chapitre i : suites, partie 1/2 -...

1/41 - TS – Chap.n°1 : Suites, partie 1/2

Chapitre I : Suites, partie 1/2

Objectifs :1. → Savoir mener un raisonnement par récurrence.

2. → Savoir déterminer, dans le cas d'une limite infinie pour une suite croissante, à l'aide d'un algorithme, un

rang à partir duquel un est supérieur à A.

3. → Savoir démontrer que si un < vn à partir d'un certain rang et si limn →+∞

un = +∞, alors limn →+∞

v n

= +∞.

4. → Savoir étudier les limites d'une somme, d'un produit et d'un quotient de deux suites.

5. → Savoir déterminer la limite éventuelle d'une suite géométrique.

Référence du manuel : Bordas, indice TS prgm 2012

Activité d'approche n°1 : construction du raisonnement parrécurrence.

On considère la suite définie par { u0=1un+1=un+2n−1

1. Calculer les trois premiers termes de la suite.

….............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2. À l'aide d'un tableur oud'une calculatrice, afficher lestermes de la suite de u0 à u11

…..................................................................................................................................................................................................................................................................................................3. Représenter graphiquementl'ensemble des points (n; un )

pour n ∈[0;11] :

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4. Conjecturer l’expression de un en fonction de n. Vérifier cette conjecture pour

des grandes valeurs de n (par exemple : n = 100, n= 557 …)….........................................................................................................................................................5. On définit, pour tout entier n, la propriété P(n) par : un =(n – 1)2.

a. Qu'est-ce que l'étude précédente laisse penser de la propriété P ?….........................................................................................................................................................

b. Démontrer, en utilisant la définition de la suite donnée au départ, que, si P(n) est vraie, alors P(n+1) est aussi vraie (on dit que P est héréditaire) :

….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................

c. Démontrer que P(0) est vraie.….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................

d. On sait maintenant que P(0) est vraie, et que, si P(n) est vraie, alors P(n+1) estaussi vraie. Que peut-on en déduire, et pourquoi ?

….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................

Activité d'approche n°2 : construction du raisonnement parrécurrence (suite)

On considère la suite définie par { u0=2un+1=un+2n−1

1. On définit, pour tout entier n, la propriété P(n) par : un =(n – 1)2. Conjecture-t-on

toujours que, pour tout entier n, P(n) est vraie ? Argumenter.…...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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2. Démontrer que P est cependant toujours héréditaire.

…...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..............................................................................................................................................................3. Que faudrait-il pour que le raisonnement par récurrence « fonctionne » ?…..............................................................................................................................................................

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Cours n°1

Chapitre n°1 : Suite, partie 1/2Remarque :

Toutes les notions relatives aux suites vues en 1ère sont nécessaires (croissance et décroissance, suites arithmétiques, géométriques, somme des premiers termes, etc.)

I) Le raisonnement par récurrenceDéfinition n°1 :

On dit que la propriété P est héréditaire à partir du rang n0 si elle possède la

propriété : si pour un entier n supérieur ou égal à n0 , …........ est vraie

alors …..........................................................................................................................

P(n) s'appelle l'hypothèse de récurrence.

Axiome de récurrence :Si la propriété P(n0) est vraie (initialisation) et la propriété P est héréditaire à partir de n0 , alors …........................................................................................................

…..............................................................................................................................................

Remarques :a. L’entier n0 , rang initial est souvent 0 ou 1, mais pas toujours.b. Une démonstration par récurrence comporte trois étapes, l’initialisation, l’hérédité de la propriété et la conclusion.c. L’initialisation est importante. Une propriété peut être héréditaire sans pourautant être vraie. Par exemple, pour n entier naturel, la propriété : « (10n+1) estdivisible par 9 » est héréditaire, mais fausse. Il manque l’initialisation.

