contribution a la construction systématique des...
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CHAPITRE II
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 34
1 Introduction ___________________________________________________________________ 35
2 Simulation des systèmes de l’électronique de puissance _______________________________ 36
3 Modèles moyens des convertisseurs de puissance_____________________________________ 36 3.1 Introduction_______________________________________________________________________ 36 3.2 Etat de l’art et classification __________________________________________________________ 38
3.2.1 Méthodes de moyenne d'état _______________________________________________________ 39 3.2.2 Méthodes relatives à la cellule de commutation_________________________________________ 39 3.2.3 Méthodes d'échantillonnage________________________________________________________ 40
3.3 Une démarche de construction basée sur l’analyse de causalité _______________________________ 41 3.3.1 Résumé de la démarche ___________________________________________________________ 43
3.4 Prise en compte des non-linéarites _____________________________________________________ 47 3.4.1 Linéarisation____________________________________________________________________ 55
3.5 Les délais virtuels __________________________________________________________________ 57 3.6 Estimation des pertes _______________________________________________________________ 58 3.7 Convertisseurs DC-DC et cellules de commutation ________________________________________ 59
3.7.1 Introduction ____________________________________________________________________ 59 3.7.2 Simplification du graphe de liens pour les convertisseurs DC-DC __________________________ 60
3.7.2.1 Variable d’état des modèles des composants de puissance à semi-conducteur ____________ 60 3.7.3 Simplification des graphes de liens des convertisseurs durant la commutation_________________ 61 3.7.4 Simplification des graphes de liens des différents convertisseurs DC-DC ____________________ 66 3.7.5 Equivalence des phases de commutation dans les graphes de liens simplifiés _________________ 68 3.7.6 Equivalence des simulations _______________________________________________________ 69 3.7.7 Modèles moyens des principaux convertisseurs DC-DC __________________________________ 72
3.7.7.1 Mode de Conduction continue _________________________________________________ 73 3.7.7.1.1 Cellule de commutation ____________________________________________________ 73
3.7.7.2 Buck _____________________________________________________________________ 75 3.7.7.3 Boost_____________________________________________________________________ 75 3.7.7.4 Buck-Boost________________________________________________________________ 76
3.7.8 Mode de conduction Discontinue____________________________________________________ 77 3.7.8.1 Boost_____________________________________________________________________ 78 3.7.8.2 Buck _____________________________________________________________________ 80 3.7.8.3 Buck-Boost________________________________________________________________ 81
4 Conclusion ____________________________________________________________________ 82
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 35
Chapitre2 Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance.
1 Introduction
Une des originalités du laboratoire est d’utiliser la technique de modélisation par graphes de liens.
Nous allons voir que cette technique est bien adaptée à la modélisation simplifiée des convertisseurs
et notamment des pertes.
Dans le domaine de la mécanique, les graphes de liens sont connus depuis 1961, avec les travaux
de H. Paynter (Bond graphs) [21]. Les graphes de liens ont été introduits pour les circuits
électroniques, vers la fin des années 80.
L’objectif de la modélisation analytique d’un convertisseur est de fournir un modèle simple et
rapide tout en permettant d’estimer entre autres, les pertes en commutation et en conduction. Ce
modèle servira à obtenir la fonction de transfert, du système linéairisé, ce qui permettra
l’application des méthodes de l’automatique des systèmes linéaires.
Depuis le milieu des années 70, un effort considérable est consacré au sujet de la construction de
modèles simplifiés d'un convertisseur statique.
Plusieurs méthodes ont été élaborées et ont mûri en parallèle avec le développement des
architectures de convertisseurs d'une part, des outils logiciels d'autre part, et enfin des objectifs de
simulation.
L’essentiel de ces travaux a conduit aux modèles « moyens » basés sur une représentation
moyennée du comportement du convertisseur sur la période de découpage.
Le modèle moyen du convertisseur offre le meilleur compromis coût de simulation / précision :
- l’absence d'éléments représentant les commutations, assure des pas de temps nettement plus
grands à la simulation;
Notre contribution porte notamment sur l'extension du modèle moyen pour permettre l'évaluation
des pertes dans les composants à semi-conducteur et des non-linéarités.
Dans ce chapitre, nous allons revenir succinctement sur les points suivants :
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 36
• Association des réseaux de Petri et graphes de liens, appliquée aux différents convertisseurs
(Annexe 2).
• Etude du modèle moyen en conduction continue et discontinue de courant.
• Définition des délais virtuels, et énergies dissipées dans un convertisseur.
2 Simulation des systèmes de l’électronique de puissance
Nous rappelons dans l'Annexe 2-(1 et 2) les différentes méthodes qui ont été publiées pour
représenter les interrupteurs. L’analyse de causalité y est représentée.
3 Modèles moyens des convertisseurs de puissance
3.1 Introduction
Une bibliographie sur le sujet se trouve dans [22]. Nous nous contentons de rappeler l’essentiel ci-
après.
Vers les années 70, la vision du concepteur d'un convertisseur à découplage continu-continu était
souvent celle de la figure 2.1.
Figure 2.1 Représentation du convertisseur continu-continu à découpage comme
un système linéaire [23].
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 37
Cette vision est illustrée par une structure hacheur abaisseur de tension, mais concerne l'ensemble
des convertisseurs continu-continu. La figure isole le bloc formé de la diode et du transistor,
commandé avec une modulation de la largeur d’impulsion, à fréquence fixe.
Souvent, pour réguler le fonctionnement de ce système, le concepteur doit obtenir l'erreur entre la
tension de sortie et la consigne ; signal d'erreur. Ce dernier constitue la commande du modulateur
de la largeur d'impulsion. L'analyse du système, pour l'élaboration de la régulation, nécessite les
fonctions de transfert commande-vers-charge, entrée-vers-charge et les impédances d'entrée et de
sortie du convertisseur.
L'un des objectifs de la modélisation simplifiée est d'obtenir ces fonctions de transfert, moyennant
l'approximation du comportement du système à celui d'un système linéaire, pour permettre
l'application des analyses et méthodes de l'Automatique des systèmes linéaires. Autrement dit, il
faut déterminer un système équivalent linéaire qui fournisse le comportement en petits-signaux vu
des extrémités du convertisseur, en englobant toutes les non-linéarités dans le point de
fonctionnement quasi-statique du convertisseur. En écrivant que chaque signal est la somme d'une
composante continue, S, et d'une composante petit-signal harmonique, s , le système équivalent
fournira les fonctions de transfert comme s
c
vv
, de la tension de sortie par rapport à la commande, par
exemple. Dans la suite du chapitre, nous allons traiter l’exemple d’un convertisseur « Boost ».
En introduisant un transformateur idéal, continu, caractérisé par le rapport, M, entre les tensions de
sortie et d'entrée, la modélisation aboutit au schéma de la figure 2.2. Cette technique a été résumée
par R.D. Middlebrook et S. Cùk dans [24].
Le modèle de la figure 2.2 s'applique à tous les convertisseurs continu-continu, à une seule cellule
de commutation, en adoptant quelques transformations.
Nous remarquons la présence d'un transformateur idéal dont le rapport de transformation est
directement le rapport cyclique (structure buck). Cet élément représente la transformation d'énergie
opérée par le convertisseur, et il s'agit de l'élément TF (transformateur) des graphes de liens. Notons
aussi que ce composant n’est pas un élément standard SPICE.
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 38
Figure 2.2 Schéma électrique équivalent linéaire du convertisseur continu-continu. Le rapport M
dépend de la structure du convertisseur [24].
Dans [24] figure l'hypothèse sur la fréquence de découpage communément admise, bien que
qualitative : "la fréquence de découpage doit être supérieure à la valeur la plus haute des fréquences
naturelles présentes dans le réseau passif."
La technique décrite [24] ne s'applique qu'au cas du mode de conduction continue, car l'extension
au mode de conduction discontinue conduit à des schémas lourds où le sens circuit (avec le
transformateur idéal) est perdu [25]-[26]. C'est pourquoi le calcul du modèle équivalent linéaire (ou
modèle moyenné, "averaged model") se place alors sur le plan de l'approche mathématique des
modèles à variables d'état, la fameuse "state-space averaging method" [27].
