chapitre i : notions d’aérothermodynamique

Chapitre I : Notions d’Aérothermodynamique :

Cours de thermopropulsion II (Dr HENNI MANSOUR Zoubir)

Chapitre I : Notions d’Aérothermodynamique.

L’aérothermodynamique étudie les mouvements de l’air sous l’aspect

mécanique et thermodynamique. C’est le pont entre l’aérodynamique et la

thermodynamique.

I.1: Fonctions d'état Statiques et totales.

1.1.1 : Enthalpie totale ou génératrice :

Affectant de l’indice i les valeurs prises par les grandeurs caractéristiques en une

région de l’écoulement ,( état 1) où la vitesse serait nulle. Cet état est appelé état

générateur ou total.

Le 1er principe de la thermodynamique pour un système ouvert donne :

Wt + Q = Δh + ΔEc + ΔEp

Wt +Q = (h1 – h0) + (Ec1 – Ec0 ) = (h1 – h0) + (1

2. 𝑉1

2 −1

2. 𝑉0

2)

Pour un écoulement adiabatique (Q=0) en absence de machine

( Wt =0), pas de travail de transvasement. On a entre la section 0 et 1 :

h0 +1

2. 𝑉0

2 = ℎ1 +1

2. 𝑉1

2 = h1 = cte

Etat 0

Etat 1

Etat 1

P0

T0

V0

P1

T1

V1=0

Etat générateur

=0



on a donc : h1 = hi = h + 1

2.𝑉2 = cte …….(1) équation de THOMSON ou formule

de ZEUNER

hi est appelée enthalpie génératrice ou totale

Enthalpie + Energie cinétique se conservent au cours du temps

C’est ce que l’on rencontre dans les tuyères ou entrées d’air de réacteur

adiabatiques ou à la traversée d’un aubage fixe de compresseur ou de turbine.

En fluide parfait on a : 2

2

1. VTCEh pC =cte 1ére forme de équation de BARRE de

SAINT VENANT

La célérité du son est c =√𝛾 𝑟 𝑇 ou 𝑐2 = 𝛾 𝑟 𝑇 → 𝑟 =𝑐2

𝛾 𝑇

𝐶𝑃 = 𝑟. 𝛾

𝛾−1

𝐶𝑃 = 𝑐2

𝛾 𝑇

𝛾

𝛾−1=

𝑐2

𝑇(𝛾−1) h+Ec =

𝑉2

2 +

𝑐2

𝛾−1 = cte

2ème forme de équation de BARRE SAINT VENANT

On a également pour un gaz parfait : 𝑝 = 𝜌. 𝑟. 𝑡 → r = 𝑝

𝜌 𝑇

h +Ec= 𝛾

𝛾−1 .

𝑃

𝜌+

1

2𝑉2 = 𝑐𝑡𝑒 …….(2)

3ème forme de la Relation de BARRE de SAINT VENANT

I.1.2 : Pression et température totales : Enthalpie totale

Les équations précédentes s’appliquent à une particule fluide se déplaçant à

la vitesse V et sous la pression P, à la température T.

Si par un processus, on arrive à arrêter la particule de façon isentropique, P,

et T vont croître jusqu’aux valeurs Pi , Ti ( pression totale, température totale )

appelées conditions totales ou génératrices (région ou la vitesse V est nulle).

En condition d’arrêt isentropique, ihV

h 2

2

Pour un gaz parfait on a : p

iippC

VTTTCVTC

2.

2

1.

22 …………(3)



La célérité du son est donnée par rTcrTp

c ... 2

……..(4)

Or : 1

rC p

2.2

1V

rTTi

On appelle nombre de Mach M, le nombre sans dimensions c

VM rTMcMV ..22.22

2

2

2

)1(1

2

..).1(MT

r

rTMTTi

………(5) Evolution

isentropique : 11

1

..

T

TpPPTpT i

iii

1

2

2

)1(1

MPPi …………(6)

De même, on peut obtenir la masse volumique totale.

