialisation : Pour n = 0, on a v0 = 4 et 7 − 3 × 20 = 4.On a donc bien v0 = 7 − 3 × 20 : la propriété P0 est vraie.

— Hérédité : On va montrer que si la propriété est vraie à un certain rang n > 0 alors elle estvraie au rang n + 1.Supposons donc que vn = 7− 3× 2n c.-à-d. on suppose la propriété Pn est vraie pour n : c’estl’hypothèse de récurrence.On a alors :

2vn = 2 (7 − 3 × 2n) (par l’hypothèse de récurrence)

2vn − 7 = 2 (7 − 3 × 2n) − 7

2vn − 7 = 14 − 3 × 2n+1 − 7

vn+1 = 7 − 3 × 2n+1.

On a donc bien vn+1 = 7 − 3 × 2n+1, c’est-à-dire que la propriété est vraie au rang n + 1.

— Conclusion : La propriété Pn est vraie pour n = 0 et est héréditaire ; donc par récurrence elleest vraie pour tout n > 0 c’est-à-dire que vn = 7 − 3 × 2n pour tout n > 0.

⌊13⌋. En pratique, on aura souvent n0 = 0




Exercice 1 :1. Soit la propriété Pn : « un = 8n+1 + 3 »

Quelle est la propriété Pn+1 ?

2. Soit la propriété au rang n : « un = 2 »Quelle est la propriété au rang n + 1 ?

ATTENTION

Les deux conditions de la définition (6) doivent être soigneusement vérifiés. Deuxexemples pour le prouver :

Exemple 8 (Hérédité seulement vérifiée) : Soit la propriété suivante

Pn : ∀ n ∈ N, 3 divise 2n.

Si l’on suppose que 3 divise 2n c’est-à-dire Pn vraie alors il existe un entier naturelk tel que : 2n = 3k.En multipliant par 2 : 2n+1 = 2 × 3k = 3(2k) et 3 divise donc 2n+1 et Pn+1 est alorsvérifiée.Conclusion : la proposition est héréditaire mais comme elle n’est jamais initialisée,la proposition ne peut être vraie.Heureusement car cette proposition est fausse ! Elle l’est déjà pour n = 1 : 3 nedivise pas 2 ! ! !

Exercice 2 : On considère la propriété « 5n − 2 » est un multiple de 3.

1. Cette propriété est-elle initialisée au rang n = 1 ?

2. Cette propriété est-elle vraie pour tout entier naturel n > 1 ?

3. Cette propriété est-elle héréditaire ?

ATTENTION

Exemple 9 (Initialisation vérifiée jusqu’à un certain rang) : Soit la pro-priété Pn suivante :

∀ n ∈ N, n2 − n + 41 est un nombre premier.

L’initialisation est vérifiée car pour n = 0 on obtient 41 qui un nombre premier.Cependant l’hérédité n’est pas assurée bien que Pn soit vraie jusqu’à n = 40 ⌊14⌋.Pourtant, pour n = 41, on a : 412 − 41 + 41 = 412 qui n’est pas un nombre premier.La propriété est donc fausse.Conclusion : La véracité d’une proposition pour certaines valeurs au départ ne prouvepas la généralité !

Exercice 3 : On considère la propriété : « un > 0 » où (un) est la suite définie par u0 = −3et un+1 = 2un pour tout n > 0.

1. Cette propriété est-elle initialisée au rang n = 0 ?

2. Cette propriété est-elle héréditaire ?

3. Cette propriété est-elle vraie pour tout entier naturel n > 0 ?

⌊14⌋. Des cas particuliers, aussi nombreux soient-ils, ne feront jamais une généralité !




II Premiers exercices

Exercice 4 : On considère la suite (un) définie par u0 = 5 et un+1 =1

2un + 1 pour tout

n ∈ N.

Montrer par récurrence que 2 6 un 6 5 pour tout entier n > 0.

Exercice 5 : On considère la suite (wn) définie par w0 = 0 et wn = −1

3wn−1 + 4 pour tout

n ∈ N∗.

Montrer par récurrence que 1 6 wn 6 4 pour tout entier n > 1.

Exercice 6 : Pour tout entier naturel n > 1, on définit n! qui se lit « factorielle n » par :

1! = 1 ; 2! = 1 × 2 = 2 ; 3! = 1 × 2 × 3 = 6 ; etc.

1. Calculer 6!.

2. Donner l’expression de (n + 1)! en fonction de n!.

3. Montrer par récurrence que 3n6 n! pour tout n > 7.

4. Montrer que n! 6 nn pour tout n > 1.

Exercice 7 (Inégalité de Bernoulli) : Soit un réel a strictement positif. Montrer que :

∀n ∈ N, (1 + a)n> 1 + na.

Correction : Notons Pn, la proposition (1+a)n> 1+na et démontrons, par récurrence, que celle-ci

est vraie pour tout n ∈ N.

— Initialisation : Pour n = 0, (1 + a)0 = 1 et 1 + 0 × a = 1, donc (1 + a)0> 1 + 0 × a. P0 est donc

vraie et la propriété est initialisée.

— Hérédité : Supposons Pk vraie pour un certain entier k > 0, c’est-à-dire (1 + a)k> 1 + ka et

montrons que, sous cette hypothèse, Pk+1 est vraie aussi, c.-à-d. (1 + a)k+1> 1 + (k + 1)a :

(1 + a)k> 1 + ka Hypothèse Pk

(1 + a)(1 + a)k> (1 + a)(1 + ka) On multiplie par 1 + a strictement positif

(1 + a)k+1> 1 + ka + a + ka2

= 1 + (k + 1)a + ka2 or ka2> 0

> 1 + (k + 1)a Pk+1

La proposition est héréditaire.

— La proposition Pn est donc initialisée et héréditaire. D’après le principe de récurrence, on endéduit qu’elle est vraie pour tout entier n :

∀ n ∈ N, (1 + a)n> 1 + na.

Exercice 8 : Montrer par récurrence que 4n − 1 est un multiple de 3 pour tout n > 0.

Exercice 9 (Somme de termes) :1. Montrer, par récurrence, que pour tout entier n strictement positif

Sn = 1 + 2 + . . . + n =n (n + 1)

2.




2. De la même manière, montrer que :

(a)n∑

k=1

k2 =n(n + 1)(2n + 1)

6.

(b)n∑

k=1

k3 =(Sn

)2.

(c)n∑

k=1

k(k + 1) =n(n + 1)(n + 2)

3.

(d)n∑

k=1

k (k + 1) (k+2) =n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

4.


u0 = −1

un+1 =√

2 + un

.

1. Démontrer que pour tout naturel n, 0 6 un 6 2.

2. Prouver que la suite est strictement croissante.

Exercice 11 (Métropole juin 2013) : Soit la suite numérique (un)n∈N définie sur N par :

u0 = 2,

un+1 =2

3un +

1

3n + 1

.

1. (a) Démontrer que pour tout entier naturel n : un 6 n + 3.

(b) Démontrer que pour tout entier naturel n : un+1 − un =1

3

(n + 3 − un

).

(c) En déduire les variations de la suite (un)n∈N.

2. . . .

Exercice 12 (Asie juin 2013 (extrait)) : On considère la suite (un)n∈N définie par :

u0 = 2 et un+1 =1 + 3un

3 + un

.

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un > 1.

2. (a) Établir que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 − un =(1 − un)(1 + un)

3 + un.

(b) Déterminer le sens de variation de la suite (un)n∈N.

(c) (Plus tard) En déduire que la suite (un)n∈N converge.

III Lien entre suite récurrente et fonction associée

Soient f une fonction définie sur une partie de R et (un)n∈N la suite définie par

u0

un+1 = f(un).

Si f est croissante alors la suite (un)n∈N est monotone et son sens de variation dépend del’ordre de ses premiers termes.

Théorème 15 (Suites définies par récurrence)

Globalement, l’idée vient de la définition d’une fonction croissante :




« f est croissante si, et seulement si elle conserve l’ordre ».

Si, par exemple, u0 > u1 alors f(u0) > f(u1), c’est-à-dire u1 > u2 puis u2 = f(u1) > u3 = f(u2),. . . un = f(un−1) > un+1 = f(un), . . . et ainsi de suite pour tous les termes de la suite. La suiteest donc décroissante dans ce cas.

Preuve: Cette démonstration se fait par récurrence.

Considérons une fonction quelconque f croissante sur son intervalle de définition et (un)n∈N unesuite telle que ces deux premiers termes soient tels que u0 6 u1. On veut donc montrer que lasuite (un)n∈N est croissante.

Posons donc la propriété Pn : ∀ n ∈ N, un 6 un+1.

Initialisation : D’après les données, on a u0 6 u1 et P0 est réalisée.Hérédité : Supposons que Pk soit vraie pour un certain entier k > 0 et montrons que Pk+1

est vérifiée dans ce cas.

uk 6 uk+1 Hypothèse de récurrence Pk

f (uk) 6 f (uk+1) f est croissante donc conserve l’ordre ⇓uk+1 6 uk+2 Définition de la suite (un)n∈N Pk+1

La propriété Pk+1 est donc vérifiée. On a prouvé l’hérédité de la propriété.

La propriété Pn, initialisée et héréditaire, est donc vraie pour tout n ∈ N. La suite est croissante.

La démonstration est analogue pour une suite telle que u0 6 u1 qu’on montrerait décrois-sante. ⌊15⌋

ATTENTION

— Ce théorème ne dit absolument rien si la fonction f est décroissante.

— Ce n’est qu’une implication. On pourrait très bien avoir une suitedéfinie par récurrence par la relation un+1 = f(un) qui soit crois-sante sans que f ne le soit.

Considérez par exemple, la fonction définie parf(x) = x + cos(2πx) et

u0 = 1,un+1 = f(un)

= un + cos(2πun).

Un rapide raisonnement par récurrence montre-rait que un = n + 1, ∀ n ∈ N donc (un)n∈N estcroissante et pourtant, f ne l’est pas le moinsdu monde.

bu0

bu1

bu2

bu3

bu4

b5

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

n

un Cf

Exercice 13 : On reprend les notations de l’ exercice (10) . Après avoir étudié les variationsde la fonction associée, montrer, par récurrence, que :

∀n ∈ N, −1 6 un 6 un+1 6 2.

⌊15⌋. Un bon exercice !



Thème: Contrôle de connaissances TS SI - Test no 1

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Contrôle de connaissances

Donner la définition d’une suite majorée :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 1 : On considère la suite (un)n∈N définie pour tout entier naturel n par

un =4n + 5

n + 2.

1. Calculer u1 et u2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Montrer que, ∀n ∈ N, un = 4 − 3

n + 2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Montrer que la suite (un) est majorée par 4.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Quel métier souhaiteriez-vous exercer et quelle poursuite d’études envisagez-vous pour cela ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Thème: Suites particulières TS - SI - Devoir en temps libre no 1

Suites particulières

Exercice 1 (Suites arithmético-géométriques) : Pour tout couple de réels a et b, onappelle suite arithmético-géométrique toute suite (un)n∈N définie par la relation de récurrence :

un+1 = aun + b.

1. Dans le cas où a = 1, donner la forme explicite de un pour tout n ∈ N.

2. On suppose désormais que a 6= 1 et on pose c =b

1 − a.

(a) Soit la suite (vn)n∈N définie par vn = un − c.Montrer que (vn)n∈N est une suite géométrique dont on précisera la raison.

(b) En déduire l’expression de un en fonction de n ∈ N.

3. Application : Un volume constant de 2 200 m3 d’eau est réparti entre deux bassins A et B.Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d’équilibre thermique on crée uncourant d’eau entre les deux bassins à l’aide de pompes.On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

• Au départ, le bassin A contient 800 m3 d’eau et le bassin B contient 1 400 m3 d’eau.

• Tous les jours, 15 % du volume d’eau présent dans le bassin B au début de la journéeest transféré vers le bassin A.

• Tous les jours, 10 % du volume d’eau présent dans le bassin A au début de la journéeest transféré vers le bassin B.

Pour tout entier naturel n, on note :

• an le volume d’eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin A à la fin du n-ième jourde fonctionnement.

• bn le volume d’eau, exprimé en m3, contenu dans le bassin B à la fin du n-ième jourde fonctionnement.

On a donc a0 = 800 et b0 = 1 400.

(a) Par quelle relation entre an et bn traduit-on la conservation du volume total d’eaudu circuit ?

(b) Justifier que, pour tout entier naturel n, an+1 =3

4an + 330.

(c) En déduire l’expression de an en fonction de n ∈ N.

(d) On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètrecube près, le même volume d’eau. Proposer une méthode pour répondre à ce ques-tionnement.



Thème: Suites particulières TS - SI - Devoir en temps libre no 1

Exercice 2 (Récurrence) : La suite (un)n∈N est définie par :

u0 ∈ [1 ; 3 ]

un+1 =√

3un

1. (a) Démontrer, par récurrence, que tous les termes de la suite (un)n∈N appartiennent àl’intervalle [1 ; 3 ].

(b) En déduire que la suite (un)n∈N est croissante.

(c) À l’aide d’une représentation graphique, conjecturer la limite de la suite (un)n∈N.On ne demande pas de la prouver.

2. On étudie alors la suite (vn)n∈N définie par ∀ n ∈ N, vn = 3 − un.

(a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, vn+1 =

√3

√un +

√3

vn.

(b) Déduire des questions précédentes que, pour tout entier naturel n,

0 6 vn+1 6

√3

1 +√

3vn.

(c) Montrer, par récurrence, que ∀ n ∈ N, 0 6 vn 6 2

( √3

1 +√

3

)n

.

3. Valider ou infirmer votre conjecture de la question (1c)



Thème: Suites particulières TS - SI - Correction

Suites particulières

Exercice 1 (Suites arithmético-géométriques) :1. Dans le cas où a = 1, (un)n∈N est une suite arithmétique de raison b.

Donc, ∀n ∈ N, un = u0 + nb.

2. (a) Deux méthodes pour cela :

— La première, on évaluevn+1

vn:

vn+1

vn=

un+1 − c

un − c=

aun + b − b

1 − a

un − b

1 − a

On multiplie numérateuret dénominateur par 1 − a 6= 0,

=(1 − a)(aun + b) − b

(1 − a)un − b=

a(1 − a)un − ab

(1 − a)un − b

=a(

(1 − a)un − b)

(1 − a)un − b

= a.

— La deuxième, on retrouve la relation de récurrence d’une suite géométrique :

vn+1 = un+1 − c = aun + b − b

1 − a= aun + b

(1 − 1

1 − a

)

= aun − b × a

1 − a

= a

(un − b

1 − a

)= a(un − c)

= avn.

Dans les deux cas, (vn)n∈N est donc une suite géométrique de raison a.

(b) D’après la question précédente, on obtient donc, ∀n ∈ N, vn = anv0 = an(u0 − c).D’où un = vn + c = an(u0 − c) + c.

3. Application :(a) Les suites (an)n∈N et (bn)n∈N représentent, respectivement, le volume d’eau contenu

dans les bassins A et B dont la contenance totale est 2 200 m3 donc :

∀n ∈ N, an + bn = 2 200.

(b) Chaque jour, la contenance du bassin A, soit an est constituée de 90% du bassin Aet de 15% du bassin B de la veille soit :

an+1 = 0, 9an + 0, 15bn.

Or, bn = 2 200 − an.

D’où an+1 =9

10an +

3

20(2 200 − an) =

3

4an + 330.




(c) On reconnaît une suite arithmético-géométrique dont les paramètres sont a =3

4et

b = 330. D’après les questions précédentes, on en déduit :

an =(

3

4

)n

(800 − 1320) + 1320 = 1320 − 520 ×(

3

4

)n

.

Remarque : En particulier, 0 <3

4< 1, donc lim

n+∞−520×

(3

4

)n

= 0 et limn→+∞

an = 1 320.

La contenance du bassin, A se stabilise à 1 320 m3.

(d) La question revient donc à résoudre l’équation an = 1 100 c.-à-d.

1320 − 520 ×(

3

4

)n

= 1 100 ⇐⇒ 520 ×(

3

4

)n

= 220

⇐⇒(

3

4

)n

=11

26

À la calculatrice ⌊16⌋, on trouve(

3

4

)2

<11

26<(

3

4

)3

. Les deux bassins auront donc

le même volume d’eau entre le deuxième et le troisième jour.

Exercice 2 (Récurrence) :1. (a) Par définition, u0 ∈ [1 ; 3 ].

Supposons qu’il existe un entier k > 1 tel que uk ∈ [1 ; 3 ] ⇐⇒ 1 6 uk 6 3.Alors 3 6 3uk 6 9 puis, par croissance de la fonction x 7−→ √

x sur R+, on obtient(1 6

)√3 6

√3uk 6 3 =⇒ 1 6 uk+1 6 3. La propriété est donc héréditaire.

Étant initialisée, la propriété est donc vraie pour tout n ∈ N :

∀n ∈ N, 1 6 un 6 3 ⇐⇒ ∀n ∈ N, un ∈ [1 ; 3 ].

(b) D’après la question précédente, les termes de la suite sont, en particulier, non nuls.

D’oùun+1

un=

√3un

un=

√3

un> 1 car un 6 3 pour tout n ∈ N.

La suite (un)n∈N est donc croissante.

(c) Dans un repère orthonormé on trace :

— Les courbes des fonctions x 7−→ x et x 7−→√

3x.

— Pour tout n > 0, les points An de coordonnées (An; 0).

⌊16⌋. Avant de pouvoir résoudre cette équation dans R et trouver x =ln(

1126

)

ln(

34

) ≃ 2, 99




0 1 2 3 40

1

2

3

b

b b

b b

b b

b bb bb

Cf

|

A0

|

A1

|

A2

|

A3

|

A4

Il semblerait que la suite (un)n∈N converge vers 3.

2. (a) On calcule naturellement le quotient :

vn+1

vn

=3 − un+1

3 − un

=3 − √

3un

3 − un︸︷︷︸a2−b2

=

√3(√

3 − √un

)

(√3 − √

un

)(√3 +

√un

)

︸︷︷︸(a−b)(a+b)

=

√3

√un +

√3

.

Donc, pour tout entier naturel n, vn+1 =

√3

√un +

√3

vn.

(b) D’après la question (1a) , un 6 3 pour tout n ∈ N donc vn = 3 − un > 0.D’après la même question, 1 6 un d’où :

1 6√

un ⇐⇒ 1 +√

3 6√

un +√

3.

Par décroissance de la fonction x 7−→ 1

xsur R∗

+, on a alors

1

un +√

36

1

1 +√

3.

Comme, ∀n ∈ N, vn+1 =

√3

√un +

√3

vn, on obtient bien :

∀n ∈ N, 0 6 vn+1 6

√3

1 +√

3vn.

(c) Comme 1 6 u0, par définition, v0 = 3 − u0 6 2 et 2

( √3

1 +√

3

)0

= 2. Donc la

propriété est initialisée au rang 0.

Supposons qu’il existe un entier strictement positif k tel que 0 6 vk 6 2

( √3

1 +√

3

)k

.

D’après la question précédente, pour tout entier k, 0 6 vk+1 6

√3

1 +√

3vk.




En injectant l’hypothèse de récurrence dans l’inéquation, on a alors :

0 6 vk+1 6

√3

1 +√

3vk 6

√3

1 +√

3× 2

( √3

1 +√

3

)k

= 2

( √3

1 +√

3

)k+1

.

La propriété est donc héréditaire. Étant initialisée pour n = 0, elle est vraie pourtout entier n.

3. Comme 0 <

√3

1 +√

3< 1, lim

n→+∞2

( √3

1 +√

3

)n

= 0.

La suite, (vn)n∈N, encadrée par deux suites qui convergent vers 0, converge aussi vers 0.Comme un = vn + 3, d’après les théorèmes sur les sommes de limites, on en déduit que :

limn→+∞

un = 3.

Notre conjecture est validée.



Thème: G – Raisonnement par récurrence TS SI - Test no 2

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G Raisonnement parrécurrence

Exercice 1 : Montrer, par récurrence, que (n + 1)26 2n pour tout entier n > 5.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Thème: D – Raisonnement par récurrence TS SI - Test no 2

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D Raisonnement parrécurrence

Exercice 1 : On considère la suite (un)n∈N définie sur N par

u0 = 0

un+1 = un + 2n + 1.

Montrer, par récurrence, que un = n2 pour tout entier n > 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Thème: Une jolie courbe TS - SI - Devoir en temps libre no 2

Une jolie courbe

On considère une droite (D) et un point F n’appartenant pas à (D).

Soit K le projeté orthogonal de F sur (D) et S le milieu de [FK].

Une définition géométrique : Soit M un point du plan. On appelle H son projeté orthogo-nal sur (D).Sur une feuille A4 non quadrillée, construire, à la règle et au compas, l’ensemble des pointsM vérifiant :

MF = MH c.-à-d. d (M ; F ) = d (M ; (D)) .

On appelle (P) la courbe ainsi tracée.

À partir du foyer et de la directrice : Sur la figure précédente, on considère un repère or-thonormé

(S; ~ı; ~

)tel que ~ soit colinéaire à

−−→FK.

On pose p = FK et on considère un point M (x; y) du plan.Montrer que M vérifie la propriété MF = MH si, et seulement si ses coordonnées vérifient

y =x2

2p.

Aide: On pourra commencer par trouver les coordonnées de S et H en fonction de p puis exprimer les longueurs MFet MH.

Comment appelle-t-on la courbe ainsi tracée ?

Une observation géométrique : On considère toujours la courbe précédente et M un pointde celle-ci.La médiatrice de [FH ] coupe (D) en un point O (sauf dans quels cas ?).

1. Montrer que OF = OH et (OF ) ⊥ (FM).

2. Le cercle de centre O passant par F coupe (D) en H et H ′. La perpendiculaire à(D) passant par H ′ coupe (MF ) en M ′.Montrer que M ′ appartient à (P).

3. Donner un procédé de construction de deux points de (P) à partir de F et d’unpoint quelconque O de (D).

Aide:– On trace le cercle de centre O et de rayon OF ,– . . .

4. Montrer que MM ′ = MH + M ′H ′.



Thème: Une jolie courbe TS - SI - Correction

Une jolie courbe

Une définition géométrique : Par définition, un point M de (P) doit se trouver sur laperpendiculaire à (D) et la médiatrice de [FH ]. On trace donc ces deux droites à la règleet au compas et on note M leur point d’intersection.

b

F

S~ı

~

p

2

−p

2

×

H

rs M

(D)

bF

rs

rs −6

rsM−5

rsM−4

rsM−3

×

H 2

rsM−2

×

H−1

rsM−1

×

H1

rs M1

×

H2

rs M2

×

H3

rs M3

×

H4

rs M4

×

H5

rs M5

×

H6

rs M6

×

H7

rs M7

×

H8

rs M8

×

H9

rs

×

H10

rs

S

×

H

~ı~




À partir du foyer et de la directrice : D’après l’énoncé, on a facilement M (x; y), F(

p

2; 0)

et H(

x; −p

2

). Il suffit alors de traduire la définition dans le repère orthonormé

(S; ~ı; ~

):

MF = MH ⇐⇒ MF 2 = MH2Ce sont des distances

⇐⇒ x2 +(

p

2− y

)2

= (x − x)2 +(

−p

2− y

)2

⇐⇒ x2 +p2

4− py + y

2 =p2

4+ py + y

2

⇐⇒ x2 = 2py

⇐⇒ y =x2

2p.

On retrouve l’équation d’une parabole vue, ici, par sa définition paramétrique.

Une observation géométrique : La médiatrice de [FH ] coupe (D) en un point O sauflorsque (FH) est perpendiculaire à (D).

1. La droite (OM) est, par construction, la médiatrice de [FH ] donc :

— O est équidistant des extrémités du segment [FH ] soit OF = OH .

— F est le symétrique de H par la symétrie d’axe (OM).

Une symétrie conservant les angles, on obtient : OFM = OHM = 90.Les droites (OF ) et (FM) sont donc perpendiculaires.

2. D’après la question précédente, le triangle OFM ′ est rectangle en F . De même quele triangle OH ′M ′ partageant avec lui la même hypoténuse.D’après le théorème de Pythagore, les côtés M ′H et M ′F ont donc la même longueurc.-à-d. M ′H ′ = M ′F

Donc M ′ ∈ (P).

bF

×

H

rs M

×

OH ′

×

M ′

(D)




3. Soient la droite (D) et le point F n’appartenant pas (D) fixés.

(a) Soit O un point de D.

(b) Le cercle de centre O passant par F coupe la droite (D) en deux point H et H ′.

(c) La perpendiculaire à (OF ) passant par F coupe la perpendiculaire à (D) passantpar H en M et la perpendiculaire à (D) passant par H ′ en M ′.

(d) D’après les questions précédentes, les point M et M ′ appartiennent à (P).

On itère cette construction en choisissant un autre point O de (D). Les points M etM ′, ainsi construits, sont des points de (P).

bF

×

O1

×

H′

1

×

H1

b M1

b M ′1

×

O2

×

H′

2

×

H2

b M2

b M ′2

×

O3

×

H′

3

×

H3

b M3

b M ′3

×

O4

×

H′

4

×

H4

b M4b M ′

4

(D)

4. Les points M , F et M ′ sont alignés par construction.Par définition, ils vérifient aussi MF = MH et M ′F = M ′H ′.D’où, MM ′ = MF + M ′F = MH + M ′H ′.



Thème: Un peu de géométrie TS - SI - Activité no 2

Un peu de géométrie

|

A

|

B

|

A

|

B

(D)

×

A



Thème: Un peu de géométrie TS - SI - Activité no 2

(D)

×

F

(D)

×

F



Thème: G – Limites de référence TS SI - Test no 3

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G Limites de référence

Exercice 1 : Donner la définition formelle d’une suite divergente vers +∞.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2 : Montrer que la suite définie par un = 3√

n diverge vers +∞.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Thème: D – Limites de référence TS SI - Test no 3

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D Limites de référence

Exercice 1 : Donner la définition formelle d’une suite convergente vers une réel ℓ.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2 : Montrer que la suite définie par un =1√n

converge vers 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Thème: G – Opérations sur les limites TS SI - Test no 4

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G Opérations sur les limites

Exercice 1 : Entourer en rouge, les suites pour lesquelles le théorème sur les sommes delimites seul permet de conclure.

1. limn→+∞

5 +2

n− 8

n2+

1

n3

2. limn→+∞

−2n − 5n2

3. limn→+∞

3√

n +5√n

− 6

4. limn→+∞

5(−0,4)n − 0,4 × 5n

5. limn→+∞

(−1

2

)n

+ 8

6. limn→+∞

3n + 2n

7. limn→+∞

3n − 2n

8. limn→+∞

6n8 − 3n

9. limn→+∞

−2n2 + n√

n

Exercice 2 : Après avoir modifié l’expression, donner, en justifiant la limite des suites ci-dessous :

1. limn→+∞

6n + 2

2n + 12. lim

n→+∞−2n2 + n

√n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Thème: D – Opérations sur les limites TS SI - Test no 4

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D Opérations sur les limites

Exercice 1 : Entourer en rouge, les suites pour lesquelles le théorème sur les sommes delimites seul permet de conclure.

1. limn→+∞

5 +2

n− 8

n2+

1

n3

2. limn→+∞

−2n − 5n2

3. limn→+∞

3n − 2n

4. limn→+∞

3√

n +5√n

− 6

5. limn→+∞

5(−0,4)n − 0,4 × 5n

6. limn→+∞

6n8 − 3n

7. limn→+∞

(−1

2

)n

+ 8

8. limn→+∞

3n + 2n

9. limn→+∞

−2n2 + n√

n

Exercice 2 : Après avoir modifié l’expression, donner, en justifiant la limite des suites ci-dessous :

1. limn→+∞

(6n8 + 3n)(2n6 + 3n4 − 5) 2. limn→+∞

3n − 2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Thème: Étude de suites TS - SI - Activité no 3

Étude de suitesExercice 1 : On considère la suite (un) définie par u0 =

1

2et telle que pour tout entier

naturel n,

un+1 =3un

1 + 2un

.

1. (a) Calculer u1 et u2.(b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a 0 < un.

2. On admet que pour tout entier naturel n, un < 1.Démontrer que la suite (un) est croissante.

3. Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn =un

1 − un

.

(a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 3.(b) Exprimer pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.(c) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a :

un =3n

3n + 1.

(d) Déterminer la limite de la suite (un).

Exercice 2 : On considère les suites mêlées (un) et (vn) définies par u0 = −10, v0 = 20 et :

un+1 = 0,7un + 0,8vn

vn+1 = 0,8un + 0,7vnpour tout n ∈ N.

1. (a) Calculer u1, v1, u2 et v2.(b) Les suites (un) et (vn) sont-elles arithmétiques ? géométriques ?

2. (a) Montrer que la suite (an) définie pour tout n ∈ N par an = un + vn est géométrique.(b) En déduire le terme général de (an) puis lim

n→+∞an.

3. (a) Montrer que la suite (bn) définie pour tout n ∈ N par bn = un − vn est géométrique.(b) En déduire le terme général de (bn) puis lim

n→+∞bn.

(c) Les suites (un) et (vn) sont-elles convergentes ?4. Déduire des questions précédentes les termes généraux de (un) et (vn).

5. Déterminer limn→+∞

n∑

k=0

uk.

Exercice 3 : On considère la suite (un) définie par u0 = 3 et un+1 = f(un) pour tout n ∈ N

où f est la fonction définie sur R \

5

12

par f(x) =

−60x + 68

−12x + 5.

1. Étudier les variations de f .2. Montrer que si x ∈ [2 ; 4] alors f(x) ∈ [2 ; 4].3. En déduire que (un) est bornée par 2 et 4.

4. (a) Montrer que un+1 − un =12u2

n − 65un + 68

−12un + 5.

(b) Dresser le tableau de signe de12x2 − 65x + 68

−12x + 5.

(c) En déduire que (un) est croissante.5. Que peut-on en déduire sur le comportement de (un) quand n tend vers +∞ ?



Fiche no 1: Suites

Pour démontrer que pour tout entier n > n0, Pn (proposition qui dépend de n) estvraie, il faut et il suffit :

1. (Initialisation) Vérifier que Pn0 est vraie.

2. (Hypothèse de récurrence) Supposer que Pk est vraie pour un certainentier k > n0.

3. (Propriété d’hérédité) Démontrer que Pk+1 est vraie sous et seulement sousl’hypothèse Pk vraie.

4. (Conclusion) Pour tout n > n0, Pn est vraie.

Une suite numérique (un)n∈N est unefonction de N dans R (ou C) :

(un)n∈N : N Rn un

(un)n∈N est croissante⇐⇒ un+1 − un > 0

⇐⇒ un+1

un

> 1 et un 6= 0

(un)n∈N majorée par M ⇐⇒ un − M 6 0.

Définition récurrente Définition explicite

u0

un+1 = f(un)un = f(n)

f croissante =⇒ (un)n∈N monotone(un)n∈N et f ont le même comportement et

les mêmes limites

Si (un)n∈N a pour limite 0 ℓ ℓ ℓ 0 ∞ +∞ −∞ +∞Si (vn)n∈N a pour limite 0 ℓ′ ∞ 0 ∞ 0 +∞ −∞ −∞

alors (un + vn)n∈N a pour limite 0 ℓ + ℓ′ ∞ ℓ ∞ ∞ +∞ −∞ FormeIndéter.

alors (un × vn)n∈N a pour limite 0 ℓ × ℓ′ ∞ 0 FormeIndéter.

FormeIndéter.

+∞ +∞ −∞

alors(

un

vn

)

n∈N

a pour limite FormeIndéter.

ℓ

ℓ

′0 ∞ 0 ∞ Forme

Indéter.FormeIndéter.

FormeIndéter.

Suites arithmétiques Suites géométriques

un+1 − un = run+1

un= q

un = up + (n − p)r un = upqn−p

r > 0 =⇒ limn→+∞

un = +∞.

r < 0 =⇒ limn→+∞

un = −∞.

r = 0 =⇒ (un)n∈N constante.

q > 1 =⇒ limn→+∞

un = ±∞.

q 6 −1 =⇒ (un)n∈N n’a pas de limite.

q = 1 =⇒ (un)n∈N constante.

−1 < q < 1 =⇒ limn→+∞

un = 0.

um + . . . + un = (n − m + 1)um + un

2

um + . . . + un = um1 − qn−m+1

1 − q, si q 6= 1

= um

(n − m + 1

), si q = 1.

Fiche no 1: Suites

(un)n∈N et (vn)n∈N sontadjacentes

⇐⇒

(un)n∈N est croissante

(vn)n∈N est décroissante

limn→+∞

un − vn = 0

=⇒

(un)n∈N et (vn)n∈N

convergent vers la même limite.

Comportement Caractérisation

Tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termesde la suite à partir d’un certain rang.

(un)n∈N converge vers ℓ ⇐⇒ ∀ε ∈ R+∗, ∃ no ∈ N/∀n ∈ N, n > no =⇒ un ∈]ℓ − ε ; ℓ + ε [.

(=⇒ ℓ est unique.

) vn 6 un 6 wn à partir d’un certain rangetlim

n→+∞vn = lim

n→+∞wn = ℓ.

(un)n∈N converge vers ? ⇐⇒(un)n∈N est croissante et majorée (par M).(

=⇒ limite 6 M)

Tout intervalle ouvert de la forme ]A ; +∞ [ avec A ∈ R,contient tous les termes de la suite à partir d’un certainrang.∀A ∈ R, ∃ no ∈ N / ∀ n ∈ N, n > no =⇒ A 6 un.vn 6 un à partir d’un certain rangetlim

n→+∞vn = +∞.

(un)n∈N diverge vers +∞ ⇐⇒

(un)n∈N est croissante et non majorée.

Si (un)n∈N ne converge pas elle est divergente c.-à-d. limite infinie ou pas de limite.

Fiche no 1: Suites

un

f(un)

y=

x

Cf

u0 u0

]ℓ−

ε;ℓ

+ε

[

b ℓ

]A;+

∞[

y = AA

(un)n∈N diverge vers+∞

(un)n∈N converge vers ℓ

bc

La limite ℓ de (un)n∈N,si elle existe, vérifief(ℓ) = ℓ.

bc

Figure I.1 – Représentation graphique d’une suite définie par récurrence :u0

un+1 = f(un)

Problème 4 : On considère la suite (un)n∈N définie par u0 =1


naturel n,

un+1 =3un

1 + 2un.

1. (a) Calculer u1 et u2.

(b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a 0 < un.



1 − un.

(a) Montrer que la suite (vn)n∈N est une suite géométrique de raison 3.

(b) Exprimer pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.

(c) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a :

un =3n

3n + 1.

(d) Déterminer la limite de la suite (un)n∈N.

Problème 5 : On considère la suite (un)n∈N définie par u0 = 4 et un+1 =5

6 − unpour tout

entier n > 0.

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f définie sur [0 ; 5, 5 ] par f(x) =5

6 − xet la droite d’équation y = x.

Fiche no 1: Suites

0 1 2 3 4 5−10

1

1

2

3

4

5

x

y

1

1

O

Cf

1. Sur la figure ci-dessus, construire les points d’abscisses u0, u1, u2 sur l’axe des abscisses.

2. Montrer que cette suite est bornée par 1 et 4.

3. Conjecturer le sens de variation de (un)n∈N puis démontrer cette conjecture.

4. En déduire que la suite (un)n∈N est convergente vers une limite que l’on déterminera.

Fic

heno

2:Calculs

de

limites

Jed

ois

calc

ule

rla

lim

ite

de

f(x

).

L’é

nonc

éno

usai

guill

eve

rsl’u

tilis

atio

nde

sth

éorè

mes

deco

mpa

rais

onou

d’en

cadr

emen

t.

J’ut

ilise

les

règl

esop

érat

oire

ssu

rle

sso

mm

es,

prod

uits

etco

mpo

siti

onde

limit

es.

Jetr

ouve

l’une

des

quat

refo

rmes

indé

term

inée

s:

«∞ ∞

»,«

∞−

∞»,

«0

×∞

»ou

«0 0

»:

Jetr

ouve

lali

mit

e=⇒

FIN

!

«∞ ∞

»«

∞−

∞»

«0

×∞

»«

0 0»

—f

est

une

fonc

tion

rati

onne

lleet

x→

∞.

On

appl

ique

larè

gle

:«

La

li-m

ite

est

égal

eà

lalim

ite

duqu

otie

ntde

ste

rmes

depl

usha

utde

gré

».

—f

n’es

tpa

sun

efo

ncti

onra

-ti

onne

llem

ais

unqu

otie

ntav

ecde

sra

dica

ux,

des

expo

-ne

ntie

lles,

des

loga

rith

mes

...

—f

est

une

fonc

tion

poly

no-

mia

leet

x→

∞.

On

appl

ique

larè

gle

:«

La

li-m

ite

est

égal

eà

celle

dute

rme

depl

usha

utde

gré

».

—f

n’es

tpa

sun

efo

ncti

onpo

-ly

nom

iale

mai

sun

eso

mm

eav

ecde

sra

dica

ux,

des

expo

-ne

ntie

lles,

des

loga

rith

mes

...

—U

nsi

mpl

edé

velo

ppem

ent

per-

met

dele

ver

l’ind

éter

min

atio

nen

retr

ouva

ntde

slim

ites

deré

-fé

renc

eou

des

situ

atio

nsda

nsle

sque

lles

onre

conn

aît

une

des

autr

esfo

rmes

indé

term

inée

s.

—O

neff

ectu

eun

chan

gem

ent

deva

riab

lepo

urre

trou

ver

une

li-m

ite

conn

ue.

—f

est

une

frac

tion

rati

onne

lleet

x→

a∈R

:O

ndo

itpo

uvoi

rfa

ctor

iser

etsi

mpl

ifier

par

x−

a6=

0.

—f

est

unta

uxd’

accr

oiss

e-m

ent

:O

nut

ilise

ladé

finit

ion

dela

déri

vabi

lité.

—f

est

unqu

otie

ntav

ecde

sra

-di

caux

:O

npe

utut

ilise

rla

part

ieco

njug

uée.

1.O

nte

nte

une

fact

oris

atio

npa

rla

form

equ

ivo

usse

mbl

epr

épon

déra

nte.

2.O

npe

utut

ilise

rla

part

ieco

njug

uée

pour

les

expr

es-

sion

sav

ecle

s√

.

Thème: Suites et Limites TS - SI - Devoir surveillé no 1

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Suites et Limites

Exercice 1 : On considère la suite (un)n∈N définie par u0 = 5 et un+1 = un − 4n + 1 pourtout n ∈ N∗.

1. À l’aide de la calculatrice, donner les 6 premiers termes de la suite (un)n∈N.

2. Montrer que un 6 −n2 pour tout n > 5.

3. En déduire limn→+∞

un.

Exercice 2 : On considère la suite (un)n∈N définie par u0 =1


naturel n,

un+1 =3un

1 + 2un.

1. (a) Calculer u1 et u2.

(b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a 0 < un.



1 − un.

(a) Montrer que la suite (vn)n∈N est une suite géométrique de raison 3.

(b) Exprimer pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.

(c) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a :

un =3n

3n + 1.

(d) Déterminer la limite de la suite (un)n∈N.

57

Thème: Suites et Limites TS - SI - Devoir surveillé no 1

Exercice 3 : On considère la suite (un)n∈N définie par u0 = 4 et un+1 =5

6 − unpour tout

entier n > 0.

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f définie sur [0 ; 5, 5 ] par f(x) =5

6 − xet la droite d’équation y = x.

0 1 2 3 4 5−10

−1

1

2

3

4

5

x

y

1

1

O

Cf

1. Sur la figure ci-dessus, construire les points d’abscisses u0, u1, u2 sur l’axe des abscisses.

2. Montrer que cette suite est bornée par 1 et 4.

3. Conjecturer le sens de variation de (un)n∈N puis démontrer cette conjecture.

4. En déduire que la suite (un)n∈N est convergente. On ne demande pas de trouver cettelimite.

58

Chapitre

II

Probabilités Conditionnelles

SommaireI Probabilités Conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

I.1 Avec un tableau : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60I.2 Avec un arbre pondéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

II Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66III Variables aléatoires et loi binomiale (Rappels) . . . . . . 70

III.1 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70III.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

IV Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Activité no 4 : Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Test no 5 : G – Probabilités Conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . 78Devoir en temps libre no 3 : Suites et Probabilités . . . . . . . . . . . 80Activité no 5 : Suites - Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . 82Fiche no 3 : Probabilités Conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Devoir surveillé no2 : Suites - Probabilités conditionnelles . . . . . . . 87Devoir en temps libre no 4 : Probabilités et Dérivabilité . . . . . . . . 89

59

II. Probabilités Conditionnelles I. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

I Probabilités Conditionnelles

Dans un lycée, il y a 359 élèves en Seconde, 341 en Première et 354 en Terminale.

651 élèves mangent à la cantine du lycée, le tout selon la répartition suivante :

— 66 % des élèves de Seconde mangent à la cantine ;

— 39 % des élèves mangeant à la cantine sont des Terminales.

I.1 Avec un tableau :

1. (a) Compléter le tableau suivant (arrondir à l’entier le plus proche) :

Cantine Extérieur Total

Seconde 237 122 359

Première 160 181 341

Terminale 254 100 354

Total 651 403 1054

(b) Décrire par une phrase les élèves correspondant aux proportions suivantes :

i.651

1054: « La proportion d’élèves mangeant à la cantine. »

ii.341

1054: « La proportion d’élèves de Première. »

iii.237

359: « La proportion d’élèves mangeant à la cantine parmi les Seconde. »

iv.237

651: « La proportion d’élèves de Seconde parmi ceux mangeant à la cantine. »

2. On tire au sort un élève du lycée et on considère les évènement suivants :

— C : « l’élève mange à la cantine »

— S : « l’élève est en Seconde »

— R : « l’élève est en Première »

— T : « l’élève est en Terminale »

Les probabilités seront arrondies à 10−3 près.

(a) Calculer P (S). Définir S par une phrase et donner P (S).

— P (S) =Nombre d’élèves de Seconde

Nombre d’élèves du lycée=

359

1054≃ 0, 341

— S est l’événement contraire de S donc « l’élève n’est pas en Seconde » ce qui estéquivalent à dire « l’élève est en Première ou en Terminale ».

— On a P (S) =341 + 354

1054≃ 0, 659 ≃ 1 − P (S).

Soient A un événement d’un univers Ω et A sont événement contraire.On a :

P (A) + P (A) = 1.

Rappels 1




(b) Décrire par une phrase l’événement et calculer P (S ∩ C).

— S ∩ C : l’élève est en Seconde ET mangea à la cantine. »

— P (S ∩ C) =237

1054≃ 0, 225.

3. On considère la « définition » suivante :

A et B étant deux évènements donnés (avec P (B) 6= 0), on note PB(A) la probabilitéde A sachant B c’est-à-dire la probabilité que A soit réalisé sachant que B est réalisé.On dit que PB(A) est la probabilité conditionnelle de A sachant B.

Définition 1

(a) Décrire PS(C) par une phrase.PS(C) est la probabilité que l’élève mange à la cantine sachant qu’il est en seconde.

(b) Dans quelle partie du tableau travaille-t-on lorsque l’on sait que S est réalisé ?On ne considère que les élèves de seconde donc on ne considère que la ligne corres-pondante.

Cantine Extérieur Total

Seconde 237 122 359

(c) Quel est donc l’univers associé à PS, c’est-à-dire dans quel ensemble tire-t-on au sortquand on considère une probabilité sachant S ?L’univers associé à PS est donc l’ensemble des élèves de Seconde et non plus le lycéetout entier.

(d) En déduire PS(C).

PS(C) =Nombre d’élèves de Seconde mangeant à la cantine

Nombre d’élèves de Seconde=

237

359≃ 0, 66.

4. Calculer ×P (S) × PS(C) et conjecturer un lien entre PS(C), P (S ∩ C) et P (S) ?

— P (S) × PS(C) ≃ 0, 341 × 0, 66 ≃ 0, 225 et P (S ∩ C) = 0, 225.

— On peut conjecturer que P (S ∩ C) = P (S) × PS(C) ou encore PS(C) =P (S ∩ C)

P (S).

Étant donnés deux événements A et B (A 6= ∅) d’un univers Ω. On appelle probabilité deB sachant A, le réel noté PA(B) tel que :

PA(B) =P (A ∩ B)

P (A).

On a alors : P (A ∩ B) = P (A) × PA(B) = P (B) × PB(A).

Définition 2

La probabilité de B sachant A correspond à la part de B dans A, c.-à-d. la part hachurée, A∩B,dans l’ensemble A qui devient pour un temps le nouvel univers des probabilités.




On a alors :

PA(B) =Nombre d’éléments de A ∩ B

Nombre d’éléments de A

=Nombre d’éléments de A ∩ B

Nombre d’éléments de Ω× Nombre d’éléments de Ω

Nombre d’éléments de A

= P (A ∩ B) × 1

P (A).

A

B

5. Définir puis calculer PC (T ), PC (R), PS

(C)

et PT (C).

— PC (T ) est la probabilité que l’élève soit en Terminale sachant qu’il mange à lacantine.

PC (T ) =P (T ∩ C)

P (C)=

254

651≃ 39 %.

— PC (R) est la probabilité que l’élève soit en Première sachant qu’il ne mange pas àla cantine.

PC (R) =P (R ∩ C)

P (C)=

181

403≃ 44, 9 %.

— PC

(C)

est la probabilité que l’élève ne mange pas à la cantine sachant qu’il est enSeconde.

PS

(C)

=P (S ∩ C)

P (S)=

122

359≃ 34 %.

— PT (C) est la probabilité que l’élève mange à la cantine sachant qu’il est en Termi-nale.

PT (C) =P (C ∩ T )

P (T )=

254

354≃ 71, 8 %.

En particulier, on remarquera bien que PC (T ) 6= PT (C).

I.2 Avec un arbre pondéré

1. À partir du tableau de la question (1a), donner ou redonner P (S), P (R) et P (T ). Onarrondira les résultats à 10−2 près.

P (S) ≃ 0, 34. P (R) ≃ 0, 32. P (T ) ≃ 0, 34.

2. L’univers des événements Ω se partage donc en trois sous-ensembles S, R et T . Lesprobabilités P (S), P (R) et P (T ) se voyant alors comme les proportions de chacun.

(a) Compléter l’arbre pondéré ci-dessous :

Ω

S

P (S) = 0, 34

RP (R) = 0, 32

T

P (T ) = 0, 34




(b) Que donne P (S) + P (R) + P (T ) ?

P (S) + P (R) + P (T ) = 1.

Soient Ω un univers d’événements et A1, A2, . . . , An une partition de Ω (2 à 2incompatibles et leur union forme Ω).La situation étant représentée par un arbre pondéré, la somme des probabilitésinscrites sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

P (A1) + P (A2) + . . . + P (An) = 1.

Proposition 1 (Loi des nœuds)

3. (a) En combien d’événements se partage à son tour l’événement S ? Les définir par unephrase.L’événement S se partage entre les élèves mangeant à la cantine et ceux ne mangeantpas soit les « élèves mangeant à la cantine parmi les Seconde » et « les élèves nemangeant pas à la cantine parmi les Seconde ».

(b) Compléter l’arbre pondéré ci-dessous avec les probabilités conditionnelles correspon-dantes :

Ω

S

P (S) =

0, 34

CPS(C) = 0, 66

CP

S (C) = 0, 34

RP (R) = 0, 32

CPR

(C) = 0, 47

CP

R(C) = 0, 53

T

P (T ) =0, 34 C

PT(C) = 0, 72

CP

T (C) = 0, 28

(c) Sur l’arbre précédent, comment s’appelle l’événement correspondant au chemin Ω−R−C ?En déduire sa probabilité.Pour aller de Ω à C en passant par R, on réalise R puis (et) C donc cela correspondà l’événement R ∩ C.On calcule sa probabilité comme à la question (5) :

P (R ∩ C) = P (R) × PR(C) = 0, 32 × 0, 47 ≃ 0, 15.




Le produit des probabilités inscrites sur chaque branche d’un chemin donne laprobabilité de l’intersection des événements placés sur ce chemin.

P (A) × PA(B) = P (A ∩ B).

Méthode 1 (Sur un arbre pondéré)

(d) Calculer P (T ∩ C).

P (T ∩ C) = P (T ) × PT (C) ≃ 0, 24.

4. (a) Décrire par une phrase, la réunion des événements S ∩ C, R ∩ C et T ∩ C.La réunion de ces trois événements est C : « l’élève mange à la cantine. »

(S ∩ C

)∪(R ∩ C

)∪(T ∩ C

)= C.

(b) Retrouver alors la probabilité P (C).Les événements S ∩ C, R ∩ C et T ∩ C étant incompatibles, on a :

P (C) = P(S ∩ C

)+ P

(R ∩ C

)+(T ∩ C

)

≃ 0, 23 + 0, 15 + 0, 24

≃ 0, 62.

À l’aide du tableau de la question (1a), on vérifiera que P (C) =651

1054≃ 0, 62.

La probabilité d’un événement B estla somme des probabilités des cheminsqui aboutissent à B.

Si A1, A2, . . . , An forment une parti-tion de Ω, alors pour tout événementB, on a :

A1 A2 A3 . . . An

B

Ω

P (B) = P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B) + . . . + P (An ∩ B).

Méthode 2 (Sur un arbre pondéré)

5. Calculer la probabilité qu’un élève tiré au sort parmi ceux mangeant à la cantine soit unTerminale.

PC(T ) =P (T ∩ C)

P (C)≃ 0, 24

0, 62≃ 0, 39.




6. (a) Compléter l’arbre inversé ci-dessous :

Ω

C

P (C) = 0, 62

S

PC(S) = 0, 36

RPC(R) = 0, 25

T

PC (T ) = 0, 39

C

P (C) = 0, 38

S

PC(S) = 0, 3

RP

C(R) = 0, 45

T

PC (T ) = 0, 25

(b) Retrouver P (S), P (R) et P (T ).On a :

P (S) = P (S ∩ C) + P (S ∩ C)

= P (C) × PC(S) + P (C) × PC(S)

≃ 0, 62 × 0, 36 + 0, 38 × 0, 3

≃ 0, 34.

P (R) = P (R ∩ C) + P (R ∩ C)

= P (C) × PC(R) + P (C) × PC(R)

≃ 0, 62 × 0, 25 + 0, 38 × 0, 45

≃ 0, 33.

P (T ) = P (T ∩ C) + P (T ∩ C)

= P (C) × PC(T ) + P (C) × PC(T )

≃ 0, 62 × 0, 39 + 0, 38 × 0, 25

≃ 0, 34.



II. Probabilités Conditionnelles II. SYNTHÈSE

II Synthèse

Dans la plupart des cas, on considèrera un univers d’événements Ω dont les événements A etA forment une partition et un événements B non réduit à l’ensemble vide.

AA

BA ∩ B

A ∩ B

B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).

— La situation peut être traduite par un tableau :

A A

B P (A∩B) P (A∩B) P (B)

B P (A∩B) P (A∩B) P (B)

P (A) P (A) 1

— Ou par deux arbres pondérés :

A

P (A)

BPA

(B)

BP

A(B)

A

1 −P (A)

BP A

(B)

BP

A (B)

B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)

et P (B) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B).

B

P (B)

APB

(A)

AP

B (A)

B

1 −P (B)

AP B

(A)

AP

B (A)

A = (B ∩ A) ∪ (B ∩ A)

et P (A) = P (B ∩ A) + P (B ∩ A).




Dans un arbre pondéré, on pourra appliquer :

La loi des probabilités conditionnelles :

P (A ∩ B) = P (A) × PA(B) = P (B) × PB(A).

La loi des nœuds : P (A) + P (A) = P (B) + P (B) = 1 mais aussi :

PA(B)+PA(B) = PA(B)+PA(B) = 1 et PB(A)+PB(A) = PB(A)+PB(A) = 1.

La loi des probabilités totales :

P (B) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B) et P (A) = P (B ∩ A) + P (B ∩ A).

Méthode 3

Exemple 1 : Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus. On disposed’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :

— La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité dutest).

— La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificitédu test).

On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note Vl’événement « la personne est contaminée par le virus » et T l’événement « le test est positif ».

V

0, 02

T0, 99

T0, 01

V

0, 98T0, 03

T0, 97

1. Quelle est la probabilité que le test soitpositif ?

P (T ) = P (T ∩ V ) + P (T ∩ V )

= 0, 02 × 0, 99 + 0, 98 × 0, 03

= 0, 0492.

2. Quelle est la probabilité que la personnesoit contaminée sachant que le test estpositif ?

PT (V ) =P (T ∩ V )

P (T )=

0, 02 × 0, 99

0, 0492= 0, 4024.




Exercice 1 : On considère deux évènements A et B et le tableau de probabilités ci-dessous :

A A Total

B 0,44

B 0,13 0,32

Total 1

1. Compléter ce tableau.

2. Lire P (A), P(B), P (A ∩ B) et P

(A ∩ B

).

3. Calculer PA(B), PA

(B), PA(B) et PA(B). On mettra les résultats sous forme de fractions

irréductibles.

4. Recopier et compléter les arbres ci-dessous :

A. . .B. . .

B. . .

A. . . B. . .

B. . .

B. . .A. . .

A. . .

B. . . A. . .

A. . .

Exercice 2 : Sophie a mis des dragées dans une boîte, les unes contiennent une amande, lesautres non :

— 30 % des dragées contiennent une amande ;

— 40 % des dragées avec amande sont bleues, les autres sont roses ;

— 75 % des dragées sans amande sont bleues, les autres sont roses.

Sophie choisit au hasard une dragée dans la boîte et on considère les évènements :

— A : « la dragée choisie contient une amande » ;

— B : « la dragée choisie est bleue ».

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre.

2. Montrer que P (A ∩ B) = 0,12.

3. Calculer P (B).

4. En déduire PB(A).

A. . .B. . .

B. . .

A. . . B. . .

B. . .5. Calculer PB(A).

6. Sophie préfère les dragées contenant une amande.Doit-elle plutôt choisir une dragée bleue ou bien une dragée rose ?




Exercice 3 : Compléter l’arbre 2 en utilisant l’arbre 1.

Arbre 1

A1/5B1/8

B7/8

A4/5B4/9

B5/9

Arbre 2

B. . .A. . .

A. . .

B. . . A. . .

A. . .

Exercice 4 : Vaïdeguy a pris l’habitude de laisser à manger devant chez elle pour un jolipetit renard, qui vient parfois lui rendre visite. On considère ainsi que :

• si le renard vient un jour, il vient le lendemain avec une probabilité de1

3;

• s’il ne vient pas un jour, il vient le lendemain avec une probabilité de11

12.

Aujourd’hui (le 1er jour), le renard est venu et, pour tout entier n > 1, on appelle pn laprobabilité de l’évènement Rn : « le renard vient le nème jour ».

1. La probabilité p1 est :

(a) 0 (b) 1 (c)1

3(d)

11

12

2. Quel arbre représente correctement la situation ?

(a)

Rnpn

Rn+1

1

3

Rn+12

3

Rn1 − pn

Rn+1

11

12

Rn+11

12

(b)

Rn

1

3

Rn+1

1

3

Rn+12

3

Rn2

3

Rn+1

11

12

Rn+11

12

(c)

Rn

11

12

Rn+1

1

3

Rn+12

3

Rn1

12

Rn+1

11

12

Rn+11

12

3. Pour tout entier n > 1, pn+1 est égal à :

(a)1

3

(b)11

12

(c) pn × 1

3+ (1 − pn) × 11

12

(d)11

12− 7

12pn

4. La suite (un) définie par un = pn − 11

19pour tout n > 1 est géométrique de raison :

(a)11

19(b) 1 (c)

1

3(d)

11

12(e)

7

12(f) − 7

12

5. La probabilité que le renard vienne rendre visite à Vaïdeguy « un jour lointain » est :

(a) nulle (b) proche de 1 (c) proche de11

19



II. Probabilités ConditionnellesIII. VARIABLES ALÉATOIRES ET LOI BINOMIALE (RAPPELS)

III Variables aléatoires et loi binomiale (Rappels)

III.1 Variable aléatoire

Une variable aléatoire X définie sur un univers Ω est une fonction qui à chaque issue ωi

associe un réel xi. La probabilité que X prenne la valeur xi est alors notée P (X = xi) ou pi.

X : Ω Rωi xi

.

Définition 3

— Définir la loi de probabilité de X, c’est donner (sous forme d’un tableau) la probabilitéde chacun des événements X = xi.

X x1 x2 . . . xn

P (X = xi) p1 p2 . . . pn

— Espérance mathématique de X :

E(X) =n∑

i=1

pixi = p1 × x1 + . . . + pn × xn.

L’espérance représente la valeur moyenne que prend X si on répète un grand nombrede fois l’expérience aléatoire.

— Variance de X :

V (X) =n∑

i=1

pi

(xi − E(X)

)2

=n∑

i=1

pix2i − E2(X) = p1 × x2

1 + . . . + pn × x2n − E2(X).

— Écart-type de X :σ(X) =

√V (X).

Proposition 2

Exemple 2 : On lance 3 fois de suite un dé. Le joueur gagne 6 euros s’il n’obtient aucun 1et aucun 2 et il perd 3 euros dans le cas contraire.

X, la variable aléatoire égale au gain du joueur, ne peut donc prendre que les valeurs -3 et 6.

On a P (X = 6) =43

63=

8

27et P (X = −3) = 1 − P (X = 6) =

19

27.

E(X) = −3 × 19

27+ 6 × 8

27= −1

3.




V (X) = (−3)2 × 19

27+ 62 × 8

27−(

−1

3

)2

=152

9et σ(X) =

√152

9=

2√

38

3.

III.2 Loi binomiale

— On appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire ne présentant que deuxissues possibles (contraire l’une de l’autre).

Sp

S

1 − p

X 0 1

P (X = k) 1 − p p

— On appelle schéma de Bernoulli toute répétition d’épreuves de Bernoulli identiqueset indépendantes.

Définition 4

Étant donnés un schéma de Bernoulli consistant à répéter n fois de manière indépendanteune même épreuve de Bernoulli, on considère X la variable aléatoire qui, à chaque issuepossible, associe le nombre de fois où est apparu un succès.La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p et est notéeB(n, p).

Définition 5 (Loi binomiale)

S

p

Sp

Sp

S1 − p

S1 − p

Sp

S1 − p

S

1 −p

Sp

Sp

S1 − p

S1 − p

Sp

S1 − p

X 0 1 2 3

P (X = k) (1 − p)3 3p(1 − p)2 3p2(1 − p) p3




Soit X une loi binomiale de paramètres n et p.

— P (X = k) =

(n

k

)pk(1 − p)n−k (Probabilité d’obtenir k succès).

— E(X) = np.

— X : V (X) = np(1 − p) et σ(X) =√

np(1 − p).

Proposition 3

Remarque : Le coefficient binomial

(n

k

)représente le nombre de chemins à k succès parmi un

schéma de Bernoulli d’ordre n.

Exercice 5 (Représentation symétrique) : On lance 8 fois une pièce de monnaie.

Déterminer et représenter la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui représente lenombre de « piles » obtenus.

Correction : Les 8 lancés sont à priori indépendants car la pièce est lancée toujours de la mêmefaçon.

La probabilité sur un lancé d’obtenir « pile » est de 0,5 (on suppose que la pièce est équilibrée). Onobtient alors :

P (X = k) =

(8k

)0, 5k0, 58−k =

(8k

)0, 58.

On obtient alors le tableau de la loi de probabilité (à 10−3) suivant :

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8P (X = k) 0,004 0,031 0,109 0,219 0,273 0,219 0,109 0,031 0,004

On obtient la représentation de la loi binomiale B(8; 0, 5) suivante :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X

P (X = k)

0, 1

0, 2

0, 3

Remarque : Cette distribution est symétrique car la probabilité de succès est égale à la proba-bilité d’échec. On constate que la loi binomiale converge vers la loi normale (courbe en cloche)comme on le verra au chapitre suivant.



II. Probabilités Conditionnelles IV. INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÉNEMENTS

Exercice 6 (Représentation asymétrique) : Une urne contient 10 boules (indiscernablesau toucher) : 4 boules sont rouges et les autres sont noires.

On tire successivement 6 boules de l’urne en remettant la boule à chaque tirage.

Déterminer et représenter la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui représente lenombre de boules rouges obtenues.

Correction : Les 6 lancés sont indépendants car la boule est remise dans l’urne à chaque fois.

La probabilité sur un tirage d’obtenir une boule rouge est de 0,4 (les boules sont indiscernables autoucher). On obtient alors :

P (X = k) =

(6k

)0, 4k0, 66−k,

et le tableau de la loi de probabilité (à 10−3) devient :

X 0 1 2 3 4 5 6

P (X = k) 0,046 0,187 0,311 0,276 0,138 0,037 0,004

On obtient enfin la représentation de la loi binomiale B(6; 0, 4) :

0 1 2 3 4 5 6 X

P (X = k)

0, 1

0, 2

0, 3

IV Indépendance de deux événements

Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :

PA(B) = P (B) ⇐⇒ P (A ∩ B) = P (A) × P (B) et P (A) 6= 0.

Définition 6

On dit que les événements sont indépendants car qu’importe que l’événement A soit réalisé ounon, la probabilité de B ne dépend pas de A.



II. Probabilités Conditionnelles IV. INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÉNEMENTS

Si les événements A et B sont indépendants, alors il en est de même pour :

1. A et B. 2. A et B. 3. A et B.

Proposition 4

Preuve:1. Comme A et A forment une partition de l’univers Ω, P (B) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B).

Or, A et B sont indépendants (ie) P (A ∩ B) = P (A)P (B).D’où P (B) = P (A)P (B) + P (A ∩ B) (ie)

P (A ∩ B) = P (B)(1 − P (A)) = P (B)P (A).A et B sont donc indépendants.

2. La démonstration est analogue en échangeant les rôles de A et B.

3. D’après (1) A et B sont indépendants. Puis, d’après (2), A et B sont indépendants.

— On calcule séparément P (A ∩ B) et P (A)P (B).

— Suivant l’égalité ou non, on conclue à l’indépendance ou non.

Méthode 4 (Montrer que deux événements sont indépendants ou pas . . . )

Exercice 7 : Dans un magasin de meubles, il y a 55 % de canapés dont 14 % en cuir, 30 %de fauteuils dont 20 % en cuir et le reste est constitué de poufs dont 42 % en cuir.

Un client se présente et choisit un meuble.

On considère les évènements :

— F : « le meuble choisi est un fauteuil » ;

— C : « le meuble choisi est en cuir ».

Montrer que ces deux évènements sont indépendants.

Exercice 8 : Dans la chorale d’un lycée, il y 7 élèves de Seconde, 9 élèves de Première et nélèves de Terminale.

De plus, parmi les élèves de Seconde, il n’y a qu’une seule fille, contre 3 parmi les élèves dePremière et 6 parmi les élèves de Terminale.

On tire au sort un élève de la chorale.

1. Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de n les évènements « l’élève est en Terminale » et« l’élève est une fille » sont indépendants.

2. Pour n = 24, que peut-on dire de l’indépendance éventuelle des évènements :

(a) « l’élève est en Terminale » et « l’élève est un garçon » ?

(b) « l’élève est en Première » et « l’élève est une fille » ?



Thème: Loi binomiale TS - SI - Activité no 4

Loi binomiale

— Représenter une expérience aléatoire par un arbre (pondéré ou non) ou un ta-bleau

— Connaître le vocabulaire, les notations et les propriétés des probabilités

— Connaître les propriétés générales des variables aléatoires (définition, loi de pro-babilité, espérance et écart-type)

— Connaître les propriétés de la loi binomiale et savoir calculer des probabilitésavec une calculatrice

Dans la population française, 43 % est du groupe sanguin O, 45 % du groupe A, 9 % du groupeB et 3 % du groupe AB.

Par ailleurs :

— pour le groupe O, 86 % ont un rhésus positif ;

— pour le groupe A, 87 % ont un rhésus positif ;

— pour le groupe B, 78 % ont un rhésus positif ;

— pour le groupe AB, 67 % ont un rhésus positif.

Exercice 1 : On choisit une personne au hasard dans la population française et on considère :

— O l’évènement « la personne est du groupe O », et on définit de même les évènementsA, B et AB ;

— R+ l’évènement « la personne a un rhésus positif » et on définit de même l’évènementR−.

1. Recopier et compléter :A B O AB

R+ 39,15 %R−

2. Décrire l’évènement O ∩ R+ par une phrase et en calculer sa probabilité.

3. Calculer P (R−).

4. Décrire l’évènement AB ∪ R− par une phrase et calculer sa probabilité.

5. Trois personnes indépendantes se présentent à un don du sang. On considère que le donest un succès si cette personne est du groupe O. Représenter ce schéma de Bernoulli parun arbre pondéré.

Correction :1. On obtient :

A B O AB

R+ 39,15% 7,02% 36,98% 2,01%R− 5,85% 1,98% 6,02% 0,99%

2. O ∩ R+ est l’événement « la personne est du groupe O ET de rhésus positif » que l’on peutaussi reformuler sous la forme « la personne est du groupe O+ ».

P (O ∩ R+) = 36, 98 %.

3. L’évènement AB ∪ R− est « la personne est du groupe AB ou a un rhésus négatif ».

On a donc P (AB ∪ R−) =2,01100

+0,99100

+5,85100

+1,98100

+6,02100

= 0,168 5 d’après le tableau.




4.

S0,43

S0,43S0,43

S0,57

S0,57S0,43

S0,57

S0,57

S0,43S0,43

S0,57

S0,57S0,43

S0,57

Exercice 2 : On extrait une personne au hasard dans la population française et on considèrela variable aléatoire X donnant le rang de la 1ère lettre de son groupe sanguin dans l’alphabet(exemple : X = 2 si c’est le groupe B).

1. Donner la loi de probabilité de X.

2. Calculer P (X < 5).

3. Calculer l’espérance E(X) et l’écart-type σ(X) de X.

Correction :1. On obtient :

xi 1 2 15P (X = xi) 0,48 0,09 0,43

2. P (X < 5) = P (X = 1) + P (X = 2)

≃ 0,48 + 0,09 ≃ 0,57.

3. E(X) =3∑

i=1

P (X = xi) × xi

= 0,48 × 1 + 0,09 × 2 + 0,43 × 15 = 7,11

et V (X) =3∑

i=1

P (X = xi)(Xi − E(X)

)2

= 0,48 × (1 − 7,11)2 + . . . + 0,43 × (15 − 7,11)2

≃ 47,037 9.

Enfin, σ(X) =√

V (X) =√

47, 0379 ≃ 6,86.

Exercice 3 : On prélève au hasard 100 personnes dans la population française et on consi-dère la variable aléatoire Y donnant le nombre de personnes du groupe A.

1. Expliquer pourquoi l’on peut considérer que Y suit une loi binomiale et donner sesparamètres.

2. Calculer l’espérance E(Y) et l’écart-type σ(Y) de Y.

3. Calculer (arrondir à 10−3 près) :

(a) P (Y = 42)

(b) P (Y = E(Y))

(c) P (Y 6 55)

(d) P (Y < 47)

(e) P (Y > 43)

(f) P (Y > 40)




Correction :1. Y donne le nombre de succès (c’est-à-dire le nombre de personnes du groupe A) quand on

réalise 100 tirages à deux issues, succès ou échec, assimilables à des tirages avec remise (carla population française est très grande) donc identiques et indépendants.Y suit donc la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,45 (probabilité d’un succès).

2. E(Y) = n × p = 100 × 0,45 = 45 et σ(Y) =√

n × p × (1 − p) =√

100 × 0,45 × 0,55

=√

24, 75 ≈ 4,97.

3. (a) On utilise la calculatrice : P (Y = 42) ≈ 0,067

(b) P (Y = E(Y)) = P (Y = 45) ≈ 0,08

(c) P (Y 6 55) ≈ 0,982

(d) P (Y < 47) = P (Y 6 46) ≈ 0,62

(e) P (Y > 43) = 1 − P (X 6 43) ≈ 0,617

(f) P (Y > 40) = 1 − P (X 6 39) ≈ 0,866



Thème: G – Probabilités Conditionnelles TS SI - Test no 5

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G ProbabilitésConditionnelles

Tous les élèves d’une promotion ont passé un test de certification en anglais.

— 80 % ont réussi le test.

— Parmi ceux qui ont réussi le test, 95 % le passaient pour la 1ère fois.

— Parmi ceux qui ont échoué au test, 2 % le passaient pour la 1ère fois.

On considère les événements

— R : « l’élève a réussi le test »,

— F : « l’élève a passé le test plusieurs fois ».

1. Dresser un arbre pondéré décrivant la situation.

2. Calculer la probabilité qu’un élève pris au hasard ait passé le test plusieurs fois etl’ait réussi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Déterminer la probabilité qu’un élève choisi au hasard ait passé plusieurs fois le test.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. On choisit au hasard un élève ayant passé plusieurs fois le test. Quelle est la probabilitéqu’il ait réussi ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Thème: D – Probabilités Conditionnelles TS SI - Test no 5

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D ProbabilitésConditionnelles

Tous les élèves d’une promotion ont passé un test de certification en anglais.

— 76 % passaient le test pour la 1ère fois.

— Parmi ceux qui le passaient pour la 1ère fois, 99 % ont réussi le test.

— Parmi ceux qui l’avaient passé plusieurs fois, 17 % ont réussi.

On considère les événements

— R : « l’élève a réussi le test »,

— F : « l’élève a passé le test plusieurs fois ».

1. Dresser un arbre pondéré décrivant la situation.

2. Calculer la probabilité qu’un élève pris au hasard ait passé le test plusieurs fois etl’ait réussi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Déterminer la probabilité qu’un élève choisi au hasard ait réussi le test.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. On choisit au hasard un élève ayant réussi le test. Quelle est la probabilité qu’il l’ait passéplusieurs fois ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Thème: Suites et Probabilités TS - SI - Devoir en temps libre no 3

Suites et Probabilités

Exercice 1 : On définit pour tout entier n > 1 la somme sn = 1 +1√2

+1√3

+ · · · +1√n

.

1. Soit (un) la suite définie par un =√

n pour tout entier n > 1.

(a) Montrer que la suite (un) est croissante.

(b) Montrer que la suite (un) n’est pas majorée.

(c) En déduire la limite de (un).

2. Soit n > 1. Combien la somme sn a-t-elle de termes ? Quel est le plus petit d’entre eux ?

3. En déduire que pour tout entier naturel non nul n, sn >√

n.

4. Déduire de ce qui précède limn→+∞

sn. Donner également le sens de variation de (sn).

Exercice 2 : Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa productionavant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l’entreprise est soumis à deux contrôles :d’une part l’aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu’il ne présente pas de défaut definition, d’autre part sa solidité est testée.

Il s’avère, à la suite d’un grand nombre de vérifications, que :

• 92 % des jouets sont sans défaut de finition ;

• parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité ;

• 2 % des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles.

On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note :

• F l’évènement : « le jouet est sans défaut de finition » ;

• S l’évènement : « le jouet réussit le test de solidité ».

1. Construction d’un arbre pondéré associé à cette situation

(a) Traduire les données de l’énoncé en utilisant les notations des probabilités.

(b) Démontrer que pF

(S)

=1

4.

(c) Construire l’arbre pondéré correspondant à cette situation.

2. Calcul de probabilités

(a) Démontrer que p(S) = 0, 934.

(b) Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu’il soit sans défaut definition. (On donnera le résultat arrondi au millième,)



Thème: Suites et Probabilités TS - SI - Devoir en temps libre no 3

3. Étude d’une variable aléatoire B

Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10 €, ceux quin’ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent unbénéfice de 5 €.On désigne par B la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté.

(a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire B.

(b) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire B.

4. Étude d’une variable aléatoire B

On prélève au hasard dans la production de l’entreprise un lot de 10 jouets.On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissantavec succès le test de solidité. On suppose que la quantité fabriquée est suffisammentimportante pour que la constitution de ce lot puisse être assimilée à un tirage avecremise.

(a) Calculer la probabilité qu’exactement 8 jouets de ce lot subissent avec succès le testde solidité.

(b) Calculer la probabilité qu’au moins 8 jouets de ce lot subissent avec succès le testde solidité.

(c) On donne l’algorithme suivant :

N est une variable réelle

P est une variable entière

Affecter 0 à NAffecter 1 à PTant que P > 0.01

Faire

Affecter 0.934P à PAffecter N + 1 à N

Fin de Tant que

Afficher N

Expliquer ce que réalise l’algorithme et donner la valeur de la variable N que vaafficher ce programme. Interpréter le résultat.



Thème: Suites - Probabilités conditionnelles TS - SI - Activité no 5

Suites - Probabilitésconditionnelles

Exercice 1 (Somme des impairs) : Montrer que, ∀n ∈ N∗, 1 + 3 + 5 + . . .+ (2n − 1) = n2.

Exercice 2 : On considère la suite (wn) définie par w0 = 2 et wn =1

5wn−1 +

1

2pour tout

entier n > 1.

Montrer que wn =11

8

(1

5

)n

+5

8pour tout n > 0.

Exercice 3 : Montrer que la suite de terme général :

1. n2 − 4n + 6 est minorée et en donner un minorant ;

2. −3n2 + 9n − 4 est majorée et en donner un majorant ;

3.n2 + cos(n)

n + 1est minorée et en donner un minorant ;

4.8n + 1

n + 5est bornée par 0 et 8 ;

5.−n2 − 2n + 1

n2 + 3n + 2est bornée par −1 et

1

2;

6. Montrer que la suite (un) définie par u0 = 5 et un+1 = 2√

un − 1 est bornée par 2 et 5.

Exercice 4 (Différence entre un = f(n) et un+1 = f(un).) :On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f(x) =

5x − 1

4x + 1.

1. Étudier les variations de la fonction f et tracer rapidement sa courbe représentative.

2. Soit (un) la suite définie par un =5n − 1

4n + 1pour tout n > 2.

(a) Étudier le sens de variation de la suite (un).

(b) Déterminer limn→+∞

un.

3. Soit (vn) la suite définie par v0 = 1 et vn+1 = f(vn) =5vn − 1

4vn + 1pour tout n ∈ N.

On considère la suite (wn) définie par wn =1

vn − 1

2

.

(a) Montrer que (wn) est une suite arithmétique dont on précisera la raison.

(b) En déduire l’expression de vn en fonction de n puis limn→+∞

vn.




Exercice 5 : Déterminer les limites suivantes :

1. limn→+∞

(−3n2 − 2n + 1)2

2. limn→+∞

0,2−n

3. limn→+∞

(n2 − 6n + 2)3

4. limn→+∞

5 × 10−n−1

5. limn→+∞

√2

−2n+1

n + 1

6. limn→+∞

(−1)nn2

(−0,2)n

7. limn→+∞

n − √n

8. limn→+∞

−2n2 + n√

n

9. limn→+∞

3n − 2n

10. limn→+∞

2n − 5n

3n + 2n

11. limn→+∞

4n − 6n

4n + 6n

12. limn→+∞

0,5n − 0,2n

2n + 1

Problème 6 : Un carré a pour côté 1.

On considère les étapes suivantes d’une construction où les sommets des triangles se situentau milieu des segments et les triangles tracés sont rectangles.

La construction peut alors se poursuivre à l’infini.

Étape 1 : Étape 2 : Étape 3 : Étape 4 :

On note un l’aire du triangle ajouté à l’étape n et An l’aire totale hachurée à l’étape n pourn > 1.

1. Déterminer A1 et A2.

2. Exprimer un+1 en fonction de un.

3. Déterminer limn→+∞

An.

Exercice 7 (Épidémiologie) : Dans un pays, une épidémie touche 10 % de la population.Un test de dépistage de la maladie a été mis au point mais il n’est pas parfait :

— si un individu n’est pas touché par la maladie, le test est tout de même positif dans 1 %des cas ;

— si un individu est touché par la maladie, le test est tout de même négatif dans 0, 1 % descas.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Toute la population passe le test de dépistage et on décide de donner un traitement àtous les individus ayant un test positif.

(a) Montrer que le traitement est donné à 10,89 % de la population.

(b) À quel pourcentage de la population le traitement est-il donné à tort ?

3. On tire un échantillon de 100 individus dans la population, ce tirage étant assimilable àun tirage avec remise.

(a) Quelle est la probabilité que 10 individus exactement soient sous traitement ?

(b) Quelle est la probabilité que 5 individus ou moins soient sous traitement ?




Exercice 8 (Génétique) : Le daltonisme est une maladie génétique à transmission réces-sive liée au chromosome X c’est-à-dire que l’allèle responsable est récessif, pour un gène présentsur le chromosome X.

— Pour une femme, on distinguera le fait d’être malade (présence de l’allèle responsablesur les deux chromosomes X), porteuse de la maladie (présence de l’allèle responsablesur un seul chromosome X) et saine (absence totale de l’allèle responsable).

— Pour un homme, la présence de l’allèle sur l’unique chromosome X assure qu’il est malade.

Béatrice a un père daltonien mais elle-même n’est pas malade.

Sachant que 8 % des hommes sont daltoniens, quelle est la probabilité que Béatrice ait unenfant daltonien ?

On admettra que le daltonisme ou non d’une personne n’influence pas préférentiellement ledon d’un chromosome X ou Y.

1. (a) Déterminer la probabilité que l’enfant d’un père malade et d’une mère porteuse dela maladie soit malade.

(b) Si un tel couple a quatre enfants, déterminer la probabilité que deux exactementsoient malades. On admettra que le daltonisme éventuel ou non des enfants estindépendant.

2. Reprendre la question (1a) avec un père malade et une mère malade.

Exercice 9 : Chaque jour Bill doit décider s’il achète du pain ou non.

— S’il a acheté du pain un jour, la probabilité qu’il en achète le lendemain est 0,3 (parcequ’il lui en reste parfois du jour précédent ou qu’il n’en a simplement pas envie ce jour-là).

— S’il n’a pas acheté de pain un jour, la probabilité qu’il en achète le lendemain est 0,8.

Pour tout entier n ∈ N∗, on appelle An l’évènement « Bill achète du pain le nème jour » et onnote pn = P (An).

Aujourd’hui (le 1er jour), Bill a acheté du pain, ainsi p1 = 1.

1. Calculer p2 et p3.

2. Représenter la situation par un arbre sur lequel figurent les évènements An, An, An+1 etAn+1.

3. Montrer que pn+1 = 0,8 − 0,5pn.

4. Montrer que pn =7

15

(−1

2

)n−1

+8

15pour tout n ∈ N∗.

5. (a) En déduire limn→+∞

pn.

(b) Interpréter concrètement le résultat de la question précédente.

Exercice 10 : Dans un magasin de meubles, il y a 55 % de canapés dont 14 % en cuir, 30 %de fauteuils dont 20 % en cuir et le reste est constitué de poufs dont 42 % en cuir.

Un client se présente et choisit un meuble.

On considère les évènements :

— F : « le meuble choisi est un fauteuil » ; — C : « le meuble choisi est en cuir ».

Montrer que ces deux évènements sont indépendants.




Exercice 11 : Lily a dans sa poche deux pièces de 20 centimes, trois de 50 centimes et unede 1 euro.

Elle tire successivement (sans remise) deux pièces de sa poche. Les évènements « les deuxpièces sont du même montant » et « les deux pièces lui permettent d’acheter un croissant à 1euro » sont-ils indépendants ?

Exercice 12 : Dans la chorale d’un lycée, il y 7 élèves de Seconde, 9 élèves de Première etn élèves de Terminale.

De plus, parmi les élèves de Seconde, il n’y a qu’une seule fille, contre 3 parmi les élèves dePremière et 6 parmi les élèves de Terminale.

On tire au sort un élève de la chorale.

1. Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de n les évènements « l’élève est en Terminale » et« l’élève est une fille » sont indépendants.

2. Pour n = 24, que peut-on dire de l’indépendance éventuelle des évènements :

(a) « l’élève est en Terminale » et « l’élève est un garçon » ?

(b) « l’élève est en Première » et « l’élève est une fille » ?



Fiche no 3: Probabilités Conditionnelles

Pour une loi équirépartie :

P (A) =Nbre d’éléments de A

Nbre d’éléments de Ω=

Nbre de cas favorablesNbre de cas possibles

.

Ω

A

B

A

A ∩ A = ∅ =⇒ A et A sont incompatibles.

— P (∅) = 0 et P (Ω) = 1.

— 0 6 P (A) 6 1 et P (A) = 1 − P (A).

— P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). si A et B sont incompatibles alors

P (A ∪ B) = P (A) + P (B).

A et A forment une partition de A =⇒ B =(A ∩ B

)∪(A ∩ B

)

P (B) = P(

A ∩ B)

+ P(

A ∩ B)

.

PA(B) =P (A ∩ B)

P (A)=⇒ P (A ∩ B) = P (A) × PA(B)

= P (B) × PB(A).

A et B indépendants ⇐⇒ A et B indépendants ⇐⇒ A et B indépendants

⇐⇒ A et B indépendants

⇐⇒ PA(B) = P (B) ⇐⇒ PB(A) = P (A)

⇐⇒ P (A ∩ B) = P (A) × P (B) et P (A) 6= 0.

A

P (A)

BPA

(B)

BP

A(B)

A

1 −P (A)

BP A

(B)

BP

A (B)

À calculer séparémment !

P (A ∩ B) = P (A) × PA(B).

PA(B) + PA(B) = 1.

P (B)= P (A ∩ B) + P (A ∩ B)

=P (A) × PA(B)+P (A) × PA(B).

Thème: Suites - Probabilités conditionnelles TS - SI - Devoir surveillé no 2

Suites - Probabilitésconditionnelles

Exercice 1 : On considère la suite numérique (un)n∈N définie sur N par u0 = a, et pour toutentier n, un+1 = un(1 − un) où a est un réel donné tel que 0 < a < 1.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0 < un < 1.

2. Montrer que la suite (un)n∈N est décroissante.

3. La suite (un)n∈N est-elle convergente ?

Exercice 2 : Les valeurs approchées des résultats seront données à 10−4 près.

Un fabricant d’ampoules possède deux machines, notées A et B. La machine A fournit 65%de la production, et la machine B fournit le reste. Certaines ampoules présentent un défautde fabrication :

— à la sortie de la machine A : 8% des ampoules présentent un défaut ;

— à la sortie de la machine B : 5% des ampoules présentent un défaut.

On définit les événements suivants :

A : « l’ampoule provient de la machine A » ;

B : « l’ampoule provient de la machine B » ;

D : « l’ampoule présente un défaut ».

1. On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d’une journée.

(a) Construire un arbre pondéré représentant la situation.

(b) Montrer que la probabilité de tirer une ampoule sans défaut est égale à 0, 9305.

(c) L’ampoule tirée est sans défaut.Calculer la probabilité qu’elle provienne de la machine A.

2. On prélève 10 ampoules au hasard parmi la production d’une journée à la sortie de lamachine A. La taille du stock permet de considérer les épreuves comme indépendanteset d’assimiler les tirages à des tirages avec remise.On appelle X la variable aléatoire qui associe le nombre d’ampoules sans défaut issuesdu prélèvement.

(a) Quelle est la loi que suit X. On se justifiera.

(b) Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 7 ampoules sans défaut.

(c) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 9 ampoules sans défaut.

(d) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 2 ampoules présentant un défaut.

87

Thème: Suites - Probabilités conditionnelles TS - SI - Devoir surveillé no 2

Exercice 3 : Chaque jour Bill doit décider s’il achète du pain ou non.

— S’il a acheté du pain un jour, la probabilité qu’il en achète le lendemain est 0,3 (parcequ’il lui en reste parfois du jour précédent ou qu’il n’en a simplement pas envie ce jour-là).

— S’il n’a pas acheté de pain un jour, la probabilité qu’il en achète le lendemain est 0,8.

Pour tout entier n ∈ N∗, on appelle An l’évènement « Bill achète du pain le nème » et on notepn = P (An).

Aujourd’hui (le 1er jour), Bill a acheté du pain, ainsi p1 = 1.

1. Calculer p2 et p3.

2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :

An

An+1

An+1

An

An+1

An+1

3. Montrer que pn+1 = 0, 8 − 0, 5pn.

4. Montrer par récurrence que pn =7

15

(−1

2

)n−1

+8

15pour tout n ∈ N∗.

5. (a) En déduire limn→+∞

pn.

(b) Interpréter concrètement le résultat de la question précédente.

Exercice 4 : Dans le lycée Probabilix :

— Il y a 108 élèves en terminale scientifique, 21 ont choisi la spécialité mathématique, 27l’option Latin et 8 élèves ont choisi les deux ;

— Il y a 40 élèves qui ont choisi l’espagnol en seconde langue et parmi ceci il y a 10 élèvesqui ont choisi l’option Latin.

On choisit au hasard un élève de terminale et on appelle :

— L l’évènement « l’élève a choisi l’option latin » ;

— M l’évènement « l’élève a choisi la spécialité mathématique » ;

— E l’évènement « l’élève a choisi l’espagnol en seconde langue ».

1. Calculer les probabilités des évènements L, M et L ∩ M .

2. Les évènements L et M sont-ils indépendants ?

3. Les évènements L et E sont-ils indépendants ?

88

Thème: Probabilités et Dérivabilité TS - SI - Devoir en temps libre no 4

Probabilités et Dérivabilité

Problème 1 : Dans un certain sport, on considère que 2 % des sportifs se dopent.

Un test anti-dopage répond aux spécificités suivantes :

— si un sportif se dope, le test est positif dans 99% des cas ;

— si un sportif ne se dope pas, le test est négatif dans 99,9% des cas.

1. Déterminer la probabilité qu’un sportif pris au hasard soit contrôlé positif avec ce test.

2. Si un sportif est contrôlé positif à ce test, on fait un deuxième test : si celui-ci estégalement positif, le sportif est déclaré coupable, sinon, il est innocenté.On choisit un sportif subissant un contrôle antidopage et on considère les événements :

D : « le sportif est dopé » ;

P1 : « le premier test est positif » ;

P2 : « le deuxième test est positif ».

(a) Montrer que la probabilité que le sportif soit déclaré coupable est 0, 019603 enadmettant que PD∩P1(P2) = PD(P2) et PD∩P1

(P2) = PD(P2).

(b) Un officiel affirme :« Avec ce protocole, il est presque impossible qu’un sportif soit déclaré coupable àtort ».Commenter cette affirmation (calculs et justification à l’appui bien sûr !).

3. On tire au sort 50 sportifs pratiquant ce sport, ce tirage au sort étant assimilable à untirage au sort avec remise.

(a) En moyenne, combien de ces sportifs seront déclarés coupables ?

(b) Quelle est la probabilité qu’il y ait entre 2 et 10 déclarés coupables ?

4. Un test antidopage coûte 500 € à réaliser.On considère la variable aléatoire X donnant le coût d’un contrôle antidopage (c’est-à-dire un ou deux tests).

(a) Donner la loi de probabilité de X.

(b) La fédération de ce sport prévoit de réaliser 10 000 contrôles l’année prochaine.Quelle somme « moyenne » devrait-elle prévoir pour tous ces contrôles dans sonbudget ?

89

Thème: Probabilités et Dérivabilité TS - SI - Devoir en temps libre no 4

Problème 2 : On considère la fonction F définie sur ]0 ; +∞ [ par F (x) = 2x − 3 +4√x

.

A. Étude d’une fonction auxiliaire.On pose pour tout x > 0, g(x) = x

√x − 1.

(a) En invoquant les fonctions usuelles, justifier que g est dérivable sur ]0 ; +∞ [.

(b) En considérant le taux d’accroissement de g en 0, montrer que la fonction g estdérivable en 0.

(c) Prouver que, pour tout x > 0, g′(x) =3

2

√x.

(d) En déduire les variations de g sur [0 ; +∞ [.

(e) Calculer g(1). Combien de fois g s’annule-t-elle sur [0 ; +∞ [ ?

(f) Quel est le signe de g(x) sur [0 ; +∞ [ ?(On pourra résumer le signe de g(x) dans un tableau)

B. Étude de F sur ]0 ; +∞ [

(a) Facultatif : Déterminer les limites de F (x) en +∞ et en 0.

(b) On admet que F est dérivable sur ]0 ; +∞ [.

Montrer que, pour x > 0, F ′(x) =2g(x)

x√

x.

(c) Résoudre dans ]0 ; +∞ [, l’équation (II.1)

F ′(x) = 0, (II.1)

et l’inéquation (II.2)F ′(x) < 0. (II.2)

(d) En déduire le tableau de variations de F .

C. Une équation

(a) Déterminer sur ]0 ; +∞ [, le nombre de solutions de l’équation

2x√

x − 3√

x + 4 = π√

x. (II.3)

(b) Donner un encadrement d’amplitude 0, 01 de la (ou les) solution(s) de (II.3).

90

Chapitre

III

Dérivation (rappels)

SommaireI Rappels et anticipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

I.1 Notion de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92I.2 Nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94I.3 Continuité et Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

II Calculs de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99II.1 Fonctions de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99II.2 Dérivation et opérations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100II.3 Dérivée d’une composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

III Dérivée et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103III.1 Sens de variation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103III.2 Extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

IV Plan d’étude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Test no 6 : G – Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Fiche no 4 : Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

91

III. Dérivation (rappels) I. RAPPELS ET ANTICIPATION

I Rappels et anticipation

I.1 Notion de continuité

On dit que la fonction f est continue sur un intervalle I lorsque sa courbe représentativese trace « sans lever le crayon ».

Définition 1 (Continuité graphique)

Exemples 1 :— les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont continues sur

leur ensemble de définition ;

0 1 2 3 4−1−2

0

−1

−2

1

2

3

x 7−→ −1

3x + 2.

0 1 2−1−2−3

0

−1

−2

−3

1

2

x 7−→ x3

.

0 1 2 3−1−2−3

0

−1

1

2

3

4

x 7−→ x2

.

0 1 2 3 4 5 6−1

0

−1

1

2

3

4

x 7−→√

x.

— les fonctions construites à partir des fonctions de référence sont continues sur leursensembles de définition ;

0 1 2 3 4 5−1−2

0

−1

−2

1

2

3

x 7−→ x −√

2x + 1 + 3.

0 1 2 3 4−1−2

0

−1

−2

1

2

3

x 7−→ −(x + 1)(x − 3) − 1.

— les fonctions polynômes sont continues sur l’ensemble des réels ;




0 1 2 3 4−1−2−3

0

−1

−2

1

2

3

x 7−→3

5x

3 − x2 − x + 2.

— la fonction inverse et les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de défi-nition.

0 1 2−1−2−3

0

−1

−2

1

2

3

x 7−→1

xsur R

∗.

0 1 2 3 4 5−1−2−3−4

0

−1

−2

1

2

3

x

f(x)

x 7−→x − 2

x − 1sur R \ 1.

— le produit de deux fonctions continues sur un intervalle I est continu sur I ;

— Si f et g sont 2 fonctions continues sur I avec g ne s’annulant pas sur I alorsf

gest

continue sur I ;

— la fonction valeur absolue est continue sur R.

0 1 2−1−2

1

2

3

x 7−→ |x|.




I.2 Nombre dérivé

Une fonction peut être plus ou moins « régulière ». La régularité d’une fonction se mesure àl’aide des propriétés de continuité et de dérivabilité.

Plus on peut dériver une fonction, plus celle-ci sera régulière. Intuitivement, plus une fonctionest régulière, plus son graphe est lisse.

Dans ce paragraphe et sauf mention contraire, les fonctions étudiées seront systématiquementdes fonctions définies sur un intervalle ouvert de R et à valeurs réelles.

Soit f : I 7−→ R une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant le nombre a.

Si le taux de variationf(a + h) − f(a)

htend vers une valeur finie lorsque h tend vers 0

alors on dit que f est dérivable en a et on note :

f ′(a) = limh→0

f(a + h) − f(a)

h. (III.1)

Dans ce cas, le nombre f ′(a) est appelé le nombre dérivé de f en a. C’est le coefficientdirecteur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a dont l’équation est :

y = f ′(a)(x − a) + f(a).

