contribution à l'identification et la commande floue d'une classe de systèmes non linéaires.pdf

UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH

FACULTE des SCIENCES DHAR EL MEHRAZ de FES

Laboratoire dElectronique, Signaux-Systemes et dInformatique

U.F.R : Automatique et Analyse des systemes

Contribution a lIdentification et la

Commande Floue dune Classe de

Systemes Non Lineaires

THESE

presentee le 27/06/2009

pour lobtention du

DOCTORAT NATIONAL

Specialite : Automatique Signaux et Systemes

par

Hamid Ouakka

devant le Jury compose par :

President : HMAMED Abdelaziz PES- Faculte des Sciences. DM. Fes

Directeur de These : BOUMHIDI Ismail PES- Faculte des Sciences. DM. Fes

Rapporteurs : BOUZOUBA Khalid PES- Faculte des Sciences. DM. FesSBAI El Hassan PES-Ecole Superieure de Technologie, Meknes

Examinateurs : ERRAHIMI Fatima PES- Faculte des Sciences et Techniques de FesROUKHE Ahmed PES-Faculte des Sciences MeknesQJIDAA Hassan PES- Faculte des Sciences. DM. Fes

Remerciements

Lensemble des travaux prsents dans ce mmoire a t effectu au laboratoire dElec-

tronique, Signaux-Systmes et dInformatique de la Facult des Sciences Dhar El Mahraz de

Fs.

Mes sincres remerciements Monsieur El Hassan SBAI Professeur lcole suprieure detechnologie de Mekns, et Monsieur Khalid BOUZOUBA Professeur la Facult des SciencesDhar El Mahraz de Fs davoir pris le temps de juger ce travail et de mavoir fait lhonneur

dtre rapporteurs de ma thse.

Jadresse mes sincres remerciements Abdelaziz HMAMED, Directeur du laboratoireL.E.S.S.I la Facult des Sciences Dhar El Mahraz de Fs, davoir accept dexaminer ce

travail et de prsider le jury.

Toute ma profonde gratitude va galement Madame Fatima ERRAHIMI Professeur la Facult des Sciences et Techniques de Fs, Monsieur Hassan QJIDAA Professeur laFacult des Sciences Dhar El Mahraz de Fs et Monsieur Ahmed ROUKHE Professeur laFacult des Sciences de Mekns, pour lintrt quils ont tmoign lgard de ce travail et

davoir accept de participer au jury de thse.

Je tiens exprimer ma reconnaissance au Professeur Ismail BOUMHIDI en tant que di-recteur de thse pour mavoir accueilli au sein de son quipe, pour ses directives scientifiques,

pdagogiques et mme personnelles pour lesquelles je lui suis hautement redevable. De mme,

je lui suis extrmement reconnaissant pour son soutien humain et moral et son aide prcieuse

la rdaction de ce manuscrit de thse.

Enfin, je tiens tout particulirement remercier Monsieur Moha OUAMANE, pour cesencouragements, son aide , sa disponibilit et chaleur humaine.

1

Je dedie cette these

a mes parents.

a ma femme Bouchra.

a mes enfants Zakariae, Youssef et Asmae.

a mes freres et soeurs.

a mon grand ami DODO et sa famille

a tous mes amis .

2

Table des matires

Introduction gnrale 7

1 Etat de lart sur la Modlisation et Commande floue des systmes non linaires 101.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Concepts de base de la logique floue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Variables linguistiques et ensembles flous . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 Fonctions dappartenances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.3 Oprations sur les ensembles flous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.4 Les rgles floues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.5 Description et structure dune commande par la logique floue . . . . . 15

1.2.5.1 Interface de fuzzification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.5.2 Interface dinfrence floue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.5.3 Interface de dfuzzification . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Modlisation floue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1 Concept de la classification floue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.1.1 Matrice de donnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1.2 Partition floue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.2 Algorithmes de classification floue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.2.1 Algorithme des c-moyennes floues(FCM) . . . . . . . . . . 21

1.3.2.2 Algorithme de Gustafson-Kessel(GK) . . . . . . . . . . . . 23

1.3.3 Construction de modles TS partir des donnes . . . . . . . . . . . . 25

1.3.3.1 Slection de la structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.3.2 Classification des donnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.3.3 Gnration des fonctions dappartenance des antcdents . . 25

3

1.3.3.4 Obtention des paramtres des consquents . . . . . . . . . . 27

1.3.4 Modle flou de Takagi-Sugeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4 Conception dune commande floue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.1 Commande adaptative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.2 Commande par lapproche mode de glissement . . . . . . . . . . . . . 32

1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Identification des Systmes Non Linaires base de Modles de type TS 352.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Identification dun systme MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.1 Reprsentation des systmes MISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.2 Identification hors ligne du modle flou . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.3 Adaptation en ligne du modle flou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.4 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Mthodes de validation dune structure optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.1 Algorithmes doptimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.2 Indices dvaluation de la qualit dune partition . . . . . . . . . . . . 44

2.3.3 Validation numrique du modle flou . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4 Identification optimale des modles Takagi-Sugeno . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4.1 Formulation de la mthode propose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4.2 Approximation des donnes par fonction polynomiale . . . . . . . . . 47

2.4.3 Extraction du nombre globale de classes . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.4 Dtermination du nombre optimal de classes . . . . . . . . . . . . . . 51

2.5 Simulations et rsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3 Commande Floue dune Classe de Systmes Non Linaires 573.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2 Modlisation floue de Takagi-Sugeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 Synthse de la loi de commande pour un systme SISO . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.1 Cas non adaptatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.2 Cas adaptatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4 Synthse de la loi de commande pour un systme MISO . . . . . . . . . . . . 61

4

3.4.1 Description du modle flou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4.2 Synthse de la loi de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5 Synthse dune loi de commande dcentralise . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5.1 Problmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5.2 Contrleur adaptatif flou direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5.3 Contrleur adaptatif flou indirect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.6 Rgulateur PI combin lapproche mode glissant . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.6.1 Formulation du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.6.2 Structure de la loi de commande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.6.3 Conception du Rgulateur PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.7 Rsultats de simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.7.1 Cas du systme SISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.7.2 Cas dun Systme MISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.7.3 Cas dun grand systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.7.4 Cas du rgulateur PI combin lapproche mode glissant . . . . . . . . 80

3.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Conclusion gnrale 83

Bibliographie 85

5

Abrviations

FCM : Algorithme de classification des c-moyennes floues( Fuzzy c-means)

GK : Algorithme de classification de Gustafson-kesselTS : Takagi-SugenoSISO : Mono entre Mono sortie (Single Input Single Output)MISO : Multi entres Mono sortie (Multiple Input Single Output)MIMO : Multi entres Multi sorties (Multiple Input Multiple Output)PI : Proportionnel intgralPC : Coefficient de partition (Partition coefficient)CE : Coefficient dentropie de partition ( classification entropy)VAF : Comptabilisation en pourcentage de la variance

(Variance Accounting For)FMID : Boite outils Modlisation et Identification floue

(Fuzzy Modelling and Identification toolbox)ANFIS : Systme adaptatif dinfrence neuro-floue

(Adaptive neuro-fuzzy infernece system)

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Introduction gnrale

Contrairement lautomatique linaire, lautomatique non linaire ne dispose pas de so-lutions universelles ni pour lanalyse des systmes ni pour la conception de leurs contrleurs.Lanalyse et la commande de ces systmes ne sont pas, toujours, des tches faciles. La plu-part des travaux existants dans la littrature proposent des approches qui sont, gnralement,limites des formes bien particulires de systmes [Chaoui et al., 2000, 2001]. De plus, lesperformances assures sont, souvent, au prix de la complexit du schma de commande et dudveloppement thorique utilis. La plupart des approches de commande non linaires exigentla disponibilit dun modle mathmatique du systme. Les performances assures, seront di-rectement lies lexactitude du modle utilis.

En automatique, pour dcrire le comportement dun systme, une hypothse communmentfaite est la linarit du systme, car les techniques danalyse des modles linaires, ont tlargement dveloppes dans la littrature. Cependant, lhypothse de linarit nest vrifie quedans une plage de fonctionnement restreinte autour dun point dquilibre du systme. Alors,les performances du modle se dgradent ds quon sen loigne et la recherche dun modleplus adapt et notamment non linaire devient ncessaire.

La structure mathmatique qui puisse remdier linconvnient cit ci-dessus, tout en gar-dant la simplicit mathmatique des modles linaires, est lapproche dite multi-modle ; cestune reprsentation pouvant tre obtenue soit directement partir dun modle mathmatiquenon linaire par transformation directe dun modle affine [Morre, 2000] ou par linarisationautour de diffrents points de fonctionnement [Murray-Smith et Johansen, 1999], soit partirdes donnes entres sorties dun systme physique [Gasso, 2000].

Les systmes flous, bass sur la thorie de la logique floue, ont t utiliss comme alter-native pour construire de telles structures multi-modles. Ils prsentent lavantage de tolrerlincertitude du modle et compensent son effet [Guesmi et al., 2005; Pags et Hajjaji, 2005],de traiter les non linarits sans aucune hypothse sur leur nature , de modliser puis compenserles interactions entre les boucles et de rduire leffet des perturbations externes. Leur qualit

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dapproximateurs universels a t dmontre, notamment pour les applications en commande eten identification floue [Jain et Dubes, 1988; Wang et Mendel, 1992]. On distingue deux classesprincipales de modles flous : les modles flous de Mamdani [Mamdani et Assilian, 1975] etceux de Takagi-Sugeno (TS)[Sugeno et Kang, 1988; Takagi et Sugeno, 1985]. Ils diffrent auniveau de la conclusion.

La complexit du systme est rduite par les algorithmes de classification floue qui pro-cdent en une premire phase la dcomposition de lespace de donnes en un nombre de sousensembles de donnes, puis chaque groupe de donnes est approxim par un modle linaire laides des techniques didentification existantes dans la littrature [Bezdek et al., 1987][Abo-nyi et al., 2002][Gustafson et Kessel, 1978][Ghat et Geva, 1989]. Linconvnient majeur de cetapproche est loptimisation du nombre de classes.

La structure de la base de rgles floues est un facteur important qui affecte la performancede la modlisation. Lorsque le nombre de rgles est grand, la prcision est bonne mais le modleflou devient complexe.

Ce mmoire est structur en trois chapitres.Le premier chapitre est caractre bibliographique, il prsente les bases de la logique floue,

allant du concept des ensembles flous aux principe de fuzzification et dffuzification en passantpar la mthode dinfrence ainsi que la structure des fonctions dappartenance pour le cas mo-novariable et multivariable. La modlisation type TS dun systme non linaire ainsi que sonextension au cas multivariable ont t aussi dcrites dans ce chapitre. Nous terminons par ladescription dun schma gnral du contrleur flou.

