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Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté

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Chapitre 5 :

Mouvement oscillatoire

d’un système mécanqiue à plusieurs degrés

de liberté


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5.1 Définitions

Les systèmes à plusieurs degrés de liberté sont des systèmes qui nécessitent

plusieurs coordonnées indépendantes. Le nombre de degré de liberté détermine le

nombre d’équations différentielles régissant l’évolution dans le temps de ces

coordonnées.

En fait, il existe deux types de systèmes :

5.1.1 Systèmes à plusieurs sous systèmes découplés :

La position de la masse m sur la figure 5.1 est repérée par deux coordonnées

cartésiennes indépendantes 1x et

2x , car se déplaçant, sans frottement, dans un plan.

Figure 5.1: Mouvement oscillatoire non couplé à deux degrés de liberté

Pour calculer le Lagrangien du système, on suppose qu’à l’équilibre les ressorts sont

lâches avec une longueur à vide 0l . L’énergie cinétique du système s’écrit sous la

forme :

2

2

2

12

1

2

1xmxmT (5.1)

L’énergie potentielle du système s’écrit sous la forme :

2

0

2

02

2

12

2

0

2

01

2

212

1

2

1

llxxkllxxkU

Pour de faibles oscillations, on peut avec une bonne approximation négliger les termes

en

2

0

1

l

x,

2

0

1

l

x tout en gardant les termes

0

1

l

xet

0

2

l

x . L’expression ci-dessus de

l’énergie potentielle devient


PAGE 180

2

0

0

2

2

0

2

2

0

102

2

0

0

1

2

0

1

2

0

201 12

2

112

2

1

l

l

x

l

x

l

xlkl

l

x

l

x

l

xlkU

En utilisant un développement limité, les termes au carré dans l’expression di-dessus

s’écrivent sous la forme :

10

0

10

0

1

2

0

1

2

0

20 112 xl

l

xl

l

x

l

x

l

xl

et

20

0

10

0

2

2

0

2

2

0

10 112 xl

l

xl

l

x

l

x

l

xl

Ce qui permet de réécrire l’expression de l’énergie potentielle sous la forme suivante :

2

22

2

112

1

2

1xkxkU (5.2)

Le Lagrangien du système s’écrit alors :

2

22

2

11

2

2

2

12

1

2

1

2

1

2

1xkxkxmxmL (5.3)

En effet, ce Lagrangien peut s’écrire sous la forme d’une somme de deux Lagrangiens

indépendants (l’un en fonction de 1x set

1x et l’autre en fonction de 2x set

2x ) sans qu’il

y ait un terme qui les relie :

2

22

2

2

2

11

2

12221112

1

2

1

2

1

2

1,, xkxmxkxmxxLxxLL

C’est là un système composé de deux sous systèmes indépendants et découplés. Le

système différentiel s’exprime alors sous la forme:

0

0

0

0

222

111

22

11

xkxm

xkxm

x

L

x

L

dt

d

x

L

x

L

dt

d

(5.4)

On obtient un système différentiel découplé qui s’exprime comme:

0

0

2

2

022

1

2

011

xx

xx

1

12

02

1

12

01 ,m

k

m

kavec


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Les deux solutions des sous-systèmes indépendantes sont de la forme:

)cos()(

)cos()(

2022

1011

tBtx

tAtx (5.5)

Pour un système forcé, on a le modèle représenté dans la figure 2.5 :

Figure 5.2: Mouvement Forcé non couplé à deux degrés de liberté

Les équations différentielles du système sont données comme suit :

)(

)(

2222

1111

tFkxxxm

tFkxxxm

(5.6)

On constate que l’équation différentielle est de type linéaire. Ainsi, on peut appliquer

le théorème de superposition qui consiste à écrire la solution globale x(t) sous la forme

suivante:

)()()( 21 txtxtx

avec

)()()( 21 tFtFtF

5.1.2 Système complexe (couplé):

C’est un système constitué par plusieurs sous-systèmes couplés comme le montre la

figure (5.3).