À retenir

Définition 2

bcA

bc

bc

bcMh

bc

bc

bc

a

f(a)

a + h

f(a + h)

(Ta)

Cf

Par définition, le nombre dérivé en a, s’il existe, est donc le coefficient directeur de latangente à la courbe au point A d’abscisse a et, par extension, une fonction f est dérivable ena si, et seulement si sa courbe représentative admet une tangente au point d’abscisse a. ⌊1⌋

⌊1⌋. si on peut la tracer !




Si, pour tout x de I, f est dérivable en x, on dit que f est dérivable sur I et la fonctionf ′ : x 7−→ f ′(x) est appelée la fonction dérivée de f sur I.

Preuve: Soit (Ta) la tangente à la courbe au point A (a; f(a)). Son coefficient directeurest, par définition, f ′(a) donc l’équation réduite de (Ta) est de la forme :

y = f ′(a)x + b.

A (a; f(a)) ∈ (Ta) donc f(a) = f ′(a)a + b =⇒ b = f(a) − af ′(a).

L’équation de (Ta) est donc y = f ′(a)x + f(a) − af ′(a) soit, en factorisant un peu :

y = f ′(a)(x − a) + f(a).

Exercice 1 (Dérivées usuelles) : Retrouver les nombres dérivés des fonctions usuelles àpartir de la définition (2) .

1. La fonction carrée définie par f1(x) = x2 en a1 = 3.

2. La fonction affine définie par f2(x) = 3x − 5 en x2 = 1.

3. La fonction constante définie par f3(x) = 3 en a3 = 1.

4. La fonction cubique définie par f4(x) = x3 en a4 = 2.

5. La fonction racine définie par f5(x) =√

x en a5 = 1.

Exercice 2 : À partir de l’exercice précédent, donner l’équation de la tangente à la courbereprésentative de fi au point d’abscisse ai.

Remarque : Lorsque le taux d’accroissement tend vers ±∞, la courbe admet une demi-tangenteverticale en A.

Exemple 2 : Considérons le taux d’accroissement en 0 de la fonction racine pour h > 0.

On a :

√0 + h −

√0

h=

√h

h

=1√h

.

Comme limh→0

1√h

= +∞, la courbe de la ra-

cine carrée admet une demi-tangente verticaleen 0.

0 1 2 3 4 5 6 7−10

−1

1

2

3

4

x

f(x)

x 7−→ √x.




I.3 Continuité et Dérivabilité

Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I alors elle est continue sur I.

Théorème 1 (Dérivabilité entraîne continuité)

Preuve: La démonstration de ce théorème est hors-programme. ⌊2⌋

Globalement, il suffit de linéariser. f est dérivable en a si et seulement si il existe une quantitéf ′(a) telle que :

f ′(a) =f(a + h) − f(a)

h+ ε(h) où lim

h→0ε(h) = 0

f(a + h) = f(a) + hf ′(a) + hε(h)

Il est alors clair que limh→0

f(a + h) = f(a). La fonction f est donc continue en a.

Ce théorème explique simplement que la notion de dérivabilité est plus forte que celle de conti-nuité comme l’était déjà la notion de continuité par rapport à celle de définition. On pourradonc trouver des fonctions continues sans qu’elles soient dérivable mais pas l’inverse.

ATTENTION La réciproque de ce théorème est fausse. Pour s’en rendre compte, on peuts’appuyer sur les représentations graphiques du chapitre précédent :

— Si une fonction est continue sur un intervalle, sa représentation graphique est en un seulmorceau.

— Si la fonction est dérivable sur un intervalle, sa représentation graphique admet unetangente en chacun de ses points.

0 1 2 3 4

1

2

3

x 7−→ √x.

0 1 2−1−2

1

2

3

x 7−→ |x|.

⌊2⌋. Argh !




Comme explicité précédemment, les premiers exemples à avoir en tête sont la fonction valeurabsolue et la racine carrée et globalement, l’image à avoir en tête est celle de la fonction ci-dessous :

a

bA

La fonction est bien continue en a, car lacourbe est en un seul morceau.

Par contre, la fonction n’est pas dérivable en a,car la représentation admet au point A deuxdemi-tangentes.

On dit que la courbe admet un point angu-leux en a.

Exercice 3 : Soit f définie sur R par f(x) =

2 − x2 si x < 1;1

xsi x > 1

Montrer que f est continue mais n’est pas dérivable en 1. Donner une interprétation géomé-trique.

Un peu de cinématique : On considère un objet en mouvement sur un axe. On note t ladurée en secondes de son parcours, et x(t) la distance en mètres, parcourue après t secondes.

On note t0 et t1 = t0 + h deux instants : le quotientx(t1) − x(t0)

hest la vitesse moyenne de

l’objet entre les instants t0 et t1 = t0 + h.

Dans les conditions précédentes, la limite quand h se rapproche de 0 de la vitessemoyenne ⌊3⌋est appelée vitesse instantanée de l’objet à l’instant t0.

V (t0) = limt1→t0

x(t1) − x(t0)

t1 − t0= lim

h→0

x(t0 + h) − x(t0)

h(III.2)

Définition 3

Deux manières de voir ce résultat :

— La vitesse instantanée est la limite de la vitesse moyenne lorsque l’écart entre les deuxpoints de mesure tend vers 0.

— La vitesse instantanée est la dérivée première de la position. ⌊4⌋

Exemple 3 : On lâche un objet en chute libre. On note x(t) la distance parcourue (en m)après t secondes. On admet que la distance parcourue s’exprime en fonction du temps deparcours par

x(t) = 4, 9t2.

Calculer la vitesse instantanée de l’objet après une chute de t secondes.

⌊3⌋. c’est à dire le nombre dérivé de x en t0

⌊4⌋. C’est quoi la dérivée seconde ?




Première méthode : On exprime la vitesse moyenne de l’objet entre les instants t et t + h :

v =x(t + h) − x(t)

h=

4, 9(t + h)2 − 4, 9t2

h

En développant, réduisant et simplifiant, on obtient :

v =4, 9(t2 + 2th + h2) − 4, 9t2

h=

9, 8th + 4, 9h2

h= 9, 8t + 4, 9h

Lorsque h tend vers 0, ce quotient se rapproche de 9, 8t : limh→0

(9, 8t + 4, 9t) = 9, 8t.

Donc la vitesse instantanée de l’objet en chute libre est donnée par l’expression

v(t) = x′(t) = 9, 8t.

Deuxième méthode : On calcule la dérivée de la position :

v(t) = x′(t) =dx(t)

dt= 4, 9 × 2t = 9, 8t.

Après 5 secondes de chute libre, la vitesse est de 9, 8 × 5 = 49 m/s. (soit 179,4 km/h).

Remarque : Les physiciens expriment volontiers une variation à l’aide du symbole ∆. Ils notentainsi ∆t = t1 − t0 et ∆x = x1 − x0.

Pour une variation très petite, reprenant une notation introduite par Isaac Newton, on notealors dt et dx. On obtient ainsi la notation différentielle de la dérivée :

x′(t) =dx(t)

dt.

L’avantage de cette notation est de rendre bien visible la variable par rapport à laquelle ondérive. Ici, la position x(t) est dérivée par rapport au temps.

En mathématiques, et temps que l’on ne considérera que des fonctions d’une seule variable, on

note plus simplementdf(x)

dx= f ′(x).

Une fonction f : I 7−→ R est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I.

On appelle fonction dérivée de f sur I, que l’on note f ′(

oudf

dx

), la fonction qui à tout

x de I associe le nombre dérivé de f en x :

f ′ : I Rx f ′(x).

Définition 4 (Fonction dérivée)



III. Dérivation (rappels) II. CALCULS DE DÉRIVÉES

Un peu d’histoire:— La notion de dérivée tire son origine dans l’étude des tangentes, et en particulier de la

pente des tangentes. Pierre de Fermat le premier (en 1636) constate que très souvent, la

pente s’obtient en écrivantf(a + e) − f(a)

e, en « prenant » e = 0 (il ne dispose pas encore

de la notion de limite). Il appelle e un « infiniment petit ».

— Newton, en 1669, introduit la notation (x, y, z), pour les dérivées des coordonnées d’unpoint, qu’il appelle « fluxions » des « fluentes » (x, y, z), qu’il définit comme les vitessesdont les fluentes sont augmentées graduellement et indéfiniment.Sa notation est encore utilisée actuellement en physique.

— En 1674, Leibniz introduit la notation dx ; pour désigner une variation infinitésimale surl’abscisse, et dy pour désigner une variation infinitésimale sur l’ordonnée. Si y dépend de

x,dx

dydésigne donc la variation infinitésimale de la fonction y rapportée à la variation

infinitésimale de x qui l’a provoquée : il s’agit bel et bien de la définition de Fermat, et riende plus : pas de nouvelle théorie, juste une nouvelle notation, encore largement utiliséeaujourd’hui, notamment sous la forme non quotientée (pensez aux intégrales !)

— À la fin du 18ème siècle, Joseph-Louis Lagrange introduit la terminologie « dérivée » et lanotation f ′.

— La formalisation rigoureuse est due à Karl Weierstrass dans la deuxième moitié du 19ème

siècle, s’appuyant sur une définition rigoureuse de la notion de limite et de continuité(dont il donne également pour la première fois une définition rigoureuse et précise)

II Calculs de dérivées

II.1 Fonctions de référence

Fonction f Fonction f ′ Ensemble de définitionde f

Ensemble de définitionde f ′

x 7−→ a x 7−→ 0 R

x 7−→ ax + b x 7−→ a R

x 7−→ xn (n ∈ N∗) x 7−→ nxn−1 R

x 7−→ 1x

x 7−→ − 1x2 R∗

x 7−→ 1xn

(n ∈ N∗) x 7−→ − n

xn+1 R∗

x 7−→ √x x 7−→ 1

2√

x[0; +∞[ ]0; +∞[




Exercice 4 : La fonction f est définie sur R par f(x) = x2 et on note Cf sa représentationgraphique dans un repère orthogonal.

Les points A et B de la courbe Cf ont pour abscisses respectives a et b avec a 6= b.

On note TA et TB les tangentes à la courbe Cf respectivement aux points A et B.

1. Donner l’équation réduite de TA en fonction de a puis celle de TB en fonction de b.

2. Déterminer l’abscisse du point d’intersection C de TA et TB.

3. Calculer les coordonnées du milieu J de [AB].

4. On note I le point de la courbe Cf ayant la même abscisse que C.Montrer que la tangente à Cf au point I est parallèle à la droite (AB).

5. En déduire une méthode pour construire la tangente à la courbe en un point quelconquede Cf sans calculer la dérivée.

6. Tracer alors avec cette méthode, les tangentes à Cf aux points I d’abscisse 2 et au pointI ′ d’abscisse −3 dans un repère orthogonal.

II.2 Dérivation et opérations algébriques

En abrégé, on note u′ et v′ respectivement à la place de u′(x) et v′(x) et on suppose toutes lesfonctions définies et dérivables pour simplifier les notations :

Fonction f Dérivée f ′

Produit par uneconstante

λu, λ ∈ R ku′

Somme u + v u′ + v′

Produit u × v u′v + uv′

Quotientu

v

u′v − uv′

v2

Remarque : Le quotientu

vde deux fonctions dérivables n’est dérivable que si l’on précise bien

que le dénominateur est non nul.




II.3 Dérivée d’une composée

Soi u une fonction dérivable vérifiant les conditions du tableau.

Fonction f Dérivée f ′ Conditions sur u

√u

u′

2√

u

u prend des valeursstrictement positives.

1

u− u′

u2u ne s’annule pas.

un, n ∈ Z nu′ × un−1 Si n < 0 alors u nes’annule pas.

f(ax + b) a × f ′(ax + b)

Théorème 2

Preuve:1. Soit un réel a ∈ I et un réel h > 0 tel que a + h soit dans I.

On calcule le taux d’accroissement de√

u entre a et a + h.√

u(a + h) −√

u(a)

h=

u(a + h) − u(a)

h(√

u(a + h) +√

u(a))

=u(a + h) − u(a)

h× 1√

u(a + h) +√

u(a)

Or, la fonction u est dérivable sur I donc limh→0

u(a + h) − u(a)

h= u′(a).

De plus, limh→0

1√u(a + h) +

√u(a)

=1

2√

u(a).

D’où, d’après les théorèmes sur les produits de limites

limh→0

√u(a + h) −

√u(a)

h= u′(a) × 1

2√

u(a)=

u′(a)

2√

u(a).

2. Le raisonnement est identique en formant le taux d’accroissement :

1

u(a + h)− 1

u(a)

h=

u(a) − u(a + h)

hu(a + h)u(a)

= −u(a + h) − u(a)

h× 1

u(a + h)u(a)




D’après les théorèmes sur les produits de limites limh→0

1

u(a + h)u(a)=

1

u2(a)puis

limh→0

1

u(a + h)− 1

u(a)

h= − u′(a)

u2(a).

3. On démontre par récurrence sur n ∈ N.On a

(u1)′

= u′ = 1 × u′u1−1. La proposition est donc initialisée au rang 1.

Supposons qu’il existe un entier k ∈ N∗ tel que la propriété «(uk)′

= ku′uk−1 » soit vraie.

Alors(uk+1

)′=(uku

)′=(uk)′

u + uku′ = ku′uk−1u + uku′ = (k + 1)u′uk.La propriété est donc héréditaire.Étant initialisée, elle est donc vraie pour tout n ∈ N.

4. Soit u dérivable sur I et deux réels a et b tels que x ∈ I ⇒ (ax + b) ∈ I.— Si a = 0, alors f : x 7→ u(b) est constante et on a bien f ′(x) = 0 = 0 × u′(b).— Prenons a 6= 0. La fonction u est dérivable sur I donc :

pour tous X ∈ I et H réel tels que (X + H) ∈ I : limH→0

u(X + H) − u(X)

H= u′(X).

Posons X = ax + b et H = ah. Alors, H tend vers 0 vu que h tend vers 0 et que a 6= 0.Ainsi :

limh→0

u(ax + b + ah) − u(ax + b)

ah= u′(ax + b).

D’où limh→0

u(a(x + h) + b

)− u(ax + b)

h= au′(ax + b).

Exercice 5 : Calculer la dérivée des fonctions et préciser leur domaine de dérivabilité avec :

f1(x) = (x − 4)2

f2(x) =√

4x − 5.

f3(x) =√

x2 − x − 2

f4(x) = (5x − 3)2.

f5(x) =1√

x − 1.

f6(x) = (x2 + 2x − 9)3.

f7(x) =(

x + 1

x + 2

)3

.

f8(x) =√

x2 + 1.

Exercice 6 : Écrire une équation de la tangente à la courbe représentative de f au pointd’abscisse x0.

1. f(x) =2x − 3

x + 4x0 = 1

2. f(x) =x√

x + 1x0 = −1

2

3. f(x) =4x2

(x + 1)3 x0 = 2

D’une manière générale :

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle J et u une fonction définie etdérivable sur un intervalle I telle que, pour tout x de I, u(x) ∈ J .La fonction f u est dérivable et, pour tout réel x de I :

f(u(x)

)′= u′(x) × f ′

(u(x)

)

Théorème 3 (Admis)



III. Dérivation (rappels) III. DÉRIVÉE ET VARIATIONS

Exercice 7 : Soit f une fonction définie par f(x). Déterminer son ensemble de dérivabilitéD

′, puis calculer f ′(x).

1. f(x) = x3 − 3 + 3√

x

2. f(x) =(4x3 + 2x − 1

)4

3. f(x) =√

1 − x2

4. f(x) =(

1 − 1

x

)3

Correction :

1. D′ = R∗

+ ; f ′(x) = 3x2 +3

2√

x

2. D′ = R ; f ′(x) =

(48x2 + 8

) (4x3 + 2x − 1

)3

3. D′ =] − 1 ; 1[ ; f ′(x) = − x√

1 − x2

4. D′ = R∗ ; f ′(x) =

3x2

(1 − 1

x

)2

Exercice 8 : Soit f une fonction définie et dérivable en x0 de courbe représentative C dansun repère.Calculer f(x0) et f ′(x0), puis donner une équation de la tangente à C au point d’abscisse x0.

1. f(x) =x2 + 4x + 7

x2 + 1x0 = 1

2. f(x) = (2x − 1)11 x0 = 0

3. f(x) = 3x−2√

−x− 5

xx0 = −1

4. f(x) =√

5 − 2x x0 = 2

Correction :

1. f(x0) = 6 ; f ′(x0) = −3 ;y = −3x + 9.

2. f(x0) = −1 ; f ′(x0) = 22 ;y = 22x − 1.

3. f(x0) = 0 ; f ′(x0) = 9 ;y = 9x + 9.

4. f(x0) = 1 ; f ′(x0) = −1 ;y = −x + 3.

III Dérivée et variations

III.1 Sens de variation d’une fonction

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert.

— f est croissante sur I si, et seulement si ∀x ∈ I, f ′(x) > 0 (sauf en quelques pointsisolés de I où elle s’annule).

— f est constante sur I si, et seulement si ∀x ∈ I, f ′(x) = 0.

— f est décroissante sur I si, et seulement si ∀x ∈ I, f ′(x) 6 0 (sauf en quelques pointsisolés de I où elle s’annule).

Rappels 1

Ce théorème ramène donc l’étude des variations d’une fonction à celle du signe de sa dérivée.



III. Dérivation (rappels) III. DÉRIVÉE ET VARIATIONS

III.2 Extremum local

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert et x0 ∈ I.f(x0) est un extremum local de f si et seulement si f ′ s’annule en changeant de signe enx0.

Théorème 4 (CNS d’extremum)

Exercice 9 : Soit la fonction f définie sur R par :

f : x 7→ x2 + 2x + 5√x2 + 1

.

1. Établir que f est dérivable sur R et que :

f ′(x) =(x − 1)(x2 + x − 2)

(x2 + 1)√

x2 + 1.

2. Dresser le tableau de variation de f .

Exercice 10 : Soit la fonction f définie par :

f : x 7→ x2 + 2x + 1√x + 3

.

1. Déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité de f .

2. Montrer que, là où f est dérivable :

f ′(x) =(x + 1)(3x + 11)

2(x + 3)√

x + 3.


4. Montrer que f admet un minimum sur son ensemble de définition.

Exercice 11 : Soit la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f(x) =2x − √

x

2 +√

x.

1. Montrer que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et que :

f ′(x) =x + 4

√x − 1

√x (2 +

√x)

2 .

2. Résoudre l’équation X2 + 4X − 1 = 0.En déduire le signe de f ′(x).




III. Dérivation (rappels) IV. PLAN D’ÉTUDE D’UNE FONCTION

IV Plan d’étude d’une fonction

Nous terminons en résumant les différentes étapes pour l’étude d’une fonction f :

1. On commence par déterminer le domaine de définition de f c.-à-d. on ne travaille pas surquelque chose qui n’existe pas !

2. On restreint l’intervalle d’étude par parité ou périodicité si c’est le cas c.-à-d. on netravaille pas pour rien.

3. On détermine les limites de f au extrémités du domaine d’étude avant de les étendre audomaine de définition tout entier par symétrie ou translation.

4. Avant de dériver, on justifie que f est continue et dérivable sur l’intervalle d’étudec.-à-d. On n’effectue aucune opération sans en avoir le droit. ⌊5⌋

5. On calcule et on factorise f ′.On détermine également les points d’annulation de la dérivée en résolvant afin d’avoir leslieux des tangentes « horizontales ».

6. On dresse le tableau de variation de f en y reportant toutes les informations obtenues et,selon les cas, ses extrema, des valeurs remarquables, . . .

7. On trace la courbe représentative de f , en suivant la méthode (1) ci dessous.

Pour tracer une jolie courbe représentative :

1. On trace les asymptotes à la courbe si elle existe.

2. On place les extrema locaux avec leur tangente « horizontale » et les demies-tangentes« verticales » s’il y en a.

3. On place quelques points essentiels : ni trop, ni trop peu et suffisamment pour donnerune idée de la courbe.

4. Le coude dans la concavité, on trace une jolie courbe, sans lever le crayon si la courbeest continue ni repasser et en s’appliquant bien à rendre la courbe tangente auxextrema locaux.

Méthode 1 (Pour tracer l’allure d’une courbe représentative)

⌊5⌋. Il est parfois inutile de dériver, je le rappelle.



III. Dérivation (rappels) IV. PLAN D’ÉTUDE D’UNE FONCTION

Exercice 12 : Soit f la fonction définie sur R par :

f(x) =1

8(x2 − x − 2)3

représentée par la courbe Cf ci-dessous.

0 1 2 3−1−20

−1

1

Cf

1. Conjecturer les variations de f .

2. Calculer f ′(x) et étudier son signe.

3. Dresser le tableau de variation de f sur R.

4. Déterminer l’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 1.

Exercice 13 : Soit la fonction f définie par :

f(x) = (ax + 1)(2x2 + x + 1)2.

Dans le repère (O ; I ; J) ci-dessous, on a représenté la courbe Cf représentative de la fonctionf et la droite qui passe par J et B(1 ; 4).

0 1−10

−1

−2

1

2

3

4

Cf

O I

J

B

1. (a) Justifier que la courbe Cf passe par le point J .

(b) Déterminer le coefficient directeur de (JB).

(c) Démontrer que, pour tout réel x :

f ′(x) =[10ax2 + (3a + 8)x + a + 2)

](2x2 + x + 1).

(d) On admet que (JB) est tangente à Cf au point J .Déterminer alors la valeur de a.

2. Montrer que f ′(x) = (10x2 + 11x + 3)(2x2 + x + 1).

3. Déterminer les variations de f sur R.



Thème: G – Dérivabilité TS SI - Test no 6

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G Dérivabilité

1. Complétez les tableaux suivants :

Fonction f Fonction f ′ Ensemble dedéfinition de f

Ensemble dedéfinition de f ′

x 7−→ ax + b x 7−→

x 7−→ xn (n ∈ N∗) x 7−→

x 7−→ 1xn

(n ∈ N∗)


un, n ∈ Z

f(ax + b)

2. Donner la dérivées des fonctions suivantes :

f1(x) =

√

3x +3

5. f2(x) =

(x

2x − 1

)4

. f3(x) =1x

1x

+ 2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Soit f : x 7−→ 1

2x2 − 3x + 2.

Donner l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Thème: D – Dérivabilité TS SI - Test no 6

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D Dérivabilité

1. Complétez les tableaux suivants :

Fonction f Fonction f ′ Ensemble dedéfinition de f

Ensemble dedéfinition de f ′

x 7−→ a x 7−→

x 7−→ 1x

x 7−→

x 7−→ √x x 7−→


√u

1

u

2. Donner la dérivées des fonctions suivantes :

f1(x) =(

3x +3

5

)4

. f2(x) =

√x

2x − 1. f3(x) =

√x√

x + 2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Soit f : x 7−→ 1

2x2 + 3x − 4.

Donner l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Fic

heno4:

Dérivation

Soit

f:

I7−→

Run

efo

ncti

ondé

finie

sur

unin

terv

alle

ouve

rtI

cont

enan

tle

nom

bre

a.

Sile

taux

deva

riat

ion

f(a

+h

)−

f(a

)

hte

ndve

rsun

eva

leur

finie

lors

que

hte

ndve

rs0

alor

son

dit

que

fes

td

ériv

able

ena

eton

note

:

f′ (a

)=

lim

h→

0

f(a

+h

)−

f(a

)

h.

(III

.3)

f′ (a

)es

tap

pelé

len

omb

red

ériv

éde

fen

a.

C’e

stle

coeffi

cien

tdi

rect

eur

dela

tang

ente

àla

cour

been

aupo

int

d’ab

scis

sea.

Définition

5

fes

tdé

riva

ble

ena

=⇒

fes

tco

ntin

ueen

a.

(Ta):y=f′(

a)(x−a)+f(a)

f′ (b

)=

0

ab

c

f(a

)

f(c

)

bc

A

bc B

bc C

Poi

ntan

gule

ux

Ext

rem

um

fes

tdé

riva

ble

ena

⇐⇒

(Cf)

adm

etun

eta

ngen

teen

A

x

Sign

ede

f′ (x

)

Var

iati

onde

f

bc

+0

−+

f(b

)f

(b)

f(c

)f

(c)

fes

tst

rict

emen

tcr

oiss

ante

sur

I⇐

⇒∀x

∈I,

f′ (x

)>

0.(s

auf

enqu

elqu

espo

ints

isol

ésde

Ioù

elle

s’an

nule

).

f(x

0)

est

unex

trem

umlo

cal

def

⇐⇒

f′

s’an

nule

ET

chan

gede

sign

een

x0. f

f′

u+

vu

′ +v

′

uv

u′ v

+u

v′

u v

u′ v

−u

v′

v2

un

(n∈N

∗ )n

u′ u

n−

1

1 u−

u′

u2

1 un

(n∈N

∗ )−

nu

′

un

+1

ff

′

√u

u′

2√u

sin

(u)

u′ co

s(u

)

cos(

u)

−u′ si

n(u

)

euu

′ eu

lnu

u′ u

( f( u

(x)))

′u

′ f′(

u(x

))

∫x

af

(t)dt

f(x

)

—L

esso

mm

es,p

rodu

its

etco

mpo

sés

defo

ncti

ons

déri

vabl

esso

ntdé

riva

bles

sur

leur

ense

mbl

ede

défin

itio

n.

—L

esqu

otie

nts

defo

ncti

ons

déri

vabl

esdo

ntle

déno

min

ateu

rne

s’an

nule

pas

sont

déri

vabl

essu

rle

uren

sem

ble

dedé

finit

ion.

Lor

squ’

une

fonc

tion

fes

tdé

riva

ble

ena,u

nebo

nne

appr

oxim

atio

naffi

ne,

lors

que

a+

hes

tvo

isin

dea

est

:

f(a

+h

)≈

f(a

)+

hf

′ (a).

Fiche no 4: Dérivation

Problème 1 : Soit la fonction f définie par :

f : x 7→ x2 + 2x + 1√x + 3

.

1. Déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité de f .

2. Montrer que, là où f est dérivable :

f ′(x) =(x + 1)(3x + 11)

2(x + 3)√

x + 3.


4. Montrer que f admet un minimum sur son ensemble de définition.

5. Tracer la courbe de f dans un repère orthonormé.

6. Montrer que l’équation f(x) = 2 admet une unique solution α sur l’intervalle [−1 ; +∞ [que l’on déterminera à 10−2 près.

Chapitre

IV

Fonctions trigonométriques

SommaireI Vade-mecum de première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

I.1 Trigonométrie de collège . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111I.2 Enroulement de l’axe réel sur le cercle trigonométrique . . . . . . . . . 112I.3 Autour du cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113I.4 Équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116I.5 Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

II Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118II.1 Parité, périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118II.2 Continuité, dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119II.3 Variations et représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122II.4 Fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Activité no 6 : La fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Fiche no 5 : Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Devoir surveillé no 3 : Dérivabilité et Trigonométrie . . . . . . . . . . . 130Devoir en temps libre no 5 : Dérivabilité et Trigonométrie . . . . . . 132

I Vade-mecum de première

On rappelle ici les principaux résultats en trigonométrie établis dans les classes précédentes.

I.1 Trigonométrie de collège

sin x =Opposé

Hypoténuse=

HMOM

.

cos x =Adjacent

Hypoténuse=

OHOM

.

tan x =sin x

cos x=

OpposéAdjacent

=HMOH

.

O

M

x

H

Hypoténuse O

pposé

Adjacent

111

IV. Fonctions trigonométriques I. VADE-MECUM DE PREMIÈRE

I.2 Enroulement de l’axe réel sur le cercle trigonométrique

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O; −→ı ; −→ ).Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon1, orienté dans le sens direct.

En « enroulant » l’axe des réels autour du cercle trigonométrique,on constate qu’à tout réel x est associé un et un seul point Mdu cercle trigonométrique.

Réciproquement, tout point du cercle trigonométrique est asso-cié à une infinité de réels. Plus précisément, si le point M ducercle trigonométrique est associé à un certain réel x0, alors lesréels associés au point M sont les réels de la forme x1 = x0 +2kπoù k est un entier relatif.

On dit alors que « x0 et x1 sont égaux modulo 2π » et on note :

x0 ≡ x1 [2π] .

Si M est un point du cercle trigonométrique, tout réel x associéà M par ce procédé est, par définition, une mesure en radian de

l’angle orienté(−→ı ;

−−→OM

).

L’ensemble des mesures en radian de l’angle orienté(−→ı ;

−−→OM

)

est donc l’ensemble des réels de la forme x0 + 2kπ, k ∈ Z, l’en-semble des réels égaux à x0 modulo 2π, où x0 est une mesure en

radian de l’angle orienté(−→ı ;

−−→OM

).

Exercice 1 : Une mesure en radian d’un angle orienté est148π

3.

Déterminer la mesure de cet angle qui appartient à l’intervalle[0 ; 2π [ et la mesure qui appartient à ] − π ; π ].

×

O 0 1−10

−1

1

×M x

+ 1

+

π

2

+ π

+ 2π

+ −π

+ x




I.3 Autour du cercle trigonométrique

Ceci n’est qu’un résumé de cours. Pour plus de détails, on se réfèrera à un cours de première.On munit le plan d’un repère orthonormé (O; −→ı ; −→ ) et on note C le cercle trigonométrique,c’est à dire le cercle de centre O et de rayon 1.

Pour tout nombre réel x, il existe un unique point M du cercle trigonométrique tel que

l’angle orienté(−→ı ;

−−→OM

)ait pour mesure x radians.

L’abscisse de M est notée cos x et son ordonnée sin x, on les appelle le cosinus et le sinusdu nombre réel x.

Théorème 1 (et définition)

b

O−10

−1

bcM

xb

xM

byMxM = cos x

yM = sin x

Pour tout réel x, cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x.On dit que les fonctions cos et sin sont 2π-périodiques.De plus, cos2 x + sin2 x = 1.

Théorème 2

Exercice 2 : Soit a un réel de l’intervalle[π

2; π]

dont le sinus est3

5.

Calculer cos a.




Degré 0 30 45 60 90 180

Radian 0π

6

π

4

π

3

π

2π

cos 1

√3

2

√2

2

1

20 −1

sin 01

2

√2

2

√3

21 0

tan 0

√3

31

√3 ±∞ 0

b

O0 1−1

0

−1

1

bc O

bc

π

6

bc

π

4

bc

π

3

bc

π

2

bc

2π

3

bc

3π

4

bc

5π

6

bc

π

bc −π

6

bc −π

4

bc

−π

3bc

−π

2

bc

−2π

3

bc

−3π

4

bc

−5π

6

bc

−π|

1

2

|√2

2

|√3

2

+

1

2

+

√2

2

+

√3

2√

3

3

1

√3

Théorème 3 (Cosinus et sinus d’angles remarquables)

Remarque : La ligne des sinus s’écrit :

√0

2,

√1

2,

√2

2,

√3

2,

√4

2.




b

O0 1−1

0

−1

1

0

bcx

π

2

−π

2

bc

π

bcπ + x bc −x

bc

π − x

bc

π

2+ x

bc

π

2− x

bc

1

x

π − x

π + x

−x

cos(−x) = cos x

sin(−x) = − sin x

tan(−x) = − tan x

cos(

π

2− x

)= sin x

sin(

π

2− x

)= cos x

tan(

π

2− x

)=

1

tan x

cos(

π

2+ x

)= − sin x

sin(

π

2+ x

)= cos x

tan(

π

2+ x

)= − 1

tan x

cos(π − x) = − cos x

sin(π − x) = sin x

tan(π − x) = − tan x

cos(π + x) = − cos x

sin(π + x) = − sin x

tan(π + x) = tan x

cos2 x + sin2 x = 1 et 1 + tan2 x =1

cos2 x.

Théorème 4 (Cosinus et sinus d’angles associés)

Exercice 3 : Calculer :

1. cos(

2π

3

)2. sin

(−3π

4

)3. sin

(−121π

6

)

Exercice 4 : Simplifier les expressions suivantes :

1. sin (3π+x)

2. cos(

5π

2− x

)

3. cos(

x − π

2

)

4. cos(

π

2+ x

)

5. cos (x−π)

6. sin(

x−π

2

)

7. sin(

x+π

2

)

8. cos(

x+π

2

)

9. sin (π − x) + cos(

π

2− x

)

10. 3 sin (π + x) − 2 sin (π − x) + 4 sin (x − π)

Exercice 5 : Simplifier l’expression suivante :

A = − cos(π − x) + 2 sin(

x +π

2

)− 7 sin

(π

2− x

)+ 2 sin(x + 3π) + 3 sin(−x).




I.4 Équations trigonométriques

Quels que soient a et b deux réels,

cos a = cos b ⇐⇒ b = a [2π] ou b = −a [2π]

sin a = sin b ⇐⇒ b = a [2π] ou b = π − a [2π]

Théorème 5 (Résolution d’équations trigonométriques élémentaires)

b

O I

M

a

M ′

cos ab

O I

M

b

M ′

sin b

π − b

Exercice 6 : Résoudre dans R puis [0 ; 2π ] les équations suivantes :

1. cos x = −1

2.

2. sin x =1

2.

3. sin 3x = −√

3

2. 4. cos

(x

2

)=

√3

2.

5. sin(x) = cos 2x.

Exercice 7 :1. Résoudre dans ]−π ; π] les équations suivantes :

(a) 2 cos 2x = 1

(b) sin 3x =

√3

2

(c) cos x =

√2

2

(d) sin x = −1

2

(e) sin x =

√3

2(f) cos 2x = cos x

(g) sin 3x = cos x

(h) cos x = cosπ

4

(i) sin x = sin(

−π

6

)

(j) cos 2x = cosπ

4

(k) cos x = cos(

x+π

4

)

(l)sin x

cos x=

√3

3

2. Résoudre dans R les équations suivantes :

(a) cos x =

√3

2

(b) cos x = − sin x

Exercice 8 :1. Sur un cercle trigonométrique, représenter les ensembles suivants :

(a) cos x sur[π

6;

2π

3

](b) sin x sur

[2π

3;

7π

3

]




2. À l’aide d’un cercle trigonométrique, donner sans justification l’ensemble des solutionsdes inéquations suivantes dans l’intervalle ] − π ; π] :

(a) sin x 6

√3

2(b) cos x > −1

2(c) cos x < 0

Exercice 9 : Résoudre sur ] − π ; π] les équations suivantes :

1. cos(

2x +π

6

)=

1

2

2. sin(

3x − π

3

)= −

√2

2

3. cos(

x +π

3

)= sin x

4. sin(

2x − π

4

)= cos x

Exercice 10 : Résoudre sur ] − π ; π] les inéquations suivantes :

1. 2 cos2 x − 3 cos x + 1 > 0

2. 2 sin2 x + 5 sin x + 2 < 0

3. cos2 x −(

3 +

√2

2

)cos x +

3√

2

26 0

I.5 Formules de duplication

Pour tous réels a et b,

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin bsin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b

cos 2a = cos2 a − sin2 a

= 2 cos2 a − 1

= 1 − 2 sin2 a.

cos2 a =1 + cos 2a

2

sin 2a = 2 sin a cos a sin2 a =1 − cos 2a

2

Théorème 6 (Cosinus et sinus d’une somme)

Exercice 11 :

1. En remarquant que1

12=

1

3− 1

4, calculer cos

(π

12

)et sin

(π

12

).

2. Déterminer les valeurs exactes de cos(

7π

12

)et sin

(11π

12

)

Exercice 12 : Résoudre dans ]−π ; π] l’équation :√

3

2cos(2x) +

1

2sin(2x) = cos

π

7.



IV. Fonctions trigonométriques II. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES


1. cos 2x cos x − sin 2x sin x.2. sin 3x cos 2x − sin 2x cos 3x.

3. cos(

a − 2π

3

)+ cos

(a +

2π

3

).

Exercice 14 :1. Calculer cos

(π

8

)et sin

(π

8

).

2. En déduire la valeur exacte de cos(

3π

8

).

3. Montrer que√

3 − 2√

2 =√

2 − 1.

II Fonctions trigonométriques

Pour chaque réel x, on peut calculer le réel sin(x). On définit ainsi sur R une nouvelle fonction :la fonction sinus.

La fonction cosinus (respectivement sinus) est la fonction qui à tout réel associe son cosinus(respectivement son sinus).

cos : x 7−→ cos(x) sin : x 7−→ sin(x).

Définition 1

II.1 Parité, périodicité

Les différents résultats de première S sur les arcs associés fournissent entre autres des propriétésde périodicité et de parité de cette fonction.

On dit d’une fonction f : R 7−→ R qu’elle est :

T -périodique s’il existe un réel T > 0 tel que pour tout réel x, f(x + T ) = f(x) et T estune période de f ;

paire si pour tout réel x, f(−x) = f(x) ;

impaire si pour tout réel x, f(−x) = −f(x).

Définition 2

Exemples 1 (Fonctions paires, impaires) :— Pour tout réel x, (−x)2 = x2 donc la fonction carrée est paire.

De même, pour tout entier naturel p, x 7−→ x2p est paire.De manière générale, dans un repère orthonormé, la représentation graphique d’unefonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

— Pour tout réel x, (−x)3 = −x3 donc la fonction cube est impaire.De même pour tout entier naturel p, x 7−→ x2p+1 est impaire.De manière générale, dans un repère orthonormé, la représentation graphique d’unefonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.




— La fonction cosinus est 2π-périodique et paire.

— La fonction sinus est 2π-périodique et impaire.

Théorème 7 (Parité et périodicité)

Autrement dit, ∀x ∈ R :

cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x).

Ainsi que :cos(−x) = cos(x) et sin(−x) = − sin(x).

Exercice 15 : Étudier la parité des fonctions suivantes.

f1(x) = x2 + 4

f2(x) =x

x2 + 1

f3(x) =1 + x2 + x4

x(x2 + x4)

f4(x) =2x + 1

x − 2

f5(x) = |x|f6(x) = cos x + sin x

f7(x) = cos(x + π)

Exercice 16 : Montrer que la fonction f définie sur R par f(x) = sin2(x) − sin(2x) sin(3x)est paire.

Exercice 17 : Vérifier que la fonction f est T -périodique.

f1(x) =sin x

cos xavec T = π

f2(x) = cos2 x − sin2 x avec T = π

f3(x) = sin (10πx) avec T = 0, 2.

f4(x) = cos(

4x +π

3

)avec T =

π

2

f5(x) = sin(

10x − 1

3

)avec T =

3π

5

f6(x) =2

5cos(3πx) avec T =

2

3f7(x) =

f8(x) = sin (6x − 3) avec T =π

3

f9(x) = sin(

3x − π

6

)avec T =

2π

3

f10(x) = 4 cos3 x − 3 cos x avec T =2π

3

II.2 Continuité, dérivabilité

Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur R.

Théorème 8 (Admis pour l’instant)

limx→0

sin x

x= 1 lim

x→0

cos x − 1

x= 0.

Théorème 9 (Nombres dérivés en 0)

Les physiciens ont l’habitude d’utiliser le résultat limx→0

sin x

x= 1 sous la forme :

« pour les petites valeurs de x, sin x ≃ x ».




C’est en particulier ce qu’ils font quand ils analysent le mouvement du pendule simple.

Preuve: A priori, nous avons une forme indéterminée de la forme «0

0». Nous allons lever

cette indétermination grâce au théorème d’encadrement et un peu de géométrie de cinquième.

Tout d’abord, puisqu’il s’agit d’un calcul de limite en 0 on peut restreindre l’étude à un voisinage

de 0, en l’occurrence,]−π

2;π

2

[.

Considérons le point M du cercle trigonométrique défini par (−→ı ;−−→OM

)) = x [2π], H le projeté

orthogonal de M sur l’axe des abscisses et T le point de [OM) de projeté orthogonal I sur l’axedes abscisses.

×

O I

×

M × T

x

×

Hcos x

+

sin x

Dans le cas où x > 0 ⌊1⌋, d’après le théorème de Thalès dans le triangle OIT ,

OH

OI=

IT

HM⇐⇒ cos x =

sin x

IT⇐⇒ IT =

sin x

cos x= tan x.

×

O I

×

M × T

×

H

De plus, en considérant les aires, on a :

AOHM 6 AOIM 6 AOIT ,

où AOIM est l’aire de l’arc de disque d’angle au centre x, d’aire AOIM =1

2x.

Or, AOHM =OH × HM

2=

cos x × sin x

2et AOIT =

OI × IT

2=

sin x

2 cos x.

⌊1⌋. Le cas x < 0 est identique.




D’oùcos x sin x

26

1

2x 6

sin x

2 cos x

0 < cos x 6x

sin x6

1

cos x, avec sin x > 0 sur

]−π

2;π

2

[

1

cos x6

sin x

x6 cos x , en inversant les inégalités.

Donc, ∀x ∈]−π

2;π

2

[,

1

cos x6

sin x

x6 cos x.

Comme limx→0

cos x = cos(0) = 1, d’après le théorème des gendarmes, on a bien le résultatsouhaité :

limx→0

sin x

x= 1.

Pour la deuxième limite, il faut faire un peu de trigonométrie :

∀x ∈]−π

2;π

2

[,

cos x − 1

x= −

2 sin2(

x2

)

x= − sin

(x

2

)×

sin(

x2

)

x2

.

Or, limx→0

sin(

x2

)

x2

= limX→0

sin (X)

X= 1 et lim

x→0− sin

(x

2

)= − sin(0) = 0.

D’après les théorèmes sur les produits de limites, on obtient bien le résultat escompté :

limx→0

cos x − 1

x= 0.

En particulier, le théorème (9) permet d’affirmer que les fonctions sin et cos sont dérivablesen 0.

En effet, les taux d’accroissement en 0 de ces fonctions s’écrivent :

sin(0 + x) − sin(0)

x=

sin x

xet

cos(0 + x) − cos(0)

x=

cos x − 1

x.

D’où,(

sin x)′

(0) = 1 et(

cos x)′

(0) = 0.

Exercice 18 :

1. Montrer que1 − cos x

x2=

1

2

(sin x

2x2

)2

.

2. En déduire limx→0

1 − cos x

x2puis lim

x→0

1 − cos√

x

x.

On va faire mieux que le théorème (9) :

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et pour tout réel x,

cos′(x) = − sin x et sin′(x) = cos x.

Théorème 10




Preuve: Soient x ∈ R et h 6= 0. On forme les taux d’accroissement de la fonction cosinus :

cos(x + h) − cos(x)

h=

cos(x) cos(h) − sin(x) sin(h) − cos(x)

h

=cos(x)

(cos(h) − 1

)− sin(x) sin(h)

h

= cos(x) × cos(h) − 1

h− sin(x) × sin(h)

h.

Or, d’après le théorème (9) , limh→0

sin h

h= 1 et lim

h→0

cos h − 1

h= 0.

Donc, d’après les théorèmes sur les produits et sommes de limites, on obtient :

limh→0

cos(x + h) − cos(x)

h= − sin x.

Autrement dit, la fonction cosinus est dérivable en tout x ∈ R et(

cos x)′

= − sin x.

Pour la fonction, sinus, on va se ramener au résultat précédent en remarquant que ∀x ∈ R,

sin x = cos(

π

2− x

).

D’où,(

sin x)′

= (−1) ×(

cos)′ (π

2− x

)= sin

(π

2− x

)= cos x.

La fonction sinus est donc, elle aussi, dérivable et, pour tout réel x,

sin′(x) = cos x.

II.3 Variations et représentation graphique

Les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodique donc il suffit de les étudier sur un intervallede longueur 2π et de compléter la courbe par translation de vecteur 2π−→ı . On considère alorsl’intervalle ] − π ; π ].

De plus, ces mêmes fonctions sont, respectivement, paire et impaire. L’étude sur la moitié del’intervalle précédent suffit donc à connaître la courbe que l’on complètera alors par symétrieaxiale et centrale, respectivement.

On va donc étudier donc les fonctions cosinus et sinus sur l’intervalle [0 ; π ].

— La fonction cosinus est décroissante sur [0 ; π ].

— La fonction sinus est croissante sur[0 ;

π

2

]puis décroissante sur

[π

2; π].

Théorème 11




Preuve: D’après le théorème (10) , il suffit d’étudier le signe de leur dérivée :

— cos′(x) = − sin x < 0 sur [0 ; π ] donc la fonction cosinus est y est décroissante.

— sin′(x) = cos x, positif sur[0 ;

π

2

]puis négatif sur

[π

2; π]. La fonction sinus y est donc

croissante puis décroissante.

On en déduit les tableaux de variations puis les courbes représentatives :

x

cos

−π 0 π

−1

1

−1

x

sin

−π

2

π

2

3π

2

−1

1

−1

0π

2π

3π

2

−π

2−π

−3π

2−1

1sin

xsin

xcosxco

sx

Remarque : En remarquant que sin(x) = cos(

x − π

2

), la courbe de sin est obtenue à partir

de celle de cos par une translation de vecteurπ

2−→ı .

En physique, on dira que sin est déphasée deπ

2par rapport à cos.

Les représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus sont appelées sinusoïdes.Définition 3


f(x) = cos x − sin x.

1. Calculer sin(

x +π

4

).

2. Calculer f ′(x).

3. En déduire les variations de f sur [0 ; 2π ].




Exercice 20 : Soit f la fonction définie par :

f(x) =cos x

1 + sin x.

1. Déterminer le domaine de définition de f .

2. Montrer que f est périodique.

3. Montrer que f n’est ni paire ni impaire.

4. Calculer f ′(x). En déduire le sens de variation de f sur]−π

2;

3π

2

[.

II.4 Fonctions composées

À l’aide des résultats précédents, n peut compléter notre tableau des dérivées usuelles :

Fonction f Fonction f ′ Ensemble de définitionde f

Ensemble de définitionde f ′

x 7−→ cos(x) x 7−→ − sin(x) R

x 7−→ sin(x) x 7−→ cos(x) R


cos u −u′ × sin u u dérivable.

et cos(ax + b) −a × sin(ax + b)

sin u u′ × cos u u dérivable.

et sin(ax + b) a × cos(ax + b)

Exercice 21 : Déterminer la dérivée des fonctions suivantes :

f1(x) = sin(

3x − π

4

)

f2(x) = x2 + cos x

f3(x) = sin 2x

f4(x) = cos x sin x

f5(x) = sin2 x

f6(x) = x2 cos x

f7(x) = cos2 x

f8(x) = sin x + cos x

f9(x) =2 cos x + 3

2 cos x − 3f10(x) = sin x (1 + cos x)

f11(x) = sin(x2)

f12(x) =cos x

sin x

f13(x) = (5x − 3)3 cos x

f14(x) =cos(πx − 1)

cos(x − π)

f15(x) = 2x sin (3x + 1)

f16(x) =(3x2 − 2

)sin2 x

f17(x) =2 cos 2x

3 − sin (1 − x)




Exercice 22 : Soit fi une fonction définie sur Dfi. Calculer f ′

i(x).

f1(x) =sin x

cos xsur R \ π

2+ kπ où k ∈ R.

f2(x) =3

2 cos xsur R \

π

2+ kπ où k ∈ Z

.

f3(x) =cos x

3x + sin xsur R∗.

f4(x) =cos x + 2

sin2 x + 2sur R.

Exercice 23 : Étudier la fonction f , définie sur R par :

f(x) =1

2cos(2x) − cos(x).

Aide:1. f est 2π-périodique.

2. f est paire.

3. Le domaine d’étude est [0 ; π ].

4. f ′(x) = sin(x)(

1 − 2 cos(x))

Exercice 24 :Partie A

Soit f la fonction définie sur[0 ;

π

2

]par :

f(x) = (cos x + 1) sin x.

(a) Démontrer que f ′ est définie sur[0 ;

π

2

]par :

f ′(x) = 2 cos2 x + cos x − 1.

(b) Étudier le signe du trinôme 2X2 + X − 1.

(c) En déduire le signe de f ′(x), puis les variations de f .

Partie B

α α

A B

D C

ABCD est un trapèze tel que AD = AB = BC = 1.Déterminer la valeur de l’angle α pour laquelle l’aire du trapèze est maximale.



Thème: La fonction tangente TS - SI - Activité no 6

La fonction tangenteUne fonction donnée, le plan d’étude est globalement toujours le même et doit aboutir à lareprésentation graphique de celle-ci dans le but d’une exploitation future.

On commence par définir le domaine de définition avant de réduire le domaine d’étude par desconsidérations géométriques puis s’ensuit par ordre croissant l’étude des propriétés analytiquesde la fonction et ses conséquences sur la représentation graphique.

Considérons :

tan : x 7−→ sin(x)

cos(x),

et on se place dans un repère (O; −→ı ; −→ ) du plan.

A) Domaine de définitionMontrer que la fonction tan n’est définie que sur l’ensemble

Dtan = R \

π

2+ kπ, k ∈ Z

=⋃

k∈Z

]π

2+ kπ ;

π

2+ (k + 1)π

[.

B) Domaine d’étudeOn considère dorénavant que x ∈ Dtan.

1. Montrer que tan est π-périodique.2. Montrer que tan est impaire.3. À l’aide des questions précédentes, donner le domaine d’étude minimal.

Par quelles transformations déduirons-nous alors la courbe de tan sur Dtan ?

On considère dorénavant x ∈ D =[0 ;

π

2

[pour le reste de l’exercice.

C) Étude analytique1. Montrer que lim

x→ π2

−tan(x) = +∞. Conséquence graphique ?

2. Montrer que tan est dérivable sur D et que :

∀x ∈ D ,(

tan)′

(x) =1

cos2(x)= 1 + tan2(x).

3. En déduire le tableau de variation de tan sur D .D) Courbe représentative

1. Donner l’équation de la tangente à la courbe en 0.2. On définit la fonction ϕ sur D définie par ϕ(x) = tan(x) − x.

Étudier rapidement la fonction ϕ et montrer que ∀x ∈ D , ϕ(x) > 0.En déduire la position de la courbe de tan et de sa tangente.

3. On considère un repère orthonormé d’unité 2 cm pourπ

2.

À l’aide des questions précédentes :a) Tracer l’asymptote de tan sur D .b) Tracer la tangente de tan en 0

c) Tracer la courbe de tan sur D .d) Compléter la courbe de tan sur Dtan tout entier.



Fiche no 5: Trigonométrie

Degré 0 30 45 60 90 180

Radian 0π

6

π

4

π

3

π

2π

cos 1

√3

2

√2

2

1

20 −1

sin 01

2

√2

2

√3

21 0

tan 0

√3

31

√3 ±∞ 0

b

O0 1−1

0

−1

1

bc O

bc

π

6

bc

π

4

bc

π

3

bc

π

2

bc

2π

3

bc

3π

4

bc

5π

6

bc

π

bc −π

6

bc −π

4

bc

−π

3bc

−π

2

bc

−2π

3

bc

−3π

4

bc

−5π

6

bc

−π|

1

2

|√2

2

|√3

2

+

1

2

+

√2

2

+

√3

2√

3

3

1

√3

Figure IV.1 – Angles associés.

b

O0 1−1

0

−1

1

0

bcx

π

2

−π

2

bc

π

bcπ + x bc −x

bc

π − x

bc

π

2+ x

bc

π

2− x

bc

1

x

π − x

π + x

−x

cos(−x) = cos x

sin(−x) = − sin x

tan(−x) = − tan x

cos(

π

2− x

)= sin x

sin(

π

2− x

)= cos x

tan(

π

2− x

)=

1

tan x

cos(

π

2+ x

)= − sin x

sin(

π

2+ x

)= cos x

tan(

π

2+ x

)= − 1

tan x

cos(π − x) = − cos x

sin(π − x) = sin x

tan(π − x) = − tan x

cos(π + x) = − cos x

sin(π + x) = − sin x

tan(π + x) = tan x

cos2 x + sin2 x = 1 et 1 + tan2 x =1

cos2 x.

Figure IV.2 – Influence des transformations du plan sur cos x, sin x et

tan x.


c2 = a2 + b2 − 2ab cos C.

b2 = a2 + c2 − 2ac cos B.

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.

A

B

Cc

b

a B

A

C ×

O

R

sin A

a=

sin B

b=

sin C

c=

1

2R=

2AABC

abc.

Figure IV.3 – Théorème d’Al-Kashi et relation des sinus.

Avec p =1

2

(a + b + c), on a AABC =

√p(p − a)(p − b)(p − c).

Figure IV.4 – Formule de Héron d’Alexandrie.

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b

tan(a + b) =tan a + tan b

1 − tan a tan b

tan(a − b) =tan a − tan b

1 + tan a tan b

Figure IV.5 – Formules d’addition I.

cos p + cos q = 2 cos(

p + q

2

)cos

(p − q

2

)

sin p + sin q = 2 sin(

p + q

2

)cos

(p − q

2

)

tan p + tan q =sin(p + q)

cos p cos q

cos p − cos q = −2 sin(

p + q

2

)sin

(p − q

2

)

sin p − sin q = 2 cos(

p + q

2

)sin

(p − q

2

)

tan p − tan q =sin(p − q)

cos p cos q

Figure IV.6 – Formules d’addition II.

cos 2a = cos2 a − sin2 a

= 2 cos2 a − 1

= 1 − 2 sin2 a.

sin 2a = 2 sin a cos a tan 2a =2 tan a

1 − tan2 a

Figure IV.7 – Formules de duplication.


cos a cos b =1

2

(cos(a + b) + cos(a − b)

)

sin a sin b =1

2

(cos(a − b) − cos(a + b)

)cos a sin b =

1

2

(sin(a + b) − sin(a − b)

)

cos2 a =1 + cos 2a

2sin2 a =

1 − cos 2a

2tan2 a =

1 − cos 2a

1 + cos 2a

cos3 a =cos 3a + 3 cos a

4sin3 a =

− sin 3a + 3 sin a

4tan3 a =

− sin 3a + 3 sin a

cos 3a + 3 cos a

Figure IV.8 – Formules de linéarisation.

cos a =1 − t2

1 + t2sin a =

2t

1 + t2tan a =

2t

1 − t2

Figure IV.9 – cos a, sin a et tan a en fonction de t = tana

2, la tangente de

l’angle moitié.

Thème: Dérivabilité et Trigonométrie TS - SI - Devoir surveillé no 3

Dérivabilité et Trigonométrie

Exercice 1 : Résoudre les équations et inéquations suivantes dans [0 ; π ] :

Aide: On donnera les solutions sous la forme S = . . . ; . . . ; . . . ou S = [. . . ; . . . ] ∪ . . .

1. (a) cos(3x) =1

2 (b) sin(x) 6

√3

2(c) sin

(2x +

π

6

)=

1

2

2. Montrer que f définie par f(x) =cos(x)

sin(x)− sin(x)

cos(x)est périodique de période

π

2sur son

domaine de définition.

3. Soit (un)n∈N la suite définie par un = cos(

n + 3

n2 + 1

). Déterminer lim

n→+∞un.

4. Un avion possède deux moteurs dont les pannes éventuelles sont indépendantes les unesdes autres. Chaque moteur a une probabilité de 0,0003 % de tomber en panne.Quelle est la probabilité que ses deux moteurs tombent en panne lors d’un vol ?

Exercice 2 : f est une fonction définie sur R par :

f(x) = (1 + cos x) sin x.

Partie A :

La courbe représentative de f est donnée ci-dessous.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6−7−80

−1

−2

1

x

f(x)

1. Conjecturer graphiquement la parité et la périodicité de la fonction f .

2. Démontrer vos conjectures.

Partie B :

1. Justifier qu’on peut restreindre l’étude de f sur [0 ; π ].

2. Montrer que, pour tout réel x de [0 ; π ], f ′(x) = (2 cos x − 1)(cos x + 1).

3. Dresser le tableau des variations de f sur [0 ; π ].

4. Montrer que la fonction f admet un maximum sur [0 ; π ] dont on donnera la valeurexacte.

130

Thème: Dérivabilité et Trigonométrie TS - SI - Devoir surveillé no 3

Exercice 3 : On considère la fonction f définie sur [−π ; π ] par :

f(x) =1

2sin(2x) − sin(x).

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; −→ı ; −→ ).

1. Montrer que la fonction f est impaire. Que peut en déduire pour la courbe Cf ?

2. Donner les valeurs exactes des images de 0,2π

3et π par f .

3. Démontrer que, pour tout x réel, f ′(x) = 2 cos2(x) − cos(x) − 1.Aide: Sinon on pourra l’admettre et continuer

4. Factoriser 2X2 − X − 1. En déduire l’étude du signe de f ′(x) sur [0 ; π ].

5. Dresser le tableau de variation de f sur l’intervalle [0 ; π ].

6. Donner l’équation de la tangente à la courbe en 0.

7. Tracer la représentation graphique de f sur l’intervalle [0 ; π ] puis sur l’intervalle [−π ; π ].

« Quel est le comble pour un Cosinus ?

Attraper une sinusite ! ! »

131

Thème: Dérivabilité et Trigonométrie TS - SI - Devoir en temps libre no 5

Dérivabilité et Trigonométrie

Problème 1 : On considère la fonction f définie pour tout réel x d’un ensemble Df par :

f(x) =x√

x2 − 1.

Soit Cf la courbe représentant f dans un repère (O; −→ı ; −→ )

1. Déterminer l’ensemble de définition Df puis l’ensemble de dérivabilité D′f de f .

2. (a) Justifier que pour tout réel x de ]1 ; +∞ [, on a :

f ′(x) = − 1

(x2 − 1)√

x2 − 1.

(b) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur ]1 ; +∞ [.

(c) En déduire que f(x) = 2 admet une unique solution sur ]1 ; +∞ [.

3. (a) Étudier la parité de f .

(b) En déduire le tableau de variations de f sur Df .

4. Déterminer l’équation réduite des tangentes à Cf en√

2 et −√

2..

5. Tracer soigneusement la courbe représentative de f ainsi que les tangentes de la question(4).

132

Thème: Dérivabilité et Trigonométrie TS - SI - Devoir en temps libre no 5

Problème 2 :

Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur.Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitessede 20 m/s.Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camionn’est plus qu’a 7 mètres de lui.Son démarrage est foudroyant et on suppose qu’il effectue la traverséeen ligne droite au maximum de ses possibilités, c’est-à-dire à . . . 10m/s !L’avant du camion est représenté par le segment [CC ′] sur le schémaci-contre.Le lapin part du point A en direction de D.Cette direction est repérée par l’angle θ = BAD avec 0 6 θ <

π

2(en

radians).

C′

A(L

api

n)

CB

D

θ7

m4

mC

amio

n

1. (a) Déterminer les distances AD et CD en fonction de θ.

(b) En déduire les temps t1 et t2 mis par le lapin et le camion pour parcourir respecti-vement les distances AD et CD.

2. On pose f(θ) =7

4+ tan θ − 2

cos θ.

Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulementsi f(θ) > 0.

3. Conclure.Aide: La fonction x 7−→ tan x est dérivable sur

[0 ;

π

2

[et a pour dérivée la fonction x 7−→ 1

cos2 x

133

Chapitre

V

Limites & Continuité

Dans le chapitre d’analyse précédent, nous nous somme familiarisés avec les notions delimite et de convergence d’une suite numérique (un)n∈N. Si l’on se rappelle qu’une suiten’est qu’une fonction à valeurs dans N définie par le schéma :

u : N Rn un

,

on va pouvoir aisément prolonger ces notions à une fonction f de la variable réelle :

f : R Rx f(x)

.

En effet, une suite n’étant correctement définie que si tous ses termes le sont pour desvaleurs finies de n, le comportement asymptotique n’est alors à étudier que pour desvaleurs « grandes » de n. Seule nous restait l’étude de lim un lorsque n −→ +∞.

Le tableau ci-dessous illustre les 3 cas de figure rencontrés :

un limn→+∞

un = ±∞ limn→+∞

un = ℓ limn→+∞

un n’existe pas

n−→

+∞

un =n2 + 3n − 1

n + 4

ou

u0 = 1

un+1 =1

3un + n − 2

un =(−1)n + 3n

n +√

n

ou

u0 = 1

un+1 =1

2

(un +

2

un

)

u0 = 1

un+1 = −un

ou

un = sin n

134

V. Limites & Continuité

Pour une fonction f , nous gagnons en dimensions :

— x tout d’abord appartient à R =] − ∞ ; +∞ [ tout entier et pas seulement à N : on pourraregarder lim

x→+∞f(x), lim

x→af(x) avec a ∈ R ou lim

x→−∞f(x)

— f(x) ensuite, peut prendre, elle aussi, toutes les valeurs de R =] − ∞ ; +∞ [ : on auraalors lim f(x) = −∞, lim f(x) = b ∈ R ou lim f(x) = +∞

— Et, bien sûr, nul n’a jamais dit que ces limites existaient toujours !

Le tableau résumant le travail de ce chapitre devient alors :

f(x) −→ ∞ f(x) −→ ℓ

x−→

∞

x

y = f(x)

]β ; +∞ [

]α ; +∞ [α

β

x

y = f(x)

ℓ

]α ; +∞ [α

ℓ − ε

ℓ + ε

x−→

a

x

y = f(x)

ba

]a − α ; a + α [

]β ; +∞ [

β

x

y = f(x)

]b − ε ; b + ε [

]a − α ; a + α [

b

a

bb

b b = f(a)

Enfin ce chapitre se termine sur nouvelle notion, souvent cachée ou passée sous silencejusqu’ici : la continuité.

Un théorème doit attirer tout particulièrement votre attention, celui des valeurs intermédiaireset ses premières conséquences fondamentales. Commençons !

SommaireI Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

I.1 Premiers exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137I.2 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

II Limite à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138II.1 Limite finie à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138II.2 Limite infinie à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140II.3 Limites des fonctions de référence en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . 142II.4 Asymptote oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

III Limite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146III.1 Limite infinie en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146III.2 Limites des fonctions de référence en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

IV Limite d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149



V. Limites & Continuité I. PRÉLIMINAIRES

IV.1 Composée de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149IV.2 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150IV.3 Composée d’une suite par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

V Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153V.1 Limite finie en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153V.2 Continuité des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

VI Les grands théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158VI.1 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158VI.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161VI.3 Théorème du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Activité no 7 : Une histoire d’asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Test no 7 : G – Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Test no 8 : G – Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Activité no 8 : Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . 175Correction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Fiche no 6 : Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Fiche no 7 : Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Activité no 9 : Révisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Devoir commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

I Préliminaires

L’essentiel du travail ayant été déjà fait avec les suites. nous pouvons voir ce chapitre commeun prolongement de ce dernier et nous appuyer sur es résultats déjà connus. Une fois n’est pascoutume, nous commencerons par la pratique avant la théorie.

En prenant toujours la convention que, chaque fois que l’on verra ∞, la règle des signes s’ap-plique, on peut transfigurer les résultats sur les limites de suites aux fonctions :

Si f(x) a pour limite 0 ℓ 6= 0 ℓ 6= 0 ℓ 6= 0 0 ∞ +∞ −∞ +∞Si g(x) a pour limite 0 ℓ′ 6= 0 ∞ ∞ ∞ 0 +∞ −∞ −∞alors f(x) + g(x) apour limite

0 ℓ + ℓ′ ∞ ∞ ∞ ∞ +∞ −∞ Forme

Indéter.

alors f(x) × g(x) apour limite

0 ℓ × ℓ′ ∞ ∞ Forme

Indéter.

Forme

Indéter.+∞ +∞ −∞

alorsf(x)

g(x)a pour

limite

Forme

Indéter.

ℓ

ℓ′ 0 0 0 ∞ Forme

Indéter.

Forme

Indéter.

Forme

Indéter.

On gardera à l’esprit que, non seulement la règle des signes s’appliquent pour les produits etles quotients mais aussi les différents types de formes indéterminées pour lesquelles il faudratravailler un peu avant d’affirmer des bêtises :

—0

0— 0 × ∞

—∞∞

— ∞ − ∞— 00

— 0∞

— ∞∞

— ∞0



V. Limites & Continuité I. PRÉLIMINAIRES

I.1 Premiers exercices

Les résultats sur les limites de suites s’étendent aisément aux fonctions donc, avant de leformaliser plus loin et avec un peu de bon sens, on admettra facilement que :

∀n ∈ N∗, limx→±∞

1

xn= 0 et lim

x→+∞xn = +∞.

— Limite en +∞ de la fonction f , définie sur R∗ par : f(x) = x + 3 +1

x.

limx→+∞

x + 3 = +∞

limx→+∞

1

x= 0

D’après lesthéorèmes sur

=⇒les sommesde limites

limx→+∞

f(x) = +∞.

— Limite en +∞ de la fonction f , définie sur R par : f(x) = x2 + x.

limx→+∞

x2 = +∞lim

x→+∞x = +∞


=⇒les sommesde limites

limx→+∞

f(x) = +∞.

— Limite en −∞ de la fonction f , définie sur R par : f(x) = x2 + x.Comme pour les suites, on va factoriser par la forme prépondérante en −∞ pour pouvoirconclure :

f(x) = x2 + x = x2(

1 +1

x

).

limx→−∞

x2 = +∞

limx→−∞

1 +1

x= 1


=⇒les produitsde limites

limx→−∞

f(x) = +∞.

— Limite en +∞ de la fonction f , définie sur R+ par : f(x) = x +√

x.Ici aussi le théorème sur les sommes de limites est impuissant. . . on factorise par la formeprépondérante en +∞ :

f(x) = x +√

x = x

(1 +

1√x

).

limx→+∞

x = +∞

limx→+∞

1 +1√x

= 1


=⇒les produitsde limites

limx→+∞

f(x) = +∞.

— Limite en −∞ de la fonction f définie sur R \

−2

3

par : f(x) =

2x + 1

3x + 2.

Comme le numérateur et le dénominateur tendent vers l’infini en −∞, nous avons uneforme indéterminée

∞∞ . On factorise donc par les parties prépondérantes :

f(x) =2x + 1

3x + 2=

2x(

1 +1

2x

)

3x(

1 +2

3x

) =2(

1 +1

2x

)

3(

1 +2

3x

) .

limx→−∞

2(

1 +1

2x

)= 2

limx→−∞

3(

1 +2

3x

)= 3


=⇒les quotients

de limites

limx→−∞

f(x) =2

3.



V. Limites & Continuité II. LIMITE À L’INFINI

— Limite en +∞ de la fonction f définie sur R+ par : f(x) =√

x + 1 − √x.

Le théorème sur les sommes de limites et la factorisation sont impuissants. . . on utilise laforme conjuguée pour lever l’indétermination :

f(x) =√

x + 1 − √x =

(√x + 1 − √

x)(√

x + 1 +√

x)

√x + 1 +

√x

=1√

x + 1 +√

x.

limx→+∞

√x + 1 +

√x = +∞


=⇒les quotients

de limites

limx→+∞

f(x) = 0.

I.2 Conclusion

Les théorèmes sur les sommes, produit et quotients de limites s’appliquent de la même manièreque pour les limites de suites et, comme pour elles, il subsiste des des formes indéterminées oùnos théorèmes ne permettent pas de conclure.

Dans ces cas-là, toujours dans l’idée de ne pas dire de bêtises on cherchera à « lever l’indé-termination » suivant les cas en :

— factorisant par le terme de plus haut degré (pour les polynômes et les fonctions ration-nelles),

— simplifiant,— multipliant par la quantité conjuguée (pour les fonctions irrationnelles),

et plus tard, en :— utilisant un théorème de comparaison ou d’encadrement,— effectuant un changement de variable,— développant parfois,— reconnaissant une dérivée,— . . . ,

mais toujours en réfléchissant !

II Limite à l’infini

Commençons en prolongeant les résultats sur les suites :

II.1 Limite finie à l’infini

Comme pour les suites, on a :

Dire qu’une fonction f a pour limite ℓ en +∞, signifie que tout intervalle ouvert contenantℓ, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez « grand ». On note alors :

limx→+∞

f(x) = ℓ.

∀ε ∈ R∗+, ∃ α(ε) ∈ R / ∀ x ∈ R, x > α =⇒ f(x) ∈ ]ℓ − ε ; ℓ + ε [.

Définition 1




x

y = f(x)

ℓ

]α ; +∞ [α

ℓ − ε

ℓ + ε

La droite d’équation y = ℓ est alors asymptote (horizontale) à la courbe représentativede f .

Corollaire 1 (Conséquence graphique)

Exemple 1 : Les fonctions de référence x 7−→ 1

x, x 7−→ 1

xn, n ∈ N, et x 7−→ 1√

xont des

limites nulles en +∞.

De même, en −∞, on a :

limx→−∞

1

x= 0 et, ∀n ∈ N, lim

x→−∞1

xn= 0.

Leur courbe admettent alors l’axe des abscisses comme asymptote horizontale.

Remarque : Dire que limx→∞

f(x) = ℓ est équivalent de dire que limx→∞

f(x) − ℓ = 0. Cette dernièreexpression représente, au signe près, la distance entre la courbe et son asymptote : à l’infini, lacourbe représentative se rapproche infiniment de son asymptote.

Soit f une fonction et y = ℓ l’équation de son asymptote horizontale (D).Pour étudier la position relative de Cf et de (D) en +∞, il suffit d’étudier le signe def(x) − ℓ sur un voisinage ]α ; +∞ [ de celui-ci.

x

Signe def(x) − ℓ

Position deCf et (D)

α δ +∞

+ 0 −

Cf au dessus de (D) Cf au dessous de (D)

Méthode 1 (Position relative d’une courbe et de son asymptote)

Exercice 1 : Soit ϕ la fonction définie sur R par :

ϕ(x) =ax2 + bx + c

x2 + 1

représentée par C dans le repère suivant.




0 1 2 3 4−1−2−3−4−5

1

2

3

4

x

f(x)

C

A

I

A′

1. Déterminer graphiquement les réels a, b et c.

2. Montrer que C admet une asymptote horizontale.

3. Déterminer les réels α et β tels que ϕ(x) = α +βx

x2 + 1.

4. Dresser le tableau de variation complet de ϕ.

5. Déterminer les positions relatives de C et (∆).

II.2 Limite infinie à l’infini

De la même manière, on a :

Dire qu’une fonction f a pour limite +∞ en +∞, signifie que tout intervalle ouvert de laforme ]β ; +∞ [ ⌊1⌋, β ∈ R , contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez « grand ». Onnote alors :

limx→+∞

f(x) = +∞.

∀β ∈ R, ∃ α(β) ∈ R / ∀ x ∈ R, x > α =⇒ f(x) ∈ ]β ; +∞ [.

Définition 2

x

y = f(x)

]β ; +∞ [

]α ; +∞ [α

β

On définit de manière analogue limx→+∞

f(x) = −∞, limx→−∞

f(x) = +∞ et limx→−∞

f(x) = −∞.

Remarques :— Cela implique que la fonction f n’est pas majorée .

⌊1⌋. On peut aussi le considérer comme un voisinage de l’infini.




— Il n’y a pas d’asymptote à la courbe en général. Quand viendra le temps, on parlera dedirection asymptotique, d’asymptote « oblique » ou encore de courbe asymptote.

Exemple 2 :— En +∞, les fonctions de référence x 7−→ xn, n ∈ N, et x 7−→ √

x ont pour limite +∞ .

— En −∞, la fonction de référence x 7−→ xn, n ∈ N, a pour limite

+∞, si n est pair,−∞, si n est impair.

0 1−12

1

2

3

x

y

bcbc

x 7−→ xn pour n = 2, 4, 6, 8.

0 1−10

−1

−2

1

2

x

y

bc

bc

x 7−→ xn pour n = 1, 3, 5, 7.

Remarque : Une fonction peut tendre vers +∞ en +∞ de plusieurs façons. On parle de vitessede divergence différentes.

C’est le cas par exemple des fonctions suivantes :

— x 7−→ x2 tend « rapidement » vers l’infini.La concavité est tournée vers le haut.

— x 7−→ x tend « moyennement » vers l’in-fini. Pas de concavité

— x 7−→ √x tend « lentement » vers l’infini.

La concavité est tournée vers le bas.

√x

x2

x

O

Ces simples informations sont importantes puisqu’elles nous permettront de conjecturer cer-taines limites. Une fonction rapide sera prépondérante sur une fonction lente en l’infini doncpourra y imposer sa limite.

On en verra d’autres qu’il faudra classer parmi celle qu’on connaît déjà.

Pour l’instant, en +∞ : 1 ≺ √x ≺ x ≺ xm ≺ xn, m < n.




II.3 Limites des fonctions de référence en l’infini

Le plus simple pour ne pas faire d’erreur, c’estde bien avoir en tête l’allure des courbes repré-sentatives de ces fonctions élémentaires ⌊2⌋.

On ne se préoccupe ici que de ce qui se passedans un voisinage de ±∞.

f(x) limx→+∞

f(x) limx→−∞

f(x)

xn +∞ +∞ si n pair

−∞ si n impair

1xn

0 0

√x +∞ non défini

1√x

0 non défini

sin x pas de limite pas de limite

1xn

, n impair

1xn

, n pair

xn, n pair

xn, n impair

√x

1√x

sin x

O

Remarque : Comme pour les suites, certaines fonctions n’admettent pas de limite en +∞comme, par exemple, les fonctions cosinus et sinus.

Dans tous les exercices qui suivent, on se posera la question de l’existence éventuelle d’uneasymptote à la courbe représentative.

Exercice 2 (Easy) : Déterminer les limites en +∞ et −∞ des fonctions définies par :

f1(x) = x +1

x

f2(x) = x2 016

f3(x) = x2 017

f4(x) =x

2− 2

x

f5(x) = x(1 − x)

f6(x) = x(x + 1)(x + 2)

Exercice 3 (Polynômes) : Déterminer les limites en ±∞ des fonctions polynômes définiespar :

f1(x) = x2 + 3x − 5

f2(x) = x3 − 2x

f3(x) = 7x5 − 3x2 + 2x + 1.

f4(x) = 3x6 − x4 + 2x + 3.

f5(x) = 3x3x − 2x2 + 7x + 2.

Moralité ?

⌊2⌋. On les côtoie depuis la seconde quand même !




Exercice 4 (Fractions rationnelles) : Déterminer les limites en ±∞ des fractions rationnellesdéfinies par :

f1(x) =x + 1

x − 1

f2(x) =1 − x2

1 + x2

f3(x) =x2 − x

x3 − 2

f4(x) =3x3 + 2

2x2 + 4

f5(x) =3

x + 5

f6(x) =2x2 − 3x + 1

5x3 − x

f7(x) =7x5 − 3x2 + 2x + 1

2x5 − x3 + 7.

f8(x) =−3x4 − x2 + 2x + 3

x2 − 5.

f9(x) =3x2 + 7x + 2

x − 5 − 3x2.

f10(x) =x3

x2 + 1− x

f11(x) =−x2 + x + 6

2x2 + 5x + 2

f12(x) =x2 − 4

(x + 2)2

f13(x) =x3 + 8

x2 − x − 6

Moralité ?

Exercice 5 (Fonctions irrationnelles) : Déterminer les limites en ±∞ des fonctionsirrationnelles définies par :

f1(x) =2x − √

x√x − 3

f2(x) =

√x2 − 2x + 3

x

f3(x) =

√x + 1

xf4(x) =

√x2 + 1 − x.

f5(x) =

√x + 1 − 1

x

f6(x) = 2x −√

4x2 − 1

f7(x) = x(√

x2 − 1 −√

x2 + 1).

f8(x) = x(√

x2 − 1 −√

2x2 + 1).

f9(x) = x

√

x + 1

x − 1− 1

f10(x) =

√1 − x − 1

x2 − 2x

Moralité ?




II.4 Asymptote oblique

On dit que la droite d’équation y = ax + b (a 6= 0) est asymptote oblique à la courbereprésentative de la fonction f si

limx→±∞

f(x) − (ax + b) = 0.

Définition 3

La méthode (1) reste valable pour déterminer la position de la courbe par rapport à sonasymptote en considérant simplement le signe de f(x) − (ax + b) où y = ax + b et l’équationde cette dernière.

Exercice 6 : Soit la fonction f définie sur R \ 1 par :

f(x) =x2 + 1

x − 1.

1. Montrer que, pour tout réel x 6= 2 :

f(x) = x + 1 +2

x − 1.

2. Déterminer la limite en −∞ et +∞ de f(x) − (x + 1).Quelle est l’interprétation graphique de ce résultat ?


f(x) =−x3 + 2x2 − x + 3

x2 + 1.

1. Déterminer trois réels a, b et c tels que :

f(x) = ax + b +c

x2 + 1.

2. Calculer la limite de f(x) − (ax + b) en +∞ et en −∞.

3. En déduire la courbe représentative de f admet une asymptote oblique (∆) en −∞ eten +∞.

4. Étudier les positions relatives de Cf et de (∆).


f (x) =3 (x − 1)3

3x2 + 1

et Cf sa courbe représentative dans un repère.

1. Déterminer le triplet de réels (a ; b ; c) tel que :

f(x) = ax + b +cx

3x2 + 1.

2. Déterminer les limites de f en +∞ et −∞.




3. Montrer que f est dérivable sur R et que :

f ′(x) =9(x − 1)2(x + 1)2

3x2 + 1.


5. Montrer que Cf a une asymptote oblique (D) dont on donnera l’équation.Étudier les positions relatives de Cf et de (D).

Exercice 9 (La science est l’asymptote de la vérité ⌊3⌋) :

Rudy a remarqué qu’« une asymptote, c’est comme une tangente à l’infini ». Son professeurdigresse alors.

1. Soit f la fonction homographique propre :

f(x) =ax + b

cx + d

définie sur D = R \

−d

c

avec c 6= 0 et ad − bc 6= 0.

« Monsieur, pourquoi "homographique propre" ? ».De quel type serait la fonction f :

— pour c = 0 ? — pour ad − bc = 0 ?

2. Montrez que :

(a) f(x) =a

c− ad − bc

c(cx + d)pour x ∈ D.

(b) f(x) =

a + b1

x

c + d1

x

pour x ∈ D∗.

(c) f ′(x) =ad − bc

(cx + d)2 pour x ∈ D.

3. Déduisez de (2a) et (2b) les équations des asymptotes à la courbe représentative de faux bornes de D.

4. Calculez les limites suivantes :

(a) limx→±∞

f ′(x) (b) limx→−d/c

f ′(x)

« Plus ou moins l’infini, vous n’en êtes pas sûr ? ».Le professeur précise qu’il veut les limites de f ′(x) en +∞ et −∞.

5. Rapprochez les résultats du (4) de celui du (3).Concluez à propos de la remarque de Rudy.



V. Limites & Continuité III. LIMITE EN UN POINT

III Limite en un point

C’est ici que les fonctions marquent leurs différences avec les suites :

III.1 Limite infinie en un point

Dire qu’une fonction f a pour limite +∞ en a, signifie que tout intervalle de la forme]β ; +∞ [ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche de a, c’est à dire pour lesx d’un intervalle ouvert contenant a. On note alors :

limx→a

f(x) = +∞.

∀β ∈ R, ∃ α(β) ∈ R∗+ / ∀ x ∈ R, x ∈ ]a − α ; a + α [ =⇒ f(x) ∈ ]β ; +∞ [.

Définition 4

x

y = f(x)

ba

]a − α ; a + α [

]β ; +∞ [

β

On définit de manière analogue limx→a

f(x) = −∞.

La droite d’équation x = a est alors asymptote (verticale) à la courbe représentative de f .

Corollaire 2 (Conséquence graphique)

Remarque : Lorsque la limite en a n’existe pas, on définira alors les limite à gauche et à droitede a.

Limite à gauche : limx→ax<a

f(x) ou encore limx→a−

f(x),

« la limite de f(x) lorsque x tend vers a par valeurs inférieures. »




Limite à droite : limx→ax>a

f(x) ou encore limx→a+

f(x).

« la limite de f(x) lorsque x tend vers a par valeurs supérieures. »

D’une manière générale, limx→a

f(x) existe si, et seulement si

limx→ax<a

f(x) = limx→ax>a

f(x).

Exemple 3 :

— La fonction x 7−→ 1

x2a pour limite +∞ en 0 ⌊4⌋.

— La fonction x 7−→ 1

xn’a pas de limite en 0 mais lim

x→0x<0

1

x= −∞ et lim

x→0x>0

1

x= +∞.

1x

1x2

O

Limite à droiteou par valeurs supérieures

Limite à gaucheou par valeurs

inférieures

Limite à gaucheou par valeurs

inférieures

⌊4⌋. Car la même limite à droite et à gauche.




III.2 Limites des fonctions de référence en 0

Comme précédemment, les courbes représenta-tives bien en tête, on se concentre sur ce qu’ilse passe au voisinage 0.

f(x) limx→0x>0

f(x) limx→0x<0

f(x)

1xn

+∞ +∞ si n pair

−∞ si n impair

1√x

+∞ non définie

1xn

, n impair

1xn

, n pair

1√x

O

Exemples 4 : Étudions les limites de1

2 − xet

1

(2 − x)2dans un voisinage de 2 :

Comme limx→2

2 − x = 0, on est ramené à l’étude de limu→0

1

uqui dépend du signe de u :

1. On commence par dresser un tableau de signes de x − 2 : ⌊5⌋

x

2−x

−∞ 2 +∞

+ 0 −

Avec les conventions de notations :

limx→2−

2 − x = 0+

etlim

x→2+2 − x = 0−

2. On conclut :

limx→2−

2 − x = 0+

limx→0+

1

x= +∞


=⇒les composées

de limites

limx→2−

1

2 − x= +∞,

etlim

x→2+2 − x = 0−

limx→0−

1

x= −∞


=⇒les composées

de limites

limx→2+

1

2 − x= −∞.

En tout état de cause, la courbe représentative admet une asymptote d’équation x = 2.

Ici, malgré la difficulté apparente, limx→2−

(2 − x)2 = limx→2+

(2 − x)2 = limx→2

(2 − x)2 = 0+.

D’où :limx→2

(2 − x)2 = 0+

limx→0+

1

x= +∞


=⇒les composées

de limites

limx→2

1

(2 − x)2= +∞.

La courbe représentative admet donc une asymptote d’équation x = 2.



V. Limites & Continuité IV. LIMITE D’UNE FONCTION COMPOSÉE

En conclusion, on remarquera bien que si1

2 − xn’a pas de limite en 2,

1

(2 − x)2en a bien une

qui est +∞. Les deux courbes représentative admettent une asymptote d’équation x = 2.

Exercice 10 : Déterminer les limites suivantes si elles existent. Dans le cas contraire, ondéterminera les limites par valeurs supérieures et inférieures.

Dans tous les cas, préciser l’équation d’une éventuelle asymptote à la courbe représentativede f .

1. limx→1

1

(x − 1)2

2. limx→1

1 − x

x

3. limx→1

⌊x⌋x

4. limx→−2

x − 4

x2 + 3x + 2

5. limx→−2

−x2 + x + 6

2x2 + 5x + 2

6. limx→−2

x2 − 4

(x + 2)2

7. limx→−2

x3 + 8

x2 − x − 6

8. limx→1

x − 1

x2 + x − 2

9. limx→1

x − 1

x2 + x − 2

IV Limite d’une fonction composée

IV.1 Composée de fonctions

Soient f une fonction définie sur un ensemble I et g une fonction définie sur J tel quef(I) ⊂ J .On appelle composée de f par g la fonction, notée g f , définie sur I par(g f)(x) = g

[f(x)

].

g f : I 7−→ f(I) ⊂ J 7−→ R

x f(x) g[f(x)

].

Rappels 1

Cette notion n’est pas vraiment nouvelle. Seule la formalisation l’est. En effet, la fonction définiepar (x + 1)2 était déjà une composée. Celle de x

g7−→ x + 1 et xf7−→ x2.

Remarque : La condition f(I) ⊂ J , ne doit pas effrayer. Il est bien nécessaire que la fonction gsoit correctement définie donc que f envoie I dans un sous-ensemble du domaine de définitionde g.

ATTENTIONLa composition n’est pas une opération commutative :

(g f)(x) = (x + 1)2 6= x2 + 1 = (f g)(x).

Exemple 5 : Soient f , g et h les fonctions définies par :

f(x) = x2, g(x) =1 + x

2 − xet h(x) =

√x.

⌊5⌋. Au moins dans sa tête !




— (f g)(x) =(

1 + x

2 − x

)2

.

— (g f)(x) =1 + x2

2 − x2.

— (h g)(x) =

√1 + x

2 − x.

— (g h)(x) =1 +

√x

2 − √x

.

— (f g h)(x) =(

1 +√

x

2 − √x

)2

.

— (h g f)(x) =

√1 + x2

2 − x2.

Exercice 11 : A l’aide des fonctions élémentaires x2,√

x,1

x, cos x, . . . décomposer les fonc-

tions définies par :

— h(x) =

√1 +

1

x2. — k(x) = cos

(1

x2 + 1

). — l(x) =

√x2 + x + 1.

IV.2 Limite

Les calculs précédents s’étendent facilement aux limites qu’elles soient finies ou infinies. C’estce qu’exprime le théorème suivant :

Soient deux fonctions f , g et trois réels finis ou infinis a, b et c.

Si limx→a

f(x) = b et limx→b

g(x) = c alors limx→a

g[f(x)

]= c.

Théorème 3

Rien de compliqué là-dedans. Le théorème indique simplement que g(f(x)

)tend vers g(b) si

f(x) tend vers b quand x tend vers a. ⌊6⌋

Preuve: Démontrons ce théorème dans le cas a et c finis et b = +∞, par exemple.

Soit ε ∈ R∗+ et ]c − ε ; c + ε [ un voisinage ouvert de c.

Comme limx→b

g(x) = c, ∃ A(ε) ∈ R tel que ∀ X ∈ R,

X > A =⇒ g(X) ∈]c − ε ; c + ε [.

Or, limx→a

f(x) = b(= +∞), c.-à-d. , qu’il existe α(A) ∈ R∗+ tel que

x ∈]a − α ; a + α [ =⇒ f(x) ∈]A ; +∞ [ c.-à-d. f(x) > A.

Conclusion, ∃ α ∈ R∗+ tel que ∀x ∈ R, x ∈]a−α ; a+α [ entraîne f(x) > A puis g

(f(x)

)∈]c−ε ; c+ε [.

On a bien montré que limx→a

g(f(x)

)= c.

⌊6⌋. La démonstration de ce théorème n’est pas au programme mais c’est un bon exercice de formalisation.





1. limx→+∞

h(x) avec h(x) =

√

2 +1

x2. 2. lim

x→−∞k(x) avec k(x) = cos

(1

1 + x2

).

Correction :

1. S’il est nécessaire, on peut poser f(x) = 2+1x2 et g(x) =

√x. On reconnaît alors h(x) = (gf)(x).

limx→+∞

2 +1x2 = 2

limx→2

√x =

√2

D’après lesthéorèmes sur=⇒les composéesde limites

limx→+∞

h(x) =√

2.

2. En plus rapide :

limx→−∞

11 + x2 = 0

limx→0

cos x = 1

D’après lesthéorèmes sur=⇒les composéesde limites

limx→−∞

k(x) = 1.

Exercice 13 : Déterminer les limites en +∞ et −∞ des fonctions définies par :

f1(x) =

√2x − 1

x − 2f2(x) =

√5 − 4

x2

f3(x) =(

2 − 1

x

)3

f4(x) =(x − √

x)

f5(x) =

√2 − x

x

Exercice 14 : Déterminer les limites suivantes si elles existent. Dans le cas contraire, ondéterminera les limites par valeurs supérieures et inférieures.

Dans tous les cas, préciser l’équation d’une éventuelle asymptote à la courbe représentativede f .

1. limx→0

√x + 1

x

2. limx→1

√x2 − 1

x2 + 6x − 7

3. limx→0

√1 + x − 1

x

4. limx→0

x2

1 −√

1 − x2

5. limx→0

√x + 1 − 1

x

6. limx→0

√x + 4 − 2

x

7. limx→0

√1 − x − 1

x2 − 2x

8. limx→0

√2 − x

x

IV.3 Composée d’une suite par une fonction

Les deux théorèmes suivants sont de simples corollaires du théorème précédent. Leurs applica-tions sont cependant loin d’être triviales. Nous en verrons quelques exemples.

Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [A ; +∞ [ et la suite (un)n∈N définiepar un = f(n) pour tout entier naturel n > A. Soit ℓ un réel fini ou pas.

Si limx→+∞

f(x) = ℓ alors limn→+∞

un = ℓ.

Corollaire 4 (Limite d’une suite explicite)

Rien à démontrer ici. C’est la définition de limx→+∞

f(x) = ℓ en remplaçant x par n.




Exemple 6 : Soit (un)n∈N la suite définie sur N par un =

√3n + 2

n + 1.

Comme limn→+∞

3n + 2

n + 1= 3 et lim

x→3

√x =

√3, on a aisément lim

n→+∞un =

√3.

Soient f une fonction définie sur un intervalle I et (un)n∈N une suite dont tous les termesappartiennent à I. Soient a et b deux réels finis ou non.

Si

limn→+∞

un = a

et

limx→a

f(x) = b

alors limn→+∞

f(un) = b.

Corollaire 5 (Limite d’une suite récurrente)

Preuve: (Hors-Programme)Encore un bon exercice de formalisation. On le fait par étapes :

— Soit Jb un voisinage ouvert quelconque de b ⌊7⌋.

— Comme limx→a

f(x) = b, il existe un voisinage Ia ouvert de a ⌊8⌋(dépendant de Jb) tel que :

∀ X ∈ R, X ∈ Ia ∩ I =⇒ f(X) ∈ Jb.

— Or, limn→+∞

un = a c.-à-d. , il existe un rang n0(Ia) ∈ N tel que :

∀ n ∈ N, n > n0 =⇒ un ∈ Ia.

— Conclusion, n > n0 entraîne un ∈ Ia puis f(un) ∈ Jb.On a bien prouvé que :

limn→+∞

f(un) = b

Cet énoncé est la base d’un théorème fort des suites récurrentes définies par un+1 = f(un). Eneffet, si un −→ ℓ, ℓ fini, alors un+1 −→ ℓ. Le corollaire précédent permet donc d’écrire :

limn→+∞

un+1 = limn→+∞

f(un) = f(

limn→+∞

un

).

C’est le premier théorème d’interversion de limites que vous voyez. Ceci a des implicationsfortes !

⌊7⌋. de la forme ]b − ε ; b + ε [ ou ]β ; +∞ [ suivant que b est fini ou non.⌊8⌋. de la forme ]a − α ; a + α [ ou ]α ; +∞ [ suivant que a est fini ou non.



V. Limites & Continuité V. CONTINUITÉ

Imaginons que, tout naturellement, on ait limx→ℓ

f(x) = f(ℓ). On obtiendrait alors un moyen

efficace de trouver la limite d’une suite récurrente à l’aide de la relation un+1 = f(un) que l’onferait « passer à la limite » :

un+1 = f(un)n → +∞ ℓ = f(ℓ).

La limite cherchée est alors nécessairement une solution de l’équation f(ℓ) = ℓ.

Nous y reviendrons plus avant dans les paragraphes suivants car, pour l’instant, rien ne nousassure que lim

x→ℓf(x) = f(ℓ) ! ! !

Exemple 7 :

Soit (un)n∈N, une suite définie par récurrencepar une fonction dont est tracée la courbe re-présentative ci-contre.

Les termes de la suite semblent convergervers le point d’intersection de Cf et la droited’équation y = x, un « point fixe » de f .

On verra ⌊9⌋que c’est un fait général.

0 1 2

1

2

un

f(un)

y=

x

u0 ℓ

(ℓ) = ℓ y = Cf

V Continuité

V.1 Limite finie en un point

— Dire qu’une fonction f a pour limite b en a, signifie que tout intervalle ouvert conte-nant b contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez proche de a, c’est à dire pourles x d’un intervalle ouvert contenant a. On note alors :

limx→a

f(x) = b.

∀ε ∈ R∗+, ∃ α(ε) ∈ R∗

+ / ∀ x ∈ R, x ∈ ]a − α ; a + α [ =⇒ f(x) ∈ ]b − ε ; b + ε [.

