chapitre 6 : les inéquations et les systèmes d’équations · 2020-04-09 · chapitre 6 : les...

Chapitre 6 : Les inéquations et les systèmes d’équations

1 Document préparé par Marc-Olivier Roy et Mélanie Racine

ESBJ – Année scolaire 2014-2015




Traduire un système d’équations Dans une situation où l’on compare deux fonctions, les règles de ces fonctions forment un

système d’équations.

Nous utiliserons uniquement les équations sous les formes : ____________________ ____________________ Ex. 1 Stéphane répare les appareils ménagers des habitants de Normétal. Il charge à leurs clients 30 $ pour le déplacement et 13 $ pour chaque heure de travail. Pierre Legros, son rival, demande à ses clients un montant de 15 $ de l’heure et 20 $ pour son déplacement. Traduis cette situation par un système de relations linéaires. Identification des variables : x : ___________________________________ y : ___________________________________ Comme Stéphane et son compétiteur Legros n’ont pas le même salaire, nous allons identifier cette 2e variable de 2 façons différentes. y1 : _________________________________ y2 : __________________________________ Le système de relations linéaires est : _____________________________ _____________________________




Solution :

Ex.2 Stéphane et Marie-Mai décident de faire des économies pour un éventuel voyage en Europe. Ils ont déjà dans leur compte en banque respectif des montants de 500 $ et 620 $. Stéphane dépose 20 $ par semaine dans son compte tandis que Marie-Mai choisit de déposer 16.25 $ par semaine. Identification des variables : x : ___________________________________ y1 : _________________________________ y2 : __________________________________ Le système de relations linéaires est : _____________________________ _____________________________ Solution :




Ex.3 Monsieur Gretzky et monsieur Roy, deux vieux amis, ont chacun une piscine. Celle de monsieur Gretzky contient 30 000 litres d’eau et celle de monsieur Roy 35 000 litres. Ils décident de vider leur piscine avec des pompes différentes. Monsieur Roy utilise une pompe plus puissante qui vide la piscine à un rythme de 50 litres par minute tandis que monsieur Gretzky utilise une pompe d’une capacité de 42 litres par minute. Identification des variables : ___ : ___________________________________ ___ : _________________________________ ___ : __________________________________ Le système de relations linéaires est : _____________________________ _____________________________

Solution :

Ex.4 Lucie a le choix d’emprunter ses livres à la bibliothèque de l’école ou à la bibliothèque de la ville. À la bibliothèque de l’école, Lucie doit payer une amende de 25 ¢ par jour de retard tandis qu’à la bibliothèque de la ville, un montant de 1 $ plus 5 ¢ par jour de retard. Identification des variables : ___ : ___________________________________ ___ : _________________________________ ___ : __________________________________

Le système de relations linéaires est : _____________________________

_____________________________




Solution :

Ex.5 À une marina, il est possible de louer des pédalos et des canots. Le prix de location des pédalos est 3 $ l’heure plus une prime de 15 $ d’assurance pour la période de location. La prime d’Assurance pour les canots coûte 5 $ de moins que celle des pédalos. Par contre, le tarif horaire est de 4 $. Identification des variables : ___ : ___________________________________ ___ : _________________________________ ___ : __________________________________ Le système de relations linéaires est : _____________________________ _____________________________ Solution :




Ex.6 Pet et Répète font une expérience dans leur classe de chimie. Pet a devant lui un bécher de 100 ml d’un certain liquide. À chaque minute, il doit ajouter 30 ml à cette dernière quantité. De son côté, le bécher de Répète contient déjà 160 ml. Répète doit ajouter 25 ml à toutes les minutes. Identification des variables : ___ : ___________________________________ ___ : _________________________________ ___ : __________________________________ Le système de relations linéaires est : _____________________________ _____________________________

Solution :




Résolution d’un système de relations linéaires

Valeurs que doivent prendre les variables pour vérifier les deux équations du système.

Trouver la solution, c’est résoudre le système d’équation.

La solution est : ______________________________

1) Résoudre un système à l’aide de la méthode graphique

Représenter les équations d’un système dans le plan cartésien permet de les comparer.

Il faut :

1- ______________________________________________________

2- ______________________________________________________

Ex.1

y1 = x – 2 y2 = 2x – 12




Exemple 2 : Cet après-midi, Mégane et Noah ont décidé de poursuivre la lecture

du roman qu’ils ont commencé la veille. Mégane reprend sa lecture à la page 12 et lit 4 pages à l’heure. Noah, lui, reprend sa lecture à la page 8 et lit 6 pages à l’heure. Après combien de temps Mégane et Noah auront-ils lu le même nombre de pages ?

