cm1 groupes

2
Universie Claude Bernard Lyon 1 UE Analyse I - Printemps 2012 Licence Math-Info 1` ere ann´ ee http ://math.univ-lyon1.fr/frabetti/AnalyseI/ Res um´ e sur les structures alg´ ebri ques des ens embles avec op´ erat ions Groupes Groupe  = ensemble  G muni d’une op´ erat ion  ◦  :  G × G −→ G, noee (x, y)   x y, telle que :  est  associative : (x y) z =  x (y ◦ z) pour tout  x, y ∈  G ;  il existe un (unique)  ´ eement neutre  e  ∈  G  tel que  x e =  e x = x  pour tout  x ∈ G ;  t ou t ´ el ´ ement  x ∈ G  a un (unique)  inverse  x 1  G  tel que  x x 1 = x 1 x = e. Un groupe (G, ) s’appelle  ael ien  si l’ op´ era ti on  ◦  est  commutative  :  x y  =  y  ◦ x pour tout  x, y ∈  G. Exemples 1. Nombres :  (N, +) et (N, ·) ne sont pas des groupes car l’oppos´ e et l’inver se d’un nombre naturel ne sont pas des nombres naturels ;  (Z, +), (Q, +), (R, +) et (C, +) sont des grou pes ab´ eli ens avec ´ el´ ement neut re = z´ ero 0 ;  si on note  Z =  Z \ {0}  (et eme chose pour  Q,  R  et  C), l’ensemble (Z , ·) n’est pas un groupe, alors que (Q , ·), (R , ·) et (C , ·) sont des grou pes ab´ elie ns avec ´ el´ ement neutre = uni e 1.  (Q, ·), (R, ·) et (C, ·) ne sont pas des groupes car 0 n’est pas inversible. 2. Pol ynˆ omes : pour  K = Z, Q, R et  C,  les ensembles (K[x], +) sont des grou pes ab´ elie ns avec ´el´ ement neutre = p oly ome nul 0;  si on note  K[x] = K[x] \ {0}, aucun des ensembles (K[x] , ·) n’est un groupe. 3. Mat ric es : pour  K = Z, Q, R et  C,  les ensembles (Mat mn (K), +) sont des group es ab´ eliens avec ´ el´ ement neutre = matrice nulle 0 ;  si on note Mat mn (K) = Mat mn (K) \ {0}, aucun des ensembles (Mat mn (K) , ·) n’est un groupe. 4. F onctio ns :  L’e nsemble des fo nctions d’une variable r´ eelle  F (R) = {  f  : R R, x   f (x)  |  fonction avec domaine  D f  R }  est un g rou pe avec l’ add iti on (f  + g)(x) := f (x) + g(x) et l’´ el´ ement neutre = foncti on nulle 0(x) = 0.  L’ensemble des fonctions F (R) = F (R) \{ 0} es t un groupe av ec l a multiplication (f · g)(x) := f (x) · g(x) et l’´ el ´ ement neutre = fonction constante 1(x) = 1. N.B. La fonction inverse  f 1 est eni e par  f 1 (x) =  1 f (x)  sur le domaine  D f 1  =  {x ∈  D f  |  f (x)  = 0  }. Anneaux Anneau = ensemble  A muni de deux op´ eration s +,  :  A × A −→ A  telles que :  (A, +) est un gro up e a el ien , avec ´ el´ ement neu tre not ´ e 0  ∈  A  et appe ll´ e  z´ ero  de l’anneau;  est associative : (x y) z  =  x (y ◦ z), pour tout  x, y ∈  A ;  l’oer at io n  ◦  est  distributive par rapport ` a l’op´ erat ion + :  (x + y ) z  =  x z + y ◦ z x (y + z ) = x y + x z  , pour tout  x,y,z  ∈  A. Un anneau (A, +, ) s’appelle  commutatif  si l’ op´erat ion  ◦ est commutative. Un anneau (A, +, ) s’appelle  unitaire si l’ op´ era ti on  ◦  a un ´ el´ement neut re noe 1 ∈  A  et appel e  unit´ e  de l’anneau. Exemples  Pour  K = Z, Q, R et  C  : 1. Nom bre s : les ens emble s (K, +, ·) sont des anneaux commutatifs et unitaires. 2. Pol ynˆ ome s : les ensemble s ( K[x], +, ·) sont des anneaux commutatifs et unitaires. 3. Mat ri ce s : les e ns embl es (Mat mn (K), +, ·) sont des anneaux unitaires non commutatifs. 4. Fonct io ns : (F (R), +, ·) est un anneau commutatif unitaire avec unit´ e = fonction constante 1( x) = 1. Corps Corps  = anneau unitaire (K, +, ) tel que si on note  K = K  \ {0}, alors (K , ) est un groupe. Un corps (K, +, ) s’appelle  commutatif  si l’op´era ti on  ◦  est commutative. Exemples 1. Nombres :  l’anneau (Z, +, ·) n’est pas un cor ps ;  pour  K = Q, R et  C, les anneaux (K, +, ·) sont des corps commutatifs. 2. Pol ynˆ omes : pour K = Q, R et  C, aucun des anneaux (K[x], +, ·) n’est un corps. 3. Ma tr ic es : pour K = Q, R et  C, aucun des anneaux (Mat mn (K), +, ·) n’est un corps. 4. Fonctions : l’anneau (F (R), +, ·) est un corps. 1