Le second chapitre prsente deux stratgies de modlisation dun systme non linaire parla technique de TS en tenant compte de tous les effets perturbateurs : La premire concerneun systme multivariable, lexcitation riche est choisie dabord alatoirement, ensuite carr,ltude a t faite en boucle ouverte. Les rsultats de simulation obtenus montrent une bonnepoursuite de sorties relles aux modles flous correspondants. La deuxime approche proposeconsiste optimiser le nombre de classes sans passer par les mthodes itratives classiquesqui ncessitent en plus des hypothses restrictives dun temps et charge de calcul levs. Latechnique propose est principalement base sur lapproximation des donnes par une fonctionpolynomiale approche, accompagne dun algorithme doptimisation, facile mettre en oeuvreest conduisant au mme nombre de classes que lapproche classique. Lefficacit de lapprochepropose est teste sur un exemple de simulation.

Nous proposons dans le Troisime chapitre quatre de stratgies de commande. La premire est destine commander les systmes mono entre mono sortie (SISO) ; elle

est base sur la combinaison de lapproche de linarisation entre sortie aux mcanismesde la logique floue. Dans un premier volet, la loi de commande est directement dtermine

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partir des paramtres du modle flou, cette commande sest avre dgrade en termede poursuite ce qui nous a amen adapter les paramtres du modle afin de suivre lesystme dans son volution.

La deuxime approche est une extension du cas monovariable au cas multivariable. Cedernier est dcompos en un ensemble de sous systmes MISO, afin dviter la chargelourde des calculs et de faciliter lapplicabilit. Chaque sous systme MISO est dcrit parun ensemble de modles locaux linaires. Notons que la modlisation est effectue endeux tapes : Hors ligne pour dterminer la structure du modle flou. En ligne pour dterminer rcursivement les paramtres du modle.Cette technique nous a permis de compenser facilement le couplage crois.

La troisime approche concerne les grands systmes, en dpit des interconnexions, latechnique propose traite les deux cas de commande direct et indirect. Chaque sous sys-tmes est suppos inconnu, il est modlis en utilisant la technique de Mamdani. Pourlapproche directe la conclusion est faite sur la commande et ses paramtres sont ensuiteadapts par lapproche de Lyapunov. Pour lapproche indirecte la conclusion est faite surle modle, suivi de ladaptation des paramtres et par la suite la synthse de la commande.Pour chacune de ces deux approches, la stratgie de commande consiste composer lacommande de trois termes : un terme de poursuite, rsultat du mcanisme flou ; un autredestin compenser les interconnexions et un dernier pour rduire les erreurs de modli-sation.

la dernire consiste combiner le rgulateur PI, la commande mode de glissement etla technique de la logique floue. Cette stratgie a permis dliminer le phnomne derticence et dassurer la convergence asymptotique de lerreur de poursuite. La surfacede glissement sera dcrite par des ensembles flous et selon la prmisse de rgle, une loide commande, soit le rgulateur PI ou la commande par mode de glissement est active.Les paramtres de ce contrleur sont dtermins par lapproche de Lyapunov de sorte maintenir la stabilit.

Les approches proposes sont testes sur diffrents exemples de simulations. Les rsultatsobtenus montrent une grande efficacit en terme de poursuite et de convergence.

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Chapitre 1Etat de lart sur la Modlisation etCommande floue des systmes non linaires

1.1 Introduction

Le dveloppement de modles mathmatiques des systmes est un sujet central dans plu-sieurs disciplines des sciences et de lingnierie. Traditionnellement, la modlisation est vuecomme la double conjonction entre la comprhension de la nature et du comportement dunsystme ainsi que le traitement mathmatique appropri qui conduit lobtention dun modleutilisable. Nanmoins, le besoin dune forte comprhension des lments physiques de base,comme cest le cas des systmes dynamiques inconnues ou partiellement connues, constitueune grande restriction au niveau pratique. Dans ce cas, le systme tudi peut tre reprsent enutilisant une structure gnrale qui approxime son comportement. Le problme de modlisationconsiste alors proposer la structure approprie pour lapproximateur et destimer les para-mtres du modle. Cette dernire tape se fait gnralement en utilisant le critre des moindrescarres avec normalisation et projection des donnes.

Dans le sens de mieux matriser les informations imprcises, la logique floue a t introduitede sorte formaliser les mthodes humaines de raisonnement en utilisant des bases de rgleset variables linguistiques pour la reprsentation de connaissances [Zadeh, 1973]. La commandefloue a t une des grandes applications de la logique floue, dans le sens de surmonter tousles problmes relatifs aux non linarits, perturbations externes et aux interactions entre lesdiffrentes boucles lorsquil sagit des systmes multivariables ou des systmes interconnects.

La plupart des applications dveloppes reposent sur lexpertise de loprateur humain. Ondistingue ainsi, deux types de systmes flous ; le systme flou de Takagi-Sugeno et celui deMamdani. Le premier est conclusion numrique et le second est conclusion symbolique, ce

10

1.2. Concepts de base de la logique floue

qui ncessite dautres approches pour ressortir linformation. Lapplication de lun ou lautre deces systmes flous permet de transformer ltude et la commande dun systme non linaire ensystmes plus simples , de forme linaire dans le cas de la modlisation TS. Notons toutefois,que dans le cadre de la classification floue des donnes exprimentales, diffrentes mthodesitratives ont t prsentes, avec lesquelles nous allons comparer lapproche propose dans cedomaine.

Les tapes de classification, de modlisation et destimation paramtrique tiennent comptede tous les effets perturbateurs, et mnent gnralement des modles linaires paramtresconnus ce qui facilitera la mise en place dune lois de commande robuste vis vis des erreursde modlisation, des incertitudes paramtriques et des perturbations non modlisables telle quelapproche mode glissant combin au rgulateur PI et les concepts de logique floue abordedans ce mmoire.

1.2 Concepts de base de la logique floue

La plupart des systmes non linaires sont modlisables sous des hypothses parfois trsrestrictives. Ces hypothses, rendent difficiles la mise en oeuvre des schmas de commande r-sultants et leur application. Il est donc ncessaire de prendre en compte toutes les informationsimprcises et incertaines relatives au systme. La thorie des sous ensembles flous dvelop-pe par Lotfi A. Zadeh en 1965, a permis de traiter les imprcisions et les incertitudes. Denombreuses applications sont alors dveloppes dans divers domaines, l o aucun modle d-terministe nexiste ou nest possible dobtenir.

Lavantage dun systme flou est que seules les connaissances du comportement du pro-cd commander sont suffisantes pour la synthse de la loi de commande, et ils soulvent unlarge intrt, tant thorique que pratique, dans lidentification est la commande des processuscomplexes et non linaires. Cela est d essentiellement trois traits principaux :

Le premier est que les systmes flous permettent une simple inclusion dinformationsqualitatives dans la conception du contrleur ;

Le second est que les systmes flous nexigent pas lexistence dun modle analytique duprocessus contrler, et peu dinformation est suffisant pour mettre en oeuvre la bouclede commande ;

Le troisime est que les systmes flous sont des systmes non linaires et de ce fait plusadapts la commande des processus non linaires.

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1.2.1 Variables linguistiques et ensembles flous

La description imprcise dune certaine situation, dun phnomne ou dune grandeur phy-sique ne peut se faire que par des expressions relatives ou floues. Ces diffrentes classes dex-pressions floues dites ensembles flous forment ce quon appelle des variables linguistiques. Afinde pouvoir traiter numriquement ces variables linguistiques qui sont normalises gnralementsur un intervalle bien dtermin appel univers de discours, il faut les soumettre une dfinitionmathmatique base de fonctions dappartenance qui montrent le degr de vrification de cesvariables linguistiques relativement aux diffrents sous ensembles flous de la mme classe.

La figure (Fig.1.1) montre un exemple de variable linguistique associe au concept de tem-prature, reprsente par les sous ensembles flous o les termes linguistiques sont dfinis par :{froide, moyenne, chaude} sur lunivers de discours reprsent par les tempratures comprisesdans lintervalle [0,70].

FIGURE 1.1 Exemple densembles flous pour la variable temprature

Une variable linguistique permet donc, dune part de synthtiser linformation manipulegrce aux sous ensembles flous, et dautre part de reprsenter des concepts imprcis tels quelhomme en manipule quotidiennement. La dtermination de la forme et de la position de cessous ensembles flous sont dfinis a priori par des experts du domaine afin quils reprsententexactement leurs connaissances. Cependant, il nest pas toujours possible dobtenir une telle ex-pertise, que ce soit cause de la complexit du problme ou bien parce que les experts sont troprares voir inexistants. Dans ces conditions, des algorithmes peuvent tre mis en uvre pour ex-traire automatiquement les sous ensembles flous. Une expertise du rsultat peut ventuellementtre faite par la suite afin de dterminer la signification des sous ensembles flous obtenus.

12


1.2.2 Fonctions dappartenances

Une fonction dappartenance dun ensemble flou A dfinie sur lunivers de discours X , no-te A(x) tel que x X , est une courbe qui dfinit comment chaque point dans lunivers dediscours est trac avec une valeur dappartenance comprise dans lintervalle [0, 1] [Mendel,2000; Meunier, 1995] :

A(x) : X [0,1]x A(x)

La valeur A(x) mesure lappartenance ou le degr avec lequel un lment x appartient lensemble A. Il ny a pas de rgle prcise pour la dfinition de fonction dappartenance.Alors, chaque ensemble flou peut tre reprsent par sa fonction dappartenance. Les fonctionsdappartenance peuvent tre symtriques, rgulirement distribues ou avoir une distributionnon uniforme. En gnral, la forme des fonctions dappartenance dpend de lapplication et dela grandeur modliser et peuvent avoir diffrentes formes :

Fonction triangulaire

(x) =

a xab si x [a,b]

b xb c si x [b,c]

Fonction gaussienne

(x,m,) = e

(xm

2

)2

m : centre de la gaussienne : sa largeur

Fonction trapzodale

(x) =

a xab si x [a,b]

1 si x [b,c]d xcd si x [b,d]

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1.2.3 Oprations sur les ensembles flous

Supposons que A et B sont deux ensembles flous dfinis dans un univers de discours Xpar les fonctions dappartenance A et B. On peut dfinir des oprations telles que lgalit,linclusion, lintersection, lunion et le complment grce des oprations sur les fonctionsdappartenance.

