conception optimale d’une micro pompe par la … · par la méthode des algorithmes génétiques...

UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA

Faculté des Sciences Appliquées

Département de Génie Electrique

Mémoire

MASTER ACADEMIQUE

Domaine : Sciences et technologies

Filière : Génie électrique

Spécialité : Electrotechnique Industrielle

Présenté par :

KOCHEIDA ADEL

Thème:

Soutenu publiquement

Le : 01/06/2016

Devant le jury :

Année universitaire 2015/2016

Mr Soraya Zehani MC (A) Président UKM Ouargla

Mr Khadidja BOUALI MC (B) Encadreur/rapporteur UKM Ouargla

Mr Ahmed Nour El Islam Ayad MA (A) Examinateur UKM Ouargla

Conception optimale d’une micro pompe

par la méthode des algorithmes

génétiques (AG)

REMERCIEMENTS

I

Remerciement

Mes premiers remerciements vont au Docteur Bouali

Khadidja qui a dirigé mon travail en m’accordant toute sa

confiance. J’ai la chance d’avoir été encadré par une

personne toujours disponible, qui m’a fait partager sa

curiosité et sa rigueur scientifique.

J’ai bénéficié de son soutien même dans les moments

difficiles. Pour tout cela, je tiens à lui exprimer ma sincère

reconnaissance.

Je remercie vivement Madame S. Zehani, qui m’a fait

l'honneur de présider mon jury de mémoire et juger mon

travail.

Mes remerciements vont de même à Monsieur A. Ayad, jury

examinateur qui m’a fait l’honneur de participer au jury de

mon mémoire.

Mes remerciements vont spécialement à tous les membres de

ma petite famille pour leurs patience et encouragements.

Sommaire

Sommaire

II

Sommaire

Liste des figures ............................................................................................................ II

Introduction générale ................................................................................................... 1

Chapitre 1 : Généralités sur les pompes Magnétohydrodynamiques MHD ........... 3

1.1 Introduction ........................................................................................................................ 3

1.2 Principe physique ............................................................................................................... 3

1.3 Pompe MHD à conduction ................................................................................................. 4

1.3.1 Classification de la MHD à conduction ....................................................................... 5 1.3.1.1 Pompe MHD à conduction à courant continu .............................................................. 5

1.3.1.2 Les Pompes MHD à conduction à courant alternatif .................................................... 6

1.4 Pompe MHD à induction .................................................................................................... 7

1.4.1 Principe physique ......................................................................................................... 7

1.4.2 Classification de la MHD à induction ......................................................................... 8 1.4.2.1 Pompes plates ............................................................................................................... 8

1.4.2.2 Pompes annulaires ........................................................................................................ 9

1.4.2.3 Pompes hélicoïdales ................................................................................................... 10

1.5 Comparaison entre les pompes à conduction et à induction ............................................. 10

1.6 Application des pompes magnétohydrodynamiques ........................................................ 11

1.7 Avantages et inconvénients des pompes MHD ............................................................... 12

1.8 Conclusion ........................................................................................................................ 13

Chapitre 2 : Modélisation en 2D d’une pompe MHD à conduction ....................... 14

2.1 Introduction ...................................................................................................................... 14

2.2 Méthodes numériques ....................................................................................................... 14

2.2.1 Méthodes des différences finies ................................................................................ 14

2.2.2 Méthodes des éléments finis ....................................................................................... 15

2.2.3 Méthodes des intégrales de frontières (MIF) .............................................................. 15

2.2.4 Méthodes des volumes finis (MVF) ........................................................................... 15

2.3 Phénomènes électromagnétiques ..................................................................................... 16

2.4 Equations de Maxwell ...................................................................................................... 16

2.4.1 Conditions aux limites et conditions d’interfaces ....................................................... 17 2.4.1.1 Conditions aux limites ................................................................................................ 18

2.4.1.2 Conditions d’interfaces ............................................................................................... 18

2.4.2 Formulation du probleme électromagnétique .......................................................... 18

2.4.3 Formulation en coordonnées cylindriques axisymétriques ....................................... 20

2.5 Mise en œuvre de la méthode des volumes finis ............................................................. 21

2.6 Etude du modèle électromagnétique par volume finis .................................................... 22

2.7 Description du prototype MHD à conduction ................................................................. 24

2.8 Application et résultats de la modélisation numérique (volumes finis) ......................... 25

2.8.1 Potentiel vecteur magnétique ...................................................................................... 27

2.8.2 Présentation de l’induction magnétique ..................................................................... 28

2.8.3 Distribution de la force électromagnétique ................................................................ 28

2.9 Conclusion ........................................................................................................................ 29

Sommaire

III

Chapitre 3 : Etat de l’art des méthodes d’optimisation .......................................... 30

2.1 Introduction ...................................................................................................................... 30

3.2 Formulation mathématique d’un problème d’optimisation .............................................. 30

3.3 Problèmes d’optimisation sans contraintes ....................................................................... 31

3.4 Problèmes d’optimisation contraints ................................................................................ 31

3.5 Traitement des contraintes ................................................................................................ 32

3.6 Classification des méthodes d'optimisation ...................................................................... 33

3.6.1 Méthodes d’optimisation déterministes ...................................................................... 33

3.6.2 Méthodes d’optimisation stochastiques ...................................................................... 34 3.6.2.1 Définition ................................................................................................................... 34

3.6.2.2 Principe d'un algorithme stochastique ....................................................................... 34

3.6.3 Les algorithmes génétiques (AG) ............................................................................... 35 3.6.3.1 Introduction ................................................................................................................ 35

3.6.3.2 Terminologie et principe des algorithmes génétiques ................................................ 36

3.6.3.3 Mise en œuvre de la procédure des Algorithmes Génétiques .................................... 39

3.7 Conclusion ..................................................................................................................... 41

Chapitre 4 : Conception de la pompe MHD à conduction par la méthode des AG ...... 42

4.1 Introduction ...................................................................................................................... 42

4.2 Le mécanisme d’algorithme génétique ............................................................................. 42

4.3 Démarche de conception par optimisation ....................................................................... 42

4.4 Formulation d'un problème d’optimisation d'une pompe MHD par AG .......................... 42

4.4.1 Calcul de la masse totale de la pompe ........................................................................ 44

4.5 Conception par algorithme génétique de la pompe MHD à conduction .......................... 46

4.6 Application et résultats ..................................................................................................... 46

4.7 Etude des performance de la pome à conduction par la MVF .......................................... 47

4.7.1 Potentiel vecteur magnétique ...................................................................................... 47

4.7.2 Présentation de l’induction magnétique ..................................................................... 48

4.7.3 Distribution de la force électromagnétique ................................................................ 49

4.8 Conclusion ........................................................................................................................ 49

Conclusion générale ................................................................................................... 50

Références bibliographiques ..................................................................................... 51

Liste des Figures

Liste des figures

IV

Liste des figures

Figure 1.1 : Principe du pompage MHD dans les liquides ........................................................ 4

Figure 1.2 : Schéma d'une pompe MHD à conduction .............................................................. 4

Figure 1.3 : Schéma d’une machine MHD à conduction à courant continu. ............................. 6

Figure 1.4 : Schéma d’une machine MHD à conduction à courant alternatif. .......................... 7

Figure 1.5 : Lignes de courant dans une pompe MHD à induction ........................................... 8

Figure 1.6 : Pompe MHD à induction plate ............................................................................... 9

Figure 1.7 : Pompe MHD à induction annulaire........................................................................ 9

Figure 1.8 : Schéma d’une pompe MHD hélicoïdale .............................................................. 10

Figure 1.9 : Générateur MHD à gaz ionisé. ............................................................................. 11

Figure 1.10 : Structure d’un TOKAMAK. .............................................................................. 12

Figure 2.1 : Maillage du domaine d’étude. ..................................................................... 22

Figure 2.2 : Discrétisation dans la méthode des volumes finis. ............................................ 22

Figure 2.3 : Géométrie de la pompe MHD à conduction ........................................................ 25

Figure 2.4 : Algorithme du modèle électromagnétique par la méthode des volumes

finis 26

Figure 2.5a : Lignes équipotentielles dans la pompe MHD .................................................... 27

Figure 2.5b : Distribution du potentiel vecteur magnétique dans la pompe en 3D ................. 27

Figure 2.6 : Induction magnétique dans la pompe MHD en 3D .............................................. 28

Figure 2.7 : Distribution de la Force électromagnétique dans le canal de la pompe MHD..... 28

Figure 3.1 : Méthodes déterministes multidimensionnelles .................................................... 34

Figure 3.2 : Principales méthodes stochastiques ..................................................................... 35

Figure 3.3 : Représentation des trois niveaux d'organisation de l'AG ..................................... 36

Figure 3.4 : Processus d’optimisation par les algorithmes génétiques .................................... 38

Figure 3.5 : Représentation d'un individu ................................................................................ 39

Figure 3.6 : Processus de croisement ....................................................................................... 41

Liste des figures

V

Figure 4.1 : La structure de la pompe utilisée dans l’optimisation .......................................... 43

Figure 4.2 : Résultats d’optimisation par la méthode des algorithmes génétiques ................ 47

Figure 4.3a : Lignes équipotentielles dans la pompe MHD optimisée ................................... 48

Figure 4.3b : Le potentiel vecteur magnétique dans la pompe MHD optimisée en 3D ........... 48

Figure 4.4 : Induction magnétique dans la pompe MHD optimisée en 3D ........................... 49

Figure 4.5 : La force électromagnétique dans le canal de la pompe MHD optimisée .......... 49

Introduction Générale

Introduction générale

1

La magnétohydrodynamique (MHD) est à la frontière de deux sciences, la mécanique

des fluides et l’électromagnétisme. Elle consiste en l’étude de l’interaction entre un écoulement

de fluide conducteur et des champs magnétiques et électriques. Sa naissance remontre au 19éme

siècle, lorsque Faraday écrivit les lois de l’induction magnétique (1831). Elles montrent

l’existence d’une force électromotrice induite dans un écoulement soumis à un champ

magnétique. Cette force est susceptible de créer des courants qui peuvent agir avec le champ

magnétique pour donner naissance à des forces de Laplace. Le convertisseur MHD concerne la

conversion de l’énergie mécanique du mouvement d’un fluide conducteur en énergie électrique.

Ce mécanisme permet de transformer directement le mouvement de fluide en électricité sans

passer par des turbines comme dans le cas des centrales classiques. Elle peut également

s’effectuer en sens inverse, c’est à dire qu’il est possible d’utiliser l’énergie électrique pour

mettre un fluide conducteur en mouvement. On obtient ainsi des pompes

magnétohydrodynamiques [2], [25].