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Figure 5.3: Mouvement oscillatoire d’un système couplé

à deux degrés de liberté

Le Lagrangien du système en mouvement sans frottement s’écrit comme suit :

2

1

22

21

22

1

21212

1)(

2

1

2

1),,,(

i

iii

i

i xkxxkxmxxxxL (5.7)

Le système d’équations différentielles s’écrit :

0)(

0)(

0

0

12222

21111

22

11

kxxkkxm

kxxkkxm

x

L

x

L

dt

d

x

L

x

L

dt

d

(5.8)

Pour résoudre ce système d ‘équations différentielles linéaires, on peut se proposer des

solutions sinusoidales (en se basant sur notre expérience à résoudre des systèmes

linéaires à un degré de liberté), où les masses oscilleront à la même pulsation p avec

des amplitudes différentes et des phases différentes ; en l’occurence:

tj

tj

p

p

eAtx

eAtx

22

11~

)(

~)(

(5.9)

avec

2

1

22

11~

~

j

j

eAA

eAA (5.10)

En remplaçant les solutions proposées dans le système différentiel, on obtient le

système d’équations algébriques suivant :

0~~

)(

0~~

)(

122

2

2

211

2

1

AkAkkm

AkAkkm

p

p

(5.11)


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qui peut s’écrire sous la forme matricielle suivante :

0

0~

~

2

1

1

2

1

1

2

1

A

A

kkmk

kkkm

p

p

(5.12)

Le système admet une solution non triviale si seulement si le déterminant de la matrice

22 est nul, d’où :

02

2

2

1

2

1

kkmk

kkkm

p

p

(5.13)

L’équation bicarrée (paramétrique) s’écrit donc :

0)1()( 22

2

2

1

22

2

2

1

4 Kpp (5.14)

avec :

1

12

1m

kk ,

2

22

2m

kk et

))(( 21

22

kkkk

kK

où le paramètre K est appelé le coefficient du couplage. Ce dernier peut prendre des

valeurs entre 0 et 1 selon la valeur de la constante de raideur du ressort de couplage k .

En effet, si 0k (le couplage entre les deux sous systèmes est lâche) K aura une

valeur nulle 0K . Alors que si k (le ressort de couplage se comporte comme une

barre rigide par rapport aux autres ressorts du système), on aura 1K .

En faisant un changement de variable 2

ppz , l’équation ci-dessus devient :

0)1()( 22

2

2

1

2

2

2

1

2 Kzz pp (5.15)

Le discriminant de cette équation s’écrit :

22

2

2

1

2

2

2

1

4

2

4

1

22

2

2

1

22

2

2

1 42)1(4)( KK

ou encore

04 22

2

2

1

22

2

2

1 K

Les deux pulsations propres sont donc :

2

2

2

1

222

2

2

1

2

2

2

12

2

2

2

2

1

222

2

2

1

2

2

2

12

1

4)(2

1

2

4)(2

1

2

K

K

p

p

(5.16)

Les deux pulsations propres du système sont positives ( pp 21 ) et leurs valeurs

dépendent de la valeur du coefficient de couplage K .


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En effet, pour 0K , les pulsations propres sont égales à :

2

1

2

2

2

1

2

2

2

12

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

12

1

2

)(

2

2

)(

2

p

p

Ce résultat nous impose à prendre 12 . D’autre part, pour 1K , les pulsations

propres sont égales à :

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

12

2

2

2

2

1

2

2

2

12

1

2

)(

2

02

)(

2

p

p

Entre les deux valeurs extrèmes de K , les valeurs des deux pulsations suivent les

allures montrées sur la figure ci-dessous.

Figure 5.4: Pulsations propres du système en fonction du coefficient de couplage

On voit bien sur la figure (5.4) que l’effet de couplage est d’augmenter l’écart entre les

pulsations propres du système.

Le fait que les formes sinusoidales proposées pour le mouvement des deux masses

sont solutions du système d’équations pour seulement deux valeurs de p à savoir p1


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et p2 nous amène à conclure que parmi toutes les formes possibles (pas forcément

simples) de mouvement de masses il existe seulement deux manières d’oscillation où

les masses oscillent de façon harmonique simple avec une seule et même pulsation : ce

sont là les deux modes de vibration des masses où celles-ci passent en même temps

par leurs positions d’équilibre.

Dans chaque mode d’oscillation de pulsation normale définie p1 ou p2 les masses

oscilleront en phase ou en opposition de phase selon la valeur des grandeurs 1

~A et 2

~A .

