cours 6 3.1 dÉterminants (suite). 2 au dernier cours, nous avons vu la définition axiomatique du...
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Cours 6
3.1 DÉTERMINANTS (SUITE)
2
Au dernier cours, nous avons vu
✓ La définition axiomatique du déterminant.
✓ Le calcul d’aire à l’aide du déterminant.
✓ La façon de résoudre un système
d’équations linéaires à deux équations et
à deux inconnues à l’aide de la règle de
Cramer.
Aujourd’hui, nous allons voir
3
✓ Le déterminant en dimension 3.
✓ Le calcul d’un volume à l’aide du
déterminant.
✓ La façon de résoudre un système
d’équations linéaires à trois équations
et à trois inconnues à l’aide de la
règle de Cramer.
4
Volumes
Ça serait bien si on pouvait faire quelque chose de semblable pour les volumes!
Regardons si les propriétés du déterminant correspondent aux propriétés des volumes orientés.
5
Dans l’espace
Volume négatif Volume positif
6
Définition:
Le déterminant de trois vecteurs dans l’espace est un nombre
tel que les six propriétés suivantes sont respectées.
(Si on a les coordonnées des vecteurs
on peut aussi noter le déterminant)
D1.
D3.
D2.
8
D4.
9
D5.
D6.
11
D1.
12
D2.
Hum... pas de volume!
13
D3.
14
D4.
15
D5.
16
D6.
17
Calculons le volume.
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avec eux.On refait ça
19
20
Exemple:
Trouver le volume du parallélépipède suivant
Mais ça, c’est le volume orienté.
Pour obtenir le volume, il suffit de prendre la valeur absolue.
21
Faites les exercices suivants
p.98 # 10 à 12
22
Théorème:
Règle de Cramer
La preuve est semblable à celle pour un système à deux équations et à deux inconnues.
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Volume d’un tétraèdre
volume du parallélépipède
24
Le déterminant peut servir à établir si trois vecteurs sont dans
un même plan.
Car s’ils sont dans un même plan,
ils n’auront pas de volume.
25
Faites les exercices suivants
p.102 #13 à 17
26
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Le déterminant en dimension 3
✓ Le calcul d’un volume à l’aide du
déterminant.
✓ La façon de résoudre un système
d’équations linéaires à trois équations
et à trois inconnues à l’aide de la
règle de Cramer.
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Devoir:p.101, #1 à 28