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Chapitre 12

Nombres réels et Suites numériques

Contents12.1 Entiers naturels et raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . 3

12.1.1 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Ensemble ordonné des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

12.2.1 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.2 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2.3 Borne inférieure, supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

12.3 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.4 Opérations sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

12.4.1 Suites et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.4.2 Majoration. Minoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

12.5 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412.6 Convergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

12.6.1 Convergence vers une limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.6.2 Divergence vers l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

12.7 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2412.8 Notation de Landau et équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2512.9 Suites arithmético-géométriques (annexe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2912.10 Suites extraites (annexe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Programme• Nombres réels :• Les ensembles de nombres : N, Z, D, Q, R et C. La construction de ces ensembles est horsprogramme.• Une partie I de R est un intervalle si et seulement si, pour tout (a, b) ∈ I2 tel que a < b on a

[a; b] ⊂ I.• valeur absolue, propriétés. Interpréter sur la droite réelle des inégalités du type |x− a| ≤ b.• distance entre deux réels, inégalité triangulaire• La relation d’ordre ≤ dans R : majorant, maximum, minorant, minimum.• Borne supérieure (resp. inférieure) d’une partie non vide majorée (resp. minorée) de R. Aucundéveloppement n’est attendu.• Suites réelles : Mode de définition d’une suite, opérations.

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TSI 1 Lycée Heinrich-Nessel 2017/2018

• Suites monotones, strictement monotones, minorées, majorées, bornées.• Suite extraite.• Suite arithmétiques et suites géométriques.• Limite d’une suite réelle : Les définitions sont données avec des inégalités larges.• Limite finie ou infinie d’une suite, unicité de la limite. Suite convergente, suite divergente.• Pour une suite (un) donnée, prouver l’existence d’une limite l en majorant |un− l|, notamment

lorsque la suite vérifie une inégalité du type : |un+1 − l| ≤ k|un − l| avec 0 < k < 1.• Toute suite réelle convergente est bornée.• Si une possède une limite (finie ou infinie) alors toutes ses suites extraites possèdent la même

limite.• Prouver la divergence d’une suite à l’aide de suite(s) extraite(s).• Opérations sur les limites : somme, multiplication par un scalaire, produit, inverse. Lever une

indétermination.• Cas des suites géométriques, arithmétiques.• Passage à la limite dans une inégalité.• Théorème de l’encadrement. Divergence par comparaison, théorème de la limite monotone.• Théorème des suites adjacentes.• Comparaison de suites• Relations de comparaison : domination un = O(vn), négligeabilité un = o(vn), équivalenceun ∼ vn.• On définit ces relations à partir du quotient un

vnen supposant que (vn) ne s’annule pas à partir

d’un certain rang.• Croissance comparées des suites usuelles : lnβ(n), nα et eγn à l’aide de o.• Lien entre les différentes relations de comparaison : un ∼ vn si et seulement si un− vn = o(vn).• Compatibilité de l’équivalence avec le produit, le quotient, les puissances.• Propriétés conservées par équivalence : signe, limite.

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TSI 1 Suites numériques 2017/2018

12.1 Entiers naturels et raisonnement par récurrence

On définit (caractérise) l’ensemble des entiers naturels N par le système d’axiomes (d’hypothèses) dePeano (1858-1932) :L’ensemble des entiers naturels, noté N, vérifie les axiomes suivants :

• N possède l’élément zéro, noté 0 ;

• Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ;

• 0 n’est le successeur d’aucun entier naturel ;

• Si deux entiers naturels ont le même successeur alors ils sont égaux

• Si un sous-ensemble d’entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de seséléments, alors cet ensemble est égal à N. (principe de récurrence)

Uniquement à l’aide de ses axiomes, on peut définir rigoureusement, l’addition et la relation d’ordre≤ sur l’ensemble des entiers naturels.

12.1.1 Raisonnement par récurrence

Théorème. Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.

Théorème 12.1 (Récurrence). Soit P(n) une proposition dépendant d’un entier naturel n et n0un entier naturel. Supposons que• P(n0) est vraie. (initialisation)• Pour tout entier n ≥ n0, l’implication P(n)⇒ P(n+ 1) est vraie. (hérédité)

Alors la proposition P(n) est vraie quel que soit l’entier n ≥ n0.

Corollaire 12.2 (Récurrence forte). Soit P(n) une proposition dépendant d’une variable n ∈ N etn0 un entier naturel. Supposons que :

• P(n0) est vraie.

• Pour tout entier n ≥ n0,

(P(n0) ET P(n0 + 1) ET . . . ET P(n)

)⇒ P(n+ 1)

est vraie.

Alors la proposition P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0.

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12.2 Ensemble ordonné des nombres réelsSoit a et b deux nombres réels tels que a ≤ b. On rappelle qu’on pose :

[a; b] = {x ∈ R, a ≤ x ≤ b}[a; b[ = {x ∈ R, a ≤ x < b}]a; b] = {x ∈ R, a < x ≤ b}]a; b[ = {x ∈ R, a < x < b}

[a; +∞[ = {x ∈ R, a ≤ x}]a; +∞[ = {x ∈ R, a < x}

]−∞; b] = {x ∈ R, x ≤ b}]−∞; b[ = {x ∈ R, x < b}

]−∞; +∞[ = R

Vocabulaire. Soit a, b des nombres réels ou éventuellement égaux à ±∞. On dit que l’intervalle[a; b] est fermé, l’intervalle ]a; b[ est ouvert et l’intervalle [a; b[ est fermé en a et ouvert en b.

Lorsque un intervalle est ouvert (resp. fermé) en l’une de ses bornes c’est tout simplement qu’il necontient pas (resp. contient) cette borne.

Définition 12.3. Un intervalle I de R est une partie de R telle que

∀ a ∈ I, ∀ b ∈ I, [a; b] ⊂ I

C’est-à-dire que quels que soient les réels a ≤ b, si a et b sont dans l’ensemble I, alors I contientaussi tout l’intervalle [a; b] (tous les nombres compris entre a et b).

Théorème. Un intervalle I de R est toujours d’une des neuf formes ci-dessus.

12.2.1 Inégalités

Définition 12.4. Une inégalité est une formule mathématiques, indiquant dans quel ordre sontrangés deux expressions. Les différents symboles d’inégalités :• ≤ se dit « inférieur (ou égal) » (inégalité large)• ≥ se dit « supérieur (ou égal) » (inégalité large)• < se dit « inférieur strictement » (inégalité stricte)• > se dit « supérieur strictement » (inégalité stricte)

Remarque. Soit a et b deux nombres, alors

a ≤ b si et seulement si b ≥ a

eta < b si et seulement si b > a

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Vocabulaire. On dit qu’une inégalité change de sens lorsqu’on passe du symbole ≤ au ≥ et récipro-quement (mais en gardant les expressions déduites dans le même ordre). De même, avec les inégalitésstrictes.

Définition 12.5. Encadrer un nombre x, c’est donner deux nombres a et b tels que a ≤ x ≤ b.On dit alors que x est compris entre a et b.

Lorsqu’un nombre est inférieur à un second qui est inférieur au troisième, bien sûr que le premier estaussi inférieur au troisième nombre :

Proposition 12.6. Soit a, b et c trois nombres réels, alors• a ≤ a et a ≥ a (réflexivité)• Si a ≤ b et b ≤ c alors a ≤ c (transitivité)

Si a ≥ b et b ≥ c alors a ≥ c

Par contre, on n’a pas a < a ni a > a !

Proposition 12.7 (inégalité et opérations).• Une inégalité est conservée lorsqu’on ajoute ou retranche un même nombre de part et d’autre

de l’inégalité.• Une inégalité est conservée lorsqu’on multiplie ou divise par un même nombre strictementpositif de part et d’autre de l’inégalité.• Par contre, l’inégalité change de sens lorsqu’on multiplie ou divise par un même nombrestrictement négatif de part et d’autre de l’inégalité.

