contribution a l'Évaluation du risque volcanique
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AGENCE FRANÇAISE BUREAU DE RECHERCHESPOUR LA MAITRISE DE L'ÉNERGIE GÉOLOGIQUES ET MINIÈRES
A.F .M .E . B .R .G .M .27, rue Louis Vicat B.P. 6009
75737 PARIS 45060 ORLÉANS
CONTRIBUTION A L'ÉVALUATION DU RISQUE VOLCANIQUE :
TECHNIQUES D'ÉTUDE DES SÉRIES TEMPORELLES VOLCANIQUES,PROCESSUS STOCHASTIQUES DESCRIPTIFS ET GÉNÉTIQUES
par
Ph. MOUTOU
INSTITUT MIXTE DE RECHERCHES GÉOTHERMIQUES
SERVICE GÉOLOGIQUE NATIONAL
B.P. 6009 - 45060 Orléans Cedex - Tél.: (38) 64.34.34
Rapport du B . R . G . M .
84 SGN 343 IRG octobre
Résiliation : Département Applications Graphiques
RESUME
Cette étude a été réalisée dans le cadre des activités de recherchede la cellule volcanologie de l'IMRG, au cours d'un stage de 3 mois (juillet-octobre 1984D, à la demande du SGR/Océan Indien qui, au sein de son activité derecherche et de service public développe un programme d'étude de l'histoire érup-,tive du Piton de la Fournaise (carte à 1/25 000 ème des coulées historiques].
Ce rapport inventorie les méthodes de traitement statistique des sériesd'événements, appliqué ici aux chroniques volcaniques, point de départ de l'éva-luation du risque volcanique.
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Trois types d'approches statistiques sont tentés suivant la finalitéde l'étude :
APPROCHE PETERMINISTE :
Les processus naturels sont considérés, malgré leur complexité intrinsèque, commele résultat de quelques influences majeures :
• iffJÈËQÇÎËQEË? o u mouvements séculaires
saisonnières ou périodiques, occasionnées par leretour à intervalles fixes (jour, mois, année . . . ) de conditionsparticulières (cycles saisonniers, lunaires . . . )
cycliques ou non-périodiques, occasionnées par desprocessus naturels (cycle des glaciations, évolution des contraintestectoniques . . . ) .
Les méthodes qui ont cette finalité procèdent par décomposition, en éliminantprogressivement les "causes" identifiées et quantifiées. Leur utilisation envolcanologie permet d'individualiser les différents facteurs qui contribuentau déclenchement d'une éruption.
APPROCHE PROBABILISTE :
Seul l'aspect aléatoire des processus entre en ligne de compte. Pour les sériestemporelles volcaniques, la durée des intervalles entre deux éruptions est lavariable dont on recherche la loi de distribution. Cette loi est une loi para-métrique j elle est caractérisée :
- par des paramètres :
. paramètre d'échelle caractérisant une valeur moyenne de la variable
. paramètre_de forme caractérisant l'allule de la dispersion, c'est-à-dire le plus ou moins grand regroupement des valeurs autour de lamoyenne (par exemple l'écart-type, le coefficient de dispersion . . . )
. paramètre de position indiquant la valeur minimale que peut prendrela variable.
- par une formule mathématique :
iË_Eiy§_yËili§Éë e s t l a l o i d e distribution exponentielle des duréesde repos du processus de Poisson. Ce processus sert de référence auxautres processus ; il est caractérisé par une probabilité d'éruptionconstante, donc indépendante de la durée de repos écoulée depuis ladernière éruption.
la plus_performante est la loi de Weibull qui, avec ses trois para-mètres et son expression simple recouvre la plupart des autres lois,et se prête à une méthode de résolution graphique.
APPROCHE SEMI-PETERMINISTE :
L'aspect aléatoire est restreint par l'introduction de facteurs subjectifs par legéologue (existence, volume, profondeur, . . . de la chambre magmatique ; définitiond'une entité "éruption" . . . ] que l'on veut incorporer au modèle pour décrire leprocessus.
. la méthode introduite par Wickman (de 1963 à 1976), utilise leschaînes de Narkov : un processus est décrit à l'aide d'une matricede probabilité dont les paramètres sont évalués de façon empirique(simulation de Monte-Carlo, méthode des moments . . . ) ou analytique(en utilisant les transformés de Laplace).
. dans certains cas (par exemple, étude de l'alternance des duréesd'éruption et de repos) les différents paramètres de la matricesemblent varier avec le temps ; ces processus sont alors dit"semi-markoviens".
. dans les cas plus complexes enfin, d'autres processus peuvent êtreinvoqués mais leur usage en volcanologie serait plus spéculatif quedescriptif.
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Quelques applications à des volcans actifs illustrent ces diverses approchesstatistiques :
- La montagne. Pelée [krtUUULzÂ) mon&ie. cûn&Z :
. une éruption en moyenne tous les 220 ans et peu de valeurs extrêmes (courtesou longues), donc une certaine périodicité
. des maxima d'activité [cycles) tous les 3 à 4 000 ans ; un mouvement d'ampli-tude plus longue (30 000 ans).
- Le StÂomboti (itaLLz) {outinit un zxmpte. totaZzmewt di^Viint :
. deux cratères sont actifs simultanément, le rythme des explosions est rapide(une explosion en moyenne toutes les 7 à B m n ) .
. les comportements sont différents (temps de recharge et évolution de la pro-babilité d'éruption distincts) malgré la dépendance des 2 appareils (identitédes valeurs moyennes de repos).
L'application de ces méthodes au volcan du Piton de la Fournaise(La Réunion) a été réservée pour une étude beaucoup plus détaillée réalisée surplace pendant l'année 1985 (stage de VAT au Service Géologique Régional de l'OcéanIndien). L'étude devrait être d'un grand intérêt du fait :
. de nombreux événements répertoriés (150 éruptions en 300 ans) pour lesquelsune date de début et une date de fin sont disponibles.
. de la possibilité de développer l'étude en additionnant des paramètres géo-morphologiques (altitude points d'émission ; volume, extension des coulées . . . ) ,minéralogiques . . . Ce qui conduit à l'évaluation et à la cartographie desrisques volcaniques.
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SOMMAIRE
Pages
CHAPITRE 1 - LES SERIES TEMPORELLES VOLCANIQUES
APPROCHE DETERMINISTE 5
1 - RECOLTE ET CRITIQUE DES DONNEES 6
2 - L'APPROCHE DETERMINISTE -PRINCIPE ET REPRESENTATION
DES SERIES TEMPORELLES '. 8
3 - DECOMPOSITION DES SERIES TEMPORELLES 12
4 - ETUDE DE LA CORRELATION SERIELLE 14
CHAPITRE II - LES PROCESSUS STOCHASTIQUES DESCRIPTIFS 17
1 - LE PROCESSUS DE POISSON 22
1.1. - Nombre d'éruptions par intervalle 22
1.2. - Durée des repos 24
1.3. - Propriétés essentielles du processus de Poisson .... 26
2 - LE PROCESSUS DE RENOUVELLEMENT " 29
2.1. - Introduction 29
2.2. - Distribution de Weibull 29
2.3. - Dispersion du Processus - approche de Thorlaksson .. 31
2.4. - Comparaison des deux méthodes 34
2.5. - Représentations graphiques et tests 35
2.6. - Exemple d'application : activité au Stromboli 37
• • • / <
CHAPITRE III - PROCESSUS STOCHASTIQUE GENETIQUE
PROCESSUS SEMI-DETERMINISTE 42
1 - PROCESSUS DE MARKOV 43
1.1. - Présentation 43
1.2. - Propriétés principales du Processus de Markov
d ' ordre 1 45
2 - PROCESSUS S E M I - M A R K O V I E N S 56
3 - AUTRES PROCESSUS 58
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 59
ANNEXES : TABLES DE DISTRIBUTION D U <X2 ET DE LA LOI DE K 0 L M O G N 0 V .
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LISTE DES FIGURES
Fagote
Flgun.z
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Vlgun.z
T-lgwiz
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TlgUKZ
TlgWlZ
Tlgun.z
FlguAz
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¥lguh.z
VlgUHJZ
Tlaunjz
Tlgwiz
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Tlgunz
7lgun.z
Flgwiz
Flgufiz
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11
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15
16
1?
le
79
20
11
Activité, volcanique, globalz de. 700 a. 1930 (ci'apA.è6 Mak&ùnov, 1968).
Uasutln etp hl&toKlqaeÁ da Fuego de. 1500 a. 1900Ro¿z, 1981).
ptilnclpaJLe¿ de. la. montagne. Veite, dzpulb 40 000 avu,.
V&cjompo<lon d'une, ¿tule. tempotieZJLz Idéale. [d'apn&i> Spelgel, 1983).
Composante. o&clllatoÂJiz de. la ¿éAlz de¿ caluúJieÁ de. Vantn.y[d'a.ptie¿ SctowizacheA., 1963).
CosuiéJtognamme. dz la ó&Ue. du calcalnu dz VantÄ.y {Schuwizache/i, 1963).
Vetiiodognxmmz dz laSckaan.zac.heA, 1963).
de¿> calxiaAjieA dz Vasit/iy (d'apn.&>
Etudz dz I1 Indzpzndancz dzb intznvalZeA dz nzpob dz la. montagnz Pzlzz.
Vlougnammz dzi> pKobabXJULtéÁ P(X = n) ¿>UK V zxemplz du Vopocatzpelt.
VaAlatlon dz ?[V T) avzc T zt <}>.
Vzn<t dz piobabMJJtz d'un p>iocz¿¿u& dz ?olí,¿on.
TonctUjon dz ¿unvlvancz dz& pnoce¿&u¿ dz PolbÁon suivant <f>.
Taux dz montalltz [$[T)) kumalnz.
AlùiAz dzi counbe <}>(T) et F(T) du modllz dz WzlbuUt.
MÎUÂ.Z dzà cowibeA ${T) et F(T) dan& leM 5 ca& dz ThoAlak^son.
Vlagnarmz dz Wlckman dz& zxpio¿>lovu> dz 2 cnatz^zb au SPiomboLL.«
VÂjxgnjxmz dz WelbulJi dz¿ zxplo¿lom> dz 2 cn.atln.z6 au. Stn.omboll.
Taux d'znuptlon dz& 1 cnatèn.zi> du Stnomboll.Vlagnxmme dz& pnobabllltz& dz n.eJboun. a Vztat Ivûtlal [?:•)) et dzhJzcuviwcz dz Vttat Initial. ( ¿ n ) ^ * -
Sontlzà du modzle. d'activité znuptlvz dz la montagnz Vzlzz.
Simulation dz Hontz-Canlo.
TABLEAUX
Tablzau 1 : Vatzs d'éj'zction dz jzt¿ dz lavz au Stnomboll, la magnltudz de¿>znuptlons va dz 0,5 poun. lz& plut, gnandzs à 3 poun. le¿ plus pztltzs.
Tablzau 1 : Valzuu dz la fonction de. ¿unulvancz F(T] = P (V T) calculéesIzs z{izctÀ.is {ig'uKant dans Iz tablzau 1.
- 1 -
INTRODUCTION
Vzpuis une tsientalne. d'années, de. nombreux autzuns ont Int/iodult en
volcanologie., dlvexseM techniques d'analij¿z mathématique. de¿> ¿énles tempo neJULes.
Le.au buts ¿talent de. fizconnaZPiz dont, la. succession de¿ ivè.ne.menti> wlcanAquu
au &eÀ.n d'un même edifice. de¿ bohemas ¿¿mple¿ zxpLLquant Vappajitnte. c£imple.xití
de. ce¿ manl^utatlom,. Le. dzctmckement d'une, éfuiptlon volcanique. e¿>t un phéno-
mène, a la. lo-iSi détejmlné et altatoÁJie. en fuúAon du nombfie. con&ldéAable. de meca-
nÁj>meÁ qui ¿>'y hjatta.cke.nt. LeA méthodes &e. ¿cindznt e.n de.ux anaupeA : le¿> pn.a-
mi.QA.eA ¿'attachent à l'a¿pe.ct déteJuninibte. du phénomène, volcanique., oJLleÀ
dégagent le¿"cauAeA" pnlncipaleM tandil, que. le¿> ¿&conde¿ inveMement com>¿deAe.nt
Vou>pe.ct atéatoÁJie., pfwbabWute., et élaborent du lolà de. pnobablUté. L'objet
de. notne. étude e&t de. ioJjie. le. point ¿un. l<¿¿> te.chnlque¿ analytiques qui ont été
ou qui pounnalent ztfie. utULi&ée dank ce. ¿>e.cte.ufi, e.n ln¿lí>tant eùhentJLeZlment
¿un. le& méthodes phobablSUu>te& qui, aph.e¿ la. contribution de, Wlckman (7963-7976),
constituent à elles-¿zules unz micAodiscipline, de. la volcanologie.
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Rappels préliminaires
Une variable aléatoire [notation : X, Y , Z . . . etc) est le caractèrequi distingue un échantillon ou un événement de la population dont il est tiré.Sri les valeurs numériques que peut prendre cette variable sont entières on diraque la variable est discrète, si la variable peut prendre des valeurs continueson dira alors qu'elle est continue. Par exemple X, la variable aléatoire repré-sentant le nombre d'éruptions pendant un intervalle de temps fixé, est une va-riable discrète par contre, la variable Y qui représente la durée d'un reposentre deux éruptions est continue.
