clément boulonne enseignement - cbmaths · 2013-06-15 · il faut compter « 15 minutes au four...

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ues 2012–2013

Clément BOULONNE

Collège Albert Samain- Classe de 5e

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collège albert samain- classe de 5e

clément BOULONNE

S O M M A I R E

0 Révisions de 6e 7

0.1 Feuille d’exercices de révisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 Droites remarquables du triangle et triangles particuliers 11

1.1 Droites remarquables dans un triangle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Triangles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Droites remarquables et triangles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 La droite d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Les fractions : comparaison et simplification 19

2.1 Quotient et proportion, multiples et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Simplifier les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Comparer des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Symétrie centrale 27

3.1 Figures symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Symétrique d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Propriétés de la symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Sur une feuille quadrilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Éléments de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.6 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Nombres relatifs, découverte 35

4.1 Nombres relatifs : définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Droite graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Comparaison de deux nombres relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4 Activité TICE : Nombres relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.5 Activité TICE : Différences entre deux plongées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Les angles 41

5.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2 Droites parallèles et angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

A Évaluations 47

A.1 Devoir maison no 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48A.2 Évaluation écrite no 1 - 5A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49A.3 Correction - EE1 5A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50A.4 Évaluation écrite no 1 - 5D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51A.5 Correction EE1 - 5D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52A.6 DM no 2 de Mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53A.7 Evaluation écrite no 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54A.8 DM no 2S de Mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.9 Évaluation écrite no 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56A.10 DM de mathématiques no 3 : Symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57A.11 Évaluation écrite no 4 : Symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58A.12 Évaluation écrite no 5 : Nombres relatifs, découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5

B Fiches méthodes 61

B.1 Simplifier des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62B.2 Pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64B.3 Vocabulaire géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66B.4 Réduire au même dénominateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

C Exercices AAD (Aide Aux Devoirs) et soutien 71

C.1 Triangles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72C.2 Soutien : fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75C.3 Entrainement pour IE no 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76C.4 Soutien - Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77C.5 Devoir spécial - 5D - 08/02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78C.6 Soutien - Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79C.7 Test de mathématiques du Kangourou - Niveau benjamins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6

0Révisions de 6e

C H A P I T R E

Feuille d’exercices de révisions

Numérique

1 Comparaison de nombresComparer les nombres suivants :

1. 15,1 et 15,092. 7

10 et 7,103. 132,45 et 123,464. 7,101 et 7,011

5. 5,1236 et 5,123606. 1 + 9

10 et 1,097. 6,048 et 6,158. 8,75 et 8,9

2 Géométrie et opérations

1. G est un point sur le segment [AB]. Calculer la longueurdu segment [AB] sachant que AG = 7 cm et BG = 17cm.

2. F est un point de la demi-droite [ED) n’appartenant pasau segment [ED] tel que EF = 1000 m et DF = 127m. Calculer la longueur du segment [ED].

Indications : on peut tracer une figure géométrique pour vi-sualiser le problème.

3 Repérage et fractionsDonner, sous forme d’une fraction, l’abcisse de chacun

des points A, B etC placés sur la demi-droite graduée ci-dessous.

0 1 2 3

B A CD

4 Simplification de fractionsSimplifier, si possible, les fractions suivantes.

1. 64

2. 810

3. 1216

4. 1827

5. 12

6. 4535

Organisation des données

5 ProportionnalitéUn livre de cuisine indique que, pour faire cuire le rôti,

il faut compter « 15 minutes au four chaud pour 500 g deviande ».

1. Sachant que le temps de cuisson est proportionnel à lamasse de la viande, calculer le temps nécessaire à lacuisson d’un rôti pesant 750 g.

2. Même question avec un rôti pesant 600 g.

6 PourcentagesDans un collège de 575 élèves, 28% des collègiens sont

en 5e. Calculer le nombre d’élèves en 5e dans ce collège.

7 Lecture de tableaux statistiquesLes notes obtenues à deux devoirs par cinq élèves sont

données dans le tableau ci-dessous.

Sophia Pierre Rachid Maëliss KévinDevoir 1 18 11,5 10 14,5 12Devoir 2 17,5 12 14 12,5 10

1. Au devoir 1,

a. qui a eu la meilleure note ?

b. qui a eu la moins bonne note ?

2. Au devoir 2,

a. qui a eu la meilleure note ?

b. qui a eu la moins bonne note ?

8 Interprétation de graphiquesVoici les gains de médailles d’or aux Jeux Olympiques

de Pékin en 2008 pour 9 pays.

05

10152025303540455055

Alle

mag

ne

Aus

tral

ie

Chi

ne

Esp

agne

Eta

ts-U

nis

Fran

ce

Gra

nde-

Bre

tagn

e

Ital

ie

Rus

sie

1. Recopier et, à l’aide du graphique, compléter le tableau.

Pays Nombre de médialles d’orAllemagne 16Australie · · ·· · · · · ·

2. Quel est, parmi ces neuf pays, celui qui a remporté leplus de médailles d’or ?

8 CHAPITRE 0. RÉVISIONS DE 6E

Géométrie

9 Vocabulaire du cercle

O

A

B

C Sur la figure :

– A, B et C sont sur lecercle de centre O ;

– A, O et B sont ali-gnés.

1. Ecrire deux phrases décrivant la figure, en utilisant lesmots « rayon » et « diamètre ».

2. Recopier et compléter les phrases suivantes :

a. Le point O est le milieu du . . ..

b. Le point O est une extrémité du . . ..

c. A et B sont les . . . du . . . [AB].

d. La portion de cercle comprise entre les points A etC est l’. . ..

10 Construction de droites

(d)A

B

1. Reproduire la figure ci-dessus sur votre cahier d’exer-cices.

2. Tracer (d′) la perpendiculaire à (d) passant par A.

3. Tracer (d′′) la parallèle à (d) passant par B.

4. Que peut-on dire des droites (d′) et (d′′) ?

11 Symétrie axialeReproduire et colorier le minimum de cases pour que

la figure obtenue soit symétrique par rapport aux deux axes(rouges).

12 Axes de symétriesPour chaque panneau, indiquer s’il admet ou non un

(ou des) axe(s) de symétrie. Quand c’est le cas, préciser lenombre et leur position (sur la feuille).

Mesure et grandeurs

13 Mesurer un anglePour chaque angle, indiquer s’il est aigu ou obtus. Don-

ner la mesure de l’angle en vous rapportant sur la bonnegraduation du rapporteur.

14 Tracer des anglesTracer les segments [AB] et [BC] de longueur 3 cm

chacun tels que :

1. ABC = 35° ;

2. ABC = 90° ;

3. ABC = 124° ;

4. ABC = 180°.

15 Avec les carreaux du cahier

1. En prenant comme unité d’aire un carreau de votrecahier, réaliser trois figures différentes de cinq unitésd’aire.

2. Ces figures ont-elles le même périmètre ?

16 Aire et perimètre d’un carréSoit c la mesure du côté d’un carré. On rappelle les for-

mules suivantes :

– le périmètre du carré vaut 4c ;

– l’aire du carré vaut c× c(= c2).

Un carré a pour périmètre 16 cm. Calculer son aire.

0.1. FEUILLE D’EXERCICES DE RÉVISIONS 9

10 CHAPITRE 0. RÉVISIONS DE 6E

1Droites remarquablesdu triangle et trianglesparticuliers

C H A P I T R E

Énigme du chapitre : Combien y-a-t-il de triangles en tout dans cette figure ?

Droites remarquables dans un triangle quelconque1

Voir cours du cahier

Triangles particuliers2

La somme des angles dans un triangle est égale à 180°.Théorème 1.1

2 1 Triangle isocèle

Triangle isocèleOn dit qu’un triangle ABC est un triangle isocèle en A si AB = AC. A est le sommet

principal du triangle, le segment [BC] est la base du triangle et les angles ABC et ACB sont lesangles à la base.

Définition 1.2

ABC triangle isocèle en A

Base

Sommet principal

Angles à la base

C B

A

Construction du triangle isocèles en connaissant la longueur de deux côtésSoit ABC un triangle isocèle en A dont on connaît la longueur des trois côtés.

1. On construit le côté [BC] à la règle.

2. Au compas, on prend la mesure d’un deuxième côté.

3. On pointe le point B et on fait une trace au dessus du segment [BC].4. On garde l’écart avec son compas, on pointe le point C et on fait une trace au dessus du

segment [BC].5. Le point A est l’intersection des deux traces (prolonger les traces si elles ne se rencontrent

pas).

Méthode 1.3

ConstructionConstruire, sur une page de votre cahier, un triangle ABC isocèle en A tel que AB = AC = 4 cm et BC = 5 cm. N’oubliezpas de préciser les côtés de même longueur et les angles de même mesure.

Remarques 1.4.a. On dit toujours qu’un triangle est isocèle en un point. Ce point constitue le sommet principal du

triangle.b. Dans un triangle isocèle, si on connait la mesure de l’un des angles, on peut en déduire celle des

deux autres.

12 CHAPITRE 1. DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE ET TRIANGLES PARTICULIERS

Exemples 1.5. Soit ABC un triangle isocèle en A.

a. On sait que BAC = 40°.On a alors : ABC + ACB = 180°− 40° = 140°.Comme les angles ABC et ACB sont de même mesure, on a : ABC = ACB = 140°÷2 = 70°.

b. On sait que ABC = 40°.Comme les angles ABC et ACB sont de même mesure alors ACB = 40°. rappel On en déduitla mesure de l’angle BAC : BAC = 180°− 2× 40° = 100°.

2 2 Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur.Définition 1.6

Construire un triangle équilatéral connaissant une longueurSoit ABC un triangle équilatéral.

1. Construire le côté [AB].

2. Tracer l’angle BAC.

3. Tracer l’angle ABC.

4. Faire rencontrer les droites en un point C.

5. Nous obtenons trois points A, B et C formant le triangle ABC.

Méthode 1.7

ConstructionConstruire, sur une page de votre cahier, un triangle ABC équilatéral tel que AB = 4 cm. N’oubliez pas de préciser lescôtés de même longueur et les angles de même mesure.

Remarque 1.8. Les angles d’un triangle équilatéral sont tous égaux et mesurent 60°.

2 3 Triangle rectangle

Triangle rectangleOn dit que ABC est un triangle rectangle en A si BAC = 90°. Le plus long de ces côtés est

appelé l’hypoténuse du triangle rectangle.Définition 1.9

Tracer un triangle rectangle connaissant la longueur des deux côtés adjacents à l’angle droitSoit ABC un triangle rectangle en A dont on connait les mesures de [AB] et [AC].

1. Tracer le côté [AB] avec une règle.

2. Tracer le côté [AC] avec une équerre (BAC = 90°).

3. On obtient alors trois points A, B et C qui constituent le triangle ABC.

Méthode 1.10

ConstructionConstruire, sur une page de votre cahier, un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 4 cm et AC = 3 cm. N’oubliez pasde préciser les côtés de même longueur et les angles de même mesure.

Remarque 1.11. Soit ABC un triangle rectangle en A. On a : ABC + ACB = 90°.

Exemple 1.12. Soit ABC un triangle rectangle en A tel que ACB = 20°.

Alors ABC = 90− ACB = 90− 20 = 70°.

Remarque 1.13. On dit qu’un triangle ABC est un triangle rectangle isocèle en A, un triangle tel que

AB = AC et BAC = 90°. On a, de plus, ABC = ACB = 45°.

1.2. TRIANGLES PARTICULIERS 13

Droites remarquables et triangles particuliers3

3 1 Droites remarquables et triangle isocèle

Soit ABC un triangle isocèle en A. Le triangle admet un axe de symétrie. Cet axe de symétrieest issue du sommet principal A et est perpendiculaire à la base du triangle isocèle (le segment[BC]). Cette droite est :

– la hauteur issue de A ;

– la bissectrice de l’angle BAC ;

– la médiane issue de A ;

– la médiatrice de [BC].

Propriété 1.14

axe de symétriehauteur issue de A

bissectrice de l’angle BACmédiane issue de A

médiatrice du segment [BC]

C B

A

I

3 2 Droites remarquables et triangle équilatéral

Dans un triangle équilatéral, il y a trois axes de symétries, ils partent d’un des trois sommetsdu triangle et est perpendiculaire au côté opposé. Ils sont à la fois hauteur, bissectrice, médiane etmédiatrice.

