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Contrôle frontière de systèmes paraboliques endimension N d’espace

Guillaume OLIVE

I2M, Aix-Marseille Université

Journée Jeunes ContrôleursJeudi 13 février 2014

Plan

1 Introduction

2 Une condition suffisante de contrôlabilité approchée en dimension N

3 Le tour du rectangleCaractérisations de la contrôlabilité approchéeUn résultat de contrôlabilité à zéro

4 Commentaires et perspectives

G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 2 / 33

Plan

1 Introduction





Position du problèmeSoit Ω ⊂ RN un ouvert borné. On note QT = (0,T )× Ω et ΣT = (0,T )× ∂Ω.On cherche à obtenir des résultats de contrôlabilité frontière en dimension N > 1 pour le systèmede n équations et à coefficients constants suivant :

∂ty −∆y = Ay dans QT ,

y = 1γBv sur ΣT ,

y(0) = y0 dans Ω.(S)

y = (y1, . . . , yn) est l’état et y0 la donnée initiale.A ∈Mn(R) couple les équations.v ∈ L2(ΣT ) est le contrôle.B ∈ Rn localise algébriquement le contrôle.γ ⊂ ∂Ω localise géométriquement le contrôle.

Definition (Notions de controlabilité)Le système (S) est contrôlable à zéro au temps T > 0 si, pour tout y0 ∈ H−1(Ω)n, il existev ∈ L2(ΣT ) tel que y(T ) = 0.Le système (S) est approximativement contrôlable si, pour tout ε > 0, y0, yf ∈ H−1(Ω)n, ilexiste v ∈ L2(ΣT ) tel que ‖y(T )− yf ‖H−1 ≤ ε.

Ici, la contrôlabilité à zéro implique la contrôlabilité approchée.G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 4 / 33

Dualité contrôlabilité - observabilité

On introduit le système adjoint au système (S) :−∂tz −∆z = A∗z dans QT ,

z = 0 sur ΣT ,

z(T ) = zf ∈ H10 (Ω)n dans Ω.

(S∗)

On rappelle alors que

Théorème (Dualité)

Le système (S) est contrôlable à zéro au temps T si, et seulement si, son système adjoint(S∗) vérifie l’inégalité d’observabilité

∃CT > 0, ∀zf ∈ H10 (Ω)n, ‖z(0)‖2H1

0 (Ω)n ≤ C2T

∫ T

0‖1γ∂nB∗z(t)‖2L2(∂Ω) dt.

Le système (S) est approximativement contrôlable au temps T si, et seulement si, sonsystème adjoint (S∗) vérifie la propriété de continuation unique

∀zf ∈ H10 (Ω)n,

(1γ∂nB∗z(t) = 0, p.p. t ∈ (0,T )

)=⇒ zf = 0.

La meilleure des constantes CT dans l’inégalité d’observabilité est le coût du contrôle.


Rappels du cas scalaire et comparaison

Théorème (G. Lebeau et L. Robbiano (1995) ; A. Fursikov et O.Y. Imanuvilov(1996))L’équation de la chaleur

∂ty −∆y = 1ωv dans QT ,

y = 0 sur ΣT .

est contrôlable à zéro pour tout temps T > 0 et tout ouvert ω ⊂ Ω.

De plus, la contrôlabilité frontière s’en déduit :∂ty −∆y = 0 dans QT ,

y = 1γv sur ΣT .ωΩ γ

Cette astuce ne marche plus pour les systèmes avec moins de contrôles que d’équations.En général, pour les systèmes d’équations :

1 La contrôlabilité interne et la contrôlabilité frontière ne sont pas équivalentes.E. Fernández-Cara, M. González-Burgos et L. de Teresa (2010).

2 Il peut y avoir un temps minimal de contrôle.F. Ammar-Khodja, A. Benabdallah, M. González-Burgos et L. de Teresa (2013).

3 Il peut y avoir des conditions géométriques.F. Boyer et G. O. (2013).

Notons que ces situations complexes apparaissent déjà en dimension N = 1.


Rappels du cas scalaire et comparaison

Théorème (G. Lebeau et L. Robbiano (1995) ; A. Fursikov et O.Y. Imanuvilov(1996))L’équation de la chaleur

∂ty −∆y = 1ωv dans QT ,

y = 0 sur ΣT .

est contrôlable à zéro pour tout temps T > 0 et tout ouvert ω ⊂ Ω.

