Régime sinusoïdal forcé (32-007) Page 1 sur 6 JN Beury

CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ

I. RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ I.1 Impédance complexe Soit D un dipôle linéaire. Dans le cas le plus général, l’équation différentielle entre u et i peut se mettre sous la forme :

n n-1 m m-1

1 1 0 1 1 01 1

d d d d d d... ...d d d d d dn n m mn n m m

i i i u u ua a a a i b b b b ut t t t t t− −− −

+ + + + = + + + +

La résolution se fait en deux étapes : • solution générale de l’équation différentielle homogène (régime libre) • solution particulière de l’équation différentielle. Sous réserve que le régime libre soit amorti (la condition de stabilité pour un système linéaire du premier ou deuxième ordre est d’avoir les coefficients de l’équation différentielle homogène de même signe), il ne reste que le régime permanent que l’on appelle régime forcé. Si le second membre est sinusoïdal ( )cosmu U tω= , on cherche une solution particulière de la même forme que le

second membre, c’est à dire une sinusoïde de même pulsation avec une amplitude et une phase à calculer que l’on peut écrire : ( )cosmi I tω ϕ= + : on parle alors de régime sinusoïdal forcé.

On utilise la méthode des complexes : Il suffit de remplacer formellement dans l’équation différentielle ddt

par jω, u et

i par leur amplitude complexe. On obtient donc :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 1 0 1 1 0... ...n n m m

n n m mI a j a j a j a U b j b j b j bω ω ω ω ω ω− −

− − + + + + = + + + +

On en déduit : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

1 1 01

1 1 0

...

...

n n

n nm m

m m

a j a j a j aUI b j b j b j b

ω ω ω

ω ω ω

−

−

−

−

+ + + +=

+ + + +

• On définit l’impédance complexe d’un dipôle par la relation : UZI

= (convention récepteur).

On peut écrire Z sous la forme : Z R jX= +

R = résistance ; X = réactance

• On définit l’admittance 1YZ

= .

On peut écrire Y sous la forme : Y G jB= +

G = conductance ; B = susceptance

I.2 Interprétation physique

L’impédance vaut : UZI

= . On en déduit :

• m

m

U UZ

I I= =

• arg arg argZ U I= − . On s’arrange pour que arg Z soit compris entre π− et π . Si arg arg arg 0Z U I= − > , alors u est en avance de phase sur i. Si arg arg arg 0Z U I= − = alors u et i sont en phase. Si arg arg arg 0Z U I= − < alors u est en retard de phase sur i.

D

i

u

DU

I

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I.3 Impédance d’une résistance À chaque instant t, on peut écrire : u R i= (convention récepteur). L’amplitude complexe vaut donc : U RI= . L’impédance vaut : Z R= . La tension et l’intensité sont en phase car arg arg arg 0Z U I= − =

I.4 Impédance d’une bobine parfaite

À chaque instant t, on peut écrire : dd

iu Lt

= (convention récepteur).

L’amplitude complexe vaut donc : U jL Iω= . L’impédance vaut : Z jLω= .

La tension est en quadrature avance sur l’intensité car arg arg arg2

Z U I π= − = .

I.5 Impédance d’un condensateur parfait

À chaque instant t, on peut écrire : ddui Ct

= .

L’amplitude complexe vaut donc: I jC Uω= . L’impédance vaut : 1Z

jCω= .

La tension est en quadrature retard sur l’intensité car arg arg arg2

Z U I π−= − = .

II. THÉORÈMES GÉNÉRAUX DE RÉSOLUTION DES CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME

SINUSOÏDAL FORCÉ

À condition d’utiliser les amplitudes complexes et les impédances complexes (sous réserve que le régime libre soit amorti), le formalisme est exactement le même qu’en continu. Les théorèmes généraux vus en continu restent valables, les méthodes de résolution s’appliquent de la même façon. Les calculs sont simples avec les complexes à condition de ne jamais multiplier par l’expression conjuguée sauf éventuellement à la dernière ligne de calcul pour avoir la partie réelle et la partie imaginaire si on a besoin de calculer un angle. On fera apparaître dès que possible des termes sans dimension : jRCω , 2LCω .

III. ASSOCIATION DE DIPÔLES

III.1 Association série Soit le dipôle constitué de l’association série de n dipôles. Ils sont parcourus par le même courant :

1 1 1

n n n

k k kk k k

U U Z I Z I Z I= = =

= = = =

∑ ∑ ∑ .

L’impédance équivalente du dipôle vaut 1

n

kk

Z Z=

= ∑ .

i

u

R

i

u

L

i

u

C

1ZI

1U2U

2ZnZ

nU

U

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III.2 Association parallèle Soit le dipôle constitué de l’association parallèle de n dipôles. Ils ont la même tension à leurs bornes :

1 1 1

n n n

k k kk k k

I I Y U Y U Y U= = =

= = = =

∑ ∑ ∑ .

