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CHAPITRE 25

Influence des Phénomènes de Dilatation sur le Comportement Mécanique des Stratifiés

25.1 INTRODUCTION

Généralement, les propriétés des matériaux composites sont affectées par les conditions d’environnement auxquelles ils sont soumis. Parmi les facteurs liés à l’environnement, ceux qui introduisent des variations de déformation en l’absence de tout chargement mécanique revêtent un intérêt particulier. Dans le cas des structures en matériaux composites, ces phénomènes sont la conséquence de la variation de température, de l’absorption par la matrice polymère d’agents de gonflement tels que la vapeur d’eau, de la dilatation de gaz absorbés par la matrice, etc. Ces phénomènes induisent des déformations et contraintes qui peuvent modifier notablement le comportement mécanique des structures en matériaux composites : rigidité, flambement, fréquences de vibration, etc.

Dans ce chapitre, nous examinons de quelle manière sont modifiées les équations des stratifiés, dans le cas où l’on tient compte de ces phénomènes de dilatation, et les conséquences induites sur le comportement mécanique des plaques constituées de stratifiés.

25.2 ÉQUATIONS DU COMPORTEMENT DES MATÉRIAUX COMPOSITES TENANT COMPTE DES

PHÉNOMÈNES DE DILATATION

25.2.1 Relations d’élasticité dans les axes des matériaux

L’étude du comportement mécanique des stratifiés a, jusqu’ici, été menée en considérant que le matériau était rapporté à un état de référence en température, pour lequel le champ des déformations et le champ des contraintes dans le maté-riau étaient considérés comme étant nuls en l’absence de chargement mécanique. Dans la pratique, les structures sont soumises à des variations de températures aussi bien durant leur mise en œuvre qu’au cours de leur utilisation. Le premier effet de variation de la température est de modifier la rigidité et les caracté-ristiques à la rupture du matériau. En outre, la variation de la température produit une dilatation thermique (extension ou contraction) du matériau. Les phénomènes

570 Chapitre 25 Influence des phénomènes de dilatation sur le comportement des stratifiés

de dilatation thermique peuvent être décrits en écrivant les déformations en un point (x, y, z) et à l’instant t sous la forme :

*

(thermique) ( , , , ), 1, 2, . . . , 6,i i T x y z t iε α= ∆ = (25.1)

où αi sont les coefficients de dilatation thermique et T∆ est la variation de tem-pérature à partir d’une température de référence pour laquelle les déformations thermiques sont considérées comme étant égales à zéro. La répartition des tempé-ratures dans la structure et au cours du temps est déterminée à partir des phéno-mènes de transfert de chaleur.

Les phénomènes de dilatation par absorption d’humidité ou de gaz conduisent à des effets analogues aux effets thermiques. Les déformations qui en résultent peuvent se mettre sous la forme :

(gonflement) ( , , , ), 1, 2, . . . , 6,i i C x y z t iε β∗ = ∆ = (25.2)

où βi sont les coefficients de gonflement (par exemple coefficients de dilatation hygrométrique), et C∆ est la variation de la concentration de l’agent de gon-flement à partir d’un état où les déformations de gonflement sont nulles. La répar-tition des concentrations en agent de gonflement est déterminée à partir de concepts physico-chimiques tels la loi de Fick [33].

De manière à inclure les effets des phénomènes de dilatation, la loi d’élasticité (7.3), écrite dans un état de référence où les déformations dues aux phénomènes de dilatation sont nulles, doit être modifiée et écrite sous la forme :

6

1

, 1, 2, . . . , 6,i ij j ij

S iε σ ε ∗

=

= + =∑ (25.3)

où Sij sont les constantes de souplesse et iε ∗ les déformations dues aux effets thermiques, aux agents de gonflement, etc :

(thermique) (gonflement) . . .i i iε ε ε∗ ∗ ∗= + + . (25.4)

La forme inverse de la relation (25.3) d’élasticité s’écrit :

6

1

( ), 1, 2, . . . , 6,i ij j jj

C iσ ε ε ∗

=

= − =∑ (25.5)

où Cij sont les constantes de rigidité. Dans la pratique, les phénomènes thermiques et de gonflement ne produisent

que des extensions ou contractions (appelées sous le terme général de dilatations), n’affectant pas les déformations en cisaillement. Dans ce cas, les relations d’élasticité peuvent être réécrites suivant :

6

1

6

1

, 1, 2, 3,

, 4, 5, 6,

i ij j ij

i ij jj

S i

S i

ε σ ε

ε σ

∗

=

=

= + =

= =

∑

∑ (25.6)

25.2 Équations du comportement des matériaux composites 571

et

3 6

1 4

6

1

( ) , 1, 2, 3,

, 4, 5, 6.

i ij j j ij jj j

i ij jj

C C i

C i

σ ε ε ε

σ ε

∗

= =

=

= − + =

= =

∑ ∑

∑ (25.7)

Dans le cas de matériaux orthotropes, la relation d’élasticité (25.5), rapportée aux axes principaux du matériau s’écrit :

1 11 11 12 13

2 22 11 22 23

3 13 23 33 3 3

4 44 4 4

5 555 5

6 666 6

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

C C CC C CC C C

CC

C

ε εσε εσ

σ ε εσ ε εσ ε εσ

ε ε

∗

∗

∗

∗

∗

∗

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

. (25.8)

Soit, dans la pratique :

1 11 12 13 1 1 1

2 11 22 23 2 2 2

3 13 23 33 3 3 3

4 44 4

5 55 5

6 66 6

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

C C C T CC C C T CC C C T C

CC

C

σ ε α βσ ε α βσ ε α βσ εσ εσ ε

− ∆ − ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ∆ − ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ∆ − ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, (25.9)

avec dans le cas d’un matériau unidirectionnel :

( )113 12 33 22 44 22 23 55 662, , , .C C C C C C C C C= = = − = (25.10)

Dans un état de contraintes planes (paragraphe 11.3), la relation (25.8) se réduit à :

1 11 11 12

2 12 22 2 2

6 66 6 6

00

0 0

Q QQ Q

Q

ε εσσ ε εσ ε ε

∗

∗

∗

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

, (25.11)

en introduisant les constantes de rigidité réduites (11.47) du matériau.

