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corrigé du Sujet PT - SI A - 2005

"ROBOT POUR LA CHIRURGIE ENDOSCOPIQUE" 2- ANALYSE FONCTIONNELLE Question 1. : Energie

électrique Paramètresopérateur

Compléter la description fonctionnelle sous forme SADT d’un « axe » du robot chirurgical en remplissant les 3 cases vides des grandeurs physiques et les 4 cases vides des fonctions, sur le tableau « Réponse 1 » du document réponses. Grandeurs physiques : G1 Mouvements (consignes) du chirurgien G2 Informations électriques (consignes) G3 Informations électriques (consignes) traitées G4 Energie électrique G5 Mouvements de l'instrument chirurgical + effort Fonctions : F1 Transformer les mouvements du chirurgien en informaF2 Traiter les informations (consignes) électriques F3 Distribuer l’énergie électrique en fonction des consignF4 Transformer l’énergie électrique en énergie mécanique Question 2. : Proposer des solutions techniques qui permettent de réaliser ce- Compléter la figure R2 en mettant en place les blocs fonction- Donner dans les cases prévues sous la figure R2, la désignproposés pour réaliser les transformations, et les fonctions décces tableaux n’est pas imposé). Moyens : M11 Capteur d’effort M12 Dispositif de traitement M13 Préactionneur électrique (carte de

commande) M14 Actionneur électrique Grandeurs physiques : G11 Signal électrique (information) G12 Signal électrique traité G13 Energie électrique Fonctions : F11 Transformer l’effort exercé sur l’outil en

signal électrique (information) F12 Traiter le signal électrique F13 Distribuer l’énergie électrique F14 Transformer l’énergie électrique en effort Question 3. : Proposer une expression de la fonction de service qui défind’extrémité (figure 1-7) du bras du robot esclave ; proposer trois critères que vous jugez importants pour quantif FS : permettre la fixation de l’instrument chirurgicalCritères : résistance aux efforts ; précision du positionnement fonctionnement des poussoirs ; adaptabilité aux form

Corrigé PT SIA – 2005

Console

Dispositif de traitement

Energie électrique Programme

Un « axe » du robot esclave

Energie électrique

Paramètres de réglage du robot

Moteur et chaîne cinématique

G1 G2

G4

G5

F1

F2

F3

F4

Carte de commande d’axe (préactionneur)

G3

tions électriques (consignes)

es pour générer les mouvements de l’instrument

système à retour d'effort ; nels ; ation des grandeurs physiques transformées, les moyens rivant ces transformations (le nombre de lignes utiles de

Effort exercé sur

Effort exercé sur la main du chirurgien

l'outil chirurgical

G12F12

M12

G13 F13

M13

F14

M14

Energie électrique

G11F11

M11

it la relation entre l’instrument chirurgical et la plaque

ier cette fonction de service.

sur la plaque d’extrémité ;

; rapidité de montage/démontage ; liberté de es d’instruments.

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3- RESPECT DES CRITERES ASSOCIES A LA FONCTION DE SERVICE "FS 1" 3-1 Traitement du problème d’hyperstatisme Question 4. : Déterminer γ, le « nombre cyclomatique » ou nombre de cycles indépendants de la structure étudiée.

1+−= solidesliaisons NNγ = 8 – 7 + 1 = 2 cycles Question 5. : Mettre en place le système des 6 équations de cinématique qui correspond à la fermeture de la chaîne de solides (3-5-4-6-3) et aux liaisons en A, B, D, C. Les torseurs cinématiques seront pour cela exprimés au point A et dans la base (X0, Y1, Z1). Equation de fermeture de chaîne : 03/66/44/55/3 =+++ VVVV Ecriture des torseurs :

)1,1,0(

355/3

00000

zyxA

pV

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

)1,1,0(54

54

54

)1,1,0(

544/5

cos0sin0

0

00000

zyxAzyxBpp

ppV

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅⋅−⋅⋅−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=θθ

ll

car : 05405404/54/5,4/5, ^^ zpxpyBAVV BAr

lrr

lrrrr

⋅⋅−=⋅=Ω+=

)1,1,0(46

46

46

)1,1,0(

466/4

cos0)sin(0

0

00000

zyxAzyxDpcp

ppV

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅⋅−⋅−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=θθ

ll

car : 146046046106/46/4,6/4, )^(^ ypczpxpzcyDAVV DArr

lrrr

lrrrr

⋅⋅+⋅⋅−=⋅⋅=Ω+= +

)1,1,0(

63

63

)1,1,0(

633/6

000

0

00000

zyxAzyxC

pcpp

V⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

car : 16306313/63/6,3/6, ^^ ypcxpzcCAVV CArrrrrrr

⋅⋅=⋅=Ω+= Ecriture du système d’équations : Projection des vecteurs rotation :

sur X0 : = 0 (1) 63465435 pppp +++sur Y1 : 0 = 0 (2) sur Z1 : 0 = 0 (3)

Projection des vecteurs vitesse : sur X0 : 0 = 0 (4) sur Y1 : + + = 0 (5) θsin54⋅⋅− pl )sin(46 θ⋅−lcp 63pc⋅sur Z1 : = 0 (6) θcos54⋅⋅− pl θcos46⋅⋅− pl

Question 6. : Déterminer le rang « rc » du système des équations de fermeture de chaînes cinématiques qui correspondent à la structure étudiée (figure 3-3) - vérifier à partir de ce résultat la mobilité « mc » de la structure ; - déduire son degré d’hyperstatisme « h ».

