contribution à la modélisation et à l'analyse des chaînes

LABORATOIREDE MECANIQUE ET PRODUCTIQUE

Contribution à la modélisation et à l'analyse des chaînes de Markov

à échelles de temps et échelles de pondérations multiples.

- 1 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997

Application à la gestion d'un système hydro-énergétique

Daniel RACOCEANU

D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997

PLAN DE LA SOUTENANCE

Introduction

1. Chaînes de Markov

2. Adaptation des perturbations singulières pour la simplification des chaînes de Markov

3. Découplage en régime permanent et réduction des

- 2 -D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997D. RACOCEANU 10 JANVIER 1997

3. Découplage en régime permanent et réduction des chaînes de Markov

4. Simplification des chaînes de Markov à commande

5. Identification et modélisation d'un système hydro-énergétique du Doubs

Conclusions et perspectives

Introduction

Systèmes complexes

Systèmes aléatoires Systèmes déterministes

Systèmes markoviensSystèmes pseudo - markoviens


Temps T

Espace d'étatE

T discret

T continu

E discret E continu

Chaînes de Markov

Processus de Markov

Chaînes de Markov à espace d'état continu

Processus de Markov à espace d'état continu

Equation fondamentale d'une chaîne de Markov

Matrice de transition stochastique d'une chaîne de Markov homogène

Vecteur des probabilités d’état stochastique

P(n) = [ P1(n) P2(n) ... Pr(n) ] , n = 0, 1, 2, ...

0 Š Pi(n) Š 1 , Ài = 1, ..., rr

i=1

Pi(n) = 1

1. CHAINES DE MARKOV

Probabilité d'état Pi(n)


0 Š pij Š 1 , À i,j = 1, ..., r

Equation fondamentale d'une chaîne de Markov homogène :

de conditions initiales : P(0)

r

j = 1

pij=1 , À i=1, 2, ..., r

P(n+1)= P(n) †

† =

p11 p12 ... p1r

p21 p22 ... p2r

........................pr 1 pr 2 ... pr r

probabilité de transition pij

Equation fondamentale d'un processus de Markov

Matrice générateur d'un processus de Markov homogène

Vecteur des probabilités d’état stochastique

P(t) = [ P1(t) P2(t) ... Pr(t) ] , t ´ ê+ , 0 Š PŸi(t) Š 1 , Ài = 1, ..., r

i=1

r

PŸi(t ) = 1



0 Š pŸij Š 1 , À i,j = 1, ..., r, i ° j

Equation fondamentale d'un processus de Markov homogène

de conditions initiales : P0

r

j = 1

pŸij=0 , À i=1, 2, ..., r

P Ë(t) = P (t) †Ÿ

† =

p11 p12 ... p1r

p21 p22 ... p2r

.......................

pr1 pr2 ... pr r

M =T Q

0 †=

T Q

0†

10

0 †2

Classification des états d'une chaîne de Markov

Décomposition de la matrice de transition

P (n+1) = P (n) M

Chaîne de Markov réductible

e1



† 2classe finale périodique

T

classe d’états transitoires

classe finale ergodique † 1

e2

e1

e3

e4

e9

e10

e6

e7

e8

e11

e12

e5

Chaîne de Markov irréductible finie et ergodique :

P(n+1) = P(n) †

Régime transitoire :

[ P1(n) ... Pr (n) ] = [ P1(0) ... Pr (0) ] †n, À n = 0, 1, 2, …

Régime permanent

Méthodes de résolution des chaînes de Markov irréductibles ergodiques



Méthode directe

Système de résolution :

Méthode indirecte

Décomposition modale

† = V ΛΛΛΛ F

Passage à l'infini

P () = P(0) V

1 0 ...... 00 0 ...... 0

… … … …0 0 ...... 0

F

P () D = 0P1 () +P2 () +P3 () + ... +Pr () = 1

D - matrice singulière de rang r - 1

Simplification des chaînes de Markov par les perturbations singulières

2. ADAPTATION DES PERTURBATIONS SINGULIERES POUR LES CHAINES DE MARKOV

Chaînes de Markov

Propriété de double échelle de temps


Mise en évidence des dynamiques

Découplage

Partie lente Partie rapide

Propriété de double échelle de temps d'un processus de Markov / chaîne de Markov

Définition

Un processus de Markov / chaîne de Markov homogène fini(e) irréductible et ergodique

P Ë = P †Ÿ| P (n+1) = P(n) †


présente la propriété de double échelle de temps si il / elle peut être décomposé(e) en deux sous-systèmes disjoints :


λ max (†Ÿl ) << λ min (†Ÿr ) | λ min († l ) >> λ max († r )

Pl Pr = Pl Pr

†l

0

0 †r

Pl (n+1) Pr (n+1) = Pl (n) Pr (n)

†l

0

0 †r

Pl Pr = Pl Pr

†l

0

0 †r

Pl (n+1) Pr (n+1) = Pl (n) Pr (n)

†l

0

0 †r

deux sous-systèmes disjoints :

tels que

Méthodes de mise en évidence des dynamiques d'une chaîne de

Markov


Méthodes analytiques

Décomposition modale


Disques de Gershgorine

Régions de Gudkov

Ovales de Cassini

Méthodes géométriques

Disque de Gershgorine

x - p Š

r

p = R , x ´ â , i = 1, ... , r

p11 p12… p1r

p21 p22… p2r


Im (x)

Re (x)0

pii

1 R i

pii - pkk >> R i + Rk

Double échelle de temps

Im (x)

Re (x)

partie lente

01

partie rapide

x - pii Š j=1, j° i

pij = R i , x ´ â , i = 1, ... , r† =p21 p22

… p2r

… … … …

pr1 pr2… prr

Calibrage


Modèles singulièrement perturbés

, µ á [0 , 1] , µ << 1

Modélisation de Phillips

Modélisation de Bennis

Modélisation d'El Moudni

Modélisations en discret

L (n+1) R(n+1) = L (n) µ R(n)† 11 † 12

† *21

† *22

L(n+1) = L(n) †

11+ R(n) †

21

R(n+1) = L(n) †12

+ R(n) †22

, µ, j á [0 , 1] , µ << 1

L (n+1) R(n+1) = L (n) R(n)†

11µj † *

12

µ1-j † *21

µ † *22


Modélisation en continu

Perturbations Singulières en continuH -1

Chaîne de MarkovProcessus de

Markov continu

HCdM(† )