La probabilité d'un événement est égale au rapport du nombre d'éven-tualités favorables sur le nombre d'éventualités possibles. Lorque la structurede l'objet étudié est explicitement connue, les probabilités sont directementcalculables, par exemple la probabilité de tirer une des six faces d'un dé nonpipé est un sizième. Malheureusement, pour nous, la structure sous-jacente auvolcan est presque totalement inconnue elle n'est en tout cas pas exprimablemathématiquement. Dans ce cas les probabilités sont évaluées au moyen des donnéesdisponibles exprimées sous forme de fréquences ; la fréquence d'un événement étantégale au rapport du nombre de réalisations passées de cet événement sur le nombredes cas possibles pendant la période d'histoire considérée. Les probabilités commeles fréquences sont donc des nombres compris entre 0 [aucune chance) et 1 [toutesles chances).
La fonction qui donne les probabilités des diverses réalisationspossibles d'une variable aléatoire est appelée fonction de densité de probabilité[notation : f). Pour notre variable Y définie précédemment, la réalisation parti-culière T a la probabilité :
PCY = T) = f(T)
La somme des probabilités de toutes les réalisations possibles de lavariable est nécessairement égale à 1. Ainsi, si la variable, X, discrète, peutprendre toutes les valeurs entières de 0 à n
nZ PCX = k) = 1k=0
et si la variable, Y, continue, peut prendre toutes les valeurs comprises entre0 et + »
+ 00 +
/ f(X) dx = / PCY = X) dx = 1
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La fontion de répartition d'une variable aléatoire X est la probabilitéque la réalisation de la variable soit inférieure ou égale è une certaine valeur.On utilisera plutôt la fonction de survivance (notation : F) qui est la probabilitéque la réalisation soit supérieure ou égale à une certaine valeur. Ainsi pour lavariable Y :
FCT) « P ( Y ^ T )
Dans le cas des variables continues la fonction de survivance est liéeà la densité par la relation :
F[T) = / f(x) dx
T
La fontion de survivance d'une variable continue est plus intéressanteen pratique que la densité car on s'intéresse pratiquement toujours à des intervalles.Par exemple, sur 1'intervalle'de temps [Ti - T 2 ] , il est plus facile de calculer
à l'aide de F que de f :
= i f(x) dx = FCTi) - F(T23
T2
La loi de probabilité qui est exprimée par f ou F se définit d'unepart par sa formulation mathématique et d'autre part par les différents paramètresqui entrent dans la formulation mathématique et qui sont estimés d'après l'échan-tillon observé. A partir de cette loi théorique on définit des paramètres de ten-dance centraux et des paramètres de dispersion, les principaux paramètres utilisés
étant : PcuumWie. cent/taux+ 00
la moyenne : x = / xf(x] dx
0
Le mode (valeur ayant la plus forte densité de probabilité]
f 1 f v 1 = n
La médiane (valeur divisant la population en deux sous-populationséquiprobables)
x
/
med +00
f(x] dx = / f(x] dx =
0 x
x ,med
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dz
(x - x)2 f(x) dx
1'écart type o
le coefficient de dispersion V = —
l'écart type étant proportionnel à la moyenne, l'utilisation du coefficient Vpermet de se ramener à une grandeur adimensionnelle caractérisant globablementla dispersion des distributions.
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CHAPITRE 1
LES SERIES TEMPORELLES VOLCANIQUES - APPROCHE DETERMINISTE
- 6 -
1 - RECOLTE ET CRITIQUE DES DONNEES
Les chroniques volcaniques sont les données brutes à la dispositiondu statisticien. Toutes les observations disponibles de l'activité du volcan ysont rassemblées, formant un tout hétérogène. Le nombre et la qualité des obser-vations sont globalement croissants avec le temps ; trois époques se succèdent :
- tipoquo.L'activité volcanique est connue à travers les dépôts qu'elle a laissé et quiont pu être observés, individualisés et datés par la suite. Les éruptions peuimportantes dont les produits n'ont pas été retrouvés ne sont pas comptabilisées,ainsi que celles qui superposent des produits identiques dans un court laps detemps. A l'opposé une éruption unique à produits hétérogènes sera parfois dé-doublée. L'incertitude sur la date dépend de la méthode employée et limite laprécision de l'inventaire. Par exemple, à la Montagne Pelée, les éruptions sontdatées au C 1 4 avec une précision de plus ou moins 30 ans. Ainsi, afin d'avoir unensemble cohérent, il faudrait considérer les deux éruptions historiques de 1902et 1929 comme un seul événement.
Les témoins d'éruptions du volcan qui ont laissé des traces de leurs observationsne disposent pas des mêmes critères d'estimation. Leur aciduité et donc la rigueurdp leurs chroniques seront variables. Les observations reccueillies sont réuniesaprès recoupements et juxtapositions en un catalogue unique. Certains événementsy sont amplifiés, d'autres y sont sous-estimés voire ignorés.
La surveillance de certains volcans depuis quelques dizaines d'années apportedes quantités d'informations qui, une fois compilées, constituent un inventairequasi-exhaustif des événements. On conçoit facilement qu'une analyse couvrantune période assez longue, sera amenée à grouper des observations de qualité trèsinégale et devra prendre en considération ce facteur d'hétérogénéité.
Maksimov (1968), afin d'étudier la rythmicité de l'activité volcanique,rassemble des chroniques concernant 60 à 85 % des volcans actifs de la planète.Le nombre de volcans ayant eu au moins une éruption dans une année est porté enfonction de l'année. Le résultat, reproduit dans la figure 1, est un accroissementapparent considérable de l'activité volcanique globale sur la période 1500-1930.
D'après l'auteur, cet accroissement ne serait pas uniquement dû à l'aug-mentation parrallèle de la quantité d'informations disponibles et il y aurait réel-lement une augmentation de l'activité volcanique durant cette période. La tranche700-150G serait en comparaison une morte saison pour le volcanisme. Superposés àcette tendance, des cycles séculaires se succèdent plus ou moins régulièrement età l'intérieur de ces cycles des petits cycles de 23 ans. Ce type d'analyse quicherche à dégager d'un phénomène aléatoire des composantes régulières, s'oppose àla démarche probabiliste qui s'attache à caractériser le processus stochastique(aléatoire)" suivi par 1'activité volcanique.
30
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1500 :B00 1700 ISOO 1500
| j \i cyctoA de 2 3 CICLÓ
"? I | | j: pZte du CIJCJLQA de 2 3
: Activate, volcanique globale, de. l'année. 700 à 1'annc.e. 1930. Lu\)2ÀJtLcaloj> donnznt le. nombre, d'e\nu.p&Lon& n.e.ce.nt><iej> poun chaque, année.
HAKSWOV, 1968)
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2 - L'APPROCHE DETERMINISTE - PRINCIPE ET REPRESENTATION DES SERIES
TEMPORELLES
Deux variables sont alternativement choisies pour représenter l'activitéd'un volcan : le nombre d'éruptions et le volume émis par unité de temos. Unetroisième variable est parfois utilisée : l'énergie libérée pendant les éruptions(Scandone, 19B1) mais sa quantification se heurte à de nombreux problèmes(Yokoyama, 195B, l'évalue en fonction des volumes émis et de la températures deslaves].
L'évaluation du volume des émissions (cf. WalKer, 1981, pour les érup-tions pliniennes) permet de rendre compte quantitativement de l'activité volcanique.Wadge [1982] décrit les variations.de volume par rapport à l'hypothèse d'un volumeémis moyen constant durant certaines périodes. L'introduction d'un coefficient pon-dérateur à attribuer à chaque événement nécessite l'utilisation des méthodes parti-culières de l'analyse bi ou plurivariable.
La représentation de la série temporelle des événements par une fonctioncontinue est obtenue en traçant l'histogramme cumulé des valeurs de la variable enfonction du temps absolu t, ou bien en traçant le graphe des totaux mobiles de lavariable sur un intervalle de temps fixé en fonction du temps.
Le total mobile d'ordre N est obtenu par chaque valeur de t. en sommantle nombre d'éruptions (ou le volume émis) comprises entre
(t - — ) et (t + - y ) .
Par exemple, Martin et Rose (19B1) génèrent une fonction de variation pour la sérietemporelle des éruptions du Fuego (figure 2) en prenant N = 40 ans. Le choix de lafourchette de temps (N) doit être optimisé pour que la fonction obtenue ne soit ni troplissée (N trop grand) ni trop irrégulière (N trop petit). Si le N optimal est del'ordre de grandeur de 5 périodes de repos moyennes, la fonction oscillera en prin-cipe autour de la valeur moyenne de 5 éruptions toutes les N unités de temps.
Afin d'illuster ce point, nous avons construit la courbe représentantles variations de l'activité volcanique de la montagne Pelée depuis 40.000 ans(Traineau, 1982) en comptant le nombre d'éruptions qui se sont produites dans l'in-tervalle [(t - 1000) - (t + 1000)]. Le résultat (figure 3) est une courbe en escalierqui oscille entre 0 et 5. Il est indéniable que pour la période ancienne un nombrecertain d'événements n'a pas été comptabilisé cependant l'allure générale de lacourbe doit être significatif. On observe intuitivement une variation à grandeéchelle avec deux maxima vers 3000 BP et 30.000 BP. D'autre part des cyclesd'activité intense correspondant à des regroupements d'éruptions semblent aussis'individualiser comme par exemple à 2000 BP - 4300 BP - 7500 BP. La démarcheanalytique consiste en soustractions, étape par étape, des diverses composantesde l'oscillation.
- 9 -
2000-,
1900-
1800-
1700-
1600-
1500-1
. M•M
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TÁjQuh.£ 1 : Esiup£Lon¿> IvUtoJiÁqueA du fuego [Guatemala] en&ie.1 500 et 7 900, zt totaux mobiles ¿>uJi 40 aiu.
[d'aptài* MARTIN et ROSE, 1981)
Nb éruptions/2OOOans
-5
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"^ 1— ——r
(BP) 4000030 000 20 000 10000
: Enuptioni prUndpaleA de. la montagne. VeZte.. Totaux•dot 2000 am, [tMuit é.paJj>) eX. tendance. {tnjoJLt f>in).
¿ndlquznt leA plcA dte cucleA d'activité.
- 11 -
F¿guA& 4 : Vo.c.ompo&Jjtion d'une.{ SPIEGEL, 79S3)
. tmponaZJLe. ¿dícüte.
Y
(a ) Tendance de longue durée
(b) Tendance de longue duréeet mouvement cyclique
(c) Tendance de longue durée, mouvementscyclique et saisonnier
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3 - DECOMPOSITION DES SERIES TEMPORELLES
L'oscillation d'une série temporelle est due à la superposition dequatres catégories principales de mouvements. Afin de justifier les méthodessur lesquelles on s'appuie pour une telle description, on peut considérer lafigure 4 qui représente le cas idéal où la composante aléatoire est inexistante.
La tendance est le mouvement ayant la plus longue amplitude sur la périodeconsidérée. Une série est dite stationnaire si elle ne présente pas de tendance.Dans la majorité des cas, une série peut être considérée stationnaire au moinspendant un certain temps. Ainsi on peut dire que l'activité de la montagne Peléeest stationnaire durant la période 0-5000 BP mais durant le période 0-15000 ans B . P .une tendance à l'accroissement ne peut être négligée.La méthode graphique est la plus simple pour estimer la tendance, mais a l'incon-vénient d'être très subjective. La méthode des moindres carrés permet d'ajusterl'équation d'une droite ou d'une fonction quelconque à la tendance. Cette méthodedonne de bons résultats mais sa mise en oeuvre est relativement lourde. La méthodedes semi-moyennes est applicable dans le cas des tendances linéaires : on fait lamoyenne des valeurs de la 1ère et 2de moitié des termes de la série et on traceune droite entre les deux points ainsi obtenus.
Lorsque la fonction et ses paramètres sont déterminés, on recalcule les valeursde la variable en soustrayant point par point la valeur de la fonction en ce point.Ainsi si X(T) est la fonction de la variable réelle et X Q C T ) la fonction de tendancecalculée, les valeurs de la série ajustée à la tendance X'(T) sont calculéesd'après l'équation
X'(T) = X(T) - X Q CT)
La nouvelle courbe ne représente plus que les mouvements cycliques, les variationssaisonnières et la composante aléatoire ou irrégulière.
doj, \)OJILOL£Á,OYII¡
Les variations saisonnières s.s. correspondent aux modèles identiques qu'unesérie semble suivre pendant les mois correspondant à des années successives.De tels mouvements sont dus à des phénomènes qui se répètent annuellement, commepar exemple l'augmentation de la température en été. Par extension, toutes lespériodes astronomiques sont susceptibles d'engendrer des variations saisonnières :le jour et la nuit, le mois lunaire, l'année... etc. De nombreux travaux soulignentles relations existant entre l'activité volcanique ou sismique et les marées bi-journalières, bimensuelles ou bi-annuelles (Hamilton (1973]; Mauk et Johnston(1973), Golombek et Carr (1978), Casetti et al. (1981)).Pour évaluer la variation saisonnière afin de la soustraire de la série résiduelle,on a recours au calcul des indices saisonniers. En raisonnant sur une année, sipendant un mois, le nombre des éruptions représente x % de la moyenne du nombredes éruptions mensuelles cumulé pour toute la série, x est l'indice saisonnier.La somme des indices doit être égale à 1200 puisque l'indice moyen est 100.Casetti et al. (1981) calculent un indice saisonnier pour lés éruptions de l'Etnaen divisant le nombre d'événements d'un mois par le nombre total d'événements dela série.
