chapitre i

5/11/2018 Chapitre I - slidepdf.com

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Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales, Rabat -Agdal

Éléments d’algèbre et de géométrie

Chapitre I :

Rudiments de l’algèbre matricielle

PPrroof f eesssseeuurree :: AAmmaallee LLAAHHLLOOUU

_________________________________________________

Semestre III / Session : Automne-Hiver 2011/2012



2 Professeure : Amale LAHLOU

Semestre III Session : Automne – Hiver 2011/2012

Sommaire

MMOOTTIIVVAATTIIOONN……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………55

11 RREEPPRREESSEENNTTAATTIIOONN DD’’UUNNEE MMAATTRRIICCEE...................................................................................................................................................................... 55

11..11 NOTION D’UNE MATRICE 5

1.2 MATRICES PARTICULIERES 6

1.2.1 UN SCALAIRE 6

1.2.2 VECTEUR COLONNE 6

1.2.3 VECTEUR LIGNE 7

1.2.4 MATRICE RECTANGULAIRE 7

1.2.5 MATRICE CARREE 7

1.2.6 MATRICE NULLE 7

1.2.7 MATRICE CARREE IDENTITE 8

1.3 ÉGALITE DE DEUX MATRICES 8

1.4 TRANSPOSEE D’UNE MATRICE 8

22 MMAATTRRIICCEESS CCAARRRREEEESS .................................................................................................................................................................................................................. 99

2.1 DIAGONALE PRINCIPALE D’UNE MATRICE CARREE 9

2.2 TRACE D’UNE MATRICE CARREE 10

2.3 DIFFERENTS TYPES DE MATRICES CARREES 10

2.3.1 MATRICE SYMETRIQUE 10

2.3.2 MATRICE ANTISYMETRIQUE 11

2.3.3 MATRICE TRIANGULAIRE INFERIEURE 11

2.3.4 MATRICE TRIANGULAIRE SUPERIEURE 112.3.5 MATRICE DIAGONALE 12

2.3.6 MATRICE SCALAIRE 12

33 OOPPEERRAATTIIOONNSS SSUURR LLEESS MMAATTRRIICCEESS ........................................................................................................................................................................ 1122

3.1 L’ADDITION INTERNE 13

3.1.1 DEFINITION 13

3.1.2 PROPRIETES 13



Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales, Rabat -AgdalÉléments d’algèbre et de géométrie

3


3.2 MULTIPLICATION EXTERNE 14

3.2.1 DEFINITION 14

3.2.2 PROPRIETES 15

3.3 PRODUIT INTERNE 16 3.3.1 DEFINITION 16

3.3.2 CAS PARTICULIERS DE PRODUITS MATRICIELS 19

3.3.3 PROPRIETES 21

3.3.4 EXISTENCE DES DIVISEURS DE ZERO 22

3.3.5 PUISSANCE D’UNE MATRICE CARREE 23

3.3.6 FORMULE DU BINOME DE NEWTON 23

3.3.7 MATRICE IDEMPOTENTE 24

3.3.8 MATRICE NILPOTENTE 25

44 OOPPEERRAATTIIOONNSS EELLEEMMEENNTTAAIIRREESS LLIIGGNNEESS ............................................................................................................................................................ 2255

4.1 DEFINITION 25

4.2 MATRICE A LIGNES EQUIVALENTES 26

55 DDEETTEERRMMIINNAANNTT DD’’UUNNEE MMAATTRRIICCEE CCAARRRREEEE.................................................................................................................................................. 2277

5.1 CALCUL DU DETERMINANT D’UNE MATRICE CARREE 27

5.1.1 DETERMINANT D’UNE MATRICE D’ORDRE 1 27



5.1.4 DETERMINANT D’UNE MATRICE CARREE D’ORDRE n 31

5.2 REGLES SIMPLIFICATRICES DES DETERMINANTS 32

66 RRAANNGG DD’’UUNNEE MMAATTRRIICCEE ...................................................................................................................................................................................................... 3366

6.1 DEFINITION 36

6.2 Q UELQUES PROPRIETES SUR LE RANG D’UNE MATRICE 36

6.3 METHODES PRATIQUES DE CALCUL DU RANG D’UNE MATRICE 37

6.3.1 METHODE DES MINEURS 37

6.3.2 METHODE DU PIVOT DE GAUSS 38

77 IINNVVEERRSSEE DD’’UUNNEE MMAATTRRIICCEE CCAARRRREEEE .................................................................................................................................................................... 3388





7.1 DEFINITION 38

7.2 PROPRIETES 39

7.3 CALCUL PRATIQUE DE L’INVERSE D’UNE MATRICE CARREE 41

7.3.1 METHODE DES COFACTEURS 41

7.3.2 METHODE DU POLYNOME CARACTERISTIQUE (THEOREME DE CAYLEY HAMILTON) 43

7.3.3 METHODE D’ELIMINATION DE GAUSS-JORDAN 45

EEXXEERRCCIICCEESS CCOORRRRIIGGEESS…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………………47




5


Motivation

Un modèle d'analyse économique est souvent présenté par une matrice : Matrice d'Ansoff

(classification des différentes stratégies de croissance pour une entreprise) , Matrice BCG

(Allocation de ressources au sein d'un portefeuille d'activités utilisées en stratégie

d'entreprise) , Matrice McKinsey (matrice de décision stratégique), Matrice ADL (matrice de

gestion de portefeuille), Matrice d'Eisenhower (matrice de management), etc.

