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Comportement des matériaux sous sollicitations cycliques Sylvain Leclercq (EDF R&D)

Comportement mécanique des matériaux métalliques sous chargement cyclique

S. Leclercq(Merci à G. Cailletaud)


Références

• De nombreuses illustrations de cette présentation sont tirées de

• J. Lemaitre, J.L. Chaboche « Mécanique des Matériaux Solides », Dunod, 1988 (Deuxième édition)

• J. Besson, G. Cailletaud, J.L. Chaboche, S. Forest « Mécanique non linéaire des Matériaux », Hermès, 2001

On se référera avantageusement à ces ouvrages pour élargir le point de vue donné ici


Plan du cours

• 1 - Quelques rappels sur le comportement monotone

• Plasticité indépendante du temps• Notions d’écrouissage isotrope et cinématique• Introduction de la viscoplasticité

• 2 - Comportement cyclique : Notions et applications

• Limites des écrouissages isotrope et cinématique linéaire• Ecrouissage cinématique non linéaire• Chargement cyclique à contrainte ou déformation imposée• Notion de rochet, d’accommodation• Notion de courbe d’écrouissage cyclique• Durcissement et adoucissement cyclique – Ecrouissage isotrope


Plan du cours

• 3 – Liens « évidences expérimentales-lois de comportement ». Identification

• Évaluer les potentialités d’un modèle• Cerner son domaine d’application• Des équations compliquées pour simuler des phénomènes compliqués

• 4 - Les effets du temps en chargement cyclique

• Fluage cyclique• Relaxation cyclique• Recouvrance

• 5 – Cas particulier du comportement cyclique multiaxial

• Rochet 2D traction-cisaillement• Hypothèse d’écrouissage cinématique linéaire• Hypothèse d’écrouissage cinématique non linéaire

• 6 - Un exemple industriel : la fatigue thermique


Quelques rappels

Chargement monotone

Lois de comportement


Comportement plastique en traction monotone

Élastique- parfaitement plastique Élastique- plastique linéaire

En général, le module élasto-plastique dépend de la déformation plastique


Différents régimes en plasticité

Dans le cas général, les ingrédients d’un modèle de comportement sont :

• Hypothèse des petites perturbations :

• Domaine élastique (fonction f)

• Ecrouissage (variables internes)


RhéologieLes briques pour la construction d’un modèle

Ressort

Amortisseur linéaire

Amortisseur non linéaire

Patin


Les briques pour la construction d’un modèle

Plasticité indépendante du temps :

Viscoélasticité (pas de partition des déformations:

Elasto-viscoplasticité :

On construit :


Plasticité indépendante du temps

« Parallèle » : On ajoute les contraintes« Série » : On ajoute les déformations


Matériau élastique parfaitement plastique

Domaine d’élasticité :

Décharge élastique :

Ecoulement plastique :


Loi de Prager


Variable d’état : déformation plastique


Expression générale pour décrire la plasticité 1D

Domaine d’élasticité :

Décharge élastique :


Equation de cohérence (consistency equation)


Deux types d’écrouissage

Isotrope : Cinématique :

σy


Ecrouissage isotrope

Déformation plastique cumulée

Variable d’état : déformation plastique cumulée


Variables d’état

L’écrouissage isotrope dépend de la déformation plastique cumulée p

L’écrouissage cinématique linéaire dépend de la déformation plastique actuelle

L’écrouissage cinématique non linéaire dépend de

Valeur asymptotique de

Voir plus loin


Variables d’écrouissage

Ecrouissage isotrope

Ecrouissage cinématique linéaire

Ecrouissage cinématique non linéaire

Voir plus loin


Introduction de la viscosité

Modèle de Bingham généralisé

Elasto-viscoplasticité


Interprétation de la loi de comportement

(a) : Domaine élastique

(b) et (c) : Ecoulement

On pose

f : surface de charge


Simulation du fluage


Quelques modèles classiques en viscoplasticité (1/2)


Quelques modèles classiques en viscoplasticité (2/2)


Comportement cyclique uniaxial

Plasticité


Manifestations classiques du comportement cyclique

Durcissement cyclique

Déformation imposée

Contrainte imposée

Chargement symétrique !