Figure 3-3

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les équations (2), (3), (4), (8), (9), (10) ne sont pas linéairement indépendantes ; donc rc = 12-6 = 6 alors : mc = Nc – rc = 8 – 6 = 2 ce qui est correspond aux deux paramètres de position λ et θ. Et h = 6γ - rc = 6x2 – 6 = 6 Question 7. : On souhaite éviter les effets néfastes de l’hyperstatisme en ajoutant des mobilités dans les liaisons de la structure. On choisit de modifier les liaisons 5/4 et 4/6 (respectivement point B et point D sur la figure 3-3). Proposer une liste de mobilités judicieusement choisies permettant de répondre au problème, et donner la nouvelle écriture des torseurs cinématiques de ces deux liaisons. Les mobilités à ajouter devront permettre d’augmenter le rang du système des 12 équations de cinématique et donc intervenir sur les équations (2), (3), (4), (8), (9), (10) ; il s’agit donc des 6 mobilités suivantes : q54, r54, u54, q46, r46, u46. (on vérifie facilement que le nouveau système d’équations est un système de 12 équations linéairement indépendantes). Les torseurs des deux liaisons modifiées s’écrivent :

)1,1,0(54

54

54544/5

00

zyxBrq

upV

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

= ; )1,1,0(46

46

46466/4

00

zyxDrq

upV

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

= ;

3-2 Traitement du problème géométrique et cinématique 3-2-1 Phase de mise en position Question 8. : Ecrire la relation vectorielle qui traduit que, dans la position d’initialisation (λ=0), le point T1 est centre instantané de rotation du mouvement de l’instrument (solide 8) par rapport au repère R0 (réalisation du critère associé à la fonction de service FS1).

00/8,1rr

=TV Question 9. : Dériver le vecteur position 11TO

r pour en déduire :

- la valeur de la dimension e1 à respecter, en fonction de certaines dimensions du robot ; - la valeur de la cote d’initialisation λ0, en fonction de la dimension « f1 » de l’instrument chirurgical.

1111 TEEAAOTOrrrr

++= = 101 zλyd rr⋅+⋅ 00 zwyv rr

⋅+⋅− 1z1f1y1err⋅−⋅−

0/8,1TVr

= =)( 11TOdtd r

)zλy(ddtd 101

rr⋅+⋅ + )1z1f1y1e( rr

⋅−⋅−dtd = 101 λd yz rr ••

⋅⋅−⋅⋅ θθ 1111 fe yz rr⋅⋅+⋅⋅−

••θθ

= ))λ()-e(d( 10111 yfz rr−+⋅⋅

•θ

00/8,1rr

=TV ⇒ e1 = d et λ0 = f1 Question 10. : Déterminer en fonction des grandeurs dimensionnelles caractéristiques du robot (tableau 3-4), la valeur des cotes "ET" et "HT".

111101 TEEAAOTOTOrrrrr

++== = 101 zλyd rr⋅+⋅ 00 zwyv rr

⋅+⋅− 1z1f1y1err⋅−⋅− = 00 zwyv rr

⋅+⋅−

ET = = v et H001 yTO rr⋅− T = = w 001 zTO rr

⋅ Question 11. :

Exprimer le vecteur en fonction de et , dans la base →A,5/0V

•θ

•λ )z,y( 11

rr ;

ce sont des liaisons « sphère-cylindre » (ou linéaires annulaires)


Démontrer que le solide (5) est animé d'un mouvement de translation par rapport à (0), puis donner l'expression de →E,8/0V , en fonction de , et des grandeurs dimensionnelles, dans la base

•θ

•λ )z,y( 11

rr

== )( 10/5, AOdtdVA

rr)z)λ(y(ddt

d 101rr⋅−+⋅ λ = 1101 )λ(d zyz rrr

⋅−⋅⋅−−⋅⋅•••λθλθ

)()( 110/5, BAAOdtdBOdt

dVBrrrr

+== = )()( 01 ydtdAOdt

d rl

r⋅+ = 0/5,1 )( AVAOdt

d rr=

les points A et B du solide (5) ont même vecteur vitesse ; (5) est donc en translation.

Alors = 0/5,0/5,0/8, AEE VVVrrr

== 1101 )λ(d zyz rrr⋅−⋅⋅−−⋅⋅

•••λθλθ

Question 12. : Exprimer dans la base , et vérifier que le résultat respecte le critère associé à la fonction de service T,8/0V

r)z,y( 11

rr

FS1. On a 11001111 )(1z1yd1z1f1y1e ydzzzETTTET rrrrrrrrrrr

⋅+⋅−=⋅+⋅+⋅−=⋅+⋅+⋅−=+= λλλλλ

0/80/8,0/8, ^Ω+=rrrr

ETVV ET = + [ ] = . 1101 )λ(d zyz rrr⋅−⋅⋅−−⋅⋅

•••λθλθ 0110 ^)( xydz rrr •

⋅+⋅− θλλ 1zr⋅−•λ

010/8, =⋅yVTrr

; le critère associé à la fonction de service FS1 est donc respecté. 4- RESPECT DES CRITERES ASSOCIES A LA FONCTION DE SERVICE "FS 3" 4-2-1 Vérification de la vitesse de rotation maximum du moto-réducteur. Question 13. : Déterminer la vitesse nominale de translation du coulisseau (4) ; vérifier la conformité avec le cahier des charges. Vnom = Nnom . 2 . π / 60 . Φ1 / 2 = 6,28 . 19,8 . 10-3 = 0,124 m / s Conformité car Vnom> 0,1 m / s. 4-2-2 Vérification du temps t1 de mise en vitesse Question 14. : Isoler l’ensemble rotor et pignons du mot+ coulisseau à crémaillère (4) + partie supérFaire le bilan, sans détailler les éléments disolé et préciser si les puissances correspon Isolons l’ensemble rotor et pignon(3)+ pignon-crémaillère + partie supBilan des actions mécaniques extérie