25.2.2 Relations d’élasticité en dehors des axes

Dans le cas où les axes principaux du matériau font un angle θ (figure 11.1) avec des axes de référence (x, y ,z), la relation d’élasticité rapportée à ces axes


s’écrit par extension de la relation (11.3) sous la forme :

*11 12 13 16

*11 22 23 26

*13 23 33 36

*44 45

*45 55

16 26 36 66

0 00 00 0

0 0 0 00 0 0 0

0 0

xx xx xx

yy yy yy

zz zz zz

yz yz yz

xz xz xz

xy xy

C C C CC C C CC C C C

C CC C

C C C C

σ ε εσ ε εσ ε εσ γ γσ γ γσ γ γ

′ ′ ′ ′ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′ ′ ′ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′ ′ ′ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥=

′ ′ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′ ′ ′ −⎣ ⎦⎣ ⎦

*xy

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, (25.12)

où * * ** * *, , , , , xx yy zz yz xz xyε ε ε γ γ γ sont les déformations dues aux phénomènes de

dilatation, rapportées aux axes de référence (x, y). Les expressions des constantes de rigidité sont celles qui sont exprimées dans le tableau 11.3 en fonction des constantes de rigidité dans les axes principaux. Les relations liant les défor-mations * *, ,xx yyε ε etc., en fonction des dilatations * *

11 22, ,ε ε etc., exprimées dans les axes des matériaux sont déduites des relations (6.42) et (6.44), en notant que le changement de base (1, 2, 3) → (x, y, z) se fait par une rotation d’angle –θ. Nous avons par exemple :

* *11

* *22

* *331**23**13**12

xx

yy

zz

yz

xz

xy

ε

ε εε εε εγ γγ γγ γ

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

T , (25.13)

où la matrice de changement de référence 1ε−T est exprimée en (6.45). Dans le cas

de matériaux orthotropes, les relations d’élasticité rapportées aux axes des matériaux sont décrites par les relations (25.6) et (25.7). Dans les axes des matériaux les déformations en cisaillement sont nulles, soit :

* * *23 13 12 0γ γ γ= = = . (25.14)

Les déformations de dilatation dans le système d’axes (x, y, z) se réduisent donc, en appliquant la relation (25.13), à :

* 2 2*11* 2 2*22**33* 2 2

cos sin sin cossin cos sin cos

1 0 02sin cos 2sin cos cos sin

xx

yy

zz

xy

ε θ θ θ θε

ε θ θ θ θε

εε

γ θ θ θ θ θ θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎣ ⎦

. (25.15)

La relation d’élasticité (25.12) exprimées dans les axes de référence (x, y, z) se réduit alors à :

25.3 Équations du comportement d’un stratifié 573

*11 12 13 16

*11 22 23 26

*13 23 33 36

44 45

45 55*

16 26 36 66

0 00 00 0

0 0 0 00 0 0 0

0 0

xx xx xx

yy yy yy

zz zz zz

yz yz

xz xz

xy xy xy

C C C CC C C CC C C C

C CC C

C C C C

σ ε εσ ε εσ ε εσ γσ γσ γ γ

′ ′ ′ ′ −⎡⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′ ′ ′ −⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′ ′ ′ −⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥=

′ ′ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′ ′ ′ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎦

. (25.16)

Dans le cas d’un état de contraintes planes, * 0zzε = , et la relation (25.15) se réduit à :

2 2**112 2**22*

cos sinsin cos

2sin cos 2sin cos

xx

yy

xy

ε θ θε

ε θ θε

γ θ θ θ θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎣ ⎦

. (25.17)

La relation d’élasticité s’écrit alors, compte tenu de (11.43), sous la forme :

*11 12 16 11 12 16

*12 22 26 12 22 26

*16 26 66 16 26 66

xx xx xx

yy yy yy

xy xy xy

Q Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q Q

σ ε εσ ε εσ γ γ

′ ′ ′ ′ ′ ′ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′ ′ ′ ′ ′= − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′ ′ ′ ′ ′⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, (25.18)

où les déformations ** *, , xx yy xyε ε γ s’expriment suivant la relation (25.17) en

fonction des dilatations * *11 22, ε ε , rapportées aux axes du matériau. Les paramètres

ijQ′ sont exprimés dans le tableau 11.6.

25.3 ÉQUATIONS DU COMPORTEMENT D’UN STRATIFIÉ

25.3.1 Équation constitutive

Dans le cadre de la théorie classique des stratifiés, la relation (14.20) exprimant les contraintes dans la couche k est remplacée, en tenant compte de l’expression (25.18), par la relation :

0 *11 12 16 11 12 16

0 *12 22 26 12 22 26

*016 26 66 16 26 66

xx xx x xx

yy yy y yy

xy xy xy xyk kk

Q Q Q z Q Q QQ Q Q z Q Q QQ Q Q z Q Q Q

σ ε κ εσ ε κ εσ γ κ γ

′ ′ ′ ′ ′ ′+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′ ′ ′ ′ ′= + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′ ′ ′ ′ ′+⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. (25.19)

L’équation constitutive s’obtient ensuite en combinant l’expression précédente avec les relations de définitions (13.17) et (13.19) des résultantes et des moments. Nous obtenons :


011 12 16 11 12 16

012 22 26 12 22 26

016 26 66 16 26 66

11 12 16 11 12 16

12 22 26 12 22 26

16 26 66 16 26 66

x xx

y yy

xy xy

x x

y y

xy xy

N A A A B B BN A A A B B BN A A A B B BM B B B D D DM B B B D D DM B B B D D D

ε

ε

γ

κ

κ

κ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

*

*

*

*

*

*

x

y

xy

x

y

xy

N

N

N

M

M

M

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥−⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

, (25.20)

où les coefficients Aij, Bij, Dij sont les coefficients de rigidité du stratifié exprimés par les relations (14.31) à (14.33), et où sont introduits les résultantes et moments dus aux phénomènes de dilatation, définis par :

( )

( )

( )

1

1

1

* * * * *11 12 16

1

* * * * *12 22 26

1

* * * * *16 26 66

1

( , ) (1, ) d ,

( , ) (1, ) d ,

( , ) (1, ) d .

k

k

k

k

k

k

n h

x x xx yy xy khk

n h

y y xx yy xy khk

n h

xy xy xx yy xy khk

N M Q Q Q z z

N M Q Q Q z z

N M Q Q Q z z

ε ε γ

ε ε γ

ε ε γ

−

−

−

=

=

=

′ ′ ′= + +

′ ′ ′= + +

′ ′ ′= + +

∑

∑

∑

∫

∫

∫

(25.21)

Les déformations ** *( , , )xx yy xy kε ε γ dans chaque couche sont exprimées en fonc-

tion des dilatations * *11 22( , )kε ε , rapportées aux axes du matériau de la couche, par

la relation (25.17). Les dilatations * *11 22( , )kε ε s’expriment elles-mêmes par des

relations du type (25.1) et (25.2). L’équation constitutive (25.20) tenant compte des phénomènes de dilatation

diffère de l’équation constitutive (14.29) de la théorie classique initiale, par l’adjonction des résultantes et des moments dus aux phénomènes thermiques, à l’absorption d’agents de gonflement, etc.