Le modèle simplifié du convertisseur est un élément clé d'un outil de CAO des systèmes de
puissance. Le modèle simplifié se situe au plus haut niveau d'abstraction du système. Ce niveau de
conception doit permettre d'évaluer conjointement la faisabilité du système, les aspects de
commande, les stratégies de refroidissement, ainsi que les contraintes électromagnétiques.
3.2 Etat de l’art et classification
Nous avons indiqué en introduction que le modèle simplifié (ou moyenné) du convertisseur offre le
meilleur compromis coût de simulation/précision. L'annexe bibliographique sur les modèles
simplifiés de convertisseurs est organisée en quatre parties relatives aux démarches employées pour
l'obtention du modèle. Nous citons à titre d’exemple quelques travaux sur la réalisation des modèles
moyens.
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 39
3.2.1 Méthodes de moyenne d'état
Le modèle est issu du traitement global des équations d'état du convertisseur. Il s'agit des "state-
space averaging methods".
Nous considérons un convertisseur en conduction continue, dont les interrupteurs sont idéaux. Le
premier travail consiste à analyser le fonctionnement du convertisseur au cours d'une période de
découpage. En considérant un seul mode de conduction, le fonctionnement fait apparaître plusieurs
topologies. Chacune de ces k topologies est présente durant une fraction di de la période de
découpage. Pour chacune des topologies, il faut écrire une équation différentielle ordinaire, (2.2),
dont les variables d'état sont les courants dans les inductances, et les tensions aux bornes des
condensateurs. Si tous les éléments passifs sont linéaires, l'équation (2.2) décrit un système linéaire.
( ) ( ) ( )i ix t A x t B t= + (2.2)
pour la topologie i durant l'intervalle [ ]1,i i it tξ −= .
Le modèle moyen d’état correspond à l’EDO ( ) ( ) ( )i i i ik k
x t d A x t d B t= +∑ ∑ , où k est le nombre de
topologies du circuit sur une période de découpage.
3.2.2 Méthodes relatives à la cellule de commutation
Le modèle simplifié est lié à l'approximation du comportement de la cellule de commutation, avec
une approche du type circuit ou bien mathématique.
Toutes ces méthodes rentrent dans ce que les anglo-
saxons ont appelé les "circuits averaging methods".
La publication de référence est celle de V. Vorperian [26]
avec le comportement en petits-signaux de la cellule de
commutation repris à la figure 2.3. Rapidement le
transformateur idéal a laissé la place à une représentation à 2 sources (courant et tension), liées au
rapport cyclique. E. Van Dijk [28] a proposé une formulation où coexistent les comportements
moyennés dans les deux modes de conduction en courant (figure 2.4).
c p
a
Vcp
ic
ia
K
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 40
Figure. 2.3 Schéma électrique équivalent de la
cellule de commutation en régime de petits-
signaux, pour le mode de conduction continue,
non-résonante.
Figure. 2.4 Schéma électrique équivalent du
comportement moyenné de la cellule de
commutation dans les modes de conduction
continue ou discontinue en courant.
3.2.3 Méthodes d'échantillonnage
Les équations décrivant le comportement du convertisseur sont discrétisées, et le modèle simplifié
est obtenu par approximation de ces équations discrétisées. Il s'agit des "sample-data methods".
Les équations différentielles ordinaires (2.2) constituent toujours le point de départ de ces
méthodes. La solution de l'équation différentielle ordinaire est discrétisée pour ne fournir les valeurs
des variables d'état qu'aux moments des sauts de topologie au cours de la période de découpage.
La relation (2.3) donne la forme générale d'une telle discrétisation, dans laquelle i est l'indice de la
topologie et n le numéro de la période en cours. Le vecteur des variables d'état a été scindé
arbitrairement en deux, avec les variables rapides (liées à la cellule de commutation) et les
variables lentes (liées au reste du réseau passif). De même les matrices Ai et Bi dans (2.2), ont été
scindées [29]-[30].
[ ] [ ] [ ]
[ ][ ]
[ ]
( 1) 0 0
( 1) 0
( 1)
( 1)
. . .
. ..1 . .
2
F ni F n i FSn S n Fn n ni
SSn S n i Sn n
S ni S n i ni
SFn F ni F n i
X t X t A X t B U t
A X t B U tX t X t
A X t X t
τ
τ
−
−
−
−
+ + + + + +
∼
∼ (2.3)
La partie délicate du modèle est représentée par l'ensemble des relations nécessaires pour exprimer
la valeur de la durée de la topologie en cours, τni, après un saut.
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 41
3.3 Une démarche de construction basée sur l’analyse de causalité
Cette démarche a fait l'objet de publications [31]-[32] ainsi que d'applications [33]. Concernant les
convertisseurs à interrupteurs idéaux, notre démarche a été décrite à propos du convertisseur boost
quasi-résonant, par exemple figure 2.5. Le résultat apparaît sous la forme du graphe de liens de la
figure 2.5, dont les équations constitutives ne sont autres que (2.4). Le point important dans la
représentation est le composant MTF qui apparaît dans les graphes de liens : il s'agit d'un
transformateur modulé. Le comportement moyenné d'un convertisseur s'attache en effet à décrire la
transformation d'énergie opérée par le convertisseur, indépendamment de la technique de
découpage mise en œuvre. Nous retrouvons des représentations qui sont de même nature que celles
liées aux premiers travaux [24] comme sur la figure 2.2.
2 21 1 1
11 11
1 1 2 21 1 1
1 1 1
1 ( , ).1 0
10 0 ( , ).
c L Lsc c
L Lc L c
CL h v i iv vd C TR ECi idt E CL h v i v
RCL L
− = + −
(2.4)
21 11 1
2 1 1
( , ) (1 cos )2.
c Lc L
L c
v iZh v ii vZ
α α= + + −
1
2 1
arcsin( )c
L
viZ
α −=
Vs=1/τ1.Ve
ie=1/τ1.is
MTF
τ1
ie
Ve
is
Vs
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 42
Se:E 1
I:L1
C:C1
R:R
0 MTF:Tr
τ1E
L1
C1 RZVS-QRAv. Mod.
τ1
Figure. 2.5 Graphes de liens du modèle moyenné (gauche) du convertisseur (haut) et pseudo-
schéma électrique (droite). La durée τ1 est celle de la fermeture de l'interrupteur commandé (en
mode de pleine onde résonante π<α<3π/2).
Notre démarche a d'abord permis de retrouver les résultats connus à propos des convertisseurs
idéaux, qu'ils soient résonants ou non. A ce stade nous avons pu dire que notre démarche permet
une construction systématique du modèle d'un convertisseur idéal dans un mode de conduction
donné.
Nous proposons maintenant de résumer notre démarche sous forme algorithmique, appliquée à un
convertisseur buck-boost idéal, dans le mode de conduction continue (à titre pédagogique,
figure 2.6).
L2L1 D
M
E
C1
R
C2
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 43
Figure. 2.6 Convertisseur idéal buck-boost. Schéma électrique (a), et graphe de liens acausal (b).
Les composants Sw sont des interrupteurs idéaux, équivalents à une source de tension nulle à l'état
fermé, et une source de courant nul à l'état ouvert. La commande g MLI, représente une
information ‘logique’ de commande aussi est-elle connectée comme un signal et non à travers un
lien d'énergie.
3.3.1 Résumé de la démarche
Les interrupteurs idéaux sont caractérisés par des réseaux de Petri. Ils présentent des changements
de causalité entre l'état fermé et ouvert. Le fonctionnement du convertisseur est alors résumé sur la
figure 2.7.
Figure. 2.7 Machine d’état du fonctionnement du convertisseur buck-boost idéal, en mode de
conduction continue (a) et discontinue (b).
En mode de conduction continue, la séquence de fonctionnement durant chaque période de
découpage est S=charge, roue-libre : l'état "charge" dure la fraction ρ de la période de découpage,
et l'autre état, la fraction, 1-ρ.
g est une commande MLI
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 44
Pour chaque topologie de la séquence cyclique de fonctionnement, l'algorithme établit la causalité
du graphe de liens du convertisseur (figure 2.8). En comparant les causalités, l'algorithme fait la
liste des éléments dont au moins un lien a changé de causalité : M, l1, n1, l2, D.
Ces éléments forment le bloc de commutation (Le bloc de commutation d'un système comprend
tous les composants dont la causalité change au moins une fois pendant la séquence cyclique (la
période de commutation)) du convertisseur (figure 2.9). Il s'agit là d'un point clef de la méthode :
isoler automatiquement la portion du circuit dont le comportement doit être représenté de manière
moyennée.