En effet, pour le mode 1, correspondant à la pulsation propre p1 , les amplitudes de

mouvement s’obtiennent en remplaçant p par p1 dans l’une des équations

algébriques ci-dessus. Ce qui donne :

2

1

1

2

1

2

1

~~)( A

m

kAp

ou encore

)(~

~

2

1

2

111

2

1

1

pm

k

A

A

(5.17)

On a rajouté un indice 1 aux amplitudes pour signifier que ces derniers correspondent

au premier mode. Le rapport des amplitudes s’écrit donc sous la forme :

0

4)(

2~

~

2

2

2

1

222

2

2

1

2

2

2

11

1

2

1

1

Km

k

A

A

Ce qui donne

12

11

1

2

1

1

1

2

1

1~

~

j

eA

A

A

A

où 1

1A et 1

2A sont les valeurs absolues des amplitudes de mouvement des deux masses.

Les phases 1

1 et 1

2 doivent être, dans ce cas, égales (ou différentes d’un angle 2 ).

Les masses oscillent en phase.

Pour le mode 2 , correspondant à la pulsation propre p2 , les amplitudes de

mouvement s’obtiennent en remplaçant p par p2 dans l’une des équations

algébriques ci-dessus. Ce qui donne :

2

1

1

2

1

2

2

~~)( A

m

kAp


PAGE 186

ou encore

)(~

~

2

2

2

112

2

2

1

pm

k

A

A

(5.18)

On a rajouté un indice 2 aux amplitudes pour signifier que ces derniers correspondent

au premier mode. Le rapport des amplitudes s’écrit donc sous la forme :

0

4)(

2~

~

2

2

2

1

222

2

2

1

2

2

2

11

2

2

2

1

Km

k

A

A

Ce qui donne

22

21

2

2

2

1

2

2

2

1~

~

j

eA

A

A

A

où 2

1A et 2

2A sont les valeurs absolues des amplitudes de mouvement des deux masses.

Les phases 2

1 et 2

2 doivent être différentes d’un angle . Les masses oscillent dans

ce cas en opposition de phase.

Les solutions générales s’écrivent sous la forme d’une superposition des deux modes

propres, à savoir :

222

121

212

111

2

2

1

22

2

1

1

11

)(~

)(~

tjtj

tjtj

pp

pp

eAeAtx

eAeAtx (5.19)

Tenant compte des relations obtenues entre les amplitudes de mouvement des masses

pour chaque mode de vibration ainsi que celles qui existent entre les phases, il est

possible de réécrire les solutions sous la forme suivante :

212

111

212

111

)()()(~

)(~

2

2

2

112

1

2

1

2

111

12

2

1

1

11

tjptjp

tjtj

pp

pp

ek

mAe

k

mAtx

eAeAtx (5.20)

Les constantes 1

1A , 2

1A , 1

1 et 2

1 seront définies par les conditions initiales appliquées

sur le système.

Remarque: puisque que les mouvements des masses du système sont des quantités

mesurables donc réelles, il serait utile de prendre la partie réelle des solutions

complexes ci-dessus, à savoir :


PAGE 187

2

12

2

2

2

112

1

1

11

2

1

2

111

12

2

12

2

1

1

11

1

11

cos)(

cos)(

)(~

coscos)(~

tk

mAt

k

mAtx

tAtAtx

p

p

p

p

pp

5.2 Types de couplage:

En fait, il existe plusieurs types de couplage :

a- Couplage par élasticité où deux sous systèmes mécaniques (pendules simples)

sont assemblés à travers un ressort, ou encore, leurs analogues électriques, à

savoir deux sysèmes électriques (circuits LC) qui sont reliés par un

condensateur.

b- Couplage par viscosité où on utilise un amortsisseur (résistance pour un

système électrique) pour coupler deux pendules simples (circuits LC).

c- Couplage par inertie représenté par l’exemple d’un pendule double et où son

équivalent électrique serait deux circuits LC reliés par une bobine d’inductance.

Figure 5.5: Couplage équivalent, Résistance-Force de frottement

Figure 5.6 : Couplage équivalent, Capacité-Ressort

5.3 Battements :

Reprenons l’exemple du système de deux masses identiques m attachées

horizontalement à trois ressorts de raideur identique k et se déplaçant sans frottement

sur une droite d’un plan horizontal.