Les contraintes de dilatation (thermiques, hygrométriques, etc.) exprimées dans la relation (25.19) sont induites lorsque les conditions de température, d’hygrométrie, etc. du stratifié diffèrent de l’état où le stratifié est libre de toutes contraintes hygrothermiques. Ces contraintes ne sont pas en fait induites par la seule dilatation (ou la contraction) hygrothermique du stratifié, mais résultent à la fois des phénomènes de dilatation et du fait que le stratifié n’est pas libre de se dilater ou de se contracter. En effet, aucune force ou moment résultant n’est induit dans le stratifié par effet hygrothermique, lorsque celui-ci est totalement libre de se déformer en membrane, en flexion et en torsion. Toutefois, chaque couche du stratifié influence la dilatation ou contraction des couches voisines, du fait de propriétés mécaniques et hygrothermiques différentes. Les couches ne sont alors plus libres de se déformer. Les contraintes hygrothermiques dans chaque couche résultent donc des restrictions imposées à leurs déformations par les couches voisines.


Les contraintes thermiques induites lors du refroidissement des stratifiés, après une mise en œuvre en température, sont pratiquement inévitables. Dans certains cas, ces contraintes, appelées contraintes résiduelles, peuvent être suffisamment élevées pour modifier les caractéristiques à la rupture des stratifiés. Il est alors nécessaire de les prendre en compte lors de la conception des structures en stratifiés. Dans la pratique, la matrice a un coefficient de dilatation thermique supérieur à celui de la fibre, produisant une compression radiale des fibres à l’interface fibre-matrice. Cette compression permet un transfert des charges de la matrice aux fibres par cisaillement, même en l’absence d’une bonne adhérence fibre-matrice.

25.3.2 Exemples

25.3.2.1 Calcul des contraintes d’origine thermique

Nous considérons le cas d’un stratifié croisé symétrique constitué (figure 25.1) de 3 couches unidirectionnelles de 1 mm d’épaisseur, de caractéristiques méca-niques : 45 GPa, 10 GPa, 0,31, 4,5 GPa,L T LT LTE E Gν= = = = (25.22)

et de coefficients de dilatation thermique :

6 65 10 /°C, 20 10 /°CL Tα α− −= × = × . (25.23) La polymérisation du stratifié a été effectuée à une température de 120 °C. Nous voulons déterminer les contraintes résiduelles à la température d’utilisation de 20 °C.

Rapportées aux axes des matériaux des couches, les constantes de rigidité des couches sont (11.52) :

11 12 16

22 26 66

45,982 GPa, 3,168 GPa, 0,10,218 GPa, 0, 4,5 GPa.

Q Q QQ Q Q

= = == = =

Les matrices de rigidité des couches s’expriment alors suivant :

11 12 22 12

0 12 22 90 12 11

66 66

0 00 , 0 .

0 0 0 0

Q Q Q QQ Q Q Q Q Q

Q Q° °

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

FIGURE 25.1. Stratifié croisé symétrique.

h = 3 mm

1 mm

1 mm

1 mm

90°

90°

0°


La relation (25.17) permet d’exprimer les déformations d’origine thermique dans la couche à 0° :

*

*

*0

1 00 10 0

xxL

yyT

xy

Tε

αε

αγ

°

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ∆⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

.

Soit :

*

*

*0

0

xx L

yy T

xy

TT

ε αε αγ

°

⎡ ⎤ ∆⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

. (25.24)

De même, pour les couches à 90° :

*

*

*90

0

xx T

yy L

xy

TT

ε αε αγ

°

⎡ ⎤ ∆⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

. (25.25)

Les résultantes d’origine thermique, déduites des relations (25.21), s’écrivent :

( ) ( )

( ) ( )

*11 12 22 12

*22 12 11 12

* *16 26

2 2 ,3

2 2 ,3

0 (résultant de 0 et 0).

x L T

y T L

xy xy

hN Q Q Q Q T

hN Q Q Q Q T

N Q Q

α α

α α

γ

⎡ ⎤= + + + ∆⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + + ∆⎣ ⎦

= = = =

(25.26)

Les moments sont nuls du fait de la symétrie du stratifié :

* * * 0x y xyM M M= = = .

L’application numérique conduit à :

* *733,7 , 806,7 .x yN T N T= ∆ = ∆

Les déformations et courbures sont déterminées en reportant les résultantes et moments dans l’équation constitutive (25.20) qui s’écrit en l’absence d’actions mécaniques exercées sur le stratifié :

* 011 12

* 012 22

* 066

*11 12

*12 22

*66

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

x xx

y yy

xy xy

x x

y y

xy xy

A ANA AN

AND DMD DM

DM

ε

ε

γ

κ

κ

κ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. (25.27)


Soit :

* 0 011 12

* 0 012 22

0

,

,

0,

0.

x xx yy

y xx yy

xy

x y xy

N A A

N A A

ε ε

ε ε

γ

κ κ κ

= +

= +

=

= = =

(25.28)

Nous en déduisons les déformations du plan moyen :

0 * *

11 12

0 * *12 22

,

,

xx x y

yy x y

A N A N

A N A N

ε

ε

′ ′= +

′ ′= + (25.29)

avec

22 1211 12

21122 11 22 12

, ,

, .

A AA A

AA A A A

∆ ∆

∆∆

′ ′= = −

′ = = −

Les coefficients de rigidité du stratifié s’écrivent :

( )

( )

6 111 11 22

6 112 12

6 122 22 11

2 66, 418 10 Nm ,3

3 9,504 10 Nm ,3

2 102,18 10 Nm .3

hA Q Q

hA Q

hA Q Q

−

−

−

= + = ×

= = ×

= + = ×

D’où :

911

912

922

15, 259 10 m/N,

1, 4193 10 m/N,

9,919 10 m/N.