1- Identifier les variables : ___ : ___________________________________

___ : _________________________________ ___ : __________________________________

2- Construire les deux équations : _____________________________

_____________________________

3- Construire les tables de valeurs :

4- Tracer les droites

5- Vérifier la solution

6- Répondre à la question :




Ex.3 Les Denis Drolet viennent de s’inscrire à un nouveau programme d’amaigrissement PFK. Ils pèsent respectivement 300 (dents) et 280 (barbu) livres. Le programme de Denis les dents lui permet de perdre 10 livres par mois tandis que celui de Denis le barbu lui fait perdre 8 livres par mois. Après combien de mois auront-ils le même poids? 1- Identifier les variables : ___ : ___________________________________

___ : _________________________________ ___ : __________________________________


_____________________________








Exercices 1. Quelle est la solution de chacun des systèmes d’équations suivants ?

a) c)

b) d)




2. Représente graphiquement chacun des systèmes d’équations suivants, puis trouve la solution de chaque système.

a) b)

c) d)

y = 3x – 11 y = –2x – 1

y = –x + 1 y = –2x – 2

y = 8 – x

y = 3x

y = –4x + 10 y = 8x – 2




3. La cafétéria de l’école offre une carte de repas au coût de 24 $. Avec cette carte, le menu du jour coûte 3,50 $ au lieu de 6,50 $. Après combien de repas cette carte devient-elle rentable ?

1- Identifier les variables : ___ : ___________________________________

___ : _________________________________ ___ : __________________________________


_____________________________








4. Il y a 10 ans que Lucille habite son appartement et Anton, son loft. Au départ, Lucille

payait 450 $ par mois et Anton, 325 $ par mois. Toutefois, le loyer de Lucille a augmenté de 5 $ par année alors que celui d’Anton a augmenté de 10 $ par année.

a) Définis les variables. b) Traduis algébriquement cette situation par un système d’équations.

c) Représente graphiquement cette situation.

d) Au cours des 10 dernières années, est-ce que le coût du loyer d’Anton a dépassé

celui du loyer de Lucille ? Si oui, quand ? Sinon, dans combien d’années cela arrivera-t-il ?




5. Luka a des problèmes avec sa plomberie. Il appelle une première entreprise, Plomberie 5 étoiles, qui facture 25 $ pour le déplacement du plombier et 70 $ pour chaque heure travaillée. La deuxième entreprise, Plomberie Verse-Eau, demande 35 $ pour le déplacement du plombier et 50 $ pour chaque heure travaillée. Luka se demande avec laquelle des deux entreprises il devrait faire affaire. Aide-le à faire un choix éclairé en répondant aux questions suivantes.

a) Traduis algébriquement cette situation par un système d’équations.

b) Représente graphiquement cette situation.

c) Combien de temps doivent durer les travaux pour que le choix de l’entreprise

importe peu ?

d) Qui Luka devrait-il appeler si les travaux durent deux heures ?




Réponds aux questions suivantes.

a) Quelles sont les équations de ce système ?

b) Pourquoi ce système d’équations n’a-t-il pas de solution ?

Le nombre de solutions d’un système d’équations Dans le tableau ci-dessous, on présente le nombre de solutions

d’un système d’équations selon la position relative des droites : y1 = a1x + b1

y2 = a2x + b2

Position relative des deux droites Équations Nombre de

solutions Paramètres Exemples

Droites

sécantes

a1 a2 y = x + 10

y = 2x + 6

Une

solution (le point de

rencontre)

Droites

parallèles

distinctes

a1 = a2

b1 b2

y = -3x + 10

y = -3x + 15

Aucune

solution (aucun

point de

rencontre)




Droites

confondues

a1 = a2

b1 = b2

y = x + 8

y = 8 + x

Infinité de

solutions (tous les

points

appartenant

à la droite)

Exercices

1. Combien de solutions possède chacun des systèmes d’équations suivants ? Justifie ta

réponse.

a) d)

b) e)

y = 21 (10x – 12)

y = 5x – 6

y = –x + 8 y = –2x + 5

y = 8 – 2x y = 4 (2 – 0,5x)

y = 2x – 2 y = 2x – 4




c) f)

2. Soit les équations et les tables de valeurs suivantes.

y = 3x + 9 y = –2x + 5 y =

2x + 8

x y

0 –2

1 0

2 2

3 4

x y

0 9

1 12

2 15

3 18

x y

0 10

1 8

2 6

3 4

Associe chaque équation à une table de valeurs de façon :

a) qu’il n’y ait aucune solution.

b) qu’il y ait une infinité de solutions.

c) qu’il y ait une seule solution.

1 2 3

4 5 6




2) Résoudre un système à l’aide de la méthode de comparaison

(algébriquement)

Résoudre algébriquement consiste à trouver le couple solution en _____________

___________________________________________________________________

Il suffit de suivre les étapes suivantes : Soit le système d’équation : y = 4x + 2

y = x – 4

1- Poser une égalité entre les deux membres de droite et résoudre.

2- On remplace la valeur trouvée dans une des deux équations pour trouver la

valeur du « y ».

3- On vérifie à l’aide de l’autre équation que notre couple-solution est valide.

