chapitre premier dimensions, unit´es, ordres de grandeur...

Chapitre premier

Dimensions, unites, ordres de grandeur,

ou comment bien reagir devant une formule en physique.

Table des matieres

1 Les dimensions en sciences physiques 21.1 On ne melange pas les choux et les carottes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Deux grandeurs comparables ont la meme dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Les 7 dimensions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Verification de l’homogeneite d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Equation aux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Les unites 42.1 Une grandeur de reference pour comparer toutes les autres : la grandeur etalon . . . . . . 42.2 Definition d’une unite a partir d’une grandeur etalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Les unites du systeme international . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Conversion d’unites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Les chiffres significatifs 53.1 Des mesures a la precision limitee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Definition des chiffres significatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Regles pour determiner le nombre de chiffres significatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Les ordres de grandeurs 74.1 De la necessite des ordres de grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2 L’ordre de grandeur ou la puissance de 10 la plus proche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5 Que faire devant une formule en sciences physiques ? 7

MPSI Chapitre 1 - Analyse dimensionnelle 2016-2017

1 Les dimensions en sciences physiques

1.1 On ne melange pas les choux et les carottes

(Prise de note)

1.2 Deux grandeurs comparables ont la meme dimension

♦ Definition : Si deux grandeurs sont comparables, alors elles ont la meme dimension.

(Prise de note)

Application 1 : Grandeurs comparables ?

Les couples de grandeurs suivants ont-ils la meme dimension ?— La vitesse d’un train / la celerite de la lumiere,— la puissance d’un moteur / la force de frottement de l’air,— la charge d’un electron / la masse d’un proton,— l’acceleration d’une voiture / l’acceleration de la pesanteur.

1.3 Les 7 dimensions fondamentales

♦ Definition :Il existe 7 dimensions fondamentales, a partir desquelles on peut construire toutes les autres

• la longueur, notee L,• le temps, note T ,• la masse, notee M ,• l’intensite du courant electrique, note I,• la temperature, notee Θ,• la quantite de matiere, notee n• et l’intensite lumineuse, notee J .

(Prise de note)

Application 2 : Dimensions des grandeurs recurrentes en mecanique a connaitre par coeur

1 Determiner la dimension d’une acceleration.

2 A l’aide du principe fondamental de la dynamique (seconde loi de Newton), determiner la dimensiond’une force.

3 A l’aide de sa definition, determiner la dimension d’une pression.

4 A l’aide de la definition du travail d’une force, determiner la dimension d’une energie.

5 A l’aide de sa definition, determiner la dimension d’une puissance.

2/16 30 juin 2016


Autres exercices : TD1 exo 1, 2, 7 et 8

1.4 Verification de l’homogeneite d’une formule

(Prise de note)

Application 3 : Verifier l’homogeneite d’une formule, le bon reflexe !

Verifier l’homogeneite des formules suivantes

a) λ = cν b) U = E − rI c) F +mg = a

Autres exercices : TD1 exo 1

1.5 Equation aux dimensions

(Methode a savoir appliquer)

Application 4 : Faire cuire un roti

Nous allons voir qu’une petite analyse dimensionnelle peut remplacer une re-cette de cuisine. On souhaite determiner le temps de cuisson d’un roti de 800 g. Onsait, d’apres une recette, qu’il faut 32 minutes pour cuire un roti de 1 kilogrammea 220◦C.

On se placera a temperature constante. On sent bien que le temps de cuissondepend de la masse m du roti. Il dependra aussi de sa masse volumique ρ. Pourque l’interieur cuise, il faut que la chaleur penetre la viande. On en deduit que letemps de cuisson depend egalement de la conductivite thermique λ. Enfin, un der-nier parametre s’impose : la capacite thermique massique cP . En effet, la chaleurse transmet si elle n’est pas stockee.

1 Sachant que la capacite thermique massique est homogene a une energie divisee par une masseet une temperature et la conductivite thermique est homogene a une puissance divisee par unelongueur et une temperature, determiner, a partir d’une analyse dimensionnelle, a quelle puissanceintervient la masse.