L’admittance équivalente du dipôle vaut 1

n

kk

Y Y=

= ∑ .

IV. SCHÉMA ÉQUIVALENT DU CONDENSATEUR ET DE LA BOBINE À TRÈS BASSE

FRÉQUENCE ET À TRÈS HAUTE FRÉQUENCE

IV.1 Schéma équivalent de la bobine • À basse fréquence : si ω → 0, 0Z jLω= →

À basse fréquence, une bobine est équivalente à un interrupteur fermé.

• À haute fréquence : si ω → ∞ , Z jLω= → ∞

À haute fréquence, une bobine est équivalente à un interrupteur ouvert.

IV.2 Schéma équivalent du condensateur

• À basse fréquence : si ω → 0, 1ZjCω

= → ∞

À basse fréquence, un condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert.

• À haute fréquence : si ω → ∞ , 1 0ZjCω

= →

À haute fréquence, un condensateur est équivalent à un interrupteur fermé.

V. ÉTUDE D’UN CIRCUIT RC EN RÉGIME SINUSOÏDAL FORCÉ

V.1 Régime transitoire, régime sinusoïdal forcé On étudie le circuit suivant : à t = 0, on ferme l’interrupteur K. Un GBF délivre une tension sinusoïdale ( ) ( )cosE mv t E tω= . On cherche

( )Sv t en régime transitoire.

On écrit la loi des mailles pour obtenir l’équation différentielle puis on la résout.

I

1I

2I

nI

1Y

2Y

nY

U

R

CvEvS

K

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E Sv Ri v= + . Or dd

d dSvqi C

t t= = . On obtient :

dd

SE S

vv RC v

t= + , soit

dd

S S Ev v vt τ τ

+ = avec RCτ =

La résolution se fait en 4 étapes :

• solution de l’équation homogène : ( ) expS SG

tv Aτ− =

• solution particulière de l’équation différentielle avec second membre. On va donner une première méthode utilisant les complexes pour résoudre cette équation différentielle. Cette première méthode sera beaucoup utilisée dans d’autres domaines de la physique : mécanique, propagation des ondes… On va voir dans le paragraphe suivant que l’on n’utilisera pas cette première méthode en électrocinétique mais la deuxième méthode beaucoup plus simple utilisant les impédances et amplitudes complexes.

Le second membre est : ( ) ( )

( )cos

expE m

E m

v t E t

v E j t

ω

ω

= =

. On cherche ( ) ( )

( )( )cos

expS m

S m

v t S t

V S j t

ω ϕ

ω ϕ

= +

= +

On remarque que ( ) ( )ReS Sv t v= . On résout l’équation différentielle en complexes : ( )d

expd

S S mv v E

j tt

ωτ τ

+ =

On a alors : ( )expS mS

v Ej v j tω ω

τ τ+ = , d’où

( )exp1

mS

E j tv

jω

ωτ=

+. On en déduit :

( )21m

S m

Ev Sωτ

= =+

.

On peut prendre éventuellement le conjugué pour calculer l’angle : ( )

( )( )2

exp1

1m

S

E j tv j

ωωτ

ωτ= −

+

D’où ( ) ( )arg arg 1Sv t t jω ϕ ω ωτ= + = + − , soit 2 2

tan1cos 0

1

ϕ ωτ

ϕω τ

= − = > +

. L’angle est compris entre 2π− et 0.

• solution de l’équation différentielle : ( )exp cosS m

tv A S tω ϕτ− = + +

• détermination de A en utilisant les conditions initiales. Par exemple : à t = 0, le condensateur est déchargé et ( ) ( )0 0 cosS mv A S ϕ= = +

Interprétation physique : L’étude montre que l’évolution de la tension aux bornes du condensateur comprend deux phases successives :

un régime transitoire au cours duquel la tension n’est pas sinusoïdale mais tend à le devenir au bout de 5τ . un régime permanent ou forcé pendant lequel l’évolution temporelle peut être assimilée à une sinusoïde de même

pulsation que l’excitation mais présentant une amplitude différente et un déphasage par rapport à l’entrée. On appelle cette seconde phase : régime sinusoïdal forcé.

Sauf indication contraire, on ne s’intéressa par la suite qu’au régime sinusoïdal forcé. On va voir une deuxième méthode permettant de trouver rapidement Sm et ϕ .

V.2 Recherche du régime sinusoïdal forcé – Utilisation systématique de l’impédance complexe On étudie le circuit suivant en régime sinusoïdal forcé. L’entrée est de la forme : ( ) ( )cosE mv t E tω=

Déterminer ( )Sv t .