Figure 2.8 Analyse de causalité dans chaque état de la séquence cyclique de fonctionnement.
Figure. 2.9 Bloc de commutation du convertisseur buck-boost idéal.
L'hypothèse sur la valeur faible de la période de découpage par rapport aux autres constantes de
temps du réseau, se traduit par le fait que, durant une période de découpage, le réseau autour du
bloc de commutation ne varie pas du point de vue de ses variables d'état.
Ainsi les éléments connectés aux liens du bloc de commutation (#1 à #3, figure. 2.9), peuvent être
remplacés par des sources constantes assurant les mêmes causalités aux liens.
Le graphe de liens simplifié auquel la démarche aboutit (figure 2.10), va servir au calcul du
comportement moyenné du bloc de commutation : c'est-à-dire à calculer formellement la moyenne
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 45
des variables de sortie du bloc de commutation sur une période de découpage. Les variables d'entrée
du bloc de commutation sont imposées par le reste du graphe, c'est-à-dire les sources constantes.
La notion de bloc de commutation telle que nous la définissons à l'aide de l'analyse de causalité
offre deux avantages par rapport aux méthodes de substitution de la cellule de commutation, et la
méthode par moyenne d'état. Notre démarche est moins rigide que la substitution de la cellule de
commutation : la notion de cellule de commutation est élargie à d'éventuels composants parasites
comme nous le dirons plus loin. Notre démarche apporte ce qui manque à la méthode de moyenne
d'état : cerner la seule partie du circuit dont le comportement simplifié est requis.
Figure. 2.10 Graphe de liens simplifié pour le calcul du comportement moyenné du bloc de
commutation mis en évidence à la figure. 2.9.
L'analyse de causalité du graphe de liens simplifié, dans chaque état de la séquence cyclique, fournit
l'expression des variables i1, vL et i2, qui seront ensuite moyennées sur une période de découpage.
L'algorithme utilise l'analyse de causalité algébrique telle qu’elle a été établie [34]-[37]. Cette
analyse n'est pas détaillée ici, mais fournit les résultats triviaux suivants:
Etat "charge" 1
1
2 0
L
L
i Iv Vi
==
= (2.4)
Etat "roue-libre" 1
2
2
0
L
L
iv Vi I
== −
= − (2.5)
En moyennant les relations (2.4) et (2.5), pondérées de la durée de chaque état dans la période de
découpage, TS, il vient:
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 46
( )
( )
110
1 20
220
1 ( )
1 ( ) 1
1 ( ) 1
T
Ls
T
LLs
T
Ls
i t dt IiT
v t dt V VvT
i t dt IiT
ρ
ρ ρ
ρ
< >= =
< >= = − −
< >= = − −
∫
∫
∫
(2.6)
Les relations (2.6) sont celles du graphe de liens de la figure 2.11, traduisant 2 éléments MTF en
série. Les signes dans les relations sont visibles au niveau de l'orientation des liens les uns par
rapport aux autres.
Figure. 2.11 Graphe de liens du modèle moyenné du bloc de commutation de la figure 2.10.
Finalement en substituant le bloc de commutation par son modèle moyen, nous obtenons le modèle
moyen du convertisseur au sens de la méthode par moyenne d'état par exemple, (2.7) (figure 2.12).
10
1 1 0
L L
C C
i id L E Lv vdt
C RC
ρ ρ
ρ
− − = + − −
(2.7)
Figure. 2.12 Modèle simplifié du convertisseur buck-boost idéal en mode de conduction continue.
(1-ρ)(1/ρ) (1-ρ)(1/ρ)
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 47
3.4 Prise en compte des non-linéarites
La diode de puissance présente un modèle transitoire, qui peut être simplifié dans le cas de régimes
quasi-statique (figure 2.13.a), alors caractérisée par la caractéristique statique du composant.
Les états quasi-stationnaires ("charge" et "roue-libre") sont introduits de manière arbitraire, puisque
l'état "transitoire" peut représenter le comportement du convertisseur dans n'importe quelle
configuration. L'intérêt des états quasi-stationnaires est de faire "apparaître" la prise en compte des
non-linéarités des composants actifs, comme des termes supplémentaires dans le modèle simplifié
du convertisseur idéal.
Evidemment, les instants de transition d’un état quasi-stationnaire à un état transitoire doivent être
correctement choisis.
Figure. 2.13 Réseaux de Petri des modèles de la diode de puissance (a), et du convertisseur DC-
DC à une cellule de commutation, en mode de conduction continue (b).
Nous allons appliquer notre démarche de construction du modèle simplifié du convertisseur boost
non-idéal de la figure 2.14. Le convertisseur présente un fonctionnement qui est résumé comme sur
la figure 2.13.b en mode de conduction continue.
La figure 2.14 représente l'effet du câblage sous la forme de la seule inductance parasite de maille,
ld. L'effet du câblage peut être assez complexe, notamment en introduisant des inductances parasites
couplées. Notre démarche s'applique aussi bien à ces modèles complexes du câblage, qu'à l'exemple
simple que nous avons choisi de commenter.
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 48
Figure. 2.14 Convertisseur boost non-idéal. Schéma électrique (a), et graphe de liens portant la
causalité de l'état "transitoire" (b).
En mode de conduction continue, la séquence cyclique des topologies est S=charge, transitoire,
roue-libre, transitoire, avec les fractions respectives ρ1, ρ2, ρ3 et ρ4 de la période de découpage, TS,
telle que 4
1i STρ =∑ .
La détermination du bloc de commutation découle de la comparaison des causalités des graphes de
liens (figure 2.15) dans chaque état de la séquence cyclique de fonctionnement :M, n1, lg, rg, n3, D,
l2, ld.
Le graphe de liens simplifié de la figure 2.16 est alors considéré pour construire le modèle moyenné
du bloc de commutation.
Figure. 2.15 Graphes de liens du convertisseur boost dans les états "charge" (a) et roue-libre (b).
I :ld I :ld
b)
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 49
Notons que le changement de causalité au niveau de la causalité dérivée / causalité intégrale impose
la présence de ld dans le bloc de commutation. Ce qui est essentielle, car aussi le modèle du câblage
doit être inclus dans le modèle moyen.
Figure. 2.16 Graphe de liens simplifié pour le calcul du modèle moyenné du bloc de commutation.
Les variables v1 et i2 sont les variables de sortie du bloc de commutation. La valeur moyennée du
courant de grille (et plus généralement de la commande) n'a pas d'influence dans le cadre d'un
modèle simplifié; nous ne la considérons pas dans le modèle moyen car l'énergie mise en jeu dans
cette partie du circuit est négligeable. Donc la commande sera assimilée à un signal idéal, par contre
les délais virtuels dépendent de la commande (Rg).
En reprenant chaque état de la séquence cyclique de fonctionnement, l'analyse de causalité fournit
les expressions des variables v1 et i2.
Etat "charge" ( )( )
1 1
2 2
DSon
Dfuite
v v I
i i V
=
= (2.8)
où vDSon(I1) est la caractéristique statique du transistor MOSFET, pour la tension vGS de
service, et iDfuite(V2) est la caractéristique statique inverse de la diode.
Etat "roue-libre" ( )1 2 1
2 1 2( )Don
Mfuite
v V v Ii I i V
= += −
(2.9)
Où vDon(I1) est la caractéristique statique de la diode, et iMfuite(V2) la caractéristique inverse du
transistor MOSFET.
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 50
Etat "transitoire" ( )
( )1
2
DS
D
v v t
i i t
=
= (2.10)
Où vDS(t) et iD(t) sont des variables de sorties des modèles transitoires du transistor MOSFET et de
la diode respectivement, dépendant des variables d'état respectives des modèles.
En négligeant les courants de fuite des composants, les moyennes des variables v1 et i2 sur la
période de découpage s'écrivent :
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
31 2 4
0 1 2 3
32 4
1 2 3
1 1 2 1
2 1
1
1
tt t t
DSon DS Don DSS t t t t
tt t
D DS t t t
v v I dt v t dt V v I dt v t dtT
i i t dt I dt i t dtT
< >= + + + +
< >= + +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ (2.11)
Où les temps t0 à t4 sont tels que, t4-t0=TS et ti-ti-1=ρi.TS, durée de la topologie i dans la séquence
cyclique topologiques.