Les matrices permettent de compacter des formules et donc de les manipuler de façon

plus efficace. Ainsi, pour un économiste, la maîtrise du calcul matriciel constitue un outil

essentiel dans la manière d’appréhender correctement les phénomènes économiques.

L’objectif de ce chapitre est de fournir les bases essentielles de l’algèbre matricielle

requises pour une bonne compréhension de nombreuses notions rencontrées en statistique, en

économie et en gestion.

11 Représentation d’une matrice

11 . .11 Notion d’une matrice

On note , le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes Une matrice de type où , à coefficients dans , est un tableaurectangulaire ayant lignes et colonnes (la ligne est toujours nommée en premier). On la

symbolise par une lettre majuscule et on la représente sous la forme générale :

Le coefficient ( indices “génériques”) de la matrice , appelé aussi terme général de , est l’intersection de la ligne et la colonne. La matrice pourra être notée sous saforme contractée :

et si aucune confusion n’est à craindre, on la notera tout simplement .On note par la ligne ( varie de 1 à ) et par la colonne ( varie de 1 à On notera par l’ensemble des matrices de type à coefficients dans et

tout simplement par

au lieu de

l’ensemble des matrices carrées d’ordre

à coefficients dans

.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_d%27Ansoff

http://fr.wikipedia.org/wiki/Strat%C3%A9gie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entreprise

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_BCG

http://fr.wikipedia.org/wiki/Strat%C3%A9gie_d%27entreprise


http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_McKinsey

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_ADL

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_d%27Eisenhower

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_d%27Eisenhower

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_ADL

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_McKinsey



http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_BCG

http://fr.wikipedia.org/wiki/Entreprise

http://fr.wikipedia.org/wiki/Strat%C3%A9gie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_d%27Ansoff





Sans perdre de généralité, on considérera dans toute la suite que des matrices à coefficientsréels, c'est-à-dire lorsque .

Exemple : Soit la matrice

donnée par,

La matrice possède 5 lignes et 3 colonnes, donc . Par exemple, l’intersection

entre la quatrième ligne et la troisième colonne est donnée par . En plus,

et

=

Exercice : Déterminer la matrice de type dont le terme général est .

On peut obtenir des sous-matrices, dites encore matrices extraites, de la matrice à partir decertaines lignes et certaines colonnes de cette matrice.

Exemple : Considérons la matrice donnée ci-haut ; les matrices suivantes sont des matricesextraites de :

, , , .

1.2 Matrices particulières

Nous citerons des classes de matrices spécifiques ayant un intérêt tout particulier :

1.2.1 Un scalaire

Une matrice de type

se réduit à un scalaire.

Exemple :

1.2.2 Vecteur colonne

Un vecteur colonne est une matrice uni-colonne de type . Parconvention, nous noterons les vecteurs en caractère minuscule.

Exemple :




7


Dans toute la suite, on assimilera un vecteur de à une matrice uni-colonne, on notera :

1.2.3 Vecteur ligne

Un vecteur ligne est une matrice uni-ligne de type Exemple :

Tout vecteur ligne est le transposé d’un vecteur colonne.

1.2.4 Matrice rectangulaire

Une matrice triangulaire de type est une matrice telle que ou ( )

Exemple : Soient et

1.2.5 Matrice carrée

Une matrice carrée d’ordre est une matrice de type Exemple :

1.2.6 Matrice nulle

Une matrice nulle de type

est une matrice dont les coefficients sont tous

nuls, on la note , ou si l’indication des indices est superflue, par .

c’est-à-dire,

Exemple : Soient

et





1.2.7 Matrice carrée unité

matrice unitaire ou matrice identité d’ordre , est une matrice carrée d’ordre dont les coefficients diagonaux sont tous égaux à 1 et zéro partout ailleurs, on la note outout simplement

s’il n’y a pas d’ambiguïté.

c’est-à-dire,

Exemple : ,

1.3 Égalité de deux matrices

Soient deux réels non nuls, de . On a :

pour tout et Exemple :

1.4 Transposé e d’une matrice

La transposition de matrice est une notion très importante. Soient deux réels non nulset La matrice transposée de , notée , est définie par :

avec

Autrement dit, les lignes dans deviennent colonnes dans et vice versa.

et

Exemple :




9


Remarque :

On constate que pour toute matrice on a . On dira que la transposition d’unematrice est une opération involutive.

2 Matrices carrées

Les matrices carrées forment une famille importante de matrices. Soit

avec

2.1 Diagonale principale d’une matrice carrée

Les nombres forment la diagonale principale de la matrice on note :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Involution_(math%C3%A9matiques)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Involution_(math%C3%A9matiques)





.


alors

2.2 Trace d’une matrice carrée

On définie la trace de la matrice notée , par :

Exemple :

Soit la matrice alors Remarque :

Pour toute matrice carrée on a : .