De plus, la contrôlabilité frontière s’en déduit :∂ty −∆y = 0 dans QT ,

y = 1γv sur ΣT .ωΩ γ

Cette astuce ne marche plus pour les systèmes avec moins de contrôles que d’équations.En général, pour les systèmes d’équations :

1 La contrôlabilité interne et la contrôlabilité frontière ne sont pas équivalentes.E. Fernández-Cara, M. González-Burgos et L. de Teresa (2010).

2 Il peut y avoir un temps minimal de contrôle.F. Ammar-Khodja, A. Benabdallah, M. González-Burgos et L. de Teresa (2013).

3 Il peut y avoir des conditions géométriques.F. Boyer et G. O. (2013).

Notons que ces situations complexes apparaissent déjà en dimension N = 1.G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 6 / 33

Le rôle de la géométrie de la zone de contrôle

Regardons la contrôlabilité interne en dimension 1 du système 2× 2 suivant :∂ty1 − ∂2x y1 = 1ωv dans QT ,

∂ty2 − ∂2x y2 = a21(x)y1 dans QT ,(1)

Si ω intersecte O2 = supp (a21) on a contrôlabilité à zéro. L. de Teresa (2000).




∂ty2 − ∂2x y2 = a21(x)y1 dans QT ,(1)

Si ω intersecte O2 = supp (a21) on a contrôlabilité à zéro. L. de Teresa (2000).Prenons à présent

a21(x) =(x −

12

)1O2 (x), O2 =

(14,34

).

Considérons les deux configurations géométriques suivantes pour ω :




∂ty2 − ∂2x y2 = a21(x)y1 dans QT ,(1)

Si ω intersecte O2 = supp (a21) on a contrôlabilité à zéro. L. de Teresa (2000).Prenons à présent

a21(x) =(x −

12

)1O2 (x), O2 =

(14,34

).

Considérons les deux configurations géométriques suivantes pour ω :

ω

O2

(a) ω est connexe

ω ω

O2

(b) ω n’est pas connexe

Des comportements très différents (F. Boyer et G. O. (2013)) :Le système (1) n’est PAS approximativement contrôlable si Figure (a).Le système (1) est approximativement contrôlable si Figure (b).

Résultats en cours pour la contrôlabilité à zéro.F. Ammar-Khodja, A. Benabdallah, M. González-Burgos et L. de Teresa.


Problèmes des techniques actuelles

Techniques actuelles et leurs restrictions :

Inégalités de Carleman : contrôle frontière ou contrôle interne sur un domaine disjoint dusupport du couplage.Méthode des moments : contrôle en dimension N > 1.Technique de transmutation (des ondes à la chaleur) : condition géométrique de contrôle.

Par exemple, la contrôlabilité frontière de systèmes sur un rectangle n’entre pas dans ce cadre :

zone de contrôle Ω


Plan

1 Introduction





Notations et résultats existantRappelons tout d’abord que la condition de Kalman rang (B|AB|A2B| · · · |An−1B) = n estnécessaire à la contrôlabilité du système (S).

On note −λkk et θii les valeurs propres distinctes de ∆ avec condition de Dirichlethomogène et de A∗. Les valeurs propres de l’opérateur ∆ + A∗ sont donc −λk + θik,i .

Attention résonance : avec ces notations on peut avoir pour certains indices

−λk + θi = −λk′ + θi′

On rappelle que :En dimension N = 1 le système

∂ty − ∂2x1y = Ay dans (0,T )× (0,X1),

y(t, 0) = Bv(t), y(t,X1) = 0 sur (0,T ).

est contrôlable à zéro au temps T > 0 si, et seulement si, on a la condition de Kalman et

−λk + θi 6= −λk′ + θi′ , pour tout (k, i) 6= (k′, i ′).

E. Fernández-Cara, M. González-Burgos et L. de Teresa (2010) ; F. Ammar-Khodja,A. Benabdallah, M. González-Burgos et L. de Teresa (2011).En dimension N>1, il existe seulement des résultats partiels sous la condition géométriquede contrôle sur γ et avec une structure sur A (qui évite les résonances).F. Alabau-Boussouira et M. Léautaud (2012) ; F. Alabau-Boussouira (2013).


