IUFM DE BOURGOGNE ANNEE 2003-2004

MEMOIRE PROFESSIONNEL PLC2 MATHEMATIQUES

COMMENT PROPOSER UNE ACTIVITE

MOTIVANTE POUR NOS ELEVES DE SECONDE ?

JULIA HUMBERT MICHAEL BRIZARD

DIRECTEUR DE MEMOIRE ERIC PACOREL

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SOMMAIRE : Présentation …………..…….………………………………………………………………. p.1 Introduction…………………………………………………………………………………. p.2 PARTIE THEORIQUE

I. Qu’est-ce que la motivation ?...............................................................................................p.3 II. Comment agir sur la motivation des élèves par le biais d’activités ?...................................p.4

1. Qu’entendons-nous par activité ?...........................................................................p.4 2. Pourquoi avoir privilégié les activités ?.................................................................p.5 3. Par quels types d’activité les élèves pourraient-ils être à priori motivés ?............p.6 4. Quels sont les signes indicateurs de motivation lors de la mise en œuvre de

l’activité ?...............................................................................................................p.7 PARTIE EXPERIMENTALE

I. Motiver par un problème concret…………………………………………………………..p.8 1. Pourquoi un tel choix ?..........................................................................................p.8 2. Expérience sur les tarifs Internet…………………………………………………p.8

a. Objectifs………………………………………………………………….p.8 b. Contenu de l’activité…………………………………………………..…p.9 c. Expérience dans la classe de Michaël………………………………...….p.9 d. Expérience dans la classe de Julia…………………………………...…p.11 e. Bilan global……………………………………………………………..p.13

II. Motiver par une approche historique………………………………………………..……p.14

1. Pourquoi un tel choix ?........................................................................................p.14 2. Expérience sur les solides de Platon……………………………………………p.14

a. Objectifs………………………………………………………………...p.14 b. Expérience de Julia…………………………………………..…………p.15 c. Expérience de Michaël………………………………………………….p.17 d. Bilan global……………………………………………………………..p.19

III. Motiver par l’erreur……………………………………………………………………….p.20

1. Pourquoi un tel choix ?........................................................................................p.20 2. Expérience de géométrie dans l’espace………………………………………...p.20

a. Objectifs……………………………………………………….………..p.20 b. Expérience dans la classe de Julia………………………………………p.21 c. Expérience dans la classe de Michaël……………………………….….p.23 d. Bilan global……………………………………………………………..p.26

Conclusion………………………………………………………………………………….p.28 Bibliographie……………………………………………………………………………….p.29 Annexes.

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PRESENTATION : JULIA HUMBERT : Je suis professeur stagiaire de mathématiques au lycée Chevalier d’Eon à Tonnerre (89). J’ai en responsabilité une classe de seconde, composée de 24 élèves. Au début de l’année, j’ai eu quelques difficultés pour canaliser les élèves. Je me suis vite rendue compte que ces difficultés venaient, en partie, du fait que ma classe est très hétérogène. Un groupe de quatre élèves s’est vite révélé faible alors que cinq élèves ont un bon, voire très bon niveau mathématique. De plus, cinq élèves sont redoublants. Les orientations envisagées par chacun sont aussi très différentes : premières S, STI, ES, STT, et L avec une demande dominante pour la série ES. MICHAEL BRIZARD : Je suis professeur stagiaire de mathématiques au lycée Stephen Liegeard à Brochon (21). J’ai également en responsabilité une classe de seconde, composée de 35 élèves, dont 8 redoublants. Il s’agit d’une classe très hétérogène d’un niveau global plutôt moyen. La classe comprend un groupe de 8 élèves en grandes difficultés et une tête de classe très discrète composée de 4 élèves. La participation orale y est assez active mais la mise au travail écrit est lente et laborieuse. Notons, pour finir, que de nombreux élèves souhaitent s’orienter vers une filière STT et que seuls 5 élèves envisagent une première S.

Devant cette diversité et la faible proportion d’élèves à profil scientifique, il nous est apparu primordial de donner davantage de valeur et de sens aux mathématiques. Notre objectif principal est donc d’intéresser et de motiver le plus grand nombre pendant les heures de cours ainsi que dans le travail personnel.

Nous tenons à remercier Eric Pacorel pour son aide durant l’élaboration de ce mémoire.

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INTRODUCTION :

Motiver les élèves est un travail qui se situe au cœur de l’acte pédagogique depuis plusieurs années et apparaît comme l’un des grands défis de l’enseignement actuel. En effet, motivation et compréhension des apprentissages scolaires sont intimement liés : un élève désintéressé n’aura pas la volonté nécessaire à l’apprentissage et n’assimilera donc pas l’intégralité de l’enseignement qui lui est proposé.

Pour notre part, dès les premiers contacts avec nos classes, nous avons pu mesurer l’importance de cet enjeu. Les interrogations répétées des élèves sur l’utilité des mathématiques nous ont rapidement permis de prendre conscience que cette discipline apparaissait, pour bon nombre d’entre eux, entièrement obscure et détachée de leurs centres d’intérêt, aussi bien personnels que liés à leurs projets professionnels. A ce constat s’est également ajoutée la frustration de voir certains élèves manifester une grande finesse dans leurs réflexions, mais refusant, par manque d’envie, de mettre leurs capacités en œuvre dans leur travail.

Agir sur la motivation des élèves nous est alors apparu déterminant dans notre enseignement. Mais voilà : comment relever ce défi ?

Pour tenter d’apporter des éléments de réponse, il nous faudra dans un

premier temps préciser le sens du mot « motivation ». Ensuite, pour faire sentir à nos élèves que ce que nous leur enseignons est vivant et participe à leur construction, il nous est apparu important de les placer en activité mathématique. Ce choix sera justifié dans la première partie.

Une fois ce choix établi, l’étape suivante consiste à déterminer quels types

d’activités peuvent permettre de donner davantage de sens aux apprentissages et susciter la motivation des élèves. Nous explorerons alors trois pistes différentes pour essayer d’atteindre cet objectif. Une description, une analyse détaillée ainsi qu’un bilan de chaque activité seront exposés dans une deuxième partie.

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PARTIE THEORIQUE : I. Qu’est-ce que la motivation ?

Le terme motivation est très largement employé aujourd’hui et de multiples définitions existent. Nous avons retenu celle de Rolland Viau. Dans son ouvrage La motivation en contexte scolaire, il écrit : « La motivation en contexte scolaire est un état dynamique qui a ses origines dans la perception qu’un élève a de lui-même et de son environnement et qui l’incite à choisir une activité, à s’y engager et à persévérer dans son accomplissement afin d’atteindre un but. » Cette définition contient les trois dimensions fondamentales de la motivation :

• C’est un état dynamique, parce que susceptible de varier dans le temps et au gré des matières étudiées ;

• Elle se mesure au choix, à l’engagement et à la persistance de l’élève dans les activités qui lui sont proposées ;

• Elle dépend de la perception de l’élève, plus précisément de la manière dont il se perçoit et dont il perçoit l’école et ses buts.

Il existe plusieurs types de motivation scolaire :

Premièrement, il y a la motivation intrinsèque. Elle résulte de la volonté des élèves d’apprendre, par souci personnel d’amélioration et de recherche de succès. La motivation intrinsèque d’un individu signifie qu’il effectue une activité uniquement pour le plaisir qu’elle procure en elle-même. Ce type de motivation correspond au sens que l’on applique généralement à ce terme lorsque l’on dit de quelqu’un qu’il est « vraiment motivé » par une activité qui le passionne.

Les facteurs qui interviennent dans la motivation intrinsèque sont l’estime que l’apprenant a pour la matière étudiée, la signification qu’il perçoit de l’activité à entreprendre, la perception de sa capacité à l’accomplir, la confiance en soi… Parmi ces facteurs, l’image de soi joue un rôle essentiel. C’est l’image que s’est construit de lui-même l’apprenant tout au long de son cursus scolaire. C’est en fonction de cette image et de l’estime de soi qui en découle que l’apprenant trouve l’énergie pour s’engager dans les activités proposées et dans un processus d’apprentissage.

La motivation intrinsèque est la plus efficace mais aussi la plus difficile à obtenir car elle dépend essentiellement de la volonté seule de l’élève.