Les applications des pompes électromagnétiques sont très larges et dans des domaines très

variées, tels que le pompage du sodium pour le refroidissement des réacteurs nucléaires, le

pompage des métaux liquides à haute température comme le zinc et l’aluminium. Aujourd’hui

elles sont utilisées dans d’autres domaines comme le domaine médical ou la microélectronique

(électrolytes, plasmas) (Baker et Tessier 1987) [10].

Les applications de la magnétohydrodynamique sont très larges et dans des domaines très

variées, tels que l’industrie métallurgique, le transport ou le pompage des métaux liquides en

fusion, ….

Les dispositifs électromécaniques sont dimensionnés à partir d’équations analytiques classiques

avec des hypothèses simplificatrices.

Depuis quelques années, les recherches dans le domaine de conception des dispositifs

électromagnétiques s’orientent vers l’optimisation par le biais de différentes approches.

Ces dernières sont plus ou moins contraignantes et précises. En effet, les paramètres à optimiser

sont souvent interdépendants et il est difficile de trouver la solution optimale prenant en compte

les différentes interactions. En fait, trouver la solution optimale d’un problème dans un espace

complexe implique un compromis entre deux objectifs : l’exploitation des meilleures solutions et

l’exploration robuste de l’espace de recherche.

Les méthodes d’optimisation de type grimpeur procèdent itérativement en tentant, à chaque pas,

de trouver localement une solution intermédiaire meilleure que la solution courante ; ce genre de

Introduction générale

2

méthodes est pénalisé par son incapacité à traiter des problèmes représentant des reliefs de

solutions multimodales (systèmes possédant plusieurs optimums locaux) [1].

L’objectif de ce mémoire est d’étudier les phénomènes électromagnétiques dans une pompe à

conduction basée sur la mise en mouvement d’un fluide conducteur, et concevoir par

optimisation de cette pompe.

Des résultats de simulation à base de la méthode des volumes finis en 2D.

Ensuite, le problème de conception par optimisation de la pompe considérée sera abordé par

l’application des algorithmes génétiques.

Pour se faire, le présent mémoire à été réparti en quatre chapitres :

Le premier chapitre, consiste en une présentation générale des convertisseurs

magnétohydrodynamiques (MHD) et leurs différentes applications.

Le deuxième chapitre est consacré à la modélisation des phénomènes électromagnétiques.

Il s’agit de développer un modèle en 2D par la méthode des volumes finis.

Le troisième chapitre, présent l’état de l’art des méthodes d’optimisation.

Le dernier chapitre est dédié à l’optimisation de pompe MHD par les Algorithmes

génétiques sous environnement MTLAB.

Le mémoire est clôturé par une conclusion générale où des suggestions et de perspectives

sont proposées.

Chapitre un

Généralités sur les pompes

Magnétohydrodynamiques

MHD

Chapitre deux

Modélisation en 2D de la

MHD à Conduction

Chapitre 1 Généralités sur les pompes Magnétohydrodynamiques MHD

3

1.1 Introduction

La magnétohydrodynamique (MHD) est un domaine vaste de la physique lié à l’interaction

entre un champ magnétique et un fluide conducteur d’électricité. La notion de la conversion

MHD remonte à l’époque de FARADAY qui en plaçant des électrodes dans une rivière d’eau,

convenablement orientées par rapport au champ magnétique terrestre, recueillit un faible

courant électrique induit [34].

La MHD a étendu son domaine à la métallurgie et d’autres dispositifs industriels (pompes

électromagnétiques, propulsion), ces pompes ont l’avantage par rapport aux pompes

mécaniques de n’avoir aucune pièce mobile et aucun contact avec le fluide puisque ce dernier

est simplement connecté par un champ magnétique [2].

Le but de ce chapitre est de donné des généralités sur les pompes MHD.

1.2 Principe physique

Le principe général de fonctionnement des pompes électromagnétiques réside dans

l’application d’une induction magnétique B non colinéaire à un courant I traversant le fluide.

Ceci donne naissance à une force de Laplace qui entraine la circulation du fluide conducteur

dans le canal. Les pompes électromagnétiques sont classées en fonction de la nature du

courant qui les traverse (continu ou alternatif), de la manière dont est crée le champ

magnétique (continu ou alternatif) et de l’origine du courant (induction ou conduction). Nous

trouvons aujourd’hui deux catégories principales de pompes électromagnétiques, les pompes

à conduction et les pompes à induction [3], [4].

Nous parlons de pompes à conduction lorsque le courant est injecté dans le canal de pompage

par l’intermédiaire d’électrodes. Dans le cas des pompes à induction, le courant est induit à

l’intérieur du canal de pompage par la présence d’un champ magnétique glissant [5].


4

Fig. (1.1) Principe du pompage MHD dans les liquides.

1.3 Pompe MHD à conduction

Les machines MHD linéaires à conduction peuvent fonctionner principalement comme

pompes. Dans ce type de pompe, le courant électrique est fourni par une source extérieure et

le champ magnétique est imposé. Une limitation essentielle est le manque d’adhérence du

métal liquide sur les parois, ce qui augmente les pertes [6], [7].

Les pompes magnétohydrodynamiques à conduction sont constituées d’un canal dans lequel

s’écoule un fluide électriquement conducteur à la vitesse V . La figure (1.2) représente le

schéma d’une telle pompe. L’interaction entre l’induction magnétique B suivant l’axe z et le

courant I injecte par les électrodes suivant l’axe y donne naissance à une force de Laplace

F suivant l’axe x.

Fig. (1.2) Schéma d'une pompe MHD à conduction.


5

Les différentes parties qui constituent la pompe magnétohydrodynamique à conduction sont :

- le circuit magnétique : il est destiné à créer et canaliser les lignes de champ magnétique dans

le canal ;

- le canal dans lequel s’écoule le fluide électriquement conducteur ;

- le fluide conducteur : dans notre cas, c’est un fluide métallique de très grande conductivité

électrique;

Les deux électrodes en contact avec le fluide conducteur : elles servent à injecter le courant I à

l’intérieur du canal. Elles sont réalisées avec un matériau bon conducteur électrique.

Le tableau (1.1) comporte les conductivités de quelques fluides utilisé par les pompes à

conduction :

Tab. (1.1) Les fluides les plus utilisés.

Elément Conductivité électrique

σ [S/m]

Le mercure 1.66*106

Mélange de sodium et Potassium

(NaK (22%Na, 78%K)

2.7*106

Eau mer 4 à 10

Gallium 3.3*106

Il existe deux grandes familles de pompes à conduction :

- les pompes à conduction à courant continu (MHD DC)

- les pompes à conduction à courant alternatif (MHD AC)

La différence entre ces deux types de pompes se situe au niveau de l’alimentation du bobinage

qui peut être soit en courant continu soit en courant alternatif.

1.3.1 Classification de la MHD à conduction

1.3.1.1 Pompes MHD à conduction à courant continu

La pompe magnétohydrodynamique à conduction à courant continu (MHD DC) est le modèle

le plus simple. Les courants dans le canal et dans le bobinage inducteur (cas d’un

électroaimant) sont continus. Pour créer le champ magnétique, on peut aussi utiliser un aimant

permanent.

Le circuit magnétique peut être refermé par un barreau de fer pour éviter les fuites

magnétiques vers l’extérieur et obtenir une induction élevée.


6

La figure (1.3) représente le schéma d’une pompe MHD DC avec un canal rectangulaire et

dont l’induction magnétique est créée par des électroaimants [8], [3].

Fig. (1.3) Schéma d’une machine MHD à conduction à courant continu [5].

Un des principaux avantages des pompes MHD DC est la simplicité de leur géométrie. Leur

cout de fabrication est relativement faible devant les autres types de pompes MHD. En

revanche ce type de pompe présente plusieurs défauts. En effet, les électrodes peuvent subir

une érosion à cause du frottement avec le fluide, et les pertes ohmiques peuvent provoquer un

échauffement [5].

1.3.1.2 Les Pompes MHD à conduction à courant alternatif

Dans le cas des pompes magnétohydrodynamiques à courant alternatif (MHD AC), les

courants dans le fluide et dans le bobinage sont sinusoïdaux. Le courant I traversant le canal

de pompage peut donc être fourni en sortie d’un transformateur, et le champ magnétique par

un électro-aimant figure (1.4) [5].

L’utilisation d’un transformateur permet d’avoir une alimentation des électrodes tres simple

car il est assez complexe d’obtenir des alimentations DC à fort courant et faible tension ayant

un bon rendement [10].

Le champ magnétique et le courant dans le fluide doivent avoir la même fréquence. La force

de pompage est maximale si le champ magnétique et le courant sont en phase d’ou l’idée

d’avoir la même alimentation pour le courant I et l’induction magnétique B [5].

Comme la pompe MHD à courant continu, la pompe MHD à courant alternative comporte des

défauts. En plus de ceux déjà cités pour la pompe MHD à courant continu, on ajoute les pertes

dues aux courants de Foucault dans le liquide métallique et le circuit magnétique [5].


7

Fig. (1.4) Schéma d’une machine MHD à conduction à courant alternatif.

Si ce mode de fonctionnement a l’avantage d’être moins coûteux, il présente les inconvénients

suivants :

Création de tourbillons dans l’écoulement par turbulence, d’où dissipation

visqueuse ;

Création des courants de Foucault dans les parois, d’où dissipation résistive ;

Risque de cavitation si la pression d’entrée est inférieure à 1;

Vibrations produites par l’emploi d’une phase unique [11].

1.4 Pompe MHD à induction

1.4.1 Principe physique

Le principe général d’une pompe a induction consiste à créer un champ magnétique glissant

avec des enroulements polyphasés (en général triphasés). Ce dernier induit des courants dans

le fluide conducteur qui créent à leur tour une force de Laplace tendant à le mettre en

mouvement. Ce fonctionnement est très proche de celui de la machine asynchrone ;

cependant, dans ce cas le champ créé est glissant, et l’induit est constitue par le fluide

conducteur. La figure (1.5) montre les courants induits dans les pompes à induction [5].


8

Fig. (1.5) Lignes de courant dans une pompe MHD à induction.

Les différentes parties d’une pompe à induction sont :

L’inducteur : constitué d’un circuit magnétique créant un champ glissant grâce à

un bobinage polyphasé ;

l’induit : constitué par le fluide conducteur ;

L’entrefer.

Il existe plusieurs types des pompes à induction. Les plus utilisées dans l’industrie sont les

pompes plates et les pompes annulaires. La différence entre ces deux types de pompes est leur

géométrie [12].

