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M t h o d e d e s r o t a t i o n s 2 07

raison invoque prcdemment. Sachant par ailleurs que la raction est une fonc-tion linaire de x (position de la charge par rapport une extrmit de la poutre),on trace aisment la ligne dinfluence qui est compose de segments de droite

passant par les ordonnes 1 en A et 0 en B et C . Lunique faon de construire laligne dinfluence de R A est celle indique la figure 9.11b.

Pour la ligne dinfluence de R B, elle passe par 0 en A, 1 en B et 0 nouveauen C (Figure 9.11c). Le mme procd est utilis pour tracer la ligne dinfluencede la raction de lappui C (Figure 9.11d).

On notera que la somme des ordonnes des lignes dinfluence des ractionsde la poutre est gale 1 quelle que soit la section considre (quilibre de tran-slation verticale). Cette condition offre un moyen de contrle des diagrammesdinfluence obtenus. Si par exemple en une section quelconque cette somme estdiffrente de 1 ou que son signe est tel que la charge unit nest pas quilibre,cest quil y a erreur. Cette mthode est dune grande utilit dans le calcul desractions des poutres isostatiques complexes avec plusieurs charges (poutrescantilevers notamment).

Mthode cinmatique

Elle rappelle beaucoup la mthode prcdente. Considrons la poutre bi-articule de la figure 9.12a. Pour tracer la ligne dinfluence de la raction delappui A, on supprime la liaison et on la remplace par une force verticale R A puison donne un dplacement vertical au mcanisme obtenu qui peut tourner autourde lappui B (Figure 9.12b).

+

Figure 9.11

A C B

1

1+

+ _(d)

(c)

(b)

(a)

2 0 8 C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H Y P E R S TAT I Q U E S

Lquation des travaux virtuels scrit :

y R 0 y.1 R A A ==

o est le dplacement du point dapplication de la raction R A. La droite jk (Figure 9.12b) donne la forme exacte de la ligne dinfluence de la raction. Pouravoir lchelle correcte, il suffit de prendre = 1 . La mthode est dun grandservice dans le cas de structures complexes. Considrons la poutre cantilever dela figure 9.13a.

Pour construire la ligne dinfluence de la raction de lappui B par exemple,

on supprime lappui et on donne la section B un dplacement unit positif (versle haut). La nouvelle configuration de la poutre ainsi obtenue dfinit la lignedinfluence cherche (Figure 9.13b). De la mme manire, on trace les lignesdinfluence des autres ractions.

Figure 9.12

R A

y

P=1

B A

a x l-x b

k

j

(a)

(b)

Figure 9.13

A B C D

_

1+

(a)

(b)

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M t h o d e d e s r o t a t i o n s 2 09

Exemples dapplication

1) Raideurs des barres :

10 I 3

5 I 2

.43

R ; 4 I

R

5 I 2

R ; 4 I

R

CE CD

BC AB

===

==

2) Coefficients de rpartition des barres :

+=

+=

+=

+=

6154.04152

52

R R

RC

3846 .05241

41 R R

RC

BA BC

BC BC

BC BA

BA BA

Vrification : C ij=1 ; C BA+C BC = 0.3846 + 0.6153 = 0.9999 1

++=

++=

++=

++=

++=

++=

3158.05241103

103 R R R

RC

2632.01035241

41 R R R

RC

4210.01034152

52 R R R

RC

CBCDCE

CE CE

CE CBCD

CDCD

CE CDCB

CBCB

C CB+C CD+C CE = 1 ; 0.4210 + 0.2632 + 0.3158 = 1

C B

2EI

q

I4,00m

A D

I

2,00m 3,00m

2EI

P E

5,00 m 5,00 m

P = 10 3 kg

q = 600 kg/m

2 1 0 C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H Y P E R S TAT I Q U E S

3) Calcul des moments dencastrement parfaits :

Barre AB :

80012

ql M

80012

ql M

BA

AB

==

=+=

Barre CE :

m.kg 960 )2ab( l

b. Pa M

0 M

CE

EC

=+=

=

M AB M BA

l=5m

q=600 kg/m

C P=10 3 kg

M CE E

a=2m b=3m

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Nuds A B C D E

Barres AB BA BC CB CD CE DC EC

Coefficient derpartition Cij

pris en (-)-0.3846 -0.6153 -0.4211 -0.2622 -0.3158

Momentsdencastrement

parfait Mij 800 -800 0 0 0 960 0 0

1er Cycle

B bloqu M B=M B(1)

M B(1)=-800

C bloqu M C =M C(1)

M C(1) =1206.12

C dbloqu -253.95 -507.90 -317.45 -380.89 -158.73 0

2me Cycle

B bloqu M B=M B(2)

M B(2)=-253.95

B dbloqu +48.83 +97.67 +156.26 +78.13

C bloqu M C =M C(2)

M C(2) =78.13

C dbloqu -16.45 -32.90 -20.56 -24.67 -10.28

3me Cycle

B bloqu M B=M B(3)

M B(3)=-16.45

B dbloqu 3.16 6.33 10.12 5.06

C bloqu M C =M C(3)

M C(3) =5.06

C dbloqu -1.07 -2.13 -1.33 -1.60 -0.67 0

B bloqu M B=M B(4)

M B(4)=-1.07

B dbloqu 0.20 0.41 0.66 0.33

4me Cycle

C bloqu M C =M C(4)

M C(4) =0.33

C dbloqu -0.07 -0.14 -0.09 -0.10 -0.04 0

1006 - 387.91 387.74 -213.43 -339.43 552.74 -169.72 0

2 1 2 C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H Y P E R S TAT I Q U E S

Trace du diagramme de M

Diagramme de M le long de AB

+

B A

A B1006 387,91

q=600 kg/m

1600

387,91

707,22

1600

387,91

ql/8=1200

A

+

_

492,78

2,00 m 2,00 m

P E B

A D

C

2,00 m 3,00 m

4,00 m q

1006169,72

387,74

387,91

213,43 552,74

339,43

5,00 m 5,00 m

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M t h o d e d e s r o t a t i o n s 2 13

Diagramme de M le long de CE

M le long de BC M le long de DC

387,74 213,43

213,43

C

387,74

C

B

B

169,72 339,43

C D

339,43

169,72

C D

_ _

+

E

E

EC

C

C

P=10552,74

552,74

2,00 m

P=10

3,00 m

552,74

331,64

1200552,74

868,36

+

+

_

2 1 4 C A L C U L D E S S T R U C T U R E S H Y P E R S TAT I Q U E S

Diagramme de M sur toute la structure

332,43

196,72

868,36

552,74213,43

387,74

387,91

492,78

1006