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Pour le couplage les deux sous-systèmes identiques, on a :

Figure 5.6: Mouvement oscillatoire couplé

de deux sous-systèmes identiques

Les nouvelles équations du mouvement s’écrivent comme suit :

02

02

122

211

kxkxxm

kxkxxm

(5.21)

On se propose pour un mode de vibration des solutions sous la forme sinusoïdale:

)t(j

2

)t(j

1

p

p

Be)t(x

Ae)t(x

(5.22)

En remplaçant les solutions dans le système différentiel, on obtient un système linéaire

symétrique suivant :

0)2(

0)2(2

2

kABkm

kBAkm

p

p

(5.23)

Le système admet des solutions non triviales si seulement si le déterminant de sa

matrice est nul, d’où :

02

22

2

kmk

kkm

p

p

(5.24)

On obtient alors l’équation paramétrique suivante :

0)2( 222 kkm p (5.25)

Les deux pulsations propres sont :


PAGE 189

m

km

k

p

p

32

2

2

1

(5.26)

Les solutions générales sont la superposition des deux modes propres et sont de de la

forme suivante :

)cos()cos()(

)cos()cos()(

2221112

2221111

tBtBtx

tAtAtx

pp

pp (5.27)

Pour le premier mode correspondant à la pulsation propre p1 , on a :

m

kpp 1

et en remplaçant dans l’une des équations du système algébrique ci-dessus on trouve

ABAkBAkm p 1111

2

1 0)2(

Figure 5.8: Etat du système pour le premier mode.

« En phase »

Dans ce mode les deux masses oscillent à la même pulsation m

kp 1 avec la même

amplitude A , en phase.

Pour le deuxième mode correspondant à la pulsation propre p2 , on a :

m

kpp 32


PAGE 190

et en remplaçant dans l’une des équations du système algébrique ci-dessus on trouve

BBAkBAkm p 2222

2

2 0)2(

Figure 5.9 : Etat du système pour le deuxième mode.

« En opposition de phase »

Dans ce mode les deux masses oscillent à la même pulsation m

kp

32 avec la même

amplitude B , en opposition de phase.

Les solutions générales deviennent alors:

)cos()cos()(

)cos()cos()(

22112

22111

tBtAtx

tBtAtx

pp

pp (5.29)

Où les constantes A , B ,1 et

2 seront définies par les conditions initiales.

Pour le besoin de notre étude du phénomène dit de battement il s’avère utile

d’appliquer les conditions initiales suivantes :

0)(0)(

0)()(

22

101

txtx

txXtx

(5.30)

Cela signifie qu’à 0t on écarte une masse de sa position d’équilibre d’une distance

0X tout en gardant l’autre masse à sa position d’équilibre ensuite on les lâche sans

vitesse initiales. Après remplacement dans les solutions générales, on obtient les

quatre équations suivantes:


PAGE 191

40sinsin

30sinsin

20coscos

1coscos

2211

2211

21

021

pp

pp

BA

BA

BA

XBA

L’addition des équations 1 et 2 d’une part et les équations 3 et 4 donne :

60sin

52

cos

1

01

A

XA

en sommant les carrés des équations 5 et 6 on obtient :

2

0XA , et de 6 on déduit que 01 .

De même, la soustraction des équations 1 et 2 d’une part et les équations 3 et 4

donne :

80sin

72

cos

2

02

B

XB

en sommant les carrés des équations 7 et 8 on obtient :

2

0XB , et de 8 on déduit que 02 .

On en arrive donc aux équations horaires du mouvement qui s’écrivent comme suit:

ttX

tx

ttX

tx

pp

pp

210

2

210

1

coscos2

)(

coscos2

)(

(5.31)

Ce résultat est très important car il nous renseigne sur le fait que le mouvement des

deux masses, soumises aux conditions initiales précédentes, est la superspoition de

deux mouvements sinusoïdaux simples de pulsations différentes. C’est un mouvement

complexe où les deux modes propres d’oscillation contribuent équitablement au

mouvement du système. Dans ce cas, on dit que les deux modes propres d’oscillation

du système sont excités. Cependant, la forme mathématique donnée des solutions n’est

pas si intuitive au point de nous permettre de concevoir, grosso modo, la manière avec

laquelle les masses vont osciller. Pour ce faire, il est utile de réarranger les formes


PAGE 192

mathématiques des solutions, en ayant recours à des relations trigonométriques bien

connues, à savoir :

2cos

2cos2coscos

bababa

et

2sin

2sin2coscos

bababa

ce qui permet de réécrire les solutions ci-dessus sous la forme :

ttXtx

ttXtx

pppp

pppp

2sin

2sin)(

2cos

2cos)(

2121

02

2121

01

Un changement de notation nous permet d’écrire :

2

12

mod

pp

dite pulsation de modulation et

2

21 pp

moy

dite pulsation moyenne.

