cours d’analyse topologie leçon 5 - t. masrour

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Leçon 5

Définition (équivalence de topologies).

Soient et deux espace métriques (ou e.v.n) on dit qu’ils sont topologiquement équivalents ssi l’application identité est un homéomorphisme.

On dit que d et d’ sont uniformément équivalents ssi l’application et

sont uniformément continues.

Remarque.

Il est clair que l’uniforme équivalence implique l’équivalence mais l’inverse est en general faux (voir T.D)

10. Espaces Métriques Complets

Avant de définir les espaces complets on commence par énoncer des résultats qui vont nous être d’une utilité par la suite.

Proposition

1. Soient un espace métrique, et une partie de alors on a la caractérisation suivante :

suite d’élements de convergeant vers

2. est fermé ssi toute suite d’élements de qui converge dans a sa limite dans .

Preuve.

La preuve du point 1 est très facile. (à faire en séance de cours)


La preuve du deuxième point :

Soit une suite dans telle qu’elle converge dans vers un élement a, or d’après le point

1 de la proposition ci-dessus on a et donc .

Réciproquement : Soit , il existe alors suite dans convergeant vers , cet élément est forcément dans (par hypothèse), il s’ensuit alors que .

Définition (espaces complets).

Soit un espace métrique (ou e.v.n) on dit que est complet ssi toute suite de Cauchy dans est convergente dans .

Exemples. 1. muni de la valeur absolue est un espace complet. 2. L’espace des fonctions continues muni de la distance uniforme est un

espace complet.

Théorème. Soit un sous espace métrique de 1. Si est complet alors est un fermé de 2. Si est complet alors : ( fermé est complet) . Preuve.

1. Montrons que Soit , alors il existe suite dans covergeant vers , donc elle est de Cauchy mais

est un espace complet donc converge dans . D’où . 2. Soit une suite dans et de Cauchy dans , donc elle est de Cauchy dans

or ce dernier est complet, donc la suite converge dans vers un élément . Maintenant comme est fermé alors forcément , et donc est bien convergente

dans . Contre exemples. (à faire en exercices en séance de cours) 1. Montrer que muni de la valeur absolue n’est pas complet


2. Soit définie par

2.1. Montrer que d est une distance

2.2. est il complet ? 3. Soient et deux distances uniformément equivalents, montrer alors que : complet est complet


h è L ’ ection de Cantor). Soit un espace métrique complet et une suite décroissante de fermés non vides de

t.q. l , où l’on a noté (le diamètre de l’ensemble ),

alors il existe un unique tel que :

Preuve. Théorème de Baire. Soient un espace métrique complet, et une famille d’ouverts tous denses dans E,

alors

Théorème du point fixe. Soit un espace métrique complet, et soient et une application -

lipshitzienne de dans [i.e. ]

Alors : admet un unique point fixe . Preuve. h è ’ ions successives de Piccard. Soit une function continue vérifiant :

, alors

l’équation : et admet une solution unique définie et dérivable sur

un intervalle et

et .

Preuve.


11. Espaces Métriques Compacts.

Définition (recouvrements).

Soit un espace métrique (ou e.v.n) , on dit que la famille recouvre (ou un recouvrement de ) si

Le recouvrement est dit ouvert (resp. fermé) ssi les sont tous ouverts (resp. tous fermés). On peut généraliser la définition à un recouvrement d’un ensemble en remplaçant

l’identité ci-dessus par ou

Définition (compact).

Soit un espace métrique (ou e.v.n) , on dit que est compact ssi de tout recouvrement ouvert de on peut extraire un sous recouvrement fini.

Théorème. est compact ssi de toute famille de fermés de E d’intersection vide on peut

extraire une famille finie (i.e. ) t.q. . Preuve . Il suffit de passer au complémentaire.


Théorème. Soit un espace métrique alors : 1. Si , compact alors est fermé. 2. Si est compact et si F est un fermé alors F est un compact. Preuve.


Proposition. 1. Toute réunion finie de compacts est un compact. 2. Toute intersection quelconque de compacte est un compact. Preuve . Immédiate en utilisant la définition avec les recouvrements par des fermés. Proposition. Soient un espace métrique et un compact alors est un fermé et borné N.B. La réciproque est en général fausse. Preuve. On sait déjà que c’est un fermé il suffit de montrer la bornitude. , donc la famille est un recouvrement ouvert de F et comme ce

dernier est compact il existe alors un nombre fini de t.q.

où R est assez grand mais fini.

Théorème. Soient et deux espaces métriques. Si est une application

continue et si est compact alors est un compact de . l’ c c ’ c c c c

Preuve. Corrolaire 1. Soit un espace compact et un espace métrique, si est une

application continue injective alors est un homéomorphisme. Preuve.


Corrolaire 2. Toute application de où E est compact est bornée et atteint ses bornes. Preuve. Corrolaire 3. si E est compact et f est continue alors elle est bornée. Preuve. Théorème de Heine. Soit avec compact, si est continue alors est uniformément

continue. Preuve.

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