ActExpression du torseur Puiss. gaT (Bâti → 3) P(B → 3


o-réducteur (1) + poulies-courroie (2) + arbre intermédiaire (3) + pignon (3’) ieure du robot + tambour (3’’) + câble (5) + renvoi (6) + contre-poids (7) . e réduction des torseurs, des actions extérieures et intérieures à l’ensemble dantes sont nulles ou non nulles.

s du moto-réducteur + poulies-courroie + arbre intermédiaire érieure du robot + tambour-câble + contre-poids, ures :

ions mécaniques extérieures liléenne ( = 0 ou ≠ 0) Justifications / B ) = 0 - pas de frottements

- la liaison ne se déplace pas

O

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T (Bâti → 6) P(B → 6 / B ) = 0 - pas de frottements - la liaison ne se déplace pas

T (Bâti → 4) P(B → 4 / B ) ≠ 0 - frottements dans la liaison T (Pesanteur → 7) P(Pes. → 7 / B ) ≠ 0 - déplacement vertical de 7 T (Pesanteur → 4) P(Pes. → 4 / B ) ≠ 0 - déplacement vertical de 4 T(Bât.+st.1→ Rot.1+pign.) P(B → Rot.1+pign. / B ) ≠ 0 - puissance du moto-red.

Actions mécaniques intérieures Expression du torseur Puiss. inter-efforts ( = 0 ou ≠ 0) Justifications T (5 ↔ 6) P (5 ↔ 6 ) = 0 - pas de glissement câble/poulie T (2 ↔ poulies) P (2 ↔ poulies ) = 0 - pas de glissement courroie/poulies

- courroie inextensible T (5 ↔ 3’’) P (5 ↔ 3’’ ) = 0 - pas de glissement câble/poulie T (3’ ↔ 4) P (3’ ↔ 4 ) = 0 - pas de frottement Question 15. : Exprimer la somme des puissances des actions de pesanteur sur l’ensemble isolé ; montrer que cette somme est nulle lorsque le contre-poids (7) et le tambour (3’’) d’enroulement du câble sont correctement dimensionnés (critère d’équilibrage statique associé à la fonction de service FS5) . Exprimer littéralement la somme des puissances pendant la phase de montée, en fonction de Cred , ωred , Zgliss , Φ1 et M. Expression de la vitesse de déplacement du contre-poids : Vc = - Φ1 / 4 . ωred = - λ’ / 2. Expression de la puissance des actions de pesanteur sur l’ensemble isolé : P(Pes. → (7+4) / B ) = - 2 . M . g . Φ1 / 4 . ωred + M . g . Φ1 / 2 . ωred = 0 Pext + Pint (en montée) = Cred . ωred - Zgliss . ωred . Φ1 / 2 Question 16. : Exprimer littéralement l’énergie cinétique galiléenne instantanée de l’ensemble isolé, en fonction de ωred , J1 , J2 , Φ1 et M. En déduire l’expression littérale du moment d’inertie équivalent Jéqu, à toutes les pièces en mouvement, ramené à l’arbre de sortie du réducteur. Faire l’application numérique (trois chiffres significatifs sont attendus). Expression littérale de l’énergie cinétique galiléenne instantanée : Ec tot = ½ [ J1 + J2 + M . Φ1

2 / 4 + 2 . M . Φ1

2 / 16 ] . ωred

2 = ½ [ J1 + J2 + 3 . M . Φ1

2 / 8 ] . ωred

2

On en déduit l’expression littérale du moment d’inertie équivalent : Jéqu = [ J1 + J2 + 3 . M . Φ12

/ 8 ] Application numérique : Jéqu = 2 . 10-3 + 1 . 10-3 + 3,75 . 10-3 Jéqu = 6,75 . 10-3 kg . m² Question 17. : Ecrire littéralement le théorème de l’énergie cinétique pendant la phase d’accélération en montée, en fonction de Jéqu ,

Cred , Zgliss , Φ1 et ω•

red = d ωred /dt.

En déduire l’expression de l’accélération angulaire ω•

red pendant cette phase. Expression littérale du théorème de l’énergie cinétique : [ J1 + J2 + 3 . M . Φ1

2 / 8 ] . ωred . ω’red = Cred . ωred - Zgliss . Φ1 / 2 . ωred

On en déduit l’expression de l’accélération angulaire : ω’red = [ Cred - Zgliss . Φ1 / 2 ] / Jéqu Question 18. : Faire l’application numérique lorsque Cred = Cnom = 1,4 N.m. En déduire le temps t1 pour que le moteur atteigne la vitesse de rotation nominale Nnom et vérifier sa conformité du système par rapport au critère du cahier des charges (t1 < 0,1 s). Application numérique : ω’red = (1,4 – 10 . 19,2 . 10 -3 ) / 6,75 . 10-3 = 180 rd / s2 On en déduit le temps t1 pour que le moteur atteigne la vitesse de rotation nominale Nnom = 60 tr/mn ωred = 180 . t donc t1 = 60 . 2 π / 60 / 180 = 0,035 s Conformité du système par rapport au critère du cahier des charges t1 < 0,1 s.