- 13 -
La fréquence moyenne étant de 1/12, toutes les valeurs supérieures représententun accroissement de l'activité. L'intention de l'auteur est de savoir si l'écartobservé par rapport à la moyenne est significatif ou non. Il applique donc letest du /X2 pour vérifier si 12 valeurs prises au hasard peuvent être autantdispersées qu'il l'observe. Notre intention étant autre, nous renvoyons lelecteur à la référence ou aux ouvrages introduisant les tests statistiques
L'élimination de la variation saisonniers s'obtient en divisant les valeurs dela variable pour un mois par l'indice correspondant. Les indices supérieurs à1 (100 %) diminuent la valeur de la variable tandis que les indices inférieursl'augmentent. La série nouvellement corrigée ne comprend plus que les variationscycliques et irrégulières.
Les variations cycliques sont dues à des "causes" non-périodiques. Par exemple,la succession des "périodes" de glaciations n'est pas périodique [la récurrencedes glaciations constitue une série temporelle du même genre que la récurrencedes éruptions,et peut être également décomposée en tendance-variations saisonnièreset cycliques- composante aléatoire), cependant son influence sur l'activité vol-canique semble indéniable (MaKsimov, 1968). Les mouvements engendrés par cefacteur sur la série temporelle volcanique suivront la rythmicité particulièrede celui-ci et seront qualifiés de mouvements cycliques.
Une moyenne mobile appropriée permet de lisser les variations irrégulières etde ne conserver que les variations cycliques. La méthode employée par Maksimovest plus expéditive puisqu'il effectue une moyenne mobile éliminant à la foisla variation saisonnière remarquée C23 ans) et les variations irrégulièresd'ordre inférieur. Si des cycles périodiques sont remarqués, leur éliminationde la série se fait de la mime façon que pour les variations saisonnières encalculant des indices cycliques .
- E¿t¿mat¿on cíeó va/U.a£¿oyit>
La méthode déterministe s'attache è dégager d'un ensemble complexe les influencesou "causes" principales, qui sont les facteurs responsables du comportement del'objet étudié [ici, un volcan). Dans un processus naturel interviennent,en outre,une infinité de facteurs ayant des effets infimes dont la somme constitue uneffet non négligeable et d'allure irrégulière ou aléatoire. Ce sont ces mouve-ments qui restent représentés par la :série temporelle ajustée è la tendance etaux variations saisonnières et cycliques. On trouve généralement que les mouve-ments ' irréguliers ont tendance a avoir une petite amplitude et a suivre souventune distribution normale Cou gaussienne). Les distorsions successives apportéespar la décomposition de la série en ces éléments caractéristiques font que lerésidu d'analyse est peu exploitable.
Le lecteur trouvera dans l'ouvrage de Miller et Kahn [Statistical analysis'inthe Geological Science - chap. 15) un exemple d'analyse d'une série temporellesuivant la démarche préconisée.
- 14 -
4 - ETUDE DE LA CORRELATION SERIELLE
Une série stationnaire à la propriété de ne pas présenter de tendance,soit que la tendance existante a été soustraite aux données d'origine, soit qu'ellen'en avait pas au départ. Un caractère oscillatoire est alors plus ou moins remar-qué dans la série. La condition évidente pour qu'il y ait oscillation est que lesvaleurs successives X , XT ,, X ,•••
n e sont pas complètement indépendantes.
L'existence d'une corrélation entre les valeurs est testée par le calcul descoefficients de corrélation sérielle. Cette méthode a l'avantage par rapport à laprécédente de ne pas partir d'un a priori sur la rythmicité de la série.
Le coefficient de corrélation d'ordre K est défini entre les valeursdes variables espacées de K unités de temps, par exemple entre XTX ,Y Y T+K.X T + 1 T + K + 1 "••
cov
Var Xx.VarXx .,I I + I N
Un coefficient de corrélation de 1 Cresp. -1) indique une corrélationparfaite Cresp. inverse parfaite], c'est-à-dire qu'après K unités de temps tellesque r = 1 la réalisation de la variable sera la même, K est alors appelé périodede la série et on a :
XT = XT+K = XT+2K
Dans la pratique r^ oscille entre 1 et -1, les oscillations s'amortis-sant lorsque K croît. Les valeurs positives de r^, comprises entre 0 et 1, ont ladimension d'une probabilité : r^ représente la probabilité d'avoir après K unitésde temps un retour à la situation initiale, donc une période de K. La valeur de 1est un idéal jamais atteint par un processus naturel périodique, la période appa-raîtra graphiquement en représentant les variations de r^ avec K dans un grapheappelé corrélogramme. Le corrélogramme donne la structure de corrélation de toutela série et permet de visualiser la périodicité éventuelle. Des exemples de calculsde coefficients de corrélation sérielle se trouvent dans Reyment [1963) etSchwarzacher (1963). Reyment calcule les 10 premiers coefficients pour les volcansMauna Loa, Semeru, Bromo, Peak of Ternate et un volcan simulé. Schwarzacher calculeles coefficients r^ pour une série sédimentaire dont la composante oscillatoire estcelle de la figure 5. Pour K = 20, 40, 60, 80 cm, il reporte les valeurs cal-culéesde r« dans le corrélogramme de la figure 6. On peut remarquer alors trois maximumspour approximativement K = 3,3 - 5,7 et 9,2 mètres. Le premier pic indique unetendance à avoir une période de 3,2 m. Le second pic répète d'une part cette périodemais en plus indique la possibilité d'avoir une période plus longue (5,7 m ) .
Pour éliminer cet effet de surperposition on a recours à un deuxièmegraphe appelé périodogramme. On reprote pour construire ce graphe, les estimationsde la densité spectrale f(w) de la série obtenue a partir des formules approchéestelle que celle donnée par Bartlett (1950). Schwarzacher a utilisa la formule deBartlett pour construire le périodogramme de la figure 7. Ce graphe montre claire-ment la période de 3,5 m que l'on soupçonnait d'après le corrélogramme de lafigure 6. Par contre, il nie l'existence d'une période plus longue.
- 15 -
-31-1• 1Û-J
140 170 175 180 1B5 190 195
F-cgu/ie 5 : La compoicuvte. o¿>cÁJULa£uJjie. [¿&U.e, tempon.eJLte. mo¿n& la. trndancz)du ípa¿¿¿zu/i¿ de. ¿a 4£t¿£ deó caZccUAe¿ dt Qatáty (d'apn.&¿ SCWtlARIACHEU1963) ; X = MOJÜMbLz tlXÁ
10
O8-
0-6-
a4.
0-2-
-02-
-0-4-
-O«-
-08-
-V0
L
10
6 : CofUittogfuumz de. ¿a. ¿é/Uz dt¿ zaZ.cxüji2¿ de.{d'apue* SCHWARZ ACHER, 1963)Le. coe.m.cÁ.e.vvt de. cowittcuLLon ¿&U.eULe. R ^ admeZ
¥¿gutie. f : VfyiiodoQKajme. de. ¿a ¿>&U.e. de¿ (uoJLcsxÂjiejL de.[d'aptilà SCHWAR1ACHER, 1963)Le. mcoumm cofOieMpond aux pnemlex pic de. la {iqvJie. 6
- 16 -
Remarque importante :
Le calcul des coefficients de corrélation sérielle est une méthodedéterministe en raison de 1'usage particulier que font certains auteurs desrésultats : déterminer des périodes c'est-à-dire la composante saisonnières.D'autres auteurs cependant s'intéressent à l'allure du corrélogramme en termesprobabilistes, leurs approches seront alors à mettre au chapitre suivant con-cernant les processus stochastiques.
- 17 -
CHAPITRE II
LES PROCESSUS STOCHASTIQUES DESCRIPTIFS
- 18 -
Un processus stochastique est un processus décrit en termes probabilistesplutôt que déterministes. La séparation n'étant pas très nette on appellera processusstochastique une série temporelle décrite par des lois de probabilité par oppositionaux séries décritent en terme de cycles ou périodes.
L'approche stochastique du phénomène volcanique date des travaux deWickman [1963-1966-1976) fondés sur la théorie des processus de renouvellement deCox [1962) ,et Cox et Lewis [1966). Wickman a orienté ses travaux dans deux directions.Une première approche dite descriptive, ne prend en considération que la distributiondes événements, sans émettre l'hypothèse sur le fonctionnement interne du système nvolcanique. Une deuxième approche dite génétique, située à l'opposé des analysesdescriptives, fait intervenir le fonctionnement interne du volcan en indroduitantles mécanismes éruptifs effectivement observés et/ou supposés.
Dans ce chapitre nous aborderons uniquement les méthodes descriptives,les méthodes génétiques sont exposées dans le chapitre III j elles utilisent lanotion te chaîne de Markov.
L'étude des distributions d'événements supposent que deux conditionssoient remplies : la série est stationnaire
les intervalles séparant deux événements sont indépendants lesuns des autres.
Ce problème a été introduit dans le chapitre précédent. Une série eststationnaire si elle ne présente pas de tendance à l'échelle de la période de tempsétudiée. Dans le cas de volcans présentant une tendance non négligeable, il convien-dra de restreindre la période d'investigation à une partie pseudostationnaire.
De nombreux tests pour juger de l'indépendance des intervalles séparantdeux événements, sont proposés par les auteurs de la théorie des processus de renou-vellement. Ils utilisent les coefficients de corrélation sérielle ou la fonction dedensité spectrale introduite dans le chapitre précédent. Dans les processus de re-nouvellement ,les coefficients de corrélation sérielle doivent être nuls pour K > 0et la fonction de densité spectrale avoir une valeur constante égale à 1/n . Letest proposé par Cox et Lewis (1966) utilise la quantité r^ v n-K qui doit avoir unedistribution normale unitaire quand n est suffisamment grand.
Une autre méthode plus simple à mettre en oeuvre consiste à étudierles valeurs des probabilités conditionnelles P(Y^T/Y' T' ) en faisant varier lesvaleurs de T et T'; Y et Y' étant les variables aléatoires représentant la duréed'un intervalle de repos et la durée de l'intervalle de repos directement antérieurau premier, T et T' représentent les réalisations particulières de Y et Y1.
PIY^T/Y'^150 ans)
P(Y^T/Y'^150 ans)
P(Y^T)
40 60 80 1Ó0 200 300 400 500 (années) T
Etude, de. l'Indépendance. deA ¿nteAvale* de. Ke.po¿> de. la. montagne. PeZée., Ma/vUnique.Tfilquencz de¿> duAé.e.6 de. fizpoi, ¿upejvLe.u/ieA ou égaler à T ¿achant que. la. datée pné-cJidznte. estait in^inXzune, ou &up&vLzun.e. à 150 a m , ou ignofiant la. vale.u/i de. la.
pn.e.aé.de.wte..
- 20 -
Si on peut montrer que la durée d'un repos ne dépend pas de celle durepos précédent, l'hypothèse d'indépendance peut être acceptée. Les probabilitéssont estimées au moyen des fréquences calculées en traçant l'histogramme deseffectifs ordonnés et cumulés et en divisant l'échelle des effectifs par l'effec-tif total.
Par exemple, les durées de repos de la montagne Pelée, Martinique,après l'éruption de 5100 BP seraient les suivantes (Westercamp et Traineau, 19835 :
490 - 95 - 215 - 240 - 80 - 270 - 5B0 - 380 - 260 - 50 - 400 - 300 - 30 - 250 - 60 -530 - 450 - 40 - 60 - 100 - 170 - 270 - 30 (années) .
Parmi ces 23 repos, 13 suivent des repos de plus de 150 ans et 9 suivent des reposde moins de 150 ansí ils se succèdent respectivement de la manière suivante :
95 - 240 - 80 - 580 - 380 - 260 - 50 - 30 - 450 - 40 - 270 - 30215 - 270 - 400 - 30 - 250 - 530 - 60 - 100 - 170.
La figure 8 donne les valeurs de P(Y^T/Y'^150 ans] de P(Y^T/Y'^150 ans]et de PCY T ) obtenues pas la méthode indiquée.
La coïncidence des trois fonctions est remarquable par T >200 ans.Pour les repos de moins de 200 ans, un écart est notifiable : les repos de courtesdurées ont tendance à se succéder préférentiellement alors que aux repos de longuesdurées succèdent plus volontiers d'autres repos de longues durées. Cette tendancepeut suggérer l'existence de deux régimes d'activités : un régime d'activité intensependant lequel les éruptions se succèdent "rapidement" et un régime constitué parplusieurs longs repos consécutifs [Traineau, 1982). La dépendance entre les périodesde repos n'est cependant pas très marquée, elle peut être expliquée par des fluctua-tions d'échantillonnages, du moins en partie.