R

CvEvS

K

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Méthode de résolution des exercices en régime sinusoïdal forcé : Redessiner le circuit en indiquant les amplitudes et impédances complexes. Simplifier le circuit en utilisant les lois

d’association série, parallèle. Écrire ( )Sv t sous la forme : ( ) ( )cosS mv t S tω ϕ= + . On cherche à exprimer SV en fonction de EV . On utilisera les résultats du continu : diviseur de tension, diviseur de

courant, loi des mailles, loi des nœuds en termes de potentiel ou théorème de Millman.

On peut écrire un diviseur de tension :

1

1S E

jCV VR

jC

ω

ω

=+

On multiplie par jCω pour faire apparaître des termes en jRCω .

On a : 11S EV V

jRCω=

+. Il reste à prendre le module et l’argument pour déterminer mS et ϕ .

( )( )

2

11 1

arg arg arg 1

mS E m

S E

EV V SjRC RC

V V jRC

ω ω

ω

= = = + +

= − +

On a donc :

• ( )21

mm

ESRCω

=+

• ( )arg 1 jϕ ωτ= − + , soit ( )

( )2 2

tan1cos

1

ϕ ωτ

ϕω τ

− = − = +

et ( )

( )2 2

tan1cos

1

ϕ ωτ

ϕω τ

= − = +

. L’angle est compris entre 2π− et 0.

On retrouve le même résultat que dans le paragraphe précédent sans écrire d’équation différentielle.

V.3 Fonction de transfert On appelle quadripôle un réseau électrique dont on distingue deux entrées et deux sorties.

On se place en régime sinusoïdal forcé :

( ) ( )cos expE m E E m Ev E t V E jω θ θ= + ⇒ =

( ) ( )cos expS m S S m Sv S t V S jω θ θ= + ⇒ =

On définit la fonction de transfert d’un quadripôle linéaire par la relation :

( ) S

E

VH j

Vω =

Interprétation physique :

• ( ) S m

mE

V SH j G

EVω = = = est appelé gain du quadripôle (noté G).

• ( )arg arg argS E S EH j V Vω θ θ θ= − = − = est le déphasage de la sortie par rapport à l’entrée.

On s’arrangera à avoir θ compris entre π− et π . • Si 0θ > , alors S Eθ θ> : vS est en avance de phase sur vE.

R

1jCωEV SV

vE vSQuadripôle

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• Si 0θ < , alors S Eθ θ< : vS est en retard de phase sur vE. Quelques cas particuliers : Si 0θ = , vS et vE sont en phase.

Si 2πθ = , on dit que vS est en quadrature avance sur vE.

Si θ π= ± , vS et vE sont en opposition de phase.

V.4 Obtention de l’équation différentielle à partir de la fonction de transfert et inversement On reprend l’exercice étudié précédemment.

• Équation différentielle : dd

SE S

vv RC v

t= + . Comment en déduire la fonction de transfert ?

On en déduit la fonction de transfert en remplaçant formellement ddt

par jω et les grandeurs sinusoïdales par

leurs amplitudes complexes : ( )E S SV RC j V Vω= + , d’où ( ) 11

S

E

VH j

V jRCω

ω= =

+

• Fonction de transfert : ( ) 11

S

E

VH j

V jRCω

ω= =

+

Comment en déduire l’équation différentielle ? Il suffit « d’effectuer le produit en croix » : ( )1S EV jRC Vω+ = , soit ( )S S EV RC j V Vω+ =

On remplace formellement jω par ddt

et les amplitudes complexes par les grandeurs sinusoïdales, soit :

dd

SS E

vRC v vt

+ =

On admet la généralisation : Si on connaît ( )H jω , on peut en déduire l’équation différentielle.

Si on connaît l’équation différentielle, on peut en déduire ( )H jω .

Il y a deux études possibles des circuits linéaires : • comportement fréquentiel : On étudie la fonction de transfert en fonction de la fréquence. Voir chapitres

suivants. La fonction de transfert se calcule à partir des impédances et amplitudes complexes. • comportement temporel : On étudie la réponse temporelle du circuit à une excitation. L’équation différentielle

peut s’obtenir directement ou à partir de la fonction de transfert.

Quelle méthode choisir pour obtenir l’équation différentielle ? Si l’énoncé demande l’équation différentielle sans faire référence à une fonction de transfert, on attend que vous

établissiez l’équation différentielle à partir de la loi des nœuds et la loi des mailles. Si par contre, l’énoncé vous fait calculer la fonction de transfert et vous demande ensuite d’étudier la stabilité (il

faut connaître en particulier les signes de l’équation différentielle homogène) ou d’établir l’équation différentielle, alors vous pouvez utiliser le passage direct de la fonction de transfert à l’équation différentielle.