— On dit que la fonction f est continue en a si et seulement si limx→a

f(x) = f(a).

La fonction f est continue sur un intervalle I si, et seulement si, f est continue entout point de I.

Définition 5

⌊9⌋. et on démontrera !




x

y = f(x)

]b − ε ; b + ε [

]a − α ; a + α [

|

a

+b

+f(a) b

b b

ATTENTION Personne n’a jamais dit, même dans les cas d’existence que limx→a

f(x) seraitégale à f(a). Par contre, lorsque c’est le cas, et que cette limite existe et coïncide avec f(a), ondit que alors que f est continue en a.

Graphiquement, cela signifie que l’on ne « lève pas le crayon » autour de f(a). La courbe n’apas de discontinuité. Autrement dit, la courbe ne possède qu’un seul graphe et par extension,

les fonction x 7−→ 1

xet « partie entière » ne sont pas continues sur R.

0 1 2 3 4−1

1

2

3

x

f(x)

(Cf )

0 1 2 3 4−1

1

2

3

x

f(x)

(Cf )

La fonction de gauche présente « un saut » en x = 2 avec f(2) = 1. On a limx→2+

f(x) = 2 6= f(2) :

la fonction f n’est pas continue en 2 .

D’un autre point de vue, pour être continue en a, la limite en ce point doit nécessairement

exister ce qui retire de la liste des fonction continues, la fonction x 7−→ sin(

1

x

)précédente.

Exemples 8 :— Les fonctions carrée, cube, racine, toutes les fonctions polynômes, les sinusoïdes sont

continues sur tout leur ensemble de définition.

— La fonction inverse n’est pas continue en 0. Sa représentation graphique est donc endeux parties, de part et d’autre de l’axe des ordonnées.

— Parfois la fonction f n’admet pas une limite en a, mais admet une limite à droite et unelimite à gauche. C’est le cas de la fonction partie entière E.




Une propriété de R est que : ∀ x ∈ R,∃n ∈ Z tel que n 6 x < n + 1.

La fonction partie entière E : R 7−→ Z estalors définie par E(x) = n.

— limx→2−

= 1,

— mais limx→2+

= 2.

0 1 2 3 4−1−20

−1

−2

1

2

3

4

x

E(x)

— Certaines fonctions n’ont même pas de limites en un point.

Considérons la fonction f définie sur R∗ par

f(x) = sin(

1

x

).

En 0, limx→0

1

x= ±∞. Comme la limite de

sin(x) en l’infini n’existe pas, celle de f(x)en 0 n’existe pas non plus.

0 1 2−1−20

−1

1

x

f(x)

ATTENTIONLe domaine de définition ne donne qu’une information pour la continuité : si la fonction

x 7−→ 1

xest effectivement discontinue en sa valeur interdite, la fonction x 7−→ E(x)

est discontinue en tout point de N tout en étant définie sur R tout entier.

V.2 Continuité des fonctions usuelles

— Les fonctions polynômes sont continues sur R.

— La fonction inverse x 7−→ 1

xest continue sur ] − ∞ ; 0 [ et sur ]0 ; +∞ [ .

— La fonction valeur absolue x 7−→ |x| est continue sur R .

— La fonction racine carrée x 7−→ √x est continue sur [0 ; +∞ [ .

— Les fonctions x 7−→ cos x et x 7−→ sin x sont continues sur R .

— D’une façon générale, toutes fonctions construites par opération ou par compositionà partir des fonctions ci-dessus sont continues sur leur ensemble de définition.En particulier les fractions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition.

Proposition 6

Exemples 9 :— les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont continues sur

leur ensemble de définition ;




0 1 2 3 4−1−2

0

−1

−2

1

2

3

x 7−→ −1

3x + 2.

0 1 2 3−1−2−3

0

−1

1

2

3

4

x 7−→ x2

.

0 1 2−1−2−3

0

−1

−2

−3

1

2

x 7−→ x3

.

0 1 2 3 4 5 6−1

0

−1

1

2

3

4

x 7−→√

x.

— les fonctions construites à partir des fonctions de référence sont continues sur leursensembles de définition ;

0 1 2 3 4 5−1−2

0

−1

−2

1

2

3

x 7−→ x −√

2x + 1 + 3 sur

[−

1

2; +∞

[.

0 1 2 3 4−1−2

0

−1

−2

1

2

3

x 7−→ −(x + 1)(x − 3) − 1.

— les fonctions polynômes sont continues sur l’ensemble des réels ;

0 1 2 3 4−1−2−3

0

−1

−2

1

2

3

x 7−→3

5x

3 − x2 − x + 2.

— la fonction inverse et les fractions rationnelles sont continues sur leur ensemble de défi-nition.




0 1 2−1−2−3

0

−1

−2

1

2

3

x 7−→1

xsur R

∗.

0 1 2 3 4 5−1−2−3−4

0

−1

−2

1

2

3

x

f(x)

x 7−→x − 2

x − 1sur R \ 1.

— le produit de deux fonctions continues sur un intervalle I est continu sur I.

— Si f et g sont 2 fonctions continues sur I avec g ne s’annulant pas sur I alorsf

gest

continue sur I.

— la fonction valeur absolue est continue sur R.

0 1 2−1−2

1

2

3

x 7−→ |x|.

— Les fonctions sin et cos sont continues sur R.

0π

2π

3π

2

−π

2−π

−3π

2−1

1

x 7−→ cos x et x 7−→ sin x.

Exemple 10 : Que dire de la fonction f définie sur R par :

f(x) =

sin x

xsi x 6= 0

1 si x = 0?

— Toute valeur de R possède une image donc la fonction f est bien définie sur R.

— Comme quotient de de deux fonctions continues x 7−→ sin x et x 7−→ x de dénominateurnon nul sur ]0 ; +∞ [, la fonction f est bien continue sur ]0 ; +∞ [.



V. Limites & Continuité VI. LES GRANDS THÉORÈMES

— Reste à savoir ce qu’il se passe pour x = 0. Deux cas de figure se présentent :

1. Soit limx→0

f(x) = limx→0

sin x

x= 1 = f(0)

et la fonction est continue en 0.

2. Soit limx→0

f(x) = limx→0

sin x

x6= 1 = f(0)

et la fonction est discontinue en 0.

Or, on sait depuis le chapitre précédent que limx→0

sin x

x= 1.

Donc la fonction f est continue en 0 et sur R tout entier par extension.

Exercice 15 : La fonction f définie sur R par :

f(x) =

2√

x + 3

x − 1si x 6= 1

−1

4si x = 1

?

est-elle continue en 1 ?

Exercice 16 : La fonction f définie sur [−1 ; +∞[ par :

f(x) =

x + 1√x + 1

si x > −1

1 si x = −1.

est-elle continue en −1 ?

Exercice 17 : Soit k un entier et f une fonction définie sur R.Déterminer k pour que f soit continue sur R.

1. f(x) =

x2 − 5 si x < 1k si x > 1

.

2. f(x) =

k si x = −12x +

√x + 5

x + 1si x > −1

.

VI Les grands théorèmes

VI.1 Théorèmes de comparaison

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I =]a ; +∞ [.Si, ∀ x ∈ I, g(x) 6 f(x), si lim

x→+∞f(x) = ℓ et lim

x→+∞g(x) = ℓ′ alors ℓ 6 ℓ′.

Proposition 7 (Limite et ordre)

En gros, si des fonctions sont dans un certain ordre, alors leurs limites sont dans le même ordre.

Preuve: (Hors-Programme)Supposons, par l’absurde, que ∀ x ∈ I, g(x) 6 f(x) avec ℓ > ℓ′.

Posons alors, comme pour la démonstration de l’unicité de la limite d’une suite, d <ℓ − ℓ′

2.




Comme limx→+∞

f(x) = ℓ et limx→+∞

g(x) = ℓ′, il existe donc deux réels αf(d) et αg(d) tels que :

∀ x ∈ I,

x > αf =⇒ f(x) ∈]ℓ − d ; ℓ + d [x > αg =⇒ g(x) ∈]ℓ′ − d ; ℓ′ + d [

g(x)f(x)

ℓ′ ℓℓ′ + dℓ − d

ℓ − ℓ′

2

D’où, pour x > max(αf , αg), on obtiendrait :

g(x) < ℓ′ + d < ℓ − d < f(x) =⇒ g(x) < f(x).

D’où la contradiction et la nécessité que ℓ 6 ℓ′.

Remarques :— La proposition (7) n’est pas vraie avec des inégalités strictes : Si g(x) < f(x) alors on

ne peut pas en déduire ℓ < ℓ′ mais seulement ℓ 6 ℓ′ :

Prenez, par exemple f(x) = −1

xet g(x) =

1

xqui tendent toutes deux vers 0 alors qu’il

est clair que −1

x<

1

x, ∀ x ∈ R∗.

— La proposition (7) permet de comparer deux limites, mais elle ne permet pas dedémontrer l’existence de la limite d’une fonction.

— Cette propriété peut s’étendre à des limites quand x tend vers −∞, vers a, ainsi qu’à deslimites à gauche ou à droite. (Il suffira simplement de modifier l’intervalle de définitiondes fonctions).

Soient f , g et h trois fonctions définies sur un intervalle I =]a ; +∞ [ et ℓ un réel.

Théorème des « Gendarmes »Si, ∀x ∈ I, g(x) 6 f(x) 6 h(x) et si lim

x→+∞g(x) = lim

x→+∞h(x) = ℓ alors lim

x→+∞f(x) = ℓ.

Théorème de comparaisonSi, ∀ x ∈ I, g(x) 6 f(x) et si lim

x→+∞g(x) = +∞ alors lim

x→+∞f(x) = +∞.

Théorème 8

Preuve:Théorème des « Gendarmes » Soit ε ∈ R∗

+ et ]ℓ − ε ; ℓ + ε [ un voisinage ouvert de ℓ.Comme lim

x→+∞g(x) = ℓ et lim

x→+∞h(x) = ℓ, il existe deux réels α1 et α2 tels que :

∀ x ∈ I,

α1 < x =⇒ ℓ − ε < g(x) < ℓ + εetα2 < x =⇒ ℓ − ε < h(x) < ℓ + ε.




Comme ∀x ∈ I, g(x) 6 f(x) 6 h(x), si x > max(α1, α2) alors ℓ−ε < g(x) <f(x)< h(x) < ℓ+ε,c’est-à-dire f(x) ∈]ℓ − ε ; ℓ + ε [.Donc lim

x→+∞f(x) = ℓ.

Théorème de comparaison La démonstration est identique en plus simple.Soit A ∈ R et ]A ; +∞ [ un voisinage ouvert de +∞.Comme lim

x→+∞g(x) = +∞, il existe une réel α tel que : ∀ x ∈ I, α < x =⇒ A < g(x).

Comme ∀x ∈ I, g(x) 6 f(x), si x > α alors A < g(x) <f(x), c’est-à-dire f(x) ∈]A ; +∞ [.Donc lim

x→+∞f(x) = +∞.

Exercice 18 : Énoncer les théorèmes analogues en −∞ et en un réel a.


1. limx→+∞

sin x

x. 2. lim

x→+∞x + cos x. 3. lim

x→+∞2x sin(5x2)

x + 1.

Correction :

1. ∀ x ∈ R, −1 6 sin x 6 1, d’où ∀ x ∈ R∗+,

− 1x6

sin x

x6

1x.

Comme limx→+∞

− 1x

= limx→+∞

1x

= 0, d’après

le théorème d’encadrement, on a :

limx→+∞

sin x

x= 0.

1x

− 1x

sin x

x

O

2. De la même manière, ∀ x ∈ R,x − 1 6 x + cos x (6 x + 1).Comme lim

x→+∞x − 1 = +∞, d’après le théo-

rème de comparaison :

limx→+∞

x + cos x = +∞.

x − 1

x + 1

x + cos x

O

Exercice 20 : Soit une fonction f telle que f(x) vérifie une inégalité ou un encadrementsur un ensemble donné.Indiquer les limites qu’on peut en déduire parmi les deux proposées.

1. Pour tout réel x 6= 0, on a1

x6 f(x).

(a) limx→0x<0

f(x) (b) limx→0x>0

f(x)




2. Pour tout réel x 6= 0, on a f(x) 61

x.

(a) limx→0x<0

f(x) (b) limx→0x>0

f(x)

3. Pour tout réel x > 1, on a x +1

x6 f(x) 6 x + 1.

(a) limx→1x>1

f(x) (b) limx→+∞

f(x)

4. Pour tout réel x > 0, on a −1

x6 f(x) 6

1

x.

(a) limx→0x>0

f(x) (b) limx→+∞

f(x)

5. Pour tout réel x ∈]0 ; 1[, on a |f(x) − 1| 6 x.

(a) limx→0x>0

f(x) (b) limx→1x<1

f(x)

Exercice 21 :

Soit f la fonction définie sur R∗ par :

f(x) =⌊x⌋x2

représentée dans le repère ci-contre avec deuxautres courbes d’équations

y =1

xet y =

x − 1

x2.

0 1 2 3 4−1−2−3−40

−1

−2

1

2

x

f(x)

• ••

•

•• • •

• • •

•

•

• • •

1. Démontrer que, pour tout réel x 6= 0 ;

x − 1

x2< f(x) 6

1

x.

2. En déduire la limite de f en −∞ et +∞.

VI.2 Théorème des valeurs intermédiaires

Voici venir le théorème le plus important de votre année. . .

Soit une fonction continue sur un intervalle I.Pour tout réel k de f(I) , il existe un réel α ∈ I tel que f(α) = k .

Théorème 9 (Théorème des valeurs intermédiaires)




Preuve: Malheureusement admis en terminale mais il est vrai que pour une fois, la démons-tration mérite un peu plus de maturité mathématique. Tant pis !

Ce théorème résulte du fait que l’image d’un intervalle de R par une fonction continue est aussiun intervalle de R ⌊10⌋.

×k

a b

f(a)

f(b)

×

α1

×

α2

×

α3

×

α4

Graphiquement, si f est continue sur l’intervalle [a ; b ] alors la droite d’équation y = k et lacourbe (Cf ) seront nécessairement sécantes .

Tout élément k de l’intervalle image f([a ; b ]

)possède alors au moins un antécédent de l’inter-

valle [a ; b ]. Sur la figure ci-dessus, les trois valeurs c1, c2 et c3 conviennent. La valeur c4, horsde [a ; b ], doit être écartée.

D’un point de vue équation, si k ∈ f([a ; b ]

), f(x) = k possède au moins une solution.

Il est cependant rare que l’on se contente de l’existence seule des solutions d’une équation. Lasimple continuité ne suffit pas à imposer l’unicité. On rajoute donc une propriété supplémen-taire : la stricte monotonie .

Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I = [a ; b ].Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel α ∈ I tel que f(α) = k.

Théorème 10 (Théorème de la bijection)

Remarques :— L’équation f(x) = k possède donc une unique solution dans l’intervalle I. Ce théorème

est à la base de procéder extrêmement puissant pour résoudre nombre d’équations donton ne connaît pas les valeurs exactes des solutions. Pour vous, cela signifie beaucoupd’exercices différents et de jolis sujets de bac en perspective.

⌊10⌋. Même si ce résultat semble évident et logique, il réclame cependant une connaissance fine de la topologiede R encore inaccessible en terminale S. Patience petits scarabées !




— Comme f est continue tout élément de I possède une image dans f(I) mais la strictemonotonie implique dans l’autre sens que tout élément de f(I) possède aussi un uniqueantécédent dans I. On pourrait alors très bien définir une fonction y 7−→ g(y) où g(y)serait l’unique antécédent de y. Cette fonction s’appelle alors la fonction réciproque def . Nous y reviendrons très vite !

— Ce théorème se généralise à l’intervalle ouvert I =]a ; b [ en exigeant que k se trouve entrelim

x→a+f(x) et lim

x→b−f(x).

— Un tableau de variations pourra être suffisant pour montrer la continuité et la monotoniede la fonction sur un certain intervalle.

Exemple 11 :

x

f ′(x)

f

−∞ 1 2 +∞

− − 0 +

+∞+∞

−∞

+∞

-1-1

55

— La fonction f est continue et strictementmonotone sur l’intervalle [2 ; +∞ [. Pour

tout élément k de [−1 ; 5 [, l’équationf(x) = k possède une unique solutionα appartenant à l’intervalle [2 ; +∞ [.

— Le même raisonnement s’applique surles intervalles ] − ∞ ; 1 [ ou ]1 ; 2 ] aveck élément respectivement de R ou[−1 ; +∞ [.

— Mais ATTENTION , on ne pourra ni appliquer ce théorème sur l’intervalle R toutentier où la fonction n’est pas continue en tout point, ni l’appliquer à l’intervalle ]1 ; +∞ [où la fonction n’est pas strictement monotone.

Exercice 22 : Soit f la fonction définie par f(x) = x3 + x − 1.

Montrer que l’équation f(x) = 0 possède une unique solution sur [0 ; 1 ] et proposer un algo-rithme permettant de donner un encadrement de celle-ci à 10−6 près.

Voici un exercice standard de bac qu’il faut bien comprendre. On va le faire doucement.

Correction : L’énoncé propose deux questions : tout d’abord montrer que l’équation possède effec-tivement une solution ensuite la trouver.

— Tout d’abord la continuité pour l’existence de la solution : f est une fonction polynôme donccontinue sur R et en particulier sur [0 ; 1 ].

— Ensuite la stricte monotonie pour l’unicité.Deux méthodes pour cela : la première, prouverque la dérivée est de signe strictement constantsur R ⌊11⌋. La deuxième, plus fine, f est lasomme de deux fonctions strictement mono-tones x 7−→ x3 et x 7−→ x + 1 donc est stricte-ment monotone.

x

f

0 1

−1−1

11

— On conclut en appliquant le théorème de la bijection : f est continue et strictement monotonede [0 ; 1 ] dans [−1 ; 1 ]. Comme 0 ∈ [−1 ; 1 ], il existe une unique valeur α de [0 ; 1 ] telle quef(α) = 0.




— Maintenant que l’on sait que cette valeur existe ⌊12⌋, on peut mettre en place des procédés pourla trouver au mieux. Un de ces procédé s’appelle la méthode par dichotomie ⌊13⌋ : on divise àchaque étape l’intervalle en deux et on réitère l’opération tout en s’assurant que α se trouvetoujours dans l’intervalle choisi.

— Á la première étape, on prend [A ; B ] = [0 ; 1 ]. Comme f(0) × f(1) < 0, on est assuré quef(0) et f(1) sont de signes contraires, c’est-à-dire que 0 < α < 1.

— On divise l’intervalle en deux et on considèreA + B

2. Si f(0) × f

(A + B

2

)< 0 alors

0 < α <A + B

2et on prend alors

[0 ;

A + B

2

]comme nouvel intervalle [A ; B ] sinon on

prend[

A + B

2; 1]

— Ensuite, on recommence avec le nouvel intervalle [A ; B ]. De proche en proche, on obtientune valeur approchée de α à la précision que l’on veut.

1: VARIABLES

2: A, B, C SONT_DU_TYPE NOMBRE

3: P, N SONT_DU_TYPE NOMBRE

4: f EST_DU_TYPE FONCTION

5: DEBUT ALGORITHME

6: Lire A, B, P

7: N PREND_LA_VALEUR 0

8: TANT QUE B − A > 10−pFAIRE

9: TANT QUE

10: C PREND_LA_VALEURA + B

211: SI f(A) × f(C) > 0 ALORS

12: A PREND_LA_VALEUR C

13: SINONB PREND_LA_VALEUR C

14: FIN TANT QUE

15: N PREND_LA_VALEUR N+1

16: Afficher A, B, N

17: FIN ALGORITHME

On rentre A = 0, B = 1, P = 6 et f(x) = x3 + x − 1.On obtient alors : A = 0, 682327, B = 0, 682328 et N = 20et il faut donc 20 itérations pourobtenir la précision demandée.

⌊13⌋. f ′(x) = 3x2 + 1 > 0 !⌊13⌋. et seulement maintenant !⌊13⌋. « couper en deux » en grec




Problème 23 (Polynésie 1997) : Soit f la fonction définie sur R par :

f(x) =1√

1 + x2.

1. Montrer que f est paire.2. Étudier les variations de f sur [0 ; +∞[.3. Déterminer la limite de f en +∞.4. Tracer sa courbe représentative dans un repère.5. (a) Montrer que, pour tout y ∈]0 ; 1], l’équation f(x) = y a une unique solution α

dans [0 ; +∞[.(b) Exprimer α en fonction de y.

Problème 24 (Polynésie - 2004) : Soit la fonction fk définie sur R par :

fk(x) = x +1 − kx2

1 + kx2

où k est un réel positif ou nul.

Dans le repère orthonormal de centre O ci-dessous, on a représenté les droites D d’équationy = x − 1 et D

′ d’équation y = x + 1, la courbe représentative C1 de f1 et deux autres courbes

représentatives de fk : C passant par A(

1 ;1

3

)et C

′ passant par B(

1 ;5

3

).

0 1 2 3−1−2−30

−1

−2

−3

1

2

3

x

f(x)C

′

C1

CD

′

D

B

A

1. Déterminer les limites de fk en −∞ et +∞.2. Justifier que, pour tout réel k > 0, la droite D

′ est tangente à la courbe représentativede fk.

3. Déterminer le réel k associé à C et celui associé à C′.

4. (a) Justifier que, pour tout x réel, on a :

fk(x) = x − 1 +2

1 + kx2et fk(x) = x + 1 − 2kx2

1 + kx2.

(b) En déduire pour tout k strictement positif :— la position de la courbe Ck par rapport aux droites D et D

′ ;— les asymptotes de la courbe Ck.

5. On fait tendre k vers +∞.Vers quelle fonction fk va-t-elle se rapprocher ?




VI.3 Théorème du point fixe

On va enfin pouvoir démontrer le théorème annoncé dans le chapitre sur les suites.

Soit une suite (un)n∈N définie par u0 et un+1 = f(un) convergente vers un réel ℓ.Si la fonction associée f est continue en ℓ, alors la limite de la suite ℓ est solution del’équation f(x) = x.

Théorème 11

Preuve: Comme la suite (un)n∈N est convergente vers ℓ, on a limn→∞ un = lim

n→∞ un+1 = ℓ.

Or, la fonction f est continue en ℓ c.-à-d. limx→ℓ

f(x) = f(ℓ).

Par composition, on en déduit que ℓ = limn→∞

un+1 = limn→∞

f(un) = f(ℓ).

Donc f(ℓ) = ℓ c.-à-d. ℓ est solution de l’équation f(x) = x.

ATTENTION Ce théorème ne donne qu’une condition nécessaire sur la limite. Il ne permet en aucuncas de prouver que la suite (un)n∈N est convergente.

Comme exemple, revenons sur un exercice standard et déjà traité.


u0 =1

2un+1 =

√2un + 3

.

On considère la fonction définie pour x ∈ [0 ; 3 ] par : f(x) =√

2x + 3.

1. Calculer la dérivée de la fonction f . En déduire que la fonction f est strictement crois-sante sur [0 ; 3 ] et dresser son tableau de variations. Préciser les valeurs de de la fonctionaux bornes de cet intervalle.

2. Démontrer que : si x ∈ [0 ; 3 ] alors f(x) ∈ [0 ; 3 ].

3. Démontrer par récurrence, que pour tout entier n, 0 6 un 6 3.

4. Démontrer par récurrence, que la suite (un)n∈N est strictement croissante.

5. En déduire que la suite (un)n∈N est convergente.

6. Déterminer la limite de la suite (un)n∈N.

Correction : Les premières questions ne concernent pas ce chapitre. Intéressons-nous seulement àla dernière question.

D’après la question (5), la suite est convergente vers une limite ℓ, solution, d’après le théorèmeprécédent, de l’équation f(x) = x.

On résout donc cette équation :

f(x) =√

2x + 3 ⇐⇒ x =√

2x + 3

x2 = 2x + 3 ⇐⇒ x2 − 2x − 3 = 0

(x + 1)(x − 3) = 0




Les deux seules valeurs possibles pour ℓ sont doncℓ = −1 ou ℓ = 3.

D’après la question (3), pour tout entier n,0 6 un 6 3. On peut donc écarter la valeur −1 etconclure.

La suite (un)n∈N converge vers ℓ = 3.

0 1 2 3 4 5 6−1

1

2

3

4

un

f(un)

y=

x

y =√

2x + 3

u0



Thème: Une histoire d’asymptotes TS - SI - Activité no 7

Une histoire d’asymptotes

Soit la fonction f définie sur R par :

f(x) =x3 − 2x2 + 9x − 2

x2 + 1.

1. Déterminer limx→+∞

f(x) et limx→−∞

f(x).

Tout d’abord, ∀x 6= 0, f(x) =x(

1 − 2

x− 9

x2+

2

x3

)

1 +1

x2

.

D’après les théorème sur les sommes de limites,

limx→±∞

1 − 2

x+

9

x2− 2

x3= lim

x→±∞1 +

1

x2= 1.

Comme limx→±∞

x = ±∞, d’après les théorèmes sur les produits de limites, on obtient :

limx→−∞

f(x) = −∞ et limx→+∞

f(x) = +∞.

On dit que la droite d’équation y = ax + b (a 6= 0) est asymptote oblique à la courbe représentative de lafonction f si

limx→±∞

f(x) − (ax + b) = 0.

Définition 6

2. (a) Montrer que, pour tout x réel :

f(x) = x − 2 +8x

x2 + 1.

Deux méthodes pour cela, la plus accessible sachant que l’on a le résultat est deréduire au même dénominateur et simplifier :

x − 2 +8x

x2 + 1=

(x − 2)(x2 + 1) + 8x

x2 + 1=

x3 − 2x2 + x − 2 + 8x

x2 + 1

=x3 − 2x2 + 9x − 2

x2 + 1= f(x).

(b) Déterminer la limite en −∞ et +∞ de f(x) − (x − 2).D’après la question précédente :

limx→±∞

f(x) − (x − 2) = limx→±∞

8x

x2 + 1= lim

x→±∞8

x(

1 +1

x2

) = 0.

Quelles conséquences graphiques peut-on en déduire ?D’après la définition, comme lim

x→±∞f(x) − (x−2) = 0, la droite d’équation y = x−2

est asymptote oblique à la courbe de f .




(c) Dresser un tableau de signes sur R de f(x) − (x − 2).

Le signe de f(x) − (x − 2) =8x

x2 + 1est celui de x sur R. On en déduit le tableau de

signe :

x

Signe def(x) − (x − 2)

−∞ 0 +∞

− 0 +

Quelles conséquences graphiques peut-on en déduire ?D’après le tableau de signes, on en déduit que la courbe est au-dessous de sonasymptote au voisinage de −∞ et au-dessus au voisinage de +∞.

3. (a) Montrer que, ∀x ∈ R, f ′(x) =

((x −

√3)(x +

√3)

x2 + 1

)2

.

Comme quotient de fonctions dérivables de dénominateur non nul, la fonction x 7−→ 8x

x2 + 1est dérivable sur R est l’on a :

f ′(x) = 1 +8(x2 + 1) − 16x2

(x2 + 1)2=

(x2 + 1)2 + 8 − 8x2

(x2 + 1)2

=x4 − 6x2 + 9

(x2 + 1)2=

(x2 − 3)2

(x2 + 1)2

=

((x −

√3)(x +

√3)

x2 + 1

)2

.

En déduire le tableau de variation de la fonction f sur R.La dérivée de f est positive sur R donc la fonction f y est croissante.

x

f ′(x)

f

−∞ −√

3√

3 +∞

+ 0 + 0 +

−∞−∞

+∞+∞

(b) Donner l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse√

3.Comme f ′(

√3) = 0, la tangente au point d’abscisse

√3 est parallèle à l’axe des

abscisses est a pour équation y = f(√

3) où

f(√

3) =3√

3 − 6 + 9√

3 − 2

3 + 1=

12√

3 − 8

4= −2 + 3

√3.

Donc (T ) : y = −2 + 3√

3.

4. Dans un repère orthonormé, tracer l’allure de la courbe représentative de f .On trace, dans l’ordre :

1. L’asymptote « oblique ».

2. Les deux tangentes « horizontales ».

3. La courbe à partir de quelques points judicieusement choisis comme




(−

√3; −2 − 3

√3)

, (0; −2) et(√

3; −2 + 3√

2)

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10−11−12−13−14150

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

−10

−11

−12

−13

−14

1

2

3

4

5

6

7

x

f(x)



Thème: G – Limites TS SI - Test no 7

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G Limites1. Soit f une fonction définie sur R.

(a) Donner la définition de limx→+∞

f(x) = −∞.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) Illustrer la définition précédente par un schéma.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6−7−8−9100

−1

−2

−3

−4

−5

1

2

3

4

5

6

x

f(x)

2. Déterminer les limites suivantes :

(a) limx→+∞

3x6 − x4 + 2x + 3. (b) limx→+∞

x(1 − x).

(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Soit f la fonction définie par f(x) =√

2x − 5.

(a) Déterminer f ′(x) pour tout x ∈]5

2; +∞

[.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) Donner l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Thème: D – Limites TS SI - Test no 7

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D Limites1. Soit f une fonction définie sur R.

(a) Donner la définition de limx→+∞

f(x) = ℓ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) Illustrer la définition précédente par un schéma.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6−7−8−9100

−1

−2

−3

−4

−5

1

2

3

4

5

6

x

f(x)

2. Déterminer les limites suivantes :

(a) limx→+∞

7x5 − 3x2 + 2x + 1. (b) limx→−∞

x(1 + x).

(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Soit f la fonction définie par f(x) = (2x − 1)11.

(a) Déterminer f ′(x) pour tout x ∈ R.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) Donner l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Thème: G – Limites TS SI - Test no 8

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G Limites

1. Pour tout x réel, sin(2x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Soit f une fonction telle que limx→+∞

= a ∈ R. Quelles conséquences graphique peut-on en

tirer ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Soit f une fonction telle que f(2 + x) = f(2 − x) pour tout x de R. Quelles conséquencesgraphique peut-on en tirer (Faites un dessin !) ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 1 2 3 4 5 6−1−2

0

−1

−2

1

2

3

4

x

f(x)

4. Compléter le tableau ci-dessous :

f(x) limx→0x>0

f(x) limx→0x<0

f(x)

1

xnsinpairsinimpair

1√x

5. Donner le domaine de définition de la fonction f définie par f(x) =1√

1 − 3x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Thème: D – Limites TS SI - Test no 8

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D Limites

1. Pour tout x réel, cos(2x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Soit f une fonction telle que limx→a

= +∞. Quelles conséquences graphique peut-on entirer ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Soit f une fonction telle que f(x + 2) = f(x) + 1 pour tout x de R. Quelles conséquencesgraphique peut-on en tirer (Faites un dessin !) ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 1 2 3 4 5 6−1−2

0

−1

−2

1

2

3

4

x

f(x)

4. Compléter le tableau ci-dessous :

f(x) limx→−∞

f(x) limx→+∞

f(x)

xn sinpairsinimpair

√x

5. Donner le domaine de définition de la fonction f définie par f(x) =√

x2 − 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Thème: Théorème des valeurs intermédiaires TS - SI - Activité no 8

Théorème des valeursintermédiaires

Exercice 1 : Soit la fonction f définie sur I = [−4 ; 1] par :

f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 3

dont les variations sont données par le tableau suivant :

x

f

−4 −3 −1 1

−1−1

33

−1−1

1919

1. Justifier que f est continue sur I.

2. Dénombrer les solutions de l’équation f(x) = 2.

3. (a) Justifier que l’équation f(x) = 4 admet une unique solution α.

(b) Déterminer un encadrement de α à l’unité près.

Exercice 2 : Soit la fonction f définie sur [−1 ; 3] par :

f(x) = 0, 4x5 − 8x − 3.


2. Démontrer que l’équation f(x) = 2 admet une unique solution dans l’intervalle [2 ; 3].

3. Chercher une valeur approchée de cette solution à l’aide d’une calculatrice (arrondir à0,01 près).

Exercice 3 : 1. Montrer que l’équation :

−2x3 − 6x2 + 18x + 59 = 0

admet une unique solution réelle α.

2. Avec une calculatrice, encadrer α au dixième près.

Exercice 4 : Soit la fonction polynôme de degré 2 :

f : x 7→ 4x2 − 8x + 7.

1. Mettre f(x) sous forme canonique.

2. En déduire le nombre de solutions de l’équation f(x) = k en fonction de la valeur réellede k.



Thème: Théorème des valeurs intermédiaires TS - SI - Activité no 8

Exercice 5 : Soit f et g les fonctions définies sur R par :

f(x) = x3 − x2 + x + 2 et g(x) = x + 2.

1. Étudier les variations de f sur R.

(a) Démontrer que l’équation f(x) = g(x) admet une solution unique α dans [−1 ; 0].Qu’en est-il sur R ?

(b) Donner un encadrement de α à 0,001 près à l’aide d’une calculatrice.


f(x) = x3 − 2x2 − 4x − 4.

1. Déterminer les solutions de l’équation f(x) = −4.


3. Donner, en justifiant, le nombre de solutions de l’équation f(x) = −12.

4. Existe-t-il un réel y tel que l’équation f(x) = y n’ait aucune solution ?

Exercice 7 : Une fonction g a pour tableau de variation :

x

f

−10 −4 0 3 10

√2

√2

−π−π

22

−4−4

+∞+∞

Discuter, suivant la valeur de k, le nombre de solutions de l’équation f(x) = k.



Thème: Limites et continuité TS - SI - Correction

Limites et continuité

1. Étude complète de la fonction f définie par f(x) =x3

x2 − 4.

(a) Domaine de définition, domaine d’étude, limites aux bornes et asymptotes.

i. Le dénominateur x2 − 4 = (x − 2)(x + 2) ne pouvant être nul,

Df =] − ∞ ; −2 [∪] − 2 ; 2 [∪]2 ; +∞ [.

ii. ∀x ∈ Df , f(−x) = −f(x) donc la fonction f est impaire.On restreint alors le domaine d’étude à D = [0 ; 2 [∪]2 ; +∞ [ et on complèterala courbe par symétrie centrale par rapport à l’origine du repère.

iii. Comme f(x) =x

1 − 4x2

, limx→+∞

f(x) = limx→+∞

x = +∞. Il n’y a donc pas d’asymp-

tote parallèle à l’axe des abscisses.

Cependant, f(x) =x(x2 − 4) + 4x

x2 − 4= x +

4x

x2 − 4.

Et, limx→+∞

f(x) − x = limx→+∞

4

x(1 − 4

x2

) = 0.

La droite d’équation y = x est donc asymptote à la courbe en +∞ et la position

relative est donnée par le signe de4x

x2 − 4> 0.

La courbe de f est donc au-dessus de son asymptote en +∞.

iv. Dressons un tableau de signes du dénominateur :

x

x2−4

−∞ 2 +∞

− 0 +

limx→2x<2

f(x) = limx→2x<2

8

x2 − 4.

Or,

limx→2x<2

x2 − 4 = 0−

limx→0x<0

1

x= −∞

Donc, d’après les théorèmes sur les composées de limites, limx→2x<2

f(x) = −∞.

Avec le même raisonnement, on trouve que limx→2x>2

f(x) = +∞.

La droite d’équation x = 2 est donc asymptote à la courbe de f .

(b) Variations et tangentes particulières




i. Comme quotient de fonctions dérivables de dénominateur non nul, f est déri-vable sur D et on a :

f ′(x) =3x2(x2 − 4) − 2x4

(x2 − 4)2=

x4 − 12x2

(x2 − 4)2=

x2(x − 2√

3)(x + 2√

3)

(x2 − 4)2.

Sur D, le signe de f ′(x) est donc celui de x − 2√

3.On en déduit le tableau de variations de f sur D :

x

f ′(x)

f

0 2 2√

3 +∞

0 − − 0 +

00

−∞

+∞

3√

33√

3

+∞+∞

Remarque : Comme f ′(0) = f(0) = 0, la courbe admet l’axe des abscissesd’équation y = 0 comme tangente à l’origine. C’est même un point d’inflexioncar, analytiquement la dérivée seconde s’annule et change de signe ou, géométri-quement, la courbe traverse sa tangente.

(c) Il ne reste plus qu’à tracer la courbe de f sur (D) avec ses asymptotes et ses deuxtangentes particulières puis compléter par symétrie centrale sur Df :




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6−7−8−9100

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

−10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

f(x)

x=

2

x=

−2

y=

x

2√

3

3√

3

Cf




2. Résoudre l’équation f(x) = 3√

3.

— D’après l’étude précédente, l’équation f(x) = 3√

3 admet une unique solution sur]2 ; +∞ [ en son minimum x = 2

√3.

— Par symétrie, ∀x ∈] − ∞ ; −2 [, f(x) 6 −3√

3 < 0 < 3√

3 donc l’équation n’admetaucune solution sur cet intervalle.

— Enfin, la fonction f est continue et strictement monotone de ] − 2 ; 2 [ sur R, sonintervalle image qui contient 3

√3.

D’après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictementmonotones, l’équation f(x) = 3

√3 admet donc une unique solution α ∈] − 2 ; 2 [.

Calculons une valeur approchée de α à 10−3 par dichotomie :

limx→−2x>−2

f(x) = +∞ > 3√

3 et f(−1) =1

3< 3

√3 donc −2 < α < −1.

f(−1, 6) ≃ 2, 8 < 3√

3 et f(−1, 7) ≃ 4, 4 > 3√

3 donc −1, 7 < α < −1, 6.

f(−1, 8) ≃ 7, 7 > 3√

3 et f(−1, 7) ≃ 4, 4 < 3√

3 donc −1, 8 < α < −1, 7.

f(−1, 74) ≃ 5, 4 > 3√

3 et f(−1, 73) ≃ 5, 14 < 3√

3 donc −1, 74 < α < −1, 73.

f(−1, 733) ≃ 5, 2 > 3√

3 et f(−1, 732) ≃ 5, 195 < 3√

3 donc −1, 733 < α < −1, 732.

f(−1, 7321) ≃ 5, 197 > 3√

3 et f(−1, 732) ≃ 5, 195 < 3√

3 donc −1, 7321 < α < −1, 732.

Donc α ≃ −1, 732 à 10−3 près.

Remarque : Même si nous ne savions pas résoudre l’équation f(x) = 3√

3, on remarquera,

à l’issue, que f(−√

3) = 3√

3 c.-à-d. α = −√

3.



Fic

heno6:

Limites

f(x

)−→

∞f

(x)

−→ℓ

x−→∞

x

y=

f(x

)

]b;+

∞[

]a;+

∞[

a

by

=ℓ

est

asym

ptot

e

x

y=

f(x

)

ℓ

]a;+

∞[

a

ℓ−

ε

ℓ+

ε

lim

x→

+∞

f(x

)=

+∞

⇐⇒

f(x

)ap

part

ient

àto

utin

terv

alle

ouve

rtde

lafo

rme

]β;+

∞[,

β∈R

pour

xas

sez

«gr

and

».∀β

∈R

∗ +,∃

α(β

)∈R

/∀

x∈R

,x

>α

=⇒

f(x

)>

β.

lim

x→

+∞

f(x

)=

ℓ⇐

⇒f

(x)

appa

rtie

ntà

tout

inte

rval

leou

vert

cont

e-na

ntℓ

pour

xas

sez

«gr

and

».∀ε

∈R

∗ +,∃

α(ε

)∈R

/∀x

∈R

,x

>α

=⇒

f(x

)∈

]ℓ−

ε;ℓ

+ε

[.

x−→a

x

y=

f(x

)

x=aestasymptote

ba

]a−

α;a

+α

[

]b;+

∞[

b

fes

tdi

scon

ti-

nue

ena

x

y=

f(x

)

]b−

ε;b

+ε

[

]a−

α;a

+α

[

ba

bb

bb

=f

(a)

fes

tco

nti-

nue

ena

lim

x→

af

(x)

=+

∞⇐

⇒f

(x)

appa

rtie

ntà

tout

inte

rval

lede

lafo

rme

]β;+

∞[

pour

xas

sez

proc

hede

ac.

-à-d

.po

urle

sx

d’un

inte

rval

leou

vert

cont

enan

ta.

∀β∈R

,∃α

(β)

∈R

∗ +/

∀x∈R

,x

∈]a

−α

;a+

α[=

⇒f

(x)

∈]β

;+∞

[.

lim

x→

af

(x)

=b

⇐⇒

f(x

)ap

part

ient

àto

utin

terv

alle

ouve

rtco

nten

ant

bpo

urx

asse

zpr

oche

dea

c.-à

-d.

pour

les

xd’

unin

terv

alle

ouve

rtco

nten

ant

a.

∀ε∈R

∗ +,∃

α(ε

)∈R

∗ +/

∀x∈R

,x

∈]a

−α

;a+

α[=

⇒f

(x)

∈]b

−ε

;b+

ε[.

lim

x→

f(x

)=

⇐⇒

f(x

)ap

part

ient

àto

utin

terv

alle

ouve

rtco

nten

ant

pour

xas

sez

proc

hede

c.-à

-d.

pour

les

xd’

unin

terv

alle

ouve

rtco

nten

ant

.

Fiche no 6: Limites

f(x) limx→−∞

f(x) limx→+∞

f(x)

xn +∞ si n pair−∞ si n impair

+∞

1xn

0

√x non défini +∞

1√x

non défini 0

sin x pas de limite

ln x non défini +∞ex 0 +∞ex

x0 +∞

xex 0 +∞ln x

xnon défini 0

f(x) limx→0x<0

f(x) limx→0x>0

f(x)

1xn

+∞ si n pair−∞ si n impair

+∞

1√x

non défini +∞

ln x non défini −∞x ln x 0

ln(x + 1)x

1

ex − 1x

1

Limites démontrées en cours. À SAVOIR.

1xn

, n impair

1xn

, n pair

xn, n pair

xn, n impair

√x

1√x

sin x

ex

ln x

1

1

O

1 ≺ ln x ≺ √x ≺ x ≺ xm ≺ xn ≺ ex.

En ∞ seulement ! (m < n)

x b cf g

g f

limx→a

g(

f(x))

= g(

limx→a

f(x)).

Encadrementg(x) 6 f(x) 6 h(x)

limx→+∞

g(x) = limx→+∞

h(x) = ℓ

=⇒ lim

x→+∞f(x) = ℓ.

Comparaisong(x) 6 f(x)

limx→+∞

g(x) = +∞

=⇒ limx→+∞

f(x) = +∞.

Position relative d’une courbe et de son asymptote :On factorise et on étudie le signe de f(x) − ℓ ou f(x) − (ax + b).

x

Signe def(x) − ℓ


A δ +∞

+ 0 −

Cf au dessus de (D) Cf au dessous de (D)

Fiche no 6: Limites

Problème 1 : On considère la fonction f définie par :

f(x) =x3

x2 − 4.

1. Déterminer le domaine de définition de f .

2. Étudier la parité de f . Quelles conséquences sur le domaine d’étude ?

3. Calculer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.

4. Après avoir justifié que f était dérivable sur son domaine de définition, montrer que :

f ′(x) =x2(x − 2

√3)(x + 2

√3)

(x2 − 4)2.

5. En déduire le tableau de variation de f .

6. Montrer que f(x) = x +4x

x2 − 4et en déduire l’existence d’une asymptote oblique dont

on donnera l’équation et déterminera la position relative avec la courbe de f .

7. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe de f , ses tangentes particulières et sesasymptotes.

8. Montrer que l’équation f(x) = 2√

3 admet une unique solution sur l’intervalle ] − 2 ; 2 [dont on donnera une valeur approchée au centième.

Fic

heno

7:Continuité

fes

tco

ntin

ueen

asi

etse

ulem

ent

silim

x→

af

(x)

=f

(a).

01

23

4−1

123

x

f(x

)

(Cf)

Pas

cont

inue

ena

01

23

4−1

123

x

f(x

)

(Cf)

Con

tinu

een

a

—P

olyn

ômes

,|x

|,√

x,

sin

x,

ex,

lnx,

som

me,

prod

uit,

com

-po

sée,

quot

ient

dedé

nom

inat

eur

non

nul

sont

cont

inue

ssu

rle

urdo

mai

nede

défin

itio

n.

—x

7−→1 x

pas

cont

inue

en0

mai

sco

ntin

uesu

r]−

∞;0

[et

sur

]0;+

∞[.

TV

I:

fco

ntin

uesu

run

inte

rval

leI

=[a

;b].

∀k∈

[f(a

);f

(b)],

∃α∈

Ite

lqu

ef

(α)

=k.

ba

f(b

)

f(a

)

× α4

× α× α2

× α1

×k

Thé

orèm

ede

labi

ject

ion

:f

cont

inue

etst

rict

emen

tm

onot

one

sur

I=

[a;b

].

∀k∈

[f(a

);f

(b)],

∃ !α

∈I

telqu

ef

(α)

=k.

fes

tco

ntin

ueet

stri

ctem

ent

mon

oton

esu

r.

Elle

étab

lit

donc

une

bije

ctio

nde

sur

f(

)=

.

Com

me

k∈

,d’

aprè

sle

théo

rèm

ede

sva

leur

sin

term

é-di

aire

sap

pliq

uéau

xfo

ncti

onst

rict

emen

tm

onot

ones

,il

exis

teun

uniq

ueα

∈te

lqu

ef

(α)

=k

.

(un) n

∈Ndé

finie

par

u0

etu

n+

1=

f(u

n).

lim

n→

∞u

n=

ℓ

fco

ntin

ueen

ℓ =

⇒f

(ℓ)

=ℓ.

Thème: Révisions TS - SI - Activité no 9

Révisions

Exercice 1 : Selon la FIFA, lors de la finale de la Coupe du Monde Féminine FIFA 2015entre les États-Unis et le Japon, les footballeuses américaines ont réalisé 56 % des tirs et 47 %de ceux-ci ont été cadrés.

De leur côté, les joueuses japonaises n’ont cadré que 25 % de leurs tirs.

On considère un tir au hasard réalisé pendant ce match et on appelle A l’évènement « le tir aété réalisé par une joueuse américaine » et C l’évènement « le tir est cadré ».

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

2. Donner la probabilité que le tir ne soit pas cadré sachant qu’il a été réalisé par unejoueuse japonaise.

3. Calculer la probabilité que le tir pris au hasard soit cadré.

4. Calculer la probabilité que le tir ait été réalisé par une joueuse japonaise sachant qu’ilest cadré.

5. Les événements A et C sont-ils indépendants ?

Exercice 2 : On considère les suites mêlées (un) et (vn) définies par u0 = −10, v0 = 20 et :

un+1 = 0,7un + 0,8vn

vn+1 = 0,8un + 0,7vnpour tout n ∈ N.

1. Calculer u1 et v1.

2. (a) Montrer que la suite (an) définie pour tout n ∈ N par an = un + vn est géométrique.

(b) En déduire le terme général de (an) puis limn→+∞

an.

3. (a) Montrer que la suite (bn) définie pour tout n ∈ N par bn = un − vn est géométrique.

(b) En déduire le terme général de (bn) puis limn→+∞

bn.

(c) Les suites (un) et (vn) sont-elles convergentes ?

4. Déduire des questions précédentes les termes généraux de (un) et (vn).

Exercice 3 :

1. Montrer que la fonction f , définie par f(x) = 4 cos3 x−3 cos x, est paire et2π

3-périodique.

2. Déterminer les valeurs où la dérivée de la fonction f définie par f(x) =cos x + 2

sin2 x + 2,

s’annule.

Exercice 4 : Étudier la fonction f définie par :

f(x) =x3 + 2x2

x2 − 1.

185

Devoir Commun Terminales S – 14 décembre 2019

Durée : 4 heures

Exercice 1 6 points

Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à 10−4.

On étudie une maladie dans la population d’un pays. On a constaté que le taux, en nanogrammespar millilitre

(ng.mL−1

), d’une substance Gamma présente dans le sang est plus élevé chez les

personnes atteintes de cette maladie que chez les personnes qui n’en sont pas atteintes.

Pour dépister chez une personne la maladie étudiée, on effectue donc une prise de sang. Onconsidère que le dépistage est positif si le taux de la substance Gamma est supérieur ou égal à45 ng.mL−1.

Une personne étant choisie au hasard dans la population, on appelle :

• M l’évènement « le patient est atteint par la maladie étudiée » ;

• D l’évènement « le patient a un dépistage positif ».

On admet que :

• 82 % des personnes atteintes par la maladie étudiée ont un dépistage positif ;

• 73 % des personnes non atteintes par cette maladie ont un dépistage négatif.

On sait de plus que 10 % de la population étudiée est atteinte par cette maladie.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité qu’un patient soit atteint par la maladie et qu’il ait un dépistagepositif.

3. (a) Démontrer que la probabilité qu’un patient ait un dépistage positif est de 0, 325.

(b) Un patient a un dépistage positif. Le médecin le rassure en lui indiquant qu’il n’aqu’une chance sur quatre d’avoir contracté la maladie. Qu’en pensez- vous ?

4. Calculer PD(M). Interpréter ce résultat.

5. On dépiste 20 personnes au hasard. La taille de la population permet de considérer lesdépistages comme indépendants et de les assimiler à des tirages avec remise. On considèreX la variable aléatoire qui associe le nombre de personnes malades.

(a) En justifiant, donner la loi que suit la variable aléatoire X et donner ses paramètres.

(b) Quelle est la probabilité qu’il y ait exactement 5 personnes malades ?

(c) Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins une personne malade ?

(d) On considère qu’il y a une épidémie lorsque la probabilité qu’il y ait entre 15 et18 personnes malades est supérieure à 10−4. Pensez-vous que le pays subisse uneépidémie ?

Terminale S

Exercice 2 5 points

Soit la fonction f définie sur R \ 1 par :

f(x) =x2 − 3x + 6

x − 1.

On note Cf sa courbe représentative. L’objectif de cet exercice est d’étudier la courbe Cf et depréciser ses asymptotes.

On dit que la droite (D) d’équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe de f en +∞(resp. −∞) si, et seulement si lim

x→+∞f(x) − (ax + b) = 0 (resp. lim

x→−∞f(x) − (ax + b) = 0).

Partie A : Limites aux bornes du domaine de définition1) Déterminer lim

x→+∞f(x) et lim

x→−∞f(x).

2) Déterminer limx→1x<1

f(x) et limx→1x>1

f(x). Donner une interprétation géométrique.

3) a) Montrer que, pour tout x ∈ R \ 1 :

f(x) = x − 2 +4

x − 1.

b) En déduire que la courbe représentative Cf admet une asymptote oblique (D)dont on précisera l’équation.

c) Étudier la position relative de (D) et Cf .Partie B : Étude des variations

1) Montrer que ∀x ∈ R \ 1, f ′(x) =(x + 1)(x − 3)

(x − 1)2.

2) En déduire le tableau de variation de f sur R \ 1.

3) Donner l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 3.Partie C : Courbe représentative

1) Dans le repère (O; −→ı ; −→ ) donné en annexe, représenter soigneusement l’allure de lacourbe représentative de f .On tracera les asymptotes et les tangentes particulières éventuelles.

2) Soit k un nombre réel. Graphiquement et sans calcul, préciser, suivant les valeurs dek, le nombre de solutions de l’équation f(x) = k.

Exercice 3 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Partie A

On considère l’algorithme suivant :

Variables : k et p sont des entiers naturelsu est un réel

Entrée : Demander la valeur de pTraitement : Affecter à u la valeur 5

Pour k variant de 1 à pAffecter à u la valeur 0, 5u + 0, 5(k − 1) − 1, 5Fin de pour

Sortie : Afficher u

Lycée Gontran Damas 14 décembre 2019

Terminale S

Faire fonctionner cet algorithme pour p = 2 en indiquant les valeurs des variables à chaqueétape.

Quel nombre obtient-on en sortie ?

Partie B

Soit (un) la suite définie par son premier terme u0 = 5 et, pour tout entier naturel n par

un+1 = 0, 5un + 0, 5n − 1, 5.

1. Modifier l’algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de un

pour n variant de 1 à p.

2. À l’aide de l’algorithme modifié, après avoir saisi p = 4, on obtient les résultats suivants :

n 1 2 3 4un 1 −0, 5 −0, 75 −0, 375

Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite (un) est décroissante ?Justifier.

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, un+1 > un.Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite (un) ?

4. Soit (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par vn = 0, 1un − 0, 1n + 0, 5.Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0, 5 et exprimer alors vn en fonctionde n.

5. En déduire que, pour tout entier naturel n,

un = 10 × 0, 5n + n − 5.

6. Déterminer alors la limite de la suite (un).

Exercice 3 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Les nombres de la forme 2n − 1 où n est un entier naturel non nul sont appelés nombres deMersenne.

1. On désigne par a, b et c trois entiers naturels non nuls tels quePGCD(b ; c) = 1.Prouver, à l’aide du théorème de Gauss, que :

si b divise a et c divise a alors le produit bc divise a.


Terminale S

2. On considère le nombre de Mersenne 233 − 1.Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous.

(233 − 1

)÷ 3

2863311530(233 − 1

)÷ 4

2147483648(233 − 1

)÷ 12

715827882,6

Il affirme que 3 divise(233 − 1

)et 4 divise

(233 − 1

)et 12 ne divise pas

(233 − 1

).

(a) En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1. ?

(b) Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas(233 − 1

).

(c) En remarquant que 2 ≡ −1 [3], montrer que, en réalité, 3 ne divise pas 233 − 1.

(d) Calculer la somme S = 1 + 23 +(23)2

+(23)3

+ · · · +(23)10

.

(e) En déduire que 7 divise 233 − 1.

3. On considère le nombre de Mersenne 27 − 1. Est-il premier ? Justifier.

4. On donne l’algorithme suivant où MOD(N, k) représente le reste de la division euclidiennede N par k.

Variables : n entier naturel supérieur ou égal à 3k entier naturel supérieur ou égal à 2

Initialisation : Demander à l’utilisateur la valeur de n.Affecter à k la valeur 2.

Traitement : Tant que MOD(2n − 1, k) 6= 0 et k 6√

2n − 1Affecter à k la valeur k + 1

Fin de Tant que.Sortie : Afficher k.

Si k >√

2n − 1Afficher « CAS 1 »

SinonAfficher « CAS 2 »

Fin de Si

(a) Qu’affiche cet algorithme si on saisit n = 33 ? Et si on saisit n = 7 ?

(b) Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alorsle nombre k affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?

(c) Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?


Terminale S

Exercice 4 4 points

1. Soit f la fonction dérivable, définie sur R par f(x) = sin2(x) − 2 sin(x).Calculer la fonction dérivée de f .

2. Montrer que la fonction f , définie par f(x) = cos2(x) − sin2(x) est π-périodique.

3. Résoudre dans ] − π; π], cos(x) >1

2.

4. Soit f(x) =sin(x)

cos(x)pour x ∈] − π; π].

Donner l’ensemble de définition de f puis calculer sa fonction dérivée.

5. Soit f(x) = (8x − 16)−6 pour x ∈ R \ 2.Calculer la fonction dérivée de f .

6. Soit f(x) =√

8x − 16 . Donner l’ensemble de définition de f , de f ′, puis calculer safonction dérivée.


Terminale S

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ANNEXE

Exercice 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6−7−8−9100

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

−10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

f(x)


Devoir Commun Terminales S – CORRECTION

Exercice 1 6 points

1. D’après l’énoncé, on a :

• P (M) = 0, 1 donc P (M) = 1−P (M) = 0, 9.

• PM(D) = 0, 82 donc PM(D) = 1−PM(D) = 0, 18.

• PM(D) = 0, 73 donc PM(D) = 1−PM(D) = 0, 27.

On peut alors construire l’arbre pondéré ci-contre :

M

0,1

D0, 82

D0, 18

M

0, 9D0, 27

D0, 73

2. Calculons P (M ∩ D) à l’aide des probabilités conditionnelles et de l’arbre précédent :

P (M ∩ D) = P (M) × PM(D) = 0, 1 × 0, 82 = 0, 082.

3. (a) D’après la loi des probabilités totales, M et M formant une partition de l’univers,on a :

P (D) = P (M ∩ D) + P (M ∩ D)

= P (M) × PM(D) + P (M) × PM(D) D’après les probabilités conditionnelles

= 0, 1 × 0, 82 + 0, 9, 27

= 0, 325.

(b) Il suffit de calculer PD(M) =P (D ∩ M)

P (D)=

0, 082

0, 325≃ 0, 2523 ≃ 1

4d’après la loi de

Bayes.Le médecin a donc bien raison pour l’estimation. Quant à s’inquiéter ou pas, laprobabilité est tout de même bien élevée. . .

4. De même que précédemment,

PD(M) =P (D ∩ M)

1 − P (D)=

0, 1 × 0, 18

0, 675≃ 0, 0267.

En comparant ce résultat avec P (M) = 0, 1, on constate que les événements M et D doncM et D ne sont pas indépendants ⌊14⌋.Pourtant, la probabilité PM(D) de ne pas être atteint par la maladie mais d’avoir undépistage positif est relativement élevée.On appelle cela des faux positifs en médecine mais remarquez aussi qu’il vaut mieux avoirdes faux positifs que des faux négatifs lorsque l’on parle de maladie !

⌊14⌋. Heureusement !

Terminale S

5. (a) L’expérience peut être assimilée à la répétition de n = 20 expériences aléatoiresindépendantes à deux issues dont l’une, appelé succès, est de probabilité p = 0, 325.La variable aléatoire associée au nombre de personnes malades suit donc une loibinomiale de paramètre n = 20 et p = 0, 325 :

X ∼ B (20; 0, 325) .

Les résultats qui suivent sont obtenus à l’aide de la calculatrice :

(b) P (X = 5) =

20

5

p5(1 − p)20−5 =

20

5

× 0, 3255 × 0, 67515

≃ 0, 1547.

(c) P (X > 1) = P (X < 1) = 1 − P (X < 1) = 1 − P (X = 0) ≃ 0, 9996.

(d) Il suffit de calculer P (15 6 X 6 18) = P (X 6 18) − P (X 6 14) ≃ 0, 00012.Le pays est donc en pleine épidémie de cette maladie.

Exercice 2 5 points

Partie A : Limites aux bornes du domaine de définition

1) Pour tout x ∈ R \ 1, on a f(x) =x2(

1 − 3

x+

6

x2

)

x(

1 − 1

x

) =x(

1 − 3

x+

6

x2

)

1 − 1

x

.

D’après les théorèmes sur les sommes de limites, limx→±∞

1− 3

x+

6

x2= lim

x→±∞1− 1

x= 1.

Donc, d’après les théorèmes sur les quotients de limites, la limite de f(x) est cellede x en ±∞ :

limx→+∞

f(x) = +∞ et limx→−∞

f(x) = −∞.

2) Comme limx→1

x2 − 3x + 6 = 4 > 0, alors limx→1x<1

f(x) = limx→1x<1

4

x − 1.

On dresse alors un tableau de signe de x − 1 :

x

x−1

−∞ 1 +∞− 0 + c.-à-d.

limx→1x<1

x − 1 = 0−,

limx→1x>1

x − 1 = 0+.

Donc limx→1x<1

4

x − 1= lim

u→0u<0

4

u= −∞ en posant u = x − 1.

De la même manière, limx→1x>1

f(x) = limu→0u>0

4

u= +∞

La courbe représentative de f admet donc une asymptote parallèle à l’axe des or-données d’équation x = 1.

3) a) La méthode la plus simple est de réduire au même dénominateur l’expressiondonnée et de comparer avec l’expression de f :

∀x ∈ R \ 1, x − 2 +4

x − 1=

(x − 2)(x − 1) + 4

x − 1=

x2 − 3x + 6

x − 1= f(x).


Terminale S

Une autre méthode toute aussi simple est de faire apparaître ce que l’on veuten factorisant :

∀x ∈ R \ 1, f(x) =x2 − 3x + 6

x − 1=

(x − 1)2 − (x − 1) + 4

x − 1

= x − 1 − 1 +4

x − 1= x − 2 +

4

x − 1.

b) D’après la question précédente, limx→±∞

f(x) − (x − 2) = limx→±∞

4

x − 1= 0, d’après

les théorèmes sur les quotients de limites.La droite d’équation y = x − 2 est donc asymptote « oblique » à la courbe de fen +∞ et −∞.

c) La position relative de (D) et Cf est donnée par le signe de f(x) − (x − 2)c.-à-d. celui de x − 1.

x

Signe def(x) − (x − 2)


−∞ 1 +∞

− +

Cf au dessous de (D) Cf au dessus de (D)

Partie B : Étude des variations1) Comme quotient de fonctions dérivables de dénominateur non nul sur R \ 1, la

fonction f y est aussi dérivables et on a :

f ′(x) =(2x − 3)(x − 1) − (x2 − 3x + 6)

(x − 1)2=

x2 − x − 3

(x − 1)2.

Les racines du trinôme x2−x−3 sont clairement −1 et 3 donc x2−x−3 = (x+1)(x−3)et le résultat demandé.

2) D’après la question précédente, le signe de f(x) est celui du trinôme (x + 1)(x − 3)qui est connu.On en déduit le tableau de variation de f sur R \ 1 complété avec les limites et lesvaleurs particulières f(−1) = −5 et f(3) = 3.

x

f ′(x)

f

−∞ −1 1 3 +∞

+ 0 − − 0 +

−∞−∞

−5−5

−∞

+∞

33

+∞+∞

3) Au point d’abscisse 3, l’équation de la tangente à la courbe est y = f ′(3)(x−3)+f(3).Avec les résultats de la question précédente, on trouve :

(T3) : y = 3.

La courbe admet donc, comme il se doit, une tangente parallèle à l’axe des abscissesen son minimum local. C’est également le cas au point d’abscisse −1.


Terminale S

Partie C : Courbe représentative

1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6−7−8−9100

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

−10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

f(x)

x=

1

y=

x− 2

Cf

On remarquera que le point d’intersection des asymptotes est centre de symétriede la courbe. C’est un fait général des courbes des fractions rationnelles de degréimpair.

2) Il suffit de compter les points d’intersection entre Cf et la parallèle à l’axe desordonnées d"équation y = k pour différentes valeurs de k :

x

Nombre desolutions

−∞ −5 3 +∞

2 1 0 1 2

Exercice 3 5 points


Partie A

k 1 2p 2 2 2u 5 1 −0.5

On obtient donc la valeur u = −0.5


Terminale S

Partie B

1. Il suffit de remonter la ligne « Afficher u » d’un cran et l’insérer à la fin de la boucle.

. . . . . .Affecter à u la valeur 0, 5u + 0, 5(k − 1) − 1, 5

Afficher uFin de pour

2. Quelques cas particuliers ne feront jamais une démonstration. Il manque seulement uneinfinité de termes pour pouvoir se faire une idée donc non ! on ne peut affirmer que lasuite est décroissante à l’aune de quelques termes.

3. Montrons, par récurrence, que la propriété Pn : un+1 > un est vraie pour tout entier nsupérieur ou égal à 3.

Initialisation : Pour n = 3, on a u3 = −0, 75 < −0, 375 = u4 donc la propriété estinitialisée.

Hérédité : Supposons qu’il existe un entier k > 4 tel que Pk soit vraie c.-à-d.

uk+1 > uk

0, 5uk+1 > 0, 5uk en multipliant les deux membres par 0, 5 > 0,

0, 5uk+10, 5(k + 1) > 0, 5uk + 0, 5(k + 1) en ajoutant aux deux membres 0, 5(k + 1),

0, 5uk+10, 5(k + 1) > 0, 5uk + 0, 5k car k + 1 > k,

0, 5uk+10, 5(k + 1) − 1, 5 > 0, 5uk + 0, 5k − 1, 5 en ajoutant aux deux membres − 1, 5

Enfin, on reconnaît les expressions :

uk+2 > uk+1.

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : La propriété Pn, initialisée à partir de n = 3 et héréditaire est donc vraiepour tout entier n supérieur ou égal à 3.

On en déduit que la suite (un) est croissante à partir de n = 3.

4. Deux manières pour cela :

En factorisant : vn+1 = 0, 1un+1 − 0, 1(n + 1) + 0, 5

= 0, 1(0, 5un + 0, 5n − 1, 5

)− 0, 1(n + 1) + 0, 5

= 0, 05un − 0, 05n + 0, 25 = 0, 5(0, 1un − 0, 1n + 0, 5

)

= 0, 5vn.

En évaluant le quotient :vn+1

vn=

0, 1un+1 − 0, 1(n + 1) + 0, 5

0, 1un − 0, 1n + 0, 5

=0, 05un − 0, 05n + 0, 25

0, 1un − 0, 1n + 0, 5=

0, 05(

un − n + 5)

0, 1(

un − n + 5)

= 0, 5.

La suite (vn) est donc une suite géométrique de raison 0, 5 et de premier terme v0 = 0, 1u0+0, 5 = 1.


Terminale S

5. D’après la question précédente, la forme explicite de vn est donc :

∀n ∈ N, vn = v0qn = 0, 5n.

Par définition de (vn), vn = 0, 1un − 0, 1n + 0, 5 ⇐⇒ un =vn + 0, 1n − 0, 5

0, 1.

D’où, un =0, 5n + 0, 1n − 0, 5

0, 1= 10 × 0, 5n + n − 5.

6. Comme 0 < 0, 5 < 1, la suite géométrique (0, 5n) converge vers 0.D’après les théorèmes sur les sommes de limites, on a alors :

limn→+∞

un = limn→+∞

n − 5 = +∞.

Pour répondre à la question 2., elle est drôlement décroissante la suite (un) !

Exercice 3 5 points


1. Comme b divise a, il existe un entier relatif k tel que a = kb.De même c divise a donc il existe un entier relatif k′ tel que a = k′c.D’où kb = k′c c.-à-d. c divise kb avec b et c sont premiers entre eux, donc d’après lethéorème de Gauss, c divise k c.-à-d. il existe un entier relatif q tel que k = cq.On a alors a = kb = bcq avec q ∈ Z, d’où bc divise a.

2. (a) Si 3 divise 233 − 1 et 4 divise 233 − 1, comme 3 et 4 sont premiers entre eux, d’aprèsle 1. 12 devrait diviser 233 − 1 ce qui est contradictoire avec ce que dit l’élève : il adonc tort.

(b) 233 est un naturel pair donc 233 − 1 est impair donc 4 ne peut le diviser.

(c) 2 ≡ −1 [3] ⇒ 23 ≡ (−1)3 [3] ⇐⇒ 23 ≡ −1 [3]

⇒(23)11 ≡ (−1)11 [3] ⇐⇒ 233 ≡ −1 [3]

ce qui montre que 3 ne divise pas 233 − 1.

(d) S = 1 + 23 +(23)2

+(23)3

+ · · · +(23)10

;

23S = 23 + 24 +(23)3

+(23)3

+ · · · +(23)11

, d’où par différence :

7S =(23)11 − 1 ⇐⇒ S =

(23)11 − 1

7.

(e) S est une somme d’entiers naturel donc est un entier naturel ; le résultat précédent

montre que(23)11 − 1 est donc un multiple de 7.

Finalement 233 − 1 est divisible par 7.

3. 27 − 1 = 128 − 1 = 127.Ce nombre n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 (dans la division reste 1), nipar 11 (dans la division reste 7), ni par 13 (dans la division reste 10) et comme 132 = 169,il est inutile de continuer : 127 est premier.

4. (a) Comme on vient de le voir pour 127, l’algorithme cherche le reste de la division de233 − 1 par les naturels 2, 3, 4, etc., k 6

√2n − 1 tant que le reste est non nul.

On a vu que 233 − 1 n’était divisible ni par 2 ni par 3, donc ce nombre n’est divisibleni par 4 ni par 6. Il faut regarder s’il est divisible par 5.


Terminale S

211 = 2 048 et 2 048 ≡ 3 [5] ⇒(211)3 ≡ 33 [5], mais 33 = 27 ≡ 2 [5], donc

233 ≡ 2 [5] ⇒ 233 − 1 ≡ 1 [5] ; on en déduit que 233 − 1 n’est pas divisible par 5.On a vu que le nombre 233 − 1 est divisible par 7, donc l’algorithme va afficher cediviseur 7 et « CAS 2 ».Si on entre n = 7, l’algorithme affiche 12 et « CAS 1 ».

(b) Le CAS 2 concerne donc les nombres de Mersenne non premiers et le nombre k estle plus petit de ses diviseurs (différent de 1).

(c) Le CAS 1 concerne les nombres de Mersenne premiers comme 27 − 1.

Exercice 4 4 points

1. Comme somme et composée de fonctions dérivables sur R, la fonction f y est dérivableet on a :

f ′(x) = 2 cos(x) sin(x) − 2 cos(x)

= 2 cos(x)(

sin(x) − 1).

2. Deux méthodes pour cela :

— La méthode standard : ∀x ∈ R, on a :

f(x + π) = cos2(x + π) − sin2(x + π)

=(

− cos(x))2 −

(− sin(x)

)2= cos2(x) − sin2(x)

= f(x).

— En factorisant d’abord : f(x) = cos(2x) qui est clairement π-périodique par 2π-périodicité de x 7−→ cos x.

3. Il suffit de visualiser un cercle trigonométrique pour trouver :

S =[−π

3;π

3

].

4. La fonction f n’est définie que si son dénominateur est non nul c.-à-d. cos(x) 6= 0.

Sur l’intervalle ] − π ; π ], x dit être différent de ±π

2.

En conclusion, Df =]−π ; −π

2

[∪]−π

2;π

2

[∪]π

2; π].

Sur Df , la fonction f est donc un quotient de fonctions dérivables de dénominateur nonnul, elle y est dérivable et on a :

f ′(x) =cos2(x) + sin2(x)

cos2(x)=

1

cos2(x).

5. Comme composée de deux fonctions dérivables sur leur ensemble de définition, f estdérivable sur R \ 2 et on a :

f ′(x) = −6 × 8(8x − 16)−6−1 = − 48

(8x − 16)7= − 6

86(x − 2)7.


Terminale S

6. f est définie si, et seulement si 8x − 16 > 0 et est dérivable si, et seulement si 8x − 6 > 0.On trouve alors :

Df = [2 ; +∞ [ et Df ′=]2 ; +∞ [.

Pour tout x ∈ Df ′ , on a alors :

f ′(x) =8

2√

8x − 16=

2√2x − 4

=

√2

x − 2.


Chapitre

VI

Nombres Complexes I

Les nombres complexes sont nés d’une longue série de défis et d’une envie : Résoudre n’im-porte quelle équation polynomiale c.-à-d. toute équation de la forme :

anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0, où an, an−1, . . . , a1 et a0 sont des réels.

Remontons dans le temps :

— Dans N l’équation x + 7 = 6 n’a pas de solution. On construit alors l’ensemble Z desentiers relatifs, compatible avec l’addition et la multiplication de N et qui le contient :

N ⊂ Z.

— Dans Z l’équation 3x = 1 n’a pas de solution. On construit alors l’ensemble Q des nombresrationnels, compatible avec l’addition et la multiplication de Z et qui le contient :

N ⊂ Z ⊂ Q.

— Dans Q l’équation x2 = 2 n’a pas de solution. On construit alors l’ensemble R des nombresréels, compatible avec l’addition et la multiplication de Q et qui le contient :

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

— Dans R l’équation x2 + 1 = 0 ⇐⇒ x2 = −1 n’a pas de solution. On construit alorsl’ensemble C des nombres complexes dont l’élément principal ajouté est le nombre i tel quei2 = −1 solution de l’équation précédente, compatible avec l’addition et la multiplicationde R et qui le contient :

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Démontré au début du XIXème siècle, le théorème de D’Alembert-Gauss énonce :

Toute équation d’une inconnue à coefficients complexes, admet au moinsune racine complexe.

Théorème 1 (D’Alembert-Gauss)

Fin !

200

VI. Nombres Complexes I

SommaireI L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

I.1 Construction de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202I.2 Équations dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

II Nombres et Plan complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208II.1 Représentation des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209II.2 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

III Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214III.1 Interprétation géométrique du module . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217III.2 Ensembles de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

IV Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220IV.1 Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220IV.2 Argument et Angle (première partie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Test no 9 : G – Nombres Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226Test no 10 : G – Nombres Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Devoir en temps libre no 6 : Nombres Complexes et Géométrie . . . 230

Un peu d’histoire :— Les nombres complexes ont été introduits par Cardan et Bombelli au 16ème siècle, comme

moyen d’exprimer certaines racines de polynômes de degrés 3 ou 4. À cette époque, l’in-troduction des nombres imaginaires (via des racines de réels négatifs) est un pur artifice.

— Ainsi, dès leur origine, les nombres complexes sont introduits pour pallier au fait quecertains polynômes à coefficients réels n’ont pas de racines dans R, comme par exempleX2 + 1.

— La notation i est introduite par Euler en 1777 pour remplacer la notation√

−1 qui n’aaucun sens ⌊1⌋.

On démontrera plus tard que ceci implique que tout polynôme à coefficients complexes sefactorise en polynômes de degré 1.

Le théorème de d’Alembert-Gauss se réexprime ainsi : C est algébriquement clos, ce qui signifiequ’il n’existe pas d’autres nombres algébriques sur C que les nombres complexes eux-mêmes.

D’un point de vue formel, C est défini comme le plus petit sur-corps de R dans lequel lepolynôme X2+1 admet une racine (c’est ce qu’on appelle un corps de rupture du polynôme

X2 + 1, correspondant dans ce cas au corps de décomposition, le plus petit corps dans lequelle polynôme peut se factoriser en polynômes de degré 1).

Le théorème de d’Alembert-Gauss, restreint aux polynômes à coefficients réels, allié au fait queC est par définition le plus petit corps dans lequel X2 +1 admet une racine, s’exprime en disantque C est la clôture algébrique de R.

Un peu d’histoire :

Le théorème de d’Alembert-Gauss est d’une importance capitale, puisque c’est ce résultat quimotive la construction de C.

— Il est conjecturé depuis longtemps déjà lorsque d’Alembert en propose une preuve en 1743.Cette preuve n’est pas satisfaisante, Gauss va jusqu’à la qualifier de petitio principii,puisqu’elle part de l’hypothèse de l’existence de racines « fictives ».

⌊1⌋. On le verra.



VI. Nombres Complexes I I. L’ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES

— La première preuve complète et rigoureuse revient à Gauss, au 19ème siècle d’où le nomqu’a laissé la postérité à ce théorème.

Ainsi, il s’agit d’un ensemble contenant un élément i, racine de X2 + 1, vérifiant donc i2 = −1,et muni d’une addition et d’un produit prolongeant celles de R, avec les mêmes propriétés.En fait, la relation i2 = −1 et les propriétés de commutativité, associativité et distributivitédéterminent entièrement les opérations sur C.

I L’ensemble des nombres complexes

I.1 Construction de C

On appelle ensemble des nombre complexes, noté C, l’ensemble des nombres z de laforme :

z = a + ib, avec (a; b) ∈ R2 et i2 = −1.

— Le nombre réel a s’appelle la partie réelle de z notée Re (z).

— Le nombre réel b s’appelle la partie imaginaire de z notée Im (z).

— L’écriture z = a + ib est appelée la forme algébrique de z.

Définition 1

Remarques : — Im (z) = 0 ⇐⇒ z ∈ R. En particulier, R ⊂ C.

— Si Re (z) = 0 alors z est dit imaginaire pur.

Exemple 1 :

— Re(√

3 − i)

=√

3 et Im(√

3 − i)

= −1.

— Re (4i) = 0 et Im (4i) = 4.

Exercice 1 : Pour chacun des nombres suivants, dire s’il est réel, imaginaire pur ou complexequelconque. Déterminer ses parties réelles et imaginaires.

1. z1 = 2.2. z2 = 1 + 2i.3. z3 =

√3.

4. z4 = i√

2 − 3

5. z5 =3i4

.

6. z6 = −5 − 2

3i.

7. z7 =1

7− i

8. z8 = −i − 3 + i




Soient z = a + ib et z′ = a′ + ib′ deux nombres complexes et λ ∈ C.On peut munir l’ensemble C de trois opérations :

— L’addition (+) : z + z′ = (a + a′) + i(b + b′).

— La multiplication (×) : z × z′ = (aa′ − bb′) + i(ab′ + a′b).

— La loi externe (ou multiplication par une constante) : λz = λa + iλb.

Muni de ces trois lois, l’ensemble C est alors une C-algèbre qui contient R et dont lesopérations prolongent celles de ce dernier.

Proposition 2

Globalement, comprenez que C contient R, que les opérations possèdent les mêmes propriétésque celles de R à la différence près que l’on remplacera i2 par −1 et que l’on regroupera lesréels et les réels facteurs de i pour obtenir la forme algébrique d’un nombre complexe.

Preuve:Existence : Soit z = (a; b) un nombre complexe. On a :

z = (a; b) ⇐⇒ (a; 0) + (0; b) ⇐⇒ z = (a; 0) + b × (0; 1)

⇐⇒ z = (a; b) + (b; 0) × i⇐⇒ z = a + ib.

Unicité : Soient deux couples de réels (a; b) et (a′; b′) tels que z = a + ib = a′ + ib′.On a alors a − a′ = (b′ − b)i ⇐⇒ (a − a′; 0) = (0; b′ − b) ⇐⇒ a = a′ et b = b′.

Deux nombres complexes z et z′ sont égaux si, et seulement si

Re (z) = Re (z′) et Im (z) = Im (z′).

Corollaire 3

En particulier, une égalité entre deux nombres complexes pourra toujours se traduire, si néces-saire, par deux équations entre réels.

Exercice 2 : Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme algébrique :

1. (2 − 4i) + (2 − 3i)

2.(

2 +1

3i)

+(

−3 +4

3i)

3.(

1 +1

2i)

+ (3 + i)

4.(

1

2+

2

3i)

− (−2 − 2i)

5. (2 + i√

5) + (3 − 2i√

5)

6. 3i − 1 + 2(√

2 − i)

7. 2 + i + i(3 − 2i)

8. 2(1 + 2i)

9. i(3 + i)

10. 2i(3 − 2i)

11. (1 + 2i)(−2 − 2i)

12. (√

2 + 2i)(3 −√

2i)

13. (3 − i)(1 + 2i) + 5 − i

14. (5 − 2i)(5 + 2i)

15. (2 − i)(i + 1)

16. (√

2 + 2i)(3 −√

2i)

17. (1 + 2i)(3 − i)(−3 − 3i)

18. (7i − 3)(7 − 3i)

19. (3 + i)2

20. (1 + i√

2)2

21. (1 − 2i)3

22. (5 − 2i)(5 + 2i)




Et d’une manière générale :

Soit a et b deux nombres complexes.

— (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

— (a − b)2 = a2 − 2ab + b2.

— (a − b)(a + b) = a2 − b2.

— (a + ib)2 = a2 + 2abi − b2.

— (a − ib)2 = a2 − 2abi − b2.

— (a − ib)(a + ib) = a2 + b2.

Proposition 4 (Identités remarquables dans C)

Preuve: Seules, les dernières égalités sont nouvelles :

(a ± ib)2 = a2 ± 2abi + (ib)2 = a2 ± 2abi − b2,

et(a − ib)(a + ib) = a2 − (ib)2 = a2 + b2.

Vous pourrez enfin factoriser une somme de deux carrés. ⌊2⌋

Exemple 2 : Trouver la forme algébrique du nombre complexe z =2 − i3 + 2i

.

L’idée est de faire disparaître les nombres imaginaires du dénominateur. On utilise la mêmeidée qu’avec les «

√» sachant que i2 = −1.

D’après la proposition (4) , (a + ib)(a − ib) = a2 + b2. On va donc multiplier numérateur etdénominateur par 3 − 2i ⌊3⌋ :

z =(2 − i)(3 − 2i)(3 + 2i)(3 − 2i)

=4 − 7i

13=

4

13− i

7

13.

Pour trouver la forme algébrique d’un quotient, il suffit de multiplier numérateur et déno-minateur par le conjugué du dénominateur.

Méthode 1 (Forme algébrique d’un quotient)

Exercice 3 : Donner la forme algébrique du nombre1

2 + 3i.

Exercice 4 : Montrer que

√2 − i

√2√

2 + i√

2= −i et

1 + i1 − i

= i.

Exercice 5 : Soit z = a + ib ∈ C tel que a2 + b2 = 1. Montrer que si z 6= 1, alors1 + z

1 − zest

un imaginaire pur.

⌊2⌋. Dans C !⌊3⌋. Appelée plus tard « partie conjuguée » de 3 + 2i. Vous savez pourquoi.




Exercice 6 : Soit la fonction f de C dans C définie par :

f(z) = z2.

Dans chacun des cas suivants, représenter l’ensemble des points M du plan dont l’affixe rempliela condition demandée

1. f(z) ∈ R

2. f(z) imaginaire pur

3. Re (f(z)) = 4

4. Re (f(z)) = Im (z)

I.2 Équations dans C

Exercice 7 : Résoudre dans C les équations suivantes. On donnera les solutions sous formealgébrique.

1. z = (2 − i)z + 3.

2. (1 + i)z = 1 − i.

3. 2iz − 1 − i = z + 2i.

4.z + 1

z − 1= 2i.

5. (2z + 1 − i)(iz + 3) = 0.

6.iz + 1

z − 3i= 2 + i

7. −2iz = 3z + 1.

8.2iz + i

z − 1 − i= 3.

9. (z − i)2 = (z + 1 + i)2.

10.2

z+ 3i = −2 − 5i.

Exercice 8 : Résoudre dans C les systèmes d’équations suivants :

1.

z + z′ = 2 − 5i

z + 3z′ = i − 12.

z + iz′ = 2

2z + 2z′ = 2 + 3i

Exercice 9 :1. Montrer, que pour tout z ∈ C, z2 − 6z + 25 = (z − 3)2 + 16.

2. En déduire les solutions de l’équation z2 − 6z + 25 = 0.

Généralisons la méthode !




Soit l’équation du second degré az2 + bz + c = 0 avec a 6= 0, b et c des réels.Cette équation admet toujours des solutions dans l’ensemble des nombres complexes.Avec ∆ = b2 − 4ac, on a :

• Si ∆ = 0, il existe une unique solution :

z = − b

2a.

• Si ∆ > 0, il existe deux solutions réelles :

z =−b ±

√∆

2a.

• Si ∆ < 0, il existe deux solutions com-plexes conjuguées :

z =−b ± i

√−∆

2a.

1: VARIABLES

2: A, B,C, D, X, Y SONT_DU_TYPE NOMBRE

3: DEBUT ALGORITHME

4: Lire A, B, C

5: D PREND_LA_VALEUR B2 − 4AC6: DEBUT SI D > 07: X PREND_LA_VALEUR (−B +

√D)/(2A)

8: Y PREND_LA_VALEUR (−B −√

D)/(2A)9: FIN SI

10: SINON

11: DEBUT SINON

12: X PREND_LA_VALEUR

(−B + i√

−D)/(2A)13: Y PREND_LA_VALEUR

(−B − i√

−D)/(2A)14: FIN SINON

15: FIN ALGORITHME

Théorème 5 (Équation du second degré à coefficients réels)

Preuve: La démonstration est identique à celle de première si ce n’est que l’on n’est plusgêné par la cas où le discriminant est négatif.

La forme canonique s’écrit :

az2 + bz + c = a

(

z +b

2a

)2

− ∆

4a2

.

— Pour les deux premiers cas ∆ = 0 et ∆ > 0 ont retrouve les cas vus en première.

— si ∆ < 0, on a −∆ > 0 d’où ∆ = (i√

−∆)2.

On factorise à l’aide des identités remarquables :

(z +

b

2a

)2

− ∆

4a2=

(z +

b

2a

)2

−(i√

−∆

2a

)2

=

(z +

b − i√

−∆

2a

)(z +

b + i√

−∆

2a

).

On en déduit les deux solutions de l’équation du second degré az2 + bz + c = 0 dans cecas.

Exemple 3 : Soit l’équation z2 − z + 1 = 0. On a ∆ = −3 =(

i√

3)2

.

Les solutions sont donc z1 =1 − i

√3

2et z2 =

1 + i√

3

2.




Et la forme factorisée :

∀ z ∈ C, z2 − z + 1 =

(z − 1 − i

√3

2

)(z − 1 + i

√3

2

).

Exercice 10 (À savoir faire absolument !) : Résoudre dans C, les équations suivantes :

1. z2 − 3z = 0

2. 4z2 − 4z + 5 = 0

3. z2 + z + 1 = 0

4. −2z2 + 6z + 5 = 0

5. z2 = −7z

6. 2z2 = 3z − 2

7. −2z + z2 + 2 = 0

8. −8 = 3z2

9. 3z2 − 2z = 1

10.z2 + 9

3= 0

11. 2z2 = z + 3

12.3 − z2

z= 3

13.3 + z

3 − z= z

14. (z − 2)2 = −4

15. (z − 2)2 = (3 + iz)2

16. z2 = 3iz

17. z2 − 3z + 18 = 0.

18. z2 + 9 = 0.

19. −z2+(1+√

3)z−√

3 = 0.

Exercice 11 : Pour θ nombre réel dans [0 ; π], on considère l’équation :

z2 − 2 cos(θ)z + 1 = 0.

1. Déterminer les valeurs de θ pour lesquelles l’équation admet une solution réelle.

2. Dans les autres cas, exprimer les solutions complexes en fonction de θ.

Exercice 12 (Une équation bi-carrée) : On cherche à résoudre dans C l’équation

z4 − 2z2 − 3 = 0 (E)

1. Démontrer que si z est une solution de (E) alors z l’est aussi.

2. On pose Z = z2. Réécrire alors (E) comme une équation en Z.

3. Résoudre cette nouvelle équation.

4. En déduire les solutions de (E) et vérifier la propriété démontrée au 1).

Exercice 13 : Résoudre l’équation suivante dans C :

(z2 + z − 3)2 + (z2 − z + 1)2 = 0

Exercice 14 : Soit l’équation dans C :

z3 − (4 + i)z2 + (13 + 4i)z − 13i = 0. (E)

1. Montrer que i est solution de l’équation.

2. Déterminer les réels a, b et c tels que :

z3 − (4 + i)z2 + (13 + 4i)z − 13i = (z − i)(az2 + bz + c).

Rep : (z − i)(z2 − 4z + 13).

3. Résoudre alors l’équation (E).

Rep : S =i; 2 − 3i; 2 + 3i

.



VI. Nombres Complexes I II. NOMBRES ET PLAN COMPLEXES

Exercice 15 : Résoudre dans C, l’équation z4 + 4z2 − 21 = 0.

Exercice 16 : On se propose de résoudre l’équation

z2 + 2iz − 2 = 0 (E)

1. Développer (z + i)2.

2. En déduire que l’équation (E) est équivalente à

(z + i)2 − 1 = 0.

3. En déduire les solutions de (E).

Exercice 17 : On étudie l’équation :

z2 + iz + c = 0 (E’)

où c est un réel.

1. Développer(

z +i2

)2

.


(z +

i2

)2

+1

4+ c = 0.

3. Quelle condition sur c faut-il imposer pour que les solutions de (E) soient des imaginairespurs ?

4. Déterminer dans ce cas les solutions de (E).

II Nombres et Plan complexes

L’application ϕ : R2 C(a; b) a + ib

réalise une bijection de R2 dans C c.-à-d. on

associe de manière unique un couple de coordonnées dans R2 et un nombre complexez = a + ib.

Proposition 6

Cette bijection permet d’identifier le plan complexe au plan usuel muni d’un repère orthonormédirect (O; −→ı ; −→ ) :

On dit que z = a + ib est l’affixe du point M (a; b) et du vecteur−−→OM , et on écrit M(z) et−−→

OM(z).

On notera que, pour A(zA) et B(zB) deux points du plan, l’affixe du vecteur−→AB est zB − zA.




II.1 Représentation des nombres complexes

— À tout nombre z = a+ ib on peut fairecorrespondre, de manière unique, unpoint M (a; b) d’un plan orthonormal(O; −→u ; −→v ).

— Réciproquement, tout point M (a; b)d’un plan orthonormal (O; −→u ; −→v )peut être associé, de manière unique,à un nombre complexe z = a + ib.

Le nombre z est alors appelé l’affixe dupoint M ou encore du vecteur

−−→OM .

1 R

i

iR

O a

bM(z = a + ib)

−−→OM

−→u

−→v

Le plan (O; −→u ; −→v ) est appelé plan complexe.

Théorème 7

Le côté bijectif de cette représentation vient du corollaire (3) . En effet, deux nombrescomplexes sont égaux si, et seulement si leur partie réelle et imaginaire sont égales.

Remarques : L’axe des abscisses est alors naturellement appelé l’axe des réels et l’axe desordonnées celui des imaginaire purs.

Exercice 18 : Placer dans le plan complexe les points Mk d’affixes zk :

1. z1 = 2 + 3i

2. z2 = 3 + i

3. z3 = −1 + 2i

4. z4 = 2 − i

5. z5 = i

6. z6 = −2i

7. z7 = −2

8. z8 = −i − 3

×M1

×M2

×M3

×M4

×M5

×M6

×M7

×M8

O

i

1

Exercice 19 : Dans chacun des cas suivants, déterminer et représenter l’ensemble des pointsM dont l’affixe z vérifie l’égalité proposée :

— Re (z) = −2, — Im (z) = 1.




Un peu de géométrie :

Soient A et B deux points du plan complexe d’affixes respectives zA = a1 + ib1 etzB = a2 + ib2.

— Le vecteur−→AB a pour affixe zB − zA = (a2 − a1) + i(b2 − b1)

— Le milieu I de [AB] a pour affixe zI =zA + zB

2

Proposition 8 (Affixe d’un vecteur et du milieu d’un segment)

Preuve:−→AB =

−−→OB − −→

OA. Le reste en découle simplement. . .

O

A(zA)

−→OA

a1

b1

MB(zB)

−−→OB

a2

b2

M(zA + zB)

−→OA +

−−→OB

a1 + a2

b1 + b2

×

I

−−→AB

a1 + a2

2

b1 + b2

2

Figure VI.1 – Affixe d’un vecteur et du milieu d’un segment.

Exercice 20 :1. Déterminer les affixes des vecteurs

−→AB,

−→AC et

−−→BC sachant que :

— zA = 1 − 3i — zB = 2 − i — zC = 3

Même question avec :

— zA = 3 −√

2i — zB = 1 + i — zC =i2

Exercice 21 :1. Placer les points A, B et C dont les affixes respectives sont : zA = −3 − 2i, zB = 5 + 2i

et zC = 1 − 3i.

2. Déterminer les affixes des vecteurs−→OA,

−→AB et

−−→BC.

3. Le quadrilatère OABC est-il un parallélogramme ?




Exercice 22 : On considère les points A, B et C d’affixes respectives : 1+ i, 2−3i et −2− i.

1. Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

2. Déterminer l’affixe du point I centre du parallélogramme.

3. Placer tous ces points dans un repère orthonormal.

Exercice 23 : Soient A, B et C trois points du plan d’affixes respectives :3 − 2i

2,

1

3− i et

−3 − i.

1. Déterminer l’affixe du milieu du segment [AB].

2. Déterminer l’affixe du symétrique de A par rapport à C.

3. Déterminer l’affixe de l’image de A par la translation de vecteur−−→BC.

Exercice 24 : On considère les points M et N d’affixes respectives zM = −3−i et zN =3 + i

3.

1. Les points O, M, N sont-ils alignés ? Démontrer votre réponse.

2. On considère le point P d’affixe 3i. Déterminer l’affixe du point Q tel que MNQP soitun parallélogramme.

II.2 Conjugué d’un nombre complexe

Soit z = a+ib un nombre complexe et M(z) un point du plan complexe (O; −→u ; −→v ) d’affixez.

— On appelle conjugué de z, noté z, lenombre z = a − ib.

— Le point M ′ d’affixe z est le symétriquede M par rapport à l’axe des abscisses.

