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CI25 Solides déformables /RDM PARTIE 2 : FLEXION, Contraintes, Dimensionnement, Déformée

JC ROLIN 1 Lycée G.Eiffel Dijon

Solides déformables

Cours de Résistance des Matériaux (RDM)

PARTIE 2 : FLEXION Sollicitations / Contraintes / Dimensionnement

Contenu

1 SOLLICITATION DE FLEXION .............................................................................. 2

1.1 FLEXION PLANE ET FLEXION PLANE SIMPLE.................................................................................................................. 2 1.2 FLEXION PURE ..................................................................................................................................................... 3 EXEMPLE DE FLEXION SIMPLE ET PURE..................................................................................................................................... 3

2 DEFORMATION DUE A LA FLEXION ................................................................... 3

2.1 EXPERIMENTATION : DEFORMEE ET FLECHE.......................................................................................................... 3 2.2 DEPLACEMENT D’UNE SECTION DROITE (S) ................................................................................................................ 4

3 CALCUL DES CONTRAINTES AU SEIN D’UNE POUTRE EN FLEXION ....................... 4

3.1 OBJECTIF GENERAL DU CALCUL DES CONTRAINTES ........................................................................................................ 4 3.2 REPARTITION DES CONTRAINTES EN FLEXION .............................................................................................................. 4 3.3 CALCUL DU MOMENT QUADRATIQUE (UNITE M

4 OU MM

4)............................................................................................. 4 3.4 CONTRAINTE NORMALE MAXIMALE .......................................................................................................................... 5

4 DIMENSIONNEMENT D’UNE POUTRE EN FLEXION ............................................. 5

4.1 CONDITION DE RESISTANCE .................................................................................................................................... 5 4.2 CONCENTRATION DE CONTRAINTES .......................................................................................................................... 5

5 DEMARCHE DE CALCUL ..................................................................................... 5

5.1 APPLICATION DU PFS POUR LES ACTIONS AUX APPUIS................................................................................................... 5 5.2 IDENTIFICATION DU NOMBRE DE TRONÇONS A ETUDIER ................................................................................................. 6 5.3 RECHERCHE DU TORSEUR DE COHESION DE CHAQUE TRONÇON ....................................................................................... 6 5.4 DIAGRAMMES DES SOLLICITATIONS LE LONG DE LA POUTRE ............................................................................................ 7 5.5 FORMULAIRE DES POUTRES .................................................................................................................................... 7

6 EQUATION DE LA DEFORME ET FLECHE MAXIMALE ........................................... 8

6.1 DEFORMATION D’UNE POUTRE ............................................................................................................................... 8 6.2 EQUATION DE LA COURBE DE LA DEFORMEE OBTENUE PAR INTEGRATION........................................................................... 8 6.3 EXEMPLES A DEVELOPPER ...................................................................................................................................... 8

CCP 2011 Fardeleuse / Tapis roulant : Dimensionnement d’un axe et des roulements de la liaison pivot entre le cylindre tendeur et le bâti, .................................................................................................................... 11



1 SOLLICITATION DE FLEXION Les sollicitations en flexion sont très fréquentes dans les poutres, on prendra comme exemple :

Mécanique : arbre de transmission Châssis d’un véhicule… ici de camion

Aéronautique : aile d’avion Pale d’hélicoptère

Architecture des bâtiments : Charpente, porte à faux, balcon… Flèche d’un mât

Dans le programme de TSi, les études de flexion se limitent à la flexion plane simple

1.1 Flexion plane et flexion plane simple Une poutre est soumise à de la flexion plane si - Les actions mécaniques extérieures à la poutre sont composées de forces coplanaires et de couples perpendiculaires au plan que forment les forces extérieures - Le plan que forment les forces extérieures est un plan de symétrie de la poutre.

F1

F2

C

Plan de symétrie

F3

La longueur de la poutre est selon l’axe 0x .

Le torseur de cohésion est réduit en tout point G du tronçon à :

BaseLocaleG

coh

Mfz

Ty

N

T

0

0

0

Flexion plane : il existe une résultante normale Nx



FLEXION PLANE SIMPLE : On distingue la flexion plane simple de la flexion plane par l’absence du terme d’effort normal Nx , la situation de la poutre est alors isostatique.

Le torseur de cohésion est alors selon l’orientation du moment de flexion (autour de y ou z ).