Question 19. : Lorsque la partie supérieure du robot s’élève, en phase d’accélération, on souhaite vérifier que le câble est toujours tendu : exposer la démarche du raisonnement en précisant le système isolé, le bilan des actions, le théorème utilisé, l’équation de projection utile et le résultat avec application numérique. Vérifions que le câble est toujours tendu : On isole le contre-poids + brin de câble ; Bilan des A. M. Ext : Poids et Tension du câble ; P. F. D. : équation de la résultante en projection sur l’axe Z : - 2 . M . g + T = - 2 . M . Φ1 / 4 . ω’red T = 2 . M . ( g - Φ1 / 4 . ω’red ) = 11 . (9,81 – 180 . 9,6 . 10-3 ) = 11 . 8,08 = 89 N T est positif donc le câble est toujours tendu. 4-2-3 Evaluation de la fonction de transfert du moto-réducteur Question 20. : Transformer les équations temporelles ci-dessus. Remplir sous forme littérale les blocs du schéma figure R20 du document réponses. Exprimer les grandeurs physiques entre chaque bloc. Transformation des équations temporelles : U(p)- E(p) = (R + Lp) . I(p) ; E(p) = Kc . Ωm.r.(p) ; Cm(p)= kc . I(p) Cm(p) – Cr(p) – fv . Ωm.r.(p) = Jéqu . p . Ωm.r.(p) Remplissons sous forme littérale les blocs :

Question 21. :

Exprimer littéralement sous forme canonique la fonction de transfert du moto-réducteur )p(U)p()p(M redΩ= .

Expression littérale de la fonction de transfert du moto-réducteur :

ecvvequequc

ecvequc

vequec

vequc

redmoto

kkRfpLfRJpLJk

kkfpJLpRk

fpJLpRkk

fpJLpRk

pUppM ⋅++++=⋅+++=

++⋅+

++=Ω= −

)(²))(())((1

))(()(

)()(

1)(²)(

+⋅+++⋅+

⋅+=pkkRf

LfRJpkkRfLJ

kkRfk

pM

ecv

vequ

ecv

equ

ecvc

Question 22. : Après avoir analysé cette courbe, expliquer sur le document réponses sous la figure R22 pourquoi on peut négliger l’inductance L. M(p) est du second ordre. Or, la courbe de réponse ne présente pas de tangente horizontale à l’origine (sauf si on fait un zoom), ce qui est caractéristique d’un système du premier ordre. Le temps de réponse à 5% qui vaut 3 fois la constante de temps est une autre justification possible. D’autre part, Lω est très faible devant R, ce qui permet, en négligeant sa valeur, de dire que M(p) est du premier ordre.


Question 23. : Justifier analytiquement la réponse précédente à partir de l’expression de M1(p) lorsque l’on envisage une étude fréquentielle : on précisera la valeur du pôle dominant, l’autre (faisant intervenir la valeur de L) étant rejeté. Justification analytique de la réponse précédente à partir de l’expression de M1(p) : Le dénominateur de M1(p) s’écrit : (1+14,28.10-3p).(1+0,22.10-3p) Le dénominateur de M1(p) s’écrit : 3,14.10-6(p+70)(p+4545) la valeur du pôle dominant est : -70, l’autre pôle (- 4545) est très loin de l’origine du plan complexe, et n’a aucune influence sur le comportement du système. Question 24. :

Exprimer littéralement, sous forme canonique, la fonction de transfert du moto-réducteur TpGs

pUppM red

+=Ω= 1)()()(2 .

Donner les valeurs numériques de Gs et de T à partir de l’expression de M1(p) et des réponses apportées à la question 23 (3 chiffres significatifs sont attendus). Expression littérale de la fonction de transfert du moto-réducteur :

pkkRfRJ

kkRfk

pMecv

equ

ecvc

⋅++

⋅+=1

)(2 VrdxxkkRfkGs

ecvc /4366,01,21,204,010

1,2 =+=⋅+=

skkRfRJT

ecv

equ 23

10.455,11,2.1,204,0.1010.7.10

−−

=+=⋅+=

Question 25. : Déterminer les valeurs de Gs et T , à partir de la courbe de tension image de ωréd(t) figure R22 (expliquer les démarches sous la figure et comparer avec les résultats de la question 23). Valeurs de Gs et T : à partir de la courbe de tension image de ωréd(t) : On mesure T = 2.10-2 s et Gs = 1,75.6/24 = 0,437 rd/V. 4-2-4 Respect du critère de marge de phase Question 26. : Donner la fonction de transfert du bloc B(p) et la valeur du coefficient du bloc C en incr./rad. Exprimer numériquement, en fonction de k, la fonction de transfert en boucle ouverte . )p(H0

Fonction de transfert du bloc : B(p) = 1 / p ; Valeur du coefficient du bloc C = 360 . 50 / 2π = 2865 inc. / rd. Expression numérique de la fonction de transfert en boucle ouverte

ppkppkpH ⋅+⋅=⋅⋅+⋅= −− )10.455,11(125028651

10.455,11436,0)( 220 .