[t1, t2] correspond à la commutation à l'ouverture du transistor MOSFET et [t3, t4] à la commutation
à la fermeture; et inversement pour la diode.
La relation (2.11) contient des intégrales de vDS, lié au modèle du transistor MOSFET. Pour aboutir
à une relation explicite, l'idée est de remplacer la variable vDS(t) par un signal idéal commutant entre
les mêmes valeurs extrêmes ( ) ( )1 1DS DSonv t v I= et ( ) ( )( )2 2 1DS Donv t V v I= + , et présentant la même
valeur intégrale sur [t1, t2] (figure 2.17).
Le temps t1 est défini au moment du changement de la tension de commande, Vg, tandis que t2
correspond au moment où le transitoire de commutation a disparu.
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 51
Signal idéal
V2+VDon(I1)
Figure. 2.17 Commutation à l'ouverture du transistor MOSFET. Onde typique de tension drain-
source, et définition du signal idéal équivalent au sens de la valeur moyenne (δoffvds>0).
Sur la figure 2.17, il vient:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
12 2
1 1 1
1 2 1 2 1 2 1.
offvDS
offvDS
DS DS
tt t
DSt t t
off offDSon v Don v Don
v t dt s t dt s t dt
v I t t V v I V v I
δ
δ
δ δ
+
+
= +
= + − + − +
∫ ∫ ∫ (2.12)
Où DS
offvδ est par définition le délai virtuel sur VDS à l’ouverture du transistor MOSFET, par rapport à
VG.
De même, nous définissons DS
onvδ à la commutation à la fermeture du transistor MOSFET
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )4
3
2 1 4 3 1 1DS DS
ton on
DS v Don Don v Dont
v t dt V v I t t v I v Iδ δ= + + − −∫ (2.13)
En prenant en compte (2.12) et (2.13) dans (2.11), nous obtenons :
( ) ( )( )1 1 2 1 1DS DS DS DS
off on off onv v v v
DSon DonS S
v v I V v IT T
δ δ δ δρ ρ − −
< >= + + + − +
(2.14)
où ρ.TS=(t1-t0)+(t4-t3) et (1-ρ).TS=t3-t1.
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 52
Nous obtenons de même :
2 1 1 D D
off oni i
S
i IT
δ δρ
−< >= − +
(2.15)
Où les délais virtuels D
offiδ et
D
oniδ caractérisent la commutation du courant dans la diode
respectivement à l'ouverture et à la fermeture. La figure 2.18 illustre le cas de l'onde de courant à
l'ouverture de la diode, avec la définition de D
offiδ .
Figure. 2.18 Commutation à l'ouverture de la diode. Onde typique du courant et définition du
signal idéal équivalent au sens de la valeur moyenne (δoffiD<0).
Les relations (2.14) et (2.15) constituent le modèle moyenné du bloc de commutation du
convertisseur boost de la figure 2.16. Ce modèle simplifié est représenté par le graphe de liens de la
figure 2.19.a. Le modèle moyenné du bloc de commutation devient naturellement dépendant de la
période de découpage et du rapport cyclique. Ce résultat est à rapprocher des développements de
[38].
En négligeant les caractéristiques statiques des composants, ainsi que les délais virtuels, nous
retrouvons les relations du modèle moyenné du bloc de commutation du convertisseur boost idéal.
Signal idéal
ID(t)
δoffiD
Vg(t)
I1
t3 t4
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 53
Figure. 2.19.a Graphe de liens du modèle
moyenné du bloc de commutation de la
figure 2.16
Figure. 2.19.b Graphe de liens du modèle
moyenné du convertisseur boost non-idéal de la
figure 2.14
Le modèle moyenné du convertisseur Boost de la figure 2.14 se construit autour du modèle
simplifié du bloc de commutation, en ajoutant les éléments initialement écartés lors de la
simplification aboutissant à la figure 2.16. Ce modèle simplifié du convertisseur Boost non-idéal est
présenté à la figure 2.19.b.
Les équations qui régissent le comportement des éléments entropiques RS :D et RS :M sont
données respectivement par 2.14 et 2.15.
Des résultats de simulation ont été publiées [33]-[37]. Notamment nous présentons des
comparaisons entre des simulations du modèle moyenné idéal ou non du convertisseur et le modèle
fin prenant en compte les composants de puissance.
La figure 2.20 illustre un exemple de démarrage d'un convertisseur buck. Le convertisseur est
modélisé de manière précise avec des modèles fins de composants à semi-conducteur, par le modèle
simplifié idéal et son modèle simplifié incluant les non-linéarités des composants actifs.
(1-ρ)
(1-ρ)
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 54
Figure. 2.20 Démarrage d'un convertisseur buck (cellule de commutation IRF450, STTA1260,
inductance parasite de maille 150nH, alimentation 48V, inductance de lissage 300µH,
condensateur de filtrage 47µF, charge résistive 5,5Ω, période de découpage T=3us, rapport
cyclique variant linéairement de 5% à 50% sur 500ms)."ideal/test" fait référence au modèle
simplifié idéal, "avnl/test" fait référence au modèle simplifié augmenté, "reel/test" fait référence au
modèle précis avec les modèles fins de composants
La simulation avec les modèles fins des composants à semi-conducteur prend en compte un câblage
virtuel avec une inductance parasite volontairement élevée, et un modèle thermique des puces de
silicium et d'un substrat hypothétique sur lequel les puces sont supposées reportées (i.e [40]).
La simulation fine a révélé des surtensions qui justifient l'emploi de dispositifs comme le transistor
IRF450 et la diode STTA1260 par exemple. Les délais virtuels ont été identifiés pour la même
cellule de commutation que celle utilisée dans le convertisseur.
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 55
La fréquence de découpage (~300kHz) est volontairement très élevée afin qu'elle soit supérieure à
la plus haute fréquence propre présente dans le circuit (= 12 LCπ
~4kHz). Ainsi la valeur de la
fréquence de découpage n'introduit pas de biais dans les résultats du modèle simplifié idéal par
exemple. Par contre le découpage à fréquence élevée introduit des pertes Joule considérables, ce qui
est aussi le but recherché pour mettre en évidence la nécessité de leur prise en compte.
La précision apportée par la prise en compte des non-linéarités des composants à semi-conducteur
est alors évidente sur la figure 2.20, quand les chutes de tension aux bornes des composants ne sont
plus négligeables ni leurs pertes Joule.
La mesure des délais virtuels sera traitée dans le chapitre 3.
3.4.1 Linéarisation
Les délais virtuels augmentent la précision du modèle moyen par rapport à une construction
considérant des interrupteurs idéaux. Ceci est visible en comparant des formes d’ondes temporelles.
L’intérêt des délais virtuels est également d’augmenter la précision évident vis à vis des fonctions
de transfert autour d’un point de fonctionnement [39]-[40]. Par exemple, la figure 2.21 montre que
le modèle moyen non idéal d’un boost (Annexe 2.3) permet de bien estimer la fonction de transfert
( )
ˆˆ
outVV ρ
, sortie vis-à-vis du rapport cyclique , mesurée à l’aide d’un impédance-mètre HP4194A.
Durant la phase d’analyse fonctionnelle du convertisseur, les fonctions de transfert nécessaires à la
conception de la boucle d’asservissement peuvent être calculées formellement à partir du modèle
moyen. Les délais virtuels sont des paramètres déjà identifiés (chapitre3).
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 56
Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg);
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagrams
0
20
40
60Réponse fréquentielle des modèle identifié
102 103 104-300
-200
-100
0
To:Y(
Modèle idéal
Modèle non idéal
Mesure
Figure 2.21 Fonction de transfert du hacheur parallèle « sortie-sur-commande »,
pour les valeurs : ρ0=0.5, VR=48V, R=52Ω, L=3.2mH, C=47µF, RL=0.19Ω.
210 310 410
Fréquence (rad/s)
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 57
3.5 Les délais virtuels
Dans le modèle construit précédemment (paragraphe 3.4), les délais virtuels apparaissent comme
des paramètres non-linéaires. Dans ce paragraphe, nous nous attachons à dégager des relations entre
les délais virtuels (et les termes d’énergie) et les ondes de courant et de tension. Ces relations seront
utilisées lors de la phase expérimentale d’identification. En reprenant (2.12), la détermination de
DS
offvδ est possible par simulation ou mesure à partir de l'onde de tension vDS lors de l'ouverture du
transistor MOSFET. Il en va de même pour, D
offiδ et
D
oniδ .