PdMl + PdMr(† Ÿl +† Ÿr )(† l Ÿ+† r Ÿ)

CdMl + CdMr

( † Ÿ)PdM

L R = L R†

11†

12

ε † *21

ε † *22

Transformations homographiques +

perturbations singulières en continu

, ε á [0 , 1] , ε << 1


Résultats du découplage

† l † r † infl

partie lente Ll (n+1) = Ll (n) † l

Rl (n) = Ll (n) † infl

partie rapide Rr (n+1) = Rr (n) † r


infl

Phillips

Bennis

ElMoudni

TH+PSencontinu

† l =(I+† 12 † Ô22 † 21 († 11 +I)-1

)-1

x († 11 -† 12 † Ô22 † 21 († 11 +I)-1

)

avec

† Ô22 = († 22 - I-† 21 († 11 +I)- 1

† 12 )-1

†1 1

+ †1 1

-1†

1 2†

2 1 †2 2

- †2 1

†1 1

-1

†1 2

† 1 1

-1† 1 2

†11

+ †12

I - †22

-1†

21†

2 2 †12

I - †22

-1

†1 1 † 2 2-† 2 1† 1 1

-1† 1 2 †

1 1

-1

†1 2

†22

-†21

†11

+I-1

†12

- 2 †11

+I-1

†12

†r

- I-1


Résolution des systèmes découplés

Chaîne de Markov

Système lent stochastique

Système rapide non - stochastique


stochastique non - stochastique

Solution de la partie lente

Calcul de la partie rapide entraînée

Méthode directe ou indirecte

Ll (n+1) = Ll (n) † l

Rl (n) = Ll (n) † infl Ll

Rr (n+1) = Rr (n) † r

Chaîne de Markov irréductible ergodique

L(n+1) = L(n) †11 + R(n) †21

R(n+1) = L(n) †12 + R(n) †22

conditions initiales :

L(0) et R(0)

approches

formule fondamentale découplée :


Ll (n+1) = Ll (n) †l

R(n+1) = Rr (n) †r + Ll(n+1)†infl

Techniques de perturbations singulières

Conclusion


L(n) = Ll (n) et R(n) = Rr(n) + Rl (n)

Ll (0) = L(0) et Rr(0) = R(0) - L (0) †infl


Découplage Phillips Découplage en continu Découplage Bennis Découplage El Moudni

Partie lente stochastique (très bonne approximation)

La matrice de transition de la partie lente n'est

pas stochastique


Calcul de la partie rapide

Résolution indépendante du système lent Technique de redondance pour

la résolution du système lent

Partie lente stochastique (très bonne approximation)

La matrice de la partie lente est stochastique à

l'ordre µ = 0

Ll (0) = L(0) et Rr(0) = R(0) - L (0) †infl

Interprétation des résultats obtenus

†

† 11

Système initial

† l

Système découplé

Sous-système lent indépendant



† 22

† 12

† 21Sous-système

rapide entraîné

† inflPS ñ

lent indépendant

Rapide

Lent Lent

Introduction

0.1

0.12

Probabilités d’état

Partie forte

P14

P13 P8

P9

P12 P15


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 100 200 300 400 500

Transitions

Partie forte

Partie faible

P12 P15

P16 P5

P1

P7 P11 P10 P6

P3 P2

P4

Etude du régime permanent d'évolution des probabilités d'état

3. ECHELLE DE PONDERATION POUR LA SIMPLIFICATION ET LA REDUCTION DES CHAINES DE MARKOV

Dfinition de la pondration

Nous appelons " pondration " d'un tat d'une cha”ne de Markov ergodique irrductible, la valeur de sa probabilit limite.

Une pondration est dite forte si la probabilit limite qui lui est associeest grande.


est grande.

Une pondration est dite faible si la probabilit limite qui lui est associe est petite.

P( ) ~ f1

Probabilité limite d'une chaîne de Markovirréductible ergodique

tel que : f1 † = f1

Propriété de double échelle de pondération d'une chaîne de Markov ergodique

Définition

Une cha”ne de Markov homogne, irrductible, finie et ergodique :

P (n+1) = P (n) † , n = 0, 1, 2, 3, ... ,

possde la proprit de double chelle de pondration si l'quation fondamentale peut s'crire sous une forme bloc diagonale

Ss (n+1) Ww (n+1) = Ss (n) Ww (n)

†s

0

0 †w



de telle faon que

avec la forme propre associe ˆ la valeur propre 1 (unique) de la matrice de transition † :

f1 = [ f 11 f2

1 ... f r1] = [ f1 (s) f1 (w) ] , f1 (s) ´ â

r1 et f1 (w) ´ âr2 ,

et f1(s) la forme propre correspondant ˆ la valeur propre 1 de la matrice † s,

f1(w) la forme propre correspondant ˆ la valeur propre 1 de la matrice † w.