Notations et résultats existantRappelons tout d’abord que la condition de Kalman rang (B|AB|A2B| · · · |An−1B) = n estnécessaire à la contrôlabilité du système (S).On note −λkk et θii les valeurs propres distinctes de ∆ avec condition de Dirichlethomogène et de A∗. Les valeurs propres de l’opérateur ∆ + A∗ sont donc −λk + θik,i .


−λk + θi = −λk′ + θi′


∂ty − ∂2x1y = Ay dans (0,T )× (0,X1),

y(t, 0) = Bv(t), y(t,X1) = 0 sur (0,T ).







−λk + θi = −λk′ + θi′


∂ty − ∂2x1y = Ay dans (0,T )× (0,X1),

y(t, 0) = Bv(t), y(t,X1) = 0 sur (0,T ).



E. Fernández-Cara, M. González-Burgos et L. de Teresa (2010) ; F. Ammar-Khodja,A. Benabdallah, M. González-Burgos et L. de Teresa (2011).

En dimension N>1, il existe seulement des résultats partiels sous la condition géométriquede contrôle sur γ et avec une structure sur A (qui évite les résonances).F. Alabau-Boussouira et M. Léautaud (2012) ; F. Alabau-Boussouira (2013).




−λk + θi = −λk′ + θi′


∂ty − ∂2x1y = Ay dans (0,T )× (0,X1),

y(t, 0) = Bv(t), y(t,X1) = 0 sur (0,T ).





Une condition spectrale en dimension N

En fait, la condition de non-résonance

− λk + θi 6= −λk′ + θi′ , pour tout (k, i) 6= (k′, i ′), (2)

est une condition suffisante de contrôlabilité approchée en dimension quelconque :

Théorème (G. O. (2013))

Sous la condition de Kalman, si (2) est vérifiée, alors le système∂ty −∆y = Ay dans QT ,

y = 1γBv sur ΣT ,

est approximativement contrôlable.

C’est donc une condition en dimension N quelconque et valable sans hypothèse de géométriesur γ.Elle n’est pas nécessaire, sauf cas très particulier de la dimension N = 1 et card γ = 1.La preuve utilise le théorème de Fattorini :


Théorème de Fattorini

On rappelle que la contrôlabilité approchée du système (S) est équivalente à une propriété decontinuation unique du système adjoint (S∗). On a en fait mieux :

Théorème (H.O. Fattorini (1966))Sous certaines hypothèses convenables sur les opérateurs A : D (A) ⊂ H −→ H etC : D (C) ⊂ H −→ U, la propriété de continuation unique

∀zf ∈ D (A∗) ,(C∗z(t) = 0 p.p. t ∈ (0,+∞)

)=⇒ zf = 0,

où z est la solution du système adjoint, est équivalente à :

ker(s −A∗) ∩ ker C∗ = 0 , ∀s ∈ C.

1 En dimension finie, cela donne une caractérisation équivalente à la condition de Kalman :

ker(s − A∗) ∩ kerB∗ = 0 , ∀s ∈ C. (Fatalg )

2 Pour la contrôlabilité approchée de l’équation de la chaleur par le bord, cela s’écrit

∀φ ∈ ker(s −∆), ∂nφ = 0 sur γ =⇒ φ = 0, ∀s ∈ C. (Fatdiff )

R. C. MacCamy, V. J. Mizel et T. I. Seidman (1968).


Preuve du théorèmeOn va montrer que, pour toute valeur propre s qui s’écrit de façon unique s = −λl + θi , on a

∀Φ ∈ ker(s − (∆ + A∗)), ∂nB∗Φ = 0 sur γ =⇒ Φ = 0.

Cela prouvera le théorème puisqu’on suppose que toutes les valeurs propres sont ainsi.

Par hypothèse Φ s’écritΦ =

∑j,m

αj,mVjφm,

où V1, . . . ,VJ ∈ Rn (resp. φ1, . . . , φM ∈ H10 ) est une base de ker(θi − A∗) (resp. ker(−λl −∆)).

On a donc

B∗(∑

j

βjVj

)= 0 sur γ, en ayant noté βj = ∂n

(∑m

αj,mφm

).

Or, puisque∑

j βjVj ∈ ker(θi − A∗) on peut utiliser (Fatalg ) afin d’obtenir

βj = ∂n

(∑m

αj,mφm

)= 0 sur γ, ∀j.

Maintenant, sachant que∑

m αj,mφm ∈ ker(−λl −∆), avec (Fatdiff ) on obtient finalement

αj,m = 0, ∀m, j.