BaseLocaleG

coh

0

Mfy

0

Tz

0

0

T

ou

BaseLocaleG

coh

Mfz

0

0

0

Ty

0

T

1.2 Flexion pure Un tronçon de poutre est sollicité en flexion pure si, en tout point G du tronçon, - La section présente un plan de symétrie - le torseur de cohésion se réduit à un couple perpendiculaire au plan de symétrie.

BaseLocaleG

coh MfyT

0

0

0

0

0

ou

BaseLocaleG

coh

Mfz

T

0

0

0

0

0

FF FF

Flexion pure

x0

y0

z0

G

A B

Flexion plane

simple

Flexion plane

simple

DC

Gz0

y0

Symétrie

Section quelconque

de la poutre

Exemple de flexion simple et pure La zone entre B et C est soumise à 2 moments de signe opposés dus aux efforts en A, B, C et D, elle est en flexion pure.

Il n’y pas d’effort normal Nx car l’appui en C est un appui simple laissant le degré de liberté selon 0x .

2 DEFORMATION DUE A LA FLEXION

2.1 Expérimentation : DEFORMEE ET FLECHE La poutre (AB) est soumise à une sollicitation de flexion simple. Observons la déformation des fibres de la poutre (ligne parallèle à la ligne moyenne AB) et le déplacement des sections droites.

G

G’

A’’

A’

A

B’’

B

B’

P1

P2

A’’

A’

AP’1

P’2

B’’

B’

B

Avant déformation

Après déformation

F

F

y0

x0

Section (S)

Section (S’)

y

x

Déformée

da

DEFORMATIONS CONSTATEES :

Les fibres « du dessus » raccourcissent

(ex : fibre supérieure A’’B’’)

Les fibres « du dessous » s’allongent

(ex : fibre inférieure A’B’)

Les fibres du plan médian ne subissent pas de variations de longueur.

DEFORMEE : La ligne moyenne « après déformation » est appelée déformée

FLECHE : La valeur du déplacement vertical d’un point M

appartenant à la ligne moyenne ( ]AB[M ) est

appelé flèche au point M



2.2 Déplacement d’une section droite (S) D'après l'hypothèse de Navier et Bernoulli, les sections droites restent planes et normales à la ligne moyenne après déformation, tout se passe donc comme

si la section droite (S) avait pivoté d'un angle faible dα autour de l'axe )z,G(

pour venir en (S').

On peut donc dire que les déformations relativesLo

Lx

en un point M

sont proportionnelles à l'ordonnée y de ce point.

D’autre part, la loi de Hooke lie la contrainte σx, la déformation εx et le

module d’élasticité ou de Young E, par : σx = E. εx

G x

y

(S)(S’)

da

x<0

x>0

La contrainte normale σx en un point M d'une section droite (S) est proportionnelle à l'ordonnée y de ce point.

3 CALCUL DES CONTRAINTES AU SEIN D’UNE POUTRE EN FLEXION

3.1 Objectif général du calcul des contraintes Calculer les contraintes au sein du matériau de la poutre à différents objectifs :

Vérifier sa résistance pour dimensionner sa section et le choisir lors d’une conception (contrainte normale) ; o non dépassement de sa limite à la rupture Rr ; o exploitation dans le domaine élastique Re ;

Vérifier sa déformation afin qu’elle reste dans les limites acceptables de son contexte d’emploi (déformée) ;

Satisfaire des critères économiques en utilisant le minimum de matière, mais au bon endroit (moment quadratique).

3.2 Répartition des contraintes en flexion Considérons une section droite (S) d’abscisse x, et un point M de coordonnées (x,y,z) appartenant à cette surface (S). La répartition des contraintes normales dépend de x et de y :

Gx

y

sx<0

(compression)

sx>0

(traction)

Répartition de sX dans une section (S) d’abscisse x

sx(x,y)

x

y

M

G(x)z

y

Section S

M(x,y,z)

x

yI

)x(Mfz)y,x(

Gz

x

s

Avec IGz moment quadratique par

rapport à l’axe )z,G(

Pour l’exemple précédent :

o Pour y = 0, 0x s

la contrainte normale est nulle tout le long de la fibre neutre

o Pour y > 0, 0x s

sollicitation de compression

o Pour y < 0, 0x s sollicitation de traction

En flexion plane simple, il apparait 2 termes non nuls dans le torseur de cohésion : Ty et Mfz (ou Tz / Mfy).

En flexion pure, on néglige la contrainte tangentielle induite par l’effort tranchant.

3.3 Calcul du moment quadratique (unité m4 ou mm4) Le moment quadratique (IGz ou IGy) caractérise la répartition de surface (S) autour d’un axe.