1.4.2 Classification de la MHD à induction

1.4.2.1 Pompes plates

L’idée de base du fonctionnement des pompes plates est la même que précédemment. Elles

ressemblent beaucoup au moteur linéaire ; le rail est remplacé par le fluide. Le canal a une

section rectangulaire.

Des enroulements inducteurs alimentés par des courants alternatifs triphasés génèrent une

induction magnétique sinusoïdale glissante.

La figure (1.6) montre le schéma d’une pompe MHD à induction plate. Le liquide circule

dans un canal rectangulaire. Le refroidissement se fait par circulation forcée d’air dans les

inducteurs.

Les problèmes technologiques portent surtout sur la réalisation de conduits en tôle d’acier

inox mince (pour diminuer les pertes) résistant à la corrosion et d’une étanchéité absolue [8].

I courant induit dans le fluide

créé par des inducteurs

créé par des inducteurs

𝐁 créé par des inducteurs

𝐅 force électromagnétique


9

Fig. (1.6) Pompe MHD à induction plate [5].

1.4.2.2 Pompes annulaires

La conception de ces pompes remonte à 1929 (Einstein et Szilard). Le conduit est annulaire

entre deux tubes coaxiaux dont l’intérieur contient un noyau de fer doux, et l’extérieur est

couvert de bobines triphasées (Figure 1.7).

Fig. (1.7) Pompe MHD à induction annulaire.

Le type annulaire est plus performant que le type rectangulaire car les courants induits sont

toujours perpendiculaires à la direction de l’écoulement.

Ainsi, la force de Laplace a partout la même direction que celle de l’écoulement. Par contre,

dans le cas d’une machine de section rectangulaire, les courants induits se referment de façon

moins favorable aux échanges d’énergie mécanique en énergie électrique et provoquent

d’avantage des pertes joules.

Les avantages de ces pompes sont les suivants :

Les courants électriques se referment dans la masse du fluide, ce qui rend inutile

l’adhérence de celui- ci sur la paroi ;

La forme est simple et l’encombrement économique ;


10

Le démontage est facile [8].

Le courant des enroulements primaires produit un champ magnétique de déplacement qui

produit à son tour un courant induit dans le métal liquide.

1.4.2.3 Pompes hélicoïdales

Dans ce type de pompes, le conduit annulaire est hélicoïdal au lieu d’être rectiligne, figure

(1.8).

Les pertes supplémentaires dues à la composante azimutale de la vitesse et les difficultés de

fabrication sont prohibitives [13].

Fig. (1.8) Schéma d’une pompe MHD hélicoïdale [13].

1.5 Comparaison entre les pompes à conduction et à induction

Les pompes linéaires à induction sont plus simples moins coûteuses que celles à conduction et

ceci est du à l’absence d’électrodes et la facilité de travailler à des niveaux de tensions

conventionnelles.

Par contre, elles possèdent un rendement de conversion d’énergie moins important à cause de

l’appel de courant réactif pour la magnétisation du circuit en présence d’un entrefer important.

Généralement les pompes à induction sont utilisées pour les métaux liquides à grande

conductivité et les pompes à conduction pour les petites conductivités.


11

La présence des électrodes dans les machines à conduction est un inconvénient majeur par

rapport aux machines à induction, elles subissent une érosion au contact avec le fluide dont la

température est généralement élevée [14].

1.6 Applications des pompes magnétohydrodynamiques

Le principe de la MHD trouve un large secteur d’applications en commençant par les

propulseurs des véhicules marins, le freinage électromagnétique, le refroidissement des

réacteurs atomiques et jusqu’au domaine des micros pompes liées aux applications médicales.

Ce même principe peut être exploité dans le cas des fluides gazeux ionisés, figure (1.9).

Les gaz dégagés par les moteurs à réaction peuvent être exploités pour augmenter la force

de propulsion de ces derniers et ainsi améliorer leur rendement [15].

La MHD peut être aussi exploitée pour accélérer des fluides (pompe MHD), ou même pour

produire de l’électricité à partir d’un fluide en mouvement (générateur MHD). Dans ces cas

en parle d'un convertisseur MHD c à d une machine électromagnétique sans pièces

mécaniques mobiles ; possédant un inducteur classique pour produire un champ magnétique

mais avec un induit fluide conducteur (eau salée, métal liquide, gaz ionisé…) ; remplaçant

l’induit conventionnel composé de pièces solides (acier, aluminium, cuivre…).

Un convertisseur MHD est réversible comme toute machine électromagnétique, il permet de :

Convertir l’énergie mécanique présente dans le mouvement d’un fluide en énergie

électrique, c’est le cas d’un générateur MHD ;

Convertir l’énergie électrique en énergie mécanique par la mise en mouvement d’un

fluide conducteur dans un champ magnétique, c’est le cas d’un accélérateur MHD.

Fig. (1.9) Générateur MHD à gaz ionisé.


12

Deux applications technologiques prometteuses de la MHD sont actuellement en cours de

développement et peuvent devenir d’une importance cruciale dans le futur. En premier lieu

vient l’utilisation de puissants champs magnétiques pour confiner des anneaux ou colonnes de

plasma de haute température pendant des durées suffisantes afin de permettre une fusion

thermonucléaire, (Tokamak) figure (1.10).

En second lieu et toujours dans le même cadre, des métaux liquides sont accélérés à travers un

champ magnétique pour produire de l’électricité [15].

Fig. (1.10) Structure d’un TOKAMAK.

1.7 Avantages et inconvénients des pompes MHD

Les pompes MHD gagnent de l’intérêt car elles rassemblent des critères attractifs tels que :

-Absence totale de pièces mobiles ;

-Processus de fabrication simple ;

-Problèmes mécaniques nulles ;

-Débit continue de fluide ;

-Durée de vie prolongée

Malgré ces avantages, les pompes MHD trouvent quelques difficultés à s’intégrer dans des

secteurs spécifiques tels que le médical, le pharmaceutique, l’agroalimentaire…, ceci est lié

notamment à:

-La formation du phénomène d’électrolyse ;

-L’échauffement du à la circulation des courants électriques ;


13

-La présence des courants électriques n’est pas toujours commode ;

-Le pompage MHD n’est possible qu’en présence d’un liquide et qui

doit être conducteur [15].

1.8 Conclusion

Nous avons donné des généralités sur les pompes MHD. Aussi nous avons décrit les familles

des pompes MHD à conduction et à induction, dont l’objectif d’étudier une pompe MHD à

conduction.

Dans le prochain chapitre, on présentera la modélisation des phénomènes électromagnétique

dans les pompes magnétodynamique à conduction.

Chapitre 2 Modélisation en 2D d’une Pompe MHD à Conduction

14

2.1 Introduction

Dans ce chapitre, est partant des lois de base caractérisant les phénomènes électromagnétiques

présents dans la pompe MHD à conduction, des modèles mathématiques ont été établis dans

leurs formes générales est aussi le traitement de la modélisation des phénomènes

électromagnétiques. Pour cela deux manières de résoudre ce système sont possibles : la

première consiste en une résolution analytique ; la deuxième consiste à adopter un programme

numérique de calcul ; c.à.d. méthodes numériques telles que volumes finis, élément finis….).

Chacune de ces voies a des avantages et des inconvénients [24].

Mais généralement, quand les problèmes sont complexes, les solutions analytiques sont

difficiles à trouver et dans ce cas une solution numérique est nécessaire.

L’étude de ces phénomènes est assurée par la méthode des volumes finis. Le choix de cette

méthode repose sur sa simplicité à développer et moins coûteuse que les autres méthodes telle

que la méthode des éléments finis.

2.2 Méthodes numériques

Les méthodes numériques de discrétisation utilisables pour la résolution des équations

mathématiques établies, consistent à ramener la résolution des équations aux dérivées

partielles dans le domaine d’étude, compte tenu des conditions aux limites, à celle d’un

système d’équations algébriques dont la solution conduit à la distribution des champs

(potentiel vecteur magnétique, mécanique des fluides : vitesse, pression,…). La plus ancienne

méthode numérique, c’est celle aux différences finies (MDF), elle consiste à discrétiser les

équations continues aux nœuds d’un maillage prédéfini en calculant chaque dérivée partielle à

l’aide de séries de Taylor pour obtenir des équations linéaires reliant la valeur des inconnues

aux nœuds voisins [16].

2.2.1 Méthodes des différences finies

La MDF consiste à transformer par un développement en série de Taylor l’opérateur

différentiel en un opérateur aux différences. Ces méthodes sont très utilisées car elles allient

une grande simplicité à la possibilité d’obtenir plusieurs schémas de discrétisation selon la

précision ou la stabilité désirée [17].


15

2.2.2 Méthodes des éléments finis

La méthode des éléments finis est l’une des méthodes les plus adaptées à la résolution

numérique des équations aux dérivées partielles. Elle s’applique à la majorité des problèmes

pratiques (linéaires ou non linéaires, stationnaires ou dépendant du temps) définis dans un

domaine géométrique quelconque à une, deux ou trois dimensions. Appliquée tout d’abord, il

y a environ 50 ans, à des problèmes de mécanique de structure, cette méthode a connu des

développements importants dans différents domaines scientifiques et industriels.

La méthode des éléments finis consiste à rechercher une fonction globale représentant les

phénomènes étudiés, sur un domaine de résolution préalablement subdivisé en parties finies

adjacentes appelées éléments finis [18].

Parmi les avantages de cette méthode, on peut citer le traitement possible des géométries

complexes ; cependant elle présente une complexité de mise en œuvre et un grand coût en

temps de calcul et en mémoire.

2.2.3 Méthodes des intégrales de frontières (MIF)

Son principe, comme l’indique son nom, est de transformer les équations aux dérivées

partielles à résoudre dans tout le domaine de calcul en équations intégrales définies

uniquement sur les frontières du domaine. L’intérêt premier de la MIF est donc de ne pas être

pénalisé par des frontières qui se déforment au cours du temps.

2.2.4 Méthodes des volumes finis (MVF)

La méthode des volumes finis (MVF) est très appliquée pour les problèmes de la mécanique

des fluides. La discrétisation des équations aux dérivées partielles s’opère à partir d’une

forme conservative pour chaque volume de contrôle par une technique qui ressemble à la

méthode des différences finies. Donc le principe de conservation est imposé au niveau de

chaque volume de contrôle contrairement à la méthode des éléments finis où les principes de

conservation sont vérifiés uniquement de manière globale. Cette méthode est simple à

développer et moins coûteuse que la méthode des éléments finis [17].