Question 27. : Tracer sur le document réponses figure R 27, les diagrammes de Bode du système en boucle ouverte pour k = 1. Le système est-il stable en boucle fermée pour cette valeur de k ? Répondre au bas du document réponse 27 en justifiant. Diagrammes de Bode du système en boucle ouverte pour k = 1.


0 10 5 1 10 5 210 5 310-200

-150

-100

-50

0

50

100

PULS

GAIN PHAS Stabilité en boucle fermée pour cette valeur de k : On relève une amplitude de 0 dB pour ω = 300 rd / s. La phase est de –167° donc la marge de phase est Mφ = 13 °. Le système est stable, mais cette stabilité est insuffisante car cette marge est inférieure à 45°.

Question 28. : Quelle est l’influence de la prise en compte de L sur la stabilité en boucle fermée ? (répondre sur le document réponses sous la figure R28). L’hypothèse consistant à négliger L est-elle vérifiée ? Déterminer, et expliquer à partir de constructions faites sur le diagramme de Black document réponses figure R28, la valeur k45 de k qui permet d’obtenir la marge de phase de 45 ° spécifiée dans le cahier des charges. Influence de la prise en compte de L sur la stabilité en boucle fermée :

Lorsque L n’est pas négligée, la marge de phase reste de 13°, la diminution de phase provoquée par la présence de L se manifeste dans les pulsations beaucoup plus hautes que 300 rd/s. L’hypothèse consistant à négliger L est vérifiée . Valeur k45 de k qui permet d’obtenir la marge de phase de 45 ° : La marge de phase de 45° est obtenue pour ω = 68,6 rd / s, l’amplitude est alors de 22,3 dB au lieu de 0 db. La valeur de k45 est donc de 10 -22,3/20 = 0,0767.

4-2-5 Etude de la précision de la boucle d’asservissement de position angulaire Question 29. : Calculer, pour la valeur k45 de k établie précédemment, l’écart statique εcons ∞ en incréments lorsque la consigne est un échelon de position : Cons(t) = 1.u(t). Ecart statique pour une consigne en échelon : cet écart est nul car il y a une intégration dans la boucle d’asservissement.


-300 -250 -200 -150 -100 -50 0-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

PHAS

GAIN

-2

-1

-.5.25 .5 1

-1-359 -2-358 -4-356 -7-353 -10-350 -20-340

-3030 -50-310 -70-290 -90-270 -110-250 -130 -230 -150 -210 -170 -190 -50

-40

-30

-20

-10

-5-304 6

12 2.3

-180

-22,3 dB

Question 30. : Calculer, pour la valeur k45 de k établie précédemment, l’écart statique εpert ∞ en incréments entre la consigne et la mesure lorsque la perturbation est l’échelon de couple résistant Cr.u(t) induit par les frottements secs. La chaîne cinématique de transmission est telle qu’il faut 150 incréments pour que la crémaillère se déplace de 1 mm, quelle est l’incidence de cet écart sur la position de l’instrument ? Conclure par rapport aux exigences du cahier des charges. Proposer une modification du bloc K qui annulerait cet écart. Ecart statique pour un échelon de perturbation : il n’y a pas d’intégration en amont de la perturbation donc :

.12077,0.436,02,0.1,2/10.436,0./.436,0 inck

CrkRamont

cpert ===ε

Ecart de position sur l’instrument : εinstr = 12/150=0,08 mm. Il y a conformité avec le cahier des charges car εinstr < 0,2 mm. Pour annuler cet écart, il faut placer une intégration dans le bloc K mais cela n’est pas nécessaire ici. 4-3 Vérification des performances de la chaîne de positionnement de l’instrument 4-3-2 Analyse du déplacement en translation de la crémaillère Question 31. : Exprimer le coefficient du bloc H2 ; préciser l’unité. Valeur du coefficient du bloc H2 = Φ1 / 2 = 19,2 . 10-3 m / rd . Question 32. : Quelle relation doit vérifier le produit P des gains des blocs C1 , H1 , H2 ? Justifier. Exprimer le coefficient c1 en incréments par mètre du bloc C1 . Le produit des gains des blocs C1.H1.H2 doit être égal à 1 pour avoir les mêmes échelles de variation des déplacements de la main et de la crémaillère. P = 149220.0,00035. 19,2 . 10-3=1. Cette condition est vérifiée ici. Valeur du coefficient c1 = 2865 / (19,2 . 10-3) = 149220 inc. / m. Question 33. : Exprimer le nouveau coefficient c2 du bloc C1 ainsi que le nouveau produit P1 . Valeur du nouveau coefficient c2 = c1 / 10 = 14922 inc. / m. Le nouveau produit des gains est P1 = 0,1. 4-3-3 Analyse du déplacement de l’instrument chirurgical par rapport à la crémaillère Question 34. : Etablir, à partir de cette figure R34, l’expression de la fonction de transfert H3(p) ; déterminer les valeurs caractéristiques : Gain statique, coefficient d’amortissement et pulsation propre. Fonction de transfert H3(p) : Le premier dépassement relatif est D = 11 / 20 = 0,55 donc ξ = 0,2. Le temps de réponse à 5 % est de 0,55 s et pour ξ = 0,2 on lit : tr5% . ω0 = 15 donc ω0 = 27 rd / s. Le gain statique est Gs1 = 1 .

