concept du cours - igmigm.univ-mlv.fr/~biri/enseignement/mii2/tdpdf/synthesei_1.pdf · 2 venceslas...

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Venceslas BIRIVenceslas BIRIIGMIGMUniversité de Marne La ValléeUniversité de Marne La Vallée

Synthèse d'images ISynthèse d'images I

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Concept du coursConcept du cours

Conception des images de synthèseConception des images de synthèse–– D'un point de vue théoriqueD'un point de vue théorique–– Comprendre pour apprendreComprendre pour apprendre

Le domaine des images de synthèseLe domaine des images de synthèse–– Où en est on ? A quoi ça sert ? Dans quel Où en est on ? A quoi ça sert ? Dans quel

domaine ?domaine ?–– Comment les fabrique t'on ?Comment les fabrique t'on ?

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Ce que vous apprendrezCe que vous apprendrez–– Outils mathématiques de l'imageOutils mathématiques de l'image–– Fondement de la synthèse d'imagesFondement de la synthèse d'images–– Les algorithmes de renduLes algorithmes de rendu

•• A la base d'A la base d'OpenGLOpenGL–– Le pipeline graphiqueLe pipeline graphique–– La modélisation des objetsLa modélisation des objets

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Ce que vous n'apprendrez pasCe que vous n'apprendrez pas–– Les logiciels de modélisation 3DLes logiciels de modélisation 3D

•• 3DSmax, maya, 3DSmax, maya, blenderblender ……•• Vu dans d'autres coursVu dans d'autres cours

–– Les algorithmes d'illumination globaleLes algorithmes d'illumination globale•• Vu en 2ème annéeVu en 2ème année

–– L'animation complexeL'animation complexe•• Vu en 3ème annéeVu en 3ème année

–– La conception artistiqueLa conception artistique

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Méthodologie du coursMéthodologie du coursUn support de cours succinct Un support de cours succinct –– Reprend les équations et les grands titresReprend les équations et les grands titres–– Il faut noter et écouter en coursIl faut noter et écouter en cours–– N'hésitez pas à poser des questionsN'hésitez pas à poser des questions–– Un support de cours distinctUn support de cours distinct

12*2h de CM12*2h de CM–– Complété par 12*2h de TD avec M. Complété par 12*2h de TD avec M. BoulenguezBoulenguez

•• Application avec Application avec glutglut

Ce semestre :Ce semestre :–– En TD : images 2D + lancer de rayonsEn TD : images 2D + lancer de rayons–– En CM : Tout sur la modélisation et les rendus simplesEn CM : Tout sur la modélisation et les rendus simples

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Plan du coursPlan du cours

I.I. IntroductionIntroductionII.II. Les mathématiques de l'imageLes mathématiques de l'imageIII.III. ModélisationModélisationIV.IV. Rendu & affichageRendu & affichage

Fabriquer une image de synthèse :Fabriquer une image de synthèse :

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La synthèse d'imagesLa synthèse d'images

I. IntroductionI. Introduction

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I.I. IntroductionIntroduction1.1. État des lieuxÉtat des lieux2.2. La réalitéLa réalité3.3. Domaine et applicationDomaine et application

II.II. Les mathématiques de l'imageLes mathématiques de l'imageIII.III. ModélisationModélisationIV.IV. Rendu & affichageRendu & affichage



I. IntroductionI. Introduction1. État des lieux1. État des lieux

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EtatEtat des lieuxdes lieuxHistorique du rendu Historique du rendu –– La visualisation d'image apparaît tardivement dans La visualisation d'image apparaît tardivement dans

l'histoire de l'informatique (ligne année 50, l'histoire de l'informatique (ligne année 50, annéeannée 6060--70)70)–– Initialement, dessin vectorielInitialement, dessin vectoriel

•• Recréation de dessin à partir d'outils (tracer une droite…)Recréation de dessin à partir d'outils (tracer une droite…)•• À cause des problèmes de mémoire, de vitesse de À cause des problèmes de mémoire, de vitesse de

processeurprocesseur–– Puis affichage d'images :Puis affichage d'images :

•• Images de fondImages de fond•• Dans les jeux : des Dans les jeux : des spritessprites mobilesmobiles

–– Calcul direct de scènes 3D :Calcul direct de scènes 3D :•• QuakeQuake est le premier jeu en 3D intégral (1997)est le premier jeu en 3D intégral (1997)

–– Apparition de véritables moteurs de rendu physiqueApparition de véritables moteurs de rendu physique•• HalfHalf LifeLife

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EtatEtat des lieuxdes lieux

Quelques exemples sur l'état des lieux par Quelques exemples sur l'état des lieux par domainedomaine

Capacité temps réel :Capacité temps réel :–– Rendu pur : 1 à 2 millions de pointsRendu pur : 1 à 2 millions de points–– > 10 millions de pixels> 10 millions de pixels

Mais …Mais …–– Confrontation Temps réel Confrontation Temps réel ⇔⇔ RéalismeRéalisme

jeu vidéojeu vidéo filmfilm applicationapplication

dernière technodernière technocarte graphiquecarte graphique



I. IntroductionI. Introduction2. Partons de la réalité2. Partons de la réalité

3

13

L'image "réelle"L'image "réelle"

La formation d'une image :La formation d'une image :

La projectionLa projection

Source lumineuseSource lumineuse

Interaction Interaction lumière matièrelumière matièreL'espace desL'espace des

couleurscouleurs

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L'image "réelle"L'image "réelle"Les sources de lumière :Les sources de lumière :–– Sans elles, pas d'image !Sans elles, pas d'image !–– Souvent contiennent toutes Souvent contiennent toutes

les couleursles couleurs–– Naturelles ou artificiellesNaturelles ou artificielles

•• Lumières naturelles : soleil, Lumières naturelles : soleil, ciels, feux …ciels, feux …

Difficile à quantifierDifficile à quantifierRiche en couleurRiche en couleur

•• Lumières artificielles :Lumières artificielles :Mieux connuesMieux connuesCaractéristiques Caractéristiques quantifiablesquantifiables

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L'image "réelle"L'image "réelle"

Interaction lumière matière :Interaction lumière matière :–– Les rayons lumineux entre dans la matière !Les rayons lumineux entre dans la matière !–– Certains ressortent, d'autres nonCertains ressortent, d'autres non

•• Dépend de la longueur d'onde des rayonsDépend de la longueur d'onde des rayons•• Donne la couleur à l'objet !Donne la couleur à l'objet !