Le domaine d’étude dans cette méthode est subdivisé en volumes élémentaires de telle

manière que chaque volume entoure un nœud du maillage. L’équation est intégrée sur chacun

des volumes élémentaires. Pour calculer l’intégrale dans ce volume élémentaire, la fonction

inconnue est représentée à l’aide d’une fonction d’approximation entre deux nœuds


16

consécutifs. Ensuite, la forme intégrale est discrétisée dans le domaine d’étude. Cela conduit à

une solution plus précise que la méthode des différences finis (MDF). Ces méthodes sont

particulièrement bien adaptées à la discrétisation spatiale des lois de conservation [17], [19].

2.3 Phénomènes électromagnétiques

L’effet du champ électrique ou magnétique (ou de leur combinaison) détermine le

fonctionnement des machines tournantes, des pompes et des transformateurs.

En effet, on peut déduire du champ magnétique les valeurs des flux, des forces

électromotrices (dans les générateurs), des couples d’entrainement (dans les moteurs) et des

forces d’évacuation du fluide dans les pompes [19].

2.4 Equations de Maxwell

Grâce à James Clerk Maxwell nous possédons, depuis plus d’un siècle, les expressions des

équations qui régissent les phénomènes électromagnétiques. Ces équations doivent être prises

en compte en combinaison avec les expressions des lois constitutives des matériaux utilisés.

Quatre grandeurs vectorielles caractérisent le champ électromagnétique [20].

div D = ρ (équation de Maxwell-Gauss) (2.1)

Une charge électrique est source d’un champ électrique ; autrement dit, les lignes de champs

électriques commencent et se terminent autour des charges électriques.

divB = 0 (Equation de conservation du flux magnétique) (2.2)

Cette relation traduit mathématiquement le fait que les seules sources de champ magnétique

sont les courants électriques et il n’existe pas de charge magnétique ; c’est pourquoi les lignes

du champ sont toujours fermées sur elles-mêmes. Elles forment des boucles. Ces boucles

n’ont ni point de départ, ni point d’arrivée, ni point de convergence, d’où la nomination

d’induction conservative (champ conservatif) [21].

rot E = −∂B

∂t (Equation de Maxwell-Faraday) (2.3)

Cette équation exprime le couplage électrique- magnétique en régime dynamique et la

variation temporelle de B .

rot H = J C +∂D

∂t (Equation de Maxwell-Ampère) (2.4)

En tenant compte des relations constitutives de milieu B = μH et D = εE dans ces équations,

nous pouvons leur ajouter la loi d’Ohm:


17

J = Jin + Jex

(2.5)

avec :

Jin = σE + σ v B˄ (2.6)

Dans cette dernière équation, le premier terme représente la densité de courant induit par

conduction tandis que le second terme représente la densité de courant induit par les vitesses

dans la décharge.

avec :

Jin : la densité de courant induit et

exJ la densité de courant source [A/m2] ;

B : l’induction magnétique [T] ;

ρ : la densité volumique de la charge électrique [C/m3] ;

D : le déplacement électrique ou l’induction électrique [A.s/m2] ;

μ : la perméabilité magnétique (dans le vide µ=µ0=4π.10-7

[H/m]) ;

ε : la permittivité électrique (dans le vide ε=ε0= 8.8544*10-12

[F/m]);

v : le vecteur vitesse aux points considérés [m/s];

σE : la densité des courants induits par variation du champ électrique [A/m2];

σ v B˄ : la densité des courants induits par mouvement [A/m2].

Dans l’équation (2.4), le terme ∂D

∂t est appelé terme des courants de déplacement.

L’équation (2.4) peut ainsi se simplifier pour donner le théorème d’Ampère :

rot H = J (2.7)

L’équation (2.7) exprime que la circulation du champ magnétique sur un contour fermé sur

lequel s’appuie une surface est égale à la somme des courants qui traversent cette même

surface.

On déduit de l’équation (2.7) que la densité de courant J est à flux conservatif :

div J = 0 (2.8)

2.4.1 Conditions aux limites et conditions d’interface

Pour que le problème soit complètement défini, il faut déterminer les conditions aux limites

sur les frontières du domaine, ainsi que les conditions de passage entre les différents milieux

constituant ce domaine.


18

2.4.1.1 Conditions aux limites

Il existe deux façons d’introduire les conditions aux limites:

Conditions aux limites de Dirichlet (A=A0) : dans ce cas, le vecteur potentiel

magnétique A est constant sur la frontière, ce qui veut dire que l’induction magnétique

est parallèle à ce contour qui présente alors une équipotentielle. Cette condition aux

limites peut se présenter aussi sur les plans ou les axes polaires (dans ce cas on se limite à

mailler une partie du domaine).

Elle est utilisée dans le cas où le système à étudier présente des plans de symétrie. La

Condition de Neumann homogène (∂A/∂n=0) : on la trouve sur les plans où les axes de

symétrie magnétique (axes inter polaires par exemple). Sur cette frontière, les lignes de

l’induction magnétique sont normales. De même, lorsque ce type de conditions aux

limites apparait sur des axes d’antisymétrie, le maillage est limité à une portion du

domaine [22].

2.4.1.2 Conditions d’interfaces

Dans le cas général, un dispositif électrotechnique comporte des milieux différents (fer,

air, cuivre, …etc.). Alors, avant d’aborder la résolution du problème, il est nécessaire de

connaitre le comportement des champs électromagnétiques à travers l’interface entre les

différents milieux. Les conditions de passage aux frontières de l’interface 12 entre deux

milieux de propriétés physiques différentes d’indices 1 et 2 portent sur les continuités et

discontinuités des différentes composantes normales et tangentielles des grandeurs

électromagnétiques.

2.4.2 Formulation du problème électromagnétique

Ce modèle s’applique aux dispositifs électrotechniques dans lesquels les sources de courant

ou de tension varient en fonction du temps. Le terme ∂B

∂t n’est plus nul, les champs électriques

et magnétiques sont alors couplés par la présence des courants induits

[23], [24] Pour représenter l’état électromagnétique en un point, on doit alors faire recourt au

potentiel vecteur A car divB = 0 ; les avantages présentés par ce type de formulation sont

nombreux :


19

La plus utilisée et elle réduit le nombre d’inconnues ;

Elle permet d’imposer des sources électriques par les bobines ;

La connaissance de toute autre grandeur physique peut être déduite [23], [24].

Ecrivons les deux équations de Maxwell qui se présentent sans terme source :

divB = 0 (2.13)

t

BErot

(2.14)

La première équation indique que l’induction magnétique B est un champ rotationnel. Ceci

implique qu’il existe un potentiel vecteur magnétique A , tel que :

ArotB (2.15)

La substitution de (2.14) dans (2.15) donne :

rot E = −∂(rot A )

∂t= −rot

∂A

∂t Ce qui implique que :

rot (E +∂A

∂t) = 0 (2.16)

Le champ (E +∂A

∂t) de l’équation (2.16) est conservatif, donc il dérive d’un potentiel scalaire

U donné par :

E +∂A

∂t= −grad U (2.17)

Par conséquent, le champ magnétique et le champ électrique peuvent s’écrire en termes de ces

deux potentiels A et U en utilisant la relation du milieu comme suit :

E = −∂A

∂t− grad U H =

1

μrot A (2.18)

A partir de l’équation rot H = J et H = B μ , nous avons :

J = rot B μ =1

μ rot rot A (2.19)

En remplaçant (2.18) et (2,19) dans (2,5) et (2,6), on obtient:

J = Jex + σE + σ(V ˄B ) (2.20)


20

rot 1

μrot

A + σ

∂A

∂t+ grad U − σ V ˄B = J ex (2.21)

Les termes σ ∂A

∂t et σ V ˄B représentent les densités des courants induits. Ils traduisent

le caractère dynamique dans le temps et dans l’espace des phénomènes électromagnétiques ;

pour la pompe MHD à conduction proposée, le champ magnétique imposé est constant ; donc

le premier terme s’annule.

Le terme σgrad U décrit la densité du courant imposée à travers les électrodes. U

représente le potentiel scalaire électrique en Volts.

Pour pouvoir résoudre l’équation (2.21), on ajoute une autre équation pour que la solution

soit unique. On fixe la divergence de A :

div A = 0 (2.22)

Dans notre configuration bidimensionnelle (2D), la condition de jauge de Coulomb est

naturellement vérifiée. Le modèle électromagnétique de la pompe sera comme suit :

rot 1

μ rot A + σgrad U + σ V ˄B = Jex

div A = 0 (2.23)

2.4.3 Formulation en coordonnées cylindriques axisymétriques

Une grande partie des problèmes magnétiques peut être traitée en bidimensionnel, ce qui est

le cas pour notre problème ; l’existence des deux types de systèmes bidimensionnels : ceux

infiniment longs alimentés suivant une direction (oz), ceux à symétrie de révolution alimentés

selon la direction (o φ). C’est le deuxième cas qui nous, [25].

Dans une configuration axisymétrique (coordonnées cylindriques (r, φ, z)), la formulation

utilisant le potentiel vecteur offre l’intérêt suivant : Lorsque le courant d’excitation est orienté

suivant la direction φ, le système présente une seule inconnue, la composante ortho radiale

(𝐴φ) du vecteur 𝐴 .

Dans une telle configuration, les courants sont perpendiculaires au plan d’étude [25]

J 0Jφ0

; E 0

Eφ

0

; A 0

Aφ

0

; B Br

0Bz

; H Hr

0Hz

; (2.24)


21

Sachant qu’en coordonnées cylindriques, les coordonnées de 𝑟𝑜𝑡 𝐴 sont :

rot A =

−∂Aφ

∂z

01

r ∂(rAφ )

∂r

(2.25)

Après développements en coordonnées cylindriques, l’équation (2.25) devient :

−1

μ

∂

∂z

∂Aφ

∂z+

∂

∂r(

1

r ∂ rAφ

∂r ) +

σ

rvz

∂(rAφ )

∂z= jex + ja (2.26)

En introduisant la transformation 𝐴 = 𝑟𝐴𝜑 , on obtient :

1

μ

∂

∂z

1

r

∂A

∂z+

∂

∂r(

1

r ∂A

∂r ) −

σ

rvz

∂A

∂z= −jex − ja (2.27)

C’est une équation aux dérivées partielles, décrivant le comportement d’un dispositif

cylindrique axisymétrique. Sous l’hypothèse que les matériaux sont linéaires et que les

sources d’alimentation sont constantes.