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Deuxièmement, il y a la motivation extrinsèque. Elle est provoquée par une force extérieure à l’individu. Ces stimuli peuvent provenir de l’environnement familial, social, culturel…

Elle découle également de stimuli artificiellement créés en classe pour donner à l’élève le goût d’apprendre : promesse de récompense, crainte des sanctions données par l’enseignant et bien sûr les pratiques pédagogiques de celui-ci.

C’est évidemment sur ce dernier point que nous allons essayer d’agir. Nous espérons ainsi atteindre en plus la motivation intrinsèque des élèves en leur faisant entrevoir la diversité des mathématiques.

Motivation scolaire

Perception du système scolaire

Perception de soi

Milieu extérieur (environnement social, culturel…)

Méthodes pédagogiques du professeur

Motivation intrinsèque

Motivation extrinsèque

Il existe évidemment plusieurs méthodes possibles pour motiver les élèves. Pour cette étude, nous avons privilégié le rôle des activités. II. Comment agir sur la motivation des élèves par le biais

d’activités ?

1. Qu’entendons-nous par activité ? Parmi toutes les définitions possibles que l’on peut attribuer à une activité, voici celle que donnent les chercheurs de l’IREM de Poitiers :

- L’énoncé est court (en général) et compris de tous les élèves - La réponse n’est pas évidente - Pour répondre, l’élève devra :

Soit découvrir la connaissance visée Soit découvrir ce qu’il faudrait savoir pour résoudre le problème Soit mobiliser les notions antérieures en vue de les réorganiser.

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L’IREM du Mans apportent des précisions complémentaires : Un « bon » énoncé doit :

- Etre ouvert à la recherche des élèves - Susciter chez les élèves un sentiment de défi intellectuel - Ne pas comporter de sous entendus - Ne pas porter implicitement la solution de l’enseignant - Ne pas nécessiter, pour être compris, de connaître déjà la solution

Repères-IREM, n° 8, juillet 1992 Une activité apparaît donc comme une situation, une problématique mettant en jeu un certain nombre de connaissances mathématiques dans un contexte de recherche, d’observation, et conduisant à l’approfondissement ou à la découverte de nouvelles connaissances. Elle permet la mise en action des élèves.

2. Pourquoi avoir privilégié les activités ? Le concept d’activité nous parait central pour deux raisons :

• Tout d’abord il est essentiel en classe de seconde comme le précise l’introduction du programme :

« La seconde est une classe de détermination. Pour que l’élève puisse définir son orientation, il doit avoir pris conscience de la diversité de l’activité mathématique. Chercher, trouver des résultats partiels, se poser des questions, appliquer des techniques bien comprises, étudier une démonstration qu’on n’ aurait pas trouvée soi-même, expliquer oralement une démarche, rédiger au brouillon puis au propre, etc. sont quelques-uns des aspects de cette activité. Il importe donc que cette diversité se retrouve dans les travaux proposés à la classe ; parmi ceux-ci les travaux écrits faits à la maison restent absolument essentiels à toute progression de l’élève. » BO n° 2, 30 août 2001, hors série. Les activités que nous proposerons s’inscriront dans cette démarche.

• Ensuite, les activités permettent de promouvoir l’élève comme acteur de sa propre formation mathématique. Elles lui donnent l’occasion de se prendre en main et l’opportunité d’avoir quelque chose à trouver. Elles apportent une alternative au cours magistral qui place l’élève dans une position de spectateur, de client. Mettre les élèves aux commandes de leur apprentissage permet de supprimer le message implicitement lié à l’approche centrée sur l’enseignant, selon lequel c’est lui qui détient les connaissances voulues sur un sujet donné. Les activités doivent donc permettre de mieux impliquer les élèves dans le cours de mathématiques et ainsi de les motiver.

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3. Par quelles types d’activités les élèves pourraient-ils

être à priori motivés ?

Notre réflexion nous a conduit à plusieurs critères.

Nous pensons que la motivation des élèves peut être stimulée s’ils perçoivent que les activités qui leur sont proposées :

sont en rapport direct avec leurs besoins, leurs centres d’intérêt, leurs objectifs

personnels, bref s’ils en perçoivent l’utilité pratique dans la vie courante. sont d’un niveau de difficulté approprié, ce qui leur permet de s’en acquitter avec

succès.

leur autorisent des choix, un contrôle personnel et leur laissent une certaine liberté.

font le lien avec d’autres disciplines et enrichissent leur culture mathématique. Une approche historique peut par exemple être pertinente.

permettent la prise de conscience et le dépassement de certaines de leurs erreurs.

ont un côté ludique (rallyes mathématiques, jeux divers…).

leur permettent une auto-évaluation.

s’appuient sur les supports technologiques modernes : ordinateurs, calculatrices,

rétroprojecteurs…

Cette liste n’est bien évidemment pas exhaustive mais recense, selon nous, les principaux critères que l’on peut retenir pour proposer une activité motivante. Pour nos expériences, notre choix s’est essentiellement porté sur trois d’entre eux que nous expliciterons et justifierons dans la partie expérimentale. Une fois nos activités réalisées, il faudra être en mesure d’analyser leur impact sur la motivation de la classe.

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4. Quels sont les signes indicateurs de motivation lors de

la mise en œuvre de l’activité ?

De manière à évaluer, pendant et après chaque expérience réalisée, si nos élèves ont été motivés par l’activité que nous leur avons proposée, nous allons utiliser des indicateurs identifiés ci-dessous :

1. Une participation très active des élèves même de la part de ceux qui d’habitude ne participent pas en cours.

2. Une mise au travail rapide. 3. Un haut niveau de concentration reflété par le fait que le temps semble passer

rapidement ou encore par une comparaison entre les élèves de leurs résultats.

4. Des initiatives spontanées pour proposer des solutions, des explications ou encore des exemples.

5. Une attitude énergique pour participer à la discussion.

6. Un climat de libre échange et d’écoute de l’autre.

7. Une expression de confiance : les élèves n’hésitent pas à passer au tableau, ils ne craignent pas de faire une erreur.

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PARTIE EXPERIMENTALE : I. Motiver par un problème concret :

1. Pourquoi un tel choix ?

« Les mathématiques n’ont pas d’utilité » : voilà une phrase qui revient comme un

leitmotiv dans les propos des élèves et qui place bien souvent les mathématiques au rang de discipline aride et détachée de la réalité. Devant ce constat, proposer une activité d’application à la vie courante pour motiver nos élèves nous est alors apparu incontournable. Cette idée est d’ailleurs renforcée par les allusions constantes des programmes à ce type d’activité (tendance encore plus nette en série ES). Mais en procédant ainsi, motiverons-nous davantage les élèves ?

Avant même de concevoir notre activité, nous nous sommes intéressés à une étude menée par certains professeurs de mathématiques sur ce sujet. Les expériences qu’ils ont réalisées ont mis en évidence que les applications des mathématiques à la vie courante ne motivaient pas les élèves de façon aussi systématique que l’on pourrait le croire. Ainsi ceci traduit-il un certain décalage motivationnel entre l’enseignant et ses élèves. Les résultats de telles expérimentations ont montré que l’« enrobage » d’un exercice, en ajoutant d’autres données, en compliquait souvent la résolution et que les élèves en difficulté s’en trouvaient encore plus démotivés. Ces résultats nous ont alors rendus plus prudents et nous ont permis de prendre conscience de deux choses essentielles pour concevoir une activité qui puisse être réellement motivante: Pour atteindre pleinement son objectif, l’activité proposée devra :

Etre centrée sur les goûts des élèves (en ayant conscience qu’ils peuvent être tout à fait distincts des nôtres). Répondre véritablement à un problème utile et pratique de la vie quotidienne (et ne

pas se contenter d’un « habillage » superficiel de l’énoncé qui viserait à duper vainement les élèves…).

2. Expérience sur les tarifs Internet :

a. Objectifs :

Cette activité a pour objectif principal d’essayer de motiver les élèves en leur proposant une étude comparative des tarifs pratiqués par deux fournisseurs d’accès à Internet. Il s’agit donc d’une situation courante à laquelle ils pourront être (ou ont déjà été) confrontés.

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De cette manière, nous espérons que les élèves s’approprieront le problème et seront demandeurs de réponses.

