ANNUITES

I Notions dannuits

a.Dfinition

Les annuits dfinissent une suite de versements identiques ou non effectus intervalles de temps gaux.

Le processus de versements dpend du montant de lannuit, de lintervalle de temps sparant le versement de deux annuits, du nombre de versements ainsi que de la date de versement de la premire annuit.

Deux cas peuvent se prsenter : -annuits constantes

-annuits non constantes

En dautres termes, il sagit dun versement rgulier dun certains capital, qui capitalis, atteint une valeur acquise croissante au fur et mesure que le temps passe.

b. Bref rappel sur les suites

Dans cette leon, nous considrerons des suites dont les indices de dfinition seront des entiers naturels, et dont les valeurs seront donnes dans lensemble des rels.

*Suite arithmtique

Une suite arithmtique de terme gnral est dfinie par la donne du premier terme , la raison r, et le numro n du terme considr.

Nous obtenons ainsi lexpression :

Considrons dsormais la somme de plusieurs termes dune suite arithmtique.

Soit S la somme de n termes dfinie par

Soit,

Du fait de la commutativit, cette somme peut tre exprime en sens inverse :

En additionnant les deux quations, nous obtenons donc,

Soit,

Cest ainsi quen connaissant uniquement le premier terme dune suite ainsi que le nombre de termes et la raison de la suite nous pouvons connatre la somme.

*Suite gomtrique

Nous dfinissons une suite gomtrique de terme gnral par la donn de son premier terme , de la raison q et du numro du nime terme n.

Nous obtenons donc lexpression :

L aussi nous pouvons dterminer la somme dune suite de n termes dune suite gomtrique.

Tout dabord, considrons lexpression suivante appele somme tlescopique ;

Si lon dveloppe cette expression nous obtenons le rsultat suivant :

Soit,

Ainsi,

Nous pouvons ainsi formaliser le tout par :

Et isoler la somme des puissances croissantes de x :

Ainsi en appliquant cette formule aux suites gomtriques, o

Soit S la somme des termes dune suite gomtrique de puissances croissantes

Soit aprs remplacement par leurs formules explicites,

Soit, aprs simplification,

II Valeur Acquise par une suite de n annuits

a.Valeur Acquise de n annuits

Soit, a le montant de lannuit.

n le nombre dannuits.

i le taux de placement

Si lon considre un processus de versements dannuits constantes sur n priodes.

La premire annuit verse la date 1 sera capitalise pendant n-1 priodes, soit

La deuxime annuit verse la date 2 sera capitalise pendant n-2 priodes, soit

La n-1ime annuit verse la date n-1 sera capitalise pendant 1 priode, soit

La nime annuit verse la date n sera capitalise pendant 0 priodes, soit

Au final si lon nomme la valeur acquise par cette suite dannuits, nous obtenons :

En appliquant le rsultat de la somme gomtrique.

Exemple

Un crancier dcide de placer 1000 par mois au taux mensuel de 1% pendant 10 mois. Calculer la valeur acquise par cette suite dannuits.

Il sagit dun simple exercice dapplication de formule.

b.Valeur acquise dune suite dannuits aprs le versement de la nime annuit.

Si lon se place en qualit de crancier versant une somme rgulirement tous les mois jusqu une certaine priode. A la fin de cette priode pour des raisons ou autres il dcide dinterrompre le versement rgulier de mensualit mais dcide de laisser la valeur acquise par ces diffrentes mensualit. Cette valeur acquise forme un capital qui va ainsi tre capitalis.

Supposons que ce dernier dcide de laisser ce nouveau capital pendant d priodes aprs le versement de la dernire annuit. Le capital acquis sera dtermin par la formule :

Soit,

Soit,

Exemple

Calculer la valeur acquise de 10 annuits de 1000 chacune au taux de 1%, 5 priode aprs le placement de la 10me annuit.

Dans cet exercice nous pouvons utiliser la formule :

Mais nous pouvons galement utiliser le rsultat de lexemple prcdent o :

Dans ce cas,

III Valeur Actuelle Commerciale dune suite dannuits

a.Valeur Actuelle Commerciale de n annuits

Si lon considre un processus de versements dannuits constantes sur n priodes.

La premire annuit verse la date 1 est situe une priode de lorigine, sa valeur actuelle commerciale est donc

La deuxime annuit verse la date 2 est situe deux priodes de lorigine, sa valeur actuelle commerciale est donc

La nime annuit verse la date n est situe

Au final si lon nomme la valeur actuelle commerciale de cette suite dannuits, nous obtenons :

Mais est la valeur lorigine du capital acquis par la suite de n annuits .

Nous avons donc :

Soit,

Soit,

Exemple

Dterminer la valeur actuelle commerciale (valeur lorigine) dune suite de 10 annuits de 1000 chacune au taux descompte de 9%.

Nous utilisons donc la formule prcdente et nous obtenons :

b.Valeur dune suite dannuits avant la date dorigine

En supposant que lon se situe dsormais d priodes avant la date dorigine et en notant la valeur dune suite dannuits d priode avant la date dorigine, nous obtenons la

formule :

Soit,

Soit,

Exemple

Une suite de 10 annuits de 1000 chacune est escompte au taux de 9%. Calculer la valeur de cette suite dannuits 5 priodes avant lorigine.