2.5 Mise en œuvre de la méthode des volumes finis

La méthode des volumes finis a été choisie pour la résolution des équations

électromagnétiques. Le domaine d’étude est divisé en un nombre d’éléments (fig. (2.1)) .

Chaque élément contient quatre nœuds du maillage. Un volume fini entoure chaque nœud du

maillage. Dans cette méthode, chaque nœud principal ‘P’( le centre du volume de contrôle)

est entouré par quatre nœuds N,S,E, et W qui sont les centres des volumes de contrôles

adjacents situés respectivement au Nord, Sud, East et Ouest de celui contenant ‘P’[25].

Volume de Contrôle

Elément Fini

Nœud P

Fig. (2.1) Maillage du domaine d’étude.


22

L’équation différentielle est intégrée sur chaque volume. Un profil choisi exprimant la

variante 𝐴 entre les nœuds est utilisé pour évaluer l’intégrale. Le résultat de discrétisation est

une équation qui lie les valeurs de 𝐴 d’un ensemble de nœuds.

L’équation discrétisée de cette façon exprime le principe de conservation pour 𝐴 dans

l’élément de volume. La solution obtenue est constituée uniquement par les valeurs nodales,

figure (2.2) [25].

La méthode des volumes finis consiste donc à :

Décomposer la géométrie en mailles élémentaires (élaborer un maillage) ;

Initialiser la grandeur 𝐴 sur le domaine de calcul ;

Lancer le processus d’intégration jusqu’à convergence avec :

1) Application des conditions aux limites ;

2) Calcul du bilan de flux par maille par un schéma numérique.

2.6 Etude du modèle électromagnétique par volume finis

Pour discrétiser l’équation (2.27), le domaine d’étude est subdivisé en un nombre fini de

nœuds. Ce domaine est ensuite divisé en mailles rectangulaires dont chacune contient un

nœud, comme il est indiqué sur la figure (2.2).

La projection de l’équation (2.27) sur une base de fonction de projection i et son

intégration sur le volume fini, correspondant au nœud P, donne :

Fig. (2. 2) Discrétisation dans la méthode des

volumes finis.


23

rdrdzrdrdzz

A

rrdrdz

r

A

rrz

A

rzz r

iz

z r

i

z r

i )ja +jex()]([)]1

()1

([1

(2.28)

i est la fonction de projection choisie égale à r

1. Après substitution de l’expression de i ,

l’équation (2.28) se présente sous la forme suivante :

drdzjajexdrdzz

A

rdrdz

r

A

rrz

A

rzz r

z

z rz r

)()]([)]1

()1

([1

(2.29)

L’intégrale de l’équation (2.28) sur le volume fini, délimité par les frontières (e, w, n et s) est

drdzjajexdrdzz

A

rrdrdz

r

A

rrz

A

rz

n

s

e

w

z

n

s

e

w

n

s

e

w

)()]([)]1

()1

[(1

(2.30)

Après intégration, et on prenant un profil linéaire, l’équation algébrique finale est de la

forme :

0

'' )( dAaAaAaAaAaAaAaSSNNSsNNWWEEPP (2.31)

avec

SzS

S

NzN

N

WrW

W

ErE

E

z

ra

z

ra

r

za

r

za

)(

)(

)(

)(

(2.32)

SNWEP

aaaaa (2.33)

zrJJdaex

)(0

(2.34)

L’équation obtenue est une équation algébrique reliant l’inconnue au nœud principal

‘P’ aux inconnues aux nœuds voisins «W», «E», «S», «N». Si le problème est linéaire, le

système d’équations peut être résolu par une méthode itérative. La forme matricielle de ce

système d’équation s’écrit sous la forme :

FALM (2.35)

où :

LM : Matrice coefficients,

A : Vecteur inconnu,


24

F : Vecteur source.

L’écoulement d’un fluide est influencé par les phénomènes électromagnétiques via les

forces de Laplace. Ces dernières expriment l’interaction entre les champs magnétiques et des

courants électriques; [25]:

)( BVJJ

BJF

ain

in

(2.36)

En tenant compte des conditions aux limites dont les plus courantes sont les conditions de

Dirichlet et de Neumann données sur les frontières du domaine à étudier. Pour le problème

traité, l’équation électromagnétique est résolue en posant A = 0 sur les frontières du domaine

de résolution et celle de Neumann [25].

2.7 Description du prototype MHD à conduction

La pompe MHD à conduction proposée est représentée sur la figure (2.3)

Elle est constituée d’un circuit magnétique sous forme de tore, deux bobines, deux électrodes

et un canal où circule un fluide supposé incompressible.

Fig. (2.3) Géométrie de la pompe MHD à conduction.

Le principe de fonctionnement est basé sur l’application d’un champ magnétique permanent

et constant, (produit par un enroulement inducteur), et croisé par un courant continu qui est

amené dans le fluide par des électrodes pour créer une force de Laplace qui assure le pompage

et le déplacement du fluide [24].

Les dimensions préliminaires sont [11].

la longueur du canal 0.18 m ;

le rayon du canal 0.015m ;

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

A=0 A=0

A=0

Electrodes

Ecoulements

Bobines Canal

Inducteur

r[m]

z[m]


25

la largeur de l’électrode 0.01m ;

la longueur du l’inducteur 0.1m ;

la largeur du l’inducteur 0.07m ;

la longueur de la bobine 0.02m;

la largeur de la bobine 0.03m;

le nombre d’électrodes : 2;

le nombre de bobines : 2;

la densité du courant d’excitation J ex = 4.106 A/m

2 ;

la densité du courant injectée par les électrodes J a = 4.106 A/m

2.

Les paramètres caractéristiques du mercure sont :

1- Densité; ρ = 13,6.103

(Kg /m3)

2- Conductivité; σ =1,03.106 (Ω.m)

-1

3- Perméabilité relative ; 1r

.

2.8 Application et résultats de la modélisation numérique (volumes finis)

La figure (2.4) présente l’algorithme du modèle électromagnétique par la méthode des

volumes finis.


26

Fig. (2.4) Algorithme du modèle électromagnétique par la méthode des volumes finis.

Données numériques

Pas de discrétisation

Nombres de noeuds

Résolution de l’équation

électromagnétique par la

méthode des volumes finis

Calcul de :

Potentiel vecteur

magnétique

Induction magnétique

Densité de courant

Force électromagnétique

Test de

convergence

non

oui

Fin

Données physiques


27

2.8.1 Potentiel vecteur magnétique

Les figures et (2.5a) et (2.5b) montrent le potentiel vecteur magnétique A et sa distribution.

On voit clairement que les valeurs maximales se trouvent aux voisinages des deux bobines

(sources d’excitations).

Fig. (2.5a) Lignes équipotentielles dans la pompe MHD.

Fig. (2.5b) Distribution du potentiel vecteur magnétique dans la pompe en 3D.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

r[m]

z[m

]

00.02

0.04 0.060.08

0.10.12

0.14 0.160.18

0

0.05

0.1

0.15

0.2-4

-2

0

2

4

x 10-3

r[m]z[m]

Pote

nti

el vecte

ur M

ag

neti

qu

e A

[A m

]

r[m] z[m]


28

2.8.1 Présentation de l’induction magnétique

La figure (2.6) représente respectivement l’induction magnétique dans la pompe en 3D. Elle

présente des pics aux lieux de disposition des bobines.

Fig. (2.6) Induction magnétique dans la pompe MHD en 3D.

2.8.2 Distribution de la force électromagnétique

La figure (2.7) montre la distribution de la force électromagnétique dans la pompe

MHD. Le nœud utilisé pour tracé la courbe est r(2).

Fig. (2.7) Force électromagnétique dans le canal de la pompe MHD.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

0

0.050.1

0.15

0.20

0.5

1

1.5

2

2.5

r[m]z[m]

Ind

ucti

on m

ag

néti

qu

e B

[T]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

7

z[m]

Forc

e é

lec

trom

ag

néti

que

[N

/m3]


29

2.9 Conclusion

Une présentation des principales caractéristiques du modèle électromagnétique de la pompe

MHD à conduction proposée, obtenues par simulation par la méthode des volumes finis.

Chapitre trois

Etat de l’Art des

Méthodes d’Optimisation

Chapitre 3 Etat de l’art des méthodes d’optimisation

30

3.1 Introduction

Depuis quelques années, les recherches dans le domaine de la conception de dispositifs

électromagnétiques s’orientent vers l’optimisation par le biais de différentes méthodes. Pour

trouver la solution optimale, il est nécessaire de réaliser un compromis entre deux objectifs :

l’exploration robuste de l’espace de recherche et l’exploitation des meilleures solutions [30].

Dans ce présent chapitre, nous aborderons l’état de l’art des méthodes utilisées dans la

résolution d’un problème d’optimisation. Nous commencerons par la présentation de quelques

définitions nécessaires à l’application de ces méthodes, puis on propose un algorithme

génétique qui nous permettra d’optimiser le poids de la pompe MHD.

3.2 Formulation mathématique d’un problème d’optimisation

Un problème d’optimisation )(P de type " minimisation " de dimension n peut être écrit de

façon générale sous la forme :

nkXXX

qjXh

piXg

RXXfMin

P

kkk

j

i

n

,....,1

,......,10)(

,......,10)(

)(

)(

maxmin

(3.1)

)(Xf est le critère à minimiser appelé fonction objectif ;

X est un vecteur à n variables kX qui représentent les paramètres du problème à optimiser ;

)(Xg i et

)(Xh j représentent respectivement les contraintes d’égalités et d’inégalités ;

minkX et maxkX désignent les contraintes du domaine ;

nR est l’espace de recherche borné par les contraintes du domaine.

La solution d’un problème d’optimisation est alors donnée par un ensemble de paramètres

*X pour lesquels la fonction objectif présente une valeur minimale en respectant les

contraintes d’égalités, d’inégalités et du domaine.


31

3.3 Problèmes d’optimisation sans contraintes

Un problème d’optimisation est dit non contraint, s’il ne contient pas de fonction

contrainte, c’est-à-dire, si les fonctions )(Xg i et )(Xhj du problème )(P ne sont pas définies,

comme dans le cas du problème )( 'P [26], [27] :

nkXXX

RXXfMinP

kkk

n

,....,1

)()(

maxmin

' (3.2)

Une condition suffisante pour que *X soit minimum local d’un problème non contraint est

donnée par (3.3) :

négativenonXH

Xf

)(

0)(

*

*

(3.3)

Où

: L'opérateur nabla;

f est le gradient de la fonction objectif;

fH 2 est la matrice des dérivées secondes partielles de f , appelée matrice Hessienne.

