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Frédéric Hecht, Pascal Ventura Séminaire, Laboratoire Jacques Louis Lions Lundi 15 mars 2010 1
Contribution à la simulation numérique des composants électroniques à Ondes Acoustiques
de Surface et à Ondes Acoustiques de Volume
Plan
Introduction
Modélisation physique des composants à OAS
Modélisation physique des composants à OAV
Conclusions et futurs développements
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Introduction Communication avec les mobiles : quelques dates du GSM
Début année 1980 : techniques analogiques (RADIOCOM 2000)
1982 : allocation des sous-bandes précisées par la conférence européenne des Postes et Télécommunications (CEPT) : une sous-bande de 25 MHz de 890 à 915 MHz (transmission des
terminaux vers les réseaux) une sous-bande de 25 MHz de 935 à 960 MHz (transmission des
réseaux vers les terminaux)
Création du Groupe Spécial Mobile
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Introduction Communication avec les mobiles : principes de base
Les réseaux GSM utilisent à la fois : La transmission numérique à Multiplexage Temporel (TDMA), Time
Division Multiple Access La structure cellulaire : fréquences utilisées (A,B,C,D,E,F,G)
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Introduction Principes d’un récepteur Radio
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Introduction La constitution de base d’un composant à Ondes Acoustiques de Surface
Le substrat piézoélectrique
Les transducteurs à IDT
L’onde acoustique de surface émise, détectée se propageant
Typical Finger Width"Operating Frequency"
0.5 µm"1 µm"10 µm" 2 µm"
100 MHz" 1 GHz" 2 GHz"500 MHz"
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Introduction Exemples de Composants SAW : filtres faibles pertes de type RSPUDT
N λ /2 - λ /4 "N λ /2 + λ /4 "
Resonant Cavities"
Filtre FI GSM"
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Introduction Historique de la piézoéléctricité et de ses applications
1880 : découverte de la piézoélectricité (Pierre et Jacques Curie)
1885 : Rayleigh établit l’existence d’une onde acoustique de surface se propageant à une vitesse inférieure
1915 : première utilisation de l’effet piézoélectrique en acoustique : SONAR
1920 : application à l’électronique : introduction de résonateurs à quartz à grand coefficient de qualité
1950 : fabrication des céramiques piézoélectriques
1960 : couches minces piézoélectriques
1965 : premiers transducteurs à peignes interdigités
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Introduction La piézoélectricité
Un solide est dit piézoélectrique s’ : il se polarise électriquement sous l’action d’une contrainte mécanique (effet
piézoélectrique direct) il se déforme lorsqu’un champ électrique lui est appliqué (effet inverse)
Structure Cristalline trigonale soumise à des contraintes
A l’équilibre tension appliquée compression appliquée
dipôle
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Introduction Les différents types de substrats piézoélectriques
solides mono-cristallin : quartz, tantalate de lithium, niobate de lithium, ...
solides poly-cristallin (céramiques) : PZT (Plomb, Zirconium, Titane)
Polymères : polyfluorure de vinylidène (PVF2)
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Introduction Quartz (SiO2)
quartz alpha : cristal trigonal 32
densité : 2651 kg/m3
non pyroélectrique
permittivité diélectrique : 5
couplage piézoélectrique faible aux ondes acoustiques de surface (0.12 %)
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Introduction Niobate de lithium (LiNbO3, LiTaO3)
cristal trigonal 3m
densité : niobate (4700 kg/m3), tantalate (7450 kg/m3)
pyroélectrique, ferroélectrique
permittivité diélectrique : 50
fort couplage piézoélectrique aux ondes acoustiques de surface (quelques %)
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Introduction Les Ondes Acoustiques de Volume dans un solide
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Introduction Ondes de Rayleigh dans un solide
Polarisation elliptique Présence de l’onde de surface (une longueur d’onde)
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Introduction Ondes de Bleustein Gulyaev
Polarisation en cisaillement horizontal Présence de l’onde de surface (quelques dizaines de longueur d’onde)
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Modélisation Physique des composants à OAS Transducteur périodique à OAS
1 0 0 0 0 0 0
1
Excitation élémentaire du réseau d’électrodes
Excitation harmonique du réseau d’électrodes
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Modélisation Physique des composants à OAS Géométrie de la période élémentaire du transducteur à OAS
p
Electrode métallique
Vide
Substrat Piézoélectrique
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Modélisation Physique des composants à OAS
Milieu diélectrique (vide) :
Milieu solide élastique (électrode métallique) :
Équation de Maxwell quasistatique
Équation constitutive du milieu diélectrique
Loi de Hooke Seconde équation de Newton
Déplacement électrique
Tenseur des contraintes
Tenseur des déformations
Déplacement Mécanique
Champ électrique
Potentiel électrique
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Modélisation Physique des composants à OAS
Milieu piézoélectrique :
Équation constitutives du milieu piézoélectrique Seconde équation de Newton
Tenseur d’élasticité Tenseur de couplage piézoélectrique
Tenseur de permittivité diélectrique
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Modélisation Physique des composants à OAS Modèle numérique mixte éléments finis / équation intégrale de frontière
p
Electrode métallique
Vide
Substrat piézoélectrique
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Modélisation Physique des composants à OAS Conditions aux limites
Conditions aux limites α périodiques :
Conditions aux limites électriques sur l’électrode métallique :
Conditions aux limites à l’interface supérieure ( ) :
Conditions aux limites à l’interface inférieure ( ) :
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Modélisation Physique des composants à OAS
Il s’agit de trouver le champ électro-acoustique satisfaisant la formulation variationnelle ci-dessous quel que soit le champ électro-acoustique test .