0 †w

minfi1 á f1(s)

f i1 » max

fk1 á f1(w)

f k1

Utilisation de la double échelle de pondération pour la simplification des

chaînes de Markov ergodiques

permutation J : 1, 2, 3,… , r ‘ j 1 , j 2 , j 3 ,... , j r

Mise en évidence des pondérations d'une chaîne de Markov

f1 = f

1

1 f2

1 ... fr1

1 fr1+1

1 fr1+2

1 ... fr1

J

avec

f1 = fj

11 fj

21 ... fj

r11 fjr1+1

1 fjr1+2

1 ... fjr1

fj11 fj2

1 fj31 ... fjr

1



min

fi1 á f1(s)

f i1 » max

fk1 á f1(w)

f k1

Double Echelle de Pondération

P(n+1) = P(n) †

P(n) ´ ê1 x

r

de conditions initiales P(0)

avec les conditions initiales S (0) et W(0)

S(n+1) W(n+1) = S(n) W(n)† '

s† '

s -w

† 'w- s

† 'w

P(n) = [S (n) W(n)]

S (n) ´ ê1 x

r 1 et W(n) ´ ê

1 x r 2

Equation fondamentale permutéePartition de l'équation fondamentale

Utilisation de la double échelle de pondération pour la simplification des chaînes de Markov ergodiques

Découplage en régime permanent

S (n+1) = S (n) † 's + W (n) † 'w-s

W(n+1) = S (n) † 's-w + W (n) † 'w

- hypothèses de découplage partie forte

- forme partitionnée

S (n+1) = S (n) = Sw (n)



- forme découplée

- hypothèses de découplage

partie faible

- caractéristiques des systèmes découplés :

†s et †w ‘ matrices stochastiques.

W(n+1) = W(n) = Ws (n)

avec † s = † 's + † 's-w (I - † 'w) -1 † 'w-s

† w = † 'w + † 'w-s (I - † 's ) -1 † 's-w

Ss (n+1) Ww(n+1) = Ss (n) Ww(n)

†s 0

0 †

w


† ’w

† ’s - w

† ’w - s

† ’s

Système initial

† s

Système découplé

Sous-système faible indépendant

† w


Sous-système fort indépendant

ñ

Fort Fort

FaibleFaible



La distribution stationnaire du système fort découplé est proportionnelle à la composante f1 (s)

La distribution stationnaire du système faible découplé est proportionnelle à la composante f1 (w)

[ f 1 (s) f 1 (w) ] † = [ f 1 (s) f 1 (w) ]

f 1 = [ f1 (s) f 1 (w) ] forme propre associée à la valeur propre 1 de la matrice de transition † :

f1(s)†

s= f1(s)

f1(w)†

w= f1(w)

Utilisation conjointe de la double échelle de temps et de la double échelle de pondération dans l'étude des

chaînes de Markov ergodiques

permutation J : 1, 2, 3,… , r ‘ j 1 , j 2 , j 3 ,... , j r

Mise en évidence de la double échelle de temps dans la matrice modale

Arrangement de la matrice de transition selon l'échelle de pondération

f1 = f

1

1 f2

1 ... fr1

1 fr1+1

1 fr1+2

1 ... fr1

J

avec

f1 = fj

11 fj

21 ... fj

r11 fjr1+1

1 fjr1+2

1 ... fjr1

Distribution des probabilités


P(n) = v · f1 + δ2 · f2· λ2n + ... + δr · fr· λr

n

fj11 fj2

1 fj31 ... fjr1


Double Echelle de Temps

Spectre dominant

Distribution des probabilités

Distribution approchée

Matrice modale dominante Fl

Matrice modale

P(n) = v · f1 + δ2 · f2· λ2 + ... + δr · fr· λr

P(n) - v · f1 + δc2

· fc2· λc

2

n + δc3

· fc3· λc

3

n + ... + δcl· fcl

· λcl

n

λ1 = 1 > λc2 λc3

… λcl>> λcl + 1

λcl +2 ... λcr

1 , λc2

, λc3

, ... , λcl

F =

f1

f2

:fr

=

f11 f2

1 ...... fr 1

f12 f2

2 ...... fr 2

...... ...... ...... ......

f1r f2

r ...... fr r

Fl =

f1

fc2

fc3

:fc

l

=

f11 f2

1 ...... fr 1

f1c

2f2

c2

...... fr c2

f1c

3f2

c3

...... fr c3

...... ...... ...... ......

f1cl

f2cl

...... fr cl

Calcul de la dimension du système réduit

Elimination Gaussienne avec pivot simple sur la matrice Fl

Dimension l * du système réduit

Partition de lamatrice modale


Partie forte globalement lente Partie faible - rapide

Fl H = Fl1

Fl2

, Fl Fl1

-1 = I F*l2

f11 f21 ...... fl *

1 fl *+11 ...... fr 1

f1 f2 ...... fl * fl *+1 ...... fr


réduit

hi - emplacement des tats lents F - nombre d'tats forts

Partition de l'équation fondamentale

avec

l * = max max

i = 1,…, lhi , FFl =

f1c2f2c2

...... fl *c2

fl *+1c2

...... frc2

f1c3f2c3

...... fl *c3

fl *+1c3

...... frc3

...... ...... ...... ...... ...... ...... ......

f1clf2cl

...... fl *cl

fl *+1cl

...... frcl

P(n+1) = P(n) † = P(n)†

11†

12

†21

†22

†

11∈ ê

l*x l

*

, †22

∈ êr - l

*x r - l

*

†21

∈ êr - l *

x l *

, †12

∈ êl *

x r - l *

Réduction de la chaîne de Markov

avec P(n) = [ S*(n) W*(n)] o

S*(n) = [ S1(n) S2(n) ... Sl* (n) ] distribution des tats forts globalement lents

W*(n) = [ W1(n) W2(n) ... Wr* (n) ] la distribution des tatsfaibles-rapides (r* = r - l*)

Système fort


S*(n+1) W*(n+1) = S*(n) W*(n)†

11†

12

†21

†22

S* (n+1) = S* (n) † * S*(0)

Partition de la chaîne de Markov initiale


† *

s= I + †

12†

22†

21†

11+ I

-1 -1†

11- †

12†

22†

21†

11+ I

-1

†22

= †22

- I - †21

†11

+ I-1

†12

-1

Système fort globalement lent

avec ( hypothèses de Bennis )

respectivement

( TH + PS en continu )

de conditions initiales

Caractéristiques du système réduit :

La matrice †*s correspondant au système réduit est une matrice stochastique.