Preuve du théorèmeOn va montrer que, pour toute valeur propre s qui s’écrit de façon unique s = −λl + θi , on a

∀Φ ∈ ker(s − (∆ + A∗)), ∂nB∗Φ = 0 sur γ =⇒ Φ = 0.

Cela prouvera le théorème puisqu’on suppose que toutes les valeurs propres sont ainsi.Par hypothèse Φ s’écrit

Φ =∑j,m

αj,mVjφm,

où V1, . . . ,VJ ∈ Rn (resp. φ1, . . . , φM ∈ H10 ) est une base de ker(θi − A∗) (resp. ker(−λl −∆)).

On a donc

B∗(∑

j

βjVj

)= 0 sur γ, en ayant noté βj = ∂n

(∑m

αj,mφm

).

Or, puisque∑

j βjVj ∈ ker(θi − A∗) on peut utiliser (Fatalg ) afin d’obtenir

βj = ∂n

(∑m

αj,mφm

)= 0 sur γ, ∀j.

Maintenant, sachant que∑

m αj,mφm ∈ ker(−λl −∆), avec (Fatdiff ) on obtient finalement

αj,m = 0, ∀m, j.


Application aux systèmes en cascade

En guise d’application, considérons le système∂ty −∆y = Ay dans QT ,

y = 1γBv sur ΣT ,

avec la structure

A =

0 · · · · · · 0

a21. . .

......

. . .. . .

...

an,1 · · · an,n−1 0

, B =

1

0...

0

.

On aσ (A) = 0 =⇒ pas de résonance.

Ainsi, quelles que soient la dimension N et la zone de contrôle γ, ce système estapproximativement contrôlable si, et seulement si, on a (condition de Kalman) :

ai,i−1 6= 0, ∀i ∈ J2, nK.


Plan

1 Introduction





Cadre et motivation

Désormais, on autorise à se produire la situation

−λk + θi = −λk′ + θi′ , pour certains (k, i) 6= (k′, i ′).

Pour la contrôlabilité approchée, il faut alors vérifier une propriété de continuation unique sur lespaquets de fonctions propres correspondant à ces cas de résonance (non explicite en général).On va discuter selon la zone de contrôle γ les propriétés de contrôlabilité du système


y = 1γBv sur ΣT ,

pour la géométrie suivante :

Ω1

Ω2

γ γ

Ω1

Ω2


Cadre et motivation



Pour la contrôlabilité approchée, il faut alors vérifier une propriété de continuation unique sur lespaquets de fonctions propres correspondant à ces cas de résonance (non explicite en général).

On va discuter selon la zone de contrôle γ les propriétés de contrôlabilité du système∂ty −∆y = Ay dans QT ,

y = 1γBv sur ΣT ,


Ω1

Ω2

γ γ

Ω1

Ω2


Cadre et motivation



Pour la contrôlabilité approchée, il faut alors vérifier une propriété de continuation unique sur lespaquets de fonctions propres correspondant à ces cas de résonance (non explicite en général).On va discuter selon la zone de contrôle γ les propriétés de contrôlabilité du système


y = 1γBv sur ΣT ,


Ω1

Ω2

γ γ

Ω1

Ω2


Plan

1 Introduction





Contrôlabilité approchée sur une face d’un rectangleOn suppose que γ est contenu dans une seule face du rectangle :

ΩγL γR

γT

γB(0, 0)

(0,X2)

(X1, 0)

γ

Théorème (G. O. (2013))Pour tout γ ⊂ γL, le système 2D


y = 1γBv sur ΣT ,

est approximativement contrôlable si, et seulement si, le système 1D suivant l’est également∂ty − ∂2x1y = Ay dans (0,T )× (0,X1),

y(t, 0) = Bv(t), y(t,X1) = 0 sur (0,T ).(3)

On rappelle qu’on sait caractériser la contrôlabilité du système (3).Idée de projeter sur la dimension 1. H.O. Fattorini (1975).


Quelques conséquences

Suite à ce théorème, on voit que :1 La condition spectrale n’est donc pas nécéssaire. Par exemple,

−λ(0,π)k − λ(0,1)

4 + 0 = −λ(0,π)k − λ(0,1)

5 + 9π2.