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2
1
2 1 2 11 2 1
1DS
toffv DS Don
DSon Don t
v t dt t t V v Iv I V v I
δ
= − − + − +
∫ (2.16)
L'analyse des propriétés des délais virtuels conduit aux remarques suivantes.
• Leur détermination est indépendante des bornes temporelles finales (t2, figure 2.17), (t4, figure
2.18).
• L'identification des délais virtuels nécessite de manière générale les formes d'onde de
commutation du courant et de la tension de la cellule de commutation.
• La cellule de commutation règle son comportement transitoire en commutation, en fonction
• du courant direct (I1),
• de la tension inverse (V2),
• de l'inductance parasite de maille (identifiée ici à ld dans la figure 2.14),
• mais aussi des températures internes de la diode et du transistor MOSFET,
• du circuit de grille du transistor MOSFET, identifié au générateur de tension équivalent et
aux éléments parasites (lg et rg).
D'ailleurs les caractéristiques statiques des deux composants sont également sensibles à la
température du silicium.
L'identification des délais virtuels peut être menée par voie expérimentale ou par voie de
simulations fines. Cette identification est liée uniquement à la cellule de commutation.
A cellule de commutation identique, et éléments parasites de câblage très proche, les modèles
moyennés de deux convertisseurs différents utiliseront les mêmes valeurs de délais virtuels. La
réutilisation sera d'autant plus importante que la précision sera relâchée. Mais là n'est pas le but. Car
par voie de simulation, l'identification des délais virtuels devient une tâche peu coûteuse en temps
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 58
de calcul, et donc envisageable dans un outil de CAO, à l'occasion de chaque changement
(composant, topologie…) qui modifie le comportement des cellules de commutation. Nous
représentons ci-dessous (Figure.2.22) pour un exemple d’un convertisseur Boost, les variations des
délais virtuels en fonctions du courant direct, avec la tension inverse comme paramètre.
T e m p s B o o s t
i Dδ ( n s )
T e m p s B o o s tv D Sδ ( n s )
A u g m e n t a t i o n d e sv a l e u r s d e V 2
A u g m e n t a t i o n d e sv a l e u r s d e V 2
C o u r a n t I 1 ( A )
C o u r a n t I 1 ( A )
Figure 2.22. Variation de iDδ (en haut) et vDδ (en bas) en fonction de I1, paramétré
Par V2 entre 50V et 300V , Lc=100nH, Rg=10Ω, Lg=5nH, BYT12PI600, IRF740 (i.e Boost).
3.6 Estimation des pertes
Lors de son fonctionnement, la cellule de commutation présente des pertes par conduction et par
commutation. Ces pertes en commutation sur une période de découpage, dépendent de la
constitution de la cellule, ainsi que de son environnement, c'est-à-dire des paramètres cités plus haut
(IF: Courant direct, VR: Tension inverse, T: température, Lc: inductance de cablage…). Ces pertes
peuvent donc être identifiées comme le sont les délais virtuels.
Nous avons donc envisagé des termes virtuels d'énergie pour tenir compte des pertes en
commutation sur un cycle, pour le transistor MOSFET comme pour la diode.
( )1 1. . MCMosfet DSon
s
EP v I I
Tρ= + (2.17)
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 59
( )1 1. . DCDiode Don
s
EP v I I
Tρ= + (2.18)
Où MCE et
DCE sont des termes virtuels d'énergie permettant d'extrapoler les pertes en
commutation. La démonstration des résultats des équations ci-dessus sera démontrée plus loin dans
ce chapitre.
Cette technique très simple donne de bons résultats et permet la simulation électro-thermique au
niveau du système pour l'analyse du système de refroidissement ou une application.
3.7 Convertisseurs DC-DC et cellules de commutation
3.7.1 Introduction
Comme nous avons déjà mentionné dans l’introduction générale, les systèmes intégrés de puissance
sont de plus en plus utilisés. Avec ce type de technologie, la conception par réalisation de
prototypes successifs devient de plus en plus difficile. C’est pourquoi il est de plus en plus souvent
nécessaire de recourir à la simulation des convertisseurs.
Que ce soit pour la simulation faite au niveau de la commutation ou bien pour la construction d’un
modèle simplifié du convertisseur (comme un modèle moyen [43]), la simulation d’une
représentation minimale du circuit à simuler est un choix justicieux : La cellule de commutation.
Nous allons chercher ici à démontrer l’équivalence
entre les comportements des dispositifs de puissance au
sein de convertisseur ou de la cellule de commutation.
Henri Foch [44] a montré que l’analyse des
convertisseurs peut se simplifier à l’étude des cellules
de commutation. En effet chaque commutation
correspond au changement d’état de deux interrupteurs.
La cellule de commutation comprenne les deux
interrupteurs, une source de courant qui représente le courant direct (IF), et une source de tension
(VR) qui représente la tension inverse appliquée.
VR
i2
iD
IF
Lc
MOS
D
g
Rg
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 60
3.7.2 Simplification du graphe de liens pour les convertisseurs DC-DC
3.7.2.1 Variable d’état des modèles des composants de puissance à semi-conducteur
Les modèles SPICE existent pour la plupart des composants à semi-conducteur depuis plusieurs
années. Ces modèles peuvent être transformés facilement en des Modèles d'état (SSM:"State Space
Models") mais plus difficilement en graphes de liens.
Il a déjà été montré que l’analyse de la Causalité [44] peut être appliquée pour le graphe de liens
incluant des composants représentés par SSM.
Le modèle SPICE de la jonction PN (une diode) peut être représenté par un SSM comme suit [44]
( )DDD D
dQQi Fdt
= − (2.19.a)
( )D D DQV G= (2.19.b)
Où QD, est la variable d'état, c-à-d. la charge stockée dans la région de la charge d'espace, iD, et VD
les variables de port associées à la diode (Figure 2.23). Les fonctions FD et GD sont des fonctions
analytiques et régulières spécifiées dans [44].
Figure 2.23 Schéma et graphe de liens associer à la diode.
De même, le transistor MOSFET (Figure 2.24) peut être représenté par un SSM [44]:
GG
dQi
dt= (2.20.a)
( , )jDS DS G j
dQQ QFidt
= − (2.20.b)
( , )GS G G jQ QV G= (2.20.c)
( , )DS DS G jQ QV G= (2.20.d)
iD
VD
VD
iD
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 61
Où les iG, vGS, iDS, et vDS sont les variables de port classiques du transistor MOSFET. QG, QJ, sont
les variables d'état du modèle. QG correspond à la charge à l'intérieur de la grille, et Qj correspond à
la charge à l'intérieur de la région de charge d'espace de la jonction de Drain-Source.
Figure 2.24 Schéma et graphe de liens associer au transistor MOSFET.
3.7.3 Simplification des graphes de liens des convertisseurs durant la commutation
Figure 2.25 représente le circuit des convertisseur « Buck » et « Cellule de commutation ». Le
composant L est l'inductance de lissage, et le composant Lc représente l'inductance du câblage
parasite du circuit. Lc est la représentation minimale du modèle du câblage parasite. L'importance
de cette inductance parasite de câblage a été démontré dans [45]. De plus cette inductance assure la
causalité du graphe de liens. De point de vue physique, l'inductance du câblage joue un rôle majeur
sur le comportement transitoire des composants de puissance. En particulier l'inductance Lc fixe le
stress de la diode pendant son ouverture par exemple.
La prise en compte d’un modèle plus complexe du câblage ne change rien aux résultats qui sont
exposés. Nous allons montrer que ces composants de puissance rencontre le même stress electro-
thermique dans les deux circuits figure 2.25.
iDS
iG vDS
vGS
vDS
iDSiG vGS
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 62
Figure 2.25 Graphe de liens des convertisseurs buck (gauche), et la cellule de commutation
(droite).
VR D
Lc
MOS L
C
gRg VR
IF
Lc
MOS
D
g
Rg
Se :VR
I :Lc
0 1 1
I :L
R
C
0 1
Se :g 1
R :Rg
D
M Se :VR 0 1 1
I :Lc
D
Sf :IF
Se :g 1 R :Rg
M
0
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 63
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
13.2m 13.22m 13.24m 13.26m 13.28m 13.3m
Courant dans l'inductance
Cou
rant
(A)
Temps( )
Figure 2.26 le courant à travers l’inductance L du convertisseur Buck.