1

1

2

2

12

.2

11

.2

11

.2

11

M

MrT

MP

rT

P

i

ii …….(7)

En résumé on a : 𝑇𝑖

𝑇= (1 +

(𝛾−1)

2. 𝑀2)…………………(8)

𝑃𝑖

𝑃= (1 +

(𝛾−1)

2. 𝑀2)

𝛾

𝛾−1…………….(9)

𝜌𝑖

𝜌= (1 +

(𝛾−1)

2. 𝑀2)

1

𝛾−1………………(10)

Grandeurs critiques.*

Sont définit pour un nombre de mach égal à 1 (V=c)

Les caractéristiques du fluide en ce point critique sont appelées caractéristiques

critiques et sont notées par : p*, ρ*,T* et S*

On peut les calculer à partir de l’état générateur ou total (conditions d’arrêt)

Pression totale ou

génératrice

Température totale en

Fonction du nombre de

mach.



𝑇𝑖

𝑇∗=

𝛾+1

2

𝑃𝑖

𝑃∗= (

𝛾+1

2)

𝛾

𝛾−1

𝜌𝑖

𝜌∗= (

𝛾+1

2)

1

𝛾−1

I.2 : Rapport de Sections.

D’après la conservation du débit massique, on peut écrire :

�̇� = �̇�∗ C.à.d ρ.V.S = ρ*.V*.S* * Grandeurs Critiques pour M=1

V= c.M = √𝛾𝑟𝑇. 𝑀

→ 𝜌. 𝑀√𝛾𝑟𝑇 . 𝑆 = 𝜌∗𝑀∗√𝛾𝑟𝑇∗. S* ………….(14)

𝜌. 𝑀√𝑇 . 𝑆 = 𝜌∗𝑀∗√𝑇∗. S* …………….(15)

Or : M*=1 ⟹ 𝑆

𝑆∗ =1

𝑀.

√𝑇∗

√𝑇.

𝜌∗

𝜌

E faisant intervenir les grandeurs totales 𝜌𝑖 et Ti on obtient :

𝑆

𝑆∗ =1

𝑀.

𝜌∗

𝜌𝑖.

𝜌𝑖

𝜌 √𝑇∗

√𝑇𝑖.

√𝑇𝑖

√𝑇 ……(16)

Or : 𝜌∗

𝜌𝑖= (

2

𝛾+1)

1𝛾−1

𝜌𝑖

𝜌= (1 +

(𝛾−1)

2. 𝑀2)

1

𝛾−1 ………………..(17)

√𝑻∗

√𝑻𝒊= √

𝟐

𝜸+𝟏

√𝑇𝑖

√𝑇= √1 +

𝛾−1

2. 𝑀2

⟹ 𝑆

𝑆∗ =1

𝑀. (

2

𝛾+1)

1

𝛾−1. [1 +

𝛾−1

2. 𝑀2]

1

𝛾−1. √

2

𝛾+1. √1 +

𝛾−1

2. 𝑀2 ……….(18)

………………(11)

………………(12)

……………….(13)



𝑆

𝑆∗ =1

𝑀.[(

2

𝛾+1)

1

𝛾−1. (

2

𝛾+1)

1

2. (1 +

𝛾−1

2.𝑀2)

1

𝛾−1. (1 +

𝛾−1

2.𝑀2)

1

2] ……….(19).

𝑆

𝑆∗ =1

𝑀. [(

2

𝛾+1) (1 +

𝛾−1

2. 𝑀2)]

𝛾+1

2(𝛾−1)

Pour l’air 𝛾 =1,405 on a :

M 𝑇

𝑇𝑖

𝑃

𝑃𝑖

𝜌

𝜌𝑖

𝑆

𝑆∗

0.5 0.95238 0.843019 0.885170 1.33984

0.8 0.886525 0.656022 0.73992 1.03823

1 0.83333 0.528282 0.633938 1.000

Au col, pour l’air 𝛾 =1,405 (Mach=1)

P∗

𝑃𝑖

T∗

𝑇𝑖

𝜌∗

𝜌𝑖

0,5274 0,8316 0,6342

I.4 : Variation de la section et de la vitesse - Relation d’HYGONIOT.