† *s

= †11

+ †12

I - †22

-1†

21

S*s (n+1) = S*s (n) † *s

S*s (0) =

S*(0)

Pi (0)ΣΣΣΣi = 1

l *

Le système réduit regroupe les états les plus importants dans l'évolution autant transitoire que permanente du système


† ’s

Système initial†*

s

Système réduit



† ’w

† ’s - w

† ’w - s

† ’s

Réduction ñFort

Fort globalement

lent

Faible

Equation fondamentale

4. SIMPLIFICATION DES CHAINES DE MARKOV A COMMANDE

Chaîne de Markov à commande

P (n+1) = P (n) † (U)

P (n) = [ P1 (n) ... Pr (n)] vecteur des probabilités d'état à l'instant n

Pi(n) ∈ [0,1] , À i = 1, ... , r, À n = 0, 1, 2, ... ,

∑r

avec


∑i =1

r Pi(n) = 1, À n = 0, 1, 2, ...,

U =

u1

u2…uK

´ Ω ⊂ ê K vecteur de commande

† (U) = [pij(U)]i, j =1…r matrice de transition

pij(U) ∈ [0,1] , À i,j = 1, ... , r, À U ´ Ω

∑j =1

r

pij (U) = 1 , À i = 1, ... , r , À U ´ Ω.

avecMatrice de revenus R

associe ˆ la cha”ne de Markov

R =

r11

r12

... r1r

r21

r22

... r2r

.........................

rr 1

rr 2

... rr r

´ êr x r

ž - domaine borné

Problèmes terminaux

Classification des problèmes de commande

Horizon fixé


Problèmes avec cible

Commande des chaînes de Markov

Horizon aléatoire


fini ( N = horizon ) infini ( γ ´ [ 0, 1 ] facteur de perte )

q(U) =

q1(U)

q2(U)

…

qr(U)

= diag ( )† (U) x RT

espérance de revenu total

espérance de revenu immédiat

w Ó(n) =

w Ó1(n)

w Ó2(n)

…

w Ór(n)

wÓ(n) = opt

U á Ω

q(U) + † (U) wÓ(n+1)

n = 0, 1, 2, 3, ...

wÓ(n) = opt

U á Ω

q(U) + γ † (U) wÓ(n+1)

n ´ 0, 1, 2, 3, ... , N-1

Chaîne de Markov homogène, finie et ergodique à commande :

Systèmes étudiés

p11k p12

k ... p1rk

p21k p22

k ... p2rk

r x r

P(n+1) = P(n) † (U)

† (U) = [pij(U )]i, j =1…r = † o +† 1 . u1 + † 2 . u2 + ... + † K. uKavec



P(n+1) = P(n)

† 0 + ∑k =1

K

† k . uk

†k

=p21 p22 ... p2r

..................

pr1k pr2

k ... prrk

∈ êr x r , k = 0, 1, ... , K

∑j =1

r

p0ij = 1 , ∀ i = 1, 2, ... , r ,

∑j =1

r

pkij = 0 , ∀ i = 1, 2, ... , r et ∀ k = 1, 2, ... , K.

vérifient les propriétés : où

correspond à un système bilinéaire discret.La formule fondamentale des systèmes étudiés

Définition de la double échelle de temps des chaînes de Markov à commande

Une cha”ne de Markov homogne ergodique ˆ commande :

P(n+1) = P(n) † (U) , n = 0, 1, 2, 3, ...

1 r

u1

u


Simplification par application perturbations singulières


P(n) ´ ê 1 x r conditions initiales P(0), et U =

u2…uK

´ Ω born ,

possde la proprit de double chelle de temps sur ž si le spectre de la matrice † (U) peut tre partitionn en deux sous-ensembles disjoints L (U) et R(U) tels que

À U ´ ž , minλi(U) L (U)

| λi(U) | = l Ÿ (U) >> r Ÿ (U) = maxλj(U) R (U)

| λj(U) |

Modélisation et découplage

, À U ´ ž

L (n+1) R(n+1) = L (n) R(n)†

11(U) †

12(U)

†21

(U) †22

(U)

Partition de la formule fondamentale

o

L(n) = [P1(n) P 2(n) ... P r1(n)] ´ ê1 x

r1 partie lente

R(n) = [P r1+1 (n) P r1+2 (n) ... P r (n)] ´ ê1 x

r2 (r 1 + r 2 = r) partie rapide

avec les conditions initiales P(0) = [L(0) R(0)]

Découplage†



partie lente

partie rapide

R(n+1) = R(n) = Rl (n)

, Ul ´ ž

Ll (n+1)= Ll (n) †11

Ul

+ †12

Ul

I -†22

Ul

-1†

21U

l

†l ( Ul )

Rl (n) = Ll (n) †

12U

lI - †

22U

l

-1

conditions initiales

Rr (n) = R(n) - Rl (n)

Rr (0) = R(0) - L(0) †

12U

rI - †

22U

r

-1

, Ur ´ ž

Rr (n+1) = Rr (n) †22

Ur

†r ( Ur )

Ll (0)= L(0) et Rl (0)= L(0) †

12Ul I - †

22Ul

-1conditions initiales


Propriétés des systèmes découplés

†l(U) =†

011

+

K

†k11

uk+ †

012+

K

†k12

ukI - †

022

+

K

†k22

uk

-1

†021

+

K

†k21

uk

a) Matrice †l

1°. Stochasticité

2°. Perte de la forme bilinéaire


l 011 k = 1

k11k 012

+ k = 1

k12k 022

k = 1

k22k 021

+ k = 1

k21k

b) Matrice †r

1°. N'est pas stochastique

2°. Forme bilinéaire

†r

(U) = †0 22

+

K

k = 1

†k 22

uk

Bilinéarisation du sous-système lent

†l(U) =†

011

+

K

k = 1

†k11

uk+ †

012+

K

k = 1

†k12

ukI - †

022

+

K

k = 1

†k22

uk

-1

†021

+

K

k = 1

†k21

uk

Matrice constante G G G G ´ ê r2 x r1 †

0 21

†1 21

…=

I - †0 22

- †1 22

…x G

G= I - †0 22

TI - †

0 22

+

K

k=1

†k 22

T†

k 22

-1

I - †0 22

T†

0 21

–

K

k=1

†k 22

T†

k 21

pseudo-inverse au sens de

Moore-Penrose

Forme après découplage



†K 21

- †K 22

k=1 k=1

avec † l (Ul) = † 11 (Ul) + † 12 (Ul) G

† r (Ur) = † 22 (Ur)