Egalit : A et B sont dits gaux, proprit que lon note A = B, si leurs fonctions dappar-tenance prennent la mme valeur en tout point de X :

x X A(x) = B(x)

Inclusion : A est dit inclus dans B, proprit que lon note A B, si tout lment x de Xqui appartient A appartient aussi B :

x X A(x) B(x)

Intersection : Lintersection de A et B, que lon note AB, est lensemble flou constitudes lments de X affects du plus petit des deux degrs dappartenance Aet B :

x X AB(x) = min(A(x),B(x))

Union : Lunion de A et B, que lon note AB, est lensemble flou constitu des lmentsde X affects du plus grand des deux degrs dappartenance A et B :

x X AB(x) = max(A(x),B(x))

Dans ces dfinitions, min et max dsignent, respectivement, loprateur de calcul du mi-nimum et du maximum des deux valeurs.

Complment : Le complment de A, que lon note A, est lensemble flou de X constitudes lments x lui appartenant dautant plus quils appartiennent peu A :

x X A(x) = 1A(x)

1.2.4 Les rgles floues

Une rgle floue R : Si x est A Alors y est B est une relation entre deux propositions flouesayant chacune un rle particulier. La premire (x est A) est appele prmisse de la rgle alorsque la seconde (y est B) est la conclusion.

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Dans le cas de propositions floues lmentaires, la prmisse et la conclusion sont dfinies partir de deux variables linguistiques A et B dcrivant les connaissances relatives aux universde discours XA et XB de manire prendre en compte limprcision relative aux modalits deA et B. Une proposition floue lmentaire est souvent insuffisante pour reprsenter lensembledes informations manipuler. Plusieurs propositions floues peuvent alors tre combines pourenrichir et dtailler la reprsentation.

La relation R entre la prmisse et la conclusion de la rgle est dtermine par une implica-tion floue dont le degr de vrit est dfini par une fonction dappartenance R qui dpend dudegr de vrit A et B de chacune des deux propositions lmentaires. Les implications lesplus courantes permettant la dtermination de la fonction dappartenance rsultante dcrivant laproposition floue R sont donns par :

limplication de Mamdani : R(x,y) = min(A(x),B(y))limplication de Larsen : R(x,y) = A(x).B(y)

x XA et y XB(1.1)

1.2.5 Description et structure dune commande par la logique floue

Contrairement aux techniques de rglage classique, le rglage par la logique floue nutilisepas des formules ou des relations mathmatiques bien dtermines ou prcises [Zeng et Singh,1995]. Mais, il manipule des infrences avec plusieurs rgles floues base des oprateurs flousET, OU, ALORS,. . . .

FIGURE 1.2 Structure interne dun contrleur flou.

On peut distinguer trois parties principales constituant la structure dun rgulateur flou : une interface de Fuzzification, un mcanisme dInfrence,

15


et une interface de DfuzzificationLa figure (Fig.1.2) reprsente, titre dillustration, la structure dun rgulateur flou une

entre x et une sortie u.

1.2.5.1 Interface de fuzzification

La fuzzification proprement dite consiste dfinir des fonctions dappartenance pour lesdiffrentes variables linguistiques. Ceci a pour but la conversion dune grandeur physique enune linguistique. Il sagit dune projection de la variable physique sur les ensembles flous carac-trisant cette variable. Cette opration permet davoir une mesure prcise sur le degr dappar-tenance de la variable dentre chaque ensemble flou.

Dune autre manire , lentre x varie dans lunivers de discours qui est partag en un nombrefini densembles flous de telle sorte que dans chaque zone il y ait une situation dominante.Afin de faciliter le traitement numrique et lutilisation des ces ensembles, on les dcrit par lesfonctions dappartenance. Elles admettent comme argument la position de x dans lunivers dediscours, et comme sortie le degr dappartenance de x la situation dcrite par la fonction.

1.2.5.2 Interface dinfrence floue

Linterface dinfrence est forme de deux blocs : La base de regles, compos dun ensemble de relations liant les variables dentres aux

variables de sorties du systme rgler. Chaque relation est compose dune conditionprcde du symbole Si appele prmisse, et dune conclusion (action, dcision, oprationou commande) prcde du symbole Alors.

Le moteur dinfrence ralise le traitement numrique des rgles dinfrence, dcritespar des oprateurs flous, pour obtenir la sortie linguistique ou floue du rgulateur. Cetteopration est faite par diffrentes mthodes, on cite principalement :

La mthode dinfrence max-min : Loprateur ET est ralis par la formation du minimum,loprateur OU est ralis par la formation du maximum, et limplication (ALORS) estralise par la formation du minimum.

La mthode dinfrence max-produit : Loprateur ET est ralis par la formation du pro-duit, loprateur OU est ralis par la formation du maximum, et limplication (ALORS)est ralise par la formation du produit.

La mthode dinfrence somme-prod : On ralise au niveau de la condition, loprateur OUpar la formation de la somme (valeur moyenne), et loprateur ET par la formation duproduit. Pour la conclusion, loprateur ALORS est ralis par un produit.

16

1.3. Modlisation floue

1.2.5.3 Interface de dfuzzification

La transformation dune information floue en une information dtermine est la dfuzzifica-tion (concrtisation). Pendant cette tape se fait la dduction de la grandeur de sortie numrique partir de linfrence floue. Il sagit de calculer, partir des degrs dappartenance tous les en-sembles flous des variables dentres et des ensembles flous de la variable de sortie, une valeurnumrique de la variable de sortie en utilisant un ensemble de rgles. Parmi les stratgies dedfuzzification, on cite la mthode du centre de gravit, la mthode du maximum et la mthodede la moyenne des maximums.

La technique du maximum : elle est la plus simple. Elle consiste ne considrer, pour chaquesortie, que la rgle prsentant le maximum de validit. Cette rgle, ignore les rgles se-condaires qui peuvent nanmoins tre importantes pour le fonctionnement et la stabilitdu systme. Elle est par consquent peu employe.

La technique de la moyenne des maximums : elle considre, comme valeur de sortie, la moyennede toutes les valeurs pour lesquelles la fonction dappartenance issues de linfrence estmaximale.

La technique du centre de gravit : plus performante, elle consiste tracer, sur un mme dia-gramme reprsentant les ensembles flous de sortie, les diffrentes zones correspondantes chacune des rgles et calculer le centre de gravit de la zone consolide. La mthodede dfuzzification la plus mentionne dans la littrature est celle de la dtermination delabscisse uGr du centre de gravit de la fonction dappartenance rsultante r(u).

Nous avons introduit les notions de base de la thorie des ensembles flous et de la logiquefloue. Nous pouvons dire que la logique floue ouvre des possibilits remarquables dexploitationdes connaissances des experts. Les applications utilisant la logique floue sont faciles raliseret utiliser.

Dans le cas des situations plus complexes, la capacit de ltre humain produire une re-prsentation et une description de ces systmes est devenue primordiales . Cest ainsi que denouvelles mthodologies ont t dveloppes combinant la logique floue, les techniques de mo-dlisations et les approches de commandes.

1.3 Modlisation floue

Le dveloppement de modles mathmatiques pour les systmes non linaires est un sujetcentral dans plusieurs disciplines des sciences et de lingnierie. Traditionnellement, la modli-sation est vue comme la double conjonction entre la comprhension de la nature et du comporte-ment dun systme ainsi que le traitement mathmatique appropri qui conduisent lobtention

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dun modle utilisable. Le besoin dune forte comprhension des lments physiques de baseconstitue une grande restriction au niveau pratique quand on est confront aux systmes com-plexes ou mal connus.

En effet, la mise en quations des lois qui gouvernent de tels systmes conduit gnralement un modle de connaissance trop complexe et une mise en oeuvre dlicate. Dans ce cas, le re-cours des techniques de modlisation labores partir des mesures dentre/sortie recueilliessur le systme simpose.

Lidentification et la modlisation floues partir de donnes exprimentales sont des outilsefficaces pour approximer les systmes non linaires. Parmi les modles largement utiliss, noustrouvons ceux de Takagi-Sugeno (TS) [Takagi et Sugeno, 1985][Angelov et Filev, 2004]. Lunedes techniques utilises pour construire ces modles est la classification floue [Bezdek et Dunn,1975][Babuska et Verbruggen, 1995] combine aux techniques des moindres carrs [Abonyiet al., 2002].

Dans cette section, nous allons prsenter le principe de la classification floue ainsi que lesdiffrents algorithmes associs, la mthode de construction des modles de Takagi-Sugeno partir des donnes et un tour dhorizon des approches de validation de la qualit de classificationet de la performance de la modlisation.

1.3.1 Concept de la classification floue

Lorsque la connaissance de lexpert nest pas disponible, lidentification dune structuredoit tre faite partir des donnes. Une mthode de classification floue peut alors permettre departitionner lespace des donnes en plusieurs classes. Chacune de ces classes ou rgions flouesest caractrise par un vecteur appel centre de classe.

Lappartenance des donnes un groupe est bas sur la vrification dun degr de similitude.Habituellement, il est calcul en utilisant une mesure approprie de distance qui quantifie ladistance entre les donnes, reprsentes comme des points dans lespace caractristique, et lescentres des groupes.

Lutilisation dun algorithme de classification floue a lavantage essentiel de permettre lagnration automatique des fonctions dappartenance ou des rgions floues partir des donnes.Elles sont construites, en minimisant une fonction cot. Parmi les techniques de classificationfloue les plus utilises, les mthodes dapprentissage supervises et non supervises. Ces der-nires ne demandent aucune connaissance a priori sur la structure des donnes [Babuska, 1998].Leur principal inconvnient est la ncessit dinitialiser les algorithmes par un nombre de classe, paramtre dentre, qui doit tre estim et fix priori [Frigui et Krishnapuram, 1996]. Ce pa-ramtre joue un rle important dans la ralisation dune classification optimale.

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1.3.1.1 Matrice de donnes

Dans les mthodes de classification floue, les donnes sont typiquement des observations(mesures) issues dun certain processus physique. Chaque k-ime observation constitue un vec-teur not par Zk = [z1k,z2k, . . . ,znk] , avec 1 K N, zk Rn , ou N reprsente le nombre desobservations et n correspond au nombre de variables mesures. Un ensemble de N observationsest dnot par Z = {zk, k = 1,2, . . . ,N} et il est reprsent comme tant une matrice donnepar :

Z =

z11 z12 . . . z1Nz21 z22 . . . z2N...

......

...

zn1 zn2 . . . znN

(1.2)

Z sera appele la matrice de donnes.