La fonction de transfert est : ²0014,0015,011

²)²27(1

272,021

1)()()(3 pppppD

pDpHcrém

instrum

++=+⋅+

==

Question 35. : Le critère de la bande passante de 4 Hz à –3 dB est-il satisfait ? répondre et justifier sur le document réponses.


Bande passante à –3 dB : pour un système du second ordre, la pulsation de coupure à –3 dB se situe au voisinage de ω = ω0 = 27 rd/s soit f = 27/6,28 = 4,3 Hz. Le critère de la bande passante de 4 Hz est respecté. Question 36. : Le solide S1 est dans la position d’équilibre ; écrire l’équation d’équilibre. On isole S1, il est soumis à l’action de la pesanteur et à celle du ressort. Equation d’équilibre : le PFS en projection sur z donne : -m1.g - k0.a0 = 0. Question 37. : Le solide S1 est déplacé de sa position d’équilibre puis abandonné à son propre poids. Déterminer l’équation différentielle du mouvement autour de la position d’équilibre. Après avoir mis l’équation différentielle du mouvement sous forme canonique :

0)()()( =+⋅+⋅•••

tztzBtzA , exprimer le coefficient d’amortissement ζ3 et la pulsation propre ω03 du mouvement en fonction de k0, f0, m1 . Equation du mouvement autour de la position d’équilibre : Le PFD en projection sur z donne : -m1.g - k0.(a0 + z) – f0.dz/dt = m1.d²z/dt² soit, d’après la condition d’équilibre, m1.d²z/dt² + f0.dz/dt + k0.z = 0

et sous forme canonique : 0.².0

02

01 =++ zdt

dzkf

dtzd

km

Pulsation propre : 1003 m

k=ω ; Coeff d’amortissement : 10

000

03 .

1..21..2

1mkfk

f == ωζ

Question 38. : Pour la valeur de ω03 calculée précédemment, déterminer la valeur minimale de la raideur k0 (en N/m) qui permettrait de respecter le critère de la bande passante à –3 dB de 4 Hz. (On notera que ω-3dB > ω03 ).

Valeur minimale de la raideur du ressort : 103 ..2

1mkf π= donc

mNfmk /101016.6,1.87,9.4.²..4 2310 === π .

4-3-4 Analyse du déplacement de l’instrument par rapport au déplacement de la main. Question 39. : Mettre en évidence sur le document réponses et donner les valeurs numériques : de l’écart dynamique maximal ; de l’écart de traînage (ou de vitesse) εv en régime établi, du retard de traînage. Le cahier des charges est-il satisfait pour ce dernier critère ? Déplacement de l’instrument par rapport à la main.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

TEMPS (s)

Déplacements (m)

0,005 m

0,0025 m

0,02 s

Ecart dynamique maximal : 0,005 m Ecart de traînage : 0,0025 m Retard de traînage : 0,02 s Conformité par rapport au cahier des charges ? Respect du CDCF quant au retard de traînage


Question 40. : Déterminer à partir de cette courbe, l’amplitude du mouvement pris par l’instrument. Quelle est la conséquence de ce mouvement sur la plaie chirurgicale ? Amplitude du mouvement de l’instrument : Le gain mesuré pour une période de 0,25 s soit une pulsation de 25,12 rd / s est de 8,5 dB soit 10 8,5/20 = 2,66. L’amplitude est plus que doublée, le patient risque de ne pas apprécier mais heureusement, il dort pendant l’opération. 4-3-5 Amélioration des performances dynamiques. Question 41. : Tracer sur le document réponses figure R41, les trois courbes asymptotiques d’amplitude de ces filtres avec des couleurs différentes. Sachant que les mouvements dont la période est inférieure à 1 s ne doivent pas être atténués de plus de 1 dB, choisir le numéro 1, 2 ou 3 du filtre qui atténue de 8 à 10 dB le tremblement de la main de période 0,25s. Tracer sur cette figure, dans une autre couleur, l’allure de la courbe d’amplitude corrigée par ce filtre. Le niveau de 4 Hz, de la bande passante à –3dB du critère de rapidité est-il toujours respecté ? Tracé des diagrammes asymptotiques d’amplitude des filtres : N° 1 ⇒ T1 N° 2 ⇒ T2 N° 3 ⇒ T3

8,5 dB

25 rd/s

1

2

3

6,28 rd/s

H(p) et 2

Choix du filtre : Le N° 1 coupe à 1 / 0,04 = 25 rd / s donc ne supprime pas le pic à 8,5 dB : il ne convient pas ; Le N° 3 coupe à 1 / 0,5 = 2 rd / s donc en dessous de 6,28 rd / s (1 Hz) : il ne convient pas ; Le N° 2 coupe à 1 / 0,1 = 10 rd / s et élimine à peu près correctement le pic à 8,5 db.