A

A

A

−

−

−

′ = ×

′ = − ×

′ = ×

(25.30)

Ce qui conduit à : 0 6 0 610,05 10 , 6,96 10 .xx yyT Tε ε− −= × ∆ = × ∆ (25.31)

Les contraintes dans les couches sont ensuite déterminées à partir de la relation (25.18). Pour la couche orientée à 0° :

011 12

012 22

660

00

0 0 0

xx Lxx

yy yy T

xy

TQ QQ Q T

Q

ε ασσ ε ασ

°

⎡ ⎤− ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ∆⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

,


ou

( ) ( )( ) ( )

0 011 12

0 012 22

0 0

xx L yy Txx

yy xx L yy T

xy

Q T Q T

Q T Q T

ε α ε ασσ ε α ε ασ

°

⎡ ⎤− ∆ + − ∆⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ∆ + − ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

. (25.32)

Soit :

3

3

0

190,9 10

117,2 10

0

xx

yy

xy

T

Tσσσ

°

⎡ ⎤× ∆⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = − × ∆⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

. (25.33)

Pour les couches orientées à 90° :

( ) ( )( ) ( )

0 022 12

0 012 11

90 0

xx T yy Lxx

yy xx T yy L

xy

Q T Q T

Q T Q T

ε α ε ασσ ε α ε ασ

°

⎡ ⎤− ∆ + − ∆⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ∆ + − ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

. (25.34)

Soit :

3

3

90

95,5 10

58,6 10

0

xx

yy

xy

T

Tσσσ

°

⎡ ⎤− × ∆⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = × ∆⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

. (25.35)

Pour la variation de température considérée : 100 °CT∆ = − , les valeurs des contraintes sont :

0 90

19,1 MPa 9,6 MPa11,7 MPa , 5,9 MPa

0 0

xx xx

yy yy

xy xy

σ σσ σσ σ

° °

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. (25.36)

L’état des contraintes d’origine thermique est schématisé sur la figure 25.2. Il est à noter que la contrainte dans la couche à 0° atteint la valeur de 11,7 MPa dans la direction transverse aux fibres, soit de l’ordre du quart au tiers de la contrainte à la rupture dans cette direction. Il apparaît ainsi que les contraintes d’origine thermique, liées au mode de mise en œuvre : polymérisation à une température plus élevée que la température d’utilisation, doivent être prises en compte lors de certains dimensionnements.

25.3.2.2 Dilatation thermique d’un stratifié équilibré symétrique

Dans le cas d’une couche rapportée à des axes (x, y) faisant un angle θ avec la direction L (figure 25.3), les déformations d’origine thermique s’écrivent d’après


FIGURE 25.2. Contraintes d’origine thermique dans les couches du stratifié croisé symé-trique de la figure 25.1.

la relation (25.17) :

2 2*

2 2*

*

cos sinsin cossin 2 sin 2

xxL

yyT

xy

Tε θ θ

αε θ θ

αγ θ θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤

= ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎣ ⎦

. (25.37)

Les déformations peuvent donc s’exprimer sous la forme :

* 1 * 1 * 1, , ,xx x yy y xy xyT T Tε α ε α γ α= ∆ = ∆ = ∆ (25.38)

en introduisant les coefficients de dilatation rapportés aux axes de la couche :

( )

1 2 2

1 2 2

1

cos sin ,

sin cos ,

sin 2 .

x L T

y L T

xy L T

α α θ α θ

α α θ α θ

α α α θ

= +

= +

= −

(25.39)

FIGURE 25.3. Monocouche et stratifié équilibré symétrique d’orientation θ.

y

couche à 0°

19,1 MPaLσ = −

11,7 MPaTσ = 5,9 MPaTσ = −

9,5 MPaLσ =

couche à 90°

x x

y y

monocouche

x

y

θ

L

x

y

L

θ

L

θ−

stratifié


Dans le cas de la couche considérée dans le paragraphe précédent, le coef-ficient de dilatation thermique dans la direction x s’exprime suivant :

( )1 2 2 65cos 20sin 10 /°Cxα θ θ −= + × . (25.40)

La variation de 1xα en fonction de θ est reportée sur la figure 25.4.

Dans le cas d’un stratifié équilibré symétrique constitué de n couches, les coefficients de rigidité des couches à ±θ sont :

11 11 12 12 16 16

22 22 26 26 66 66

, , ,

, , ,

Q Q Q Q Q Q

Q Q Q Q Q Qθ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

− + − + − +

− + − + − +

′ ′ ′ ′ ′ ′= = = −

′ ′ ′ ′ ′ ′= = − = (25.41)

et les déformations d’origine thermique sont liées par :

* * * * * *, , .xx xx yy yy xy xyθ θ θ θ θ θε ε ε ε γ γ− + − + − += = = − (25.42)

Les résultantes et les moments d’origine thermique, déduits des relations (25.21), s’écrivent :

( )( )

* 1 1 111 12 16

* 1 1 112 22 26

*

,

,

0,

x x y xy

y x y xy

xy

N h Q Q Q T

N h Q Q Q T

N

α α α

α α α

′ ′ ′= + + ∆

′ ′ ′= + + ∆

=

(25.43)

où h est l’épaisseur du stratifié et en notant ijQ′ les rigidités ijQ θ+′ de la couche FIGURE 25.4. Variation du coefficient de dilatation d’une couche et d’un stratifié équi-libré symétrique.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 4

6

8

10

12

14

16

18

20

Orientation θ ( ° )

Coe

ffic

ient

de

dila

tatio

n α

x ( 1

0–6/°

C )

monocouche

stratifié


de direction θ. La symétrie du stratifié implique que les moments sont nuls :

* * * 0.x y xyM M M= = =

Les déformations et courbures sont déduites de l’équation constitutive (25.20) :

* 0 011 12

* 0 012 22

0

,

,

0, 0.

x xx yy

y xx yy

xy x y xy

N A A

N A A

ε ε

ε ε

γ κ κ κ

= +

= +

= = = =

(25.44)

Nous en déduisons les déformations du plan moyen :

( )

( )

0 * *22 12

0 * *12 11

1 ,

1 ,

xx x y

yy x y

A N A N

A N A N

ε∆

ε∆

= −

= − + (25.45)

avec 2

11 22 12A A A∆ = − .

Les coefficients de rigidité du stratifié sont :

11 11 12 12 22 22, , .A hQ A hQ A hQ′ ′ ′= = =

D’où l’expression de l’allongement unitaire dans la direction x :

0 1 122 16 12 262

11 22 12xx x xy

Q Q Q Q TQ Q Q

ε α α⎛ ⎞′ ′ ′ ′−

= + ∆⎜ ⎟′ ′ ′−⎝ ⎠

. (25.46)

Le coefficient de dilatation du stratifié dans la direction x s’exprime donc sui-vant :

1 122 16 12 262

11 22 12

nx x xy

Q Q Q QQ Q Q

α α α′ ′ ′ ′−

= +′ ′ ′−

. (25.47)

La variation du coefficient de dilatation nxα d’un stratifié équilibré symétrique en

fonction de l’angle θ du stratifié est comparée sur la figure 25.4 au coefficient de dilatation 1

xα d’une couche.