3.4 Problèmes d’optimisation contraints

Un problème d’optimisation )(P est dit problème contraint, s’il contient au moins une

fonction contrainte )(Xg i où )(Xh j , [26], [27].

nkXXX

qjXh

piXg

RXXfMin

P

kkk

j

i

n

,....,1

,......,10)(

,......,10)(

)(

)(

maxmin

(3.4)

Si nous considérons qu’une contrainte d’égalité 0)( Xh j peut être décrite par deux

contraintes d’inégalité 0)( Xh j et 0)( Xh j , le problème (3.4) devient alors égal à celui

donné par (3.5).


32

n

kkk

i

n

RX

nkXXX

qpmiXg

RXXfMin

P,....,1

2,......,10)(

)(

)(maxmin

(3.5)

3.5 Traitement des contraintes

Les contraintes imposées par le cahier des charges comme les contraintes ajoutées par le

concepteur doivent être prises en compte dans le problème. Il y a plusieurs choix pour le

traitement des problèmes avec contraintes. On peut, pour des raisons de robustesse et de

facilité de mise en œuvre transformée un problème contraint en une suite de problème sans

contraintes. Cette transformation s’effectue en ajoutant des pénalités à la fonction objectif

[25].

La méthode de pénalité extérieure

L’intérêt des méthodes de pénalité est la simplicité de leurs principes et leur relative efficacité

pratique.

La fonction objectif f(x) du problème 3.1 est alors remplacé par la fonction suivante à

minimiser

φ(X , r) = f(x) + r. h(x) (3.6)

Ou h(x) est la fonction pénalité, continue, dépendant des contraintes gi(x), r est un cofficient

de pénalité, toujours positif

La fonction h(x) est utilisée afin de défavoriser les positions non admissibles. La fonction de

pénalité doit être continu et à dérivées continues

h x = max2mj=1 (0, gi X ) (3.7)

Le probleme obtenu pourrait etre résolu directement pour une valeur de r suffisament grande

de tell façon que les contraintes soient satisfaites mais ce choix entraine un mauvais

conditionnement de φ(X , r) et donc engendre un problème numérique lors de la résolution.


33

Pour cette raison, les méthodes de pénalités sont en générale résolu de manière itérative : une

suite de valeurs croissantes de r est générer et a chaque itération k du processus, le problème

d’optimisation sans contraintes suivant est résolu :

φ X , r, k = f x + rk (max(0, gi X )2mj=1 (3.8)

L’avantage de cette méthode est que le point de départ n’est pas nécessairement admissible

tout en garantissant que le point final sera dans le domaine admissible ou presque. La fonction

de pénalité extérieure est continue dans tout le domaine d’étude admissible comme non

admissible, mais elle présente l’inconvénient de conduire à un optimum réalisable seulement

quand k tend vers l’infinie et d’approcher ce point par une série de solution non admissible.

Elle est utilisé pour les contraintes non uniquement fonction des variables d’optimisation ou

les contraintes d’égalité.

3.6 Classification des méthodes d'optimisation

Les méthodes d'optimisation sont subdivisées en deux types : les méthodes déterministes et

les méthodes stochastiques.

3.6.1 Méthodes d’optimisation déterministes

Une méthode d’optimisation est dite déterministe lorsque son évolution vers la solution du

problème est toujours la même pour un même point initial donné, ne laissant aucune place au

hasard. Ces méthodes nécessitent des hypothèses sur la fonction f à optimiser, telles que la

continuité et la dérivabilité en tout point du domaine admissible. Ce sont en général des

méthodes efficaces, peu coûteuses, mais qui nécessitent une configuration initiale (point de

départ) pour résoudre le problème. Ce sont souvent des méthodes locales, c’est-à-dire qu’elles

convergent vers l’optimum le plus proche du point de départ, qu’il soit local ou global [30].

Nous pouvons diviser les méthodes déterministes quelles soient directes ou indirectes en deux

groupes : les méthodes analytiques ou de descente comme la méthode de la Plus Grande

Pente, le Gradient Conjugué, la méthode de Powell et la méthode de Quasi-Newton et les

méthodes géométriques, telles que la méthode du Simplex et la méthode de Rosenbrock figure

(3 .1).


34

Fig. (3.1) Méthodes déterministes multidimensionnelles [28].

3.6.2 Méthodes d’optimisation stochastiques

3.6.2.1 Définition

Parmi les différentes méthodes stochastiques d'optimisation globale, nous allons uniquement

nous intéresser aux heuristiques "modernes". Le mot "heuristique" vient du grec heurein

(découvrir) et qualifie tout ce qui sert à la découverte, à l'invention et à la recherche.

Les heuristiques sont des méthodes qui cherchent à approcher une solution optimale; on les

appelle parfois méthodes approchées [29].

3.6.2.2 Principe d'un algorithme stochastique

Se sont des méthodes où l'approche de l'optimum est entièrement guidée par un processus

probabiliste et aléatoire (stochastique). Ces méthodes ont une grande capacité de trouver

l’optimum global du problème. Contrairement à la plupart des méthodes déterministes, elles

ne nécessitent ni de point de départ, ni la connaissance du gradient de la fonction objectif pour

atteindre la solution optimale. Cependant, elles demandent un nombre important d’évaluations

de la fonction objectif avant d’arriver à la solution du problème [25].

Méthodes

déterministes

multidimensionnels

Méthodes

heuristiques

Puse

grande

pente

(ordre1)

Méthodes

de Powel

(ordre0)

Méthodes

analytiques

Gradient

conjugé

(ordre1)

Méthodes

du simplex

(ordre0)

Méthodes

Rosenbrok

(ordre0)

Hooke et

Jeeves

(ordre0)

Méthodes

Quasi-

newton

(ordre1)


35

Parmi les méthodes stochastiques les plus employées, nous distinguons le recuit simulé

développé par Kirkpatrick en 1983, la recherche tabou développée par Glover en 1989 et 1990

et par Hu en 1992 et les méthodes évolutionnistes comme les Algorithmes Génétiques

développés par Holland en 1975 [30].

La figure (3.2) présente les méthodes stochastiques les plus utilisées.

La plupart des algorithmes stochastiques sont itératifs et leurs processus comportent trois

éléments principaux : un mécanisme de perturbation, un critère d'acceptation et un critère

d'arrêt.

3.6.3 Les algorithmes génétiques (AG)

Les algorithmes génétiques ont été proposés par Holland en 1975, puis développés par

d’autres chercheurs tels que de Jong en 1975, Goldberg en 1989 et Michalewicz en 1994. Ils

sont actuellement une des méthodes les plus diffusées [31].

La méthode des algorithmes génétiques (AG) fait partie d’une famille de méthodes

stochastiques appelée méthodes évolutionnistes. Cette méthode s’inspire des mécanismes de

l’évolution naturelle et de la génétique de l’évolution [27], [32].

Fig. (3.2) Principales méthodes stochastiques [27].

Méthodes

Stochastiques

Recherche Tabou

Recuit Simulé

Méthodes

Evolutionnistes

Programmation

Génétique

Stratégies

d’Evolution

Algorithmes

Génétiques

Programmation

Evolutionniste


36

3.6.3.2 Terminologie et principe des algorithmes génétiques

Dans les AG, l’ensemble des paramètres du problème à optimiser est défini comme étant

un individu. Un individu représente une solution particulière au problème à optimiser. Un

ensemble d’individus donne naissance à la population. La population représente donc un

ensemble de solutions du problème à optimiser. Elle représente aussi un ensemble de

différentes configurations de paramètres, donc un sous espace de recherche [25].

La figure (3.3), présente les trois niveaux d’organisation de l’algorithme génétique.

Fig. (3.3) Représentation des trois niveaux d'organisation de l'AG [30].

Les algorithmes génétiques se basent sur quatre éléments principaux qui sont : l’évaluation, la

sélection, le croisement et la mutation.

Après l’initialisation aléatoire de la première population d’individus qui définit la première

génération, on répète successivement les quatre étapes suivantes :


37

1. L’évaluation des individus par le calcul de leurs fonctions objectifs (mesure de

l’adaptation).

2. La sélection des individus reproducteurs : théoriquement les individus qui s’adaptent

le mieux à l’environnement défini par la fonction objectif.

3. Application de l’opérateur de croisement. Cet opérateur permet l’exploration de

l’espace de recherche.

4. Application de l’opérateur de mutation. Cet opérateur joue un double rôle : explorer

l’espace de recherche qui n’a pas pu être atteint par l’opérateur de croisement et

réaliser une recherche locale, très proche de la solution en cours.

A la fin de l’étape quatre, nous obtiendrons une nouvelle population. Cette population

constitue l’ensemble d’individus de la génération (itération) qui suit. Ces quatre étapes sont

répétées autant de fois qu’il y a besoin de générations pour satisfaire un critère d’arrêt.

Celui ci est défini avant que le processus commence. La solution est alors représentée par le

meilleur individu de la dernière génération [33].

La figure (3.4) illustre les principales étapes des algorithmes génétiques


38

Génération aléatoire de la

première population notée P (t)

de N individu

Mesure de l'adaptation de

chaque individu de la population

Obtention d'une nouvelle

population

P(t+1)

Application de l'opérateur de

Croisement

Mesure de l'adaptation des

individus de la nouvelle

population

Application de l'opérateur de

Mutation

Nombre

maximum de

générations

attendues

Sélection des individus appelés

à se reproduire (nouvelle

population intermédiaire de N

individus)

Meilleure configuration obtenue

Non

Fig. (3.4) Processus d’optimisation par les algorithmes génétiques [25].


39

L’algorithme de résolution commence par :

a) la création d’une population P de taille N >0 constituée par des individus générés

aléatoirement ;

b) la mesure de l’adaptation de chacun des individus de P à partir de la valeur de la

fonction objectif évaluée sur eux ;

c) La prochaine étape du processus consiste à faire évoluer cette population vers une

population plus adaptée à chaque génération, en utilisant trois différents opérateurs: la

sélection, le croisement et la mutation. Lorsque nous n’avons plus d’amélioration dans

l’adaptation des individus de la population, l’algorithme s’arrête.