1.3.1.2 Partition floue

Les algorithmes de classification floue visent raliser un partitionnement dun ensemblede donnes en tablissant une partition floue des observations en un certain nombre de classes.La notion de partition floue, qui sest avre dune grande utilit pour le dveloppement destechniques floues de classification, a t introduite par Ruspini [Rupsini, 1969]. Au sens deRuspini (partition floue stricte), une c-partition floue dun ensemble Z peut tre obtenue endfinissant des c sous-ensembles flous de Z tel que la somme des degrs dappartenance pourchaque observation de Z soit unitaire.

En fait, on associe chaque observation zk Z, un vecteur de degrs dappartenance auxdiffrentes classes. La juxtaposition de ces vecteurs pour lensemble des N observations deZ amne la dfinition dune matrice dappartenance U (de dimension c N ) o llmentik reprsente le coefficient dappartenance de lobservation zk la classe i, i = 1, . . . ,c. Cettematrice tablit une relation dordre floue et traduit lide dune partition floue en c classes.

La matrice dappartenance U = [ik] est galement appele matrice de partition floue etrespecte les proprits suivantes :

U =

11 12 . . . 1 j . . . 1N21 22 . . . 2 j . . . 2N. . . . . . . . . .

i1 i2 . . . i j . . . iN. . . . . . . . . .

c1 c2 . . . c j . . . cN

(1.3)

19


1. la i-me ligne de U , Ui = (i1,i2, . . . ,in) contient les n degrs dappartenance au i-imesous ensemble flou,

2. la j-ime colonne U j = (1 j,2 j, . . . ,c j) contient les c degrs dappartenance du j-imelment de Z au c sous ensembles flous,

3. la somme de tous les degrs dappartenance dune donne zk quelconque tant gale 1,la somme de tous les lments dune mme colonne vaut par consquent 1 :

c

i=1

ik = 1, k {1,2, . . . ,N}, (1.4)

FIGURE 1.3 Principe de la classification floue

Dans la figure (Fig.1.3) , lensemble de donnes est partitionn en deux classes de centresv1 et v2. La matrice de partition rassemble les degrs dappartenance des diffrents points auxdeux classes. La donne zk est une distance d(zk,v1) de la premire classe et d(zk,v2) de ladeuxime. Du fait que d(zk,v1) < d(zk,v2) , le degr dappartenance 1k sera donc suprieur 2k.

1.3.2 Algorithmes de classification floue

Ces algorithmes ont comme paramtre dentre le nombre de classe. Ils partagent lensemblede N objets en c groupes, la similarit lintrieur dun mme groupe est leve, mais faibleentre les diffrentes classes. Pour ce faire, ces algorithmes itrent en deux tapes, dabord ils

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calculent les centres des groupes et ensuite ils assignent chaque objet au centre le plus proche.Chaque classe est caractrise par le centre et par ses lments.

Les algorithmes de classification flou optimisent itrativement un critre de classificationafin dtablir une partition floue dun ensemble de donnes en un certain nombre de classes. Legroupement des donnes est fait partir dune phase dapprentissage en utilisant une mesure desimilitude par lintermdiaire de techniques de classification.

Dans cette section, nous allons prsenter les deux mthodes les plus utilises dans le do-maine de lidentification de structure des systmes : les FCM (C-moyenne floue) classiques d-velopps par Bezdek [Bezdek, 1981] et lalgorithme propos par Gustafson-Kessel (GK) [Gus-tafson et Kessel, 1978]. La premire mthode permet la dtection de classes hypersphriques,tandis que la deuxime dtecte des classes hyperellipsodales, typiquement mieux adaptes lagomtrie des observations.

1.3.2.1 Algorithme des c-moyennes floues(FCM)

Lalgorithme (FCM), issu des travaux de Dunn [Dunn, 1974] et amlior plus tard par Bez-dek [Bezdek, 1981]], constitue une rfrence parmi les diffrentes mthodes de classificationfloue bases sur la minimisation de la fonction objectif de la forme :

JFCM(Z;U,V ) =c

i=1

N

k=1

(ik)mD2ikA (1.5)

o

Z est lensemble des donnes,

U = [ik] est la matrice de partition floue (de dimension c x N ),

V = [v1,v2, . . . ,vc] est le vecteur de centre de classes qui doit tre dtermin, avec vi Rncentre de la i-me classe, 1 < i < c .

D2ikA = zkvi 2A= (zkvi)T A(zkvi), 1 i c, 1 k N est une norme de distancequadratique dans lespace considr, qui dfinit la mesure de distance entre lobservationzk et le centre vi au sens de la mtrique induite par A .

m [1,]est un facteur qui dsigne le degr de flou de la partition.Dans lquation (1.5), la mesure de non-similarit exprime par le terme JFCM(Z;U,V ) est

la somme des carrs des distances entre chaque vecteur de donnes zk et le centre vi de la classecorrespondante. Leffet de cette distance est pondr par le degr dactivation (mik ) correspon-dant au vecteur de donnes zk.

La valeur de la fonction cot JFCM(Z;U,V ) peut tre vue comme une mesure de la variancetotale de zk par rapport aux centres vi .

21


La minimisation de la fonction objective (1.5) nous donne :

ik =1

cj=1

(DikAD jkA

) 2m1

1 i c, 1 k N (1.6)

vi =Nk=1(ik)

mzkNk=1(ik)m

1 i c (1.7)

Le principe de lalgorithme est donn par :

Etant donn lensemble de donnes Z, choisir un nombre de classe 1 < c < N , lexposantm > 1, la tolrance darrt > 0 et la matrice de norme A . Initialiser alatoirement la matricede partition U :

Rpter pour l = 0,1,2, . . .Etape 1 :Calculer les centres des classes :

vli =Nk=1

((l)ik

)mzk

Nk=1(

(l)ik)m 1 i c

Etape 2 :Calculer les distances :

D2ikAi =(

zk v(l)i)T

A(

zk v(l)i)

1 i c,1 k N

Etape 3 :Mettre jour la matrice de partition : Si DikA > 0 pour 1 i c, 1 k N

(l)ik =1

cj=1

(DikAD jkA

) 2m1

Autrement

(l)ik = 0 si DikA < 0, et (l)ik [0,1] avec ci=1

(l)ik = 1

Jusqu U (l)U (l1) < La forme des classes est dtermine par le choix de la matrice A dans lquation. Le choix

particulier A = I, induit la norme Euclidienne standard :

D2ikA = (zk vi)T (zk vi) (1.8)

22


dans ce cas les classes dtectes ont des formes sphriques.

1.3.2.2 Algorithme de Gustafson-Kessel(GK)

En 1979, Gustafson et Kessel [Gustafson et Kessel, 1978] ont gnralis lalgorithme FCMen employant une norme de distance adaptative dans le but de dtecter des classes de diffrentesformes gomtriques dans un ensemble de donnes. Dans ce cas, chaque classe possde sapropre matrice de norme, ce qui entrane :

D2ikA = zk vi 2A= (zk vi)T Ai(zk vi) (1.9)

On suppose que la matrice Ai vrifie lhypothse :

| Ai |= i,i > 0 (1.10)

o i est fix pour chaque classe.Dans ce cas, loptimisation de (1.5) nous donne lexpression suivante pour Ai :

Ai = [idet(Fi)]1n F1i (1.11)

o Fi est la matrice de covariance floue de la i-ime classe donne par :

Fi =Nk=1 (ik)

m (zk vi)(zk vi)TNk=1(ik)m

(1.12)

ce qui nous mne lalgorithme de (GK) suivant :

Etant donn lensemble de donnes Z , choisir un nombre c de classes 1 < c < N , lexposantm > 1, la tolrance darrt > 0 et la matrice de norme A . Initialiser alatoirement la matricede partition U :

Rpter pour l = 1,2, . . .Etape 1 :Calculer les centres des classes :

vli =Nk=1

((l1)ik

)mzk

Nk=1(

(l1)ik)m 1 i c

Etape 2 :Calculer les matrices de covariances des classes :

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Fi =Nk=1

( l1ik

)m(zk v(l)i )(zk v(l)i )T

Nk=1(ik)m1 i c

Etape 3 :Calculer les distances :

D2ikAi =(

zk v(l)i)T [

(idet(Fi))1n F1i

](zk v(l)i

)1 i c,1 k N

Etape 4 :Mettre jour la matrice de partition :

Si DikAi > 0 pour 1 i c, 1 k N

(l)ik =1

cj=1

(DikAiD jkAi

) 2m1

Autrement

(l)ik = 0, si DikAi < 0, et (l)ik [0,1] avec

c

i=1

(l)ik = 1

Jusqu U (l)U (l1)

Lavantage de lalgorithme de GK par rapport lalgorithme FCM est sa capacit de dtec-ter des classes possdant des formes et des orientations diffrentes dans un seul ensemble dedonnes comme le montre la figure (Fig.1.4).

FIGURE 1.4 (a) Classe sphrique dtectable par les algorithmes FCM et GK, (b) Classe Ellip-tique dtectable seulement par lalgorithme GK

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1.3.3 Construction de modles TS partir des donnes

Dans le cadre de la modlisation floue des systmes, lintrt porte sur lobtention des mo-dles Takagi-Sugeno qui permettent une dcomposition dun systme non linaire en un en-semble de sous systmes linaires. Nous abordons ainsi une description dune mthodologiegnrale pour la construction des modles flous du type TS, en mettant laccent sur les besoinscommuns qui sont : la gnration des fonctions dappartenance et lobtention des paramtresdes consquents.

1.3.3.1 Slection de la structure

Lobjectif de cette tape est la dtermination des entres et sorties prpondrantes par rap-port au but final de la modlisation. Quand il sagit de lidentification des systmes dynamiques,il faut choisir la structure et lordre du modle dynamique. Pour le cas des systmes non li-naires, cela seffectuera en deux tapes :

Une tude hors ligne pour dterminer le modle linaire. Une tude en ligne pour adapter les paramtres du modle.

1.3.3.2 Classification des donnes

La slection de la structure conduit un problme de rgression non linaire statique, quiest alors approxime par une collection de sous modles linaires locaux. La localisation et lesparamtres des sous modles sont tablis en partitionnant les donnes disponibles en classes.Chacune des classes dfinie une rgion floue dans laquelle le systme peut tre approximlocalement par un sous modle linaire. Dans le cas des algorithmes (FCM), lestimation desparamtres des sous modles linaires affines fait parti du processus de classification. Par contre,dans le cas de lalgorithme de GK, lobtention des paramtres des consquents du modle TScorrespondant est faite lors dune tape postrieure au processus de la classification. Dautrepart, il faut remarquer aussi que pour ces algorithmes, lutilisateur doit dfinir lavance lenombre c de classe. Ce nombre reste constant pendant toute la dure dexcution de lalgo-rithme.