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Exemple n°1 (Inégalité de Bernoulli)Démontrer l'assertion suivante : Soit a un réel strictement positif. Alors, pour tout n entier naturel, (1+a)n 1 + na.

1) I............................................ :…....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2) H............................................. :…........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3) C....................................... :….............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°1Ex.1 p.22…................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................Exercice n°2*

Ex.4 p.22….........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°3*Ex.42 p.24….........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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...................................................................................................................................................

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..................................Exercice n°4**

Ex.44 p.24…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Activité d'approche n°3 : Convergence ou non

Un éditeur veut faire paraitre un nouveau magazine mensuel intitulé «SESAMATH », sachant qu’un nouveau magazine reste rentable pour lui, dès lorsque le nombre d’abonnés reste supérieur ou égal à 3000. Il réalise une étude de marché qui révèle que le nombre d’abonnés serait de 8000 la premièreannée, que le taux de réabonnement serait de 80 % et que chaque année, il y aurait 600 nouveaux abonnés.n étant un entier naturel non nul, on note, dans cette activité, an le nombre d’abonnés à l’année n. On suppose que : a1 = 8000.

1. EstimationÀ l’aide d’un tableur,

a. Déterminer le nombre d’abonnés des premières années. En colonne B, on donnera le résultat de an et en colonne C le résultat arrondi à l’entier.…....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

b. Représenter graphiquement le nombre d’abonnés en fonction de l’année.

c. Conjecturer alors lecomportement de cenombre d’abonnés au furet à mesure que les annéess’écoulent.

…......................................................…......................................................…......................................................…......................................................

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…......................................................d. Le magazine semble-t-il pérenne ? …..................................................................................................................................................2. Point de vue mathématique

Dans cette partie, n est un entier naturel supérieur ou égal à 1.a. Expliciter une relation entre an+1 et an.

…..................................................................................................................................................b. On définit, pour tout n entier naturel non nul, la suite (bn) par bn = an –

3000. Montrer que la suite (bn) est géométrique, puis déterminer les éléments caractéristiques de cette suite ainsi qu’une formule explicite de bn.…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................….................................................................................................................................................c. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, an en fonction de n.…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................d. Justifier que la suite (an) est strictement décroissante et qu’elle est minorée par 3000.…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................

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…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................

e. La suite (an) peut-elle atteindre 3000 ? Pourquoi le tableur affiche-t-il pour autant an = 3000, à partir d’un certain rang ?…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................….................................................................................................................................................

f. Écrire un algorithme permettant de savoir à partir de quel rang (an -

3000)0,5.…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................

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…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................

g. Pour ou contre ? Commenter la phrase suivante : « Tout intervalle ouvert contenant 3000 contient toutes les valeurs an, à partir d’un certain rang ».…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................

h. Conclure sur l’évolution dans le temps du nombre d’abonnés au magazine « SESAMATH ».…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................…..................................................................................................................................................

Exercice n°5*Ex.8 p.22…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................….......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

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.................Exercice n°6*

Ex.9 p.22…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°7*Ex.11 p.22….........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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.................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°8*Ex.12 p.22…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Cours n°2

II) Limite finie d'une suite

Définition n°2

La suite ( un ) admet pour limite lenombre réel L si, quand on choisit unintervalle ouvert contenant L, ilexiste toujours un n0 à partir duquel

…......................................................................

À partir d'un certain rang, les termes de la suite « s'accumulent » autour de L.

Notation

On dit que la suite ( un ) converge vers L et on note : …...........................................

….............

Remarque :Une suite qui ne converge pas est une suite qui diverge, soit vers + ∞ ou - ∞, soit parce qu'elle oscille continuellement de manière aléatoire ou non exemple : (-1)n)

Exemple n°2 :

Soit la suite ( un ) définie par un=5n2 . Cette suite est-elle convergente ?