AbsorptionAbsorption

RéflexionRéflexion

MatériauxMatériaux

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L'image "réelle"L'image "réelle"La projectionLa projection–– Faire une image c'est projeter le monde sur un plan ou la Faire une image c'est projeter le monde sur un plan ou la

rétinerétine–– Passage de la 3 dimension à la 2 dimensionPassage de la 3 dimension à la 2 dimension–– Plusieurs façons de projeter :Plusieurs façons de projeter :

•• Projection orthographiqueProjection orthographique

•• Projection perspectiveProjection perspective

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L'image "réelle"L'image "réelle"L'espace des couleursL'espace des couleurs–– Dans l'œil :Dans l'œil :

•• Iris + corné + cristallinIris + corné + cristallinAppareil de prise de vueAppareil de prise de vueAppareil optiqueAppareil optique

•• Rétine :Rétine :C'est la pellicule !C'est la pellicule !Cônes : pour les Cônes : pour les couleurscouleursBâtonnets : pour Bâtonnets : pour l'intensité lumineusel'intensité lumineuse

•• Cônes : 3 fonctions de Cônes : 3 fonctions de réceptionréception

–– On travaille en RVB !On travaille en RVB !

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L'image de synthèseL'image de synthèse

Les images de synthèse :Les images de synthèse :–– On tente de recréer le processus précédentOn tente de recréer le processus précédent–– Tout est calculé sur ordinateurTout est calculé sur ordinateur

•• Affichage via l'écran toujours en RVBAffichage via l'écran toujours en RVB–– Importance des modèlesImportance des modèles

•• D'éclairageD'éclairage•• D'interaction avec la matièreD'interaction avec la matière•• De projectionDe projection•• De choix des couleursDe choix des couleurs

–– De nombreux autres facteurs interviennentDe nombreux autres facteurs interviennent•• Dépend des applicationsDépend des applications•• Ex : Contrainte temps réel, fidélité des calculs …Ex : Contrainte temps réel, fidélité des calculs …

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I. IntroductionI. Introduction3. Domaines et applications3. Domaines et applications

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Domaines & applicationsDomaines & applicationsPermet de simuler un univers virtuelPermet de simuler un univers virtuelNombreuses applications Nombreuses applications –– Simulateurs (conduites, centrales Simulateurs (conduites, centrales

nucléaires…)nucléaires…)•• Étude des comportements humainsÉtude des comportements humains

–– Modélisation et visualisation scientifiqueModélisation et visualisation scientifique•• Simuler sans expérimenter (moindre coût)Simuler sans expérimenter (moindre coût)•• Mieux comprendre les résultats des Mieux comprendre les résultats des

expériencesexpériences–– Domaine médicalDomaine médical

•• Aider / guider les chirurgiens dans leur gesteAider / guider les chirurgiens dans leur geste•• Adapter des applications à des handicapésAdapter des applications à des handicapés

–– CAO & IndustrieCAO & Industrie•• Visualisation pour le design, contrainte Visualisation pour le design, contrainte

matérielles matérielles

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Domaines & applicationsDomaines & applicationsNombreuses applications Nombreuses applications –– Jeux vidéoJeux vidéo

•• Simuler pour divertir. ImmersionSimuler pour divertir. Immersion–– Réalité virtuelleRéalité virtuelle

•• Nouvelle application innovanteNouvelle application innovante–– Effets spéciaux au cinémaEffets spéciaux au cinéma

•• CompositingCompositing d'imaged'image–– ArchitectureArchitecture

•• Résistance des matériauxRésistance des matériaux•• Simulation des transferts de chaleurSimulation des transferts de chaleur•• Visualisation du bâtiment fini sur le siteVisualisation du bâtiment fini sur le site

–– Internet 3D …Internet 3D …

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Domaines & applicationsDomaines & applicationsProblématique différente suivant les domainesProblématique différente suivant les domaines–– Jeux vidéo : Jeux vidéo :

•• le temps réelle temps réel–– Réalité virtuelle : Réalité virtuelle :

•• interactivitéinteractivité–– Visualisation scientifique : Visualisation scientifique :

•• Fidélité au modèle physiqueFidélité au modèle physique•• Gérer de grandes quantités de donnéesGérer de grandes quantités de données

–– CAO et industrieCAO et industrie•• Gérer de grandes quantités de donnéesGérer de grandes quantités de données•• Extraire les bons modèles / Extraire les bons modèles /

les bons paramètresles bons paramètres–– SimulateursSimulateurs

•• Respecter au plus proche le réalisme cognitifRespecter au plus proche le réalisme cognitif

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Domaines & applicationsDomaines & applicationsProblématique différente suivant les domainesProblématique différente suivant les domaines–– Domaine médical :Domaine médical :

•• Sécurité de l'applicationSécurité de l'application•• Aide au chirurgienAide au chirurgien

–– Effets spéciaux au cinéma :Effets spéciaux au cinéma :•• Cohérence des images (Cohérence des images (compositingcompositing))•• RéalismeRéalisme

–– Architecture :Architecture :•• Coller au modèle physiqueColler au modèle physique•• EsthétismeEsthétisme

–– Internet 3D :Internet 3D :•• Compréhension des donnéesCompréhension des données

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Domaines & applicationsDomaines & applications

jeux vidéojeux vidéo

Visu scientifiqueVisu scientifique

ArchitectureArchitecture

SimulateursSimulateurs

CAOCAO

Réalité virtuelleRéalité virtuelle

Imagerie médicaleImagerie médicale

Effets spéciauxEffets spéciaux

Internet 3DInternet 3D Temps réelTemps réel

RéalismeRéalisme

5

25

UtilitéUtilité

Utilité : voir ce qui n'est pas !Utilité : voir ce qui n'est pas !–– Audiovisuel / effets spéciauxAudiovisuel / effets spéciaux

•• liberté narrativeliberté narrative–– CAOCAO

•• Prévoir avant de concevoirPrévoir avant de concevoir•• Minimisation des coûtsMinimisation des coûts

–– Jeux vidéoJeux vidéo•• Immersion dans des mondes oniriques / futuristeImmersion dans des mondes oniriques / futuriste•• Liberté narrative et d'actionLiberté narrative et d'action

