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cours 1 - Mécanique de l’ADN les protéines qui se lient à l’ADN exercent des forces et déforment l’hélice
TATA binding protein
ADN
comment l’ADN répond-il à une traction/torsion ? 1
manipuler une molécule d’ADN
plusieurs techniques :
microfibre optique pinces optiques pinces magnétiques
(1)
3
pinces magnétiques
images de calibration bille à force nulle
image à l’instant t
comparaison
mesure de la position de la bille : figures de diffraction
position xy position z
précision ≈ 1 nm 5
pinces magnétiques mesure de la force : par les fluctuations transverses
le système bille-ADN fluctue par rapport à la verticale
géométriquement :
d’où la force le long de x, :
ADN = ressort de raideur K = F /<z>
-F
<z>
δx
force aimants
tension ADN
6
€
δFF
=δx
< z >
€
δF =F
< z >δx
δF
pinces magnétiques mesure de la force : par les fluctuations transverses
7
Les fluctuations sont dues au mouvement thermique :
Théorème d’équipartition de l’énergie :
en remplaçant K = F /<z>, on obtient la force €
E =12K δx 2 =
12kBT
€
F =kBT z
δx 2
exemple : ADN 6 µm bille 1 µm
Résultat : réponse force-extension
comment modéliser la réponse élastique de l’ADN ?
« ressort » : F=kx
données exp.
ordre de grandeur de force : pN
Bustamante et al. Science 1994
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modèle 1 : La chaîne librement jointe (FJC) - suite de segments de longueur b - orientation aléatoire - tous même énergie
⇒ equivalent à une
marche aléatoire :
si on définit la distance bout-à-bout
10
€
R = r N −
r 0 = b ˆ n ii=1
N
∑
€
R2 = b2N Rtyp = b N
on obtient en parfaite analogie avec la marche aléatoire (<r2>=6Dt )
, valeur typique :
pour un polymère libre de longueur totale L = Nb
chaîne librement jointe (FJC) + force ext.
Rem : dans le modèle précédent, E = 0 ⇒ e-ßE = 1 " ⇒ distribution statistique uniforme
en présence d’une force ƒ, les configurations « allongées » "sont favorisées : ⇒ E → - ƒ z ⇒ distribution de Boltzmann : e+߃z
où z = ∑ b cos θi est l’allongement en direction de ƒ
réponse élastique à une force :
f z
θi
b
b cos(θ)
11
• z = b ∑i (±1) : (analogie : paramagnétisme de spin, spins ±1)
• p+ = e+߃b / Z, p- = e-߃b / Z, Z = e+߃b + e-߃b
• < z > = N [ b p+ + (-b) p- ] = N b [ p+ - p- ] = N b tanh(ßfb)"
chaîne librement jointe (FJC) + force ext.
f z
b
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calcul simple pour le cas 1D = notre TD
chaîne librement jointe (FJC) + force ext.
fonction de Langevin
• à haute force (ƒ > 1/ßb) :
force divergente
€
zL
≈ 1− 1βbf
1/ßb = kBT/b = unité de force
constante el. K 13
cas 3D :
€
z =d ˆ n 1∫ d ˆ n 2… d ˆ n N z exp βfz( )∫∫
d ˆ n 1∫ d ˆ n 2… d ˆ n N exp βfz( )∫∫=… = Nb coth(βfb) − 1
βfb⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
zL
≈13βbf
€
f =3kBTNb2
z
• à faible force (ƒ < 1/ßb) : linéaire :"
comportement élastique,
chaîne librement jointe (FJC) + force ext.
Comportement élastique : , constante el.
Travail à effectuer pour allonger de 0 à Z (basse force) :"
Interprétation : élasticité entropique
W = ∆F = ∆U-T∆S = -T∆S
L’énergie fournie sert à réduire l’entropie di système : "on passe du « macro-état » le plus probable (Rtyp) à un « macro-état » correspondant à un nombre de configurations moindre (R plus grand).
€
f ≈ k z
€
k =3kBTNb2
€
W = f (z)dz ≈ 12kZ 2
0
Z
∫
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Choix des paramètres Prendre en compte la rigidité de la chaîne :
les monomères ne s’orientent pas librement :
corrélation entre les" orientations "
en particulier pour l’ADN, l’appariement entre bases et la charge "donnent une rigidité à une échelle >> de la paire de bases !
φij
i j
→ comment modéliser la rigidité de l’ADN ?