Corollaire 12.8. Soit a, b, c et d quatre nombres réels.1) Si a ≤ b et c ≤ d alors a+ c ≤ b+ d ;2) Si a ≤ b et c ≥ d alors a− c ≤ b− d ;

Supposons de plus que les nombres a, b, c et d sont strictement positifs.3) Si a ≤ b et c ≤ d alors a× c ≤ b× d ;4) Si a ≤ b et c ≥ d alors a

c≤ b

d.

Vocabulaire.• Un nombre a est dit positif si a ≥ 0 ;• Un nombre a est dit négatif si a ≤ 0.

On note R+ l’ensemble des nombres positifs, R− l’ensemble des nombres négatifs et R∗ l’ensemble desnombres non nuls.

R0

nombres positifs : R+nombres négatifs : R−

Remarque. Le seul nombre à la fois positif et négatif est zéro.

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12.2.2 Valeur absolue

Définition 12.9. Soit x ∈ R, la valeur absoluedu nombre x, notée |x|, est

|x| =

−x si x < 0x si x ≥ 0

x 7→ |x|

Proposition 12.10.1) La valeur absolue d’un nombre est toujours positive. Autrement dit, pour tout réel x, |x| ≥ 0.2) |x| = 0 si et seulement si x = 03) Pour tout réel x, on a : | − x| = |x|.4) Pour tous réels x, y, on a : |xy| = |x| × |y|.5) Pour tous réels x, y 6= 0, on a :

∣∣∣xy

∣∣∣ = |x||y| .

6) Pour tout réel x, on a :√x2 = |x|.

Proposition 12.11. Soit a un nombre réel et M > 0. Pour tout nombre réel x, on a

|x− a| ≤M ⇐⇒ a−M ≤ x ≤ a+M

Raa−M a+M

−M +M

C’est-à-dire, si et seulement si x appartient à l’intervalle [a−M ; a+M ].

Méthode. Étant donné a et M , pour montrer que |x − a| ≤ M , en général, on montre qu’on ales deux inégalites : a−M ≤ x et x ≤ a+M .

En considérant le cas a = 0 et en remarquant que |x| > M est la négation de |x| ≤M , on déduit :

Corollaire 12.12. Si M est un nombre positif, alors1) |x| ≤M si et seulement si −M ≤ x ≤M ;2) |x| > M si et seulement si x < −M ou M < x.

Remarque. Le premier point du corollaire peut être reformuler ainsi : |x| ≤ M si et seulement si−x ≤M et x ≤M .

Définition 12.13. La distance entre deux réels a et b est la distance entre les points M et Nd’abscisses a et b sur la droite réelle munie d’un repère (O,−→i ). On la note d(a, b).

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RM

a

N

b

d(a, b) = MN

Proposition 12.14 (inégalité triangulaire). Pour tous réels x et y, on a

|x+ y| ≤ |x|+ |y|

Proposition 12.15 (seconde inégalité triangulaire). Soit x et y deux nombres réels. Alors,

||x| − |y|| ≤ |x− y|

En particulier, |x| − |y| ≤ |x− y| et |x| − |y| ≤ |x+ y|.

12.2.3 Borne inférieure, supérieure

Définition 12.16. Soit A une partie non vide de R. On dit que A est majorée si

∃M ∈ R, ∀ x ∈ A, x ≤M

Tout nombre M satisfaisant à cette propriété est appelé un majorant.

Définition 12.17. Soit A une partie non vide de R. On dit que A est minorée si

∃m ∈ R, ∀ x ∈ A, x ≥ m

Tout nombre m satisfaisant à cette propriété est appelé un minorant.

Définition 12.18. Soit A une partie non vide de R. On dit que A est bornée si A est majorée etminorée.

Définition 12.19. Soit A une partie non vide de R et α un nombre réel. On dit que• α est la borne supérieure de A et on note α = sup(A) si α est le plus petit majorant de A.• α est la borne inférieure de A et on note α = inf(A) si α est le plus grand minorant de A.

Exercice 12.a. Déterminer la borne inférieure et la borne supérieure de la partie A = { 2nn+1 ; n ∈ N}

de R.

Théorème 12.20 (R possède la propriété de la borne supérieure).1) Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure.2) Toute partie non vide et minorée de R admet une borne inférieure.

Exercice 12.b.

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1) Soit A une partie non vide et minorée de R. Que peut-on dire de l’ensemble A′ = {−x; x ∈ A} ?2) Montrer que dans le théorème précédent, le point 2. est une conséquence du point 1.

Remarque. Si A n’est pas majorée, on pose sup(A) = +∞ et si A n’est pas minorée, on poseinf(A) = −∞.

Méthode. Pour savoir si une partie de R est majorée, minorée, bornée, on sera amené à travaillersur des inéquations. Pour montre qu’une partie n’est pas majorée (resp. minorée) par un élémentλ, il suffit de trouver un élement de la partie plus grand (resp. plus petit) que λ.

Digression.• Voici une caractérisation de la borne supérieure : Soit A une partie de R non vide et majorée.

La borne supérieure de A est l’unique nombre réel sup(A) tel que :1) si x ∈ A alors x ≤ sup(A) (sup(A) est un majorant) ;2) pour tout T < sup(A), il existe x ∈ A tel que T < x

Si T est strictement plus petit que sup(A) alors T ne peut pas être un majorant de A.)

• De même, voici une caractérisation de la borne inférieure : Soit A une partie de R non vide etmajorée. La borne inférieure de A est l’unique nombre réel inf(A) tel que :1) si x ∈ A alors x ≥ inf(A) (inf(A) est un minorant) ;2) pour tout T > inf(A), il existe x ∈ A tel que x < T

Si T est strictement plus grand que inf(A) alors T ne peut pas être un minorant de A.) �

12.3 Suites numériquesNotation. Pour tout entier n, on rappelle que :

Jn; +∞[= [n; +∞[∩N = {k ∈ N, k ≥ n} = {n;n+ 1;n+ 2; . . .}

Définition 12.21. Une suite réelle u est une application à valeurs dans R et définie sur Jp; +∞[,où p ∈ N :

u : Jp; +∞[ // R

n � // un := u(n)

• Le domaine de définition Jp; +∞[ de la suite s’appelle le support de u.• La suite u peut aussi être notée ainsi : (un)n≥p ou (un).• Le nombre un est appelé n-ème terme de la suite (un)n≥p.

En d’autres termes, une suite de nombres réels (un)n≥p est la donnée pour tout entier naturel n ≥ pd’un nombre réel noté un.

Exemples.• (un) = (0, 1, 2, 3, 4, . . .), c’est-à-dire pour tout n : un = n.

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• (un) = (0, 2, 4, 6, 8, . . .), c’est-à-dire pour tout n : un = 2n.• (un) = (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .), c’est-à-dire pour tout n : un = n2.• (un) = (1, 5, 25, 125, . . .), c’est-à-dire pour tout n : un = 5n.

Notation. L’ensemble des suites (un)n∈N, dont le support est N, est noté RN.

Une conséquence du principe de récurrence :

Proposition 12.22 (définition par récurrence). Soit p ∈ N, I un intervalle de R, f une fonctionde I dans I et a ∈ I. Il existe une unique suite (un)n≥p telle queup = a

un+1 = f(un) pour tout entier n ≥ p

Vocabulaire. Dans la proposition précédente, la seconde relation est appelée relation de récurrenceet on dit que la suite (un)n≥p est définie par récurrence.

Exemple. Soit (un) la suite définie par récurrence ainsi :u0 = 1un+1 = 5un − 2

L’algorithme suivant permet d’obtenir le terme d’un rang donné de la suite (un) :1: Variables : n, U et i sont des nombres2: Saisir n3: U prend la valeur 14: Pour i allant de 1 à n faire5: U prend la valeur 5× U − 26: Fin Pour7: Afficher U

Méthode. Il est important de bien vérifier les conditions du théorème avant de manipuler unesuite définie par récurrence. Autrement dit, il faut s’assurer que le premier terme appartient à unintervalle I stable par f , c’est-à-dire tel que ∀ x ∈ I, f(x) ∈ IOn procédera souvent à une étude préalable de la fonction f pour déterminer un tel intervalle I.