3.6.3.3 Mise en œuvre de la procédure des Algorithmes Génétiques

La mise en œuvre de la procédure des algorithmes génétiques nécessite en premier lieu la

modélisation de l’ensemble des étapes qui la constituent. C'est-à-dire les étapes qui sont

illustrées par l’organigramme de la figure (3.4). Cette modélisation consiste en la traduction

mathématique des différents passages de la procédure. Dans ce qui suit nous développons les

différents outils permettant la modélisation et la mise en œuvre de la procédure des AG.

a) Le codage

Dans l’algorithme génétique de base, tel qu’il a été fondé par Holland, les gènes (paramètres à

optimiser) sont formés de 1 et 0. Dans ce cas, chaque paramètre réel est codée par son

équivalent en binaire et l’individu obtenu est représenté par une chaîne codée de plusieurs

gènes (paramètres) représentant une solution particulière pour la fonction objectif, figure

(3.5b) [27].

De nouvelles versions d’AG sont apparues [27]. Elles ne se basent plus sur le codage binaire

mais elles travaillent directement sur les paramètres réels. Ces versions sont appelées

algorithmes génétiques codés réels figure (3.5a).

Fig. (3.5) Représentation d'un individu;

5a codage réel,

5b codage binaire [25].

1001 0011 1011 1101 ……………………… 0001

(3.5a)

(3.5b)

X1 X2 X3 X4 ……………………. Xn

Un gène=paramètre Individu


40

b) Génération de la population initiale

Le choix de la population initiale d’individus conditionne fortement la rapidité de

l’algorithme. Néanmoins, une initialisation aléatoire est plus simple à réaliser : les valeurs des

gènes sont tirées au hasard selon une distribution uniforme. Toutefois, il peut être utile de

guider la génération initiale vers des sous domaines intéressants de l’espace de recherche. Par

exemple lors d’une recherche d’optima dans un problème d’optimisation sous contraintes, il

est préférable de produire des éléments satisfaisant les contraintes. La population initiale doit

être suffisamment diversifiée et de taille assez importante pour que la recherche puisse

parcourir l’espace d’état dans un temps limité [25].

c) L’évaluation

La fonction d’adaptation, évaluation, ou fitness, associe une valeur pour chaque individu.

Cette valeur a pour but d´évaluer si un individu est mieux adapté qu’un autre à son

environnement. Aucune règle n’existe pour définir cette fonction la manière la plus simple est

de poser la fonction d’adaptation comme la formalisation du critère d’optimisation [25].

d) La sélection

L’opérateur de sélection est appliqué sur la population courante de façon à sélectionner les

individus qui iront former la population de la prochaine génération. La sélection de ces

individus est basée sur leur valeur d’adaptation. Ainsi, les individus les plus adaptés sont

généralement sélectionnés pour constituer la génération suivante, alors que les plus faibles

sont exclus sans avoir la possibilité d’avoir des descendants. Il existe différentes façons

d’implémenter un opérateur de sélection, parmi lesquelles nous trouvons : la sélection

uniforme, la sélection par tournoi, proportionnelle et la sélection par rang [27].

e) Le croisement

L’opérateur de croisement est utilisé pour échanger les caractéristiques “génétiques” entre

les différents individus d’une génération quelconque. Cet échange s’effectue en choisissant

deux individus au hasard (parents) qui seront “croisés” avec une certaine probabilité de

croisement pc, de façon à générer deux nouveaux individus (enfants). Les enfants

remplaceront leurs parents et formeront la nouvelle population intermédiaire.


41

Dans le cas d’un codage réel des individus, le “croisement” peut être obtenu à partir d’un

simple échange de paramètres entre les deux parents, comme le montre la figure (3.6). La

zone de croisement, au niveau de la paire d’individus (parents), est choisie aléatoirement, [1].

Le croisement représenté sur la figure (3.6) est du type 1-point. Nous avons encore d’autres

implémentations de croisement, tels que le type 2-points, le croisement uniforme, le

croisement non uniforme et le croisement arithmétique, Malgré ces différentes façons de

“croiser” les individus, le but de ces opérateurs reste toujours la conquête de nouvelles

régions de l’espace de recherche à partir de l’échange de caractéristiques entre les individus

de la même population [25].

f) La mutation

L’opérateur de mutation est appliqué sur les individus d’une population de façon à obtenir

d’autres individus avec des nouvelles caractéristiques “génétiques”. Dans le cas d’un codage

réel, le mécanisme de mutation peut être implémenté en choisissant un individu de la

génération courante au hasard et en modifiant un de ses paramètres aléatoirement avec une

probabilité de mutation pm. Ce mécanisme est dénommé mutation uniforme [1].

Il y a donc quatre paramètres de base qui doivent être fixés pour assurer le fonctionnement

d’un AG : le nombre d’individus dans la population N, la génération maximale Gmax, les

taux de croisement pc et de mutation pm. Trouver de bonnes valeurs à ces paramètres est un

problème souvent délicat, Les valeurs de N et Gmax dépendent fortement du problème à

optimiser (en particulier du nombre de gènes de chaque individu) [30].

3.7 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons abordé l’état de l’art des méthodes utilisées dans la résolution

des problèmes d’optimisations, Nous avons remarqué que selon leurs caractéristiques, ces

méthodes peuvent être subdivisées en deux différents groupes : les méthodes déterministes et

les méthodes stochastiques.

I’2 X22 X15 X14 X13 X21 X16

Fig. (3.6) Processus de croisement.

X25 X24 X26 I2 X22 X23 X21

Un site de coupe

I1 X12 X15 X14 X13 X11 X16 I'1 X12 X25 X24 X23 X11 X26

Chapitre quatre

Conception de la pompe

MHD à conduction par la

méthode des AG

Chapitre 4 Conception de la pompe MHD à conduction par la méthode des AG

42

4.1 Introduction

L’optimisation est un outil indispensable combinant diverses techniques de la mathématique

discrète et de l’informatique afin de résoudre des problèmes d’optimisation de la vie réelle.

Un problème d’optimisation consiste à trouver la meilleure solution dans un ensemble discret

de solutions appelé ensemble des solutions réalisables. En général, cet ensemble est fini mais

de cardinalité très grande [35].

On peut distinguer deux types de problèmes l’optimisation locale et l'optimisation globale.

L'optimisation locale consiste à rechercher la meilleure solution localement, c'est-à-dire dans

une région restreinte de l'espace de recherche, par contre l'optimisation globale recherche la

meilleure solution sur tout l'espace de recherche [30].

Dans ce chapitre on propose la conception optimale d’une pompe MHD, on utilisant la

méthode des algorithmes génétiques qui nous permettra d’optimiser la masse de la pompe

MHD.

4.2 Le mécanisme des algorithmes génétiques

L’idée de base des algorithmes génétiques est de suivre la loi de l’évolution naturelle. Chaque

solution est représentée comme un individu et l’ensemble de solutions, comme une

population. À chaque itération des opérateurs génétiques (sélection, croisement, mutation)

sont utilisés pour diversifier la population.

4.3 Démarche de conception par optimisation

Apres avoir présenter le modèle électromagnétique au chapitre deux, on définit le

fonctionnement du dispositif à concevoir, et on utilise la méthode des algorithmes génétiques

pour atteindre la solution optimale (minimisant la masse et satisfaisant les contraintes du

cahier de charges).

4.4 Formulation d’un problème d’optimisation d’une pompe MHD par AG

D'une manière générale, les algorithmes génétiques est un algorithme de recherche local, qui

commence à partir des individus initiaux (une population) représentant les solutions possibles

du problème. Chaque individu de la population s'appelle un chromosome, et a une "fitness

fonction" (fonction à optimiser) qui contribue à la génération d’une nouvelle population au

moyen d'opérateurs génétiques. Ces opérateurs génétiques sont : la reproduction, le


43

croisement et la mutation. Chaque position dans un chromosome s'appelle un gène. A chaque

génération, l'algorithme utilise les valeurs de "fitness fonction" pour évaluer la capacité de

survie de chaque individu de la population en utilisant les opérateurs afin de créer un nouvel

ensemble d’individus (une nouvelle population) qui est généralement forme des meilleurs

éléments issus de la génération précédente. Pour formuler notre problème d'optimisation par

les algorithmes génétiques, il est nécessaire de définir la fonction objectif à minimiser [30].

Le reste des critères du cahier des charges seront utilisés comme des contraintes d’égalités et

d’inégalités et la résolution du problème de conception sera équivalente a la résolution du

problème d’optimisation défini par : déterminer le vecteur inconnu X :

X=[X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9,X10,X11] [30].

L’équation suivante représente la fonction objectif :

Masse = (Volume ∗ Masse volumique )4i=1 (4.1)

Avec :

𝑥5: le rayon extérieur de l’inducteur ;

𝑥11: longueur du canal ;

𝑥3: le rayon du canal ;

𝑥4 : le rayon extérieur de la bobine ;

(𝑥7− 𝑥6) : longueur de la bobine;

(𝑥10− 𝑥8) : longueur d électrodes ;

(𝑥2− 𝑥1) : largeur d’électrode ;

(𝑥9− 𝑥7) : la longueur de l’inducteur

La structure de la pompe utilisée dans l’optimisation est montrée dans la figure (4.1).

Fig. (4.1) La structure de la pompe utilisée dans l’optimisation.

Inducteur Bobine

s

Electrodes Canal


44

Dans notre étude l’objectif est de minimiser la masse totale de la pompe à conduction qui

inclut les masses des matériaux de chaque partie active de la pompe.

4.4.1 Calcul de la masse totale de la pompe

Chaque masse est calculée par le produit de la masse volumique de chaque matériau par le

volume de chaque partie active constituant la pompe.

M𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑀𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 + 𝑀𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑑𝑒𝑠 + 𝑀𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 + 𝑀𝑐𝑢𝑖𝑣𝑟𝑒 (4.2)

Masse du fluide

Le canal est un cylindre creux de rayon 3 x et de longueur 11 x contenant deux électrodes. Le

volume du canal est donné par :

𝑉𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙 = Πx32x11 − 2Velectrode (4.3)

Le volume d’électrode donné par :

𝑉𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑑𝑒 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑥10 − 𝑥8 lelectrode (4.4)

Avec :

𝑉𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑑𝑒 : volume d’électrode

𝑥2 − 𝑥1 : largeur de l’électrode;

𝑥10 − 𝑥8 : longueur de l’électrode;

lelectrode : hauteur de l’électrode.

En utilise le mercure comme fluide le canal de densité volumique ρ𝑚𝑒𝑟

La masse du fluide est donnée par :

𝑀𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 = 𝑉𝑚𝑒𝑟 ρ𝑚𝑒𝑟 (4.5)

Avec :

𝑀𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 : masse du fluide (mercure) ;

𝑉𝑚𝑒𝑟 : volume du mercure ;

ρ𝑚𝑒𝑟 : densité volumique du mercure.