† infl (Ul) = † 12 (Ul) ( )I - † 22 (Ul)-1

Forme découplée après bilinéarisation du système lent

Ll (n+1) Rr (n+1) = Ll (n) Rr (n)†

lUl 0

0 †r

Ur

Rl (n) = Ll (n) †infl

Ul

Méthodes géométriques pour la mise en évidence des dynamiques des chaînes de Markov bilinéaires

Chaînes de Markov bilinéaires P(n+1) = P(n)

† 0 + ∑k =1

K

† k . uk




niveau localniveau global

P(n+1) = P(n) ( )† o +† 1 . u1Ê+Ê† 2 . u2ÊÊ+Ê...Ê+Ê† K. uK

a) Disques de Gershgorine dynamiques

b) Méthode de conditionnement

c) Utilisation de la matrice majorante

P(n+1) = P(n) ( )† o +† 1 . u1Ê+Ê† 2 . u2ÊÊ+Ê...Ê+Ê† K. uK

Calcul de la commande quasi-optimale par application des perturbations singulières (problèmes terminaux avec horizon fini N)

Critère d'optimalité du système lent

Critère d'optimalité initial

Réinjection


wÓ(n) = opt

U∈ždiag † (U) x RT

+ † (U) wÓ(n+1)

x Ó(n) Ll (n+1) = Ll (n) †

lUl

P(n+1) = P(n) † U

Chaîne de Markov initiale


Gl (n) = Ul (n, 1) Ul (n, 2) … Ul (n, r1)

commande optimale Critère d'optimalité du système rapide

commande optimale

Commande quasi-optimale du système initial

Gr (n) = Ur (n, 1) Ur (n, 2) … Ur (n, r2)

G (n) = Gl (n) Gr (n)

xÓ(n) = opt

Ul ∈ždiag †

lUl x Rl

T

+ †l

Ul xÓ(n+1)

zÓ(n) = optU∈ ž

†21 U R21

T+ †

22 U R22T

+ †21 U xÓ

l (n+1) + †22 U zÓ(n+1)

w Ó(n) ì xÓ(n)

z Ó(n)avec

R(n) = Rr (n) + Rl (n)

Rr (n+1) = Rr (n) †r

Ur et Rl (n) = Ll (n) †infl

Ul

Géographie du système hydro-énergétique étudié

Sous-ensemble de Liebvillers

5. APPLICATION A LA SIMPLIFICATION DE LA GESTION DES RESSOURCES D'EAU

LA PRETIERE

LIEBVILLERS

N Montbéliard

FRANCE VAUFREYDAMPJOUX

GROSBOIS


LE CHATELOT

le Doubs

LIEBVILLERS

LE REFRAIN Besançon

Neuchatel

SUISSE

GROSBOIS

Profil du système hydro-énergétique le long du Doubs


700

500

600

544, 50 m

1 600 000 m 3

16 000 000 m 3

609,50 m

686 m

Le Chatelot37,2 MVA

716 m

619 m

Altitude [m]

Le Refrain18,6 MVA


Dampjoux4,5 MVA

214 234 254 274 294 314 334 354 374

500

400

300La

Prtire 2 MVA

Liebvillers12 MVA

Grosbois 1,2 MVA

SUISSELa Goule(Suisse)4,5 MVA

352, 50 m

359, 50 m600 000 m 3

396,502 000 000 m 3

1 900 000 m 3

409, 00 m

Distance [Km]

Modélisation d'un aménagement hydro-énergétique


CENTRALE i

BARRAGE i

Débit déversé dev‘i

Retenue

Débit turbiné

u’i

Apports d’eau x‘i

Débit venant dubarrage i -1

Vers le barrage i+1

Volume de la retenue y’i

u’i -1+ W ’i -1+ dev’i -1

AMENAGEMENT i (barrage + centrale)


Modèle des ressources d'eau

W i (t) = fiu'i (t) , y'i (t)

Modèle énergétique

106dy'i = x'i+u'i -1+Ω'i -1

+dev'i -1 -u'i -Ω'i-dev'i dt

0 Š u' i Š u' imax 0 Š y' i Š y' imax

ω' i Š Ω' i 0 Š dev' i

avec

BARRAGE i

Débit réservé W ’i

Vers le barrage i+1

y’6

u’3

Le Chatelot

Le Refrain

Vaufrey

u’1

u’2

u’5

Grosbois

u’4

W4

W3

W2

W1

x’3

x’2

Dampjoux

W6

y’1

y’2

x’ 1

y’3

y’4

ž ’1

ž ’2

ž ’

Modélisation du système hydro-énergétique étudié

Description du système



106 dy'1 = x'1 (t) - u'1 (t) - Ω'1 (t) - dev'1 (t) dt


DoubsLa Priétière

u’7

W7

Liebvillers

W5x’

7 u’6

ž ’4

Modèle énergétique

δti = temps parcouru par le Doubs entre la centrale du Chatelot et la centrale i

W (t) =

W1 (t)

2+W2 (t - δt2)+W3 (t - δt3)+W4 (t - δt4)+W5 (t - δt5)+W6 (t - δt6)+W7 (t - δt7)

10 dy'1 = x'1 (t) - u'1 (t) - Ω'1 (t) - dev'1 (t) dt

106 dy'2 = u'1 (t) + Ω'1 (t) + dev'1 (t) + x'2 (t) - u'2 (t) - Ω'2 (t) - dev'2 (t) dt