Exemples.1) Les suites arithmétiques et géométriques sont généralement définies par récurrence (voir plus

loin)2) La suite de Fibonacci est définie par une récurrence double : un+2 = un+1 +un, et u0 = u1 = 1.3) La suite de Syracuse est définie par récurrence par

un+1 ={un/2 si n est pair3un + 1 sinon

4) Une suite homographique est une suite définie par une relation de récurrence de la forme un+1 =aun+bcun+d

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Représentation graphique

Définition 12.23. Soit (un) une suite réelle. On se place dans le plan muni d’un repère, onpeut alors associer à la suite l’ensemble des points A(n; un), où n parcourt l’ensemble des entiersnaturels. Cet ensemble de points est appelé le nuage de points associé à la suite (un).

Exemple. Soit (un) la suite définie par un = 13n

3 − 10n2 + 75n+ 30 pour tout entier naturel n. Voicile nuage de points associé à la suite (un) :

n

A0

0

A1

1

A2

2

A3

3

A4

4

A5

5

A6

6

A7

7

A8

8

A9

9

A10

10

A11

11

A12

12

A13

13

A14

14

A15

15

A16

16

A17

17

A18

18

A19

19

A20

20

50

100

150

200

Pour une suite définie par récurrence, donc de la forme un+1 = f(un) et u0 = a, on trace la fonctionf ET la droite y = x. On place en abscisse le point u0 = a, puis• on trace un segment verticale depuis ce point jusqu’à la courbe, pour obtenir le point de la

courbe de coordonnées (u0, f(u0)) ;• on trace un segment horizontale depuis ce point jusqu’à la première bissectrice (d’équationy = x), ce point à pour abscisse u1.

Puis, on recommence indéfiniment pour déterminer les termes suivants de la suite (voir l’illustrationci-dessous).

Cf

y=x

0 u0 u1 u2 u3 u4

Cf

y=x

0 u0 u1u2 u3u4 u5

Dans les deux exemples précédents, la suite semble converger vers un nombre l, abscisse du pointd’intersection de la courbe représentative et la droite d’équation y = x. La limite l est un nombretelle que f(l) = l.Exemple. Considérons la suite (un)n∈N définie par un = (−1)n pour tout entier n alors

un =

1 si n est pair−1 si n est impair

On peut associer la suite (vn)n∈N définie par vn = u2n pour tout entier n. On note que vn = 1 pourtout entier n et

(vn) = (1,−1, 1,−1, 1,−1, . . .) et (un) = (1, 1, 1, . . .)On dit que la suite (vn) est une suite extraite de la suite (un).

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Définition 12.24. Soit (un)n≥p et (vn)n≥q deux suites. On dit que (vn)n≥q est une suite extraitede (un)n≥p s’il existe une application φ de Jq; +∞[ dans Jp; +∞[ strictement croissante telle que

∀ n ∈ Jq; +∞[, vn = uφ(n)

Notation. Il arrive qu’on note la suite extraite (vn)n≥q ainsi (unk)k≥q avec nk = φ(k) pour toutk ≥ q. Cette notation met en valeur la suite de départ (un) utilisée pour extraire la sous-suite.

Exemples.1) La suite (vn) définie par vn = u2n est une suite extraite de u, celle des termes d’indices pairs.2) La suite (vn) définie par vn = u2n+1 est une suite extraite de u, celle des termes d’indices

impairs.3) La suite (vn) définie par vn = un+p est une suite extraite de u qui consiste à « oublier » les

premiers termes de u.4) Plus généralement, la suite (vn) définie par vn = ukn+p est une suite extraite de u.

12.4 Opérations sur les suites

Définition 12.25. Soit (un) et (vn) deux suites de même support [[p; +∞[. La somme de (un) etde (vn) est la suite (un) + (vn) définie par

∀ n ∈ [[p; +∞[, (u+ v)n = un + vn

Définition 12.26. Soit (un) une suite de support [[p; +∞[. Soit λ ∈ R. Le produit de (un) par lescalaire λ est la suite λ(un) définie par

∀ n ∈ [[p; +∞[, (λu)n = λun

Proposition 12.27. Soit (un), (vn) et (wn) trois suites de même support [[p; +∞[, λ et µ deuxscalaires, alors :

1) (un) + (vn) = (vn) + (un)

2) (un) +(

(vn) + (wn))

=(

(un) + (vn))

+ (wn)

3) 0× (un) = (0) et 1× (un) = (un)

4) λ(

(un) + (vn))

= λ(un) + λ(vn)

5) (λ+ µ) (un) = λ(un) + µ(un)6) λ(µ(un)) = (λµ)(un)

Notation. On note (−un) au lieu de (−1)× (un).

Définition 12.28. Soit u et v deux suites de même support [[p; +∞[. Le produit de u par v est lasuite uv définie par

∀ n ∈ [[p; +∞[, (uv)n = un × vn

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Définition 12.29. Soit u et v deux suites de même support [[p; +∞[. Si la suite v ne s’annule pas,alors quotient de u par v est définie. Il est noté u

vet définie par

∀ n ∈ [[p; +∞[,(u

v

)n

= unvn

Proposition. Soit u, v et w trois suites de même support [[p; +∞[. Soit λ et µ deux scalaires. Alors :1) uv = vu

2) u(vw) = (uv)w3) λ(uv) = (λu)v = u(λv)

12.4.1 Suites et variations

Définition 12.30. Une suite (un)n≥p est dite• croissante si pour tout entier n ≥ p, on a un ≤ un+1.• strictement croissante si pour tout entier n ≥ p, on a un < un+1.• décroissante si pour tout entier n ≥ p, on a un ≥ un+1.• strictement décroissante si pour tout entier n ≥ p, on a un > un+1.• constante si pour tout entier n ≥ p, on a un = un+1.

Vocabulaire. Une suite est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante, soit constante.

Proposition 12.31. Soit (un)n≥p une suite.• Si (un) est croissante, alors pour tous entiers m,n ∈ Jp; +∞[, on a m ≤ n implique un ≤ um.• Si (un) est décroissante, alors pour tous entiers m,n ∈ Jp; +∞[, on a m ≤ n impliqueun ≥ um.

Définition 12.32. Soit (un)n≥p une suite. On dit que (un) est stationnaire si

∃N ∈ Jp; +∞[ ∀n ≥ N : un = uN

En d’autres termes, il existe un rang N à partir duquel la suite (un) est constante.

Méthode. Pour savoir si une suite (un) est croissante ou décroissante, il suffit d’étudier le signede un+1 − un pour tout n ∈ Jp; +∞[.

Exercice 12.c. Montrer que les suites suivantes sont croissantes ou décroissantes :

un = 2n+ 3, vn = −5n+ 7, wn = n2 − 1, xn+1 = xn + x2n, yn = 2n, zn = ln(n)

Proposition. Soit (un) une suite de support [[p; +∞[ dont tous les termes sont strictement positifs.Alors :

1) (un) est croissante si et seulement si ∀ n ∈ [[p; +∞[, un+1un≥ 1

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2) (un) est strictement croissante si et seulement si ∀ n ∈ [[p; +∞[, un+1un

> 13) (un) est décroissante si et seulement si ∀ n ∈ [[p; +∞[, un+1

un≤ 1

4) (un) est strictement décroissante si et seulement si ∀ n ∈ [[p; +∞[, un+1un

< 1

Méthode. Pour savoir si une suite strictement positive (un) est croissante ou décroissante, onpeut chercher à comparer un+1

unà 1.

Exercice 12.d. Montrer que les suites suivantes sont croissantes ou décroissantes :

un = 2n+ 3, vn = 2n, wn = n2

Proposition. Soit (un) une suite monotone. Toute suite extraite de (un) est monotone, de mêmesens de variations.