2.3 Différents types de matrices carrées

2.3.1 Matrice symétrique

Une matrice carrée d’ordre est symétrique si sa transposée est égale à elle-même

.

Autrement dit :

Exemple : Soit les matrices et

Ici, la matrice est symetrique tandis que la matrice ne l’est pas.




11


2.3.2 Matrice antisymétrique

Une matrice carrée d’ordre est antisymétrique si sa transposée est égale à sonopposé :

.

Autrement dit :

Exemple :

,

et

Ici, la matrice est antisymetrique tandis que les matrices et ne le sont pas.

Remarque : Les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont nécessairement nuls.

2.3.3 Matrice triangulaire inférieure

Une matrice carrée d’ordre est triangulaire inférieure si les coefficients de lapartie supérieure de la diagonale principale de la matrice sont tous nuls.

Autrement dit :

dès que

,

Exemple : , ,

2.3.4 Matrice triangulaire supérieureUne matrice carrée d’ordre est triangulaire supérieure si les coefficients de la

partie inférieure de la diagonale principale de la matrice sont tous nuls.

Autrement dit : dès que





Exemple : , , .

Remarque : La matrice transposée d’une matrice triangulaire inférieure est une matrice

triangulaire supérieure et vice versa.

2.3.5 Matrice diagonale

Une matrice carrée d’ordre est diagonale si les coefficients, sauf ceux de ladiagonale principale, sont tous nuls.

Autrement dit : dès que

On note .

Exemple : , ,

Ici, , et .

Remarque : Une matrice diagonale est une matrice qui est à la fois triangulaire inférieure et

triangulaire supérieure.

2.3.6 Matrice scalaire

Une matrice diagonale non nulle d’ordre est une matrice scalaire si tous lescoefficients diagonaux sont égaux.

Autrement dit :

avec

.

Exemple : La matrice unité est une matrice scalaire avec .

3 Opérations sur les matrices




13


On munit l’ensemble des matrices de trois opérations : l’addition (Loi de

Composition Interne), la multiplication par un scalaire (Loi de Composition Externe) et leproduit matriciel.

3.1 L’ addition interne

3.1.1 Définition

Soient deux entiers naturels non nuls, et de La matrice somme de A et B, notée , est la matrice de même type que et donnéepar : Chaque coefficient de la matrice

est la somme des coefficients respectifs de

et de

.

De même, on peut définir l’opération « soustraction » comme suit, Exemple : Soient et

alors,

et

Remarque :

La somme matricielle et la soustraction matricielle ne sont définies quesi et sont de même type.

3.1.2 Propriétés





Soient deux entiers naturels non nuls.

La somme matricielle est commutative : pour toutes matrices

La somme matricielle est associative : pour toutes matrices

La matrice nulle est neutre pour l’addition matricielle : pour toute matrice ,

Pour toutes matrices ,

Pour toutes matrices carrées

de même ordre, pour tous scalaires

non nuls,

Exercice : Montrer que,- la somme de deux matrices symétriques est une matrice symétrique ;- la somme de deux matrices anti-symétriques est une matrice anti-symétrique ; - la somme de deux matrices triangulaires inférieures est une matrice

triangulaire inférieure ;- la somme de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice

triangulaire supérieure ;- la somme de deux matrices diagonales est une matrice diagonale.

Exercice : Montrer que pour toute matrice carrée d’ordre , on a- la matrice est symétrique ;

- la matrice est anti-symétrique ;

- la matrice est la somme de sa partie symétrique et de sa partie anti-symétrique , c'est-à-dire,

3.2 Multiplication externe

3.2.1

DéfinitionSoient deux entiers naturels non nuls, un réel non nul et La matrice obtenue par la multiplication de la matrice par le scalaire , notée ou

tout simplement , est la matrice de même type définie par :

Chaque coefficient de la matrice

est le produit de

par le coefficient du même ordre de

.




15


Exemple : Pour

Remarque :

Si la matrice est dite l’opposée da la matrice (matricevérifiant la relation .

Toute matrice scalaire d’ordre est de la forme : où 3.2.2 Propriétés

Pour toutes matrices et on a :

Pour toute matrice , on a : Pour toute matrice carrée et pour tout scalaire non nul , on a :

Exercice : Montrer que,

- la multiplication d’une matrice symétrique par un scalaire est une matricesymétrique ;

- la multiplication d’une matrice anti-symétrique par un scalaire est une matrice anti-symétrique ;

- la multiplication d’une matrice triangulaire inférieure par un scalaire est une matrice

est une matrice triangulaire inférieure ;- la multiplication d’une matrice triangulaire supérieure par un scalaire est une matrice

triangulaire supérieure ;- la multiplication d’une matrice diagonale par un scalaire est une matrice diagonale.

Remarque :

Soient et deux matrices de même type où et soient . On définit la combinaison linéaire comme étant la matrice demême type définie par : Prenons par exemple,

et





alors,

On définit la soustraction de deux matrices et de même type par la combinaisonlinéaire ou .

