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DESCRIPTION
Continu discret fini en traitement du signal : échantillonnage et reconstruction Cécile Durieu Département EEA LESiR/SATIE ENS Cachan [email protected] UPS TIPE, 15 mai 2002. quanti-fication. traitement numérique. recons- truction. signal numérique. signal à - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Continu discret finien traitement du signal :
échantillonnage et reconstruction
Cécile DurieuDépartement EEA LESiR/SATIE
UPS TIPE, 15 mai 2002
TF TFD
Contexte
][keeT)(te
ekT eTk )1( +eTk )1( − t
signal àtemps continu
signal àtemps discret
échantillonnage
traitementnumérique
][ksq )(ts
signal àtemps continu
recons-truction
ekT eTk )1( +eTk )1( − t
)(te ][ke
][keq quanti-fication
signalnumérique
][keq
Échantillonnage et reconstruction
ekT eTk )1( +eTk )1( −t
perte faible si "petit "eT+ filtrage passe bas
)()(ˆ txtx ≅)(tx ][kx
perte d’information ?
BO 1BO 0
Limites de l’échantillonnage
•
•
t02 fFe = reconstructionimpossible
0fFe < t+ filtrage passe bas
eFff −= 00
)
t
][kx )(tx∗ ][kx)(tx
tekT eTk )1( +eTk )1( −
Signal échantillonné idéal
)(tx ][kx
signal à temps continu
signal à temps discret
( ) )()()(
)(][)(
ttxkTttx
kTtkxtx
eTe
e
δ=−δ=
−δ=
∗ signal à temps continu
perte d’information ?
)(tx∗
Échantillonnage : domaine fréquentiel
π−= dtftjtxfXTC )2exp()()( π−= )2exp(][)( kfjkxfXTD
)()2exp(][)(
eTD
eTC
fTXkfTjkxfX
=π−=∗
périodicité du spectre
( )
−=
δ=
√√√
↵
eTC
e
TTC
e
T
kfX
T
fXT e
1
)(1
1*-1m Hz,
Échantillonnage : théorème de Shannon
• signal à support spectral limité + max2 fFe <maxf±
feeeeee FFFFFF 22/02/2 −−−
max2 f
)( fXTC
recouvrement repliement de spectre
perte d’information et restitution impossible
)( fXT TCe∗( ) √
√↵
±+√
√↵
±+
eTC
eTCTC T
fT
ff XXX 21
−=√√√√
↵
∗
eT
kfX
TfX TC
eTC
1)(
Echantillonnage : théorème de Shannon
• signal à support spectral limité +
f
max2 f
)( fXTC )( fXT TCe∗
maxf± max2 fFe >
eeeeee FFFFFF 22/02/2 −−−
)( fH
pas de perte d ’information et restitution possible sans erreur
Échantillonnage et reconstruction
•
• exemple :
)(tx ][kx
)(tx∗
max2 fFe >
max2 fFe >
CSN
)( fXT TCe∗
)kHz(f
)( fXTC
0f
kHz20,kHz5.170 == eFf
eeeeee FFFFFF 22/02/2 −−−0f
)( fH
filtrage passe bande ou changement de fréquence
Échantillonnage et filtrage
• support spectral infini : signal + horizon fini
• filtrage anti-repliement
f
)( fH
max0 f
atténuation de kdB entre 2et max eFf
exemple : signal sonore, bande utile : 20 Hz20 kHz kHz1.44=eF
2eFf
][kx f)(tx )(tx fmax0 f
eT
CD audio
Reconstruction : interpolateur idéal
( )( ) −π=
∗= ∗
ee TkTtkxthxtx
)(sinc][)()(ˆf
)(tx∗ )(ˆ tx20 eF
)( fH
t
)(th
ee TT 0−
1
t0t
1
Reconstruction et interpolateur causal
• interpolateur à RIF
• interpolateur causal
)(th
0
t
)()( etc NTthth −=
0eNT2
eNTretard N pas trop grand
0 2eF f
)( fH t
eNTeNT−
assez grandN
phénomène de Gibbs
)(tht
Reconstruction et CNA
eF2eF
)( fXTe∗
1
)(ˆ fX
( ) )2()(ˆet )(exp)(ˆ: si max eee TtxtxfXfTfXfF −≅π−≅>>
f
)( fX
0 eF2
][kxCNA
)(ˆ tx
][kx )(tx∗ )(ˆ txS
teT
)(th
0
1
eTfH )(
Reconstruction et CNA
][ke)(te
)(ˆ te
CNACAN
t
BO 0
)(te ][ke
( )2)(ˆ eTtsts −≅
filtre filtre
)(ts
( )2eTte −
)(ˆ te
Reconstruction et interpolation
• exemple 1 :
• exemple 2 :
kHz12,kHz10 == eFf
08.0:kHz1309.0:kH11
996.0:kHz1
0
0
0
=+=−=
fFzfF
f
e
e
12.0:kHz72
17.0:kHz52
21.0:kHz4
41.0:kHz2
82.0:kHz1
0'
0'
0'
0'
0
=+=−=+=−=
fFfFfFfFf
e
e
e
e
teT
kHz3,kHz1 '0 == eFf
t
'eT
eT
+ interpolation kHz12=eF
Reconstruction et interpolation
• exemple CD :
!58.0:69.0:
max
max
fFf
e −
][kxCNA
interpo-lateur
H(p))(ˆ tx
H(z)
f
)( fG
max0 f maxfFe −
interpolationee FF 4' =
)48( =N
13.0:
98.0:
max'
max
fF
f
e −
max4 fFe −
= TFD
TF TFD TFR
• ],[][)( Kkxkxtx ♦♦),(),( KfXKfX TDTC ♦
t0 eT eTK )1( −
)(tx ],[ Kkx
horizon fini eKT
f0
),( KfXTD
K
grillepas1
===ΔKF
KTf e
e
+ périodicité points par période
( )=
π−=K
k
kfjkx1
2exp][ √↵
==♦ KK
nfXKnX TF ,],[
],[ KnX
TF TFD TFR
• bourrage de zéros pas de grille / M
• algorithme rapide si • fenêtre de pondération lobes parasites
et perte en résolution exemple : fenêtre rectangulaire +
LK 2=
f0
),( KfXTD
0f
eKT1eKT2
différentes fenêtres
2AK
TF TFD TFR
• pas de grille hauteur des pics !
f0 0f
eFK
kf 00 =
),( KfX
f00f
eFK
kf
ε+= 0
0
f0 0f
),( KfX),( KfX
différentes fenêtres
Quelques références bibliographiques
• Jean Pierre DELMAS : "Eléments de théorie du signal : les signaux déterministes ", Ellipses, Collection pédagogique de Télécommunication, 1991.
• Francis COTTET : "Traitement des signaux et acquisition de données ", Dunod, 1997.
• Bernard PROST : "Disques optiques ", Techniques de l’Ingénieurs, réf E 5450, Vol. TE, 1995.