Proposition 12.33. Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant [p; +∞[ à valeursdans R. Soit (un) la suite définie par un = f(n), pour n ∈ [[p; +∞[. Alors

1) si f est croissante, (un) est croissante2) si f est décroissante, (un) est décroissante

Exercice 12.e. Interpréter les exemples précédents (lorsque cela est possible à l’aide de la proposi-tion ci-dessus).

Proposition 12.34. Soit f : I → I une fonction et a ∈ I. Soit (un) la suite définie par récurrence :u0 = a

un+1 = f(un)

Supposons que f est croissante.1) Si a ≤ f(a) alors (un) est croissante ;2) si a ≥ f(a) alors (un) est décroissante.

Exercice 12.f . Soit f : I → I une fonction et a ∈ I. Soit (un) la suite définie par récurrence :u0 = a

un+1 = f(un)

Supposons que f est décroissante.1) Si a ≤ f(a) alors la suite extraite (u2n) est croissante et la suite extraite (u2n+1) est décroissante ;2) Si a ≥ f(a) alors la suite extraite (u2n) est décroissante et la suite extraite (u2n+1) est croissante ;

Exercice 12.g. Étudier la monotonie de la suite définie par un+1 = un(un + 1) avec u0 = 1.

13


12.4.2 Majoration. Minoration

En identifiant une suite (un) avec l’ensemble de ses termes {un; n ∈ Jp; +∞[ }, on peut naturellementdéfinir les notions de suites minorées, majorées, bornées, de majorants, de minorants.

Définition 12.35. Soit (un) une suite de support [[p; +∞[. On dit que (un) est• majorée si

∃M ∈ R, ∀ n ∈ [[p; +∞[, un ≤M

• minorée si∃m ∈ R, ∀ n ∈ [[p; +∞[, un ≥ m

• bornée si (un) est majorée et minorée.

Exercice 12.h. Les suites suivantes sont-elles majorées ? minorées ?

un = (−1)n, vn = 2n, wn+1 = sin(wn), xn = sin(n)− 3 cos(n2 − 5n),

yn+1 = 1yn

et y0 = 10

Proposition 12.36. Une suite (un) est bornée si et seulement si la suite des valeurs absolues( |un| ) est majorée.

Définition 12.37. Soit (un) une suite de support [[p; +∞[.1) Si (un) est majorée, on appelle majorant de (un) tout nombre réel M tel que

∀ n ∈ [[p; +∞[, un ≤M

2) Si (un) est minorée, on appelle minorant de (un) tout nombre réel m tel que

∀ n ∈ [[p; +∞[, un ≥ m

Définition. Soit (un) une suite de support [[p; +∞[. Si (un) est majorée, la borne supérieure de (un)est le plus petit majorant de (un). On le note sup(u). Si (un) est minorée, la borne inférieure de (un)est le plus grand minorant. On le note inf(u).

Remarque. Si (un) n’est pas majorée, on pose sup(u) = +∞. Si (un) n’est pas minorée, on poseinf(u) = −∞.

12.5 Suites arithmétiques et géométriques

Définition 12.38. Une suite arithmétique de terme initial a et de raison r est la suite définie dela manière suivante : up = a

un+1 = un + r pour tout entier n ≥ p

14


Proposition 12.39. Soit (un) une suite arithmétique de terme initial up = a et de raison r.Alors :

1) un = a+ (n− p)r pour tout entier n ≥ p

2) Soit n ≥ k ≥ p et S la somme uk + uk+1 + . . .+ up des termes consécutifs de la suite (un) deuk à up, alors :

S = uk + uk+1 + . . .+ up

= (nombre de termes de S) (premier terme de S) + (dernier terme de S)2

= (p− k + 1)uk + up2

3) En particulier,u1 + . . .+ un︸︷︷︸

n termes

= nu1 + un

2

Exemple. Soit (un) la suite définie par un = n. Cette suite est arithmétique de raison 1 et d’après lapropriété précédente, on a

1 + 2 + . . .+ n = u0 + . . .+ un = (n+ 1)n2

Proposition 12.40. Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de terme initial up. Notonsque pour tout entier n ≥ p, un+1 − un est égale à la raison r.

1) Si r > 0, alors pour tout n ≥ p : un < un+1 et la suite est strictement croissante.2) Si r = 0, alors pour tout n ≥ p : un = un+1 = un+2 = . . . et la suite est constante.3) Si r < 0, alors pour tout n ≥ p : un > un+1 et la suite est strictement décroissante.

Exercice 12.i. Soit (un) une suite arithmétique de raison r. Déterminer la limite de la suite enfonction de la raison r.

Définition 12.41. Une suite géométrique de terme initial a et de raison q est la suite définie dela manière suivante : up = a

un+1 = qun pour tout entier n ≥ p

Exercice 12.j. Soit (un)n≥p une suite géométrique de raison q. Supposons que (un) est strictementpositive.

1) Donner une condition nécessaire et suffisante sur up et q pour la suite (un)n≥p soit effectivementstrictement positive.

2) Posons, pour tout entier n ≥ p, vn = ln(un). Déterminer la nature de la suite (un)n≥p.

Rappelons que pour tout nombre réel q 6= 1, on a

1 + q + q2 + . . .+ qn = 1− qn+1

1− q

15


Soit (un) une suite géométrique de raison q 6= 1, on a rappelé que un = u0 qn pour tout entier n.

Ainsi :

u0 + u1 + u2 + . . .+ un = u0 + u0 q + u0 q2 + . . .+ u0 q

n

= u0(1 + q + q2 + . . .+ qn

)(on a factorisé par u0)

= u01− qn+1

1− q

Proposition 12.42. Soit (un) une suite géométrique de terme initial up = a et de raison q. Alors :1) un = a qn−p pour tout entier n ≥ p.2) Si p = 0, alors pour tout entier naturel n :

u0 + u1 + . . .+ un = u01− qn+1

1− q

3) Soit n ≥ k ≥ p etS = uk + uk+1 + . . .+ un︸︷︷︸

n−k+1 termes

la somme de termes consécutifs de la suite géométrique, alors

S = 1er terme× 1− qnombre de termes

1− q = uk ×1− qn−k+1

1− q

Exemple. Soit (un) la suite géométrique de raison q = 1.2 et de terme initial u0 = 1000. PosonsS = u3 + u4 + . . .+ u10.Le terme initial de la somme est u3 = u0 q

3 = 1000× 1.23 = 1728.La somme S comporte 10− 3 + 1 = 8 termes.D’où

S = 1728× 1− 1.28

1− 1.2 ' 28 510.42

12.6 Convergence d’une suite

12.6.1 Convergence vers une limite finie

Rappel : Soit x un nombre réel quelconque, la valeur absolue du nombre x, notée |x|, est le nombre

|x| =

−x si x < 0x si x ≥ 0

Soit a et b deux nombres réels, alors |b − a| est égale à la distance entre a et b sur la droite desnombres réels.

Ra b

|b− a|

16


Définition 12.43. Une suite réelle (un)n≥p a pour limite le nombre ` quand n tend vers l’infini,si quelle que soit la distance ε qu’on se fixe, il existe un rang N à partir du quel tous les termesun de la suite sont à une distance inférieure ou égale à ε du nombre ` :

∀ ε > 0 ∃N ∈ Jp; +∞[ ∀n ∈ Jp; +∞[ n ≥ N ⇒ |un − `| ≤ ε

On note alorslim

n→+∞un = ` ou un n→+∞

// `

`εε

N n≤

un

Vocabulaire.• Lorsqu’une suite (un) a pour limite un nombre ` quand n tend vers l’infini, on dit aussi que `

est la limite de la suite (un) en l’infini.• Si (un) admet une limite ` ∈ R, on dit que (un) converge. Sinon, on dit que (un) diverge.

Exemples.• Soit (un) la suite réelle définie par un = 1

n. Soit ε > 0 une certaine distance, on note que pour

tout entier n ≥ 1ε, comme la fonction inverse est décroissante, on a

1n≤ 1

1ε

.