D’un point de vue mathématique, cette activité permettra d’introduire la notion de fonctions affines par morceaux. Ainsi, par l’intermédiaire de cet exemple, nous espérons leur faire prendre conscience que les outils mis en jeu ici (expression littérale d’une fonction, résolution graphique et algébrique d’équations, position relative de deux courbes ….) peuvent être utilisés à des fins autres que mathématiques et peuvent s’avérer précieux pour résoudre un problème de la vie quotidienne.

b. Contenu de l’activité : La comparaison des deux tarifs s’effectue en 4 étapes :

- Etude de quelques cas particuliers. - Expression explicite des deux fonctions f et g représentant les tarifs des deux

fournisseurs en fonction du nombre d’heures de connexion. - Représentation graphique des deux fonctions. - Résolution graphique du problème.

c. Expérience dans la classe de Michaël : (cf annexe 1)

i. Déroulement :

L’expérience a été réalisée pendant une heure de module, c’est-à-dire en demi classe. Dès les premières minutes, les élèves ont rapidement été intrigués par le titre de l’exercice et par la donnée d’un énoncé « moins mathématique » qu’à l’accoutumée.

- La mise au travail a alors été rapide mais la majorité des élèves s’est heurtée, dès la première question, à certaines difficultés assez inattendues. En effet, un certain nombre d’entre eux a mécaniquement répondu que les fonctions f et g étaient définies sur (par analogie avec les fonctions affines étudiées les séances précédentes). D’autres ont considéré que la consommation minimale étaient d’au moins 1 heure et ont proposé ainsi l’intervalle [1 ; + [ comme ensemble de définition . ∞D’autres encore excluaient la possibilité de ne rien consommer et proposaient l’intervalle ]0 ; + [ . ∞Finalement, après une discussion collective, tous ont convenu que f et g étaient bien définies sur [0 ; + [ . ∞

- L’étude des cas particuliers f (5) et g (5) a été en général bien traité. Le calcul de f (13) et g (20) a été en revanche plus délicat car bon nombre d’élèves n’avaient pas compris que le système de facturation à l’heure n’avait lieu qu’après consommation des heures gratuites. En fait, il s’est avéré que peu d’élèves de la classe possédaient Internet et par conséquent, beaucoup d’entre eux ignoraient les pratiques de tels forfaits. J’ai dû alors faire l’analogie avec les forfaits de téléphones mobiles pour convaincre les plus sceptiques d’entre eux.

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- Malgré les exemples précédents, l’expression générale de f (x) et de g (x) a été caractérisée par une erreur systématique : en effet, la quasi-totalité des élèves a confondu la durée totale x de consommation et le temps supplémentaire, ce qui s’est traduit par des écritures du type : f (x) = 12 + x et g (x) = 8 + 2x. De plus, l’expression littérale « en deux morceaux » des fonctions f et g a également posé des problèmes (légitimes).

- Une fois la terminologie de « fonctions affines par morceaux » introduite, les élèves ont abordé la deuxième partie de l’activité (essentiellement graphique), partie importante puisqu’elle devait permettre d’apporter la réponse au problème. Il était intéressant d’observer la démarche des élèves pour la construction des deux courbes. C’est pourquoi aucune indication (hormis l’échelle) ne leur a été donnée. De manière générale, les élèves ont tous été quelque peu déstabilisés par le fait que f et g soient définies « en deux parties ». De nombreuses questions m’ont été posées à ce sujet : « Comment relier les deux morceaux de courbes », « où chacun des morceaux doit-il s’arrêter ? » … Finalement, après quelques indices, les courbes ont été construites et la comparaison effective des deux tarifs a alors pu débuter. Cette partie a été très bien traitée ; la position des deux courbes a bien été interprétée en terme de bénéfice et chacun a aisément conclu quant au tarif à choisir suivant la consommation horaire. Pour des questions de temps, l’aspect algébrique du problème n’a pas pu être traité et a été donné à faire pour la séance suivante.

ii. Bilan et commentaires :

Le bilan global de l’expérience est satisfaisant. Dès le début de la séance, l’aspect concret du problème a indubitablement attiré l’attention et la curiosité des élèves. Ceci s’est traduit par une mise au travail rapide et par une activité orale positive. De nombreuses questions ont en effet été posées sur les pratiques des deux tarifs. Les élèves se sont montrés soucieux de bien comprendre l’énoncé, ce qui témoigne d’une certaine envie de traiter le problème. Les difficultés récurrentes soulevées par l’activité ont également donné lieu à des discussions collectives intéressantes. Le problème a de plus donné l’occasion d’introduire, efficacement je pense, les fonctions affines par morceaux. Il a permis notamment de mettre en évidence et d’interpréter concrètement la présence de « points anguleux » (de façon bien plus claire que ne l’aurait permis l’étude de la fonction valeur absolue par exemple). Remarquons enfin que l’exercice 2 du module (problème géométrique traité par des fonctions affines par morceaux et qui était facultatif) m’a été rendu par 7 élèves, signe d’un certain intérêt et d’une certaine motivation.

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Quelques points négatifs sont cependant à relever :

- L’aspect concret et motivant de l’exercice s’est peut-être trouvé réduit par le fait que beaucoup d’élèves de la classe ne possèdent pas de forfait Internet et se sont alors sentis moins concernés. De plus, en étudiant les tarifs réels de véritables opérateurs, les élèves auraient certainement été encore plus impliqués.

- L’aspect concret du problème a également été quelque peu « brisé » par une modélisation mathématique trop rapide (notamment pour les questions 1 et 2). Peut être aurait-il été préférable d’analyser progressivement l’énoncé, en français tout d’abord, par des questions du type : « Quel est le prix de revient mensuel pour une connexion de 5 heures avec le tarif A ? » puis, ensuite, de demander une interprétation en termes d’images. Ceci aurait certainement réduit les difficultés rencontrées par les élèves en début d’exercice.

d. Expérience dans la classe de Julia: (cf annexe 2)

i. Modifications apportées à l’activité : L’objectif et le contenu de l’activité sont sensiblement les mêmes que pour l’expérience précédente.

Michaël ayant proposé cette activité à ses élèves avant moi, je me suis appuyée sur son expérience pour essayer d’améliorer l’efficacité du problème en renforçant son aspect concret.

D’abord, j’ai demandé à mes élèves la séance précédente s’ils avaient Internet chez

eux, quel fournisseur d’accès ils possédaient et aussi combien cela leur coûtait. J’ai eu des réponses très diverses, chacun donnant son fournisseur, certain ayant l’ADSL et d’autre rien. Cependant, beaucoup ne connaissaient pas les tarifs exacts de leur opérateur. Je leur ai alors proposé d’étudier les tarifs des opérateurs 9 Telecom et Laposte la séance suivante. Ils ont eu l’air d’être intéressés même s’ils ont dit : « de toute façon, ça sera un problème de maths !».

Ensuite, j’ai quelque peu modifié les questions. J’ai demandé de calculer les tarifs pour 15, 30, 45 heures de connexion dans le mois avec les différents opérateurs avant de passer aux fonctions f et g, qui représentent les tarifs de chaque opérateur en fonction du nombre d’heure de connexion. Peut-être cela permettra-t-il de trouver plus facilement les domaines de définition et les expressions des fonctions f et g. Enfin, j’ai demandé une résolution graphique du problème puis une résolution algébrique pour trouver les temps de connexion pour lesquels les tarifs sont égaux (la résolution graphique étant très approximative).

ii. Déroulement de l’expérience :

J’ai proposé l’activité lors d’une heure de cours en classe entière ; les élèves n’ont pas eu le temps de tout terminer. Nous sommes donc revenus dessus au début de la séance suivante.

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Comme les élèves savaient ce qui les attendait, ils sont immédiatement « entrés » dans le problème et ont assez rapidement calculé le prix de 15 heures et 30 heures de connexion avec Laposte. Il y a eu juste quelques erreurs dues au prix de la connexion hors forfait qui était donné en euros par minute et non pas par heure (comme ça l’est dans la réalité).

Le problème a été d’en déduire f(15) et f(30), certains n’ayant pas fait le lien entre les deux questions. En leur faisant relire ce que représentait f(x), ils ont fini par trouver. Pour le deuxième opérateur et les domaines de définition, il n’y a pas eu de problèmes majeurs.