2 En deduire le temps de cuisson.

3 Critiquez ce modele.

4 Madame Saint Ange, auteur d’un best-seller culinaire un peu ancien (1925) conseillait de cuire 16minutes par livre un roti de un kilogramme, mais seulement 10 a 12 minutes par livre un roti de1,8 a 2 kilogrammes. Concluez quant a la pertinence du modele utilise.

3/16 30 juin 2016


Autres exercices : TD1 exo 2, 3, 4, 5, 7, 8 et 9

2 Les unites

2.1 Une grandeur de reference pour comparer toutes les autres : la gran-deur etalon

(Prise de note)

2.2 Definition d’une unite a partir d’une grandeur etalon

♦ Definition : Soit une grandeur G. Soit une grandeur etalon G0 de meme dimension que G.On peut donc comparer ces deux grandeurs et dire que G est tant de fois plus grand que G0.Il existe donc un reel λ tel que

G = λG0

• G0 est appelee unite de mesure de la grandeur G.• λ est la valeur de G dans cette unite.

(Prise de notes)

4/16 30 juin 2016


2.3 Les unites du systeme international

♦ Definition : Les neuf unites fondamentales sont• Pour les longueurs : le metre (m)• pour le temps : la seconde (s)• pour la masse : le kilogramme (kg)• pour l’intensite du courant electrique : l’ampere (A)• pour la temperature : le kelvin (K)• pour la quantite de matiere : la mole (mol)• pour l’intensite lumineuse : le candela (Cd)• pour l’angle : le radian (rad)• pour l’angle solide : le steradian (st)

2.4 Conversion d’unites

(Methode a savoir appliquer)

Application 5 : Conversion d’unites

Convertir dans l’unite demandee1 Aux Etats-Unis, on trouve des bouteilles de 4 gallons. Quelle est la capacite, en litre, de ces

bouteilles ?

2 L’accelerateur LHC du Cern, a Geneve, peut delivrer des protons d’energie cinetique 4 TeV. Quelleest leur energie, exprimee en joules ?

3 Le maxitrimaran de Pascal Bidegorry a parcouru, en 2009, 908 miles nautiques (mi) en 24 heures.Quelle etait sa vitesse moyenne en kilometre par heure ?

On donne : 1 gal = 3, 79 L, 1 eV = 1, 6.10−19 J et 1mi = 1852m.


3 Les chiffres significatifs

3.1 Des mesures a la precision limitee

(Prise de notes)

3.2 Definition des chiffres significatifs

♦ Definition : On appelle chiffre significatif tout chiffre a droite du premier chiffre nonnul, celui-ci inclus.

Exemple

— 6234, 127— 0, 00032— 0, 0100

5/16 30 juin 2016


— 1.107

3.3 Regles pour determiner le nombre de chiffres significatifs

Cas 1 : multiplication et divisionLe nombre de chiffres significatifs du resultat d’une multiplication ou d’une division est celui dela grandeur en possedant le moins.

ExempleD’apres l’equation d’etat des gaz parfaits

P =nRT

V

On donne

n = 1, 00mol (3 chiffres significatifs)

R = 8, 314 J.K−1.mol−1 (4 chiffres significatifs)

T = 300K (3 chiffres significatifs)

V = 1, 0 L (2 chiffres significatifs)

On donnera donc P avec chiffres significatifs.

Cas 2 : addition et soustraction

— Pour chaque terme de la somme, reperer la derniere decimale— et determiner sa puissance de 10.— La derniere decimale du resultat correspondra a la plus grande de ces puissances de 10.

Exemple

Soit une masse M composee de trois masses m1, m2, m3

M = m1 +m2 +m3

On donne

m1 = 10 g

m2 = 1, 0213 kg.K−1.mol−1

m3 = 0, 2mg


6/16 30 juin 2016


4 Les ordres de grandeurs

4.1 De la necessite des ordres de grandeurs

4.2 L’ordre de grandeur ou la puissance de 10 la plus proche

♦ Definition : On appelle ordre de grandeur d’un nombre la puissance de 10 la plus proche.

5 Que faire devant une formule en sciences physiques ?

1. Donner l’expression litterale de la grandeur.

2. Verifier l’homogeneite.

3. Verifier les cas limites (en faisant tendre les valeurs des grandeurs vers 0 ou l’infini)pour s’assurer de la coherence de la formule.