Or le terme de droite de l’inégalité est égal à ε. Ainsi, lorsque n ≥ 1ε, on a

| 1n− 0| = 1

n≤ ε.

En d’autres termes, quel que soit la distance ε qu’on impose, il existe un rang à partir du quel1nest à une distance inférieure à ε de 0. La suite (un) converge donc vers 0 lorsque n tend vers

l’infini.• La suite (un), définie par un = 1 + 0.2n, converge vers 1 lorsque n tend vers l’infini.• La suite (un) définie par un = 1

2n est convergente.• Toute suite constante est convergente.

Exercice 12.k.1) Soit l un nombre réel. Donner la négation de l’affirmation (un) tend vers l en l’infini.2) On considère la suite (un)n≥1 définie par un = 1 + (−1)n

n.

a) Montrer que la suite (un) tend vers 1.b) Montrer que la suite (un) ne tend pas vers 0.

17


Proposition 12.44 (unicité de la limite). Soit (un) une suite réelle. Si (un) converge vers ` etvers `′ alors ` = `′. Autrement dit, la limite d’une suite convergente est unique.

Démonstration. Soit (un) une suite réelle. Supposons par l’absurde que (un) converge vers ` et vers `′ deuxlimites distinctes. Quitte à échanger ` et `′, on suppose que ` < `′. Posons ε = `′−`

3 > 0.

R` `′

−ε ε −ε ε

Par hypothèse, il existe N1 ∈ N tel que pour tout entier n ≥ N1, |un − `| ≤ ε. De même, il existe N2 ∈ N teque pour tout entier n ≥ N2, |un − `′| ≤ ε. En particulier, pour N = max(N1, N2), on a{

|uN − `| ≤ `′−`3

|uN − `′| ≤ `′−`3

⇒{`− `′−`

3 ≤ uN ≤ `+ `′−`3

`′ − `′−`3 ≤ uN ≤ `′ + `′−`

3

⇒ uN ≤ `+ `′ − `3 < `+ 2`

′ − `3 = `′ − `′ − `

3 ≤ uN

Ce qui est absurde. D’où ` = `′.

Proposition 12.45. Soit (un) une suite. Si (un) converge vers `, alors toute suite extraite de (un)converge vers `.

Démonstration. Quitte à réindexer les éléments de la suite (un), on suppose que le support de la suite estN. Soit (vn) une suite extraite de (un) alors il existe φ : N→ N une application strictement croissante telleque vn = uφ(n) pour tout entier n. Notons que, pour tout entier n, on a

φ(n) > φ(n− 1)φ(n) ≥ φ(n− 1) + 1 > φ(n− 2) + 1φ(n) ≥ φ(n− 2) + 2φ(n) ≥ φ(0) + n par récurrenceφ(n) ≥ n (?)

Soit ε > 0, par hypothèse (un) converge vers `. Ainsi, il existe N ∈ N tel que pour tout entier n ≥ N , onait |un − `| ≤ ε. Soit n ∈ N, d’après (?) on a :

n ≥ N ⇒ φ(n) ≥ φ(N) ≥ N ⇒ |uφ(n) − `| ≤ ε

Donc, la suite extraire (uφ(n)) converge aussi vers `.

Méthode. On peut montrer qu’une suite n’est pas convergente par l’absurde, en exhibant deuxsuites extraites convergentes vers des limites différentes.

Exemple (important !). La suite (un) définie par un = (−1)n n’est pas convergente.

18


Proposition 12.46. Une suite convergente est bornée.

Démonstration. Notons ` la limite de la suite (un). Soit ε = 1, alors il existe N ∈ N tel que pour tout entiern ≥ N , on ait `− 1 ≤ un ≤ `+ 1. Posons

A = {un; n ∈ Jp;N − 1K } ∪ {`− 1; `+ 1}

C’est un ensemble fini, ainsi M = max(A) et m = min(A) sont bien définies. On vérifie par disjonction decas que pour tout n ∈ Jp; +∞[, m ≤ un ≤M . D’où (un) est bornée.

Lemme 12.47 (limite d’une somme). Soit (un) et (vn) deux suites. Si (un) converge vers ` et (vn)converge vers `′ alors la somme (un + vn) converge vers `+ `′.

Démonstration. Avec les hypothèses et notations du lemme, soit ε > 0. Par hypothèse, il existe deux entiersN1 et N2 tels que pour tout entier n :{

n ≥ N1 ⇒ |un − `| ≤ ε2

n ≥ N2 ⇒ |vn − `′| ≤ ε2

Posons N = max(N1, N2), alors pour tout entier n ≥ N , on a

|un + vn − (`+ `′)| = |un − ` + vn − `′ |≤ |un − `|+ |vn − `′| d’après l’inégalité triangulaire

≤ ε

2 + ε

2≤ ε

Pour un ε > 0 arbitraire, on a donc trouvé N ∈ N tel que pour tout n ≥ N , |un + vn − (`+ `′)| ≤ ε. Ainsi,par définition, la suite somme (un + vn) converge vers la somme des limites `+ `′.

Proposition 12.48 (Linéarité). Soit (un) et (vn) deux suites, λ et µ deux scalaires. Si (un)converge vers ` et (vn) converge vers `′ alors la combinaison linéaire (λun + µvn) converge versλ`+ µ`′.

Démonstration. Si λ = 0, alors la suite (λun) est identiquement nulle et converge donc vers 0 = λ`.Supposons que λ 6= 0. Soit ε > 0, alors par hypothèse, il existe N ∈ N tel que pour tout entier n ≥ N , on ait

|un − `| ≤ε

|λ||λ| |un − `| ≤ ε car |λ| ≥ 0|λun − λ`| ≤ ε

Ainsi (λun) converge vers λ`. De même, on montre que (µvn) converge vers µ`′. Ainsi, d’après le lemmeprécédent, on déduit que (λun + µvn) converge vers λ`+ µ`′.

Proposition 12.49. Soit (un) et (vn) deux suites. Si (un) converge vers ` et (vn) converge vers`′ alors la suite des produits (un vn) converge vers le produit des limites `× `′.

19


Démonstration. Comme (un) est convergente, elle est bornée (proposition 12.46). NotonsM > 0 un majorantdes |un| et de |`′|.Soit ε > 0. Par hypothèse, il existe N ∈ N tel que pour tout entier n ≥ N , on ait{

|un − `| ≤ ε2M

|vn − `′| ≤ ε2M

D’où

|unvn − ``′| = |unvn − un`′ + un`′ − ``′|

≤ |un| |vn − `′|+ |un − `||`′| d’après l’inégalité triangulaire≤M

(|vn − `′|+ |un − `|

)≤M

(ε

2M + ε

2M

)≤ ε

Donc (unvn) converge vers ``′.

Proposition 12.50. Soit (un) et (vn) deux suites telles que la suite (vn) ne s’annule pas. Si (un)converge vers ` et (vn) converge vers `′ 6= 0 alors la suite des quotients

(unvn

)converge vers le

quotient des limites ``′.

Démonstration. D’après la proposition précédente, il suffit de montrer que 1vn

converge vers 1`′ poue en

déduire que le produit (un × 1vn

) converge vers ``′ .

Quitte à remplacer (vn) par (−vn), on peut supposer que (vn) converge vers `′ > 0. Par hypothèse sur lasuite (vn), il existe N1 ∈ N tel que pour tout n ≥ N, on ait

n ≥ N1 ⇒ |vn − `′| ≤`′

2 ⇒ 0 < `′ − `′

2 ≤ vn ⇒ 1|vn|≤ 2`′

Soit ε > 0, encore une fois par hypothèse sur (vn), il existe N2 ∈ N tel que pour tout entier n, on ait

n ≥ N2 → |vn − `′| ≤ε `′2

2

Posons N = max(N1, N2), alors pour tout entier n ≥ N , on a∣∣∣∣ 1vn− 1`′

∣∣∣∣ =∣∣∣∣`′ − vn`′vn

∣∣∣∣ = |vn − `′|

`′|vn|= 1`′× 1|vn|× |vn − `′| ≤

2`′2|vn − `′| ≤

2`′2ε `′2

2 = ε

Donc ( 1vn

) converge vers 1`′ .

