collège elisabeth de nassau epreuve de …...gaspard travaille avec un logiciel de géométrie...
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Collège Elisabeth de Nassau
Epreuve de Mathématiques
Mars 2020 Durée : 02h00
L’utilisation de la calculatrice est autorisée (circ. 99-186 du 16 novembre 1999)
Le sujet est constitué de neuf exercices indépendants.
Le candidat peut les traiter dans l’ordre qui lui convient.
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en
compte dans la notation.
Exercice 1 10 points
Le capitaine d'un navire possède un trésor constitué de 69 diamants, 1 150 perles et 4 140 pièces d'or.
1. Décomposer 69 ; 1 150 et 4 140 en produits de facteurs premiers.
2. Le capitaine partage équitablement le trésor entre les marins.
Combien y-a-t-il de marins sachant que toutes les pièces, perles et diamants ont été distribués ?
Exercice 2 6 points
Gaspard travaille avec un logiciel de géométrie dynamique pour construire une frise.
Il a construit un triangle ABC isocèle en C (motif 1) puis il a obtenu le losange ACBD (motif 2).
Voici les captures d’écran de son travail.
Motif 1 Motif 2
1. Préciser une transformation (avec ses caractéristiques) permettant de compléter le motif 1 pour obtenir le motif 2.
2. Une fois le motif 2 construit, Gaspard a appliqué à plusieurs reprises une translation.
Il obtient ainsi la frise ci-dessous.
Préciser de quelle translation il s’agit.
A
C D
B
A
C D
B
A
C
B
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Exercice 3 11 points
Pendant ses vacances en Nouvelle Calédonie, Angelo va sur le site « météo NC » pour avoir une idée des meilleurs
moments pour faire du cerf-volant avec ses enfants. Il obtient le graphique ci-dessous qui donne la prévision de la vitesse
du vent, en nœuds, en fonction de l’heure de la journée.
Répondre aux questions par lecture graphique. Aucune justification n’est demandée.
Vitesse moyenne des vents (en nœuds) par heure
1. a. Quelle est la vitesse du vent prévue à 14 h ?
b. À quelles heures prévoit-on 12 nœuds de vent ?
c. À quelle heure la vitesse du vent prévue est-elle la plus élevée ?
d. À quelle heure la vitesse du vent prévue est-elle la plus faible ?
2. La pratique du cerf-volant est dangereuse au-dessus de 20 nœuds.
De quelle heure à quelle heure ne faut-il pas faire de cerf-volant ?
On répondra avec la précision permise par le graphique.
Exercice 4 10 points
S’étant rendormie après que le réveil a sonné, Emma est en retard pour aller rejoindre ses amis au terrain de basket.
Elle décide alors de traverser imprudemment la route du point E au point F sans utiliser les passages piétons.
Le passage piéton est supposé perpendiculaire au trottoir.
En moyenne, un piéton met 9 secondes pour
parcourir 10 mètres.
Combien de temps Emma a-t-elle gagné en
traversant sans utiliser le passage piéton ?
Toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera valorisée dans la notation.
F
8 m
K E
15 m
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Exercice 5 14 points
Voici deux programmes de calcul.
Programme 1 Programme 2
Choisir un nombre
Choisir un nombre
Le multiplier par 3 Soustraire 1 Ajouter 2
Ajouter 1
Multiplier les deux nombres obtenus
1. Vérifier que si on choisit 5 comme nombre de départ,
Le résultat du programme 1 vaut 16.
Le résultat du programme 2 vaut 28.
On appelle A(x) le résultat du programme 1 en fonction du nombre x choisi au départ.
La fonction B : x ↦ (x − 1)(x + 2) donne le résultat du programme 2 en fonction du nombre x choisi au départ.
2. a. Exprimer A(x) en fonction de x.
b. Déterminer le nombre que l’on doit choisir au départ pour obtenir -2 comme résultat du programme 1.
3. Développer et réduire l’expression : B(x) = (x – 1)(x + 2).
4. Montrer que B(x) – A(x) = (x + 1)(x – 3).
Exercice 6 12 points
Le diagramme ci-contre représente, pour six pays, la quantité de
nourriture gaspillée (en kg) par habitant en 2010.
1. Donner approximativement la quantité de nourriture gaspillée
par un habitant du pays D en 2010.
2. Peut-on affirmer que le gaspillage de nourriture d’un habitant
du pays F représente environ un cinquième du gaspillage de
nourriture d’un habitant du pays A ?
3. On veut rendre compte de la quantité de nourriture gaspillée
pour d’autres pays. On réalise alors le tableau ci-dessous à
l’aide d’un tableur.
Rappel : 1 tonne = 1 000 kg.
a. Quelle est la quantité totale de nourriture gaspillée par les habitants du pays X en 2010 ?
b. Voici trois propositions de formule, recopier sur votre copie celle qu’on a saisie dans la cellule D2 avant de
l’étirer jusqu’en D4.
