7/13/2019 Corrige Exos Couts Etat Pn

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TES-spe Exercices corriges

Exercice 1

Le cout total C(q) dune production dune quantite q avec q [0; 15] est modelise par une fonctionpolynome de degre 2. Le cout marginal est assimile a la derivee du cout total.La quantite qest donnee en tonnes et les couts en milliers deuros.Les couts fixes sont de 8,5 milliers deuros et que le cout total pour une tonne est de 9000 euros.

Le cout marginal pour une production de une tonne est de 600 euros par tonne.1. Traduire ces donnees par un systeme dequations dont les inconnues sont les coefficients du po-

lynome du second degre.

Solution:

Attention : Les cout sont donnes en milliers deuros.

9000 euros=9 milliers deuros et 600 eruos =0,6 milliers deuros

C(q) est une fonction polynome de degre 2 doncC(q) secrit sous la forme C(q) =ax2 + bx+ caveca, b et c reels (a = 0)

Les couts fixes sont de 8,5 milliers deuros donc C(0) =c = 8, 5Le cout total pour une tonne est de 9000 euros soit C(1) =a + b + c= 9

Le cout marginal est assimile a la derivee du cout total et C(q) = 2aq+ b

Le cout marginal pour une production de une tonne est de 600 euros par tonne soit C(1) =2a + b= 0, 6

Il faut donc resoudre :

c= 8, 5

a + b + c= 9

2a + b= 0, 6

2. Donner lecriture matricielle de ce systeme dequations

Solution:

Avec A=

0 0 11 1 1

2 1 0

, B =

8, 59

0, 6

et X=

abc

lecriture matricielle du systeme est AX=B

3. En deduire lexpression de C(q)

Solution:

Avec la calculatrice MENU RUN puis touche F1 MAT pour saisir les matrices

Ensuite calculer A1 B (MENU RUN puis OPTIONS puis MAT)

A1 =

1 1 12 2 1

1 0 0

et

X=A1 B=

1 1 12 2 11 0 0

8, 59

0, 6

=

0, 10, 48, 5

Exercice 2

En 2012, les clients dune banque nationale se repartissent en deux categories :Categorie A composee des clients se rendant regulierement a la banqueCategorie B composee des clients utilisant les services internet pour leurs transactions

7/13/2019 Corrige Exos Couts Etat Pn

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En 2012, 92% des clients sont dans la categorie A.On admet que chaque annee, 5% des clients de la categorie A deviennent des clients utilisant internetet passent donc dans la categorie B et 1% des clients de la categorie B passent dans la categorie A.On suppose que le nombre total de clients de la banque demeure constant au cours des annees.On note Pn = (an bn) ou an et bn sont les pourcentages de clients respectifs des categories A et B aucours de lannee 2012+n.

1. Determiner P0.

Solution:

En 2012, 92% des clients sont dans la categorie A

donc P0=

92 8

2. Exprimer an+1 et bn+1en fonction de an et bn

Solution:

5% des clients de la categorie A deviennent des clients utilisant internet et passent donc dansla categorie B

donc 95% de an restent dans la categorie A soit 0, 95an1% des clients de la categorie B passent dans la categorie A

donc 0, 01bnOn aura au total, lannee suivante pour la categorie A : an+1= 0, 95an+ 0, 01bn

De meme, 5% des clients de la categorie A deviennent des clients utilisant internet et passentdonc dans la categorie B

donc 0,05% de an passent dans la categorie B soit 0, 05an1% des clients de la categorie B passent dans la categorie A

donc 99% restent dans la categorie B soit 0, 99bn

On aura au total, lannee suivante pour la categorie B : bn+1= 0, 05an+ 0, 99bn

En deduire la matrice M telle que Pn+1= Pn M

Solution:

En posant M=

0, 95 0, 010, 05 0, 99

On a alors :

Pn M=an bn

0, 95 0, 050, 01 0, 99

=

0, 95an+ 0, 01bn 0, 05an+ 0, 99bn

=an+1 bn+1

3. Calculer alorsP1, P2 et P10avec la calculatrice et interpreter ces resultats

Solution:

P1=P0 M=

87, 48 12, 52

En 2013, 87,48% des clients sont dans la categorie A et 12, 52 % des clients sont dans lacategorie B

P2=P1 M=P20 M

83, 2 16, 8

En 2014, environ 83,2% des clients sont dans la categorie A et 16,8 % des clients sont dans la

categorie B

P10=P100 M

57, 2 42, 8

En 2012+10=2022, environ 57,2% des clients sont dans la categorie A et 42,8 % des clients

sont dans la categorie B