Propriété 1.15

A B

C

G

Dans un triangle équilatéral, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité, l’orthocentreet le centre du cercle inscrit sont confondus.

Propriété 1.16

Sur la figure, le point G est l’orthocentre, lecentre de gravité, le centre du cercle inscrit et lecentre du cercle circonscrit.

A B

C

G


3 3 Propriété de la médiane dans un triangle rectangle

Propriété de la médianeDans un triangle rectangle, la médinae relative à l’hypoténuse pour longueur la moitié de la

longueur de l’hypoténuse.Propriété 1.17

A B

C

I

Réciproque de la propriété de la médianeSi dans un triangle, la médiane relative à un côté mesure la moitié de ce côté, alors le triangle

est rectangle.Propriété 1.18

Dans un triangle rectangle, le cercle circonscrit a pour centre le milieu de l’hypoténuse etpour diamètre, l’hypoténuse.Propriété 1.19

Si un point C appartient à un cercle de diamètre [AB] alors le triangle ABC est rectangle enC.

Propriété 1.20

A

BC

DE

1.3. DROITES REMARQUABLES ET TRIANGLES PARTICULIERS 15

Exercices et problèmes

Triangles particuliers

1 Reconnaissance IDire si le triangle est isocèle (préciser en quel point),

rectangle (préciser en quel point aussi), équilatéral ou quel-conque.

1.A

B

C

2.

A B

C

3.

A

B

C

4.

A B

C

2 Reconnaissance IIEn utilisant les indications portées sur la figure, recon-

naître la nature de chacun des triangles ABE, BEC etBDC.

A E

B

C

D

3 Tracer les trianglesTracer les triangles suivants :

1. ISO est un triangle isocèle en S tel que IS = 6,5 cm etISO = 27° ;

2. REC est un triangle rectangle en R tel que RE = 3,8cm et REC = 65°.

3. EQU est un triangle équilatéral tel que EQ = 4,7 cm.

4 Calcul des anglesFaire la figure proposée dans chaque situation et ré-

pondre aux questions

1. Soit ABC un triangle isocèle en A. On sait que ABC =30°. Calculer BAC.

2. Soit ABC un triangle rectangle en A. Calculer BAC.

3. Soit ISO un triangle isocèle en S. On sait que ISO =50°. Calculer les angles SIO et SOI .

4. Soit EQU un triangle équilatéral. Calculer les anglesEQU , QUE, UQE.

5. Soit REC un triangle rectangle en E. On sait queERC = 40°.

5 Avec un cercle

1. Tracer un cercle de centre O et de rayon 3 cm. Placer unpoint A appartenant à ce cercle.

2. Construcire un point B appartenant à ce cercle tel que letriangle OAB soit équilatéral.Y-a-t-il plusieurs possibilités ?


La droite d’Euler

L’activité se déroulera sur le logiciel de géométrie dynamique : GEOGEBRA. Elle aura pour but de remarquer le position-nement du cercle circonscrit, le centre de gravité et l’orthocentre d’un triangle. Les questions en italique sont des questionsà faire sur une feuille à côté de l’activité.

Tracé du triangle

1. Placer les points A, B, C.

2. Tracer le triangle ABC.

Centre du cercle circonscrit

3. Comment obtenir le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Tracer les trois médiatrices du triangle ABC.

5. Positionner le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC.

Centre de gravité

6. Comment obtenir le centre de gravité du triangle ABC ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Tracer les trois médianes du triangle ABC.

8. Positionner le centre de gravité G du triangle ABC.

Orthocentre

9. Comment obtenir l’orthocentre du triangle ABC ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Tracer les trois hauteurs du triangle ABC.

11. Positionner l’orthocentre H du triangle ABC.

La droite d’Euler

12. Tracer la droite (OG).

13. Remarquer le positionnement du point H sur la droite (OG) (grâce à l’outil « Relation entre deux objets », cliquer sur lepoint H et la droite (OG)). Appeler votre professeur pour vérifier le résultat obtenu.

14. Conclusion : le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l’orthocentre d’un triangle sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Ils se situent sur une . . . . . . . . . . . . . . . . . . qu’on appelle la droite d’Euler.

1.5. LA DROITE D’EULER 17

2Les fractions :comparaison etsimplification

C H A P I T R E

Énigme du chapitre : Quelle proportion de la surface totale est coloriée en bleu ?

Quotient et proportion, multiples et diviseurs1

1 1 Quotient et proportion

QuotientSoient a et b deux nombres tels que b 6= 0. Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié

par b, donne a.Ce quotient se note de deux manières : a÷b ou a

b . La première notation, bien que légitime, nesera JAMAIS utilisé, on utilisera uniquement la seocnde (qu’on appelle écriture fractionnaire).

Dans l’écriture fractionnaire ab , a est appelé numérateur et b est appelé dénominateur.

Définition 2.1

Exemples 2.2.a. 22

4 = 22÷ 4 = 5,5 car 5,5× 4 = 22.b. 10

0,5 = 20 car 20× 0,5 = 10.

FractionOn appelle fraction quand le numérateur et le dénominateur de l’écriture fractionnaire sont

entiers.Définition 2.3

Exemple 2.4. L’écriture décimale 224 est une fraction.

Remarque 2.5. Comme dit, dans la définition 2.1, le dénominateur d’un quotient en écriture fraction-naire doit être non nul. La division par 0 est impossible !

Pourquoi ne peut-on pas diviser par 0 ?Si la division par 0 était possible, cela voudrait que l’on pourrait multiplier n’importe quel

nombre a par 0 et cela donnerait a. Or, vous savez depuis le primaire, que, pour tout nombre a,a× 0 = 0.

Pour aller plus loin !

Quand on prend un quart de tarte, la proportion de la part de tarte par rapport au total est de14 . Cela signifie que, sur 4 parts coupés équitablement, on en prend une part.Définition 2.6

On peut le voir par un dessin :

1 2 Multiples et diviseurs

MultipleSoient a et b deux entiers non nuls. On dit que b est multiple de a s’il existe un entier n tel

que a× n = b. On dit aussi que b est divisible par a.Définition 2.7

Exemple 2.8. Comme 186 = 3, on en déduit que :

– 18 est multiple de 6 ;

20 CHAPITRE 2. LES FRACTIONS : COMPARAISON ET SIMPLIFICATION

– 18 est divisible par 6.

Diviseurs d’un nombreUn nombre entier d est un diviseur d’un entier n lorsque n fait partie de la liste des multiples

de d, c’est-à-dire lorsqu’il existe un entier q tel que n = d× q.Définition 2.9

Exemple 2.10. Comme 77 = 7× 11, on en déduit que 7 et 11 sont des diviseurs de 11.

1 3 Compléments sur les critères de divisibilité

2 Un nombre est divisible par 2 lorsque le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.Exemples : 13574 et 279836 sont multiples de 2.

5 Un nombre est divisible par 5 lorsque le chiffre des unités est 0 ou 5.Exemples : 3750 et 12435 sont multiples de 5.

10 Un nombre est divisible par 10 lorsque le chiffre des unités est 0.Exemples : 120 et 13240 sont multiples de 10.

4 Un nombre est divisible par 4 lorsque les deux chiffres de droite froment un nombre multiple 1 de 4.Exemples : 2348 et 3056 sont multiples de 4.

25 Un nombre est divisible par 25 lorsque les deux chiffres de droite sont 00, 25, 50 ou 75.Exemples : 1250 et 8225 sont divisibles par 25.

100 Un nombre est divisible par 100 lorsque les deux chiffres de droits sont 00.Exemples : 85300 et 27900 sont divisibles par 100.

8* Un nombre est divisible par 8 lorsque les 3 chiffres de droite forment un nombre multiple 2 de 8.Exemples : 69776 et 98024 sont divisibles par 8 (776 = 8× 97 et 24 = 8× 3).

125 Un nombre est divisible par 125 lorsque les 3 chiffres de droite forment un nombre multiple de125 : 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875.Exemples : 392625 et 23750 sont divisibles par 125.

1000 Un nombre est divisible par 1000 lorsque les trois chiffres de droite sont 000.Exemples : 120000 et 25000 sont divisibles par 1000.

3 Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un nombre multiple de 3.Exemples : 741 et 8433 sont multiples de 3 (7 + 4 + 1 = 12 et 8 + 4 + 3 + 3 = 18).

9 Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un nombre multiple de 9.Exemple : 12345678 est un nombre divisible par 9 car 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.

11* Un nombre est divisible par 11 lorsque la différence entre la somme des chiffres de rang pair et lasomme des chiffres de rang impair est un multiple de 11.Exemple : 919380 est un nombre divisible par 11 car 9 + 9 + 8 = 26, 1 + 3 + 0 = 4 et26− 4 = 22 = 2× 11.

1. Les nombres multiples de 4 inférieur à 100 sont 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96.2. Renseignez-vous sur les multiples de 8 inférieurs à 100.

2.1. QUOTIENT ET PROPORTION, MULTIPLES ET DIVISEURS 21

Simplifier les fractions2

Activité A.Découvrir la propriété des quotients

1. Tracer un carré 8× 8 (unité : un carreau) sur votre cahier.2. Partager votre carré en 4 parties d’aires égales.3. Colorier le carré en haut à droite.4. Quelle proportion du grand carré représente la partie colorée ? (écrire cette proportion sous forme de fraction).5. Tracer un autre carré 8× 8 (unité : un carreau) sur votre cahier.6. Partager votre carré en 64 parties d’aires égales.7. Colorier 16 petits carrés en haut à droite du carré (les 16 petits carrés sont tous regroupés en un seul bloc).8. Quelle proportion du grand carré représente la partie colorée ? (écrire cette proportion sous forme de fraction).9. Les deux parties coloriés sur les deux carrés sont-ils de même aire ?

10. En utilisant la propriété :a× b

c× b= a

c× b

b= a

c× 1 = a

c

et que 64 = 16×4, écrire une égalité sur les deux fractions (questions 4 et 8) représentant la proportion de l’aire coloriéepar rapport à l’aire totale.

2 1 Propriété des quotients

Propriété des quotientsSi a,b et k sont trois nombres tels que b 6= 0 et k 6= 0 alors :

a

b= a× k

b× ket

a

b= a÷ k

b÷ k.

Autrement dit, le quotient ne change pas lorsque l’on multiple ou l’on divise son numérateuret son dénominateur par un même nombre non nul.

Propriété 2.11

Exemples 2.12.a. 2

3 = 2×33×3 = 3

9 ;b. 15

5 = 3×51×5 = 3

1 = 3.

2 2 Simplification des fractions

Simplification de fractionsOn dit qu’on simplifie une fraction si on écrit une fraction qui lui est égale mais avec un

numérateur et un dénominateur plus petits.Définition 2.13

Remarques 2.14.a. On cherche à obtenir une fraction avec une écriture la plus simple possible. Quand la fraction

n’admet plus de simplifications, on dit qu’il s’agit d’une fraction irréductible.b. Il serait judicieux d’apprendre par cœur vos tables de multiplications. Si vous ne voulez pas les

apprendre, ayez toujours une feuille volante avec une table de multiplication de 1 à 10.c. Les critères de divisibilité permettent de mieux décomposer le numérateur et le dénominateur

en leurs diviseurs plus petits.

Exemple 2.15. 3648 = 3×��12

4×��12 = 34 .

– La fraction 3648 peut être simplifiée.

– 34 est une fraction irréductible.


2 3 De l’écriture fractionnaire à la fraction

Soit a et b deux nombres décimaux tels que b 6= 0. Pour transformer l’écriture fractionnaireab en une fraction (rappel : le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont des nombresentiers), on peut les multiplier par 10, 100, 1000, . . . pour rendre a et b entiers et donc a

b commefraction.

Propriété 2.16

Exemples 2.17.a. 24

0,8 = 24×100,8×10 = 240

8 puis simplification de la fraction à faire.

b. 0,3650,05 = 0,365×1000

0,05×1000 = 36550 .

Comparer des fractions3

Activité B.Comparaison des fractions

A - Comparaison de fractions avec le nombre 1À l’issue d’un tournoi de beach-volley, cinq équipes se retrouvent ex aequo, mais le réglement précise : « Lorsque les

équipes ont le même nombre de points, pour les départager, on calcule le quotient des sets gagnés sur les sets perdus : leplus fort quotient obtient le meilleur classement.

équipes points sets gagnés sets perdusFrance 10 19 17

États-Unis 10 21 16Mexique 10 18 17

Cuba 10 20 21Brésil 10 21 17

1. À l’aide d’une calculatrice, établir un classement des cinq équipes.