Théorème 12.51 (Limite monotone). Toute suite monotone bornée est convergente.

20


Démonstration. Supposons que (un) est croissante bornée et posons A = {un; n ∈ Jp; +∞[ }. Alors A estune partie non vide et majorée de R, ainsi, d’après le théorème de la borne supérieure, il existe un réel ` telque sup(A) = `.Soit ε > 0. Comme ` est le plus petit des majorants de A, ` − ε < ` n’est plus un majorant de A. On endéduit qu’il existe un entier N ∈ N tel que uN ≥ ` − ε. Ainsi, comme (un) est croissante, pour tout entiern ∈ N, on a

n ≥ N ⇒ `− ε ≤ uN ≤ un ≤ ` ≤ `+ ε ⇒ |un − `| ≤ ε

Donc (un) converge vers `.Le cas, (un) décroissante est laissé en exercice.

Remarque. Si (un) est croissante et majorée, alors limn→+∞

un = sup(un). Si (un) est décroissante etminorée, alors lim

n→+∞un = inf(un).

Exercice 12.l (méthode de Héron). Considérons la suite (un)n∈N définie paru0 = 2un+1 = 1

2(un + 2un

) pour tout n ∈ N

1) Déterminer u1, u2, u3 et u4.2) Montrer que pour tout entier naturel n, on a

√2 ≤ un ≤ 2.

3) Montrer que la suite (un)n∈N est décroissante.4) En déduire que la suite (un)n∈N converge et déterminer sa limite.5) Généralisation : Soit a un nombre réel positif. Déterminer une suite qui converge vers

√a.

Proposition 12.52 (Comparaison). Soit (un) et (vn) deux suites. On suppose que :• (un) converge vers ` ;• (vn) converge vers `′ ;• un ≤ vn à partir d’un certain rang.

Alors ` ≤ `′.

Démonstration. En reprenant la même idée que dans la preuve de l’unicité de la limite (théorème 12.44).Supposons par l’absurde que `′ < `. Posons ε = `−`′

3 , alors il existe un entier N ∈ N, tel que pour tout entiern ≥ N ,

vn ≤ `′ + ε < `− ε ≤ un

Or, par hypothèse, à partir d’un certain rang, un ≤ vn. Ce qui est contradictoire. Donc ` ≤ `′.

Théorème 12.53 (Encadrement). Soit (un), (vn) et (wn) trois suites. On suppose que• un ≤ vn ≤ wn à partir d’un certain rang ;• les suites (un) et (wn) convergent vers une même limite `.

Alors la suite (vn) est convergente et a pour limite `.

21


Démonstration. Soit ε > 0, par hypothèse sur (un) et (wn), il existe N ∈ N tel que pour tout n ∈ N, on ait

n ≥ N ⇒{`− ε ≤ un ≤ `+ ε

`− ε ≤ wn ≤ `+ ε⇒ `− ε≤un ≤ vn ≤ wn≤ `+ ε ⇒ |vn − `| ≤ ε

Ainsi, par définition, (vn) converge vers `.

Méthode. Pour montrer qu’une suite (un) converge, on peut :• Montrer qu’elle est croissante et majorée.• Montrer qu’elle est décroissante et minorée.• Encadrer la suite (un) par deux suites convergentes de même limite.• Trouver un nombre k ∈ [0; 1[ tel que |un+1 − `| ≤ k|un − `| pour tout n.• Utiliser le théorème des suites adjacentes (voir plus loin).

Nous allons admettre le résultat suivant dont on verra dans le chapitre sur la continuité des fonctionsune démonstration.

Proposition 12.54. Soit f : I → R une fonction continue en a ∈ I. Soit (un) une suite quiconverge vers a et tel que un ∈ I pour tout entier n. Alors

limn→+∞

f(un) = f(a)

12.6.2 Divergence vers l’infini

Lorsque les termes d’une suite deviennent de plus en plus grand, dans certains cas, on peut dire quela suite tend vers +∞ :

Définition 12.55.1) Une suite réelle (un)n∈Jp; +∞[ tend vers +∞ quand n tend vers l’infini, si quel que soit le

seuil A > 0 qu’on se fixe, il existe un rang N à partir du quel tous les termes un de la suitesont au dessus du seuil A :

∀A ≥ 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ Jp; +∞[: n ≥ N ⇒ un ≥ A

A

N n≤

un

22


2) De même, une suite réelle (un)n∈N tend vers −∞ quand n tend vers l’infini, si quel que soitle seuil A ≤ 0 qu’on se fixe, il existe un rang N à partir du quel tous les termes un de lasuite sont en dessous du seuil A :

∀A ≤ 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ Jp; +∞[: n ≥ N ⇒ un ≤ A

Remarque. On rappelle qu’une suite peut ne pas avoir de limite. Par exemple, la suite (un), définiepar un = (−1)n, qui alterne entre les valeurs 1 et −1, ne tend vers aucune limite.

Exemples.1) Toute suite de la forme un = kn+ p est divergente si k 6= 02) Toute suite de la forme un = qn est divergente si q > 1

Une conséquence immédiate de la définition :

Proposition 12.56. Soit (un) une suite ayant pour limite +∞ (resp. −∞). Alors (un) n’est pasmajorée (resp. minorée).

Proposition 12.57. Soit (un) une suite ayant pour limite +∞ (resp. −∞). Alors toute suiteextraite de (un) a aussi pour limite +∞ (resp. −∞).

Proposition 12.58. Soit (un) une suite croissante (resp. décroissante). Si (un) n’est pas majorée(resp. minorée), alors (un) diverge vers +∞ (resp. −∞).

Démonstration. Soit (un) une suite croissante qui n’est pas majorée. Soit A ≥ 0, comme (un) n’est pasmajorée, elle n’est pas majorée par A en particulier, ainsi il existe un rang N tel que uN ≥ A. De plus, (un)est croissante, ainsi pour tout entier n ∈ N, on a

n ≥ N ⇒ un ≥ uN ≥ A

Donc, par définition, lim un = +∞ (l’autre cas se démontre de la même manière).

Méthode. Limites et opérations : Les règles sur les limites sont les mêmes que celles énoncéesdans le chapitre sur les fonctions. Les méthodes pour lever les F.I. aussi !

Proposition 12.59 (Comparaison). Soit (un) et (vn) deux suites de même support [[p; +∞[. Onsuppose que (un) a pour limite +∞. On suppose aussi que un ≤ vn à partir d’un rang. Alors (vn)a pour limite +∞.

Exercice 12.m. Écrire la démonstration de la proposition précédente.

Exercice 12.n. Soit (un) une suite géométrique de raison q et de terme initial up = a. En fonctiondes paramètres q et a déterminer :

1) les variations de la suite géométrique (un).2) la limite de la suite géométrique (un).

23


Proposition 12.60. Soit (un) une suite géométrique de raison q, alors• Si −1 < q < 1, alors

limn→+∞

(u0 + u1 + . . .+ un) = u0

1− q• Si 1 ≤ q, alors

limn→+∞

(u0 + u1 + . . .+ un) =

+∞ si u0 > 0−∞ si u0 < 0

Exercice 12.o. Étudier le comportement à l’infini de la suite géométrique (un) de terme initialu0 = 1 et de raison q = −2.

Méthode. Pour montrer qu’une suite (un) diverge, on peut :• Considérer deux suites extraites de (un) qui convergent vers des limites distinctes.• Montrer que (un) n’est pas bornée.• Montrer que (un) est plus grande qu’une suite qui diverge vers +∞.• Montrer que (un) est plus petite qu’une suite qui diverge vers −∞.