1 R

i

iR

O

b

a

−b

M(z = a + ib)

M ′(z = a − ib)

−→u

−→v

Définition 2

Exercice 25 : Calculer les conjugués des nombres complexes suivants

z1 = 9 + i

z2 = 2 − 5i

z3 =3

7− i

√7

z4 =√

2 − 3

z5 =√

7 + iπ

z6 = 7 −(

3 +5

3i)

z7 = (3 − 5i) +√

2

z8 =3

2+ 3i + (1 − i)

z9 = (5 − i) +(√

2 + 3i)

Exercice 26 : Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique :

z1 =1

1 + iz2 =

1

−3 + iz3 =

1 − i2 + 3i




z4 =2

i

z5 =2 + i

−3 + i

z6 =7

i

z7 =1 + i1 − i

z8 =3 + 2ii − 2

z9 =1 +

√2i

1 −√

2i

z10 =i(1 + 2i)

3 − i

z11 =(

1

1 − i

)2

z12 =1

2 − i√

2+

2i1 − i

z13 = (3 + i)3 − 2i5 − i

z14 =27 + 13i21 − 2i

z15 = 7 +3 + 10i5 − 5i

z16 =5 + i5 − i

+ i

z17 =2 − i3 + i

− 2

1 − i

z18 =6 − i3 − 3i

× 2 + i2 − i

Soit z un nombre complexe, alors :

— Re (z) =z + z

2. — Im (z) =

z − z

2i.

— z ∈ R ⇐⇒ z = z. — z ∈ iR ⇐⇒ z = −z.

— zz ∈ R+.

Théorème 9 (Fondamental)

Remarque : On retiendra qu’un nombre complexe est réel si, et seulement si il est égal à sonconjugué ou encore si, et seulement si le point d’affixe M(z) appartient à l’axe des abscisses.

Preuve: On a :

z + z = a + ib + a − ib = 2a = 2Re (z) et z − z =a + ib −a + ib = 2ib = 2iIm (z) .

Le reste est trivial comme, par exemple : z = z ⇐⇒ Re (z) =2z

2⇐⇒ z ∈ R. Enfin, si

z = a + ib est sous sa forme algébrique, alors

zz = (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 ∈ R+.

1. Pour montrer qu’un nombre z est réel il faut et il suffit de calculer et montrer quez = z ou Im (z) = 0

2. Pour montrer qu’un nombre z est imaginaire pur il faut et il suffit de calculer etmontrer que z = −z ou Re (z) = 0.

Méthode 2 (Nombres réels et imaginaires purs)

Exercice 27 :

1. Montrer de deux façons différentes que pour tout z 6= 0,1

z+

1

zest un réel.

2. Montrer de deux façons différentes que pour tout z 6= 0,1

z− 1

zest un imaginaire pur.




Exercice 28 : Résoudre dans C, les équations suivantes :

1. (1 + i)z − 2i = 0 Rep : z = −1 + i.

2. (1 + i)z + 2iz = 1 − i Rep : z = −1 − 2i.

Remarque : Une fois n’est pas coutume, que l’opération « passer au conjugué » est compatibleavec l’addition et la multiplication. Fait exceptionnel !

Soit z et z′ deux nombres complexes, alors :

1. z + z′ = z + z′

2. z × z′ = z × z′

3. z = z 4.(

1

z

)=

1

z

5.(

z

z′

)=

z

z′

En particulier, ∀ n ∈ Z, zn = zn.

Proposition 10 (Propriétés du conjugué)

Preuve: Soit z = a + ib et z′ = a′ + ib′ deux nombres complexes écrits sous leur formealgébrique.

1. La première assertion est triviale.2. Calculons et comparons :

z × z′ = (a − ib)(a′ − ib′) = aa′ − bb′ − i(ab′ + a′b)

et

z × z′ = (a + ib)(a′ + ib′) = aa′ − bb′ + i(ab′ + a′b) = aa′ − bb′ − i(ab′ + a′b).

Donc z × z′ = z × z′.3. Easy.

4. Modifions tout d’abord l’expression de1

z:

1

z=

1

a + ib=

a − ib(a + ib)(a − ib)

=a − iba2 + b2

=1

a2 + b2× (a − ib).

De la même manière1

z=

1

a2 + b2× (a + ib).

Comme1

a2 + b2∈ R, il est alors clair que

(1

z

)=

1

a2 + b2× (a − ib) =

1

a2 + b2× (a − ib)

=1

a2 + b2× (a + ib) =

1

z.

5.(

z

z′

)= z × 1

z′ = z ×(

1

z′

)= z × 1

z′ =z

z′ .



VI. Nombres Complexes I III. MODULE D’UN NOMBRE COMPLEXE

Exercice 29 : Soit z, un nombre complexe, déterminer les conjugués des nombres complexessuivants

z1 = 3z

z2 = z + 5 − iz3 = z2 + 2z

z4 =z + 1

3z5 = iz + 2

z6 =i − z

z + 1

z7 = Im (z) + iRe (z)

z8 = 2z − z

z9 = z +1

z

z10 = z2 + z2

z11 = iz

z12 = z + iz

z13 = −2z

Exercice 30 : Dans le plan complexe, M est point d’affixe z = x + iy, x et y réels. À tout

complexe z, z 6= 1, on associe : Z =5z − 2

z − 1.

1. Exprimer Z + Z en fonction de z et z.

Rep : Z + Z =10zz − 7(z + z) + 4

(z − 1)(z − 1).

2. En déduire que Z est un imaginaire pur si, et seulement si M est un point d’un cercleprivé d’un point dont on précisera le centre et le rayon.

Rep :

(x − 7

10

)2

+ y2 =(

3

10

)2

.

III Module d’un nombre complexe

Soit z = a+ib un nombre complexe et M(z) un point du plan complexe (O; −→u ; −→v ) d’affixez.

On appelle module de z, noté |z|, la dis-tance OM c.-à-d. le réel positif tel que :

|z| =∥∥∥−−→OM

∥∥∥

=√

a2 + b2.1 R

i

iR

O

b

a

M(z = a + ib)

|z|

−→u

−→v

Définition 3

Exercice 31 : Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :

z1 = 3 + 4iz2 = 1 − i

z3 = −5 − 2iz4 = −5

z5 = 9i




Soient z = a + ib et z′ deux nombres complexes.

— zz = |z|2= a2 + b2.

.

En particulier, si z 6= 0 alors1

z=

z

|z|2 .

— |z| = 0 ⇐⇒ z = 0

— |−z| = |z| et |z| = |z|. — |z × z′| = |z| × |z′|.

En particulier, ∀ n ∈ Z, |zn| = |z|n.

—∣∣∣∣1

z

∣∣∣∣ =1

|z| , avec z 6= 0. —∣∣∣∣z

z′

∣∣∣∣ =|z||z′| , avec z′ 6= 0.

— |Re (z)| 6 |z|. — |Im (z)| 6 |z|.

Proposition 11

Remarque : Si a est un réel, |a| =√

a a =√

aa =√

a2 car a = a. La notion de module dansC généralise donc celle de valeur absolue dans R.

Preuve:— Il suffit de calculer : zz = (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 = |z|2.— |z| = 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 0 ⇐⇒ a = b = 0 ⇐⇒ z = 0.

Observez surtout que l’on a une équivalence entre un zéro complexe (z = 0C) et un zéroréel (|z| = 0R) !

— a2 + b2 = |−z| = |z| = |z|— |z × z′|2 = (zz′) × (zz′) = z × z′z × z′ = zz × z′z′ = |z|2 × |z′|2.

Comme les nombres ci-dessus sont des réels positifs, l’égalité précédente est équivalenteà |z × z′| = |z| × |z′|

— Enfin, on utilise la proposition (10) :

∣∣∣∣1

z

∣∣∣∣2

=1

z×(

1

z

)=

1

z× 1

z=

1

zz=

1

|z|2 =

(1

|z|

)2

.

On en déduit de même que∣∣∣∣1

z

∣∣∣∣ =1

|z| .

—∣∣∣∣z

z′

∣∣∣∣ = |z| ×∣∣∣∣1

z′

∣∣∣∣ = |z| × 1

|z′| =|z||z′| .

— Doit-on vraiment montrer que a26 a2 + b2 ?




Exercice 32 : Dans chacun des cas suivants, déterminer le module du nombre complexeproposé

1. z1 =(√

3 − i)

(−1 − i)

2. z2 =

√3 + 2√

6 + i√

2

3. z3 = i(

1 + i1 − i

)

4. z4 =

(3i

1 + i√

3

)2

Pour tout z1, z2 de C on a :∣∣∣|z1| − |z2|

∣∣∣ 6 |z1 + z2| 6 |z1| + |z2|.

En particulier, |z1 + z2| = |z1| + |z2| ⇐⇒ z2 = 0 ou ∃ α ∈ R+ tel que z1 = αz2 c.-à-d. c’està dire que les points d’affixe z1 et z2 sont alignés avec l’origine sur une même demi-droite.

Proposition 12 (Inégalité triangulaire)

ATTENTION Cauchemar du prof comme l’est l’identité remarquable (a + b)2, essayez devous rappeler qu’il y a très rarement l’égalité. Je l’aurais dit, tenté, essayé, espéré,. . .

Preuve: Pour l’inégalité de droite, on a :

|z1 + z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) = |z1|2 + |z2|2 + 2Re (z1z2) (VI.1)

6 |z1|2 + |z2|2 + 2∣∣∣Re (z1z2)

∣∣∣ (VI.2)

6 |z1|2 + |z2|2 + 2∣∣∣z1z2

∣∣∣ = |z1|2 + |z2|2 + 2|z1||z2| (VI.3)

=(|z1| + |z2|

)2. (VI.4)

Inégalité entre deux réels positifs donc |z1 + z2| 6 |z1| + |z2|.Pour l’inégalité de droite, il suffit d’écrire que |z1| = |z1+z2−z2| 6 |z1+z2|+|z2| c.-à-d. |z1|−|z2| 6 |z1+z2|.Par symétrie entre z1 et z2, on a aussi |z2| − |z1| 6 |z1 + z2|.En conclusion,

∣∣∣|z1| − |z2|∣∣∣ 6 |z1 + z2|.

Supposons avoir l’égalité |z1 + z2| = |z1| + |z2| alors les inégalités (VI.2) et (VI.3) doivent êtredes égalités c.-à-d.

2Re (z1z2) = 2∣∣∣Re (z1z2) = 2

∣∣∣z1z2

∣∣∣.

Ainsi Re (z1z2) ∈ R+ puis

Re (z1z2) =∣∣∣z1z2

∣∣∣ =⇒(Re (z1z2)

)2=∣∣∣z1z2

∣∣∣2

⇐⇒ Re (z1z2)2 = Re (z1z2)2 + Im (z1z2)

2

⇐⇒ Im (z1z2)2 = 0

En d’autres termes, le nombre z1z2 est donc un réel positif λ.

Si z2 = 0, |z1| 6 |z1| est clairement une égalité.

Sinon, on finit en écrivant, z1 = z1 × z2z2

|z2|2=

z1z2

|z2|2 × z2 =λ

|z2|2× z2 = αz2 où α =

λ

|z2|2 ∈ R+.




Réciproquement, si z1 = αz2 avec α ∈ R+, on a facilement :

|z1 + z2| = | (α + 1)︸︷︷︸>0

z2| = (α + 1)|z2| = α︸︷︷︸>0

|z2| + |z2| = |αz2| + |z2| = |z1| + |z2|.

Remarque : En remplaçant z2 par −z2, on a aussi :∣∣∣|z1| − |z2|

∣∣∣ 6 |z1 − z2| 6 |z1| + |z2|.

Quoi qu’il en soit, on a coutume de dire qu’on majore les valeurs absolues de réels et les modulesde complexes.

III.1 Interprétation géométrique du module

Soient A(zA) et B2(zB) deux points du plan complexe (O; −→u ; −→v ) d’affixes respectives zA

et zB.

— Le vecteur−→AB a pour affixe z−→

AB= zB − zA.

— ||−→OA|| = |zA|. — ||−→

AB|| = |zB − zA|.

Proposition 13 (Norme d’un vecteur)

O

B(zB)

∥∥∥−−→O

B

∥∥∥

A(zA)

∥∥∥−→OA∥∥∥

∥ ∥ ∥−−→ AB∥ ∥ ∥

∥ ∥−−→

AB∥ ∥

z B−

z A

−→u

−→v

Figure VI.2 – Inégalité triangulaire.

ATTENTION

Si le conjugué se comporte bien avec l’addition, il n’en est rien avec le module qui estd’une nature multiplicative.Comme en sixième, on retrouve seulement l’inégalité dite triangulaire :

|zB − zA| 6 |zB| + |zA|.Dans le triangle OAB, la longueur du côté AB est inférieure à la somme des deuxautres OA et OB.

Dans le plan complexe, si on note M(z) ou ~U(z), alors |z| représente la distance OM ou lanorme du vecteur ~U . Si M ′(z′) désigne un autre point, |z′ − z| représentera la distance MM ′.




L’inégalité triangulaire peut s’interpréter géométriquement de la manière suivante : si z et z′

représentent les affixes de deux vecteurs ~U et ~V alors :∥∥∥~U + ~V

∥∥∥ 6∥∥∥~U∥∥∥ +

∥∥∥~V∥∥∥.

Le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire correspond au cas où les vecteurs ~u et ~v sontcolinéaires de même sens.

O

M ′′(z + z′)

−→U

+−→V

M(z)−→U

−→ V

−→u

−→v

Figure VI.3 – Inégalité triangulaire pour les normes de vecteurs.

III.2 Ensembles de points

Il s’agit de déterminer un ensemble (E ) de points M du plan complexe dont les affixes zvérifient une certaine propriété.

Définition 4 (Ensemble de points)

Exercice 33 : Dans le plan complexe, représenter les points M d’affixe z satisfaisant lesconditions suivantes :

1. |z| = 3

2. |z − 3| = 2

3. |z − i| = 5

4. |z − 2| = 4

5. |z + i| = 5

6. |z − 2| = |z − 8|7. |2z − i| = 1

8. |z − 3| = |z + 4|

9.∣∣∣∣z + 1

z + 2

∣∣∣∣ = 1

10.|3z − 2||z + 3i| = 1

11. |z − 1 + i| = |z − i|.

Exercice 34 (Une équation de degré 3) : On considère l’équation d’inconnue z ∈ C :

z3 − z2 + 2 = 0 (E)

1. Vérifier que z3 − z2 + 2 = (z + 1)(z2 − 2z + 2) pour tout nombre complexe z.

2. En déduire la résolution de l’équation (E).

3. Placer dans un repère orthonormé les points dont les affixes sont des solutions de l’équa-tion.

4. Démontrer que le triangle obtenu est isocèle.

Exercice 35 : Montrer que pour tout t ∈ R, le point d’affixe2

1 + itappartient au cercle de

centre 1 et de rayon 1.




Soit ω ∈ C et r ∈ R+.

— L’ensemble des points M(z) du plan tels que |z − ω| = r est le cercle de centre ω etde rayon r.

— L’ensemble des points M(z) du plan tels que |z − ω| < r (resp. |z − w| 6 r) est ledisque ouvert (resp. fermé) de centre ω et de rayon r.

Proposition 14 (Ouverts et fermés de C)

××

ω

r

Disque fermé

××

ω

r

Disque ouvert

××

ω

r

Cercle

Figure VI.4 – Topologie de C.

Remarque : « ouvert » signifiant ne contenant pas les points du cercle contrairement au disquefermé.

Exemple 4 : Soit A(zA) et B(zB) deux points du plan complexe.

— (E ) : |z − zA| = r avec r > 0 ⇐⇒ (E ) : AM = r.

(E ) est le cercle de centre A et de rayon r.

— (E ) : |z − zA| = |z − zB| ⇐⇒ (E ) : AM = BM .

(E ) est la médiatrice du segment [AB].

Exercice 36 :1. Traduire géométriquement la condition

(z − i)(z − i) = 9

2. Développer et simplifier autant que possible l’expression (z − i)(z − i).

3. Représenter dans le plan complexe l’ensemble des points dont l’affixe z vérifie

|z|2 − 2Im (z) = 8.

Exercice 37 : Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O; −→u ; −→v ). On considère

les points A, B d’affixes respectives : zA = 1 et zB = −1

2+

√3

2i. Soit C le symétrique de B

par rapport à l’axe des abscisses.

1. (a) Faire une figure en prenant pour unité 4cm.

(b) Donner l’affixe du point C.

(c) Calculer |zB − zA| en détaillant le calcul.



VI. Nombres Complexes I IV. ARGUMENT D’UN NOMBRE COMPLEXE

(d) Calculer |zC − zA| et |zC − zB|.(e) Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. On note I, J, K les projetés orthogonaux du point O sur les droites (BC), (AC) et (AB).On désigne par zI , zJ et zK leurs affixes.

(a) Déterminer zI , zJ et zK et donner leurs modules.

(b) En déduire LO = OI + OJ + OK en justifiant la réponse.

Exercice 38 : On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé (O; −→u ; −→v ).

1. Résoudre dans C l’équation z2 + z + 1 = 0. On appellera z1 et z2 les deux solutionsobtenues.

2. On appelle A le point d’affixe zA = 1, et B et C les points d’affixes z1 et z2.

(a) Calculer AB, AC et BC.

(b) En déduire la nature du triangle ABC.

IV Argument d’un nombre complexe

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé (O; −→u ; −→v ), la donnée de deux réels a etb permet de définir un unique point M de coordonnées (a; b).

IV.1 Forme trigonométrique

On peut tout aussi bien définir cet unique point par la donnée d’un réel positif r, la distanceOM , et d’un angle θ =

(−→u ;−−→OM

).

Soit z = a + ib un nombre complexe et M(z) un point du plan complexe (O; −→u ; −→v )d’affixe z.

Pour z 6= 0, on appelle argument de z, notéarg z, toute mesure de l’angle orienté

θ ≡(−→u ;

−−→OM

)[2π] .

En particulier, on a :

cos θ =a

|z| et sin θ =b

|z| .1 a = |z| cos θ R

i

b = |z| sin θ

iR

O

M(z = a + ib)

|z|

arg z ≡ θ

−→u

−→v

Tout nombre complexe non nul z peut s’écrire sous la forme

z = r(cos θ + i sin θ) où

r = |z| ∈ R∗+

θ ≡ arg z [2π] .

Cette écriture s’appelle la forme trigonométrique de z.

Définition 5 (Forme trigonométrique)




Un nombre complexe non nul a une infinité d’arguments, si θ est un argument de z alors θ+2kπavec k ∈ Z est aussi un argument de z.

ATTENTION Le réel r correspond au module, on verra donc toujours bien attention à cequ’il soit un nombre réel positif.

Exemple 5 : Trouver un argument des nombres complexes suivants :

1. z1 = −2 + 2i :

cos θ = − 2

|−2 + 2i| = − 2

2√

2= −

√2

2

sin θ =2

|2 + 2i| =2

2√

2=

√2

2

=⇒ θ ≡ 3π

4[2π] .

Donc arg(−2 + 2i) =3π

4.

2. z2 = 1 − i√

3 :

cos θ =1∣∣∣1 − i

√3∣∣∣

=1

2

sin θ = −√

3∣∣∣1 − i√

3∣∣∣

= −√

3

2

=⇒ θ ≡ −π

3[2π].

Donc arg(1 − i

√3)

= −π

3.

Connaissant la forme algébrique d’un nombre complexe, on peut donc obtenir son module etson argument à partir de ses parties réelles et imaginaires.

On obtiendra alors une mesure exacte de θ si cos θ et sin θ sont des valeurs connues comme1

2,

√2

2,

√3

2, 1, . . . . Sinon, on obtiendra une valeur approchée à l’aide de la calculatrice.

Soit z = a + ib un nombre complexe sous sa forme algébrique.

1. On calcule |z| =√

a2 + b2.

2. On cherche l’angle θ tel que cos θ =a

|z| et sin θ =b

|z| .

Une autre méthode est, le module trouvé, de factoriser par celui-ci et de reconnaître direc-tement cos θ et sin θ dans l’expression

z = |z|(

a

|z| + ib

|z|

).

Méthode 3 (Forme trigonométrique d’un nombre complexe)

Exercice 39 : Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants puisdonner leur forme trigonométrique.

z1 = 1 + i,z2 = 1 −

√3i,

z3 = −4 + 3i.z4 = 7

z5 = 2i

z6 =−1 + i

3

z7 =√

3 + i

z8 =√

2 + i√

6

z9 = i(1 + i)z10 = (3 − i)(2i + 1)

z11 = i√

3 + 1




z12 = −2 − 2i

z13 = −5

z14 = −2 + 2i√

3

z15 =1

2+

i

2

z16 =1

3− i

3

Exercice 40 : Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :

z1 = 2(

cos(

π

2

)+ i sin

(π

2

))

z2 = 5(

cos(

π

3

)+ i sin

(π

3

))

z3 = cos(π) + i sin(π)

z4 = 3(

cos(

3π

2

)+ i sin

(3π

2

))

z5 =√

2(

cos(

2π

3

)+ i sin

(2π

3

))

z6 =2

3

(cos

(−π

6

)+ i sin

(−π

6

))

z7 = 2(

cos(

4π

3

)+ i sin

(4π

3

))

z8 = cos(

7π

6

)+ i sin

(7π

6

)

Exemples 6 (Factorisation directe) :

— Quelle est la forme trigonométrique de z1 = 1 + i√

3 ?

1. Tout d’abord, on calcule |z1| =∣∣∣1 + i

√3∣∣∣ =

√1 + 3 = 2.

2. Puis, on factorise l’expression de z1 par |z1| :

z1 = 2

(1

2+ i

√3

2=

).

3. On cherche, sur le cercle trigonométrique quel est l’angle qui a pour cosinus1

2et

pour sinus

√3

2. C’est

π

3[2π].

D’où z1 = 2

cos

π

3+ i sin

π

3

.

— Quelle est la forme algébrique de z2 =1√3

cos

(5π

6

)+ i sin

(5π

6

) ?

Il suffit de calculer et développer :

z2 =1√3

−

√3

2+

1

2i

.

Donc z2 = −1

2+

√3

6i.

Exemple 7 : Déterminer la forme trigonométrique des nombres suivants :

— z1 = 1 − i :

|1 − i| =√

2

cos θ =1√2

sin θ = − 1√2

D’où r =√

2, θ ≡ −π

4[2π] et z1 = 1 − i =

√2[cos

(−π

4

)+ i sin

(−π

4

)]

=√

2[cos

(π

4

)− i sin

(π

4

)].




— z2 = −√

3 + i :

∣∣∣−√

3 + i∣∣∣ = 2

cos θ = −√

3

2

sin θ =1

2

D’où r = 2, θ ≡ −π

6et z2 = −

√3 + i = 2

[cos

(−π

6

)+ i sin

(−π

6

)]

= 2[cos

(π

6

)− i sin

(π

6

)].

Remarque : Dans certains cas, il est inutile de faire tous les calculs : la forme trigonométriquese « voit » :

— 1 = cos 0 + i sin 0 donc |1| = 1 et arg(1) = 0

— i = cos(

π

2

)+ i sin

(π

2

)donc |i| = 1 et arg(i) =

π

2Avant d’aller plus avant, un théorème simple mais qui sera d’importance en géométrie :

Soit z un nombre complexe non nul.

— z ∈ R ⇐⇒ arg z ≡ 0 ou π [2π] ⇐⇒ arg z ≡ 0 [π].

— z ∈ iR ⇐⇒ arg z ≡ ±π

2[2π] ⇐⇒ arg z ≡ π

2[π].

Théorème 15 (Caractérisation d’un réel, d’un imaginaire pur)

R

iR

π

2

−π

2

π

−π

Figure VI.5 – Réels et imaginaires purs caractérisés par leur argument.




IV.2 Argument et Angle (première partie)

Soient A(zA) et B(zB) deux points du plan complexe (O; −→u ; −→v ) d’affixes respectives zA

et zB.

—(−→u ;

−→OA

)≡ arg zA [2π]. —

(−→u ;−→AB

)≡ arg

(zB − zA

)[2π].

—(−→OA;

−−→OB

)≡ arg

zB

zA≡ arg zB − arg zA [2π] .

Proposition 16 (Angle de deux vecteurs)

O

A(zA)

B(zB)

arg(zA)

arg(zB)

arg(zB − zA

)

−→u

−→v

Figure VI.6 – Angle de deux vecteurs

Preuve:(−→OA;

−−→OB

)≡(−→u ;

−−→OB

)−(−→u ;

−→OA

)

≡ arg zB − arg zA ≡ argzB

zA[2π] .

Enfin, pour la dernière assertion, il existe un unique point M tel que−−→OM =

−→AB c.-à-d. zM = zB−zA.

On applique alors les résultats précédents :(−→u ;

−→AB

)≡(−→u ;

−−→OM

)≡ arg

(zB − zA

)[2π] .

Exemple 8 : On donne A(2+i) et B(−1−2i). Déterminer les coordonnées du−→AB, la distance

AB et l’angle(−→u ;

−→AB

).

— z−→AB

= zB − zA = −1 − 2i − 2 − i = −3 − 3i. Donc−→AB (−3; −3).

— AB = |zB − zA| = |−3 − 3i| = 3√

2.

—cos θ = − 3

3√

2= −

√2

2

sin θ = − 3

3√

2= −

√2

2

=⇒ θ ≡ −3π

4[2π]. Donc

(−→u ;−→AB

)≡ −3π

4[2π].




Exercice 41 : Dans le plan complexe, représenter les points M d’affixe z satisfaisant lesconditions suivantes :

1. arg(z − 1) =π

2

2. 2 arg(z) = 0

3. arg(z) =2π

3

4. arg(z − i) = −π

4

5. arg(z − 1 − 2i) =π

3

6. arg(z − 3i + 1) =3π

2

7. arg(z) = −3π

4et |z| = 2.



Thème: G – Nombres Complexes TS SI - Test no 9

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G Nombres Complexes

1. Donner la forme algébrique des nombres suivants :

(a)2

1 + i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b)(√

2 + i) (√

2 − i)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Factoriser les expressions suivantes :

(a) (z − 1)2 − 1

4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) (z + 1)2 + 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c) 5z2 − 2z + 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Placer dans le plan complexe les points Mk d’affixes zk :

(a) z1 = 2 + i

(b) z2 = −i

(c) z3 =√

2

(d) z4 =2

1 + iO

i

1



Thème: D – Nombres Complexes TS SI - Test no 9

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D Nombres Complexes

1. Donner la forme algébrique des nombres suivants :

(a)2

1 − i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b)(

1

2+ i)(

1

2− i)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Factoriser les expressions suivantes :

(a) (z − 1)2 − 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) (z + 1)2 +1

4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(c) z2 − 2z + 5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Placer dans le plan complexe les points Mk d’affixes zk :

(a) z1 = −2 + i

(b) z2 = i

(c) z3 =7

5

(d) z4 =2

1 − i

O

i

1



Thème: G – Nombres Complexes TS SI - Test no 10

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G Nombres Complexes

1. Résoudre dans C, l’équationiz + 1

z − 3i= 2 + i.

iz + 1

z − 3i= 2 + i ⇐⇒ 2z = 6i − 2 ⇐⇒ z = −1 + 3i.

2. Résoudre dans C, l’équation 2z2 = z + 3.

2z2 − z − 3 = 2(z + 1)(

z − 3

2

)donc z1 = −1 et z2 =

3

2.

3. Mettre le nombre complexe suivant sous forme algébrique z1 = (3 + i)3 − 2i5 − i

.

z1 =29

13− 2

13i.

4. Déterminer le conjugué du nombre complexe z2 = iz + 2.

z2 = −iz + 2.

5. Calculer le module du nombre complexe z3 = 3 + 4i.

|z3| = 5.



Thème: D – Nombres Complexes TS SI - Test no 10

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D Nombres Complexes

1. Résoudre dans C, l’équation2iz + i

z − 1 − i= 3.

2iz + iz − 1 − i

= 3 ⇐⇒ (2i − 3)z = −3 − 4i ⇐⇒ z = −3 + 4i2i − 3

=1

13− 18

13i.

2. Résoudre dans C, l’équation3 − z2

z= 3.

∆ = 21 > 0 donc z1 =−3 +

√21

2et z2 =

−3 −√

21

2.

3. Mettre le nombre complexe suivant sous forme algébrique z1 =2 − i3 + i

− 2

1 − i.

z1 = −1

2− 3

2i.

4. Déterminer le conjugué du nombre complexe z2 = 2z − z.

z2 = 2z − z.

5. Calculer le module du nombre complexe z3 = −5 − 2i.

|z3| =√

29.



Thème: Nombres Complexes et Géométrie TS-SI - Devoir en temps libre no 6

Nombres Complexes etGéométrie

Exercice 1 : On étudie l’équation :

z2 + iz + c = 0 (E)

où c est un réel.

1. Développer(

z +i2

)2

.


(z +

i2

)2

+1 + 4c

4= 0.

3. Quelle condition sur c faut-il imposer pour que les solutions de (E) soient des imaginairespurs ?

4. Déterminer dans ce cas les solutions de (E).

Exercice 2 :1. Traduire géométriquement la condition

(z − i)(z − i) = 9

2. Développer et simplifier autant que possible l’expression (z − i)(z − i).

3. Représenter dans le plan complexe l’ensemble des points dont l’affixe z vérifie

|z|2 − 2Im (z) = 8.

Exercice 3 : Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O; −→u ; −→v ). On considère

les points A, B d’affixes respectives : zA = 1 et zB = −1

2+

√3

2i. Soit C le symétrique de B

par rapport à l’axe des abscisses.

1. (a) Faire une figure en prenant pour unité 4cm.

(b) Donner l’affixe du point C.

(c) Calculer |zB − zA| en détaillant le calcul.

(d) Calculer |zC − zA| et |zC − zB|.(e) Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. On note I, J, K les projetés orthogonaux du point O sur les droites (BC), (AC) et (AB).On désigne par zI , zJ et zK leurs affixes.

(a) Déterminer zI , zJ et zK et donner leurs modules.

(b) En déduire la longueur LO = OI + OJ + OK en justifiant la réponse.



Chapitre

VII

L’exponentielle

Ala toute fin du XIXème siècle, Marie et Pierre Curie mettent en évidence des élémentsradioactifs comme l’uranium, le polonium et le radium.

Des atomes de ces éléments radioactifs se désintègrent en permanence. Partant d’une quantitéinitiale N0, si on désigne par N(t) la quantité d’atomes de radium à l’instant t et N ′(t) la varia-tion de celle-ci alors on peut montrer que cette variation à un instant donné est proportionnelleà la quantité d’atomes encore présents :

N(0) = N0

N ′(t) = −kN(t).

En résolvant cette équation, on peut donc connaître à chaque instant t le nombre d’atomeN(t). Ceci est, par exemple, appliqué pour la datation au carbone 14 de matière or-ganique. Le carbone 14 est un isotope radioactif du carbone : connaissant le nombre

d’atomes de carbone 14 présents et qui se sont désintégrés, on détermine la durée qu’à priscette désintégration, c’est-à-dire l’âge de la matière organique.

La quantité N(t) est donc solution de l’équation différentielle ⌊1⌋ f ′ = −kf .

La fonction que nous cherchons est la solution principale de cette équation. . .

SommaireI La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

I.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Approche graphique de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . 233Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Approximation de exp(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

I.2 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235I.3 Dérivée d’une composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237I.4 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

II Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240II.1 Stricte monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240II.2 Limites de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241II.3 Fonctions gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246II.4 Fonctions d’atténuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Activité no 10 : Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

⌊1⌋. Une équation liant une fonction à sa dérivée (sa différentielle).

231

VII. L’exponentielle I. LA FONCTION EXPONENTIELLE

Approche graphique de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . 251Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Approximation de exp(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Test no 11 : G – Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254Fiche no 8 : Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Devoir surveillé no 4 : Nombres Complexes et Exponentielle . . . . . . 258

I La fonction exponentielle

Si f est une fonction dérivable sur R telle que f ′ = f et f(0) = 1 alors f ne s’annule passur R.

Lemme 1

Preuve: Posons ϕ la fonction définie sur R par : ϕ(x) = f(x) × f(−x). Montrons que ϕest constante sur R.

Comme produit de fonctions dérivables, ϕ est dérivable sur R et on a :

ϕ′(x) = f ′(x)f(−x) − f(x)f ′(−x).

Or, f ′ = f .

D’où ϕ′(x) = f(x)f(−x) − f(x)f(−x) = 0. La fonction ϕ est donc constante sur R.

Comme ϕ(0) = f(0) × f(0) = 1, ∀x ∈ R, ϕ(x) = 1 c.-à-d. ∀x ∈ R, f(x)f(−x) = 1. La fonctionf ne peut s’annuler et on a la propriété supplémentaire :

f(−x) =1

f(x). (VII.1)

I.1 Généralités

Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que :

f ′ = f et f(0) = 1.

On nomme cette fonction exponentielle et on la note : exp ou e.

exp : R R∗+

x exavec

(ex)′

= ex et e0 = 1.

Théorème 2




Preuve: L’existence de cette fonction est admise. ⌊2⌋

Démontrons l’unicité :

On suppose donc que deux fonctions f et g vérifient les conditions du théorème c.-à-d. f = f ′,g′ = g et f(0) = g(0) = 1.

Comme g ne s’annule pas d’après le lemme (1) , on peut définir la fonction h par h(x) =f(x)

g(x).

Notre objectif va encore être de montrer que h est constante à 1 cette fois.

Quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas, h est dérivable sur Ret, sous les hypothèses f ′ = f et g′ = g, on a :

h′ =f ′g − fg′

g2=

fg − fg

h= 0.

La fonction h est donc constante à h(0) =f(0)

g(0)= 1 c.-à-d. ∀ x ∈ R, f(x) = g(x).

L’unicité est ainsi prouvée. Nous pourrons ainsi noter par la suite cette fonction exp.

Approche graphique de la fonction exponentielle

Il est nul besoin d’en savoir plus pour avoir une allure de l’exponentielle.

A la manière des physiciens, la méthode d’Euler, utilisée en son temps dans le même but, donneune très bonne approximation de la courbe.

Rappelons-nous le chapitre précédent : une bonne approximation affine de la courbe d’unefonction dérivable f est donnée par

f(a + h) ≈ f(a) + hf ′(a), lorsque h est assez voisin de 0.

Comme f ′(a) = f(a), cette expression se simplifie et on a :

f(a + h) ≈ (1 + h)f(a). (VII.2)

Méthode d’Euler

Partant de y0 = f(0) = 1, la méthode d’Eulerconduit à considérer la suite

y0 = 1

yn+1 = (1 + h)yn,

où le réel h représente le pas et a été fixé àl’avance.

On trace alors les points An (nh; yn).

⌊2⌋. Vous montrerez plus tard que la fonction x 7−→∞∑

n=0

xn

n!répond à la question.




b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bbbbbbbb

1

1

A0

A2

A3

A4

Méthode d’Euler avec un pas h = 0, 25.

Algorithme

Pour cela on choisit un pas h et un nombre Nde points à tracer.

Pour initialiser la boucle, on partira du pointA0 de coordonnées (0; 1) car f(0) = 1.

On fera alors deux boucles pour déterminer lespoints situé à droite de A0 (on incrémente lesabscisses de h à chaque étape) et les pointssitués à gauche de A0 (on incrémente les abs-cisses de −h).

On obtient la courbe ci-dessus pour h = 0, 25et N = 6.

1: VARIABLES

2: N, α, I, r SONT_DU_TYPE ENTIER NATUREL

3: X, Y , h SONT_DU_TYPE REEL

4: DEBUT ALGORITHME

5: Lire N, h6: X PREND_LA_VALEUR 07: Y PREND_LA_VALEUR 18: Tracer le point (X; Y )9: POUR I ALLANT_DE 1 A N

10: DEBUT POUR

11: X PREND_LA_VALEUR X + h12: Y PREND_LA_VALEUR (1 + h) Y13: Tracer le point (X; Y )14: FIN POUR

15: X PREND_LA_VALEUR 016: Y PREND_LA_VALEUR 117: POUR I ALLANT_DE 1 A N18: DEBUT POUR

19: X PREND_LA_VALEUR X − h20: Y PREND_LA_VALEUR (1 − h) Y21: Tracer le point (X; Y )22: FIN POUR

23: FIN ALGORITHME

Approximation de exp(1)

Considérons l’intervalle [0 ; 1 ] que l’on partage en n intervalles de même amplitude h =1

n,

n ∈ N∗.

D’après (VII.6), on a alors :

∀x0 ∈ [0 ; 1 ], exp(x0 + h) ≈ (1 + h) exp(x0).

En prenant x0 = 0, on obtient alors :

exp(

1

n

)≈(

1 +1

n

)exp(0) =

(1 +

1

n

).

Par le même procédé, on a aussi :




exp(

2

n

)≈ exp

(1

n+

1

n

)=(

1 +1

n

)exp

(1

n

)=(

1 +1

n

)(1 +

1

n

)

≈(

1 +1

n

)2

.

Par récurrence sur k ∈ N, on montre alors facilement que l’on a la relation :

∀ k ∈ N∗, exp

(k

n

)≈(

1 +1

n

)k

.

Enfin, pour k = n etn

n= 1, on obtient :

∀n ∈ N∗, exp(1) ≈(

1 +1

n

)n

.

Suite convergente vers exp(1) qui permit de trouver les premières approximation de exp(1). Ala calculatrice, on trouve :

exp(1) ≃ 2, 71828182845904523.

I.2 Propriétés algébriques

Soient a et b deux réels, on a alors :

ea+b = ea × eb. (VII.3)

— e−a =1

ea— ea−b =

ea

eb— ena =

(ea)n

En particulier, e = exp(1)

≃ 2, 7182818284590452353602874713526624977572

4709369995957496696762772407663035354759 . . . ⌊3⌋

.

Théorème 3

Remarquez que la fonction exponentielle se comporte donc comme les fonctions puissance :

an+m = an × am, a−n =1

an, (an)m = anm, et bien sûr a0 = 1.

Remarque : A l’aide de (VII.3), on peut montrer, par exemple, de manière très élégante lelemme (1) :

1 = exp 0 = exp(x − x) = exp(x) × exp(−x) =⇒ ∀x ∈ R, exp(x) 6= 0.

⌊3⌋. A apprendre par cœur. ;-)




Preuve: Posons h la fonction définie sur R par h(x) =exp(x + a)

exp(a). Montrer le théorème

revient alors à montrer que h = exp c.-à-d. h est dérivable sur R et vérifie h′ = h et h(0) = 1.

Que h soit dérivable sur R est clair et on a :

∀x ∈ R, h′(x) =exp′(x + a)

exp(a)=

exp(x + a)

exp(a)= h(x).

Enfin, h(0) =exp(a)

exp(a)= 1.

Conclusion, h = exp. Puis, avec exp(a) 6= 0, on obtient :

∀x ∈ R, exp(x) × exp(a) = exp(x + a).

— e−a =1

eaest une conséquence de la relation (VII.1) dans la démonstration du lemme (1)

.

— Un mélange de (VII.3) et (VII.1) donne :

exp(a − b) = exp(a + (−b)

)= exp(a) × exp(−b) =

exp(a)

exp(b).

— Par récurrence sur n avec :

— exp(0 × a) = exp(0) = 1 =(

exp(a))0

pour l’initialisation,

— et exp((n + 1)a

)= exp(na) × exp(a) =

(exp(a)

)n × exp(a) =(

exp(a))n+1

pourl’hérédité.

On dit que la fonction exponentielle est un morphisme de groupes entre(R, +

)et(R∗, ×

):

elle transforme les sommes en produits .


1. exp(3) exp(5)

2. exp(−2) exp(4)

3.1

exp(−5)

4. (exp(5))3

5. e3e4

6. e4e−4

7.e5e−3

e−2

8.(e4)3

e4

9.(e3)−2

e5

10.e − √

e√e − 1

11.(e5 − e4

)2 −(e5 + e4

)2

12.(e2 + e−2

) (e2 − e−2

)

13.e3 − e−3

e3 + e−3

14.√

(e2 + 1)2 − (e2 − 1)2

15. ee2x+1

16. e3−2xex+5

17.(e5x)2

18. e9x − 2(e3x)3

19. exe−x

20. exe−x+1

21. ee−x

22.(e−x

)2

23. ex(ex + e−x

)

24. (ex)5(e−2x

)2

25.(ex)3

e2x

26.√

e−2x

27.e−4xe

(e−x)2





1.(ex + e−x

)2 −(ex − e−x

)2

2.(ex − e−x

)2 − e−x(e3x − e−x

)

3.(ex − e−x

) (e2x + ex + 1

)

4.(e3x)2

+(e−3x

)2 −(e3x − e−3x

)2

5.(e2x)2 − e2x

(e2x + e−2x

)2

I.3 Dérivée d’une composée

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I. Alors :(eu)′

= u′ × eu.

Proposition 4

Preuve: Simple application de la formule de la dérivée d’une fonction composée.

Exercice 3 : Soit une fonction f définie sur R par la donnée de f(x). On admet que f estdérivable sur R.

Déterminer une expression de f ′(x).

1. f(x) = e−x

2. f(x) =x

2e

x2

3. f(x) = ex2+x

4. f(x) = xex+1

5. f(x) = ex2+1

6. f(x) =(x2 + 1

)e3x+1

7. f(x) =1 − e−2x

ex

8. f(x) =1 − e−2x

1 + e2x




I.4 Représentation graphique

0 1 2 3 4−1−2−3−40

2

4

6

8

y=

ex

y=

x+

1

(T0)

(T1)ex

e

x

exp′(x)

exp

−∞ +∞

+

00

+∞+∞

0

1

1

e

1. La fonction exponentielle est strictement positive sur R.En particulier, ∀x ∈ R, ex 6=0.

2. La fonction exp est continue et dérivable sur R.

3. La fonction exp est strictement croissante de R dans R∗+ = ]0 ; +∞ [.

4. limx→+∞

ex = +∞. 5. limx→−∞

ex = 0+.

En particulier, l’axe des abscisses est asymptote à la courbe en −∞ .

Théorème 5

Preuve:1. On sait déjà, d’après le lemme (1) , que exp(x) 6= 0 pour tout réel.

De plus, la fonction exponentielle est continue car dérivable sur R. S’il existait un réel atel que exp(a) < 0, d’après le théorème des valeurs intermédiaires il existerait un réel αtel que exp(α) = 0 ce qui est impossible.La fonction exponentielle est donc strictement positive.

2. Par définition, exp est dérivable sur R donc également continue.3. Immédiat aussi avec exp′(x) = exp(x) > 0.




4. On va utiliser les théorème de comparaison, en étudiant la fonction f définie par f(x) = ex−x.f est dérivable sur R et on a f ′(x) = ex − 1.La fonction exp est strictement croissante et on a e0 = 1 d’où le signe de la dérivée et letableau de variations :

x

f ′(x)

f

−∞ 0 +∞

− 0 +

11

Du tableau de variation, on en déduit que ∀ x ∈ R, f(x) > 0 ⇐⇒ ex > x.D’après le théorème de comparaison, on en déduit lim

x→+∞ex = +∞.

Enfin, limx→−∞

ex = limX→+∞

e−X = limX→+∞

1

eX= 0.

Exercice 4 (Antilles-Guyane 2017) : Soient f et g les fonctions définies sur l’ensembleR des nombres réels par

f(x) = ex et g(x) = e−x.

On note Cf la courbe représentative de la fonction f et Cg celle de la fonction g dans un repèreorthonormé du plan.

Pour tout réel a, on note M le point de Cf d’abscisse a et N le point de Cg d’abscisse a.

La tangente en M à Cf coupe l’axe des abscisses en P , la tangente en N à Cg coupe l’axe desabscisses en Q.

À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on a représenté la situation pour différentesvaleurs de a et on a relevé dans un tableur la longueur du segment [P Q] pour chacune de cesvaleurs de a.

0 1 2−1−20

−1

1

2

3

A B1 Abscisse a Longueur P Q

2 −3 23 −2, 5 24 −2 25 −1, 5 26 −1 27 −0, 5 28 0 29 0,5 210 1 211 1,5 212 2 213 2,5 214



VII. L’exponentielle II. COMPLÉMENTS

Les questions 1 et 2 peuvent être traitées de manière indépendante.

1. Démontrer que la tangente en M à Cf est perpendiculaire à la tangente en N à Cg.

2. (a) Que peut-on conjecturer pour la longueur P Q ?

(b) Démontrer cette conjecture.

Exercice 5 (Pondichéry 2015) :

Soit f la fonction définie sur R par :

f(x) =3

1 + e−2x.

Sur le graphique ci-contre, on a tracé, dans unrepère orthogonal (O; −→ı ; −→ ), la courbe repré-sentative C de la fonction f et la droite (∆)d’équation y = 3.

0 1 2 3 4-1-2

1

2

3

−→ı

−→C

(∆)

1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur R.

2. Justifier que la droite (∆) est asymptote à la courbe C .

3. Démontrer que l’équation f(x) = 2, 999 admet une unique solution α sur R.Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−2.

II Compléments

II.1 Stricte monotonie

Soient a et b deux réels. On a les équivalences suivantes :

— ea = eb ⇐⇒ a = b. — ea < eb ⇐⇒ a < b.

Théorème 6

En particulier, — ea = 1 ⇐⇒ a = 0. — ea > 1 ⇐⇒ a > 0.

Preuve: Simple conséquences de la stricte croissance de la fonction exp.

Exercice 6 :1. Résoudre dans R, l’équation e2x2+3 = e7x.

2. Résoudre dans R, l’inéquation e3x = ex+6.

Exercice 7 : Résoudre les équations suivantes dans R :

1. exp(x) = e

2. exp(−x) = 1

3. exp(2x − 1) = e

4. ex2+x = 1

5. ex − e−x = 0

6. ex2+5 =(ex+2

)2

7. ex + e−x = 0

8. e3x+1 = e−2x+3

9. e2x − 1 = 0




10. xe2x − 2e2x = 0

11. exp(x) < e

12. exp(−x) > 1

13. e2x−1 > ex

14. ex + e−x < 2

15. ex < 1

16. e−x > 0

17. e−x > 1

18. ex − e−x > 0

19. e2x − 1 > 0

20. xe−x − 3e−x < 0

Exercice 8 :1. Déterminer les racines du polynôme P (X) = X2 + 4X − 5.

2. En déduire les solutions de l’équation e2x + 4ex = 5.

3. Résoudre les équations suivantes :

(a) e2x + ex − 2 = 0 (b) e2x+1 + ex+1 − 2e = 0 (c) ex − 2e−x + 1 = 0

Exercice 9 : Résoudre sur R les inéquations suivantes :

1.ex + 3

ex − 1> 0

2. −e2x − ex + 2 > 0

3. e2x + 2ex − 3 > 0

4. e2x + ex − 2 < 0

5. ex2+2 =e2x

e6. 2e2x + 5ex + 3 = 0

7. ex + e−x >√

e +1√e

8. ex2

+ 1 6 2

Exercice 10 : Résoudre dans R l’équatione1−2x + e2x−1

e + e−1= 1.

II.2 Limites de référence

— limx→+∞

ex

x= +∞. — lim

x→−∞xex = 0−.

— limx→0

ex − 1

x= 1.

Théorème 7 (Croissance comparée)

Le terme de « croissance comparée » provient du fait que les premières limites expriment qu’enl’infini (+ ou −), la fonction exponentielle est prépondérante sur la fonction x ⌊4⌋ tandis que ladernière montre que la fonction ex − 1 se comportent comme la fonction x au voisinage de 0.

Exemple 1 : Calcul de limx→−∞

x + e−x.

On a x + e−x = e−x(

x

e−x+ 1

)= e−x

(xex + 1

).

Comme limx→−∞

xex = 0, d’après les théorèmes sur les sommes de limites, on a

limx→−∞

(xex + 1

)= 1 puis, d’après les théorèmes sur les produits de limites :

limx→−∞

e−x(xex + 1

)= lim

x→−∞e−x × 1 =

↑u=−x

limu→+∞

eu = +∞.

⌊4⌋. et donc, toutes les puissances de x.




Preuve:— La démonstration découle de la définition de la dérivée de exp en 0 :

limx→0

ex − 1

x= lim

x→0

ex − e0

x=(

exp)′

(0) = e0 = 1.

— L’idée est la même que pour la démonstration de la proposition (3) . On compare cette

fois exp x àx2

2en posant f la fonction définie par f(x) = ex − x2

2clairement dérivable

sur R. ⌊5⌋

On a f ′(x) = ex − x > 0 d’après la démonstration de la proposition (3) donc f eststrictement croissante sur R et minorée par f(0) = 0 sur R+.

On en déduit que, ∀x ∈ R+, ex >x2

2⇐⇒ ex

x>

x

2.

Comme limx→+∞

x

2= +∞, d’après le théorème de comparaison, on en déduit que :

limx→+∞

ex

x= +∞.

— Enfin, pour la deuxième limite, on se ramène à la précédente par un changement devariable judicieux :

limx→−∞

xex = limX→+∞

−Xe−X = limX→+∞

− X

eX= − 1

limX→+∞

eX

X

= 0.


1. limx→−∞

e−x

2. limx→−∞

ex

x

3. limx→+∞

x

ex

4. limx→+∞

e−x+1

5. limx→−∞

e2x+1

6. limx→+∞

e−x2+1

7. limx→+∞

e1x

8. limx→0x<0

e1x

9. limx→0x<0

e− 1x

10. limx→+∞

ex2

e−x

11. limx→−∞

ex (x − 1)

12. limx→+∞

ex + 1

e−x − 1

13. limx→−∞

e−3x

3x − 1

14. limx→−∞

(e−x + 3x + 1

)

15. limx→−∞

(e−2x − e−x

)

16. limx→−∞

(x + 1)ex

17. limx→+∞

x + 1

ex

18. limx→+∞

(e2x − 3ex + 1

)

19. limx→−∞

(e2x − 3ex + 1

)

20. limx→+∞

ex − 1

ex + 1

21. limx→−∞

ex+1 × e1−x

22. limx→0

e2x − 1

x

23. limx→0

e2x − ex

x

24. limx→+∞

x(

e1x − 1

)

25. limx→+∞

xe−x

x2 + 1

26. limx→+∞

x(

e3x − 1

)

27. limx→−∞

x3(

e1x − 1

)

28. limx→+∞

ex−1x+1

29. limx→+∞

(x2 − 2

x − 1

e1−x

)

⌊5⌋. À cause du quotient par x, comparer ex à x n’est plus suffisant. Le «12

» n’est là que pour simplifier les

calculs.




Exercice 12 : Dans un même repère, on considère cinq courbes représentant cinq fonctionsa, b, c, d et f définies sur R.

C2

C3

C5 C4

C1

Les droites d’équation y = −1 et y = 1 sont asymptotes en +∞ respectivement à C2 et C3.De plus, on sait que :

— a(x) =1

ex− 1 — b(x) =

ex − 1

ex + 1

— c(x) = ex − 1

— d(x) =ex + e−x

2— f(x) = 2 (1 − ex)

Associer à chaque fonction sa courbe en justifiant.

Exercice 13 (Liban 2014) : Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

f(x) = x e−x.

1. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0; +∞[.Pour tout réel x de l’intervalle [0 ; +∞[, calculer f ′(x). En déduire les variations de lafonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.

2. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat ?

Exercice 14 (Polynésie 2014) : Soient f et g les fonctions définies sur R par

f(x) = ex et g(x) = 2ex2 − 1.

On note Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal.

1. Démontrer que les courbes Cf et Cg ont un point commun d’abscisse 0 et qu’en ce point,elles ont la même tangente (∆) dont on déterminera une équation.

2. Étude de la position relative de la courbe Cg et de la droite (∆)

Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 2ex2 − x − 2.

(a) Déterminer la limite de la fonction h en −∞.

(b) Justifier que, pour tout réel x, h(x) = x

(e

x2

x2

− 1 − 2

x

).

En déduire la limite de la fonction h en +∞.

(c) On note h′ la fonction dérivée de la fonction h sur R.Pour tout réel x, calculer h′(x) et étudier le signe de h′(x) suivant les valeurs de x.




(d) Dresser le tableau de variations de la fonction h sur R.

(e) En déduire que, pour tout réel x, 2ex2 − 1 > x + 1.

(f) Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe Cg et de la droite(∆) ?

3. Étude de la position relative des courbes Cf et Cg

(a) Pour tout réel x, développer l’expression(e

x2 − 1

)2.

(b) Déterminer la position relative des courbes Cf et Cg.

4. (Plus tard) Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine compris entre les courbes Cf

et Cg et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1.

Exercice 15 : Déterminer les limites de f aux bornes de I puis calculer f ′(x) (on admet quef est dérivable sur I).

1. f(x) = e2x+3x−2 sur I = ]2 ; +∞[.

2. f(x) = xe1x sur I = ]0 ; +∞[.

3. f(x) =e2x

x + 2sur I = R.

4. f(x) =2ex − 3e−x

ex + e−xsur I = R.

5. f(x) =(x2 − 4

)ex−2 sur I = R.

6. f(x) = e4

2x−1 sur I =]1

2; +∞

[.




Exercice 16 : Soit f une fonction dérivable sur R. Déterminer f ′(x), puis les limites de fen +∞ et −∞.

1. f(x) = e4x+1

2. f(x) = ex + x2 + 1

3. f(x) = 5ex + 5xex

4. f(x) = ex sin x

5. f(x) =3x + 1 − ex

ex

6. f(x) = e−x + x−1

7. f(x) =1

ex

8. f(x) = (ex)2 + e−x

9. f(x) =e3x2+5x−3

ex + 1

10. f(x) = e5x3+7x+4

11. f(x) = (x + 1)e−x+1

Exercice 17 : Soit la fonction f définie pour tout x ∈ R par :

f(x) =4ex

ex + 7.

On note C la courbe représentative de la fonction f .

1. Vérifier que, pour tout réel x, f(x) =4

1 + 7e−x.

2. (a) Démontrer que la courbe C admet deux asymptotes dont on précisera les équations.

(b) Démontrer que f est strictement croissante sur R.

(c) Démontrer que pour tout réel x, 0 < f(x) < 4.

Exercice 18 : Soit f et g deux fonctions définies sur R par :

f(x) = ex + e−x et g(x) = ex − e−x.

1. (a) Étudier la parité de f .

(b) Déterminer les limites de f en +∞ et −∞.

(c) Déterminer les variations de f .

2. Reprendre la question 1 avec la fonction g.

3. Soit a ∈ R. Calculer (f(a))2 − (g(a))2.

4. Soit a ∈ R et b ∈ R. Exprimer f(a)g(b) + g(a)f(b) en fonction de g(a + b).


f(x) =x

ex − x.

On note C sa courbe représentative dans le repère orthogonal (O ; ~i, ~j).

1. (a) Calculer les limites de f en +∞ et en −∞.

(b) Interpréter graphiquement ces résultats.

2. (a) Calculer la dérivée de f .

(b) Étudier le sens de variation de f .

3. (a) Déterminer une équation de la tangente (T ) à C au point d’abscisse 0.

(b) Étudier la position de C par rapport à (T ).

4. Tracer la droite (T ), les asymptotes et la courbe C .





f(x) = x + 1 − 2ex

ex + 1.

1. Démontrer que f est une fonction impaire, c’est-à-dire que, pour tout x réel, f(−x) = −f(x).Comment serait alors représentée f dans un repère ?

2. Déterminer la limite de f en −∞.

3. (a) Démontrer que, pour tout x réel :

f(x) = x + 1 − 2

1 + e−x.

(b) En déduire la limite de f en +∞.

4. (a) Démontrer que, pour tout x réel :

f ′(x) =e2x + 1

(ex + 1)2 .

(b) En déduire le tableau de variation de f .

II.3 Fonctions gaussiennes

Exercice 21 : Soit k un réel strictement positif, on définit les fonctions gk sur R par :

gk(x) = e−kx2

.

Étudier la parité, les limites et les variations de gk pour tout k > 0.

Remarque : La fonction x 7−→ g1(x) = e−x2

est communément appelée « fonction de Gauss ».

Par composition, on a les limites : limx→+∞

gk(x) = limx→−∞

gk(x) = 0.

Les fonctions gk sont clairement dérivables sur R et on a :

g′k(x) = −2kxe−kx2

.

La dérivée g′k est donc du signe de −x. Ce qui donne le tableau de variation et leur courbes

représentatives :

x

g′k(x)

gk

−∞ 0 +∞

+ 0 −

00

11

00




0 1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7−8−910

1

Remarques : Ces fonctions interviennent en probabilité avec la loi normale. Nous y reviendrons.Leur représentation s’appelle des « courbes en cloches ».

II.4 Fonctions d’atténuation

Exercice 22 : Soit un réel λ strictement positif, on définit les fonctions f sur R par :

fλ(x) = e−λx.

Pour tout λ > 0, étudier la fonction fλ.

Par composition, on a les limites : limx→−∞

fλ(x) = +∞ et limx→+∞

fλ(x) = 0.

Les fonctions fλ sont clairement dérivables sur R et on a :

f ′λ(x) = −λe−λx.

La dérivée est donc strictement négative sur R. Ce qui donne le tableau de variation et leurcourbe représentative :

x

f ′λ(x)

fλ

−∞ +∞

−

+∞+∞

00

0

1

4

1

Remarque : Plus le coefficient λ est important plus l’atténuation est grande.

On retrouve très souvent ces fonctions en physique, par exemple :

— La loi de désintégration radioactive où le nombre de noyaux en fonction du temps obéità la loi :

N(t) = N0e−λt.

— La décharge d’un condensateur dans un circuit RC où le courant obéit à la loi :

i(t) =E

Re

−t

RC .




— Dans l’expression de la vitesse de la chute d’un corps dans un fluide où la vitesse instan-tanée obéit à la loi :

v(t) =mg

k

1 − e

−k

mt

.

Remarque : Comme limt→+∞

v(t) =mg

k, On constate alors que la vitesse d’un corps en

chute libre dans l’air tend vers une vitesse limite : vlim =mg

k.

Plus mathématiquement, les fonctions fλ dont la dérivée est donnée, pour tout x réel parf ′

λ(x) = −λe−λx = −λfλ(x) sont solutions de l’équation différentielle du premier ordre :

f ′ = −λf.

But originel de la fonction exponentielle qui ont fait les beaux jours de quelques exercices determinale C il y a fort fort longtemps. Ce n’est plus au programme. Dommage !

Exercice 23 (Polynésie 2016) :

Partie A

Voici deux courbes C1 et C2 qui donnent pour deux personnes P1 et P2 de corpulences différentesla concentration C d’alcool dans le sang (taux d’alcoolémie) en fonction du temps t aprèsingestion de la même quantité d’alcool. L’instant t = 0 correspond au moment où les deuxindividus ingèrent l’alcool.

C est exprimée en gramme par litre et t en heure.

Définition : La corpulence est le nom scientifique correspondant au volume du corps

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,00

0,5

1,0

1,5

C1

C2

t

C

1. La fonction C est définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ et on note C ′ sa fonction dérivée. Àun instant t positif ou nul, la vitesse d’apparition d’alcool dans le sang est donnée parC ′(t).À quel instant cette vitesse est-elle maximale ?On dit souvent qu’une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l’alcool.

2. Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la pluscorpulente. Justifier le choix effectué.

3. Une personne à jeun absorbe de l’alcool. On admet que la concentration C d’alcool dansson sang peut être modélisée par la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par

f(t) = Ate−t

où A est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d’alcoolabsorbée.




(a) On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f . Déterminer f ′(0).

(b) L’affirmation suivante est-elle vraie ?« À quantité d’alcool absorbée égale, plus A est grand, plus la personne est corpu-lente. »

Partie B - Un cas particulier

Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum.La concentration C d’alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps t, exprimé enheure, par la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par

f(t) = 2te−t.

1. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.

2. À quel instant la concentration d’alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelleest alors sa valeur ? Arrondir à 10−2 près.

3. Rappeler la limite deet

tlorsque t tend vers +∞ et en déduire celle de f(t) en +∞.

Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

4. Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelleque la législation autorise une concentration maximale d’alcool dans le sang de 0, 2 g.L−1

pour un jeune conducteur.

(a) Démontrer qu’il existe deux nombres réels t1 et t2 tels quef (t1) = f (t2) = 0, 2.

(b) Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant entoute légalité ?Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.

5. La concentration minimale d’alcool détectable dans le sang est estimée à 5 × 10−3 g.L−1.

(a) Justifier qu’il existe un instant T à partir duquel la concentration d’alcool dans lesang n’est plus détectable.

(b) On donne l’algorithme suivant où f est la fonction définie par

f(t) = 2te−t.

Initialisation : t prend la valeur 3, 5p prend la valeur 0, 25C prend la valeur 0, 21

Traitement : Tant que C > 5 × 10−3 faire :t prend la valeur t + pC prend la valeur f(t)

Fin Tant queSortie : Afficher t




Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en exécutant cet algorithme.Arrondir les valeurs à 10−2 près.

Initialisation Étape 1 Étape 2p 0,25t 3,5C 0,21

Que représente la valeur affichée par cet algorithme ?

Exercice 24 (Chute libre) : À l’instant t = 0, un parachutiste de 80 kg saute d’unealtitude de 2 500 mètres avec une vitesse verticale de 1 mètre par seconde.

La distance en mètres d que parcourt le parachutiste pendant t secondes est donnée par laformule :

d(t) = 60t + C(e−t − 1)

où C est une constante qui dépend de la vitesse initiale.La vitesse instantanée est donnée par v(t) = d′(t).

1. Déterminer la valeur de C.

2. Déterminer une expression de v(t).

3. Quelle est la vitesse limite du parachutiste ?

4. Le parachute doit être impérativement ouvert à plus de 500 m d’altitude.Déterminer le temps maximum δ (à 0,1 seconde près) pendant lequel le parachutistepeut voler librement.

5. Que représente d′′(t) ? Que vaut d′′(δ) ? Interpréter.



Thème: Méthode d’Euler TS-SI - Activité no 10

Méthode d’EulerLa fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R vérifiant :

f ′(x) = f(x)f(0) = 1

(VII.4)

Il est nul besoin d’en savoir plus pour avoir une allure de l’exponentielle.

À la manière des physiciens, la méthode d’Euler, utilisée en son temps dans le même but, donneune très bonne approximation de la courbe.

Approche graphique de la fonction exponentielle

Pour toute fonction dérivable f , on a :

f ′(a) = limh→0

f(a + h) − f(a)

h.

Pour h « petit » c.-à-d. h assez proche de 0, on peut écrire :

f(a + h) ≃ f(a) + hf ′(a). (VII.5)

On obtient ainsi une approximation affine de f(a + h) c.-à-d. une valeur approchée de f(a + h)à partir des valeurs de f(a), f ′(a) et h.

1. Sur un repère (O; −→ı ; −→ ), faire un dessin correspondant à la situation.

2. Prenant f : x 7−→ x2, donner une valeur approchée de 0, 0012.

3. Si f vérifie la relation (VII.4), que devient l’expression (VII.5) ?Comme f ′(a) = f(a), (VII.5) se simplifie et on a :

f(a + h) ≃ (1 + h)f(a). (VII.6)

4. Calculer une valeur approchée de exp(0, 001).

Méthode d’Euler

Soit h = 0, 25 fixé. On considère dorénavant, f = exp.

5. Donner l’expression de f(h).

6. Quelle est l’expression de f(2h) ? f(3h) ? f(nh) pour n ∈ N quelconque ?

Partant de y0 = f(0) = 1, la méthode d’Euler conduit alors à considérer la suite (yn)n∈N définiepar :

y0 = 1

yn+1 = (1 + h)yn,

où le réel h représente le pas et a été fixé à l’avance. On prend ici h = 0, 25.




7. À l’aide de votre calculatrice, compléter le tableau ci-dessous :

n 0 1 2 3 4 5

nh

yn

8. Dans le repère ci-dessous, placer les points An de coordonnées (nh; yn) pour n variant de1 à 5.

1

1

× A0

9. En reliant les points An quelle courbe obtient-on ?

10. Proposer une méthode pour obtenir des points à gauche de A0.

Approximation de exp(1)

Considérons l’intervalle [0 ; 1 ] que l’on partage en n intervalles de même amplitude h =1

n,

n ∈ N∗.

11. Que devient l’expression (VII.6) ?On a alors :

∀x0 ∈ [0 ; 1 ], exp(x0 + h) ≃ (1 + h) exp(x0).




En prenant x0 = 0, on obtient alors :

exp(

1

n

)≃(

1 +1

n

)exp(0) =

(1 +

1

n

).

Par le même procédé, on a aussi :

exp(

2

n

)≃ exp

(1

n+

1

n

)=(

1 +1

n

)exp

(1

n

)=(

1 +1

n

)(1 +

1

n

)

≃(

1 +1

n

)2

.

12. Montrer que :

∀ k ∈ N∗, exp

(k

n

)≃(

1 +1

n

)k

.

13. En déduire, une valeur approchée de exp(1) en fonction de n ∈ N.

Enfin, pour k = n etn

n= 1, on obtient :

∀n ∈ N∗, exp(1) ≃(

1 +1

n

)n

.

Suite convergente vers exp(1) qui permit de trouver les premières approximation deexp(1).

14. À l’aide de la calculatrice, donner une approximation de exp(1) à 10−7 près.À la calculatrice, on trouve :

exp(1) ≃ 2, 71828182845904523.



Thème: G – Exponentielle TS SI - Test no 11

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G ExponentielleExercice 1 : Simplifier les expressions suivantes :

1.e5e−3

e−2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.(e5 − e−4

) (e−5 + e4

)= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. (ex)5(e−2x

)2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2 : Soit une fonction f définie sur R. Déterminer une expression de f ′(x) enadmettant que f est dérivable.

1. f(x) = xe−x

f ′(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. f(x) =1 − ex

1 + ex

f ′(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 3 : Complétez les expressions suivantes.

1. limx→−∞

ex = 0. 2. limx→−∞

xex = 0−. 3. limx→+∞

e−x = 0.


1. limx→0x<0

e1x :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. limx→−∞

(x + 1)ex :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. limx→+∞

(e2x − 3ex + 1

):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Thème: D – Exponentielle TS SI - Test no 11

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D ExponentielleExercice 1 : Simplifier les expressions suivantes :

1.(e3)−2

e5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.(e2 + e−2

) (e2 − e−2

)= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.e−4x

(e−x)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2 : Soit une fonction f définie sur R. Déterminer une expression de f ′(x) enadmettant que f est dérivable.

1. f(x) = 2xex2

f ′(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. f(x) =1 + e−x

1 + ex

f ′(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 3 : Complétez les expressions suivantes.

1. limx→+∞

ex = +∞. 2. limx→+∞

ex

x= +∞. 3. lim

x→0

ex − 1

x= 1.


1. limx→0x>0

e1x :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. limx→−∞

(e−2x − e−x

):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. limx→−∞

(e2x − 3ex + 1

):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Fic

heno8:

Exponen

tielle

01

23

4−1

−2−3

−402468

y=

x+

1

y=ex

bc

ex

e

L’a

xede

sab

scis

ses

est

asym

ptot

eà

laco

urbe

en−∞

.

x7−→

exes

tl’u

niqu

efo

ncti

ondé

riva

ble

surR

telle

que

:( ex

) ′=

exet

e0=

1.

Théorèm

e8

∀x∈R

,

(ex

p(x

))′=

exp(x

)et

exp

x>

0.

e≃

2,71

8281

8284

5904

5235

3602

8747

1352

6624

9775

7247

0936

9995

9574

9669

6762

7724

0766

3035

3547

5945

7138

2178

5251

6642

74..

.

Fic

heno8:

Exponen

tielle

—ea

=1

⇐⇒

a=

0.

—ea

=eb

⇐⇒

a=

b.

—ea

>1

⇐⇒

a>

0.

—ea

<eb

⇐⇒

a<

b.

x

( ex) ′

exp

−∞+

∞

+

00

+∞

+∞

0 1

1 e

ea+

b=

ea×

ebea

−b

=ea eb

( ea) n

=en

ae−

a=

1 ea

La

fonc

tion

expo

nent

ielle

est

unm

orph

ism

ede

grou

pes

entr

e( R

,+)

et( R

∗ ,×)

:el

le«

tran

sfor

me

»le

sso

mm

esen

prod

uits

.

lim

x→

+∞

ex=

+∞

lim

x→

−∞

ex=

0

lim

x→

0

ex−

1

x=

1lim

x→

+∞

ex x=

+∞

lim

x→

−∞

xex

=0

(eu

)′=

u′ eu

∀n∈N

∗ ,ex

p(x

)≈( 1

+x n

) n.

e≃

2,71

8281

8284

5904

5235

3602

8747

1352

6624

9775

7247

0936

9995

9574

9669

6762

7724

0766

3035

3547

5945

7138

2178

5251

6642

74..

.

Thème: Nombres Complexes et Exponentielle TS-SI - Devoir surveillé no 4

Nombres Complexes etExponentielle

Exercice 1 : On considère l’équation d’inconnue z ∈ C :

z3 − z2 + 2 = 0.. (E)

1. Vérifier que z3 − z2 + 2 = (z + 1)(z2 − 2z + 2) pour tout nombre complexe z.

2. En déduire la résolution de l’équation (E). On notera zA, zB et zC les solutions où zB etzC sont les solutions non réelles.

3. Démontrer que le triangle ABC est isocèle.

4. Déterminer l’ensemble des points M du plan complexe d’affixe z vérifiant |z−1+i| = |z−1−i|.

Exercice 2 :1. Après avoir justifié que la fonction f est dérivable et préciser son intervalle de dérivabilité,

donner une expression de f ′(x) avec :

f(x) =1 − e−2x

1 + e2x.

2. Simplifier l’expression g(x) =(e3x)2

+(e−3x

)2 −(e3x − e−3x

)2.

3. Compléter chacune des justifications (a) à (e).

(ex + 1)(

ln(−2x + 1) − 1)> 0, x ∈ . . . (a) . . .

ln(−2x + 1) − 1 > 0

ln(−2x + 1) > 1

−2x + 1 > e

x 61 − e

2.

(b)

(c)

(d)

(e)

Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur Rpar :

f(x) =3

1 + e−2x.

Sur le graphique ci-contre, on a tracé, dans unrepère orthogonal (O; −→ı ; −→ ), la courbe repré-sentative C de la fonction f et la droite (∆)d’équation y = 3.

0 1 2 3 4-1-2

1

2

3

−→ı

−→C

(∆)

1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur R.

2. Justifier que la droite (∆) est asymptote à la courbe C .

3. Démontrer que l’équation f(x) = 2, 999 admet une unique solution α sur R.Déterminer une valeur approchée de α à 10−5 près.

e ≃ 2, 718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571382258

Chapitre

VIII

Le Logarithme népérien

La création de la fonction logarithme népérien est, à l’origine, antérieure à la fonction expo-nentielle bien que dans notre progression elle suive l’étude de la fonction exponentielle.

La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVIIème siècle. Ce drapier, JohnNapier avant qu’il soit anobli et prenne le nom de John Néper, chercha ⌊1⌋ une fonction poursimplifier les longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers.

Il créa alors une fonction qui transforme le produit en somme c.-à-d. f(ab) = f(a) + f(b). C’estcette fonction, écho à la fonction exponentielle, qui est l’objet de ce chapitre.

Exercice 1 (Introduction) :

1. Résoudre les équations : ex = 1, ex = e et ex =1

e.

2. (a) Donner, suivant la valeur de λ ∈ R, le nombre de solution de l’équation ex = λ.

(b) Donner une valeur approchée à 10−2 près de la solution de l’équation ex = 2.

SommaireI Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

I.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260I.2 Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

II Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263II.1 Relation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263II.2 Quotient, Inverse, Puissance et Racine carrée . . . . . . . . . . . . . . 264

III Propriétés analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268III.1 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268III.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269III.3 Des limites de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270III.4 Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271III.5 Composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

IV Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276IV.1 Puissance réelle d’un nombre strictement positif . . . . . . . . . . . . 276

Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Fonction puissance x 7−→ xα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

IV.2 Le logarithme décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279IV.3 Papier semi-logarithmique et logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . 281

Fiche no 9 : Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Bac Blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

⌊1⌋. et trouva

259

VIII. Le Logarithme népérien I. LOGARITHME NÉPÉRIEN

I Logarithme népérien

I.1 Généralités

On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de ]0 ; +∞ [ sur Rtelle que :

x = ey ⇐⇒ y = ln x.

On dit que les fonctions ln et exp sont réciproques l’une de l’autre.

Définition 1

Preuve: La fonction exponentielle est une fonction continue, strictement croissante à valeurdans ]0 ; +∞ [, donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation x = ey, d’incon-nue y avec x ∈]0 ; +∞ [, admet une unique solution que l’on peut noter ln x.

Remarque : Comme ey est toujours strictement positif, il est clair que l’équation x = ey n’aurapas de solutions pour x 6 0 c.-à-d. la fonction x 7−→ ln x ne sera définie que sur R amputé de] − ∞ ; 0 ] soit ]0 ; +∞ [ .

Dln =]0 ; +∞ [.

Exercice 2 : Dans chacun des cas, pour quelles valeurs de x, l’expression donnée a-t-elle unsens ?

1. ln x 2. ln(3 − x) 3. ln(x + 2) 4.1

ln(x2)

— ln 1 = 0 et ln e = 1.

— ∀x ∈ R, ln ex = x

— ∀x ∈ ]0 ; +∞ [, eln x = x. ( ATTENTION aux ensembles de définition).

Corollaire 1

Exercice 3 : Simplifier.

1. eln 3

2. e− ln 5

3. eln( 13 )

4. ln(e5)

5. ln 1 + ln e

6. ln(e−2)

Exercice 4 : Résoudre les équations suivantes.

1. ex = 2

2. ex = −5

3. ex =1

4

4. ln x = ln(

1

2

)

5. ln x =ln 5

26. ln x = − ln 9

7. (ln x − 2)(1 + ln x) = 0

8. (ex − 3)(ex + 5) = 0

9. (ln x)(6 − 3 ln x) = 0




I.2 Courbe représentative

Dans un repère orthonormal, les représentations de la fonction logarithme népérien et dela fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x ⌊2⌋.

Théorème 2

Preuve: Notons respectivement Cln et Cexp les courbes respectives des fonctions logarithmenépérien et exponentielle.

Soit M (x; y) un point de Cln c.-à-d. y = ln x avec x ∈]0 ; +∞ [ et y ∈ R . Par définition, on aaussi x = ey ⇐⇒ M ′ (y; x) est un point de Cexp. Les courbes Cln et Cexp se déduisent doncl’une de l’autre par une symétrie d’axe la première bissectrice d’équation y = x.

e

x = ey

y=

lnx

e x

y = ln x

1

bc

1

bc

bcbc

bc

bc

M (x; y)

M ′ (y; x)

y=

x

Soit M un point de Cexp, par symétrie, on construit M ′ ∈ Cln tel que la droite d’équationy = x soit la médiatrice du segment [MM ′].

Méthode 1

⌊2⌋. La droite d’équation y = x est aussi souvent appelée « première bissectrice ».




Remarque : Par symétrie les droites d’équation y = x − 1 et y =1

ex sont respectivement les

tangentes à Cln en 0 et e.

La fonction ln est strictement croissante de R∗+ dans R .

Théorème 3

Preuve: Soient deux réels a et b strictement positifs avec a < b. Il suffit de revenir auxdéfinitions :

a = eln a < eln b = b ⇐⇒ ln a < ln b par stricte croissance de l’exponentielle.

La fonction logarithme est donc strictement croissante sur R∗+.

Comme pour l’exponentielle, on récupère toute une série de relations à connaître :

Soient a et b deux réels strictement positifs.

— ln a = ln b ⇐⇒ a = b et ln a < ln b ⇐⇒ a < b.

— ln a = 0 ⇐⇒ a = 1 et

ln a > 0 ⇐⇒ a > 1ln a < 0 ⇐⇒ a < 1

Proposition 4

Bien connaître l’allure de la courbe représentative du logarithme permettra de retenir facilementces propriétés et évitera bien des bévues.

Remarque : Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéquations. On veilleraà mettre l’équation ou l’inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions devalidité ⌊3⌋ de l’équation ou de l’inéquation.

Exemples 1 :1. Résoudre ln(2 − 2x) = 1.

Tout d’abord les conditions d’existence. Cette équation ne sera valide que si 2 − 2x > 0c.-à-d. x ∈] − ∞ ; 1 [.Il suffit alors de résoudre en appliquant les propriétés ci-dessous :

ln(2 − 2x) = 1 ⇐⇒ ln(2 − 2x) = ln e ⇐⇒ 2 − 2x = e ⇐⇒ x =2 − e

2.

Comme2 − e

2≃ −0, 36 < 1, on a S =

2 − e

2

.

2. Résoudre ln(2x + 1) 6 −1.

Ici aussi, la condition d’existence impose 2x + 1 > 0 ⇐⇒ x ∈]−1

2; +∞

[. On résout

ensuite ⌊4⌋ :

⌊3⌋. Le logarithme, contrairement à l’exponentielle ne prend ses valeurs que sur les réels strictement positifs ! ! !



VIII. Le Logarithme népérien II. PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES

ln(2x + 1) 6 −1 ⇐⇒ ln(2x + 1) 6 ln(e−1

)⇐⇒ 2x + 1 6

1

e⇐⇒ x 6

1 − e

2e.

L’ensemble solution est donc l’intersection des deux ensembles]−1

2; +∞

[et

]−∞ ;

1 − e

2e

].

Comme1 − e

2e≃ −0, 32 > −1

2celle-ci n’est pas vide et on obtient :

S =]−1

2;1 − e

2e

].

Exercice 5 : Résoudre les inéquations suivantes :

1. ln(2 − 3x) > 0 ; 2. ln(1 − x) < 1 ; 3. ln(

3

x

)> ln 3.

II Propriétés algébriques

II.1 Relation fonctionnelle

Pour tous réels strictement positifs a et b, on a :

ln ab = ln a + ln b. (VIII.1)

Théorème 5

Preuve: Comme toujours on se ramène à ce que l’on sait, soit les propriétés de l’exponen-tielle et la définition du logarithme :

Par définition : eln ab = ab et eln a+ln b = eln a × eln b = a × b d’après la relation fonctionnelle del’exponentielle.

Donc eln ab = eln a+ln b. D’après la continuité et la stricte croissance de l’exponentielle, cetteégalité est équivalente à

ln ab = ln a + ln b.

Remarque : Comme pour la fonction exponentielle, cette relation permettrait de définir à elleseule la fonction logarithme comme étant l’unique fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +∞ [vérifiant la relation (VIII.1) et f(e) = 1. D’où son nom de « fonctionnelle ». Nous y reviendronsplus loin.

⌊4⌋. Et seulement ensuite !




Exemple 2 : ln 6 = ln 2 + ln 3.

Pour tout réels strictement positifs, a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bm, on a :

ln(

a1a2 . . . an

b1b2 . . . bm

)= ln a1 + ln a2 + . . . + ln an − ln b1 − ln b2 − . . . − ln bm.

Corollaire 6

Cette propriété est souvent utilisée pour linéariser les expressions.

Exemple 3 : L’image d’une suite géométrique par la fonction logarithme est une suite arith-métique.

En effet, soit (un)n∈N une suite arithmétique de raison q et de premier terme u0 c.-à-d.

u0

un+1 = qun.

Alors ln un+1 −ln un = lnun+1

un= ln q. La suite

(ln un

)n∈N

est une suite arithmétique de raison

ln q et de premier terme ln u0.

On voit déjà apparaître que cette relation va imposer au logarithme une croissance très, très,très faible.

Poursuivons !

II.2 Quotient, Inverse, Puissance et Racine carrée

Pour tous réels strictement positifs a et b, on a :

— lna

b= ln a − ln b et ln

1

a= − ln a.

— ∀n ∈ N, ln(an)

= n ln a et ln√

a =1

2ln a.

Théorème 7

Preuve: On continue à se ramener aux propriétés de la fonction exponentielle :

— eln ab =

a

bet eln a−ln b =

eln a

eln b=

a

b. D’où la propriété.

ln1

a= − ln a n’est qu’un cas particulier de la propriétés précédente avec a = 1 et b = a.

— On démontre la relation ln an = n ln a par récurrence sur n ∈ N. L’hérédité découle de

ln an+1 = ln (a × an) = ln a + n ln a.




— Pour la dernière propriété, comme a est strictement positif, on peut écrire a =√

a × √a

puis appliquer la relation fonctionnelle :

ln a = ln(√

a × √a)

= 2 ln√

a ⇐⇒ ln√

a =1

2ln a

Exemples 4 :

1. ln 50 = ln(52 × 2

)= 2 ln 5 + ln 2.

2. ln√

12 =1

2ln(22 × 3

)= ln 2 +

1

2ln 3.

Ces deux premiers exemples montrent, qu’à l’époque bénie où les calculatrice n’existaientpas, une simple table avec les valeurs approchées des logarithmes des 10 premiers entierssuffisait à faire bien des calculs !

3. Déterminons l’entier n tel que 2n > 10000. On raisonne par équivalence :

2n > 10000 ⇐⇒ n ln 2 > ln(10000) = 4 ln 10 ⇐⇒ n > 4ln 10

ln 2car ln 2 > 0 !.

Comme 4ln 10

ln 2≃ 13, 3, l’entier n devra être supérieur à 14.

4. Résolvons l’équation ln√

2x − 3 = ln(6 − x) − 1

2ln x.

Avant toute opération, on s’intéresse au domaine de définition D de cette dernière :

D = x ∈ R tel que 2x − 3 > 0 et 6 − x > 0 et x > 0

=

x ∈ R tel que x >3

2et x < 6 et x > 0

=]3

2; 6[

.

3

2

60

Pour x ∈ D, on résout alors l’équation en essayant d’être malin dans l’application despropriétés :

ln√

2x − 3 = ln(6 − x) − 1

2ln x ⇐⇒ 1

2

(ln(2x − 3) + ln x

)= ln(6 − x)

⇐⇒ ln x(2x − 3) = ln(6 − x)2

⇐⇒ x(2x − 3) = (6 − x)2

⇐⇒ x2 + 9x − 36 = 0

⇐⇒ (x − 3)(x + 12) = 0

⇐⇒ x = 3 ou x = −12.

Comme −12 /∈ D, on en déduit que S = 3.




Exercice 6 : Simplifier au maximum les expressions suivantes :

r1 = ln(0, 5) + ln 2

r2 = 3 ln 2 − ln 4

r3 = (ln(e3))2

r4 = eln 2+ln 3

r5 = e2 ln 3

r6 = e4 ln 2

r7 = e− ln 4

r8 = e−5 ln 2

r9 = eln 6−2 ln 3

r10 = e3 ln 2−ln 4+1

r11 =eln 5−1

e2+ln 5

r12 =e2 ln 3−ln 2

e−3 ln 2

r13 = 2 ln 5 + ln 3

r14 = 3 ln 3 − 2 ln 2

r15 = − ln 5 + 3 ln 2

r16 = 3 ln 4 − 3 ln 2

r17 = ln 8

r18 = ln(√

2)

r19 = ln(

1

4

)

r20 = 3 ln 2 − ln 16

r21 = ln(

1

9

)

r22 = ln 24 − ln 8

r23 = ln(

3

4

)+ ln 4

r24 = 2 ln 3 − ln 27

r25 = ln(9√

3)

r26 = ln 20

r27 = ln 100

r28 = ln(

4

25

)

r29 = ln√

10

r30 = ln(

81

7

)

r31 = ln 441

r32 = ln(

49

27

)

r33 = ln√

21

Exercice 7 : Résoudre les équations suivantes :

1. ln(2 − x) + 1 = 0 ;

2. ln x + ln(x − 1) = ln 5 ;

3. ln(3x) − ln(1 − x) = ln 2.

4. e2x − 4ex + 3 = 0

(on pourra poser X = ex).

5. 2(ln x)2 + 5 ln x − 3 = 0

(on pourra poser X = ln x).

Exercice 8 : Résoudre les inéquations suivantes :

1. 2 ln(x) > ln(2 − x) ;

2. ln(x)+ln(2x+5) 6 ln 3 ;

3. ln(4x) − ln 2 < 2 ln 4.

4. ex > 3

5. ex6

1

26. ex < −e

7. 2ex − 3 > 9

8. 4ex − 1 > ex + 5

9. e2x − 5ex < 0

10. ln(−2x + 1) 6 0

11. ln(

3x − 1

x + 2

)> 0

12. ln(2x − 1) + 1 > 0

Exercice 9 : Dans chacun des cas suivants, en utilisant la fonction ln, déterminer le pluspetit entier naturel n tel que :

1. (0, 7)n6 10−2 ; 2. (1, 05)n > 10 ; 3.

(1

3

)n

6 10−7 ; 4. (0, 98)n−1 < 0, 6.

Exercice 10 : Soit (un)n∈N la suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raison q =4

5.

À partir de quel indice n a-t-on un 6 10−3 ?

Correction : Par définition, on a un = u0 × qn =(

45

)n

.

Il suffit donc de résoudre l’inéquation(

45

)n

6 10−3.

Comme tous les nombres sont strictement positifs, cette équation est équivalente à

n ln(

45

)6 −3 ln 10

n>− 3 ln 10

ln(

45

) 45

< 1 ⇐⇒ ln(

45

)< 0!!!

De tête, − 3 ln 10

ln(

45

) ≃ 30, 96. Donc, le plus petit indice cherché est n = 31.




Exercice 11 : Déterminer le plus petit entier naturel n tel que :

1 + 5 + 52 + ... + 5n> 109.

Exercice 12 : Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 = 3 et de raison q =1

2.

1. Pour tout entier naturel n, on pose :

Sn = u0 + u1 + ... + un.

Exprimer Sn en fonction de n.

2. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que Sn > 5, 999.

Exercice 13 (Liban 2017) : Soit k un réel strictement positif. On considère les fonctionsfk définies sur R par :

fk(x) = x + ke−x.

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un plan muni d’un repère ortho-normé.

On a représenté ci-dessous quelques courbes Ck pour différentes valeurs de k.

0 1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4

1

2

3

4

5

6

7

8

b

b

bbbbbb bb

Pour tout réel k strictement positif, la fonction fk admet un minimum sur R. La valeur enlaquelle ce minimum est atteint est l’abscisse du point noté Ak de la courbe Ck. il sembleraitque, pour tout réel k strictement positif, les points Ak soient alignés.

Est-ce le cas ?



VIII. Le Logarithme népérien III. PROPRIÉTÉS ANALYTIQUES

III Propriétés analytiques

III.1 Dérivabilité

La fonction x 7−→ ln x est dérivable sur ]0 ; +∞ [ et

(ln x

)′=

1

x.

Théorème 8

Preuve: On admet que la fonction ln est continue sur ]0 ; +∞ [ et on revient à la définition de

la dérivée c.-à-d. on cherche les a ∈]0 ; +∞ [ pour lesquels le taux de variationln(a + h) − ln a

hen a admet une limite finie lorsque h tend vers 0.

Pour se ramener à ce que l’on connaît, on pose a = eA et a + h = eH c.-à-d. A = ln a etH = ln(a + h).

Comme la fonction ln est continue sur ]0 ; +∞ [, alors limh→0

H = ln a = A. On obtient alors :

limh→0

ln(a + h) − ln a

h= lim

H→A

H − A

eH − eA.

On reconnaît l’inverse de la dérivée de exp en A.

D’où limh→0

ln(a + h) − ln a

hexiste et on a :

limh→0

ln(a + h) − ln a

h=

1

eA=

1

eln a=

1

a, valeur finie si a ∈]0 ; +∞ [.

S’il était nécessaire, le signe de1

xtoujours strictement positif confirmerait la stricte croissance

du logarithme démontrée au théorème (3) .

Remarque : Même si ce résultat est faux en général, le fait que limx→+∞

f ′(x) = limx→+∞

1

x= 0 doit

nous aider à penser que la croissance de la fonction ln, déjà pas bien forte, ralentit encore pourpresque s’annuler à l’infini. On se doute alors que la comparaison avec les fonctions polynômesne sera pas à son avantage.

Exercice 14 : Déterminer la dérivée de chaque fonction après avoir déterminé son ensemblede dérivabilité.

f1 = 3x + 5 − ln x

f2 = ln x + x4

f3 =1

x+ 4 ln x

f4 = (ln x)(x + 1)

f5 =3 − 2 ln x

x − 1

f6 =ln x

xf7 = (ln x)3

f8 =√

ln x.

f9 =x

ln x.

f10 = (ln x)2(3 − ln x).

f11 = (2 − ln x)(1 − ln x).

f12 = e5 ln x+2.




Hors-Programme

Toute fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +∞ [ vérifiant la relation :

Pour tous réels strictement positifs x et y , f(xy) = f(x) + f(y), (VIII.2)

est proportionnelle à la fonction logarithme c.-à-d. s’écrit sous la forme f(x) = k ln x où kest un réel quelconque.

Théorème 9

Ce théorème caractérise le logarithme népérien comme le générateur de toutes les fonctionsvérifiant la relation (VIII.2) (ou (VIII.1)). L’ensemble de celles-ci est alors une droite vectorielledirigée par ln.

Preuve: Soit f une fonction vérifiant les hypothèses du théorème précédent.

— Tout d’abord, pour tout x > 0, f(x) = f(x × 1) = f(x) + f(1) entraîne f(1) = 0.

— Posons ensuite, pour tout > 0, la fonction g définie sur ]0 ; +∞ [ par :

g(x) = f(xy) − f(x).

Comme g est dérivable, on peut calculer g′(x) = yf ′(xy) − f ′(x).Or, la relation (VIII.2) entraîne aussi que g(x) = f(x) + f(y) − f(x) = f(y). Fonctionconstante par rapport à x donc de dérivée nulle c.-à-d. g′(x) = 0.On en déduit que ∀x > 0, yf ′(xy) − f ′(x) = 0.

En particulier, pour x = 1, yf ′(y) = f ′(1) ⇐⇒ f ′(y) =k

y(VIII.3)

En posant k = f ′(1).

— Montrons enfin que f(x) = k ln x en posant, h la fonction définie et dérivable sur ]0 ; +∞ [par :

h(x) = f(x) − k ln x.

D’après la relation (VIII.3), on a : h′(x) = f ′(x)− k

x= 0. La fonction h est donc constante

à h(1) = f(1) − k ln 1 = 0 c.-à-d. f(x) = k ln x.

— Conclusion : Il existe un réel k tel que pour tout x > 0 : f(x) = k ln x.

III.2 Limites

limx→+∞

ln x = +∞ et limx→0+

ln x = −∞.

Théorème 10




Preuve:— Pour montrer que lim

x→+∞ln x = +∞, considérons un réel M , nécessairement strictement

positif et montrons qu’il existe une valeur pour x au-delà de laquelle ln x > M . Or,ln x > M ⇐⇒ x > eM par stricte croissance de l’exponentielle.Donc, pour tout M > 0, il suffira de choisir x > eM pour avoir ln x > ln eM = M .

— Comme toujours, ayant déjà travaillé un peu, on essaie de se ramener à un résultat connu.

Le changement de variables X =1

x, possible car x 6= 0 va nous y aider.

limx→0+

ln x = limX→+∞

ln(

1

X

)= − lim

X→+∞ln X = −∞.

En particulier, on retrouve que l’axe des ordonnées est une asymptote à la courbe représentativedu logarithme.


1. limx→+∞

((ln x)2 − ln x)

)

2. limx→+∞

(ln x − x2

)3. lim

x→0

((ln x)2 − 3 ln x

)

4. limx→0

(−(ln x)2 + 2 ln x − 3

)

III.3 Des limites de référence

Comme pour l’exponentielle, il est important de connaître le positionnement du logarithme parrapport aux fonctions polynômes.

— limx→0

ln(1 + x)

x= 1.

— limx→+∞

ln x

x= 0+ et lim

x→0+x ln x = 0−.

Théorème 11 (Croissance comparée)

Preuve:

— Comme pour la démonstration de limx→0

ex − 1

x= 1, on reconnaît la définition d’un nombre

dérivé, celui de ln(x) en 1 :

limx→0

ln(1 + x)

x= lim

x→0

ln(1 + x) − ln 1

x=(

ln x)′

(1) =(

1

x

)(1) = 1.

