cours d’analyse - topologie leçon 2 - t. masrour

1 T. Masrour - Analyse 2 http://tawfik-masrour.blogspot.com

Université My Ismaïl Meknès

Ecole Nationale Arts et Métiers

ENSAM 2013-2014

Cours d’Analyse 2

Semestre 1

T. Masrour


Leçon 2


1. Espaces vectoriels normés EVN

1.2.Définition (norme)

Soit un espace vectoriel sur ( ) On définit une norme sur comme une application de à valeurs réélles positives :

et qui vérifie les conditions suivantes:

1.3.Propriétés

A partir d’une norme sur E, on peut toujours construire une distance par la formule :

En effet, on a :

1.4.Exemples de normes.

1. Sur on a les trois normes classiques :

2. Soit l’ensemble des fonctions bornées de dans lui-même, on le munit de la

norme sup :

3. On peut définir la même norme sur l’ensemble des fonctions continues


2. Topologie engendrée par une distance

2.2.Définition (voisinage)

Soient un espace normé et , on appelle voisinage de tout ensemble de tel que contient une boule ouverte avec .

2.3.Propriétés

Tout ensemble contenant un voisinage de est aussi un voisinage de . Toute de voisinages de est aussi un voisinage de .

Preuve.

Soit des voisinages de . On a alors : pour tout ; .

Soit avec . On a ainsi , Donc

Donc: est un voisinage de .

cqfd.

On définit une structure sur qui à chaque élément lui fait associer l’ensemble de tous les voisinages ouverts de .Cela définit une « Topologie » sur .

est un espace topologique. Soit une famille telle que pour tout vérifiant . On dit alors, que:

définit un système fondamental de voisinages de

2.4.Exemples :

forme un système fondamental de voisinages dans un e.m ou e.v..n.

forme un système fondamental de voisinages dans un e.m ou e.v..n..


2.5.Exercice 1 (en séance de cours)

Montrer que tout espace métrique est séparé i.e.

et t.q. . Correction :


3. Ensembles Ouverts et Ensembles fermés

3.2.Définition « Ouverts »

Soit un ensemble de l’espace métrique . On dit que est un ouvert ssi est voisinage de chacun de ses points i.e.:

.

3.3.Propriétés

sont des ouverts de ouverts ouvert ouverts ouvert

3.4.Preuve

Preuve de : immédiat. Preuve de :

Soit et , où l’ensemble des indices est quelconque. Montrons alors que . Or ceci est clairement vérifié puisque implique qu’il existe au moins un tel que , et comme est un ouvert, donc enfin comme il en découle que

Preuve de :

Soit avec cette fois l’ensemble des indices fini i.e. par exemples. Montrons que . et est un ouvert, il existe alors tel que

Soit , alors comme l’ensemble des indices est fini . On vérifie, alors, facilement que , et donc que ce qui montre bien que

. Cqfd.


3.5.Exercice 2

Monter que: ssi un ouvert contenant tel que

Correction : / un ouvert tq or tout ensemble qui contient un voisinage de est aussi voisinage de . / , il suffit alors de prendre

3.6.Exercice 3

Montrer que toute boule ouverte est un ouvert. Correction :


3.7.Définition (fermé)

est un fermé ssi est un ouvert.

3.8.Propriétés

sont des fermés de ( sont des fermés) fermés fermé fermés fermé

3.2.Preuve (à faire en exercice en séance de cours)


3.3.Remarques

ouverts en général ouvert

Par exemples :

ouvert.

fermés fermé

En efet , on sait que A = or si la topologie est t.q les singletons soient des fermés et si la reunion qcq était fermée alors n’importe quell ensemble serait fermé ! Par exemples :

L’ouvert et pourtant les sont des fermés.

3.4.Exercice 3

Montrer que est un fermé. (à faire en séance de cours)

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