2. Quels sont les quotients supérieurs à 1 ? inférieurs à 1 ?

3. Dégagez une règle qui permet de comparer une fraction avec le nombre 1.

B - Comparaison de fractions n’ayant pas le même dénominateur

1. Reproduire trois fois la grille ci-contre.

Appeler A la première grille, B la deuxième et C la troisième.1. a. Colorier 1

4 de la grille A ; 512 de la grille B ; 9

24 de la grille C.

b. Quelle est la grille dont la surface coloriée est la plus grande ?

2. Anne nous dit : « On pouvait connaître à l’avance la grille la plus coloriée. Il suffisait de transformer les deuxpremière fractions en mettant 24 au dénominateur ». Mettre les fractions de la surface coloriée sous le même déno-minateur (aide : les dénominateurs sont multiples l’un de l’autre) et écrire une règle pour comparer deux fractions quin’ont pas le même dénominateur.

2.3. COMPARER DES FRACTIONS 23

3 1 Comparaison une fraction au nombre 1

a. Si a > b et b 6= 0 alors ab > 1

b. Si a < b et b 6= 0 alors ab < 1

Propriété 2.18

Remarque 2.19. Si le numérateur et le dénominateur d’un nombre en écriture fractionnaire sont égauxalors ce nombre est égal à 1.

Exemples 2.20.a. 120

119 > 1 ;b. 17

19 < 1 ;c. 12

12 = 1.

3 2 Comparaison de deux fractions

Comparaison de fractions ayant meme dénominateurDeux fraction ayant le même dénominateur sont rangés dans l’ordre de leurs numérateurs.Si a < b et c 6= 0, alors a

c < bc .

Propriété 2.21

Exemples 2.22.a. 2

3 < 33 ;

b. 45 > 2

5 .

Comparer deux fractions

1. On commence par les réduire au même dénominateur.

2. On applique la règle de comparaison de fractions ayant même dénominateur.

3. Comme les fractions initiales et réduites au même dénominateurs sont des fractions équiva-lentes, on en déduit la comparaison des deux fractions initiales.

Méthode 2.23

Exemple 2.24. On veut comparer les fractions 13 et 1

6 .

1. On réduit les deux fractions au même dénomiateur :

13 = 1× 2

3× 2 = 26 et

16

2. On applique la règle de comparaison de fractions ayant même dénominateur. Comme 2 > 1, on a :26 > 1

6 .

3. On en déduit alors la comparaison initiale : 13 > 1

6 .

Remarque 2.25. Quand on ne peut pas réduire (facilement) les deux fractions au même dénominateuret que leur numérateur sont les mêmes, on peut appliquer la règle suivante.

Comparaison de deux fractions ayant même numérateurDeux fractions ayant le même numérateur sont rangés dans l’ordre inverse de leurs dénomi-

nateurs.Si a < b et a 6= 0 et b 6= 0 alors c

b < ca .

Propriété 2.26

Exemple 2.27. Comme 124 > 125, on a :

7124 >

7125 .



Quotient et proportion

1 Donner l’écriture décimale de chacun des nombres sui-vants :

1. 148 ; 2. 3

4 ; 3. 7,85 ; 4. 1

10 .

2 Pour chaque égalité, déterminer le nombre manquant.

1. 9×? = 3 ;

2. 4×? = 2 ;

3. 21×? = 7 ;

4. 8×? = 56 ;

5. 11×? = 66 ;

6. ?× 15 = 5.

3 FootballLe club de football de Roubaix a un effectif de plus de

150 joueurs.

Les joueurs se repartissent ainsi :

– 1 joueur sur 10 est gardien de but ;

– 2 joueurs sur 10 sont défenseurs ;

– 3 joueurs sur 10 sont milieux de terrain ;

– les autres joueurs sont attaquants.

1. Tracer un rectangle de 10 cm de longueur et 3 cm delargeur.

2. Colorier la surface de ce rectangle pour représenter :

– en orange, la proportion des gardiens de but ;

– en bleu, la proportion de défenseurs ;

– en jaune, la proportion de milieux de terrain ;

– en vert, la proportion d’attaquants.

3. Quelle est la proportion d’attaquants dans ce club defootball ?

4 F La famille QuedéjiLa famille Quedéji est constituée de huit personnes :

– Josette (48 ans)

– José (47 ans)

– Josiane (22 ans)

– Jacinthe (16 ans)

– John (14 ans)

– Jacques (14 ans)

– Jason (11 ans)

– Jérémy (8 ans)

Dans cette famille, quelle est la proportion de :

1. filles ?

2. garçons ?

3. personnes majeures ? (on est majeur à partir de 18 ans)

4. filles majeurs ?

5. garçons mineurs ?

Multiples et diviseurs

5 On considère les nombres :

6354, 8930, 12525 et 45008.

Lesquels sont divisibles par :

1. 2 ? 2. 3 ? 3. 4 ? 4. 5 ? 5. 9 ?

6 FDéterminer tous les diviseurs du nombre 12.

Propriété des quotients

7 Recopier et compléter les égalités :

1. 74 = ?

162. 25

15 = ?5

3. 45 = 16

?4. 20

50 = 2?

5. 115 = 55

?6. 8

24 = ?6

Simplification des fractions

8 Simplifier au maximum les fractions suivantes :

1. 39

2. 2440

3. 3035

4. 1863

5. 70140

6. 100175

9 FSimplifier au maximum les fractions suivantes :

1. 3000700

2. 315270

3. 165195

4. 352480

10 F Défi

Simplifier la fraction3465051975 .

2.4. EXERCICES ET PROBLÈMES 25

Comparer des fractions

11

1. Recopier cette liste de quotients

a. 1,091,1

b. 4,024,002

c. 2,13,1

d. 7,807,8

e. 34

f. 43

2. Entourer, en bleu, ceux qui sont inférieurs à 1 et, en vert,ceux qui sont supérieurs à 1.

3. Que peut-on dire du quotient qui n’est pas entouré.

12 Comparer 3738 et 49

48 . Justifier la réponse.

13 Comparer les fractions suivantes :

1. 28796 et 288

962. 67

81 et 6881

3. 917 et 9

19

4. 167 et 16

105. 1

4 et 18

6. 37 et 5

21

14

1. Réduire au même dénominateur les fractions :

115 ,

136 et

6730 .

2. Comparer les fractions 115 , 13

6 et 6730 .

Approfondissements

15 F Rangement dans l’ordre croissantRanger dans l’ordre croissant les fractions suivantes :

1617 ; 14

13 ; 1 ; 1513 ; 15

17 .

16 F Les trois seaux

– Le seau A a une contenance de trente-deux tiers delitres.

– Le seau B a une contenance de soixante-cinq sixièmede litres.

– Le seau C a une contenance de cent-vingt-cinq dou-zièmes de litres.

Ranger les trois seaux du plus petit au plus grand.

17 F Le bon entierTrouver le nombre entier qui convient (le même nombre

dans les trois cases).

6 <5

< 4 .

18 F La meilleur 5e

– En 5e-1, 15 élèves sur 25 ont obtenu la moyenne.

– En 5e-2, trois-quarts des élèves ont obtenu lamoyenne.

– En 5e-3, 70% des élèvs ont obtenu la moyenne.

Quelle est la meilleure classe ?

19 F DéfiComparer les deux fractions suivantes (sans calcula-

trice) :127893820 et

127883819 .

Jouer avec les fractions !

20 Ce jeu se joue à deux joueurs et avec deux dés.

1. Dans un premier temps, les deux joueurs lancent cha-cun son tour les dés. Celui qui commence est celui quia obtenu le plus de points en additionnant les nombresapparaissant sur les deux faces.

2. Le premier joueur lance les deux dés. Il choisit le numé-rateur de sa première fraction à partir d’une face d’undes deux dés, le dénominateur sera le nombre apparais-sant sur la face de l’autre dé. Il inscrit sa fraction sur unefeuille.

3. Le deuxième joueur lance les deux dés et fait comme lepremier joueur.

4. Le premier joueur lance les deux dés à nouveau et choi-sit une fraction construite à partir des deux dés. Il peutinscrire la fraction sur la feuille si elle est plus grandeque la précédente.

5. Ainsi de suite. . .

6. Le premier qui écrit 5 fractions sur sa feuille est le ga-gnant de la partie. Par contre, celui qui ne peut obtenir lafraction 6

1 (la plus grande d’entre toutes fabriqués avecun dé) perd automatiquement la partie.


3Symétrie centrale

C H A P I T R E

Énigme du chapitre : Tracer une figure (non vide) qui admet deux centres de symétries.

Figures symétriques1

Activité A.Milieu du segment et symétrie centrale

1. Tracer un segment [KL] de 3 cm de longueur.2. Tracer M tel que L soit le milieu du segment [KM ].3. Construire le segment [IJ ] de longueur 4 cm et de milieu L.4. On dit que I est le symétrique du point J par rapport au point L si, par un demi-tour de centre L en partant de I , on

retombe sur le point J .Avec le compas, mettre la pointe sur le point L et le crayon sur le point I . Faire un demi-tour de compas et remarquerque l’on arrive bien au point I . (on peut le voir avec le rapporteur, on obtient un angle de 180°.

Figures symétriquesDeux figures sont symétriques par rapport à un point si elles sont superposables par demi-

tour autour de ce point qu’on appelle centre de symétrieDéfinition 3.1

Exemple 3.2.

(F1)

(F2)

O

Les figures (F1) et (F2) sont symétriques par rapport aux point O. Le point O est le centre de lasymétrie.

Symétrique d’un point2

Symétrique d’un pointLe symétrique d’un point M par rapport à un point O est le point M ′ tel que O est le milieu

du segment [MM ′].Définition 3.3

Symétrique d’un pointSoit M et O deux points. On veut construire le point M ′ symétrique de M par rapport à O.

1. Tracer la demi-droite [MO) ;

2. On met la pointe du compas sur le point O et le crayon sur le point M , on reporte la longueurMO.

3. On laisse la pointe du compas sur le point O et on laisse une trace suffisamment grande pourqu’elle coupe la demi-droite [MO) en un point M ′.

Méthode 3.4

ConstructionTracer deux points A et I . Construire un point B symétrique du point A par rapport à I .

28 CHAPITRE 3. SYMÉTRIE CENTRALE

Propriétés de la symétrie centrale3

3 1 Droites et segments par symétrie centrale

Le symétrique d’un segment par rapport à un point est un segment qui lui est de même lon-gueur.Propriété 3.5

Exemple 3.6.

A

B

I

A′

B′ Le segment [A′B′] est le symétrique du seg-ment [AB] par rapport au point I .

IsométrieComme la symétrie centrale conserve les longueurs, on dit que la symétrie centrale est une

isométrie.Pour aller plus loin !

Le symétrie d’une droite par rapport à une droite est une droite qui lui parallèle.Propriété 3.7

Exemple 3.8.

A

B

I

A′

B′ La droite (A′B′) est le symétrique de la droite(AB) par rapport à I .

3 2 Angles par symétrie centrale

Le symétrie d’un angle par rapport à un point est un angle de même mesure et de mêmeorientation.

A

B

CI

C′B′

A′ L’angle A′B′C ′ est symétrique de l’angleABC par rapport au point I . On a : A′B′C ′ =ABC.


3.3. PROPRIÉTÉS DE LA SYMÉTRIE CENTRALE 29

3 3 Cercles par symétrie centrale

Soit un cercle C de centre O et de rayon r. Le symétrique du cercle C par rapport à un point Iest un cercle de C′ de centre O′ et de rayon r tel que O′ est le symétrique du point O par rapportI .

Propriété 3.9

Exemple 3.10.

r

r

O

I

O′

C

C′

Le cercle C′ de centre O′ et de rayon r est lesymétrique du cercle C de rayon O et de rayon rpar rapport au point I .

3 4 Polygônes par symétrie centrale

Le symétrique d’un polygone par rapport à un point est un polygone superposable. La symé-trale centrale conserve aussi les périmètres et les aires.Propriété 3.11

Exemple 3.12.

O

Le symétrique du pentagone par rapport aupoint O est un pentagone qui lui est de même pé-rimètre et de même aire.

Sur une feuille quadrilée4

Appliquer la symétrie centrale sur une feuille quadrillée

1. compter les carreaux ;

2. construire l’image point par point et dans l’ordre ;

3. pour vérifier : l’image par la symétrie centrale correspond à un demi-tour ;

4. vérifier le parallélisme.