Toute matrice de est combinaison linéaire de matrices. Prenons parexemple,

La matrice est combinaison linéaire de matrices bienparticulières :

avec,

3.3 Produit interne

3.3.1 Définition

Soient trois entiers naturels non nuls, et vérifiant la condition de compatibilité sur les types de matrices (pour le calcul duproduit , le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre delignes de la deuxième matrice ). Le produit , noté encore , est une

matrice de type et de terme général,

Autrement dit, le coefficient est le produit scalaire de la ligne de la matrice parla colonne de la matrice .

En pratique, il est commode d’adopter la disposition suivante pour le calcul du produit

matriciel

. On place la matrice

au-dessus et à droite de la matrice

:




17


Exemple : Soient les matrices,

est de type est de type

Soit,

Ainsi, la matrice de type est donnée par :

Exemple : Soient les matrices,

est de type est de type

Soit,

Ainsi, la matrice

de type

est donnée par :





Exercice : Effectuer le produit des deux matrices formées de mots suivantes en omettant les

signes d’opérations (Raymond Queneau 1964)

Exercice :

Considérons un système linéaire de deux équations à trois inconnues et :

Montrer que ce système peut se mettre sous forme d'une égalité entre deux matrices.

Remarque :

Le produit n’est défini que si le nombre de colonnes de la première matrice estégal au nombre de lignes de la deuxième matrice .

Contre exemple : Soient et Le produit est possible tandis que le produit n’est pas possible.

Notons qu’en général,

. On dit que le produit matriciel n’est pas commutatif.

Contre exemple : Soient et .

Ainsi,

Pour toute matrice , on a : et .

Exemple : Soit . Alors et .

Pour toute matrice

, on a :

et

.

Exemple : Soit . Alors et .

Pour toute matrice , la matrice est une matrice carrée symétriqued’ordre et la matrice est une matrice carrée symétrique d’ordre

Exemple : Soient A

et

Tout calcul fait, on obtient :




19


et Une matrice carrée

d’ordre

est dite orthogonale si

Exemple : Soit

Tout calcul fait, on obtient . Donc, est orthogonale.

3.3.2 Cas particuliers de produits matriciels

Matrice ligne de type matrice colonne de type matrice de type

Autrement dit :

vecteur ligne vecteur colonne scalaire

Ce produit est appelé produit scalaire du vecteur par le vecteur et noté

La racine carrée de est appelée la norme du vecteur et est notée .

Exemple : Soient les vecteurs et de même type.

et

Matrice colonne de type matrice ligne de type matrice de type Autrement dit :

vecteur colonne vecteur ligne matrice





Exemple : Soient les vecteurs

et

.

Matrice de type matrice colonne de type matrice de type

Autrement dit :

matrice vecteur colonne vecteur colonne

Exemple : Soient

la matrice et le vecteur .

Matrice ligne de type matrice de type matrice de type

Autrement dit :

vecteur ligne matrice vecteur ligne

Exemple : Soient




21


la matrice et le vecteur .

Remarque :

- Le produit matriciel de la matrice par la matrice est la matrice telle que le terme général est égal au produit scalaire de la ligne de la

matrice par la colonne de la matrice .

- Le produit d’une matrice par un vecteur colonne est combinaison linéaire des colonnes de

la matrice dont les coefficients sont les composantes du vecteur.

Donc,

Exercice : Étant donnée une matrice carrée symétrique et un vecteur colonne , le produit est un scalaire appelé forme quadratique. Calculer pour la matrice et le vecteurcolonne donnés par :

et .

3.3.3 Propriétés

Soient quatre entiers naturels non nuls.

Le produit matriciel est associatif : pour toutes matrices ,

et :

Le produit matriciel est distributif à droite par rapport à l’addition : pour toutesmatrices , et :





Le produit matriciel est distributif à gauche par rapport à l’addition : pour toutesmatrices , et :

Pour toutes matrices et et pour tout scalaire non nul :

La matrice unité est neutre pour le produit matriciel : pour toute matrice ,

Pour toutes matrices

,

et

:

et

Pour toutes matrices carrées

Exercice : Montrer à l’aide de contre exemples que,

- le produit matriciel de deux matrices symétriques n’est pas nécessairement une

matrice symétrique ;- le produit matriciel de deux matrices anti-symétriques n’est pas nécessairement une

matrice anti-symétrique.

Exercice : Montrer que,

- le produit matriciel de deux matrices triangulaires inférieures est une matrice triangulaireinférieure ;

- le produit matriciel de deux matrices triangulaires supérieures est une matricetriangulaire supérieure ;

- le produit matriciel de deux matrices diagonales est une matrice diagonale.

3.3.4 Existence des diviseurs de Zéro

Si l’une des deux matrices et du produit matriciel B est nulle alors le produit est nul. La réciproque n’est pas toujours vraie, c'est-à-dire :

Si alors on a pas forcement ( ou )

Dans ce cas, les matrices et sont dites « diviseurs de zéro ».




23


Contre Exemple : Soient et mais

Conséquence : Soient et trois matrices carrées.

L'égalité n'implique pas .

3.3.5 Puissance d’une matrice carrée

Soit On pose :

La matrice est la matrice puissance de jusqu’à l’ordre .

Exemple : Soit une matrice carrée d’ordre 2 donnée par : .

