CHAPITRE 9 

Equations - Inéquations

Objectifs:- Résoudre une équation du type A x B = 0 où A et B sont des expressions du 1er degré de la même variable.

- Résoudre l’équation x² = a, où a est un nombre positif.

- Comparer des nombres en utilisant l’addition et la multiplication.

- Résoudre une inéquation du 1er degré à une inconnue.

La méthode de résolution des équations (muadala) découverte par le perse Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850)consiste en:

- al jabr (le reboutement, 4x - 3 = 5 devient 4x = 5 + 3), le mot est devenu "algèbre" aujourd’hui.

Dans l’équation, un terme négatif est accepté mais al Khwarizmi

s’attache à s’en débarrasser au plus vite.

Pour cela, il ajoute son opposé des deux côtés de l’équation. - al muqabala (la réduction, 4x = 9 + 3x devient x = 9)

Les termes semblables sont réduits.

A cette époque, la « famille des nombres » est appelée dirham et la « famille des x » est appelée chay (=chose), devenu plus tardxay en espagnol qui explique l’origine du x dans les équations.

Résoudre les équations suivantes :

9412 xLe but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite.

12 9 4x On passe +4 de gauche à droite: Il se transforme en son opposé c-a-d -4

1312 xOn divise alors le membre de droite de l’équation par le facteur de x: ici par 12

12

13x

La solution de cette équation est 12

13x

I. Equations du 1er degré à une inconnue

15134 xx

Le but est de réunir la « famille des x » dans le membre de gauche et la « famille des nombres » dans le membre de droite.

4 5 1 13x x

149 x

9

14x

La solution de cette équation est 9

14x

On passe -13 de gauche à droite: il se transforme en son opposé c-a-d +13… Et on passe le -5x de droite à gauche: il se transforme en son opposé c-a-d +5x On divise alors le membre de droite de l’équation par le facteur de x: ici par 9

4 2 5 6 3x x x On va d’abord développer et réduire chaque membre de l’équation avant depasser à la résolution.

4 8 5 18 6 x x x

4 13 5 18x x On peut maintenant passer à la résolution comme pour l’exemple n°2.

4 5 18 13x x

9 5x 5

9x

La solution de cette équation est 9

5x

2

1

7

1

14

x On va d’abord réduire chaque membre de l’équation au même dénominateur, ici 14.

14

7

14

2

14

x

2x

2x

x7

x7

14

7

14

2

x On peut supprimer maintenant les dénominateurs qui sont égaux

72 x On peut maintenant passer à la résolution comme pour l’exemple n°1.

7 2x

9x La solution de cette équation est 9x

II. Equations du 2nd degré à une inconnue

1) Equation produit nul Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul.

Exemple: Résoudre l’équation (4x + 6)(3 - 7x) = 0

Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 Soit 4x + 6 = 0 Soit 3 - 7x = 0

4x = -6 - 7x = -3 x = -6/4 x = -3/-7

x = -3/2 x = 3/7

Les deux solutions de l’équation sont : x = -3/2 et x = 3/7

Remarque : on peut noter aussi S = {-3/2 ; 3/7}

Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0

2) Etude d’équations se ramenant à une équation produit nul

Pour toutes ces équations du 2nd degré, on va basculer toutes les « quantités » dans le membre de gauche afin que le membre de droite soit égal à 0.

Voici quelques équations du 2nd degré  :

(1 - x)² - (1 - x)( 9 + 3x) = 0

4x² + 12x + 9 = 0

25x² = 70x - 49

3x = 5x²

(x + 3)² = 64

Puis on va factoriser le membre de gauche afin de se ramener à une équation produit nul.

Puis résoudre.

(1 - x)² - (1 - x)( 9 + 3x) = 0

(1 - x)[ (1 - x) - ( 9 + 3x)] = 0

(1 - x)( -8 - 4x) = 0

Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0

Soit 1 - x = 0 Soit -8 - 4x = 0

- x = - 1

x = 1

- 4 x = 8

x = 8/-4

x = - 2

S = { 1 ; - 2 }

(2 x + 3)² = 0

Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0

Soit 2 x + 3 = 0 Soit 2 x + 3 = 0

2 x = - 3

x = -3/2 idem

S = { -3/2 }

4x² + 12x + 9 = 0

(2 x + 3) (2 x + 3) = 0

Solution double

(5 x - 7)² = 0

Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0

Soit 5 x - 7 = 0 Soit 5 x - 7 = 0

5 x = 7

x = 7/5 idem

S = { 7/5 }

(5 x - 7) (5 x - 7) = 0

Solution double

25x² = 70x - 49

25x² - 70x + 49 = 0

x (-5 x + 3 ) = 0

Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0

Soit x = 0 Soit - 5x +3 = 0

- 5 x = -3

x = -3/-5

x = 3/5

S = { 0 ; 3/5 }

3x = 5x²

- 5x² + 3x = 0

( x – 5 )( x + 11) = 0Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0

Soit x - 5 = 0 Soit x +11 = 0

x = 5 x = - 11

S = { 5 ; - 11 }

(x + 3)² = 64

(x + 3)² - 64 = 0

(x + 3)² - 8² = 0

[(x + 3) - 8] [(x + 3) + 8] = 0

Règle n°1 : On ne change pas le sens d’une inégalité si on ajoute

ou on retranche un même nombre (positif ou négatif) aux deux

membres

d’une inéquation.

Règle n°2 : On ne change pas le sens d’une inégalité si on

multiplie ou on divise les deux membres d’une inéquation par un

même nombre POSITIF.

Règle n°2 bis: On change le sens d’une inégalité si on multiplie ou on

divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre

NEGATIF.

III. Inéquations du 1er degré à une inconnue

1) Ordre et inégalités

2) Résolution d’une inéquation

Inéquation inégalité qui contient une inconnue x.

Résoudre une inéquation c’est trouver toutes les valeurs

de x qui vérifient cette inégalité.

il s’agit d’un ensemble de valeurs.

Remarque : On résout une inéquation du 1er degré à une

inconnue de la même manière qu’une équation

du 1er degré à une inconnue, en veillant à bien

appliquer les règles 1, 2 et 2bis.

Exemples :Résoudre les inéquations suivantes et représenter les solutions sur une droite graduée.

xx 5432

3452 xx

17 x

71

x

0 1 1/7

solutions

Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à .71

.

5442 xx )(

5482 xx

5842 xx

32 x

23

x

On divise par un nombre négatif donc on change le sens de l’inégalité.

0 1 2 -1 - 2 -3/2

solutions

Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à .23

≥