Proposition 1 Proposition 2 Proposition 3
=B2*C2*1 000 000 =B2*C2 =B2*C2*1 000
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Exercice 7 11 points
Hugo réalise un assemblage de carreaux représentant son héros préféré.
Pour cela il doit coller 22 carreaux violets, 2 blancs, 162 noirs et 110 verts.
Tous les carreaux sont mélangés dans une boîte.
Hugo choisit un carreau au hasard.
On estime que tous les carreaux ont la même chance d’être choisis.
1. Quelle est la probabilité que Hugo choisisse un carreau vert ?
2. Quelle est la probabilité que Hugo ne choisisse pas un carreau violet ?
3. Quelle est la probabilité que le carreau choisi soit noir ou blanc ?
4. En une journée Hugo a collé 75% des carreaux. Combien de carreaux cela représente-t-il ?
Exercice 8 12 points
Voici trois figures différentes, aucune n’est à l’échelle indiquée dans l’exercice :
Figure 1 Figure 2 Figure 3
Le programme ci-dessous contient une variable nommée « longueur ».
Script Le bloc : un tour
On rappelle que l’instruction signifie que l’on s’oriente vers la droite avec le stylo.
1. a. Dessiner la figure obtenue avec le bloc « un tour » donné dans le cadre de droite ci-dessus, pour une longueur
de départ égale à 30, étant orienté vers la droite avec le stylo, en début de tracé. On prendra 1 cm pour 30 unités de
longueur, c’est-à-dire 30 pixels.
b. Comment est-on orienté avec le stylo après ce tracé ? (aucune justification n’est demandée)
2. Laquelle des figures 1 ou 3 le programme ci-dessus permet-il d’obtenir ? Justifier votre réponse.
3. Quelle modification faut-il apporter au bloc « un tour » pour obtenir la figure 2 ci-dessus ?
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Exercice 9 14 points
Voici les caractéristiques d’une piscine qui doit être rénovée :
Document 1 : information sur la piscine
Vue aérienne de la piscine
Forme : pavé droit
Profondeur : 1,2 m
Document 2 : information relative à la pompe de
vidange
Débit : 14 m3/h
Document 3 : informations sur la peinture résine
utilisée pour la rénovation
Seau de 3 litres
Un litre recouvre une surface de 6 m2
2 couches nécessaires
Prix du seau : 69,99 €
1. Le propriétaire commence par vider la piscine avec la pompe de vidange. Cette piscine est remplie à ras bord. Sera-t-
elle vide en moins de 4 heures ?
2. Il repeint ensuite toute la surface intérieure de cette piscine avec de la peinture résine. Quel est le coût de la
rénovation ?
Chez vous, à l’issue de l’épreuve,
vous découperez ce formulaire et
vous le collerez à la fin de votre
cahier de cours.
4 m
10 m
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Correction
Exercice 1 10 points
1. 69 = 3 23
1 150 = 115 10 = 5 23 2 5 = 2 52 23
4 140 = 414 10 = 2 207 2 5 = 2 9 × 23 2 5 = 2 3 × 3 × 23 2 5 = 22 3
2 5 23
2. Le trésor est partagé équitablement entre tous les marins. Le nombre de marins doit donc diviser à la fois
69, 1 150 et 4 140.
Le seul diviseur commun, supérieur à 1, à ces trois nombres est 23.
Il y a donc 23 marins. (Chaque marin a 3 diamants, 50 perles et 180 pièces d’or)
Exercice 2 6 points
1. Symétrie d’axe (AB).
Ou symétrie de centre le milieu de [AB].
Ou rotation de centre le milieu de [AB] et d’angle 180° (sens horaire ou anti horaire).
2. Translation qui transforme A en D ou translation qui transforme C en B.
Exercice 3 11 points
1. a. À 14 h la vitesse du vent prévue est de 19 nœuds.
b. La vitesse du vent sera de 12 nœuds à 1 h et à 7 h.
c. La vitesse du vent la plus élevée (24 nœuds) est prévue à 11 h.
d. La vitesse du vent la plus faible (7 nœuds) est prévue à 5 h.
2. La pratique du cerf-volant sera dangereuse entre 8 h 30 et 12 h.
Exercice 4 10 points
Parcours FE direct.
On va calculer la longueur FE.
D’après le théorème de Pythagore dans le triangle FKE rectangle en K, on a :
FE² = FK² + KE²
FE² = 15² + 8²
FE² = 225 + 64
FE² = 289
FE = 289
FE = 17 m.
9 17 : 10 15,3 s pour aller de F à E directement.
Parcours FE en passant par K.
Longueur = 8 + 15 = 23 m
9 23 : 10 20,7 s pour aller de F à E en passant par K.
20,7 – 15,3 = 5,4 En coupant au plus court, Emma ne gagnera que 5,4 s.