25.3.3 Relations fondamentales

Les relations fondamentales du comportement mécanique des stratifiés, en présence de phénomènes de dilatation, sont obtenues en reportant l’équation constitutive (25.20) dans les relations fondamentales (13.57) du comportement des plaques sans cisaillement transverse, ou dans les équations (23.13) à (23.15), pour rendre compte du flambement. Les déformations étant exprimées par les


relations (14.15), nous obtenons finalement :

( )2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 011 16 66 16 12 66 262 2 2 22u u uA A A A A A A

x y x yx y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + + +∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

v v v

( )

3 3 3 30 0 0 0

11 16 12 66 263 2 2 33 2B B B B Bx x y x y y

∂ ∂ ∂ ∂− − − + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂w w w w

**xyx NN

x y∂∂

− −∂ ∂

2

02sut

ρ ∂=

∂, (25.48)

( )2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 016 12 66 26 66 26 222 2 2 22u u uA A A A A A A

x y x yx y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + + +∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

v v v

( )

3 3 3 30 0 0 0

16 12 66 26 223 2 2 32 3B B B B Bx x y x y y

∂ ∂ ∂ ∂− − + − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂w w w w

* *xy yN Nx y

∂ ∂− −

∂ ∂

2

02s

tρ ∂

=∂v , (25.49)

( )4 4 4 4 4

0 0 0 0 011 16 12 66 26 224 3 2 2 3 44 2 2 4D D D D D D

x x y x y x y y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂w w w w w

( )

3 3 3 3 30 0 0 0 0

11 16 12 66 26 163 2 2 3 33 2u u u uB B B B B Bx x y x y y x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − + − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂v

( )

3 3 30 0 0

12 66 26 222 2 32 3B B B Bx y x y y∂ ∂ ∂

− + − −∂ ∂ ∂ ∂ ∂

v v v

2 * 2 *2 * 2

02 2 22 xy yx

sM MMx yx y t

ρ∂ ∂∂ ∂

+ + + +∂ ∂∂ ∂ ∂

w

2 2 20 0 0

2 22i i ix xy yq N N N

x yx y∂ ∂ ∂

= + + +∂ ∂∂ ∂

w w w . (25.50)

Ces relations diffèrent des relations fondamentales (16.1), (16.2) et (23.21) par la présence des résultantes et des moments dus aux phénomènes de dilatation. Dans le cas où les dilatations * *

11 22( , )ε ε sont indépendantes de x et y (comme le type de problèmes considérés dans le paragraphe 25.4), les résultantes et moments, dus aux phénomènes de dilatation, sont également indépendants des variables x et y


et n’interviennent pas alors explicitement dans les relations fondamentales (25.48) à (25.50). Toutefois, les conditions imposées aux frontières induisent des charges en membrane représentées par les résultantes , , ,i i i

x y xyN N N de préflambement. Ces charges affectent généralement le comportement de la structure : compor-tement en flexion, vibrations et flambement.

25.3.4 Énergie de déformation

Dans le cas d’une formulation variationnelle des relations fondamentales des stratifiés, les expressions obtenues au paragraphe 16.3 montrent que les phénomènes de dilatation n’interviennent que dans l’expression de l’énergie de déformation. En présence de phénomènes de dilatation, l’expression (16.33) est modifiée suivant :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

* * *d

* * *

12

d d d .

xx xx xx yy yy yy zz zz zz

yz yz yz xz xz xz xy xy xy

U

x y z

σ ε ε σ ε ε σ ε ε

σ γ γ σ γ γ σ γ γ

−⎡= − + − +⎣

+ − + − + −

∫∫∫ (25.51)

En tenant compte des hypothèses de la théorie classique des stratifiés : 0,zzσ = * * 0,xz yz xz yzγ γ γ γ= = = = et de l’expression (25.18) des contraintes dans chaque

couche, l’expression (25.51) s’écrit sous la forme :

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )

2 2 2d 11 22 66

12 16

26

12

2 2

2 d d d ,

k k k k k kxx xx yy yy xy xy

k k k k k kxx xx yy yy xx xx xy xy

k k kyy yy xy xy

U Q Q Q

Q Q

Q x y z

ε ε ε ε γ γ

ε ε ε ε ε ε γ γ

ε ε γ γ

∗∗ ∗

∗∗ ∗ ∗

∗∗

⎡= − + − + −⎣

+ − − + − −

⎤+ − − ⎦

∫∫∫ (25.52)

où les coefficients de rigidité ( )ij kQ′ hors axes de la couche k sont notés kijQ .

L’expression (25.52) de l’énergie de déformation remplace, en présence de phénomènes de dilatation, l’expression (16.34). En introduisant dans l’expression (25.52) les relations déformations-déplacements (14.14) et (14.15), puis en intégrant en z suivant l’épaisseur du stratifié, nous obtenons :

0 0 0 0d d

2 2 20 0 0

2 2

/ 2

/ 2

( 0) d d

2 d d

( ) d d ,

x y xy

x y xy

hk

ih

u uU U N N N x yx y y x

M M M x yx yx y

f x y

ε

ε

∗ ∗ ∗∗

∗ ∗ ∗

∗

−

∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎛ ⎞= = − + + +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞∂ ∂ ∂

+ + +⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠

⎡ ⎤+ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫∫∫∫∫∫ ∫

v v

w w w (25.53)

où d ( 0)U ε ∗ = est l’énergie de déformation, en l’absence de phénomènes de


dilatation, exprimée par (16.35), et :

( ) ( ) ( )

2 2211 22 66

12 16 26

( )

2 2 2 .

k k k k k k ki xx yy xy

k k k k k k k k kxx yy xx xy yy xy

f Q Q Q

Q Q Q

ε ε ε γ

ε ε ε γ ε γ

∗∗ ∗ ∗

∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗

= + +

+ + + (25.54)

La fonction ( )kif ε ∗ étant indépendante des déplacements 0 0 0 et u , v w , l’inté-

grale faisant intervenir cette fonction s’annulera dans l’expression de la première variation δUd de l’énergie de déformation.

25.4 COMPORTEMENT DE PLAQUES RECTANGULAIRES

25.4.1 Plaque rectangulaire constituée d’un stratifié symétrique

Nous examinons dans ce paragraphe l’influence des phénomènes de dilatation sur le comportement en flexion, le flambement et les vibrations d’une plaque rectangulaire constituée d’un stratifié symétrique. Ce type de stratifié est caractérisé par : 0, , 1, 2, 6.ijB i j= = (25.55)

La présence des coefficients D16 et D26 de couplage flexion-torsion ne permettant pas dans ce cas de résoudre directement les relations fondamentales (25.48) à (25.50), des solutions approchées peuvent être obtenues par la méthode de Ritz.