Les difficultés ont véritablement commencé lorsqu’il a fallu exprimer f et g en

fonction de x. D’abord, le fait d’avoir deux expressions différentes pour une même fonction n’a pas été évident tout de suite pour la plupart des élèves mais ils se sont bien rendus compte qu’ils ne pouvaient pas faire autrement. Il a ensuite fallu leur dire qu’ils devaient préciser pour quelles valeurs de x l’expression de la fonction qu’ils donnaient était valable. Enfin, il restait à déterminer les expressions de f et g lorsque x ≥ 25 et lorsque x ≥ 20.

Comme dans la classe de Michaël, la plupart des élèves ont écrit f(x) = 18.50 + 0.04×60x et g(x) = 12 + 0.035×60x. Lorsque environ la moitié de la classe a trouvé les bonnes expressions, j’ai fait un bilan global, ce qui a relancé toute la classe.

Une fois les expressions des fonctions établies par tous, j’ai expliqué aux élèves que f

et g étaient définies chacune par deux fonctions affines dont l’une est constante, on a parlé des conséquences graphiques et les élèves se sont lancés dans la représentation graphique. Tous n’ont pas eu le temps de terminer lorsque ça a sonné. Ils ont donc terminé les graphiques ainsi que la lecture graphique chez eux. Environ la moitié de la classe a tracé correctement les courbes.

La lecture graphique n’a pas posé de problèmes, il ne restait plus qu’à se mettre

d’accord pour le temps de connexion des tarifs égaux : la lecture graphique n’étant pas précise, tout le monde n’avait pas les mêmes résultats. D’où la résolution algébrique du problème, c’est à dire la résolution de l’équation f(x) = g(x).

Les élèves n’ont pas su comment s’y prendre seul, ils ne savaient pas par quoi remplacer f(x) et g(x). A l’aide du graphique, nous avons donc ensemble distingué trois zones distinctes pour la variable x et résolu trois équations différentes. J’ai plus guidé cette partie car elle me semblait plus compliquée et je ne voulais pas passer trop de temps sur ce sujet.

iii. Bilan et commentaires : Les élèves ont dans l’ensemble été intéressés par le problème, ils étaient curieux de déterminer l’opérateur le moins cher. Ils ont essayé de répondre à cette question juste en lisant l’introduction, mais ils se sont rendus compte que ce n’était pas si évident que cela, d’où une mise au travail rapide. Cependant, le travail a été beaucoup plus laborieux lorsqu’il a fallu expliciter les fonctions f et g, cette partie étant plus difficile car purement mathématique.

Le dynamisme est revenu lorsqu’ils ont dû tracer les courbes représentant les fonctions. C’est dommage que nous n’ayons pas eu le temps de terminer le problème à ce moment, mais d’un autre côté, ils ont travaillé chez eux (tout le monde avait tracé les graphes) et la comparaison graphique des tarifs a été bien étudiée.

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La résolution algébrique des équations les a moins intéressé. En effet, pour beaucoup d’élèves, la résolution graphique était suffisante pour répondre au problème. En fait, ce sont surtout les meilleurs élèves qui ont participé à cette résolution.

Je pense que le fait d’avoir étudié des tarifs réels et d’avoir posé le problème la séance précédente a rendu le travail plus attractif pour la classe. Il a apporté un plus au début de l’activité car les élèves étaient déjà sensibilisés au problème et motivés pour le résoudre. Et même si des difficultés mathématiques sont survenues, tous les élèves ont cherché au moins une partie de l’exercice.

A la fin de l’activité, certains élèves ont essayé de comparer les deux tarifs étudiés avec celui de leur propre opérateur, ce qui montre qu’il y avait pour eux un intérêt dans le problème proposé.

e. Bilan global :

Comme nous l’avons vu précédemment, le bilan de ces deux expériences est encourageant. Le caractère concret de l’activité proposée a certainement permis une bonne approche de la notion de fonctions affines par morceaux.

Les remédiations apportées lors de la deuxième expérience ont certes renforcé l’aspect

motivant de l’activité mais les difficultés mathématiques n’ont évidemment pas été effacées. Nous pensons que ce type d’activité apporte incontestablement un plus au niveau de la

motivation des élèves. Evidemment, toutes les notions mathématiques ne trouvent d’applications concrètes directes dans la vie quotidienne. Néanmoins, nous sommes persuadés que la multiplication de ce genre d’activités peut être une solution efficace pour éveiller la curiosité des élèves et leur donner envie de faire des mathématiques. Un équilibre doit être trouvé entre le contexte réaliste et le contenu mathématique (qui doit être conséquent et précis) pour que les élèves restent impliqués dans le problème sans que la partie théorique soit occultée.

Pour finir, une autre manière d’aborder l’activité aurait été de laisser les élèves

comparer les tarifs au préalable (et sans aucune aide) puis d’exploiter leurs erreurs en étudiant alors mathématiquement le problème. C’est ce type de démarche que nous allons utiliser dans la troisième expérience.

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II. Motiver par une approche historique :

1. Pourquoi un tel choix ?

Le choix de notre deuxième type d’activité a été motivé par des considérations d’élèves similaires aux précédentes.

Les mathématiques apparaissent fréquemment à leurs yeux comme une discipline rigoureuse et figée, se réduisant bien souvent à une suite de symboles mystérieux et de techniques obscures qui n’ont ni sens et ni lien avec les autres disciplines.

Proposer une activité relative à l’histoire des mathématiques nous a alors semblé être

un bon moyen de remédier à ses « critiques » et de rendre cette matière plus « humaine ». En effet, il s’agit, en puisant dans l’Histoire, de motiver les élèves en montrant que derrière chaque notion, il y a une histoire, un besoin à un moment donné qui a amené cette notion. Ainsi, ceci peut permettre de redonner du sens aux mathématiques et de présenter celles-ci comme une science en mouvement.

De plus, rattacher les mathématiques aux disciplines littéraires (et faire ainsi tomber le mur entre les deux) peut également susciter la motivation. On peut par exemple faire remarquer que les mathématiciens étaient avant tout des philosophes.

Ainsi le choix de notre activité s’est porté sur l’étude des solides de Platon, basée sur des extraits de textes de ce philosophe grec. L’activité se présente sous la forme d’un devoir maison pour deux raisons :

Premièrement, il nous a semblé intéressant de ne pas aborder uniquement la question de la motivation des élèves pendant les heures de cours, mais de l’étendre aussi aux travaux qu’ils ont à effectuer chez eux.

Deuxièmement, les élèves ont pu prendre le temps d’effectuer les recherches qu’ils ont

estimées nécessaires.

2. Expérience sur les solides de Platon :

a. Objectifs :

Cette activité aborde à partir du texte de Platon, Timée, un problème de géométrie dans l’espace.

L’objectif principal est d’essayer d’intéresser, évidemment tous les élèves, mais en particulier ceux qui ont un profil plus littéraire que scientifique. Nous espérons ainsi que la dimension historique et la présence de textes éveilleront leur curiosité et leur permettront d’aborder le problème mathématique final avec plus d’envie.

De plus, nous espérons également que certaines questions inciteront les élèves à

effectuer des recherches qui pourront peut être élargir leur culture mathématique.

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b. Expérience de Julia: (cf annexe 3) i. Contenu :

Ce devoir a été donné aux élèves à peu près au milieu du chapitre « géométrie dans

l’espace » (les règles d’incidence, le parallélisme droite-plan, droite-droite et plan-plan ainsi que quelques exercices ont été vus). Ils ont eu une dizaine de jours pour y réfléchir et le rendre.

Le début s’appuie sur le texte : une analyse d’un paragraphe est demandée, puis on

étudie les solides de Platon qui sont les cinq polyèdres réguliers en dimension trois. Les élèves doivent retrouver à quels solides Platon associe les éléments fondamentaux (l’eau, le feu, l’air, la terre et l’univers). Une description des solides (nombre de sommets, de faces et d’arêtes…) est ensuite demandée. Au passage, on leur fait noter la relation d’Euler-Poincaré.

Ensuite, on passe à l’étude de l’octaèdre inscrit dans le cube ABCDEFGH. Le but est

de calculer son volume en fonction de l’arête du cube (quelques théorèmes de géométrie plane sont à utiliser). Les élèves ont à dessiner l’octaèdre inscrit dans le cube ainsi que le cube inscrit dans l’octaèdre, ceci pour montrer la dualité qui existe entre ces deux solides.