–– Internet 3DInternet 3D•• Nouvelle représentation du monde et des donnéesNouvelle représentation du monde et des données•• Voir les donnéesVoir les données

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UtilitéUtilitéUtilité : voir ce qui n'est pas !Utilité : voir ce qui n'est pas !–– Visualisation scientifiqueVisualisation scientifique

•• Mieux comprendre les données / les modèlesMieux comprendre les données / les modèles•• Voir les comportementsVoir les comportements

–– SimulateurSimulateur•• Étudier les réactions humaines dans des circonstances Étudier les réactions humaines dans des circonstances

difficile à mettre en œuvredifficile à mettre en œuvre•• FormationFormation

–– ArchitectureArchitecture•• Proposer avant de construire. Voir les problèmes en amontProposer avant de construire. Voir les problèmes en amont•• Démocratie localeDémocratie locale

–– Application médicaleApplication médicale•• Agir de loin. Nouveaux outils. FormationAgir de loin. Nouveaux outils. Formation



II. Les mathématiques de II. Les mathématiques de l'image et de la géométriel'image et de la géométrie

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I.I. IntroductionIntroductionII.II. Les mathématiques de l'image et de la 3DLes mathématiques de l'image et de la 3D

1.1. Espace vectorielEspace vectoriel2.2. Représentations de l'espace, des objetsReprésentations de l'espace, des objets3.3. Coordonnées homogènes et transformationsCoordonnées homogènes et transformations

III.III. ModélisationModélisationIV.IV. Rendu & affichageRendu & affichage



II. Les mathématiques de II. Les mathématiques de l'image et de la 3Dl'image et de la 3D

1. Espace vectoriel1. Espace vectoriel

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PPLignes, courbesLignes, courbes

SurfacesSurfaces

VolumesVolumes

DimensionsDimensions

OO

Tout point P se repèreTout point P se repèrepar sa distance aupar sa distance au

point Opoint O

⇒⇒ 1 paramètre pour avoir tous les points1 paramètre pour avoir tous les points⇒⇒ Dimension 1Dimension 1

axe 1axe 1OO

axe 2axe 2Tout point se repèreTout point se repère

par 2 paramètres à partirpar 2 paramètres à partird'un point centrald'un point central⇒⇒ Dimension 2Dimension 2

ici distances surici distances surles 2 axes les 2 axes

par rapport à Opar rapport à O

ici distances surici distances surles 3 axes les 3 axes

par rapport à Opar rapport à O

OO axe 1axe 1

axe 2axe 2

axe 3axe 3

Tout point se repèreTout point se repèrepar 3 paramètres à partirpar 3 paramètres à partir

d'un point centrald'un point central⇒⇒ Dimension 3Dimension 3

6

31

DimensionsDimensionsDimension = nombre de paramètres Dimension = nombre de paramètres indépendantsindépendantspour représenter l'espace de travailpour représenter l'espace de travailEn synthèse d'images :En synthèse d'images :–– Dimension 1 :Dimension 1 :

•• Étude de trajectoire, Étude de trajectoire, splinespline ……–– Dimension 2 :Dimension 2 :

•• Surfaces (eau, terrain)Surfaces (eau, terrain)•• Textures & ImagesTextures & Images

–– Dimension 3 :Dimension 3 :•• Organisation des surfaces dans l'espaceOrganisation des surfaces dans l'espace•• Milieu participant, particulesMilieu participant, particules

–– Dimension 4 :Dimension 4 :•• Animation temporelleAnimation temporelle

32

Espace vectorielEspace vectorielDéfinition :Définition :–– Un espace vectoriel Un espace vectoriel EE sur un corps K est un ensemble sur un corps K est un ensemble

d'éléments dénommés d'éléments dénommés vecteursvecteurs muni de deux lois, l'une muni de deux lois, l'une interne notée «interne notée « ++ », et l'autre externe notée «», et l'autre externe notée « •• », qui », qui vérifient des axiomesvérifient des axiomes

Corps (K,+,•)Corps (K,+,•)–– Ensemble où il est possible d'effectuer des additions, des Ensemble où il est possible d'effectuer des additions, des

soustractions, des multiplications et des divisionssoustractions, des multiplications et des divisions–– Appelé les Appelé les scalairesscalaires

Loi interne : Loi interne : ExEExE →→ EELoi externe : Loi externe : KxEKxE →→ EE

33

Espace vectorielEspace vectoriel

Axiomes de la loi interne +Axiomes de la loi interne +–– la loi + est associativela loi + est associative

–– la loi + est la loi + est unifèreunifère

–– la loi + est la loi + est symétrisablesymétrisable

–– la loi + est commutativela loi + est commutative

( ) ( )wvuwvuEwvu rrrrrrrrr++=++∈∀ ,,,

ueuueEuEe rrrrrrr=+=+∈∀∈∃ ,,

e est appelé vecteur nul et noté 0e est appelé vecteur nul et noté 0

0,,rrrrrrr

=+=+∈∃∈∀ vuuvEvEuv peut aussi se noter v peut aussi se noter --uu

vuuvEvEu rrrrrr+=+∈∀∈∀ ,,

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Axiomes de la loi externeAxiomes de la loi externe ••–– L'unité de K (noté 1) est neutre à gauche :L'unité de K (noté 1) est neutre à gauche :

–– Elle est distributive à gauche par rapport à + :Elle est distributive à gauche par rapport à + :

–– Elle est Elle est exodistributiveexodistributive à droite par rapport à à droite par rapport à l'addition du corps K :l'addition du corps K :

–– Elle est Elle est exoassociativeexoassociative à droite par rapport à la à droite par rapport à la multiplication du corps K :multiplication du corps K :

uuEu rrr=∈∀ .1,

).().()(.,,, vuvuEvuK rrrrrr λλλλ +=+∈∀∈∀

).().(.)(,,, uuuEuK rrrr µλµλµλ +=+∈∀∈∀

).(..).(,,, uuEuK rrr µλµλµλ =∈∀∈∀

35


J'ai rien compris !J'ai rien compris !–– C'est normal …C'est normal …–– Prenons le cas qui nous intéresse en synthèse Prenons le cas qui nous intéresse en synthèse

d'imagesd'images•• Notre cadre d'étude : l'espace réelNotre cadre d'étude : l'espace réel•• Espace euclidien (relativement petit !)Espace euclidien (relativement petit !)•• Dimension 3Dimension 3