Ce résultat est à associer avec la partie « Approximation affine » du chapitre sur ladérivation et exprime le fait qu’au voisinage de 1, le logarithme peut être approché parsa tangente (T1) ⌊5⌋ :

limx→0

ln(1 + x)

x= 1 ⇐⇒ ln(1 + x) = x + ϕ(x) où lim

x→0ϕ(x) = 0.

⌊5⌋. L’année prochaine, vous parlerez de développement limité de ln(1 + x) à l’ordre 1 en 0.




Exemple 5 : ln(1, 005) ≃ 0, 005. La calculatrice affiche 0,00499. Pas si mal !

Remarque : En posant X = 1 + xx → 0

1, on a aussi limX→1

ln X

X − 1= lim

x→0

ln(1 + x)

x= 1.

— Il suffit de poser x = eX ⇐⇒ X = ln xx → +∞ + ∞ pour la première :

limx→+∞

ln x

x= lim

X→+∞

X

eX= 0+.

— Pour la deuxième, de la même manière, on pose X =1

x x → 0++ ∞ :

limx→0+

x ln x = limX→+∞

1

Xln

1

X= − lim

X→+∞

ln X

X= 0−.

Ces résultats nous permettent d’avoir en tête un « classement » des prépondérances en +∞ :

1 ≺ ln x ≺ √x ≺ x ≺ xm ≺ xn ≺ ex, (m < n)

Exemple 6 : limx→+∞

x − ln x = limx→+∞

x

(1 − ln x

x

)= +∞.

Exercice 16 : À partir d’un changement de variable et du résultat limx→0

ln(1 + x)

x= 1, déduire

les limites suivantes :

1. limx→+∞

x ln(

1 +1

x

). 2. lim

x→+∞ex ln

(1 + e−x

). 3. lim

x→0

ln (1 +√

x)√x

.

III.4 Courbe représentative

D’après les sections précédentes, on déduit le tableau de variations de x 7−→ ln x à partir du

signe de1

xsur ]0 ; +∞ [ et l’on complète avec les limites aux bornes.

x

ln′(x) =1

x

ln

0 +∞

+

−∞

+∞+∞

1

0

e

1

On peut alors tracer la courbe représentative ainsi que ⌊6⌋ son asymptote et ses deux tangentes

remarquables d’équation (T1) : y = x − 1 et (Te) : y =1

ex.

⌊6⌋. Les asymptotes et les tangentes avant la courbe ! ! !




e

1

bc

1

bc

(T1)(Te)

ln x

Exercice 17 : On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par :

f(x) = (ln x)3 − 3 ln x.

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. (a) Étudier la limite de f en +∞.

(b) Montrer que C admet une asymptote verticale.

2. Montrer que pour tout x > 0, f ′(x) =3(ln x − 1)(ln x + 1)

x.

3. Dresser le tableau des variations de f .

4. Résoudre l’équation f(x) = 0.

5. Construire C et son asymptote.

III.5 Composée

Soit une fonction u dérivable et strictement positive sur un intervalle ouvert I. La fonctionln u est dérivable sur I et on a : (

ln u)′

=u′

u.

Théorème 12

Preuve: Déjà fait maintes fois.




Comme u est nécessairement positive, le signe de(

ln u)′

est le même que celui de u′ c.-à-d. les

fonctions ln u et u ont le même sens de variations sur I. ⌊7⌋

Exemple 7 : Soit f définie par f(x) = ln(1 + x2).

— Comme 1 + x2 > 0 , f est bien définiesur R .

— Les variations de f sont donc donnéespar le signe de (1 + x2)′ = 2x .

x

2x

f

−∞ 0 +∞− 0 +

00

Exercice 18 : Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes.

1. f : x 7→ ln(5x − 3)

2. g : x 7→ ln(−8x + 4)

3. h : x 7→ ln(−7x)

4. k : x 7→ ln(x2 − 2x + 1)

Exercice 19 : Dans chaque cas, étudier les limites de f aux bornes de l’intervalle I.

1. f(x) = ln(6 − 2x), I = ]−∞ ; 3[

2. f(x) = ln(x2 − 4x + 5), I = R

3. f(x) = ln(ex − 1), I = ]0 ; +∞[

Exercice 20 : Dans chaque cas, calculer f ′(x) sans vous soucier de la dérivabilité de f .

1. f(x) = ln(5x − 1).

2. f(x) = ln(9 − x2).

3. f(x) = ln(1 + ex).

4. f(x) = ln(3x2 − 5x + 7).

5. f(x) = ln(9 − 3x).

6. f(x) = ln((x+1)(5−x)).

Exercice 21 : On pose ∀ n ∈ N∗, un =(

1 +1

n

)n

.

1. Montrer que la suite (un)n∈N converge vers e. On pourra poser vn = ln un.

2. Faire un programme permettant de déterminer l’entier n permettant de donner unevaleur approchée de e à 10−3.

3. Que penser de la vitesse de convergence de la suite (un)n∈N ?

Correction :

1. Comme dit dans l’énoncé, posons vn = ln un = n ln(

1 +1n

). C’est une suite donnée sous sa

forme explicite donc il suffit de calculer sa limite directement pour n → +∞.

Pour lever l’indétermination, on pose N =1n n → +∞

0+ :

limn→+∞

vn = limN→0+

ln(1 + N)N

= 1.

Comme la fonction exp est continue sur R, limn→+∞

un = elim

n→+∞vn

= e1 = e.

La suite (un)n∈N converge vers e.

⌊7⌋. Attention ! Elles peuvent ne pas avoir le même domaine de définition.




2. On programme sur l’ordinateur une boucle « TANT QUE » sous la condition |un − e| > 10−3.On affecte directement u1 = 2 à la variable U représentant un.

1: VARIABLES

2: I EST_DU_TYPE ENTIER

3: DEBUT ALGORITHME

4: U PREND_LA_VALEUR 2

5: I PREND_LA_VALEUR 1

6: TANT QUE |U − e| > 10−3FAIRE

7: TANT QUE

8: I PREND_LA_VALEUR I+1

9: U PREND_LA_VALEUR

(1 +

1I

)I

.

10: FIN TANT QUE

11: Afficher I, U

12: FIN ALGORITHME

On trouve alors n = 1359 et U ≃ 2, 717.

3. On ne peut pas dire que cette suite converge très vite vers e. On a bien mieux mais il va falloirattendre un peu ⌊8⌋ ! ! !

Exercice 22 (Métropole 2016) :

Partie A

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x − ln(x2 + 1

).

1. Résoudre dans R l’équation : f(x) = x.

2. Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-dessous à l’exception de la limitede la fonction f en +∞ que l’on admet.

x −∞ 1 +∞f ′(x) + 0 +

−∞

+∞f(x)

3. Montrer que, pour tout réel x appartenant à [0 ; 1], f(x) appartient à [0 ; 1].

4. On considère l’algorithme suivant :

Variables N et A des entiers naturels ;Entrée Saisir la valeur de ATraitement N prend la valeur 0

Tant que N − ln(N2 + 1

)< A

N prend la valeur N + 1Fin tant que

Sortie Afficher N

(a) Que fait cet algorithme ?

(b) Déterminer la valeur N fournie par l’algorithme lorsque la valeur saisie pour A est100.

⌊8⌋. En 1998, après 714 heures de calculs sur un super calculateur, Patrick Demichel a calculer les 50 millionspremières décimales de e




Partie B

Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = un − ln(u2

n + 1).

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à [0 ; 1].

2. Étudier les variations de la suite (un).

3. Montrer que la suite (un) est convergente.

4. On note ℓ sa limite, et on admet que ℓ vérifie l’égalité f(ℓ) = ℓ.En déduire la valeur de ℓ.

Exercice 23 : Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par :

f(x) = x + ln(

x

2x + 1

).

On note Cf sa courbe représentative dans un repère (O; −→ı ; −→ ).

1. Étudier les limites de f en 0 et en +∞.

2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

3. (a) Montrer que la droite (∆) d’équation y = x − ln(2) est asymptote à Cf en +∞.

(b) Étudier la position de Cf par rapport à (∆).

4. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique α et justifier que α ∈[1 ;

5

4

[.

5. Tracer (∆) et Cf . On fera apparaître toutes les informations importantes découlant del’étude ainsi que α.

Exercice 24 : Soit (un)n∈N la suite définie pour tout entier n > 0 par :

un =1

n + 1+

1

n + 2+ . . . +

1

2n.

1. Calcul des premiers termes de la suite :

(a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n,

un+1 − un =1

2(n + 1)(2n + 1).

(b) Calculer les premiers termes u1, u2 et u3 de cette suite.

2. Étude de la convergence de la suite (un)n∈N :

(a) i. Démontrer que pour tout réel x strictement positif, 1 − 1

x6 ln x 6 x − 1.

ii. En déduire que pour tout entier naturel non nul p,1

p + 16 ln

(p + 1

p

)6

1

p.

(b) Soit n un entier naturel non nul.

i. Écrire l’encadrement précédent pour les valeurs n, n + 1, . . . , 2n − 1 de p.

ii. En effectuant les sommes membre à membre des inégalités obtenues, démontrerque :

un 6 ln 2 6 un +1

2n.

(c) Prouver alors que la suite (un)n∈N converge vers ln 2.



VIII. Le Logarithme népérien IV. APPLICATIONS

Exercice 25 : Soit f la fonction définie sur ] − 4 ; 4[ par :

f(x) = ln(

x + 4

4 − x

).

On note C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormé.

1. Pour tout réel x ∈] − 4 ; 4[, comparer f(−x) et f(x). En déduire que C possède unélément de symétrie.

2. Étude de f sur [0 ; 4[.(a) Déterminer la limite de f en 4. En donner une conséquence graphique

(b) Calculer f ′(x) et étudier son signe sur [0 ; 4[.

(c) En déduire le sens de variation de f sur [0 ; 4[ .

(d) Déterminer une équation de la tangente à C en 0.

(e) Calculer l’abscisse du point A de C d’ordonnée 1. En donner une valeur décimaleapprochée à 10−2 près.

3. Tracer précisément la courbe C en utilisant les résultats obtenus précédemment.

IV Applications

IV.1 Puissance réelle d’un nombre strictement positif

Lorsque n n’est plus entier, la notation an = a × a × . . . × a︸︷︷︸n fois

, introduite en 4ème ne suffit plus.

En effet, que penser de 253 , 3π ou 7

√2 ?

Pour tout réel a strictement positif et tout réel x, on pose :

ax = ex ln a.

Définition 2

Remarque : a > 0 s’impose par le fait que figure ln a dans l’expression.

Exemples 8 : A la calculatrice, on obtient :

— 253 = e

53

ln 2 ≃ 3, 2 — 3π = eπ ln 3 ≃ 31, 5 — 7√

2 = e√

2 ln 7 ≃ 15, 7

Propriétés

Lorsque n est un entier,

an = a × a × . . . × a︸︷︷︸n fois

= eln a × eln a × . . . × eln a

︸︷︷︸n fois

= e

ln a + ln a + . . . + ln a︸︷︷︸n fois

= en ln a.




On retrouve alors la définition du collège. Cette notation est donc bien cohérente. Cela nes’arrête pas là puisque l’on récupère aussi toutes les propriétés des puissances entières avec ,notamment :

Pour tous réels a et b strictement positifs et quels que soient les réels r et s, on a :

— ar × as = ar+s

— a−r =1

ar

— (ar)s = ars

— ar × br = (ab)r

— ln(ar) = r ln a

Proposition 13

Preuve: Il suffit d’écrire et d’utiliser les propriétés de l’exponentielle et du logarithme quel’on connaît :

— ar × as = er ln a × es ln a = e(r+s) ln a = ar+s.

— (ar)s = es ln(

er ln a

)= esr ln a = ars.

— . . .

— ln(ar) = ln(er ln a

)= r ln a.

Fonction puissance x 7−→ xα

Soit α un réel fixé.La fonction f : x 7−→ xα = eα ln x est définie et dérivable sur ]0 ; +∞ [ et on a :

∀x ∈]0 ; +∞ [, f ′(x) = α xα−1.

Théorème 14

Remarque : Nouvelle preuve de la cohérence de cette notation, on retrouve ici encore la dérivée

d’une fonction polynôme lorsque n est entier :(xn)′

= nxn−1.

Preuve: La fonctions ln est définie et dérivable de ]0 ; +∞ [ sur R, la fonction exp l’est surR. Par composition, la fonction x 7−→ eα ln x est donc définie et dérivable sur ]0 ; +∞ [ et on a,d’après les formules de dérivation d’une fonction composée :

∀x ∈]0 ; +∞ [,(eα ln x

)′=

α

x× eα ln x =

α

x× xα = α xα−1.

Le signe de la dérivée dépend donc de celui de α. Afin de compléter le tableau de variations,cherchons les limites aux bornes du domaine de définition.




Tout dépend du signe de α :

Soit α un réel fixé.

α > 0 : limx→0+

xα = 0 et limx→+∞

xα = +∞.

α < 0 : limx→0+

xα = +∞ et limx→+∞

xα = 0.

Proposition 15

Preuve: Simple application des théorèmes sur les produits et composées de limites.

Rien d’étonnant à ce que l’on retrouve les limites des fonctions x 7−→ xn pour n entier. Remar-quons quand même que la présence du logarithme nous limite à définir les fonctions puissancespour α réel sur ]0 ; +∞ [. On ne peut pas tout avoir ! ⌊9⌋

Remarque : Dans le cas, α > 0, comme limx→0+

xα = 0, on peut prolonger la fonction x 7−→ xα

en 0 en posant naturellement 0α = 0. On dit alors que l’on a prolongé la fonction puissance parcontinuité en 0. Cette nouvelle fonction puissance qui coïncide avec l’ancienne sur ]0 ; +∞ [ estalors définie sur [0 ; +∞ [. On les confondra désormais.

Cas α > 0 :

x

α xα−1

xα

0 +∞

+

00

+∞+∞

1

1

0 1 2 3 4 5 6

2

4

6

8

Cas α < 0 :

x

α xα−1

xα

0 +∞

−

+∞

00

1

1

0 1 2 3 4 5 6

2

4

6

8

Pour tout x > 0, la fonction f : x 7−→ xn réalise une bijection de ]0 ; +∞ [ sur ]0 ; +∞ [. Lafonction f est donc une fonction réciproque, notée f−1 définie sur ]0 ; +∞ [. Cette fonction estla fonction racine n-ième : x 7−→ n

√x.

⌊9⌋. Rassurez-vous, il est bien évident que l’on a su prolonger de telles fonctions à un peu plus que ]0 ; +∞ [mais cela demande quelques notions supplémentaires notamment celle des nombres complexes pour commencer.




De plus, on remarquera que pour tout x strictement positif et n > 1, x1n = n

√x.

Enfin, comme le les fonction ln et exp, les fonction xn et n√

x sont symétriques par rapport à lapremière bissectrice.

0 1 2 30

1

2

3

y=

x

x1,8

x1

1,8

IV.2 Le logarithme décimal

On appelle logarithme décimal, la fonction, notée log, définie sur ]0 ; +∞ [ par :

log x =ln x

ln 10.

Définition 3

Le logarithme népérien est ainsi la « fonction logarithme de base e », la fonction log, celle dede base 10 ».

— log 10 = 1 et, d’une manière générale ∀n ∈ N, log 10n =ln 10n

ln 10= n × ln 10

ln 10= n.

— Mieux, la fonction logarithme décimal est la fonction réciproque de la fonction exponen-tielle de base 10 qui, à tout nombre réel x, fait associer ex ln 10 = 10x.

∀x ∈ R, log 10x = x et ∀x ∈]0 ; +∞ [, 10log x = x.

C’est cette dernière propriété qui rend si chère aux physiciens la fonction logarithme déci-mal. La plupart des calculatrices possède une touche dédiée en plus de celle du logarithmenépérien.

— Comme ln 10 > 0, les fonctions log =1

ln 10× ln et ln ont les mêmes variations et les

mêmes limites.

On a : ∀x ∈]0 ; +∞ [, log′(x) =1

x ln 10.




x

log′(x)

log

0 +∞

+

−∞

+∞+∞

1

0

10

1

10

1

bc

1

bc

(T1)

(T10)

log x

(T1) : y =1

ln 10(x − 1) et (T10) : y =

1

10 ln 10(x − 10) + 1.

— Comme le logarithme, la fonction log transforme les produits en sommes :

log(ab) = log a + log b.

Exemple 9 (Nombre de chiffres en écriture décimale) :

Un nombre > 1 est nécessairement compris entre deux puissances de 10 c.-à-d.

∃ p ∈ N∗, / 10p6 N < 10p+1 c.-à-d. N possède p + 1 chiffres.

Or, comme la fonction log est une fonction croissante, on a aussi :

log 10p6 log N < log 10p+1

p 6 log N < p + 1.

On a donc : E(log N) = p où E est la fonction partie entière.

Conclusion : le nombre de chiffres de N est donc : E(log N) + 1.

Par exemple, comme log(20142015

)≃ 6657, 7. Le nombre 20142015 s’écrit avec 6 657

chiffres ! ⌊10⌋




Exercice 26 (Fonctions exponentielles) : Soit a un réel strictement positif, on appellefonction exponentielle de base a, la fonction expa définie par :

∀x ∈ R, expa(x) = ex ln a.

1. (a) Montrer que expe = exp et que expa(x + y) = expa(x) × expa(y) pour x et y réels.

(b) Montrer que expa(n) = an pour n ∈ N. En déduire une autre notation possiblepour expa(x).

(c) Montrer que la fonction expa est définie et dérivable sur R et calculer exp′a.

(d) En déduire les variations de la fonction expa suivant les valeurs de a.

2. (a) Montrer que l’équation xn = y0 admet une unique solution positive x0 pour n ∈ Net y0 > 0.

(b) Montrer que si y0 > 0 alors x0 = y1n0 .

Exercice 27 (Fonctions logarithmes) : Soit a un réel strictement positif différent de 1,on appelle fonction logarithme de base a, la fonction loga définie par :

∀x ∈]0 ; +∞ [, loga x =ln x

ln a

1. Montrer que loge = ln et que loga(xy) = loga(x) + loga(y) pour x et y réels strictementpositifs.

2. (a) Montrer que l’équation ax = y0 admet une unique solution x0 pour y0 strictementpositif et a strictement positif différent de 1.

(b) Montrer que x0 = loga y0.

IV.3 Papier semi-logarithmique et logarithmique

— Le papier semi-logarithmique utilise une échelle linéaire sur l’axe des abscisses et uneéchelle logarithmique sur l’axe des ordonnées. Sur l’axe des ordonnées 10 correspond à 1unité, 100 à 2 unités, 1 000 à 3 unités,. . .Dans un repère semi-logarithmique, la courbe représentative d’une fonction f à valeursstrictement positives est alors :

Cf =

(x, log y) ∈ R2 / y = f(x)

=

(x, y) ∈ R2 / y = log f(x)

Sur le papier semi-logarithmique ci-dessous, on a tracé la fonction exponentielle dont la

représentation graphique est alors une droite d’équation y = log(ex)

=1

ln 10x.




0 1 2 3 4 5 6 7 8 912

1020

100200

10

20001000

10000

100000

ex

— Le papier logarithmique utilise une échelle logarithmique sur l’axe des abscisses et l’axedes ordonnées.Comme log(xn) = n log x, sur ce papier, les représentations graphiques des fonctionspuissances sont des droites d’équation Y = nX.

1

2

10

20

100

200

10

2000

1000

10000

100000

1 2 10 20 100 20010 20001000 10000 100000

x5 x2 x

√x

5√

x

Parfois, on utilise des unités logarithmiques, c’est-à-dire dont la valeur est le logarithme durapport entre deux valeurs (vmin et vmax) d’une grandeur. La base logarithmique choisie dépenddes habitudes de la discipline qui les utilisent :

— le logarithme népérien, dont la base est e, facilite certains calculs, mais ne permet pasd’accéder intuitivement à l’ordre de grandeur décimal (cf exemple 9).




— le logarithme décimal (base 10) donne directement une notion de l’ordre de grandeurpuisque la caractéristique, c’est-à-dire le signe et la partie avant la virgule, le donnedirectement.Par exemple, une échelle, qui va dans la réalité de 10−10 à 1010, sera représentée sur unaxe allant de −10 à 10. Très utile en astronomie, statistiques, intensité sonore, magnituded’un séisme, calcul du pH,. . .

Exemples 10 :En chimie : On définit l’acidité d’une solution par son potentiel hydrogène (pH) qui dépend

de la concentration des ions H3O+. Ces concentration étant faible, on définit :

pH = − log[H3O+].

Conséquence, lorsque la concentration en [H3O+] est multipliée par 10, le pH diminue

de 1 :− log

(10 × [H3O

+])

= −(

log 10 + log[H3O+])

= −1 + pH.

De plus pH = − log[H3O+] ⇐⇒ [H3O

+] = 10−pH. Donc, une certaine boisson gazeusede pH = 2, 6 contient 10−2.6 ≃ 2, 5.10−3mol.l−1 d’ions [H3O

+] à peine 3 fois moinsqu’une batterie de voiture et environ 25000 fois plus qu’un litre d’eau ⌊11⌋.En gros, est à retenir pour faire plaisir à môman, La baisse d’une unité de pH impliqueque l’acidité est multipliée par un facteur 10. Ainsi, une eau de pH 6 est dix fois plusacide qu’une eau de pH 7 ; une eau de pH 5 est 100 fois plus acide qu’une eau de pH7. . .

En acoustique : Le niveau sonore L (en décibels) d’un son d’intensité I est donnée par laformule :

L = 10 logI

I0,

où I0 = 10−12W.m−2 correspond au seuil d’audibilité en dessous duquel aucun son n’estperçu.Par exemple le niveau sonore L2 d’une conversation normale entre deux personnes cor-respondant à I = 105I0 est de :

L2 = 10 log 105 = 10 × 5 = 50 décibels.

Si 2 personnes de plus se joignent à la conversation, le niveau sonore n’est pas multipliépar 2 ! ! !En effet, L4 = 10 log(2 × 105) = 10 × 5 + 10 log 2 ≃ 53 décibels.

Exercice 28 (Acoustique) : Le niveau d’intensité sonore L (en décibels) d’un son est don-née par la formule :

L = 10 log(

I

I0

)où I est l’intensité du son (en W·m−2 et I0 le seuil d’audibilité (intensité

au-dessous de laquelle on n’entend pas le son). On prendra I0 = 10−12 W·m−2

1. Compléter le tableau suivant :

⌊11⌋. Très intéressant, je vous l’accorde.




L (en dB) I (en W·m−2) Exemple

140 Avion au décollage

1 Discothèque

100 Marteau piqueur

10−4 Restaurant scolaire

60 Salle de classe

10−5 Conversation normale

20 Vent léger

2. Lorsque l’intensité I double, de combien de décibels augmente L ?

3. Lorsque L augmente de 20 dB, par combien est multiplié I ?

Un peu d’histoire: Le bel (B) et le décibel (dB) sont des unités acoustiques nommées ainsi enl’honneur du scientifique Alexander Graham Bell. Il est principalement connu pour l’inventiondu téléphone en 1876.

Exercice 29 : On s’intéresse à la chute d’une goutte d’eau qui se détache d’un nuage sansvitesse initiale. Un modèle très simplifié permet d’établir que la vitesse instantanée verticale,exprimée en m.s−1, de chute de la goutte en fonction de la durée de chute t est donnée par lafonction v définie ainsi :

Pour tout réel positif ou nul t, v(t) = 9, 81m

k

(1 − e− k

mt)

; la constante m est la masse de la

goutte en milligramme et la constante k est un coefficient strictement positif lié au frottementde l’air.

On rappelle que la vitesse instantanée est la dérivée de la position.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A - Cas général

1. Déterminer les variations de la vitesse de la goutte d’eau.

2. La goutte ralentit -elle au cours de sa chute ?

3. Montrer que limt→+∞

v(t) = 9, 81m

k. Cette limite s’appelle vitesse limite de la goutte.

4. Un scientifique affirme qu’au bout d’une durée de chute égale à5m

k, la vitesse de la

goutte dépasse 99 % de sa vitesse limite. Cette affirmation est-elle correcte ?

Partie B

Dans cette partie, on prend m = 6 et k = 3, 9.

À un instant donné, la vitesse instantanée de cette goutte est 15 m.s−l.

1. Depuis combien de temps la goutte s’est -elle détachée de son nuage ? Arrondir la réponseau dixième de seconde.

2. En déduire la vitesse moyenne de cette goutte entre le moment où elle s’est détachée dunuage et l’instant où on a mesuré sa vitesse. Arrondir la réponse au dixième de m.s−1.




Exercice 30 (Antilles-Guyane 2017) : Dans tout l’exercice, n désigne un entier naturelstrictement positif. Le but de l’exercice est d’étudier l’équation

(En) :ln(x)

x=

1

n

ayant pour inconnue le nombre réel strictement positif x.

Partie A

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

f(x) =ln(x)

x.

On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

1. Étudier les variations de la fonction f .

2. Déterminer son maximum.

Partie B

1. Montrer que, pour n > 3, l’équation f(x) =1

npossède une unique solution sur [1 ; e]

notée αn.

2. D’après ce qui précède, pour tout entier n > 3, le nombre réel αn est solution de l’équation(En).

(a) Sur le graphique sont tracées les droites D3, D4 et D5 d’équations respectives y =1

3,

y =1

4, y =

1

5.

Conjecturer le sens de variation de la suite (an).

(b) Comparer, pour tout entier n > 3, f (αn) et f (αn).Déterminer le sens de variation de la suite (αn).

(c) En déduire que la suite (αn) converge.Il n’est pas demandé de calculer sa limite.

3. On admet que, pour tout entier n > 3, l’équation (En) possède une autre solution βn

telle que1 6 αn 6 e 6 βn.

(a) On admet que la suite (βn) est croissante.Établir que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3,

βn > nβ3

3.

(b) En déduire la limite de la suite (βn).



Fic

heno

9:Logarithm

ené

périen

y=

x−1

y=

1 ex

e

1

bc 1

bc

lnx

exp(x)

L’a

xede

sor

donn

ées

est

asym

ptot

eà

laco

urbe

en0+

.

x7−→

lnx

est

l’uni

que

fonc

tion

défin

ieet

déri

vabl

esu

r]0

;+∞

[te

llequ

e:

∀x∈]

0;+

∞[,

elnx

=x.

Théorèm

e16

∀x∈R

∗ +,

(ln

x

)′=

1 x∀x

∈R

,ln

ex=

x.

—ln

a=

1⇐

⇒a

=e.

—ln

a=

lnb

⇐⇒

a=

b.

—ln

a>

0⇐

⇒a

>1.

—ln

a<

lnb

⇐⇒

a<

b.

x

ln′ (x

)=

1 x

ln

0+

∞

+

−∞

+∞

+∞

1 0

e 1

lnab

=ln

a+

lnb

lna b

=ln

a−

lnb

lna

n=

nln

aln

1 a=

−ln

a

La

fonc

tion

loga

rith

me

est

unm

orph

ism

ede

grou

pes

entr

e( R

∗ ,×)

et( R

,+)

:el

le«

tran

sfor

me

»le

spr

odui

tsen

som

mes

.

lim

x→

+∞

lnx

=+

∞lim

x→

0+ln

x=

−∞

lim

x→

0+

ln(x

+1)

x=

1lim

x→

+∞

lnx x

=0+

lim

x→

0+x

lnx

=0−

(ln

u

)′=

u′ u

(ave

cu

>0

!)

∀x∈]

0;+

∞[,

log

x=

lnx

ln10

log′ (x

)=

1x

ln10

log

10x

=10

log

x=

x

∀a>

0,∀x

∈R

,a

x=

exln

a.

Bac Blanc Terminales S – 12 février 2020

Durée : 4 heures

Exercice 1 6 points

Commun à tous les candidats

Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

• Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est1

4;

• Si le joueur perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est1

2;

• La probabilité de gagner la première partie est1

4.

Pour tout entier naturel n non nul, on note Gn l’évènement « la nème partie est gagnée » et on

note pn la probabilité de cet évènement. On a donc p1 =1

4.

1. (a) Compléter l’arbre pondéré donné en annexe.

(b) Montrer que p2 =7

16.

2. (a) Compléter l’arbre pondéré donné en annexe qui décrit la situation à la nème partie.

(b) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = −1

4pn +

1

2.

3. On obtient ainsi les premières valeurs de pn :

n 1 2 3 4 5 6 7pn 0,25 0,437 5 0,390 6 0,402 3 0,399 4 0,400 1 0,399 9

Quelle conjecture peut-on émettre ?

4. On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite (un) par un = pn − 2

5.

(a) Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

(b) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, pn =2

5− 3

20

(−1

4

)n−1

.

(c) La suite (pn) converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.

Exercice 2 5 points


Partie A

Soit a et b des nombres réels. On considère une fonction f définie sur [0 ; +∞[ par

f(x) =a

1 + e−bx.

La courbe Cf représentant la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.

La courbe Cf passe par le point A(0 ; 0,5). La tangente à la courbe Cf au point A passe par lepoint B(10 ; 1).

Terminale S

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 190

0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01,1

bB Cf

1. Justifier que a = 1.On obtient alors, pour tout réel x > 0,

f(x) =1

1 + e−bx.

2. On admet que la fonction f est dérivable sur [0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée.Vérifier que, pour tout réel x > 0,

f ′(x) =be−bx

(1 + e−bx)2 .

3. En utilisant les données de l’énoncé, déterminer b.

Partie B

La proportion d’individus qui possèdent un certain type d’équipement dans une population estmodélisée par la fonction p définie sur [0 ; +∞[ par

p(x) =1

1 + e−0,2x.

Le réel x représente le temps écoulé, en année, depuis le 1er janvier 2000.

Le nombre p(x) modélise la proportion d’individus équipés après x années.

Ainsi, pour ce modèle, p(0) est la proportion d’individus équipés au 1er janvier 2000 et p(3, 5)est la proportion d’individus équipés au milieu de l’année 2003.

1. Quelle est, pour ce modèle, la proportion d’individus équipés au 1er janvier 2010 ? On endonnera une valeur arrondie au centième.

2. (a) Déterminer le sens de variation de la fonction p sur [0 ; +∞[.

(b) Calculer la limite de la fonction p en +∞.

(c) Interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.

3. On considère que, lorsque la proportion d’individus équipés dépasse 95 %, le marché estsaturé.Déterminer, en expliquant la démarche, l’année au cours de laquelle cela se produit.

Lycée Gontran Damas 12 février 2020

Terminale S

Exercice 3 5 points


On considère le polynôme P définie dans C par :

P(z) = z3 − (2 + i)z2 + 2(1 + i)z − 2i.

1. Calculer P(i)

2. Déterminer en justifiant votre raisonnement, deux réels p et q tels que :

∀z ∈ C, P(z) = (z − i)(z2 + pz + q).

3. Résoudre dans C, P(z) = 0. On donnera les racines de P(z) sous forme algébrique ettrigonométrique.On nommera zA la racine imaginaire pure et zB, celle dont la partie imaginaire est positive.

4. Placer A(zA), B(zB) et C(zC) dans le plan complexe donné annexe.Que pouvez-vous conjecturer sur la nature du triangle ABC ?

5. Démontrer votre conjecture.

6. Donner l’affixe du centre du cercle circonscrit au triangle ABC.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même nonfructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Exercice 3 5 points


Partie A

On considère les matrices M de la forme M =

a b

5 3

où a et b sont des nombres entiers.

Le nombre 3a − 5b est appelé le déterminant de M . On le note det (M).

Ainsi det(M) = 3a − 5b.

1. Dans cette question on suppose que det(M) 6= 0 et on pose N =1

det(M)

3 −b

−5 a

.

Justifier que N est l’inverse de M .

2. On considère l’équation (E) : det(M) = 3.On souhaite déterminer tous les couples d’entiers (a ; b) solutions de l’équation (E).

(a) Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de (E).

(b) Montrer que le couple d’entiers (a ; b) est solution de (E) si et seulement si 3(a−6) = 5(b−3).En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).

Partie B

1. On pose Q =

6 3

5 3

. En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.


Terminale S

2. Codage avec la matrice Q

Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice Q =

6 3

5 3

on utilise la

procédure ci-après :

Étape 1 : On associe au mot la matrice X =

x1

x2

où x1 est l’entier correspondant à la

première lettre du mot et x2 l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon letableau de correspondance ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12N O P Q R S T U V W X Y Z13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Étape 2 : La matrice X est transformée en la matrice Y =

y1

y2

telle que Y = QX.

Étape 3 : La matrice Y est transformée en la matrice R =

r1

r2

telle que r1 est le reste

de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 est le reste de la division euclidienne de y2

par 26.

Étape 4 : À la matrice R =

r1

r2

on associe un mot de deux lettres selon le tableau de

correspondance de l’étape 1.

Exemple : JE → X =

9

4

→ Y =

66

57

→ R =

14

5

→ OF.

Le mot JE est codé en le mot OF.Coder le mot DO.

3. Procédure de décodageOn conserve les mêmes notations que pour le codage.Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que Y = QX.

(a) Démontrer que 3X = 3Q−1Y puis que

3x1 ≡ 3r1 − 3r2 [26]3x2 ≡ −5r1 + 6r2 [26]

(b) En remarquant que 9 × 3 ≡ 1 [26], montrer que

x1 ≡ r1 − r2 [26]x2 ≡ 7r1 + 2r2 [26]

(c) Décoder le mot SG.

Exercice 4 4 points


Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q. C. M.). Pour chacune des questions,une seule des quatre réponses est exacte.Le candidat indiquera sur le tableau donné en annexe la lettre correspondant à la réponse exacte.Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponsefausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

1. On considère la fonction f définie par f(x) = x2e−x. Sa dérivée, f ′, est donnée par :


Terminale S

(a) e−x(2 − x)x. (b) 2xe−x. (c) −2xe−x. (d) e−x(2 + x)x.

2. Une forme simplifiée deex

1 + exest :

(a) 1 + e−x. (b)1

1 + e−x. (c) ex + e−x. (d)

1 + ex

ex.

3. La tangente au point d’abscisse 1 à la courbe représentative de la fonction f définie parf(x) = 2

√x2 + 3 est donnée par :

(a) y = x + 3. (b) y =1

2x +

7

2. (c) y = x +

7

2. (d) y =

1

2x + 3.

4. On considère la fonction f définie par f(x) =ex

e2x + 1. Alors,

(a) f est paire.

(b) f est impaire

(c) f n’est ni paire ni impaire.

(d) f est π-périodique.


Terminale S

Nom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ANNEXE

Exercice 1

1.

G1

p1

G2

1

4

G23

4

G1

1 − pnG2

1

2

G21

2

2. (a)

Gn

pn

Gn+10, 25

Gn+10, 75

Gn

1 − pn

Gn+10, 5

Gn+10, 5

Exercice 3

−→u

−→v

1O

Exercice 4

Question 1 Question 2 Question 3 Question 4


Chapitre

IX

Nombres Complexes II

Derniers vestiges de la géométrie qui fut à l’honneur il y a quelques années, les nombrescomplexes montreront toute leur puissance dans la résolution de problèmes géomé-triques qui ont hanté les nuits de vos aînés.

SommaireI Forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

I.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294I.2 Règles de calcul en notation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 297I.3 Application à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

II Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299II.1 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299II.2 Argument et Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

III Ensemble de points (le retour) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304III.1 Angle de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304III.2 Nature d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Devoir en temps libre no 7 : Nombres Complexes et Exponentielle . . 307Correction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309Devoir en temps libre no 8 : Le pentagone régulier . . . . . . . . . . . 313Correction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314Fiche no 10 : Les nombres Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

293

IX. Nombres Complexes II I. FORME EXPONENTIELLE

I Forme exponentielle

I.1 Introduction

Soit f la fonction définie de R dans C par :

f(θ) = cos θ + i sin θ.

Remarque : La fonction f associe donc à tout réel θ un nombre complexe, donné sous sa formetrigonométrique, de module 1 et d’argument θ [2π].

Comme somme de fonctions dérivables sur R, la fonction f est aussi dérivable sur R et vérifief(0) = 1.

De plus, si l’on considère deux réels θ et θ′, on a :

— D’une part, f(θ + θ′) = cos(θ + θ′) + i sin(θ + θ′)

= cos θ cos θ′ − sin θ sin θ′ + i(

cos θ sin θ′ + sin θ cos θ′)

.

— D’autre part, f(θ) × f(θ′) =(

cos θ + i sin θ)

×(

cos θ′ + i sin θ′)

= cos θ cos θ′ − sin θ sin θ′ + i(

cos θ sin θ′ + sin θ cos θ′)

.

Donc f(θ + θ′) = f(θ) × f(θ′).

La fonction f est donc une fonction dérivable sur R, vérifiant f(θ+θ′) = f(θ)×f(θ′) et f(0) = 1.

Depuis le chapitre sur l’exponentielle, on sait que les seules fonctions vérifiant ces propriétéssont les fonctions du type :

f(θ) = ekθ.

Déterminons le paramètre k en dérivant f : D’une part, on a f ′(θ) = kekθ et de l’autref ′(θ) = − sin θ + i cos θ. Donc ∀θ ∈ R :

kekθ = − sin θ + i cos θ.

Pour θ = 0, on obtient k = i.

Conclusion : f(θ) = eiθ c.-à-d. eiθ = cos θ + i sin θ.Il en résulte donc une définition/théorème :

Tout nombre complexe z de module r et d’argument θ peut s’écrire, de manière unique,sous la forme :

z = reiθ avec r > 0 et θ ∈] − π ; π ].

Cette écriture est appelée forme exponentielle du nombre z.

Définition 1

La forme exponentielle permet de lire rapidement le module et l’argument modulo 2π d’unnombre complexe et est particulièrement bien adaptée aux calculs multiplicatifs et à la géométriecomme nous le verrons.




Exemples 1 : Quelques exemples classiques à retenir ou à savoir retrouver :

— ei0 = ei2π = 1.

— ei π2 = i.

— eiπ = e−iπ = −1.

— 2eiπ

3 = 2 cosπ

3+ i2 sin

π

3

= 1 + i√

3.

—√

2eiπ

4 =√

2 cosπ

3+ i

√2 sin

π

4= 1 + i.

— 2eiπ

6 = 2 cosπ

6+ i2 sin

π

6

=√

3 + i.

Une des relations précédentes due à Leonhard Euler (1707-1783) est reconnue comme l’unedes plus belles équations mathématiques et mérite un cadre bien à elle.

Pour tout nombre réel θ, on a :

eiπ + 1 = 0. (IX.1)

Théorème 1 (Relation d’Euler)

Cette relation relie d’une manière quasi-miraculeuse, les 5 constantes universelles des mathé-matiques 0, 1, π, i et e et avec elles, relie, dans l’ordre, l’arithmétique, la géométrie, l’algèbreet l’analyse.

Un nombre complexe peut donc s’écrire sous trois formes bien distinctes : algébrique, trigono-métrique et exponentielle. Chacune d’elles sera à préférer aux autres suivant le type de calculsà effectuer. Pensez-y !

Exemple 2 : Différentes écritures du nombre complexe 1 + i√

3 :

Forme algébrique Forme trigonométrique Forme exponentielle

1 + i√

3 2[cos

(π

3

)+ i sin

(π

3

)]2 ei π

3

Exemple 3 (Passage de la forme exponentielle à la forme trigonométrique, puis algébrique)

z = 4ei 3π4 (Forme exponentielle)

= 4[cos

(3π

4

)+ i sin

(3π

4

)](Forme trigonométrique)

= 4

(−

√2

2+ i

√2

2

)

= −2√

2 + 2i√

2. (Forme algébrique)




Exercice 1 : Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique :

z1 = 4eiπ3 z2 = 3ei

π4

z3 =√

2eiπ

z4 = 2e2iπ

z5 = eiπ2

z6 =1

2ei

π3

Exercice 2 : Mettre les nombres complexes suivants sous forme exponentielle :

z1 = −2 + 2iz2 = 1 − iz3 = −3 − 3iz4 =

√3 + i

z5 = 3i

z6 = 3

z7 = −iz8 = 2 + 2i

√3

z9 = 1 + iz10 = 3 − 3i

z11 =1

2+

i2

z12 = −√

6 + i√

2

z13 = 2713

z14 =1 − i

√3

3

z15 =i − 1

1 + i

z16 = i√

2

On a aussi une autre jolie relation attribuée également à Euler qui est l’équivalent exponentiel

des relations Re (z) =z + z

2et Im (z) =

z − z

2i:

cos θ =eiθ + e−iθ

2et sin θ =

eiθ − e−iθ

2i.

Proposition 2 (Formule d’Euler)

Preuve: On a :

eiθ = cos θ + i sin θ,

e−iθ = cos θ − i sin θ.

La somme et la différence des deux expressions précédentes donnent le résultat.

Remarque : On verra plus tard, si ce n’est déjà remarqué, que eiθ = e−iθ. On retrouve ainsides formules déjà vues.

Exercice 3 : En utilisant les formules d’Euler, établir les identités suivantes :

1. cos2(θ) =1 + cos 2θ

2

2. sin2(θ) =1 − cos 2θ

2

3. sin2(θ) cos2(θ) =1 − cos 4θ

8

4. cos3(θ) =3 cos θ + cos 3θ

4




I.2 Règles de calcul en notation exponentielle

Soient z = reiθ et z′ = r′eiθ′deux nombres complexes sous leur forme exponentielle avec

r′ 6= 0 et n un nombre entier :

— Produit : reiθ × r′eiθ′= rr′ei(θ+θ′).

— Puissance :(reiθ

)n= rneinθ.

— Conjugué : reiθ = re−iθ.

— Quotient :reiθ

r′eiθ′ =r

r′ ei(θ−θ′).

— Inverse :1

reiθ=

1

re−iθ.

Proposition 3

Remarque : Pour les calculs du type « somme » ou « différence », on préférera donc la formealgébrique. La forme exponentielle, quant à elle, sera privilégiée pour les calculs de produits oude quotients.

Preuve: Rien à faire si ce n’est rappeler les propriétés de la fonction exponentielle.

Exemple 4 (Applications de la forme exponentielle aux calculs de produits et quotients)

On considère les nombres complexes z1 = 2 ei π3 et z2 = 2

√3 ei π

6 :

z1z2 = 2 × 2√

3 × ei π3 × ei π

6

= 4√

3ei(π3

+ π6 )

= 4√

3ei π2 .

z24 =

(2√

3ei π6

)4

=(2√

3)4

ei4 π6

= 144e2iπ3 .

z2

z1=

2√

3ei π6

2ei π3

=2√

3

2ei(π

6− π

3 )

=√

3 e−i π6 .

Exercice 4 : Effectuer les calculs suivants. Donner le résultat sous forme exponentielle

z1 = 5eiπ6 × ei

π3

z2 = 2eiπ2 × 2ei

π6

z3 = eiπ2 × (−eiπ)

z4 =8ei

π3

eiπ3

z5 =2ei

π2

eiπ

z6 =eiπ

eiπ6

z7 =8ei

4π3 × 1

2eiπ6

eiπ3

z8 =2e−i π

2

2eiπ × 3eiπ2

z9 = eiπ6 + ei

π3

z10 =

(ei

π6

)2

(e−iπ)2

z11 =1 + i1 − i

z12 =(

1 + i1 − i

)3

z13 = (1 + i√

2)2

z14 = (1 + i√

2)3

z15 = (1 − i√

5)4

z16 =1 + i

√3√

3 − i

z17 =

√6 − i

√2

1 + i

Les théorèmes et propriétés qui suivent illustrent bien le potentiel de la forme exponentielle.




Soient θ un nombre réel et n un entier.(

cos θ + i sin θ)n

= cos nθ + i sin nθ.

Théorème 4 (Formules de Moivre)

Preuve: Magique de simplicité grâce à la notation exponentielle :

(eiθ)n

= einθ ⇐⇒(

cos θ + i sin θ)n

= cos nθ + i sin nθ.

Exercice 5 : À l’aide des formules de Moivre, montrer que :

1. cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ

2. sin 2θ = 2 sin θ cos θ.3. Linéariser, de même, cos 3θ et sin 3θ.

I.3 Application à la trigonométrie

Pour tous réels a et b, on a :

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b. sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b.

Proposition 5 (Formule d’addition)

Preuve: C’est encore une application de la proposition (3) . Pour tous a et b réels, ona :

eia = cos a + i sin a et eib = cos b + i sin b.

Or, eia × eib = ei(a+b) = cos(a + b) + i sin(a + b) mais aussi :

eia × eib =(

cos a + i sin a)(

cos b + i sin b)

= cos a cos b − sin a sin b + i(

sin a cos b + cos a sin b)

.

En identifiant parties réelles et imaginaires, on obtient les deux premières formules. Il suffit alorsde remplacer b par −b et d’utliser la parité de cos et l’imparité de sin pour avoir la deuxièmesérie de formules.

Exercice 6 : A l’aide de la proposition (5) , redémontrer les formules de l’ exercice (5).



IX. Nombres Complexes II II. ARGUMENT D’UN NOMBRE COMPLEXE

Exercice 7 : On se propose dans cet exercice de calculer des valeurs exactes de cos(

2π

5

)et

sin(

π

5

).

1. Démontrer que pour tout nombre complexe z 6= 1 :

1 + z + z2 + z3 + z4 =1 − z5

1 − z.

2. En utilisant la valeur z0 = ei 2π5 dans la formule précédente, démontrer que :

(z2

0 +1

z20

)+(

z0 +1

z0

)+ 1 = 0.

3. Démontrer que : (z2

0 +1

z20

)=(

z0 +1

z0

)2

− 2.

et que :(

z0 +1

z0

)= 2 cos

(2π

5

).

4. En déduire que cos(

2π

5

)est solution d’une équation du second degré que l’on précisera,

puis calculer la valeur exacte cherchée.

L’analogie avec la fonction exponentielle et l’idée géniale de remarquer qu’un nombre complexepuisse se mettre sous une forme exponentielle permet d’obtenir rapidement et simplement grâceà la proposition (3) des propriétés sur les modules ⌊1⌋ et les arguments. Concentrons-nousdonc sur ces derniers.

II Argument d’un nombre complexe

II.1 Propriétés algébriques

Soient z et z′ deux nombres complexes non nuls.

— arg(zz′) ≡ arg z + arg z′ [2π]

— arg(

1

z

)≡ arg(z) ≡ − arg(z) [2π]

— arg(

z

z′

)≡ arg z − arg z′ [2π]

En particulier, ∀ n ∈ Z, arg(zn)

= n arg z.

Proposition 6

ATTENTION arg(−z) ≡ π + arg z [2π].

Bien sûr, tout le monde aura remarquer que la fonction arg se comporte comme la fonction lnavec les produits.

⌊1⌋. cf. Chapitre précédents




Preuve: La proposition (6) n’est qu’un cas particulier de la proposition (3) enne considérant que les arguments. On considère donc deux nombres complexes z = reiθ etz′ = r′eiθ

′écrits sous leur forme exponentielle d’après la définition (1) .

— zz′ = reiθ × r′eiθ′= rr′ei(θ+θ′). Donc arg(zz′) ≡ arg z + arg z′ [2π]. ⌊2⌋

— reiθ = re−iθ et si z 6= 0 ⇐⇒ r 6= 0,1

reiθ=

1

re−iθ. En ne regardant que les arguments, on

obtient arg(z)

≡ − arg z [2π] et arg(

1

z

)≡ − arg z [2π]. ⌊3⌋

— Pour l’argument du quotient, soit on écrit que

arg(

z

z′

)≡ arg

(z × 1

z′

)≡ arg z + arg

(1

z′

)

≡ arg z − arg z′ [2π]

en transformant le quotient en produit et on utilise les formules précédentes, soit onpréfère la forme exponentielle :

z

z′ =r

r′ ei(θ−θ′) =⇒ arg

(z

z′

)≡ arg z − arg z′ [2π] . ⌊4⌋

— La dernière assertion est une conséquence de(reiθ

)n= rneinθ. ⌊5⌋

O

M(z)

|z|

θ1

M(z′)

|z′|

θ2

M(zz′)

|zz′|

θ1 + θ2

Dans la multiplication de deux nombres complexes, les modules se multiplient et lesarguments s’ajoutent.

Moralité :— Les formes trigonométriques et exponentielles sont adaptées aux produits de complexes.

— Les formes algébriques sont adaptées aux sommes de complexes.

⌊2⌋. Sur les modules, on obtiendrait |zz′| = |z| × |z′|.⌊3⌋. Sur les modules, on obtiendrait |z| = |z| et

∣∣∣∣1z

∣∣∣∣ =1|z| .

⌊4⌋. Sur les modules, on obtiendrait∣∣∣ z

z′

∣∣∣ =|z||z′| .

⌊5⌋. Sur les modules, on obtiendrait |zn| = |z|n.




Exemple 5 : En reprenant les notations de l’ exemple (4) , on obtient, sans calculs :

— arg(z1z2) ≡ arg(z1) + arg(z2) ≡ π

3+

π

6≡ π

2[2π]

— arg(

1

z1

)≡ − arg z1 ≡ −π

3[2π]

— arg(

z2

z1

)≡ arg z2 − arg z1 ≡ π

6− π

3≡ −π

6[2π]

Exercice 8 : On considère un nombre complexe z tel que

|z| = 2 et arg(z) =5π

6

1. Déterminer les écritures exponentielle et algébrique de z.

2. Déterminer l’écriture algébrique de1

z.

3. Déterminer, par deux méthodes différentes, l’écriture algébrique de1

z.

II.2 Argument et Angle

Soient A(zA) et B(zB) deux points du plan complexe (O; −→u ; −→v ) d’affixes respectives zA

et zB.

—(−→u ;

−→OA

)≡ arg zA [2π]. —

(−→u ;−→AB

)≡ arg

(zB − zA

)[2π].

—(−→OA;

−−→OB

)≡ arg

zB

zA≡ arg zB − arg zA [2π] .

Proposition 7 (Angle de deux vecteurs)

O

A(zA)

B(zB)

arg(zA)

arg(zB)

arg(zB − zA

)

−→u

−→v

Preuve:(−→OA;

−−→OB

)≡(−→u ;

−−→OB

)−(−→u ;

−→OA

)

≡ arg zB − arg zA ≡ argzB

zA

[2π] .




Enfin, pour la dernière assertion, il existe un unique point M tel que−−→OM =

−→AB c.-à-d. zM = zB−zA.

On applique alors les résultats précédents :

(−→u ;−→AB

)≡(−→u ;

−−→OM

)≡ arg

(zB − zA

)[2π] .

Exemple 6 : On donne A(2+i) et B(−1−2i). Déterminer les coordonnées du−→AB, la distance

AB et l’angle(−→u ;

−→AB

).

— z−→AB

= zB − zA = −1 − 2i − 2 − i = −3 − 3i. Donc−→AB (−3; −3).

— AB = |zB − zA| = |−3 − 3i| = 3√

2.

—cos θ = − 3

3√

2= −

√2

2

sin θ = − 3

3√

2= −

√2

2

=⇒ θ ≡ −3π

4[2π]. Donc

(−→u ;−→AB

)≡ −3π

4[2π].

Complétons enfin la proposition (7) par le résultat qui vous servira dans vos exercices debac :

Dans le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O; −→u ; −→v ), on considère les pointsA, B, C et D deux à deux distincts et d’affixes respectivement zA, zB,zC et zD.

(−→AB;

−−→CD

)≡ arg

(zD − zC

zB − zA

)[2π] .

Corollaire 8

Preuve: La démonstration est identique à la précédente :

(−→AB;

−−→CD

)≡(−→u ;

−−→CD

)−(−→u ;

−→AB

)

≡ arg(zD − zC

)− arg

(zB − zA

)≡ arg

(zD − zC

zB − zA

)[2π] .

Exercice 9 : Soit a = 1 + i, on pose pour tout z ∈ C, f(z) = az.

1. Dans le plan complexe, placer les points A(2), B(−1), C(i), D(1 − i) et E(2i−2). Placerensuite les points : A′(f(2)), B′(f(−1)), C ′(f(i)), D′(f(1 − i)) et E ′(f(2i − 2)).

2. Déterminer les angles

(−→OA,

−−→OA′),

(−−→OB,

−−→OB′) et

(−→OC,

−−→OC ′).

3. Déterminer les rapportsOC ′

OC,

OD′

ODet

OE ′

OE.




4. Conjecturer l’action qu’a f sur le plan complexe.

5. Déterminer une forme trigonométrique de a, en déduire pour tout z ∈ C le module etl’argument de f(z) en fonction de ceux de z.


Exercice 10 : Soit a ∈ C, on pose pour tout z ∈ C, f(z) = z + a.

1. Pour a = 2 + i, placer dans le plan complexe les points A(0), B(i − 1) et C(2i) et lespoints A′(f(0)), B′(f(i − 1)), C ′(f(2i)).

2. Déterminer les affixes des vecteurs−−→AA′,

−−→BB′ et

−−→CC ′.

3. Conjecturer la transformation géométrique qu’effectue f sur le plan complexe.

4. Pour a et z quelconques, déterminer l’affixe du vecteur−−→AA′, A étant le point d’affixe z

et A′ le point d’affixe f(z).


Exercice 11 (Asie 2015) : Le plan est muni du repère orthonormé direct (O; −→u ; −→v ).

On donne le nombre complexe j = −1

2+ i

√3

2.

Le but de cet exercice est d’étudier quelques propriétés du nombre j et de mettre en évidenceun lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux.

Partie A : propriétés du nombre j

1. (a) Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation

z2 + z + 1 = 0.

(b) Vérifier que le nombre complexe j est une solution de cette équation.

2. Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa formeexponentielle.

3. Démontrer les égalités suivantes :

(a) j3 = 1 ;

(b) j2 = −1 − j.

4. On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1, j et j2 dans le plan.Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse.

Partie B

Soit a, b, c trois nombres complexes vérifiant l’égalité a + jb + j2c = 0.

On note A, B, C les images respectives des nombres a, b, c dans le plan.

1. En utilisant la question A - 3. b., démontrer l’égalité : a − c = j(c − b).

2. En déduire que AC = BC.

3. Démontrer l’égalité : a − b = j2(b − c).

4. En déduire que le triangle ABC est équilatéral.



IX. Nombres Complexes II III. ENSEMBLE DE POINTS (LE RETOUR)

III Ensemble de points (le retour)

On avait déjà cherché (et trouvé !) des ensembles de points à partir du module :

— (E ) : |z − zA| = r avec r > 0 ⇐⇒ (E ) : AM = r.

(E ) est le cercle de centre A et de rayon r.

— (E ) : |z − zA| = |z − zB| ⇐⇒ (E ) : AM = BM .

(E ) est la médiatrice du segment [AB].

Nous pouvons désormais faire de même à partir de l’argument.

III.1 Angle de deux vecteurs

Dans le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O; −→u ; −→v ), on considère les pointsA, B, C et D tels que A 6= B et C 6= D et d’affixes respectives zA, zB,zC et zD.

(−→AB;

−−→CD

)≡ arg

(zD − zC

zB − zA

)[2π] .

Rappels 1 (Angle orienté de deux vecteurs)

À partir de cette relation, on peut alors chercher des ensembles de points dont les relations sontbasées sur l’angle des vecteurs

−→AB et

−−→CD c.-à-d. des problèmes de colinéarité, d’alignement ou

d’orthogonalité.

Dans le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O; −→u ; −→v ), on considère les pointsA, B, C et D tels que A 6= B et C 6= D et d’affixes respectives zA, zB, zC et zD.

A, B et C sont distinctset alignés

⇐⇒−→AB et

−→AC sont coli-

néaires non nuls⇐⇒ zC − zA

zB − zA∈ R.

(AB) // (CD) ⇐⇒−→AB et

−−→CD sont coli-

néaires non nuls⇐⇒ zD − zC

zB − zA∈ R.

(AB) ⊥ (CD) ⇐⇒ −→AB.

−−→CD = 0 ⇐⇒ zD − zC

zB − zA

∈ iR.

Proposition 9 (Colinéarité et orthogonalité)

Preuve: Simplement se rappeler que :

— arg z ≡ 0 [π] ⇐⇒ z ∈ R.

— arg z ≡ π

2[π] ⇐⇒ z ∈ iR.

Le reste n’est qu’affaire de traduction.




Remarque : zC − zA

zB − zA

∈ R ⇐⇒ ∃k ∈ R tel que zC − zA = k(zB − zA

).

La première assertion signifie donc simplement que deux vecteurs−→AB et

−→AC sont colinéaires

si, et seulement si leur affixe zB − zA et zC − zA sont proportionnelles dans R.

On retrouve ainsi un résultat déjà vrai pour les coordonnées des vecteurs.

III.2 Nature d’un triangle

Un exemple classique est un exercice où l’on vous demande la nature d’une certain triangle ABC.

— ABC est isocèle en A si, et seulement si AB = AC ⇐⇒ |zB − zA| = |zC − zA|.— ABC est équilatéral si, et seulement si AB = AC = BC,

ou si, et seulement si AB = AC et(−→AB;

−→AC

)≡ ±π

3[2π]

si, et seulement si |zB − zA| = |zC − zA| et arg(

zC − zA

zB − zA

)≡ ±π

3[2π]

— ABC est rectangle en A si, et seulement si−→AB.

−→AC = 0 ⇐⇒ zC − zA

zB − zA∈ iR.

— ABC est rectangle isocèle en A si, et seulement si−→AB.

−→AC = 0 et AB = AC

⇐⇒ zC − zA

zB − zA

= ±i.

Preuve: On sait déjà que−→AB.

−→AC = 0 ⇐⇒ zC − zA

zB − zA∈ iR c.-à-d. ∃r ∈ R+ tel que :

zC − zA

zB − zA= re±iπ

2 .

Comme |zB − zA| = |zC − zA|, on obtient :

r =∣∣∣rei

π2

∣∣∣ =∣∣∣∣zC − zA

zB − zA

∣∣∣∣ = 1 ⇐⇒ r = 1.

Conclusion :zC − zA

zB − zA

= e±iπ2 = ±i.

Exercice 12 : Dans chacun des cas suivants, utiliser le résultat précédent pour vérifier si letriangle ABC est rectangle en B.

1. A(3 + 2i), B(0) et C(

−1 +3

2i)

;

2. A(2 − i), B(1 − 4i) et C(−2 − 3i) ;

3. A(−4), B(−2 + 3i) et C(4 − i).

Dans les cas où il est rectangle vérifier s’il est isocèle.




Exercice 13 (Classique) : On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormédirect (O; −→u ; −→v ).

1. Déterminer l’ensemble (E1) des points M d’affixes z vérifiant l’égalité :

|z − 3 + 2i| = 5.

2. Déterminer l’ensemble (E2) des points M d’affixes z vérifiant l’égalité :

|z − 3 + 2i| = |z + 1 − i| .

3. Soient A, B et C trois points d’affixes zA = 3 − 2i, zB = −1 + i et zC = 6 + 2i.

(a) Calculer le module et l’argument de Z =zC − zA

zB − zA.

(b) En déduire la nature du triangle ABC.

Exercice 14 (Pondichéry 2017) : On munit le plan complexe d’un repère orthonormédirect (O; −→u ; −→v ).

1. On considère l’équation (E) : z2 − 6z + c = 0, où c est un réel strictement supérieur à 9.

(a) Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles.(b) Justifier que les solutions de (E) sont zA = 3 + i

√c − 9 et zB = 3 − i

√c − 9.

2. On note A et B les points d’affixes respectives zA et zB.Justifier que le triangle OAB est isocèle en O.

3. Démontrer qu’il existe une valeur du réel c pour laquelle le triangle OAB est rectangleet déterminer cette valeur.

Exercice 15 (Métropole 2015) :1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation (E) d’inconnue z :

z2 − 8z + 64 = 0.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O; −→u ; −→v ).2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 4 + 4i

√3, b = 4 − 4i

√3 et

c = 8i.(a) Calculer le module et un argument du nombre a.(b) Donner la forme exponentielle des nombres a et b.(c) Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle ce de centre O dont on

déterminera le rayon.(d) Placer les points A, B et C dans le repère (O; −→u ; −→v ).

Pour la suite de l’exercice, on pourra s’aider de la figure de la question 2. d. complétéeau fur et à mesure de l’avancement des questions.

3. On considère les points A′, B′ et C ′ d’affixes respectives a′ = aei π3 , b′ = bei π

3 et c′ = cei π3 .

(a) Montrer que b′ = 8.(b) Calculer le module et un argument du nombre a′.

Pour la suite on admet que a′ = −4 + 4i√

3 et c′ = −4√

3 + 4i.4. On admet que si M et N sont deux points du plan d’affixes respectives m et n alors le

milieu I du segment [MN ] a pour affixem + n

2et la longueur MN est égale à |n − m|.

(a) On note r, s et t les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A′B],[B′C] et [C′A].Calculer r et s. On admet que t = 2 − 2

√3 + i

(2 + 2

√3).

(b) Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? Justifier cerésultat.



Thème: Nombres Complexes et Exponentielle TS-SI - Devoir en temps libre no 7


Exercice 1 (Tangentes communes) : Soit C la courbe représentative de la fonction expet Γ celle de la fonction ln.

L’objectif est de déterminer s’il existe des tangentes communes aux courbes C et Γ.

0 2 4−2−40

−2

−4

2

4

b

B

b

A

C

Γ

Utilisation d’un logiciel :

1. Tracer les courbes C et Γ à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique.

2. Placer un point A sur C et construire la tangente TA à C en A.

3. Placer un point B sur Γ et construire la tangente TB à Γ en B.

4. Déplacer A et B. Pour quelle(s) position(s) de A et B, les courbes C et Γ possèdent-ellesdes tangentes communes ?

Mise en équation :

1. Soient A(a ; ea) un point de C avec a un réel quelconque et B(b ; ln b) un point de Γ avecb > 0.Déterminer une équation de la tangente TA à C en A.

2. Déterminer une équation de la tangente TB à Γ en B.



Thème: Nombres Complexes et Exponentielle TS-SI - Devoir en temps libre no 7

3. Montrer que les tangentes TA et TB sont confondues si, et seulement si :

b = e−a et ea(a − 1) = a + 1.

Utilisation d’une fonction :

On souhaite résoudre l’équation (E) :

ex(x − 1) − x − 1 = 0 dans R. (E)

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = ex(x − 1) − x − 1.

1. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur [1 ; +∞[, dont ondonnera une valeur approchée à 10−2 près.

2. Montrer que f(−α) = 0.

3. On admet que l’équation (E) n’admet pas d’autres solutions. Conclure.

Exercice 2 :1. Soit a ∈ C, on pose pour tout z ∈ C :

f(z) = z + a.

(a) Pour a = 2 + i, placer dans le plan complexe les points A(0), B(i − 1) et C(2i) etles points A′(f(0)), B′(f(i − 1)), C ′(f(2i)).

(b) Déterminer les affixes des vecteurs−−→AA′,

−−→BB′ et

−−→CC ′.

(c) Conjecturer la transformation géométrique qu’effectue f sur le plan complexe.

(d) Pour a et z quelconques, déterminer l’affixe du vecteur−−→AA′, A étant le point d’affixe

z et A′ le point d’affixe f(z).

(e) Démontrer votre conjecture.

2. Soit a = 1 + i, on pose pour tout z ∈ C :

f(z) = az.

(a) Dans le plan complexe, placer les points A(2), B(−1), C(i), D(1 − i) et E(2i − 2).Placer ensuite les points : A′(f(2)), B′(f(−1)), C ′(f(i)), D′(f(1−i)) et E ′(f(2i−2)).

(b) Déterminer les angles

(−→OA,

−−→OA′),

(−−→OB,

−−→OB′) et

(−→OC,

−−→OC ′).

(c) Déterminer les rapportsOC ′

OC,

OD′

ODet

OE ′

OE.

(d) Conjecturer l’action qu’a f sur le plan complexe.

(e) Déterminer une forme trigonométrique de a, en déduire pour tout z ∈ C le moduleet l’argument de f(z) en fonction de ceux de z.

(f) Démontrer votre conjecture.

3. Soient a et b deux nombres complexes quelconque. Sauriez-vous démontrer qu’elle actionsur le plan complexe a la fonction f définie par :

f(z) = az + b ?



Thème: Nombres Complexes et Exponentielle TS-SI - Correction


Exercice 1 (Tangentes communes) :

Utilisation d’un logiciel :

4. Graphiquement, les courbes C et Γsemblent posséder deux tangentes com-munes

0 2 4−2−40

−2

−4

2

4

C

Γ

Mise en équation :

1. L’équation de la tangente à la courbe d’une fonction dérivable f au point d’abscisse aest donnée par :

(Ta) : y = f ′(a)(x − a) + f(a).

Pour la courbe de C , on a alors : (TA) : y = ea(x − a) + ea

= eax + ea(1 − a).

2. De la même manière, (TB) : y =1

b(x − b) + ln b

=1

bx − 1 + ln b.

3. Les tangentes TA et TB sont confondues si, et seulement si elles ont même coefficientdirecteur et même ordonnée à l’origine c.-à-d.

ea =1

bea(1 − a) = −1 + ln b

⇐⇒

e−a = bea(1 − a) = −1 + ln(e−a)

⇐⇒

e−a = bea(1 − a) = −1 − a

⇐⇒

e−a = bea(a − 1) = 1 + a.




Utilisation d’une fonction :

1. Comme produit et somme de fonctions dérivables sur R, la fonction f est dérivable surR et on a :

f ′(x) = xex − 1.

Or, ∀x > 1, xex> 1 × e1 = e > 1. Donc, f ′(x) > 0 sur [1 ; +∞[.

La fonction f est donc continue (car dérivable) et strictement croissante de [1 ; +∞[ sur[f(1) = −2 ; +∞[.Comme 0 ∈ [−2 ; +∞[, d’après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué auxfonctions strictement monotones, il existe un unique α ∈ [1 ; +∞[ tel que f(α) = 0.Par dichotomie, on trouve α ≃ 1, 54 à 10−2 près.

2. Par définition, f(α) = eα(α − 1) − α − 1 = 0.Comme eα 6= 0 on peut en diviser les deux membres de l’équation :

α − 1 +−α − 1

eα= 0 ⇐⇒ α − 1 + e−α(−α − 1) = 0

⇐⇒ e−α((−α) − 1

)− (−α) − 1 = 0

⇐⇒ f(−α) = 0.

3. L’équation (E) a exactement deux solutions. Cela signifie que les courbes C et Γ ontdeux tangentes commune qui correspondent réciproquement aux couples de points :

A (α; eα)

B(e−α; −α

) et

A(−α; e−α

)

B (eα; α)

Remarque : Par symétrie axiale des deux courbes par rapport à la première bissectrice,il est relativement évident qu’il y ait un nombre pair de tangentes communes possibles.

Exercice 2 :

1. (a) Un rapide calcul donne A′(2 + i),B′(1 + 2i), C ′(2 + 3i)

(b)−−→AA′ = zA′ − zA = 2 + i,−−→BB′ = zB′ − zB = 2 + i et−−→CC ′ = zC′ − zC = 2 + i.

(c) La transformation semble être unetranslation de vecteur −→u (1 + 2i) car

−−→AA′ =

−−→BB′ =

−−→CC ′ = −→u .

(d)−−→AA′ = zA′−zA = f(z)−z = a+z−z = a.

(e) D’après la question précédente, pourtout couple de points A(z) etA′(f(z)

), on a :

−−→AA′ = a.

La transformation f est donc unetranslation de vecteur −→u (a).

0 1 2−10

1

2

3

×

A

×

B

×

C

× A′

× B′

× C ′




2. (a) zA′ = f(2) = 2(1 + i) = 2 + 2i, zB′ = f(−1) = −1 − i, zC′ = −1 + i, zD′ = 2 etzE′ = 4.

0 1 2−1−2−3−40

−1

1

2

3

×

A×

B

×

C

×

D

×

E×A′

×B′

×C ′

×D′

×E ′

π

4

π

4

π

4

π

4

π

4

(b) D’après le cours, il suffit de calculer :

(−→OA,

−−→OA′) = arg zA′ − arg zA = arg

z′A

zA

= arg(1 + i) ≡ π

4[2π] .

Le même calcul donne

(−−→OB,

−−→OB′) ≡

(−→OC,

−−→OC ′) ≡ π

4[2π].

(c)OC ′

OC=

|zC′ ||zC | = |1 + i| =

√2.

De même,OD′

OD=

OE ′

OE=

√2.

(d) Il semblerait que la transformation associée à f soit la composée d’une rotation de

centre 0, d’angleπ

4et d’une homothétie de rapport

√2.

(e) On a a =√

2eπ4 .

Les même raisonnement que précédemment montrent que :

(−→OA,

−−→OA′) = arg zA′ − arg zA = arg

f(z)

z= arg a ≡ π

4[2π] .

Donc arg f(z) ≡ arg z +π

4[2π].

Et,OA′

OA=

|zA′ ||zA| =

|f(z)||z| = |a| =

√2.

Donc, |f(z)| =√

2|z|.(f) D’après la question précédente, l’argument de f(z) est augmenté de

π

4pendant que

la distance à l’origine est multipliée par√

2. C’est le propre d’une rotation de centreO, d’angle

π

4associée avec une homothétie de rapport

√2.




3. Soit f définie sur C par f(z) = az + b.Les cas a = 1 et b = 0 ont déjà été traités dans les questions précédentes. On peut doncsupposer a 6= 1 et b 6= 0.

— Cherchons tout d’abord si la fonction f admet un point fixe c.-à-d. existe-t-il unpoint du plan Ω(zΩ) que la transformation laisse invariant ?

f(zΩ) = zΩ ⇐⇒ zΩ = azΩ + b ⇐⇒ zΩ =b

1 − a(On rappelle que a 6= 1).

Par une petite soustraction membre à membre, on obtient alors :

f(z) − zΩ = az + b − azΩ − b = a(z − zΩ).

— En suivant le même raisonnement qu’à la question (2e), pour tout point M d’imageM ′ par f , on trouve :

(−−→ΩM,

−−→ΩM ′) =≡ arg a [2π] et

ΩM

ΩM ′ = |a|.

— La fonction f est donc la composée d’une rotation de centre Ω(zΩ) d’angle arg a etde rapport |a|.On parle alors de similitude de centre Ω, d’angle arg a et de rapport |a|.



Thème: Le pentagone régulier TS-SI - Devoir en temps libre no 8

Le pentagone régulier

L’objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compasun pentagone régulier.

Dans le plan complexe muni d’un repère ortho-normé direct (O; −→u ; −→v ), on considère le penta-gone régulier A0A1A2A3A4, de centre O tel que−−→OA0 = −→u .On rappelle que dans le pentagone régulierA0A1A2A3A4, ci-contre :

• les cinq côtés sont de même longueur ;

• les points A0, A1, A2, A3 et A4 appar-tiennent au cercle trigonométrique ;

• pour tout entier k appartenant à0 ; 1 ; 2 ; 3 on a(−−→OAk ;

−−−−→OAk+1

)=

2π

5.

−→u

−→v

OA0

A1

A2

A3

A4

−1 1

−i

i

1. On considère les points B d’affixe −1 et J d’affixei2

.

Le cercle C de centre J et de rayon1

2coupe le segment [BJ ] en un point K.

Calculer BJ , puis en déduire BK.

2. (a) Donner sous forme exponentielle l’affixe du point A2. Justifier brièvement.

(b) Démontrer que BA22 = 2 + 2 cos

(4π

5

).

(c) Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l’on pourra utilisersans justification :

Calcul formel1 cos (4*pi/5)

→ 1

4

(−

√5 − 1

)

2 sqrt((3 - sqrt(5))/2)

→ 1

2

(√5 − 1

)

« sqrt »signifie « racine carrée »

En déduire, grâce à ces résultats, que BA2 = BK.

3. Dans un repère (O; −→u ; −→v ), construire à la règle et au compas un pentagone régulier.N’utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits deconstruction.



Thème: Le pentagone régulier TS-SI - Correction

Le pentagone régulier

1. Le théorème de Pythagore appliqué au triangle OBJ rectangle en O donne :

BJ2 = BO2 + OJ2 = 12 +(

1

2

)2

=5

4=⇒ BJ =

√5

4=

√5

2.

BK = BJ − KJ =

√5

2− 1

2=

√5 − 1

2

2. (a) L’affixe de A2 a pour module 1 et pour argument2π

5+

2π

5=

4π

5. Donc zA2 = ei 4π

5

(b) BA22 = |zA2 − zB|2 =

∣∣∣ei 4π5 − (−1)

∣∣∣2

=∣∣∣ei 4π

5 + 1∣∣∣2

=∣∣∣∣cos

4π

5+ 1 + i sin

4π

5

∣∣∣∣2

=(

cos4π

5+ 1

)2

+sin2 4π

5= cos2 4π

5+2 cos

4π

5+1+sin2 4π

5= 2+2 cos

(4π

5

)

(c) D’après le logiciel de calcul formel, cos4π

5=

1

4

(−

√5 − 1

)donc :

BA22 = 2 + 2 × 1

4

(−

√5 − 1

)= 2 − 1

2−

√5

2=

3 −√

5

2

Donc BA2 =

√3 −

√5

2=

1

2

(√5 − 1

)d’après le logiciel de calcul formel.

On en déduit que BA2 = BK.

3. Procédé de construction (voir figure page 315) :

• Soit C le point de coordonnées (0 ; 1). La médiatrice de [OC] coupe l’axe des ordon-

nées au point J de coordonnées(

0 ;1

2

).

On place le point B sur l’axe des abscisses, d’abscisse négative tel que OB = 2OJ,

on construit [BJ ] et le cercle C centré en J passant par O donc de rayon1

2;

• on obtient le point K à l’intersection du cercle C et du segment [BJ ] ;

• le cercle de centre B de rayon BK coupe le cercle unitaire aux points A2 et A3 ;

• le cercle de centre A2 passant par A3 recoupe le cercle unitaire en A1 ;

• le cercle de centre A3 passant par A2 recoupe le cercle unitaire en A4 ;

• le point A0 est le point d’affixe 1.



Thème: Le pentagone régulier TS-SI - Correction

−→u

−→v

Ob

b

B

J

K

C

A2

A3

A1

A4

A0

C



Fic

heno10:Les

nombres

Com

plexes

O1

i

A(z

A=

a+

ib=

rA

eiθ

A)

rA=

|zA|

=√a2

+b2

θ A=

arg( z A

)=( −→ u

;−→ O

A)

bc a

bcb

r Aco

sθ A

=

rAsinθA=

B(z

B)

arg( z B

−z A)

=( −→ u

;−→ A

B)

bA

′ (zA

)bc

−bøø

Axe

des

réel

s:

R=

z=

z

Axe

des

imag

inai

res

purs

: iR=

z=

−z

(AB

):( −

→A

B;

−−→

AM)

≡0

[π]

⇐⇒

−−→

AM

=k

−→ AB

:

M(z

)/

arg(

z−

z Az B

−z A

)≡

0[π

]⇐

⇒z

−z A

z B−

z A∈

R

×E

(zE

)

×F

(zF

)

(AB

)⊥

(EF

)⇐

⇒z F

−z E

z B−

z A∈

iR

⇐⇒

arg(

z F−

z Ez B

−z A

)≡

±π 2

[2π

].

R

Cer

cle

dece

ntre

Bet

dera

yon

R:

C(B

;R

)=

M(z

)/

|z−

z B|=

R

D

Méd

iatr

ice

de[A

B]

:

M(z

)/

|z−

z A|=

|z−

z B|

C

AB

Cre

ctan

gle

enC

⇐⇒

arg(

z B−

z Cz A

−z C

)=

±π 2

⇐⇒

z B−

z Cz A

−z C

∈iR

.

AB

Cre

ctan

gle

isoc

èle

enD

⇐⇒

z B−

z Dz A

−z D

=±i

b eiθ=

cosθ

+is

inθ

1

θ

eiπ+

1=

0

cosθ

=a |z|

sin

θ=

b |z|

(−→ A

B;

−−→ CD)

≡ar

g

z D

−z C

z B−

z A

[2

π].

−→ u

−→ v

−→ AB

(zB

−zA

)A

B=

|zB−

zA|

Le

Pla

nC

om

ple

xe

Fiche no 10: Les nombres Complexes

C =

z = a + ib avec (a; b) ∈ R2 et i2 = −1

Forme algébrique.

=

z = r(

cos θ + i sin θ)

avec r ∈ R+, θ ∈ R et i2 = −1

Forme trigonométrique.

=

z = reiθ avec r ∈ R+, θ ∈ R et i2 = −1

Forme exponentielle.

z = 0C ⇐⇒ a = b = 0R ⇐⇒ r = 0.

Re (z) =z + z

2

Im (z) =z − z

2iz ∈ R ⇐⇒

Im (z) = 0

ou

z = z

ou

arg z ≡ 0 [π] zz = |z|2 = a2 + b2 ∈ R+

z ∈ iR ⇐⇒

Re (z) = 0

ou

z = −z

ou

arg z ≡ π

2[π]

k(a + ib) = ka + ikb

(a + ib) ± (a′ + ib′) = (a ± a′) + i(b ± b′)

(a + ib) × (a′ + ib′) = (aa′ − bb′) + i(ab′ + a′b)

a + iba′ + ib′ =

(aa′ + bb′) − i(ab′ − a′b)

a′2 + b′2

1

z=

1

a + ib=

z

|z|2 =a

a2 + b2− i

b

a2 + b2

(a + ib)2 = a2 + 2abi − b2

(a − ib)2 = a2 − 2abi − b2

(a − ib)(a + ib) = a2 + b2

z ± z′ = z ± z′ |−z| = |z| = |z|reiθ = re−iθ arg(−z) ≡ π + arg z [2π]

|z + z′| 6 |z| + |z′|

zn = zn |zn| = |z|n(reiθ

)n= rneinθ arg

(zn)

= n arg z

(z

z′

)=

z

z′

∣∣∣∣z

z′

∣∣∣∣ =|z||z′|

reiθ

r′eiθ′ =r

r′ ei(θ−θ′) arg

(z

z′

)≡ arg z − arg z′ [2π]

∆ =⇒ z = − b

2a.

∆ =⇒ z12 =−b ±

√∆

2a.

az2 + bz + c = 0∆ = b2 − 4ac

∆ =⇒ z =−b ± i

√−∆

2a.

Euler Moivre Formule d’addition

cos θ =eiθ + e−iθ

2cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b.

sin θ =eiθ − e−iθ

2i

(cos θ + i sin θ

)n

=

cos nθ + i sin nθ. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.

Chapitre

X

Géométrie dans l’espace I

Jusqu’ici la géométrie ne s’est faite que dans le plan (euclidien). Celui n’est, en fait, qu’unplan parmi d’autres dans l’espace. L’objectif de ce chapitre est donc de prolonger lesnotions de géométrie euclidienne à ce dernier.

On commencera tout d’abord par prolonger la notion de vecteur plus intuitive à notrenouvel espace avant de définir convenablement les différents objets que sont les droiteset les plans et de poursuivre vers leur position relative. Dans un dernier paragraphe,

nous définirons la section de quelques solides usuels de l’espace.

Rappels

Les règles suivantes sont valables dans l’espace :

— Par deux points distincts A et B passe une seule droite, notée (AB).

— Par trois points non alignés A, B et C passe un seul plan, noté (ABC).

— Si un plan contient deux points A et B, il contient toute la droite (AB).

— Dans tout plan de l’espace, tout résultat de géométrie plane s’applique.

Rappels 1 (Règles d’incidence)

Remarques :— Une droite est donc définie de manière unique par deux points distincts et un plan par

trois points non alignés.

— Un plan est une « surface » plane « illimitée ». Elle est représentée en perspective par unparallélogramme.

— La dernière règle indique que, dans tout plan de l’espace, tout se passe comme dans « LE »plan de la géométrie plane. On cherchera donc très souvent à se placer dans un plan del’espace.

318

X. Géométrie dans l’espace I

Exemple 1 :

Dans le cube ABCDEFGH le plan (P) peutêtre défini, de manière unique, par :

— les points A, E, C. Il peut être noté(AEC).

— les droites (EC) et (AG) sécantes nonconfondues.

— les droites (AE) et (CG) strictement pa-rallèles

A B

C

GH

E FF

D

(P)

SommaireI Repérage dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

I.1 Coordonnées de points et de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320I.2 Vecteurs colinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

II Droites et Plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324II.1 Représentation paramétrique d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . 324II.2 Vecteurs coplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330II.3 Représentation paramétrique d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

III Positions relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335III.1 Positions relatives de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335III.2 Positions relatives d’un plan et d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . 337III.3 Positions relatives de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

IV Parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344IV.1 Parallélisme entre deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344IV.2 Parallélisme entre droites et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

V Section de solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347V.1 Section d’un cube par un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348V.2 Section d’un tétraèdre par un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

VI Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353VI.1 Droites orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353VI.2 Droites perpendiculaires à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

Devoir en temps libre no 9 : Géométrie dans l’espace . . . . . . . . . . 359



X. Géométrie dans l’espace I I. REPÉRAGE DANS L’ESPACE

I Repérage dans l’espace

On étend à l’espace la notion de vecteur étudiée dans le plan. Un vecteur non nul est doncdéfini par sa direction, son sens et sa norme et les propriétés des vecteurs du plan sont aussiétendues aux vecteurs de l’espace (relation de Chasles, colinéarité, propriétés algébriques).

I.1 Coordonnées de points et de vecteurs

Un repère (O; −→ı ; −→ ;−→k ) de l’espace est constitué d’un point origine O et de trois vecteurs

non coplanaires −→ı , −→ et−→k .

— Tout point M de l’espace est alors défini de manière unique par la relation :

−−→OM = x−→ı + y−→ + z

−→k .

— Les trois réels x, y et z, dans cet ordre sont appelés les coordonnées du point M dansle repère (O; −→ı ; −→ ;

−→k ) : x correspond à l’abscisse, y à l’ordonnée et z à la côte et

on note :

M (x; y; z) ou M

x

y

z

.

Définition 1

Le repère (O; −→ı ; −→ ;−→k ) est dit orthonormal si, et seulement si ‖−→ı ‖ = ‖−→ ‖ =

∥∥∥−→k∥∥∥ = 1 et si

−→ı , −→ et−→k sont orthogonaux deux à deux.

— Soient ~u

x

y

z

, ~v

x′

y′

z′

et k ∈ R. Alors :

~u + ~v =

x + x′

y + y′

z + z′

et k~u =

kx

ky

kz

.

—−→AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA) et, dans un repère orthonormé :

AB =∥∥∥−→AB

∥∥∥ =√

(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2.

— Si I est le milieu de [AB] alors I(

xB+xA

2;

yB+yA

2;

zB+zA

2

).

Rappels 2 (Coordonnées de vecteurs)




Exercice 1 : Dans un repère (O ; ~i,~j,~k) de l’espace, on considère les points A(−3 ; 2 ; 4) ;B(−1 ; 1 ; 0) et C(2 ; −3 ; 5).

1. Donner les coordonnées des vecteurs−→AB ;

−→AC et

−−→BC.

2. Donner les coordonnées des vecteurs :−→u = 2

−→AB − −→

AC et −→v =−→AC + 3

−−→BC.

Correction :

1.−−→AB(2; −1; −4) ;

−→AC(5; −5; 1) et

−−→BC(3; −4; 5). 2. −→u (−1; 3; −9) et −→v (14; −17; 16).

Exercice 2 : Dans un repère(O ;~i,~j,~k) de l’espace, on considère les points A(2 ; 5 ; −1) ;B(0 ; 3 ; 4) et le vecteur −→u (2 ; −1 ; 4).

1. Déterminer les coordonnées du point C défini par−→AC = −→u

2. Déterminer les coordonnées du vecteur−→AB puis celles du point (d) tel que ABDC soit

un parallélogramme.

3. Déterminer les coordonnées du centre K de ce parallélogramme.

Correction :

1. C(4; 4; 3) ;

2.−−→AB(−2; −2; 5) et D(2; 2; 8) ;

3. K(2; 3, 5; 3, 5).

Exercice 3 :

On considère le cube ABCDEFGH .

1. Dans le repère(A;

−→AB;

−−→AD;

−→AE

):

(a) Donner les coordonnées des vec-teurs

−→AB,

−−→AD,

−→AC ,

−→AG et

−−→HF .

(b) Donner les coordonnées du centredu cube.

2. Même question dans le repère(A;

−→AB;

−→AC;

−→AG

).

A B

C

GH

EF

D

−→AB

−→AC

−−→AD

−−→HF

−→AG

Exercice 4 : Dans un repère orthonormal, on considère les points A (6; 8; 2), B (4; 9; 1) etC (5; 7; 3).

Montrer que le triangle ABC est rectangle.

Correction : Afin d’utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, on calcule les coordonnéespuis les longueurs des vecteurs suivants :

−−→AB = (−2; 1; −1) d’où AB2 = 4 + 1 + 1 = 6−→AC = (−1; −1; 1) d’où AC2 = 1 + 1 + 1 = 3−−→BC = (1; −2; 2) d’où BC2 = 1 + 4 + 4 = 9.

On a donc AB2 + AC2 = 6 + 3 = 9 = BC2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, letriangle ABC est donc rectangle en A.




I.2 Vecteurs colinéaires

— Deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si ils ont la même direction.

— Deux vecteurs ~u et ~v sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que~v = k~u ou si l’un d’eux est nul.

— Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si les vecteurs−→AB et

−−→CD

sont colinéaires.

— Trois points A, B et C sont alignés ⇐⇒ ∃k ∈ R, tel que−→AC = k

−→AB.

Rappels 3 (Vecteurs colinéaires et alignement)

Remarque : Deux vecteurs étant égaux si, et seulement si ils sont la même direction, le mêmesens et la même longueur, la colinéarité doit être vue comme une version affaiblie et suffisantepour bien des situations de l’égalité de vecteurs.

En géométrie analytique, pour montrer que deux vecteurs sont colinéaires, il faut et il suffitde montrer que leurs coordonnées sont proportionnelles.On se rappellera aussi que, pour montrer que trois points A, B, et C sont alignés, il fautet il suffit de montrer que les vecteurs

−→AB et

−→AC, par exemple, sont colinéaires.

Méthode 1 (Vecteurs colinéaires)

Exercice 5 : Soient quatre points A (7; 9; −1), B (1; −3; 2), C (5; 5; 0) et D (2; 0; 2).

1. Montrer que A, B, et C sont alignés.

2. Montrer que B, C et D ne sont pas alignés.

Correction :1. Il suffit de montrer que

−−→AB et

−→AC sont colinéaires, par exemple.

On a :

−−→AB

−6

−12

3

= 3

−2

−4

1

et

−→AC

−2

−4

1

.

On a donc−−→AB = 3

−→AC c.-à-d. les vecteurs

−−→AB et

−→AC sont colinéaires et les points A, B et C

sont alignés.

2. Il suffit de montrer que−−→BC et

−−→BD ne sont pas colinéaires.

On a−−→BC (4; 8; −2) et

−−→BD (1; 3; 0)

La dernière coordonnée de−−→BC ne peut être multiple de celle de

−−→BD qui est 0 donc les vecteurs−−→

BC et−−→BD ne sont pas colinéaires et les points B, C et D ne peuvent être alignés.

Remarque : Les points B, C et D déterminent donc le plan (BCD).




Exercice 6 : Dans un repère (O ;~i,~j,~k) de l’espace, on considère les points A(−4 ; 2 ; 3),B(1 ; 5 ; 2), C(0 ; 5 ; 4) et D(−6 ; −1 ; −2).

1. Démontrer que−−→AD = 2

−→AB − 3

−→AC.

2. Que peut-on en déduire concernant les points A, B, C et D ?

Correction :1.

−−→AD(−2 ; −3 ; −5). D’autre part :−−→AB(5 ; 3 ; −1) donc 2

−−→AB(10 ; 6 ; −2) et−→

AC(4 ; 3 ; 1) donc −3−→AC(−12 ; −9 ; −3).

Ainsi 2−−→AB − 3

−→AC(−2 ; −3 ; −5). Donc

−−→AD = 2

−−→AB − 3

−→AC

2. On en déduit que les vecteurs−−→AB,

−→AC et

−−→AD sont coplanaires, et que les points A, B, C et

(d) sont coplanaires.

Exercice 7 : ABCDEFGH est un cube etI ; J ; K et L les milieux respectifs de [BC],[GH ], [AD] et [EH ].

Compléter les égalités vectorielles suivantes :A B

C

GH

EF

D

× I

×

J

× K

×L

1.−→A... =

1

2

−−→BC

2.−→KJ =

−→AE +

1

2

−−→E...

3.−−→AK +

−→EF =

−→A...

4.−−−→

... =1

2

−→AC

5.−→L... =

−→EA +

−→FE +

−→AI

6.−→A... =

−→GJ + 3

−−→AK +

−→AB +

−→JL



X. Géométrie dans l’espace I II. DROITES ET PLANS

II Droites et Plans

II.1 Représentation paramétrique d’une droite

Soit la droite (∆) passant par le point A (xA; yA; zA) et de vecteur directeur ~u (a; b; c).La droite (∆) admet donc un système d’équations paramétriques, appelé représentationparamétrique, de la forme :

(∆) :

x = xA + ta

y = yA + tb

z = zA + tc

, t ∈ R.

Proposition 1

A

M

−−→AM = t

−→u

−→u (∆)

Remarques :— Les coordonnées (x; y; z) représentent les coordonnées d’un point M (x; y; z) quelconque

qui appartiendrait à la droite (∆).Les points de la droite (∆) sont alors obtenus en faisant varier le paramètre t dans R.

— En particulier, le couple(A, −→u

)doit être vu comme un repère de la droite (∆). Le

paramètre t est alors l’abscisse d’un point M de la droite dans celui-ci.

— Pourquoi appeler le paramètre t ?Tout simplement pour faire référence à la physique où un mobile M(t) sera représentéà tout instant t par ses coordonnées, dépendantes elles-mêmes de t, par ses « équations-horaires » :

M(t)

x(t) = xA + ta

y(t) = yA + tb

z(t) = zA + tc

, t ∈ R.

Preuve: Il suffit simplement de traduire le fait que :

M (x; y; z) ∈ (∆) ⇐⇒ −−→AM et −→u sont colinéaires

⇐⇒ ∃ t ∈ R /−−→AM = t−→u ⇐⇒ ∃ t ∈ R /

x − xA

y − yA

z − zA

= t

a

b

c

⇐⇒ ∃ t ∈ R /

x − xA = ta

y − yA = tb

z − zA = tc

⇐⇒ ∃ t ∈ R /

x = xA + ta

y = yA + tb

z = zA + tc




Remarque : Pour une demi-droite, il suffit de remplacer t ∈ R, par t ∈ [α ; +∞ [ ou t ∈ ] − ∞ ; α [,par exemple, pour des demies-droites fermée et ouverte respectivement.

Pour un segment il suffira de remplacer t ∈ R par t ∈ [a ; b ].

Exemples 2 (Droite) :1. La représentation paramétrique de la droite (D) passant par A (2; 1; −1) et de vecteur

directeur ~u (0; 1; −1) a pour représentation paramétrique :

(D) :

x = 2

y = 1 + t

z = −1 − t

, t ∈ R.

Pour t = 0, on obtient le point A.Pour trouver un autre point de la droite, il suffit de donner une autre valeur au paramètre

t comme t = −1

2, par exemple, et obtenir le point B

(2;

1

2; −1

2

).

2. Soient A et B deux points de l’espace ayant pour coordonnées respectives :

A (−2; 1; 0) et B (2; 3; 1) .

(a) La droite (AB) passe par A et a pour vecteur directeur le vecteur−→AB (4; 2; 1) donc

a pour représentation paramétrique :

(AB) :

x = −2 + 4t

y = 1 + 2t

z = t

, t ∈ R. (X.1)

Les points A et B sont respectivement obtenus pour t = 0 et t = 1.