Justifier.Intuitivement, on voit que un converge et que L = ... Soit un intervalle ouvert du type ]-a;+a[ , a étant un réel strictement positif.Cherchons à partir de quel rang n0 on aura 5

n2<a :

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….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................Conclusion :….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................

Exemple n°3

Soit la suite ( v n ) définie par v n+1=5vn

. et v0=−1 . Cette suite est-elle

convergente ? Justifier.Intuitivement, on voit que v n …..................................................................Démonstration par récurrence :….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................III) Limite infinie d'une suite

Définition n°3

La suite ( un ) admet pour limite l'infini si , quand on choisit un intervalle ou-vert de la forme ]A;+∞[, il existe toujours un n0 à partir duquel ........................................................................................................................................................................................…............................................................................................................................................

Exemple n°4Soit la suite ( wn ) définie par wn+1=5+n2 . Déterminer la limite de cette suite.

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Intuitivement, on voit que wn …................................................................Soit un intervalle ouvert du type ]A;+∞[ , A étant un réel strictement plus grandque 5.Cherchons à partir de quel rang n0 on aura 5+n2

>A :….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................Conclusion :….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................….........................................................................................................................................................

Exercice n°9*Ex.54 p.25…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°10*Ex.55 p.25

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…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Activité d'approche n°3 : opérations sur les suites

1. De façon intuitive, compléter les tableaux suivants : Somme de deux suites

un vn limn→+∞

un limn→+∞

v nun + vn lim

n→+∞un+vn

2n² –n² … … … …n² –n² … … … …

n + 1n –n … … … …

n² – 1 –2n² … … … …Produit de deux suites

un vn limn→+∞

un limn→+∞

v n

un vn limn→+∞

un vn

2n²1n

… … … …

n²2n2

… … … …

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3n1n2 … … … …

Quotient de deux suites

un vnlim

n→+∞un lim

n→+∞v n

un

vn

limn→+∞

un

vn

2n² n … … … …n² -n² … … … …n -n² … … … …1n

1n2 … … … …

1n2

1n2 … … … …

1n2

1n

… … … …

2. GénéralisationOn considère deux suites (un) et (vn). On connait les limites de ces deux suites. L et L’ sont des nombres réels.1. Addition

limn→+∞

un L L L +∞ -∞ +∞

limn→+∞

v n L’ +∞ -∞ +∞ -∞ -∞

limn→+∞

un+vn … … … … … …

2. Produitlim

n→+∞un L≠0 L>0 ou +∞ L<0 ou -∞ L>0 ou +∞ L<0 ou -∞ 0

limn→+∞

v n L’ +∞ +∞ -∞ -∞ -∞ ou +∞

limn→+∞

un×v n … … … … … …

3. QuotientOn suppose que pour tout entier naturel n, vn est différent de zéro.

limn→+∞

un L L L>0 L>0 L<0 L<0 -∞ ou +∞ 0

limn→+∞

v n L’≠0 -∞ ou +∞ 0 et vn>0 0 et vn<0 0 et vn>0 0 et vn<0 -∞ ou +∞ 0

limn→+∞

un

vn… … … … … … … …

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Cours n°3

IV) Opérations sur les limites

Propriété n°1

Si limn →+∞

un= +∞ et un≠0 à partir d'un certain rang, alors limn →+∞

1un

=... .

Si limn →+∞

un=−∞ et un≠0 à partir d'un certain rang, alors limn →+∞

1un

=... .

Démonstration :Si lim

n →+∞un= +∞ , quelque soit le nombre A positif choisi, il existe n0 tel que,

quelque soit n>n0, un>A .

Donc, il existe n0 tel que, quelque soit n>n0, 1un

<1A

.

Donc, si l'on choisit un nombre quelconque a, il suffit de prendre A= 1a

: il y

aura un rang à partir duquel un>A , et donc à partir duquel 1un

<1A

soit 1un

<a .

Donc limn →+∞

1un

=0 .