12.7 Suites adjacentes

Définition 12.61. Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes si• Une des deux suites est croissante• L’autre suite est décroissante• la suite des différences (un − vn) converge vers 0

Exercice 12.p. Soit f : [0; 2]→ R la fonction définie par f(x) = −x3 + 3x2 − 1.1) Étudier les variations de la fonction f .2) Justifier que f(x) = 0 admet une unique solution, qu’on notera α.3) On considère l’algorithme de dichotomie appliqué à cette fonction :

1: Variables : n est un entier et an, bn sont des nombres indexés par n2: Initialisation :3: n prend la valeur 04: an prend la valeur 05: bn prend la valeur 26: Traitement :7: Tant que Vraie faire8: Si f(an+bn

2 )× f(an) ≤ 0 alors9: bn+1 prend la valeur an+bn

210: an+1 prend la valeur an11: Sinon12: an+1 prend la valeur an+bn

213: bn+1 prend la valeur bn.14: Fin Si15: n prend la valeur n+ 1

24


16: Fin Tant que17: Sorties : Afficher an et bna) Calculer les trois premières itérations de cet algorithme pour en déduire a0, a1, a2, a3 et

b0, b1, b2, b3. Illustrer les calculs à l’aide de la courbe représentative de la fonction f .b) Est-ce que l’algorithme ainsi défini s’arrête ? Quelle modification faut-il apporter pour

qu’il s’arrête ?c) On suppose qu’on remplace dans la ligne 7, la condition Vraie par la condition bn − an >

10−5. Implémenter cet algorithme et donner le résultat retourné en sortie.

Pour l’étude théorique des séquences (an) et (bn), nous allons accepter le fait que l’algorithmene s’arrête jamais et permet donc de déterminer deux suites numériques.d) Montrer que la suite (an) est croissante et que la suite (bn) est décroissante.e) Montrer que la suite (an) tend vers une limite l, la suite (bn) tend vers une limite l′ et on

a l ≤ α ≤ l′.f) Déterminer la limite de la suite (bn − an). Que peut-on dire des suites (an) et (bn) ?g) En déduire que

limn→+∞

an = limn→+∞

bn = α

Exemple. Le principe de dichotomie conduit à la construction de deux suites adjacentes.

Théorème 12.62 (convergence des suites adjacentes). Soit (un) et (vn) deux suites adjacentes.Alors (un) et (vn) convergent vers la même limite ` :

limn→+∞

un = ` = limn→+∞

vn

De plus, si (un) est croissante et (vn) décroissante, on a pour tout n dans le support de (un) et(vn), un ≤ ` ≤ vn

Conséquence : Lorsque l’on a deux suites adjacentes, on peut encadrer la limite simplement grâceaux termes des deux suites.

Exercice 12.q. Montrer que les deux suites (un) et (vn) ci-dessous sont adjacentes :un+1 = un + 1(n+1)! pour tout n ≥ 0

u0 = 1

{vn = un + 1

n×n! pour tout n ≥ 1v0 = 3

Déterminer une valeur approchée de la limite à 10−4 près. Pouvez-vous deviner la valeur exacte dela limite ?

12.8 Notation de Landau et équivalence

Définition 12.63. Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de nombres réels telles les termes vn sontnon nuls à partir d’un certain rang n0. On dit alors que la suite (un) est :• dominée par (vn) (au voisinage de l’infini), si la suite (un/vn)n≥n0 est bornée.• négligeable devant (vn) (au voisinage de l’infini), si la suite (un/vn)n≥n0 converge vers 0.

25


• équivalente à (vn) (au voisinage de l’infini), si la suite (un/vn)n≥n0 converge vers 1 et on note

un ∼ vn

Exercice 12.r. Soit (an), (bn), (cn) et (dn) quatre suites numériques définies par

an = n2, bn = (−1)n(n2 − 2n+ 1), cn = ln(n) et dn = n2 − 52n+

√3

pour tout entier n ≥ 1. Montrer que :1) (bn) est dominée par (an) ;2) (cn) est négligeable devant (an) ;3) (dn) est équivalente à (an).

Proposition 12.64. Soit (un)n≥n0 et (vn)n≥n0 deux suites de nombres réels.1) Si (un) est dominée par (vn) alors il existe un réel M ≥ 0 tel que

∀n ≥ n0 : |un| ≤M |vn|

2) Si (un) est négligeable devant (vn) alors il existe une suite (εn)n≥n0 telle que

∀n ≥ n0 : un = εn × vn et limn→+∞

εn = 0

3) Si (un) est équivalente à (vn) alors il existe une suite (εn)n≥n0 telle que

∀n ≥ n0 : un = (1 + εn)× vn et limn→+∞

εn = 0

Notation (de Landau, 1924). Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de nombres réels.• Si (un) est dominée par (vn), on note un = O(vn) et on dit que « un est un grand o de vn au

voisinage de l’infini ».• Si (un) est négligeable devant (vn), on note un = o(vn) et on dit que « un est un petit o de vn

au voisinage de l’infini ».

Remarque. La proposition précédente rend cette notation intuitive : Le grand o pour un majorantet le petit o pour une suite (εn) qui tend vers 0.

Digression. Si on utilise la proposition précédente pour définir les trois notions : dominée, négligeableet équivalent, alors l’hypothèse vn non nul à partir d’un certain rang n’est plus nécessaire et le lemmeci-dessous n’est plus vrai.

Proposition 12.65. Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de nombres réels, alors

un ∼ vn ⇐⇒ un − vn = o(vn)

Remarque. On peut reformuler la propriété ainsi : un = vn + o(vn) si et seulement si un ∼ vn.

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Lemme 12.66. Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de nombres réels, supposons que un ∼ vn alorsun aussi est non nul à partir d’un certain rang.

Exercice 12.s. Soit (un) et (vn) deux suites numériques.1) Supposons que un = o(1), déterminer la limite de la suite (un).2) Supposons que la suite (un) tend vers +∞, que (vn) est positive et que (un) est dominée par

(vn). Déterminer la limite de la suite (vn).3) Supposons que (un) tend vers un nombre réel ` et un ∼ vn. Déterminer la limite de la suite

(vn).

Théorème 12.67. Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de nombres réels telles que un ∼ vn, alors

∀ ` ∈ R ∪ {±∞} : limn→+∞

un = ` ⇐⇒ limn→+∞

vn = `

Proposition 12.68. Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de nombres réels telles que un ∼ vn,alors un et vn sont de même signe pour n assez grand.

Comme on a étudié les opérations sur les limites, nous allons voir les opérations sur les équivalents :

Proposition 12.69. Soit (un), (vn), (u′n) et (v′n) des suites réelles telles que

un ∼ u′n et vn ∼ v′n

Alors1) un × vn ∼ u′n × v′n ;

2) Si (vn) et (v′n) sont non nulles à partir d’un certain rang, alors unvn∼ u′n

v′n;

3) Si vn > 0 à partir d’un certain rang, alors vαn ∼ (v′n)α pour tout α ∈ R.

Remarque. D’après le lemme précédent, l’hypothèse (vn) et (v′n) sont non nulles à partir d’un certainrang est toujours vérifiée. Donc, il n’est pas nécessaire de la préciser, mais il est important de garderen mémoire de ne pas diviser par zéro !

Démonstration. D’après le lemme précédent, les quatre suites sont non nulles à partir d’un certain rang N .En passant à la limite sur des produits et des quotients, on déduit

1)lim un × vn

u′n × v′n= lim un

u′n× lim vn

v′n= 1

Donc un × vn ∼ u′n × v′n.2) et

limunvnu′nv′n

= lim unvn× v′nu′n

= lim unu′n× lim v′n

vn= 1

Donc la seconde équivalence.

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3) Enfin, d’après la proposition précédente, pour n assez grand, v′n est aussi (strictement) positif. Parcontinuité de la fonction puissance x 7→ xα sur ]0; +∞[, on déduit que

lim vαn(v′n)α = lim

(vnv′n

)α= 1α = 1

D’où la troisième équivalence.