On constate que :

On peut montrer ce résultat par un raisonnement par récurrence sur Remarque : Pour tout

et pour tout

,

-

-

-

-

3.3.6 Formule du Binôme de Newton

Soient deux matrices carrées

. En général,





et .

On a l’égalité que si et commutent pour le produit matriciel, c'est-à-dire .

Contre exemple : Soient et . On remarque que

Alors, et .

Théorème : Soient . On suppose que commutent pour le produit

matriciel. Alors, pour tout

où

Exemple : Soient et .

On a et donc,

3.3.7 Matrice idempotente

Une matrice carrée d’ordre est idempotente si .

Exemple : Soit une matrice carrée d’ordre 2 donnée par

On vérifie facilement que : Exercice : Montrer que pour toute matrice idempotente , on a pour tout




25


3.3.8 Matrice nilpotente

Une matrice carrée d’ordre est nilpotente d’ordre ( ) si :

et

Exemple : Soit une matrice carrée d’ordre 2 donnée par

et on vérifie facilement que :

Donc, la matrice

nilpotente d’ordre 2

4 Opérations élémentaires lignes

4.1 Définition

On cite trois types d’opérations élémentaires lignes de dans définiescomme suit où :

En effectuant l’opération on obtient une nouvelle matrice en multipliantla ligne de par :

et on note En effectuant l’opération on obtient une nouvelle matrice en permutant

la ligne avec la ligne de :

et

et on note

En effectuant l’opération on obtient une nouvelle matrice en ajoutant à

la ligne de la ligne de multipliée par : et on note





Remarque : On peut effectuer des opérations élémentaires similaires sur les colonnes, on parle d’opérations élémentaires colonnes.

4.2 Matrices à Ligne-équivalentes

Deux matrices et sont dites Ligne-équivalentes si l’une est la transformée de l’autre par une suite finie d’opérations élémentaires lignes. On note tout simplement Exemple : Soit la matrice donnée par :

Effectuons simultanément sur la matrice les transformations élémentaires lignessuivantes : , puis L’opération :

L’opération :

L’opération :

On constate que




27


5 Déterminant d’une matrice carrée

L'objectif de ce chapitre est de fournir les principales règles relatives au calcul dudéterminant d’une matrice carrée.

5.1 Calcul du déterminant d’une matrice carrée Considérons une matrice carrée d’ordre :

On note le déterminant de la matrice

par :

Ne pas confondre les notations :- avec des parenthèses (ou des crochets) pour une matrice,- avec des barres pour un déterminant.

5.1.1 Déterminant d’une matrice d’ordre 1

Le déterminant d’une matrice carrée d’ordre 1 est égal au scalaire .


Soit une matrice carrée d’ordre 2 :

Son déterminant est le scalaire :

Exemple : Soit

, alors

Soit , alors


Soit une matrice carrée d’ordre 3 :

Son déterminant est calculé selon trois méthodes :





5.1.3.1 Règle de Pierre Frédéric S ARRUS

Principe (Règle absolument non généralisable à des ordres autre que 3) :

On écrit les trois colonnes de la matrice et on répète les deux premières colonnes(disposition ligne) ou encore, on écrit les trois lignes de la matrice et on répète les deuxpremières lignes (disposition colonne). On se trouve dans les deux cas avec trois diagonalesdescendantes et trois diagonales ascendantes :

é é Selon une disposition ligne :

ou encore, selon une disposition colonne :

Exemple : Soit

, alors

ou encore




29


5.1.3.2 Méthode de développement selon les éléments d’une ligne de la matrice

Considérons une matrice carrée d’ordre :

On appelle mineur de , noté , le déterminant de la sous-matrice carrée extraited’ordre obtenue en supprimant la ième ligne et la ième colonne de la matrice . Le nombreréel est appelé cofacteur de l’élément .

Par exemple :

est le mineur de

et

est le cofacteur de

Pour calculer le déterminant de , on somme les produits des éléments d'une ligne oud’une colonne (à notre choix) par leurs cofacteurs respectifs. En pratique, on développe selon

la ligne ou la colonne qui contient le maximum d’éléments nuls (s'il y en a).

Les éléments des cofacteurs forment graphiquement la matrice suivante, ditematrice de signes (alternance entre les deux signes) :

5.1.3.3 Méthode de développement selon les éléments d’une ligne de la matrice

En développant selon la deuxième ligne on trouve :





Exemple : Soit la matrice carrée d’ordre 3 :

Si on développe selon la première ligne :

.

Si on développe selon la deuxième ligne (le calcul est simplifié) :

5.1.3.4 Méthode de développement selon les éléments d’une colonne de la matrice

En développant selon la deuxième colonne on trouve :

Exemple : Soit la matrice carrée

d’ordre 3 :




31


Si on développe selon la première colonne :

.

Exemple : La règle de SARRUS n’est autre que le développement du déterminant selon la

première colonne ou la première ligne.

5.1.4 Déterminant d’une matrice carrée d’ordre Le calcul du déterminant d’une matrice carrée d’ordre se ramène au calcul de

déterminants d’ordre qui pour chacun d’entre eux se ramène au calcul de déterminants d’ordre et ainsi de suite.

