cours d'analyse fonctions plusieurs variables - leçon 3 - t.masrour

38 - T. Masrour - Analyse 2 http://tawfik-masrour.blogpost.com

Chapitre :

Fonctions plusieurs variables - Caclul différentiel et dérivées partielles.

Leçon 3

2. Différentielle

Définition de la Différentiabilité.

Définition 6 ( Différentiabilité ).

On dit que est différentiable en un point ’ l l c l tq pour assez petit en une certaine norme on ait :

et quand

L’ l c appelée la différentielle de en a on la note où

Remarques


Exercice : Soit la fonction

Montrer que est différentiable. Lien entre différentielle et dérivées partielles. On définit les projections :

Chacune de ces projections est linéaire , et est donc différentiable.

Notation ,

On a ainsi une base canonique pour les différentielles. Si est définie en alors :

Théorème Soit et . 1. Si est différentiable an alort admet des dérivées partielles du 1er ordre au point

et on a :

2. Si est sur alors est différentiable sur et on a

, alors


Preuve du théorème. Exemple

=

admet des dérivées partielles en

l

l

Alors n’est pas différentiable.


Généralisation :

Définition

Soit un ouvert.

Et

On dit que est différentielle au point a. s’il existe

Une application linéaire : (une matrice )

Avec , quand .

On dit que est sur si chaque est sur .

L’application est la différentielle de au point , on la note = matrice associé à = Matrice Jacobienne de en .

Et

Exemples :

1.

..........


2.

.......... ..........

3. si est differentiable en un point a.

.......... ..........

4. ;

..........

5.

.......... ..........


Théorème

.

1. Si est différentiable en un point alors admet des dérivées partielles. Et on a

2. Si f est alors est différentiable et on a (*)

Fonctions composées

Soit et , ; ; ; .

Théorème

Si est différentiable en un point ; différentiable en alors est différentiable en et

Lemme

Si est linéaire de

Soit sa matrice canonique (qui lui est associée dans la base canonique). Soit :

Alors

Preuve


..........

Preuve du Théorème

.......... .......... ..........

Corollaire

Sous les mêmes hypothèses que le théorème que le théorème.

;

.

alors

Exemple

1.

et .


2. Cordonnées polaires dans

.......... .......... ..........

3. Coordonnées cylindriques

4. Coordonnées sphériques


Formules de Taylor à l’ordre

On ne considère que les fonctions numériques : .

Généralisation du TAF

Soit

Soit

Théorème des Accroissements Finis

est , tels que ,

Il existe telle que

Preuve :

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