En fin de devoir, on retrouve un morceau du texte qui explique que les éléments

fondamentaux sont liés les uns aux autres et on illustre la dualité entre d’autres polyèdres réguliers (sans aucune démonstration).

Tout le devoir prend du sens grâce au texte. C’est le lien avec des questions d’ordre

plus philosophique qui doit provoquer l’intérêt des élèves. ii. Compte rendu :

A première vue, le devoir a intéressé la plupart des élèves mais ils l’ont trouvé trop

long et difficile (comme d’habitude !). Un petit groupe d’élèves est venu me poser des questions, ils bloquaient en fait sur les calculs algébriques pour trouver le volume de l’octaèdre ; par exemple, deux ne savaient pas calculer 22a .

L’étude des triangles fondamentaux de Platon n’a pas été très réussie, c’était en effet une des questions les plus difficile. J’avais pourtant expliqué en classe comment Platon raisonnait et j’avais même dessiné ces triangles, il ne manquait plus que les angles. Seule ma meilleure élève a réussi à expliquer que AH ² = 3 HB ² dans le plus beau triangle scalène de Platon (avec un peu d’aide de ma part). Certains ont essayé de justifier cette égalité en faisant des calculs avec les longueurs des segments [AH] et [BH] de leur figure, ce qui n’est évidemment pas une démonstration générale. Ensuite, l’étude des polyèdres réguliers a bien marché et certains ont fait des dessins très propres de l’octaèdre et du cube : la plupart des réponses données sont justes. Cependant, certains n’ont pas fait le lien entre les éléments fondamentaux de Platon et les polyèdres. Pour cette partie, je ne suis pas certaine que tout le monde ait vraiment cherché : en effet, je crains que certains aient recopié les résultats du voisin puisqu’il n’y avait pas de justifications à donner.

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Enfin, nous arrivons à l’étude de l’octaèdre dans le cube, c'est-à-dire au problème de géométrie dans l’espace. Plusieurs types d’erreurs d’ordre divers sont à relever :

- D’ abord, les problèmes de rédaction : les élèves se trompent entre les différentes notations pour droite, segment et longueur, ils confondent diagonale du cube et diagonale d’une face et surtout, ils ont du mal à synthétiser leur pensée lorsqu’ils veulent montrer quelque chose en particulier pour montrer que toutes les faces de l’octaèdre sont des triangles équilatéraux.

- Puis, arrivent les problèmes de calculs algébriques cités plus haut. Les fractions ne

sont pas toujours simplifiées et calculer une longueur en fonction de a l’arête du cube ne semble pas être naturel. Seule la moitié des élèves a trouvé le résultat final

du volume qui était de 6

3a .

A noter aussi que certains ont laissé tombé cette partie du devoir. iii. Bilan par les élèves (réponses à un questionnaire) (cf annexe 4) :

Lorsque j’ai rendu les copies aux élèves, je leur ai distribué un questionnaire pour

savoir ce qu’ils avaient pensé de ce devoir ; je leur ai demandé de répondre sincèrement aux questions.

Vingt et un élèves ont répondu sur 24. En moyenne, les élèves ont passé 3 heures sur

le devoir, ce qui ne me semble pas énorme. En général, ils ont fait des recherches dans le dictionnaire, dans leur cours de l’année précédente ou sur Internet pour répondre aux questions sur les solides de Platon et ils n’ont été surpris ni par la forme, ni par le contenu du devoir (sauf deux personnes). Ils ont trouvé le texte difficile à comprendre, c’est un point que je leur accorde volontiers.

Deux élèves ont particulièrement apprécié ce devoir car il était sous « forme de

devinettes », il apportait « un peu de culture, avec de l’histoire ». Ils aimeraient en avoir d’autres de ce type.

Sept élèves ont trouvé le devoir intéressant et un peu plus motivant que les autres.

Cependant, ils l’ont trouvé long et difficile. Un autre de ce type ? Pourquoi pas, répondent-ils. Enfin, douze élèves n’ont pas trouvé ce devoir intéressant, du moins pas plus que

d’habitude, et pas motivant du tout. Bref, c’était un DM comme les autres. Pour eux, les objectifs n’ont pas du tout été atteints.

iv. Bilan du professeur :

Pour moi, le bilan est mitigé : quelques élèves sont bien entrés dans le sujet mais ce

n’est qu’une minorité de la classe. Les objectifs fixés pour ce devoir n’ont donc été que partiellement atteints. Le texte, qui devait apporter toute une autre dimension aux mathématiques, a finalement constitué un obstacle que certains élèves n’ont pas su franchir, il les a même bloqués ! A partir de là, le devoir a complètement perdu son intérêt.

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De plus, je ne suis pas convaincue que les élèves aient vraiment saisi la dimension historique et philosophique du problème. Je pense qu’ils étaient trop pris dans les difficultés qu’ils ont rencontrées pour prendre assez de recul et sentir ces aspects.

Pour faciliter la tâche aux élèves, il faudrait simplifier beaucoup plus le texte pour

qu’il soit plus à leur portée ; peut-être enlever encore certaines parties, expliquer les phrases difficiles… Peut-être aussi que des élèves de secondes ne sont pas encore prêts à se plonger dans un texte comme Timée de Platon et encore moins à le comprendre. Ils ne feront en effet de la philosophie qu’en classe de terminale, c'est-à-dire deux ans plus tard…

c. Expérience de Michaël : (cf annexe 5)

i. Modifications apportées à l’activité : Ce devoir a été donné au début du chapitre de géométrie dans l’espace. Les élèves ont

eu 10 jours pour le faire. Tenant compte des différents enseignements tirés de l’expérience de Julia, quelques

modifications ont été apportées au devoir :

Tout d’abord, il nous est apparu essentiel de le simplifier ; l’objectif principal étant d’écarter certaines difficultés liées aux textes d’origine tout en conservant évidemment un contenu historique fort et omniprésent. Pour cela, j’ai alors décidé de synthétiser, le plus simplement possible, les différentes étapes du raisonnement de Platon et de ne garder que les extraits de textes qui m’apparaissaient essentiels, à savoir : - l’extrait dans lequel Platon décrit les deux triangles fondamentaux et

générateurs de ses différents solides.

- le passage dans lequel il explique comment attribuer chacun de ces solides à son élément. Notons que ce passage ne comporte pas grand intérêt mathématique mais il permet d’une part de bien insister sur la problématique qui a amené Platon à construire ses quatre polyèdres, et d’autre part, d’engager une réflexion quant à la cohérence de son raisonnement.

- un court extrait relatant la complémentarité des différents éléments et qui justifie l’introduction de l’exercice final.

Remarquons de plus que certaines questions (qui avaient posé problème) ont été

remplacées par des questions plus graphiques ou plus littéraires. Certains « faux patrons » ont également été rajoutés.

Nous espérons alors que les changements apportés permettront aux élèves de mieux appréhender la dimension historique du devoir et ainsi, de les motiver davantage sur l’exercice relatif à la dualité des figures (ce dernier n’a pas été modifié).

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ii. Compte rendu :

Compte tenu de son apparente longueur, le devoir a eu un accueil plutôt défavorable lors de sa distribution mais les élèves ont été rapidement intrigués après la présentation de son contenu. Je pense que la perspective d’un devoir différent a attisé leur curiosité.

Dès les séances suivantes, un questionnement oral m’a permis de vérifier que la

plupart des élèves avaient débuté la partie de recherche et que la dimension historique semblait leur plaire. Cependant, très peu de questions m’ont été posées sur ce devoir (moins qu’un devoir classique) ; ce qui est assez surprenant compte tenu de la réelle difficulté des textes.

Contenu des copies :

Les questions relatives aux deux triangles fondamentaux ont été assez bien traitées même si la compréhension du mot « scalène » a posé des difficultés.

L’étude du texte expliquant la manière dont Platon attribuait chaque solide à son

élément a été relativement décevante car les réponses ont souvent été succinctes et peu détaillées. La majorité des élèves a considéré que les explications de Platon n’étaient pas très convaincantes mais peu d’entre eux ont justifié leurs affirmations. Ceux qui l’ont fait ont par contre donné des réponses souvent insolites mais pertinentes, comme par exemple : « la terre est en mouvement alors que sa figure attribuée est un cube qui est stable et difficile à mouvoir » ou « la terre étant ronde, le cube n’est pas la figure qui lui correspond le mieux » ou encore « je ne vois vraiment pas comment on peut classer l’eau, l’air, la terre et le feu par leur taille !».