Méthode 3.13

Construction

1. Reproduire la figure suivante sur votre cahier :


A

B

C

D

E

F

O

2. Construire le symétrique de la ligne brisée ABCDEF par rapport au point O.

Éléments de symétrie5

Exemple 3.14.1. Le triangle isocèle a un axe de symétrie (il passe par le sommet principal et le milieu du côté

opposé) mais pas de centre de symétrie.

2. Le Z a un centre de symétrie mais pas d’axe de symétrie.

3. Le symbole de la Croix Rouge a un centre de symétrie et quatre axes de symétrie.

3.5. ÉLÉMENTS DE SYMÉTRIE 31


Symétrique d’un point

1

DA

BE

C

1. Reproduire la figure sur votre cahier.

2. Construire les points A′, B′, C ′, D′ et E′ symétriquesrespectifs des points A, B, C, D et E par rapport aupoint D.

2

DA

BE

C

1. Sur la feuille, construire les symétriques des points A,B, C, D et E par rapport à D.

Symétrique d’une figure

3 Quadrilatère

O

A

C

B

D

1. Reproduire la figure sur votre cahier d’exercices.

2. À l’aide du quadrillage, construire le symétrique du qua-drilatère ABCD par rapport au point O.

4 Triangle

1. Tracer le triangle ABC.

2. Construire en bleu le symétrique du triangle ABC parrapport au point A.

3. Construire en noir le symétrique du triangle ABC parrapport au point B.

4. Construire en vert le symétrique du triangle ABC parrapport au point C.

5 Rectangle

1. Construire un rectangle IJKL tel que :

IJ = 2 cm et JK = 3 cm.

Soit A le milieu du segment [IL], B le milieu de [IK]et C celui de [BK].

2. Construrire en bleu le symétrique du rectangle IJKLpar rapport au point J .

3. Construire en noir le symétrique du rectangle IJKL parrapport au point A.

4. Construire en vert le symétrique du rectangle IJKL parrapport au point C.

6 CercleSur votre cahier d’exercices, tracer le symétrique du

cercle de centre O et de rayon 2 par rapport au point I danschaque cas de figure.


1.

0O

I

2.

O

I

3.

O

I

4.

O

I

Deux symétries : centrale et axiale

7

1. Reproduire la figure sur les carreaux de votre page decahier.

(d)

A B

C

O

2. Construire en rouge le triangle A′B′C ′, symétrique dutriangle ABC au point O.

3. Construire en vert le triangle A′′B′′C ′′, symétrique dutriangle rouge A′B′C ′ par rapport à la droite (d).

Eléments de symétrie

8 Pour chacun de ces panneaux de signalisation, indiques’il a des axes de symétries et/ou un axe de symétrie.

3.6. EXERCICES ET PROBLÈMES 33

4Nombres relatifs,découverte

C H A P I T R E

Énigme du chapitre : J’ai acheté ma calculatrice 60e. Je la revends à un de mes amis 70e.Rongé par le remords, je décide de rappler cet ami et de lui racheté la calculatrice vendue

80e. Puis, ayant besoin d’argent, je décide de la revendre 90e à un autre ami. Combienai-je gagné dans cette opération financière ?

Nombres relatifs : définition1

Nombres relatifs

a. Un nombre positif est un nombre qui est supérieur ou égal à 0b. Un nombre négatif est un nombre qui est inférieur ou égal à 0.c. Le nombre 0 est un nombre particulier : il est à la fois positif et négatif.d. Tous les nombres présentés dans la définition s’appellent les nombres relatifs.

Définition 4.1

Exemples 4.2. Nombres relatifs et vie quotidiennea. La température : on fixe comme origine la température à laquelle l’eau gèle : 0◦C. Lorsqu’on est

plus chaud que cette origine, on parle de températures positives (comme +16◦C) et lorsqu’onest plus froid que cette origine, on parle de températures négatives (comme −8◦C).

b. Les étages d’un immeuble sont repérés par rapport au niveau 0 : le rez-de-chaussée. Les étagesau dessus sont les étages positifs et les étages en dessous (cave, garages) sont les étages négatifs).On retrouve cette notation sur les commandes d’ascenseur.

c. À la banque, lorsqu’on a de l’argent sur un compte, 100e par exemple, la banque note +100.Si on dépense 150e on doit de l’argent à la banque (on doit 50e). La banque note : −50.

d. Pour situer à quelle attitude on se retrouve, on prend comme origine le niveau de la mer : c’estle niveau 0. Le sommet du Mont Blanc se trouve à 4810 mètres au dessus de ce niveau, onnote +4810. Si un sous-marin se trouve à 1200 mètres en dessous du niveau de la mer, on note−1200.

Droite graduée2

2 1 Nombres relatifs sur une droite graduée

Droite graduéeSur une droite, on repère chaque point par un nombre : son abscisse. Pour cela, on place un

point d’abscisse 0 qu’on appelle origine de la droite graduée. D’un côté, on place les nombrespositifs et de l’autre les nombres négatifs : ce sont les nombres relatifs.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

nombres positifs

nombres negatifs

Définition 4.3

Exemple 4.4.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5AB C

– L’abscisse du point A est 2.

– L’abscisse du point B est −3.

– L’abscisse du point C est −1.

36 CHAPITRE 4. NOMBRES RELATIFS, DÉCOUVERTE

2 2 Signe et distance à zéro

Écriture d’un nombre relatifUn nombre relatif est composé de deux choses :

a. d’un signe (+ ou −) ;b. d’une distance à zéro.

Définition 4.5

Exemples 4.6.a. +3 a pour signe + et pour distance à zéro 3.b. −5 a pour signe − et pour distance à zéro 5.

2 3 Opposé d’un nombre relatif

Opposé d’un nombre relatifOn dit que deux nombres relatfis sont opposés s’ils ont la même distance à zéro et ont des

signes contraires.Définition 4.7

Exemples 4.8.a. Les nombres +20 et −20 sont deux nombres opposés.b. Les nombres −5 et +5 sont deux nombres opposés.

Comparaison de deux nombres relatifs3

Comparer deux nombres n’ayant pas même signeLe nombre négatif est toujours plus petit que le nombre positif.Définition 4.9

Exemples 4.10.a. −5 < 10b. −4 < 7c. −3 < 1d. 0 < 12

Comparer deux nombres négatifsSoient deux nombres négatifs à comparer. Celui qui a la plus grande distance à zéro est le

plus petit d’entre eux.Définition 4.11

Exemple 4.12. Soit à comparer −3 et −1.

– −3 et −1 sont deux nombres négatifs.

– −3 a pour distance à zéro 3.

– −1 a pour distance à zéro 1.

– −3 a une plus grande distance à zéro que −1.

– −3 < −1.

Comparer deux nombres avec une droite graduéeDe deux nombres relatifs, le plus petit est celui des deux qui est le plus à gauche sur une

droite graduée.Définition 4.13

Exemple 4.14.

4.3. COMPARAISON DE DEUX NOMBRES RELATIFS 37

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5B C

−3 < −1


Activité TICE : Nombres relatifs

Les activités proposées se feront sur le logiciel GeoGebra. Pour vous aider, activer la Grille (Affichage > Grille).Attention ! Si vous faites autre chose que l’activité TICE et que votre professeur de mathématiques le remarque, il n’aura

pas d’autres choix que de vous mettre 1h de colle.

PARTIE A : QUADRANT

1. Placer les points A(1; 1), B(−1; 2), C(3;−2), D(−2;−1), E(3; 1), F (1;−2), G(−1; 1), H(2;−1), I le milieu de [CD],J le milieu de [BH], K le milieu de [IJ ].

2. Quels sont les coordonnées des points I , J et K ?

3. Un point appartient au :

– premier quadrant (quadrant I) si l’abscisse et l’ordonnée sont positives ;

– deuxième quadrant (quadrant II) si l’abscisse est négative et l’ordonnée positive ;

– troisième quadrant (quadrant III) si l’abscisse et l’ordonnée sont négatives ;

– quatrième quadrant (quadrant IV) si l’abscisse est positive et l’ordonnée négative.

a. Repérer les différents quadrant du plan (mettre les chiffres romains sur chaque quadrant grâce à la fonction Texte deGeoGebra).

b. Colorier en bleu clair, les points appartenant au quadrant I.

c. Colorier en vert, les points appartenant au quadrant II.

d. Colorier en rouge, les points appartenant au quadrant III.

e. Colorier en orange, les points appartenant au quadrant IV.

PARTIE B : UN DRÔLE D’ANIMALPlacer les points suivants :

– A(−1;−5)– B(2;−5)– C(5;−3)

– D(5,− 2)– E(2;−4)– F (2;−2)

– G(−1; 1)– H(1; 3)– I(1; 7)

– J(−1; 5)– K(−3; 7)– L(−3; 3)

– M(−2;−1)– N(−1;−3)– P (0;−4)

Reliez les points A−B − C −D − E − F −G−H − I − J −K − L−G−M −N − P . Quel animal avez-vousdessiné ?

PARTIE C : DISTANCE DE DEUX POINTS SUR LA DROITE GRADUÉEOn considère O l’origine d’une droite graduée et A le point d’abscisse −2.

1. Quel est l’abscisse du point O ?

2. Tracer le segment [OA] ? Quel est sa longueur ?

3. La distance entre deux points O et A correspond à la longueur du segment [OA]. Quelle est la distance entre le point Oet le point A ?

4. Placer un point B d’abscisse 2.

5. Quelle est la distance entre le point B et le point O ?

6. Quelle est la distance entre le point A et le point B ?

Si vous avez terminé, allez sur http://lewebpedagogique.com/cboulonne. Cliquersur votre classe, accédez au cahier de textes à la date du 12-03-2012. Des activités et des jeux sur lesnombres relatifs vous attendent.

4.4. ACTIVITÉ TICE : NOMBRES RELATIFS 39

http://lewebpedagogique.com/cboulonne

Activité TICE : Différences entre deux plongées

Yves est plongueur sous-marin en bouteille. Il possède une montre-bracelet étanche dans laquelle est intégré un micro-processeur qui enregistre la pronfondeur et le temps passé sous l’eau.

On va étudier, à l’aide d’un tableur grapheur, la plongée du matin et celle de l’après-midi réalisées par Yves.

PARTIE A : ÉTUDE DE LA PLONGÉE DU MATIN

1. DonnéesLes relevés de la plongée du matin sont les suivants.

Temps de plongée (en min) 0 5 8 12 18 29 34 38 40Profondeur (en m) 0 −9 −14 −20 −19 −21 −7 −5 0

1. Combien de temps a duré la plongée ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Quelle est la profondeur maximale atteinte par le plongeur ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Représentation graphiquePour présenter le tableau de valeurs et construire le nuage de points avec un tableur-grapheur, prenez pour abscisse x le

temps de plongée et pour ordonnée y la pronfondeur.

– Remplissage du tableau

– saisissez horizontalement les valeurs de x à partir de la cellule B3 ;

– saisissez horizontalement les valeurs de y à partir de la cellule B4.

– Construction du nuage de points

– sélectionnez les cellules B3 à J4 ;

– cliquez sur le menu Insertion > Diagramme ;

– selectionnnez comme type de graphique « Ligne » et choisir le graphique avec les points reliés.

– sélectionnez aussi l’option « Lignes lisses ».

– Vérifier graphiquement la durée de la plongée et la profondeur maximale atteinte par le plongeur correspondent à vosréponses aux questions 1 et 2.

– Enregistrez le fichier sous le nom plongee_matin.ods

PARTIE B : ÉTUDE DE LA PLONGÉE DE L’APRÈS-MIDI

Temps de plongée (en min) 0 3 10 15 20 28 30 38 40Profondeur (en m) 0 −5 −11 −16 −17 −10 −1 −5 0

Présentez le tableau de valeurs et construisez le nuage avec le tableur grapheur en suivant la même procédure que pour laplongée précédente.

PARTIE C : COMPARAISON DES DEUX PLONGÉESVrai ou faux ? (aidez-vous des tableaux et des graphiques tracés sur le logiciel)

1. La plongée du matin a duré le plus longtemps.2. La plongée de l’après-midi est plus profonde.3. Yves est remonté à la surface une fois durant la plongée

du matin.4. Yves est resté plus longtemps au fond le matin.5. La descente de la deuxième plongée s’est faite plus lente-

ment.