(b) C’est aussi la droite passant par B et de même vecteur directeur donc elle a aussipour représentation paramétrique :

(AB) :

x = 2 + 4t

y = 3 + 2t

z = 1 + t

, t ∈ R. (X.2)

Les points A et B sont respectivement obtenus pour t = −1 et t = 0.

Remarque : On dit que ces deux représentations paramétriques sont associées àune même droite ou sont équivalentes.




Exemples 3 (Segment et demie-droite) : Trouver la représentation paramétriqued’une droite est donc facile. Qu’en est-il d’autres objets tels que le segment [AB] et les demies-droites [AB) ou [BA) ?

×

A

×

B

−−→AM=t

−→AB

×

M

(∆)

Il suffit simplement de revenir à la définition de trois points alignés et l’équivalence :

M ∈ (AB) ⇐⇒ ∃ t ∈ R /−−→AM = t

−→AB.

On reprend les points A (−2; 1; 0) et B (2; 3; 1).

— Le point M se trouvera entre les points A et B si, et seulement si 0 6 t 6 1. Les pointsA et B étant atteints pour les valeurs

t = 0 :−−→AM =

−→AA =

−→0 = 0 × −→

AB,

t = 1 :−−→AM = 1 × −→

AB.

D’où [AB] :

x = −2 + 4t

y = 1 + 2t

z = t

, t ∈ [0 ; 1 ].

— Pour la demie-droite [AB), le paramètre t doit être positif pour avoir le point B, on adonc

[AB) :

x = −2 + 4t

y = 1 + 2t

z = t

, t ∈ R+.

— Enfin, pour la demie-droite [BA), deux méthodes :

— Soit on part toujours de la représentation précédente (X.1) et le paramètre t doitalors être inférieur à 1 :

[BA) :

x = −2 + 4t

y = 1 + 2t

z = t

, t ∈ ] − ∞ ; 1 ].

— Soit, on part de la deuxième représentation (X.2) de la droite (AB) c.-à-d. cellepassant par le point B et de vecteur directeur

−→AB. Dans ce cas, le paramètre t doit

être négatif ou nul :

[BA) :

x = 2 + 4t

y = 3 + 2t

z = 1 + t

, t ∈ R−.




Exercice 8 : On considère les points A(−3 ; 2 ; 4) et B(−1 ; 1 ; 0).

Écrire une représentation paramétrique de la droite (AB).

Correction : Le vecteur−−→AB(2 ; −1 ; −4) est un vecteur directeur de la droite (AB). Ainsi,

x = −3 + 2t

y = 2 − t

z = 4 − 4t

, t ∈ R est une représentation paramétrique de la droite (AB).

Remarque : Bien sûr, tout autre vecteur colinéaire au vecteur−−→AB aurait très bien pu faire l’affaire

comme−−→BA

−2

1

4

qui a l’avantage d’avoir un signe « - » de moins. C’est toujours ça !

On obtient alors une représentation équivalente de la droite (AB) :

x = −3 − 2t

y = 2 + t

z = 4 + 4t

, t ∈ R

Exercice 9 : Soit (∆) la droite de représentation paramétrique :

x = 1 − 4t

y = 3 + t

z = 1 − t

, t ∈ R.

1. Donner un vecteur directeur de la droite (∆) et un point de (∆).2. Le point M(−3 ; 4 ; 1) appartient-il à la droite (∆) ?3. Donner les coordonnées de trois points de la droite (∆).4. Déterminer une autre représentation paramétrique de (∆).

Correction :

1. Il suffit de lire sur la représentation de la droite : −→u

−4

1

−1

est un vecteur directeur de (∆).

Quant au point, même chose : pour la valeur t = 0, on trouve aisément A (1; 3; 1).

Remarque : Toute autre valeur intelligente du paramètre donnera un autre point de (∆) comme,

par exemple pour t = 1, B

1 − 4

3 + 1

1 − 1

=

−1

4

0

.

2. Il suffit de vérifier s’il existe, ou non, une valeur du paramètre t qui permette d’atteindre lepoint M c.-à-d. le système

−3 = 1 − 4t

4 = 3 + t

1 = 1 − t

admet-il une solution ?

Or, la deuxième équation imposerait t = 1 alors que la troisième imposerait t = 0.Le système n’a donc pas de solutions : le point M n’appartient pas à la droite (∆).

Remarque : On dit que les équations du système sont « incompatibles ».




3. Même chose que précédemment, en faisant varier les valeurs de t, on trouve différents points de(∆) :

Pour t = 0 : on retrouve le point A (1; 3; 1).

Pour t = −1 : Le point B (−1; 4; 0).

Pour t =√

3 : Le point C(1 − 4

√3; 3 +

√3; 1 −

√3).

4. La droite (∆) est correctement définie par n’importe quel point de celle-ci et par n’importe quel

vecteur colinéaire à −→u

2

−1

−4

. Prenons donc, par exemple, C et − 1√

3−→u =

4√3

− 1√3

1√3

.

On obtient alors :

x = 1 − 4√

3 +4√3

t

y = 3 +√

3 − 1√3t

z = 1 −√

3 + 1√3t

, t ∈ R.

Remarque : Le point A

1

3

1

est alors atteint pour la valeur t = 3 du paramètre.

Exercice 10 : Mêmes questions avec (∆) :

x = t − 2

y = 4

z = 2t − 1

, t ∈ R et M(−3 ; 4 ; −3).

Correction : On va un peu plus vite !

1. Le vecteur −→v

1

0

2

est un vecteur directeur de (∆).

Quant au point, pour t = 0, on trouve A (−2; 4; −1). Pour t = 2, B (0; 4; 3).

2. On résout le système :

−3 = t − 2

4 = 4

−3 = 2t − 1

⇐⇒

t = −1

4 = 4

t = −1

Le système admet donc une unique solution t = −1 qui est la valeur du paramètre pour M .Celui-ci appartient donc bien à la droite (∆).

3. On prenant successivement t = 0, t =12

t = 2 on obtient respectivement :

A (−2; 4; −1) C

(−3

2; 4; 0

)et B (0; 4; 3) .

4. Le raisonnement est identique à l’exercice précédent. La représentation la plus agréable mesemble être celle où l’on considère le vecteur −→u (1; 0; 2) et le point B (0; 4; 3).On obtient alors :

x = t

y = 4

z = 3 + 2t

, t ∈ R.




Exercice 11 : Soient A(−4 ; 1 ; 2) et B(−1 ; 2 ; 5). Donner une représentation paramétrique dechacun des objets géométriques suivants :

1. La droite (AB) ; 2. Le segment [AB] ; 3. La demi-droite [AB).

Correction :

1. Question maintenant simple, la droite (AB) passe par A et est dirigée par−−→AB

3

1

3

:

(AB) :

x = −4 + 3t

y = 1 + t

z = 2 + 3t

, t ∈ R.

2.

×

A

×

B

−−→AM=t

−−→AB

×

M

(∆)

Le point M appartient au segment [AB] si, et seulement si−−→AM = t

−−→AB avec 0 6 t 6 1. On

trouve alors :

[AB] :

x = −4 + 3t

y = 1 + t

z = 2 + 3t

, t ∈ [0 ; 1 ].

3. De même, le point M ∈ [AB) si, et seulement si−−→AM = t

−−→AB avec 0 6 t. On trouve alors :

[AB) :

x = −4 + 3t

y = 1 + t

z = 2 + 3t

, t ∈ R+.

Exercice 12 : Donner une représentation paramétrique de :

1. La droite (O ;−→i ) ; 2. La droite (O ;

−→j ) ; 3. La droite (O ;

−→k ).

Correction : Rappelez-vous qu’une droite est définie par un vecteur directeur et un point.

1. La droite (O; −→ı ) passe par O (0; 0; 0) et est dirigée par −→ı (1; 0; 0) donc :

(O; −→ı ) :

x = t

y = 0

z = 0

, t ∈ R.

2. De même, (O; −→ ) passe O (0; 0; 0) et est dirigée par −→ (0; 1; 0) d’où :

(O; −→ ) :

x = 0

y = t

z = 0

, t ∈ R.




3. Enfin,(O;

−→k)

:

x = 0

y = 0

z = t

, t ∈ R.

Exercice 13 : Les représentations paramétriques suivantes sont-elles associées à une mêmedroite ?

x = 2t − 1

y = t

z = 1 − 3t

, t ∈ R et

x = 3 − 6s

y = −3s + 2

z = 9s − 5

, s ∈ R

Correction : Plusieurs méthodes pour ce type d’exercices juste en se rappelant comment est définieune droite :

Avec deux points distincts : On montre que les droites passent par les deux mêmes points dis-tincts.

Par exemple, pour t = 0 et s =23, les deux droites passent par A (−1; 0; 1) et pour t = 8 et

s = −2, les deux droites passent par B (15; 8; −23).

Avec un point et un vecteur directeur : On montre que les deux droites passent par un mêmepoint et ont des vecteurs directeurs colinéaires.Par exemple, le point A (−1; 0; 1) appartient aux deux droites comme on vient de le voir et lesvecteurs −→u1 (2; 1; −3) et −→u2 (−6; −3; 9) = −3−→u1 sont respectivement deux vecteurs directeursdes droites précédentes et colinéaires.

Ces deux représentations paramétriques sont celles d’une même droite.

II.2 Vecteurs coplanaires

Soient A, B et C trois points non alignés de l’espace.Le plan (ABC) est l’ensemble des points M tels que :

−−→AM = x

−→AB + y

−→AC, ∀ (x; y) ∈ R2.

(x; y) sont alors les (uniques) coordonnées du point M dans le repère(A,

−→AB,

−→AC

)du

plan (ABC).

Théorème 2 (Caractérisation vectorielle d’un plan de l’espace)

Remarque : On dit aussi que le vecteur−−→AM s’exprime comme une combinaison linéaire des

vecteurs−→AB et

−→AC.

Preuve: Comme les points A, B et C ne sont pas alignés, le triplet(A,

−→AB,

−→AC

)forme

un repère du plan (ABC).

D’après un théorème de première, pour tout point M du plan (ABC), il existe donc un uniquecouple de réels (x; y) tels que

−−→AM = x

−→AB + y

−→AC.




×

A

×

y

×

x×

N

×

M×

C

×

B

−−→AM

−→AB

−→AC

Réciproquement, soit x et y deux réels tels que−−→AM = x

−→AB + y

−→AC.

Le point N défini par−−→AN = x

−→AB appartient à la droite (AB), donc au plan (ABC).

On a :−−→AM =

−−→AN +

−−→NM = x

−→AB +

−−→NM d’où

−−→NM = y

−→AC par unicité de la décomposition. M

appartient donc à la parallèle à (AC) passant par N qui est incluse dans le plan (ABC), doncM appartient au plan (ABC).

Un plan (P) est défini par la la donnée d’un point A et de deux vecteurs ~u et ~v noncolinéaires.Tout point M de (P) est alors caractérisé par la donnée d’un couple unique de réels (x; y)tels que : −−→

AM = x~u + y~v.

Définition 2

On dit alors que ~u et ~v sont les vecteurs directeurs du plan ou encore une base de ce plan.

— On dira que trois vecteurs ~u, ~v et ~w sont coplanaires si, et seulement si on peutexprimer le vecteur ~w en fonction de ~u et ~v.

~u, ~v et ~w sont coplanaires ⇐⇒ ∃ (t; s) ∈ R2 / ~w = t~u + s~v. (X.3)

— On dira que quatre points A, B, C et (d) sont coplanaires si, et seulement si∃ (t; s) ∈ R2 /

−−→AD = t

−→AB + s

−→AC.

Définition 3 (Coplanarité)

La relation (X.3) est équivalente à l’existence de trois réels (α; β; γ) non tous nuls tels que :

α~u + β~v + γ ~w = ~0.

On dit alors que les vecteurs ~u, ~v et ~w sont liés (par une relation de dépendance). Dans le cascontraire, on dit qu’ils sont libres.




Remarque : Le vecteur ~w est combinaison linéaire des vecteurs ~u et ~v. Même chose pour−−→AD

avec les vecteurs−→AB et

−→AC .

Exemple 4 :

Dans le cube ABCDEFGH ci-contre :

— Les vecteurs−→AB,

−→AC et

−−→AD sont copla-

naires.


−→AC et

−→AG ne sont pas

coplanaires.


−−→AD et

−−→HF sont copla-

naires.A B

C

GH

EF

D

−→AB

−→AC

−−→AD

−−→HF

−→AG

ATTENTIONSi des points sont dans un même plan, 3 vecteurs obtenus à partir de ces points sontnécessairement coplanaires mais des vecteurs peuvent être coplanaires sans que despoints formant leurs extrémités soient dans un même plan.

Exercice 14 : ABCDEFGH est un cube etI, J , K et L les milieux respectifs de [BC],[GH ], [AD] et [EH ].

Dans chacun des cas suivants, les vecteurssont-ils coplanaires ? Le justifier.

A B

C

GH

EF

D

× I

×

J

× K

×

L

1.−→AG,

−−→DH et

−−→EG ;

2.−→AB,

−−→BD et

−−→BF ;

3.−→AG,

−−→BG et

−−→HG ;

4.−−→HF ,

−−→DC et

−−→AD.

II.3 Représentation paramétrique d’un plan

Un plan est défini par :

— trois points non alignés ou

— une droite et un point distincts ou

— deux droites sécantes ou

— deux droites strictement parallèles.

Rappels 4

× A

× B× C

(P) (D)(P)

× A

(D)

(D ′)(P) (D)

(D ′)(P)




Un plan est défini par deux vecteurs non colinéaires. On obtient donc la définition ci-dessous :

Soit un plan (P) défini par un point A (xA; yA; zA) et deux vecteurs non colinéaires~u (a; b; c) et ~v (α; β; γ).Le plan (P) admet donc un système d’équations paramétriques, appelé représentationparamétrique, de la forme :

(P) :

x = xA + ta + sα

y = yA + tb + sβ

z = zA + tc + sγ

, (t; s) ∈ R2.

Proposition 3

×

A

×

s

×

t

×

M×

×

−−→AM = t−→u + s

−→v

−→u

−→v

Preuve: Le point M appartient au plan (P) si, et seulement si les vecteurs−−→AM , −→u et −→v

sont coplanaires :

M (x; y; x) ∈ (P) ⇐⇒ ∃ (t; s) ∈ R2 /−−→AM = t−→u + s−→v

⇐⇒ ∃ (t; s) ∈ R2 /

x − xA

y − yA

z − zA

= t

a

b

c

+ s

α

β

γ

⇐⇒ ∃ (t; s) ∈ R2 /

x − xA = ta + sα

y − yA = tb + sβ

z − zA = tc + sγ

⇐⇒ ∃ (t; s) ∈ R2 /

x = xA + ta + sα

y = yA + tb + sβ

z = zA + tc + sγ




Exemple 5 : Considérons le plan (P) défini par :

(P) :

x = 2 + 3t

y = −1 + s

z = 4 + t − s

, (t; s) ∈ R2.

— Le point A(3; 2; −1) appartient à (P).

— Les vecteurs ~u

3

0

1

et ~v

0

1

−1

sont deux vecteurs directeurs de (P).

— Le point B (3; 2; 1) appartient-il à (P) ?

Si c’était le cas alors le système

2 + 3t = 3

−1 + s = 2

4 + t − s = 1

aurait un couple solution. Voyons cela !

En résolvant, on obtient :

2 + 3t = 3

−1 + s = 2

4 + t − s = 1

⇐⇒

t =1

3s = 3

4 + t − s = 1

Comme 4 +1

3− 3 6= 1, la dernière équation est incompatible avec les deux premières

donc ce système n’admet pas de solution : B /∈ (P).

— Et qu’en est-il de C (5; −2; 6) ?On résout, de même, le système ci-dessous :

2 + 3t = 5

−1 + s = −2

4 + t − s = 6

⇐⇒

t = 1

s = −1

4 + t − s = 6

La dernière égalité est, cette fois, vérifiée : le point C appartient donc à (P).

Exercice 15 : Dans un repère, on considère A (−1; 1; 2), ~u (1; 0; 1) et ~v(

1

2; −1; 1

).

1. Donner une représentation paramétrique du plan (A; ~u; ~v).

2. Déterminer l’intersection (D) de ce plan et du plan (O; ~ı; ~). On précisera un point etun vecteur directeur de (D).

Aide: Le plan (O; ~ı; ~) a pour équation z = 0.

Exercice 16 : On considère les points A(−3 ; 2 ; 4), B(−1 ; 1 ; 0) et C(−5 ; 4 ; 6).

Vérifier que A, B et C définissent un plan et écrire une représentation paramétrique du plan(ABC).

Correction :−−→AB(2 ; −1 ; −4) et

−→AC(−2 ; 2 ; 2) ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et

C ne sont pas alignés.

Ils définissent donc un plan dirigé par les vecteurs−−→AB et

−→AC.



X. Géométrie dans l’espace I III. POSITIONS RELATIVES

Une représentation paramétrique du plan (ABC) est donc

x = −3 + 2t − 2t′

y = 2 − t + 2t′

z = 4 − 4t + 2t′, t ∈ R et t′ ∈ R

Exercice 17 : Soit ℘ le plan de représentation paramétrique :

x = 3 − t + 5t′

y = 1 + t′

z = −5t + 3t′, t ∈ R, t′ ∈ R.

1. Donner les coordonnées d’un couple de vecteurs directeurs de℘ et un point de ℘.

2. Le point M(6 ; 2 ; −6) appartient-il à ℘ ?

3. Donner les coordonnées de trois points de ℘.

4. Déterminer une autre représentation paramétrique de ℘.

Exercice 18 : Soient A(−4 ; 1 ; 2) ; B(−1 ; 2 ; 5) et C(1 ; 0 ; 6).

1. Vérifier que les points A, B et C définissent un plan.

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

3. Déterminer une représentation paramétrique du plan (ABC).

4. Démontrer que le point D(−3 ; −4 ; 1) appartient au plan (ABC).

5. Déterminer une autre représentation paramétrique du plan (ABC).

Exercice 19 : Donner une représentation paramétrique des plans suivants :

1. Le plan (O ;−→i ,

−→j ) ; 2. Le plan (O ;

−→i ,

−→k ) ; 3. Le plan (O ;

−→j ,

−→k ).

III Positions relatives

III.1 Positions relatives de deux plans

Plans sécants Plans parallèles Plans confondus

(P)

(P ′)(D) (P)

(P ′) (P)=(P ′)

L’intersection de (P) et(P ′) est la droite (D)

L’intersection de (P) et(P ′) est vide

L’intersection de (P) et(P ′) est le plan (P)

De la même manière que dans le plan, un point était défini par l’intersection de deux droitessécantes, on retrouve ici une droite comme intersection de deux plans sécants.

Dans les exercices, il sera aussi utile de voir que deux plans confondus sont aussi deux plansparallèles qui contiennent le même point ou deux plans sécants en trois points non alignés.Suivant les points de vue, deux plans sécants seront donc vus, soit comme deux plans « très »sécants, soit comme deux plans « très » parallèles.




Exemple 6 : Dans le cube ABCDEFGH,

— les plans (BFG) et (EFG) sont sécantsselon la droite (FG) :

(BFG) ∩ (EFG) = (FG).

— les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles(strictement) :

(ABC) ∩ (EFG) = ∅.

— les plans (EFG) et (HGF) sont confon-dus :

(EFG) ∩ (HGF )(EFG).

— Quelle est la position relative des plans(AFC) et (BHD) ?

A B

C

GH

E F

D

F

D


x = t − 2t′

y = 1 + 3t + t′

z = 2 − 5t

, t ∈ R, t′ ∈ R.

Déterminer la nature de ℘ ∩ ℘′ dans chacun des cas suivants où ℘′ est définie par une repré-sentation paramétrique :

1.

x = −2 − 3t − t′

y = 2 − 2t + 4t′

z = 2 + 5t − 5t′2.

x = 4 − 3t + 5t′

y = −2t + t′

z = 5 + 5t − 5t′3.

x = −3 + 2t + t′

y = 2 − t + 2t′

z = 1 + t

t ∈ R, t′ ∈ R


x = 4 − t + 3t′

y = 1 − t + 5t′

z = t − t′, t ∈ R, t′ ∈ R.

Dans chacun des cas suivants, déterminer une représentation paramétrique de la droite d’in-tersection de ℘ et du plan :

1. (O ;−→i ,

−→j ) 2. (O ;

−→i ,

−→k ) 3. (O ;

−→j ,

−→k )




III.2 Positions relatives d’un plan et d’une droite

Droite et plan sécants Droite contenue dans le planDroite et plan strictement

parallèles

× M

(D)

(P)(D)(P)

(D)(P)

(P ′)

(P) et (D) ont un uniquepoint d’intersection M

(D) est incluse dans le plan(P)

(P) et (D) n’ont aucunpoint commun

Ici aussi, il sera utile de voir une droite incluse dans un plan comme une droite passant pardeux points de ce plan. Cette droite pourra alors être encore vue comme une droite « très »sécante avec le plan.


— la droite (EG) et le plan(BFC) sont sé-cants en G :

(BFC) ∩ (EG) = G.

— la droite (EG) et le plan (ABC) sont pa-rallèles (strictement) :

(EG) ∩ (ABC) = ∅.

— la droite (EG) est contenue dans le plan(EFG) :

(EFG) ∩ (EG) = (EG).

A B

C

GH

E F

D

F


x = 4 − t + 3t′

y = 1 − t + 5t′

z = t − t′, t ∈ R, t′ ∈ R

Dans chacun des cas suivants, déterminer l’intersection de ℘ avec la droite (d) donnée par unereprésentation paramétrique :

1.

x = 2 + t

y = 3 + 3t

z = 5 − t

2.

x = 1 + 4t

y = 10t

z = −3t

3.

x = 1 + 2t

y = −2

z = −3 + t

t ∈ R.




Pour déterminer l’intersection d’un plan (P) et d’une droite (D) non parallèle à (P) :

1. On trouve un plan (P ′) qui contient (D) et sécant à (P).

2. On détermine la droite (D ′), intersection de (P) et (P ′).(cf méthode 4)

3. Le point d’intersection de (D) et (D ′) est lors l’intersection de (D) et (P).

Méthode 2 (Intersection d’une droite et d’un plan)

bc

A(D ′)

(D)

(P)

(P ′)

Exercice 23 : ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de l’arête [AD], G un point de la faceABC distinct des sommets et tel que la droite (IG) ne soit pas parallèle au plan (BCD).

Construire le point N , intersection de la droite (IG) et du plan (BCD).

Correction :

B

D

A

C

J

G

I

×

N

Ici aussi, on applique la méthode :

1. Le plan (AIG) ou encore (ADG) contient la droite (AI) et est sécant au plan (BCD).

2. Le point (d), par définition, appartient aux deux plans (ADG) et (BCD).Posons J l’intersection entre la droite (AG) et la droite (BC). Le point (J) appartient aussiaux deux plans (ADG) et (BCD).L’intersection entre les deux plans (ADG) et (BCD) est donc la droite (DJ).

3. L’intersection entre le plan (BCD) et la droite (IG) est donc l’intersection entre les droites(DJ) et (IG), intersection qui existe bien car (IG) n’est pas parallèle au plan (BCD).

Exercice 24 : SABCD est une pyramide de sommet S, M est un point de [AS] et N estun point de [CS] tels que (MN) n’est pas parallèle au plan (ABC).

Construire, en justifiant, le point E, intersection de la droite (MN) et du plan (ABC).




III.3 Positions relatives de deux droites

Droites coplanairesDroites noncoplanaires

SécantesStrictementparallèles

Confondues(D)

(D ′)

×

(D)

(D ′)

bcM

(D)

(D ′) (D)(D ′)

Un unique pointd’intersection

Aucun pointd’intersection

Au moins 2 pointsd’intersection

Il n’existe aucunplan contenant (D)

et (D ′)

ATTENTION Dans l’espace, il existe des droites qui ne sont ni parallèles, ni sécantes.

Exercice 25 (Positions relatives de droites) : Dans un repère de l’espace, on consi-dère les droites (D1), (D2) et (D3) représentées par :

(D1) :

x = −1 + 2t

y = 4t

z = 5 − 3t

, t ∈ R, (D2) :

x = 8 − 6t

y = 1 − 12t

z = 9t − 2

, t ∈ R et (D3) :

x = 6 + t

y = −1 + 3t

z = 2 − 2t

, t ∈ R

1. Montrer que (D1) et (D2) sont strictement parallèles.

2. Montrer que (D1) et (D3) sont sécantes en un point M dont on donnera les coordonnées.

Dans l’espace, deux droites distinctes peuvent être sécantes, parallèles ou non coplanaires.Pour montrer que :

— deux droites sont parallèles, il suffit de montrer que leur vecteurs directeurs sontcolinéaires.

— deux droites sont sécantes, il suffit de montrer que le système formé des deux repré-sentations paramétriques a une unique solution.

— deux droites sont non coplanaires, il suffit de montrer que le système formé des deuxreprésentations paramétriques n’a pas de solution et qu’elles ne sont pas parallèles.

Méthode 3 (Position relative de droites)





— les droites (AF ) et (BE) sont copla-naires.

— les droites (AB) et (AD) sont sécantes.

— les droites (BC) et (EH) sont parallèles(strictement).

— les droites (AE) et (FG) ne sont pas co-planaires.

A B

C

GH

E F

D

Exercice 26 (Métropole 2015) : Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on consi-dère :

— les points A(0 ; 1 ; −1) et B(−2 ; 2 ; −1).

— la droite D de représentation paramétrique

x = −2 + ty = 1 + tz = −1 − t

, t ∈ R.

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

2. (a) Montrer que les droites (AB) et D ne sont pas parallèles.

(b) Montrer que les droites (AB) et D ne sont pas sécantes.

Exercice 27 (Intersection d’une droite et d’une sphère) : Soit A (1; −2; 3) un pointet ~u (3; 2; −1) un vecteur de l’espace.

1. Rappeler l’équation paramétrique de la droite (D) passant par A et de vecteur directeur~u.

2. Déterminer l’équation réduite de la sphère (S) de centre Ω (1; −1; 2) et de rayon√

10.

3. Déterminer les coordonnées des points d’intersection, s’il en existe, de la droite (D) avecla sphère (S).

Correction :

1. D’après le cours, on a immédiatement : (D) :

x = 1 + 3t

y = −2 + 2t

z = 3 − t

, t ∈ R.

2. Soit M

x

y

z

un point quelconque de l’espace.

M ∈ (S) ⇐⇒ ΩM =√

10

⇐⇒ ΩM2 = 10 (On élève au carré)

⇐⇒ (xΩ − x)2 + (yΩ − y)2 + (zΩ − z)2 = 10

⇐⇒ (1 − x)2 + (−1 − y)2 + (2 − z)2 = 10 (Équation réduite de (S))

⇐⇒ x2 + y2 + z2 − 2x + 2y − 4z − 4 = 0. (Équation développée de (S))

3. Le point M appartient à (D)∩(S) si, et seulement si ses coordonnées sont solutions du système :




x = 1 + 3t

y = −2 + 2t

z = 3 − t

, t ∈ R

x2 + y2 + z2 − 2x + 2y − 4z − 4 = 0.

c.-à-d. si et seulement s’il existe un réel t ∈ R tel que :

x = 1 + 3t, y = −2 + 2t, z = 3 − t

(1 + 3t)2 + (−2 + 2t)2 + (3 − t)2 − 2(1 + 3t) + 2(−2 + 2t) − 4(3 − t) − 4 = 0.

On développe et simplifie la dernière équation :

⇐⇒

x = 1 + 3t, y = −2 + 2t, z = 3 − t

7t2 − 3t − 4 = 0.

La dernière équation admet deux solutions réelles qui sont 1 puis −47. On trouve alors :

— Pour t = 1, M1 (4; 0; 2).

— Pour t = −47, M2

(−5

7; −22

7;

257

).

La droite (D) coupe donc la sphère (S) en les deux points M1 et M2 trouvés ci-dessus.


x = 1 − t

y = −2 + 3t

z = −1 + t

, t ∈ R.

Dans chacun des cas suivants, étudier la position de la droite (∆) avec la droite (d) de repré-sentation paramétrique :

1.

x = −k

y = 3 + 2k

z = 4 − k

2.

x = 1 + k

y = −2k

z = 3 − k

3.

x = k − 2

y = 7 − 3k

z = 2 − k

k ∈ R.

Correction : (∆) a pour vecteur directeur −→u (−1 ; 3 ; 1)

1. (d) a pour vecteur directeur −→v (−1 ; 2 ; 1) qui n’est pas colinéaire avec −→u . (∆) et (d) sont doncsoit sécantes, soit non coplanaires.

x = 1 − t

y = −2 + 3t

z = −1 + t

x = −k

y = 3 + 2k

z = 4 − k

⇐⇒

−k = 1 − t

3 + 2k = −2 + 3t

4 − k = −1 + t

x = −k

y = 3 + 2k

z = 4 − k

⇐⇒

k = t − 1

−2 + 3t = 1 + 2t

4 − t + 1 = −1 + t

x = −k

y = 3 + 2k

z = 4 − k

⇐⇒

k = 2

t = 3

t = 3

x = −2

y = 7

z = 2

Les droites (d) et (∆) sont donc sécantes en A(−2 ; 7 ; 2).




2. (d) a pour vecteur directeur −→v (1 ; −2 ; −1) qui n’est pas colinéaire avec −→u . (∆) et (d) sontdonc soit sécantes, soit non coplanaires.

x = 1 − t

y = −2 + 3t

z = −1 + t

x = 1 + k

y = −2k

z = 3 − k

⇐⇒

1 + k = 1 − t

−2k = −2 + 3t

3 − k = −1 + t

x = 1 + k

y = −2k

z = 3 − k

⇐⇒

k = −t

t = 2

3 = −1!!!

x = 1 + k

y = −2k

z = 3 − k

Le système n’admet pas de solution et les droites (d) et (∆) sont donc non coplanaires.

3. (d) a pour vecteur directeur −→v (1 ; −3 ; −1) qui est pas colinéaire avec −→u . (∆) et (d) sontdonc parallèles.B(1 ; −2 ; −1) ∈ (∆). Vérifions si B ∈ (d) pour savoir si elles sont confondues :

1 = 1 + k

−2 = −2k

−1 = 3 − k

⇐⇒

k = 0

k = 1

k = 4

.

Il n’existe pas de réel k tel que les coordonnées de B vérifient le système, donc B n’appartientpas à (d) et les droites (d) et (∆) sont strictement parallèles.


x = 8 + 2t

y = −5 − 4t

z = 3 + 2t

, t ∈ R.

Dans chacun des cas suivants, étudier la position de la droite (∆) avec la droite (d) de repré-sentation paramétrique :

1.

x = 2 + 3t

y = 7 − 6t

z = −3 + 3t

2.

x = 1 − t

y = 4 − t

z = 2

3.

x = −1 + t

y = 7 − 2t

z = −2 + 3t

t ∈ R.

Exercice 30 : Soit ABCDEFGH un cube ; I et J les milieux respectifs de [EG] et [GH ].

On munit l’espace du repère (A;−→AB,

−−→AD,

−→AE).

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AI) puis de la droite (DJ).

2. Démontrer que les droites (AI) et (DJ) sont sécantes en un point dont on déterminerales coordonnées.

Exercice 31 : Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O ;~i,~j,~k), soit (∆) la droite dereprésentation paramétrique :

x = 1 − t

y = 2t

z = −t + 2

, t ∈ R.

et ℘ le plan de représentation paramétrique :

x = −t′

y = 1 + t + 3t′

z = t

, t ∈ R, t′ ∈ R.




1. Le point C (1; 3; 2) appartient-il au plan ℘ ?

2. Démontrer que la droite (∆) est incluse dans le plan ℘.

3. Soit ℘′ le plan de représentation paramétrique :

x = t + t′

y = 1 + 2t + t′

z = −1 + 3t + t′, t ∈ R, t′ ∈ R.

(a) Montrer que C ∈ ℘′.

(b) Montrer que (∆) coupe ℘′ en un point I dont on déterminera les coordonnées.

(c) Montrer que CI =√

3.

4. Soit t un nombre réel et M le point de (∆) de coordonnées M (−t + 1; 2t; −t + 2).

(a) Montrer que CM2 = 6t2 − 12t + 9.

(b) Montrer que CI est la distance minimale de CM lorsque t décrit l’ensemble desréels.

Exercice 32 : Soient A (−2; 0; 1), B (1; 2; −1) et C (−2; 2; 2) trois points de l’espace munid’un repère (O;~i,~j,~k).


2. Soit D (−2; −1; 0) et E (−2; 5; 2). Démontrer que la droite (DE) et le plan (ABC) sontsécants en un point I dont on déterminera les coordonnées.



X. Géométrie dans l’espace I IV. PARALLÉLISME

IV Parallélisme

IV.1 Parallélisme entre deux plans

Si un plan (Q) coupe deux plans parallèles (P) et (P ′) alors les droites d’intersectionsont parallèles.


(P ′)

(P)

(Q)

Exercice 33 : On considère le solide ADECBF, ci-dessous, constitué de deux pyramidesidentiques ayant pour base commune le carré ABCD de centre I. Toutes les arêtes sont delongueur 1.

L’espace est rapporté au repère orthonormé(A ;

−→AB,

−→AD,

−→AK

).

On nomme M le milieu du segment [DF] et Ncelui du segment [AB].

1. Démontrer que les plans (FDC) et(ABE) sont parallèles.

2. Déterminer l’intersection des plans(EMN) et (FDC).

b

b

A B

CD

E

F

I

K

IV.2 Parallélisme entre droites et plans

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ceplan.

Proposition 5




(D ′)

(D)(P)

(D) // (D ′)(D) ⊂ (P)

=⇒ (D) // (P).

Si un plan (P) contient deux droites sécantes (D) et (D ′) parallèles à un plan (P ′), alorsles plans (P) et (P ′) sont parallèles.


(P ′)

(D)

(D ′)

(P)

On remarquera que, contrairement à la proposition précédente, pour montrer que deux plans(de dimension 2) sont parallèles, il est nécessaire de disposer d’une droite supplémentaire plutôtque pour montrer qu’une droite (de dimension 1) est parallèle à un plan.

Si une droite (D ′) est parallèle à deux plans (P) et (P ′) sécants en une droite (D) alors(D) et (D ′) sont parallèles.

Corollaire 7 (Admis)

(D)

(D ′)

(P)

(P ′)




Soient (D) et (D ′) deux droites parallèles contenues respectivement dans les plans (P) et(P ′).Si (P) et (P ′) sont sécants en une droite (∆), alors la droite (∆) est parallèle à (D) et(D ′).

(D) ⊂ (P)(D ′) ⊂ (P ′)

(D) // (D ′)

=⇒

avec (∆) = (P) ∩ (P ′)(D) // (∆)(D ′) // (∆)

Théorème 8 (Théorème du toit)

(∆)(D)

(D ′)

(P)

(P ′)



X. Géométrie dans l’espace I V. SECTION DE SOLIDES

V Section de solides

Pour trouver l’intersection de deux plans sécants (P) et (P ′), il suffit de trouver deuxpoints A et B distincts et communs aux plans (P) et (P ′).L’intersection cherchée est alors la droite (AB).

Méthode 4 (Intersection de deux plans)

(AB)

+

A+

B

(P)

(P ′)

Exercice 34 : On pose un cube ABCDEFGH sur un plan (P).

I et J sont les milieux respectifs de [EF ] et [FG] et K est le point de [BF ] tel que 5FK = 2FB.

1. (a) Montrer que les droites (IK) et (AB) sont sécantes. On appelle M , leur pointd’intersection.

(b) Montrer que les droites (JK) et (BC) sont sécantes. On appelle N , leur pointd’intersection.

2. Construire la droite (∆), intersection des plans (IJK) et (P).

Correction :

A B

C

GH

E F

K

IJ

D

×

M×

N

(MN)

Il suffit d’appliquer la méthode :

— Les droites (IJ) et (AB) sont coplanaires et sécantes. Leur point d’intersection M appartient à(P) = (ABC) et (IJK) puisqu’il appartient respectivement à (AB) ∈ (P) et (IJ) ∈ (IJK).

— De la même manière N = (JK) ∩ (BC) appartient à (P) et (IJK).

Donc, l’intersection de (IJK) et de (P) est la droite (MN).




V.1 Section d’un cube par un plan

Déterminer la section d’un polyèdre par un plan revient à déterminer l’intersection d’un planavec chacune de ses faces. Un polyèdre étant constitué de faces planes, l’exercice revient alorsà déterminer autant d’intersection de plans que celui-ci a de faces.

Exercice 35 : Soit un cube ABCDEFGH et un plan (IJK). De plus :

— I est un point de [EH ] tel que :

EI =2

3EH.

— J est un point de [AB] tel que :

AJ =2

3AB.

— K est un point de [FG] tel que :

FK =1

4FG.

A B

CD

GH

E F

1. Tracer l’intersection du plan (IJK) avec la face EFGH .

2. Soit L le point d’intersection entre les droites (IK) et (EF ).

(a) Á quels plans appartient la droite (JL) ?

(b) Soit M le point d’intersection entre les droites (JL) et (BF ).Tracer l’intersection du plan (IJK) avec la face ABFE.

3. (a) À quels plans appartiennent les points M et K ?

(b) Tracer l’intersection du plan (IJK) avec la face BCGF .

4. Soit N le point d’intersection entre les droites (JM) et (AE).

(a) Tracer l’intersection du plan (IJK) avec la face ADHE.

(b) Tracer l’intersection du plan (IJK) avec la face ABCD.

5. Tracer en rouge la section du cube ABCDEFG par le plan (IJK).

A B

CD

GH

E Fb

b

bbbc

I

bc

J

bcK

La section du cube par le plan (IJK) est le polygone obtenu en reliant chacune de ces intersec-tions.




Correction : On avance pas à pas :

— L’intersection de deux plans sécants est une droite donc l’intersection, lorsqu’elle existe, d’uneface par le plan (IJK) est un segment.

— Si deux points du plan (IJK) appartiennent à une face du cube, toute la droite limitée au cubedélimite l’intersection entre le plan (IJK) et cette face.L’intersection entre le plan (IJK) et la face EFGH est le segment [IK].

A B

CD

F

GH

E

I

bc

J

K

— Cherchons l’intersection de (IJK) avec la face ABFE :Posons L, le point d’intersection entre la droite (IK) et la droite (EF ). Par définition, Lappartient aux deux plans (IJK) et (ABF )La droite (JL) appartient alors aussi aux deux plans (IJK) et (ABF ).Notons M le point d’intersection entre les droites (JL) et (FB). Par définition, M appartientaux deux plans (IJK) et (ABF ). Le segment [JM ] représente l’intersection entre le plan (IJK)et la face ABFE.

A B

CD

F

GH

E

I

J

K

× L

M

— Par construction, les points K et M appartiennent à l’intersection du plan (IJK) et de la faceBCGF . On trace le segment [KM ].




A B

CD

F

GH

E

I

J

K

× L

M

— On détermine alors successivement l’intersection avec les faces ADHE puis ABCD :

— Soit N = (MJ) ∩ (AE).

Par construction N ∈ (IJK) ∩ ADHE.

Notons O = (IN) ∩ (AD).

Alors [IO] = (IJK) ∩ ADHE.

— O et J appartiennent à la face ABCD etau plan (IJK) par construction.

Donc, [OJ ] = (IJK) ∩ ABCD.

A B

CD

F

GH

E

I

J

K

M

N

O

Finalement, la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) est le pentagone IKMJO.

B

CD

GHI

J

K

M

O

Remarque : Comme les faces EFGH et ABCD dont parallèles. Le plan (IJK) coupe celles-ci facesen des segments parallèles. Il en est de même pour les faces BCGH et ADHE :

(IK) // (OJ) et (KM) // (IO).




V.2 Section d’un tétraèdre par un plan

Exercice 36 : Soit un tétraèdre ABCD et un plan (EFG). De plus :

— E centre de gravité du triangle ABD.

— F est le milieu de [BC].

— G est un point de [AC] tel que :

AG =4

5AC.

B

D

A

C

1. (a) Déterminer l’intersection du plan (EFG) et de la face ABC.

(b) Déterminer l’intersection du plan (EFG) et de la face ABD.

(c) Déterminer l’intersection du plan (EFG) et des faces ADC et BCD.

2. Déterminer l’intersection du plan (EFG) et du tétraèdre.

B

D

A

C

b

b

b

bc G

b bc

F

bcE

Correction : Comme précédemment, il s’agit de construire l’intersection d’un plan avec chaque facedu tétraèdre :

— [FG] représente l’intersection de (EGJ) avec la face ABC.

— On ne peut pas relier E à F ou G car ces segments ne sont pas sur une face du tétraèdre.On cherche alors l’intersection de (EFG) avec la face ABD. Pour cela, on détermine l’inter-section de la droite (GF ) avec la droite (AB) qui contient l’arête [AB] appartenant aux facesABC et ABD. Notons H leur point d’intersection.— Comme H ∈ (GF ) alors H ∈ (EFG).

— Comme H ∈ (AB) alors H ∈ (ABD) contenant la face ABD

— On trace alors la droite (HE) qui coupe [BD] en L et [AD] en K.

— Comme L ∈ (HE) et K ∈ (HE) alors K et L appartiennent au plan (EFG).

— On trace le segment [KL] qui est donc l’intersection de (EFG) et de la face ABD.

B

D

A

C

G

F

E

×

H

K

L




— Il ne reste plus qu’à tracer (en pointillés car cachés) les segments [GK] et [LF ] qui représententles intersection respectives avec les faces ADC et BCD.

B

D

A

C

G

F

bE

K

L

Finalement, la section du tétraèdre ABCD par le plan (EFG) est le quadrilatère GFLK.

D C

G

F

bE

K

L

Exercice 37 : Reprendre la figure de l’ exercice (33) et construire sur la figure, la sectiondu solide ADECBF par le plan (EMN).

Exercice 38 (Nouvelle-Calédonie 2016) :On considère le cube ABCDEFGH représentéci-contre.

On définit les points I et J respectivement par−→HI =

3

4

−→HG et

−→JG =

1

4

−→CG.

AB

CD

E F

GH

b

b

bb

b bb

b

b

b

1. Sur la figure ci-dessus, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan (IJK) où Kest un point du segment [BF].

2. Sur la figure ci-dessus, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan (IJL) où Lest un point de la droite (BF).

3. Existe-t-il un point P de la droite (BF) tel que la section du cube par le plan (IJP) soitun triangle équilatéral ? Justifier votre réponse.

Exercice 39 (Amérique du Nord 2014) :On considère un cube ABCDEFCH ci-contre.

On note M le milieu du segment [EH], N celui

de [FC] et P le point tel que−→HP =

1

4

−→HG.



X. Géométrie dans l’espace I VI. ORTHOGONALITÉ

A B

CD

E F

GH

1. Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L.Construire le point L

2. On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d’intersec-tion.On admet que les droites (LN) et (BF) sont sécantes et on note Q leur point d’intersec-tion.

(a) Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction.

(b) Construire l’intersection des plans (MNP) et (ABF).

3. En déduire une construction de la section du cube par le plan (MNP).

VI Orthogonalité

VI.1 Droites orthogonales

On dit que deux droites (D) et (D ′) sont :

— Perpendiculaires si, et seulement si, (D) et (D ′) se coupent perpendiculairement.

— Orthogonales si, et seulement si, il existe une droite (∆) parallèle à (D) qui estperpendiculaire à (D ′).

On écrira indistinctement pour deux droites perpendiculaires ou orthogonales :

(D) ⊥ (D ′).

Définition 4

× M

(D) (∆)

(D ′)




ATTENTIONDans l’espace, on fait une différence pour des droites entre « orthogonales » et « per-pendiculaires ».Dans l’espace, des droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires et n’ontdonc pas nécessairement de point d’intersection.

Tout d’abord une variante des postulats d’Euclide :

Si deux droites sont parallèles alors toute droite orthogonale à l’une est orthogonale àl’autre.

Théorème 9

Preuve: Immédiate avec la définition de deux droites orthogonales.

Exercice 40 : ABCDEFGH est un cube.

1. Citer 12 droites orthogonales à (EA) et préciser celles qui ne lui sont pas perpendicu-laires.

2. Citer 10 droites orthogonales à (EB) et préciser celles qui ne lui sont pas perpendicu-laires.

Exercice 41 : ABCDEFGH est un cube et I est le milieu de [AB].

Les droites suivantes sont-elles orthogonales ?

1. (IF ) et (FG)

2. (IF ) et (FH)

3. (BF ) et (EH)

4. (BF ) et (AC)

5. (EG) et (GC)

6. (EB) et (EG)

7. (AF ) et (BC)

8. (AC) et (HF )

9. (BD) et (EC)

10. (CE) et (AG)A B

C

GH

EF

D

×

I

Correction :

1. (IF ) et (FG) sont orthogonales.

2. (IF ) et (FH) ne sont pas orthogonales

3. (BF ) et (EH) sont orthogonales.

4. (BF ) et (AC) sont orthogonales.

VI.2 Droites perpendiculaires à un plan

D’abord la définition : « Que faut-il démontrer pour qu’une droite soit perpendiculaire à unplan ? »

Une droite (D) est perpendiculaire (ou orthogonale) à un plan (P) si, et seulement si, ilexiste deux droites sécantes de (P) perpendiculaires à (D).

Définition 5




Remarque : On ne fait pas de différence ici entre « orthogonale » et « perpendiculaire ».

× A

(D)

× A

(D)

ATTENTION Une seule droite perpendiculaire ne suffit pas ! ! !

La réciproque maintenant : « Qu’obtient-on comme propriétés supplémentaires quand une droiteest perpendiculaire à un plan ? »

Soit A le point d’intersection d’une droite (D) et d’un plan (P).La droite (D) est perpendiculaire au plan (P) si et seulement si elle est perpendiculaire àtoutes les droites de ce plan passant par A.

Théorème 10 (Théorème de « la porte »)

× A

(D)

Pour montrer qu’une droite (D) est orthogonale à une droite (D ′) contenue dans un plan(P) :

— A l’aide de deux droites sécantes de (P) et de la définition (5) , on montre que(D) est orthogonale à (P).

— A l’aide du théorème (10) , on en déduit que (D) est orthogonale à toutes lesdroites de (P) donc à (D ′).

Méthode 5 (Montrer que deux droites sont orthogonales)




Exercice 42 :

ABCD est un tétraèdre régulier.

S est le pied de la hauteur issue de A relati-vement à la base BCD et I est le milieu de[BC].

1. Démontrer que les droites (AS) et (BC)sont orthogonales.

2. En déduire que la droite (BC) est ortho-gonale au plan (AIS).

A

B

D

C×

I ×

S

4. En déduire que les points A, I, S et D sont coplanaires et que les points I, S et D sontalignés.

Enfin deux prolongements dans l’espace des postulats d’Euclide :

— Si deux droites sont perpendiculaires à un même plan, alors elles sont parallèles.

— Si deux plans sont perpendiculaires à une même droite, ils sont parallèles.

Proposition 11

××

×

×

Exercice 43 : On considère un cube ABCDEFGH dont I, J , K et L sont les milieuxrespectifs des côtés [GH ], [AB], [EF ] et [CD].

1. Justifier que EG = GB = BD = DE.Peut-on en déduire que EGBD est un losange ?

2. Démontrer que les quadrilatères EIGK, GKJC et EICJ sont des parallélogrammes.

3. Démontrer que EICJ est un losange.

4. Le quadrilatère EICJ est-il un carré ?




A B

CD

GH

E

F

bcI

bc

J

bcL

bcK

Correction :

1. EG = GB = BD = DE car ces longueurs cor-respondent à la longueur de la diagonale d’uneface dans un cube. Ce sont toute des carrésisométriques.

(d) n’appartient pas au plan (EGB).

Cependant, les points E, G, B et D ne sont pascoplanaires et EGBD ne peut être un losange.

A B

CD

GH

E

F

2. Comme I et K sont les milieux respectifs de [GH] et [EF ], on a :

IG = EK et (IG) // (EK) =⇒ EIGK est un parallélogramme. (X.4)

Comme K et J sont les milieux respectifs de [EF ] et [AB], on a :

KJ = FB = GC(KJ) // (FB) // (GC)

=⇒ KJ = GC et (KJ) // (GC).

Donc GKJC est aussi un parallélogramme. (X.5)

De (X.4) et (X.5), on en déduit successivement : EI = GK = CJ puis (EI) // (KG) // (CJ).Donc EICJ est un parallélogramme.

A B

CD

GH

E

F

I

J

K

3. Les triangle EHI et EAJ sont isométriques donc EI = EJ , le parallélogramme EICJ est unlosange.On peut ainsi en déduire que les droites (EC) et (IJ) sont perpendiculaires (diagonales d’unlosange).




A B

C

D

GH

E

F

I

J

4. La perspective est trompeuse. On pourrait penser que les droites (EI) et (EJ) sont perpendi-culaires. En réalité, elles ne le sont pas. Montrons par l’absurde que les droites (El) et (EJ) nesont pas perpendiculaires.Supposons donc que (EJ) ⊥ (EI).(EH) est perpendiculaire au plan (AEF ), donc (EH) est perpendiculaire à toutes droites dece plan passant par E. En particulier (EJ).Comme (EJ) est aussi perpendiculaire à (EI) alors (EJ) est perpendiculaire au plan (HEF ).(EJ) est donc perpendiculaire à toutes droites du plan (HEF ) passant par E, donc perpendi-culaire à (EF ), ce qui est absurde.Comme les droites (EJ) et (EI) ne sont pas perpendiculaires, EICJ n’est pas un carré.



Thème: Géométrie dans l’espace TS-SI - Devoir en temps libre no 9

Géométrie dans l’espace

Exercice 1 (Positions relatives droite/plan) : Soient A (−2; 0; 1), B (1; 2; −1) et C (−2; 2; 2)

trois points de l’espace muni d’un repère (O;~i,~j,~k).


2. Soit D (−2; −1; 0) et E (−2; 5; 2). Démontrer que la droite (DE) et le plan (ABC) sontsécants en un point I dont on déterminera les coordonnées.

Exercice 2 (Positions relatives droite/droite) : Dans un repère de l’espace, on consi-dère les droites (D1), (D2) et (D3) représentées par :

(D1) :

x = −1 + 2t

y = 4t

z = 5 − 3t

, t ∈ R, (D2) :

x = 8 − 6t

y = 1 − 12t

z = 9t − 2

, t ∈ R et (D3) :

x = 6 + t

y = −1 + 3t

z = 2 − 2t

, t ∈ R

1. Montrer que (D1) et (D2) sont strictement parallèles.

2. Montrer que (D1) et (D3) sont sécantes en un point M dont on donnera les coordonnées.

Exercice 3 (Bac) : Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O ;~i,~j,~k), soit (∆) ladroite de représentation paramétrique :

x = 1 − t

y = 2t

z = −t + 2

, t ∈ R.

et ℘ le plan de représentation paramétrique :

x = −t′

y = 1 + t + 3t′

z = t

, (t; t′) ∈ R2.

1. Le point C (1; 3; 2) appartient-il au plan ℘ ?

2. Démontrer que la droite (∆) est incluse dans le plan ℘.

3. Soit ℘′ le plan de représentation paramétrique :

x = t + t′

y = 1 + 2t + t′

z = −1 + 3t + t′, t ∈ R, t′ ∈ R.

(a) Montrer que C ∈ ℘′.

(b) Montrer que (∆) coupe ℘′ en un point I dont on déterminera les coordonnées.

(c) Montrer que CI =√

3.

4. Soit t un nombre réel et M le point de (∆) de coordonnées M (−t + 1; 2t; −t + 2).

(a) Montrer que CM2 = 6t2 − 12t + 9.

(b) Montrer que CI est la distance minimale de CM lorsque t décrit l’ensemble desréels.



Chapitre

XI

Primitives et Intégration

Dès l’aube du calcul différentiel et la formalisation de la dérivée d’une fonction f , lesmathématiciens se sont naturellement posé la question de l’existence d’une fonction Fdont f serait la dérivée. La notion de primitive était née.

La primitivisation apparaît alors comme l’opération « réciproque » de la dérivation. Cenouvel outils va, en fait, devenir incontournable pour calculer des aires un peu moins tri-viales que celle d’un rectangle : l’aire délimitée par une portion de courbe par exemple.

Difficile a priori, ce problème trouve une solution élégante et triviale lorsque le lien avec lesprimitives est prouvé.

SommaireI Un exemple de bac pour motiver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

I.1 Amérique du sud 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361I.2 Amérique du nord 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

II Intégrale et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362II.1 Intégrale d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362II.2 Calculs d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362II.3 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

III Les primitives d’abord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365III.1 Primitives des fonctions de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365III.2 Primitives de fonctions simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366III.3 Primitives de fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

IV Exemples de calculs d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368IV.1 Directement à partir du théorème (7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368IV.2 En réfléchissant un peu avant : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

V Le cours comme il devrait être : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370V.1 Premières propriétés : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370V.2 Lien entre Intégrale et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

VI Conséquences du théorème (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374VI.1 Calculs d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374VI.2 Propriétés de l’intégrale, la suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375VI.3 Formule de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

VII Calcul d’aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378VII.1 Aire d’un domaine compris entre une courbe et l’axe des abscisses . . 378VII.2 Aire d’un domaine compris entre deux courbes . . . . . . . . . . . . . 380

VIII Intégration par parties (Hors-programme) . . . . . . . 383

Devoir en temps libre no 10 : Antilles-Guyane 2018 . . . . . . . . . . . 385

360

XI. Primitives et Intégration I. UN EXEMPLE DE BAC POUR MOTIVER

Correction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387Fiche no 11 : Calcul Intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

I Un exemple de bac pour motiver

I.1 Amérique du sud 2019

« On utilisera dans la suite la modélisation suivante :

f(t) = 3te− 14

t + 2 avec t > 0,

où f(t) représente le taux de vasopressine (en µg/mL) dans le sang en fonction du temps t (enminute) écoulé après le début d’une hémorragie. »

5. Soit F la fonction définie sur [0 ; +∞[ par F (t) = −12(t + 4)e− 14

t + 2t.

(a) Démontrer que la fonction F est une primitive de la fonction f et en déduire une

valeur approchée de∫ 18

0f(t) dt à l’unité près.

(b) En déduire une valeur approchée à 0, 1 près du taux moyen de vasopressine, lors d’unaccident hémorragique durant la période où ce taux est supérieur à 2, 5 µg/mL.

I.2 Amérique du nord 2018

On rappelle que l’espérance de la variable aléatoire X, notée E(X), est égale à :

limx→+∞

∫ x

00, 2te−0,2t dt.

Le but de cette partie est de démontrer que E(X) = 5.

1. On note g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par g(t) = 0, 2te−0,2t.On définit la fonction G sur l’intervalle [0 ; +∞[ par G(t) = (−t − 5)e−0,2t.Vérifier que G est une primitive de g sur l’intervalle [0 ; +∞[.

2. En déduire que la valeur exacte de E(X) est 5.



XI. Primitives et Intégration II. INTÉGRALE ET PRIMITIVES

II Intégrale et primitives

II.1 Intégrale d’une fonction

Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [ a; b ].On appelle intégrale de f sur I l’aire algébrique du domaine délimité par :

— la courbe représentative Cf de f ,

— l’axe des abscisses

— et les droites d’équations x = a et x = b.

On note alors cette intégrale :

∫ b

af(x) dx

∫ b

af(x) dx

x = a x = b0

Cf

−→ı

−→

∫ b

af(x) dx se lit « somme de a à b de f(x) dx ».

Définition 1 (Intégrale)

Notation :— a et b sont les bornes d’intégration.

— Le x dans « dx » est la variable par rapport à laquelle on effectue les calculs. Elle est ditemuette, d’autres lettres peuvent être utilisées :

∫ b

af(x) dx =

∫ b

af(t) dt =

∫ b

af(u) du =

∫ b

af(z) dz = . . .

Lorsque la fonction f ne prend que des valeurs positives,∫ b

af(x) dx correspond à l’aire du

domaine délimité précédemment et exprimée en unités d’aire (u.a.) c.-à-d. l’aire du rectangleformé par les vecteurs −→ı et −→ .

Dans le cas où les valeurs de f sont négatives, l’aire sera égale à −∫ b

af(x) dx.

II.2 Calculs d’intégrales

Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [ a; b ] et F une primitive de f sur I,alors ∫ b

af(x) dx = F (b) − F (a)

Théorème 1

Pour les calculs, on note :∫ b

af(x) dx =

[F (x)

]ba

= F (b) − F (a).




Soit∫ b

af(t) dt une intégrale d’une fonction f continue sur un intervalle compact [a ; b ] à

calculer.

1. On cherche une primitive F de f sur [a ; b ].

2. On écrit et calcule :∫ b

af(t) dt =

[F (t)

]b

a= F (b) − F (a).

3. C’est tout !. . .

Méthode 1 (Calcul d’une intégrale)

En admettant le théorème (7) , on peut déjà répondre à l’exercice (I.1) :∫ 18

0f(t) dt =

∫ 18

03te− 1

4t + 2 dt

=[

− 12(t + 4)e− 14

t + 2t]18

0

=[

− 12(18 + 4)e− 14

×18 + 2 × 18]

−[

− 12(0 + 4)e− 14

×0 + 2 × 0]

= . . .

Et à l’exercice (I.2) :∫ x

00, 2te−0,2t dt = [G(t)]x0

=[(−t − 5)e−0,2t

]x

0

=[(−x − 5)e−0,2x

]−[(−0 − 5)e−0,2×0

]

= −(x + 5)e−0,2x + 5.

Exercice 1 : On considère l’intégrale I =∫ e

1ln(x) dx.

1. Vérifier que F : x 7→ x ln(x) − x est bien une primitive de x 7→ ln(x) sur ]0 ; +∞[.

2. En déduire la valeur de I.

II.3 Primitives

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. On appelle primitive de f sur I toutefonction F définie et dérivable sur I vérifiant

F ′(x) = f(x) pour tout x ∈ I.

Définition 2

ATTENTION On ne parle pas de LA primitive, mais DES primitives de f . En effet, si Fest une primitive de f alors F + c, c ∈ R est aussi une primitive de f .

Pour fixer la constante, on demande à F de vérifier une condition supplémentaire qui estF (0) = 1, par exemple.




Exemple 1 : Considérons la fonction f définie sur R par f(x) = 3x2.

— La fonction F définie sur R par F (x) = x3 est une primitive de f sur R.

— La fonction G définie sur R par G(x) = x3+2 est aussi une primitive de f sur R.

— Donc, toutes les fonctions de la forme x3 + c sont des primitives de 3x2.

Remarque : La fonction définie sur R par1

3x3 est une primitive de x3 sur R.



XI. Primitives et Intégration III. LES PRIMITIVES D’ABORD

III Les primitives d’abord

III.1 Primitives des fonctions de référence

La lecture du tableau des primitive se fait en lisant celui des dérivées « à l’envers ».Les fonctions f suivantes sont définies, dérivables sur l’intervalle I, n est un entier relatif nonnul différent de −1.

Fonction f Fonction F I

x 7−→ 0 x 7−→ c, c ∈ R R

x 7−→ k x 7−→ kx, c ∈ R R

x 7−→ x x 7−→ 1

2x2 R

x 7−→ x2 x 7−→ 1

3x3 R

x 7−→ xn (n ∈ N) x 7−→ 1

n + 1xn+1 R

x 7−→ 1

xx 7−→ ln x ]0 ; +∞ [

x 7−→ 1

x2x 7−→ −1

xR∗

x 7−→ 1

x3x 7−→ −1

2× 1

x2R∗

x 7−→ 1

xn(n ∈ N \ 1) x 7−→ − 1

n − 1× 1

xn−1R∗

x 7−→ 1√x

x 7−→ 2√

x ]0; +∞[

x 7−→ ex x 7−→ ex R

x 7−→ sin(x) x 7−→ − cos(x) R

x 7−→ cos(x) x 7−→ sin(x) R

1 + tan2 x =1

cos2 xtan x

]−π

2+ kπ;

π

2+ kπ

[(k ∈ Z)

Ce tableau ne donne qu’UNE primitive de la fonction f . Pour obtenir toutes les primitives def , il suffit de rajouter une constante c à F .

Remarque : Pour les polynômes xn ou les fraction rationnelles1

xn, une seule formule suffit à

condition que n 6= −1 :




Fonction f Fonction F

x 7−→ xnx 7−→ 1

n + 1xn+1

Exemple 2 : Une primitive de la fonction définie sur R∗ par f(x) =1

x8= x−8 est

F (x) = − 1

7x7.

D’une manière générale, pour trouver une primitive F d’une fonction f , on revisite sontableau des fonctions dérivées à l’envers et on conjecture la forme de la fonction F puis oncomplète avec des coefficients multiplicatifs afin de simplifier ceux qui apparaîtraient endérivant la fonction F .

Méthode 2 (Trouver une primitive)

ATTENTION Ne pensez pas, cependant, qu’il sera toujours aussi facile de trouver une pri-mitive d’une fonction. C’est, le plus souvent une question extrêmement difficile voire irrésolublepour les plus grands :

Cherchez, par exemple des primitives des fonctions définies par :

— ln x, — xex, —√

1 + x2, — ex2

.

III.2 Primitives de fonctions simples

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R.

1. Si f admet une primitive F sur I, les primitives de f sont les fonctions du type F + coù c est une constante réelle.

2. Si F et G sont respectivement des primitives de f et g et λ ∈ R alors F + G et k × Fsont des primitives de f + g et k × f .

Proposition 2

On résume en général tout cela dans le tableau ci-dessous :

Fonction du type Une primitive

u′ + v′ u + v

k × u′ k × u




Exercice 2 : Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalledonné.

1. f : x 7→ x2 + x3 sur R

2. f : x 7→ 1

x+ 1 sur ]0 ; +∞[

3. f : x 7→ 1

x2− 1√

xsur ]0 ; +∞[

4. f : x 7→ sin(x) − cos(x) sur R

5. f : x 7→ x5 − 4x + 3 sur R

6. f : x 7→ 1

x5− 1

4xsur ]0 ; +∞[

7. f : x 7→ 2√x

sur ]0 ; +∞[

8. f : x 7→ x2 + 1

xsur ]0 ; +∞[

9. f : x 7→ x3

3− 2x2 + 7 sur R

10. f : x 7→ 3

x3− 1

2x2+

1

7sur ]0 ; +∞[

11. f : x 7→ x−4 + 8x4 sur ]0 ; +∞[

12. f : x 7→ ex − sin(x) sur R

III.3 Primitives de fonctions composées

Qu’en est-il de fonctions simples mais plus sophistiquée comme celles définies par e2x, cos(3x−4),1

x + 1, (5x + 2)2, . . . ?

Il suffit de se rappeler la formule de la dérivée d’une fonction composée :(F (u)

)′= u′ × f(u), où F est une primitive de f c.-à-d. F ′ = f.

En notant u′ et v′, des fonction définies sur I, de primitives u et v et n est un entier relatif nonnul différent de −1, on résume les résultats connus dans le tableau ci-dessous :

Fonction du type Une primitive Condition

u′ un un+1

n + 1u(x) 6= 0 pour tout x ∈ I si n est négatif

u′eu eu

u′

uln u u(x) > 0 sur I

u′√

u

√u u(x) > 0 sur I

u′ cos(u) sin u

u′ sin(u) − cos u

cos(ax + b)1a

sin(ax + b) a 6= 0

Exercice 3 : Déterminer les primitives de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalledonné.

1. f : x 7→ 2x(x2 + 1)3 sur R

2. f : x 7→ x2

x3 + 1sur ] − 1 ; +∞[

3. f : x 7→ x

(x2 + 1)2sur R

4. f : x 7→ 1

x2e

1x sur ] − ∞ ; 0[



XI. Primitives et Intégration IV. EXEMPLES DE CALCULS D’INTÉGRALES

5. f : x 7→ ln(x)

xsur ]0 ; +∞[

6. f : x 7→ sin(x)

cos(x)sur

]−π

2;π

2

[

7. f : x 7→ ex

(1 − ex)2sur ]0 ; +∞[

8. f : x 7→ 8x√x2 + 1

sur R

9. f : x 7→ cos(x)esin(x) sur R

10. f : x 7→ 1

x√

ln(x)sur ]1 ; +∞[

11. f : x 7→ 1

x ln(x)sur ]1 ; +∞[

12. f : x 7→ sin2(x) cos(x) sur R

13. f : x 7→ e−3x+3 sur R

14. f : x 7→ ln(x + 3)

x + 3sur ] − 3 ; +∞[

IV Exemples de calculs d’intégrales

IV.1 Directement à partir du théorème (7)

Exercice 4 : Calculer la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes à l’aide d’uneprimitive.

1. I =∫ 4

−1(x − 1)2 dx

2. J =∫ 2

1

1

(2x − 1)2dx

3. K =∫ π

0ecos(t) sin(t) dt

4. L =∫ 2

12

x2 − 1

xdx

5. I =∫ −3

−4

x + 1

(x2 + 2x)2dx

6. J =∫ 1

−2u(u2 − 1)2 du

7. K =∫ √

3

√2

x√x2 − 1

dx

8. L =∫ 1

−1et+et

dt

9. I =∫ 0

−4

1√1 − x

dx

10. J =∫ 0

−1

1

1 − xdx

11. K =∫ 3

2

1

1 − xdx

12. L =∫ e

1

ln(x)

xdx

IV.2 En réfléchissant un peu avant :

Exercice 5 : Calculer l’intégrale suivante :

I =∫ 2

1

3u2 + 2u − 1

udu.

Exercice 6 : Après avoir rappelé la formule de duplication donnant sin(2t), calculer l’inté-grale suivante :

I =∫ π

0

sin(2t)√1 + sin2(t)

dt.

Exercice 7 : On souhaite calculer l’intégrale suivante :

I =∫ 1

−1

2x − 1

x + 5dx.

1. Pourquoi ne peut-on pas calculer directement I ?

2. Démontrer que pour tout x 6= −5,2x − 1

x + 5peut s’écrire sous la forme α +

β

x + 5, où α et

β sont deux réels à déterminer.



XI. Primitives et Intégration IV. EXEMPLES DE CALCULS D’INTÉGRALES

3. En déduire la valeur de I.


I =∫ 1

0

x

x + 1dx.

1. Expliquer pourquoi f : x 7→ x

x + 1ne correspond à aucune forme de dérivée connue.

2. En remarquant que x = x + 1 − 1 , démontrer que pour tout x 6= −1, f(x) peut s’écriresous la forme

f(x) = α +β

x + 1

où α et β sont deux réels à déterminer.

3. En déduire que I = 1 − ln(2).


I =∫ 1

0

1

ex + 1dx.

1. Pourquoi ne peut-on pas la calculer directement ?

2. Première méthode.

(a) En remarquant que 1 = ex + 1 − ex, décomposer I en deux intégrales calculables.

(b) Calculer chacune des deux intégrales et en déduire que I = − ln(e + 1) + ln(2) + 1.

3. Seconde méthode.

(a) Multiplier le numérateur et le dénominateur de1

ex + 1par e−x puis calculer I.

(b) Vérifier que les résultats, malgré leur forme apparemment différentes, sont bienégaux.

Exercice 10 : En remarquant que pour tout réel t, t3 = t3 + t − t, calculer la valeur de :

I =∫ 1

0

t3

t2 + 1dt.



XI. Primitives et Intégration V. LE COURS COMME IL DEVRAIT ÊTRE :

V Le cours comme il devrait être :

∫ b

af(x) dx

x = a x = b0

Cf

−→ı

−→

V.1 Premières propriétés :

Quelques propriétés prouvées rapidement par un petit dessin découlent immédiatement de ladéfinition :

Soit f et g des fonctions continues sur un intervalle [ a; b ] de R.

1.∫ a

af(x) dx = 0.

2. Si f(x) > 0 sur [a ; b ], alors∫ b

af(x) dx>0. (Positivité)

En particulier, si pour tout x ∈ [a ; b ], f(x) 6 g(x),

alors∫ b

af(x) dx 6

∫ b

ag(x) dx. (Croissance)

3.∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx +

∫ b

cf(x) dx. (Relation de Chasles)

Proposition 3

Preuve:

1. L’aire du domaine est nulle . . .

2. Cette assertion découle de la définition : si fest positive, l’aire de la surface située entrela courbe représentative et l’axe des abs-cisses sur l’intervalle [a ; b ] est positive.De la même manière, si f était négative,

alors∫ b

af(x) dx 6 0.

Il suffit alors d’appliquer la même proposi-tion à la fonction h = g − f > 0.

x = a x = b0

Cf




3. En considérant l’additivité des aires al-gébriques, on obtient enfin une propriétésimple, logique, familière et qui va nous êtretrès utile par la suite :

∫ c

af(x) dx

∫ b

cf(x) dx

a c bCf0

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b ].

∫ a

bf(x) dx = −

∫ b

af(x) dx

Corollaire 4

Preuve: D’après la proposition (3) , on a :

∫ b

af(x) dx +

∫ a

bf(x) dx =

∫ a

af(x) dx = 0

∫ a

bf(x) dx = −

∫ b

af(x) dx

Remarque : La réciproque de la positivité n’est pas forcément vraie, on peut avoir∫ b

af(x) dx > 0

sans avoir f positive sur [ a; b ]

Exemple 3 :∫ π

− π2

sin(t) dt =[

− cos(t)]π

− π2

= 1 − 0 = 1.

0 1 2 3−1−20

−1

1

x

f(x)

−π2

π

L’intégrale est positive sans que la fonction sin ne soit positive !




V.2 Lien entre Intégrale et primitive

Soit f une fonction continue et positive définie sur l’intervalle [a; b] et x un nombre réel quel-

conque de cet intervalle. L’intégrale∫ x

af(t) dt est l’aire de la partie coloriée en bleue qui dépend

de x.

∫ x

af(x) dx

a x bCf0

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a est un réel de I.

Alors la fonction F définie sur I par F (x) =∫ x

af(t) dt est l’unique primitive de f sur I

telle que F (a) = 0.


Preuve: D’après le chapitre précédent, il suffit de montrer que F est dérivable sur I et quesa fonction dérivée est la fonction f .

De plus, d’après la proposition (3) , quitte à découper l’intégrale sur les intervalles où lafonction f est strictement monotone, on peut supposer que f est croissante sur I

Soient x0 quelconque dans l’intervalle I et h ∈ R∗ tel que x0 + h ∈ I.

Cas h > 0 :

— F (x0 + h) =∫ x0+h

af(t) dt est l’aire entre l’axe des abscisses et la courbe Cf sur

l’intervalle [a ; x0 + h ].

— F (x) =∫ x0

af(t) dt est l’aire entre l’axe des abscisses et la courbe Cf sur l’intervalle

[a ; x0 ].

— La différence F (x0 + h) − F (x0) =∫ x0+h

xf(t) dt correspond alors à l’aire entre l’axe

des abscisses et la courbe Cf sur l’intervalle [x0 ; x0 + h ].




f(x0)

f(x0 + h)

a x0 x0 + h bCf

Comme la fonction f est croissante sur [x0 ; x0 +h ], pour tout t compris entre x0 et x0 +h :

f(x0) 6 f(t) 6 f(x0 + h).

L’aire∫ x0+h

x0

f(t) dt est donc comprise entre h × f(x0), l’aire du petit rectangle sous la

courbe, et h × f(x0 + h), l’aire du grand rectangle englobant la courbe c.-à-d.

h × f(x0) 6 F (x0 + h) − F (x0) 6 h × f(x0 + h).

En divisant l’inégalité par h > 0, on obtient alors un encadrement du taux de variationde f en x0 :

f(x0) 6F (x0 + h) − F (x0)

h6 f(x0 + h)

Comme f est continue en x0, on a : limh→0

f(x0 + h) = f(x0). D’après le théorème d’enca-drement, on en déduit :

limh→0+

F (x0 + h) − F (x0)

h= f(x0).

Cas h < 0 : Le même raisonnement conduit successivement à :

h × f(x0 + h) 6 F (x0 + h) − F (x0) 6 h × f(x0).

Puis,

f(x0 + h) >F (x0 + h) − F (x0)

h> f(x0) (h < 0 !)

Et enfin limh→0−

F (x0 + h) − F (x0)

h= f(x0).

Conclusion : limh→0+

F (x0 + h) − F (x0)

h= lim

h→0−

F (x0 + h) − F (x0)

h= f(x0). La fonction F est

donc dérivable en tout x0 de I et F ′(x0) = f(x0)

Il est clair que F (a) =∫ a

af(t) dt = 0 et d’après la proposition (2) , cette primitive est

unique.

Ce théorème, le plus important du chapitre, va nous amener toutes les propriétés et simplifica-tions désirées mais avant d’aller plus avant, la démonstration montre que seule, la continuitéde f était nécessaire. Ceci est suffisamment important pour être noté :



XI. Primitives et Intégration VI. CONSÉQUENCES DU THÉORÈME (??)

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Corollaire 6

VI Conséquences du théorème (5)

VI.1 Calculs d’intégrales

Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [ a; b ] et F une primitive de f sur I,alors ∫ b

af(x) dx = F (b) − F (a)

Théorème 7

Pour les calculs, on note :∫ b

af(x) dx =

[F (x)

]ba

= F (b) − F (a).

Preuve: On sait que la fonction G : x 7−→∫ x

af(t)dt est la primitive de f sur I telle que

G(a) = 0. Si F est une primitive de f sur I, alors il existe c ∈ R tel que pour tout x de I,

G(x) = F (x) + c. Or G(a) = 0, d’où c = −F (a) et on obtient :∫ x

af(t)dt = F (x) − F (a).

Pour x = b, on obtient bien∫ b

af(t)dt = F (b) − F (a).

Remarque : la valeur de l’intégrale est donc indépendante du choix de F .

Preuve: Soient F et G = F + c, c ∈ R deux primitives d’une fonction continue f .

Alors∫ b

af(t) dt = [G(t)]ba = [F (t) + c]ba = F (b) + c − F (a) − c = F (b) − F (a).

Le théorème (7) ramène donc le calcul de l’intégrale∫ b

af(t) dt à la recherche d’une primitive

F de f sur [a ; b ]. Cela semble simple sur des exemples élémentaires mais ne croyez pas que cele soit. Nombre de fonctions pourtant simples en apparence n’ont pas de primitives explicite.

Exemple 4 : Quelle est une primitive de la fonction définie par f(x) = e−x2

?




Soit∫ b

af(t) dt une intégrale d’une fonction f continue sur un intervalle compact [a ; b ] à

calculer.

1. On cherche une primitive F de f sur [a ; b ].

2. On écrit et calcule :∫ b

af(t) dt =

[F (t)

]b

a= F (b) − F (a).

3. C’est tout !. . .

Méthode 3 (Calcul d’une intégrale)

VI.2 Propriétés de l’intégrale, la suite

Soient f et g deux fonctions continues sur [a ; b ] de R et λ un réel, alors :

—∫ b

a

(f(x) + g(x)

)dx =

∫ b

af(x) dx +

∫ b

ag(x) dx. (linéarité)

—∫ b

aλf(x) dx = λ

∫ b

af(x) dx. (idem)

Proposition 8 (Linéarité)

Preuve: Montrer les deux propositions est équivalent à montrer que :∫ b

a

(λf(x) + g(x)

)dx = λ

∫ b

af(x) dx +

∫ b

ag(x) dx.

Soient alors F et G, deux primitives sur [a ; b ], respectivement, de f et g alors λF + G est uneprimitive de λf + g. Il n’y a plus qu’ à appliquer le théorème (7) :

∫ b

a

(λf(x) + g(x)

)dx = [λF (x) + G(x)]ba = λF (b) + G(b) − λF (a) − G(a).

λ∫ b

aλf(x) dx +

∫ b

ag(x) dx = λ[F (x)]ba + [G(x)]ba = λF (b) − λF (a) + G(b) − G(a).

Donc∫ b

a

(λf(x) + g(x)

)dx = λ

∫ b

af(x) dx +

∫ b

ag(x) dx.

Ce théorème permet en pratique de ramener le calcul d’une intégrale d’une fonction complexeà une succession d’intégrations de fonctions plus élémentaires.

Exemple 5 :

I =∫ 2

1

(6x +

5

x

)dx = 3

∫ 2

12x dx + 5

∫ 2

1

1

xdx

= 3[x2]2

1+ 5

[ln x

]21

= 3(22 − 1) + 5(ln 2 − ln 1)

= 9 + 5 ln 2.




VI.3 Formule de la moyenne

Ce paragraphe aurait pu se situer avant le théorème (5) dont il lui est indépendant. Iln’apparaît maintenant que dans le but de pouvoir calculer quelques intégrales plus facilement.Voyez cela comme une pause théorique avant d’entamer les calculs pratiques.

S’il existe deux réels m et M tels que, pour tout x ∈ [a; b], m 6 f(x) 6M alors on a :

m(b − a) 6∫ b

af(x) dx 6M(b − a).

Théorème 9 (Inégalités de la moyenne)

Preuve: D’après le corollaire (2) , si f(x) 6M sur [a ; b ] alors

∫ b

af(x) dx 6

∫ b

aM dx.

Or,∫ b

aM dx correspond à l’aire du rectangle de longueur b − a et de hauteur M c.-à-d. d’aire

M(b − a).

D’où∫ b

af(x) dx 6 M(b − a).

De la même manière si m 6 f(x) sur [a ; b ]

alors m(b − a) 6∫ b

af(x) dx.

On obtient bien l’encadrement :

m(b − a) 6∫ b

af(x) dx 6M(b − a).

D’un point de vue graphique, l’aire∫ b

af(x) dx

est encadrée par l’aire des deux rectangles in-férieur et supérieur.

x = a x = b0

Cf

m

M

La philosophie de ce théorème est que l’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle [a ; b ]ne peut faire n’importe quoi comme devenir infinie par exemple. Elle est bornée par le produitdes extrema de la fonction par la longueur de l’intervalle. Ce théorème est important mais ona mieux. Pourquoi se contenter d’une faible inégalité alors qu’on pourrait avoir une égalité ?




Si f est une fonction continue sur un intervalle [a ; b ].Alors il existe un réel c de [a ; b ] tel que :

∫ b

af(x) dx = (b − a)f(c). (XI.1)

Le nombre f(c) =1

b − a

∫ b

af(x) dx est alors appelé la valeur moyenne de f entre a

et b.

Théorème 10 (Valeur moyenne d’une fonction)

Remarque : Pourquoi ce nom du théorème ? Comment calculerions-nous la valeur moyenne,notée par exemple f , d’une fonction f sur un intervalle [a ; b ] ?

Tout simplement, en sommant toutes les valeurs de f prises sur l’intervalle [a ; b ] divisées partoutes les valeurs de ce même intervalle. Ce qui s’écrirait :

f =Somme de toutes les valeurs de

f(x) sur l’intervalle [a ; b ]Toutes les valeurs

de l’intervalle [a ; b ]=

∫ b

af(x) dx

b − a.

Preuve: La fonction f étant continue sur l’intervalle [a ; b ] elle y est bornée par deux réelsm = min

[a;b ]f et M = max

[a;b ]f et on a :

∀x ∈ a ; b , m 6 f(x) 6M.

D’après le théorème (9) :

m(b − a) 6∫ b

af(x) dx 6 M(b − a) ⇐⇒ m 6

1

b − a

∫ b

af(x) dx 6M.

Le réel1

b − a

∫ b

af(x) dx appartient donc à l’intervalle f

([a ; b ]

)= [m ; M ], d’après le théorème

des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction f continue sur [a ; b ], il existe donc un ⌊1⌋réelc ∈ [a ; b ] tel que :

1

b − a

∫ b

af(x) dx = f(c).

Interprétation graphique si f est positive sur [a ; b ] :

Le réel µ =1

b − a

∫ b

af(x) dx est le réel pour lequel l’aire délimitée par la courbe représentative

Cf de f , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b est égale à l’aire du rectanglebleu dont les côtés ont pour mesures b − a et µ.

⌊1⌋. Pas forcément unique si f n’est pas strictement monotone.



XI. Primitives et Intégration VII. CALCUL D’AIRES

0a b

y = µ

Remarque : D’un point du vue cinématique la valeur moyenne de la vitesse d’un mobile ⌊2⌋

mesurée entre deux temps t1 et t2 s’écrit :

1

t2 − t1

∫ t2

t1

v(t) dt =1

t2 − t1[x(t)]t2

t1=

x(t2) − x(t1)

t2 − t1

=distance parcourue

durée du trajet= vitesse moyenne.

La valeur moyenne de la vitesse d’un mobile est donc sa vitesse moyenne ⌊3⌋

Exemple 6 :

La valeur moyenne sur [−1 ; 1 ] de la fonctioncarré est :

µ =1

2

∫ 1

−1x2 dx

=1

2

[x3

3

]1

−1

=1

3. 0 0 1−1

0

1

VII Calcul d’aires

VII.1 Aire d’un domaine compris entre une courbe et l’axe des abs-cisses

Cas d’une fonction négative

Si la fonction f est négative, alors la fonction −f est positive et les courbes sont symétriquespar rapport à l’axe des abscisses. Donc, l’aire du domaine compris entre la courbe de f , l’axedes abscisses, et les droites d’équation x = a et x = b est égale à l’aire du domaine comprisentre la courbe de −f , l’axe des abscisses, et les droites d’équation x = a et x = b.

Dans ce cas, A =∫ b

a

(− f(x)

)dx = −

∫ b

af(x) dx.

⌊2⌋. qui est la dérivée de la position x(t).⌊3⌋. Heureusement !




Exemple 7 : On considère la fonction f définie sur R par f(x) =x3

27− x2

3=

x2

27(x − 9).

Commex2

27> 0, le signe de f(x) sur R est celui de x − 9 qui est négatif sur ] − ∞ ; 9 ] et en

particulier sur l’intervalle [0 ; 9 ].

A =∫ 9

0

(− f(x)

)dx =

∫ 9

0

(−x3

27+

x2

3

)dx

=

[− x4

108+

x3

9

]9

0

=

(− 94

108+

93

9

)− 0

=81

4u.a..

Cf

C−f

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9−1

0

−1

−2

−3

−4

1

2

3

4

Cas d’une fonction changeant de signe

Pour calculer l’aire d’un domaine défini par une fonction changeant de signe, il suffit de découperl’intervalle en plusieurs intervalles sur lesquels la fonction est de signe constant puis utiliser larelation de Chasles ( proposition (3) ).

Remarque : Il sera donc nécessaire de faire une étude préalable du signe de f sur l’intervalled’intégration.

Exemple 8 : On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x2 − x − 2.

On note A l’aire du domaine compris entre la courbe de f , l’axe des abscisses, et les droitesd’équation x = −1 et x = 3.

Comme f est positive sur ] − ∞ ; −1 ] ∪ [ 2 ; +∞ [ et négative sur [ −1 ; 2 ], on découpe l’aireen deux partie : l’une, A1 entre les droites d’équation x = −1 et x = 2 et l’autre, A2 entre lesdroites d’équation x = 2 et x = 3.

A = A1 + A2

= −∫ 2

−1−f(x) dx +

∫ 3

2f(x) dx

= −∫ 2

−1x2 − x − 2 dx +

∫ 3

2x2 − x − 2 dx

=

[−x3

3+

x2

2+ 2x

]2

−1

+

[x3

3− x2

2− 2x

]3

2

=11

2+

11

6

=19

3≃ 6, 33 u.a.

0 1 2 3−10

−1

−2

1

2

3

4

0

A1

A2




VII.2 Aire d’un domaine compris entre deux courbes

Soient f et g deux fonctions continues sur unintervalle [ a ; b ] de R telles que, pour toutx de [ a ; b ], f(x) 6 g(x) et Cf et Cg leurcourbe représentative dans un repère ortho-normé (O; −→ı ; −→ ).L’aire A de la partie du plan limitée parles courbe Cf et Cg et les droites d’équationx = a et x = b vaut :

A =∫ b

a

(g(x) − f(x)

)dx

0

Proposition 11

Remarque : Si g(x)−f(x) change de signe sur l’intervalle d’intégration, on découpera de mêmeque précédemment l’intégrale afin que ce dernier garde un signe constant.

Exemple 9 : Déterminons l’aire de la portion du plan limitée par les courbes représentativesdes fonctions f et g définie sur R par f(x) = x2 et g(x) = −x2 +2x+4 et les droites d’équationx = −1 et x = 2.

A =∫ 2

−1

(g(x) − f(x)

)dx

=∫ 2

−1

((−x2 + 2x + 4) − (x2)

)dx

=∫ 2

−1(−2x2 + 2x + 4) dx

=

[−2 × x3

3+ x2 + 4x

]2

−1

= 9 u.a. 0 1 2−1−2

1

2

3

4

5

0

Exercice 11 (Pondichery 2017) : Une entreprise spécialisée dans les travaux de construc-tion a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.

Après étude géologique, l’entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante :dans un repère orthonormal, d’unité 2 m, la zone de creusement est la surface délimitée parl’axe des abscisses et la courbe C.




montagne

zone de creusement

C

O −→u

−→v

On admet que C est la courbe représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [−2, 5 ; 2, 5]par :

f(x) = ln(−2x2 + 13, 5

).

L’objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone decreusement.

Partie A : Étude de la fonction f

1. Calculer f ′(x) pour x ∈ [−2, 5 ; 2, 5].

2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction f sur [−2, 5 ; 2, 5].En déduire le signe de f sur [−2, 5 ; 2, 5].

Partie B : Aire de la zone de creusement

On admet que la courbe C est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées du repère.

1. La courbe C est-elle un arc de cercle de centre O ? Justifier la réponse.

2. Justifier que l’aire, en mètre carré, de la zone de creusement est

A = 8∫ 2,5

0f(x) dx.

3. L’algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de

I =∫ 2,5

0f(x) dx, notée a.

On admet que : a 6 I 6 a +f(0) − f(2, 5)

n× 2, 5.

(a) Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pour R et S lorsde l’exécution de l’algorithme pour n = 50.Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.

(b) En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l’aire de la zone decreusement.

Exercice 12 (Métropole 2017) : Partie A

On considère la fonction h définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : h(x) = xe−x.

1. Déterminer la limite de la fonction h en +∞.

2. Étudier les variations de la fonction h sur l’intervalle [0 ; +∞[ et dresser son tableau devariations.




3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction h.

(a) Vérifier que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[, on a :

h(x) = e−x − h′(x)

où h′ désigne la fonction dérivée de h.

(b) Déterminer une primitive sur l’intervalle [0 ; +∞[ de la fonction x 7−→ e−x.

(c) Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction h sur l’intervalle[0 ; +∞[.

Partie B

On définit les fonctions f et g sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

f(x) = xe−x + ln(x + 1) et g(x) = ln(x + 1).

On note Cf et Cg les représentations graphiques respectives des fonctions f et g dans un repèreorthonormé.

0 1 2 3 4 5

1

2

λ

Cf

Cg

O

1. Pour un nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[, on appelle M le point decoordonnées (x ; f(x)) et N le point de coordonnées (x ; g(x)) : M et N sont donc lespoints d’abscisse x appartenant respectivement aux courbes Cf et Cg.

(a) Déterminer la valeur de x pour laquelle la distance MN est maximale et donnercette distance maximale.

(b) Placer sur le graphique les points M et N correspondant à la valeur maximale deMN .

2. Soit λ un réel appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[. On note Dλ le domaine du plandélimité par les courbes Cf et Cg et par les droites d’équations x = 0 et x = λ.

(a) Hachurer le domaine Dλ. correspondant à la valeur λ proposée sur le graphique.

(b) On note Aλ l’aire du domaine Dλ, exprimée en unités d’aire. Démontrer que :

Aλ = 1 − λ + 1

eλ.

(c) Calculer la limite de Aλ lorsque λ tend vers +∞ et interpréter le résultat.

3. On considère l’algorithme suivant :



XI. Primitives et IntégrationVIII. INTÉGRATION PAR PARTIES (HORS-PROGRAMME)

Variables :λ est un réel positifS est un réel strictement compris entre 0 et 1.

Initialisation :Saisir Sλ prend la valeur 0

Traitement :

Tant Que 1 − λ + 1

eλ< S faire

λ prend la valeur λ + 1Fin Tant Que

Sortie :Afficher λ

(a) Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur S = 0, 8 ?

(b) Quel est le rôle de cet algorithme ?

VIII Intégration par parties (Hors-programme)

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, telles que leurs dérivées u′ etv′ soient continues sur I.Alors pour tous réels a et b de I :

∫ b

au(t)v′(t) dt = [u(t)v(t)]ba −

∫ b

au′(t)v(t) dt

.

Théorème 12

Preuve: La fonction uv est dérivable sur I avec (uv)′ = u′v − uv′. Ainsi uv′ = (uv)′ − u′v.

Puisque uv′, (uv)′ et u′v sont continues sur I, on en déduit que :∫ b

a(uv′)(t) dt =

∫ b

a[(uv)′(t) − (u′v)(t)] dt,

et par linéarité de l’intégration :∫ b

a(uv′)(t) dt =

∫ b

a(uv)′(t) dt −

∫ b

a(u′v)(t) dt

Or uv est une primitive de (uv)′ sur I, donc∫ b

a(uv)′(t) dt = [u(t)v(t)]ba.

Ainsi, on obtient : ∫ b

au(t)v′(t) dt = [u(t)v(t)]ba −

∫ b

au′(t)v(t) dt.



XI. Primitives et IntégrationVIII. INTÉGRATION PAR PARTIES (HORS-PROGRAMME)

Exemple 10 : Calcul de∫ 2

1ln x dx. La difficulté ici est de ne pas connaître de primitive de

x 7−→ ln x sur [ ; 1 2].

Posons u = ln x et v′ = 1 alors u′ =1

xet v = x. Ces choix fait, toutes les conditions du

théorème sont remplies et on a :

∫ 2

1ln x × 1 dx =

[ln x × x

]21

−∫ 2

1

1

x×x dx

= 2 ln 2 −ln 1 −∫ 2

11 dx = 2 ln 2 −

[x]2

1

= 2 ln 2 − 2 + 1 = 2 ln 2 − 1.

Remarque : À condition de la connaître, on aurait tout aussi bien pu prendre x ln x − xcomme primitive de ln x sur [1 ; 2 ].

∫ 2

1ln x dx =

[x ln x − x

]21

= 2 ln 2 − 2 −ln 1 + 1 = 2 ln 2 − 1.

Exercice 13 : À l’aide d’une intégration par parties, calculer une primitive des fonctionssuivantes :

1. f : x 7−→ x sin x.

2. f : x 7−→ xex.

3. f : x 7−→ x ln x.

4. f : x 7−→ ln2(x).

5. f : x 7−→ (x3 − x)ex.

6. f : x 7−→ sin2(x).

7. f : x 7−→ x2 cos x.

8. f : x 7−→ sin(x)ex. (Dur)



Thème: Antilles-Guyane 2018 TS-SI - Devoir en temps libre no 10

Antilles-Guyane 2018

Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt :

Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctions f et g définies sur R par :

f(x) = e−x(− cos x + sin x + 1) et g(x) = −e−x cos x.

On admet que les fonctions f et g sont dérivables sur R.

Partie A - Étude de la fonction f

1. Justifier que, pour tout x ∈ R :

−e−x6 f(x) 6 3e−x.

2. En déduire la limite de f en +∞.

3. Démontrer que, pour tout x ∈ R, f ′(x) = e−x(2 cos x − 1) où f ′ est la fonction dérivée def .

4. Dans cette question, on étudie la fonction f sur l’intervalle [−π ; π].

(a) Déterminer le signe de f ′(x) pour x appartenant à l’intervalle [−π ; π].

(b) En déduire les variations de f sur [−π ; π].



Thème: Antilles-Guyane 2018 TS-SI - Devoir en temps libre no 10

Partie B - Aire du logo

On note Cf et Cg les représentations graphiques des fonctions f et g dans un repère orthonormé(O; −→ı ; −→ ). L’unité graphique est de 2 centimètres. Ces deux courbes sont tracées ci-dessous.