La matrice de signes d’une matrice carrée d’ordre est la suivante :

Exemple : Soit la matrice carrée d’ordre 4,

alors, la matrice de signes est la suivante :

Si on développe selon la troisième ligne (contient deux zéros) :





Si on développe selon la quatrième colonne (contient deux zéros) :

5.2 Règles simplificatrices des déterminants

Il sera très judicieux d’appliquer les propriétés suivantes afin de simplifier les calculs :

Une matrice carrée ayant au moins une ligne nulle (respectivement colonne nulle) a un

déterminant nul.

Exemple : Soient

et

Sans faire de calcul, et Une matrice carrée ayant au moins deux lignes (respectivement deux colonnes)

identiques, ou encore proportionnelles, a un déterminant nul.




33


Exemple : Soient

et

Sans faire de calcul, et Une matrice dont au moins une ligne (respectivement une colonne) est combinaison

linéaire d’autres lignes (respectivement d’autres colonnes) de la matrice a un

déterminant nul.

Exemple : Soient et

Sans faire de calcul,

(car ) et (car ) Le déterminant d’une matrice ne change pas si on ajoute à une ligne (respectivement

colonne) une combinaison linéaire d’autres lignes (respectivement d’autres colonnes).

En pratique, on applique cette propriété pour faire apparaître le maximum des éléments

nuls dans une ligne ou une colonne de la matrice et ainsi faciliter le calcul du

déterminant.


alors,





Si on multiplie une seule ligne (respectivement une colonne) d’une matrice par un

scalaire, alors son déterminant est multiplié par ce même scalaire.

Exemple :

Le déterminant d’une matrice triangulaire inférieure (respectivement triangulaire

supérieure ou diagonale) est égal au produit de ses éléments diagonaux.

Exemple :

Exemple :




35


Le déterminant d’une matrice est égal à celui de sa transposée :

Exemple :

et

Le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit des déterminants de ces

matrices : Exemple :

et

Donc, Si la matrice est orthogonale alors, (puisque et

donc, ). Exemple :

et comme alors la matrice est orthogonale.





Remarque : En général,

Contre exemple :

et

6 Rang d’une matrice

6.1 Définition

On dit qu’une matrice est de rang , noté , si aumoins l’un de ses mineurs d’ordre est non nul, tandis que chaque mineur d’ordre

( qui borde comme mineur est nul. Autrement dit, le rang d’une matrice est leplus grand ordre des sous-matrices carrées inversibles extraites de la matrice

.

La notion du rang se définit pour des matrices quelconques et donc pas nécessairementcarrées. Notons que le rang d’une matrice nulle est admis être zéro.

Exemple : Considérons la matrice non nulle On sait que Si on prend : un mineur d’ordre 2 non nul et le seul mineur d’ordre 3 qui le borde

est nul :

, donc

.

6.2 Quelques propriétés sur le rang d ’une matrice

.

.

Le rang reste inchangé si on permute les lignes ou les colonnes de la matrice.

Le rang reste inchangé si on remplace une colonne par une combinaison linéaire decette colonne et les autres colonnes.




37


Le rang reste inchangé si on remplace une ligne par une combinaison linéaire de cetteligne et les autres lignes.

Le rang d'une matrice reste inchangé en multipliant celle-ci par une matriceinversible.

Le rang d’une matrice diagonale est égal au nombre de ses éléments diagonaux nonnuls.

6.3 Méthodes pratiques de calcul du rang d’une matrice

6.3.1 Méthode des mineurs

Pour déterminer le rang d’une matrice , on calcule les déterminants desmatrices extraites d’ordre

, si au moins l’un de ces déterminants est non nul

alors ; sinon, on calcule les déterminants des matrices extraites d’ordre , etainsi de suite.

Exemple : Soit la matrice . On sait que On calcule : comme la quatrième colonne est le double de la première colonne, on a

On s’intéresse ainsi aux matrices carrées extraites d’ordre 3. Comme

Alors,

Exemple :

on donne ici une méthode qui limite le nombre de déterminants à calculer :

Soit la matrice . On sait que Remarquons que que





On calcule maintenant les six déterminants d’ordre 3 qui bordent (si tous ces déterminantssont nuls, le rang est égal à 2. Sinon, si l’un au moins est non nul, on calcule les déterminants

d’ordre 4 qui bordent ce dernier, et ainsi de suite)

Ainsi, .

6.3.2 Méthode du pivot de Gauss

Soit la matrice non nulle . 1) Si tous les coefficients de la première colonne sont nuls, on effectue une permutation

des colonnes pour obtenir une première colonne non nulle ; 2) On choisit dans la première colonne un élément

non nul (appelé pivot), et on

effectue l’opération élémentaire échange les lignes 1 et i. On obtient ainsi unematrice dont le coefficient

est non nul.

3) On effectue l’opération élémentaire ; on obtient alors une nouvelle

matrice sous la forme

4)

Si la matrice B est nulle, alors 5) Sinon on répète les itérations sur la matrice autant de fois que nécessaire. Si, aubout de itérations, la matrice constituée des – dernières lignes et – dernières colonnes est nulle, alors .