L'hypothèse d'indépendance des périodes de repos étant posée, sinondéfinitivement remplie, les différentes valeurs de leurs durées peuvent être con-sidérées comme les réalisations d'une variable aléatoire Y dont nous allons étudierla distribution à l'aide de trois fonctions qui sont :
f m
FCT)
• CT)
= P(Y = T]
= PCY T ]
lim
: fonction de densitéla probabilité qu'untemps.
de probabilité (p.d.f.), représenterepos dure exactement T unités de
: fonction de survivance [survivor fonction), représentela probabilité qu'untemps.
PCT< Y< T + AT/Y >TAT
repos dure au moins T unités de
— : taux d'éruption (age-specificeruption rate),représente laprobabilité d'éruption"instantanée", c'est-à-direentre deux unités-de temps 'consécutives.
- 21 -
P(x = n)
0,25-
Q 2 0 -
0,15-
0,10-
Cp5-
10
9 : ?fiobab<UL<Ltí d'axiolfi n ZKiiptionA ¿>ULK une. píhÁode. de.TOO OLYÜ, au Popoccut2.pe.tl [He.x¿que.).
- 22 -
Les trois fonctions sont mathématiquement liées par les relations suivantes :
+ <*>
fCT) » - dt~.IP et réciproquement : FCTD = J f(u] duT
et réciproquement FCT] * exp ( - / <|>Cu]du0
« exp ( -/\ o
Les valeurs particulières de fCT] et FCT] sont :
•FCT] = 0 pour T < 0+ 00
• /
FCO] - / fCu] du = 1 et T1^m
+ o oFCT] = 0
0
1 - LE PROCESSUS DE POISSON
Afin de préciser le sens de la fonction <f>(T] nous introduisons séparé-ment le processus de Poisson qui constitue un cas limite des processus de renou-vellement. Le processus de Poisson est défini par un taux d'éruption constantégal à <j> . C'est-à-dire que d'une unité de temps à l'autre, la probabilité d'érup-tion est la même, quel que soit le temps qui s'est écoulé depuis la dernièreéruption. Pour cette raison, le volcan oubliant son histoire au fur et à mesure,ce processus caractérise les volcans dits "sans mémoire" par opposition notammentaux volcans dits "à temps de recharge" ou à ceux présentant des cycles d'éruptionsregroupées.
1.1. - Nombre d'éruptions par intervalle (variable aléatoire X)
Le choix de l'unité de temps étant fixé en fonction de l'échelle d'obser-vation, le mois par exemple, la constante § s'exprimera en mois"1 . On peut calculerla probabilité d'avoir n éruptions pendant n0 unités- de temps. Comme il y ano!/n!(no - n)! façons de ranger n éruptions dans nQ places disponibles et que pourchaque cas de figure la probabilité est de <J>n (1 - <j>) no-n, on a : :
PCX » n } = n! C n 0 - n ] ! * C1 " •>
X : variable aléatoire représentant le nombre d'éruptions pendant nQunités de temps.C'est une loi binomiale qui trouve une approximation parfaite en la loi de Poissonlorsque $ est très petit devant n0
n -no<j)PCX = n] = Cn0 <j>] — -
- 23 -
T (Unité)
10 10'
10 : Vcuiiatlotu de. P ( y > T) av&c T e.£<t>SéZzcÀU.on d'une. va£e.ufi pafitLcuLLÎLfie.
la {OYLQXIOYI V [VZT)
- 24 -
La représentation graphique de cette loi par un diagramme en bâton (par exemplefigure 9] montre avec quelle rapidité cette fonction tend vers zéro lorsque naugmente. La moyenne ñ des valeurs de n est égale au produit no<j>. La valeur entièreproche de la moyenne qui correspond à la probabilité maximale est appelée le rrode.La dispersion de la loi est évaluée à l'aide de l'écart type a égal à /TTdans lecas de la loi de Poisson ou du coefficient de dispersion
V f • ^
Par exemple, le Popocatepetl a une probabilité d'éruption constante égale à2,3 10~3 mois"1. La loi de probabilité du nombre d'éruption pendant une périodede 100 ans est
p [ x = n ) . B.33 -,2.76" ,ni
La moyenne est ñ = 2,76. le mode est la valeur entière comprise entre ñ-1 et ñc'est-à-dire 2 dans le cas présent. La variance er2 = 2,76, l'écart type : a = 1,66et le coefficient de dispersion : V = 0,6.Le diagramme en bâton de la fonction est présenté en figure 9.
1.2. - Durée des repos (variable aléatoire Y)
La valeur de PCX = n] ne dépend que du produit sans unité n0 <f> et varie très rapi-dement avec lui. C'est cette relation de PCX = n] avec le nombre moyen d'éruptionsn = nQ <j> que Wickman (1966,p.354) illustre pour n = 0 (cf. figure 10). L'événement(X = 0) signifie que pendant n0 unité de temps il n'y a aucune éruption, en d'autestermes que lé repos dure au moins n0 unités de temps. Si la 1ère unité de tempscoïncide à la fin d'une éruption, la quantité d'unité de temps n0 est équivalenteà une durée de repos exprimée dans cette même unité, soit T cette durée. L'événement(X = 0) est donc mathématiquement équivalent à (Y T ] , Y étant la variable aléatoirereprésentant la durée d'un repos. La probabilité de cet événement est définie par laloi de Poisson quand n = 0
P(Y^T) = PCX =0) = e" •"* = ' e"ñ = e"*T
La figure 10 montre l'influence réciproque des variations de <j> ou de T sur la pro-babilité de l'événement (X = 0) ou ( Y ^ T ) .
La fonction P(Y T ) ainsi définie est la fonction de survivance F(T) d'un processusde renouvellement à taux d'éruption constant. La densité de probabilité f(T) sedéduit de P(Y T ) . En effet, f(T) est la probabilité que Y, la durée de repos, aitune valeur précise T. Cet événement particulier (Y = T) correspond à la réunionde deux conditions ( Y ^ T ) et (X = 1) dans l'intervalle T + AT. Ces deux événementsétant indépendants, le produit de leurs probabilités respectives est égal à laprobabilité de l'événement (Y = T)
P C Y = T ) = P C Y ^ T ) . * = <f>e~<i>T
Alors que PCY T ) est une grandeur qui ne dépend pas de l'unité de temps choisie,PCY = T) en dépend. Par exemple au Popocatepetl, suivant que l'unité de tempschoisie est l'année, le mois ou le jour, on a :
- 25 -
f(T) =P(Y=T)
0,05-
T(mois)
(années)
11 : Ve.Yü>¿tí do. pKobabAJLLtz dupouDi 4>= 2,3 .10'*
de. ?o<Lt>&on
- 26 -.-
PC Y = 10 ans ± 1 an) 2,1 %PCY = 10 ans ± 1 mois) = 0,17 %PCY = 10 ans ± 1 jour) = 0,0058 %
P(Y 1 0 ans ± 1 an) = 76 %PCY > 1 0 ans ± 1 mois] = 76 %PCY > 1 0 ans ± 1 jour) = 76 %
La courbe représentant f(T) = P(Y = T) est d'allure exponentionnelle Cfigure 11),l'aire contenue sous la courbe entre T et + » est la mesure de la fonction desurvivance FCT) = P C Y ^ T ) . L'aire totale délimitée par la courbe fCT) et lesdeux axes est égale à 1 .
De façon générale, la probabilité qu'une période de repos dure plusque Ti et moins que T2 est
P t T i < Y < T 2 ] 4>e"*X dx = e"*Tl - e" - PÍY>T2]
La courbe représentant FCT) = PCY T ) est exponentiellement décroissante, parcontre la courbe représentant Log FCT) est une droite de pente -$ Cfigure 12)
Log FCT] = -<f>T
Valeursremarquablesde lafonction deSurvivance
T
T
T
T
= 0 :
-»• + 00 ;
- 1/4» :
= Log2/* :
FCT)
FCT)
FCT)
FCT)
Lim r-r-rïT -»• +00 F C T ) = -«
1 ; Log FCT) = 0
0 ;
1/e : Log FCT) =-1
1/2 ; Log FCT) = -Log2 = -0,69
1.3. - Propriétés essentielles du processus de Poisson
Le processus de Poisson défini par un taux d'éruption constant <j> a lespropriétés suivantes :
- le nombre d'éruptions pendant une certaine période T est une variablealéatoire X distribuée par une loi de Poisson :
• PCX = n) = (<f>T)n expC-<f>T)/n!
- la durée des périodes de repos est une variable aléatoire Y distribuéeexponentiellement par la loi :
PCY = T) =<j> exp(-<(>T) = f CT)PCY T ) = expC-<j>T) = FCT)
- la moyenne des durées de repos et l'écart type a sont égaux à 1/<j>.Le coefficient de dispersion Vyest donc égal à 1.
- 27 -
= P(Y>:T)
100 200 300 400 500 600 700 800
F¿qusie. 12 : Fonction de. ¿uvivlvance. d'un p^oceó-óoó cíe.VoU>t>on pouh. d¿{í{)ífie.nt&& vcutzuiA de. 0.La. vaZzun. fimojiquablz F (7/0) = Me. = 0,37
t ¿ndi.qu.iz.
- 28 -
ttôge)
73 : cíe. monX.oX.iXo. huma¿ní en ¿(onc¿¿on de
[d'apKbb KaJLb^ieÂÀdh <¿X Vn.QjnXA.zz, 1980)
- 29 -
2 - LE PROCESSUS DE RENOUVELLEMENT
2.1. — Introduction
Ce type de processus est souvent invoqué lorsqu'on s'occupe de l'étudede l'usure d'éléments d'un système. La dégradation progressive d'un composantentraîne une augmentation progressive de la probabilité de panne. A l'inverse, ladurée de vie de certains systèmes repose sur des éléments dont la résistanceaugmente avec le temps. Par exemple, la vie d'un être humain est statistiquementcontrôlée par deux facteurs, la résistance infantile et l'usure sénile. La proba-bilité de "panne" du système, rupture de l'équilibre, diminue dans les premièresannées passe par un stade constant et progressivement augmente [figure 13].L'étude des différentes lois statistiques qui décrivent ces phénomènes a faitl'objet d'un nombre considérable de recherches, tant au niveau théorique [Cox, 1962,1972 ; Johnson et Kotz, 1970 ; Mann et al., 1974 ; Gross et Clark, 1975 ; ... etc)qu'appliquées à des problèmes divers comme l'étude de la fiabilité des systèmesCCorazza, 1975 ; Lewis, 1964j ...) ou de l'activité volcanique (Thorlaksson, 1967 ;Reyment, 1969).
Afin de rendre compte des variations de <j>[T) plusieurs fonctions para-métriques ont été proposées. Les plus générales utilisent trois paramètres pourcaractériser la forme, la position et l'échelle des variations. Parmi celles-cila fonction de Weibull est particulièrement appréciée par les différents auteurspour la grande diversité de cas qu'elle permet de traiter (Lawless, 1973,1978 ;Menon, 1963 ; Cox, 1962K
2.2. - Distribution de Weibull
o ß 1Le taux d'éruption est défini par la fonction <f>(T) = ß<f> CT - y)
où ß est un paramètre de forme, <j> d'échelle et y de position par rapport à l'axedu temps. La fonction de survivance et la densité de probabilité sont respectivement
F(T) = exp [-(4>CT - y))ß]
f(T) = 4»CT)FCT) = ß<!>3 C<j>CT - y))^1 exp [ -(<|>[T - y)^]
Afin de ne pas compliquer trop notre exposé et pour introduire un procédé graphiqued'utilisation aisée nous nous limiterons tout d'abord au cas où y est nul. Les deuxfonctions qui nous intéressent sont alors :
•CT] = ß<j>ß T6"1
.FCTJ = expt-C<f>T)ß)
La représentation graphique de LogC-Log FIT)) en fonction de Log(T) est une droited'équation :
Log(-LogFCT) = ß CLog (j) + LogT )
ß est la pente de la droite, deux valeurs particulières de ß définissent trois typesde comportements distincts, ce sont :
F(T)
0,97-
0,95-
0,92-
1/e2=0,87-
0,80-
0,55-
0,19-
0,01-
1 = 6.10-4-
- 30 -
log(-log F(T))
-3,5
0,5
1,5
log(T)
e2
7=0
F ¿gone. 14 : kthxfi.e. d&¿ couAbu <|>(T) eX F(T) ¿tUvant te. modÄte. d.e.tteÁbuLt ¿únptlhit (Y = Ö)
- 31 -
ß = 1 <j> est constant, le processus est un processus de Poisson,
ß = 2 <j) est linéairement croissant.
Les trois types de comportement sont les suivants Ccf. développement au 52.4) :
ß < 1 <}> est décroissant
ß > 1 $ est croissant, on distingue les deux cas suivant :
!
1 < ß < 2 La concavité de la courbe <f) est tournée vers le haut,
ß > 2 La concavité de la courbe <j> est tournée vers le bas.
La figure 14 montre l'allure générale des courbes <)>(T) en fonction de T et deLogC-LogF(T)) en fonction de LogCT). L'intersection de la droite Log(-LogFCT))avec l'axe du temps lorsque Log(-LogFCT)) = 0 donne la valeur de 1/<¡>.
