cours d’analyse topologie leçon 4 - t. masrour

19 - T. Masrour - Analyse 2 http://tawfik-masrour.blogpost.com

Leçon 4

Définition (densité).

Soient un espace métrique et . On dit que est dense dans ssi tout ouvert non vide de contient des points de .

N.B. On peut restreindre la définition aux boules ouvertes i.e. : .

Propriété. c

est dense dans ssi .

Preuve.

Si alors ,

on a Or ouvert non vide , et donc On a alors :

ouvert, on a . cqfd.

Supposons que soit dense dans et montrons que . Soit on sait que: est un ouvert de et il est non vide. Comme est dense dans alors ,

ce qui veut dire que . cqfd.


Exemples.

, sont denses dans .

Si est ouvert alors

Si est fermé alors

, et

8. Fonctions continues sur des espaces

métriques.

Soient ( et deux espaces métriques.

Définition (continuité en un point).

Soient une function et . On dit que est continue en ssi:

ou de manière équivalente :

Théorème. (Continuité sur E).

Les quatres assertions suivantes sont équivalentes : (C1) est continue sur . (C2) L’image inverse par de tout ouvert de est un ouvert de ( . (C3) L’image inverse par de tout fermé de est un fermé de ( .

(C4) .

Preuve.

L’idée : On démontre que (C1) (C2) ) (C3) ) (C4) ) (C1) Montrons par exemples que :


(C1) (C2) ] Soit ’ un ouvert de . 1er Cas. Si ’ , alors et le vide est un ouvert. 2ème Cas. Si ’ , il existe alors un certain tel que

et donc : . Or

cqfd.

Remarques.

Si est continue de dans ’ ’ on n’a pas forcèment l’image de tout ouvert est un ouvert !

Par exemples : t.q. , on a bien que continue pourtant qui est un

fermé ! Cette propriété quand elle est vérifiée par une fonction on dit qu’elle est ouverte.

De même on n’a pas l’image de tout fermé est un fermé ! cette propriété quand elle est vérifiée on dit que l’application est fermée.

9. Homéomorphismes et difféomorphismes

(Transfert de propriétés topologiques).

Définition.

Soient (E,d) et (E’,d’) deux espaces métriques. est un homéomorphisme ssi :

est continue,

est bijective

et est continue sur ’. On dit, dans ce cas que et ’ ’ sont homéomorphes.


Exercices de cours.

Montrer que est homéomorphe à (quand ) On peut considerer l’application :

Correction:

Montrer que est homéomorphe à .

On peut considerer l’application

Correction:

Montrer que la sphère privée de ses pôles nord et sud (i.e. est homéomorphe à .

Correction:

Soient , , et ( )

Montrer qu’ils sont tous homéomorphes.

Correction:

cours d’analyse topologie leçon 4 - t. masrour

Documents