Masse du cuivre

La pompe est composée de deux bobines en cuivre de rayon extérieur 𝑥4 et de rayon intérieur

𝑥3 et de longueur (𝑥7 − 𝑥6)


45

Le volume d’une bobine :

𝑉𝑐𝑢𝑖 = Π x42 − x3

2 𝑥7 − 𝑥6 (4.6)

La masse d’une bobine

𝑀𝑐𝑢𝑖 = 2𝐾𝑟𝑐𝑉𝑐𝑢𝑖 ρ𝑐𝑢𝑖 (4.7)

Avec :

𝐾𝑟𝑐 ∶ coefficient de remplissage ;

𝑀𝑐𝑢𝑖 : masse du cuivre ;

𝑉𝑐𝑢𝑖 : volume du cuivre ;

ρ𝑐𝑢𝑖 : masse volumique du cuivre

Masse de l’inducteur

Le volume de l’inducteur est donné par :

𝑉𝑖𝑛𝑑 = Π x52 − x3

2 𝑥9 − 𝑥7 (4.8)

La masse de l’inducteur est donnée par :

𝑀𝑖𝑛𝑑 = 𝐾𝑟𝑓𝑉𝑓𝑒𝑟 ρ𝑓𝑒𝑟 (4.9)

Avec :

où :

𝑀𝑖𝑛𝑑 : masse de l’inducteur ;

ρ𝑓𝑒𝑟 : masse volumique du matériau ferromagnétique ;

𝑉𝑓𝑒𝑟 : volume de l’inducteur;

𝐾𝑟𝑓 : coefficient de remplissage des tôles.

Masse des électrodes

L’électrode est de platine La masse de l’électrode est donnée par :

𝑀𝑒𝑙𝑒𝑐 = 2𝑉𝑒𝑙𝑒𝑐 ρ𝑝𝑙𝑎𝑡 (4.10)

Avec :

𝑀𝑒𝑙𝑒𝑐 : masse des deux électrodes ;

𝑉𝑒𝑙𝑒𝑐 : volume de l’électrode donné par (4.3) ;

ρ𝑝𝑙𝑎𝑡 : masse volumique du platine.

Alors la masse totale de la pompe est la somme des masses.

Les masses volumiques des matériaux utilisés sont données dans le tableau (4.1).

Tab. (4.1) Masse volumique des matériaux de la pompe MHD.

Matériau mercure cuivre fer platine

Masses

volumiques [Kg/𝑚3]

13.54*103

8.92*103

7850

13*103


46

4.5 Conception par algorithmes génétiques de la pompe MHD à conduction

On va appliquer la conception par optimisation d’une pompe à conduction, en utilisant la

méthode des algorithmes génétiques.

La méthode des algorithmes génétiques utilisée dans notre optimisation est issue de

MATLAB version 2013, (Toolboxes Genetic Algorithm).

Les critères de contrôle choisis sont :

Population initiale P0 égale à 50 individus;

Probabilité de croisement Pc=0.8;

Probabilité de mutation Pm=0.2;

Nombre de générations 100

4.6 Application et résultats

Les résultats de la simulation de la masse et du vecteur X sont regroupés dans le tableau

(4.2) :

Tab. (4.2) Résultats de simulation.

Paramètre Valeur

X1(m) 0.0120

X2(m) 0.0130

X3(m) 0.0150

X4(m) 0.0596

X5(m) 0.0989

X6(m) 0.0201

X7(m) 0.0403

X8(m) 0.0600

X9(m) 0.1392

X10(m) 0.1593

X11(m) 0.1792

Masse fer (Kg) 21.0503

Masse bobines (Kg) 0.7424

Masse électrodes (Kg) 0.2535

Masse mercure (Kg) 4.2638

Masse Pompe (Kg) 26.31


47

Fig. (4.2) Résultats d’optimisation par la méthode des algorithmes génétiques.

L’individu représente le vecteur X qui constitue les paramètres géométriques optimisés.

Valeur fitness : fonction objectif (masse optimale de la pompe).

4.7 Etude des performances de la pompe à conduction par la MVF

Dans cette section, nous allons effectuer une modélisation par la méthode des volumes finis.

Dans le but de valider la procédure adoptée pour la conception.

4.7.1 Distribution du potentiel vecteur magnétique

Les figures (4.3a) et (4.3b) représentent respectivement les lignes équipotentielles dans la

pompe MHD et la distribution du potentiel vecteur magnétique A dans la pompe MHD en 3D.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10026

26.5

27

Generation

Fitness v

alu

e

Best: 26.31 Mean: 26.3104

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.05

0.1

0.15

0.2

Number of variables (11)

Curr

ent

best

indiv

idual

Current Best Individual

Best f itness

Mean fitness


48

Fig. (4.3a) Lignes équipotentielles dans la pompe MHD optimisée.

Fig. (4.3b) Distribution du potentiel vecteur magnétique dans la pompe optimisée en 3D.

4.7.2 Induction magnétique dans la pompe MHD

La figure (4.4) représente la variation de l’induction magnétique dans la pompe MHD

optimisée en 3D.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180

0.05

0.1

0.15

0.2

r[m]

z[m

]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

00.05

0.10.15

0.2-5

0

5

10

x 10-3

Po

tentie

l vecteur M

ag

netiq

ue A

[A m

]

r[m]

z[m]


49

Fig. (4.4) Induction magnétique dans la pompe MHD optimisée en 3D.

4.7.3 Distribution de la force électromagnétique

La figure (4.5) représente la variation de la force électromagnétique dans la pompe MHD avec

optimisation. Le nœud utilisé pour tracé la courbe est r(2). Les mêmes constatations sont à

noter, on remarque une amélioration dans la valeur de la force.

Fig. (4.5) Distribution de la force électromagnétique dans le canal de la pompe

MHD optimisée.

4.8 conclusion

Nous avons formulé le problème de conception étant un problème d’optimisation utilisant un

modèle magnétique obtenu par la méthode des volumes finis. L’application des algorithmes

génétique a permis d’optimiser le poids de la pompe MHD et améliorer les performances de

la pompe MHD à conduction.

00.02 0.04

0.060.08 0.1

0.12 0.140.16

0.18

0

0.05

0.1

0.15

0.20

0.5

1

1.5

2

2.5

r[m]

z[m]

Ind

ucti

on m

ag

néti

qu

e B

[T]

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

7

Z[m]

Force é

lectr

om

ag

néti

que [N

/m3]

Conclusion Générale

Conclusion générale

50

Conclusion générale

Dans ce travail, nous avons traité une démarche de dimensionnement d’une pompe

MHD. Le problème de conception est formulé comme étant un problème d'optimisation non

linéaire avec contraintes, pour cela une modélisation numérique a été nécessaire. Au début des

généralités sur les pompes MHD ont été présenté, et on a décrit les pompes MHD à conduction

et induction.

Pour concevoir un dispositif, il est nécessaire d'effectuer sa modélisation. On a effectué

la modélisation par la méthode des volumes finis des phénomènes électromagnétique, un code de

calcul sous environnement Matlab a été élaboré pour modéliser la pompe MHD. L’exploitation

du code de calcul a permis la détermination de principales performances telles que le potentiel

vecteur magnétique, l’induction magnétique et la force électromagnétique. En suite la

formulation mathématique d’un problème d’optimisation avec et sans contraintes et les

différentes méthodes d’optimisation stochastiques et déterministes ont été présentés. Puis nous

avons formulé le problème de conception de la pompe magnétohydrodynamique comme étant

un problème d’optimisation avec contraintes utilisant la méthode des algorithmes génétique.

Les résultats de simulation obtenus sont en concordance qualitativement avec ceux

publiés dans les références indiquées.

Apres la validation de la procédure développée pour la conception, un calcul par

volumes finis est effectué. Les résultats obtenus sont meilleurs que ceux obtenus avant

l’optimisation.

Suggestions et perspectives :

Comme perspectives, on propose l’approche de certains points tels que :

Le couplage électromagnétique-hydrodynamique ;

Le couplage électromagnétique-thermique ;

Le remplacement, dans la procédure de conception par optimisation, du modèle volume

finis par le modèle numérique (MEF) ;

La conception d’un prototype réel de la pompe à induction et faire des essais

expérimentaux.

Références

Bibliographiques

Références bibliographiques

51


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Résumé

Conception optimale d’une micro pompe par la méthode des

algorithmes génétiques (AG)

RESUMÉ

Dans ce mémoire une conception par optimisation utilisant la méthode des algorithmes génétique

d’une pompe magnétohydrodynamique à conduction a été faite. Le problème de conception est

formulé comme étant un problème d'optimisation. Cette démarche est devenue, aujourd'hui,

possible, grâce à l’accroissement de la puissance de calcul des ordinateurs et aux

développements réalisés dans le domaine de l'optimisation. Pour cela une modélisation

numérique des phénomènes magnétohydrodynamiques par la méthode des volumes finis a été

effectuée. Des résultats de simulation, telles que le potentiel vecteur magnétique, l’induction

magnétique, et la force électromagnétique sont obtenus.

Mots clés

Optimisation

Algorithmes génétique

Conception

ABSTRACT

In this work an optimal design by using genetic algorithms method of conduction

magnetohydrodynamic pump was performed. The design problem is formulated as a nonlinear

optimization problem. This approach is now possible, due to the increase of computers power

and the developments in the optimization field. A numerical modeling of magnetohydrodynamic

phenomena by numerical finite volume method was performed. Simulation results obtained

using a calculation code developed, such as the magnetic vector potential, magnetic induction,

and the electromagnetic force.

Key words

Optimization

Genetic algorithm

Design

Résumé

الملخص

نهارا حى إجشاء اننزجت انعذديت نهظىاهش انهىغاسحيت انجينيت نقذو انخصيى األيثم نضخت يغنطيسيت باسخخذاو طشيقت

انغناطيسيت باسخخذاو طشيقت األحجاو اننخهيت انخي سحج بانشبظ بين يعادالث ياكسىيم، يع األخز بعين االعخباس حشكت

نخائج انحاكاة انخي حى انحصىل عهيها باسخخذاو بشنايج حسابي يبني عهى طشيقت األحجاو اننخهيت يكننا ين انحصىل . انسىائم

قنا بنزجت عذديت بعذ انخصيى األيثم اننخائج . عهى ناقم انحخهت انغناطيسيت، انحث انغناطيسي، وانقىة انكهشويغناطيسيت

.لانخي حى انحصىل عهيها هي أفضم ين حهك انخي حصهنا عهيها قبم األيث

المفتاحية الكلمات

األيثم

انهىغاسحيت انجينيت

حصيى

conception optimale d’une micro pompe par la … · par la méthode des algorithmes génétiques...

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