4. Convertir les unites en unites du systeme international.

5. Verifier l’ordre de grandeur du resultat.

6. Faire l’application numerique.

7. Determiner le nombre de chiffres significatifs.

8. Ne pas oublier l’unite !

7/16 30 juin 2016


Definition des unites du systeme international

Grandeurphysique

Dimension Unite SI Definition

Longueur L metre (m) 1 metre = distance parcourue dans le vide par la lumierependant la fraction 1/299 792 458 d’une seconde. (1983)

Masse M kilogramme (kg) 1 kilogramme = masse de l’etalon international constitued’un cylindre de platine + iridium conserve au bureauinternational des poids et mesures (BIPM) a Sevres.

(1889)Temps T seconde (s) 1 seconde = duree de 9 192 631 770 periodes de la

radiation correspondant a la transition entre les deuxniveaux hyperfins de l’etat fondamental de l’atome de

cesium 133. (1967)Intensitedu courant

I Ampere (A) 1 ampere = intensite d’un courant electrique constant,qui, maintenu dans deux conducteurs paralleles

rectilignes, de longueur infinie, de section circulairenegligeable et places a une distance de 1 metre l’un del’autre dans le vide, produit entre ces conducteurs uneforce de 2.10−7 Newton par metre lineaire. (1948)

Temperature θ Kelvin (K) 1 kelvin = fraction 1/273,16 de la temperaturethermodynamique du point triple de l’eau pure. (1967)

Quantitede matiere

n mole (mol) 1 mole = Quantite de matiere d’un systeme contenantautant d’entites elementaires qu’il y a d’atomes dans 12

grammes de l’isotope carbone 12. (1971)Intensitelumineuse

J Candela (cd) 1 candela = Intensite lumineuse, dans une directiondonnee, d’une source qui emet un rayonnement

monochromatique de frequence 540.1012 Hertz et dontl’intensite energetique dans cette direction est 1/683

Watt par steradian. (1979)

8/16 30 juin 2016


Alphabet grec

Alphabet Grec

Minuscules Majuscules Prononciaitionα A Alphaβ B Betaγ Γ Gammaδ Δ Delta�, ε E Epsilonζ Z Dzetaη H Etaθ Θ Thetaι I Iotaκ K Kappaλ Λ Lambdaµ M Muν N Nuξ Ξ Ksio O Omicron

π,� Π Piρ P Rhoσ, ς Σ Sigmaτ T Tauυ Υ Upsilonφ Φ Phiχ X Khiψ Ψ Psiω Ω Omega

Puissances de 10

Nom Symbole Puissance Nom Symbole Puissanceexa E 1018 - - 1peta P 1015 deci d 10−1

tera T 1012 centi c 10−2

giga G 109 milli m 10−3

mega M 106 micro µ 10−6

kilo k 103 nano n 10−9

hecto h 102 pico p 10−12

deca da 101 femto f 10−15

- - 1 atto a 10−18

9/16 30 juin 2016

TD n◦1 - Analyse dimensionnelle

Exercice 1 : Dimensions d’une resistance, d’une capacite, d’une inductance

La pulsation ω d’un courant sinusoıdal est homogene a une vitesse angulaire. L est une inductance, Cune capacite ; les grandeurs Lω et 1

Cωsont homogenes a une resistance R.

1 Montrer que les expressions LR, RC et

√LC sont homogenes a des temps.

2 Determiner l’equation aux dimensions de R, sachant que la puissance P dissipee dans un resistor,de resistance R, parcouru par un courant d’intensite I, est donnee par

P = RI2

3 En deduire les dimensions de L et de C.

4 Verifier l’homogeneite des formules suivantes

C = L

R2 + L2ω2 , I = CωU , I =U�

R2 +

�Lω − 1

Cω

�2�

2

Solutions :2) dim(R) = ML2T−3I−2 ; 3) dim(C) = M−1L−2T 4I2, dim(L) = ML2T−2I−2 ; .