Proposition. Soit (un), (vn) et (wn) trois suites numériques et α, β deux réels tels que

α + β 6= 0, un ∼ αwn, et vn ∼ βwn

alorsun + vn ∼ (α + β)wn

Remarque. Il faut faire très attention avec l’addition. En général, les équivalents ne s’additionnentpas. Par exemple,• un = 1

n+ 1

n3 ∼ 1n

• vn = −1n

+ 1n2 ∼ −1

n

• or (un + vn) n’est pas équivalente à la suite identiquement nulle.

Quelques conséquences de la croissance comparée des fonctions puissances, exponentielle et loga-rithme :

Proposition 12.70. Soit α > 0, β > 0 et γ > 1, alors1) ( ln(n) )α = o(nβ)2) nβ = o(γn)3) γn = o(n!)

Exercice 12.t. Soit f : R∗+ → R définie par f(x) = (1 + x)α.1) Calculer la dérivée de f2) En déduire lim

x→0(1+x)α−1

x.

3) Soit (un) une suite réelle qui tend vers 0, conjecturer

limn→+∞

(1 + un)α − 1αun

Théorème 12.71. Soit α ∈ R et (un) ∈ RN une suite telle que limn→+∞

un = 0, alors

1) sin(un) ∼ un

2) 1− cos(un) ∼ u2n

2

3) tan(un) ∼ un

4) ln(1 + un) ∼ un

5) eun − 1 ∼ un

6) (1 + un)α − 1 ∼ αun

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12.9 Suites arithmético-géométriques (annexe)

Définition 12.72. Une suite (un) définie par un terme initial et une relation de récurrence de laforme :

un+1 = aun + b

où a et b sont des nombres réels, est appelée suite arithmético-géométrique.

Remarque. Quelques cas particuliers :• si a = 0, alors la relation de récurrence est de la forme un+1 = b et la suite est constante égale

à b.• si a = 1, alors la relation de récurrence est de la forme un+1 = un + b. La suite (un) est alors,

en particulier, une suite arithmétique de raison r = b.• si b = 0, alors la relation de récurrence est de la forme un+1 = aun. La suite (un) est alors, en

particulier, une suite géométrique de raison q = a.

Exemple. La suite (un) définie par u0 = 1000un+1 = 1.1un + 20

est une suite arithmético-géométrique.u1 = 1.1u0 + 20 = 1.1× 1000 + 20 = 1120 ;u2 = 1.1u1 + 20 = 1.1× 1120 + 20 = 1252 ;u3 = 1.1u2 + 20 = 1.1× 1252 + 20 = 1397.2.

Méthode. Soit (un) une suite arithmético-géométrique définie par la donnée de u0 (ou d’un autreterme) et par la relation de récurrence un+1 = aun + b.On suppose de plus que a 6= 0, a 6= 1 et b 6= 0.

• On définit une suite auxiliaire (vn) par

vn = un − α

où α nous a été donné 1 de telle manière que la suite (vn) soit géométrique.• On démontre qu’effectivement la suite (vn) est bien géométrique en prouvant que vn+1 = q vn

pour tout entier naturel n.• On exprime le terme vn en fonction de n.• On en déduit l’expression de un en fonction de n.

Si le premier terme de la suite (un) est u0 et que la suite (vn) est de raison q, alors un = α+ v0qn

pour tout entier naturel n. L’intérêt d’une telle écriture est en premier de pouvoir calculer parexemple u10 sans avoir à calculer les termes précédents et une seconde application est l’étude dela limite de la suite (un).

1. Pour les plus courageux, on peut retenir que α solution de l’équation α = aα+ b convient.

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Exemple. Soit (un) la suite arithmético-géométrique définie paru0 = 1000un+1 = 1.1un + 20 pour tout entier naturel n

Posons vn = un + 200 pour tout entier naturel n.• Montrons que la suite (vn) est géométrique. Soit n un entier naturel, alors

vn+1 = un+1 + 200 on applique la relation précédente avec n+ 1.= 1.1un + 20 + 200 d’après le relation de récurrence sur (un).= 1.1un + 220

= 1.1(un + 2201.1 )

= 1.1(un + 200)= 1.1vn

Ainsi, on déduit que la (vn) est géométrique de raison q = 1.1 et de terme initial v0 = u0+200 =1200.• D’après le cours, quel que soit l’entier naturel n, vn = 1200× 1.1n. D’où :

vn = un + 2001200× 1.1n = un + 200

un = 1200× 1.1n − 200

pour tout entier naturel n.

Proposition 12.73. Soit (un) une suite arithmético-géométrique de formule de récurrence un+1 =qun + r avec r 6= 0 et q 6= 1. Alors il existe un unique nombre réel h tel que la suite (vn) définiepar vn = un + h soit géométrique. De plus, la raison de (vn) est q.

Corollaire 12.74. Soit (un) une suite arithmético-géométrique de formule de récurrence un+1 =qun + r avec r 6= 0 et q 6= 1. Alors

un = qn(u0 + r

1− q

)+ r

1− q

12.10 Suites extraites (annexe)Lemme 12.75 (lemme des pics). Toute suite bornée admet une sous-suite monotone.

Démonstration. Soit (un) une suite bornée. On pose

E = {n ∈ N| ∀ p > n : un > up}O = {n ∈ N| ∃ p > n : un ≤ up}

On note que N est l’union disjointe de E et de O. Distinguons deux cas :• Si E est infini, dans ce cas, la suite extraite (un)n∈E est décroissante.

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• Sinon, E est fini. Notons N le maximum de l’ensemble fini E, alors φ(1) = N + 1 ∈ O. Pardéfinition, de O, il existe φ(2) ∈ N tel que uφ(1) ≤ uφ(2). Comme φ(2) > φ(1) > N , on déduitque φ(2) ∈ O et l’existence de φ(3) ∈ O tel que uφ(2) ≤ uφ(3). On continie ainsi par récurrencepour obtenir une application φ : N→ O telle que la suite extraite (uφ(k))k∈N soit croissante.

Remarque. Il est possible d’interpréter autrement la démonstration. Pour ce faire, voyons les entiersn comme des individus situés à une hauteur un, alignés les uns derrières les autres d’ouest en est etéclairés par le soleil levant. On dit que n est « éclairé » si, quel que soit p > n, un > up (i.e. n ∈ E) etn est « dans l’ombre » s’il existe p > n, up ≥ un (i.e. n ∈ O). Le premier cas, correspond à la situationoù il y a une infinité d’individus éclairés. Dans, le second cas, il y a une infinité d’individus dansl’ombre. De plus, un individu est dans l’ombre à cause de la présence d’un individus plus haut et plusà l’est que lui. On commence par choisir un individus dans l’ombre et à l’est des individus éclairés.Puis on choisit l’individus qui lui fait de l’ombre mais comme cette individus est aussi dans l’ombre,on peut continuer à considérer l’individus suivant faisant de l’ombre. Ainsi de suite, on selectionneune infinité d’individus telle que chacun fasse de l’ombre à son prédécesseur.

Théorème 12.76 (Bolzano-Weiertstrass, 1817). Toute suite bornée admet une sous-suite conver-gente.

Démonstration. Soit (un) une suite bornée. D’après le lemme des pics, il existe une suite extraite(vk) monotone. De plus, (vk) est bornée, ainsi, d’après le théorème de la limite monotone, la suiteextraite (vk) converge.

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Table des matières

12 Suites numériques 112.1 Entiers naturels et raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

12.1.1 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Ensemble ordonné des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

12.2.1 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.2 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.2.3 Borne inférieure, supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

12.3 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.4 Opérations sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

12.4.1 Suites et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.4.2 Majoration. Minoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

12.5 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1412.6 Convergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

12.6.1 Convergence vers une limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612.6.2 Divergence vers l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

12.7 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2412.8 Notation de Landau et équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2512.9 Suites arithmético-géométriques (annexe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2912.10 Suites extraites (annexe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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chapitre12 nombresréelsetsuitesnumériques -...

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