2 Le système peut être contrôlable dans une direction mais pas dans l’autre :

ΩX1 OUI

X2⇔ NON


Contrôlabilité approchée sur deux faces d’un rectangleOn suppose maintenant que γ est contenu dans deux faces du rectangle :

ΩγL γR

γT

γB(0, 0)

(0,X2)

(X1, 0)

• Cas γ ⊂ γL ∪ γR : situation analogue au cas précédent.

• Considérons maintenant le cas γ ⊂ γL ∪ γT :

Théorème (G. O. (2013))Sous la condition de Kalman, si

γ ∩ γL 6= ∅, γ ∩ γT 6= ∅,

alors le système de 2 équations ∂ty −∆y = Ay dans QT ,

y = 1γBv sur ΣT ,



Contrôlabilité approchée sur deux faces d’un rectangleOn suppose maintenant que γ est contenu dans deux faces du rectangle :

ΩγL γR

γT

γB(0, 0)

(0,X2)

(X1, 0)

• Cas γ ⊂ γL ∪ γR : situation analogue au cas précédent.• Considérons maintenant le cas γ ⊂ γL ∪ γT :

Théorème (G. O. (2013))Sous la condition de Kalman, si

γ ∩ γL 6= ∅, γ ∩ γT 6= ∅,

alors le système de 2 équations ∂ty −∆y = Ay dans QT ,

y = 1γBv sur ΣT ,



Contrôlabilité approchée sur p faces d’un rectangle

ΩγL γR

γT

γB(0, 0)

(0,X2)

(X1, 0)

Passons au cas général :

Théorème (M. González-Burgos et G. O. (2013))Le système 2D


y = 1γBv sur ΣT ,

est approximativement contrôlable, si et seulement si,

rang [Ak : Ck(γ) ]nk2 = nk2, ∀k ≥ 1.

La matrice Ak dépend de A et des valeurs propres du Laplacien 2D.La matrice Ck(γ) dépend de B et de γ.[Ak : Ck(γ) ]nk2 désigne la matrice de Kalman entre Ak et Ck(γ).


Plan

1 Introduction





Contrôlabilité à zéro sur une face d’un rectangle

On suppose que γ est contenu dans une seule face du rectangle :

ΩγL γR

γT

γB(0, 0)

(0,X2)

(X1, 0)

γ

Théorème (A. Benabdallah, F. Boyer, M. González-Burgos et G. O. (2013))Pour tout γ ⊂ γL, le système 2D


y = 1γBv sur ΣT ,

est contrôlable à zéro si, et seulement si, le système 1D suivant l’est également∂ty − ∂2x1y = Ay dans (0,T )× (0,X1),

y(t, 0) = Bv(t), y(t,X1) = 0 sur (0,T ).

La grande difficulté est le cas γ ( γL (analogie avec l’équation de la chaleur).G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 23 / 33

Idée de la preuve

La preuve repose sur 3 points essentiels :1 Idée de projeter sur la dimension 1.2 Méthode de Lebeau-Robbiano pour le cas γ ( γL.3 Estimation du coût du contrôle 1D :

Théorème (A. Benabdallah, F. Boyer, M. González-Burgos et G. O. (2013))Le coût du contrôle CX1

T du système 1D∂ty − ∂2x1y = Ay dans (0,T )× (0,X1),

y(t, 0) = Bv(t), y(t,X1) = 0 sur (0,T ),

est borné parCX1T ≤ CeC/T .

La preuve utilise la méthode des moments.


Sous-espaces de contrôlabilité partielle

On introduit des espaces à variables séparées tronqués à la J-ième fréquence dans la direction X2 :

EJ =

J∑

j=1

ujφX2j

∣∣∣∣∣ uj ∈ H10 (0,X1)n

⊂ H1

0 (Ω)n.

On va travailler dans les espaces "duaux"

E−1J = −∆EJ ⊂ H−1(Ω)n.

On note PE−1J

la projection orthogonale sur E−1J .


"Relèvement" de la dimension 1

Soit zf =∑J

j=1 ujφX2j ∈ EJ . La solution correspondante z du système adjoint s’écrit donc

z(t, x1, x2) =J∑

j=1

e−(T−t)λX2j Uj (t, x1)φX2j (x2),

où Uj est la solution du système adjoint 1D correspondant à uj .