Adoucissement cyclique

Déformation imposée

Contrainte imposée

Chargement symétrique !



Autres effets

Chargement non symétrique en contrainte ou déformation !

adaptation

σ

ε

+ effet Bauschinger (dissymétrie traction-compression sur le premier cycle)


Simulation d’un essai de traction monotone


Quid du comportement cyclique ?

Hypothèse : Ecrouissage isotrope (exercices 1 et 2)

• Simulation d’un essai cyclique à déformation imposée• Simulation d’un essai cyclique à contrainte imposée symétrique

Hypothèse : Ecrouissage cinématique linéaire (exercice 3)

• Simulation d’un essai cyclique à contrainte imposée non symétrique


Ecrouissage isotrope (Ex 1 et 2)

Forme « rectangulaire » au bout de quelques cycles

adaptation


Pas représentatif du comportement réel : impossibilité de simuler de la déformation progressive

2 σy

X

Ecrouissage cinématique linéaire (Ex 3)

Le cinématique, même linéaire, simule l’effet Bauschinger !



C/D

Représentation 3D

σyσy

σy

J(σ-X)=σy

J(σ)=σy+C/D

Représentation uniaxiale

Le cinématique non linéaire permet de pallier un certain nombre de défauts des modèles simples


Modélisation du premier cycle

Seuil de plasticité initial


Pente initiale pour X : D


Modélisation de la boucle d’hystérésis

Expression générale

Valeur initiale à chaque cycle

Courbe d’écrouissage cyclique

Accommodation

(cyclage symétrique en contrainte)


Modélisation de la boucle d’hystérésis

Accommodation

(cyclage symétrique en contrainte)

Exercice 4 : retrouver les expressions précédentes


Exemples de courbes d’écrouissage cyclique

Courbes construites à partir des sommets des boucles d’hystérésis


Effet de rochet (cyclage non symétrique)

σy

σy

Exercice 5 : Calculer la valeur de δεp

Cinématique non linéaire


Durcissement et adoucissement cycliques

Ecrouissage isotrope indispensable

Q > 0

Q < 0


Comparaison des courbes monotone et cyclique


Evidence expérimentale

Loi de comportement

Identification


Evidence expérimentale, loi de comportement et identification

Deux écrouissages différents

Même courbe monotone

Mais comportement cyclique différent


Traction Cyclique – Ecrouissage Isotrope

On tend vers un cycle rectangulaire


Traction Cyclique – Ecrouissage cinématique lin.

Le premier cycle est accommodé


Traction Cyclique – Ecrouissage cinématique non lin

On se rapproche de la réalité


Traction Cyclique – Isotrope + Cinématique non lin

On a une meilleure courbure due à l’isotrope


Synthèse sur l’identification

Bien connaître les évidences expérimentales

Choisir sa loi de comportement (capable de simuler ce que l’on voit expérimentalement – ce n’est pas toujours le cas..)

Identifier les paramètres de la loi de comportement

• Le bon essai pour le bon paramètre• Prudence ! Garder un œil critique sur les résultats obtenus

Valider le modèle sur des essais indépendants de la base d’identification


Des cas exotiques

Parfois, les modèles « classiques » ne suffisent pas

Evidences expérimentales peu communes

Il faut complexifier :

• La surface de charge• La description des variables internes


Le plus simple : Notion d’écrouissages multiples

Un comportement donné peut être représenté par plusieurs écrouissages cinématiques additionnés

Peut être utile pour décrire finement une courbe (monotone ou cyclique)