Voici la courbe de gain réelle après filtrage : Voici la courbe de gain réelle après filtrage :

0 10 2 5 110 2 5 2 10 -50

-40

-30

-20

-10

0

10

PULS

GAIN

5- RESPECT DES CRITERES ASSOCIES A LA FONCTION DE SERVICE "FS 4 : 5-1 Etude de résistance Les caractéristiques mécaniques du matériau sont : - Module d'élasticité longitudinal : E = 130 000 N.mm-2 - Contrainte de limite élastique : Re = 1700 N.mm-2

- Masse volumique : 1550 kg.m-3 Question 42. : Comparer l'utilisation de ce matériau par rapport à un tube de même section en acier S235 ? (On comparera la raideur et la résistance) ; La comparaison de la raideur s’effectue à partir du module d’élasticité longitudinal E : E acier = 220 000 N.mm-2 donc la raideur du matériau utilisé est plus faible que celle de l’acier, d’un facteur 0,6. La comparaison de la résistance s’effectue à partir de la contrainte de limite élastique Re : Re acier = 235 N.mm-2 donc la résistance du matériau utilisé est 7 fois plus élevée que celle de l’acier. Figure 5-3 Question 43. : Donner l'expression littérale du moment quadratique "ISy", de la section de tube par rapport à l'axe Sy et calculer sa valeur en mm4 .

S

Z

Y Di

De

Isy = )(64

44 DiDe −π = 527 mm4

diamètre extérieur : De = 12 mm ; diamètre intérieur : Di = 10 mm. Surface : St = 34,6 mm2 .


On suppose que chacun des quatre tubes de longueur "Lt" = 600 mm, est sollicité équitablement sous l'effet de l'action "Fop" exercée par l'opérateur sur la plaque EE’J’J. Question 44. : Tracer le diagramme du moment de flexion le long d'un tube et calculer la valeur maximale de celui-ci. (On utilisera le repère (X,Z) de la figure 5-4 dans lequel l’axe de la poutre est porté par X). Mf maxi = Lt x Fop/4 = 15 Nm Question 45. : Déterminer la contrainte normale maximale dans un tube ; Conclure par rapport au cahier des charges.

2max

maxDe

ISyMf i

i ⋅=σ = 170 N.mm-2 (ou Mpa)

Le coefficient de sécurité est s = 1700 / 170 = 10 D’où conformité par rapport au cahier des charges qui imp 5-2 Etude des déformations Question 46. : Déterminer l'expression littérale, puis donner la valeur numérique de l5-2). La raideur d’un tube est 3

3t

SY

LIE⋅⋅ ; la raideur des 4 tubes p

= 1SZK 312

t

SY

LIE⋅⋅ = 3,8 N mm-1

5-2-1 Evolution de la structure du bras inférieur (E, F) Une structure en treillis triangulaire (E, F, H), constitués de tubes est utilisée pour augmenter la rigidité du bras inférieur (E, F) (voir la figure 5-6).

E

Fz inf 90Hypothèse de travail : on considère que l’assemblage entre les tubes au point E d'une part, et entre les tubes et le reste de la structure aux points F et H d'autre part, se comporte comme une liaison rotule ; le modèle d'étude est donné figure 5-7 . Tous les calculs seront effectués pour un effort = 100 N. infZF Question 47. : Déterminer la nature et la valeur numérique des sollicitations existraisonnement rigoureux est exigé) ; Effectuons l’inventaire des actions exercées sur le nœud E

- l’action Fzinf ;


Figure 5-4
Z
X

Lt = 600 O

Fop/4

Mf(x)

ose 5.

a raideur " " de la structure à 4 tubes (figure 1SZK

lacés en parallèle est 4 fois plus grande :

:

Figure 5-7

F

H

Z0

Y0

600

ant dans le tube EF, puis dans le tube EH (un

:

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- l’action de la poutre EF : c’est une force portée par la direction EF (par isolement de la poutre EF qui n’est soumise qu’à deux actions, et application du principe fondamental de la statique).

- L’action de la poutre EH : c’est une force portée par le direction EH (même raisonnement) Traçons le triangle des forces : Ceci montre : La poutre EF en compression : La poutre EH en extension. Et on a les efforts normaux : (avec tg(a)=0,15) NEF = - FEF = - Fzinf / tg(a) = - 667 N NEH = + FEH = + Fzinf / sin(a) = + 674 N Question 48. : Déterminer les valeurs numériques (en mm) des allongements HEFE et δδ (valeurs algébriques) des tubes EF et EH.

StENFEFE

FE ⋅⋅= lδ = - 0,0889 mm et StE

NHEHEHE ⋅

⋅= lδ = 0,0909 mm

Question 49. : Donner l'expression (algébrique) en mm du déplacement vertical infZδ de l'extrémité E de la partie de la structure

triangulaire en fonction de . HEFE et δδCalculer numériquement ; En déduire la raideur " " de cette partie de structure triangulaire . infZδ infZK Après déformation, la position du point E est située à l’intersection des deux cercles : - cercle de centre F et de rayon R1= FEFE δ+l = 599,911 mm - cercle de centre H et de rayon R2= HEHE δ+l = 606,803 mm Ecrivons l’équation de chaque cercle dans le repère (F,Y0,Z0) (avec h=HF=90 mm): et 2

122 Rzy =+ 2

222 )( Rhzy =++

et résolvons le système ainsi constitué ; on obtient : )(21 22

122 hRRhz −−=

l’application numérique nous donne : = 1,38 mm donc KzinfZδ inf = 72,5 N.mm-1 5-2-2 Evolution de la structure du bras supérieur (J, L) : L'utilisation d'un logiciel de calcul par éléments finis a permis d'obtenir, sous l'effet d'un effort

supZF = 100 N,

• la déformée proposée sur la figure 5-8

• les réactions suivantes aux appuis, sur la structure :