Par hypothèse, on aOn applique alors l’inégalité spectrale de Lebeau-Robbiano dans la direction X2

J∑j=1

|aj |2 ≤ CeC√

λX2J

∫γ

∣∣∣∣∣J∑

j=1

ajφX2j (x2)

∣∣∣∣∣2

dx2

à la suite de scalaires aj = e−(T−t)λX2j B∗∂x1Uj (t, 0) pour obtenir

J∑j=1

e−2TλX2j ‖Uj (0)‖2H1

0 (0,X1)n ≤ C(CX1T )

2eC√

λX2J

∫ T

0

∫γ

|B∗∂x1z(t, 0, x2)|2 dx2 dt.

Enfin, la norme ‖z(0)‖2H10 (Ω)n peut être estimée en fonction des normes ‖Uj (0)‖2H1

0 (0,X1)n .


"Relèvement" de la dimension 1Soit zf =

∑Jj=1 ujφ

X2j ∈ EJ . La solution correspondante z du système adjoint s’écrit donc

z(t, x1, x2) =J∑

j=1


où Uj est la solution du système adjoint 1D correspondant à uj . Par hypothèse, on a

‖Uj (0)‖2H10 (0,X1)n ≤ (CX1

T )2∫ T

0|B∗∂x1Uj (t, 0)|2 dt,

On applique alors l’inégalité spectrale de Lebeau-Robbiano dans la direction X2

J∑j=1

|aj |2 ≤ CeC√

λX2J

∫γ

∣∣∣∣∣J∑

j=1

ajφX2j (x2)

∣∣∣∣∣2

dx2


J∑j=1


0 (0,X1)n ≤ C(CX1T )

2eC√

λX2J

∫ T

0

∫γ

|B∗∂x1z(t, 0, x2)|2 dx2 dt.


0 (0,X1)n .



∑Jj=1 ujφ


z(t, x1, x2) =J∑

j=1



J∑j=1


0 (0,X1)n ≤ (CX1T )

2∫ T

0

J∑j=1

e−2(T−t)λX2j |B∗∂x1Uj (t, 0)|2 dt,


J∑j=1

|aj |2 ≤ CeC√

λX2J

∫γ

∣∣∣∣∣J∑

j=1

ajφX2j (x2)

∣∣∣∣∣2

dx2

à la suite de scalaires aj = e−(T−t)λX2j B∗∂x1Uj (t, 0) pour obtenirJ∑

j=1


0 (0,X1)n ≤ C(CX1T )

2eC√

λX2J

∫ T

0

∫γ

|B∗∂x1z(t, 0, x2)|2 dx2 dt.


0 (0,X1)n .


Contrôle et dissipation

0|

T|

ak

contrôle dissipation

ak + Tk ak+1

où Tk = C(T )2−kρ avec 0 < ρ < 1 et C(T ) pour que 2∑+∞

k=1 Tk = T .1 Coût du contrôle partiel :

PE−12k

y(ak + Tk) = 0 et∥∥v|(ak ,ak+Tk )

∥∥L2≤ CCX1

TkeC√

λX22k∥∥∥PE−1

2ky(ak)

∥∥∥H−1

.

2 Dissipation dans la direction X2 :

v|(ak+Tk ,ak+1) = 0,

PE−12k

y(ak + Tk) = 0,

=⇒ ‖y(ak+1)‖H−1 ≤ Ce

−λX22k+1

Tk ‖y(ak + Tk)‖H−1 .

3 Estimation du coût du contrôle 1D :

CX1T ≤ CeC/T =⇒ CX1

TkeC√

λX22k ≤ Ce

C′√

λX22k .


Estimation du coût 1DLe système 1D est contrôlable à zéro si, et seulement si, pour tout y0 ∈ H−1(0,X1)n, il existev ∈ L2(0,T ) tel que

−∫ T

0v(t)B∗∂x1z(t, 0) dt = 〈y0, z(0)〉H−1,H1

0, ∀zf ∈ H1

0 (0,X1)n.

Sachant que ∆ + A∗ admet une base (de Riesz) de H10 (0,X1)n de fonctions propres généralisées,

on est ramené à résoudre le problème des moments suivant : trouver v ∈ L2(0,T ) tel que∫ T

0v(t)tνe−Λl t dt = αl,ν , ∀l ≥ 1, ∀ν ∈ J0, η − 1K,

où η est la taille de la plus longue chaîne de Jordan, Λl sont les valeurs propres de ∆ + A∗ etαl,ν vérifie ∣∣αl,ν

∣∣ ≤ Ce−Re (Λl )T ‖y0‖H−1 .