Exemple : Considérons la matrice

7 Inverse d’une matrice carrée

7.1 DéfinitionUne matrice carrée est dite régulière ou inversible s’il existe une matrice

carrée unique

, dite matrice inverse de

, telle que :




39


sera notée , ainsi :

Si une telle matrice n’existe pas, est dite singulière ou non inversible.

Le problème que l’on peut rencontrer concerne l’existence de telle matrice puis son calcul.

Exemple : Soit

donc, la matrice est inversible et son inverse est donné par :

Remarque :

Pour toute matrice carrée inversible on a : et

La matrice est dite orthogonale si .

7.2 Propriétés

Une matrice est inversible si et seulement si Exemple : Soient

et

on a : et Ici, la matrice est inversible alors que la matrice ne l’est pas.

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son rang est égal à son ordre.

Exemple : Soient et

on a :

et





Ici, la matrice est inversible alors que la matrice ne l’est pas.

Une matrice possédant une ligne ou une colonne nulle n’est pas inversible

Exemple : Soient et

Ici, ni la matrice ni la matrice est inversible puisque et Une matrice triangulaire inférieure (respectivement triangulaire supérieure ou diagonale)

est inversible si et seulement si les coefficients de sa diagonale principale sont tous nonnuls.

Exemple : Soient les matrices

, et

Ici, les matrices , et sont inversibles :

et L’inverse d’une matrice diagonale est une matrice diagonale

donnée par :

Exemple : Soit Ici, la matrice est inversible et son inverse .

Pour toute matrice carrée inversible, sa matrice transposée est aussi inversible et soninverse est donné par :

.

Exemple : La matrice est inversible et son inverse est .

.

Pour toute matrice carrée et pour tout scalaire non nul on a :




41


Exemple : Soit , et

Ou encore,

Pour toutes matrices carrées inversibles , et , les produits et sont aussiinversibles et leurs inverses sont donnés par : et

Exemple :

Soient et . Le produit

Ou encore,

Pour toute matrice carrée et pour tout entier naturel non nul on a :

Exemple : Soient , et

Ou encore,

7.3 Calcul pratique de l’inverse d’une matrice carrée

Pour déterminer l’inverse d’une matrice carrée, nous présentons plusieurs méthodes :

7.3.1 Méthode des cofacteurs

Soit une matrice carrée inversible ( ). Son inverse est définie par :





où, est la matrice des cofacteurs de A : on remplace chaque élément de lamatrice par son cofacteur :

Pour les matrices carrées d’ordre 2, il y a une formule très simple. Soit

Si , alors est inversible et son inverse est donné par :

et si

, alors la matrice

est singulière.

Exemple :

Pour la matrice , . Alors est inversible et

Pour la matrice , Alors est singulière.

Pour les matrices carrées d’ordre supérieur à 2, il suffit d’appliquer la formule :

Exemple : Soit . Donc la matrice est inversible et son inverse est donné par :

où,

et

Ainsi,




43


7.3.2 Méthode du polynôme caractéristique (Théorème De Cayley

Hamilton)

On appelle polynôme caractéristique de la matrice carrée d’ordre le polynôme en ,

noté , définie par :

Le polynôme caractéristique est un polynôme de degré en . Il a la forme :

où représente la trace de la matrice de et le déterminant de .

Le polynôme caractéristique s’écrit simplement :

pour une matrice carrée d’ordre 2 :

avec et

pour une matrice carrée d'ordre 3 :

avec

et





T héorème de Cayley-Hamilton :

Toute matrice carrée d’ordre annule son polynôme caractéristique :

Ainsi pour :

une matrice carrée d’ordre 2 :

une matrice carrée d'ordre 3 :

Soit une matrice carrée inversible alors On peut écrire (vu que l’inverse est

unique) :

pour une matrice carrée d’ordre 2 :

et donc

pour une matrice carrée d'ordre 3 :

et donc

Exemple : Soit

Comme

,

et

alors,

et ainsi, la matrice est inversible et son inverse est donné par :

Tout calcul fait on obtient,

http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=2368

http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=2368




45


7.3.3 Méthode d’élimination de G AUSS -J ORDAN

Soit la matrice La méthode de GAUSS-JORDAN consiste à appliquer une

suite d’opérations élémentaires en lignes sur la matrice augmentée pour

obtenir, si c’est possible, une matrice équivalente en lignes de la forme ;

la matrice n’est autre que la matrice inverse Si jamais on voit apparaître à la place dela matrice

, une matrice avec une ligne nulle, la matrice

est alors non inversible ; on dit

que

est singulière.

Ainsi, cette méthode permet de calculer, en cas d’existence, l’inverse d’une matrice ou de

déceler la non existence.

Exemple : Pour déterminer l’inverse de la matrice inversible

effectuons sur la matrice une suite d’opérations élémentaires en

ligne :

Ainsi, la matrice inverse est :

On vérifie facilement que :

Exemple: Soit une matrice inversible. Pour déterminer

l’inverse de , effectuons une suite d’opérations élémentaires en ligne sur la matrice suivante





.