→ quelle longueur caractéristique pour chaque segment ? 15
Longueur de persistance
z
L
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€
LP =BkBT
longueur "de persistance
Elasticité d’une tige élastique
€
B =π4Yr4 =
Y =
module de courbure
module de Young (élasticité)
• :
l’orientation décorrèle sur des longueurs ~ LP "
• et à cette échelle :/
€
R2 ≈ 2LPL
€
t (s) ⋅
t (s' ) ≈ exp − (s'−s) LP[ ]
3. Chaîne librement jointe corrigée
le modèle chaine librement jointe fonctionne bien (pour L grand),
si on prend des segments appropriés, de taille
b = 2LP = longueur de Khun
avec N = L/b = L/2LP
b
€
R2 ≈ 2LPL
€
R2 ≈ Nb2 = Lbcorde élastique L >> LP chaine librement jointe"
(marche aléatoire)
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Comparaison avec les données
« ressort » : F=kx
données exp.
peut-on "faire mieux ?
Bustamante et al. Science 1994
LP ≈ 50 nm "(~150 bp) ajusté à faible force,"
moins bien plus loin d’où la valeur de
B~2 10-28 J m
fit - ADN :
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le modèle du ver ou Worm Like Chain (WLC)
modèle continu (corde élastique) :
énergie de "courbure
énergie "d’étirement
z
L
€
€
EWLC =kBT A2
∂ t (s)∂s
2
ds −0
L
∫ f cosθ (s)0
L
∫ ds
formule d’interpolation de la solution exacte :
€
f =kBTA
14 1− z /L( )2
+zL−14
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
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le modèle du ver ou Worm Like Chain (WLC)
modèle du �ver (WLC) et �interpolation
Bustamante et al. Science 1994
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Simuler l’élasticité entropique
distribution des rayons typiques calculée pour une chaine"librement jointe avec 100 sphères. 21
Rappelons-nous le principe
plus de configurations (S>), "énergie (E=-ƒz) plus élevée
moins de configurations (S<), "énergie (E=-ƒz) plus basse
ƒ ƒ z z
A ƒ donnée un équilibre entre ces deux tendances s’établit
« poids » d’une configuration " d’énergie –ƒz = facteur de Boltzmann : e+߃z
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Simulations Monte Carlo
€
< z > = Pii∑ zi
Pi =exp(−βUi)
Z=exp(βfzi)
Z
On cherche à calculer
où i = configurations et
Idée : générer des configurations zj avec les fréquences Pi :
la moyenne devient alors arithmétique,
€
< z > =1N
j
N
∑ z j
voir cours Pascal Viot !
Problème : retrouver le comportement moyen de la chaine "à l’équilibre : <z> à ƒ donnée.
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Simulations Monte Carlo
Image :
calcul direct Monte Carlo
× exp(-ßU)
U U
comment générer ces configurations ? 25
Simulations Monte Carlo Algorithme de Metropolis :
i j1
j2
1. A partir d’une configuration i on génère une nouvelle configuration j (en « déplaçant » le point : marche aléatoire)
On montre alors que la distribution obtenue est f exp(-ßU)
exp[-ß( Uj – Ui )] .1 exp[-ß( Uj – Ui )] >1
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2. la nouvelle configuration est acceptée avec une probabilité ∏i→j = min { exp[-ß( Uj – Ui )], 1}
Application aux polymères Difficulté en 3D : générer une nouvelle configuration sans"
« casser » la chaîne
2 méthodes :" rotation d’un segment rotation autour de deux nœuds
En 3D, il faut définir et utiliser des matrices de rotation
Notre exercice sera 1D : des +b et des –b …. 27
Le TD numérique
+b +b +b –b +b –b +b +b –b +b –b configuration initiale, z0 = ∑(±b)" énergie = -ƒz0
+b +b +b +b –b –b +b +b +b +b –b nouvelle configuration, zN = ∑(±b)" énergie = -ƒzN"
la nouvelle configuration est acceptée avec ∏i→j = min { exp[-ß( Uj – Ui )], 1} :
Rem : 0 < ∏i→j < 1 ;" - on tire un nombre aléatoire test (un nouveau test à chaque fois !)" - on compare test à ∏i→j : si test ≤ ∏i→j on accepte," si test > ∏i→j on recommence avec une " nouvelle config, " jusqu’à accepter (boucle while)
0 ∏ 1
∏ 1-∏
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
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Le TD numérique Pour chaque valeur de la force :
transitoire pour équilibrer puis calcul de <z>
f1
f1,z1
f2,z2
f2
f3
f3,z3
z3
z2
z1
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