106 dy'3 = u'2 (t) + Ω'2 (t) + dev'2 (n) + x'3 (t) - u'3 (t) - dev'3 (t) dt

106 dy'4 = u'3 (t) + dev'3 (t) - u'4 (t) - u'5 (t) - dev'4 (t) dt

106 dy'6 = u'4 (t) + u'5 (t) + dev'4 (t) - u'6 (t) dt

u'7(t) = u'6 (t) + x'7 (t)

Discrétisation du modèle des ressources d'eau

Modèle mathématique discret


y'1 (n+1) - y'1 (n)α

= x'1 (n) - u'1 (n) - Ω'1 (n) - dev'1 (n)

y'2 (n+1) - y'2 (n)α

= u'1 (n) + Ω'1 (n) + dev'1 (n) + x'2 (n) - u'2 (n) - Ω'2 (n) - dev'2 (n)

y'3 (n+1) - y'3 (n)α

= u'2 (n) + Ω'2 (n) + dev'2 (n) + x'3 (n) - u'3 (n) - dev'3 (n)

y'4 (n+1) - y'4 (n)α

= u'3 (n) + dev'3 (n) - u'4 (n) - u'5 (n) - dev'4 (n)


Discrétisation du modèle énergétique

av ec et ηi = ²t δ i = rendement nergtique

α

y'6 (n+1) - y'6 (n)α

= u'4 (n) + u'5 (n) + dev'4 (n) - u'6 (n)

u'7(n) = u'6 (n) + x'7 (n)

W n =

η1 u'1 n

2+ η2 u'2 n + η3 u'3 n + η4 u'4 n + η5 u'5 n + η6 u'6 n + η7 u'7 n

Wi(n) = ηi • u'i (n)

avec α = ²t106

[s]

Changement de variables

yi = y' i

y' imax ´ [0, 1] , À i = 1, 2, 3, 4, 6, volume utile relatif de la retenue

ui = u' i

u' imax ´ [0, 1] , À i = 1, …, 7 , dbit turbin relatif

xi = x' i

u' imax , À i = 1, 2, 3, 7 , apport relatif

devi = dev' iu' imax

, À i = 1, 2, 4 , dbit dvers relatif

Ωi = Ω' i

u' imax , À i = 1, 2, 3, 4 , dbit rserv relatif

ω i = ω ' i

u' imax , À i = 1, 2, 4 , dbit minimum rserv relatif

ki = u' i-1maxu' i

, À i = 2, …, 7 et h i = u' imaxy' i

, À i = 1, 2, 3, 4, 6



ki = u' imax , À i = 2, …, 7 et h i = y' imax

, À i = 1, 2, 3, 4, 6

Modèle des ressources d'eau Modèle énergétique

W n =

η1 u'1 maxu1 (n)

2+ η2u'2 max

u2 n +

+ η3u'3 maxu3 n + η4u'4 max

u4 n +

+ η5u'5 maxu5 n + η6u'6 max

u6 n +

+ η7u'7 maxu7 n

y1 (n+1) - y1 (n) = α h1 x1 (n) - u1 (n) - Ω1 (n) - dev1 (n)

y2 (n+1) - y2 (n) = α h2 x2(n) + k2 u1(n) + Ω1(n) + dev1(n) - u2(n) - Ω2(n) - dev2(n)

y3 (n+1) - y3 (n) = α h3 x3 (n) + k3 u2 (n) + Ω2 (n) + dev2 (n) - u3 (n) - dev3 (n)

y4 (n+1) - y4 (n) = α h4 k4 u3 (n)+ dev3 (n) - u4 (n) - dev4 (n) -1

k5

u5 (n)

y6 (n+1) - y6 (n) = α h6 k6 k5 u4 (n) + dev4 (n) + k6 u5 (n) - u6 (n)

u7(n) = k7 u6 (n) + x7 (n)

Le Chatelot

Le Refrain

Vaufrey

Liebvillers

Grosbois

Dampjoux

Commande du système

demande globale W W W W (n)

1°. devi = 02°. Ωi = ω i

y1(n+1) - y1(n) = α h1 x1(n) - u1(n) - ω1

y2(n+1) - y2(n) = α h2 x2(n) + k2 u1(n) + ω1

- u2(n) - ω2

y (n+1) - y (n) = α h x (n) + k u (n) + ω - u (n)


Contraintes économiques



Doubs La Pritire

Modèle des ressources d'eau + modèle énergétique

y3(n+1) - y3(n) = α h3 x3(n) + k3 u2(n) + ω2

- u3(n)

y4(n+1) - y4(n) = α h4 k4 u3(n) - u4(n) -1

k5

u5(n)

y6(n+1) - y6(n) = α h6 k6 k5 u4(n) + k6 u5(n) - u6(n)

u7(n) = k7 u6(n) + x7(n)

yi (n+1) - y i (n) = 0

+ Optimisation de la gestion des ressources d'eau

ui = fi (W , xj / j = 1, 2, …, 7 )

Etude de l'évolution du volume d'eau de la retenue du barrage de Chatelot

Modèle mathématique

y 1 (n+1) - y 1 (n) = αh 1 ( )x1 (n) - u 1 (n) - ω1

- apport moyen des Brenets : 16,1 m 3 /s - dviation standard : 30,3 m 3 /s

- apport maximum = 318 m 3 /s

Densit de probabilit du dbit des Brenets

6070

Analyse statistique de l'apport x1



- apport maximum = 318 m /s - apport minimum = 1,54 m 3 /s

intervalles

%

0102030405060

1 6 11 16 21 26 31 36 variable alatoire ξ 0 : f( ξ) =

115,1 e

- ξ15,1

Densité de probabilité de ²y1 g(²y 1) = u'1 max

15,1 αh1 e

- u' 1 max

²y 1

αh1 + u1 + ω1 - 1

15,1

x' 1 = 1 + ξ

y 2(n+1) - y 2(n) = αh 2 ( )x2(n) + k 2( )u 1(n) + ω1 - u 2(n) - ω2

Etude de l'évolution du volume d'eau de la retenue du barrage du Refrain



Densité de probabilité de ²y2

g(²y 2) = u' 2 max

6,46 αh2 e

- u'2max

6,46 αh2 ( )²y 2+ (u 2 + ω 2)αh2- (u 1 + ω 1) k 2αh2



Etude de l'évolution du volume d'eau de la retenue du barrage de Vaufrey



Densité de probabilité de ²y3

y 3(n+1) - y 3(n) = αh 3 ( ) x 3(n) + k 3( )u 2(n) + ω2 - u 3(n)