1.3.3.3 Gnration des fonctions dappartenance des antcdents

Les fonctions dappartenance des antcdents peuvent tre obtenues en calculant les degrsdappartenance directement dans lespace produit des variables de lantcdent. Elles peuventaussi tre extraites partir de la matrice de partition floue U en appliquant le mcanisme deprojection sur ces variables.

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FIGURE 1.5 Illustration du mcanisme de projection

Gnration par projectionLe principe de cette mthode est de projeter pour chaque rgle, les ensembles flous dfinis

point par point dans la matrice de partition floue U sur les variables individuelles des antc-dents. On projette donc la matrice de partition floue sur chacun des axes des variables (i.e., surles rgresseurs).

La figure(Fig.1.5) illustre le mcanisme de projection dun ensemble flou A1 de dimension2, sur les deux axes des antcdents x1 et x2.

Gnration par ParamtrisationUne dfinition point par point de lensemble flou Ai j est obtenue en projetant la i-ime

ligne i de la matrice de partition floue U sur la variable x j de lantcdent. Afin dobtenir unmodle dans un but de prdiction ou de commande, les fonctions dappartenance de lantcdentdoivent tre exprimes sous une forme qui permet le calcul des degrs dappartenance, mmepour des donnes dentre non contenues dans lensemble des donnes Z. Cela est ralis enapproximant la fonction dappartenance dfinie point par point par une fonction paramtriqueapproprie [Babuska, 1998].

La figure (Fig.1.6) montre le mcanisme de projection pour la cas dun ensemble de donnespartitionn en deux classes de centres v1 et v2.

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FIGURE 1.6 Approximation des donnes projetes par une fonction dappartenance param-trique.

1.3.3.4 Obtention des paramtres des consquents

Les paramtres des consquents peuvent tre tablis par la technique des moindres carrs ,en utilisant comme facteurs de pondration des donnes les degrs dappartenance de la matricede partition floue U issus du processus de classification. Cette approche conduit une formu-lation de c problmes indpendants de type moindres carrs pondrs dans laquelle les degrsdappartenance expriment limportance de la paire de donnes (xk,yk) par rapport chaquei-me sous modle linaire local yi = ai +di, avec 1 i c .

Les donnes didentification entre-sortie Zk = [zTk ,yk]T , avec 1 k N, et les degrs

dappartenance ik de la matrice de partition floue sont regroups dans les matrices suivantes :

X =

xT1xT2...

xTN

, y =

y1y2...

yN

, Wi =

i1 0 . . . 00 i2 . . . 0...

... 00 0 . . . iN

(1.13)

Les paramtres des consquents ai et di appartenant la rgle correspondant la i-meclasse sont concatns dans un seul vecteur de paramtres i , donn par :

i = [aTi ,di]T (1.14)

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Afin de faciliter le calcul, la matrice de rgression X est augmente en ajoutant un vecteur-colonne unitaire, selon lexpression :

Xe = [X,1] (1.15)

Si les colonnes de Xe sont linairement indpendantes et ik > 0 pour 1 k N , alors lasolution des moindres carrs de y = Xe + , o la k-me paire de donnes (xk,yk) est pondrepar ik , est donne finalement par lexpression :

i =(XTe WiXe

)1 XTe Wiy (1.16)

Les paramtres ai et di sont donns respectivement par :

ai = [1,2, . . . ,p], di = p+1 (1.17)

1.3.4 Modle flou de Takagi-Sugeno

Le modle flou Takagi et Sugeno (TS) [Takagi et Sugeno, 1985] est structur comme uneinterpolation de systmes linaires. Il est prouv que les modles flous TS sont des approxima-teurs universels [Buckley, 1992][Castro, 1995]. Le modle de TS est, comme celui de Mam-dani, construit partir dune base de rgles Si. . . Alors. . . , dans laquelle si la prmisse esttoujours exprime linguistiquement, le consquent utilise des variables numriques plutt quedes variables linguistiques. Le consquent peut sexprimer par exemple, sous la forme duneconstante, dun polynme ou de manire plus gnrale dune fonction ou dune quation diff-rentielle dpendant des variables associes lantcdent. Dune manire gnrale, un modlede type TS est bas sur une collection des rgles Ri du type :

Ri : Si x est Ai Alors yi = fi(x) i = 1, . . . ,r (1.18)

o Ri dnote la i-me rgle du modle et r est le nombre de rgles que contient la base dergles. xRp est la variable dentre (antcdent) et yR est la variable de sortie (consquent).Ai est le sous-ensemble flou de lantcdent de la i-me rgle, dfinie, dans ce cas, par unefonction dappartenance multivariable de la forme :

Ai(x) : Rp [0,1] (1.19)

Comme dans le modle linguistique, la proposition de lantcdent x est A est nor-malement exprime comme une combinaison logique de propositions simples avec des sous-

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ensembles flous unidimensionnels dfinis pour les composants individuels du vecteur x, usuel-lement dans la forme conjonctive suivante :

Ri : Si x1 est Ai1 et x2 est Ai2 et . . . et xp est Aip Alors yi = fi(x) i = 1, . . . ,r (1.20)

Typiquement les fonctions fi sont choisies comme des fonctions paramtres appropries,avec la mme structure pour chaque rgle o seuls les paramtres varient. Une forme de para-mtrisation souvent utilise est la forme affine, donne par :

yi = aTi x+di (1.21)

o ai Rp est un vecteur de paramtres et di est un scalaire. Ce modle est appel le modleaffine TS. Les conclusions des rgles dans ce modle sont alors des hyperplans (sous-espaceslinaires p-dimensionnels) dans lespace Rp+1.

Ainsi, en modlisation floue des systmes, lantcdent de chaque rgle dfinit une rgionfloue de validit pour le sous modle correspondant du consquent. Le modle global est com-pos par la concatnation des modles locaux (linaires) et peut tre vue comme une approxi-mation par morceaux dune surface non linaire correspondant la sortie du systme.

Avant de pouvoir infrer la sortie, il faut calculer dabord le degr daccomplissement i(x)de lantcdent. Pour les rgles avec des sous-ensembles flous multivariables dans lantcdent,le degr daccomplissement est simplement gal au degr dappartenance de lentre multidi-mensionnelle x ; cest--dire i = Ai(x) . Quand des relations logiques sont utilises, le degrdaccomplissement de lantcdent est calcul comme une combinaison des degrs dapparte-nance des propositions individuelles en utilisant les oprateurs de la logique floue.

Dans la modlisation TS, lobtention de la sortie du modle est ralise partir dune com-binaison des oprations dinfrence et de dfuzzification. La sortie finale se calcule comme lamoyenne des sorties correspondants aux rgles Ri , pondres par le degr daccomplissementnormalis, selon lexpression [Takagi et Sugeno, 1985] :

y = ri=1 i(x)yiri=1 i

(1.22)

En notant i le degr daccomplissement normalis conformment lexpression :

i =i(x)yiri=1 i

(1.23)

le modle affine TS, avec une structure commune du consquent, peut tre exprim comme

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un modle linaire avec des paramtres dpendants des entres :

y = (r

i=1

i(x)aTi )x+r

i=1

i(x)di = aT (x)+d(x) (1.24)

Dans le cas des modles dynamiques affines Takagi-Sugeno en temps discret sous la formenon linaire Auto-Rgressive avec entre exogne (NARX), la relation entre les valeurs prc-dentes des entres et sorties avec la sortie prdite y(k +1) est tablie de la manire suivante :

y(k +1) = f (y(k), . . . ,y(kny +1),u(k), . . . ,u(knu +1)) (1.25)

o k dnote linstant dchantillonnage, ny et nu sont des entiers lis lordre du systme. Unefois que la structure approprie est tablie, la fonction f peut tre approxime en utilisant unergression statique non linaire, correspondant dans notre cas au modle flou de type TS.

Dans le modle NARX, Le vecteur de rgression est compos par un certain nombre den-tres et de sorties prcdentes :

x = [y(k), . . . ,y(kny +1),u(k), . . . ,u(knu +1)]T

avec y(k + 1) est la sortie prdite. Pour le cas des systmes avec retard pur entre lentre et lasortie peut tre directement incorpor sur le vecteur de rgression sous la forme donne par :

x = [y(k), . . . ,y(kny +1),u(knd +1), . . . ,u(kndnu +2)]T

o nd est une valeur entire du retard en nombre dchantillons. Par simplicit, nous prenonspar la suite nd = 1.

Dans ce cas, les rgles du modle dynamique TS prennent la forme :

Ri : Si y(k) est Ai1 et y(k1) est Ai2 et . . . et y(kny +1) est Ainyet u(k) est Bi1 et u(k1) est Bi2 et . . . et u(knu +1) est BinyAlors yi(k +1) =

nyj=1 ai jy(k j +1)+nuj=1 bi ju(k j +1)+di i = 1, . . . ,r

(1.26)

La sortie globale du modle est calcule partir de lexpression :

y(k +1) =r

i=1

i(k)yi(k +1) (1.27)

Dans laquelle i(k) [0,1] est le degr daccomplissement normalis et ri=1 i(k) = 1 .En plus de la reprsentation des structures entre-sortie les plus frquentes, les modles

30

1.4. Conception dune commande floue

flous dynamiques de type Takagi-Sugeno peuvent aussi reprsenter les systmes non linairessous la forme despace dtat.

Un exemple dune reprsentation base sur des rgles dun systme non linaire dans les-pace dtat continu est le modle dynamique Takagi-Sugeno suivant :

La ime rgle du modle scrit :

Ri : Si z1 est Fi1 et . . . et zp est Fip Alors

{x(t) = Aix(t)+Biu(t)y(t) = Ci(t)

i = 1, . . . ,r (1.28)

Fi j est lensemble flou. x(t) Rn reprsente le vecteur dtat, u(t) Rm est le vecteur descommandes, y(t) Rq est le vecteur de sortie du systme, Ai Rnn est la matrice dtat,Bi Rnm, est la matrice dentre du systme, Ci Rqn est la matrice de sortie et z1(t) . . .zp(t)sont les prmisses fonctions de ltat.

Pour une paire (y(t),u(t)) donne, linfrence du systme flou est donne par :

{x(t) = ri=1 i(z(t))(Aix(t)+Biu(t))y(k) = ri=1 i(z(t))Cix(t)

(1.29)

1.4 Conception dune commande floue

La thorie dapproximation universelle garantit la possibilit de modliser la dynamiquedes systmes non linaires par des systmes flous. Ces derniers sont utiliss pour concevoirdes contrleurs flous. Reste quune des proprits fondamentales de la commande, savoir lastabilit, doit tre assure.