1. Étudier la position relative de la courbe Cf par rapport à la courbe Cg sur R.

2. Soit H la fonction définie sur R par :

H(x) =(

−cos x

2− sin x

2− 1

)e−x.

On admet que H est une primitive de la fonction x 7→ (sin x + 1)e−x sur R.On note D le domaine délimité par la courbe Cf , la courbe Cg est les droites d’équation

x = −π

2et x =

3π

2.

(a) Hachurer le domaine D sur le graphique en annexe à rendre avec la copie.

(b) Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine D, puis en donner une valeur approchéeà 10−2 près en cm2.

0 1 2 3 4 5−1−20

−1

−2

1

2

3

−→ı

−→ Cf

Cg



Thème: Antilles-Guyane 2018 TS-SI - Correction

Antilles-Guyane 2018

Partie A - Étude de la fonction f

1. On sait que ∀x ∈ R, −1 6 cos x 6 1 et −1 6 sin x 6 1 d’où −2+1 6 − cos x+sin x+1 6 1+1+1.Donc, ∀ x ∈ R, −e−x

6 f(x) 6 3e−x.

2. Comme limx→+∞

e−x = 0, d’après le théorème d’encadrement, on en déduit :

limx→+∞

f(x) = 0.

3. Comme produit et somme de fonctions dérivables sur R, la fonction f y est dérivable eton a :

f ′(x) = −e−x(− cos x + sin x + 1) + e−x(sin x + cos x)

= e−x(2 cos x − 1).

4. (a) Le signe de dérivée f ′ dépend de 2 cos x − 1. Il suffit alors de résoudre l’équation

cos x >1

2sur [−π ; π].

∀x ∈ [−π ; π ], cos x >1

2⇐⇒ x ∈

[−π

3;π

3

].

00cos x <

1

2cos x >

1

2

π

3

−π

3

−ππ

(b) D’après la question précédente, on en déduit le tableau d variations de f sur [−π ; π] :

x

f ′(x)

f

−π −π

3

π

3π

− 0 + 0 −

2eπ2eπ

1 −√

3

2e

π3

1 −√

3

2e

π3

1 +√

3

2eπ3

1 +√

3

2eπ3

2

eπ

2

eπ



Thème: Antilles-Guyane 2018 TS-SI - Correction

Partie B - Aire du logo

1. Il suffit d’étudier le signe de f(x) − g(x) sur R :

f(x) − g(x) = e−x(− cos x + sin x + 1) + e−x cos x

= e−x(sin x + 1) > 0 car sin x 6 1 pour tout x ∈ R.

La courbe Cf est donc au-dessus de Cg sur R.

2. (a)

0 1 2 3 4−1−20

−1

−2

1

(b) D’après la question (1), f(x − g(x) > 0 donc l’aire du domaine D correspond àl’intégrale :

∫ 3π2

− π2

(f(x) − g(x)

)dx =

∫ 3π2

− π2

e−x(sin x + 1) dx.

=[H(x)

]3π2

− π2

= H(

3π

2

)− H

(−π

2

)

=e

π2 − e− 3π

2

2.

L’unité graphique est de 2 cm, l’unité d’aire est donc de 4 cm2. Par conséquent, unevaleur approchée de l’aire du logo est, à 10−2 près :

4 ×(

−1

2e− 3π

2 +1

2e

π2

)≃ 9,6 cm2.



Fiche no 11: Calcul Intégral

F , dérivable sur I, est une primitive de f sur I ⇐⇒ ∀x ∈ I, F ′(x) = f(x).

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

F (x) =∫ x

af(t) dt est l’unique primitive de f qui s’annule en a et on a F ′(x) = f(x).

F (x) =∫ x

af(x) dx

a x bCf0

∫ b

af(t) dt est l’aire algébrique délimitée

par la courbe de f , l’axe des abscisses etles droites d’équation x = a et x = b.

∫ b

af(t) dt = [ F (x) ]ba = F (b) − F (a)

1 u.a.

f F =∫

f (+c)

xn (n ∈ N)1

n + 1xn+1

1

xln x

1

xn

(n ∈ N \ 1

)− 1

n − 1× 1

xn−1

1√x

2√

x

ex ex

sin(x) − cos(x)

cos(x) sin(x)

f F

ku′ + v′ ku + v

u′ un un+1

n + 1

u′eu eu

u′

uln u

u′√

u2√

u

cos(ax + b)1

asin(ax + b)

1 + tan2 x =1

cos2 xtan x

Continuité : •∫ a

af(t) dt = 0.

Linéarité : •∫ b

a

(λf(t) + g(t)

)dt = λ

∫ b

af(t) dt +

∫ b

ag(t) dt.

Chasles :•∫ b

af(t) dt =

∫ c

af(t) dt +

∫ b

cf(t) dt

•∫ a

bf(t) dt = −

∫ b

af(t) dt.

Positivité :• 0 6 f(x) =⇒ 0 6

∫ b

af(t) dt

• f(x) 6 g(x) =⇒∫ b

af(t) dt 6

∫ b

ag(t) dt.

Fiche no 11: Calcul Intégral

Soit f continue sur [a ; b ] :

m 6 f(x) 6M

=⇒

m(b − a) 6∫ b

af(t) dt 6 M(b − a) .

et

∃ c ∈ [a ; b ] tel que∫ b

af(t) dt = (b − a)f(c) .

x = a x = b

0

Cf

m

M

f(c)

1

b − a

∫ b

af(t) dt = Valeur moyenne de f entre a et b.

0 1

1

a b

CfCg

∫ ba

(f(t) − g(t)

)dt = Aire algébrique

comprise entre les courbes de f et g et lesdroites d’équation x = a et x = b.

Intégration par par-ties :

∫ b

au(t)v′(t) dt =

[u(x)v(x)

]b

a−∫ b

au′(t)v(t) dt.

Chapitre

XII

Géométrie dans l’espace II

On poursuit notre caractérisation des objets de l’espace muni, cette fois, de sa structureeuclidienne c.-à-d. de son produit scalaire canonique. Ainsi dotés, nous allons pouvoirconsidérablement simplifier nos calculs et nos études de positions relatives.

Après un rapide retour sur la définition du produit scalaire et de sa norme associée,nous pourrons définir la notion de vecteur normal à un plan et ainsi donner l’équationcartésienne d’un plan qui est l’objectif principal de ce chapitre.

Dans ce chapitre et sauf mention contraire, l’espace sera muni d’un repère orthonormé direct(O; −→ı ; −→ ;

−→k ).

SommaireI Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

I.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392I.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395I.3 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

II Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400II.1 Vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400II.2 Équation d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404II.3 Plans perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

III Positions relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412III.1 Positions relatives Plan/Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412III.2 Positions relatives Plan/Droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

IV Hors-programme mais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417IV.1 Positions relatives de trois plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417IV.2 Sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

Fiche no 12 : Géométrie dans l’Espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

391

XII. Géométrie dans l’espace II I. PRODUIT SCALAIRE

I Produit scalaire

I.1 Généralités

Soient −→u

x

y

z

et −→v

x′

y′

z′

deux vecteurs de l’espace. Le produit scalaire de −→u et −→v est le

nombre réel défini, de manière équivalente, par :

−→u .−→v = xx′ + yy′ + zz′ (P.S 1)

=1

2

(‖−→u ‖2

+ ‖−→v ‖2 − ‖−→u − −→v ‖2)

(P.S 2)

= ‖−→u ‖ × ‖−→v ‖ × cos (−→u ; −→v ). (P.S 3)

où (−→u ; −→v ) désigne l’angle orienté des deux vecteurs −→u et −→v .

Définition 1

Preuve:

(P.S 1) ⇐⇒ (P.S 2) : Soient

x

y

z

,

x′

y′

z′

et

x − x′

y − y′

z − z′

les coordonnées respectives de −→u , −→v et

−→u − −→v . On a :

‖−→u ‖2+ ‖−→v ‖2 − ‖−→u − −→v ‖2

= x2 + y2 + z2 + x′2 + y′2 + z′2 − (x − x′)2 − (y − y′)2 − (z − z′)2

= x2 + y

2 +z2 +x′2 +y

′2 +z′2 −x2 + 2xx′ −x′2

− y2 + 2yy′ −

y′2 −z2 + 2zz′ −z′2

= 2(xx′ + yy′ + zz′

)= 2−→u .−→v .

(P.S 1) ⇐⇒ (P.S 3) : Soient −→u et −→v deux vecteurs de l’espace et considérons deux repré-sentants

−→OA = −→u et

−−→OB = −→v d’un même plan (P) où O est l’origine d’un repère

(O; −→ı ; −→ ;−→k ) orthonormé choisi de telle manière que −→ı et −→ appartiennent à (P) et

que −→ı soit colinéaire à−→OA et de même sens.

Notons M , l’intersection de la demi-droite [OB) et du cercle trigonométrique C de centreO.




O A

B

−→u

−→v

−→ı

−→ M

θ

Calculons alors −→u .−→v =−→OA.

−−→OB :

Dans ce repère,−→OA

OA

0

0

=

‖−→u ‖0

0

, M

cos(−→OA;

−−→OB

)

sin(−→OA;

−−→OB

)

0

.

On en déduit−−→OB

OB × cos(−→OA;

−−→OB

)

OB × sin(−→OA;

−−→OB

)

0

=

‖−→v ‖ × cos (−→u ; −→v )

‖−→v ‖ × sin (−→u ; −→v )

0

, puis :

−→u .−→v =−→OA.

−−→OB =

‖−→u ‖0

0

.

‖−→v ‖ × cos (−→u ; −→v )

‖−→v ‖ × sin (−→u ; −→v )

0

= ‖−→u ‖ × ‖−→v ‖ × cos (−→u ; −→v ) + 0 × ‖−→v ‖ × sin (−→u ; −→v ) + 0 × 0

= ‖−→u ‖ × ‖−→v ‖ × cos (−→u ; −→v ) .

Moralité : Nous voilà dotés de trois définitions équivalentes du produit scalaire de deuxvecteurs de l’espace. Suivant les énoncés et les données, on pensera donc à utiliser la forme laplus adaptée et pas systématiquement la définition (P.S 1) .

Exercice 1 : On considère un cube ABC-DEFGH et I le centre de la face ADHE eton munit l’espace du repère orthonormé direct(A ;

−→AB ;

−−→AD ;

−→AE

).

1. À l’aide de la définition (P.S 3) , cal-culer

−→AB.

−→AE,

−→AB.

−→AB et

−−→AD.

−→AF .

2. (a) Donner les coordonnées de A, B, I

et G puis celles de−→AG et

−→IB.

(b) À l’aide de la définition (P.S 1), calculer

−→AG.

−→IB.

A B

CD

GH

E

F

I




Si −→u .−→v 6= 0 alors cos (−→u ; −→v ) =−→u .−→v

‖−→u ‖ × ‖−→v ‖ .

Proposition 1 (Mesure d’un angle)

Preuve: Il suffit de réarranger la définition (P.S 3) :

−→u .−→v = ‖−→u ‖ ‖−→v ‖ × cos (−→u ; −→v ) .

Exercice 2 : Soit ABC un triangle tel que AB = 4, AC = 5 et BC = 6.

1. Calculer le produit scalaire−→AB.

−→AC.

Aide: Utiliser la définition (P.S 2) .

2. Déterminer une mesure de l’angle(−→AB;

−→AC

)arrondie au degré près.

Exercice 3 : Dans un repère orthonormé (O; −→ı ; −→ ;−→k ), on considère les points A(1 ; −2 ; 3),

B(−1 ; 0 ; 1) et C(2 ; 1 ; 0).Calculer, au dixième de degré près, une mesure des angles :

1. ABC 2. BAC 3. ACB

Exercice 4 : On considère un cube ABCDEFGH de côté 1. Soit I le centre de la faceEFGH et J le milieu de l’arête [BF ].

B C

DA

HE

F

G

I

J

On cherche à calculer une mesure de l’angle CJI au degré près.

1. Méthode géométrique

(a) Calculer les trois longueurs du triangle IJC.

(b) En déduire que−→JC · −→

JI =1

4.

(c) En déduire une mesure de l’angle CJI.

2. Autre méthode géométrique

(a) Calculer−→JC · −→

JI en décomposant astucieusement les deux vecteurs sur les arêtesdu cube.




(b) En déduire une mesure de l’angle CJI.

3. Méthode analytique

(a) En se plaçant dans le repère orthonormé (A ;−→AB,

−−→AD,

−→AE), calculer analytiquement−→

JC · −→JI.

(b) En déduire une mesure de l’angle CJI.

4. Quelle est la méthode :

(a) qui demande le moins/le plus de connaissances théoriques ?

(b) la moins / la plus rapide ?

Exercice 5 : On considère un cube ABCDEFGH d’arête 1. Soit J le centre de la faceADHE et I celui de la face EFGH .

A B

CD

GH

E

F

J

I

En se plaçant dans un repère orthonormé bien choisi, calculer, au degré près, une mesure del’angle IJC.

I.2 Propriétés

Soient −→u , −→v et −→w des vecteurs de l’espace et λ un réel.

— Commutativité : −→u .−→v = −→v .−→u .

— Associativité :(λ−→u

).−→v = λ ×

(−→u .−→v).

— Distributivité sur l’addition : −→u .(−→v + −→w

)= −→u .−→v + −→u .−→w .

Proposition 2 (Propriétés algébriques)

Ce qu’il faut donc retenir de cette propriété c’est que, si le produit scalaireporte le nom de « produit » c’est justement parce que, à bien des égards, il secomporte comme un produit.

Preuve: Tout découle des propriétés de la multiplication et de l’addition de deux réels.

— Rien à faire à part regarder.




— Les coordonnées de λ−→u sont (λx; λy; λz). D’où :(λ−→u

).−→v = λxx′ + λyy′ + λzz′ = λ(xx′ + yy′ + zz′) = λ ×

(−→u .−→v).

— Soient −→w (x”; y”; z”), on écrit, développe, arrange un peu et observe :−→u .(−→v .−→w

)= x(x′ + x”) + y(y′ + y”) + z(z′ + z”)

= xx′ + yy′ + zz′︸︷︷︸

−→u .−→v

+ xx” + yy” + zz”︸︷︷︸−→u .−→w

.

On peut prolonger les ressemblances :

Double distributivité :(−→a +

−→b).(−→c +

−→d)

= −→a .−→c + −→a .−→d +

−→b .−→c +

−→b .

−→d .

Norme d’un vecteur : −→u .−→u = ‖−→u ‖2. On note alors −→u 2 = −→u .−→u = ‖−→u ‖2= u2.

Identités remarquables :

(−→u + −→v)2

= −→u 2 + 2−→u .−→v + −→v 2

(−→u − −→v)2

= −→u 2 − 2−→u .−→v + −→v 2

(−→u + −→v).(−→u − −→v

)= −→u 2 − −→v 2.

Corollaire 3

Preuve: Il suffit d’appliquer la proposition (2) :

‖−→u ‖ × ‖−→v ‖ × cos (−→u ; −→v ) .

Par exemple,(−→u + −→v

)2=(−→u + −→v

).(−→u + −→v

)= −→u .−→u + −→u .−→v + −→v .−→u + −→v .−→v

= −→u 2 + −→u .−→v + −→u .−→v + −→v 2 = −→u 2 + 2−→u .−→v + −→v 2.

I.3 Orthogonalité

La définition (P.S 3) fait apparaître un lien extrêmement intéressant entre produit scalaireet orthogonalité tout en renforçant le lien avec le produit réel :

On dit que deux vecteurs non nuls −→u et −→v sont orthogonaux lorsque leur direction le sont.On note alors −→u ⊥ −→v .

Définition 2 (Vecteurs orthogonaux)

−→u .−→v = 0 si, et seulement si

−→u =−→0

ou−→v =

−→0

ou−→u ⊥ −→v





Preuve: On utilise la définition (P.S 3) : −→u .−→v = ‖−→u ‖ ‖−→v ‖ × cos (−→u ; −→v ).

Comme un produit de réels n’est nul que si, et seulement si l’un de ses facteurs l’est :

−→u .−→v = 0 ⇐⇒

‖−→u ‖ = 0 ⇐⇒ −→u =−→0

ou

‖−→v ‖ = 0 ⇐⇒ −→v =−→0

ou

cos (−→u ; −→v ) = 0 ⇐⇒ (−→u ; −→v ) ≡ ±π

2[2π] ⇐⇒ −→u ⊥ −→v

Exercice 6 : Soit (O; −→ı ; −→ ;−→k ) un repère orthonormé de l’espace.

1. On considère −→u

k

−2

k − 1

et −→v

2

k

k

, où k ∈ R.

Déterminer la ou les valeurs de k pour que −→u et −→v soient orthogonaux.

2. Même question avec les vecteurs −→u

k

−2

1

et −→v

k + 1

−k

2

, où k ∈ R.

Deux droites sont orthogonales si, et seulement si leurs vecteurs directeurs le sont.

Méthode 1 (Droites orthogonales)

Exercice 7 (À savoir faire absolument !. . . ) :

1. Déterminer le réel α pour que les vecteurs −→u

2

−1

2

5

et −→v

−2

5

3

α

soient orthogonaux.

2. Soient A (2; −5; 1) et B (0; 2; 6). Démontrer que la droite (D) qui passe par le pointC (−2; 3; 1) et de vecteur directeur −→u = −4−→ı + −→ − 3

−→k est orthogonale à la droite

(AB).Aide: Utiliser la méthode (1) .

Correction :1. Les vecteurs −→u et −→v soient orthogonaux si, et seulement si leur produit scalaire est nul. On

cherche donc α comme solution de l’équation :

−→u .−→v = 0 ⇐⇒ 2 ×(

−25

)− 1

2× 3 + 5α = 0

⇐⇒ 2310

+ 5α = 0 ⇐⇒ α =2350

.

2. Ici la donnée du point C ne sert à rien. Il suffit simplement de montrer que−−→AB est orthogonal

à un vecteur directeur de (D) ⌊1⌋ :




Or,−−→AB.−→u =

−2

7

5

.

−4

1

−3

= 8 + 7 − 15 = 0.

Donc−−→AB ⊥ −→u c.-à-d. (D) est orthogonale à la droite (AB).

Remarque : Si demandé, on pourrait se servir des coordonnées de C pour chercher si les droites(D) et (AB) sont perpendiculaires ou non.

Exercice 8 (Pondichery 2015) : Soit un cube ABCDEFGH d’arête 1.

Dans le repère(A ;

−→AB,

−−→AD,

−→AE

), on consi-

dère les points M, N et P de coordon-

nées respectives M(

1 ; 1 ;3

4

), N

(0 ;

1

2; 1)

,

P(

1 ; 0 ; −5

4

).

AB

C

D

EF

GH

1. Placer M, N et P sur la figure.

2. Déterminer les coordonnées des vecteurs−−→MN et

−−→MP .

En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés.Aide: Montrer que les vecteurs

−−→MN et

−−→MP ne sont pas colinéaires.

3. On considère les algorithmes ci-dessous.Algorithme 1 Algorithme 2 (à compléter)

Saisir xM, yM, zM, xN, yN, zN, xP, yP, zP Saisir xM, yM, zM, xN, yN, zN, xP, yP, zP

d prend la valeur xN − xM d prend la valeur xN − xM

e prend la valeur yN − yM e prend la valeur yN − yM

f prend la valeur zN − zM f prend la valeur zN − zM

g prend la valeur xP − xM g prend la valeur xP − xM

h prend la valeur yP − yM h prend la valeur yP − yM

i prend la valeur zP − zM i prend la valeur zP − zM

k prend la valeur d × g + e × h + f × i k prend la valeur d × g + e × h + f × iAfficher k

(a) Exécuter à la main l’algorithme 1 avec les coordonnées des points M, N et P donnéesci-dessus.

(b) À quoi correspond le résultat affiché par l’algorithme 1 ? Qu’en déduire pour letriangle MNP ?

4. On considère l’algorithme 2. Le compléter pour qu’il teste et affiche si un triangle MNPest rectangle et isocèle en M.

Exercice 9 (Antilles-Guyane 2015) :

⌊1⌋. Deux droites sont orthogonales si, et seulement si leurs vecteurs directeurs le sont !




Soit ABCDEFGH le cube ci-contre.

On se place dans le repère orthonormé(A ;

−→AB,

−−→AD,

−→AE

).

AB

CD

E F

GH

1. (a) Montrer que la droite (DB) admet pour représentation paramétrique

x = sy = 1 − s,z = 0

, où s décrit l’ensemble R des nombres réels.

(b) Montrer que les points de la droite (AG) sont les points de coordonnées (t ; t ; t)où t est un réel.

2. Soit M un point quelconque de la droite (DB) et N un point quelconque de la droite(AG).Démontrer que la droite (MN) est perpendiculaire aux deux droites (AG) et (DB) si, et

seulement si M et N ont pour coordonnées respectives(

1

2;

1

2; 0)

et(

1

3;

1

3;

1

3

).

Aide: Utiliser la méthode (1) .

3. Soit s et t deux réels quelconques. On note M(s ; 1 − s ; 0) un point de la droite (DB)et N(t ; t ; t) un point de la droite (AG).

(a) Montrer que MN2 = 3(

t − 1

3

)2

+ 2(

s − 1

2

)2

+1

6.

(b) En déduire la position des points M et N pour laquelle la distance MN est mini-male.Que peut-on dire de la droite (MN) dans ce cas ?



XII. Géométrie dans l’espace II II. PLAN

II Plan

II.1 Vecteur normal

Dire qu’un vecteur non nul −→n est un vecteur normal (ou orthogonal) à un plan (P) signi-fie que −→n est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans (P) c.-à-d. pourtout vecteur −→u admettant un représentant dans (P) :

−→u · −→n = 0

On note alors −→n ⊥ (P).

Définition 3 (Vecteur normal)

Tout de suite une caractérisation plus aisée que de prendre tous les vecteurs d’un plan :

Un vecteur −→n est normal à un plan (P) si, et seulement si il est orthogonal à deux vecteursnon colinéaires de (P).

Théorème 5

Preuve: Considérons deux vecteurs −→u et −→v non colinéaires de (P). Ils forment donc unebase des vecteurs de (P) c.-à-d. pour tout vecteur −→w de (P), il existe un unique couple (α; β)de réels tel que :

−→w = α−→u + β−→v .

Si −→n est orthogonal à −→u et −→v alors, par distributivité du produit scalaire, il l’est avec −→w :

−→n .−→w = −→n .(α−→u + β−→v

)= α

(−→n .−→u)

+ β(−→n .−→v

)= 0.

Par définition, −→n est donc normal à (P).

La réciproque est exactement la définition d’un vecteur normal à un plan (P).

Remarque : Si −→n est un vecteur normal à (P), tout vecteur colinéaire à −→n est aussi normalà (P). Il suffit d’appliquer l’associativité du produit scalaire pour le comprendre :

Preuve: Soit −→n un vecteur normal à (P) et −→m = λ−→n , λ ∈ R∗, un vecteur colinéaire à −→n .

Pour tout vecteur −→u de (P), on a : −→m.−→u =(λ−→n

).−→u = λ

(−→n .−→u)

= 0.

−→m est donc aussi normal à (P).

Exercice 10 : Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O; −→ı ; −→ ;−→k ), on considère les

deux points A(1 ; 2 ; 1), B(4 ; 6 ; 3) et les vecteurs −→u

−2

1

1

et −→v

0

−1

2

.




1. Démontrer que le point A et les vecteurs −→u et −→v définissent bien un plan.

2. Démontrer que−→AB est un vecteur normal à ce plan.

Une droite (D) est perpendiculaire à un plan(P) si, et seulement si

— l’un de ses vecteurs directeurs est nor-mal au plan (P).

— elle est perpendiculaire à deux droitessécantes de ce plan.

Corollaire 6

×

(D)

−→n

Preuve: Posons −→n , un vecteur directeur de (D) et A le point d’intersection entre (D) et(P). Montrons la véracité et l’équivalence des deux corollaires en un seul trait :

×

A

C−→AC

(D)

B

−−→AB

−→n

(D) est orthogonale à (P) ⇐⇒ −→n ⊥ (P)

⇐⇒−→n est orthogonal à deux vecteurs −→u =

−→AB et

−→v =−→AC non colinéaires de (P)

⇐⇒(D) est perpendiculaire à deux droites de (P)passant par A et dirigées, respectivement, par−→u et −→v .

Un plan est défini par deux vecteurs directeurs −→u et −→v non colinéaires.Pour trouver un vecteur −→n normal à ce plan, il suffira alors de trouver un vecteur non nulet simultanément orthogonal à −→u et −→v c.-à-d. de résoudre le système

−→n .−→u = 0−→n .−→v = 0

, d’inconnues les coordonnées de −→n .

Méthode 2 (Trouver un vecteur normal à un plan)

Remarque : Les vecteurs normaux n’étant pas uniques, les solutions ne le seront pas non plusc.-à-d. on obtiendra les coordonnées de ceux-ci à un coefficient de proportionnalité près.




Exercice 11 : Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O; −→ı ; −→ ;−→k ), on considère les

quatre points A(−1 ; 1 ; 2), B(1 ; 0 ; −1), C(0 ; 3 ; 1) et D(−8 ; 2 ; −3).

1. Démontrer que les points A, B et C définissent bien un plan.

2. Démontrer que−−→AD est un vecteur normal à ce plan.

Exercice 12 : Soit un plan (P) défini par la représentation paramétrique suivante :

(P) :

x = 2 + 3t + s

y = −1 − t + 5s

z = 4 + t − s

, (t; s) ∈ R2.

1. Donner deux vecteurs directeurs de (P).

2. On pose −→n (a; b; c).

(a) Montrer que −→n est normal à (P) si, et seulement si (a; b; c) est solution du sys-tème :

3a − b + c = 0

a + 5b − c = 0

(b) En déduire un vecteur normal à (P).

Correction :

1. (P) est dirigé par les vecteurs −→u

3

−1

1

et −→v

1

5

−1

.

2. Les coordonnées

a

b

c

de −→n doivent donc vérifier le système :

−→n .−→u = 0−→n .−→v = 0

⇐⇒

a

b

c

.

3

−1

1

= 0

a

b

c

.

1

5

−1

= 0

⇐⇒

3a − b + c = 0

a + 5b − c = 0⇐⇒

b = −a

c = −4a

Faisant jouer à a, par exemple, le rôle du paramètre t. Le vecteur −→n (a; b; c) sera un vecteurnormal à (P) si, et seulement si ses coordonnées peuvent s’écrire sous la forme :

a = t

b = −t

c = −4t

, t ∈ R. ⌊2⌋

Réciproquement, il est clair que de tels vecteurs sont normaux à −→u et −→v donc à (P) d’aprèsla définition (5) .

On pourra vérifier, par exemple, que les vecteurs −→n1 (1; −1; −4), −→n2

(√2; −

√2; −4

√2)ou

encore −→n3 (−1; 1; 4) sont colinéaires et orthogonaux à (P).




Maintenant qu’il est clair que tout plan possède au moins un vecteur normal, on peut s’attacherà comprendre le lien entre ces derniers. C’est l’objet du corollaire suivant :

Le plan (P), passant par A et de vecteur normal −→n est l’ensemble des points M de l’espacetels que : −−→

AM.−→n = 0.

Corollaire 7 (Caractérisation d’un plan par son vecteur normal)

Difficile de faire plus simple et étrangement ressemblant à la définition d’une droite dans leplan.

Preuve:— Tout d’abord si M ∈ (P) alors le vecteur

−−→AM appartient aussi à (P). Comme −→n est

normal à (P), il l’est à tout vecteur de celui-ci, en particulier à−−→AM et on a

−−→AM.−→n = 0.

— Réciproquement, supposons que le point M de l’espace soit tel que−−→AM.−→n = 0 et mon-

trons que M ∈ (P).Posons H , le projeté orthogonal de M sur (P). Par essence les vecteurs

−−→AH et −→n ne sont

pas colinéaires.

×

A

−→nM

×

H

−−→AM

−−→AH

Ils forment donc une base de vecteurs directeurs du plan (AMH) dans laquelle on peutdécomposer

−−→AM .

Il existe donc un couple de réels (α; β) tel que :−−→AM = α

−−→AH + β−→n .

On a alors :−−→AM.−→n = 0 ⇐⇒

(α

−−→AH + β−→n

).−→n = 0

⇐⇒ α(−−→AH.−→n

)+ β ‖−→n ‖2

= 0.

Or,−−→AH ∈ (P) et −→n est normal à (P) donc

−−→AH.−→n = 0 c.-à-d. β ‖−→n ‖2

= 0.Comme −→n est non nul, on obtient y = 0 c.-à-d.

−−→AM = α

−−→AH ∈ (P).

On a donc bien M ∈ (P).

⌊2⌋. Une droite vectorielle dirigée par le vecteur

1

−1

−4

.




II.2 Équation d’un plan

Il suffit de traduire, avec des coordonnées, le corollaire (7) :

L’équation cartésienne d’un plan (P) est de la forme :

ax + by + cz + d = 0, avec a, b et c non tous nuls.

Le vecteur −→n

a

b

c

est alors un vecteur normal au plan.

Théorème 8 (Équation cartésienne d’un plan)

Un point M

x

y

z

de l’espace appartiendra donc au plan (P) si, et seulement si ses coordonnées

sont solutions de l’équation à 3 inconnues ax + by + cz + d = 0.

Remarque : L’équation cartésienne n’est pas unique. On peut toujours multiplier les coefficientsa, b et c par un facteur k non nul c.-à-d. remplacer le vecteur normal −→n par un vecteur qui luiest colinéaire.

Preuve: Deux implications à montrer :

— D’après le corollaire (7) , si M (x; y; z) est un point de l’espace appartenant au plan(P) passant par A (xA; yA; zA) et de vecteur normal −→n (a; b; c) alors :

−−→AM.−→n = 0 ⇐⇒

x − xA

y − yA

z − zA

.

a

b

c

= 0

a(x − xA) + (y − yA) + (z − zA) = 0 ⇐⇒ ax + by + cz −(axA + byA + czA)︸︷︷︸

d

= 0

ax + by + cz + d = 0.

— Réciproquement, supposons que les coordonnées d’un point M (x; y; z) soient solution del’équation ax + by + cz + d = 0 et montrons qu’il appartient alors à un certain plan (P)dont on devra trouver un vecteur normal −→n et un point A.Comme a, b et c sont non tous nuls, on peut, par exemple, supposer que a 6= 0. Le point

A

(−d

a; 0; 0

)appartient donc au plan (P).

On peut aussi poser −→n (a; b; c), vecteur non nul car a, b et c sont non tous nuls.

On calcule alors−−→AM.−→n =

x +d

a

y

z

.

a

b

c

=

(x +

d

a

)× a + by + cz

= ax + by + cz + d = 0.




D’après le corollaire (7) , le point M appartient donc au plan (P) passant par A et devecteur normal −→n .

Exemple 1 : Les Plans (O; −→ı ; −→ ), (O; −→ı ;−→k ) et (O; −→ ;

−→k ) passant par O

0

0

0

et de vec-

teur normal respectif−→k

0

0

1

, −→

0

1

0

et −→ı

1

0

0

ont, respectivement, comme équation z = 0,

y = 0 et x = 0.

1. On trouve un vecteur −→n (a; b; c) normal à (P), ce qui nous donne les 3 premierscoefficients a, b et c.

2. On trouve un point A (xA; yA; zA) appartenant au plan. L’équationaxA + byA + czA + d = 0 permet de trouver d.

Méthode 3 (Trouver l’équation cartésienne d’un plan)

Exercice 13 (Fondamental) :1. Déterminer une équation cartésienne d’un plan (P) de vecteur normal −→n et passant par

un point A :A(√

2; −2; 5)

et −→n (2; −3; −1) .

2. Trouver une équation cartésienne du plan (Q) parallèle à un plan (P) et passant parun point A :

A (3; −1; 0) et (P) : 2x − y + 3z = 0.

3. Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur d’un segment [AB] :

A (−1; 1; 0) et B (2; 1; −1) .

Aide: Qu’est-ce que la médiatrice d’un segment ?

4. Déterminer une équation cartésienne d’un plan (P) passant par un point A et dirigépar deux vecteurs −→u et −→v :

A (1; 2; 3) , −→u (1; −1; 2) et −→v (1; 0; 3) .

Correction :1. D’après le théorème (8) , l’équation est tout de suite de la forme :

2x − 3y − z + d = 0.

Reste à trouver d. La méthode est la même que pour les équations de droites dans le plan :Un point appartient à un plan si, et seulement si ses coordonnées vérifient son équation ce quise traduit par :

A(√

2; −2; 5)

∈ (P) ⇐⇒ 2√

2 − 3 × (−2) − 5 + d = 0

2√

2 + 1 + d = 0

d = −1 − 2√

2.

Donc (P) : 2x − 3y − z − 1 − 2√

2 = 0.




2. Pour définir, un plan, il suffit de trouver un vecteur normal et un point appartenant à ce plan.Pour le point, celui-ci est donné, pour le vecteur normal, celui de (P) convient. On obtientdonc, en deux temps :

(Q) : 2x − 3y − 1 + d = 0.

Puis A (3; −1; 0) ∈ (Q) ⇐⇒ 2 × 3 − 3 × (−1) + 0 + d = 0

9 + d = 0

d = −9.

Donc (Q) : 2x − 3y − z − 9 = 0.

3. Le plan médiateur du segment [AB] est l’ensemble des points équidistants des extrémités Aet B. C’est donc le plan passant le milieu de [AB] et orthogonal au segment [AB] c.-à-d. devecteur normal

−−→AB :

Les coordonnées du milieu I de [AB] sont

xA + xB

2

yA + yB

2

zA + zB

2

=

12

1

−12

et−−→AB

3

0

−1

.

Le plan médiateur (M ) a donc pour équation : 3x − z + d = 0.Puis, toujours par le même raisonnement :

I

(12

; 1; −12

)∈ (M ) ⇐⇒ 3 × 1

2−(

−12

)+ d = 0

2 + d = 0

d = −2.

Donc (M ) : 3x − z − 2 = 0.

4. Tout d’abord bien s’assurer que les deux vecteurs −→u et −→v ne sont pas colinéaires même si nondemandé. C’est bien le cas, leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.Une équation paramétrique de (P) est alors :

(P) :

x = 1 + t + s

y = 2 − t

z = 3 + 2t + 3s

, (t; s) ∈ R2.

Une des méthodes pour obtenir une équation cartésienne de (P) est de faire disparaître lesdeux paramètres s et t par des combinaisons linéaires sur x, y et z :

(P) :

x + y = 3 + s

z − 2x = 1 + s, (t; s) ∈ R2.

(P) : x + y − z − (−2x) = 3 + s − (1 + s)

(P) : 3x + y − z − 2 = 0.

Une autre méthode est de chercher directement un vecteur −→n (a; b; c) orthogonal à −→u et −→vc.-à-d. dont les coordonnées sont solutions du système :

−→n .−→u = 0−→n .−→v = 0

⇐⇒

a − b + 2c = 0

a + 3c = 0⇐⇒

b = −c

a = −3c




Aucune condition ne porte sur le paramètre c. On choisit c = −1, d’où −→n

3

1

−1

et l’équation

de (P) est 3x + y − z + d = 0. On trouve d de la même manière que précédemment.

Remarque : Suivant la valeur attribuée à c, on trouve une infinité de vecteurs colinéaires à −→net normaux à (P).

Exercice 14 : Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O ;−→i ,

−→j ,

−→k ), déterminer une

équation cartésienne du plan (P)

1. passant par A(−1 ; 2 ; −1) et de vecteur normal −→n

1

2

−3

,

2. passant par A(1 ; 4 ; −5) et le vecteur −→n = 2−→i − −→

j + 3−→k ,

3. passant par A(√

2 ; 2 ; −√

3)

et le vecteur −→n =√

3−→i − −→

j +√

2−→k .

Correction :1. (P) : x + 2y − 3z + d = 0, d ∈ R.

A ∈ (P) donc −1 + 4 + 3 + d = 0 ⇔ d = −6 et donc (P) : x + 2y − 3z − 6 = 0.

Exercice 15 (Important) : Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O; −→ı ; −→ ;−→k ), on

considère les trois points A(−1 ; −1 ; 1), B(1 ; 2 ; −1) et C(0 ; 1 ; 1).

Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC) s’il existe.

Correction :−−→AB

2

3

−2

et

−→AC

1

2

0

qui ne sont pas colinéaires donc (ABC) existe.

On pose −→n

a

b

c

et on résout le système

2a + 3b − 2c = 0

a + 2b = 0.

Donc a = −2b et c = − b

2d’où, en prenant b = −2, on a −→n

4

−2

1

comme vecteur normal.

Donc (ABC) : 4x − 2y + z + d = 0 et avec A, on obtient d = 1.

Exercice 16 (Amérique du Sud 2015) : Pour chacune des affirmations suivantes, indi-quer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. L’absence de réponse n’est pas pénalisée.

Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O; −→ı ; −→ ;−→k ). Les points A, B, C sont définis par

leurs coordonnées :

A(3 ; −1 ; 4), B(−1 ; 2 ; −3), C(4 ; −1 ; 2).

Le plan P a pour équation cartésienne : 2x − 3y + 2z − 7 = 0.




La droite ∆ a pour représentation paramétrique

x = −1 + 4ty = 4 − tz = −8 + 2t

, t ∈ R.

Affirmation 1 : Les droites ∆ et (AC) sont orthogonales.

Affirmation 2 : Les points A, B et C déterminent un plan et ce plan a pour équationcartésienne 2x + 5y + z − 5 = 0.

Affirmation 3 : Tous les points dont les coordonnées (x ; y ; z) sont données par

x = 1 + s − 2s′

y = 1 − 2s + s′

z = 1 − 4s + 2s′, s ∈ R, s′ ∈ R appartiennent au plan P.

Affirmation 4 : Il existe un plan parallèle au plan P qui contient la droite ∆.

Exercice 17 : Donner l’équation cartésienne du plan (P) passant par les points

1. A(5 ; −4 ; 1), B(6 ; 3 ; 9) et C(−8 ; 1 ; 7),

2. A(3 ; 4 ; 5), B(4 ; −2 ; 7) et C(5 ; −8 ; 9) ,

3. A(−1 ; 7 ; 4), B(−2 ; 10 ; 5) et C(3 ; 6 ; −1).

Exercice 18 :1. Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O ;

−→i ,

−→j ,

−→k ), on considère la représentation

paramétrique suivante :

x = 1 − s + 4ty = 2 + 2s − ty = −1 + s + 2t

, s ∈ R, t ∈ R.

(a) Cette représentation paramétrique définit-elle un plan ?

(b) Si oui, en déterminer une équation cartésienne.

2. Mêmes questions avec les représentations paramétriques suivantes :

(a)

x = −5 + 2s − 4ty = 7 − 3s + 6t

y =√

2 − s + 2t

(s; t) ∈ R2. (b)

x = 4s − ty = −1 − 2s + ty = 5 + s + t

(s; t) ∈ R2.

Exercice 19 : On considère un cube ABCDEFGH d’arête 1 et le point I tel que 3−→DI = 2

−−→DC.

B C

DA

HE

F

G

I

En se plaçant dans le repère orthonormé (A ;−→AB,

−−→AD,

−→AE), déterminer une équation carté-

sienne du plan (FHI).




II.3 Plans perpendiculaires

Deux plans (P) et (P ′) sont dit perpendiculaires (ou orthogonaux) si, et seulement siune droite de l’un est orthogonale à l’autre plan.

Définition 4

ATTENTION

La notion d’orthogonalité de deux plans est moins souple qu’avec deux droites. Parexemple :

— Si (P1) ⊥ (P2), une droite (D) de (P1) peut être parallèle à une droite de (D ′)de (P2).

— Si un plan (Q) est perpendiculaire à deux plans (P1) et (P2), les plans (P1)et (P2) ne sont pas nécessairement parallèles entre eux. ⌊3⌋

Cependant, les deux prolongement des postulats d’Euclide restent valables :

— Si deux droites sont perpendiculaires à un même plan, alors elles sont parallèles.

— Si deux plans sont perpendiculaires à une même droite, ils sont parallèles.

Rappels 1

××

×

×

Deux plans (P) et (P ′) de vecteurs normaux respectifs −→n et−→n′ sont perpendiculaires ou

orthogonaux si, et seulement si−→n .

−→n′ = 0.

Proposition 9

Preuve:— Supposons d’abord que (P) est perpendiculaire à (P ′). Alors il existe une droite (D) de

(P) orthogonale à (P ′).

⌊3⌋. Dans un repère orthogonal, on a (O; −→ı ; −→ ) ⊥ (O; −→ı ;−→k ) et (O; −→ı ; −→ ) ⊥ (O; −→ ;

−→k ) mais aussi

(O; −→ ;−→k ) ⊥ (O; −→ı ;

−→k ).

⌊3⌋. Pour bien comprendre pourquoi, il faudrait avoir des notions de dualité et d’hyperplan, ce qui n’est pasencore au programme. Patience !




(D) est alors orthogonale à toute droite de (P ′) donc−→n′ est un vecteur directeur de (D),−→

n′ est donc un vecteur de (P ′).

Comme −→n est un vecteur normal de (P), on a bien −→n .−→n′ = 0.

— Supposons maintenant que −→n .−→n′ = 0.

Alors −→n et−→n′ ne sont pas colinéaires c.-à-d. les plans (P) et (P ′) sont sécants.

Soit A un point de (P) ∩ (P ′) et (D) la droite passant par A, dirigée par −→n . (D) estorthogonale à (P), montrons donc que (D) est contenue dans (P ′).

Soit M ∈ (D), il existe un réel k tel que−−→AM = k−→n .

−−→AM.

−→n′ = k−→n .

−→n′ = 0 =⇒ M ∈ (P ′).

Conclusion, (D) est une droite de (P ′) orthogonale au plan (P) donc (P ′) est perpen-diculaire à (P).

Cette proposition montre toute l’efficacité du vecteur normal sur les vecteurs directeurs :

Deux plans sont orthogonaux ou parallèles si, et seulement si leurs vecteurs

normaux le sont !

— Deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si leurs vecteurs normaux le sont.

— Deux plans sont parallèles si, et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

Méthode 4 (Plans perpendiculaires et parallèles)

Exemple 2 : Soit un repère orthonormé (O; −→ı ; −→ ;−→k ).

Les plans (O; −→ ;−→k ) et (O; −→ı ; −→ ) ont pour vecteur normal respectif −→ı et

−→k .

Or, −→ı .−→k =

1

0

0

.

0

0

1

= 0.

Donc (O; −→ ;−→k ) ⊥ (O; −→ı ; −→ ). Difficile de faire plus simple !

— Une droite est orthogonale à un plan si, et seulement si un vecteur directeur de ladroite est colinéaire à un vecteur normal au plan.

— Deux plans sont parallèles si, et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

— Deux plans sont orthogonaux si, et seulement si leurs vecteurs normaux sont ortho-gonaux.

Méthode 5 (À retenir)




Exercice 20 : Montrer que les plans (P) et (P ′) sont perpendiculaires avec :

(P) : 2x + y + 1 = 0 et − 1

2x + y +

3

2z − 4 = 0.

Remarque : On pourra alors s’entraîner à déterminer leur intersection.

Exercice 21 (Bac) : L’espace est rapporté à un repère orthonormal (O; −→ı ; −→ ;−→k ). Les

points A, B et C ont pour coordonnées A (3; −2; 2), B (6; 1; 5) et C (6; −2; −1).

Partie A

1. Démontrer, à l’aide du produit scalaire, que le triangle ABC est un triangle rectangle.

2. Soit (P) le plan d’équation cartésienne :

x + y + z − 3 = 0.

Prouver que (P) est orthogonal à la droite (AB) et passe par le point A.

3. Soit (P ′) le plan orthogonal à la droite (AC) et passant par le point A. Déterminer uneéquation cartésienne de (P ′).

4. Déterminer un vecteur directeur de la droite (D) intersection des plans (P) et (P ′).

Partie B

1. Soit D le point de coordonnées (0; 4; −1). Prouvez que la droite (AD) est perpendiculaireau plan (ABC).

2. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.

3. Prouver que l’angle BDC a pour mesureπ

4radian.

4. (a) Calculer l’aire du triangle BDC.

(b) En déduire la distance du point A au plan (BDC).



XII. Géométrie dans l’espace II III. POSITIONS RELATIVES

III Positions relatives

La donnée du vecteur normal va permettre de simplifier considérablement l’étude des positionsrelatives vue au chapitre précédent.

III.1 Positions relatives Plan/Plan

Soient (P) et (P ′) deux plans de l’espace de vecteurs normaux respectifs −→n et−→n′ .

— Si −→n et−→n′ ne sont pas colinéaires alors les plans (P) et (P ′) sont sécants suivant

une droite (D).

— Si −→n et−→n′ sont colinéaires et si A est un point quelconque de (P) :

— Si A ∈ (P ′) alors les plans (P) et (P ′) sont confondus.

— Si A /∈ (P) alors les plans (P) et (P ′) sont strictement parallèles.

Théorème 10

(P)

(P ′)(D)

−→n

−→n′

(P)=(P ′)

−→n−→n′

× A

(P)

(P ′)

−→n

−→n′

× A

L’intersection de (P) et(P ′) est la droite (D)

L’intersection de (P) et(P ′) est le plan (P)

L’intersection de (P) et(P ′) est vide

Preuve:— Si −→n et

−→n′ sont colinéaires alors les plans (P) et (P ′) sont parallèles. Reste à savoir s’ils

sont confondus ou disjoints.

— Si −→n et−→n′ ne sont pas colinéaires, les plans (P) et (P ′) sont sécants suivant une droite

(D).

Remarque : Dans l’espace, une droite (D) n’est pas représentée par une seule équation carté-sienne mais par deux : celles de deux plans sécants dont elle est l’intersection.

Exercice 22 : Déterminer une représentation paramétrique de la droite d’intersection dedeux plans sécants :

(P) : x − 3y + 2z − 5 = 0 et (P ′) : 2x + y + 7z − 1 = 0.

Correction : Les vecteurs normaux respectifs −→n1

1

−3

2

et −→n2

2

1

7

de (P) et (P ′) ne sont pas

colinéaires donc les plans sont sécants en une droite (D).




L’idée est toujours la même : traduire au niveau des coordonnées les propriétés d’un point quelconquede la droite.

M (x; y; z) ∈ (D) ⇐⇒

M ∈ (P)

M ∈ (P ′)⇐⇒

x − 3y + 2z − 5 = 0 (L1)

2x + y + 7z − 1 = 0 (L2)

Étant donné que c’est un système à 3 inconnues pour deux équations, nous ne trouverons pas unesolution unique. On exprime deux des inconnues en fonction de la troisième qui jouera le rôle duparamètre.

7x + 23z − 8 = 0 (L1) + 3 × (L2)

7y + 3z + 9 = 0 (L2) − 2 × (L1)⇐⇒

x =87

− 237

z

y = −97

− 37

z

En posant z = t, une représentation de (D) peut être :

(D) :

x =87

− 237

t

y = −97

− 37

t

z = t

, t ∈ R.

Exercice 23 : Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O ;−→i ,

−→j ,

−→k ), on considère les

plans (P1) et (P2) d’équations cartésiennes respectives :

x + y + 2z − 3 = 0 et − x + 4y − 5z + 6 = 0.

Déterminer, si elle existe, une représentation paramétrique de la droite d’intersection entre(P1) et (P2).

Correction : −→n 1

1

1

2

et −→n 2

−1

4

−5

. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc (P1) et (P2)

se coupent selon une droite (d). On résout :

x + y + 2z − 3 = 0−x + 4y − 5z + 6 = 0

⇐⇒

x + y + 2z − 3 = 05y − 3z + 3 = 0

Ainsi, z = 1 +53

y et x = 1 − 133

y et donc (d) :

x = 1 − 133

t

y = t

z = 1 +53

t

, t ∈ R.

Exercice 24 : Même question qu’à l’exercice précédent avec :

1. (P1) : x − 2z − 1 = 0 et (P2) : y − 2z + 4 = 0.

2. (P1) : x − y − 2z − 1 = 0 et (P2) : −2x + 2y + 4z + 4 = 0.

3. (P1) : 3x + 9y − 6z − 3 = 0 et (P2) : x + 3y − 2z − 1 = 0.

4. (P1) : 2x − y − 2z − 1 = 0 et (P2) : −x + 4y + z − 3 = 0.




III.2 Positions relatives Plan/Droite

Soient (D) une droite de vecteur directeur −→u et (P) un plan de vecteur normal −→n .

— Si −→u .−→n 6= 0 alors (P) et (D) sont sécants en un point.

— Si −→u .−→n = 0 alors soit A est un point quelconque de (D).

— Si A ∈ (P), la droite (D) est contenue dans (P).

— Si A /∈ (P), la droite (D) est strictement parallèle à (P).

Théorème 11

(D)

−→u

−→n

(P)×

A (D)

−→u

−→n

(P)

×

A

−→n

(P)(D)

−→u

(P) et (D) ont un uniquepoint d’intersection

(D) est incluse dans le plan(P)

(P) et (D) n’ont aucunpoint commun

Preuve:— Si −→u .−→n 6= 0 alors (D) n’est pas parallèle à (P). Elle lui est donc sécante.

— Si −→u .−→n = 0 alors (D) est parallèle à (P). Reste à savoir si elle est contenue dans cedernier ou s’ils sont disjoints. Tout dépend de l’appartenance d’un de ses points à (P).

Pour trouver l’intersection éventuelle d’une droite et d’un plan, on résout le système formédes deux représentations de la droite et du plan.

— S’il existe une unique solution (x; y; z), l’intersection est un point I de coordonnées(x; y; z).

— S’il existe une infinité de solution, la droite est contenue dans le plan.

— S’il n’existe aucune solution, la droite est strictement parallèle au plan.

Méthode 6 (Intersection d’une droite et d’un plan)

Exercice 25 : Dans un repère orthonormé (O ;−→i ,

−→j ,

−→k ) de l’espace soit (d) la droite de

représentation paramétrique :

x = −7 + ty = 4 + 2tz = −5 − t

, t ∈ R

et le plan (P) d’équation cartésienne −2x − 3y + z − 6 = 0.

Déterminer, s’il existe, les coordonnées du point d’intersection de (d) et de (P).




Correction : (d) est dirigé par −→u

1

2

−1

et un vecteur normal à (P) est −→u

−2

−3

1

.

Comme −→u · −→n = −9 6= 0, (d) et (P) se coupent en un point P (x ; y ; z) tel que :

x = −7 + ty = 4 + 2tz = −5 − t0 = −2x − 3y + z − 6

Ainsi, t = −1 et donc x = −8, y = 2 et z = −4. Le point d’intersection a pour coordonnées(−8 ; 2 ; −4).

Exercice 26 : Déterminer l’intersection éventuelle du plan (P) d’équation 2x−y+3z−2 = 0et de la droite (D) de représentation paramétrique :

(D) :

x = −2 + t

y = 1 + t

z = 2t

, t ∈ R.

Exercice 27 : Même question qu’à l’exercice précédent entre :

1. la droite (d) :

x = −1 − 2sy = 2 − sz = −3 + 5s

, s ∈ R et le plan (P) : −x − 5y − z − 6 = 0.

2. la droite (d) :

x = 6 + ty = −1 + 2tz = −3 − t

, t ∈ R et le plan (P) : x + y + 3z − 1 = 0.

3. la droite (d) engendrée par A(6 ; −2 ; −3) et −→u = 5−→i −3

−→j −6

−→k et le plan (P) : −5x−7y+10z+6 = 0

4. la droite (d) passant par les points A(−5 ; 4 ; −3) et B(1 ; −2 ; 3) et le plan (P) : x+y+3z−1 = 0.

5. la droite (d) passant par les points A(2 ; 4 ; 5) et B(−2 ; 0 ; 3) et le plan (P) :1

2x−5

6y+

2

3z−1 = 0.

Exercice 28 :

ABCDEFGH est un cube.

I est le milieu du segment [AB], J est le milieudu segment [EH], K est le milieu du segment[BC] et L est le milieu du segment [CG].

On munit l’espace du repère orthonormé(A ;

−→AB,

−−→AD,

−→AE

).

A

B C

D

E

FG

H

I

J

K

Lb

b b

b

b

b b

b

b

b

b

b

1. (a) Démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK).(b) En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).3. Soit M le point d’intersection de la droite (FD) et du plan (IJK). Déterminer les coor-

données du point M .4. Déterminer la nature du triangle IJK et calculer son aire.5. Calculer le volume du tétraèdre FIJK.6. Les droites (IJ) et (KL) sont-elles sécantes ?




Exercice 29 (Polynésie 2015) : On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, pourlequel AB = 6, AD = 4 et AE = 2.

I, J et K sont les points tels que−→AI =

1

6

−→AB,

−→AJ =

1

4

−−→AD,

−−→AK =

1

2

−→AE.

A B

CD

E F

GH

I

JK

b

b

b

On se place dans le repère orthonormé(A ;

−→AI,

−→AJ,

−−→AK

).

1. Vérifier que le vecteur −→n de coordonnées

2

2

−9

est normal au plan (IJG).

2. Déterminer une équation du plan (IJG).

3. Déterminer les coordonnées du point d’intersection L du plan (IJG) et de la droite (BF).

4. Tracer la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG). On ne demande pas de justi-fication.

Exercice 30 (Polynésie 2015) :

ABCDEFGH est un cube.I est le milieu de [AB], J est le milieu de[HD] et K est le milieu de [HG].On se place dans le repère(A ;

−→AB,

−−→AD,

−→AE

).

A B

CD

E F

GH

I

J

K

b

b

b

1. Démontrer que le vecteur−−→CE est un vecteur normal au plan (IJK).

2. Démontrer que la droite (BD) est parallèle au plan (IJK).

3. Soit M un point de la droite (CE). Quelle est la position du point M sur la droite (CE)pour laquelle le plan (BDM) est parallèle au plan (IJK) ?



XII. Géométrie dans l’espace II IV. HORS-PROGRAMME MAIS. . .

IV Hors-programme mais. . .

IV.1 Positions relatives de trois plans

Il est tout de même frustrant de ne pas avoir un résultat similaire à la position relative desdroites dans le plan et de ne jamais obtenir un point comme intersection de deux plans. Toutsimplement car dans l’esapce il y a . . . de l’espace. Il faudra donc considérer la position relativede trois et non deux plans pour espérer avoir un point mais le nombre de cas possibles est alorsplu importants.

Remarque : Admirez au passage le résultat en tout point similaire à celui que l’on avait dansle plan qui disait : Par deux points distincts passe une unique droite et deux droites sécantesdéfinissent un unique point.

Dans l’espace, nous avons : Par trois points non alignés passe un unique plan et trois planssécant définissent un unique point.

On parle ici de dualité.

Soient (P), (Q) et (R) trois plans de l’espace. Alors six cas sont possibles :

1. Les plans (P), (Q) et (R) sont strictement parallèles.

(P) ∩ (Q) ∩ (R) = ∅.

(P)

(Q)

(R)

2. Les plans (P) et (Q) sont strictement parallèles.

(P) ∩ (Q) ∩ (R) = ∅.

Le plan (R) est sécant avec (P) et (Q),respectivement en (D) et (D ′).

— (P) ∩ (R) = (D).

— (Q) ∩ (R) = (D ′).

(D ′)

(D)

(P)

(Q)

(R)




3. Les plans (P), (Q) et (R) sont sécants deux à deux.

(P) ∩ (Q) ∩ (R) = ∅.

— Le plan (P) est sécant avec (Q) :

(P) ∩ (Q) = (D ′).

— Le plan (P) est sécant avec (R) :

(P) ∩ (R) = (D).

— Le plan (Q) est sécant avec (R) :

(Q) ∩ (R) = (D ′′).

Remarque : Les droites (D), (D ′) et(D ′′) n’ont aucune raison d’être parallèles.D’après le « théorème du toit », elles sontsoit parallèles soit concourantes en ununique point A.

(D)(D ′)

(D ′′)

b

A

(P)

(Q)

(R)

4. Les plans (P), (Q) et (R) sont sécants en une même droite (D).

(P) ∩ (Q) ∩ (R) = (D).


(P) ∩ (Q) = (D).


(P) ∩ (R) = (D).


(Q) ∩ (R) = (D).

(D)

(P)(Q)

(R)

5. Les plans (P), (Q) et (R) sont sécants en un unique point A.

(P) ∩ (Q) ∩ (R) = A.


(P) ∩ (Q) = (D).


(P) ∩ (R) = (D ′).


(Q) ∩ (R) = (D ′′).

(D)

b

A

(D ′)

(D ′′)(P)(Q)

(R)




6. Les plans (P), (Q) et (R) sont confondus.

(P) ∩ (Q) ∩ (R) = (P).

(P) = (Q) = (R)

D’un point de vue algébrique, dans un repère orthonormé, la recherche de l’intersection de troisplans (P), (Q) et (R) d’équation respective

(P) : a1x + b1y + c1z + d1 = 0, de vecteur normal −→n1 (a1; b1; c1) ,

(Q) : a2x + b2y + c2z + d2 = 0, de vecteur normal −→n2 (a2; b2; c2) ,

et(R) : a3x + b3y + c3z + d3 = 0, de vecteur normal −→n3 (a3; b3; c3)

revient à chercher les points M (x; y; z) de l’espace dont les coordonnées vérifient le systèmede trois équations à 3 inconnues :

(S) :

a1x + b1y + c1z + d1 = 0

a2x + b2y + c2z + d2 = 0

a3x + b3y + c3z + d3 = 0

Le système (S) peut donc avoir aucune solution, une unique solution ou une infinité.

Exercice 31 : Déterminer l’intersection des plans (P), (Q) et (R) avec :

1. (P) : 3x + 3y + z + 2 = 0, (Q) : y + z − 5 = 0 et (R) : 2z − 8 = 0.

2. (P) : 4x + 3y + z + 2 = 0, (Q) : x + 2y + z − 5 = 0 et (R) : 3x + 5y + 2z − 9 = 0.

IV.2 Sphère

Revenons une dernière fois sur la sphère que nous avions rencontrée lors d’un exercice d’inter-section Droite/Sphère.

On se place dans un repère (O; −→ı ; −→ ;−→k ) orthonormé de l’espace.

Soit R un réel strictement positif et Ω (a; b; c) un point de l’espace.Une équation cartésienne de la sphère de centre Ω et de rayon R est :

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2.

Théorème 12

Preuve: La sphère S (Ω; R) de centre Ω et de rayon R est l’ensemble des points M del’espace vérifiant ΩM = R.

D’où, M (x; y; z) ∈ S (Ω; R) ⇐⇒ ΩM2 = R2

⇐⇒ (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2.




Ce résultat est donc un élégant prolongement de l’équation cartésienne d’un cercle dans la planque vous aviez vue l’an passé.

ATTENTION Si une équation de la forme 3x2 + y2 = 15 représente un cercle dans le plan,ce n’est pas le cas dans l’espace car alors c’est l’équation d’un cylindre qu’il faudra intersecteravec un plan convenable.



Fiche no 12: Géométrie dans l’Espace

Droite et Plan

A (xA; yA; zA)B

M (x; y; z)−−→AM

−→AB

α1

β1

γ1

(AB)

x = xA + tα1

y = yA + tβ1

z = zA + tγ1

Dro

ite

(AB

)(A

etB

dist

inct

s)

M ∈ (AB) ⇐⇒ −−→AM et

−→AB sont colinéaires.

⇐⇒ ∃k ∈ R, tel que−−→AM = k

−→AB

⇐⇒ Leurs coordonnées sont proportionnelles.

×A

a

b

c

−→n

B

C

M

−−→AB

α1

β1

γ1

−→AC

α2

β2

γ2

−−→AM

x = xA + tα1 + sα2

y = yA + tβ1 + sβ2

z = zA + tγ1 + sγ2

−→AB

α1

β1

γ1

et

−→AC

α2

β2

γ2

non colinéaires =⇒ vecteurs directeurs de (ABC).

−→n normal à (ABC) ⇐⇒ −→n normalà 2 vecteurs non colinéaires de (ABC)−→n .

−→AB = −→n .

−→AC = 0

ax + by + cz + d = 0

Pla

n(A

BC

)(A

,B

etC

non

alig

nés

ou−−→ A

Bet

−→ AC

non

colin

éair

es)

M ∈ (ABC) ⇐⇒ −−→AM,

−→AB et

−→AC sont coplanaires.

⇐⇒ ∃! (x; y) ∈ R2, tel que−−→AM = x

−→AB + y

−→AC

⇐⇒ M (x; y) dans le repère(A,

−→AB,

−→AC

)du plan (ABC)

⇐⇒ −−→AM.−→n = 0


On dit que deux droites (D) et (D ′) sont :

— Perpendiculaires si, et seulement si, (D) et (D ′) se coupent perpendiculairement.

— Orthogonales si, et seulement si, il existe une droite (∆) parallèle à (D ′) qui estperpendiculaire à (D).

Définition 5

(D)

⊥(P

)si

,et

seul

emen

tsi

...

×

(∆) (D ′)

(D)

−→u−→n

(P)

. . . un des vecteurs directeurs de (D) estnormal au plan (P).

. . . Il existe deux droites sécantes de (P)perpendiculaires à (D).

. . . (D) est orthogonale à toutes les droites de(P).


Positions relatives de deux droites (D) et (D ′)

(D) et (D ′) coplanaires(D) et (D ′) non

coplanaires

SécantesStrictementparallèles

Confondues

−→n (D)

(D ′)

bc

I

−→u

α1

β1

γ1

−→v

(∆)

×

−→n

(D)−→u

(D ′)

−→v

(∆)

×

−→n

(D)(D ′)

−→u−→v

(∆)

×

(D)−→u

(D ′)

×

−→v

α2

β2

γ2

Aucun point

d’intersectionAu moins 2 points

d’intersectionUn unique point

d’intersection(D) et (D ′) sont perpendiculaires à unmême plan.

×

×

(D ′)

(D)Il n’existe aucun

plan contenant (D)et (D ′)

Toute perpendiculaire à (D) est orthogonale à (D ′).

Les vecteurs directeurs de (D) et (D ′) sont orthogonaux à unmême vecteur −→n (un vecteur normal du plan) : −→u .−→n = −→v .−→n = 0.

(S) :

xA + tα1 = xB + t′α2

yA + tβ1 = yB + t′β2

zA + tγ1 = zB + t′γ2

(S) a un uniquecouple solution

(t0; t′0).

−→u

α1

β1

γ1

et −→v

α2

β2

γ2

sont colinéaires

Les équations de (S)sont incompatibles.

Soient

(D) ⊂ (P)(D ′) ⊂ (P ′)

et

(D) // (D ′).Si (P) et (P ′) sont sé-cants en une droite (∆) alors

(D) // (∆)(D ′) // (∆).

Théorème 13 (Théorème du toit)

(∆) (D)

(D ′)

(P)

(P ′)


Positions relatives d’une droite (D) et d’un plan (P)

(D) et (P) sécants (D) contenue dans (P)(D) et (P) disjoints (oustrictement parallèles)

×

A

(D)

−→u −→n

a

b

c

−→v

−→w(P)×

A(D ′)

(D)

−→u

−→n−→v−→w

(P)

× A

(D ′)

−→n

(P) (D)

−→u

α

β

γ

−→v

−→w

Il existe une droite (D ′) de (P) parallèle à (D).

Aucun vecteur directeur de(D) n’est coplanaire avec (P).

Tout vecteur directeur de (D) est coplanaire avec (P).

−→u .−→n 6= 0−→u .−→n = 0

∀A ∈ (D), A ∈ (P). ∀A ∈ (D), A /∈ (P).(P) ∩ (P ′) = A (D) ∩ (P) = (D) (D) ∩ (P) = ∅

Pour trouver (D) ∩ (P), on cherche s’il existe des points appartenant à (D) et à (P).

Pour déterminer l’intersection(P) ∩ (D) :

bc

A

(D ′)

(D)

(P)

(P ′)

Si une droite (D ′) est parallèle à deux plans (P) et (P ′)sécants en une droite (D) alors (D) et (D ′) sont parallèles.

(D)(D ′)

(P)

(P ′)

1. On trouve un plan (P ′) qui contient (D) et sécant à (P).

2. On détermine la droite (D ′) = (P) ∩ (P ′).

3. A = (D) ∩ (D ′) = (D) ∩ (P).

(S) :

ax + by + cz + d = 0x = xA + tα

y = yA + tβ

z = zA + tγ

(S) possède une uniquesolution.

(On trouve t puis x, y, z)

(S) possède une infinité desolutions.

(La première équation est unecombinaison des 3 dernières)

(S) ne possède pas desolutions.

(Les équations sontincompatibles)


Positions relatives de deux plans (P) et (P ′)

(P) et (P ′) sécants (P) et (P ′) confondus(P) et (P ′) disjoints (ou

strictement parallèles)

(P)

(P′)

(D)

× M

× N

−→n

−→n

′

−→u−→v −→w

(D′)

(P)=(P′)

−→n

a

b

c

−→

n′

× A

(∆)

×

(P′) (D)

(D′)

−→n

−→n

′

a′

b′

c′

× A−→u

−→v

−→w

(∆)

×

(P)

Tout couple (−→u ; −→v ) de vecteurs directeurs de (P) dirige (P ′).

Pour tous vecteurs −→u et −→vnon colinéaires de (P), on

peut trouver un vecteur −→w de(P ′) non coplanaire avec eux.

Tout vecteur −→w de (P ′) est coplanaire avec deux vecteurs−→u et −→v non colinéaires de (P).

Il existe une droite (D ′) de(P ′) non parallèle à (P)

Il existe 2 droites de (P ′) sécantes et parallèles à (P).

(P) et (P ′) sont perpendiculaire à une même droite (∆).

−→n et−→n′ sont non colinéaires

−→n et−→n′ sont colinéaires

∃A ∈ (P) ∩ (P ′). ∃A ∈ (P) et A /∈ (P ′).(P) ∩ (P ′) = (D) (P) ∩ (P ′) = (P) (P) ∩ (P ′) = ∅

Pour trouver (D) ou pas, on cherche s’il existe deux points distincts M et N appartenant à (P)et à (P ′).

(S) :

ax + by + cz + d = 0a′x + b′y + c′z + d′ = 0

x et y s’expriment enfonction de z

Les deux équations sontproportionnelles

a

b

c

= k

a′

b′

c′

mais d 6= kd′

−→n−→n

−→n′

−→n′

(P)

(P ′)

(P) ⊥ (P ′) ⇐⇒ −→n .−→n′ = 0.


Intersection de trois plans (P), (Q) et (R)

(S) :

a1x + b1y + c1z + d1 = 0 (L1)

a2x + b2y + c2z + d2 = 0 (L2)

a3x + b3y + c3z + d3 = 0 (L3)

(S0) :

a1x + b1y + c1z = 0 (L′1)

a2x + b2y + c2z = 0 (L′2)

a3x + b3y + c3z = 0 (L′3)

(P) ∩ (Q) ∩ (R) = ∅.

(P)

(Q)

(R)

(D ′)

(D)

(P)

(Q)

(R)

(D)(D ′)

(D ′′)

bA

(P)

(Q)

(R)

Les vecteursnormaux de (P),(Q) et (R) sont

colinéaires.

Si (P) // (Q) alors(D) // (D ′).

(D), (D ′) et (D ′′) concourantes ou parallèles.

(L′1), (L′

2) et (L′3)

sontproportionnelles.

(L′1) et (L′

2) sontproportionnelles.

Cas général trop compliqué en TS.

(P)∩(Q)∩(R) = (P) (P) ∩ (Q) ∩ (R) = (D) (P) ∩ (Q) ∩ (R) = A

(P)

=(Q

)=

(R)

(D)

(P)(Q)

(R)

(D)

b

A

(D ′)

(D ′′)(P)(Q)

(R)

(L1), (L2) et (L3)sont

proportionnelles.

(L3) est une combinaisonlinéaire de (L1) et (L2).

A (x0; y0; z0) est l’unique solution.

Chapitre

XIII

Lois Continues

Les lois étudiées les années précédentes (loi de Bernoulli, binomiale) étaient des lois « dis-crètes ». Si elles permettent de décrire certaines expériences aléatoires, elles sont cepen-

dant limitées. Dans ce chapitre, on s’intéresse donc à des lois « continues », c’est-à dire pourlesquelles la variable aléatoire peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle, on les appelle loisà densité.

De l’intérêt d’une loi continue :

Lorsqu’on répète n fois, de façon indépendante, une même expérience aléatoire suivant uneloi de Bernoulli donnant lieu à deux issues appelés « succès » de probabilité p et « échec »de probabilité 1 − p, la variable aléatoire X qui, à cette série de n expériences, associe lenombre de succès, suit la loi binomiale B(n, p) de paramètres n et p.

Son espérance est E(X) = np et son écart-type σ(X) =√

np(1 − p).

Rappels 1 (Loi de Bernoulli et loi binomiale)

Si l’on trace le diagramme en bâtons de la loi deprobabilité d’une loi binomiale B(n, p) il apparaît,lorsque n devient « grand » et que p n’est pas trop« petit » que l’enveloppe des probabilités épouse unecourbe qui ferait un bon candidat pour une densitéde probabilité.Les calculs, à l’aide d’une intégrale, seraient alorsgrandement simplifiés.

E(X) = np

P (X = k) =

(n

k

)pk(1 − p)n−k

Posant µ = np et σ =√

np(1 − p), des mathématiciens du nom de Moivre, Gauss et Laplace ⌊1⌋

furent les premiers à proposer la fonction fµ,σ définie sur R par

∀ x ∈ R, fµ,σ(x) =1

σ√

2πe− 1

2( x−µ

σ)2

comme densité de probabilité. La loi normale était née !

Sommaire

⌊1⌋. entre autres.

427

XIII. Lois Continues I. RAPPELS DE PREMIÈRE

I Rappels de première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428I.1 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428I.2 Loi de probabilité associé à une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . 429I.3 Espérance, variance, écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

II Variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431II.1 Variable aléatoire continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431II.2 Fonction de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432II.3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 433II.4 Espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

III Exemples de lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437III.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437III.2 Loi exponentielle ou de « durée de vie sans vieillissement » . . . . . . 439

IV La Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445IV.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445IV.2 Fonction de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

V Loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447V.1 Fonction de répartition et probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447V.2 Calcul de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449V.3 Espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451V.4 Probabilité d’intervalles centrés en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

VI Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453VI.1 Intervalles en fonction de σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

VII Approximation normale d’une loi binomiale . . . . . . . . . . . . . 457VIII Un peu d’histoire et de culture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

VIII.1 Généralités mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459VIII.2 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

Fiche no 13 : Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462Fiche no 14 : Lois Continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463Fiche no 15 : Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

I Rappels de première

I.1 Variable aléatoire

Lorsqu’à chaque événement élémentaire ω d’un univers Ω on associe un nombre réel, ondit que l’on définit une variable aléatoire réelle notée en général X.

Rappels 2

Ainsi X est une application de Ω dans R :

X : Ω Rωi X(ωi) = xi




I.2 Loi de probabilité associé à une variable aléatoire

Soit P une probabilité sur un univers Ω.Soit X une variable aléatoire tel que X(Ω) = x1, x2, .., xn , qui désigne l’ensemble desvaleurs prises par X, soit fini.Lorsque qu’à chaque valeur xi prise par X on lui associe la probabilité pi = P (X = xi), ondit que l’on définit la loi de probabilité P de la variable aléatoire X.

Rappels 3

I.3 Espérance, variance, écart-type

Soit X dont la loi est donnée par le tableau :

Valeurs prises par X : xi x1 x2 . . . . . . xn Total

pi = P (X = xi) p1 p2 . . . . . . pn 1

— L’espérance mathématique de X est le réel défini par :

E(X) =n∑

i=1

pi × xi , où pi = P (X = xi).

— La variance de X est le réel défini par :

V (X) = E((

X − E(X))2)

=n∑

i=1

pi

(xi − E(X)

)2

=

(n∑

i=1

pix2i

)− E(X)2.

— L’écart type de X est le réel défini par :

σ(X) =√

V (X).

Rappels 4

Remarques :— L’espérance mathématique désigne , dans le cas d’un jeu , une espérance de gain moyen

, en outre si E(X) = 0 on dit que le jeu est équitable, si E(X) > 0 on dit que le jeu estavantageux et si E(X) < 0 le jeu est dit désavantageux pour le joueur.

— La variance est une quantité positive ou nulle , donc si après calculs vous trouvez V (X) < 0il y a une grosse bourde quelque part. . .




Exercice 1 : Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d’un article. Uncontrôle de qualité a montré que chaque article produit par l’entreprise A pouvait présenterdeux types de défaut :

— un défaut de soudure avec une probabilité égale à 0, 03

— et un défaut sur un composant électronique avec une probabilité égale à 0, 02.

Le contrôle a montré aussi que les deux défauts étaient indépendants. Un article est dit défec-tueux s’il présente au moins l’un des deux défauts.

1. Construire un arbre pondéré représentant la situation.

2. Montrer que la probabilité qu’un article fabriqué par l’entreprise A soit défectueux estégale à 0, 0494.

3. Une grande surface reçoit 800 articles de l’entreprise A. Soit X la variable aléatoire quià cet ensemble de 800 articles associe le nombre d’articles défectueux.

(a) Définir la loi de X.

(b) Calculer l’espérance mathématique de X. Quel est le sens de ce nombre ?

4. Un petit commerçant passe une commande de 25 articles à l’entreprise A.

(a) Calculer, à 10−3 près, la probabilité qu’il y ait plus de 2 articles défectueux dans sacommande.

(b) Il veut que sur sa commande la probabilité d’avoir au moins un article défectueuxreste inférieure à 50%. Déterminer la valeur maximale du nombre n d’articles qu’ilpeut commander.

Exercice 2 (Pondichery 2017 (début)) : La chocolaterie « Choc’o » fabrique des ta-blettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85 %.

À l’issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas com-mercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc.

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication :

• la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commer-cialisable est égale à 0,98.

• la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu’une tablette de chocolat soit commer-cialisable est 0,95.

À la fin d’une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note :

A l’ évènement : « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A » ;

C l’évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ».

On note x la probabilité qu’une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

1. Montrer que P (C) = 0, 03x + 0, 95.

2. À l’issue de la production, on constate que 96 % des tablettes sont commercialisables et onretient cette valeur pour modéliser la probabilité qu’une tablette soit commercialisable.Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale àcelle que la tablette provienne de la chaîne A.



XIII. Lois Continues II. VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ

Exercice 3 (Antilles-Guyane Juin 2016 (début)) : Un fabricant d’ampoules possèdedeux machines, notées A et B. La machine A fournit 65 % de la production, et la machine Bfournit le reste. Certaines ampoules présentent un défaut de fabrication :

— à la sortie de la machine A, 8 % des ampoules présentent un défaut ;

— à la sortie de la machine B, 5 % des ampoules présentent un défaut.

On définit les événements suivants :

— A : « l’ampoule provient de la machine A » ;

— B : « l’ampoule provient de la machine B » ;

— D : « l’ampoule présente un défaut ».

1. On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d’une journée.

(a) Construire un arbre pondéré représentant la situation.

(b) Montrer que la probabilité de tirer une ampoule sans défaut est égale à 0,930 5.

(c) L’ampoule tirée est sans défaut.Calculer la probabilité qu’elle provienne de la machine A.

2. On prélève 10 ampoules au hasard parmi la production d’une journée à la sortie de lamachine A. La taille du stock permet de considérer les épreuves comme indépendanteset d’assimiler les tirages à tirages avec remise.Calculer la probabilité d’obtenir au moins 9 ampoules sans défaut.

II Variables aléatoires à densité

Lorsque l’on s’intéresse à la durée d’une communication téléphonique, à la durée de vie d’uncomposant électronique ou à la température de l’eau d’un lac, la variable aléatoire X associéeau temps ou à la température, peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle donné.On dit alors que cette variable X est continue (qui s’oppose à discrète comme c’est le cas parexemple dans la loi binomiale).

On ne peut plus parler de probabilité d’événements car les événements élémentaires sont ennombre infini. La probabilité d’une valeur isolée de X est alors nulle.

On contourne cette difficulté en associant à la variable X un intervalle de R et en définissantune densité de probabilité.

II.1 Variable aléatoire continue

Soit une expérience aléatoire et son univers associé Ω (ensemble des issues).Une variable aléatoire est une fonction définie sur Ω et à valeur dans R. On la note X.Elle est dite continue si elle peut prendre comme valeur tous les réels d’un intervalle I deR.

Définition 1

X : Ω R

[a ; b ] X([a ; b ]

)




Remarque : Ω n’est plus un ensemble fini ou même dénombrable.

Exemples 1 :— Si on lance deux dés équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6, on peut définir

une variable aléatoire qui à chaque lancer associe par exemple la somme des nombresobtenus. Comme cette variable ne prend que des valeurs finies entières comprises entre2 et 12, il ne s’agit pas d’une variable aléatoire continue.Elle est dite discrète.

— Si on considère la variable aléatoire X qui, à chaque ampoule, associe sa durée de vie enheures, cette durée n’est pas forcément un nombre entier d’heures et en théorie on neconnaît pas sa durée de vie maximale.Cette variable aléatoire est donc continue et l’intervalle I est [0 ; +∞ [.

II.2 Fonction de densité

Une fois une variable aléatoire définie on s’intéresse à sa loi de probabilité. Dans le cas d’unevariable aléatoire discrète, la loi de probabilité associée est généralement donnée sous la formed’un tableau ou encore à l’aide d’une formule, c’est le cas par exemple pour les variablesaléatoires qui suivent la loi binomiale.

Exemples 2 :1. Si on reprend l’exemple de la variable aléatoire discrète X qui associe au lancer de deux

dés la somme des deux nombres obtenus.La loi de probabilité de X est donnée par le tableau ci-dessous :

k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P (X = k)1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1

36

2. Si on considère la variable aléatoire Y qui suit la loi binomiale B(6; 0, 4), on a alors

pour tout entier k compris entre 0 et 6, P (X = k) =

(6

k

)0, 4k0, 66−k et sa représentation

graphique :

0 1 2 3 4 5 6 X

P (X = k)

0, 1

0, 2

0, 3




Dans le cas d’une variable aléatoire continue, on utilise une fonction définie sur I, un intervallede R, appelée densité. Fonction dont la courbe va, en fait, épouser l’allure de la courbe tracéeen rouge pointillés ci-dessus.

Une fonction f définie sur un intervalle I ⌊2⌋de R est appelée fonction densité, ou densitési, et seulement si

— f est positive c.-à-d. ∀x ∈ I, f(x) > 0.

— f est continue sur I sauf éventuellement en un nombre fini de points.

— L’aire du domaine D , délimitée sous la courbe Cf dans un repère orthogonal et l’axe

des abscisses est égale à 1 c.-à-d.∫

If(t) dt = 1.

Définition 2 (Densité de probabilité)

Remarques :— La dernière assertion correspond tout simplement au cas discret lorsque nous écrivions

que la somme des probabilités des événements élémentaires devait être égale à 1.

— Si I = [a ; b ] l’aire du domaine D est égale à 1 se traduit par∫ b

af(t) dt = 1.

Exercice 4 :

1. Démontrer que la fonction f définie par f(x) =1

3est une densité de probabilité sur

[1, 4].

2. Démontrer que la fonction g définie par g(x) =1

x + 1est une densité de probabilité sur

[0, e − 1].

Il suffit de montrer que la fonction f vérifie les propriétés de la définition (2) : positive,continue et l’intégrale de f sur le domaine vaut 1.

Méthode 1 (Montrer qu’une fonction est une densité)

La fonction densité choisie, on peut alors définir la loi de probabilité associée à celle-ci.

II.3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire

Dans tout ce qui suit X désigne une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle de R.

On note I un intervalle de R et f une densité de probabilité sur I.On dit qu’une variable aléatoire X à valeurs dans I suit une loi de probabilité P dedensité f si pour tout intervalle [a ; b ] de I on a :

P ([a ; b ]) = P (a 6 X 6 b) =∫ b

af(t) dt.

Définition 3 (Loi de probabilité)

⌊2⌋. Par exemple [a ; b ], [a ; +∞ ] ou R.




O

1 u.a

a b

P (a 6 X 6 b)

P (X ∈ I) =∫

If(t) dt = 1

Cf

Cas où I = R.

La probabilité P (X ∈ [a ; b ]) = P (a 6 X 6 b) correspond à l’aire du domaine délimité par Cf ,l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b.

1. P ([a ; a ]) = P (a) = 0. 2. P ([a, b]) = 1 − P ([a, b])

Proposition 1

L’assertion de la proposition (1) .1 a pour conséquence qu’une loi continue ne « charge »pas les points c.-à-d.

P ([a, b]) = P ([a, b[) = P (]a, b]) = P (]a, b[).

En conséquence, dans tout ce qui suit, les résultats donnés pour un intervalle fermé serontvalables aussi pour les semi-ouverts, semi-fermés et ouverts.

Exercice 5 : On considère une variable aléatoire X dont la fonction de densité sur ]−∞ ; +∞[est représentée ci-dessous :

0 1 2 3−1−2−3 0, 4

On admet que la courbe de cette fonction est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées etque :

P (0 6 X 6 0,4) = 0,155.




Donner la valeur de :

1. P (−0,4 6 X 6 0)

2. P (X > 0,4)

3. P (X 6 0,4)

4. P (−0,4 6 X 6 0,4)

Exercice 6 : On considère une variable aléatoire X dont la fonction de densité sur ]−∞ ; +∞[est représentée ci-dessous :

125 127 129 131123121119

On admet que la courbe de cette fonction est symétrique par rapport à la droite d’équationx = 125 (tracée ci-dessus) et que :

P (125 6 X 6 127) = 0,341.

Donner la valeur de :

1. P (123 6 X 6 125)

2. P (X > 125)

3. P (X 6 123)

4. P (127 6 X)

On note I un intervalle de R et f une densité de probabilité sur I.La fonction F définie par :

F (x) = P (X 6 x)

est appelée la fonction de répartition de la variable X.

F (x) =∫ x

af(t) dt

(ou lim

a→−∞

∫ x

af(t) dt

).

Définition 4 (Fonction de répartition)

Remarque : La fonction de répartition F est donc la primitive de la fonction densité f quis’annule en a.




Ox

F (x) = P (X 6 x)

=∫ x

−∞f(t) dt

Cf

Cas où I = R.

Remarque : P (a 6 X 6 b) =∫ b

af(t) dt = F (b) − F (a).

II.4 Espérance et variance

Dans le cas discret ⌊3⌋, on avait E(X) =n∑

i=1

xiP (X = xi) et V (X) =n∑

i=1

(xi − E(X)

)2P (X = xi).

On prolonge ces définitions du discret au continu en « remplaçant » le symbole∑

par∫

.

Soit X une variable aléatoire de densité f sur [a ; b ], on appelle espérance de X le réel, notéE(X) défini par

E(X) =∫ b

atf(t) dt.

On appelle variance de X, le réel V (X) défini par

V (X) =∫ b

a

(t − E(X)

)2f(t) dt.

Définition 5

Rassurez-vous, l’intégration par parties ayant été supprimée du programme, on ne vous deman-dera ⌊4⌋ pas ou peu de calculer des espérances ou des variances de variables aléatoires continues.

⌊3⌋. cf le rappel (4)⌊4⌋. malheureusement



XIII. Lois Continues III. EXEMPLES DE LOIS

III Exemples de lois

III.1 Loi uniforme

Exercice 7 : Soit f une fonction constante sur [a, b].

Déterminer la valeur de cette constante pour que f soit une densité de probabilité .

On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur un intervalle [a ; b ] si sa densité

f est nulle partout en dehors de l’intervalle [a ; b ] où elle est égale à1

b − a.

On la note U([a ; b ]

).

O a b

P (a 6 X 6 b) = 1

1

b − a

1

b − a

Définition 6

Cette loi modélise un phénomène uniforme sur un intervalle donné. La notion d’uniformité vientdu fait que la probabilité qu’une valeur tirée d’une loi uniforme soit dans un certain intervallene dépend pas de la position de l’intervalle, mais uniquement de sa longueur (cf. le théorèmeci-dessous).

On l’utilise généralement lorsque la situation se ramène à choisir au hasard un réel dans unintervalle [a ; b ].

Si une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a, b] on a :

∀α, β ∈ [a ; b ], P (α 6 X 6 β) = P ([α, β]) =∫ β

α

1

b − adx =

β − α

b − a.

Théorème 2

Exemple 3 : À un arrêt de bus, un bus passe toutes les 10 minutes. Un voyageur ignore leshoraires et arrive à cet arrêt de bus. Quelle est la probabilité d’attendre le bus exactement 3minutes ? entre 2 et 4 minutes ? plus de 5 minutes ?

On note T la variable aléatoire représentant le temps d’attente, en minutes. On suppose queT suit la loi uniforme U

([0 ; 10 ]

).

— P (3 6 T 6 3) =∫ 3

3

1

10 − 0dt =

[t

10

]3

3=

3 − 3

10=

0

10= 0.




— P (2 6 T 6 4) =∫ 4

2

1

10 − 0dt =

[t

10

]4

2=

4 − 2

10=

2

10= 0, 2.

— P (T > 5) = 1 − P(T < 5) = 1 − 5

10=

5

10= 0, 5.

Exercice 8 :1. On choisit au hasard un nombre dans l’intervalle [0, 7]. Le choix est modélisé par une loi

uniforme.(a) Calculer la probabilité que ce nombre soit dans [2, 5].(b) Calculer la probabilité que ce nombre soit dans [4, 6].(c) Calculer P[2,5]([4, 6]).

2. On choisit un nombre au hasard de [0, 1].Calculer la probabilité que le premier chiffre après la virgule soit impair, sachant que cenombre est strictement supérieur à 0, 7.

Si X ∼ U([a ; b ]

), l’espérance E(X) et la variance V (X) sont données par :

E(X) =a + b

2V (X) =

(b − a)2

12.

Proposition 3

Remarque : Sans surprise, E(X) correspond dans ce cas au milieu de l’intervalle.

Preuve: E(X) =∫ b

at × 1

b − adt

=1

b − a

[t2

2

]b

a

=1

b − a

(b2

2− a2

2

)

=(b − a)(b + a)

2(b − a)

=a + b

2

V (X) =∫ b

a

(t − a + b

2

)2

× 1

b − adt

=1

b − a×1

3

(t − a + b

2

)3

b

a

=1

3(b − a)×(

b − a + b

2

)3

−(

a − a + b

2

)3

=1

24(b − a)×((b − a)3 − (a − b)3

)

=2

24(b − a)× (b − a)3

=1

12× (b − a)2

Exemple 4 : A notre arrêt de bus précédent, l’attente moyenne de notre voyageur sera doncde :

E(T ) =0 + 10

2= 5 minutes.

L’écart-type σ(T ) =

√1

12× (10 − 0) ≃ 1, 67 minutes, nous informe sur la manière dont les

temps d’attente se répartissent autour de la moyenne.




III.2 Loi exponentielle ou de « durée de vie sans vieillissement »

Dans tout ce qui suit il faudra donner un sens à∫ +∞

0f(t) dt , donc à une intégrale avec une

borne infinie , nous définissons cette intégrale de la manière suivante :

∫ +∞

0f(t) dt = lim

X→+∞

∫ X

0f(t) dt.

.

En conséquence , faites tous vos calculs sur [0, X] puis ensuite passer à la limite en +∞ sur X.

Exercice 9 : Soit λ un réel strictement positif.

Démontrer que la fonction fλ définie par fλ(t) = λe−λt est une densité de probabilité sur[0, +∞[.

Soit λ un réel strictement positif.On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ sur [0, +∞[lorsque sa densité de probabilité est la fonction fλ définie par :

fλ(t) = λe−λt.

On a donc pour 0 6 a 6 b :

P ([a, b]) = P (a 6 X 6 b)

=∫ b

aλe−λt dt

= e−λa − e−λb. O a b

P(a 6 X 6 b)

λ

Définition 7

Exercice 10 : La variable aléatoire, qui à tout article fabriqué par une entreprise associe sadurée de vie en jours, suit une loi exponentielle de paramètre 0, 0007.

1. Donner la densité de probabilité f associée à la variable aléatoire.

2. Calculer la probabilité, à 10−3 près, qu’un tel article ait une durée de vie comprise entre700 et 1000 jours.

Exercice 11 (Quelques résultats remarquables) : On considère P qui suit la loi expo-nentielle de paramètre λ.

1. Pour t > 0 , calculer P([0 ; t ]

)puis en déduire P ([t ; +∞ [).

2. Soit F la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par F (t) = P ([0 ; t ]).F est la fonction de répartition. Elle donne la probabilité qu’une substance ou unappareil donné ait une durée de vie inférieure ou égale à t.Vérifier que F (t) = 1 − e−λt puis démontrer que pour tout t et s positifs :

P[t;+∞ [([t ; t + s ]) = F (s).




3. Pourquoi dit-on de cette loi de durée de vie qu’elle est sans vieillissement ?

Une loi exponentielle modélise la durée de vie d’un phénomène sans mémoire, ou sans vieillisse-ment, ou sans usure. En d’autres termes, le fait que le phénomène ait duré pendant un tempst ne change rien à son espérance de vie à partir du temps t.

Elle permet entre autres de modéliser la durée de vie de la radioactivité ou d’un composantélectronique, de décrire le temps écoulé entre deux moments,. . .

Si une variable aléatoire X à valeurs dans R+ suit la loi exponentielle de paramètre λ alors,pour tout t > 0,

P (X 6 t) = 1 − e−λt et P (X > t) = e−λt.

Proposition 4

Preuve: Comme,∫ b

aλe−λt dt =

[−e−λt

]ba

= e−λa − e−λb, on a :

P (X 6 t) = P (0 6 X 6 t) (X est à valeurs dans R+)

= 1 − e−λt.

Exemple 5 : La durée de vie, en heures, d’un composant électronique est une variable aléa-toire T qui suit une loi exponentielle de paramètre 0,00005.

— Probabilité que ce composant tombe en panne avant 10 000 heures :

P (T < 10000) = P (T 6 10000) = 1 − e−0,00005×10000 = 0, 40.

— Probabilité que ce composant fonctionne au moins 15 000 heures :

P (T > 15000) = 1 − P (T < 15000) = 1 − (1 − e−0,00005×15000) = 0, 47.

— Probabilité que ce composant tombe en panne entre la 10 000e heure et la 15 000e heure :

P (10000 6 T 6 15000) = P (T 6 15000) − P (T < 10000) = 0, 47 − 0, 40 = 0, 07.

Remarque : P (a 6 T 6 b) = P (T 6 b) − P (T < a) = P (T 6 b) − P (T 6 a).

Exercice 12 : Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes iden-tiques. La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suitla « loi de durée de vie sans vieillissement » (ou encore loi exponentielle de paramètre λ avecλ > 0.)

Toutes les probabilités seront données à 10−3 près.




1. Sachant que p(X > 10) = 0, 286, montrer qu’une valeur approchée à 10−3 près de λ est0, 125.On prendra 0, 125 pour valeur de λ dans la suite de l’exercice.

2. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieureà 6 mois.

3. Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il aitune durée de vie supérieure à dix ans ?

L’espérance E(X) d’une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λest donnée par :

E(X) = limx→+∞

∫ x

0tf(t) dt.

Définition 8 (Espérance d’une loi exponentielle)

Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ, l’espérance E(X) est :

E(X) =1

λ.

Proposition 5

Preuve: Rien de bien compliqué avec une intégration par parties mais cet outils a été retirédu programme. . . admis donc !. . . ou pas. Contournons cette absence par une observation :

(tf(t)

)′=(

λte−λt)′

= λe−λt − λ2te−λt

= λe−λt − λtf(t).