-10,0
-5,0
0,0
13.020m 13.022m 13.024m 13.026m 13.028m 13.03m
Tension
Cur
rent
(A)
Temps (s)
50
51
52
53
54
55
56
57
58
Courant dans l'inductance
Courant Diode
Ten
sion
(V)
-5
0
5
13.010m 13.012m 13.014m 13.016m 13.018m 13.020m
Tension
Courant diode
Courant dans l'inductance
Cur
rent
(A)
Temps (s)
50
51
52
53
54
55
56
Tens
ion
(V)
Figure 2.27 Un zoom de la Fig.2.26: Courant à travers l’inductance L (presque constant), et la
tension à travers la charge R, durant l’état transitoire turn-on (à droite) et turn-off (à gauche) de la
diode pour le convertisseur Buck.
T=période de
commutation
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 64
Figure 2.26 représente les courbes de courant et de tension pendant un état transitoire dans le
convertisseur Buck de la figure 2.25. Les résultats de simulation ont été obtenus comme décrit dans
[46] en utilisant la simulation du graphe de liens (convertisseur Buck) sous PACTE [34] (Figure
2.25).
Les composants de puissance à semi-conducteur (SD: "Semiconductor Device") opèrent la plupart
du temps dans le mode quasi-statique. Donc un composant de puissance peut être remplacé par des
interrupteurs idéaux (Sw-élément: "Switchs") dans un mode quasi-statique. Aussi change-t-il de
causalité pendant la période de transition (Figure 2.26) [158].
Dans le papier [46], le Bloc de commutation d’un convertisseur (SB: "Switching Bloc") (Figure
2.28) basé sur l'analyse de causalité est défini. Le bloc de commutation du système comprend tous
les composants dont la causalité change au moins une fois pendant la séquence cyclique (la période
de commutation).
Dans la pratique, un composant appartient au bloc de commutation si la variable d’état du modèle
change. Par exemple tout interrupteur idéal appartient au SB. Aussi l'inductance Lc appartient au
SB, parce que la causalité de Lc change de causalité dérivée à causalité intégrale pendant une
période de commutation.
L'hypothèse appelée " Hypothèse Standard de Commutation" [87] (SSA: "Standard Switching
Assumption") suppose que tous les éléments de stockage d'énergie n'appartiennent pas au SB, ne
change pas (trop) d'énergie pendant une phase de commutation, donc pendant un instant court par
rapport à la période de commutation
Conséquence:
Quand l'hypothèse (SSA) est satisfaite, il est possible de remplacer les éléments C et L qui sont à
l'extérieur du bloc de commutation, par des sources adéquates Se et Sf d’effort et de flux
respectivement.
Le choix de Se et Sf doit conserver la causalité du graphe de liens. Alors il est possible de simplifier
le graphe de liens résultant (Figure 2.28.b).
Notons que c'est très important de ne pas remplacer les éléments C et L situés à l'intérieur du bloc
de commutation, parce que ces éléments contrôlent l’état transitoire pendant le changement de
phases (commutation). C'est le cas du composant Lc dans la figure 2.25 et 2.27. Ce souci de séparer
les composants appartenants au non au bloc de commutation permet d’éviter l’écueil des méthodes
de construction qui considèrent l’intégralité du circuit (circuit averaging, state-space averaging).
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 65
Figure 2.28 Simplification du graphe de liens du convertisseur Buck.
Donc à la figure 2.25 les éléments connectés au graphe de liens du bloc de commutation (#1 en
figure 2.28) peuvent être replacés par une source de flux [146]-[89]. Nous obtenons un graphe de
liens simplifié (Figure 2.28.b).
De point de vue physique, et dans le circuit de la cellule de commutation à la figure 2.25, les
sources IF et VR représentent respectivement les valeurs relevées pendant le temps de la
commutation, du courant dans l'inductance et de la tension du condensateur [46].
Se :VR
I :Lc
0 1 1
I :L
R
C
01
R :Rg
Se :g
Bond #1
1 a
Se :VR
I :Lc
01 1
Sf :IF
D
1
R :Rg
Se :g 1 b
VR D
Lc
MOS L
C
gRg VR D
Lc
MOS
IF gRg
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 66
3.7.4 Simplification des graphes de liens des différents convertisseurs DC-DC
Le convertisseur Buck est décrit dans la figure 2.25, les convertisseurs Boost et Buck-Boost sont
décrit dans la figure 2.29.
Figure 2.29 Circuits et graphes de liens respectivement des convertisseurs Boost (gauche) et Buck-
Boost (droite).
En utilisant l'Hypothèse Standard de Commutation (SSA), figure 2.30 montre le graphe de liens
simplifié respectivement des convertisseurs Buck (a), Boost (b), Cellule de commutation (c), Buck-
Boost (d), comme expliqué auparavant.
Lc
MOS
L D
VR C
g
Rg
LcMOS
L
D
VR1 CIF
gRg
0 Se :VR 1
I :Lc
D
01
I :L C
R
Se :g 1 R :Rg
M
1Se :VR1 0
Sf :I
I :L
C 1
D R
0
Se :g 1 R :Rg
M
1
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 67
Figure 2.30 Graphes de liens Simplifiés pour les différents convertisseurs.
Buck (a), Boost (b), Cellule de Commutation (c), Buck-Boost (d).
VR D
Lc
MOS
IF gRg
Lc
MOS
D
IF VR
g
Rg
VR
IF
Lc
MOS
D
g
Rg
LcMOS D
VR1 VR
2
IF g
Rg
0Sf :IF
I :Lc
D
Se :VR
Se :g 1
Rg
iL VL
id Vd iM VM
ig Vg
Mc
1 0
I :Lc iL VL
id Vd 1 1 Se :VR 0
D
Sf :IF
R:Rg
iM VM
Vg Se :g 1 ig
M a
1
Sf :IF
R:Rg
1
Se :VR
0
I :Lc
D
Se :g 1
iL VL
id Vd iM VM
ig Vg
M b
0 Se :VR2
Sf :IF D
1Se :VR1 0
I :Lc
1
Se :g 1
iL VL
id Vd
iM VM
Vg ig
M
d R:Rg
1
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 68
3.7.5 Equivalence des phases de commutation dans les graphes de liens simplifiés
Les mêmes phases de commutation nécessitent les mêmes courants et tensions transitoires pour les
composants à semi-conducteur tel que : iD(t), vD(t), iDS(t), vDS(t), iG(t), vGS(t).
Le modèle de variable d’état (2.19) et (2.20) est considéré pour la diode, et le transistor MOSFET.
Les variables d'état de tous les graphes de liens (Buck, Cellule de Commutation, Buck-Boost) sont
respectivement XLc, QD, Qj, QG pour l’inductance Lc, Diode et le transistor MOSFET.
En utilisant l'analyse de la causalité [154] et spécialement l'Analyse de la Causalité Formelle (FCA :
« Formal Causality Analysis ») [43], les équations d'état des différents graphes de liens des
convertisseurs (Buck, Boost, Cellule de commutation, Buck-Boost) sont obtenues. Les graphes de
liens fournissent les mêmes équations d'état (2.21-2.24).
( ) ( , )
LcLc
R D DSD G j
dX VdtQ Q QV G G
=
= − − (2.21)
( )DD D D
dQQFidt
= − (2.22)
( ) ( , )j LcF DS G j
c
dQ X Q QI Fdt L= + − (2.23)
GG
dQidt
= (2.24)
Les équations d’états du convertisseur Buck-Boost (Figure 2.30.d) sont représentées dans (2.25-
2.28). En définissant une tension inverse effective VR = VR1-VR2, le système est le même que (2.21-
2.24).
1 2( ) ( ) ( , )
LcLc
R R D DSD G j
dX VdtQ Q QV V G G
=
= − − − (2.25)
( )DD D D
dQQFidt
= − (2.26)
( ) ( , )j LcF DS G j
c
dQ X Q QI Fdt L= + − (2.27)
GG
dQidt
= (2.28)
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 69
Dans le cas du convertisseur Boost, le graphe de liens simplifié est exactement le même que celui
du graphe de liens de la cellule de commutation (Figure 2.30.c).