g(²y 3) = u' 3 max6,9 αh3

e-

u'3 max 6,9 αh3

( ) ²y 3+ u 3 αh3 - (u 2 + ω 2) k 3αh3

Chaînes de Markov obtenues - systèmes bilinéaires-

P(1) (n+1) = P(1) (n) † (1) (v1) avec † (1)(v1) = † 0(1) + † 1

(1) v1 o v1 = e -

u' 1 max u 1 15,1

†(1)

v1

=

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

+

-0,541617 0,382734 0,112275 0,032936 0,009662 0,002834 0,000831 0,000244 0,000071 0,000021 0,000009-1,84632 1,304703 0,382734 0,112275 0,032936 0,009662 0,002834 0,000831 0,000244 0,000071 0,000030 -1,84632 1,304703 0,382734 0,112275 0,032936 0,009662 0,002834 0,000831 0,000244 0,0001010 0 -1,84632 1,304703 0,382734 0,112275 0,032936 0,009662 0,002834 0,000831 0,0003450 0 0 -1,84632 1,304703 0,382734 0,112275 0,032936 0,009662 0,002834 0,0011760 0 0 0 -1,84632 1,304703 0,382734 0,112275 0,032936 0,009662 0,004010 0 0 0 0 -1,84632 1,304703 0,382734 0,112275 0,032936 0,0136720 0 0 0 0 0 -1,84632 1,304703 0,382734 0,112275 0,0466080 0 0 0 0 0 0 -1,84632 1,304703 0,382734 0,1588830 0 0 0 0 0 0 0 -1,84632 1,304703 0,5416170 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,84632 1,84632

v1

P(2) (n+1) = P (2) (n) † (2) (v2) avec † (2)(v2) = † 0(2) + † 1

(2) v2 o v2 = e

u' 2max ( )u1 k2 - u 2 6,46



†(2)

v2

=

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

+

-0,973134 0,24254 0,182091 0,136707 0,102635 0,077054 0,05785 0,043431 0,032606 0,02448 0,07374-1,29619 0,323058 0,24254 0,182091 0,136707 0,102635 0,077054 0,05785 0,043431 0,032606 0,0982180 -1,29619 0,323058 0,24254 0,182091 0,136707 0,102635 0,077054 0,05785 0,043431 0,1308240 0 -1,29619 0,323058 0,24254 0,182091 0,136707 0,102635 0,077054 0,05785 0,1742550 0 0 -1,29619 0,323058 0,24254 0,182091 0,136707 0,102635 0,077054 0,2321050 0 0 0 -1,29619 0,323058 0,24254 0,182091 0,136707 0,102635 0,3091590 0 0 0 0 -1,29619 0,323058 0,24254 0,182091 0,136707 0,4117940 0 0 0 0 0 -1,29619 0,323058 0,24254 0,182091 0,5485010 0 0 0 0 0 0 -1,29619 0,323058 0,24254 0,7305920 0 0 0 0 0 0 0 -1,29619 0,323058 0,9731320 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,296193 1,296193

v2

†(3)

v3

=

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

+

-0,914321 0,203393 0,158148 0,122967 0,095613 0,074344 0,057806 0,044947 0,034948 0,027174 0,094981-1,1759 0,261583 0,203393 0,158148 0,122967 0,095613 0,074344 0,057806 0,044947 0,034948 0,1221510 -1,1759 0,261583 0,203393 0,158148 0,122967 0,095613 0,074344 0,057806 0,044947 0,1570990 0 -1,1759 0,261583 0,203393 0,158148 0,122967 0,095613 0,074344 0,057806 0,2020460 0 0 -1,1759 0,261583 0,203393 0,158148 0,122967 0,095613 0,074344 0,2598520 0 0 0 -1,1759 0,261583 0,203393 0,158148 0,122967 0,095613 0,3341960 0 0 0 0 -1,1759 0,261583 0,203393 0,158148 0,122967 0,4298090 0 0 0 0 0 -1,1759 0,261583 0,203393 0,158148 0,5527760 0 0 0 0 0 0 -1,1759 0,261583 0,203393 0,7109240 0 0 0 0 0 0 0 -1,1759 0,261583 0,9143170 0 0 0 0 0 0 0 0 -1,1759 1,1759

v3

P(3) (n+1) = P(3) (n) † (3) (v3) avec † (3)(v3) = † 0(3) + † 1

(3) v3 o v3 = e

u' 3 max ( )u2 k3 - u 3

6,9

Commande optimale locale des barrages étudiés

, i = 1, 2, 3

wÓ(n) = minvi

diag †( i )

vi x R ( i )T

+ †( i )

vi x wÓ(n+1)

o

† (i) (v i) ´ ê 11 x 11 la matrice de transition de la cha”ne de Markov

i

Equation d'optimalité



R (i) = [ rikj

] ´ ê 11 x 11 la matrice des cots de variation du niveau d'eau

w Ó ´ ê 11 l'esprance de cot ˆ minimiser

Dans les matrices de cot R (i) (i = 1, 2, 3), nous retrouvons des lments de type rikj (k, j = 1 , …, 11) :

rikj = ηi

y' i max α

y

ji - y

ki [MWh] avec α =

²t106

Etude globale du système

- Réduction des chaînes de Markov élémentaires selon la double échelle de pondération -


Chatelot Pas de Double Echelle de Pondération

Refrain Double Echelle de Pondération

sous-système fort :