Dans un problème, on doit ajouter deux étapes au début soit :

1) ______________________________________

2) ______________________________________




Exercices

1. Détermine algébriquement le couple-solution de chacun des systèmes d’équations suivants.

a) y = 10x + 5

y = –5x – 10

f) y = 520x + 1104

y = 3 029 + 345x

b) y = 65x – 1

y = 23 + 6x

g) y = 32x + 7

y = 3x – 2

c) y = x – 1

y = 9 – x

h) y = 4x – 17

y = –5x + 2




2. Cet après-midi, Mégane et Noah ont décidé de poursuivre la lecture

du roman qu’ils ont commencé la veille. Mégane reprend sa lecture à la page 12

et lit 4 pages à l’heure. Noah, lui, reprend sa lecture à la page 8 et lit 6 pages à l’heure. Après combien de temps Mégane et Noah auront-ils lu le même nombre de pages ?

Étapes exemple

Identifier les inconnus.

Construire les équations.

Poser une égalité entre les deux membres

de droite.

Résoudre algébriquement

Trouver la valeur du « y »

Vérifier la solution avec l’autre équation

Interpréter la solution




3. Marco et Ève-Lyne reviennent de la bibliothèque. Marco a emprunté un roman de 438 pages. Il lit en moyenne 20 pages par heure. Ève-Lyne a emprunté un roman de 492 pages. Elle lit en moyenne 24 pages par heure. Après combien d’heures de lecture leur restera-t-il le même nombre de pages à lire ?

Étapes exemple

Identifier les inconnus.

Construire les équations.

Poser une égalité entre les deux membres

de droite.

Résoudre algébriquement

Trouver la valeur du « y »

Vérifier la solution avec l’autre équation

Interpréter la solution




Le nombre de solutions d’un système d’équations

La résolution algébrique

Lors de la résolution algébrique d’un système d’équations, l’observation de l’équation réduite permet de déterminer le nombre de solutions du système d’équations.

Exemple :

Solution unique Aucune solution Infinité de solutions

561 xy

2722 xy

27256 xx

324 x

8x

841 xy

242 xy

2484 xx

60 x

1061 xy

)53(22 xy

)53(2106 xx

106106 xx

00 x Seule la valeur 8 rend l’égalité vraie.

Aucun nombre réel ne rend l’égalité vraie.

Tous les nombres réels rendent l’égalité vraie.

Exercices 1) Au Festival des montgolfières de Saint-Jean-sur-Richelieu, il y a deux options pour les

tours de manèges.

L’achat d’un bracelet de 28 $ qui donne un accès illimité aux manèges ;

L’achat de billets de 1 $ chacun ; chaque tour de manège coûte en moyenne 3

billets.

Détermine le nombre de tours de manèges à partir duquel il est plus avantageux d’acheter le bracelet.

1

2




2) Annie-Claude doit faire effectuer des travaux d’électricité dans sa maison. Elle appelle deux entreprises différentes et note leur tarif.

Électricité 101 Plessisville Électrique

Frais de déplacement : 40 $

Tarif : 40 $/h

Frais de déplacement : 20 $

Tarif : 50 $/h

a) Représente chaque facture par une équation.

b) Détermine la durée des travaux à partir de laquelle il devient plus avantageux de

faire appel à Plessisville Électrique plutôt qu’à Électricité 101. 3. Au club vidéo Au coin du film, on demande 5 $ pour chaque location de DVD. À La

maison du DVD, il y a des frais d’abonnement de 21 $. Par la suite, on demande 2 $ par location.

a) Combien de locations doit-on effectuer pour qu’il en coûte la même chose aux deux endroits ?

b) Si tu loues beaucoup de DVD dans une année, à quel club devrais-tu t’abonner ? Justifie ta réponse.




4. Une entreprise fabrique et vend des pagaies. Le tableau suivant indique le coût et le

montant des ventes selon le nombre de pagaies fabriquées.

Nombre de pagaies Coût ($) Montant des ventes ($)

0 500 0

25 750 450

50 1 000 900

75 1 250 1 350

100 1 500 1 800

Equations : a) Combien de pagaies l’entreprise doit-elle vendre pour que le coût et le montant

des ventes soient égaux ?

b) Combien de pagaies l’entreprise doit-elle vendre pour réaliser un bénéfice ?

c) À combien s’élèvent le montant des ventes et les coûts quand ils sont égaux ?




6. Éliane compte travailler dans un verger cet automne. Elle décide de comparer les

modes de rémunération des trois vergers suivants :

Verger Tremblay : 20 $ pour la journée 25 ¢ par pomme cueillie

Verger Desmarais : 25 $ pour la journée 15 ¢ par pomme cueillie

Verger Charbonneau : 30 ¢ par pomme cueillie

a) Entre le Verger Charbonneau et le Verger Tremblay, combien de pommes faut-il cueillir pour faire le même salaire ?

b) Quel est ce salaire ?

c) Entre le Verger Tremblay et le Verger Desmarais, combien de pommes faut-il cueillir pour faire le même salaire ?




d) Quel est ce salaire ?

e) Si Éliane prévoit cueillir 250 pommes par jour en moyenne, dans quel verger doit-

elle aller travailler ? Justifie ta réponse.

chapitre 6 : les inéquations et les systèmes d’équations · 2020-04-09 · chapitre 6 : les...

Documents