Vérifiant les conditions aux limites de potentiel électrique constant sur l’électrode et les conditions aux limites α périodiques entre les deux interfaces latérales et .
La Formulation variationnelle du problème électro-acoustique
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Modélisation Physique des composants à OAS
Idée : le champ électro-acoustique peut se décomposer en harmoniques de Floquet :
Prise en compte du paramètre dans la formulation variationnelle qui s’exprime alors à l’aide des fonctions périodiques de période p, et
Problème beaucoup plus facile à résoudre dans FreeFem++ qu’un problème α périodique
Transformation en la résolution d’un problème périodique
Fonctions périodiques de période p
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Modélisation Physique des composants à OAS
Il s’agit d’exprimer l’équation intégrale pour un demi-
espace supérieur constitué d’un milieu diélectrique (vide)
On décompose le déplacement électrique normal à l’interface en harmonique de Floquet:
et sont reliés par la relation :
Formulation intégrale à l’interface supérieure
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Modélisation Physique des composants à OAS
On exprime ensuite le coefficient de Fourier en fonction de
Et finalement :
Permettant d’exprimer l’équation intégrale de surface sur
Formulation intégrale à l’interface supérieure
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Modélisation Physique des composants à OAS
Il s’agit d’exprimer l’équation intégrale
pour un demi-espace inférieur constitué d’un milieu piézoélectrique (vide)
Utilisation de la transformée de Fourier de la fonction de Green (matrice 4x4) d’un demi-espace piézoelectrique
Démarche similaire au demi-espace constituté d’un matériau diélectrique pour l’écriture de la matrice de couplage à l’interface
Formulation intégrale à l’interface supérieure
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Modélisation Physique des composants à OAS
Pour un réseau périodique d’électrodes sans épaisseur, plongées dans le vide, il existe une expression analytique pour la capacité harmonique :
Cas test - Calcul de capacité électrique
Polynôme de Legendre
Largeur de l’électrode
Période du réseau
Paramètre harmonique
Permittivité diélectrique du vide
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Modélisation Physique des composants à OAS Cas test - Calcul de capacité électrique
Capacité harmonique en fonction du paramètre pour a/p=0.5
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Modélisation Physique des composants à OAV
Schéma d’un résonateur à Ondes Acoustiques de Volume du type SMR (Surface Mounted Resonator)
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Modélisation Physique des composants à OAV
Minimisation du Lagrangien du système physique :
avec :
et,
Travail des forces extérieures
Forces de volume Forces de surface
Densité surfacique de charge
Forces de volume appliquée en un point
Charge électrique ponctuelle
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Modélisation Physique des composants à OAV
Cas d’un résonateur simplifié : AlN slab ( )
Piezoelectric Substrate AlN
Vacuum
Vacuum
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Modélisation Physique des composants à OAV
Admittance harmonique calculée à l’aide d’un programme C++:
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Modélisation Physique des composants à OAV
Cas d’un couplage avec un demi-espace élastique solide:
Utilisation de l’équation intégrale de surface:
Calcul de la matrice impédance du demi-espace élastique solide intégrée à la formulation variationnelle globale du problème électro-acoustique:
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Modélisation Physique des composants à OAV Courbe d’admittance harmonique dans le cas d’un couplage avec un
demi-espace élastique solide:
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Conclusions et futurs développements
Formulation variationnelle performante pour la résolution dans le domaine des fréquences d’un problème électro-acoustique 2D incluant des matériaux piézoélectriques, solides élastiques et diélectriques:
Application à l’analyse d’un transducteur périodique à Ondes Acoustiques de Surface soumis à une excitation électrique harmonique (code FreeFem++)
Application à l’analyse d’un transducteur à Ondes Acoustiques de Volume (code FreeFem++ et C++)
Futurs développements:
Simulations des effets transverses dans les composants à OAS par un modèle numérique 3D
Comparaison avec les méthodes numériques du type PML Parallélisation des codes FreeFem++ pour l’amélioration des performances