D’où tf(t) = e−λt − 1

λ

(tf(t)

)′

E(X) = limx→+∞

∫ x

0tf(t) dt = lim

x→+∞

∫ x

0

e−λt − 1

λ

(tf(t)

)′ dt

= limx→+∞

∫ x

0e−λt dt − lim

x→+∞1

λ

∫ x

0

(tf(t)

)′dt

= limx→+∞

[−1

λe−λt

]x

0− lim

x→+∞1

λ

[tf(t)

]x

0

=1

λ− 1

λlim

x→+∞xf(x).

D’après un théorème déjà démontré, limx→+∞

xf(x) = limx→+∞

xe−λx = 0.

On obtient donc bien le résultat escompté : E(X) =1

λ.

Exemple 6 : On reprend l’ exemple (5) précédent :

E(X) =1

0, 00005= 20 000.




On peut donc en conclure que la durée de vie moyenne du composant électronique est de 20000 heures.

Exercice 13 (Pondichéry 2017 (suite)) : Une machine électronique mesure la teneuren cacao d’une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par unevariable aléatoire Z suivant une loi exponentielle de paramètre λ.

1. La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans.Déterminer le paramètre λ de la loi exponentielle.

2. Calculer P (Z > 2).

3. Sachant que la machine de l’atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la proba-bilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ?

Exercice 14 : On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d’un composant élec-tronique. On modélise cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillis-sement définie sur l’intervalle [0 ; +∞[.

La probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t semaines estalors :

p([0 ; t[) =∫ t

0λe−λx dx.

Une étude statistique, montrant qu’environ 50 % d’un lot important de ces composants sontencore en état de marche au bout de 200 semaines, permet de poser p([0 ; 200[) = 0, 5.

1. Montrer que λ =ln 2

200.

2. Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de viesupérieure à 300 semaines ? On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimaleau centième près.

Exercice 15 (Polynésie 2017) : La société Fibration fournit des abonnements Internetet des abonnements de téléphone mobile. Un client de la société Fibration souscrit soit unabonnement Internet, soit un abonnement de téléphone mobile, il ne cumule pas les deux. Encas de difficulté, la société Fibration propose à ses clients une ligne d’assistance téléphonique :le client doit d’abord signaler s’il est client Internet ou s’il est client mobile puis son appel estmis en attente de réponse par un opérateur.

Partie A - Durée d’attente

1. Dans cette question, on s’intéresse à la durée d’attente d’un client Internet lorsqu’ilcontacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur.Une étude permet de modéliser cette durée d’attente en minutes par la variable aléatoireD1 qui suit la loi exponentielle de paramètre 0, 6.

(a) Quelle est la durée d’attente moyenne que peut espérer un client Internet qui appellecette ligne d’assistance ?

(b) Calculer la probabilité que la durée d’attente d’un client Internet choisi au hasardsoit inférieure à 5 minutes.

2. Dans cette question, on s’intéresse à la durée d’attente d’un client mobile lorsqu’ilcontacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. On modélise cettedurée d’attente en minutes par la variable aléatoire D2 qui suit une loi exponentielle deparamètre λ, λ étant un réel strictement positif.




(a) Sachant que P (D2 6 4) = 0, 798, déterminer la valeur de λ.

(b) En prenant λ = 0, 4, peut-on considérer que moins de 10 % des clients mobile choisisau hasard attendent plus de 5 minutes avant de joindre un opérateur ?

Partie B - Obtention d’un opérateur

Si la durée d’attente avant l’obtention d’un opérateur dépasse 5 minutes, l’appel prend auto-matiquement fin. Sinon, l’appelant obtient un opérateur.

On choisit au hasard un client qui appelle la ligne d’assistance.

On admet que la probabilité que l’appel émane d’un client Internet est 0, 7.

De plus, d’après la partie A, on prend les données suivantes :

— Si l’appel provient d’un client Internet alors la probabilité d’obtenir un opérateur estégale à 0, 95.

— Si l’appel provient d’un client mobile alors la probabilité d’obtenir un opérateur est égaleà 0, 87.

1. Déterminer la probabilité que le client joigne un opérateur.

2. Un client se plaint que son appel a pris fin après 5 minutes d’attente sans avoir obtenud’opérateur. Est-il plus probable que ce soit un client Internet ou un client mobile ?

Exercice 16 (Polynésie Juin 2016) : Partie A

Un astronome responsable d’un club d’astronomie a observé le ciel un soir d’août 2015 pourvoir des étoiles filantes. Il a effectué des relevés du temps d’attente entre deux apparitionsd’étoiles filantes. Il a alors modélisé ce temps d’attente, exprimé en minutes, par une variablealéatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. En exploitant les données obtenues,il a établi que λ = 0, 2.

Il prévoit d’emmener un groupe de nouveaux adhérents de son club lors du mois d’août Juin2016 pour observer des étoiles filantes. Il suppose qu’il sera dans des conditions d’observationanalogues à celles d’août 2015.

L’astronome veut s’assurer que le groupe ne s’ennuiera pas et décide de faire quelques calculsde probabilités dont les résultats serviront à animer la discussion.

1. Lorsque le groupe voit une étoile filante, vérifier que la probabilité qu’il attende moinsde 3 minutes pour voir l’étoile filante suivante est environ 0, 451.

2. Lorsque le groupe voit une étoile filante, quelle durée minimale doit-il attendre pour voirla suivante avec une probabilité supérieure à 0, 95 ? Arrondir ce temps à la minute près.

3. L’astronome a prévu une sortie de deux heures. Estimer le nombre moyen d’observationsd’étoiles filantes lors de cette sortie.

Partie B

Ce responsable adresse un questionnaire à ses adhérents pour mieux les connaître. Il obtientles informations suivantes :

• 64 % des personnes interrogées sont des nouveaux adhérents ;

• 27 % des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescopepersonnel ;




• 65 % des nouveaux adhérents n’ont pas de télescope personnel.

1. On choisit un adhérent au hasard. Montrer que la probabilité que cet adhérent possèdeun télescope personnel est 0, 494.

2. On choisit au hasard un adhérent parmi ceux qui possèdent un télescope personnel.Quelle est la probabilité que ce soit un nouvel adhérent ? Arrondir à 10−3 près.

Exercice 17 (Antilles-Guyane Juin 2016 (suite)) : Partie B

1. On rappelle que si T suit une loi exponentielle de paramètre λ (λ étant un réel strictement

positif) alors pour tout réel positif a, P (T 6 a) =

a∫

0

λe−λxdx.

(a) Montrer que P (T > a) = e−λa.

(b) Montrer que si T suit une loi exponentielle alors pour tous les réels positifs t et aon a

PT>t(T > t + a) = P (T > a).

2. Dans cette partie, la durée de vie en heures d’une ampoule sans défaut est une variablealéatoire T qui suit la loi exponentielle d’espérance 10 000.

(a) Déterminer la valeur exacte du paramètre λ de cette loi.

(b) Calculer la probabilité P (T > 5 000).

(c) Sachant qu’une ampoule sans défaut a déjà fonctionné pendant 7 000 heures, cal-culer la probabilité que sa durée de vie totale dépasse 12 000 heures.

Exercice 18 : On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en années, d’un appareil ménageravant la première panne. On peut modéliser cette situation par une loi de probabilité p de duréede vie sans vieillissement, définie sur l’intervalle [0, +∞[. Ainsi, la probabilité d’un intervalle[0 ; t [, notée p([0 ; t [), est la probabilité que l’appareil ménager tombe en panne avant l’instantt.

1. Pour t > 0, calculer la valeur exacte de p([t ; +∞ [).

2. Calculer la valeur de t pour laquelle on a p([0 ; t [) = p([t ; +∞ [).

3. D’après une étude statistique, la probabilité que l’appareil tombe en panne avant la finde la première année est 0, 18. Calculer la valeur exacte de λ.

4. Sachant que cet appareil n’a connu aucune panne au cours des deux premières annéesaprès sa mise en service, calculer la probabilité qu’il ne connaisse aucune panne l’annéesuivante .

5. Dans la suite de l’exercice on prendra λ = 0, 2.

(a) Calculer la probabilité que l’appareil n’ait pas eu de panne au cours des trois pre-mières années.

(b) Dix appareils neufs de ce type ont été mis en service en même temps. On désignepar X la variable aléatoire égale au nombre d’appareils qui n’ont pas de panne aucours des trois premières années.Donner la loi de X et calculer P (X = 4) , puis la probabilité qu’au moins 5 appareilsn’aient pas eu de panne au cours des trois premières années.



XIII. Lois Continues IV. LA LOI NORMALE

IV La Loi normale

IV.1 Généralités

Soient µ et σ deux réels tels que σ > 0.On dit que la variable aléatoire X suit la loi normale de paramètre µ et σ, si pour tousréels a et b, on a :

P (a 6 X 6 b) =∫ b

afµ,σ(t) dt avec fµ,σ(t) =

1

σ√

2πe− 1

2( t−µ

σ)2

On note alors X N(µ; σ2

)⌊5⌋.

Définition 9

La fonction fµ,σ est appelée densité de la loi normale de paramètre µ et σ ou encoredensité de Laplace-Gauss.

P (a 6 X 6 b)

a b

Cfµ,σ

Avant d’aller plus loin, étudions donc cette fonction fµ,σ :

IV.2 Fonction de Gauss

Soient µ et σ deux réels tels que σ > 0 et fµ,σ la fonction définie sur R par

fµ,σ(x) =1

σ√

2πe− 1

2( x−µ

σ)2

.

Alors :

1. fµ,σ est clairement définie sur R.

En posant u = −1

2

(x − µ

σ

)2

x → ±∞ −∞, on a :

limx→±∞

fµ,σ = limu→−∞

eu = 0.

L’axe des abscisses est donc asymptote à la courbe en ±∞.

⌊5⌋. Cette notation est plutôt réservée à la terminale, ensuite, on la note plutôt N (µ; σ). De là, à savoirpourquoi ?. . .



XIII. Lois Continues IV. LA LOI NORMALE

2. fµ,σ est une composée de fonctions dérivables sur R donc dérivable et continue sur R eton a :

f ′µ,σ(x) = − x − µ

σ3√

2πe− 1

2( x−µ

σ)2

.

f ′µ,σ(x) est donc du signe de µ − x sur R. D’où le tableau de variations et la courbe

représentative :

x

f ′µ,σ(x)

fµ,σ

−∞ µ +∞

+ 0 −

00

1

σ√

2π

1

σ√

2π

00µ

1

σ√

2π

3. En particulier, fµ,σ admet un maximum égal à1

σ√

2πatteint pour x = µ.

4. La courbe représentative de fµ,σ est symétrique par rapport à la droite d’équation x = µ.

En effet fµ,σ(2µ−x) =1

σ√

2πe− 1

2( 2µ−x−µ

σ)2

=1

σ√

2πe− 1

2( µ−x

σ)2

=1

σ√

2πe− 1

2( x−µ

σ)2

= fµ,σ(x). ⌊6⌋

Cette courbe est connue sous le nom de « gaussienne » ou, du fait de sa forme caractéris-tique, de « courbe en cloche ».

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

µ = 4

σ = 2

σ = 1

σ =12

Remarque : On remarquera que plus σ est grand, plus le maximum est petit et la courbes’étale autour de µ.

5. On admettra que∫

Rfµ,σ(t) dt = 1. Intégrale que vous calculerez sûrement maintes fois

dans les prochaines années par différentes méthodes pas encore à notre disposition.La fonction fµ,σ, continue et positive sur R, définit alors une densité de probabilité sur R.

Remarque : La fonction fµ,σ n’admet pas de primitives s’exprimant à l’aide de fonctionsélémentaires.

⌊6⌋. cf. les cours de seconde.



XIII. Lois Continues V. LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE

Lorsque σ = 1 et µ = 0, la fonction définie par f0,1(x) =1√2π

e− x2

2 est paire. Sa courbe

représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Soient X est une variable aléatoire et a et b deux réels donnés. Alors :

— E(aX+b) = aE(X) + b. — V (aX + b) = a2V (X). — σ(aX + b) = |a| σ(X).

Rappels 5 (Influence d’une combinaison affine)

Quelques commentaires :— Si X est une variable aléatoire donnée, d’espérance E(X) = µ. Alors la variable aléatoire

définie par X − µ, a une espérance nulle E(X − µ) = E(X) − µ = 0.On dit que X − µ est la variable aléatoire centrée associée à X.

— D’autre part, si X est une variable aléatoire donnée, de variance V (X) = σ2, alors la

variable aléatoire définie parX

σa une variance V

(X

σ

)=

V (X)

σ2= 1.

On dit queX

σest la variable aléatoire réduite associée à X.

Fort de ces commentaires, une variable aléatoire X suivant une loi normale N(µ; σ2

)donnée,

germe alors l’idée de considérer la variable aléatoireX − µ

σréduite et centrée (en 0) pour calculer

nos probabilités quitte à se ramener ensuite à celles définies par X.

On parle alors de Loi normale centrée réduite. Beaucoup plus simple à étudier.

V Loi normale centrée réduite

V.1 Fonction de répartition et probabilités

On dit que la variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite, notée N (0, 1) si sadensité de probabilité est égale à la fonction f0,1.Sa fonction de répartition Φ est donc définie sur R par :

Φ(x) = P (X 6 x) =1√2π

∫ x

−∞e− t2

2 dt.

Définition 10

L’intégrale∫ x

−∞e− t2

2 dt est à prendre avec les conventions d’usage en terminale :

∫ x

−∞e− t2

2 dt = lima→−∞

∫ x

ae− t2

2 dt.




a

Φ(a)

Quelques commentaires :— Le nombre Φ(a) représente, par définition, l’aire du domaine délimité par la courbe de

f0,1, l’axe des abscisses et la droite d’équation x = a.

— On a aussi1√2π

∫ +∞

−∞e− t2

2 dt = 1. Comme la fonction f0,1 est paire, on a alors :

1√2π

∫ 0

−∞e− t2

2 dt =1√2π

∫ +∞

0e− t2

2 dt =1

2.

La fonction Φ est donc la primitive de f0,1 qui vérifie Φ(0) =1

2.

— Par définition, Φ′(x) = f0,1(x) =e− x2

2√2π

> 0. La fonction Φ est donc strictement croissante

sur R.

Avec limx→+∞

Φ(x) =1√2π

∫ +∞

−∞e− t2

2 dt = 1, on obtient le tableau de variation ci-dessous et

la courbe représentative.

x

f0,1(x)

Φ

−∞ +∞

+

00

11

0

1

2

1

12

CΦ




V.2 Calcul de probabilités

Si une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite alors pour tous réels a etb tels que a 6 b, on a :

P (a 6 X 6 b) = Φ(b) − Φ(a)

P (X > a) = 1 − Φ(a)

Et, pour tout réel a positif : P (X 6 −a) = 1 − Φ(a).

Théorème 6

Remarque : La dernière assertion peut aussi s’écrire Φ(−a) = 1 − Φ(a) c.-à-d. la courbe CΦ

est symétrique par rapport au point de coordonnées(

0;1

2

).

Preuve: Tout découle de la définition (10) et de la relation de Chasles :

Φ(b) − Φ(a) =1√2π

∫ b

−∞e− t2

2 dt − 1√2π

∫ a

−∞e− t2

2 dt

=1√2π

(∫ b

−∞e− t2

2 dt +∫ −∞

ae− t2

2 dt

)

=1√2π

(∫ −∞

ae− t2

2 dt +∫ b

−∞e− t2

2 dt

)

=1√2π

∫ b

ae− t2

2 dt = P (a 6 X 6 b).

Ensuite, P (X > a) = P(X < a

)= 1 − P (X 6 a) = 1 − Φ(a).

Et enfin, par symétrie de la courbe :∫ −a

−∞f0,1(t) dt =

∫ +∞

af0,1(t) dt

P (X 6 −a) = P (X > a)

P (X 6 −a) = 1 − Φ(a). a−a

Les syntaxes, avec les calculatrices sont les suivantes :

Casio 35 : P (a 6 X 6 b) = NormCD(a, b, σ, µ).

TI 82 : P (a 6 X 6 b) = normalFrep(a, b, µ, σ)

Lorsqu’on voudra calculer des probabilités du genre P (X 6 a) ou P (X > a), la fonctionx 7−→ e−x2

tendant très rapidement vers 0 en ±∞, on pourra utiliser la syntaxe précédenteen prenant, pour les bornes « disparues », des valeurs très grandes :

— P (X 6 a) ≃ P (−10996 X 6 a). — P (X > a) ≃ P (a 6 X 6 1099).

Méthode 2 (Avec la calculatrice)




Exemple 7 : Une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite. A l’aide d’unetable des valeurs de Φ ⌊7⌋ou de la calculatrice, on trouve :

Φ(0, 56) ≃ 0, 7123 et Φ(1, 35) ≃ 0, 9115.

D’après le théorème (6) , on peut alors déterminer les probabilités suivantes :

— P (X > 1, 35) = 1 − Φ(1, 35) ≃ 0, 0885.

— P (X 6 −0, 56) = Φ(−0, 56) = 1 − Φ(0, 56) ≃ 0, 2877.

— P (−0, 56 6 X 6 1, 35) = Φ(1, 35) − Φ(−0, 56) ≃ 0, 7123 − 0, 2877 = 0, 6238.

— P (X 6 −0, 56 ou X > 1, 35) = P (X 6 −0, 56) + P (X > 1, 35)

≃ 0, 2877 + 0, 0885 = 0, 3762.

Les événements (X 6 −0, 56) et (X > 1, 35) étant incompatibles.

0 1 2−1−2

0.1

0.2

0.3

0.4

−0, 56 1, 35

P (X 6 −0, 56)

P (−0, 56 6 X 6 1, 35)

P (X > 1, 35)

P (X 6 −0, 56 ou X > 1, 35)

Remarque : Certaines valeurs interviennent souvent, il est bon de les mémoriser.

P (−1 6 X 6 1) ≃ 0, 683

P (−2 6 X 6 2) ≃ 0, 954

P (−3 6 X 6 3) ≃ 0, 997.

⌊7⌋. Comme grand-papy !




V.3 Espérance et variance

Si une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite alors son espérance estnulle et son écart-type est égal à 1.

E(X) = 0 et σ(X) = 1.

Théorème 7

On rappelle ⌊8⌋ que c’est pour cette raison que cette loi normale est dite centrée (E(X) = 0) etréduite (σ(X) = 1).

Preuve: Il suffit de remarquer qu’une primitive de te− t2

2 sur R est −e− t2

2 , la suite descalculs est simple :

E(X) =1√2π

∫ +∞

−∞te− t2

2 dt =1√2π

(∫ x0

−∞te− t2

2 dt +∫ +∞

x0

te− t2

2 dt)

=1√2π

(lim

X→−∞

[−e− t2

2

]x0

X+ lim

Y →+∞

[−e− t2

2

]Y

x0

)

= − 1√2π

(−

e− x2

02 + lim

X→−∞e− X2

2 − limY →+∞

e− Y 2

2 +

e− x20

2

)avec lim

u→∞ e− u2

2 = 0

= 0.

Le calcul de la variance et de l’écart-type est hors de notre portée et sera malheureusementadmis.

V.4 Probabilité d’intervalles centrés en 0

C’est le problème réciproque : Un réel α ∈]0 ; 1 [ donné, peut-on déterminer un intervalle Iα telque la probabilité du succès P (X ∈ Iα) soit égale à 1 − α ?

Par exemple, pour α = 0, 01 = 1%, peut-on trouver un intervalle Iα qui réalise P (X ∈ Iα) = 99% ?On dit aussi au risque d’erreur de 1%.

Les intervalles Iα répondant à cette question sont en nombre infini mais, comme on va le voir,la réponse existe et est unique dans le cas des intervalles centrés en 0 c.-à-d. de la forme ]−a ; a [où a est un réel positif.

Soient X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite et α un réel del’intervalle ]0 ; 1 [.Il existe un unique réel strictement positif uα tel que :

P (−uα 6 X 6 uα) = 1 − α.

Théorème 8

⌊8⌋. cf. commentaires précédents




L’intervalle [−uα ; uα ] est donc l’intervalle Iα cherché.

Preuve: L’équation à résoudre revient à chercher un réel x strictement positif tel que :

P (−x 6 X 6 x) = 1 − α

Φ(x) − Φ(−x) = 1 − α

Φ(x) − 1 + Φ(x) = 1 − α

2Φ(x) = 2 − α

Φ(x) = 1 − α

2.

Or, la fonction Φ est continue et strictementcroissante sur [0 ; +∞ [. Elle établit donc unebijection de [0 ; +∞ [ sur son intervalle image

[Φ(0) ; limx→+∞

Φ(x) [=[1

2; 1[.

Comme 0 < α < 1 alors1

2< 1 − α

2< 1

c.-à-d. α appartient à l’intervalle image de[0 ; +∞ [ par Φ.

−uα uα

α

2

α

2

1 − α

D’après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotone, ilexiste donc un unique élément uα de l’intervalle [0 ; +∞ [ tel que Φ(x) = 1 − α

2. C’est le réel

strictement positif cherché.

En pratique, on ira souvent cherché les valeurs de uα telles que P (−uα 6 X 6 uα) = 95% ouP (−uα 6 X 6 uα) = 99% c.-à-d. les valeurs de u0,05 et u0,01. On trouve :

P (−1, 96 6 X 6 1, 96) = 0, 95

P (−2, 58 6 X 6 2, 58) = 0, 99.

Valeurs souvent nécessaires pour connaître une part représentative de 95 ou 99% d’une popula-tion. . .

Les syntaxes, avec les calculatrices sont les suivantes :

Casio 35 : STAT DIST NORM F3 invN

TI 82 : 2nd DISTR FracNormale(1 − α, µ, σ)

Méthode 3 (Avec la calculatrice)

Exercice 19 : X est une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite. Détermi-ner l’intervalle I centré en 0 tel que P (X ∈ I) = 0, 8.

On donnera les bornes de l’intervalle avec une précision de 10−2.

Rep : uα ≃ 1, 28 et I = [−1, 28 ; 1, 28 ].



XIII. Lois Continues VI. LOIS NORMALES

L’étude de la loi normale centrée réduite ainsi faite, il est temps de s’occuper des lois normalesgénérales N (µ ; σ ). L’étude précédente comprise, ce sera rapide.

Exercice 20 (Amérique du nord 2017) : Dans le cadre de son activité, une entreprisereçoit régulièrement des demandes de devis. Les montants de ces devis sont calculés par sonsecrétariat. Une étude statistique sur l’année écoulée conduit à modéliser le montant des devispar une variable aléatoire X qui suit la loi normale d’espérance µ = 2 900 euros et d’écart-typeσ = 1 250 euros.

1. Si on choisit au hasard une demande de devis reçue par l’entreprise, quelle est la proba-bilité que le montant du devis soit supérieur à 4 000 euros ?

2. Afin d’améliorer la rentabilité de son activité, l’entrepreneur décide de ne pas donnersuite à 10 % des demandes. Il écarte celles dont le montant de devis est le moins élevé.Quel doit être le montant minimum d’un devis demandé pour que celui-ci soit pris encompte ? Donner ce montant à l’euro près.

Correction :1. On cherche P (X > 4 000).

D’après la calculatrice on a P (X > 4 000) ≈ 0, 189.

2. On cherche le réel x tel que P (X 6 x) = 0, 10.À l’aide de la calculatrice on trouve x ≈ 1 298.Donc pour être accepté, un devis devra être d’un montant supérieur ou égal à 1 298 euros.

VI Lois normales

Résumons les commentaires et réflexions faits en page 447 par un théorème :

Une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres µ et σ notée N (µ ; σ2 ) si, et

seulement si la variable aléatoire Z =X − µ

σsuit une loi normale centrée réduite N (0 ; 1 ).

Théorème 9

Ce théorème est fort et important. Il permet de ramener l’étude de toutes les lois normalesà celle de la loi normale centrée réduite par une translation ⌊9⌋ et une homothétie ⌊10⌋ Tout letravail sera donc déjà fait.

Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale N (µ ; σ2 ) alors son espérance vaut µet son écart-type est σ.

E(X) = µ et σ(X) = σ.

Proposition 10

⌊9⌋. La différence X − µ.⌊10⌋. Le quotient par σ.




Preuve: De la linéarité de l’espérance, comme Z suit la loi normale centrée réduite, on endéduit :

0 = E(Z) = E

(X − µ

σ

)=

E(X) − µ

σ⇐⇒ E(X) = µ.

De plus, comme ∀(a ; b ∈ R2, V (aX + b) = a2V (X), on a :

1 = V (Z) = V

(X − µ

σ

)=

1

σ2V (X) ⇐⇒ V (X) = σ2 ⇐⇒ σ(X) = σ.

Une loi normale est donc correctement définie par la seule donnée de son espérance et de sonécart-type.

Exemple 8 (Classique) : Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachéesdestinées à l’industrie.

Une pièce est conforme lorsque sa longueur (en millimètres) appartient à l’intervalle[74, 4 ; 75, 6 ].

On note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard, associe sa longueur.On suppose que L suit la loi normale d’espérance 75 et d’écart type 0, 25. ⌊11⌋

Quelle est la probabilité qu’une pièce soit conforme ?

On calcule P (74, 4 6 L 6 75, 6) = 0, 98.

La pièce est donc conforme dans 98% des cas. Ce n’est pas plus dur !

Exemple 9 : Les températures de l’eau du mois de juillet, autour du lac Léman, suivent laloi normale d’espérance 18,2°C et d’écart-type 3,6 °C.

Une personne part camper en juillet sur le pourtour du lac Léman. Que peut-on lui indiquercomme probabilité de température de l’eau des plages dans les cas suivants :

1. Températures inférieures à 16 °C.

2. Températures comprises entre 20°C et 24,5°C.

3. Températures supérieures à 21°C.

On appelle T la variable aléatoire associée aux températures et Z =T − 18, 2

3, 6la variable

aléatoire associée à la loi normale centrée réduite.

Il y a deux façons d’obtenir les résultats, soit on utilise directement la calculatrice avec la loinormale de l’énoncé, soit on se ramène à la loi normale centrée réduite.

1. Calculons P (T 6 16) :La calculatrice donne directement P (T 6 16) = 0, 271.Sinon, pour revenir à la loi Z, on manipule d’abord quelques inéquations élémentaires :

T 6 16 ⇐⇒ T − 18, 6

3, 66

16 − 18, 2

3, 6⇐⇒ Z 6 −0, 611.

⌊11⌋. L N (75 ; 0, 25 )




Une table de loi normale centrée réduite ou encore la calculatrice redonne :

P (Z 6 −0, 611) = Φ(−0, 611) = 1 − Φ(0, 611) = 1 − 0, 72 = 0, 271.

2. le raisonnement est identique ⌊12⌋

A la calculatrice : P (20 6 T 6 24, 5) = 0, 268.

Avec la loi centrée : P (20 6 T 6 24, 5) = P (0, 5 6 Z 6 1, 75) = Φ(1, 75) − Φ(0, 5)

= 0, 960 − 0, 692 = 0, 268.

3. [A la calculatrice : P (T > 21) = 0, 218.

Avec la loi centrée : P (T > 21) = P (Z > 0, 78) = 1 − Φ(0, 78)

= 1 − 0, 782 = 0, 218.

Moralité : Il faut venir se baigner à Wallis.

VI.1 Intervalles en fonction de σ

Toutes les remarques de la parties (IV.2) sur la fonction de densité restent valables. On retiendraparticulièrement que la courbe « en cloche » est symétrique par rapport à son espérance µ etque son maximum ainsi que son inflexion dépendent de l’écart-type σ.

On s’intéresse ici à certains intervalles caractéristiques et pratiques, non plus centrés en 0 maisen µ.

Certaines valeurs sont à retenir quant à la répartition des données autour de l’espérance enfonction de l’écart-type :

Si X suit la loi normale de paramètres µ et σ, alors

P (µ − σ 6 X 6 µ + σ) ≃ 0, 68.

P (µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) ≃ 0, 95.

P (µ − 3σ 6 X 6 µ + 3σ) ≃ 0, 997.

Proposition 11

⌊12⌋. Entraînez-vous !




µ − 3σ µ + 3σµ − 2σ µ + 2σµ − σ µ + σµ68%

95%

99, 7%

Exemple 10 : On reprend l’ exemple (8) .

Quelle valeur doit-on donner à h pour avoir l’égalité :

P (75 − h 6 L 6 75 + h) = 0, 997.

On sait que P (µ − 3σ 6 L 6 µ + 3σ) ≃ 0, 997. La question revient donc à résoudre la petiteéquation 75 − h = 75 − 3 × 0, 25.

On trouve h = 3 × 0, 25 = 0, 75 mm.

Remarque : Comme P (74, 25 6 L 6 75, 75) ≃ 0, 997, on pourra donc dire que quasimenttoutes les pièces (99, 7% quand même !) ont théoriquement une largeur comprise entre 74,25mm et 75,75 mm.

Exercice 21 : Sur une chaîne d’embouteillage dans une brasserie, la quantité X (en cL) deliquide fournie par la machine pour remplir chaque bouteille de contenance 110 cL peut êtremodélisée par une variable aléatoire de loi normale de moyenne µ et d’écart-type σ = 2.

La législation impose qu’il y ait moins de 0,1% de bouteilles contenant moins d’un litre.

1. À quelle valeur moyenne µ doit-on régler la machine pour respecter cette législation ?Rep : µ ≃ 106, 18.

2. La contenance des bouteilles étant de 110 cL, quelle est alors la probabilité qu’unebouteille déborde lors du remplissage ?

Rep : ≃ 0, 028.

3. Le directeur de la coopérative veut qu’il y ait moins de 1% de bouteilles qui débordentau risque de ne pas suivre la législation.



XIII. Lois Continues VII. APPROXIMATION NORMALE D’UNE LOI BINOMIALE

(a) Quelle est alors la nouvelle valeur de µ ?Rep : µ ≃ 105, 34.

(b) Quelle est alors, dans les conditions de la question précédente, la probabilité que labouteille contienne moins d’un litre ?

Rep : ≃ 0, 0038.

(c) La législation n’étant plus respectée, déterminer µ et σ afin qu’il y ait moins de0,1% de bouteilles de moins d’un litre et moins de 1% de bouteilles qui débordent.

Idée : µ et σ sont solutions d’un système d’inéquations. . .

Venons-en au but de notre chapitre :

VII Approximation normale d’une loi binomiale

Tout d’abord le gros théorème :

Soit Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p ).

Si Zn est la variable aléatoire définie par Zn =Xn − np√np(1 − p)

alors, pour tous réels a et b

tels que a < b on a :

limn→+∞

P (a 6 Zn 6 b) =∫ b

a

1√2π

e− t2

2 dt.

Théorème 12 (Moivre-Laplace (Admis))

Ce théorème justifie que sous certaines conditions sur les paramètres n et p, la probabilité d’unévénement aléatoire associé à une loi binomiale peut être approché par une probabilité d’unévénement aléatoire associé à une loi normale centrée réduite.

On dit qu’il s’agit d’une approximation d’une loi binomiale par une loi normale.

Vous reconnaîtrez que c’est alors beaucoup plus simple ! Sinon, comparez les deux calculs ci-dessous !

P (m 6 X 6 n) =n∑

k=m

(n

k

)pk(1 − p)n−k et P (a 6 Z 6 b) =

1√2π

∫ b

ae− x2

2 dt

= Φ(b) − Φ(a).

L’un est une somme dont chaque terme est lourd à calculer et sensibles aux erreurs d’arrondis,l’autre est une simple différence entre deux images par une fonction.

Le graphique ci-dessous représente l’approximation d’une loi B(20 ; 0, 5 ) par la densité de la loinormale correspondante :

µ = 20 × 0, 5 = 10 et σ =√

20 × 0, 52 =√

5.

Les deux dernières conditions sont respectées :

np = 10 > 5,

n(1 − p) = 10 > 5.



XIII. Lois Continues VII. APPROXIMATION NORMALE D’UNE LOI BINOMIALE

En pratique, on fera cette approximation dès que les conditions de la proposition (13) serontremplies ⌊13⌋

La loi binomiale B(n, p) peut être approchée par la loi normale N(

np,√

np(1 − p))

dèsque :

n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5.

Proposition 13

Exemple 11 : Un revendeur de matériel photographique désire s’implanter dans une galeriemarchande.Il estime qu’il pourra vendre 40 appareils photo par jour et les ventes sont deux à deuxindépendantes. Une étude lui a montré que, parmi les différentes marques disponibles, lamarque A réalise 38,6 % du marché.On note X la variable aléatoire qui, un jour donné, associe le nombre d’appareils de marqueA vendus ce jour-là.

— On peut assimiler ces 40 ventes indépendantes à un schéma de Bernoulli où le succèsest l’événement « l’appareil de marque A est vendu ». Alors, la variable aléatoire X suitla loi binomiale de paramètres : n = 40 et p = 0, 386.

— La probabilité que, sur 40 appareils vendus ce jour, 10 soient de la marque A vaut :

P (X = 10) =

(40

10

)× 0, 38610 × 0, 61430 ≃ 0, 03.

— On a aussi E(X) = np = 40 × 0, 386 = 15, 44 et σ =√

np(1 − p)

=√

40 × 0, 386 × 0, 614 ≃ 3, 08

.

— Les conditions de la proposition (13) sont remplies. On peut donc approcher X parla loi normale Y de paramètres µ = 15, 44 et σ = 3, 08.

— La probabilité de l’événement : « un jour donné, le nombre d’appareils de marque Avendus est compris entre 15 et 25 » vaut alors :

P (15 6 Y 6 25) ≃ 0, 56.

⌊13⌋. En terminale S, ce sera presque toujours le cas mais il faudra le dire avant toute approximation !



XIII. Lois Continues VIII. UN PEU D’HISTOIRE ET DE CULTURE

Exemple 12 : On lance 180 fois un dé à jouer et on note X la variable aléatoire qui représentele nombre d’apparition du 6. En utilisant l’approximation normale calculer au millième lesprobabilités suivantes :

1. P (X 6 20). 2. P (X > 40). 3. P (X 6 20 ou X > 40).

Il faut d’abord calculer les paramètres de la loi normale correspondante à la loi binomiale

B(

180;1

6

):

E(X) = np = 180 × 1

6= 30 et σ(X) =

√

180 × 1

6× 5

6= 5.

Et s’assurer que les conditions de la proposition (13) sont vérifiées :

np = 30 > 5 et n(1 − p) = 150 > 5.

A l’aide d’une calculatrice, on trouve alors :

1. P (X 6 20) ≃ 0, 029.

2. P (X > 40) ≃ 0, 018.

3. P (X 6 20 ou X > 40) = P (X 6 20) + P (X > 40) ≃ 0, 047.

Si on souhaite utiliser une table, on considère alors la loi normale centrée réduite Z =X − 30

5et on obtient de même :

1. P (X 6 20) = P (Z 6 −1, 9) = Φ(−1, 9) = 1 − Φ(1, 9) ≃ 0, 029.

2. P (X > 40) = P (Z > 2, 1) = 1 − Φ(2, 1) ≃ 0, 018.

3. P (X 6 20 ou X > 40) = la somme des deux précédentes. . .

VIII Un peu d’histoire et de culture

VIII.1 Généralités mathématiques

La loi normale est une loi théorique : c’est une idéalisation mathématique qui ne se rencontrejamais exactement dans la nature (pas plus qu’un cercle. . . ). Néanmoins, de nombreuses dis-tributions réellement observées s’en rapprochent de manière assez flagrante en présentant cetteforme typique en « cloche ».

Un théorème très important en statistique et probabilité, le théorème central limite (hors pro-gramme au lycée), montre la place prépondérante que cette loi occupe dans la modélisation dephénomènes naturels.

La loi normale est aussi appelée loi de Gauss, ou loi de Laplace, ou encore de Laplace-Gauss.Gauss et Laplace trouvèrent tous les deux cette loi, indépendamment l’un de l’autre, et par desapproches bien distinctes et différentes :

— Gauss introduisit la loi normale à propos d’un problème d’estimation de paramètres, pourun problème dans un contexte complètement étranger à celui du calcul des probabilités




(il s’intéressait alors au mouvement des corps célestes, et son but était de palier, dans unecertaine mesure, à l’imprécision des appareils d’observation et de mesure).

— Laplace , quant à lui, était bien dans le cadre du calcul de probabilités telles qu’ellesétaient perçues et développées à son époque.Laplace prolongea les travaux de De Moivre sur l’approximation de la loi binomiale. Laloi normale est ainsi vue comme une approximation (une limite plus précisément) d’uneexpérience modélisée par une loi binomiale ⌊14⌋.

VIII.2 Historique

Au XVIIème siècle, les jeux de hasard, alors très en vogue, ont poussé les mathématiciens às’intéresser aux calculs de probabilités. La loi normale est une loi de probabilité qui a aussi sonorigine dans ce contexte.

Chronologiquement, les étapes marquantes de l’essor de la loi normale sont

— Abraham de Moivre (1667-1754) démontre en 1733 que la loi normale est la limite de la

loi binomiale pour n infiniment grand et p =1

2.

— Pierre-Simon de Laplace ⌊15⌋ généralise en 1772 le résultat de De Moivre pour p 6= 1

2c.-à-d. pour toutes les lois binomiales.

— Carl Friederich Gauss ⌊16⌋ parvient au même résultat que De Laplace en s’intéressant à ladistribution des erreurs touchant les observations astronomiques.

— Adolphe Quételet (1796-1874), astronome belge a été le premier à appliquer cette distri-bution à des données sociales et biologiques. Pour la petite histoire, il a rassemblé lesmesures du tour de poitrine de soldats écossais et du tour de taille de soldats français, eta constaté que les deux ensembles de mesures présentaient une distribution approximati-vement normale.Quételet interprétait la moyenne ces distributions « normales » comme l’idéal à atteindrepar la nature, et les observations situées de part et d’autre de cette moyenne comme deserreurs par rapport à cette « normalité ». Cette interprétation ne lui a pas survécu.

— Francis Galton (1822-1911) affirme quant à lui l’omniprésence de la loi normale dans lanature, physique comme biologique. C’est par ailleurs lui qui a donné à la distributionnormale un rôle central dans la théorie sur les facultés mentales. Galton (cousin de Darwin)voulait justifier la transmission des capacités intellectuelles par l’hérédité pour permettrel’amélioration de l’espèce humaine (il est par ailleurs considéré comme le fondateur del’eugénisme) mais là, on s’éloigne des mathématiques.

— Jacques Hadamard (1865-1963) démontre la possibilité et la nécessité, en s’appuyant surla loi normale, de gérer scientifiquement la qualité de la production industrielle.

⌊14⌋. cf. le théorème (12) de Moivre-Laplace qui, lui, est bien dans les programmes actuels de classe determinale)⌊15⌋. Laplace (1749-1827) est un mathématicien, astronome et physicien français.

Laplace est l’un des principaux scientifiques de la période napoléonienne. Il a apporté des contributionsfondamentales dans différents champs des mathématiques, de l’astronomie et de la théorie des probabilités. Ila été l’un des scientifiques les plus influents de son temps, notamment par son affirmation du déterminisme.« Sire, je n’ai pas eu besoin de cette hypothèse ! », répondit-il à Napoléon Bonaparte.

En 1799 il est nommé ministre de l’Intérieur sous le Consulat. Napoléon 1er lui confère en 1808 le titre decomte de l’Empire. Il est nommé marquis en 1817, après la restauration des Bourbons.⌊16⌋. Gauss (1777-1855) est un mathématicien, astronome et physicien allemand.

Surnommé « le prince des mathématiciens », il est considéré comme l’un des plus grands mathématiciensde tous les temps.




C’est le début de l’étude statistique des systèmes de production.

— Emile Borel ⌊17⌋ donna une généralisation des conditions de réalisation d’une distributionnormale : « Lorsque la réalisation d’une variable quantitative X est sous la dépendanced’une cause prépondérante constante, et d’un ensemble de causes perturbatrices secon-daires nombreuses et indépendantes, et dont les effets sont additifs, petits, symétriques etaratoires, la distribution de cette variable tend vers la loi normale et l’approximation estd’autant meilleure que le nombre de causes secondaires est grand. »

De nos jours, on estime que les variables qui suivent la loi normale sont vraisemblablementbeaucoup moins nombreuses que ce que l’enthousiasme de Galton avait pu suggérer.

Les séries statistiques expérimentales qui se rapprochent le plus de la loi normale concernentdes variables (poids, dimensions,. . . ) observées dans l’industrie pour les fabrications en grandeserie.

En biométrie, un certain nombre de variables quantitatives se distribuent selon la loi normale :taille, poids, rythme cardiaque, périmètre crânien, diamètre des hématies,. . .

La généralisation de Borel s’applique ici très bien à l’observation des données biologiques oumédicales : la taille, par exemple, dépend de très nombreux facteurs, les uns héréditaires, lesautres dus au milieu (alimentation, mode de vie, conditions de chauffage des habitations, . . . ),chacun de ces facteurs agissant indépendamment et pour une petite part.

⌊17⌋. Félix Édouard Justin Émile Borel (1877-1956) est un mathématicien, professeur à la Faculté des sciencesde Paris, spécialiste de la théorie des fonctions et des probabilités, membre de l’Académie des sciences, ainsiqu’un homme politique français, député et ministre. Ses actions pour la Société des Nations et au sein de sonComité fédéral de Coopération européenne font de lui un des précurseurs de l’idée européenne.

Dans une intervention à l’Académie des Sciences, Émile Borel s’en prend au préjugé consistant à croireirrationnel de prendre un billet de loterie. L’achat du billet ne change pas réellement l’existence de celui qui leprend, explique-t-il, tandis que s’il gagne - bien qu’il ait très peu de chance que cela se produise - cette vie ensera changée du tout au tout. Il ne s’agit au fond que d’une sorte de version en modèle réduit du pari de Pascal,mais insistant sur le fait que l’utilité d’un aléa ne se confond pas en général avec son espérance mathématique.

Au cours de la même séance, il montre qu’il est tout aussi rationnel de payer pour acheter du risque (casdu billet de loterie) que de payer pour en éviter (cas de l’assurance).



Fiche no 13: Variables aléatoires discrètes

Variable aléatoire sur Ω : X : Ω Rωi xi

Loi de probabilité de X

X xi . . .

P (X = xi) pi . . .

E(X) =n∑

i=1

pixi

V (X) =i=n∑

i=1

pi

(xi − E(X)

)2

=n∑

i=1

pix2i − E2(X)

σ(X) =√

V (X)

— Épreuve de Bernoulli : expérience aléa-toire ne présentant que deux issues pos-sibles dont l’une, S, appelée succès, estde probabilité p.

—Schéma de Bernoullide paramètre n et p :

répétition de n

épreuves de Bernoulli identiques et indé-pendantes de paramètre p.

Sp

S1 − p

X 0 1

P (X = k) 1 − p p

La loi de probabilité de X associant le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli à nrépétitions suit la loi binomiale de paramètre n et p : X B (n; p).

Sp

SpSp

S1 − p

S1 − p

S

1 −p

Probabilité d’obtenir k succès :

P (X = k) =

(n

k

)pk(1 − p)n−k.

E(X) = np

V (X) = np(1 − p)

σ(X) =√

np(1 − p)

n répétitions

Deux variables aléatoires Xet Y sont indépendantes

⇐⇒ P((X = xi) ∩ (Y = yj)

)= P (X = xi) × P (Y = yj),

∀ i = 1, . . . , nj = 1, . . . , p.

Fic

heno

14:LoisContinues

Var

iabl

eal

éato

ire

cont

inue

:X

:R

RI

⊂R

X(I

)

fes

tun

ede

nsit

éde

prob

abili

tésu

rI

(Iin

terv

alle

deR

)

⇐⇒

•∀x

∈I,

f(x

)>

0

•fes

tco

nti

nu

esu

rI.

•∫ If

(t)dt

=1.

Xsu

itu

ne

loi

de

pro

bab

ilit

éP

dede

nsit

éf

sur

I⇐

⇒P

(a6

X6

b)=∫

b

af

(t)dt

,

∀[a

;b]⊂

I.

Oa

bx

P(a6

X6

b)

P(X

∈I)

=∫ I

f(t

)dt

=1

1u

.a

Cf Fo

ncti

onde

répa

rti-

tion

:

Φ(x

)=

P(X6

x)

=⇒

P(a6

X6

b)=

Φ(b

)−Φ

(a).

E(X

)=∫

b

atf

(t)dt

V(X

)=∫

b

a(t

−E

(X))

2f

(t)dt

.

P(a6

X6

a)

=P

(a)

=0

P(a6

X6

b)=

P(a

<X6

b)

=P

(a6

X<

b)

=P

(a<

X<

b).

P( a6

X6

b)=

1−

P(a6

X6

b).

Loi

unifo

rme

:

X

U( [a;b

])⇐

⇒sa

dens

ité

est

cons

tant

esu

r[a

,b]

etég

ale

à1

b−

a.

⇐⇒

P(α6

X6

β)

=∫

β

α

1

b−

adx

=β

−α

b−

a

∀α,

β∈

[a;b

].

Oa

bE

(X)

P(a6

X6

b)=

1

1

b−

a

1

b−

aL

apr

obab

ilité

nedé

pend

que

dela

long

ueur

del’i

nter

valle

.

E(X

)=

a+

b

2V

(X)

=(b

−a)2

12.

Loi

expo

nent

ielle

depa

ram

ètre

λ>

0:

P(a6

X6

b)=∫

b

aλ

e−λ

tdt

=e−

λa

−e−

λb

∀(a;

b)∈( R

+

) 2.

Oa

b

P(a6

X6

b)

λ

E(X

)=

1 λ.

P(X6

t)=

1−

e−λ

t .

Une

loi

expo

nent

ielle

mod

élis

ela

duré

ede

vie

d’un

phén

omèn

esa

nsm

émoi

re,

ousa

nsvi

eilli

ssem

ent

:

P(X>

t)

( X>

t+s)

=P( X>

s) .

En

d’au

tres

term

es,

lefa

itqu

ele

phén

omèn

eai

tdu

répe

ndan

tun

tem

pst

nech

ange

rien

àso

nes

péra

nce

devi

eà

part

irdu

tem

pst.

Fic

heno15:Loi

norm

ale

X

N( µ

;σ

2)

⇐⇒

∀(a;

b)∈

R2,

P(a6

X6

b)=

1

σ√

2π

∫b

ae−

1 2(t

−µ

σ)2

dt

µ−

3σµ

+3σ

µ−

2σµ

+2σ

µ−

σµ

+σ

µx

ab

Φ(x

)

1

σ√

2π

P(µ

−σ6

X6

µ+

σ)

≃68

,3%

P(µ

−2σ6

X6

µ+

2σ)

≃95

,4%

P(µ

−3σ6

X6

µ+

3σ)

≃99

,7%

Fonc

tion

deré

part

itio

n:

Φ(x

)=

P(X6

x)

P(a6

X6

b)=

Φ(b

)−

Φ(a

)et

P(X>

a)

=1

−Φ

(a)

P(X6

−a)

=1

−Φ

(a)

Loi

norm

ale

Loi

norm

ale

cent

rée

rédu

ite

X

N( µ

;σ

2)

⇐⇒

Z=

X−

µ

σ

N(0

;1)

E(X

)=

µet

σ(X

)=

σE

(Z)

=0

etσ

(Z)

=1.

∀α∈]

0;1

[,∃

uα

∈R

∗ +te

lqu

e:

P(µ

−u

ασ6

X6

µ+

uασ

)=

1−

α.

P(−

uα6

Z6

uα)

=1

−α

u0,

05≃

1,96

et

u0,

01≃

2,58

Àre

mpl

acer

par

1po

urun

elo

ice

ntré

eré

duit

e

x−∞

µ+

∞f

′ µ,σ

(x)

+0

−

f µ,σ

1

σ√

2π

00

Den

sité

deL

apla

ce-G

auss

:

f µ,σ

(x)

=1

σ√

2πe−

1 2(x

−µ

σ)2

.

SoitX

nun

eva

riab

leal

éato

ire

suiv

ant

lalo

ibi

nom

iale

B(n

;p).

SiZ

nes

tla

vari

able

aléa

toir

edé

finie

par

Zn

=X

n−

np

√n

p(1

−p)

alor

s,

pour

tous

réel

sa

etb

tels

que

a<

bon

a:

lim

n→

+∞

P(a6

Zn6

b)=∫

b

a

1 √2π

e−t2 2

dt.

Théorèm

e14

(Moi

vre-

Lap

lace

(Adm

is))

Con

diti

ons

d’ap

plic

atio

nde

Moi

vre-

Lap

lace

:

n>

30,

np>

5et

n(1

−p)>

5(M

V)

Chapitre

XIV

Fluctuation d’échantillonnage -Estimation

Dans une population, on étudie un caractère donné présent dans cette population. On dis-tingue les deux situations suivantes :

— 1ère situation : On connaît la proportion effective p du caractère dans la populationtotale.On prélève un échantillon de taille n et on calcule la fréquence observée fobs . On recom-mence l’épreuve un grand nombre de fois pour constater que ces fréquences observées fobs

varient en étant « suffisamment proches » de p dans 95% des cas, par exemple.On est ici dans le domaine de l’échantillonnage .

— 2ème situation : On ne connaît pas la proportion effective p du caractère dans lapopulation totale.On effectue donc un sondage sur un échantillon de taille n dans cette population. Souscertaines hypothèses sur n et p, nous pouvons faire une estimation de la proportion p parintervalle de confiance.On est ici dans le domaine de l’estimation .

SommaireI Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

I.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466I.2 Intervalle de fluctuation d’une fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

En classe de Seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466En classe de Première . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

I.3 Intervalle de fluctuation asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468I.4 Application à la prise de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471I.5 Continuité entre la seconde et la terminale . . . . . . . . . . . . . . . . 473

II Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474II.1 Intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474II.2 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477II.3 Comparaison de deux échantillons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479Fiche no 16 : Fluctuation d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . 480Fiche no 17 : Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

465

XIV. Fluctuation d’échantillonnage - Estimation I. ÉCHANTILLONNAGE

I Échantillonnage

I.1 Introduction

On considère une population (par exemple la population française) et un certain caractèreétudié sur les individus de cette population (exemple : le caractère « être de groupe sanguinA+ »).

On connaît la proportion p d’individus possédant le caractère dans l’ensemble de la population(ici, 38% de A+ en France).

Quand on prélève au hasard un échantillon de la population, la proportion fobs d’individuspossédant le caractère étudié (appelée fréquence observée) n’est bien sûr pas nécessairementla même que pour un autre échantillon : c’est la fluctuation d’échantillonnage.

Néanmoins, lorsque les échantillons sont de « grande » taille, les différentes valeurs de fobs nesont « pas trop éloignées » de la proportion réelle p. Il y a une tendance à la « stabilisation »autour de cette valeur. On définit alors la notion d’intervalle de fluctuation.

Et inversement, si on dispose d’un échantillon dont la fréquence « nous paraît trop éloignée »de p, ne pouvant remettre en cause « l’honnêteté du hasard », ne peut-on pas alors être en droitde « suspecter cet échantillon », de se demander s’il est vraiment le fruit du hasard ?. . .

Nous allons développer toutes ces idées dans cette section.

Population

On connaît la proportion pd’individus possédant le

caractère étudié.

Échantillon

On sait évaluer la probabilitéque fobs (la proportion

d’individus ayant le caractèreétudié dans cet échantillon)

soit dans l’intervalle defluctuation.

On prend un échantillon detaille n de la population par

tirage au sort

p est connue.On détermine un

intervalle defluctuation.

I.2 Intervalle de fluctuation d’une fréquence

Soit p la proportion des individus possédant le caractère étudié dans l’ensemble de la population.

En classe de Seconde

En Seconde, lorsqu’on prélève au hasard de multiples échantillons de taille n > 30 d’unepopulation, on remarque que si 0, 2 6 p 6 0, 8, alors dans environ 95% des cas la fréquence

observée fobs se situe entre p − 1√n

et p +1√n

.

On a donc défini, en première approximation, l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% autourde p :

In =

[p − 1√

n; p +

1√n

].

Remarque : limn→+∞

In =

p.




Exemples 1 :1. En France, la proportion de personnes de groupe sanguin A+ est 38%.

Comme 0, 2 6 0, 38 6 0, 8, l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de lafréquence des personnes de groupe A+ dans les échantillons de taille 100 est

I100 =

[0, 38 − 1√

100; 0, 38 +

1√100

]

= [0, 37 ; 0, 39 ].

2. Dans le monde, la proportion de gauchers est 12%.Comme 0, 12 6 0, 2, le résultat de seconde ne donnera pas un intervalle de fluctuationau seuil de 95% de la fréquence des gauchers dans les échantillons de taille 100 assezfiable. Il va falloir faire mieux.

En classe de Première

Prendre au hasard un échantillon de taille n revient à prendre au hasard n individus de manièreindépendante. Chaque individu peut posséder le caractère étudié (succès, de probabilité p) ounon.

La variable aléatoire Xn qui donne le nombre d’individus possédant le caractère dans l’échan-tillon suit donc une loi binomiale B(n ; p ) et la fréquence d’apparition du caractère dans l’échan-

tillon estXn

n. On la note Fn.

À l’aide de la calculatrice, pour une variable aléatoire suivant une loi B(n ; p ), on peut trouverdeux entiers a et b tels que :

— a est le plus petit entier tel que P (Xn 6 a) > 0, 025,

— et b est le plus petit entier tel que P (Xn 6 b) > 0, 975.

Ainsi, on a P (a 6 Xn 6 b) > 0, 95 c.-à-d. P

(a

n6 Fn 6

b

n

)> 0, 95.

L’intervalle de fluctuation à 95% autour de p considéré en première était donc :

In =

[a

n;

b

n

]avec P

(Fn ∈ In

)> 0, 95.

Remarque : Il n’y a plus de contraintes sur p et on a toujours limn→+∞

In =p

.

Exemple 2 : Reprenons l’ exemple (1) .

La variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètre n = 100 et p = 0, 12.

Avec la calculatrice, on trouve a = 6 et b = 19.

L’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des gauchers dans les échantillons

de taille 100 est alors I100 =[

6

100;

19

100

]= [0, 06 ; 0, 19 ].




C’est mieux qu’en seconde mais on eut faire encore mieux grâce au théorème de Moivre-Laplace. ⌊1⌋

I.3 Intervalle de fluctuation asymptotique

L’intervalle de fluctuation vu en Première n’est pas très pratique à obtenir. Or, on a vu précé-demment qu’une loi binomiale peut-être approchée par une loi normale grâce au théorème deMoivre-Laplace

Nous allons donc, dans ce paragraphe, utiliser la loi normale pour établir un « nouvel » intervallede fluctuation. Nous énoncerons, et démontrerons, un théorème plus général que le théorèmede Seconde ⌊2⌋.

Suivons le même raisonnement et considérons Xn la variable aléatoire qui donne le nombred’individus possédant le caractère dans l’échantillon n.

— Xn suit la loi binomiale B(n, p) qui peut être approchée par la loi normale d’espérance

np et d’écart-type σ =√

np(1 − p) d’après le rappel (1) .

Soit Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p ).

Si Zn est la variable aléatoire définie par Zn =Xn − np√np(1 − p)

alors, pour tous réels a

et b tels que a < b on a :

limn→+∞

P (a 6 Zn 6 b) = P (a 6 Z 6 b) =∫ b

a

1√2π

e− t2

2 dt.

où Z suit la loi normale centrée réduite N

(0 ; 1

).

Rappels 1 (Moivre-Laplace)

— La fréquence d’apparition du caractère dans l’échantillon est Fn =Xn

n.

Or, d’après le rappel (2)

Soient Z une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite et α un réel del’intervalle ]0 ; 1 [.Il existe un unique réel strictement positif uα tel que :

P(

− uα 6 Z 6 uα

)= 1 − α.

Rappels 2

⌊1⌋. On est en Terminale S quand même !⌊2⌋. qui avait été admis. . .




Pour une variable aléatoire X suivant une loi normale N (µ ; σ ) c.-à-d. telle que Z =X − µ

σsuive une loi normale centrée réduite, on a :

P (−uα 6 Z 6 uα) = P

(−uα 6

X − µ

σ6 uα

)

= P (µ − uασ 6 X 6 µ + uασ) .

c.-à-d. P (µ − uασ 6 X 6 µ + uασ) = 1 − α.

Pour α = 5%, on trouve, à la calculatrice, uα ≃ 1, 96 c.-à-d.

P (µ − 1, 96σ 6 X 6 µ + 1, 96σ) ≃ 95%.

En considérant une loi normale de paramètres µ = np et σ =√

np(1 − p), la relation précédentes’écrit :

P(

np − 1, 96√

np(1 − p) 6 Xn 6 np − 1, 96√

np(1 − p))

≃ 95%.

Faisons intervenir Fn =Xn

n:

np − 1, 96√

np(1 − p) 6 Xn 6 np − 1, 96√

np(1 − p)

⇐⇒np − 1, 96

√np(1 − p)

n6

Xn

n6

np − 1, 96√

np(1 − p)

n

⇐⇒ p − 1, 96

√p(1 − p)

n6 Fn 6 p + 1, 96

√p(1 − p)

n.

On obtient donc : P

p − 1, 96

√p(1 − p)

n6 Fn 6 p + 1, 96

√p(1 − p)

n

≃ 95%.

L’intervalle de fluctuation à 95% autour de p sera donc, en terminale :

In =

p − 1, 96

√p(1 − p)

n; p + 1, 96

√p(1 − p)

n

.

Résultat que traduit le théorème ci-dessous dans le cas général :

Soit p un nombre réel fixé de l’intervalle ]0 ; 1 [ et n un entier non nul.

Soient Xn une variable aléatoire suivant la loi B(n ; p ), Fn =Xn

nla variable aléatoire

« fréquence du nombre de succès » et α ∈]0 ; 1 [.On appelle intervalle de fluctuation asymptotique de la variable fréquence Fn au seuilde 1 − α, l’intervalle In défini par :

In =

p − uα

√p(1 − p)

n; p + uα

√p(1 − p)

n

.

Alors, on a :lim

n→+∞P(Fn ∈ In

)= 1 − α.

Théorème 1




Le théorème exprime que, pour n assez grand, la variable fréquence Fn prend ses valeurs ⌊3⌋

dans l’intervalle In avec une probabilité proche de 1 − α.

On a encore et toujours limn→+∞

In =p

.

Remarque : Comme toujours, on admettra que pour n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5, on peutapprocher P (Fn ∈ In) par 1 − α.

Exemple 3 : Dans une chaîne de production fonctionnant normalement, 6 % des pièces pro-duites présentent un défaut de fabrication. Le responsable de la chaîne souhaite savoir s’il estnécessaire de procéder à un entretien de la chaîne. Pour cela, il prélève au hasard 100 pièces.

Comme n = 100 > 30, n × p = 100 × 0, 06 = 6 > 5 et n(1 − p) = 94 > 5, l’intervalle defluctuation au seuil de 95 % est donné par :

I100 =

0, 06 − 1, 96

√0, 06 × 0, 94

100; 0, 06 + 1, 96

√0, 06 × 0, 94

100

= [ 0, 015 ; 0, 107 ].

Depuis le chapitre précédent on sait que u0,05 ≃ 1, 96 et u0,01 ≃ 2, 58, d’où :

Pour une variable aléatoire Xn suivant une loi binomiale B(n ; p ), l’intervalle de fluctuationasymptotique :

— au seuil de 95% est In =

p − 1, 96

√p(1 − p)

n; p + 1, 96

√p(1 − p)

n

.

— au seuil de 99% est In =

p − 2, 58

√p(1 − p)

n; p + 2, 58

√p(1 − p)

n

.

Corollaire 2

Exercice 1 (Nouvelle-Calédonie 2013) : Partie C

1. . . .Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu’une pipette soit non-conforme estp = 0, 05.

2. On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille n, où n estun entier naturel supérieur ou égal à 100. On suppose que le stock est assez importantpour considérer ces tirages comme indépendants.Soit Yn la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille n associe le nombre depipettes non-conformes de l’échantillon.

(a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire Yn ?

(b) Vérifier que n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5.

(c) Donner en fonction de n l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %de la fréquence des pipettes non-conformes dans un échantillon.

⌊3⌋. fluctue




I.4 Application à la prise de décision

À l’aide d’un échantillon de taille n, on souhaite vérifier si on peut raisonnablement penserque la proportion p de la population est bien celle annoncée. Considérant que les conditionsd’approximation sont vérifiées, on adopte la procédure suivante :

1. On détermine l’intervalle In de fluctuation de la fréquence au seuil de 95 %(ou de 99%. . . ).

2. On calcule la fréquence fobs réelle dans l’échantillon.

3. On conclut :

— si fobs ∈ In, on accepte l’hypothèse selon laquelle p est bien la proportion de lapopulation.

— si fobs /∈ In, l’hypothèse faite sur p est rejetée(au risque d’erreur ⌊4⌋de 5% (ou de 1%)).

Méthode 1 (Règle de prise de décision)

Dans les situations concrètes, très souvent, les tirages sont effectués sans remise. La taille deséchantillons considérés étant souvent faible par rapport à la taille de la population totale, onpeut assimiler les tirages réalisés à des tirages avec remise, et la méthode ci-dessus peut alorss’appliquer.

De façon générale, intuitivement, on pourrait penser que l’on a intérêt à abaisser le seuil de rejetd’une hypothèse, de façon à n’avancer que des hypothèses très fiables. Mais lorsqu’on fait cela,on augmente les chances de commettre une autre, erreur : celle de ne pas rejeter l’hypothèsealors qu’elle est fausse. . .

Ainsi, la décision que l’on doit prendre est un compromis adapté à la situation.

On peut schématiser cette remarque ainsi :

— Erreur de type I : rejeter l’hypothèse alors qu’elle est vraie ⇐⇒ « condamner un inno-cent ».

Intervalle desprésumés innocents

b

innocent

— Erreur de type II : accepter l’hypothèse alors qu’elle est fausse ⇐⇒ « laisser un coupableen liberté ».

Intervalle desprésumés innocents

b

coupable

⌊4⌋. On parle de rejet à tort.




Exemple 4 : On reprend l’ exemple (3) précédent. Si le responsable trouve 9 pièces dé-fectueuses, doit-il procéder à un entretien de sa chaîne ? Même question si 12 pièces sontdéfectueuses.

— 9 pièces correspondent à une fréquence de9

100= 0, 09. Or, 0, 09 ∈ [ 0, 015 ; 0, 107 ] donc,

on peut considérer, au seuil de 95 % que la chaîne fonctionne normalement.

— 12 pièces correspondent à une fréquence de12

100= 0, 12. Or, 0, 12 /∈ [ 0, 015 ; 0, 107 ] donc,

on peut considérer, au seuil de 95 % que la chaîne doit être réparée.

Exemple 5 (Classique) : Dans un casino, il a été décidé que les « machines à sous » doiventêtre réglées sur une fréquence de gain du jouer de p = 0, 6.

Une fréquence inférieure est supposée faire fuir le client et une fréquence supérieure ruiner lecasino.

Trois contrôleurs différents vérifient une même machine.

Le premier a joué 50 fois et gagné 2 fois, le deuxième a joué 120 fois et gagné 14 fois et letroisième a joué 400 fois et gagné 30 fois.

En utilisant à chaque fois l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95%, quelle décisiona pu rendre le contrôleur ?

— Premier contrôleur : n = 50 > 30 mais np = 50 × 0, 06 = 3 < 5 donc les conditionsd’approximation ne sont pas réunies. On ne peut rien dire.

— Deuxième contrôleur : n = 120 > 30 ; np = 7, 2 > 5 ; n(1 − p) = 112, 8 > 5 : lesconditions sont réunies.

I120 =

[0, 06 − 1, 96 ×

√0, 06 × 0, 94√

120; 0, 06 + 1, 96 ×

√0, 06 × 0, 94√

120

]≃ [0, 0175 ; 0, 1025].

La fréquence observée est f2 =14

120≃ 0, 1167 /∈ I120. Le contrôleur est conduit à rejeter

l’hypothèse que p = 0, 06 (il a trop souvent gagné).

— Troisième contrôleur : n = 400 > 30 ; np = 24 > 5 ; n(1 − p) = 376 > 5 : lesconditions sont réunies.

I400 =

[0, 06 − 1, 96 ×

√0, 06 × 0, 94√

400; 0, 06 + 1, 96 ×

√0, 06 × 0, 94√

400

]≃ [0, 0367 ; 0, 0833].

La fréquence observée est f3 =30

400= 0, 075 ∈ I400. Le contrôleur est conduit à accepter

l’hypothèse que p = 0, 06.

Exercice 2 (Publicité mensongère, ou non ?) : Une publicité affirme qu’on a une chancesur dix de gagner à un certain jeu.

Au cours d’une étude portant sur un échantillon aléatoire de 400 joueurs, on a compté 28gagnants.




1. Vérifier que les trois conditions d’application de la règle de prise de décision sont remplies.

2. Commenter l’annonce faite en effectuant une prise de décision au seuil de risque de 5%.

3. Même question au seuil de risque de 1%.

4. Cherchons le seuil où la décision « bascule » :

(a) Démontrer que les résultats de cette étude sont en accord avec l’annonce publicitairelors d’une prise de décision au seuil de risque α si, et seulement si uα > 2.

(b) En déduire la plus grande valeur ⌊5⌋de α (à 0,1% prés) pour laquelle les résultats decette étude sont en accord avec l’annonce publicitaire lors d’une prise de décisionau seuil α.

I.5 Continuité entre la seconde et la terminale

L’intervalle asymptotique au seuil de 95% est contenu dans l’intervalle de fluctuation auseuil de 95% introduit en seconde c.-à-d.

p − 1, 96

√p(1 − p)

n; p + 1, 96

√p(1 − p)

n

⊂

[p − 1√

n; p +

1√n

].

Proposition 3

Preuve: Il suffit simplement de montrer que, pour tout p de l’intervalle ]0 ; 1 [ :

1, 96

√p(1 − p)

n6

1√n

⇐⇒ 1, 96√

p(1 − p) 6 1

Or, la courbe représentative de la fonction x 7−→ x(1 − x) est une parabole de maximum 0, 25atteint pour x = 0, 5.

D’où, ∀p ∈]0 ; 1 [, 0 6 p(1 − p) 6 0, 25 =⇒√

p(1 − p) 6 0, 5 puis

1, 96√

p(1 − p) 6 1, 96 × 0, 5 = 0, 98 6 1.

Le résultat est démontré.

L’intervalle de fluctuation de seconde est plus simple a trouver et donnera donc une premièreestimation si, et seulement si les conditions 0, 2 6 p 6 0, 8 sont vérifiées et de même pourl’intervalle asymptotique. Il est cependant moins fin. On ne peut pas tout avoir !

⌊5⌋. Cette valeur est appelée degré de signification lors d’une prise de décision.



XIV. Fluctuation d’échantillonnage - Estimation II. ESTIMATION

II Estimation

Dans cette partie, on se pose la question inverse : on souhaite connaître la proportion p desindividus d’une population possédant un certain caractère ⌊6⌋.

Or, pour des raisons financières, matérielles, etc. . . . il n’est pas toujours facile, ni même possible,de tester tous les individus ⌊7⌋. Le problème de l’estimation de p se pose donc.

On prélève alors « au hasard » un échantillon de cette population ⌊8⌋ et on estime p à partir dela fréquence fobs du caractère observée sur l’échantillon.

Bien sûr cette fréquence varie d’un échantillon à l’autre. . . Nous ne pourrons donc pas donnerune valeur précise de p mais une « fourchette », un intervalle de confiance centré autour de

Fn =Xn

nla variable aléatoire donnant la fréquence du nombre de succès qui est naturellement

l’estimateur désigné de p.

Population

On ne connaît pas la proportionp d’individus possédant le


Échantillon

On calcule la fréquence fobs

d’individus possédant lecaractère étudié sur un

échantillon.

À partir des données d’unéchantillon de taille n

sélectionné aléatoirement, onestime p à l’aide d’un intervalle

de confiance.

p est inconnue.On détermine un

intervalle de confiance.

Nous allons voir dans ce paragraphe comment obtenir un tel intervalle.

II.1 Intervalle de confiance

Soit Xn une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n ; p ) où p ∈]0 ; 1 [ est la pro-portion inconnue d’apparition d’un caractère.

Soit Fn =Xn

n, la variable aléatoire donnant la fréquence du nombre de succès.

Alors, pour n assez grand, p appartient à l’intervalle

[Fn − 1√

n; Fn +

1√n

]avec une pro-

babilité supérieure ou égale à 0,95 :

P

(Fn − 1√

n6 p 6 Fn +

1√n

)> 0, 95.

Théorème 4

Le but étant d’estimer p, l’intervalle de confiance doit pouvoir être calculé en pratique à partirdes réalisation de Fn. Il est donc important qu’il ne dépende pas du paramètre inconnu p.

⌊6⌋. par exemple, proportion des pièces défectueuses dans une production, intentions de vote pour un référen-dum, . . . .⌊7⌋. par exemple, on ne peut pas tester le bon fonctionnement de toute la production d’une usine de fusées de

feux d’artifice !).⌊8⌋. On fait un sondage !




Preuve: Posons In =

[p − 1√

n; p +

1√n

].

Si Fn ∈ In c.-à-d. p − 1√n6 Fn 6 p +

1√nalors − 1√

n6 Fn − p 6

1√n

−Fn − 1√n6 −p 6 −Fn +

1√n

Fn − 1√n6 p 6 Fn +

1√n

.

Donc, pour n assez grand p ∈ In c.-à-d. P(

Fn − 1

n6 p 6 Fn +

1

n

)> 0, 95.

Soit fobs la fréquence observée du caractère sur un échantillon de taille n.On appelle intervalle de confiance au niveau de confiance 95% de la proportion p (inconnue)du caractère dans la population, l’intervalle défini par :

[fobs − 1√

n; fobs +

1√n

].

Définition 1 (Intervalle de confiance)

En pratique ⌊9⌋, on se place dans le cas où l’échantillon contient au moins 30 individus. Si lafréquence observée fobs est telle que nfobs > 5 et n(1−fobs) > 5 alors, pour estimer p (proportioninconnue de la population totale), on utilise l’encadrement fourni par un intervalle de confianceau niveau de 95%.

Cet intervalle est parfois aussi appelé « fourchette de sondage ».

Exemple 6 (Classique aussi) : Lors d’un scrutin électoral, on souhaite connaître la pro-portion p de français votant pour le candidat « A ».

L’institut SOFOS mène une enquête auprès de 1000 personnes tirées au hasard et avec remise(c’est-à-dire qu’une même personne peut éventuellement être choisie plusieurs fois). Le résultatindique qu’une proportion f = 49% d’entre elles voteront pour le candidat « A ».

1. Quelle est la loi suivie par le nombre de personnes votant pour « A » dans une enquêteavec remise effectuée auprès de 1000 personnes ?Correction : À chaque étape de l’enquête, il y a une probabilité p de tirer une personnevotant pour « A », car on procède à des tirages avec remise. De plus, les 1000 tirages sonteffectués de façon indépendante. L’enquête est donc un schéma de Bernoulli dont chaquesuccès correspond à tirer une personne votant pour « A ». Le nombre de personnes votantpour « A » dans l’enquête suit donc une loi binomiale B(1000 ; p) où p est inconnu.

2. Étant donné le résultat de l’enquête SOFOS, donner un intervalle de confiance à 95 %pour l’estimation de p.Correction : Notons F la proportion de personnes votant pour « A » parmi 1000.D’après le cours, si n > 30, np > 5, n(1 − p) > 5, un intervalle de confiance au niveau 95%

pour p est[F − 1√

1000; F +

1√1000

].

Ici, n = 1000 > 30, np > 5 ⇐⇒ p > 0, 005 et n(1 − p) > 5 ⇐⇒ p 6 0, 995.

⌊9⌋. Donc au bac. . .




On ne connaît pas p mais, au vu de l’enquête, fobs = 0, 49, donc on peut raisonnablementpenser que 0, 05 6 p 6 0, 995 et donc que les conditions sont vérifiées.

L’intervalle de confiance est donc[0, 49 − 1√

1000; 0, 49 +

1√1000

]= [0, 458 ; 0, 522].

3. Peut-on affirmer, d’après l’enquête, que le candidat « A » n’aura pas la majorité desvotes, c’est- à-dire que p < 0,5 ?Correction : L’intervalle de confiance précédent montre qu’il est tout à fait possible quep > 0, 5.Donc il n’est pas raisonnable d’affirmer, suite à l’enquête, que le candidat « A » n’obtiendrapas la majorité des votes.

Exercice 3 (Élections présidentielles de 2002) : Voici les résultats d’un sondageIPSOS réalisé avant l’élection présidentielle de 2002 pour Le Figaro et Europe 1, les 17 et18 avril 2002 auprès de 989 personnes, constituant un échantillon national représentatif de lapopulation française âgée de 18 ans et plus et inscrite sur les listes électorales.

On suppose cet échantillon constitué de manière aléatoire (même si en pratique, cela n’est pasréellement le cas).

Les intentions de vote au premier tour pour les principaux candidats sont les suivantes :

20% pour J.Chirac, 18% pour L.Jospin et 14% pour J.-M. Le Pen.

Les médias se préparent pour un second tour entre J.Chirac et L .Jospin.1. Déterminer pour chaque candidat l’intervalle de confiance au niveau de 0,95 de la pro-

portion inconnue d’électeurs ayant l’intention de voter pour lui.2. Le 21 avril, les résultats du premier tour des élections sont les suivantes : 19,88%. pour

J.Chirac, 16,18%. pour L .Jospin et 16,86%. pour J-M. Le Pen.Les pourcentages de voix recueillies par chaque candidat sont-ils bien dans les intervallesde confiance précédents ?

3. Pouvait-on, au vu de ce sondage, écarter comme l’ont fait les médias avec un niveau deconfiance de 0,95, l’un de ces trois candidats pour le second tour ?

Remarque : Cet intervalle de confiance a pour amplitude2√n

. En conséquence, plus la taille

de l’échantillon est grande, plus les intervalles de confiance obtenus sont précis. ⌊10⌋

En outre, si l’on souhaite encadrer p dans un intervalle de longueur a, on doit avoir :2√n6 a ⇐⇒ n >

4

a2.

Exercice 4 : Lors d’une épreuve de Mathématiques, on corrige un échantillon de copies afinde décider du barème final pour qu’au moins 80% des notes soient supérieures à 10.

On note p le pourcentage de copies ayant plus de 10.1. Sur un échantillon de 45 copies, 25 ont plus de 10.

Donner l’intervalle de confiance de p avec un niveau de confiance de 0,95.Pourquoi le jury décide-t-il de modifier le barème ?

2. Avec le nouveau barème, sur un échantillon de 36 copies, 25 ont plus de 10.Pourquoi le jury accepte-t-il ce barème ?

⌊10⌋. Remarquez cependant que cette amplitude dépend de la taille de l’échantillon, bien sûr, mais pas de lataille de la population totale !




II.2 Interprétation

— L’intervalle

[Fn − 1√

n; Fn +

1√n

]du théorème (4) est aléatoire car il dépend de la

réalisation de Fn : il a plus de 95% de chances de contenir le paramètre inconnu p.

— En pratique, ayant observé une réalisation fobs de Fn l’intervalle

[fobs − 1√

n; fobs +

1√n

]

de la définition (1) n’est plus aléatoire : il contient ou non p mais il n’est pas possiblede le savoir puisque p est inconnu.

— Supposons que l’on puisse observer fobs de nombreuses fois et notons f1, f2, . . . fN cesobservations pour N grand. On remarquerait la chose suivante : plus de 95% des intervalles[fi − 1√

n; fi +

1√n

]contiendraient p, les autres non. On ne peut pas faire mieux sinon

ce ne serait plus ni du hasard, ni de l’aléatoire.En pratique, les instituts de sondage, pour essayer d’affiner encore leurs résultats, trienten amont les échantillons mais rajoutent, en faisant cela, d’autres types d’erreurs. C’estle prix à payer.

Une dernière remarque enfin mais hors programme :

En TS, l’intervalle de confiance

[fobs − 1√

n; fobs +

1√n

]est dit intervalle de confiance simplifié.

En effet, le théorème de Moivre-Laplace, dans les conditions d’application, fournit un autreintervalle de confiance plus fin d’après la proposition (3) et appelé intervalle de confianceasymptotique Iasymp défini par :

Iasymp =

fobs − 1, 96

√fobs(1 − fobs)

n; fobs + 1, 96

√fobs(1 − fobs)

n

.

Exemple 7 : Un sondage dans une commune révèle que sur les 500 personnes interrogées,42 % sont mécontentes de l’organisation des transports. Il détermine un intervalle de confiancedu pourcentage p de personnes mécontentes dans la commune au niveau de confiance de 95 % :

I =

0, 42 − 1, 96

√0, 42 × 0, 58

500; 0, 42 + 1, 96

√0, 42 × 0, 58

500

= [0, 377 ; 0, 463 ].

Donc, on peut estimer, au seuil de 95 % que le nombre de personnes mécontentes oscille entre37,7 % et 46,3 %.

Remarque : Avec l’intervalle de confiance simplifié, on, aurait obtenu :

I =

[0, 42 − 1√

500; 0, 42 +

1√500

]= [0, 375 ; 0, 465 ] ⊃ [0, 377 ; 0, 463 ].

Cela ne change pas grand chose dans ce cas et l’approximation que l’on a faite semble perti-nente.




II.3 Comparaison de deux échantillons

On souhaite comparer deux proportions p1 et p2 du même caractère dans deux populationsdifférentes. Le raisonnement est le même que pour l’ exemple (3) .

1. On prélève un échantillon dans la première population dont on mesure la fréquencef1, puis on en déduit l’intervalle de confiance I1 pour p1 ;

2. On prélève un échantillon dans la deuxième population dont on mesure la fréquencef2, puis on en déduit l’intervalle de confiance I2 pour p2 ;

3. On compare les deux intervalles :

— s’ils sont disjoints, on considère que la différence entre les deux fréquences ob-servées est significative ;

— s’ils ne sont pas disjoints, on accepte l’hypothèse au seuil de de 95 %.

Méthode 2 (Prise de décision)

Exemple 8 : Un industriel français fabrique des smartphones. Pour contrôler la qualité dela production, il en teste 200 : 92% fonctionnent correctement.Durant 6 mois, l’entreprise de smartphones travaille à améliorer la qualité de sa production.Un nouvel échantillon de 200 smartphones est prélevé : 97% fonctionnent correctement.Est-il raisonnable, au niveau de confiance de 95 %, de penser que la production s’est améliorée ?

— Avant l’amélioration, on a fobs = 0, 92 donc,

I1 =

[0, 92 − 1√

200; 0, 92 +

1√200

]= [0, 849 ; 0, 991 ].

— Après l’amélioration, on a fobs = 0, 97 donc,

I2 =

[0, 97 − 1√

200; 0, 97 +

1√200

]= [0, 899 ; 1, 041 ].

— On a [ 0, 882 ; 0, 958 ] ∩ [ 0, 946 ; 0, 994 ] 6= ∅, donc la différence entre les deux échantillonsn’est pas significative : il n’y a pas d’évolution significative de la qualité de la productionau niveau de confiance de 95 %.

Remarque : Avec les intervalles de confiance non simplifiés, on n’aurait guère fait mieux :

— Avant amélioration avec fobs = 0, 92, on aurait eu

I1 =

0, 92 − 1, 96

√0, 92 × 0, 08

200; 0, 92 + 1, 96

√0, 92 × 0, 08

200

= [ 0, 882 ; 0, 958 ].

— Après amélioration avec fobs = 0, 97,

I2 =

0, 97 − 1, 96

√0, 97 × 0, 03

200; 0, 97 + 1, 96

√0, 97 × 0, 03

200

= [ 0, 946 ; 0, 994 ].

L’intersection [ 0, 882 ; 0, 958 ] ∩ [ 0, 946 ; 0, 994 ] reste non vide.




Synthèse

— L’utilisation de l’intervalle de fluctuation permet de vérifier, par un échantillon, qu’uneproportion est conforme à un résultat annoncé ou supposé.

— Lorsque l’on veut, inversement, déterminer à partir d’un échantillon, la proportion dansla population générale, on utilisera un intervalle de confiance .



Fiche no 16: Fluctuation d’échantillonnage

Population

On connaît la proportion pd’individus possédant le


Échantillon

On sait évaluer la probabilitéque fobs (la proportion

d’individus ayant le caractèreétudié dans cet échantillon)

soit dans l’intervalle defluctuation.

On prend un échantillon detaille n de la population par

tirage au sort

p est connue.On détermine un

intervalle defluctuation.

Conditions d’application de Moivre-Laplace :

n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5 (MV)

Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 1 − α :

Soient p ∈]0 ; 1 [ et n ∈ N∗ tels que (MV) soient vérifiées.

fobs ∈ In,1−α =

p − uα

√p(1 − p)

n; p + uα

√p(1 − p)

n

.

où α ∈ R∗+ est l’unique réel tel que P

(− uα 6 Z 6 uα

)= 1 − α. avec Zn =

Xn − np√np(1 − p)

u0,05 ≃ 1, 96 et u0,01 ≃ 2, 58

On considère un échantillon de taille n d’une population sur laquelle on fait l’hypothèsequ’une proportion p possède le caractère étudié.

1. On détermine l’intervalle In,1−α de fluctuation asymptotique de la fréquence au seuilde 95 %(ou de 99%. . . ).

2. On calcule la fréquence fobs réelle dans l’échantillon.

3. Si n et p vérifient (MV), on peut conclure :

— si fobs ∈ In, on accepte l’hypothèse selon laquelle p est bien la proportion de lapopulation.

— si fobs /∈ In, l’hypothèse faite sur p est rejetée(au risque d’erreur de 5% (ou de 1%)).

Méthode 3 (Règle de prise de décision)

Fiche no 17: Estimation

Population

On ne connaît pas la proportionp d’individus possédant le


Échantillon

On calcule la fréquence fobs

d’individus possédant lecaractère étudié sur un

échantillon.

À partir des données d’unéchantillon de taille n

sélectionné aléatoirement, onestime p à l’aide d’un intervalle

de confiance.

p est inconnue.On détermine un

intervalle de confiance.

Intervalle de confiance au seuil des 95% :

Si (MV) vérifié alors IConfiance,95% =

[fobs − 1√

n; fobs +

1√n

].

Longueur2√n

Pour comparer deux proportions p1 et p2 du même caractère dans deux populations diffé-rentes.

1. On prélève un échantillon dans la première population dont on mesure la fréquencef1, puis on en déduit l’intervalle de confiance I1 pour p1 ;

2. On prélève un échantillon dans la deuxième population dont on mesure la fréquencef2, puis on en déduit l’intervalle de confiance I2 pour p2 ;

3. On compare les deux intervalles :

— S’ils sont disjoints, on considère que la différence entre les deux fréquences ob-servées est significative.

— S’ils ne sont pas disjoints, on accepte l’hypothèse au seuil de de 95 % c.-à-d. onconsidère qu’une proportion est supérieure à l’autre.

Méthode 4 (Prise de décision)

Synthèse

— L’utilisation de l’intervalle de fluctuation permet de vérifier, par un échantillon, qu’uneproportion est conforme à un résultat annoncé ou supposé.

— Lorsque l’on veut, inversement, déterminer à partir d’un échantillon, la proportion dansla population générale, on utilisera un intervalle de confiance.

Index

Affixe, 209Aire d’un domaine, 362, 378Aléatoire

expérience, 431variable, 428, 452

Algorithme, 2, 8, 206, 234, 274, 398algorithme, 187Angle

calcul de la mesure d’, 394de deux vecteurs, 224, 301, 302orienté, 220, 304

Approximationde e, 252de e, 234

Argument, 224d’un nombre complexe, 220, 221propriétés algébriques, 299

Asymptote, 240, 258horizontale, 139verticale, 146

AsymptotiqueIntervalle de fluctuation, 468

Bernoulliépreuve, 71inégalité de, 21, 29loi, 427schéma, 71

Bissectrice, 261Bombelli, 201

Cardan, 201Carré, 356Centre

de gravité, 351d’une sphère, 419

Cercle, 219, 304, 306Cercle trigonométrique, 392Chasles

relation de, 370, 379Cinématique, 97, 378Combinaison linéaire

de vecteurs, 330Concavité, 105, 141Conjugué, 217

d’un nombre complexe, 211propriétés algébriques, 213

Continuitédes fonctions de référence, 155

Coordonnées, 392, 404Coplanaire

droites, 339point, 331, 357vecteur, 330

Courbe représentative, 362, 380, 446de l’exponentielle, 238, 261du logarithme, 261, 271

Cube, 319, 336, 337, 340, 347, 348, 356, 393Cylindre, 420

Dérivéedes fonctions usuelles, 95d’une composée, 101, 237, 272des fonctions de référence, 99opérations algébriques, 100

Dérivation, 91Densité

méthode pour prouver, 433Densité de probabilité, 433Dichotomie, 164Disque, 219Droite, 336, 337, 340

coplanaire, 339, 347définition, 318orthogonale, 353, 355, 398parallèle, 339, 354parallèle à un plan, 344, 345perpendiculaire, 353, 357perpendiculaire à un plan, 354, 356, 409, 410sécante, 339, 345, 347, 355

Dualité, 417

e, 252e, 234, 235Écart-type, 70, 429

d’une loi normale, 451, 453, 469Ensemble

de points, 218Ensemble de points, 304Équation

482

XIV. INDEX INDEX

dans C, 205du second degré dans C, 205

Équationstrigonométriques, 116

Équations incompatibles, 334Espérance, 70, 429, 436

d’une loi centrée, 447d’une loi exponentielle, 441d’une loi normale, 451, 453, 469d’une loi uniforme, 438

Estimation, 474, 477Euler, 201

formule d’, 296méthode d’, 233, 251relation, 295

Événementindépendants, 73

Exponentielle, 231courbe représentative, 238limite, 238propriétés, 235variations, 238

Extremum, 104CNS d’, 104

Ferméde C, 219

Fluctuationd’échantillonnage, 466intervalle asymptotique de, 468, 469intervalle de, 466, 467

Fonctionconstante, 103Courbe représentative, 105d’atténuation, 247dérivée, 98

usuelle, 95de densité, 432de Gauss, 246, 445de répartition, 435, 447exponentielle, 232logarithme décimal, 279logarithme népérien, 260partie entière, 280puissance, 277valeur moyenne, 377variations, 103

Fonctionnellerelation, 235, 263, 269, 294

Formealgébrique, 202, 204, 213, 221, 295, 300exponentielle, 294, 295, 300trigonométrique, 220, 295, 300

Fréquence observée, 466, 471, 474, 475, 477, 479

Gauss, 201Graphe, 94

i, 202Identité

remarquable, 204Identités remarquables, 396Inégalité

triangulaire, 216de Bernoulli, 21, 29de la moyenne, 376

Incidencerègles, 318

Indépendancede deux événements, 73

Intégraleavec bornes infinies, 447calcul, 374d’une fonction sur un intervalle, 362lien avec la primitive, 372positivité de l’, 370

Intégration, 360par parties, 383

Intersectiond’une droite et d’un plan, 338, 414d’une droite et d’une sphère, 340de deux droites, 349de deux plans, 347, 349, 351, 412de trois plans, 417point d’, 338, 339

Intersection de deux plans, 334Intervalle

de confiance, 474, 475, 477, 479de fluctuation, 466, 473, 479de fluctuation asymptotique, 468, 469

Isométrique, 357

Limiteà gauche, à droite, 146à l’infini, 138, 140Croissance comparée, 241, 270d’un produit, 18d’un quotient, 18d’une composée, 149d’une fonction, 135d’une somme, 17d’une suite, 12, 151d’une suite convergente, 10du taux de variation, 94en un point, 146fonctions de référence, 141, 142, 148Forme indéterminée, 138opérations, 17

Logarithme



XIV. INDEX INDEX

décimal, 279décimal en chimie, 283dérivée, 268limite, 269népérien, 259primitive, 384propriétés algébriques, 263relations, 262

Logarithmiqueéchelle, 281

LoiApproximation d’une, 457binomiale, 71, 427, 431, 468, 474centrée réduite, 447continue, 427de Bernoulli, 427de probabilité, 70, 429, 433exponentielle, 439normale, 445, 453, 469normale centrée réduite, 447, 451, 453uniforme, 437

Losange, 356

Médiatrice, 219, 304Méthode

Calcul d’une intégrale, 363, 375Démontrer par récurrence, 27Droites orthogonales, 397Encadrer une suite, 3Équation cartésienne d’un plan, 405Intersection d’une droite et d’un plan, 414Montrer qu’une suite est monotone, 4Montrer qu’une suite n’est pas majorée, 4Tracer une courbe représentative, 105

MéthodeForme algébrique d’un quotient, 204Représentation d’une suite récurrente, 6Trouver la forme trigonométrique, 221

Moduled’un nombre complexe, 214, 221Interprétation géométrique du, 217propriétés algébriques, 215, 300

MoivreFormule de, 298

Monofocale, 43

Nombredérivé, 94

Nombre complexe, 202égalité entre deux, 209affixe d’un, 209argument, 220conjugué, 206, 211, 213ensemble des, 202

forme trigonométrique, 220imaginaire pur, 202, 214, 223module, 214opérations algébriques, 203réel, 212, 223représentation, 209

Normed’un vecteur, 217

Orthogonalité, 353Ouvert

de C, 219

ParabolePoint de vue géométrique, 43

Parallélogramme, 356Partie

imaginaire, 202, 203réelle, 202, 203

Partition, 64Plan

définition, 318, 330, 331, 403équation cartésienne, 404, 415, 416parallèle, 344, 345, 412parallèle à une droite, 344perpendiculaire, 409–411sécant, 345, 346

Pointaligné, 322anguleux, 97fixe, 153

Positiond’une courbe et d’une droite, 139

Position relatived’un plan et d’une droite, 337d’une droite et d’un plan, 414de deux droites, 339, 359de deux plans, 335, 412

Primitive, 372lien avec l’intégrale, 372méthode pour trouver, 366

Primitives, 360Probabilité

calcul, 449conditionnelle, 59, 66d’un intervalle centré, 451, 455, 468

Produitde limites, 18

Produit scalairedéfinition, 392propriétés algébriques, 395

Puissance, 276fonction, 277propriétés algébriques, 276



XIV. INDEX INDEX

Pyramide, 338

Quotientde limites, 18

Racined’un polynôme, 200

Repère, 320, 321Représentation d’une loi binomiale, 72Représentation paramétrique

d’un plan, 332d’une droite, 324, 340, 412, 415

Sectiond’un cube, 348d’un tétraèdre, 351

Sommede limites, 17

Sondage, 475, 476Sphère, 419Suite

arithmétique, 16convergente, 10croissante, 4divergente, 12explicite, 5

limite d’une, 151géométrique, 21

image d’une, 264majorée, minorée, bornée, 3monotone, 4récurrente, 30

limite d’une, 152suite, 188Système linéaire, 419

Tétraèdre, 338Tangente, 271

équation de la, 94Théorème

de comparaison, 20, 158de convergence monotone, 24de D’Alembert-Gauss, 200de divergence monotone, 15de la bijection, 162de la porte, 355de Moivre-Laplace, 457, 468des gendarmes, 21, 159, 373des valeurs intermédiaires, 161, 452du point fixe, 166du toit, 346

théorème de Gauss, 188Triangle, 305, 306Trigonométrie, 298

Valeur moyenne d’une fonction, 377Variable

à densité, 431aléatoire, 70continue, 431discrète, 432

Variance, 70, 429, 436d’une loi réduite, 447d’une loi uniforme, 438

Vecteurcolinéaire, 304, 322, 401, 412coordonnées, 320coplanaire, 330directeur, 324, 401, 410lié, 331libre, 331normal, 400, 401, 410, 412norme, 396orthogonal, 304, 320, 396

Vitesseinstantanée, 97, 248moyenne, 97, 378



XIV. INDEX INDEX



cours de mathÉmatiquesfabienpucci.fr/wp-content/uploads/2020/04/2020_ts.pdf · chapitre i suites -...

Documents