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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Cadre général

Équilibre d ’un solide

Configuration

Description lagrangienne

Description eulérienne

Continuité de la matière

Tenseur gradient d’une transformation

Transport d’un vecteur élémentaire

Transport d’un volume élémentaire

Transport d ’une surface élémentaire

1 - Cisaillement simple

Ligne d’émission

Equilibre et continuité

Description d’une transformation

Transport de quantités

Exemples

Équations de bilan

Dérivées particulaires

Conservation de la masse

CINEMATIQUE

CINEMATIQUE


P

x

u

P

X

P : point « matériel »

v

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan



Cadre général


∗ Σ (forces extérieures) = variation de la quantité de mouvement

∗ Σ (moments) = variation du moment de quantité de mouvement

Le solide est en équilibre sous l’action des forces extérieures

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





* vision macroscopique

* « masse » d’un élément de volume : dm = ρ dv

Des forces de cohésion assurent la continuité de la matière

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





configuration de référence :C0 : description lagrangienne

C(t) : descrition eulérienne

C0

C(t)

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan



Configuration


P

X

C0

P

x

coordonnées d'un point : x = Φ �( X , t ) avec Φ �( X , 0 ) = X

v

vitesse d'un point : v = dx / dt = ∂Φ / ∂t

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





vitesse d'un point : v( x , t)

vP

x

C(t)

coordonnées d'un point : x = X à t=0, puis dx = v(x,t)dt

P

X

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





maquette du Concorde(document ONERA)

�

ligne d'émission du point P

cargo échoué

trace produite sur la mer(ligne d'émission du cargo)

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan



Ligne d’émission


tenseur gradient de la transformation

* déplacement autour du point P : grad(u) = grad(x) – I = F(X,t) - I

P

x

u

P

X

* déplacement du point P : u ( X, t) = x - X

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





dXdx

dx = (I + grad(u) ).dX = F.dX

P

x

P

X

u

x = X + u

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





dv

dv = [dx, dy, dz] = [F.dX, F.dY, F.dZ] = J dV avec J = det(F)

dV

dV = [dX, dY, dZ]

P

x

P

X

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





n

ds

ds = nds et dv = ds.dz = JdV, avec dz = F.dZ

N

dS

dS = NdS et dV = dS.dZ

P

x

P

X

ds = J(F-1)t.dS avec J = det(F)

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





P

x

P

X

Évolution d’une grandeur physique « f ( x, t) » au cours du temps ?

df / dt = ∂f / ∂t + ∂f / ∂xi . dxi / dt = ∂f / ∂t + v.grad(f)

v

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan





m = dm = ρ dv = cste dρ / dt + ρ div(v) = 0

vP

x

P

X

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan


Conservation de la masseConservation de la masse


Description lagrangienne : Description eulérienne :

x1 = X1 + 2αtX2

x2 = X2

x3 = X3

v1 = 2αx2

v2 = 0

v3 = 0

a

a

1

2

u

X

P

x

P

CINEMATIQUE

Cadre général


Configuration









Ligne d’émission




Exemples

Équations de bilan




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