–– Que trouve t'on dans l'espace réel ?Que trouve t'on dans l'espace réel ?•• Des points / des positionsDes points / des positions

Nécessite trois coordonnéesNécessite trois coordonnées•• Des vecteurs / des directionsDes vecteurs / des directions

Nécessite aussi trois coordonnéesNécessite aussi trois coordonnées

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Notion de vecteurNotion de vecteur

Vecteur :Vecteur :–– Ensemble de n coordonnéesEnsemble de n coordonnées

•• n = 2, 3 mais aussi 4, 10 000 etc.n = 2, 3 mais aussi 4, 10 000 etc.–– Dans l'espace 3D réel : ensemble de 3 Dans l'espace 3D réel : ensemble de 3

coordonnéescoordonnées•• Noté :Noté :

–– Représente une direction / un déplacementReprésente une direction / un déplacement•• Ex :Ex :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyx

uuu

ur

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

502

ur = 2 unités sur l'axe 1 et 5 unités sur l'axe 5= 2 unités sur l'axe 1 et 5 unités sur l'axe 5

7

37

Notion de vecteurNotion de vecteur

Attention à ne pas confondre point et Attention à ne pas confondre point et vecteur !vecteur !–– Même nombre de coordonnée mais objets Même nombre de coordonnée mais objets

différentsdifférents–– Vecteur non dépendant d'une "origine"Vecteur non dépendant d'une "origine"–– Vecteur insensible aux déplacementsVecteur insensible aux déplacements

décalage versdécalage versla droitela droite Le vecteur n'a Le vecteur n'a

pas changépas changé38


Revenons à notre espace vectorielRevenons à notre espace vectoriel–– Corps : Réel ( ) avec addition et multiplication Corps : Réel ( ) avec addition et multiplication

classiqueclassique–– Vecteur : triplet de coordonnées (dans )Vecteur : triplet de coordonnées (dans )–– Loi interne +Loi interne +

•• opération :opération :

•• élément neutre (nul) : élément neutre (nul) :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+=+=+=

==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=+

zzz

yyy

xxx

z

y

x

z

y

x

vuwvuwvuw

wvvv

uuu

vu rrr

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

000

0r

ℜ

ℜ

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Revenons à notre espace vectorielRevenons à notre espace vectoriel–– Loi externe •Loi externe •

•• opération :opération :

•• élément neutre : 1 ...élément neutre : 1 ...

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

z

y

x

z

y

x

uuu

uuu

uλλλ

λλ .. r

40

Espace vectoriel & dimensionEspace vectoriel & dimension

A quoi correspondent les trois A quoi correspondent les trois coordonnées ?coordonnées ?Espace vectoriel : Espace vectoriel : –– une infinité de vecteur possible …une infinité de vecteur possible …

… mais pas toujours indépendants… mais pas toujours indépendants•• un vecteur peut s'obtenir comme somme de deux un vecteur peut s'obtenir comme somme de deux

autresautres

•• un vecteur peut être l'agrandissement d'un autre un vecteur peut être l'agrandissement d'un autre vecteurvecteur

41


Notion de combinaison linéaireNotion de combinaison linéaire–– Soit n scalaires : Soit n scalaires : –– Soit n vecteurs :Soit n vecteurs :–– Alors Alors

est une combinaison linéaireest une combinaison linéaireQuestion :Question :–– Existe t'il un ensemble Existe t'il un ensemble BB de vecteur tel que tout de vecteur tel que tout

vecteur puisse être représenté comme une vecteur puisse être représenté comme une combinaison linéaire de vecteurs de combinaison linéaire de vecteurs de BB ??

),,( ,21 nλλλ K

),,,( 21 nuuu rK

rr

nn uuuv rK

rr ... 2211 λλλ +++=

⇒⇒ Réponse : Réponse : OUIOUI !! 42


Base de vecteurBase de vecteur–– Dimension d'un espace vectoriel = nombre Dimension d'un espace vectoriel = nombre

minimum de ces vecteursminimum de ces vecteurs–– Les vecteurs ainsi constitués représentent une Les vecteurs ainsi constitués représentent une

base de l'espace vectorielbase de l'espace vectoriel–– Il existe une infinité de base possible :Il existe une infinité de base possible :

–– Dans notre cas : dimension 3Dans notre cas : dimension 3

8

43


Dans notre cas :Dans notre cas :–– 3 vecteurs suffisent pour définir l'ensemble de 3 vecteurs suffisent pour définir l'ensemble de

tous les vecteurs : tous les vecteurs : •• Axe 1 : vecteur ou Axe 1 : vecteur ou •• Axe 2 : vecteur ouAxe 2 : vecteur ou•• Axe 3 : vecteur ouAxe 3 : vecteur ou

–– Oui mais comment les choisir (efficacement) ?Oui mais comment les choisir (efficacement) ?

ir

xrjr

yr

kr

zr

⇒⇒ Introduction d’une nouvelle notion :Introduction d’une nouvelle notion :l’orthogonalitél’orthogonalité

44

Produit scalaireProduit scalaire

Définition :Définition :–– Application bilinéaire, symétrique, définie, Application bilinéaire, symétrique, définie,

positive (positive (gaspgasp))•• Application : E x E Application : E x E →→

•• BilinBilinééaire : fonction linaire : fonction linééaire pour u et vaire pour u et v•• symsyméétrique :trique :•• positive :positive :

•• ddééfinie :finie :

ℜ( )vuvu rr

arr .,

( ) ( )uvvu rrrr .. =

( ) 0. ≥uu rr

( ) 00. =⇒= uuu rrr

45


Propriété du produit scalaire :Propriété du produit scalaire :–– Soit u et v deux vecteurs :Soit u et v deux vecteurs :

Dans notre cas :Dans notre cas :–– Produit scalaire canoniqueProduit scalaire canonique

( ) ⇒= 0.vu rru et v sont orthogonauxu et v sont orthogonaux

( ) zzyyxx

z

y

x

z

y

xvuvuvu

vvv

uuu

vuvu ++=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡== ... rrrr

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Norme et distanceNorme et distance–– Introduction d’une notion de taille, de longueur Introduction d’une notion de taille, de longueur

dans l’espace vectoriel : la normedans l’espace vectoriel : la norme–– Norme naturelle : E Norme naturelle : E →→