6. À la 38e minute, Yves était à la même profondeur dansles deux plongées.

7. Yves a attendu 4 heures entre les deux plongées.8. Yves est descendu à 15 m de profondeur plus rapidement

l’après-midi.9. Pour éviter un accident de décompression, le palier à 5 m

de profondeur d’environ 3 minutes avant de remonter à lasurface a été effectué dans les deux plongées.


5Les angles

C H A P I T R E

Énigme du chapitre : Sur une horloge à aiguilles, la grande aiguille se trouve sur le 12 etles deux aiguilles forment un angle de 150°. Quelle heure est-il ?

Vocabulaire1

1 1 Rappel : angles aigus, obtus, droits et plats

Angle aigu, obtu, droit, plat, nul

a. On dit qu’un angle est aigu si sa mesure est comprise entre 0 et 90 degrés.b. On dit qu’un angle est obtu si sa mesure est comprise entre 90 et 180 degrés.c. On dit qu’un angle est droit si sa mesure est égale à 90 degrés.d. On dit qu’un angle est plat si sa mesure est égale à 180 degrés.e. On dit qu’un angle est nul si sa mesure est égale à 0 degrés.

Définition 5.1

Activité A.Reconnaitre les angles

Reconnaître les angles xOy :

1 2 Angles adjacents

Deux angles sont adjacents lorsque :

– ils ont le même sommet ;

– ils ont un côté commun ;

– ils sont situés de part et d’autre du côté commun.

Définition 5.2

Exemple 5.3.

A B

CD

Les angles ACD et BCD sont adjacents.

1 3 Angles complémentaires, angles supplémentaires

Angles complémentaires, supplémentaires

a. Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90◦.b. Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180◦.

Définition 5.4

Construction

1. Tracer deux angles complémentaires non adjacents.

2. Tracer deux angles supplémentaires non adjacents.

42 CHAPITRE 5. LES ANGLES

1 4 Angles opposés par le sommet

Angles opposés par le sommetDeux angles sont opposés par le sommet lorsque :

– ils ont le même sommet ;

– leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.

Définition 5.5

Remarque 5.6. Deux droites sécantes définissent deux paire d’angles opposés par le sommet.

Exemple 5.7.

A

B

C

D

E

Les angles AED et BEC sont ooposés par lesommet.

Les angles AEC et BED sont opposés par lesommet.

Deux angles opposés par le sommet ont même mesure.Propriété 5.8

1 5 Angles alternes-internes

Angles alternes-internes (1)Deux angles formés par deux droites coupées par une sécante sont dits alternes-internes si :

a. ils sont situés de part et d’autre de la sécante ;b. ils sont situés entre les deux droites ;c. ils ne sont pas adjacents.

Définition 5.9

Angles alternes-internes (2)Soient (d1) et (d2) deux droites et (d) une droite intersectant les deux droites (d1) et (d2).Deux angles sont alternes-internes s’ils sont entre (d1) et (d2), l’un d’un côté de (d) et l’autre

de l’autre côté de (d).

Définition 5.10

Exemple 5.11.

(d1)

(d2)

(d)A

B

C

D

E

F

G

H

Les angles AGH et GHD sont alternes-internes.

Les angles BGH et GHC sont alternes-internes.

Angles alternes-externesDeux angles formés par deux droites coupées par une sécante sont dits alternes-externes si :

– ils sont situés de part et d’autre de la sécante ;

– ils sont situés à l’extérieur des deux droites ;

– ils ne sont pas adjacents.

Dans l’exemple précédent, les angles AGE et FHD sont alternes-extrenes.


5.1. VOCABULAIRE 43

1 6 Angles correspondants

Angles correspondantsSoient (d1) et (d2) deux droites et (d), une droite coupant (d1) et (d2).Deux angles sont correspondants s’ils sont du même côté de (d), l’un entre (d1) et (d2) et

l’autre non.

Définition 5.12

Exemple 5.13.

(d1)

(d2)

(d)A

B

C

D

E

F

G

H

Les angles

a. AGE et CHG

b. BGE et DHG

c. FHD et HGB

d. AGH et CHF

sont correspondants.

Droites parallèles et angles2

Activité C.Droites parallèles et angles (TICE)

1. Sur GeoGebra, placer un point A et un point I .

2. Tracer A′ le symétrique du point A par rapport à I .

3. Placer un point B et la droite (AB).

4. Tracer B′ le symétrique du point B par rapport à I .

5. Que peut-on dire des droites (AB) et (A′B′).

6. Tracer la droite (AA′). Placer un point C n’appartenant pas au segment [AA′] et placer un point D n’appartenant ni ausegment [AA′], ni à la demi-droite [A′C).

7. Nommer deux angles alternes-internes. Tracer-les (en vert) sur la figure.

8. Nommer deux angles correspondants. Tracer-les (en rouge) sur la figure.

9. Que peut-on dire des mesures des angles alternes-internes ? Que peut-on dire des mesures des angles correspondants ?

2 1 Propriétés : droites parallèles et angles

Si deux droites sont parallèles alors toute sécante commune forme des angles alternes-internes de même mesure.

Propriété 5.14

Si deux droites sont parallèles alors toute sécante commune forme des angles correspondantsde même mesure.

Propriété 5.15

Exemple 5.16.


2 2 Proprités réciproques : droites parallèles et angles

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même me-sure alors ces droites sont parallèlesPropriété 5.17

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesurealors ces droites sont parallèlesPropriété 5.18

Exemple 5.19.

5.2. DROITES PARALLÈLES ET ANGLES 45

AÉvaluations

A N N E X E

Devoir maison no 1

1 Géométrie et opérations

1. G est un point sur le segment [AB]. Calculer la longueur du segment [AB] sachant que AG = 7 cm et BG = 17 cm.

2. F est un point de la demi-droite [ED) n’appartenant pas au segment [ED] tel que EF = 1000 m et DF = 127 m.Calculer la longueur du segment [ED].

Indications : on peut tracer une figure géométrique pour visualiser le problème.

2 Interprétation de graphiquesVoici les gains de médailles d’or aux Jeux Olympiques de Pékin en 2008 pour 9 pays.

05

10152025303540455055

Alle

mag

ne

Aus

tral

ie

Chi

ne

Esp

agne

Eta

ts-U

nis

Fran

ce

Gra

nde-

Bre

tagn

e

Ital

ie

Rus

sie

1. Recopier et, à l’aide du graphique, compléter le tableau.

Pays Nombre de médialles d’orAllemagne 16Australie · · ·· · · · · ·

2. Quel est, parmi ces neuf pays, celui qui a remporté le plusde médailles d’or ?

3 Symétrie axialeReproduire et colorier le minimum de cases pour que la figure obtenue soit symétrique par rapport aux deux axes

(rouges).

4 Tracer des anglesTracer les segments [AB] et [BC] de longueur 3 cm chacun tels que :

1. ABC = 35° ;

2. ABC = 90° ;

3. ABC = 124° ;

4. ABC = 180°.

48 ANNEXE A. ÉVALUATIONS

Évaluation écrite no 1 - 5A

1 Simplification des fractions (3 pts)Simplifier les fractions suivantes :

1.24

2.46

3.927

4.2718

5.545

6.27

2 Pourcentages (2 pts)Dans un collège de 310 élèves, il y a 80% de demi-pensionnaires ? Combien y-a-t-il de demi-pensionnaires dans ce

collège ?Note : Le détail des calculs sera attendu.

3 Lecture d’un tableau statistiques (2 pts)Voici, pour l’année 2012, ce que les habitants de six pays européens ont dépensé en moyenne en achat sur Internet.

Pays Royaume-Uni Allemagne France Italie Espagne FinlandeDépense moyenne par hab. 110e 50e 80e 20e 10e 200e

1. Quel est le pays qui a la plus forte dépense moyuenne sur Internet par habitant ? Indiquer la dépense moyenne de cepays dans votre phrase réponse !

2. Quel est le pays qui a la moins forte dépense moyuenne sur Internet par habitant ? Indiquer la dépense moyenne de cepays dans votre phrase réponse !

4 Vocabulaire du cercle (3 pts)

O

A

B

C Sur la figure :

– A, B et C sont sur le cercle de centre O ;

– A, O et B sont alignés.






d. La portion de cercle comprise entre les points A et Cest l’. . ..

A.2. ÉVALUATION ÉCRITE NO 1 - 5A 49

Correction - EE1 5A

1 Simplification de fractions

1. 24 = 1×�2

2×�2= 1

2

2. 46 = 2×�2

3×�2= 2

3

3. 927 = 3×�3

9×�3= 3

9 = 1×�33×�3

= 13

4. 2718 = 3×�9

2×�9= 3

2

5. 545 = 1×�5

9×�5= 1

9

6. 27 = 2×�1

7×�1= 2

7 (fraction irréductible)

2 PourcentagesLes 80% des 310 élèves, c’est :

310× 80100 = 24800

100 = 248.

Il y a 248 élèves demi-pensionnaires dans ce collège.

3 Lecture d’un tableau statistiques

1. En 2012, la Finlande est le pays qui a la plus forte dépense moyenne sur Internet par habitant. Elle a dépensé, par habitant,en moyenne 200e.

2. En 2012, l’Espagne est le pays qui a la moins forte dépense moyenne sur Internet par habitant. Elle a dépensé, parhabitant, en moyenne 10e.


1. Un rayon du cercle C est le segment [OC]. Un diamètre du cercle C est le segment [AB].2. a. Le point O est le milieu du segment [AB].

b. Le point O est une extérmité du segment [OC].c. A et B sont les extrémités du segment [AB].

d. La portion de cercle comprise entre les points A et C est l’arc de cercle_AC.


Évaluation écrite no 1 - 5D

1 Comparaison des nombres (3 pts)

Comparer les nombres suivants (utiliser les symboles <, >, =) :

1. 12,05 et 17,052. 21,09 et 21,10

3. 19,212 et 19,2104. 20,1603 et 20,1613

5. 1710 et 17,1

6. 16,1 et 16,19

2 Simplification des fractions (3 pts)Simplifier les fractions suivantes :

1.24

2.146

3.96

4.927

5.728

6.13

3 Pourcentages (2 pts)

Dans un collège de 310 élèves, il y a 80% de demi-pensionnaires ? Combien y-a-t-il de demi-pensionnaires dans cecollège ?

Note : Le détail des calculs sera attendu.

4 Vocabulaire du cercle (2 pts)

O

A

B

C Sur la figure :









5 ÉnigmeL’énigme suivante ne rentre pas en compte avec la notation de l’interrogation. Elle vous permettra si elle est bien traitée

d’avoir un point de plus sur la note finale.

Trouver A, B, C et D tels que 0 < A < B < C < D < 100 et :

multiple de ↓ A B C D

2 × × × ×3 × × × ×4 × × ×5 ×79 × × ×

A.4. ÉVALUATION ÉCRITE NO 1 - 5D 51

Correction EE1 - 5D

1 Comparaison des nombresMéthode : Comparer chiffre par chiffre

1 2 , 0 5= 2 < 71 7 , 0 5

d’où 12,05 < 17,05

1. 12,05 < 17,052. 21,09 < 21,10

3. 19,212 > 19,2104. 20,1603 < 20,1613

5. 1710 = 1,7 < 17,1

6. 16,1 < 16,19

2 Simplification des fractions

1. 24 = 1×�2

2×�2= 1

2

2. 146 = 7×�2

3×�2= 7

3

3. 96 = 3×�3

2×�3= 3

2

4. 927 = 1×�9

3×�9= 1

3

5. 728 = 1×�7

4×�7= 1

4

6. 13 = 1×�1

3×�1= 1

3 (fraction irréductible)

3 PourcentagesLes 80% des 310 élèves, c’est :

310× 80100 = 24800

100 = 248.

Il y a 248 élèves demi-pensionnaires dans ce collège.


1. Un rayon du cercle C est le segment [OC]. Un diamètre du cercle C est le segment [AB].2. a. Le point O est le milieu du segment [AB].

b. Le point O est une extérmité du segment [OC].c. A et B sont les extrémités du segment [AB].

d. La portion de cercle comprise entre les points A et C est l’arc de cercle_AC.

5 ÉnigmeLes nombres

A = 18, B = 36, C = 60, D = 72

conviennent.


DM no 2 de Mathématiques

1 Ecriture décimale et fractionnaire (6 pts)Écrire les quotients suivants sous la forme de nombre décimal et sous forme d’une fraction.