L'utilisation de ce diagramme a l'avantage de ne pas diminuer laprécision de la mesure des courtes périodes de repos par rapport aux longuespériodes comme le fait le diagramme de Wickman. Notamment pour les volcans àtaux d'éruption décroissant comme l'Asama [Wickman, 1966 - p. 321) où la moitiédes périodes de repos a une durée inférieure è une année alors que le repos leplus long est de 250 ans. Nous verrons dans ce chapitre l'utilisation pratique-decette méthode appliquée au volcan Stromboli Ccf. figure 17).
L'intérêt de se restreindre à une seule loi, suffisamment flexiblepour englober la majorité des distributions continues possibles, réside dans lefait qu'une comparaison entre les différents volcans n'est envisageable que sil'on dispose d'une base commune.
2.3. - Dispersion du Processus - approche de Thorlaksson
L'approche de Thorlaksson (1967) est sensiblement différente. Ilsépare les types de comportement au moyen du coefficient de dispersion, c'est-à-dire du rapport de l'écart type à la moyenne des durées de repos. Il associeensuite une loi particulièrement simple à chaque cas de figure.
Nous avons déjà vu que dans le cas du processus de Poisson, ce coef-ficient V = c/T est égal à 1. Un rapport supérieur a 1 signifie que l'écarttype est supérieur à la moyenne, il y aura donc plus de valeurs extrêmes et moinsde valeurs moyennes que dans le processus de Poisson, et réciproquement pour V < 1 .Cela revient à dire que quand V > 1, les événements vont avoir tendance à se regrou-per : très nombreux repos de courte durée et quelques repos de très longue durée.Inversement lorsque V < 1 les événements auront tendance a être périodiques puisquebeaucoup de repos auront des durées moyennes. Intuitivement, les courbes de F(T)dans le diagramme de Wickman seront situées de part et d'autre d'une droite(processus poissonnien), courbes à concavité tournée vers le bas pour le cas V 1et tournée vers le haut pour V 1 (cf. figure 15).
- 32 -
FIT)
75 : hlluJio. d.2A couhbzA <t> IT) zt F(T) danA Izà cinq ecu,pan.
- 33 -
Les différents cas proposés par Thorlaksson sont
a
V > 1 [activité regroupée]• CTD 1+bT
avec a > 2b
ftTÎ = a(1+bT)-a/b-1
a =la
T (ï2 +et b =
TcT2 +
V = 1 [activité aléatoire)
[Processus de Poisson)f(T) = ae
1a = —
T
-aT
JT7< V
(activité périodiquesans temps de recharge)
f[T)
a + bT 2
(a * bT) e - a T - ( — ]
a et b doivent être trouvés par itération,
V = = 0.523
[activité périodiquecas limite)
<f>(T) = bT
f(T) = bT e"
b =2 ~ 2
V <T TT
(activité périodique
avec temps de recharge)
<}>(T) - 0 et f (T) = 0 pour T < a
<j>(T) = b(T-a) et f(T) =< b(T-a)e"2"CT~al pour T > a
a =T - a
JïEF" TT
et b =4-TT
2a2
- 34 -
2 .4 . - Coirroaraison des deux méthodes
Les différents cas proposés par Thorlaksson correspondent à des
comportements différents observables dans la nature. La distinction s'effectuant
d'après le coefficient de dispersion V, on se rend peut-être mieux compte du
type de comportement correspondant à chaque cas, que lors-qu'on utilise la formule
de Weibull et ses coefficients divers. La formule de Weibull a cependant l'avan-
tage d'être unique pour tous les comportements rencontrés. La détermination des
valeurs des coefficients <j>, ß et y se faisant par résolution graphique, sa mise
en oeuvre est plus aisée. Les cinq cas de Thorlaksson correspondent aux valeurs
particulières suivantes de la distribution de Weibull :
V > 1 correspond au cas ß < 1 : <f> est décroissant, la probabilité de panne dé-
croît avec le temps, la structure se consolide progressivement. Les repos
très courts ou très longs, des cycles d'éruptions regroupées s'individua-
• useront au hasard de ces longs repos.
V = 1 correspond au cas ß = 1 : <¡> est constant, processus de Poisson, structure
"sans mémoire". Les repos sont en moyenne de f et de cette valeur suivant
un écart type égal aussi à T .
V < 1 correspond au cas ß > 1. Thorlaksonn fixe arbitrairement la valeur de ß à
2 ce qui simplifie le traitement car est alors linéairement croissant
(<¡>(T) est représentée par une droite). D'autres valeurs de ß rendraient
compte de la plus ou moins grande rapidité d'usure de la structure. La pro-
babilité de panne augmente, ce qui tend à donner un comportement périodique.
Trois cas sont distingués par Thorlaksson suivant que <f>(°) est inférieur,
égal ou supérieur à zéro ; cette distinction se rapporte à la valeur prise
par le paramètre de position y > °n distingue trois cas :
Y > o correspond au cas V < T . <j>(o) est négatif [ce qui ne correspond
à rien réellement), <}>(T) devient positif à partir d'un temps de"recharge", la structure commence alors à s'user, une éruption estpossible et devient de plus en plus probable. Avant ce temps, une érup-tion est impossible ou en tout cas très improbable.
Y => o correspond au cas V= T . <¡>(o) = o , la probabilité d'éruption
est nulle juste après une éruption mais croît dès cet instant. Suivant
la valeur de ß la croissance de <j> se fait plutôt au début (1<ß<2) ou
plus progressivement (ß>2) . L'un et l'autre des cas ont des implications
profondes différentes [ces deux cas se rencontrent également pour
y>o et
Y < o correspond au cas * \ <V <1. ó Co) est positif, le cas est inter-
médiaire entre le cas V = 1 et le cas V < 1 et y = o
(cf. figure 15).
- 35 -
2 .5 . - Représentations graphiques et tests
La distribution réelle des données de repos fournit une estimation dela fonction de survivance. Nous avons indiqué au début de ce chapitre la méthodeemployée pour obtenir les différentes valeurs de P(Y>sT) . (cf. figure 8) .
- Le. dJba.£>ummz do, WZckmcw.
On trouvera de très nombreux exemples d'utilisation du diagramme deWickman, c'est-à-dire de représentations de log F(T) en fonction de T : Wickman (1963}pour l'éruption de 1960 de l'Etna où il considère plus de 300 événements en 2 nuits,Wickman (1966) pour 29 volcans, Westercamp et Traineau (1983) pour les éruptions dela montagne Pelée pendant une période de 5000 ans. Carta et al. (1981) pour les érup-tions du Vésuve, Klein (1982) pour les éruptions à Hawaï. La représentation de lafonction de survivance sur un graphe semi-logarithmique est un procédé souvent employépour tester l'hypothèse aléatoire, on trouvera en référence de nombreuses études ouapplications de ce procédé. Nous rappelons brièvement certaines propriétés de ce modede représentation.
Un processus de Poisson est caractérisé dans ce diagramme (log F(T) enfonction de T) par une droite passant par.les points (0,1) et (T„;.1/e) car <j> = 1/T.L'écart des points expérimentaux par rapport à cette droite théorique est fonctionde l'accord plus ou moins grand de la distribution réelle avec le processus idéalqu'est le processus de Poisson. Deux tests proposés par Klein (1982) permettent detester si l'écart est explicable uniquement par les fluctuations possibles d'échan-tillonnage.
Test du tt2 :
Le *X2 est un paramètre qui mesure la différence des effectifs réels etthéoriques par classes d'au moins cinq événements. Il nécessite au moins trois classesdonc 15 périodes au minimum.
"X2 =_
2-(F. - E - ) 2 K = nombre de classes
F. = effectif réel de la ième classe1
E± = effectif théorique de la i^me classe.
Au degré de liberté v = K - 2 , correspond dans les tables de distribution(cf. annexe) la probabilité P que <C<2 soit supérieur à celui mesuré, donc que l'accordsoit moins bon. Dans un cas idéal de processus de Poisson, simplement par le fait desfluctuations d'échantillonnage, le-X2 sera plus grand dans P% des cas.
si P ^ 0 , 0 5 l'ajustement est très mauvais, dans seulement cinq cas sur 100, la valeurd e ^ 2 serait supérieure. L'hypothèse peut être rejetée avec la confiance5% (on se trompe dans 5 % des cas).
si P 0 , 9 5 . 1'ajustement est très bon, dans 95 % des cas le désaccord serait plusgrand. L'hypothèse peut être acceptée avec la confiance 5 % (on se trompedans 5 % des cas).
- 36 -
Le seuil de confiance est la valeur de P minimale pour laquelle on accepte de setromper. Les seuils de confiance habituellement utilisés sont 5 et 1 %.
Test de Kolmogorov :
F(T] et E[T) étant les courbes représentatives des effectifs cumulésréels et théoriques, le paramètre D|\j0 mesure l'écart maximal observé, pour une valeurparticulière de T entre ces deux courbes, N o étant l'effectif total.
D max |F(T) - E(T)|
IM N
Ce test a l'avantage d'être utilisable même avec peu de données et dene pas être sensible comme le test du <X2 à un partage arbitraire en classes. Lestables données en annexe donnent la valeur que D|\j ne doit pas dépasser pour quel'hypothèse ne soit pas rejetée aux seuils de 5 et 1 % pour les courbes, 20, 15, 10,5 et 1 % pour la table. Par exemple :
N o = 10, max |F(T) - E(T)| = 4 alors D.. = 0,4
En se reportant aux tables on lit :
P ( D N o < 0,366) = 90 % et P ( D M Q < 0,41) = 95 %
l'accord avec l'hypothèse serait meilleur dans 94 % des cas environ, l'hypothèsepeut donc être rejetée au seuil de 6 %.
Lewis (1963) propose le test Anderson-Darling (cf. également Reyment,1969). D'autres tests encore ont été proposés, utilisant les propriétés de secondordre des processus de Poisson comme le coefficient de corrélation sérielle ouencore la fonction de densité spectrale (Cox, 1966 ; Reyment, 1969.; . . . ) .Pour se limiter aux tests simples de mise en oeuvre, citons pour finir des méthodesd'appréciation qualitative. Le coefficient de dispersion est égal à l'unité pour leprocessus de Poisson, un écart dans un sens ou dans l'autre, s'il est important,indique un désaccord avec ce processus. Une méthode de construction graphique intro-duite par Wickman (1963) permet de bien visualiser cet écart. L'aspect enfin de lacourbe représentant le taux d'éruption (f£T) doit se rapprocher d'une droite de pentenulle ;nous rappelons le moyen d'obtenir graphiquement cette courbe.
- Taux d'oJiup£Lqn._§[T_)_ :Ainsi qu'il a été dit, le taux d'éruption varie comme l'opposée de
la tangente à la courbe de log F(T) car F(T) et <j>(T) sont liées par la relation
dT
La figure 12 donne quelques valeurs de cette pente. L'utilisation decette figure graduée selon la durée du repos le plus long, permet une rapide évalua-tion de (j)(T) point par point. Il suffit de tracer la courbe empirique de F(T), dela lisser graphiquement et de déterminer point par point la pente correspondant lemieux à la tangente. Wickman (1966) donne de très nombreux exemples de fonctions <¡>(T).
- 37 -
Très peu sont constantes, quelques unes sont très complexes. Dans ces deux casextrêmes, le recours à la distribution de WeibuLl n'est pas indiqué.car il n'amè-nerait aucun renseignement complémentaire.. Cependant, dans près de la moitié descas, la fonction <HT) est continuellement croissante CGuntur, Lamongan, Mérapi,Miyakejima, Etna, Hekla, Vésuve) ou décroissante (Gedeh, Raung, Semeru, Asama,Huzi, Komagatake, Oshima, Sakurajima, Kilauea, Mayön), et nécessite son emploi.
Un papier semilogarithmique esfgradué selon le-modèle de la figure 14.Les valeurs particulières de FCT) sont positionnées grâce à la graduation enlogC-log FCT}), par exemple la valeur FCT) = 75 % correspond à la graduationlogC-log FCT)) = -1,29.
2.6. - Exemple d'application ; activité au Stromboli
A titre d'exemple nous allons analyser la distribution des repos entredeux explosions au niveau des deux cratères du Stromboli actifs le jour de l'obser-vation [25 septembre 1984). Les observations ont été faites par l'auteur et B.MARTYdurant 5 heures pendant lesquelles 32 et 39 éruptions ont été notées pour les cra-tères I et II respectivement. Le cratère II était le siège d'une activité permanenteintense qui se manifestait par une constante lueur orangée. Une estimation de lamagniture de chaque explosion par la hauteur relative du jet a été reportée systé-matiquement. La précision sur la mesure du temps est la demi-minute, les duréesde repos inférieures à la minute sont prises égales a 1 mn arbitrairement. Nousn'avons pas noté les éruptions dont la puissance était insuffisante pour que lejet soit visible. Ce genre d'éruption existe néanmoins et ce problème est communà tous les volcans quel que soit l'ordre de grandeur des durées de repos. Ce genrede manifestation eruptive, de très faible intensité, pose le problème de la défi-nition d'une éruption c'est-à-dire de la valeur maximale de l'énergie libérée pen-dant un repos.