En utilisant directement la formule, nous obtenons :

IV Echeance moyenne dune suite dannuits

Soit n annuits constantes de valeur nominale a dorigine 0.

En substituant cette suite de versement par un montant unique de valeur na x priodes de lorigine, nous obtenons lorigine, lquation :

Soit,

Soit,

Cette quation nous permet ainsi de dterminer lchance moyenne dfinie par x.

V Annuits Variables

a.Annuits en progression arithmtique

*Valeur Acquise

Considrons n annuits en progression arithmtique de premier terme a et de raison r. Si nous tablissons la valeur acquise, nous obtenons :

Nous avons donc en sparant les termes en a et les termes en r

Or nous remarquons que le premier terme :

Considrons dsormais le deuxime terme que nous nommerons S, soit :

Si nous multiplions cette expression par (1+i) de part et dautre de lgalit nous obtenons :

Dsormais si lon retranche cette nouvelle expression par lexpression prcdente :

Les premiers termes de cette suite correspondent une suite en progression gomtrique et nous obtenons ainsi :

Do en factorisant par S, nous avons :

S[(1+i)-1]=

Soit,

Ainsi la formule de est la somme de S et de lexpression , soit :

Soit, aprs factorisation :

Exemple

Etablir la valeur acquise dune suite de 20 annuits variables en progression arithmtique, sachant que la premire annuit a pour valeur 1000 de raison 100 et de taux 12%.

Dans cet exercice nous utilisons directement la formule :

Ainsi en tablissant lapplication numrique nous obtenons :

Soit,

* Valeur Actuelle Commerciale

Pour obtenir la valeur actuelle dune suite arithmtique dannuits, il suffit tout comme dans le cadre des annuits constantes de multiplier la valeur acquise par pour en fait dcapitaliser la valeur acquise.

Nous obtenons donc :

Soit,

Soit,

L encore il existe une manire de simplifier cette formule et de donner une expression directement utilisable.

Si lon ajoute et lon retranche nous obtenons :

Or,

Nous pouvons donc factoriser lexpression :

Exemple

Calculer la valeur actuelle commerciale dune suite arithmtique de 20 annuits dont le premier terme est de 1000 et de raison 100 dont le taux est de 10%.

Il sagit l encore dans cet exercice dappliquer directement la formule de la valeur actuelle commerciale.

Soit,

b.Suite en progression gomtrique

*Valeur acquise

Considrons la suite des valeurs acquise dannuits en progression gomtrique.

La somme en est :

Nous remarquons que la raison de la suite est .

Le premier terme est

Nous pouvons ainsi simplifier lexpression en utilisant la formule dune suite gomtrique :

Soit en rsolvant au mme dnominateur pour le numrateur et le dnominateur de lexpression originelle ;

Soit, aprs simplification en multipliant par linverse du dnominateur, nous obtenons ;

Soit,

Exemple

Etablir la valeur acquise dune suite de 20 annuits en progression gomtrique dont le premier terme est 1000 de raison 1,5 et de taux 10%.

Dans cet exercice il sagit l aussi dappliquer directement la formule :

Soit,

*Valeur Actuelle Commerciale

L aussi pour obtenir la valeur actuelle commerciale il suffit de multiplier le rsultat obtenu dans le calcul de la valeur acquise.

Soit,

Soit,

EXERCICES DAPPLICATION

Exercice 1

Un crancier dcide de se constituer un capital de 500000 au 1er janvier 2020. Pour cela il place un montant constant chaque anne au taux annuel de 10%. Il dcide de commencer lopration le 1er janvier 2010. Calculer le montant de lannuit annuelle.

Exercice 2

Une suite de 12 annuits est constitue de 4 annuits de 1000 puis de 4 annuits de 1500, puis de 4 annuits de 2000. Calculer la valeur acquise de cette suite dannuits ainsi que sa valeur actuelle. Taux de 10%

Exercice 3

Une suite de 15 annuits se dcompose de la faon suivante :

5 annuits gales entre elles

5 annuits gales au double des 5 premires et gales entre elles.

5 autres annuits gales entre elles et gales au triple des premires.

La valeur lorigine de ces 15 annuits est de 200000 avec un taux de 9%. Calculer le montant des 5 premires annuits.

Exercice 4

Un crancier dcide de placer tous les 5ans un capital de 15 000 au taux de 5%. Calculer la valeur acquise dune suite de 4 versements.

Exercice 5

a.Calculer la valeur acquise et la valeur actuelle dune suite de 25 annuits en progression arithmtique dont le taux est de 9% et dont la premire annuit est de 1000 et la raison de 80.

b. Mme question si la suite dannuits avait t gomtrique et la raison de 2.

Exercice 6

a.Calculer la valeur acquise et la valeur actuelle dune suite de 10 annuits en progression arithmtique dont le taux est de 9% et dont la premire annuit est de 2500 et la raison de

-200.

b. Mme question si la suite dannuits avait t gomtrique et la raison de 1/2.