Par définition,

ds.²yI)S(

Gz

ds.²zI)S(

Gy

Unité : m4 Un moment quadratique élevé traduit une grande rigidité de la poutre.

G

(S)

y

z

D

Section pleine circulaire

G

(S)

y

zb

h

Section pleine rectangulaire

64

DII

4

GzGy

2

Dzmaxymax

12

bhI

3

Gy

12

hbI

3

Gz

2

hzmax

2

bymax



3.4 Contrainte normale maximale On repère la section S la plus sollicitée sur le diagramme du moment fléchissant (Mfz(x)).

Cela correspond à l’abscisse x où Mfz est maximal.

La contrainte )y,x(xs est maximale quand y est maximal

Bien souvent, les fabricants de profilés donnent les caractéristiques des sections de leurs poutres et notamment

v

IGz

appelé le module de flexion Avec ymaxv

La contrainte maximale se calcule alors

s

v

I

Mfz

Gz

max

maxx

Répartition de la contrainte normale dans une section de poutre circulaire

4 DIMENSIONNEMENT D’UNE POUTRE EN FLEXION

4.1 Condition de résistance Nous venons de voir que la sollicitation dominante est une contrainte normale. La limite utilisée pour le dimensionnement sera donc la résistance pratique à l’extension (Rpe). Comme pour les sollicitations de traction/compression, on dimensionnera la poutre de telle manière que

Pemaxx Rs avec s

RR e

Pe

4.2 Concentration de contraintes Du fait des accidents de forme, on majorera la contrainte maximale nominale (cf. 3.3.4) calculée dans une section droite par un coefficient K (donné par des abaques).

Ainsi 1K

nomx

maxx

s

s

5 DEMARCHE DE CALCUL

5.1 Application du PFS pour les actions aux appuis En général le problème est plan, on applique :

le TRS en projection sur 0x et 0y , mais

en flexion pure il n’y a pas de résultante

sur 0x .

le TMS en projection sur 0z .

Il faut bien identifier la nature de liaisons pour connaître le nomme d’inconnues de chacune d’entre elle.

FF FF

Flexion pure

x0

y0

z0

G

A B

Flexion plane

simple

Flexion plane

simple

DC

Articulation en A : RAx et RAy Appui simple en C : RCy PFS avec 3 inconnues à déterminer



5.2 Identification du nombre de tronçons à étudier On balaye la poutre de gauche à droite :

chaque appui et chaque force ponctuelle présente le long de la poutre détermine un nouveau tronçon.

pas de changement de tronçon le long d’une charge répartie. Exemples :

FF FF

Flexion pure

x0

y0

z0

G

A B

Flexion plane

simple

Flexion plane

simple

DC

Appui simple en A, articulation en B, charge ponctuelle P. Il y a 2 Tronçons, AP (0 < x < 2/3l) et PB (2/3l < x < l)

2 charges ponctuelles et 2 appuis, 3 intervalles distincts. 3 tronçons : AB ; BC et CD

2 appuis et une charge répartie, Il y a 3 tronçons (0 < x < a) ; (a < x < b + a ); (b + a < x < l).

5.3 Recherche du torseur de cohésion de chaque tronçon

Une poutre en bois est sollicitée en porte à faux par une force concentrée. On donne L = 4m, a = 0, 5m et F = −20kN. On identifie 2 tronçons AB et BC, il faut donc rechercher le torseur de cohésion dans chacun de ces 2 tronçons. Chaque tronçon est coupé en 2 parties (P-) à gauche et (P+) à droite. On choisit d’isoler le tronçon le plus facile pour les calculs et on applique le PFS en introduisant le torseur de cohésion.

1) Calcul des actions d’appuis : Ce calcul préliminaire est nécessaire dans quasi tous les cas. Pour un problème isostatique on écrit le PFS :

2) Torseur de cohésion dans le tronçon AB en isolant la partie gauche de AB soit (P-) :

PFS en G avec 0 < x < L :

TRS projeté sur y : Ty + aF/L = 0 soit Ty = -aF/L

TMS en G : -x.(aF/L) +Mfz = 0 soit Mfz = x(aF/L)

),,()/(

0

0

0

/

0

zyxG

coh

LaFx

LaFT

3) Torseur de cohésion dans le tronçon BC en isolant la partie droite de BC soit (P+) :

PFS en G avec L < x < L+a : La partie droite étant retenue on étudie – {Tcoh}

TRS projeté sur y : -Ty + F = 0 soit Ty = F

TMS en G : F.(L+a-x)-Mfz = 0 soit Mfz = F(L+a-x)

),,()(

0

0

0

0

zyxG

coh

xaLF

FT

4) Recherche de la contrainte maximale Mfz est maximale pour x = L soit Mfzmax = a.F



5.4 Diagrammes des sollicitations le long de la poutre Ils représentent la variation de l’effort tranchant Ty et du moment de flexion Mfz tout au long de la poutre. On peut remarquer deux points utiles à la vérification des résultats :

L’aire totale pour Ty est nulle en sommant sur la longueur de la poutre (TRS vérifié).