Propriété n°2 : somme de limites

Propriété n°3 : produit de limites

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Propriété n°4 : quotient de limites lim

n →+∞un

limn→+∞

vn

Exemple n°5 :Soit un= –2n2 – 5n. Déterminer lim

n→+∞un

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.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

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Exemple n°6 :Soit vn= –2n2 + 5n. Déterminer lim

n→+∞v n

.....................................................................................................................................................

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.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

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Exemple n°7 :

Soit wn= n2 – 1

n . Déterminer lim

n→+∞wn

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

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Exercice n°11*Ex.13 p.22…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°12*Ex.14 p.22

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Exercice n°13*Ex.15 p.22…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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.................Exercice n°14**

Ex.67 p.26…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°15*Ex.68 p.26…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Exercice n°16**Ex.69 p.26…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Cours n°4

V) Limites et comparaison de suitesPropriété n°5 :

1. Si (un) et (vn) sont deux suites tellesque, à partir d'un certain rang n1, vn un, et

limn→+∞

un=+∞ , alors ….......................................

2. Si (un) et (vn) sont deux suites tellesque, à partir d'un certain rang n1, vn un, et

limn→+∞

un=−∞ , alors ….......................................

Démonstration (exigible) :Démontrons le 1 : choisissons un nombre réel A, on a lim

n→+∞un=+∞ . Donc il

existe un rang n0 à partir duquel un est dans l'intervalle ]A;+∞[.

De plus, à partir d'un certain rang n1, …..........................................................................................................................................................................................................................Donc, choisissons un rang n2 tel que …...........................................................................Alors …....................................................................................................................................Donc : ….....................................................................................................................................Le 2 se démontre de façon équivalente.

Exemple n°8 :Soit la suite (vn) définie par vn=2n + 1 + sinn. Déterminer lim

n→+∞v n .

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Propriété n°6 : le théorème des « gendarmes »

Si (un), (vn) et (wn) sont trois suites tellesque, à partir d'un certain rang n1, unvnwn , et lim

n→+∞un= lim

n→+∞wn=L , alors

Exemple n°9 :

Soit la suite (vn) définie par vn=sin n

n . Déterminer lim

n→+∞v n .

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Exercice n°17Ex.18 p.22

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Exercice n°18Ex.20 p.22…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°19Ex.71 p.26…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°20*Ex.23 p.22…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Cours n°5

VI) Limite des suites géométriquesPropriété n°7

Soit q la raison d'une suite géométrique :a. Si q-1 alors lim

n→+∞qn ..................... .

b. Si -1<q<1 alors limn→+∞

qn ..................... .

c. Si q=1 alors limn→+∞

qn ..................... .

d. Si q>1 alors limn→+∞

qn ..................... .

Démonstration (exigible) :On ne démontre que le d...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exemple n°10 :

Soit la suite (wn) définie par wn=23n . Étudier la convergence de (wn).

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Exemple n°11 :Soit la suite (un) définie par un=−3(√2)

n . Étudier la convergence de (un).

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.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

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Exemple n°12 :

Soit la suite (vn) définie par v n=(−3)n

5 . Étudier la convergence de (vn).

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

Exemple n°13 :

Soit la suite (zn) définie par zn=∑p=0

n−1

q p . Étudier la convergence de (zn) en

fonction de q.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°21Ex.25 p.23

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…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°22*Ex.29 p.23…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°23**Ex.73 p.26…................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Exercice n°24**Ex.74 p.26…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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.................Exercice n°25**

Ex.77 p.26…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°26***Sujet B p.35…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Exercice n°27***Sujet E p.36…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Exercice n°28***Ex.135 p.37…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................…................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

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Résultats

Ex.1 (1 p.22) : p(n):il existe p tel que (xy)p=...

Ex.2 (4 p.22) : initialisation : u0=....

Ex.3 (42 p.24) : récurrence.

Ex.4 (44 p.24) : un=2.