Diffrentes mthodes ont t proposes pour laborer la stratgie de commande adquate.Le choix de la commande dpend du systme et son interaction avec lenvironnement. Parmi lescommandes les plus utilises on retrouve : commande par modle de rfrence, par placementde ples, par minimisation dun critre quadratique ainsi que celles que nous avons utilisesdans ce mmoire, savoir, par mode glissant, les mthodes H et LMI [Lagrat et al., 2006],commande dcentralise [Errahmani et al., 2007], et la commande adaptative [Lagrat et al.,2008][Lagrat et al., 2007a].

La figure (Fig.1.7) illustre le principe dintgration dun contrleur flou pour la commandedun procd non linaire. La description des blocs constituant le contrleur flou est dcritedans la section(cf.1.2.5).

31

1.4. Conception dune commande floue

FIGURE 1.7 Structure gnrale de la commande dun processus par un contrleur flou.

1.4.1 Commande adaptative

La commande adaptative permet de maintenir les performances quand la dynamique dusystme commander varie dans le temps. Les paramtres sont adapts de manire poursuivrele systme dans son volution [Babuska et Verbruggen, 1997][Kim et al., 1997].

Il est noter que les proprits de stabilit, de convergence et de robustesse des algorithmesdadaptation doivent tre convenablement choisies en fonction des circonstances et de lenvi-ronnement dans lequel seffectue lexprience [Landau et Karimi, 1997][Lagrat et al., 2007a].

Deux types de commande sont possibles : La commande indirecte

Cette approche seffectue en deux tapes : Estimation des paramtres du modle, Calcul des paramtres du contrleur partir des paramtres estims.

La commande directeElle conduit directement lestimation des paramtres de la loi de commande. Ce typede schma est obtenu en rcrivant le modle du processus en fonction des paramtres dela loi de commande.

1.4.2 Commande par lapproche mode de glissement

La mise en oeuvre de la commande par mode glissant est base sur trois tapes. La premireconsiste choisir la surface de glissement qui permet dassurer la convergence, la deuximetablie la condition dexistence du mode de glissement et la dernire tape dtermine la loi de

32

1.5. Conclusion

commande qui aura pour rle de maintenir les conditions de glissement (attractivit). Choix de la surface de glissement

Soit la surface de glissement (x, t) = 0 dfinie dans lespace dtat Rn par :

(x, t) = e(n1) + kn1e(n2) + . . .+ k2e+ k1e (1.30)

Les coefficients ki, i = 1,2, . . . ,n 1, sont choisis de telle sorte que toutes les racinesdu polynme S = sn1 + kn1sn2 + . . .+ k1s, se trouvent dans le demi-plan gauche delespace complexe afin de garantir la convergence asymptotiquement vers zro de ler-reur de poursuite e(t). Le problme de la poursuite ncessite la conception dune loi decommande qui assure : (x, t) = 0 pour t 0.

Condition dexistence dune surface de glissementLtude de lexistence du mode de glissement est base sur la mthode de Lyapunov. Afinde garantir lattractivit de la surface (x, t) = 0, on considre une fonction de LyapunovV dfinie positive :

V =12

2 (1.31)

Une condition suffisante pour que le systme soit stable est :

V = . | | (1.32)

o > 0 Synthse de la loi de commande

La loi de commande par mode de glissement est donne par lquation suivante :

us =kdsign() (1.33)

kd est une constante positive qui reprsente le gain de la commande.La fonction sign() est dfinie comme suit :

sign() =

1 Si > 00 Si = 01 Si < 0

(1.34)

1.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons donn un aperu gnral sur les fondements de la logique flouetout en dcrivant les algorithmes permettant la modlisation dun systme non linaire, affects

33

1.5. Conclusion

de perturbations et qui peut tre dynamique inconnues, par le modle de TS. Une extension aucas multivariable a t prsente accompagne par le principe de dtermination des fonctionsdappartenance. Par la suite, un tour dhorizon sur les approches de classification des donnesa t prsent, ce qui nous permettra au niveau du chapitre 3, de faire des comparaisons avecntre contribution. Enfin, laccent a t mis sur la commande floue des systmes non linaireset les hypothses restrictives laccompagnant. Tous ces outils, serviront pour la description destravaux que nous allons aborder dans la suite.

34

Chapitre 2Identification des Systmes Non Linaires base de Modles de type TS

2.1 Introduction

Les modles de Takagi-Sugeno (TS) sont souvent utiliss pour approximer les systmes nonlinaires. Les algorithmes didentification par les moindres carrs combins aux techniques declassification des donnes entres sorties sont la base de cette approximation surtout lorsquelinformation sur le systme non linaire nest pas disponible ou mal connue.

Dans ce chapitre, nous prsentons deux stratgies de classification :La premire concerne les systmes MIMO. Il sagit en fait, de dcomposer le systme

MIMO en un sous ensemble de systmes MISO, ce qui permettra de rduire la complexitde lapproche globale en tenant compte de tous les effets perturbateurs, savoir ; le couplagecrois, les non linarits et les perturbations externes. Lapplication de cette technique au casmonovariable est directe et ne pose aucun problme.

La modlisation floue est donc la reprsentation du comportement du systme en utilisant lesconcepts de la logique floue. Il sagit dun ensemble de rgles Si-Alors, de chaque rgle rsulteun modle localement linaire et le modle global est obtenu par agrgation des modles locaux.Il est noter que dans le cas de Takagi-Sugeno, les consquences des rgles sont des fonctionsordinaires.

La deuxime est introduite dans le sens de rduire le nombre de classes et donc de modleslocaux. Cette rduction entranera automatiquement une rduction du nombre de paramtres estimer et par consquent nous permettra dviter la lourde charge des calculs. Cependant, Ladtermination du nombre optimal de classes se fait dune faon exprimentale tout en effectuantun ensemble de tests comparatifs sur le facteur qualit de la classification et sur lerreur de

35

2.2. Identification dun systme MIMO

modlisation. La stratgie propose est simple et ne ncessite pas de passer par les approchesclassiques de validation. Elle consiste reprsenter dabord lensemble des donnes par unefonction polynomiale dcrivant lallure approche de ces donnes. Le degr optimal de cettefonction est facilement dtermin partir de la formule propose. Lalgorithme doptimisationdu nombre de classe que nous proposons [Ouakka et Boumhidi, 2009](Annexe F) est dcrit endtail dans la suite de ce chapitre et les rsultats de simulation obtenus, pour une classe dessystmes non linaires monovariables, montre bien quils rpondent lobjectif principal derecherche dune structure optimale modlisant ce type de systmes.

2.2 Identification dun systme MIMO

Afin de rduire la complexit des systmes MIMO (Multi entres multi sorties), la dcom-position de ces derniers en sous systmes MISO (Multi entres mono sortie) est une approchequi permet dune part dviter la lourde charge de lapproche globale et dautre part la facilitde mise en oeuvre des schmas de commande de ces systmes [Lagrat et al., 2007b].

Par leur qualit dapproximateur universel, lidentification floue base de modles de Takagi-Sugeno, permet de transformer ces systmes non linaires en un ensemble de systmes linaires.

2.2.1 Reprsentation des systmes MISO

Considrons un systme MIMO n entres et n sorties. Aprs dcomposition, chaque sys-tme MISO sera dcrit par :

yi(k +1) = fi(x(k)), i = 1,2, . . . ,n. (2.1)

avec le vecteur de rgression donn par :

xi(k) = [{yi(k)}n0,{ui(kdii)}n0,{u1(kd1i)}n0, . . . ,{un(kdni)}n0]

o k dnote lchantillon du temps discret, n est un entier relatif lordre du systme et di jest le retard pur.

Les systmes MISO sont identifis indpendamment, pour des raison de simplification de lanotation, lindex i sera ignor.

La sortie du systme scrit :

y(k +1) = Ay(k)+Bu(k)+ (2.2)

est une constante.

36


La fonction inconnue f (.) est approxime par un modle flou de Takagi-Sugeno. Par ap-plication de lalgorithme GK, lespace des donnes est divis en un ensemble de zones floues,dcrites dans notre cas par des fonctions dappartenance gaussiennes, tandis que les partiesconsquentes dcrivent le fonctionnement du systme dans ces zones. La base de rgle pour lesystme MISO devient :

Rl : Si x(k) est l Alors yl(k +1) = Aly(k)+Blu(k)+l, l = 1,2, . . . ,K. (2.3)

l est lensemble floue antcdent de la l me rgle, Al = [Al1, . . . ,Aln] et Bl = [Bl1, . . . ,Bln]sont les vecteurs des deux polynmes Al et Bl , K est le nombre de rgles.

La rgle (2.3) peut alors scrire :

Rl : Si x1(k) est l1 et . . .et xp(k) est l p Alorsyl(k +1) = Aly(k)+Blu(k)+l, l = 1,2, . . . ,K.

(2.4)

ou p = 2n2 +1.La sortie du modle TS est alors value par :

y(k +1) = Ki=1 i(x(k))yi(k +1)

Ki=1 i(x(k))(2.5)

En posant

j(x,ci,i) = j(x(k))

Ki=1 i(x(k))(2.6)

o j(x,ci,i) est la fonction de validation de la fonction gaussienne ayant comme paramtres

les centres ci et les variances i.

i(x(k)) = exp(1

2(xi ci1)2

2i1

). . .exp

(12

(xp cip)22ip

)(2.7)

La formule (2.5) devient :

y(k +1) =K

i=1

yi(k +1) j(x,ci,i) (2.8)

Lidentification des systmes MISO est gnralement ralise en deux tapes : la premireseffectue, hors ligne, pour dterminer les paramtres des antcdents ( le cas dune fonc-tion gaussienne le centre ci et la variance i) et les paramtres linaires des consquents. La

37


deuxime tape, en ligne, ralise ladaptation des paramtres des modles locaux par lalgo-rithme des moindres carres rcursifs.

2.2.2 Identification hors ligne du modle flou

Lensemble des donnes, not Z, est construit par la concatnation de la matrice de rgres-sion X et du vecteur rgressant Y :

X =

. . .

x(k). . .

x(N1)

, Y =

. . .

y(k). . .

y(N1)

, ZT =[

X Y]

(2.9)

N est le nombre dobservations.En appliquant la classification floue, lensemble de donnes Z sera partitionner en Nc sous

ensembles flous . Il existe plusieurs algorithmes ralisant cette opration, le C-means, lalgo-rithme Gatha-Geva [Abonyi et al., 2002] et lalgorithme (GK) que nous utiliserons dans lasuite.