La partie relative à l’étude des différents polyèdres a été convenablement abordée

même si un quart de la classe a fait des erreurs lors du dénombrement des sommets et des arêtes (de l’icosaèdre essentiellement).

Enfin, l’exercice final a été caractérisé par des dessins très soignés mais par des

erreurs massives de calcul (les mêmes que celles explicitées par Julia). Le calcul de volume n’a été correctement traité que par une dizaine d’élèves environ.

iii. Bilan des élèves (réponses à un questionnaire) : (cf annexe 6)

Concernant la question essentielle « Avez-vous trouvé ce devoir plus motivant que les devoirs habituels ? », la réponse a été unanime : 29 élèves sur 35 ont trouvé ce type de devoir plus motivant et plus attractif que les DM classiques.

La partie recherche et les constructions sont souvent citées comme étant les points les plus intéressants et distrayants.

Beaucoup soulignent également l’originalité du devoir : « un devoir moins cadré, qui

change de d’habitude », « un devoir amusant, fait pour les curieux ».

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Dans leurs réponses, certains élèves font référence à la difficulté des textes mais beaucoup semblent avoir apprécié l’étude de certains extraits car elle leur a permise de « confronter leurs idées avec celles de Platon ».

Concernant les points négatifs relevés, beaucoup soulignent la longueur du devoir. L’exercice de géométrie dans l’espace est également très (et trop) fréquemment cité comme étant la partie qui les a le moins intéressé. En effet, 16 élèves ont trouvé cette partie moins motivante car trop difficile. Remarque : Des questionnaires remplis par 3 élèves de niveaux très distincts sont joints en annexe. Ils sont assez représentatifs de l’impression générale de la classe et mettent surtout bien en relief les différences de goût des élèves en fonction de leur niveau :

- En effet, pour Myriam (élève faible en mathématiques), la difficulté et la longueur du devoir apparaissent clairement comme des facteurs de démotivation. Elle a essentiellement retenu l’aspect littéraire du devoir.

- Pour Thomas (élève moyen), la difficulté est également un critère de démotivation. Il met surtout en avant l’aspect recherche et le caractère original du devoir.

- Pour Antoine (l’un des meilleurs de la classe en mathématiques), le critère de difficulté n’intervient pas dans son appréciation. De plus, c’est la partie littéraire sur l’étude de texte, c’est-à-dire la moins mathématique, qui l’a ennuyé.

iv. Bilan du professeur :

Le bilan est assez positif compte tenu des résultats du questionnaire: la dimension historique du devoir semble avoir motivé la grande majorité des élèves, même les moins scientifiques d’entre eux. Le travail a été généralement consciencieux, la partie construction soignée et des efforts de recherche ont également été faits. L’objectif principal du devoir est en ce sens atteint.

Néanmoins, je regrette que cet enthousiasme n’ait pas eu d’impact véritable sur la production des élèves dans l’exercice final. En effet, cette partie leur est apparue plutôt démotivante et a été, dans l’ensemble, assez mal traitée (et même quelque peu délaissée par certains). Je ne suis d’ailleurs pas convaincu que tous les élèves aient fait le lien entre cet exercice et la partie historique. La motivation générée par cette dernière s’est donc rapidement essoufflée lors de l’apparition des premières difficultés mathématiques et l’expérience est un échec sur ce point.

d. Bilan global:

Nos deux expériences ont aboutit à des bilans contrastés. Il semble que les simplifications apportées dans la seconde version du devoir ont permis de mieux répondre aux objectifs initiaux.

Aborder un problème grâce à l’histoire des mathématiques peut donc s’avérer

pertinent et motivant pour les élèves dans la mesure où le contenu historique n’ajoute pas de réelles difficultés supplémentaires. L’aspect historique constituerait alors un obstacle plutôt qu’un tremplin à l’étude du problème mathématique. Il inhiberait ainsi la motivation des élèves, ce qui serait l’inverse de l’effet escompté.

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III. Motiver par l’erreur : 1. Pourquoi un tel choix ?

L’idée d’utiliser l’erreur des élèves dans l’optique de les motiver ne nous est pas venue

immédiatement à l’esprit et est apparue moins instinctive que les précédentes. Cette idée consiste en la mise en place de situations soigneusement organisées et

préparées par le professeur pour mettre l’élève devant un obstacle, provoquer certaines erreurs et lui en faire prendre conscience. L’aider à dépasser ses erreurs l’amènera à adapter ses connaissances antérieures et à en construire de nouvelles.

De plus, cette méthode se distingue des deux précédentes dans la mesure où la motivation

qui peut en découler ne repose sur aucun « artifice » ou « enrobage » particulier : l’énoncé du problème traité sera « purement » mathématique.

2. Expérience de géométrie dans l’espace :

a. Objectifs:

L’objectif principal est de motiver les élèves sur une activité de géométrie dans l’espace en utilisant leurs erreurs. La démarche proposée est la suivante :

Mettre les élèves dans une situation de débat. Utiliser leurs réponses diverses pour mettre en évidence des erreurs puis utiliser

celles-ci pour faire en sorte que les élèves soient demandeurs d’une remédiation.

Dans cette activité, nous étudions la position relative de quelques droites particulières et trompeuses d’un cube représenté en perspective cavalière.

D’un point de vue mathématique, l’activité doit permettre de faire comprendre aux

élèves que la transcription plane d’une situation spatiale pose des difficultés de représentation et d’interprétation. Il s’agit en fait de mettre en avant et d’exploiter les erreurs de perception dans l’espace des élèves pour les motiver sur la partie théorique relative aux règles d’incidence et surtout aux démonstrations.

Les élèves auront à répondre à des questions qui abordent une nouvelle notion. Ils vont

donc dans un premier temps donner des réponses intuitives, s’appuyant sur leur propre vision de l’espace mais également sur la figure donnée.

C’est là que nous attendons leurs erreurs : en effet, sur la figure dont ils disposent, certaines droites sont sécantes, d’autres encore sont dessinées parallèles, un angle est droit alors que dans la réalité, il en va bien autrement. Le dessin plan risque donc d’influencer leurs réponses.

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Bref, nous nous attendons à des réponses diverses de la part des élèves, pertinentes ou non. Une mise en commun de ces réponses leur montrera qu’ils ne sont pas tous d’accord, et donc que certains se trompent. Ils devraient alors s’apercevoir qu’il leur manque des éléments pour répondre aux questions et à partir de là, la demande de connaissance doit surgir. Nous espérons ainsi que les élèves seront davantage impliqués dans le cours et verront la nécessité de la démonstration qui apportera une solution exacte et définitive au problème.

Ainsi, il ne s’agit pas ici de faire construire une connaissance par les élèves mais plutôt de faire en sorte qu’ils soient demandeurs de connaissances.

Nos deux expériences ayant été effectuées à des moments différents de notre cours, l’exercice principal de cette activité n’a pas été introduit de la même manière.

b. Expérience dans la classe de Julia: (cf annexe 7)

i. Contenu :

Cette activité est la première rencontre de mes élèves de seconde avec la géométrie dans l’espace.

Elle est constituée de trois parties :

1. L’énoncé des trois axiomes principaux de géométrie dans l’espace. 2. La (re)mise en place des règles de perspective cavalière à partir du cube. Le cube a été

choisi car c’est un modèle familier des élèves. Le but de cette partie est de montrer les difficultés de représentation d’un solide de l’espace.

3. A partir d’une situation donnée (un cube sur lequel on considère quelques droites particulières), répondre à quelques questions sur les positions de droites et plans dans l’espace.

ii. Déroulement de la séance :

La séance s’est déroulée en deux heures, la première heure en demi classe (lors d’une

heure de module) et la deuxième en classe entière, dans une même journée. Première heure : Les cinq premières minutes ont été consacrées à la découverte des règles de base de la géométrie dans l’espace. Les élèves sont en accord avec leur énoncé et elles leur semblent logiques.