Exercice 2 : Electromagnetisme

1 Determiner la dimension de la permeabilite du vide µ0 sachant que cette constante apparaıt dansla relation suivante (ou F est une force, l et r des distances et I un courant):

F =µ0lI

2

2πr(1)

Sachant qu’une inductance s’exprime en henry H, en deduire, en vous aidant de l’exercice precedent,une unite possible pour µ0.

2 Determiner la dimension de la permittivite du vide ε0 sachant que cette constante apparaıt dansla relation suivante (ou F est une force, r une distance et q1 et q2 des charges):

F =q1q2

4πε0r2(2)

Sachant qu’une capacite s’exprime en farad F, en deduire, en vous aidant de l’exercice precedent,une unite possible pour ε0.

3 A partir de �0 et µ0, construire une grandeur homogene a une vitesse.Remarque : la vitesse ainsi construite n’est rien d’autre que la celerite c de la lumiere dans le vide.

3

Solutions :1) dim(µ0) = MLT−2I−2, unite(µ0) = H ·m−1 ; 2) dim(ε0) = M−1L−3T 4I2, unite(ε0) =

F ·m−1 ; 3) dim(�

1µ0ε0

) = L ·T−1 ; .


Exercice 3, analyse documentaire : Puissance d’une bombe nucleaire

Une legende en physique voudrait que l’analyse dimensionnelle ait permis a Geoffrey Ingram Taylord’estimer, en 1950, l’energie degagee par l’explosion d’une bombe nucleaire, cette information etant alorsclassee secret defense.Le physicien Taylor suppose a priori que le processus d’expansion de la sphere de gaz depend au minimumdes parametres suivants :

— le temps t— l’energie E degagee par l’explosion— la masse volumique de l’air ρ.

1 Determiner par analyse dimensionnelle l’expression de l’energie degagee E en fonction de t, ρ etdu rayon r de la sphere de gaz.

2 En mesurant le diametre du nuage sur la photo realisee apres 15 ms, faire l’application numerique.On prendra pour densite de l’air ρ = 1, 2 kg ·m−3 et on donnera le resultat en masse equivalentede TNT (1 kg de TNT libere une energie de 4, 6MJ.)

3 A l’aide des mesures du rayon du nuage en fonction du temps, verifier la dependance des parametrest et R.

11/16 30 juin 2016


temps (ms) rayon (m)0,1 11,10,2 19,90,4 25,40,5 28,80,7 31,90,8 34,20,9 36,31,1 38,91,2 41,01,4 42,81,5 44,41,7 46,01,8 46,9

temps (ms) rayon (m)1,9 48,73,3 59,03,5 61,13,8 62,94,1 64,34,3 65,64,6 67,315,0 106,525,0 130,034,0 145,053,0 175,062,0 185,0

4

Solutions :

1) E ∝ ρr5

t2; 2) E = 15 ktTNT .

Exercice 4, Resolution de probleme : Glissade d’un enfant sur un igloo

Un enfant est assis au sommet d’un igloo en forme de demi-sphere sur lequel il glisse sans frottement.La position de l’enfant est reperee par l’angle θ.Objectif : On se pose la question de savoir a quel angle θ0 l’enfant va decoller.

1 L’angle θ0 depend-il du poids de l’enfant ?

Indications : Faire l’inventaire des grandeurs physiques d’interet, puis proceder a une analyse dimen-sionnelle.

5

Solutions :1) Non, comme dans tout probleme de chute sans frottement. .

Exercice 5 : Rayonnement synchrotron (Centrale MP 2016)

Un electron accelere non relativiste perd de l’energie en rayonnant a un instant donne une puissance

electromagnetique P =1

4πε0

2

3eαcβ�d�v

dt�2.

1 Determiner les valeurs de α et β.

22

12/16 30 juin 2016


Solutions :1) α = 2 et β = −3 .

13/16 30 juin 2016

Pour s’entraıner seul(e) - 1. Analyse dimensionnelle

Questions de cours (pour reviser colles et interros)

1 Enoncer les 7 dimensions fondamentales.

2 Donner les dimensions d’une vitesse, d’une acceleration, d’une force, d’un travail ou d’une energie,d’une puissance.

3 Enoncer les 9 unites de bases du systeme international.

4 Definir ce qu’est un chiffre significatif. Comment les determine-t-on ?

5 Definir ce qu’est un ordre de grandeur.

0

Solutions :cf. cours. .