L’équation de continuité ou de conservation de la masse s’écrit : cteSVqm ..

Sous forme différentielle on a : 0S

dS

V

dVd

……………..(21)

Tube de courant

Le premier principe donne :

δWT + δQe = dH+ dEc+ dEp

…………………(20)

s S+dS

V V+dV



H =U + Pv = U + 𝑃

𝜌…………………..(22)

dH = dU + d(𝑃

𝜌)……………(23)

or : dU = δWpdef + δWfdef +δQe

= - Pdv + d𝜏 + δQe

= -P d(1

𝜌)+ d𝜏 + δQe …………………….(24)

Remplaçons (24) dans (23)

dH = −𝑃 𝑑 (1

𝜌) + 𝑑𝜏 + 𝛿𝑄e + d(

𝑃

𝜌)

dH = −𝑃 𝑑 (1

𝜌) + 𝑑𝜏 + 𝛿𝑄e + Pd(

1

𝜌)+

1

𝜌𝑑𝑃

dH= 1

𝜌𝑑𝑃 + 𝑑𝜏 + 𝛿𝑄e …………………………………..(25)

le 2ème principe donne :

δQe = TdS – TδiS = TdS - 𝑑𝜏 ……………………(26)

Remplaçons (26) dans (25) on obtient :

dH = 1

𝜌𝑑𝑃 + 𝑑𝜏 + TdS - 𝑑𝜏

dH = 1

𝜌𝑑𝑃 + TdS

d’où : le premier principe s’écrit :

δWT + δQe = dH+ dEc+ dEp

δWT + δQe = 1

𝜌𝑑𝑃 + TdS + dEc+ dEp

Pour un écoulement isentropique sans travail technique et pour un fluide non pesant,

on obtient :

0 + 0 = 1

𝜌𝑑𝑃 + dEc =

1

𝜌𝑑𝑃 + d(V2/2) = 0

02

2

Vd

dP

…………………….(28)



Ou 0. dVVdP

………..(29) Equation d’EULER ou de quantité de

mouvement

L’équation de poisson (de l’adiabatique) s’écrit cteP

……(30)

Sous forme différentielle on a :

d

P

dP

P

d

dP …………….(31)

Or,

P

c

d

dPPc 2 dcdP .2 ……….(32)

Remplaçons (32) dans (29)

02 VdVd

c

VdV

c

d.

12

………..(33)

Remplaçons (33) dans ( 21 )

0.1

2

V

dV

S

dSVdV

c …………..(34)

(34) donne : 011 2

2

2

M

V

dV

S

dS

c

V

V

dV

S

dS …………(35)

Donc : 01 2 MV

dV

S

dS ………….(36) Relation d’HUGONIOT.

Analyse de l’écoulement

L’équation (36) permet de dire que :

Si M 1 : Ecoulement subsonique. 1èr théorème d’hugoniot (1-M2)>0

V si S ↘ et P ↘ ( Pi = cte )

V ↘ si S et p ( Pi =cte )



Ainsi, V et S varient en sens inverse dans le tube de courant

Si M 1 : Ecoulement supersonique.2ème théorème d’hugoniot (1-M2)<0

V ↘ si S ↘ et P ( Pi =cte)

V si S et P ↘ ( Pi =cte)

V et S varient dans le meme sens dans le tube de courant.

Si M=1 : Ecoulement sonique ( au col, S mini ) 3ème théorème d’hugoniot

Si M=1 au Col : et d’après

1

1

2

12

2

.2

11

..2

11

.2

11

M

MPPi

MTTi

i

On a :

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

i

col

i

col

i

col

P

P

T

T

… ……….. (37)

dS<0

dS=0 dS>0

V↗

P↘

V↘

P↗

Ecoulement subsonique M<1

dS<0

dS=0

dS>0

V↘

P↗

V↗

P↘

Ecoulement supersonique M>1

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