•• Doit satisfaire des conditions précisesDoit satisfaire des conditions précisesSéparation : norme nulle d’un vecteur => Séparation : norme nulle d’un vecteur => vecteurvecteur nulnulHomogénéité : Homogénéité : multmult. par un scalaire. par un scalaireInégalité triangulaire : norme d’un couple de vecteurInégalité triangulaire : norme d’un couple de vecteur

•• Aussi appelée norme Aussi appelée norme euclidienneeuclidienneRapport à la géométrie du même nom = notre casRapport à la géométrie du même nom = notre cas

uuu rrr .=ℜ

aru

Vecteur normé Vecteur normé ⇔⇔ur 1=ur

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Notion de distanceNotion de distance–– Norme d’un vecteur = distance du Norme d’un vecteur = distance du

«« déplacementdéplacement »»ProjectionProjection–– Le produit scalaire d’un vecteur u par un vecteur Le produit scalaire d’un vecteur u par un vecteur

v peut aussi se voir comme la projection de u v peut aussi se voir comme la projection de u sur v (et vice versa) :sur v (et vice versa) :

ur

vr

( )vu rr . = = ±± longueur verte * longueur rouge longueur verte * longueur rouge

ur

vr

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Meilleures bases vectorielles :Meilleures bases vectorielles :–– Tous les axes sont orthogonaux 2 à 2Tous les axes sont orthogonaux 2 à 2

•• Les vecteurs sont donc «Les vecteurs sont donc « indépendantsindépendants »»–– Les vecteurs ont une norme égale à 1Les vecteurs ont une norme égale à 1

•• Forme une base Forme une base orthonormaleorthonormale

Tout vecteur se décompose en Tout vecteur se décompose en une combinaisonune combinaison

linéaire des vecteurs de cette baselinéaire des vecteurs de cette base

ir

jrk

rvr

kjivEvrrrrr γβαγβα ++=ℜ∈∃∈∀ ,,,

et on a :et on a :⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

γβα

vr

9

49


Coordonnées et produit scalaireCoordonnées et produit scalaire–– En fait on aEn fait on a

–– Donc :Donc :

γβα

===

kvjvivrr

rr

rr

...

kkvjjviivvEvrrrrrrrrrrr ).().().(, ++=∈∀

ir

jr

kr vr

50

Notre espaceNotre espace

Et au fait les points ?Et au fait les points ?–– Ne sont pas des vecteursNe sont pas des vecteurs–– Relatifs à une origineRelatifs à une origine–– Voyons la théorie ...Voyons la théorie ...

Espace affine : définitionEspace affine : définition–– Soit E un espace vectoriel sur un corps K et Soit E un espace vectoriel sur un corps K et

P un ensemble non vide d’élément (appelés P un ensemble non vide d’élément (appelés pointspoints), on défini un espace affine par le triplet ), on défini un espace affine par le triplet εε=(E,P,=(E,P,φφ) ou ) ou φφ satisfait satisfait àà deux axiomes.deux axiomes.

–– φφ : application : P x P : application : P x P →→ EE

51


Espace affine : axiome de Espace affine : axiome de φφ1.1.

2.2.Retour Retour àà notre espace :notre espace :

Et les coordonnEt les coordonnéées ?es ?–– Fixons nous une origine OFixons nous une origine O–– Les coordonnLes coordonnéées de tout point M sont celles du es de tout point M sont celles du

vecteur OMvecteur OM

),(),(),(,, CACBBAPCBA ϕϕϕ =+∈∀

vBAPBEvPA rr=∈∃∈∀∈∀ ),(!,, ϕ

ABBA =),(ϕ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

OM

OM

OM

M

M

M

zyx

OMzyx

M52


Coordonnées et vecteursCoordonnées et vecteurs–– Soit deux points A et B, on a :Soit deux points A et B, on a :

–– Les coordonnées des vecteurs dépendent de la Les coordonnées des vecteurs dépendent de la base choisiebase choisie

–– Les coordonnées des points dépendent de la Les coordonnées des points dépendent de la base choisie et de l’originebase choisie et de l’origine

–– Repère = base vectorielle + origineRepère = base vectorielle + origine

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

=ab

ab

ab

zzyyxx

AB

53

Produit vectorielProduit vectoriel

Opération particulière sur les vecteursOpération particulière sur les vecteurs–– Définition :Définition :

•• Soit u et v deux vecteurs, le produit vectoriel de u par v Soit u et v deux vecteurs, le produit vectoriel de u par v donne un vecteur w qui :donne un vecteur w qui :

Est orthogonal aux deux autresEst orthogonal aux deux autresLa base de vecteur est une base directeLa base de vecteur est une base directeVérifie l’équation :Vérifie l’équation :

–– Orientation :Orientation :

),sin( vuvuw rrrrr=

),,( wvu rrr

Sens directSens direct Sens indirectSens indirect 54

Produit vectorielProduit vectoriel

Produit vectoriel : calculProduit vectoriel : calculvuw rrr

∧=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

z

y

x

z

y

x

vvv

uuu

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

yzzy vuvu −zxxz vuvu −xyyx vuvu −

10

55

Résumons ...Résumons ...

L’espace dans lequel nous vivonsL’espace dans lequel nous vivons–– Espace euclidienEspace euclidien–– Espace affineEspace affine

•• Contient des points et des vecteursContient des points et des vecteurs•• Contient un espace vectoriel de dimension 3Contient un espace vectoriel de dimension 3•• Choix d’une base vectorielle Choix d’une base vectorielle orthonormaleorthonormale

Défini les coordonnées des vecteursDéfini les coordonnées des vecteurs•• Choix d’un point d’origineChoix d’un point d’origine

Défini les coordonnées des pointsDéfini les coordonnées des points•• Distances mesurées par le produit scalaireDistances mesurées par le produit scalaire

Norme euclidienneNorme euclidienne




2. Représentations de l’espace2. Représentations de l’espaceet trigonométrieet trigonométrie

57

Différentes coordonnéesDifférentes coordonnées

Coordonnées cartésiennesCoordonnées cartésiennes–– Celles que l’on vient de voirCelles que l’on vient de voir–– Utile très souvent mais ... Utile très souvent mais ...