Les valeurs dappartenance des donnes aux groupes seront dcrites par une matrice departition floue U = [ik]NcN , o ik [0,1] reprsente le degr dappartenance de lobservationxk au groupe i. Chaque groupe est caractris par un centre ci, C = [c1, . . . ,cNc] est le vecteurdes centres. Et une matrice de covariance, F = [F1, . . . ,FNc], dcrivant la variance des donnesdans le groupe Fi.

Les fonctions dappartenance type gaussienne choisies dans le cadre de ce chapitre, sontdonnes par :

i j(x j(k)) = exp

(12

(x j c2i j)2i j

)(2.10)

Les paramtres des consquents i = [Ai,Bi,Ci] sont estims sparment par lalgorithmedes moindres carres rcursifs en minimisant la fonction objective suivante :

mini1N

[Y i]T Qi[Y i] (2.11)

o = [X1] est la matrice de rgression augmente en ajoutant un vecteur-colonne unitaire etQi est une matrice contenant les valeurs des fonctions de validits i du ime local linaire

38


modle de chaque groupe de donne.

Qi =

i(x(1),ci,i) 0 . . . 00 i(x(2),ci,i) . . . 0...

......

...

0 0 . . . i(x(N),ci,i)

(2.12)

Lestimation par les moindres carres des paramtres consquents, (i = [Ai,Bi,i]) est don-ne par :

i = [ T Qi ]1 T QiY (2.13)

2.2.3 Adaptation en ligne du modle flou

Dans le cas des systmes non linaires multivariables, ladaptation en ligne est ncessairepour obtenir un modle capable de poursuivre le systme dans son volution. Il en rsulte unmodle TS dcrit par :

yi(k +1) = Ai(k)y(k)+Bi(k)u(k)+i(k) (2.14)

Pendant cette phase dadaptation, les paramtres des antcdents restent fixes, seuls les pa-ramtres consquents sont adapts.

Pour chaque jme modle localement linaire, les nouveaux paramtres estims j(k) sontdonns linstant k par :

j(k) = j(k1)+ j(k)(y(k) T (k)( j(k1)) (2.15)

j(k) =Pj(k1) (k)

T (k)Pj(k1) (k)+/ j( (k),c j, j) (2.16)

Pj(k) =1

[I j(k) T (k)]Pj(k1) (2.17)

2.2.4 Simulation

Considrons un systme MIMO deux entres et deux sorties dcrit par :

A1(q1)y1(t) = qd11B11(q1)Z1(t)+qd12B12(q1)Z2(t)A2(q1)y2(t) = qd22B22(q1)Z2(t)+qd21B21(q1)Z1(t)

(2.18)

o q1 est loprateur retard dfini par : q1x(t) = x(t1).

39


y(t) R2 et Z(t) R2 sont respectivement, la sortie, lentre non linaire et le vecteurperturbation.

Avec

A = [A1A2]T =

[0.1q1

0.2q1

]B =

[B11 B12B21 B22

]=

[1+0.5q1 0.05q1

0.3q1 1+0.8q1

]

d11 = 1, d12 = 0, d21 = 0, d22 = 1Z1(t) = 2u1(t)+u21(t)Z2(t) = u22

dii et di j sont respectivement, les retards entre lentre ui(t) et la sortie yi(t), et entre lentreu j(t) et la sortie yi(t).

FIGURE 2.1 Comparaison des rponses y1(t) et y2(t) ( ligne continue) et les modles flouscorrespondants( ligne discontinue)

La procdure didentification est ralise par lensemble de donnes des entres u1(k) etu2(k), gnres alatoirement et uniformment rparties dans lintervalle [-1 1]. Lalgorithme declassification initialis par un nombre de classes c = 3, dtermine les paramtres des antcdents(U,C,F) ainsi que les paramtres consquents des modles locaux linaires. La figure (Fig.2.1)prsente une comparaison entre les sorties du systme et les modles flous correspondants. Onremarque que les deux modles TS suivent correctement lallure des sorties y1 et y2

La deuxime exprience consiste tester la validation du modle floue. Deux signaux carrede priode T = 15 ont t appliqus aux entres u1(t) et u2(t). La figure (Fig.2.2) illustre lesrponses obtenues par le systme et le modle flou identifi par lalgorithme GK sans adapta-tion des paramtres. On constate que lerreur de modlisation entre les sorties est relativement

40


FIGURE 2.2 Phase de validation : comparaison des rponses du systme (ligne discontinue) etles modles flous (ligne continue)

FIGURE 2.3 Phase dadaptation des paramtres : comparaison des rponses du systme (lignediscontinue ) et les modles flous (ligne continue )

grande.Afin de pallier ce problme, nous avons procd ladaptation des paramtres par lap-

plication de lalgorithme des moindres carres rcursifs avec un facteur doubli = 0.99. Lafigure (Fig.2.3) montre quau bout dun certain nombre ditrations, les sorties des modlesflous suivent presque les sorties y1(t) et y2(t).

Les figures (Fig.2.4) et (Fig.2.5) donnent lvolution des paramtres des modles flous TS.On remarque que ces paramtres convergent vers les vraies valeurs aprs un certain nombreditrations qui correspond au rgime transitoire.

41

2.3. Mthodes de validation dune structure optimale

La structure des deux sous systmes MISO est dfinie de la faon suivante :

y1(k) = a111(k)y1(k1)+b121(k)u1(k1)+b112(k)u1(k2)+b122(k)u2(k1)+C111

y2(k) = a221(k)y2(k1)+b211(k)u1(k1)+b212(k)u2(k1)+b122(k)u2(k2)+C111

FIGURE 2.4 Evolution des paramtres pour la sortie y1

FIGURE 2.5 Evolution des paramtres pour la sortie y2

2.3 Mthodes de validation dune structure optimale

Les algorithmes de classification partitionnent lespace de donnes en un nombre de classescaractrisant les zones de fonctionnements du systme. La qualit du modle obtenu dpenddu nombre de zones reprsentatives du systme. Un nombre lev de classes gnre un modlecorrect mais souvent complexe de point de vue nombre de paramtres et donc de calcul. En

42


revanche, si on se contente dun nombre trs faible de classes, le modle serait imprcis [kaymaket Babuska, 1995]. Pour le cas particulier des deux algorithmes FCM et GK souvent utilisspour lidentification des modles TS, le nombre de classes, paramtre dinitialisation, doit tredtermin et fix lavance [Abonyi et al., 2002][Sun et al., 2004].

Le problme de dtermination du nombre optimal de classe est devenu un sujet de rechercheet plusieurs mthodes ont t proposes dans la littrature. Dune manire gnrale, on peut lesclasser en trois catgories :

Mthodes doptimisation bases sur la minimisation dune fonction cot intgre dans lesalgorithmes de classification.

Mthodes dvaluation de la qualit de partitionnement bases sur les performances desindices de classification.

Mthodes utilisant les critres numriques pour estimer lerreur de modlisation.

2.3.1 Algorithmes doptimisation

La plupart des algorithmes de classification existants dans la littrature ralisent la classifi-cation soit par la mthode hirarchique ou par partition.

Les algorithmes hirarchiques procdent une dcomposition hirarchique des donnes,en gnrant une squence de partitions arborescentes. Selon le principe de fonctionne-ment, ces algorithmes peuvent tre diviss leur tour en deux catgories figure (Fig.2.6).

1. Les algorithmes agglomratifs commencent par un grand nombre de classes indivi-duelles et progressivement les fusionnent selon une mesure de distance. La classi-fication peut sarrter quand toutes les donnes sont dans un seul groupe ou bien nimporte quel point intermdiaire dsir. Ces mthodes suivent une stratgie defusion de classes de type constructive [Kukolj et Levi, 2004][Tsekouras, 2005].

2. Les algorithmes par division suivent la stratgie oppose. Ils commencent par ungroupe qui contient toutes les donnes et progressivement le groupe est divis engroupes plus petits jusqu atteindre la situation limite dans laquelle chaque don-ne constitue un groupe, ou bien avant cette limite, selon lobjectif [Tafazoli et al.,2006][Tsekouras et al., 2005].

Cependant, ces techniques hirarchiques souffrent du fait quune fois quune fusion ouquune division est faite, elle ne peut pas tre dfaite ou raffine.

Les algorithmes de classification par partition, ils diffrent des techniques hirarchiquesdans le fait quils admettent la relocation es donnes dans les classes (dans le processusitratif, les donnes peuvent se dplacer dune classe une autre). Cela permet quunepartition initiale mal estime, puisse tre corrige une tape postrieure. La formulation

43


FIGURE 2.6 Mthodes doptimisation du nombre de classes

de ces algorithmes est base sur lutilisation dune fonction objective (critre de classifica-tion) pour tablir itrativement une partition floue approprie dun ensemble de donnes.Des algorithmes doptimisation non linaires sont utiliss pour chercher lextremum localdune telle fonction. Le principal inconvnient de lapproche par partition est la nces-sit dinitialiser lalgorithme par le paramtre nombre de classe [Frigui et Krishnapuram,1996].

2.3.2 Indices dvaluation de la qualit dune partition

Diffrents indices bass sur lanalyse de la dispersion et la distance entre les classes ontt proposs dans la littrature pour dterminer la qualit dune partition. Quelques indicesde validation standards sont prsents dans [Maulik et Bandyopadhay, 2002][C.Franco et al.,2002][Alexiuk et Pizzi, 2004]. La performance de la plupart des indices dpend du but de laclassification (identification de modles TS, traitement dimage, diagnostics ...etc.) ainsi que la

44


nature des algorithmes utiliss [Hadad et al., 2006][Young et al., 2004].Une fonction de validit a pour but dattribuer, une partition donne, un coefficient qui

reflte la qualit de la classification obtenue laide de lalgorithme utilis. Dans le cas desalgorithmes FCM et GK, par exemple, en valuant ces coefficients pour diffrents choix de va-leurs de c, on peut identifier les valeurs optimales de ce paramtre qui correspond une partitionreproduisant au mieux la structure des donnes traites. Dans le cas gnral, une partition estdautant meilleure que les lments attribus une classe donne sont plus proches du centrede cette classe.

Parmi les coefficients qui donnent une ide sur la qualit de la classification, pour un pointxk donn partir de ses c degrs dappartenance ik, on retrouve :

sk =c

i=1

(ik)2, (2.19)

ek =c

i=1

ik. ln ik, (2.20)

Une mesure globale de la validit de la partition est le coefficient de partition qui nest autreque la moyenne, sur tous les vecteurs xk, des quantits sk :

PC =nk=1

ci=1(ik)2

n(2.21)

Thoriquement, la classification est dautant plus satisfaisante que le coefficient de partition estlev, et donc, plus proche de 1. Cet indicateur mesure la sparation des classes et dtermine ledegr de chevauchement des partitions [Bezdek, 1981][Trauwaert, 1988].