Distance en m 10 17
Temps en s 9 15,3
Distance en m 10 23
Temps en s 9 20,7
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Exercice 5 14 points
1. Avec le programme 1, on obtient 5 3 + 1 = 16.
Avec le programme 2, on obtient (5 – 1) (5 + 2) = 4 7 = 28.
2. a. On a donc A(x) = 3x + 1.
b. On veut résoudre l’équation A(x) = -2 soit 3x + 1 = -2
3x + 1 – 1 = -2 – 1
3x = -3
3x : 3 = -3 : 3
x = -1
Il faut donc choisir le nombre -1 pour obtenir le nombre -2 comme résultat du programme 1.
Autre méthode, on « remonte » le programme de calcul :
Programme 1 Programme 1 à l’envers
Choisir un nombre Soustraire 1
Le multiplier par 3 Le diviser par 3
Ajouter 1 Retrouver le nombre de départ
(-2 – 1) : 3 = -3 : 3 = -1
Vérification : -1 3 + 1 = -3 + 1 = -2
Il faut donc choisir le nombre -1 pour obtenir le nombre -2 comme résultat du programme 1.
3. B(x) = (x – 1)(x + 2)
= x x + x 2 + (-1) x + (-1) 2
= x2 + 2x – x – 2
= x2 + x – 2
4. B(x) – A(x) = x2 + x – 2 – (3x + 1)
= x2 + x – 2 – 3x – 1
= x2 – 2x – 3
(x + 1)(x – 3) = x x + x (-3) + 1 x + 1 (-3)
= x2 – 3x + x – 3
= x2 – 2x – 3
B(x) – A(x) = (x + 1)(x – 3)
Exercice 6 12 points
1. La quantité de nourriture gaspillée par un habitant du pays D en 2010 est de 140 kg par habitant.
2. Pays F 110 kg/hab et pays A 550 kg/hab donc on peut affirmer que le gaspillage de nourriture d’un
habitant du pays F représente environ un cinquième du gaspillage de nourriture d’un habitant du pays A.
3. a. La quantité totale de nourriture gaspillée par les habitants du pays X en 2010 est 3 760 500 tonnes.
b. B2 * C2 * 1 000 000 (millions habitants) : 1000 (pour passer de kg à t)
Proposition 3 : =B2*C2*1 000
Exercice 7 11 points
1. 22 + 2 + 162 + 110 = 296 Il y a en tout 296 carreaux.
Il y a 110 carreaux verts sur un total de 296 carreaux.
La probabilité de tirer un carreau vert est égale à 110
296 =
55
148.
2. La probabilité de choisir un carreau violet est 22
296 =
11
148.
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Donc la probabilité de ne pas choisir un carreau violet est 1 – 11
148 =
148
148 –
11
148 =
137
148.
OU
296 – 22 = 274 Il y a 274 carreaux qui ne sont pas violets.
La probabilité de ne pas choisir un carreau violet est 274
296 =
137
148.
3. La probabilité que le carreau choisi soit noir ou blanc est 162
296 +
2
296 =
164
296 =
41
74.
4. 75 % de 296 carreaux = 75
100 296 = 0,75 296 = 222
Donc Hugo a collé 222 carreaux en une journée.
Exercice 8 12 points
1. a.
b. On a tourné quatre fois de 90°, donc fait un tour : le stylo est encore orienté vers la droite.
2. Ce ne peut être la figure 1 puisque l’on déplace de 30 puis de 60, alors que dans le tour on répète deux
déplacements de 30.
Il ne reste donc que la figure 3.
3. Les déplacements augmentent bien de longueur à chaque fois ; il suffit donc de tourner de 60° pour obtenir
la figure 2.
Exercice 9 14 points
1. V piscine = 10 4 1,2 = 48 m3. Le volume de la piscine est de 48 m
3.
Or le débit de la pompe de vidange est égal à 14 m3/h
48 : 14 ≈ 3,4 h < 4h Il faudra environ 3,4 h pour vider la piscine soit moins de 4 heures.
2. A piscine = Aire de la surface du fond + Aire des surfaces latérales
A piscine = 10 4 + 2 10 1,2 + 2 4 1,2
A piscine = 40 + 24 + 9,6
A piscine = 73,6 m2 La surface de la piscine à peindre est de 73,6 m
2.
2 couches de peinture sont nécessaires pour peindre la piscine, il faudra donc prévoir de la peinture pour
une surface de 2 73,6 = 147,2 m2.
Or un litre de peinture recouvre une surface de 6 m2
Donc 147,2 : 6 ≈ 24,53 L Il faudra environ 24,53 litres de peinture.
Comme un seau contient 3 litres de peinture,
24,53 : 3 ≈ 8,18. Il faudra alors 9 seaux.
9 69,99 = 629,91 Donc le coût de la rénovation sera de 629,91 €.
Départ