- 38 -
TABLEAU 7
d'íjzc^tion de. jeX¿> de. Zave. au S&iomboll, la magnitude. dz¿>é.h.uptLov\Á va. de. 0,5 pouA le¿> pluA ohjxndeÁ à 3 pouJi le¿> pluA Á
hzwieA
18
19
20
minuten
29
41
45
48
56"
57
00
04
06
08
10
12
16
18
27
33
34
37
42
45
46
53
54
57
09
13
15
21
23
29
36
37
39
40
CAOteAZ I
1
1,5
3
1
1
0,5
1.5
1,5
0,5
1
1
1,5
1,5
3
0,5
chjateJie. 11
1
1,5
" 1
1
0,5
3
2,5
3
1
3
3
2
1
1
0,5
1,5
2
1,5
2,5
1,5 .
2
2
htuAeÁ
20
21
22
minuten
47
52
55
58
00
06
08
09
13
20
22
31
36
40
41
43
45
51
53
57
04
10
14
18
25
30
33
34
36
39
42
47
52
anjxtene. I
2,5
2,5
1
1,5
1
1,5
1,5
2,5
1,5
1
1,5
1
1
1
1
1
1,5
2
ojvottfie. TI
1,5
2,5
2
1,5
2
1,5
2
3
2,5
1,5
1,5
1,5
1
1,5
1
2,5
- 39 -
Les données du tableau 1 sont traitées suivant la méthode indiquée, sanstenir compte de la magnitude des éruptions. Le tableau 2 donne les valeurs de lafonction de survivance F(T) = P(Y^T) calculées d'après les effectifs. La figure 16montre ces valeurs portées dans un diagramme de Wickman, et la figure 17 les montredans un diagramme de Weibull.
D'après la figure 16, les comportements respectifs des caractèresl et IIsemblent très différents. Le cratère II suit de très près un processus de Poisson,les points s'alignent selon une droite de pente - 0,159. Il "manque" cependant unedizaine de périodes de durée inférieure à une minute, cet écart est explicable enpartie par la limite que nous nous sommes fixés pour la définition d'une éruption.Le cratère étant le siège d'une activité permanente, de nombreuses petites éruptionsn'ont pas été comptabilisées. Le cratère I qui ne présentait pas du tout les signesd'activité permanente du cratère II s'éloigne franchement du processus de Poisson,la fonction taux d'éruption est dérivée point par point et se trouve en pointillédans la figure 18. Ce type de comportement a été mis en évidence dans un cas similairepar Wickman et El-Hinnawi (1963), lors d'une période d'activité à l'Etna.
Afin de tester l'accord avec un processus de Poisson, en utilisant laméthode graphique expliquée dans ce chapitre, nous avons arbitrairement déterminéle paramètre y. Pour le cratère I nous avons choisi y = 2 mn et pour le cratère II,Y = 1 mn. Ce choix permet le déplacement de l'axe, du temps pour se ramener à desfonctions F continuellement décroissantes à partir de la valeur [T - y) = 0. Dansla figure 17 nous avons reporté les valeurs de F(T) pour les points (T - y) corres-pondants. L'accord avec la distribution de Weibull est très bon dans les deux caset vérifie que le cratère II a presque un comportement aléatoire (ß = 1,07] il aun comportement aléatoire après un temps de recharge de 1 minute. On remarquera quele paramètre <j> qui caractérise le temps moyen des périodes de repos a la même valeurdans les deux cas. Les paramètres et fonctions caractéristiques pour les deux cra-tères sont données ci-dessous.
: (j) = 0,15 mn"1 ß = 1,28 y = 3 mn
En remplaçant dans la fonction du taux d'éruption
<f)CTD = (3<|>ß (T -yl6"1
on obtient:: <j>m = 0,113 (T - 3)°' 2 8 explosion/minute
Ç££l4§_II : * = 0,15 mn"l g = 1,07 y = 1 mn
4>(TÎ = 0,141 CT - 1 ) 0 ' 0 7 explosion/minute
Les courbes représentatives du taux d'éruption $ sont tracées figure 18.
L'hypothèse yl= 3 mn (yll = 1 mn) signifie que pendant les 3 premièresminutes au cratère I (la première minute au cratère II), la probabilité d'explosionest nulle. La simplification introduite est évidemment grande mais permet de rendrecompte de façon très satisfaisante du comportement différent des deux cratères.
Uumzà.o d'oid/ie.
Vutáe de fiepo*
Sequence = F(T)
NumeAO d'oid/ie
VuAée d<¿ KZpOti
hfi2.qww.CQ. = F[T)
CRATERE I
1
20
.03
1
21
.03
2
19
.06
3
18
.08
3
16
.09
4
15
.11
4
15
.13
5
13
.14
5
13
.16
8
12
.22
7
12
.22
9
10
.24
8
11
.25
11
9
• . 30
11
10
.34
13
9
.41
CRATERE II
12
8
.32
14
7
.38
15
8
.47
18
6
.49
18
7
.56
24
4
.65
22
6
.69
29
3
.78
26
5
.81
34
2
.92
28
4
.88
37
1
1
31
3
.97
32
1
1
oI
Tableau. 1 : Valmu do. la. fonction de &uxvlva.ncz F(T) = P[V T) calcúlete d'aphte lui l i úigumnt dam Iz ta.ble.au 1.
F(T) - 41 -
i0,90,80,70,60,5
0,3-
0,2-
0,1-0,09-0,08-0,07-0,06-0,05-
0,04-
0,03-
QQ2-
0,01
— Cratère II— Cratère I
T (mn)
10—r~12 —r~
1416 18
—r~20
FIGURE 16 ti2.po¿ e.nüie. L<ut> zxp¿o¿¿otuL [ I i )
pCAa.tln.eA I eí II da S&iomboLL [Italie.) ¿z IS ¿zpiembie. 1984
tn&iz IS h. 29 zt 22k. 52 en xappoh.t avec ¿e. pioce¿¿u& de Po¿¿¿onldUja.gn.amme. de. Wlcfman)
F(T) : {¡onction de. ¿un.VA.va.net, n.zpn.Í6znte. ¿a pn.oba.bJJU.ti qu'une,phhiode. de. n.e.po¿ dun.e. au mo¿n¿ T unités de. temp&
Szul ¿e. cAatèAe. II ¿u¿t de. pn,i¿> un pn.oc&¿¿u& de. Po¿¿¿on, atonÁque. le. cJiate\n.e. I 4 ' e n éJLolane. ^anc/iemení.
• 00
FIGURE 17 : Taux d' ojiuption au StnomboLL donní* pan. la loi de Wzlbull(en tÁAzte.t •• d'apn.o.6 gnaphlque. {¡iguAe. 16).
4>(T) : taux d' ínuptlon ; ne.pñí¿>znte. la pnobabllltí d'ínuptlon Instan-
- 42 -
CHAPITRE III
PROCESSUS STOCHASTIQUE GENETIQUE
PROCESSUS SEMI - DETERMINISTE
- 43 -
Certains auteurs, voulant ajouter leurs connaissances du fonctionnementd'un système volcanique -c'est-à-dire des conceptions déterministes- à la descrip-tion stochastique, ont introduit l'utilisation des chaînes de Markov en volcanolo-gie (Wickman et El-Hinnawi, 1963 ; Wickman, 1966-1976 ; Carta et al., 19813.
Une chaîne de Markov est la réalisation d'un processus composé de plusieursétats, les états se succédant les uns aux autres selon certaines lois de pro-babilité à déterminer. Nous allons dans une première partie introduire lesprocessus de Markov par un exemple simple. Dans une deuxième partie nous intro-duirons les processus semi-Markoviens qui constituent la généralisation desprocessus de Markov, comme le processus de renouvellement est une généralisationdu processus de Poisson.
1 - PROCESSUS DE MARKOV
1.1. - Présentation
Supposons qu'un observateur note tous les jours dans un journal l'étatd'activité d'un volcan en se limitant au vocabulaire Eruption (E) et Repos CR).Il obtient après une certaine période une série statistique dans laquelle letemps est "discrétisé" c'est-à-dire découpé en tranches d'épaisseur égale. Cette"épaisseur" de temps ou incrément est ici le jour. Le nombre d'états possiblesest deux. Afin de décrire la séquence, il dénombre les diverses transitions pos-sibles de trois manières :
- transitions entre deux étapes consécutives, 4 transitions sont possibles :
RR-RE-ER-EE
- transitions entre trois étapes consécutives, 8 transitions sont possibles :
RRR-ERR-RRE-ERE-REE-EEE-RER-EER.
- transitions entre trois étapes, la première et la deuxième étant espacées parune étape indifférente, 8 transitions sont possibles :
RxRR-ExRR-RxRE-ExRE-RxEE-ExEE-RxER-ExER.
Pour présenter les résultats du dénombrement, il se sert de tableaux, ou matrices.Par exemple, la séquence ci-dessous amène les trois matrices suivantes :
RRRREERRRRRRERRREEERRRRRRRERRRR
19 RR
RE
ER
EE
R"i3
2
4
2
E4
2
0
1
RxR
RxE
ExR
ExE
R"11
3
6
1
E4
2
0
0
- 44 -
En divisant les éléments de ces matrices de transitions par la sommedes éléments de la ligne correspondante, il obtient la fréquence des transitionspossibles. Par exemple, le nombre de transitions RR est 19 et la somme des tran-sitions RR-RE est 23, la transition RR a la fréquence 19/23 = 0,826. C'est-à-direqu'étant en R la probabilité d'être en R le jour suivant est 0,826. Il calculeainsi élément par élément, les matrices des probabilités de transition suivantes :
R
E
I". 826 . 174 "I
[.571 . 429 JRR
RE
ER
EE
R" . 7B5
. 5
1
. 667
E
. 235 "
. 5
0
. 333
RxR
RxE
ExR
ExE
R
" . 733
. 6
1
1
E
. 267
. 4
0
0
La première matrice indique que la probabilité d'être dans un certainétat un jour n'est pas indépendante de l'état du jour d'avant. Par exemple, laprobabilité d'être en éruption demain est plus élevée si il y a éruDtion aujourd'huiCette propriété est celle des processus de Markov d'ordre 1. Si le volcan ne suivaitpas un processus de Markov d'ordre 1, sa matrice des probabilités de transitionaurait toutes ses colonnes égales :
A
B
A
j" 1/3|_ 1/3
processus nonPCAA) = PCBA)
B
2/3*]2/3 J
Markovien= 1/3
A
B
A
|"i/3
|_1/4
processusPCAA) = 1/3
B
2/3"]
3/4 JMarkovien
¥= PCBA) = 1/4
Anderson et Goodman [1957) ont proposé un test du /K2 pour déterminersi la propriété de Markov est réelle ou si elle peut s'expliquer par les fluctua-tions d'échantillonnage. En effet si la séquence est courte comme ici, le nombrede transitions entre état n'est pas suffisant pour homogénéiser la matrice. Cetest demande le calcule du paramètre
'X2
j = 1 "nij L o g t p i j / p j ]
= nombre total de transition de i à j
= nombre d'états (ici N = 2)
= probabilité de .transition de i à j
= probabilité marginale pour la jème colonnei = 1 'ij
i = 1 J = 1
- 45 -
Si le tt2 calculé est plus grand que la valeur théorique du -X2 pour(N-1)2 degrés de liberté, l'hypothèse nulle admettant que le processus estMarkovien d'ordre 1 ne peut être rejetée et peut donc être admise au seuil deconfiance considéré.
Dans notre exemple :
pour 1 degré de liberté Pi/X.2> 6,6) = 0,01 on accepte l'hypothèse que le pro-cessus est Markovien d'ordre 1 [seuil de confiance 1 %).
double dépendance
Les deuxièmes et troisièmes matrices exhibent une double dépendance.Le test proposé peut être étendu aux processus Markovien d'ordre supérieur (cf.Anderson et Goodman, 1957). S'il s'avère que la double dépendance exhibée n'estpas le fait du hasard, le processus est Markovien à double dépendance, d'ordre2 pour la deuxième matrice et 3 pour la troisième. Harbaugh et Bonham-Carter (1370)donnent une classification des différents processus de Markov suivant leurs ordreet dépendance, ils indiquent également les algorithmes utilisés pour tester la •propriété de Markov du 1er et 2ème ordre.
1.2. - Propriétés principales du Processus de Markov d'ordre 1
Si X, est la variable aléatoire représentant l'état du volcan àl'étape k et si ' i est la réalisation de cette variable à l'étape k, la con-dition sur les probabilités d'avoir un processus de Markov d'ordre 1 est(Karlin, 1969) :
P(Xn = in/Xn = in , X, = i. X , = i J = PCX = i /X = i , )n " u D 1 1 n-1 n-1 n n n-1 n-1
La matrice P appelée matrice des probabilites.de transition ou matricestochastique suffit a définir le processus, elle est formée des S éléments P . ,CS étant le nombre d'états différents, P¿j étant la probabilité de la transi- J
tion de l'état i à l'état j en une étape).
P . . P._ . . . P . , . . . P,11 12 1j 1s
P P P P^21 *22 ' • • K21 • • ' *2s
P =
P.2
P P . . . P . . Psi s2 " " " sj " " ' ss
- 46 -
La probabilité de passer de l'état i à l'état j en deux étapes estégale à P2^
s
P2 y p pii " ik Klij K=1 J
k étant l'étape intermédiaire. Les P2^ sont les éléments de la matrice P2 = P x P.De la même manière P 3= P 2 x P = P x P x P et de façon générale .Pn = Pn"1 x P.Les éléments PDJ de la matrice Pn sont les probabilités de passer de l'état i àl'état j après n étapes.