1. 6÷ 25 2. 17÷ 4 3. 22÷ 13

2 Devinettes (2 pts)

1. Par quel nombre faut-il multiplier 23 pour obtenir 2 ?

2. Par quel nombre faut-il multiplier 710 pour obtenir 7 ?

3 Football (8 pts)Le club de football de Roubaix a un effectif de plus de 150 joueurs.

Les joueurs se repartissent ainsi :

– 1 joueur sur 10 est gardien de but ;

– 2 joueurs sur 10 sont défenseurs ;

– 3 joueurs sur 10 sont milieux de terrain ;

– les autres joueurs sont attaquants.

1. Tracer un rectangle de 10 cm de longueur et 3 cm de largeur.

2. Colorier la surface de ce rectangle pour représenter :

– en orange, la proportion des gardiens de but ;

– en bleu, la proportion de défenseurs ;

– en jaune, la proportion de milieux de terrain ;

– en vert, la proportion d’attaquants.

3. Quelle est la proportion d’attaquants dans ce club de football ?

4 Au choix ! (4 pts)Les parents de Léa laissent, à leur fille, le choix entre quatre options pour son argent de poche :

1. « Chaque semaine, je te donne les 34 de 120e » ;

2. « Chaque jour, je te donne 12e » ;

3. « Chaque mois, je te donne les 13 de 1125e » ;

4. « Tous les deux mois, je te donne les 12 de 1200e.

Sachant qu’il y a sept jours dans une semaine et 4 semaines par mois (environ !), quelle est l’option la plus rentable sur deuxmois ?

Indice : comme il y a 4 semaines dans un mois, il y a donc 28 jours par mois.

A.6. DM NO 2 DE MATHÉMATIQUES 53

Evaluation écrite no 2

1 Reconnaître les droites remarquables (5 pts)À l’aide de la figure suivante, on considère le triangle ABC. I milieu de [AB], J milieu de [AC], K milieu de [BC].

(d1)

(d2)(d3)

(d4)

(d5)

A

B

C

I

KJ

1. (d1) est une . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . du triangle ABC.





2 Tracer des droites remarquables (5+1 pts)La question étoilée (1.(d)) est hors barème, elle vous rapporte un point de plus si elle est bien traitée.

1. Tracer un triangle ABC quelconque.

a. Tracer la hauteur issue de A du triangle ABC.

b. Tracer une bissectrice de l’angle ABC.

c. Tracer la médiatrice du segment [AB].d. F À quels conditions, ces droites s’intersectent en un seul point ?

2. Tracer un triangle ISO isocèle en I .

a. Tracer la médiatrice du segment [SO].b. Tracer la hauteur issue du point I . Que remarquez-vous ?

3 Énigme de l’évaluation (+1 pt)L’énigme est hors barème, elle vous rapporte un point de plus si elle est bien traitée.

Placer le point C pour que le cercle soit circonscrit autriangle, sachant que (∆) est la médiatrice du côté [BC].


DM no 2S de Mathématiques

1 Reconnaître les droites remarquables d’un triangle (5 pts)

Recopier les phrases suivantes sur votre copie et compléterles pointillés.






2 Cercle circonscrit (5 pts)

Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC. (L’exerciceest à faire sur la feuille d’énoncé, n’oubliez pas de joindrevotre énoncé à votre copie).

3 Écriture décimale (5 pts)Donner l’écriture décimale (par exemple : 1

2 = 0,5) des fractions suivantes :

1. 14

2. 34

3. 112

4. 18

5. 532

4 Diviseurs de 18 (5 pts)Déterminer tous les diviseurs du nombre 18.

A.8. DM NO 2S DE MATHÉMATIQUES 55

Évaluation écrite no 3

1 Diviseurs de 8 (4 pts)Trouver tous les diviseurs de 8.

2 La famille QuedéjiLa famille Quedéji est constituée de huit personnes :

– Josette (48 ans)

– José (47 ans)

– Josiane (22 ans)

– Jacinthe (16 ans)

– John (14 ans)

– Jacques (14 ans)

– Jason (11 ans)

– Jérémy (8 ans)

Dans cette famille, quelle est la proportion de :

1. filles ?

2. garçons ?

3. personnes majeurs ? (on est majeurs à partir de 18 ans)

4. garçons mineurs ?

3 Simplification (6 pts)Simplifier au maximum les fractions suivantes :

1.24

2.614

3.1824

4.2515

5.721

6.17

4 Comparer (6 pts)Compléter les pointilés par les symboles < ou >.

1.35 . . . . . . . . .

75

2.213 . . . . . . . . .

113

3.75 . . . . . . . . . 1

4.57 . . . . . . . . . 1

5.113 . . . . . . . . .

112

6.128 . . . . . . . . .

129


DM de mathématiques no 3 : Symétrie centrale

1 Droites et symétrie centrale

1. Tracer deux droites (d) et (d′) sécantes en un point A.

2. Placer un point O qui n’appartient ni à (d), ni à (d′).

3. Construire les symétriques des droites (d) et (d′) par rapport au point O.

4. Quel est le symétrique du point A par rapport au point O ? Justifier la réponse.

2 Diamètres de cercle

1. Tracer un cercle (C).Tracer deux diamètres [AB] et [EF ], ces quatre points devant être distincts.

2. Démontrer que les droites (AE) et (BF ) sont parallèles.Indiciations : penser à la symétrie. . .

3 Périmètre et aire

1. Construire un carré ABCD de côté 4 cm. Colorier sa surface en vert.Placer le point I , milieu du segment [AC], et le point J , milieu du segment [IC].

2. Construire le symétrique du carré ABCD par rapport au point J . Colorier sa surface en vert.

3. a. Calculer le périmètre de toute la figure verte.

b. Calculer son aire.

4 Un peu de coloriage

1. Tracer trois cercles de rayon 2 cm, numéroter les cercles.

2. Partager chacun des cercles en 8 parties égales.

3. Colorier le cercle 1 en quatre couleurs différentes pour qu’il admette un seul axe de symétrie.

4. Colorier le cercle 2 en quatre couleurs différentes pour qu’il admette un centre de symétrie.

5. Colorier le cercle 3 en cinq couleurs différentes pour qu’il admette un seul axe de symétrie.

Conseil : Faites un brouillon avant de colorier les cercles sur votre copie de DM.

A.10. DM DE MATHÉMATIQUES NO 3 : SYMÉTRIE CENTRALE 57

Évaluation écrite no 4 : Symétrie centrale

Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classe : . . .. . .. . .. . .

— À FAIRE SUR LA FEUILLE —

1 Reconnaitre une symétrie centrale (4 pts)Dans chaque cas, dire si le bateau bleu est le symétrique du bateau noir par rapport au point G.

2 Reconnaître des éléments de symétries (4 pts)Sur chaque panneau de signalisation présenté, indiquer les axes de symétries et les centres de symétries.

3 Avec un quadrillage (4 pts)En vous aidant du quadrillage, tracer le symétrique du

champignon par rapport au point I .

I

4 Symétrique d’un triangle équilatéral (4 pts)Au dos de la feuille,

1. Tracer un triangle équilatéral EQU tel que EQ = 3 cm.

2. Tracer O le centre du cercle circonscrit au triangle EQU .

3. Tracer le triangle E′Q′U ′ le symétrique du triangle EQUpar rapport au point O.

4. Quel est le centre du cercle circonscrit du triangleE′Q′U ′ ?

5 Angles et symétrie centrale (4+1 pts)

1. Tracer le segment [AB] tel que AB = 4 cm.

2. Tracer O le milieu de [AB].

3. Placer C tel que AOC = 30°.

4. Placer D tel que COD = 90°.

5. Tracer E le symétrique du point C par rapport à O.

6. Tracer F le symétrique du point D par rapport à O.

7. Quelle est la nature des triangles DOE et COF ?F Justifier votre réponse.

Conseils : mettre toutes les informations connues sur lafigure (mesure d’angle, marquage de milieu) et utiliser toutesles propriétés vues en cours sur la symétrie centrale.


Évaluation écrite no 5 : Nombres relatifs, découverte

Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classe : . . .. . .. . .. . .

— À FAIRE SUR LA FEUILLE —

1 À propos du nombre −4

1. Quel est le signe de −4 ?

2. Quel est la distance à zéro de −4 ?

3. Quel est l’opposé de −4 ?

4. Placer −4 sur une droite graduée.

2 ComparaisonCompléter les pointillés par <, > ou =.

1. −3 . . . . . . . . . 0 2. −1,5 . . . . . . . . .− 1,7 3. 10 . . . . . . . . .− 4 4. −3,70 . . . . . . . . .− 3,700

3 Ranger dans l’ordre croissantRanger, dans l’ordre croissant, les nombres suivants :

−1,3 ; 2 ; 0 ; −2,7.

Pour les deux derniers exercices, on considère le repère orthonormée suivant :

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

0

A

B

C

D

4 Donner les coordonnées du point :

1. A 2. B 3. C 4. D

5 Placer les points suivants :

1. E(1; 1) 2. F (−2;−4) 3. G(2;−3) 4. H(−3,− 2)

A.12. ÉVALUATION ÉCRITE NO 5 : NOMBRES RELATIFS, DÉCOUVERTE 59

BFiches méthodes

A N N E X E

Simplifier des fractions1

Un agriculteur partage sa pacerelle en 6 parts égales, il doit cultiver 4 parts aujourd’hui. Un autreagriculteur partage sa pacerelle (de même surface que le premier agriculteur) en 9 parts égales, il doitcultiver 6 parts aujourd’hui. Les deux agriculteurs ont labouré la même surface de terrain. Le premiera labouré 4

6 de son terrain et le second 69 . On dit alors que les deux fractions 4

6 et 69 sont équivalentes

(ou égales).

Pour obtenir une fraction équivalente à une fraction donnée, on multiplie ou on divise lenumérateur et le dénominateur de cette fraction par un même entier naturel non nul.Propriété B.1

Simplifier une fractionSimplifier une fraction par un nombre m non nul (et différent de 1) revient à diviser le numé-

rateur et le dénominateur de cette fraction par ce nombre m. On obtient les fractions équivalentes :

ma

mb= a

b.

Définition B.2

Fraction irréductibleUne fraction est irréductible lorsque l’on ne peut plus la simplifier.Définition B.3

Exemple B.4. 17 est une fraction irréductible car :

17 = �1× 1

�1× 7 = 17 .

Simplifier une fractionOn veut, par exemple, simplifier la fraction 15

25 .

1. On décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs plus petit en essayant de trouverdes facteurs communs :

15 = 3× 5

25 = 5× 5

Aide : Écrire la table de multiplication de 1 à 10 et repérer une colonne ou une ligne où il y ales deux nombres à décomposer.

2. Ecrire cette décomposition dans la fraction et supprimer les facteurs en commun :

1525 = 3× �5

5× �5= 3

5

3. Vérifier que la fraction ne peut plus se simplifier :

35 = 3× �1

5× �1= 3

5

Conclusion : 35 est une fraction irréductible.

Méthode B.5

— Exercices au dos de la feuille —

62 ANNEXE B. FICHES MÉTHODES

Exercices d’applications

1 DécomposerDécomposer les deux nombres en facteurs plus petits (si possible, chercher des facteurs communs) :

1. 2 et 42. 3 et 93. 18 et 64. 27 et 185. 9 et 36

6. 27 et 367. 25 et 158. 15 et 409. 7 et 28

10. 26 et 91

2 SimplifierSimplifier les fractions suivantes au maximum :

1. 24

2. 39

3. 186

4. 2718

5. 936

6. 2736

7. 2515

8. 1540

9. 728

10. 2691

11. 818

12. 13

13. 14

14. 79

15. 104

16. 820

17. 1378

18. 12166

19. 1000120

20. 10217

3 Équivalence, surface totaleDans chaque cas, indiquer les fractions de la surface totale coloriée et dire si ces deux fractions sont équivalentes ou non.

1.

2.

3.

4.

4 ÉquivalenceDire si les deux fractions sont équivalentes :

1. 12 et 3

62. 3

8 et 248

3. 24 et 18

364. 1

7 et 18

5. 34 et 27

36

6. 412 et 1

37. 2

9 et 418

8. 29 et 1

99. 4

9 et 59

10. 134 et 169

52

B.1. SIMPLIFIER DES FRACTIONS 63

Pourcentages2

PourcentageUn pourcentage est un rapport de proportionnalité ramené à 100. On peut l’écrire sous la

forme du’ne fraction décimale dont le dénominateur est 100.Définition B.6

Exemples B.7.a. Si dans un collège il y a 27% d’élèves qui sont en 4e, cela signifieque s’il y avait 100 élèves dans

ce collège, il y en aurait 27 en 4e.b. Si le prix d’un CD augmente de 6%, cela signifie que si le prix du CD était de 100e, alors le

prix va augmenter de 6e.