... pour se déplacer sur une sphère ?... pour se déplacer sur une sphère ?On a défini aussi 2 autres types de On a défini aussi 2 autres types de coordonnéescoordonnées–– Coordonnées cylindriques Coordonnées cylindriques –– Coordonnées sphériquesCoordonnées sphériques

58

Coordonnées cylindriquesCoordonnées cylindriques

θθ

rr

MM

PPzz⎪⎩

⎪⎨⎧

zyx

M coordonnéescoordonnéescartésiennescartésiennes

⎪⎩

⎪⎨⎧

z

rM θ coordonnéescoordonnées

cylindriquescylindriques

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

zzryrx

)(sin)(cos

θθ

59

Coordonnées sphériquesCoordonnées sphériques

MM

PPφφ

θθ

rr⎪⎩

⎪⎨⎧

zyx

M coordonnéescoordonnéescartésiennescartésiennes

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕθr

M coordonnéescoordonnéessphériquessphériques

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

)cos()sin()(sin)sin()(cos

ϕϕθϕθ

rzryrx

60

Représentation d’objetReprésentation d’objet

Deux formes distinctesDeux formes distinctes–– Une représentation fondée sur une Une représentation fondée sur une

paramètrisationparamètrisation des coordonnéesdes coordonnées–– Une représentation fondée sur une contrainte Une représentation fondée sur une contrainte

liée aux coordonnéesliée aux coordonnées–– Deux façons de voir les courbes, les surfaces ...Deux façons de voir les courbes, les surfaces ...

11

61

Représentation d’objetReprésentation d’objet

Exemple : la sphèreExemple : la sphère–– Définition : sphère de rayon R de centre CDéfinition : sphère de rayon R de centre C

•• Ensemble des points situés à une distance R de CEnsemble des points situés à une distance R de C–– Représentation cartésienne :Représentation cartésienne :

–– Représentation paramétriqueReprésentation paramétrique

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

∃)cos(

)sin()sin()sin()cos(

,ϕ

ϕθϕθ

ϕθRzz

Ryyxx

tq

c

c

c

P(x,y,z) appartientP(x,y,z) appartientà la sphèreà la sphère RCP =⇔⇔ 2222 )()()( Rzzyyxx ccc =−+−+−⇔⇔

P(x,y,z) appartientP(x,y,z) appartientà la sphèreà la sphère ⇔⇔

62

TrigonométrieTrigonométrie

DéfinitionDéfinition–– Étude des rapports de distances et d’angle dans Étude des rapports de distances et d’angle dans

les triangles ainsi que les fonctionsles triangles ainsi que les fonctionstrigonométriquestrigonométriques

–– Triangle rectangle en CTriangle rectangle en C

θθcb=)cos(θ

ca=)sin(θ

ba=)tan(θ

1)(sin)(cos 22 =+ θθPar Par pythagorepythagore ::

63

TrigonométrieTrigonométrie

Identités trigonométriques (cf. Identités trigonométriques (cf. wikipediawikipedia))

ParitéParité

Addition et soustractionAddition et soustraction

SymétrieSymétrie

DuplicationDuplication

64

Trigonométrie : cosinus & sinusTrigonométrie : cosinus & sinus

65

Trigonométrie : table de valeursTrigonométrie : table de valeurs

66

Trigonométrie et vecteursTrigonométrie et vecteurs

Formule avec les vecteursFormule avec les vecteurs–– Soit u et v deux vecteurs :Soit u et v deux vecteurs :

θθ

ur

vr)cos(. θvuvu rrrr

=

nvuvu rrrrr )sin(θ=∧

Pour le cosinus :Pour le cosinus :

Pour le sinus :Pour le sinus :

Manière de calculer les fonctions trigonométriques très efficaceManière de calculer les fonctions trigonométriques très efficace(si on peut éviter les racines carrées)(si on peut éviter les racines carrées)

avec n vecteur normal à u et vavec n vecteur normal à u et v

12




3. Coordonnées homogènes3. Coordonnées homogènes

68

Espace projectifEspace projectif

Espace cartésien :Espace cartésien :–– C'est bien mais pose des problèmes C'est bien mais pose des problèmes

Problème de transformationProblème de transformationMM

ur

MM

urtranslation Ttranslation T

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+++

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

zz

yy

xx

z

y

x

tmtmtm

MTmmm

M )(a

),,( zyx tttT

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

z

y

x

z

y

x

uuu

uTuuu

u )( rar

69


Problème de transformationProblème de transformation

ur

MM

urrotation Rrotation R

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zx

y

zx

y

z

y

x

mmm

mmMR

mmm

M)cos()sin(

)sin()cos()(,

θθ

θθθa

θ,yR

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zx

y

zx

y

z

y

x

uum

uuuR

mmm

u)cos()sin(

)sin()cos()(,

θθ

θθθr

ar

MM

70


Problème de projection …Problème de projection …M (x,y,z)M (x,y,z)

d : distance d : distance focalefocale

zz

xx

P (x',y',z')P (x',y',z')

écranécran

caméracaméra

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎯→⎯

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

'''

?

zyx

Pzyx

M

Par Thalès :Par Thalès :

De même :De même : yzdy ='

Et :Et : dz ='

xzdx ='

zx

dx ='

NON LINEAIRENON LINEAIRE

71

Le plan projectifLe plan projectif

On revient au planOn revient au planIdée :Idée :

MM

PP

Faire "correspondre" tous les Faire "correspondre" tous les points de la ligne rougepoints de la ligne rouge

Ils se "projettent" tous au Ils se "projettent" tous au point Ppoint P

Tous distinct mais se retrouveTous distinct mais se retrouvetous dans une classe communetous dans une classe commune

Mais comment faire pour queMais comment faire pour quele point M soit équivalent aule point M soit équivalent au

point P ?point P ? 72


On défini un ensemble POn défini un ensemble P22 de pointsde points–– Avec une dimension supplémentaireAvec une dimension supplémentaire

–– Avec une relation d'équivalence …Avec une relation d'équivalence …

•• Tous les vecteurs qui sont équivalent forment des Tous les vecteurs qui sont équivalent forment des classes d'équivalenceclasses d'équivalence

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

wyx

MP2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

===

∃⇔⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

wwyyxx

tqwyx

Nwyx

M PP ααα

α'''

'''

22

13

73


Classe d'équivalenceClasse d'équivalence–– Regroupent une infinité de pointsRegroupent une infinité de points–– En général on choisi comme représentant d'une En général on choisi comme représentant d'une

classe d'équivalence le point classe d'équivalence le point

Retour sur le plan projectifRetour sur le plan projectif

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

1yx

M ref

MM

PPM et P restent bien distinct maisM et P restent bien distinct mais

sont équivalents !sont équivalents !