Pour le résoudre, on construit une familleϕk,jk≥1,j∈J0,η−1K

⊂ L2(0,T ) telle que∫ T

0ϕk,j (t)tνe−Λl t dt = δklδjν , ∀k, l ≥ 1, ∀j, ν ∈ J0, η − 1K,

avec l’estimation suivante ∥∥ϕk,j∥∥L2(0,T )

≤ CeC√

Re (Λk )+ CT .

Il suffit alors de prendre v(t) =∑+∞

k=1

∑η

j=1 αk,jϕk,j (t).


Estimation du coût 1DLe système 1D est contrôlable à zéro si, et seulement si, pour tout y0 ∈ H−1(0,X1)n, il existev ∈ L2(0,T ) tel que

−∫ T

0v(t)B∗∂x1z(t, 0) dt = 〈y0, z(0)〉H−1,H1

0, ∀zf ∈ H1

0 (0,X1)n.

Sachant que ∆ + A∗ admet une base (de Riesz) de H10 (0,X1)n de fonctions propres généralisées,

on est ramené à résoudre le problème des moments suivant : trouver v ∈ L2(0,T ) tel que∫ T

0v(t)tνe−Λl t dt = αl,ν , ∀l ≥ 1, ∀ν ∈ J0, η − 1K,

où η est la taille de la plus longue chaîne de Jordan, Λl sont les valeurs propres de ∆ + A∗ etαl,ν vérifie ∣∣αl,ν

∣∣ ≤ Ce−Re (Λl )T ‖y0‖H−1 .

Pour le résoudre, on construit une familleϕk,jk≥1,j∈J0,η−1K

⊂ L2(0,T ) telle que∫ T

0ϕk,j (t)tνe−Λl t dt = δklδjν , ∀k, l ≥ 1, ∀j, ν ∈ J0, η − 1K,

avec l’estimation suivante ∥∥ϕk,j∥∥L2(0,T )

≤ CeC√

Re (Λk )+ CT .

Il suffit alors de prendre v(t) =∑+∞

k=1

∑η

j=1 αk,jϕk,j (t).G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 28 / 33

Plan

1 Introduction





Systèmes avec une diffusion différente

Reprenons le cas

ΩγL γ

Considérons le jeu de données

D =

(d 0

0 1

), A =

(0 0

1 0

), B =

(1

0

).

A-t-on :

ConjecturePour tout γ ⊂ γL, le système 2D

∂ty − D∆y = Ay dans QT ,

y = 1γBv sur ΣT ,

est contrôlable à zéro au temps T si, et seulement si, le système 1D correspondant l’est aussi.

Problème : pas de coût en dimension 1.G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 30 / 33

Systèmes avec une diffusion différenteOn prend comme zone de contrôle deux faces non-parallèles :

ΩγL

γT

Considérons le même jeu de données que précédemment :

D =

(d 0

0 1

), A =

(0 0

1 0

), B =

(1

0

).

Théorème (G. O. (2013))Si γ ∩ γL 6= ∅ et γ ∩ γT 6= ∅, alors le système de 2 équations

∂ty − D∆y = Ay dans QT ,

y = 1γBv sur ΣT ,(4)


Par contre, la contrôlabilité à zéro est un problème ouvert.G.Olive (I2M) Contrôle frontière de systèmes en dimension N Journée Jeunes Contrôleurs 31 / 33

Résultat de contrôle à zéro pour deux faces non-parallèlesToujours dans la même configuration :

Ω

zone de contrôle

γL

γT

Théorème (G. O. (2014))Sous la condition de Kalman, le système de 2 équations


y = 1γL∪γTBv sur ΣT ,

est contrôlable à zéro pour tout temps T > 0.

Idée de la preuve : résoudre le problème des moments (problème ouvert si on suppose seulementγ ∩ γL 6= ∅ et γ ∩ γT 6= ∅)

∀k, l ≥ 1,

∫ T

0Fl (t)e−t(λX1k −θ1) dt +

∫ T

0Gk(t)e−t(λX2l −θ1) dt = Mk,l (y0;T ),∫ T

0Fl (t)e−t(λX1k −θ2) dt +

∫ T

0Gk(t)e−t(λX2l −θ2) dt = Nk,l (y0;T ).


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