Upload: mouna-abdelhafidh

Post on 13-Apr-2018

224 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

7/24/2019 CM1 Groupes

http://slidepdf.com/reader/full/cm1-groupes 1/1

Universite Claude Bernard Lyon 1 UE Analyse I - Printemps 2012Licence Math-Info 1ere annee http ://math.univ-lyon1.fr/∼frabetti/AnalyseI/

Resume sur les structures algebriques des ensembles avec operations

Groupes

Groupe  = ensemble  G muni d’une operation  ◦  :  G × G −→ G, notee (x, y) → x ◦ y, telle que :

• ◦  est  associative : (x ◦ y) ◦ z =  x ◦ (y ◦ z) pour tout  x, y ∈  G ;

•  il existe un (unique)   element neutre  e  ∈  G  tel que  x ◦ e =  e ◦ x =  x  pour tout  x ∈  G ;•   tout element  x ∈  G  a un (unique)   inverse  x−1 ∈ G  tel que  x ◦ x−1 = x−1 ◦ x =  e.

Un groupe (G, ◦) s’appelle  abelien   si l’operation  ◦  est   commutative  :  x ◦ y  =  y  ◦ x pour tout  x, y ∈  G.

Exemples

1. Nombres :

•   (N, +) et (N, ·) ne sont pas des groupes car l’oppose et l’inverse d’un nombre naturel ne sont pas des nombres naturels ;

•   (Z, +), (Q, +), (R, +) et (C, +) sont des groupes abeliens avec element neutre = zero 0 ;

•   si on note  Z∗ =  Z \ {0}  (et meme chose pour  Q,  R  et  C), l’ensemble (Z∗, ·) n’est pas un groupe, alors que (Q∗, ·),(R∗, ·) et (C∗, ·) sont des groupes abeliens avec element neutre = unite 1.

•   (Q, ·), (R, ·) et (C, ·) ne sont pas des groupes car 0 n’est pas inversible.

2. Polynomes : pour  K = Z,Q,R  et  C,

•  les ensembles (K[x], +) sont des groupes abeliens avec element neutre = polynome nul 0;•   si on note  K[x]∗ = K[x] \ {0}, aucun des ensembles (K[x]∗, ·) n’est un groupe.

3. Matrices : pour  K = Z,Q,R  et  C,

•  les ensembles (Matmn(K), +) sont des groupes abeliens avec element neutre = matrice nulle 0 ;

•   si on note Matmn(K)∗ = Matmn(K) \ {0}, aucun des ensembles (Matmn(K)∗, ·) n’est un groupe.

4. Fonctions :

•   L’ensemble des fonctions d’une variable reelle   F (R) = {  f  :R→R, x → f (x)  |   fonction avec domaine  Df  ⊂ R  }  estun groupe avec l’addition (f  +  g)(x) := f (x) + g(x) et l’element neutre = fonction nulle 0(x) = 0.

•  L’ensemble des fonctions F (R)∗ = F (R)\{0} est un groupe avec la multiplication (f ·g)(x) := f (x)·g(x) et l’elementneutre = fonction constante 1(x) = 1.

N.B. La fonction inverse  f −1 est definie par  f −1(x) =   1f (x)

 sur le domaine  Df −1 =  {x ∈  Df   |  f (x) = 0  }.

Anneaux

Anneau  = ensemble  A  muni de deux operations +, ◦ :  A × A −→ A  telles que :

•   (A, +) est un groupe abelien, avec element neutre note 0  ∈  A  et appelle  zero  de l’anneau ;

• ◦  est associative : (x ◦ y) ◦ z =  x ◦ (y ◦ z), pour tout  x, y ∈  A ;

•   l’operation  ◦  est  distributive  par rapport a l’operation + :

  (x + y) ◦ z =  x ◦ z + y ◦ z

x ◦ (y + z) = x ◦ y + x ◦ z  , pour tout  x, y,z  ∈  A.

Un anneau (A, +, ◦) s’appelle   commutatif   si l’operation  ◦ est commutative.Un anneau (A, +, ◦) s’appelle  unitaire   si l’operation  ◦  a un element neutre note 1 ∈  A  et appelle  unite  de l’anneau.

Exemples   Pour  K = Z,Q,R  et  C  :

1. Nombres : les ensembles (K, +, ·) sont des anneaux commutatifs et unitaires.

2. Polynomes : les ensembles (K[x], +, ·) sont des anneaux commutatifs et unitaires.

3. Matrices : les ensembles (Matmn(K), +, ·) sont des anneaux unitaires non commutatifs.

4. Fonctions : (F (R), +, ·) est un anneau commutatif unitaire avec unite = fonction constante 1(x) = 1.

Corps

Corps  = anneau unitaire (K, +, ◦) tel que si on note  K ∗ = K  \ {0}, alors (K ∗, ◦) est un groupe.

Un corps (K, +, ◦) s’appelle  commutatif   si l’operation  ◦  est commutative.

Exemples

1. Nombres :

•   l’anneau (Z, +, ·) n’est pas un corps ;

•   pour  K = Q,R  et  C, les anneaux (K, +, ·) sont des corps commutatifs.2. Polynomes : pour K = Q,R et  C, aucun des anneaux (K[x], +, ·) n’est un corps.

3. Matrices : pour K = Q,R et  C, aucun des anneaux (Matmn(K), +, ·) n’est un corps.

4. Fonctions : l’anneau (F (R), +, ·) est un corps.

1