†s(2)

v2 =

1 0 0 01 0 0 00 1 0 0 +

-0.9731 0.2425 0.1821 0.5485-1.2962 0.3231 0.2425 0.7306

0 -1.2962 0.3231 0.9731 v2


o les tats forts sont respectivement y2 = 0 , y 2 = 0,1 , y 2 = 0,2 et y 2 = 0,3

s(2) 2 0 1 0 00 0 1 0

0 -1.2962 0.3231 0.97310 0 -1.2962 1.2962

2

Vaufrey Double Echelle de Pondération

o les tats forts sont respectivement y3 = 0 , y 3 = 0,1 et y 3 = 0,2

sous-système fort :

†s(3)

v3 =1 0 01 0 00 1 0

+-0.9143 0.2034 0.7109-1.1759 0.2616 0.91430 -1.1759 1.1759

v3

Chaîne de Markov correspondant au processus global de gestion de l'eau

- commande optimale globale -

† (v 1 ,v 2 ,v 3 ) = † (1) (v 1 ) ˆ † s(2) (v 2 ) ˆ † s(3) (v 3 ) Chaîne de Markov globale

† (1) ´ ê11 x 11

, † s(2) ´ ê4 x 4

, † ´ ê

3 x 3 ñ

† ´ ê

132 x 132

Commande optimale globale - critère d'optimalité

w1 (N)

0



R = R (1) ˜ R s(2) ˜ R s(3) ´ ê 132 x 132

avec l'oprateur ˜ dfini par :

À A ´ ê n x n , B ´ ê m x m , A = [a ij]i,j=1,…,n , B = [b ij] i,j=1,…,m ,

A ˜ B ´ ê mn x mn tel que A ˜ B =

a 11 + B a 12 + B … a 1n + Ba 21 + B a 22 + B … a 2n + B

… … … …a n1 + B a n2 + B … a nn + B

wÓ(n) = min

v1,v2,v3

diag † v1, v2, v3 x RT

+ † v1, v2, v3 x wÓ(n+1)

où

w(N) =

w2 (N)

…

w132 (N)

=

0

…

0

avec

Chatelot

Refrain

Vaufrey

y2 = 0,4

y2 = 0,2

y2 = 0,1

y2 = 0

y3 = 0,2

y3 = 0,1

Simplification du système à l'aide des perturbations singulières

Niveaux des retenues caractérisant la partie lente du système



3

y3 = 0

Chatelot

Refrain

Vaufrey

y2 = 0,4

y2 = 0,2

y2 = 0,1

y2 = 0

y3 = 0,2

y3 = 0,1

y3 = 0

Niveaux des retenues caractérisant la partie rapide du système

Commande quasi-optimale du système global

R R

Critère d'optimalité de la partie lente


xÓl(n) = min

v1,v

2,v

3

diag †l

v1,v2,v3 x R lT + †

lv1,v2,v3 x xÓ

l(n+1)


´ ê66 x66

avec la partition Rl = R11

R =

R11 R12

R21 R22

Critère d'optimalité de la partie rapide

zÓ(n) = minv1,v2,v3

diag †21

v1,v

2,v

3x R 21

T+ †

22v

1,v

2,v

3x R 22

T+ †

21v

1,v

2,v

3xÓ

l(n+1) + †

22zÓ(n+1)

y1(n)

y2(n)

y (n)

lÕtat fait partie des vnements les plus probables du

systme

Commandes quasi-optimales calcules

u1(n)

u2(n)

u3(n)

Méthodologie de gestion du système hydro-énergétique en utilisant la

politique optimale calculée



y3(n)

lÕtat ne fait pas partie des vnements

prpondrants du systme

u3(n)

Nous appliquons les commandes dcentralises

u1(n) , v2(n) et v3(n)

u2(n) u3(n)

y1(n+1) - y1(n) = α h1 x1réel - u1(n) - ω1

y2(n+1) - y2(n) = α h2 x2réel + k2 u1(n) + ω1

- u2(n) - ω2

y3(n+1) - y3(n) = α h3 x3réel(n) + k3 u2(n) + ω2

- u3(n)

u4(n) = ξ Wréel

(n)- 1

2η

1u'1max

u1(n)+ η2u'2max

u2(n)+

+ η3u'3max

+η5u'5max

k5k4+η6u'6max

k6k5k4+η7u'7max

k7k6k5k4 u3(n)+

+ η u' x

Méthodologie de gestion du système hydro-énergétique en utilisant la politique optimale calculée

u1(n)

u2(n)

u3(n)



+ η7u'7max

x7réel

u5(n) = - ξ k5 Wréel

(n)- 1

2η

1u'1max

u1(n)+ η2u'2max

u2(n)+

+ η3u'3max

+η4u'4max

k4+η6u'6max

k6k5k4+η7u'7max

k7k6k5k4 u3(n)+

+ η7u'7max

x7réel

u6(n) = k6 k5 k4 u3(n)

u7(n) = k7 k6 k5 k4 u3(n) + x7réel(n)

avec ξ = 1

k5 η5

u'5max- η

4u'4max

commandes des centrales de

Grosbois (u 4 ), Liebvillers (u 5 ), Dampjoux (u 6 ) et

La Prtire (u 7 ),

ainsi que les nouvelles valeurs des niveaux des retenues de

Chatelot (y 1 (n+1)), Refrain (y 2 (n+1)) et Vaufrey (y 3 (n+1))

CONCLUSION

Simplification des chaînes de Markov

DET DEP DET et DEP

Perturbations singulières


Réduction du système à sa partie forte globalement lente


Simplification des chaînes de Markov bilinéaires à commande

DET DEPBilinearisation des sous-systèmes découplés

Application à la gestion des ressources d'eau d'un système hydro-

énergétique

PERSPECTIVES

1. Généralisation des techniques de simplification des chaînesde Markov à commande pour une classe plus large demodèles non linéaires.


2. Simplification des Réseaux de Petri. Développement d'uneméthode de découplage graphique applicable directementsur ce type de modèle.

contribution à la modélisation et à l'analyse des chaînes

Documents