Nous considérons le cas de résultantes initiales en membrane induites par des phénomènes de dilatation, du fait des conditions imposées aux frontières. Si les dilatations sont indépendantes des coordonnées (x, y) et fonction paire de la variable z, les relations (25.21) montrent que les résultantes dues aux dilatations sont constantes et les moments sont nuls : 0x y xyM M M∗ ∗ ∗= = = . Pour des stratifiés

symétriques (paragraphe 22.1), les déplacements u0 et v0 sont nuls. Il en résulte que l’énergie de déformation (25.53) est identique à l’énergie de déformation exprimée en (22.2) :

2 22 2 2 20 0 0 0

d 11 12 222 2 2 20 0

22 2 2 20 0 0 0

16 26 662 2

1 22

4 4 d d .

a b

x yU D D D

x x y y

D D D x yx y x yx y

= =

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎢= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ⎥+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

∫ ∫ w w w w

w w w w (25.56)

La fonction énergie :

d m f cU U W W E= − + − (25.57)

25.4 Comportement de plaques rectangulaires 585

s’écrit alors :

2 22 2 2 20 0 0 0

11 12 222 2 2 20 0

2 22 2 2 2 20 0 0 0 0

66 16 262 2 2

2 220 0 0

2

1 22

4 4

2 2

a b

x y

x

y xy s

U D D Dx x y y

D D D Nx y x yx y x

N N qx yy

ρ ω

= =

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎢= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ w w w w

w w w w w

w w w ( ) 2

0 d d ,x y⎤⎥⎥⎦

w

(25.58)

où Nx, Ny et Nxy sont les résultantes en membrane (comme définies en (23.23)) induites par les phénomènes de dilatation, en liaison avec les conditions imposées aux frontières. La solution approchée est recherchée sous la forme usuelle d’une série double :

01 1

( , ) ( ) ( )M N

mn m nm n

x y A X x Y y= =

= ∑∑w , (25.59)

où les fonctions Xm(x) et Yn(y) doivent satisfaire les conditions imposées sur les côtés 0, et 0, x x a y y b= = = = . Les coefficients Amn sont déterminés par les conditions (8.66) de stationnarité :

0, 1, 2, . . . , , 1, 2, . . . , ,mn

U m M n NA∂

= = =∂

(25.60)

où U est l’énergie obtenue en reportant l’expression approchée (25.59) de la flèche dans l’expression (25.58). Les conditions (25.60) conduisent alors aux M N× équations :

( ){( ) ( )

( )

2200 2002 0220 1111 2 0022 411 12 66 22

1 11210 2101 1012 0121 3

16 26

2 1100 0011 2 1001 0110

4

4

2 2

M N

minj minj minj minj minji j

minj minj minj minj

x minj y minj xy minj minj

s

D C D C C D C R D C R

D C C R D C C R

a N C N C R N C C R

aρ

= =

⎡ ⎤+ + + +⎦⎣

+ + + +

⎡ ⎤+ + + +⎣ ⎦

−

∑∑

}2 0000 4 0 00 ,

pour 1, 2, . . . , , 1, 2, . . . , , (25.61)

minj ij m nC A a q I J

m M n N

ω =

= =

où les coefficients pqrsminjC ont été introduits en (21.116).

Le système d'équations ainsi obtenu regroupe et généralise les équations de flexion des plaques (relations (21.119), (22.5)), les équations de flambement (relation (23.142)) et les équations de vibration en flexion (relations (24.109) et (24.146)). Le système d’équations s’applique aussi bien au cas où la plaque est


soumise à des dilatations indépendantes de (x, y), qu’au cas où il n’y a pas de phénomènes de dilatation. Dans ce dernier cas, les résultantes Nx, Ny et Nxy sont les résultantes en membrane initiales imposées sur les frontières (autrement que par les phénomènes de dilatation), les moments imposés étant nuls. Lorsque l’on tient compte des phénomènes de dilatation de la plaque, les résultantes Nx, Ny et Nxy sont les résultantes en membrane induites par les dilatations et les restrictions imposées du fait des conditions imposées sur les côtés de la plaque.

En fonction des diverses analyses effectuées dans les chapitres précédents, les fonctions poutres utilisées pour l’étude des vibrations des poutres (paragraphe 24.3) peuvent être choisies comme fonctions Xm(x) et Yn(y) pour exprimer les solutions approchées (25.59). Dans le cas de l’étude de la plaque soumise à un chargement statique latéral ( 0, 0)x y xyN N N ω= = = = , la résolution du système (25.60) conduit à la détermination des coefficients Aij. En l’absence de charges latérales (q = 0), les équations (25.61) constituent un système d’équations homo-gènes. Une solution non nulle ( 0)ijA ≠ indéterminée est alors obtenue lorsque le déterminant de la matrice des coefficients Aij s’annule. Cette condition permet de déterminer les fréquences propres de vibration de la plaque soumise ou non à des charges en membrane initiales, imposées ou non par des phénomènes de dila-tation. Cette condition permet également de déterminer la charge critique de flambement (résultant ou non de phénomènes de dilatation) qui correspond, dans le cas où ω = 0, à la combinaison de plus faible valeur des résultantes Nx, Ny et Nxy qui annule le déterminant.

25.4.2 Plaque rectangulaire constituée d’un stratifié antisymétrique équilibré

Un stratifié antisymétrique équilibré [±θ ]p, comportant un nombre pair de couches, est caractérisé (relation (22.54)) par :

16 26 11 12 22 66 16 260, 0, 0A A B B B B D D= = = = = = = = . (25.62)

Dans le cas où les dilatations sont indépendantes des coordonnées (x, y) et fonctions paires de z dans chaque couche, les relations (25.21) et (25.17) montrent que , et x y xyN N M∗ ∗ ∗ sont constants, alors que 0xy x yN M M∗ ∗ ∗= = = . Dans le cas d’une flexion en présence de charges initiales en membrane, les relations fondamentales (25.48) à (25.50) se réduisent alors à :

( )2 2 2 3 3

0 0 0 0 011 66 12 66 16 262 2 2 33 0u uA A A A B B

x yx y x y y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + − − =∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

v w w , (25.63)

( )

2 2 2 3 30 0 0 0 0

12 66 66 22 16 262 2 3 23 0uA A A A B Bx y x y x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂v v w w , (25.64)


( )4 4 4 3 3

0 0 0 0 011 12 66 22 16 264 2 2 4 2 32 2 3 u uD D D D B B

x x y y x y y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + − −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂w w w