Ensuite, les élèves se sont lancés dans la représentation du cube en perspective

cavalière. Certains ont tracé le cube sans problème, mais la plupart ont construit un carré de 6 cm de côté et ont ensuite hésité : Comment choisir l’angle de la perspective ? Le côté oblique mesure-t-il 6 cm ? 3cm ?, telles étaient leurs questions. Je leur ai expliqué qu’on pouvait choisir arbitrairement l’angle de la perspective ainsi que le rapport (longueur du côté oblique) et qu’après, le cube était entièrement défini.

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Lors de l’écriture des quatre règles de la perspective cavalière, les élèves se sont rendus compte qu’ils avaient des problèmes pour exprimer et écrire ce qu’ils pensaient. Cependant, elles ont été assez vite retrouvées, mais pas forcément dans l’ordre escompté.

Pour la troisième partie (partie principale), j’ai distribué aux élèves le cube en perspective cavalière sur lequel ils devaient travailler. Je les ai laissé réfléchir entre eux aux questions posées. Ils ont échangé leurs idées avec leurs voisins et chacun a assez vite répondu aux questions (environ 10 min) en donnant des explications hâtives orales. Chacun était convaincu de sa réponse.

Ensuite, nous avons mis en commun les résultats, c'est-à-dire que chacun a donné sa

version de réponse (on a repris les questions une à une). Comme prévu, les élèves n’étaient pas d’accord entre eux : par exemple, il était évident et immédiat pour certains que les droites (DI) et (BK) étaient parallèles alors que d’autres avaient déjà remarqué qu’elles n’étaient pas coplanaires. Certains se sont alors rendu compte qu’ils commettaient des erreurs. Et comme personne n’arrivait à justifier correctement son point de vue, ils ont constaté qu’il leur manquait des éléments pour pouvoir répondre clairement aux questions. Les erreurs commises ont donc semé le doute dans les esprits et ainsi les élèves se sont montrés curieux de savoir qui avait raison. Ils étaient alors motivés pour la suite de la séance.

L’heure s’est terminée à ce moment, je leur ai dit que l’on verrait la solution la séance

suivante en classe entière. A noter que les élèves du premier groupe (ceux qui suivent les options mesure physique et informatique et initiation aux sciences de l’ingénieur) ont semblé plus curieux et ont semblé mieux voir les problèmes qui se posaient. Deuxième heure : J’ai commencé la deuxième séance par l’étude à l’oral des règles d’incidences et de parallélisme dans l’espace avec comme support le manuel scolaire des élèves. En effet, la position relative des plans et des droites de l’espace y était bien illustrée. Les élèves étaient de nouveau d’accord avec ce qui était dessiné et ce qui était dit. Ils hésitent cependant sur le fait que deux droites non sécantes de l’espace ne sont pas forcément parallèles mais ils s’en convainquent avec le cube. Nous avons repris alors les questions une à une et rédigé rigoureusement les réponses grâce à ce nouvel éclairage. Lors de la correction, les élèves sont attentifs et curieux. Ils participent en général et posent de nouvelles questions. Ils s’aperçoivent progressivement de leurs erreurs de perception et les corrigent. Le raisonnement se construit petit à petit. Il parait parfois compliqué et certains élèves ont du mal à suivre les démonstrations jusqu’au bout. Cependant, la plupart cherchent généralement à comprendre.

Nous n’avons pas tout à fait eu le temps de terminer la dernière question mais les élèves ont compris qu’ils devaient utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour déterminer la nature du triangle DIB’. Je leur ai donné à faire à la maison.

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Lors de la séance suivante, nous avons donc démontré que le triangle DIB’ n’était pas rectangle et nous avons écrit clairement dans le cours toutes les définitions vues lors de l’activité.

iii. Bilan et commentaires :

Le bilan est positif : les élèves ont débattu entre eux de la pertinence des réponses qu’ils ont donné aux questions ce qui a éveillé leur curiosité. Ils étaient prêts à voir et comprendre les règles d’incidences dans l’espace lors de la deuxième heure car ils en avaient besoin pour savoir qui était dans l’erreur et qui ne l’était pas. En un mot, ils étaient motivés pour apprendre car il y avait un enjeu.

Je pense que la motivation de certains élèves a été entravée lors de la mise en place des

démonstrations par la difficulté de celles-ci et par l’absence d’un support visuel qui aurait pu les illustrer.

C’est pourquoi l’utilisation d’un logiciel informatique complémentaire serait certainement judicieuse.

c. Expérience dans la classe de Michaël : (cf annexe 8)

i. Contenu et modifications :

Cette activité intervient dans ma classe après l’étude de la représentation des solides de l’espace et plus particulièrement de la perspective cavalière.

Elle comprend deux parties :

La première traite succinctement de la position de droites « simples » du cube : aucune démonstration n’est exigée de la part des élèves. Elle ne comporte à priori aucune difficulté mathématique. Elle devra simplement permettre à la classe d’engager une discussion sur la notion de parallélisme ou de coplanarité de droites de l’espace. Elle permettra donc essentiellement de mettre en place (oralement) le vocabulaire utilisé par la suite.

La deuxième partie reprend l’exercice de l’expérience précédente concernant la

position de certaines droites, bien choisies, d’un cube. Cette fois-ci, j’ai en plus inclus l’utilisation de l’outil informatique.

La résolution de cette partie s’effectue alors en trois étapes distinctes :

1. Les élèves établissent des conjectures sur les droites étudiées en faisant

uniquement appel à leur intuition. 2. L’ordinateur est ensuite utilisé pour améliorer la perception de l’espace des

élèves et apporter un éclairage sur leurs différentes conjectures.

3. La troisième étape consiste en la démonstration mathématique rigoureuse des conjectures précédemment établies.

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L’emploi de Géospace doit jouer un rôle important : Ce sera bien évidemment un support visuel intéressant pour faire prendre conscience aux élèves de leurs éventuelles erreurs. Je pense notamment qu’il s’avèrera fort utile pour mettre en évidence les situations de non coplanarité. Mais son rôle ne doit pas se limiter à cela : j’espère qu’il aidera également les élèves à mieux comprendre les démonstrations voire même à trouver l’idée directrice de certaines d’entre elles. La phase informatique doit donc servir de tremplin à la phase de démonstration.

ii. Déroulement de l’expérience :

L’expérience s’est déroulée sur deux heures, une heure de classe commune suivie d’une heure de module. Première heure :

Les premières minutes ont été consacrées à l’étude de la position relative des arêtes du cube.

En règle générale, chaque élève a correctement réussi à employer le vocabulaire adéquat pour chacune des positions. J’ai d’ailleurs été agréablement surpris sur plusieurs points : - La quasi totalité des élèves a répondu que les droites (EG) et (HF) étaient perpendiculaires et ne s’est pas contentée de répondre uniquement « sécantes ». - De plus, très peu d’élèves ont répondu que les droites (EH) et (DC) étaient perpendiculaires ou même parallèles (malgré le fait qu’elles n’aient aucun point commun). La terminologie « droites coplanaires - droites non coplanaires » a alors été introduite et est apparu cohérente et intuitive pour tous.

Cette première partie a été caractérisée par une bonne participation orale de la part des élèves (et notamment de la part d’élèves assez discrets). Ceci s’explique certainement par le fait que l’exercice était assez facile et accessible pour tous.

Les élèves ont ensuite abordé la deuxième partie de l’activité, relative à la position (plus trompeuse) d’autres droites du cube.

Les élèves se sont rapidement lancés dans les conjectures, certains ne prenant même

pas le soin de construire les droites étudiées. Je leur ai donné pour consigne d’essayer de justifier (individuellement et à l’écrit) chacune de leur conjecture.

Ensuite a succédé une phase de mise en commun de tous les résultats.

Pour chaque question, un sondage des différentes réponses était fait et les résultats obtenus écrits au tableau. Cette mise en commun a été très dynamique avec, une fois de plus, une participation orale positive. Pour les trois premières questions, j’ai été surpris de voir que 80 % de la classe avait correctement répondu ; ceci était assez déstabilisant pour moi car j’aurais préféré (et c’est un comble pour un professeur…) recueillir des erreurs massives pour pouvoir mettre en avant l’importance de la démonstration.