Une autre mesure globale est lentropie moyenne de la partition [Bezdek, 1974a][Bezdek,1974b]. Elle est similaire au coefficient de partition prcdent dans le sens que cette mesure estassocie au degr du flou de la partition. Le critre est donn par lexpression suivante :

CE(c) =1n

c

i=1

n

j=1

2i j (2.22)

En gnral cet indicateur est significatif pour une valeur minimale.Pour lIndex de partition (CIP) [Bensaid et al., 1996], il tient compte du rapport de la com-

pacit et la sparation des classes, il est donn par :

CIP =c

i=1

Nk=1(ik)m xkvi 2

i .cj=1 vjvi 2(2.23)

Ce critre est utile aussi pour la comparaison de diffrentes partitions avec le mme nombre

45

2.4. Identification optimale des modles Takagi-Sugeno

de classes. Une valeur faible du critre CIP indique une meilleure partition.La dtermination de ces indices est ralise par la Fuzzy Clustering and Data Analysis Tool-

box [Abony, 2003]. Cette bote outils offre trois principales catgories de fonctions implmen-tes sous MATLAB : les diffrents algorithmes classification ( FCMclust, GKclust, GGclust ),la visualisation graphique des rsultats de classification et le calcul des valeurs des diffrentscritres de validation .

2.3.3 Validation numrique du modle flou

Pour valuer la qualit de lapproximation (performance numrique) obtenue par les mo-dles flous Takagi-Sugeno, nous utilisons le critre suivant :

La mesure VAF :Pourcentage de la varianceIntroduit par [Babuska et al., 1998], ce critre permet dvaluer en pourcentage, la qualit

dun modle en mesurant lcart normalis de la variance entre deux signaux. Sa valeur optimaleest 100% quand les deux signaux sont gaux, plus ils sont diffrents, plus sa valeur devientfaible. Le critre VAF est donn par lexpression (2.24) :

VAF = 100%[

1 var(y y)var(y)

](2.24)

La dtermination de cet indice est ralis par la FMID toolbox (Fuzzy Modelling and Iden-tification ). Cette boite outils, base sur des fonctions MATLAB, permet lidentification desmodles Takagi-Sugeno et le modle flou approximant les donnes moyennant lalgorithme GK.Lalgorithme ANFIS(systme adaptatif dinfrence neuro-floue) intgr cette toolbox [Jang,1993][Guilln et al., 2007], permet damliorer lerreur des modles flous sur la base dappren-tissage et de prdiction.

2.4 Identification optimale des modles Takagi-Sugeno

Dans cette section nous prsentons une nouvelle mthode de dtermination du nombre opti-mal de classes partir des donnes entre sortie dun systme non linaire inconnu [Ouakka etBoumhidi, 2009]. Contrairement aux mthodes prsentes dans les sections prcdentes, basessur le rsultat dun processus itratif pour minimiser certaines fonctions de cot ou pour vali-der les performances dun certain nombres dindices de classification, notre approche procde la dtermination directe du nombre optimal de classes par simple tude de la structure desdonnes, sans ncessit dutiliser les critres de validation conventionnels. En effet, il nexisteaucun critre universel qui puisse dcider de ce quun algorithme donn soit adapt un en-

46


semble de donnes quelconque, et cest souvent sur la base de constatations empiriques quonse fait une ide sur la distribution relle des donnes traites.

En fait, les algorithmes de classification ont t dvelopps lorigine pour la classificationdes donnes, lidentification des modles TS partir de ces algorithmes nest quune applicationdes techniques de rgression pour construire des modles locaux linaires pour chaque groupede donnes dune classe identifie [Bortolet et Palm, 1997][Abonyi et al., 2002][Kukolj et Levi,2004]. Lalgorithme GK est le plus utilis pour lidentification des modles TS. Mais, cet al-gorithme ncessite dtre initialis par le nombre de classe dfini lavance par un expert oupar lexploitation des rsultats des critres de validation ralisant la meilleur partition optimaleparmi toutes celles obtenues.

2.4.1 Formulation de la mthode propose

Les informations disponibles pour un systme non linaire dynamique inconnues sont res-treintes un ensemble de donnes, gnralement collectes par des capteurs lentre et lasortie du systme. Dans ce sens, les approches de rgression non linaires et les formalismesdes statistiques sont les mthodes classiques utilises pour reconstruire un modle approximatifreprsentatif du systme. Lallure gnral des donnes, reprsente par une fonction polyno-miale permet la dtection des extrema de la fonction. Ces extrema, gnralement maximumset minimums, dterminent le nombre de classes (une classe est localise entre un minimum etun maximum). Cette approche de partitionnement est oriente ds le dpart, dans ce sens, pourminimiser la dispersion des donnes autour du modle localement linaire construit par unergression linaire.

Un algorithme de rduction est aussi propos, en vue de fusionner les classes dont les mo-dles linaires associs prsentent un certain degr de corrlation. Le principe gnrale de lamthode est prsent sur la figure (Fig.2.7).

2.4.2 Approximation des donnes par fonction polynomiale

Le problme didentification des donnes par une fonction polynomiale peut tre formulde la faon suivante :

Considrons un systme non linaire, de type SISO, reprsent par un ensemble de N don-nes collectes partir de mesures exprimentales :

(x1,y1),(x2,y2), . . . ,(xN ,yN)

o xi X est la i me entre, et yi Y est la sortie correspondante.

47


Collectiondes donnes

Construction de la fonctiondapproximation polynomiale

Extraction du nombre globale declasses partir des extrema

Application de la mthode deFusionnement

Nombre optimalede modles TS

Etape 1

Etape 2

Etape 3

FIGURE 2.7 Principe de la mthode doptimisation du nombre de modles TS

Dans le domaine de lanalyse numrique des donnes, on a souvent besoin dtablir unmodle mathmatique liant plusieurs sries de donnes exprimentales. Linterpolation poly-nomiale consiste approcher la courbe liant les deux sries de mesures par un polynme. Lescoefficients optimaux de ce polynme sont ceux qui minimisent la variance de lerreur dinterpo-lation. La fonction MATLAB polyfit retrouve le polynme P de degr n permettant dapprocherla structure des donnes au sens des moindres carrs.

La fonction polynomiale est donnes par :

P = f (X) = polyfit(X ,Y,n) (2.25)

P(x) = a0 +a1x+a2x2 + . . .+anxn (2.26)

o n est le degr du polynme.Dans un problme n points dinterpolations, le polynme dinterpolation doit concider

avec la fonction en chacun des n points et peut tre de degr aussi lev que n 1. Lorsque naugmente, on pourrait sattendre ce que la fonction et le polynme dinterpolation deviennentde plus en plus proches. Cependant le phnomne de Runge peut se produire [Fornberg etZuev, 2007]. Afin dviter ce problme, seule lallure gnrale des donnes est recherche, une

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formule heuristique est propose pour dterminer la valeur optimale du degr n [Ouakka etBoumhidi, 2009].

Soit r le coefficient de corrlation globale des donnes :

r = corrlation(X ,Y ) (2.27)

le degr optimale est donne par la formule :

n =

N

1+ r2(2.28)

La validit de cette approche est teste sur les deux exemples ci dessous :

y = sinc(x)+ (2.29)

y = 0.6sin(x)+0.3sin(3x)+0.1sin(5x)+ (2.30)

o = 0.3rand(1,N) et = 0.1rand(1,N) sont des perturbations.La valeur value par la formule (2.28) pour dterminer les degrs optimaux des fonctions

polynomiales reprsentants les systmes (2.29) et (2.30) sont respectivement n = 12 et n = 11.Comme illustr sur les figures (Fig.2.8) et (Fig.2.9), les fonctions polynomiales construites

partir de ces degrs optimaux, reprsentent au mieux le comportement des donnes traites.

3 2 1 0 1 2 30.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

n=12

n=5

n=7

FIGURE 2.8 Fonction dapproximation polynomiale pour le systme (2.29)

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1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

n=11

n=9

n=7

FIGURE 2.9 Fonction dapproximation polynomiale pour le systme (2.30)

2.4.3 Extraction du nombre globale de classes

En analysant la courbe du polynme reprsentant le systme (2.29) , on remarque que lastructure des donnes peut tre partitionne en 7 groupes dlimites chacun par les points ex-trema de la fonction dapproximation. Quant au nombre de minimum et de maximum dtects,il est gale 6. De ce fait on constate que le nombre de groupes est gale au nombre des extremaaugment dune unit.

On peut alors proposer le rsultat suivant : la dtermination du nombre de classes dunestructure de donnes, dun systme non linaire, est quivalent la dtermination du nombre

de points extrema de la fonction polynomiale optimale approximant lallure des donnes du

systme correspondant.

En se basant sur les deux thormes fondamentaux de lalgbre :

Thorme 2.1 Tout polynme P(x) = a0 + nk=1 akxk de degr n, coefficients rels, admet

exactement n racines dans lensemble C.

Thorme 2.2 Une fonction polynomiale, de degr n, peut avoir au plus (n1) points extrema.

On conclut que le nombre de points extrema est gale au nombre de racines du polynme d-rive P

(x). Les racines du polynme P

(x) sont dtermines par la fonction MATLAB polyder.

Le polynme P(x) de degr n1 admet donc (n1) racines relles ou complexes.

Supposons que est le nombre de racines relles et le nombre de racine complexes, ense rfrant aux rsultats cits ci dessus, le degr du polynme et les racines sont lies par la

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relation : + = n1

Du fait que les donnes de mesures sont relles (X Y ) R2, et vu que lensemble desdonnes dentres sont contenues dans lensemble X , on suppose que est le nombre de cesracines contenues dans X .

i dfinissent les coordonnes des abscisses des points extrema de la fonction polynomialetel que :

= [1,2, . . . ,] X

Lensemble des donnes dentres peut tre partitionne en intervalles :

X = [x1, . . . ,1] X1

[1, . . . ,2] X2

, . . . , [, . . . ,xN ] Xc

et lespace des donnes est partitionn en c groupes situ chacun dans la zone dlimite par lespoints extremas :

XY =c

i=1

classe [Xi,Yi] . (2.31)

o Xi est le ime sous intervalle de lensemble des donnes dentre et Yi son correspondant desortie.

Le nombre globale de classes est ainsi donn par :

c = +1 (2.32)

En appliquant la rgression par les moindres carrs, chaque groupe de donnes est ap-proxim par un modle linaire de la fo

contribution à l'identification et la commande floue d'une classe de systèmes non linéaires.pdf

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