Appliquer un pourcentageSoit N un nombre (ou une quantité) et p un pourcentage, appliquer p% à N , c’est calculer :

N × p÷ 100 = N × p

100 .

Méthode B.8

Exemples B.9.a. Appliquer 22% au nombre 400, c’est effectuer :

400× 22100 = (400÷ 100)× 22 = 4× 22 = 88.

On obtient 88.b. Dans un collège de 460 élèves, il y a 55% de filles. Calculer le nombre de filles et de garçons.

On remarque que s’il y a 55% de filles, il reste 45% de garçons.Le nombre de filles est égale à :

total élèves × pourcentage filles100 = 460× 55

100 = 253.

Il y a donc 253 filles dans le collège.(Question : en déduire le nombre de garçons dans ce même collège.)

Appliquer un pourcentage : tableaux de proportionnalitéLorsque les nombres en présence sont simples, il est souvent plus rapide de penser à la pro-

portionnalité.Par exemple, appliquer 22% au nombre 400.

100

?22

400

×4

Ici, on remarquera que 400 c’est 4 fois 100 ; donc 22% de 400 c’est 4× 22, c’est-à-dire 88.

Méthode B.10

— Exercices au dos de la feuille —


Exercices d’applicationsAppliquer un pourcentage

1 Appliquer un pourcentage : tableauCompléter le tableau suivant :

↓ Les \ de→ 5 10 200 75050%70%200%

2 QCM : appliquer un pourcentageEntourer, dans chaque cas, la bonne réponse :

1. Les 30% de 300, c’est :

� 30 � 60 � 90

2. Les 80% de 200, c’est :

� 16 � 160 � 280

3. Les 100% de 55, c’est :

� 55 � 550 � 5,5

3 4%Calculer 4% de 152e

4 ProfessoratDans un collège de 130 professeurs, il y a 60% de femmes qui enseignent. Combien y-a-t-il de professeurs masculins ?

5 Espace vertEnzo prend livraison d’une tondeuse coûtant 1100e.Il a déjà versé 30% à la commande. Combien lui reste-t-il à payer ?

6 Élection cantonaleSur 3500 votants, M. Propre a obtenu 25% des voix, M. Rétro en a obtenu 35% et Mme Rose 40%.

1. Calculer le nombre de voix obtenu par chacun des candidats.

a. M. Propre ;

b. M. Rétro ;

c. Mme Rose.

2. Sur un diagramme circulaire (ou « camenbert »), on veut construire 3 secteurs représentant le vote.

Pourcentages 25 35 40 100Degrés 360

Donner les angles correspondant au secteur représentant la proportion de vote de :

a. Angle de M. Propore ;

b. Angle de M. Rétro ;

c. Angle de Mme Rose.

3. Construire les 3 secteurs et les colorier de 3 couleurs différentes.

B.2. POURCENTAGES 65

Vocabulaire géométrique3

3 1 Segment

SegmentOn appelle segment, une portion de droite délimitée par deux points. Ces deux points sont les

extrémités du segment.Définition B.11

Exemple B.12.

A

B Un segment reliant deux points A et B est noté[AB].

Les extrémités du segment [AB] sont lespoints A et B.

Milieu du segment

Soit A et B deux points et M appartenantau segment [AB]. On dit que M est le milieudu segment [AB] si AM = MB. A

B

MDéfinition B.13

3 2 Cercle

CercleUn cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d’un point

qu’on nomme centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle.Définition B.14

Exemple B.15.

O

M Le cercle C de centre O et de rayon 2 cm peutêtre représentée de la manière suivante.

Un point M est sur le cercle si OM = 2 cm.

Vocabulaire du cercleSur la figure ci-dessous, on a représenté le cercle C de centre O et de rayon 2.

C

O

A

B

C

a. Le segment [OC] est un rayon du cercleC.

b. Le segment [AB] est un diamètre ducercle C. Le point O, centre du cercle Cest le milieu du rayon [AB].

c. La portion de cercle comprise entre les

points A et C est l’arc de cercle_AC.

Définition B.16



1 Des segmentsDonner les extremités de chaque segment rencontré dans la figure. La phrase réponse attendue est à chaque fois : « Le

segment [. . . . . . ] a pour extrémités les points . . . et . . . ».

A

B

C

D

E

F

GH

I

J

2 Tracer les cercles

1. Tracer :a. le cercle C de centre O et de rayon 2 cm ; b. le cercle C′ de centre P et de rayon 1,5 cm.

2. Tracer un point M appartenant au cercle C et N appartenant au cercle C′. Quelle est la longueur des segments [MO] et[NP ] ? Que représentent les segments [MO] et [NP ] pour les cercles C et C′ ?

3. Tracer des points A, B sur le cercle C tel que O appartienne au segment [AB]. Que représente le segment [AB] pour lecercle C ?

4. Tracer des points C et D sur le cercle C′ tel que P appartienne au segment [CD]. Que représente le segment [CD] pourle cercle C′ ?

5. Mesurer les angles AOM et CPN . Que représentent la portion de cercle comprise entre les points A et M ; C et N ?

3 Retour aux sources

O

A

B

C Sur la figure :









B.3. VOCABULAIRE GÉOMÉTRIQUE 67

Réduire au même dénominateur4

4 1 Propriété des quotients

Propriété des quotientsSi a,b et k sont trois nombres tels que b 6= 0 et k 6= 0 alors :

a

b= a× k

b× ket

a

b= a÷ k

b÷ k.

Autrement dit, le quotient ne change pas lorsque l’on multiple ou l’on divise son numérateuret son dénominateur par un même nombre non nul.

Propriété B.17

Exemples B.18.a. 2

3 = 2×33×3 = 3

9 ;

b. 155 = 3×5

1×5 = 31 = 3.

4 2 Réduire au même dénominateur

Il faut réduire au même dénominateur des fractions pour les comparer, les additionner ou les sous-traire. Cette technique doit être maitrisé pour pouvoir faire les trois opérations précédentes.

Réduire au même dénominateurRéduire deux fractions au même dénominateur, c’est trouver des fractions qui leurs sont équi-

valentes (égales) et qui ont le même dénominateur.Définition B.19

Exemple B.20. Réduire au même dénominateur les fractions 23 , 7

6 et 318 .

Les fractions 1218(= 2

3), 2118(= 7

6) et 318 conviennent.

Réduire au même dénominateurLe but est de trouver un multiple des dénominateurs deux fractions à réduire au même déno-

minateur. Ce multiple sera le dénominateur des deux nouvelles fractions.

1. Repérer le plus grand dénominateur des fractions à réduire au même dénominateur.

2. Dresser la liste de ces multiples jusqu’à obtenir un multiple de l’autre.

Une deuxième méthode consiste à multiplier entre eux les dénominateurs si les dénominateurs nesont pas trop grands (ou en dernier recours).

Si l’un des deux dénominateurs est multiple de l’autre, on garde le plus grand des deux et onmultiplie l’autre par un entier pour retrouver le premier dénominateur.

Méthode B.21

Exemple B.22. Soit à réduire au même dénominateur 724 et 9

32 .Le plus grand des dénominateurs est 32. On liste les multiples de 32.– 32 n’est pas multiple de 24 ;– 32× 2 = 64 n’est pas multiple de 24 ;– 32× 3 = 96 est un multiple de 24 (24× 4 = 96).

Ainsi, on peut multiplier par 4 le numérateur et le dénominateur de la première fraction et par 3 lenumérateur et le dénominateur de la seconde fraction.

724 = 7× 4

24× 4 = 2896 et

932 = 9× 3

32× 3 = 2796 .

Exemple B.23. Rendre au même dénominateur 13 et 1

7 . On peut multiplier les deux dénominateursentre eux pour obtenir le dénominateur commun :

13 = 1× 7

3× 7 = 721 et

17 = 1× 3

7× 3 = 321 .


Exemple B.24. Rendre au même dénominateur les fractions 23 , 7

6 et 318 . On remarque que :

– 18 est multiple de 6 (6× 3 = 18)

– 18 est multiple de 3 (3× 6 = 18)

Pour mettre au même dénominateur les fractions, on multiple par 6 le numérateur et le dénominateurde la première fraction, par 3 le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction :

23 = 2× 6

3× 6 = 1218 ,

76 = 7× 3

6× 3 = 2118 et

318 .


1 Réduire au même dénominateur.

1. 53 et 19

12 ;

2. 116 et 7

42 ;

3. 932 et 5

4 ;

4. 725 et 11

100 ;

5. 23 et 2

18 ;

6. 34 et 1

16 ;

7. 28 et 3

4 ;

8. 1015 et 3

5 ;

9. 34 et 3

16 ;

10. 1012 et 8

4 .

2 Réduire au même dénominateur (en multipliant les dénominateurs entre eux).

1. 12 et 1

3 ;

2. 12 et 1

3 ;

3. 23 et 1

7 ;

4. 13 et 2

4 ;

5. 27 et 3

8 ;

6. 13 et 1

8 ;

7. 27 et 1

4 ;

8. 12 et 1

21 ;

9. 23 et 1

11 ;

10. 111 et 1

2 .


1. 324 et 4

32 ;

2. 716 et 2

24 ;

3. 118 et 2

27 ;

4. 327 et 5

36 ;

5. 512 et 7

18 ;

6. 849 et 3

21 ;

7. 321 et 4

36 ;

8. 218 et 1

21 ;

9. 815 et 2

25 ;

10. 714 et 1

3 .


1. 45 et 12

7 ;

2. 1721 et 13

22 ;

3. 2132 et 23

7 ;

4. 123 et 12

4 ;

5. 1230 et 11

31 ;

6. 1050 et 1

15 ;

7. 2128 et 2

16 ;

8. 1321 et 3

23 ;

9. 172103 et 16

2102 ;

10. 1013405 et 12

13406 .

B.4. RÉDUIRE AU MÊME DÉNOMINATEUR 69

CExercices AAD (AideAux Devoirs) etsoutien

A N N E X E

Le principal du collège Albert Samain m’a demandé de donner des exercices au classe de5eA pour des séances « Aide aux devoirs ». Les voici !

Triangles particuliers

Triangle isocèle

Note : Lire la feuille en entier et faire les exercices d’applications non étoilés. Les exercices étoilés sont plus « difficiles »et sont réservés aux plus rapides d’entre vous !

Triangle isocèleOn dit qu’un triangle ABC est un triangle isocèle en A si AB = AC. A est le sommet

principal du triangle, le segment [BC] est la base du triangle et les angles ABC et ACB sont lesangles à la base.

Définition C.1

Construction du triangle isocèles en connaissant la longueur de deux côtésSoit ABC un triangle isocèle en A dont on connaît la longueur des trois côtés.

1. On construit le côté [BC] à la règle.

2. Au compas, on prend la mesure d’un deuxième côté.

3. On pointe le point B et on fait une trace au dessus du segment [BC].4. On garde l’écart avec son compas, on pointe le point C et on fait une trace au dessus du

segment [BC].5. Le point A est l’intersection des deux traces (prolonger les traces si elles ne se rencontrent

pas).

Méthode C.2


1

1. Construire un triangle ABC isocèle en A tel que AB = 3 cm et BC = 2 cm.2. Construire un triangle ABC isocèle en B tel que AC = 5 cm et AB = 3 cm.3. Construire un triangle ISO isocèle en I tel que IS = 4 cm et SO = 3 cm.

2 Mesurer les côtés de chaque triangle et dire s’il est isocèle (si oui, en quels points) ou non ?

1. A B

C

2. A B

C

3. I S

O

4. A

B

C

3 F Les angles du triangles isocèleRappel : dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux (voir le cours et l’exemple 1.5.

1. Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BAC = 80°. Calculer les autres angles du triangle ABC.

2. Soit ABC un triangle isocèle en A tel que ABC = 65°. Calculer les autres angles du triangle ABC.3. Est-il possible de tracer un triangle isocèle dont les angles à la base sont égaux à 89° ? Justifier par la propriété fonda-

mentale sur la somme des angles d’un triangle ?