Pour les applications à l'activité volcanique, les états font tous partied'une seule classe récurrente apériodique. C'est-à-dire qu'il n'y a ni état pério-dique s.s. ni état absorbant Ccf. Karlin, 1969). Dans ce cas les probabilités PJJconvergent dans chaque colonne de la matrice Pn vers des valeurs d'équilibre tj
' tj = l i m P".
Cette propriété provient de ce que l'influence de l'état initial sur l'état finaldiminue avec le temps. La matrice équilibre tjest invariante pour la multiplicationpar P. On peut donc calculer aisément le vecteur équilibre en résolvant le systèmed'équations :
t. représente la proportion de l'état i dans le processus. Après n étapes,le nombre d'Étapes passées en i est n.t., cette relation n'étant vérifiée strictementque lorsque n-»- + °°
Probabilités de récurrenceEn pratique on s'intéresse à la probabilité de retour pour la 1ère fois
à l'état initial i après n étapes. Cette probabilité de récurrence f^ est donnéepar la relation :
Pn = T f k P n" k n > 1ii ¿- ii ii ^
k=o
fJi = o et P°. = 1
sII est évident que f¡± - P±± ; fj± - E P±K Pki
De manière générale le calcul des f£¿ passe par le calcul des PjJ¿ et utilise larelation citée, il va de soi que si la suite des P£¿ est lente à converger, on auraintérêt à utiliser un ordinateur (Harbaugh et Bonham-Carter (1970) donnent un pro-gramme FORTRAN calculant les P ^ K D'après la définition des fn¿, la somme des fJitend vers 1, sinon le retour de l'état i n'est pas sûr.
- 47 -
C. Cháumonts (1976) détermine dans trois séries de flyschs, les proba-bilités P¿i de passage d'un grès à un grès en n étapes et f¿¿ de passage de grès •à grès après n étapes passées dans un autre faciès que le grès. La figure 19 repro-duit les trois diagrammes des pjj_ et f1?. (i = grès).
On remarque sur les diagrammes que f¿¿ tend plus ou moins rapidementvers zéro suivant que la série présente une forte périodicité [oscillations de lafonction P ^ presque pas amorties) ou une faible périodicité (amortissement trèsrapide des oscillations de P¿¿ •*• t¿).
La période moyenne de récurrence m¿ de l'état i est donnée par larelation (Karlin, 1969, p. 68).
JLmi n* +" n k-1 1X V 0 0 nfn i
L, iin=o
L'instant moyen de la récurrence dans le 1er cas (fig. 19) se calculepar les fj¿ qui convergent rapidement.
m = 3.0,7 + 4.0,1 + 5.0,15 + 6.0,02 + 7.0,02 + = 3,51 étapes
Dans le troisième cas, ce sont les P^. qui convergent rapidement etfournissent une estimation de l'instant moyen de récurrence rri3 = 1/0,075 = 13,3 étapes
La deuxième propriété importante que nous voulons introduire est que lespériodes passées dans un état i suivent des distributions exponentielles de para-mètre <j)¿ = 1 - Pj_¿ . Soit Yj_ la variable aléatoire représentant la durée passéedans l'état i.
P C Y ^ T ) = F± (T)
PCY±«= T) = f± CT)
= e"*iT
Le simple processus de Poisson est donc un processus de Narkov d'ordre 1à deux états de matrice P :
/ i-<f, «|>\
\ 1 */
On a vu que f^j est la probabilité de retourner à l'étape i qui estl'étape initiale après n transitions par des états j ¥ i. Si Y* est la variablealéatoire représentant la durée des intervalles séparant deux états i, f!L est laprobabilité que Y* prenne une certaine valeur n,ou T (T étant exprimé en unitéde temps de la longueur de l'étape).
f * (T) = P (Y* = T) = P (Y* = n) = f"±
FIT)
0,97-
0,95-
0,87-
0,80-
0,69-
0,55-
0,37-
0,19
0,07
0,01-
0,0006
-3,5
-2,5
- 2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
1/cjb
j =1,28
I T-r
C D
I
I I I I I
3 4 5 6 7 8 9 1 0 20 30
18 : Taux. d'eAuptLon cfei deux cAat&ieA da StAombotÁ.
- 49 -
d'nmpn
Diagramme des transitions gris-grès et des récurrences de grès pour le complexebasai des flyschs penniques ligures (d'après C . C H A U M O N T S , 1976): Le diagrammedes récurrences est dessiné en tircté.
Diagramme des transitions grès-grès et des récurrences de grès pour la série àdominante gréseuse des flyschs penniques ligures dans le secteur du Col d'Oggia(d'après C . C H A U M O N T S , 1976).
p
02-
Qt.
Diagramme des transitions grès-grés et des récurrences de grès pour ¡a sérieà dominante calcaire des flyschs penniques ligures dans le secteur de Coldirodi(d'après C . CHAUMOhrrs, 1976).
7 9 Vnoba.bMA.te. ?-n- de. H.oXouJi à VHat IYUMJOJL (en
pltln oX pnobabititt {, • • de. A.icuAA&nc& de. ¿' itcut
tÀjoJL : fieXoan pomu la. lèAe. lo<Lt> ap/ièa n <tta.pe¿ (e.n
tuizttt) de. txoÁÁ ¿>VvLeA de. lJLLy&ckt>
- 50 -
Calcul analytique de f*(T)
Le calcul analytique de r. CTD utilise les transformées de Laplace-Stieltjes qui ont une expression très simple pour les distributions exponentielles.
L (s)J .+ s
Nous allons donner un exemple de calcul analytique de f?(T), I'expressiongénérale étant beaucoup trop complexe pour entrer dans les limites fixées à notreétude. Carta et al., C1981^donnent ce calcul pour un modèle adapté au Vésuve.
Notre exemple provient d'un essai de modélisation de l'activité de lamontagne Pelée en 5 états, ce modèle étant exposé ici uniquement dans un but péda-gogique nous ne donnerons aucune justification (ni ne tirerons de conclusions).Les 5 états sont :
Ro,
E : Eruption , cet état est supposé sans durée donc P_E = 0
L : Recharge, étape consécutive à une éruption pendant laquelle
R2
la probabilité d'éruption est nulle P. _ = 0 et P .
Trois types de repos différents caractérisés par des probabilités
R2Edans le sens RQ - Rj - R2
pR p, P„ p,. et PDt- différentes. Les trois repos se succèdent
Le schéma d'organisation choisi pour ce modèle et la matrice correspon-dante sont :
E
L
Ro
Ri
R2
E0
0
•b•1<í>2
L1
L0
0
0
Ro0
*L1 " 0
0
0
Ri0
D(n
0
R2
0 '
0
0
•ï
En pratique, la seule fonction' f*CT) qui nous intéresse est f*(T)c'est-à-dire la probabilité qu'un repos dure un temps T. L'hypothèse du processusde Poisson donnait pour cette fonction f*
f*CT) = (fie
- 51 -
L'introduction de quatre états de repos possibles dont les durées sontdistribuées chacune exponentiellement suivant les paramètre C<|>. ) , C<t>o » 't'i e t (f)2conduit à :
' . " • 2;LCy]fR()CT-y)dy f. Cx)f_ Cy-x)dx
L KQ •S" V CT"y]dy
/: \i f. Cx)f_ Cy-x)dxL Kg <f>0
f/•»n
dy
Les trois éléments de cette somme correspondent aux trois cas de figure- L'éruption suit une période de repos R(j. La durée passée en L étant y qui peutprendre toutes la valeurs comprises entre 0 et T.
- L'éruption suit une période de repos R\. La durée passée en L est x, en RQ estCy-x), x variant entre 0 et y et y variant entre 0 et T.
- L'éruption suit une période de repos R2. La durée passée en L est x, en Ro est(y-x), en Ri est z, x variant de 0 à y, y variant de 0 à T, z variant de 0 à T-y.
Cette expression se note plus simplement en utilisant les produits de convolution*
<P0 "Pifi + fl*f2
La transformée de Laplace-Stieltjes de f_ est L^, qui est donnée par l'expression
L* Cs) = L. Cs)L0Cs) — + ,° , LiCs) + - — r - LiCs) L2Cs)
tu L I T O $ 0 T 1 (pu (pi
a v e c
L*Cs) = C«()L+s)
Cette expression se décompose en fraction simple de la forme i_
L E C s ] =
1. . 0 0000 . 95300 0 0000.00000 . 0 0 0 0
O ."00 00
0 . O - T / ' O
O . 9 6130
O .0000O .0000
O . 0 0 0 0O . 0 0 0 00 . 0 . 1 . 9 0O . 991"»-1!O.0000
O.0000O . 0 000O.0000O . O O'16O .9900
MONTRGNE PELEE. M.RRTJNIQUF
d e n s i t é d e p r o b a b i l i t é
d e s d u r é e s e n t r e e r u p * . i o r
fonction de survivance
ÂCT
0
0
0
0
0
. 0 0 A 0
. 00-10
. 0010
. 0 0 4SI
. 00'13
0
0
0
0
0
. ()(•)£)£!
. 0(339
. 0CI-1B
. 09X2. 0 9 ' K I
0 .
0 .
0 .
0 .
0 .
•j. :i. :i. 'l'a.
i i i P
:I.:I.Î.ÏSJ
:i.f.?09
:I.33:I.
0
0
0
0
0
. 3 H «;;!)f:)í:>f:lf:1
. 5:1.60
. aï. 99
. ¿1993
0
0
0
0
0
. t:!?.:í9 7'•>-:> O o
.23H0.S^IASí:)") Oft
Fm
f one t i on de survivance
' . en '.-oordontiiíes l o o 1
et diagramme expérimental
10
T(années )• kfüvU aju&tMznt dz6 difáítznU pafiamztfizi, Pli da modztz "Ac -*- r f-rTi
(en haut à gauc/te) zt mcuud.cz zqultibne. (en à dnoitt) ioncUon dzdzniAXz I AI m e..-./-I.P- i/ = ¿ M * ™ ^ f iHteAvaUe. ¿imitant 2 zAupUoni zt taux, d'zn.uptA.on (0(7)).
taux d'erupt i on
UlM
dz la.
V =
- 53 -
Ao =
A2
Í|_
L
*L
L
*Lti|_-i]
•L
)[
n
i
$0 + i
*sio-ii)
i'ii2
i
i
h-
0
*L
1
0
io
ii +
[il *
t
ii +
Í2
L Í2\
?-i. /
L (f)2\
?~io/
La transformation inverse des fractions é t a n t Ai
= A, Ao A2
F Ê t T ) • if io
Le problème majeur est la détermination des différents paramètresP^j de la matrice stochastique. Dans notre cas particulier où de nombreux para-mètres sont arbitrairement nuls, c'est la détermination de <j> , <|>ó, <j>'¿, ty\, $'{, <j>2-
états L, RQ, RI et
= C4>i + <(>i) et $2 sont les inverses des durées moyennes des
f, la durée moyenne des intervalles séparant deux éruptions doit être égal àl'inverse des P°£ lorsque n est assez grand pour que tous les P^E soient égaux
Un essai d'ajustement des différents paramètres est montré dans la figure 20.Les temps moyens des états L, RQ, R I et R2 étant fixés arbitrairement à 21,3 ans,20 ans, 217 ans ans et 100 ans. Les coefficients de partage pour ÍQ et <j>i sont fixéspar :
<f>0 = 0,435
il
0,565 io (cf. texte figure B pour la, séquence des repos),il
Les différentes fonctions fjrCT], F*(T), i*CT) sont représentées, pour ces valeursparticulières.La matrice P3°0 donne les valeurs du vecteur équilibre et notamment t = 0,004ce qui implique f = 250 ans.L'ajustement 'est pas très bon puisque la durée moyenne observée entre les éruptionsest de 220 ans. Notre propos étant uniquement pédagogique, nous ne poursuivons pasplus loin cet essai de modélisation.
- 54 -
SIMULATION MuWTRGNE PELEE
ó i¿8 see 3¿e 4¿e 300 G¿0 ?¿e s¿e 3Ó0 lut(années ;
¥¿C\UAZ 21 : SimuÁatLon d& V a.c£¿v¿tí QjvxptisxL áz la. montagne. VeJtzzutitUant ¿a. ma.tfU.ce. ¿toclia¿t¿qu.e. de. la {¡¿guAt 10 eX la.méthode, dz Montí-Catvlo. Cliaquz lÁ.gnz hofU.zontalz fizpfiz-6zntz unz dunzz dz 1000 am,, IZA ¿zgmznti, veJuLLcauxcofifiZApondznt aux zfuipt¿onA.
- 55 -
Simulation de Monte Carlo
Cette méthode empirique a été employée par Wickman M 966-1976) pourmontrer le genre de séquence qui peut être générée par un processus de Markoven fonction de la matrice stochastique employée. Elle permet également l'évalua-tion de différentes moyennes qui sont directement mesurables ce qui procure uncritère de jugement de l'adéquation du modèle à la réalité.