3 3

0 016 263 23B B

x x y∂ ∂

− −∂ ∂ ∂v v

2 2 20 0 0

2 22i i ix xy yq N N N

x yx y∂ ∂ ∂

= + + +∂ ∂∂ ∂

w w w . (25.65)

D’après l’équation constitutive (25.20), en relation avec les expressions (14.15) exprimant les déformations en fonction des déplacements, les résultantes en membrane s’expriment suivant :

2

0 0 011 12 162x x

uN N A A Bx y x y

∗ ∂ ∂ ∂= − + + −

∂ ∂ ∂ ∂v w , (25.66)

2

0 0 012 22 262y y

uN N A A Bx y x y

∗ ∂ ∂ ∂= − + + −

∂ ∂ ∂ ∂v w , (25.67)

2 2

0 0 0 066 16 262 2xy

uN A B Bx y x y

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

v w w . (25.68)

Les résultantes et x yN N∗ ∗ , dues aux phénomènes de dilatation, sont induites par les dilatations et les restrictions imposées aux frontières, alors que les autres termes résultent des déformations induites par la charge de flexion q. Dans le cas où l’on s’intéresse à l’effet des charges en membrane résultant des phénomènes de dilatation, les charges initiales en membrane, intervenant dans l’équation (25.65), s’expriment suivant :

, , 0.i i ix x y y xyN N N N N∗ ∗= − = − = (25.69)

Nous examinons le cas où chaque côté de la plaque est soumis à une liaison pivot, libre suivant la direction du côté. Les conditions aux frontières sont alors exprimées suivant les relations (22.56) à (22.62). La charge transversale q = q(x, y) est développée suivant une série double de Fourier :

1 1

( , ) sin sinmnm n

x yq x y q m na b

π π∞ ∞

= =

= ∑∑ , (25.70)

avec

0 0

4 ( , ) sin sin d da b

mnx y

x yq q x y m n x yab a b

π π= =

= ∫ ∫ . (25.71)

Les solutions du problème sont alors recherchées en écrivant les déplacements sous forme de séries doubles de Fourier, satisfaisant aux conditions aux frontières (22.59) à (22.62) :


01 1

( , ) sin cosmnm n

x yu x y A m na b

π π∞ ∞

= =

= ∑∑ , (25.72)

01 1

( , ) cos sinmnm n

x yx y B m na b

π π∞ ∞

= =

= ∑∑v , (25.73)

01 1

( , ) sin sinmnm n

x yx y C m na b

π π∞ ∞

= =

= ∑∑w . (25.74)

En reportant les expressions (25.72) à (25.74) dans les équations (25.63) à (25.65), puis en résolvant le système d’équations obtenues, nous trouvons :

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

32 2 2 2 2 2

66 22 16 263

2 2 2 212 66 16 26

32 2 2 2 2 2

11 66 16 263

2 2 2 2 216 26 12 66

42 2 2 2 2 2

11 66 66 224

2 2 212

3

3 ,

3

3 ,

mn mnmn

mn mnmn

mn mnmn

aA q nR m A n R A m B n R B

m A A m B n R B

aB q m m A n R A m B n R B

n R m B n R B A A

aC q m A n R A m A n R A

m n R A

π ∆

π ∆

π ∆

⎡= + +⎣

⎤− + + ⎦

⎡= + +⎣

⎤− + + ⎦

⎡= + +⎣

− ( )266 ,A ⎤+ ⎦

(25.75)

avec

( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( )( ) ( )

24 2 2 2 4 4 2 2 2

11 12 66 22 2

22 2 2 2 2 2 2 2 211 66 66 22 12 66

2 2 2 2 2 2 2 2 212 66 16 26 16 26

22 2 2 2 2 2 216 26 11 66

2 2

2 3 3

3

mn x xyam D m n R D D n R D m N n R N

m A n R A m A n R A m n R A A

m n R A A m B n R B m B n R B

m m B n R B m A n R A

∆π

∗ ∗ ⎤⎡= + + + − +⎣ ⎦

⎡ ⎤× + + − +⎣ ⎦

+ + + +

− + +

( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 2 2

16 26 66 223 . (25.76)n R m B n R B m A n R A− + +

Les expressions (25.75) ont une forme identique aux expressions (22.67) obtenues dans le cas de la flexion sous la seule charge q. Elles n’en diffèrent que par l’introduction dans l’expression de ∆mn des résultantes et x yN N∗ ∗ dues aux phénomènes de dilatation. En outre, la charge critique de flambement correspond à la combinaison de plus faible valeur des résultantes et x yN N∗ ∗ , annulant ∆mn, les coefficients Amn, Bmn et Cmn étant alors indéfinis.


25.4.3 Effets thermiques

Dans les paragraphes précédents 25.4.1 et 25.4.2, nous avons pris en compte les effets des phénomènes de dilatation sans en définir la nature (thermique, gonflement, etc.). En illustration des résultats obtenus, nous examinons dans ce paragraphe les effets induits par les phénomènes de dilatation thermique, dans le cas d’une plaque rectangulaire constituée d’un stratifié équilibré symétrique du type [(±θ)p]s. Ce stratifié est caractérisé (relations (15.25)) par :

16 26 16 260, 0, 0ijA A B D D= = = = = . (25.77)

Dans le cas où la plaque est encastrée sur les côtés x = 0 et x = a, et libre sur les côtés y = 0 et y = b, les conditions aux frontières sont :

— pour les côtés x = 0 et x = a :

00 0, 0,

x∂

= =∂ww (25.78)

— pour les côtés y = 0 et y = b :

0, 2 0.xy yy

M MM

x y∂ ∂

= + =∂ ∂

(25.79)

Les conditions (25.79) sur les côtés libres sont déduites des conditions (16.32) et des relations (13.56) des plaques. Ces conditions conduisent, pour y = 0 et y = b à :

2 2 2

0 0 012 26 222 22 0D D D

x yx y∂ ∂ ∂

− − − =∂ ∂∂ ∂

w w w , (25.80)

( )3 3 3 3

0 0 0 016 12 66 26 223 2 2 32 4 4 0D D D D D

x x y x y y∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂w w w w . (25.81)

Conformément aux résultats établis dans le paragraphe 25.4.1, la flexion de la plaque est étudiée par la méthode de Ritz, en introduisant les fonctions poutres correspondant aux conditions aux frontières imposées :

— côtés x = 0 et x = a, encastrés :

( ) cos cosh sin sinhm m m m m mx x x xX xa a a a

λ λ γ λ λ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

, (25.82)

— côtés y = 0 et y = b, libres :

1

2

( ) 1,

( ) 3 1 2 ,

( ) cos cosh sin sinh , 3.n n n n n n

Y yyY yb

y y y yY x nb b b b

λ λ γ λ λ

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

(25.83)


Les valeurs des coefficients λi et γi sont reportées dans le tableau 21.3 pour la fonction poutre encastrée-encastrée et dans le tableau 24.3 dans le cas de la fonction poutre libre-libre. Les valeurs des intégrales intervenant dans l’expression (25.60) sont reportées dans les tableaux de l'annexe B pour la fonction poutre encastrée-encastrée. Les valeurs des intégrales sont à évaluer dans le cas de la fonction poutre libre-libre. Ces valeurs permettent (paragraphe 25.4.1) soit de décrire la flexion de la plaque en déterminant les coefficients Aij par résolution du système (25.61), soit de déterminer la charge critique de flambement en annulant le déterminant du système (25.61).