Ex.5 (8 p.22) : rang 20.

Ex.6 (9 p.22) : 1. rang 6. 2. rang 71.

Ex.7 (11 p.22) : 1. rang 10 001 2. rang 100 001.

Ex.8 (12 p.22) : 1. rang 202. 2. rang 2 002.

Ex.9 (54 p.25) : 1. limn→+∞

vn =2. 2. n> 1

a2 .

Ex.10 (55 p.25) : 1. À partir du rang 10. 2. n> 1

√a.

Ex.11 (13 p.22) : 1. +∞ 2. +∞ 3. +∞ 4. -30 5. -∞ 6. +∞

Ex.12 (14 p.22) : 1. 4 2. 0 3. 0 4. - limn→+∞

S n=+∞

Ex.13 (15 p.22) : 1. +∞ 2. -∞ 3. +∞ 4. -∞

Ex.14 (67 p.26) : 1. -∞ 2. 0 3. +∞ 4. 4

Ex.16 (69 p.26) : 1. -∞ 2. -∞ 3. 0 4. - 23

5. +∞ 6. -∞

Ex.17 (18 p.22) : limn→+∞

un=+∞

Ex.18 (20 p.22) : limn→+∞

un=−∞

Ex.19 (71 p.26) : 1. limn→+∞

un=+∞ 2. limn→+∞

un=0 3. limn→+∞

un=+∞ 4. limn→+∞

un=−∞

Ex.20 (23 p.22) : a. limn→+∞

un=0 b. limn→+∞

un=0

Ex.21 (25 p.23) : 1. 0 2. +∞ 3. Diverge sans limite.

Ex.22 (29 p.23) : 1. limn→+∞

un=0 2. limn→+∞

un=−∞

Ex.23 (73 p.26) : 1. +∞ 2. +∞ 3.+∞ 4. Diverge sans limite.

Ex.24 (74 p.26) : 1. -∞ 2. 0 3.+∞ 4. 2 5. +∞ 6.+∞

Ex.25 (77 p.26) : 1.a. Le nombre de personnes touchées par la rumeur dans l’intervalle [n;n + 1] est proportionnel à un... 1.b. géométrique, raison 1+a. 1.c. a=2,5. 1.d. un=100×3,5

n. 2.a. lim

n→+∞

un=+∞

2.b. 4h;5h;5h.

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Ex.26 (Sujet B p.35) : P.A. cf cours, exemple 1 P.B.1. limn→+∞

un=1 P.B.2.a. (Sn) est croissante.

P.B.2.b. Sn=n+1+15 (1−(15)

n+1

) P.B.2.c. limn→+∞

S n=+∞ P.C.1. F P.C.2.F.

Ex.27 (Sujet E p.36) : 1. u1= - 53

; u2= - 149

; u3 = - 1427

2. pour n 71. 3. par récurrence. 4.a.

raison : 13

, premier terme : v0 = - 252

. 4.b. vn= - 252

× (13)

n

5.a. Sn= -758 (1−(1

3)n+1

) 5.b.Tn= 758

(1−(13)

n+1

) + 34

(n+1)(n – 7).

Ex.28 (Ex.135 p.37) : 1. (an) semble croissante, (bn) semble décroissante, et il semble que

limn→+∞

an= limn→+∞

bn=4 . 2. 3.a. raison 13

, premier terme 6 3.b. un= - 6×

(13)

n

. .4 a an<bn 4.b. (an) est croissante, (bn) est décroissante. 5. décroissante et minorée, croissante

et majorée... 6.c. limn→+∞

an= limn→+∞

bn=4 .

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Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …..................................................

Nom, prénom et classe :….........................................................................................* Je veux repasser l'interrogation n°...... du chap. n°......* Je veux repasser le contrôle n°.......Travail fait en classe : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...Travail à faire pour la prochaine fois :- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...


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chapitre i : suites, partie 1/2 -...

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