Les variables de port du transistor MOSFET et de la diode (iD(t), vD(t), iDS(t), vDS(t), iG(t), vGS(t))
peuvent être décrites en fonction des variables d’états (XLc, QD, Qj, QG).
L'application de l’analyse de la causalité permet d'obtenir les équations d'état et les relations
donnant toutes les variables de port des graphes de liens comme fonctions des variables d’états.
Dans le cas du convertisseur Boost (Figure 2.30.b), les variables de ports sont données comme suit:
LcD
c
XiL
= (2.29)
( )D D DQv G= (2.30)
( , )DS DS G jQ QV G= (2.31)
LcFDS
c
Xi IL
= − (2.32)
GG
dQi dt
= (2.33)
Finalement, tous les convertisseurs (Buck, Cellule de Commutation, Buck-Boost) correspondent
aux équations d’états (2.21-2.24) et les signaux de commutation iD(t), vD(t), iDS(t), vDS(t), iG(t),
vGS(t) sont toujours donnés par (2.29-2.33). La solution de cette équation différentielle (2.21-2.24)
aboutit à une solution unique. De plus le Théorème de Cauchy [9] implique l'existence de la
solution unique. Finalement dans tous les convertisseurs, les signaux de commutation iD(t), vD(t),
iDS(t), vDS(t), iG(t), vGS(t) ont la même valeur (pendant la phase de commutation) aussitôt que les
valeurs de VR et IF sont équivalentes dans tous les convertisseurs. Cependant les graphes de liens
simplifiés ne sont pas les mêmes, (Les courants dans les sources de tension ne sont pas les mêmes).
3.7.6 Equivalence des simulations
Nous voulons étudier ici les équivalences qui existent dans les simulations de ces différents circuits.
La figure 2.31 montre un résultat de simulation (PACTE), pour les circuits étudiées à l’ouverture
d’une diode dans les mêmes conditions de courant direct IF, de tension inverse VR, de températures
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 70
TDIODE , TMOS et pour le même câblage caractérisé ici par l’inductance de la maille Lc. Lors des
simulations nous avons utilisé les mêmes composants et la même commande pour les différents
convertisseurs : rg = 10W, lg =5nH. VR = 100V, C=470 µF, L=3.2nH, R=50W. La diode utilisée est
la BYT12PI600 [8]. Evidement, il est souvent nécessaire au niveau d’une simulation fine, d’utiliser
des modélisations plus avancées du câblage. Toutefois l’objectif de cette étude est de valider les
équivalences au premier ordre des différents circuits.
Tension VR pour le bras d’onduleur
Courant IF pour le boost, le buck et lacellule de commutation.
Courant IF pour le bras d’onduleur.
Tension (V) Courant (A)
Tension VR pour le boost, le buck, et la cellule decommutation
Figure 2.31 .Tension et courant au blocage de la diode pour les différents circuits (PACTE)
(Rg=10Ω, Lg=5nH, VR=100V, C=470µ, L=3.2nH, R=50Ω, Diode BYT12P600, MOS IRF740).
Les commutations équivalentes (Figure.2.31) confirment les résultats démontrés précédemment.
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 71
Courant (A)Courant de grille IG pour leBras d’Onduleur
Courant de grille IG pour le Boost,Buck, et la Cellule de commutation
Conclusion: nous venons bien de vérifier que dés lors que IF et VR sont identiques, tous les circuits
hacheurs aboutissent exactement aux même commutations des composants actifs.
En revanche le cas de l’onduleur montre manifestement
un écart significatif par rapport aux commutations dans
les circuits DC-DC (Figure 2.31 et 2.32).
En effet si nous étudions la commutation sur le bras
d’onduleur, la diode D2 est conductrice et M1 passe en
conduction. La diode D1 et le MOSFET M2 sont des
éléments non-linéaires que nous ne pouvons pas
simplifier car à l’état bloqué ils se comportent comme des capacités non-linéaires qui interagissent
avec l’inductance de câblage Lc.
En particulier cette interaction se vérifie au niveau du courant grille dans le MOSFET (Figure 2.33).
IF
V Lc1
Lc2
MOS1
MOS2
D1 :DIODE
D2 :DIODE
Courant (A)
Tension (V)
Tension Vmax pour le bras
d'onduleur
Courant Imax pour le
bras d'onduleur. Courant Imax pour le Buck,
Boost, la Cellule de commutation.
Tension Vmax pour le Buck, Boost,
la Cellule de commutation.
Figure 2.32 Le courant et la Tension
maximum au cours du blocage de la diode
pour tous les convertisseurs dans les mêmes
condition que la figure 2.31.
Figure 2.33 Le courant Ig à travers le
MOSFET (IRF740).
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 72
Il est donc clair que pour des simulations fines le bras d’onduleur n’est pas équivalent à la cellule de
commutation.
Figure 2.34 Perte en commutation pendant le blocage de la diode dans les mêmes conditions que
figure 2.31.
Cela à des conséquences non négligeables en ce qui concerne les pertes en commutation Figure
2.34.
3.7.7 Modèles moyens des principaux convertisseurs DC-DC
Pour la construction des modèles moyens des principaux convertisseurs DC-DC, nous allons traiter
les cas des modes de conduction continue et discontinue séparément. Nous fournissions une liste de
modèles. Il est bien évident qu’un réseau de Pétri gérera, pour un convertisseur donnée, les différent
modèles moyens. Dans ce réseau de Pétri des conditions doivent, en cours de simulation, indiquer le
mode de conduction du convertisseur, afin de permettre le changement de modèle, s’il y a lieu,
comme par exemple le passage de conduction continue à discontinue lors d’une variation de charge.
Si les conditions de transition sont à peu prêt connues, nous n’avons pas testé la mise en œuvre de
réseaux de Pétri des modèles moyens. Nous n’abordons pas cette partie (non aboutie) dans ce
manuscrit.
Energie(1µJ)
Energie pour le Bras d'onduleur
Energie pour le Buck, Boost,
Cellule de commutation
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 73
3.7.7.1 Mode de Conduction continue
Nous appliquons la même démarche vue au paragraphe 3.7.4 pour les différents types de
convertisseur DC-DC présentés au paragraphe 3.7.
3.7.7.1.1 Cellule de commutation
Figure 2-35 « Cellule de Commutation ».
La figure suivante représente les signaux idéaux de commutation qui remplacent les signaux réels
dans le cas de la cellule de commutation, comme déjà vu au paragraphe 3.4 (figures 2.17, 2.18).
IFVR M
g
Lc ie
vs
D
1Se :VR 0
M
Se :g
I :Lc
Sf :IF
D
0
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 74
Avec PDSon=VDSon.iDSon, PDon=VDon.IF. Pour la simplicité des traitements nous négligeons les
courants de fuite.
Les valeurs moyennes des différents signaux ci-dessus sont :
.[1 ]CelliD
e D Fi i IT
δρ< >=< − >= − − +
.[ ]CelliDS
DS Fi IT
δρ< >= +
( ). 1 .Cell CellvDS vDS
s R Don DSonv V V vT T
δ δρ ρ < >= + − − + +
. . [ ]CellPm
Mosfet DSon FEP v I
Tρ< >= +
t0 t1
t0+δvDon
t1+δvDoff
Vg
iD
IF
VD
VDon
VDoff
PD
PDon
VM
VDSoff
VDson
IDS
iDSon
PDS
pDSon
t0+δiDon
t1+δiDoff
1-ρTT
t0+δvDSoff
t1+δvDSon
t0+δpDon
t1+δpDoff
t0+δiDSoff
t1+δiDSon
t0+δpDSoff
t1+δpDSon
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 75
( ). . 1 [ ]CellPd
diode Don FEP v IT
ρ< >= − +
3.7.7.2 Buck
Figure 2.36 Hacheur « Buck », ou abaisseur de tension.
Pour le Buck les valeurs moyennes sont données comme suit :
.[1 ]BuckiD
D Fi IT
δρ< >= − +
.[ ]BuckiDS
e DS Fi i IT
δρ< >=< >= +
( ). . 1Buck BuckvDS vDS
s R DSon Donv V V vT T
δ δρ ρ < >= − − − − +
. . [ ]BuckPDS
Mosfet DSon FEP v I
Tρ< >= +
( ). . 1 [ ]BuckPD
diode Don FEP v I
Tρ< >= − +
3.7.7.3 Boost
Figure 2-37 Hacheur « Boost », ou élévateur de tension.