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« Heureusement », des erreurs sont survenues pour les deux dernières questions : - la moitié de la classe a estimé que (HI) et (FK) étaient parallèles, se laissant influencer par l’apparent parallélisme sur le dessin. - enfin, 90 % des élèves ont considéré que le triangle HIB était rectangle isocèle. Une élève a néanmoins précisé que « comme rien ne nous prouve que HIB est rectangle, on ne peut rien dire ».

Devant les incertitudes induites par les erreurs de certains, tous ont convenu de la nécessité d’une partie théorique.

Pour ne pas qu’elle apparaisse trop fastidieuse et trop longue, un polycopié résumant

les règles d’incidence leur a été distribué puis étudié. Pour chaque propriété, les élèves avaient à illustrer la situation par un schéma. Durant cette partie théorique, bien qu’assez courte, les élèves ne sont pas apparus plus motivés qu’à l’accoutumée. La première heure s’est alors achevée, les réponses à chaque question restant en suspens pour l’heure de module suivante. Deuxième heure :

La séance débute en reprenant la question 1 et en la traitant informatiquement. (cf annexe 9)

Notons que les manipulations s’effectuent, devant la demi classe, sur un seul ordinateur relié à une télévision.

Pour cette première question, je décide de manipuler moi-même. Le cube pivotant autour de plusieurs axes, les élèves observent avec attention les deux droites (AG) et (HB). Tous conviennent que, quelque soient les différentes vues du cube, ces deux droites semblent toujours sécantes. Cette impression est ensuite confirmée en « isolant » le plan (HGB) grâce à Géospace : ceci nous a permis de constater que les droites concernées étaient bien coplanaires et la démonstration a ensuite été rédigée en commun.

Notons que pendant cette phase d’observation, les élèves se sont montrés curieux et attentifs. Néanmoins, il n’ y a pas eu d’excès d’enthousiasme, un élève précisant même : « de toute façon, on savait que les diagonales d’un cube se coupent ».

Pour la deuxième question, une élève s’est proposée d’effectuer la manipulation informatique. Là encore, les résultats ont confirmé, sans surprise, leur intuition. Pour des questions de temps, j’ai alors décidé de ne pas traiter la question 3 et de nous intéresser directement aux deux derniers cas qui avaient divisé la classe.

Les élèves se sont vite aperçus que les droites (HI) et (FK) n’étaient pas parallèles, ce qui a suscité beaucoup plus de réactions que pour les questions précédentes. Ils ont semblé être bien plus convaincus de la pertinence de l’utilisation de l’ordinateur que précédemment. Les élèves qui avaient été induits en erreur par le dessin en ont alors pris conscience. L’un d’entre eux a d’ailleurs très justement remarqué que les droites (HI) et (FK) « n’étaient même pas coplanaires ». Cette remarque a alors servi d’idée directrice dans la démonstration.

Pour la dernière question, j’ai pu constater que les élèves n’arrivaient pas à se mettre d’accord sur le fait que le triangle HIB soit rectangle ou non, leur avis oscillait en fonction des

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différents angles de vue du cube. Le fait d’isoler le plan (HIB) a alors permis de donner une réponse définitive. Bon nombre d’élèves ont été surpris par ce résultat contraire à leur intuition. Durant la correction, la classe s’est montrée plus attentive et plus intéressée que pour les démonstrations précédentes, la réciproque du théorème de Pythagore leur étant, il est vrai, plus familière que les raisonnements antérieurs.

Remarquons pour finir que les résultats dans le deuxième groupe de module ont été sensiblement les mêmes.

iii. Bilan : Comme pour l’expérience de Julia, le bilan est, selon moi, globalement positif.

Les élèves se sont montrés assez intéressés durant toute l’activité.

La participation orale a été très positive lors de l’exercice 1 où j’ai pu remarquer qu’il existait une corrélation évidente entre la motivation des élèves et le fait qu’ils soient en situation de réussite.

La mise en commun des conjectures a également été un moment intéressant car cette discussion a permis de mettre en lumière et d’exploiter les premières erreurs.

Les parties théoriques ont été moins dynamiques mais ont, en revanche, été

caractérisées par une très bonne participation des redoublants.

L’utilisation de Géospace a certes facilité la compréhension des différentes démonstrations. Mais elle s’est surtout révélée bénéfique dans la prise de conscience par les élèves de leurs erreurs, notamment pour les deux dernières questions. La motivation s’en est trouvée accrue.

d. Bilan global : Cette activité a été fructueuse sur plusieurs points :

Tout d’abord, d’un point de vue mathématique, nous pensons qu’elle a permis de donner du sens aux règles d’incidence et qu’elle semble un moyen efficace de les introduire. Elle a également mis en lumière les limites de la représentation en perspective cavalière et illustré le fait qu’aucune conclusion ne peut être tirée de l’observation d’une représentation d’un solide de l’espace.

D’autre part, le fait que les élèves aient eux même pris conscience de leurs erreurs, ou

du moins de leur désaccord, a permis d’entretenir une certaine motivation jusqu’au « dénouement final », c'est-à-dire jusqu’à la résolution mathématique effective de chaque question. A ce titre, nous pouvons considérer que l’objectif principal de l’activité a été atteint.

Pour finir, notons que l’outil informatique aurait pu être utilisé juste après la mise en

commun des conjectures. Ceci aurait permis de mettre immédiatement et plus explicitement en évidence les erreurs des élèves, et ainsi peut être auraient-ils été

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encore plus attentifs lors de l’introduction des règles d’incidence. Cependant, l’utilisation de Géospace à ce moment précis aurait pu apparaître, aux yeux de certains élèves, comme une réponse définitive au problème et faire ainsi oublier la nécessité d’une démonstration mathématique.

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CONCLUSION :

A l’occasion de ce mémoire, nous avons apprécié de pouvoir mener une réflexion de fond sur nos pratiques pédagogiques.

Les recherches communes effectuées pour la mise en œuvre des

différentes activités et pour leur amélioration, puis la confrontation de nos bilans respectifs se sont révélées très instructives.

En ce qui concerne nos élèves, les diverses expérimentations ont

également été riches en enseignement. Les trois types d’activités présentées ont permis de donner davantage de sens aux apprentissages et semblent ainsi avoir suscité un certain intérêt. Elles ont donc répondu, du moins en grande partie, à nos attentes.

Il serait bien sûr ridicule de classer par ordre de réussite des activités de nature si différentes. Cependant, quelques idées fortes peuvent être dégagées.

Nous avons pu constater qu’une activité originale dans son approche n’est pas assurée de trouver un écho favorable auprès d’une classe. Son contenu doit être adapté au niveau et aux caractéristiques de la classe.

De plus, il ressort de nos bilans que les travaux les plus accessibles restent les plus motivants pour les élèves et que chaque difficulté rencontrée apparaît systématiquement comme une entrave à la motivation. Non seulement, il paraît important de placer fréquemment les élèves en situation de succès, mais aussi de les encourager et de leur redonner confiance dans les situations plus difficiles.

Il reste évidemment de nombreux autres moyens de donner le goût d’apprendre aux élèves. Autant de pistes que nous ne manquerons pas d’explorer tout au long de notre carrière.

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BIBLIOGRAPHIE :

• ANDRE Bernard : « Motiver pour enseigner », Hachette Education .

• L. McCOMBS Barbara & E. POPE James : « Motiver ses élèves, donner le goût d’apprendre», De Boeck.

• Repères IREM n° 8 – Juillet 1988.

• Repères IREM n° 33 – Octobre 1998.

• Bulletin de l’APMEP n° 428.

• Manuels scolaires de seconde.

• Site Internet :

http://parcours-diversifies.scola.ac-paris.fr/PERETTI/MOTIVATION.htm

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ANNEXES

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COMMENT PROPOSER UNE ACTIVITE MOTIVANTE POUR NOS ELEVES DE SECONDE ? RESUME :

Ce mémoire donne quelques pistes de réflexion sur la manière de motiver des élèves de seconde par le biais d’activités mathématiques. Trois types d’activités différentes sont explorés :

- Motiver par un problème concret - Motiver par une approche historique - Motiver par l’erreur.

MOTS CLES : Motivation, activités. Informations concernant les établissements en responsabilité : Julia Humbert Michaël Brizard Lycée chevalier d’Eon Lycée Stephen Liegeard 2, Place Edmond Jacob Château Liegeard 89700 TONNERRE 21220 BROCHON Numéro de dossier : 0161157W Numéro de dossier : 03STA16235

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