Cas exotique : plasticité uniquement en traction

Surface de charge : Von Mises en traction – élasticité en compression


Cas exotique : Ecoulement non symétrique

On fait intervenir plus ou moins de 1er invariant de la contrainte dans la surface de charge


Cas exotique : Ecrouissage cinématique de type III (Asaro – S-Shape)

Alliages d’aluminium

On joue sur la forme de l’écrouissage cinématique


Cas exotique : Dissymétrie traction-compression

Fontes grises

On travaille sur : la surface de charge et la forme de l’écrouissage


Cas exotique : Dissymétrie traction-compression

Nouveaux critères

Ecrouissage cinématique non symétrique (C,D) (dépend de l’état de traction ou compression)

Traction signifie


Un formalisme pour faire la synthèse

Les modèles multimécanismes

• Exemple 1 : deux mécanismes et deux critères (2M2C)

iy

iii RXJf σσ −−−= )(

j

jij

i CX α�=

)()(

)()(

2

22

1

11

XJXdev

XJXdevp

−−+

−−=

σσλ

σσλε ��

Surfaces de charge (i=1,2)

Couplage des écrouissages+ cinétiques pour αi

Plasticité – équation de cohérence

viscoplasticité


Un formalisme pour faire la synthèse

Les modèles multimécanismes

• Exemple 2 : deux mécanismes et un critère (2M1C)

yRXJXJf σσσ −−−+−= 21

))()(( 2221

j

jij

i CX α�=

np λε �� =

Surface de charge

Couplage des écrouissages+ cinétiques pour αi

Plasticité – équation de cohérence

Ou viscoplasticité

212

22

1

22

11

)( JJ

nJnJn

+

+=n1 et n2 normales à J1 et J2


Comparaison 2M2C et 2M1C

2M2C 2M1C


Comportement cyclique uniaxial

Viscoplasticité


Effet de la viscosité sur le comportement cyclique

Ecrouissage cyclique

Traction monotone

Effet de la vitesse de chargement



Relaxation cyclique

Effet du temps de maintien de la déformation

Restauration par le temps de la contrainte interne



Relaxation cyclique

Fluage cyclique



Recouvrance

Effet du temps sur la déformation de fluage après retour à contrainte nulle


Couplage entre plasticité et fluage


Comportement cyclique multiaxial


Rochet 2D – Traction puis cisaillementChargement non proportionnel

Montrer qu’avec une hypothèse d’écrouissage cinématique linéaire, on a un phénomène d’accommodation progressive et pas de rochet

Calculer le pas de rochet avec une hypothèse d’écrouissage cinématique non linéaire


Rochet 2D – Traction puis cisaillement – Ecr. Iso.


Rochet 2D – Traction puis cisaillement – Ecr. Cin.


Application industrielle

La fatigue thermique


Une application : fatigue thermique de l’acier 304L

3 ou Z

2 ou Y

1 ou X

Maillage pour calcul mécanique

Maillage pour calcul thermique

Eau « froide »

Eau chaude

Pression interne

Champ de température


Comportement cyclique de l’acier 304L

Contrainte max (20°C, +- 0,2%)

0

50

100

150

200

250

300

1 10 100 1000 10000

Nbre de cycles

Con

trai

nte

Max

(MP

a)

Sim (+- 0,2%)

Exp

-300

-200

-100

0

100

200

300

1 10 100 1000 10000 100000 1000000

Nombre de cycles

Con

trai

nte

en M

pa

Traction

Compression

Contrainte max (90°C, +- 0,2%)

0

50

100

150

200

250

1 10 100 1000 10000

Nbre de cycles

Con

trai

nte

Max

Sim (+- 0,2%)

Exp

Exp. Sim.

Adoucissement


Quelques isovaleurs

Variations de température

Champ de contraintes


Traduction en termes de ruine

Déformations plastiques équivalentes

Détection du point de rupture par évaluation de l’endommagement (Modèle ONERA)

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