Pour le convertisseur Boost les valeurs moyennes sont données comme suit :
IF
M
VR
Lc
D
vs ie
VR IF
is
Mg
Lc D
ve
1Se :VR 0
M
Se :g Sf :IF
1
I :Lc
1 D
0Sf :IF 1
Lc
VR
M
Se :g
D0
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 76
.[1 ]BoostiD
s D FIi i Tδρ< >=< >= − +
.[ ]BoostiDS
DS Fi IT
δρ< >= +
( ). 1 .Boost BoostvDS vDS
e R Don DSonv V V vT T
δ δρ ρ < >= + − − + +
. . [ ]BoostPM
Mosfet DSon FEP v I
Tρ< >= +
( ). . 1 [ ]BoostPd
diode Don FEP v I
Tρ< >= − +
3.7.7.4 Buck-Boost
Figure 2.38 Hacheur « Buck-Boost ».
Pour le Buck-Boost les valeurs moyennes sont données comme suit :
( ).[1 ]Buck BoostiD
s D FIi i Tδρ
−
< >=< − >= − − +
.[ ]Buck BoostiDS
e DS FIi i Tδρ
−
< >=< >= +
1 2(( ) ). . 1Buck Boost Buck BoostvDS vDS
s R R DSon DSonv V V V vT T
δ δρ ρ− −
< >= − − − − − +
. . [ ]Buck BoostPM
Mosfet DSon FEP v I
Tρ
−
< >= +
( ). . 1 [ ]Buck BoostPD
diode Don FEP v I
Tρ
−
< >= − +
Nous traçons sur la figure 2.40, la variation de délais virtuels iDδ et v Dδ en fonction du courant
pour les différents convertisseurs DC-DC. Evidement comme nous avons montré que tous les
hacheurs fournissent exactement les mêmes commutations (Paragraphe 3.7), on constate bien que
les délais sont égaux dès lors que les conditions des commutations sont égales par ailleurs.
VR2 g
M
VR1
D L
Vs IF
is ie
1Se :VR1 0
M
Sf :IF
I :Lc
Se :VR2 1
D
Se:g
0
1
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 77
T i m e
i Dδ ( n s )
T i m e v Dδ ( n s )
Figure 2.40 Les délais virtuels iDδ and v Dδ pour le Boost,
Buck et la Cellule de commutation ( Diode : BYT12PI600, MOSFET : IRF740, Lc=100nH,
VR=150V, Rg=10Ω, Lg=5nH).
Nous rassemblons dans le tableau 2.1 le récapitulatif des résultats. Nous représentons pour chaque
convertisseur la tension et le courant à appliquer à la cellule de commutation équivalente.
Buck Cellule Boost Buck-Boost FlyBack Cûck
VR VR VR VR VR1-VR2 VR1-VR2 VR
IF IF IF IF IF IF I1-I2
Tableau 2.1
3.7.8 Mode de conduction Discontinue
Dans cette partie, nous traiterons le mode de conduction discontinue du fonctionnement des
convertisseurs DC-DC. Nous présentons ci-dessous les différentes équations de courant et de
tension obtenue tout calcul fait pour les convertisseurs déjà présentés. Cette partie sert seulement
d’illustration.
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 78
3.7.8.1 Boost
Figure 2.41 Hacheur « Boost ».
La figure suivante représente les signaux idéaux de commutations qui remplacent les signaux réels
dans le cas du Boost pour le mode de conduction discontinue.
Lc
MOS
L D
VR C
g
Rg 0 Se :VR 1
I :Lc
D
01
I :L C
R
Se :g 1 R :Rg
M
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 79
Avec PDSon=VDSon.iDSon, PDon=VDon.I0, α=(T2-t1)/T.
Dans le cas du Boost, les valeurs moyennes sont :
0 .[ ]2
CelliDS
DSIi T
δρ< >= +
( )2. .
2. .R s L
e Fs R
V Vi iL TV V
δρ < >=< >= + −
t0 t1
t1+δvDon
T2
Vg
iD
I0
VD
VDon
VDoff
PD
PDon
VM
VDSoff
VDSon
IDS
iDSon
PDS
pDSon
t1+δiDon
T2
ρT
T
t0+δvDSon
t1+δvDSoff
t1+δpDon
T2
t0+δiDSon
t1+δiDSoff
t0+δpDSon
t1+δpDSoff
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 80
,0( ).[ ]2
BoostOn iD
s DIi i
Tδ
α< >=< >= −
0. . [ ]2
BoostDSon PM
Mosfetv I EP
Tρ< >= +
,0. . [ ]2
BoostOn PDDon
diode
Ev IPT
α< >= −
Nous vérifions aussi bien que:
2 20 0. . . .
2( ) 2 ( )
out in
R DS S D
RR S
R S S R S
P PV i V i
L L VI IV VV V V V V
< >=< >< >= < >
=− −
3.7.8.2 Buck
Figure 2.42 Hacheur « Buck ».
De même pour le Buck, nous trouvons les valeurs moyennes suivantes :
,0( ).[ ]2
CellOn iD
DIi
Tδ
α< >= −
0 .[ ]2
BuckiDS
e DSIi i T
δρ< >=< >= +
( ) 2..
.2.R s R L
s Fs
V V Vi i L TV
δρ− < >=< >= +
0. .[ ]2
BuckDSon PM
Mosfetv I EP
Tρ< >= +
,0. .[ ]2
BuckOn PDDon
diode
Ev IPT
α< >= −
VR D
Lc
MOS L
C
gRg
Se :VR
I :Lc
0 1 1
I :L
R
C
0 1
Se :g 1
R :Rg
D
M
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 81
3.7.8.3 Buck-Boost
Figure 2.43 Hacheur « Buck-Boost ».
De même pour le Buck-Boost, nous trouvons les valeurs moyennes suivantes
( ) 21 2 1
2
..
.R R R L
L FR
V V Vi i L TV
δρ− < >=< >= +
,0( ).[ ]2
Buck BoostOn iD
s DIi i
Tδ
α−
< >= − < >= − −
0 .[ ]2
Buck BoostiDS
e DSI
i i Tδρ
−
< >= − < >= +
0. .[ ]2
Buck BoostDSon PM
Mosfetv I EP
Tρ
−
< >= +
,0. .[ ]2
Buck BoostOn PDDon
diode
Ev IPT
α−
< >= −
Lc MOS
L
D
VR1 CIF
gRg
1Se :VR 0
Sf :I
I :L
C 1
D R
0
Se :g 1 R :Rg
M
1
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 82
4 Conclusion
Pour la simulation des systèmes de puissance, nous avons appliqué l'analyse de causalité algébrique
à la construction de modèles simplifiés d'un convertisseur.
Les apports de cette démarche vis-à-vis de l'état de l'art, sont significatifs au niveau de la
systématisation de la construction du modèle, et de l'extension à la prise en compte des non-
linéarités des composants à semi-conducteur.
L'introduction des délais virtuels ramène la cellule de commutation au premier plan des
considérations.
Partant d'une structure de convertisseur, il est possible de construire systématiquement des modèles
moyens en fonction des différents modes de fonctionnement. En choisissant des délais virtuels
représentatifs des gammes en courant, tension et puissance, un concepteur peut débuter l'analyse
d'un prototype virtuel en se préoccupant à la fois de la loi de commande, des aspects thermiques et
probablement électromagnétiques. Ceci constitue bien la base d'un outil de conception.
En utilisant l'analyse de causalité, nous avons montré que si les commutations dans un
convertisseur DC-DC pouvait classiquement être étudiées dans le circuit simplifié de la cellule
de commutation, ce n’est pas le cas des commutations dans un onduleur de tension.
Ce point est important car nous développons des modèles simplifiés des convertisseurs en vue de
conception. Il est donc clair que ces modèles simplifiés devront différencier les convertisseurs DC-
DC et DC-AC.
Pour autant, la problématique de la construction des modèles moyens de convertisseur n’est pas
levée puisque la gestion de ces modèles, les uns par rapport aux autres en cours de simulation, n’a
pas encore aboutie.
Chapitre 2 : Modélisation des pertes dans les convertisseurs de puissance 83