74

Et si w=0 ?Et si w=0 ?–– Pas de problème !Pas de problème !

Relation avec les points "normaux" de RRelation avec les points "normaux" de R22 ??–– On relie M dans ROn relie M dans R22 avec M dans Pavec M dans P22 par :par :


MM

PP QQ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

wyx

M⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

1//wywx

P⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

0yx

Q

PointsPoints DirectionDirection

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡≈⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

122 y

xMy

xM PR

75


RésumonsRésumons–– Grâce à l'ajout d'une "dimension" :Grâce à l'ajout d'une "dimension" :

•• On représente les points des lignes issues de O par On représente les points des lignes issues de O par des classes d'équivalences des classes d'équivalences

i.e. des points équivalentsi.e. des points équivalents•• On représente toutes les directions du planOn représente toutes les directions du plan

Les points avec w = 0Les points avec w = 0•• Plus un point particulier : l'originePlus un point particulier : l'origine

WhaouWhaou ! Merci à ! Merci à •• August Ferdinand August Ferdinand MoëbiusMoëbius pour les avoir pour les avoir

inventées en 1827inventées en 1827•• Olivier Olivier FaugerasFaugeras pour les avoir amenées dans pour les avoir amenées dans

l'infographiel'infographie

76

L'espace projectifL'espace projectif

Même chose en dimension 3 …Même chose en dimension 3 …

Relations entre RRelations entre R33 et Pet P33

–– PointsPoints

–– VecteursVecteurs

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

====

∃⇔⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡≈

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

wwzzyyxx

tqwzyx

Nwzyx

M PP

αααα

α''''

''''

33

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

133 z

yx

Mzyx

M PR

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

033 z

yx

vzyx

v PR

Les directions (vecteurs) Les directions (vecteurs) ont leur quatrième ont leur quatrième

composante à 0composante à 0Ce sont comme des Ce sont comme des

points à l'infinipoints à l'infini

77


Les plans dans PLes plans dans P33

–– Équation cartésienne dans RÉquation cartésienne dans R33 ::–– Avec les points de PAvec les points de P33 ::

–– Un plan Un plan ΠΠ dans Pdans P33 est caractérisé par le vecteurest caractérisé par le vecteur

0=+++ dczbyax

0=+++ dwzcw

ybwxa

0=+++ wdzcybxaouou

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Π

dcba

78


Les plans dans PLes plans dans P33

–– Point P appartenant au plan Point P appartenant au plan ΠΠ vérifie :vérifie :

–– Détermination du plan passant par 3 pointsDétermination du plan passant par 3 points0. =ΠP

On a : On a : 0... 321 =Π=Π=Π PPPOn cherche : On cherche : Π

Méthode : calculer le déterminant de la matrice :Méthode : calculer le déterminant de la matrice :

3333

2222

1111

wzyxwzyxwzyxeeee wzyx

oùoù

)1,0,0,0()0,1,0,0()0,0,1,0()0,0,0,1(

====

w

z

y

x

eeee

14

79


Résolution du problème de projectionRésolution du problème de projection

yzdy ='

dz ='

xzdx ='

Non linéaireNon linéairedans Rdans R33

Prenons maintenant les points :Prenons maintenant les points :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

''''

133

wzyx

Pzyx

M PP

Trouvez la matrice Trouvez la matrice ΠΠ telle que P = telle que P = ΠΠ M :M :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1''''

3 zyx

wzyx

PP

KKKKKKKKKKKKKKKK

C'EST LINEAIRE !C'EST LINEAIRE !80

Transformation dans PTransformation dans P33

Translation T(Translation T(ttxx,,ttyy,,ttzz))–– Doit affecter les points mais pas les vecteursDoit affecter les points mais pas les vecteurs–– On va jouer sur la quatrième coordonnéeOn va jouer sur la quatrième coordonnée

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

11000100010001

11'''

,, zyx

ttt

zyx

Tzyx

z

y

x

ttt zyxPoints :Points :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

01000100010001

00'''

,,z

y

x

z

y

x

z

y

x

tttz

y

x

uuu

ttt

uuu

Tuuu

zyxVecteurs :Vecteurs :

81

Translation :Translation :

Homothétie :Homothétie :–– Affecte points et vecteurs ...Affecte points et vecteurs ...–– Permet de faire des retournementsPermet de faire des retournements


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1000100010001

,,z

y

x

ttt ttt

Tzyx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1000000000000

,,z

y

x

zyxH α

αα

ααα

TT

MM

ur

82


Rotation :Rotation :–– Commençons par les rotations autour des axes Commençons par les rotations autour des axes

principauxprincipaux–– Affecte points et vecteursAffecte points et vecteurs–– Axe x :Axe x :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=10000)cos()sin(00)sin()cos(00001

, θθθθ

θxRur

MM

MM

83


Rotation :Rotation :–– Axe y :Axe y :

–– Axe z :Axe z :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

10000)cos(0)sin(00100)sin(0)cos(

, θθ

θθ

θyRur

MM

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000010000)cos()sin(00)sin()cos(

,θθθθ

θzR

ur

MM

84


Forme «Forme « généralegénérale » d’une transformation» d’une transformation–– Possibilité d’une translationPossibilité d’une translation–– Possibilité d’une homothétiePossibilité d’une homothétie–– Possibilité d’une rotation Possibilité d’une rotation

•• Homothétie et rotation sont combinéesHomothétie et rotation sont combinées

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1000z

y

x

ttHRt

D

15

85


Rotation d’angle Rotation d’angle θθ sur un axe porté par les sur un axe porté par les points P et Qpoints P et Q

•• Ramener le point P à l’origine et Q en R : T(Ramener le point P à l’origine et Q en R : T(--ppxx,,--ppyy,,--ppzz))•• Rotation sur (Rotation sur (OyOy) pour ramener OR en OR’ sur (O,y,z) : ) pour ramener OR en OR’ sur (O,y,z) :

RRθθyy

•• Rotation sur (Rotation sur (OxOx) pour ramener OR’ sur () pour ramener OR’ sur (OzOz) : R) : Rθθxx

•• Rotation de Rotation de θθ sur lsur l’’axe axe OzOz•• Et les transformations inversesEt les transformations inverses

QQ

PPRR

OOOO

RR R’R’ θθyy RR

OO

R’R’

