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LFM – Mathématiques – 3ème

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Chapitre 20 FONCTIONS LINEAIRES (2) I Déterminer une fonction linéaire a. Connaissant un nombre non nul et son image Exemple : Déterminer la fonction linéaire f telle que f(-‐3)=12 Comment rédiger : 𝒇 est une fonction linéaire donc 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 D’après l’énoncé, f(-‐3)=12, donc 12=a*(-‐3) , d’où a =-‐12/3=-‐4 (méthode on remplace x par -‐3 dans 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , on résout l’équation pour trouver a), La fonction f est donc définie par 𝑓: 𝑥⟼ −4𝑥 b. Connaissant un point quelconque (différent de O) de sa représentation graphique Exemple : Tracer C(-‐4,-‐3) et la droite (d) passant par O et C.

Déterminer la fonction g dont la représentation graphique est la droite (d).

1) Détermination graphique Comment rédiger : La représentation graphique de la fonction g est une droite passant par 0, dont g est une fonction linéaire de la forme 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥.

Sur cette droite, quand « j’avance de 4 » (l’abscisse augmente de 4 : de -‐4 à 0), « je monte de 3 » (l’ordonnée augmente de 3 : de -‐3 à 0). Le coefficient de la fonction g est donc 𝑎 = !

! .

Ainsi, la fonction g est définie par 𝑔(𝑥) = !!𝑥 .

2) Détermination par le calcul (comme en a.) La représentation graphique de la fonction g est une droite passant par 0, dont g est une fonction linéaire de la forme 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥.

Le point C(-‐4 ;-‐3) appartient à la droite (d), on a donc : 𝑔(−4) = 𝑎 ∗ (−4) = −3 d’où 𝑎 = !!

!!= !

!

Ainsi, la fonction g est définie par 𝑔 ∶ 𝑥⟼ !!𝑥


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II Augmentation et réduction en pourcentage Exemple : Quand l’eau gèle, son volume augmente de 8% environ. a) L’augmentation de volume si l’on fait geler 20 cm3 d’eau est !

!""×20 =1,6 cm3

Le volume du glaçon obtenu est : 20+ !!""

×20 = 20× 1+ !!""

= 21,6 cm3 b) Si on fait geler 𝒙 cm3, le volume de glace obtenu est :

𝒙+ !!""

𝒙 = 𝒙 1+ !!""

= 𝒙 × 1,08 = 1,08𝒙

(on vérifie bien que pour 𝑥 = 20, on obtient 1,08 ∗ 20 = 21,6 cm3) c) Soit 𝑓 la fonction qui à 𝑥 cm3 d’eau associe le volume 𝑓(𝑥) de glace obtenu quand l’eau gèle. C’est la fonction 𝑓 : 𝑥 ⟼ 1,08𝑥. Elle est définie par 𝑓(𝑥) = 1,08𝑥. C’est une fonction linéaire car elle est de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 avec 𝑎 = 1,08. Soit b un nombre positif. Si on augmente 𝑥 de b %, la valeur obtenue est 𝑥 + !

!""×𝑥, soit 𝑥 1+ !

!"".

Si on diminue 𝑥 de b %, la valeur obtenue est 𝑥 − !!""

×𝑥, soit 𝑥 1− !!""

. L’augmentation de b% d’une quantité 𝑥 peut se traduire par la fonction linéaire

𝑓 : 𝑥 ⟼ 1+𝒃𝟏𝟎𝟎 𝑥

La diminution de b% d’une quantité 𝑥 peut se traduire par la fonction linéaire

𝑓 : 𝑥 ⟼ 1−𝒃𝟏𝟎𝟎 𝑥


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Exercices :

• Un meuble est proposé à 420 € après un rabais de 30%. Quel était son prix initial ? Soit 𝑥 le prix initial du meuble. On chercher l’antécédent de 420 par la fonction représentant un rabais de 30%, soit 𝑥 tel que 𝑥 1− !"

!""= 420

On résoud 𝑥×0,7 = 420, d’où 𝑥 = 600 €. Le prix initial du meuble était de 600 €.

• La fonction 𝑓 qui traduit une augmentation de 100% d’une quantité 𝑥 est

𝑓 𝑥 = 1+ !""!""

𝑥 = 2𝑥

• La fonction 𝑓 qui traduit une augmentation de 200% d’une quantité 𝑥 est 𝑓 𝑥 = 1+ !""

!""𝑥 = 3𝑥

• La fonction 𝑓 qui traduit une diminution de 50% d’une quantité 𝑥 est

𝑓 𝑥 = 1− !"!""

𝑥 = 0,5𝑥

• La fonction 𝑓 : 𝑥⟼ !!𝑥 traduit une augmentation (car !

!> 1) de 25%,

car !!= !

!+ !

!= 1+ !×!"

!×!"= 1+ !"

!""

Application Un article a subi une augmentation de 7% et vaut maintenant 535 euros. Quel était son prix avant l’augmentation ?

Déterminer la fonction linéaire traduisant une diminution de 32%

Déterminer l’augmentation en pourcentage défini par la fonction linéaire 𝑓 : 𝑥⟼ !

!𝑥

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