Dans le cas de la détermination de la charge critique de flambement, les charges en membrane Nx, Ny et Nxy intervenant dans l’équation (25.61) peuvent être exprimées à partir de l’équation constitutive (25.20), soit :

0 *11 12

0 *12 22

0 *66

0

0

0 0

x xx x

y yy y

xy xy xy

N A A N

N A A N

N A N

ε

ε

γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. (25.84)

D’autre part, les conditions aux frontières imposent : — pour les côtés x = 0 et x = a, encastrés :

0 0xxε = , (25.85)

— pour les côtés y = 0 et y = b, libres :

0y xyN N= = . (25.86)

La combinaison de ces résultats conduit à :

12

22x x y

AN N NA

∗ ∗= − + , (25.87)

ou d’après les expressions (15.25) :

12

22x x y

QN N NQ

∗ ∗′= − +

′. (25.88)

Les résultantes dues aux effets thermiques s’écrivent (relation (25.21)) :

( )

1

* * * *11 12 161

d ,k

k

n h

x xx yy xy khk

N Q Q Q zε ε γ−=

′ ′ ′= + +∑∫ (25.89)

( )

1

* * * *12 22 261

d ,k

k

n h

y xx yy xy khk

N Q Q Q zε ε γ−=

′ ′ ′= + +∑∫ (25.90)

où, compte tenu des relations (25.1) et (25.17), les déformations thermiques rapportées aux axes de référence de la plaque s’écrivent :

Exercices 591

2 2*

2 2*

*

cos sinsin cos

2sin cos 2sin cos

xxL

yyT

xy

Tε θ θ

αε θ θ

αγ θ θ θ θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤

= ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎣ ⎦

, (25.91)

en introduisant les coefficients de dilatation thermique d’une couche, rapportés aux directions principales (L, T) de la couche. Soit :

( )( )( )

2 2*

2 2*

*

cos sin ,

sin cos ,

sin 2 .

xx L T

yy L T

xy L T

T

T

ε α θ α θ

ε α θ α θ

γ α α θ

= + ∆

= + ∆

= −

(25.92)

En reportant ces expressions dans les relations (25.88) à (25.90), puis en tenant compte des symétries du stratifié, nous obtenons :

( )

( )

22 212

1111

1216 26

11

cos sin

sin 2 ,

x L T

L T

QN QQ

QQ Q h TQ

α θ α θ

α α θ

⎡⎛ ⎞′′= − + +⎜ ⎟⎢ ′⎝ ⎠⎣

⎤⎛ ⎞′′ ′+ − + − ∆⎜ ⎟ ⎥′⎝ ⎠ ⎦

(25.93)

où h est l’épaisseur du stratifié. La substitution de l’expression Nx dans le système d’équations (25.61) permet

ensuite soit d’étudier l’influence de la température sur les fréquences de vibration de la plaque, soit de déterminer la variation de température critique qui conduit au flambement de la plaque.

Une approche similaire peut également être menée pour analyser les effets des phénomènes hygrométriques.

EXERCICES

24.1 Un matériau stratifié symétrique est constitué de trois couches. Les couches 1 et 3 sont des couches à renfort unidirectionnel d'épaisseurs égales à 1,2mm, de caractéristiques mécaniques :

EL = 46 GPa, ET = 10 GPa, νLT = 0,30, GLT = 4,8 GPa, et de coefficients de dilatation thermique :

αL = 5 × 10–6 /°C, αT = 22 × 10–6 /°C.

La couche 2 est une couche double à renfort mat d'épaisseur 2,8mm, de carac-téristiques mécaniques :

EL = ET = 8 GPa, νLT = 0,32, GLT = 3,2 GPa, et de coefficients de dilatation thermique :


αL = αT = 18 × 10–6 /°C

La polymérisation du stratifié a été effectuée à une température de 125°C. On étudie son état mécanique à la température d'utilisation de 22°C et dans ses axes principaux (x, y) confondus avec les axes (L, T) des couches 1 et 3.

Exprimer les déformations dans les couches et les résultantes en membrane d'origine thermique.

En déduire les déformations en membrane du stratifié. Déterminer les contraintes en membrane dans chaque couche.

25.2 Un matériau stratifié non symétrique est constitué de deux couches. La couche 1 a les mêmes caractéristiques que les couches 1 et 3 du problème 25.1. La couche 2 a les mêmes caractéristiques mécaniques et thermiques que la couche 2 du problème 25.1, mais une épaisseur moitié (épaisseur égale à 1,4 mm). La polymérisation est effectuée à la même température de 125°C et on considère son état mécanique à 22°C.

Exprimer les déformations dans les couches, les résultantes en membrane et les moments.

En déduire les déformations en membrane et les courbures du stratifié. Exprimer la flèche observée sur une plaque de longueur a et largeur b, après démoulage.

Déterminer les contraintes en membrane dans chaque couche.

25.3 Une plaque constituée du matériau considéré au problème 25.1 est encastrée (à la température de 22°C) sur quatre côtés, parallèles aux axes principaux du matériau. La plaque est ensuite portée à une température de 50°C.

Exprimer les déformations dans les couches et les résultantes en membrane, à la température de 50°C.

En déduire les déformations en membrane. Déterminer les contraintes en membrane dans chaque couche.

25.4 Une poutre, de longueur L, constituée du matériau stratifié considéré au problème 25.1 est encastrée à ses deux extrémités. On étudie le flambement et les vibrations en flexion de la poutre, à la température de 22°C.

Déterminer la charge critique de flambement de la poutre. Expliciter les fréquences propres des vibrations en flexion de la poutre. Dans les deux cas, comparer les résultats obtenus au cas où il n'y aurait pas de

dilatation thermique induite.

chapitre influence des phénomènes de dilatation sur le ... caniquecompo ·...

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