Question 50. : Tracer le long des poutres (N, M) et (J, L), les diagfléchissant. (on travaillera avec la convention du to

Fz inf

FEF→E

FEH→E

a


Figure 5-8

L

Fz sup

J

NM

Y0

Z0

supZδ

rr

Point M Point L Résultante / y0 - 298 N 298 N Résultante / z0 - 50 N - 50 N Moment / x0 15 Nm 15 Nm

ammes de l'effort normal, de l'effort tranchant et du moment seur de cohésion qui utilise les actions exercées par la partie située à

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droite de la section fictive, sur la partie située à gauche de celle-ci). En déduire une figure qui précise les actions (forces et moments orientés, avec les valeurs numériques) exercées aux points J et N par les tubes, sur le tronçon JN. Poutre (N,M) : Poutre (J, L) : tronçon JN :

Effort normal

N M

- 298 N

Effort tangentiel

Effort normal

J L298 N

Effort tangentiel

- 15 NmN -298N

-50N

N M

- 50 N

J L

- 50 N J 298N

-50N

Moment fléchissant

N M

- 15 Nm

15 Nm

Le logiciel a aussi donné le déplacement

l'effet d'un effort = 100 N . Zδ

supZF Question 51. : En déduire la raideur " " de cette pasupZKcomplète (comprenant deux parties supérieu On déduit la raideur = 7,46 NsupZKcelle de la structure triangulée HEF) La raideur totale est la somme des deDonc = 2 ( 7,46 + 72,5) = 160 2SZKNota : les résultats de la question 38bande passante de 4 Hz ; celle-ci pou 6- OPTIMISATION DE LA C Question 52. : La relation R12 est une relation causale (ou expliquer pourquoi, en exprimant la grans’effectue la transformation d’énergie dans l La relation est causale car on exprim

par une fonction intégrale des grandevaleurs présentes et passées des granOn peut aussi dire que la relation R12(V) est supérieur à l’ordre de dérivati Il y a accumulation d’énergie sous fo


Moment fléchissant

J L

- 15 Nm

15 Nm

= 13,4 mm de l'extrémité J de la partie de la strusup

rtie de structure rectangulaire, ainsi que la raideur "res rectangulaires et deux parties inférieures triangu

.mm-1 (Nota : on observe qu’elle est 10 ; ux raideurs, et multipliée par 2 du fait de laN.mm-1 conduisaient à un besoin d’une raideur derra donc être nettement améliorée.

OMMANDE

« unilatérale » ou « orientée ») ; deur de sortie en fonction de la grandeur d’ente système concerné.

e la grandeur de sortie : ∫−=T

0111 m

1)0(V)T(V

urs d’entrée (la grandeur de sortie est fonctdeurs d’entrée). est causale car l’ordre de dérivation de la on de la grandeur d’entrée (F).

rme cinétique.

- 15 Nm

cture rectangulaire sous

" de la structure 2SZKlaires).

fois plus faible que

double structure.

1 N.mm-1 pour une

rée ; préciser comment

+ dt))t(Fr)t(Fa(

ion uniquement des

grandeur de sortie

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Question 53. : Les relations R6 et R7 sont des relations dites « rigides » ou « non strictement causales » ; expliquer pourquoi.

Les relations R6 : )(2)( 10 ttV rédωφ ⋅= et R7 : )(2)( 1 tFtC arar ⋅=φ sont dites « rigides » car elles peuvent être

inversées par )(2)( 01

tVtréd ⋅=φω et )(2)(1

tCtF arar ⋅=φ tout en respectant le principe de causalité (la

grandeur de sortie est fonction uniquement des valeurs présentes et passées des grandeurs d’entrée). Question 54. : Donner l’expression de la relation R10 qui décrit le comportement de l’amortisseur ; indiquer la nature (causale ou rigide) de cette relation. Relation R10 : ; c’est une relation rigide. )()( 0 tVftFa ∆⋅= Question 55. : Donner la relation R11 qui décrit le comportement du ressort ; indiquer la nature (causale ou rigide) de cette relation ; préciser comment s’effectue la transformation d’énergie dans le système concerné. Relation R11 : ))t(Z)t(Z(k)0(Fr)t(Fr 010 −+=

ou encore : ; c’est une relation causale ; ∫ ∆+=T

dttVkFrTFr00 )()0()(

il y a accumulation d’énergie sous forme potentielle. Question 56. : Le processeur associé aux relations R6 et R7 est un élément de couplage de type « modulateur » ; que peut-on dire de la forme prise par l’énergie de part et d’autre de cet élément ? Les énergies de part et d’autre sont de même nature (mécanique). Question 57. : Le processeur associé aux relations R2 et R3 est un élément de couplage de type « gyrateur » ; que peut-on dire de la forme prise par l’énergie de part et d’autre de cet élément ? Les énergies de part et d’autre sont de nature différente : mécanique et électrique.


7- RESPECT DES CRITERES ASSOCIES A LA FONCTION DE SERVICE "FS 6" Question 58. : Après avoir analysé le principe de fonctionnement du capteur inductif et du codeur, établir sur la figure R58 du document réponses, le grafcet de prise d’origine (graphe POM) selon un point de vue partie commande, relatif au mouvement de translation de l’outil … Grafcet de prise d’origine :

Fin du corrigé.


corrigé du sujet pt - si a - 2005 robot pour la chirurgie...

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