Et )()( xTxdx

dMy

fz

5.5 Formulaire des poutres Quelques exemples courants…



6 EQUATION DE LA DEFORME ET FLECHE MAXIMALE

6.1 Déformation d’une poutre

On montre ci-contre pour une poutre en charge l’évolution de la ligne moyenne.

En l’absence de chargement cette ligne est confondue avec l’axe x, les points (AIJBD) sont alignés.

Sous chargement la ligne moyenne se déplace les points (AIJBD) ne sont plus alignés mais appartiennent à la DEFORMEE.

La déformée est la fonction y = f(x) de la ligne moyenne d’une poutre sous charge, dans le repère global (A, x, y).

En un point G quelconque de la déformée, la pente de sa tangente est

pour les petits angles avec G en radians :

Tan G = G = y’ = f’(x)

Cet angle correspond au pivotement de la section droite de la poutre.

CONDITIONS AUX LIMITES ET FLECHE

On remarque qu’au niveau des appuis en A et B, la position de la ligne moyenne n’a pas changé : yA et yB = 0.

Au point I, la déformation passe par un extrémum (maxi ici), la dérivée de la déformée est nulle : y’I = 0

FLECHES

On nomme « flèches » les valeurs maximales de la déformation pour un tronçon, ici en I et D.

Flèche en I = yi et flèche en D = yD

Exemples usuels de conditions aux limites

6.2 Equation de la courbe de la déformée obtenue par intégration L’étude en géométrie analytique de la relation entre le pivotement de la section droite de centre G(x) et la contrainte normale dans la poutre (paragraphe 2.2) permet d’établir une relation simple entre :

le moment fléchissant Mfz,

le moment quadratique I(G,z) de la section de la poutre

le module d’élasticité longitudinal E(de Young),

la dérivée seconde de la fonction de la déformée.

)(''..),(

xMfyIE zzG Relation valable pour les petites déformations

Remarque 1 : On peut donc établir l’équation de la déformée à partir du moment fléchissant par 2 intégrations successives, en recherchant les constantes d’intégration par les conditions aux limites.

Remarque 2 : Comme la relation Mfz dépend du tronçon de la poutre, la méthode par intégration doit être réalisée pour chacun de ses tronçons.

6.3 Exemples à développer Faire l’étude complète des 3 exemples suivants en tenant compte des symétries éventuelles pour simplifier :

Action aux appuis et recherche du torseur de cohésion, tracé des diagrammes NX, TY et MfZ

Recherche de l’équation de la déformée et de la flèche (maximale).



Exemple 1 : POUTRE REPOSANT SUR DEUX APPUIS AVEC CHARGE CONCENTREE AU MILIEU

(poulie entre 2 guidages par roulements)

Les efforts sont tels que A = B = F/2

L'équation de la dérivée seconde de la déformée s'écrit :

)(''..),(

xMfyIE zzG

Il faut deux intégrations successives pour déterminer l'équation y(x) de la déformée.

Le calcul des constantes K se fait en choisissant des conditions aux limites de zones :

En C : x = L / 2 et y’C = 0

(y’ équation de la tangente au point C)

En A : x = 0 et yA = 0

yC est la valeur de la flèche maxi en C

Exemple 2 : POUTRE REPOSANT SUR DEUX APPUIS AVEC CHARGE UNIFORMEMENT REPARTIE (Bâtiment : plancher, toit de super marché avec neige…)

Les actions aux appuis en A et B sont :

L’expression du torseur de cohésion est :

NX = TY =

MfZ =

Les conditions aux limites sont :

Montrer que la valeur de la flèche maxi en C est :

Diagrammes du torseur de cohésion :

Recherche de la déformée et de la flèche



Exemple 3 : POUTRE ENCASTREE AVEC CHARGE

CONCENTREE A UNE EXTREMITE (Bras de robot avec moteur bloqué, grue…)

yA est la flèche maximale en A, montrer que



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