Exercice 6 : Conversion d’unites

La formule de Stokes F = 6πaηv donne la norme de la force resistante qui s’exerce sur une sphere derayon a, de vitesse v, dans un fluide visqueux de coefficient de viscosite η.

1 Determiner les dimensions de η

2 Calculer pour l’eau a 20◦C la valeur de η en unite SI, sachant que η = 0, 010 en unite CGS.

6

Solutions :1) dim(η) = ML−1T−1 ; 2) η = 1, 0.10−3 kg ·m−1.s−1 .

Exercice 7 : Interaction gravitationnelle

On rappelle l’expression de l’intensite de la force gravitationnelle s’exercant entre deux masses m etM : F = GmM

r2ou G est la constante universelle de gravitation et r la distance entre les deux masses.

1 Quelle est la dimension de G ? Donnez son unite dans le systeme SI.

2 On considere un satellite de masse m effectuant une trajectoire circulaire de rayon R autour dela Terre de masse M . Soit T la periode de revolution du satellite. Par analyse dimensionnelle,retrouver la 3eme loi de Kepler de la forme :

T α

Rβ=

4π2

G�Mγ

3 Mars, Jupiter et Saturne possedent des periodes de revolution respectives de TM = 686, 9 j,TJ = 4335, 3 j et TS = 10757, 7 j. En deduire leur distance au Soleil. On rappelle que la Terre,distante de 150 millions de kilometre du Soleil, effectue une revolution en 365, 25 jours.


7

Solutions :

1) dim(G) = M−1L3T−2 ; 2)

α = 2�β = 3�γ = �

3) Voir dans la litterature .

Exercice 8 : Rayon cyclotron

1 Sachant que le perimetre P d’un cercle de rayon R vaut P =(non, la, quand meme, je ne vais pasvous l’ecrire), quelle est la dimension de π, puis celle d’un angle θ ?Quelle est alors la dimension d’une vitesse angulaire notee ω ?

2 Soit un champ magnetique B, on montrera, dans un chapitre ulterieur, qu’une particule de chargeq, de vitesse v placee dans un champ magnetique B est soumise a la force F = |q|vB. En deduirela dimension de B.

3 On montrera qu’une particule chargee penetrant dans un champ magnetique uniforme avec unvecteur vitesse orthogonal a B est animee dans le plan orthogonal a B d’un mouvement circulaireuniforme caracterise par son rayon R et sa vitesse angulaire ω.En utilisant l’analyse dimensionnelle, on va determiner comment ses deux grandeurs dependentdes parametres de l’experience m, q et B. Soit ω = kmαqβBγ, avec k un reel sans dimension,determiner les reels α, β et γ.Remarques• ω est appelee ici la pulsation cyclotron.

8

Solutions :1) dim(π) = dim(θ) = 1, dim(ω) = T−1 ; 2) dim(B) = MT−2I−1 ; 3) α = −1, β = 1,γ = 1 .

Exercice 9, analyse documentaire : De l’halterophile aux geants

La courbe de la figure ci-dessous presente les records du monde (en 2012) de masse m� soulevees al’epaule-jete par les halterophiles en fonction de leur masse m (donc pour differentes categories sportives).On note L la taille typique d’un halterophile.

15/16 30 juin 2016


1 Hypothese 1 : Supposons que la force F developpee par un halterophile est proportionnelle auvolume de la personne. Comment depend-elle de sa masse ?

2 Hypothese 2 : Supposons que la force F developpee par un halterophile est proportionnelle a lasection d’un membre de l’athlete. Comment depend-elle de sa masse ?

3 On a trace sur la figure 9 la masse totale soulevee divisee par la masse de l’athlete a la puissanceα (α = 1 pour la courbe du bas, α = 2/3 pour la courbe du haut) en fonction de la masse del’athlete. Qu’en conclure ? Essayer d’interpreter en supposant que les muscles sont constitues defibres de taille fixee.

4 En deduire que les geants ne peuvent pas exister.

9

Solutions :1) F ∝ m ; 2) F ∝ m

23 .

16/16 30 juin 2016

chapitre premier dimensions, unit´es, ordres de grandeur...

Documents