Le principe de cette méthode utilise une matrice M que l'on déduit deP en sommant à P^. les éléments P| j avec K < i. Par exemple, une matrice 3 x 3d'éléments P.. donne la matrice M suivante :
P21
31
21
31
12
22
31
12
1
1
P = 113
Le premier état de la séquence est tiré au hasard parmi les i, parexemple en utilisant les proportions t¿ du vecteur équilibre.
L'état suivant est déterminé en tirant un nombre aléatoire comprisentre 0 et 1. Si ce nombre est compris entre 0 et P^, l'état suivant est 1, siil est compris entre P- et P^ + Pi2
= mi2 l'état suivant est 2 etc.
L'opération est poursuivie jusqu'à ce que les différents paramètresque l'on cherche à évaluer convergent de façon satisfaisante. Ces différents para-mètres sont les différentes durées moyennes mesurables empiriquement. Par exemple, <'>dans notre modèle de la montagne Pelée, on mesurera la durée séparant deux éruptions.La valeur moyenne observée dans ce cas là doit se rapprocher de 1/t^.Dans des modèles générant des cycles d'activité intense, on évaluera la duréemoyenne de ces cycles ainsi que la durée moyenne des périodes séparant deux cycles... etc.
La figure 21 montre un exemple de simulation d'après la matrice choisiepour la montagne Pelée Ccf. figure 20). La simulation commence artibrairement parune éruption et porte sur une période de 5000 ans. On peut compter 19 repos répartissur environ 4920 ans, ce qui porte la durée moyenne à 250 ans.
- 56 -
2 - PROCESSUS SEMI-MARKOVIENS
Les processus semi-markoviens sont aux processus markoviens ce que leprocessus de renouvellement est au processus de Poisson. S types d'événementsdifférents peuvent se réaliser ; les intervalles entre deux événements, il y en aS 2 , sont indépendamment distribués avec des fonctions de survivance F ± . [T)Ci, j=1. . .S) .Les événements sont distribués selon une chaîné de Markov de matrice stochastique P .Les propriétés de ce processus ont été,dans le cas général, étudiées par Smith(1965), Levy (1954) et Pyke C19611 .
Les cas particuliers qu'englobent ces processus sont :
- processus de renouvellement : un seul type d'événement, donc un seul type depériode. Le processus est entièrement défini par une fonction FCT]
- processus de Poisson : processus de renouvellement dont les durées de repos sontdistribuées exponentiellement.
- processus Markovien d'ordre 1 : Les durées d'un état sont distribuées exponentiel-lement et sont indépendantes de l'état suivant.
Nous allons donner quelques propriétés de ce processus dans le cas simpleS = 2 . Il y a deux types d'événements différents 1 et 2 , et 4 types d'intervalles1-2, 1-1, 2-1, 2-2. Pour simplifier encore, admettons que les intervalles 1-2 et1-1 d'une part, 2-1 et 2-2 d'autre part sont identiquement distribués. Soit P lamatrice des probabilités de transition :
\i-p • • - < *
Si a\ = a2 = 0, le processus est un processus de renouvellement alterné,les deux événements alternent systématiquement.
Si oij = oc2 = 1, le processus reste dans l'état initial.
Le vecteur équilibre T [tj, t2] défini par T.P = T donne les proportionsdes deux événements à l'équilibre.
1-a2 1-ct!
La densité de probabilité d'un intervalle quelconque, les deux événementsétant indiscernables, est f = t^fj + t2f2. De même pour la fonction de survivance :
FCT) = tiF^T) + t2F2CT)
La moyenne et l'écart-type des intervalles 1 et 2 étant respectivementTj, °i, T2, o"2, la moyenne et l'écart-type des intervalles mixtes sont :
T = t! Ti + t 2 ï2
IV
2 5 I I Ttj ffi + t2 <*2 + tj t2 CTj - T2)
- 57 -
II faut remarquer que si les événements sont indiscernables, le processusà deux états décrit ici est équivalent à un processus de renouvellement.
Le choix des états, des lois de probabilités et certaines conditions•surles paramètres de ces lois sont guidés par les critères génétiques que l'on veutinclure dans le modèle. Il faut se souvenir que de nombreux modèles différentspeuvent conduire à des distributions identiques à première vue.
Une méthode d'estimation des paramètres, qui permet également de testerl'adéquation du modèle à la réalité est la méthode des moments. Le moment d'ordreK étant :
m E (Yk) m f(t)dt m moyenne = T
_ i»
on définit également les moments centrés d'ordre K qui sont E CCY-T) ). Le momentcentré d'ordre 1 est nul et le moment centré d'ordre 2 est la variance o-2. Pour ladistribution expérimentale des valeurs de Y, les moments d'ordre K sont calculésd'après
mk = 2 T.k PCY=T±]
On calcule les moments théoriques et expérimentaux et les identifiedeux à deux. Par exemple si les deux lois de distribution choisies sont des loisde Weibull à deux paramètres, les quatre premiers moments sont déterminés d'aprèsles données et identifiées aux expressions théoriques.
On trouvera dans Cox et Lewis (1969] une intéressante application dece processus à l'étude des intervalles de temps séparant deux passages de voituresur une route. En supposant que la circulation est fluide, les véhicules roulentà des allures diverses, les intervalles suivent une distribution exponentielle.Lorsqu'une voiture en rattrappe une autre, le dépassement n'est pas immédiat, onverra donc parfois des "trains" de voitures, les intervalles séparant ces véhiculesen instance de dépassement sont très voisins donc leur distribution n'est pasexponentielle CV < 1) . Un intervalle quelconque suivra l'une ou l'autre des loisde probabilité choisies, la distribution de ces intervalles se détermine par laméthode indiquée.
- 58 -
3 - AUTRES PROCESSUS
De1 nombreux autres processus ont été décrits de façon théorique pours'adapter aux exigences techniques du statisticien.
- Processus de Poisson doublement stochastique : le taux d'éruption $ est lui-même la réalisation d'une variable aléatoire de moyenne $. Cox C1955] proposel'utilisation de ce processus pour décrire la série d'arrêt d'un métier àtisser, les arrêts sont des événements aléatoires directement imputables a laqualité du fil qui est elle-même aléatoire.
- Processus de renouvellement ramifié : un processus de renouvellement génèreune première suite d'événements. A partir de chacun de ces événements prendnaissance une séquence d'événements où le nombre d'événements est aléatoire. LaLa série résultante présente généralement des regroupements d'événements(V > 1]. Bartlett C1963) et Lewis (1964) appliquent ce processus dans deux casparticuliers.
- Processus Markovien de Wold : la probabilité d'avoir une certaine durée derepos dépend de la durée du repos précédent. La séquence des repos est unechaîne de Markov, le nombre d'état est infini si l'on considère que les duréesde repos peuvent prendre toutes les valeurs entières positives. L'événement P^Jserait la probabilité d'avoir un repos de durée j sachant que le repos précédentavait la durée i.
- Processus superposés : plusieurs processus génèrent indépendamment des sériesd'événements indistinguables par un observateur. La superposition de sériespoissonniennes est une série poissonnienne de paramètre égal à la somme desparamètres de chaque série (<f> = £<(>. ).Les éruptions du Stromboli par exemple décrivent un processus résultant dela superposition des deux processus différents suivis par les deux cratèresCcf. figures 16, 17 et 18).
- 59 -
REFERENCES
Notre objectif ayant été l'introduction structurée de la plupart destechniques d'analyses des séries temporelles volcaniques, en évitant d'utiliserun lourd appareillage mathématique, nous avons nécessairement réduit certainesparties à leur strict minimum. Nous indiquons en contre-partie les référencesprincipales (soulignés) ainsi que les développements et applications diversesque nous avons relevé dans la littérature, qui apporteront au lecteur intéresséles compléments nécessaires. Nous donnons pour chaque référence deux indicationsdans la marge, la première (à gauche) pour situer l'objet analysé (volcan ouautres), et la seconde (à droite) pour la(ou les) technique(s) qui est employéeou développée par l'auteur et qui nous intéresse dans le cadre de cette étude.
V -
E -
S -
T -
Volcan
Séismes (Earthquakes)
Sedimentologie, Stratigraphie
Théorique
Autre objet (médical - équipement
S
C
w
R
H
T
P
Variations saisonnières (chap. I)
Variations cycliques (chap. I)
Utilisation des "diagrammes de WicKman" (obtentiongraphique de (T)) (chap. II)
Processus de Renouvellement simple (chap. II.2)
Chaînes de Markov et processus de Markov utilisésexplicitement (chap. III.1)
Tests statiques
Probabilités, statistiques, mathématiques générales.
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- 75 -
V
V
T
Vs
T
T
T
V
S
- p
- MW
- P
- M
- M
- M
- P
-
- M
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A N N E X E S
Annexe 7
TABLE D E LA DISTRIBUTION D E y1
(Loi de K . Pearson)
Valeur de y2 ayant la probabilité P d'être dépassée
1V
123456789
10
11121314151617181920
21222324252627282930
P = 0,90
0,01580,2110,5841,0641,6102,2042,8333,4904,1684,865
5,5786,3047,0427,7908,5479,312
10,08510,86511.65112,443
13,24014,04114,84815,65916,47317,29218,11418,93919,76820,599
0,80
0,06420,4461,0051,6492,3433,0703,8224,5945,3806,179
6,9897,8078,6349,467
10,30711,15212,00212,85713,71614,578
15,44516,31417,18718.06218,94019,82020,70321,58822,47523.364
0,70
0,1480,7131,4242,1953,0003,8284,6715,5276,3937,267
8,1489,0349,926
10,82111,72112,62413,53114,44015,35216,266
17,18218,10119.02119,94320,86721,79222,71923,64724,57725,508
0,50
0,4551,3862,3663,3574,3515,3486,3467,3448,3439,342
10,34111,34012,34013,33914,33915,33816,33817,33818,33819,337
20,33721,33722,33723.33724,33725,33626,33627,33628,33629,336
0,30
J.0742,4083.6654,8786,0647,2318,3839,524
10,65611,781
12,89914,01115,11916,22217,32218,41819,51120,60121.68922,775
23.85824,93926,01827.09628.17229.24630,31931,39132,46133,530
0,20
1,6423,2194,6425,9897,2898,5589,803
11,03012,24213,442
14,63115,81216,98518,15119,31120.46521,61522,76023,90025,038
26,17127,30128,42929,55330,67531,79532,91234,02735,13936.250
0,10
2.7064,6056,2517,7799,236
10,64512,01713,36214,68415,987
17,27518,54919,81221,06422,30723,54224,76925,98927,20428,412
29,61530,81332,00733,19634,38235,56336,74137,91639,08740,256
0,05
3,8415,9917,8159,488
11,07012,59214,06715,50716,91918,307
19,67521,02622,36223,68524,99626,29627,58728,86930.14431,410
32,67133,92435,17236.41537,65238,88540,11341,33742,55743,773
0,02
5,4127,8249,837
11,66813,38815,03316,66218,16819,67921,161
22,61824,05425,47226,87328,25929,63330,99532,34633,68735,020
36,34337,65938,96840,27041,56642,85644,14045,41946,69347,962
0,01
6,6359,210
11,34113,27715,08616,81218,47520,09021,66623,209
24,72526,21727,68829,14130,57832,00033,40934,80536,19137,566
38,93240.28941,63842,98044,31445,64246,96348,27849,58850,892
Nota. — v est le nombre de degrés de liberté. Pour v > 30 on admettra que , / 2 y,2 -,distribué normalement (moyenne nulle, écart-type unité).
LOI DE KOLMOGOROV
Valeurs de D m . a) pour quelques valeurs de n ei quelques seuils a : D(n, a) est tel que
Prob ¡ dn < D(n. a)} = ] - a
dr = max, | F(x) - S„(.x) | .
Annexe 2
EffectifN
1
345
6789
10
1112131415
1617181920
253035
35 et plus
s = 0.20
0.9000.6840.5650.4940.446
0,4100.3810,3580,3390,322
0.3070,2950,2840.2740.266
0.2580.2500.2440.2370.231
0.210.190.18
\.01\/~Ñ
i «= 0.15
0.9250.7260,5970.5250.474
0.4360.4050,3810,3600,342
0,3260,3130.3020.2920,283
0,2740,2660,2590.2520,246
0.220.200.19
I,l4v'lf
ce - 0,10
0.9500,7760,6420.5640.510
0,4700,4380,4110.3880,368
0,3520.3380,3250,3140.304
0,2950,2860.2780,2720,264
0.240.220.21
1 , 2 2 / ^
a - 0.05
0,9750,8420,7080.6240,565
0,5210.4860,4570,4320,410
0,3910,3750,3610,3490,338
0,3280,3180,3090.3010,294
0.270,240,23
1,36/^/JV
a = 0.01
0.9950.9290.8280,7330.669
0.6180,5770,5430.5140,490
0,4680,4500.4330,4180,404
0,3920,3810,3710,3630,356
0.320.290.27
1,63/VÂr
Nota. — F(x) désigne la fonction de répartition (théorique) supposée continue. S.(x) désigne U courbedes fréquences cumulées d'un échantillon de n valeurs non groupées en classes.
(Journal of A m . Slat. Ass.. Masse), vol. 46. p. 70.)
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-10
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1
1—
14 16 1« 21 26 21 30 30 10 50 60 70 »0 90 100 120 140 160 ISO 200 220 210 260 280 . 300