θθxx

RR

OO

R’R’

θθ

86


Rotation sur un axe PQ d’angle Rotation sur un axe PQ d’angle θθ–– Décomposition matricielle :Décomposition matricielle :

zyxyxxyzyx pppyxzxypppPQ TRRRRRTR −−−−−= ,,,,,,,,,, ...... θθθθθθ

avec : avec :

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

z

y

x

ppp

P⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡==

z

y

x

rrr

PQPQrr

2222)sin()cos(

zx

xy

zx

zy

rrret

rrr

+=

+= θθ

yxzxx retrr =+= )sin()cos( 22 θθAttention au cas particulier : Attention au cas particulier : rrxx = = rrzz = 0= 0

87


Autre exemple : réflexion par un planAutre exemple : réflexion par un plan•• Ramener un point du plan à l’origineRamener un point du plan à l’origine•• A l’aide d’une rotation mettre la normale du plan sur A l’aide d’une rotation mettre la normale du plan sur

l’axe (l’axe (OzOz))•• Faire la réflexion par le plan (Faire la réflexion par le plan (OxyOxy))•• Refaire les transformations inversesRefaire les transformations inverses

rrPP

OO

rr

rr

88


Autre exemple : réflexion par un planAutre exemple : réflexion par un plan–– Décomposition matricielle :Décomposition matricielle :

zyxyxxyzyx pppyxxyxyppprPplan TRRHRRTR −−−−−= ,,,,,,,,, ...... θθθθr

avec : avec :

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

z

y

x

ppp

P⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

z

y

x

rrr

rr

2222)sin()cos(

zx

xy

zx

zy

rrret

rrr

+=

+= θθ

yxzxx retrr =+= )sin()cos( 22 θθAttention au cas particulier : Attention au cas particulier : rrxx = = rrzz = 0= 0

P point du planP point du plan

rr normale au plannormale au plan

89

RotationsRotations

Objectif : décrire l’orientation d’un objet Objectif : décrire l’orientation d’un objet dans un repèredans un repère–– Pas unicité des descriptionsPas unicité des descriptions

•• matrice, axe d’Euler, angles d’Euler, quaternions, matrice, axe d’Euler, angles d’Euler, quaternions, paramètre de paramètre de RodriguesRodrigues, paramètre , paramètre CayleyCayley--KleinKlein......

–– Idée de base : 3 rotations successivesIdée de base : 3 rotations successivesAngles d’Euler :Angles d’Euler :–– Suite de 3 rotationsSuite de 3 rotations

•• précession précession –– lacet lacet –– «« yawyaw »»•• nutation nutation –– roulis roulis –– «« rollroll »»•• rotation propre rotation propre –– tangage tangage –– «« pitchpitch »»

–– Passage d’un repère à un autrePassage d’un repère à un autre

90

RotationsRotations

Angle d’Euler : constructionAngle d’Euler : construction–– Repère Repère OxyzOxyz →→ Ox’y’zOx’y’z’’–– Précession : ψPrécession : ψ

•• Axe Axe OzOz•• OxyzOxyz →→ OuvzOuvz•• Intersection Intersection OxyOxy & & OxOx’’yy’’

–– Nutation : Nutation : θθ•• Axe OuAxe Ou•• OuvzOuvz →→ OuwzOuwz’’

–– Rotation propre : Rotation propre : φφ•• Axe Axe OzOz’’•• OuwzOuwz’’ →→ OxOx’’yy’’zz’’

16

91

RotationsRotations

Problème des angles d’Problème des angles d’eulereuler ::–– Ordre des rotationsOrdre des rotations–– GimbalGimbal locklock

•• Application des transformations unitaires ?Application des transformations unitaires ?Implique Implique renormalisationrenormalisation de la matricede la matrice

•• Comment retrouver les angles d’EulerComment retrouver les angles d’EulerCertains cas dégénérésCertains cas dégénérés

(0,90, 0)(0,90, 0) (0,90,90)(0,90,90) (0, 0,90)(0, 0,90)(0,0,0)(0,0,0)

90°90°roulisroulis

90°90°tangagetangage

--90°90°roulisroulis

92

RotationsRotations

Quaternion :Quaternion :–– Nouvel objet mathématiqueNouvel objet mathématique–– Représente facilement les rotations 3DReprésente facilement les rotations 3D

•• A l’aide d’un vecteur à 4 coordonnéesA l’aide d’un vecteur à 4 coordonnées–– Représentation :Représentation :

),( Va

dcba

Qr

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

93

RotationsRotations

Quaternions : OpérationsQuaternions : Opérations–– Addition :Addition :

–– Multiplication :Multiplication :

–– Conjugué : Conjugué : –– Produit scalaire et norme :Produit scalaire et norme :

),( 2121

21

21

21

21

2

2

2

2

1

1

1

1

21 VVaa

ddccbbaa

dcba

dcba

QQrr

++=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+

( )( )211221212121 ,. VVVaVaVVaaQQrrrrrr

∧++−=

( )VaQr

−= ,*

( )212121 .. VVaaQQrr

+= VVaQQQ .. 2+== 94

RotationsRotations

Rotations et quaternions :Rotations et quaternions :–– Rotation d’angle Rotation d’angle 22φφ et de vecteur unitaire et de vecteur unitaire NN–– ReprRepréésentsentééee par le quaternion :par le quaternion :

–– Action sur un vecteur :Action sur un vecteur :

–– Composition : Composition : •• Soit P et Q deux quaternions reprSoit P et Q deux quaternions repréésentant deux sentant deux

rotations, PQ reprrotations, PQ repréésente la composition des rotationssente la composition des rotations

( )NQ )sin(,)cos( ϕϕ=

( ) ( ) ( )( )NVNV ϕϕϕϕ sin,cos,0sin,cos',0 −=

95

RotationsRotations

Rotations et quaternionsRotations et quaternions–– Il existe des formules pour passerIl existe des formules pour passer

•• Du quaternion aux angles d’EulerDu quaternion aux angles d’Euler•• Du quaternion aux matrices 4x4 représentant la Du quaternion aux matrices 4x4 représentant la

rotationrotation•• Du quaternion à d’autres représentations de rotation Du quaternion à d’autres représentations de rotation

plus exotiquesplus exotiques

concept du cours - igmigm.univ-mlv.fr/~biri/enseignement/mii2/tdpdf/synthesei_1.pdf · 2 venceslas...

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