Ainsi, la matrice inverse est :

On vérifie facilement que :




47


EExxeerrcciicceess ccoorrrriiggééss

Exercice 1 : Considérons les matrices réelles :

Calculer les matrices suivantes : et

Solution Tout calcul fait on obtient :

Exercice 2 : Considérons la matrice ,

Calculer la partie symétrique et la partie anti-symétrique de .

Solution La partie symétrique de la matrice est donnée par :

La partie anti-symétrique de la matrice est donnée par :




Exercice 3 : Considérons les matrices réelles suivantes,

Déterminer, si c’est possible, les matrices suivantes :

Solution Le calcul des opérations , , et est impossiblefaute de l’incompatibilité des types. Pour le reste des opérations, tout calcul fait on obtient :




49

Exercice 4 : Trouver les réels et pour que les matrices suivantes soient égales,

et

Solution

Exercice 5 : Soient les deux matrices carrées d’ordre 3 données par ,




où , , , Déterminer les coefficients de la matrice telle que où est une matrice nulle.

Solution

Ce qui implique,

On prend par exemple

,

Exercice 6 : Soient les matrices réelles suivantes :

1. Calculer les matrices produits , , et 2. Déterminer 3. Calculer Solution

1. Tout calcul fait,

2. On calcule les diagonales principales des matrices

,

et

:




51

3. D’après la deuxième question :

Exercice 7 : Montrer que la matrice carrée réelle d’ordre 5 donnée ci-dessous est nilpotente,

Solution

Comme

et

alors la matrice

est nilpotente d’ordre 4.

Exercice 8 : Soit la matrice carrée réelle d’ordre 3 donnée par ,

1. Calculer les puissances , et .2. En déduire les puissances successives , de la matrice .

3. Démontrer le résultat de la question 2 à l’aide d’un raisonnement par récurrence.




4. Même questions pour les matrices suivantes,

et

Solution

1. Les matrices puissances :

2. On remarque que les puissances successives de sont de la forme :

3. Raisonnement par récurrence :

Vérification : pour

Hypothèse de récurrence : on suppose qu’à l’ordre on a :

Démonstration : on montre que le résultat reste vrai à l’ordre

:

Conclusion :

4. On montre de même que :




53

et

et

et Exercice 9 : Soit la matrice carrée réelle d’ordre 4 donnée par ,

1. Calculer les puissances

,

et

.

2. En déduire les puissances successives de la matrice Solution Tout calcul fait on obtient :

En déduire les puissances successives de : Comme et alors la matrice est

nilpotente d’ordre 4. Ainsi,

, pour tout




Exercice 10 : Calculer les déterminants suivants,

Solution

Exercice 11 : Déterminer le paramètre pour que le déterminant de cette matrice soit nul,

Selon le parametre , calculer Solution

Ainsi,

Exercice 12 : Calculer les inverses, en cas d’existence, des matrices suivantes Solution Les matrices

,

,

,

et

sont inversibles et




55

Tandis que la matrice est non inversible puisque

Exercice 13 : Soit la matrice carrée d’ordre 3 donnée par ,

Quelle est parmi les matrices ci-dessous, son inverse ?

ou

Solution On remarque que , donc l’inverse de la matrice est

Exercice 14 : Soit la matrice donnée par,

1. Calculer la matrice ;2. En déduire que la matrice est inversible ;

3. En déduire l’inverse Solution

1. Calculons la matrice :

2. La matrice est inversible puisque . 3. L’inverse de la matrice est :




Exercice 15 : Pour chacune des matrices suivantes, dire si elle est inversible ou non. Dans le cas où la

matrice est inversible, calculer son inverse,

Solution




57

La matrice contient une colonne nulle ( donc non inversible.

Deux colonnes de la matrice sont opposées ( donc non inversible.

La troisième colonne de est combinaison linéaire des deux premières colonnes ( donc non inversible.

La troisième ligne et la première ligne de la matrice sont proportionnelles ( donc non inversible.




Exercice 16 : Calculer les inverses des matrices suivantes :

Solution

Exercice 17 : Soient les matrices carrées

et

d’ordre 3 données par :

et

1. Montrer que et sont inversibles.

2. Calculer les inverses et .

3. En déduire et .

Solution

1. Montrons que et sont inversibles :

1. Calculons les inverses et :




59

2. En déduire et :

Exercice 18 : Dire dans chaque cas si est inversible ou non. Si est inversible, exprimer son

inverse en fonction de et la matrice identité ,

Solution

Comme alors la matrice est dans ce cas inversible :

Donc,

Comme alors la matrice est dans ce cas inversible : Donc,

Comme

alors la matrice

est dans ce cas inversible :




Donc,

Comme alors la matrice est dans ce cas inversible :

Donc,

Comme alors la matrice est dans ce cas non inversible :

Comme alors la matrice est dans ce cas non inversible :

Exercice 20 : Soit la matrice

donnée par,

1. Montrer que la matrice vérifie l’expression suivante : 2. En déduire que la matrice est inversible et calculer son inverse Solution

1. D’après le théorème de Cayley Hamilton, la matrice annule son polynôme caractéristique quiest égal à :

or, , et

D’où,

2. Comme alors la matrice est inversible

et son inverse est donné par :

chapitre i

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