72 ANNEXE C. EXERCICES AAD (AIDE AUX DEVOIRS) ET SOUTIEN

Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur.Définition C.3

Construire un triangle équilatéral connaissant une longueurSoit ABC un triangle équilatéral.

1. Construire le côté [AB].

2. Tracer l’angle BAC.

3. Tracer l’angle ABC.

4. Faire rencontrer les droites en un point C.

5. Nous obtenons trois points A, B et C formant le triangle ABC.

Méthode C.4


4 Construire un triangle ABC équilatéral tel que AB = 5 cm. N’oubliez pas de préciser les côtés de même longueur etles angles de même mesure.

Remarque C.5. Les angles d’un triangle équilatéral sont tous égaux et mesurent 60°.

Triangle rectangle

Triangle rectangleOn dit que ABC est un triangle rectangle en A si BAC = 90°. Le plus long de ces côtés est

appelé l’hypoténuse du triangle rectangle.Définition C.6

Tracer un triangle rectangle connaissant la longueur des deux côtés adjacents à l’angle droitSoit ABC un triangle rectangle en A dont on connait les mesures de [AB] et [AC].

1. Tracer le côté [AB] avec une règle.

2. Tracer le côté [AC] avec une équerre (BAC = 90°).

3. On obtient alors trois points A, B et C qui constituent le triangle ABC.

Méthode C.7


5

1. Construire un triangle REC rectangle en R tel que RE = 4 cm et RC = 3 cm.

2. Construire un triangle MES rectangle en E tel que ME = 5 cm et ES = 6 cm.

3. F Construire un triangle MIN rectangle en M tel que MI = 4 cm et MIN = 45°.

6 F Les angles du triangle rectangle

1. Soit ABC un triangle rectangle en A tel que ABC = 30°.

2. Soit REC un triangle rectangle en R tel que REC = 65°.

3. Que peut-on dire des angles d’un triangle rectangle isocèle ?

C.1. TRIANGLES PARTICULIERS 73

Reconnaissance de triangles

Exercices d’applicationsDe http ://mathsenligne.net7


Soutien : fractions

Niveau faible

1 Numérateur et dénominateurPour chaque fraction, donner le numérateur et le déno-

minateur de la fraction.

1. 12

2. 45

3. 3210

4. 137

5. 125

6. 478

2 Colorier les trois quarts de la surface de chaque figure.

3 Parmi ces écritures fractionnaires :

110 ; 2

0,5 ; 37 ; 4

10; 52,5 ; 0,5

0,4 ; 34 ; 0,15

0,123612 ; 22

10,5 ; 3,52,4 : 2

2 ; 3717 ; 0,5

0,12 ; 172 ; 15

41. écrire celles qui sont des fractions ;

2. écrire celles qui sont inférieurs à 1 ;

3. écrire celles qui sont égaux à 1 ;

4. écrire celles qui sont supérieurs à 1.

4 Un pas vers la comparaison

1. Complète avec le symbole qui convient :

712 . . . . . . 1 et

58 . . . . . . 1

2. Cela permet-il de comparer les deux fractions 712 et 5

8 ?Pourquoi ?

3. Tracer deux rectangles de dimensions 6× 4 (carreau).

4. Colorier, sur le premier rectangle, les 712 du rectangle.

5. Colorier, sur le second rectangle, les 58 du rectangle.

6. Quel est le rectangle qui a le plus de cases coloriées ?

7. Conclure sur la comparaison des fractions 712 et 5

8 .

Niveau fort

5 PartagePour chaque figure, indique la fraction de la surface to-

tale qui est colorée.

6 Sur une droite graduéeTracer sur une demi-droite graduée les points de coor-

données :A(2

7) B(13) C(12

4 ) D(38).

7 Aire et périmètreUn rectangle a pour aire 272 cm2, l’un des côtés me-

surent 32 cm. Calcule son périmètre.

8 Les nénupharsUne grenouille a traversé un étang de 12,80 m de large

recouvert de quelques nénuphars. On suppose qu’elle a faitdes bons identiques en passant d’un nénuphar à un autreet que ces derniers sont régulièrement espacés à partir desbords.

Sachant que la grenouille a effectué sept bonds pour tra-verser l’étang et en considérant que chaque nénuphar a unelongueur de 30 cm, calcule la distance qui sépare deux né-nuphars.

(on donnera une valeur approchée au centimètre près).

9 1/7Quel est le quatrième chiffre de l’écriture décimale du

quotient 17 ?

Et le 14e ? le 24e ? le 104e ? le 1004e ? le 2008e ?

C.2. SOUTIEN : FRACTIONS 75

Entrainement pour IE no 3

1 Diviseurs de 6Donner les diviseurs du nombre 6.

2 ÉlectionDans une ville de 5300 habitants :

– 2500 habitent dans des immeubles ;

– 2100 habitent dans une maison ;

– 695 logent à l’hôtel ;

– 5 sont sans domicile fixe

Calculer la proportion

1. des habitants des immeubles,

2. des habitants de maison,

3. ceux qui logent à l’hôtel,

4. ceux qui sont sans domicile fixe,

par rapport à la population totale de la ville.

3 SimplificationSimplifier les fractions suivantes.

1.68

2.315

3.515

4.24

5.1012

6.2325

4 ComparaisonRecopier et compléter les pointillés par les symboles < ou >.

1.45 . . . . . .

75

2.213 . . . . . .

113

3.1923 . . . . . .

3123

4.7,16 . . . . . .

76

5. 0 . . . . . .0,150,001

6.1,33 . . . . . .

1,153


Soutien - Séance 5

Les exercices sont à faire sur le cahier partie exercice.

Fractions

1 Numérateur et dénominateurPour chaque fraction, donner le numérateur et le déno-

minateur de la fraction.

1. 12

2. 45

3. 3210

4. 137

5. 125

6. 478

2 Simplification de fractionsSimplifier les fractions suivantes :

1. 24

2. 315

3. 620

4. 921

5. 17

6. 515

7. 721

8. 1236

9. 121144

10. 1723

3 Parmi ces écritures fractionnaires :

110 ; 2

0,5 ; 37 ; 4

10; 52,5 ; 0,5

0,4 ; 34 ; 0,15

0,12

3612 ; 22

10,5 ; 3,52,4 : 2

2 ; 3717 ; 0,5

0,12 ; 172 ; 15

41. écrire celles qui sont des fractions ;

2. écrire celles qui sont inférieurs à 1 ;

3. écrire celles qui sont égaux à 1 ;

4. écrire celles qui sont supérieurs à 1.

4 Un pas vers la comparaison


712 . . . . . . 1 et

58 . . . . . . 1


8 ?Pourquoi ?

3. Tracer deux rectangles de dimensions 6× 4 (carreau).





8 .

Symétrie centrale

5 Reconnaitre une symétrie centraleDans quels cas les deux figures sont symétriques par

rapport au point I ?

1. I

2.

I

3. I

4. I

5. I

6 Symétrique d’un point

1. Placer deux points R et O. Avec une règle non graduéeet un compas, construire le point S symétrique du pointR par rapport au point O.

2. Construire le symétrique du point S par rapport à O. Queremarque-t-on ?

7 Symétrique d’un segment

1. Tracer un segment [AB] mesurant 5 cm. Placer le pointI , milieu du segment [AB]. Que peut-on dire du segment[A′B′] symétrique du segment [AB] par rapport au pointI ?

2. Placer un point O qui n’appartient pas au segment [AB].Tracer [A1B1] le symétrique du segment [AB] par rap-port au point I .

8 Symétrie centrale d’un triangle équilatéral

1. Tracer un triangle ABC équilatéral tel que AB = 3 cm.

2. Tracer le triangle A′B′C ′ symétrique du triangle ABCpar rapport au point C.

3. Tracer G le centre de gravité (intersection des médianes)du triangle ABC.

4. Tracer le symétrique du triangle ABC par rapport aupoint G.

C.4. SOUTIEN - SÉANCE 5 77

Devoir spécial - 5D - 08/02

Nom : Prénom :

Le devoir est à faire sur une copie double (présentation impéccable !). Vous avez 1 heure, faites un maximum d’exercices.Vous n’oublierez pas d’inclure la feuille d’énoncé dans votre copie !

Le barême des exercices est donné à titre indicatif, il est suceptible de changer en fonction du travail de chacun !

N3 - Fractions : simplification et comparaison

1 Un pas vers la comparaison (7 pts)


712 . . . . . . 1 et

58 . . . . . . 1


8 ?Pourquoi ?

3. Tracer deux rectangles de dimensions 6 × 4 (carreau).Dans la suite de l’exercice, aidez-vous des carreaux devotre feuille.





8 .

2 Simplification de fractions (10 pts)Simplifier les fractions suivantes :

1. 24

2. 315

3. 620

4. 921

5. 17

6. 515

7. 721

8. 1236

9. 121144

10. 1723

G3 - Symétrie centrale

3 Reconnaitre une symétrie centrale (5 pts)Dans quels cas les deux figures sont symétriques par

rapport au point I ?

1. I

2.

I

3. I

4. I

5. I

4 Symétrique d’un point (3 pts)

1. Placer deux points R et O. Avec une règle non graduéeet un compas, construire le point S symétrique du pointR par rapport au point O.

2. Construire le symétrique du point S par rapport à O. Queremarque-t-on ?

5 Symétrique d’un segment (4 pts)

1. Tracer un segment [AB] mesurant 5 cm. Placer le pointI , milieu du segment [AB]. Que peut-on dire du segment[A′B′] symétrique du segment [AB] par rapport au pointI ?

2. Placer un point O qui n’appartient pas au segment [AB].Tracer [A1B1] le symétrique du segment [AB] par rap-port au point I .

6 Symétrie centrale d’un triangle équilatéral (8pts)

1. Tracer un triangle ABC équilatéral tel que AB = 3 cm.

2. Tracer le triangle A′B′C ′ symétrique du triangle ABCpar rapport au point C.

3. Tracer G le centre de gravité (intersection des médianes)du triangle ABC.

4. Tracer le triangle A1B1C1, le symétrique du triangleABC par rapport au point G.

5. Quel est le nom de AB1CA1BC1 ? Qu’a-t-il de particu-lier ?


Soutien - Séance 6

1 Angles et symétrie centrale

1. Placer deux points A et B. Construire le point C tel que ABC = 60°.

2. Construire le point I , milieu du segment [AC].3. Construire le point D symétrique du point A par rapport à I .

4. Que peut-on dire de la mesure de l’angle ADC ? Pourquoi ?

5. Que peut-on dire aussi des angles BAD et BCD ?

2 Deux symétries axiales

1. Tracer deux droites d et d′ perpendiculaires et se coupant en un point O.

2. Placer un point A.

3. Tracer A′, le symétrique du point A par rapport à d

4. Tracer A′′, le symétrique du point A′ par rapport à d′.

5. Est-ce que A′′ est le symétrique du point A par rapport au point O ? Si oui, justifier votre réponse.

3 Trois triangles

A

CB

D

E

– ABC est un triangle rectangle et isocèle en A.

– ABD est un triangle équilatéral, ADE est un triangleisocèle en A tel que DAE = 30°.

1. Faire la figure à main levée, indiquer les angles données et coder les segments égaux.

2. Expliquer pourquoi le point E est le symétrique du point C par rapport au point A.

4 Calcul d’aires

1. Tracer un triangle ABC ectangle en A tel que :

AB = 4 cm et AC = 5 cm.

2. Placer le point D du segment [BC] tel que CD = 2 cm.

3. Construire le symétrique du triangle ABC par rapport au point D.

4. Calculer l’aire de toute la figure.

C.6. SOUTIEN - SÉANCE 6 79

Test de mathématiques du Kangourou - Niveau benjamins

– L’épreuve est individuelle, l’utilisation de la calcula-trice est interdite.

– Vous devez répondre à ces 10 questions à choix mul-tiples. Au début, vous avez un capital de 5 points.

– Chaque bonne reponse rapporte 1,5 point, chaquemauvaise réponse coûte 0,5 point à votre note finale.L’absence de réponse ne rapporte aucun point.

– L’épreuve dure 25 minutes.

– Bon courage !

1 Que vaut (2 + 0)× (1× 1) ?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

2 Quel résultat obtient-on en multipliant les quatre chiffres de 2013 ?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 6 E. 2013


clément boulonne enseignement - cbmaths · 2013-06-15 · il faut compter « 15 minutes au four...

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