De nouveau, les solutions s’expriment sous la forme condensée suivante:

ttXtx moy cos.cos)( mod01 (5.32)

et

ttXtx moy sin.sin)( mod02 (5.33)

Ces deux formes de solutions sont plus intuitives à expliquer, car il est possible de voir

le mouvement des masses comme un mouvement ‘ sinusoïdal simple’ de pulsation

moy mais avec une ampliude tX mod0 cos (pour la première masse) qui change

sinusoïdalement dans le temps à une pulsation mod . On dit que l’amplitude du

mouvement est modulée.


PAGE 193

Figure 5.10: Phénomène de battement pour la première masse

On trace sur la figure 5.10 l’évolution de tx1 et on voit que la masse fait un

mouvement complexe (l’amplitude part de zéro, atteint son maximum puis retrouve sa

valeur nulle) qui se répète après chaque intervalle de temps égal à 2

modTTbattement , où

mod

mod

2

T est la période de modulation de l’amplitude du mouvement. Ce mouvement

est appelé battement. D’autre part, on définit moy

moyT

2 comme la période

d’oscillation de la masse. Dans le cas où les deux pulsations propres p1 et p2 sont

très proches l’une de l’autre, l’amplitude tX mod0 cos ne varie que très lentement

comparée aux oscillations rapides de tmoycos et la masse exécuterait un mouvement

presque sinusoïdal. La deuxième masse, lâchée à partir de sa position d’équilibre,

exécute un mouvement semblable avec une seule différence : elle est en quandrature

de phase avec la première masse (voir figure 5.11).


PAGE 194

Figure 5.11: Phénomène de battement pour la deuxième masse

Au moment où l’une des deux masses s’immobilise, l’autre masse est à son

maximum ; toute l’énergie du système étant transférée vers cette denière.

Une période de battement est donc le temps que fait l’énergie de vibration dans son

aller-retour complet entre les deux masses.

5.4 Oscillations forcées d’un système non amorti à deux degrés de

liberté :

Reconsidérons le système mécanique symétrique ci-dessus, et on applique une force

extérieure de forme sinusoïdale au premier sous système qui s’exprime comme suit :

tj

e eFRtFtF 00 cos)( (5.34)

Les équations d’Euler-Lagrange qui correspondent à cette situation physique

s’écrivent comme suit :

0

cos

22

0

11

x

L

x

L

dt

d

tFx

L

x

L

dt

d

(5.35)


PAGE 195

La seconde équation ne contient pas de terme de force extérieure car cette dernière

s’applique directement sur la deuxième masse. Après dérivation on obtient :

02

cos2

122

00211

kxkxxm

eFRtFkxkxxm tj

e

(5.36)

Pour résoudre le système d’équations différentielles ci-dessus on suppose que le même

système mécanique est maintenant soumis à une force complexe tjeFtF 0 . Après

résolution, on revient à notre cas physique en prenant la partie réelle de la solution

obtenue. En effet, on a

0~~2~

~~2~

122

0211

xkxkxm

eFxkxkxm tj

(5.37)

Dans le régime permanent, les solutions ont la même forme que le second membre, à

savoir:

)(

22

)(

11~

)(~)(~

~)(~)(~

tj

p

tj

p

eBtxtx

eAtxtx (5.38)

avec AjAeA

~ et Bj

BeB

~

.

En remplaçant les solutions proposées dans le système différentiel, on obtient le

système d’équations algébriques suivant :

0~~

)2(

~~)2(

2

0

2

AkBkm

FBkAkm

(5.39)

avec deux inconnues A~

et B~

dont les expressions sont données par ce qui suit :

m

k

m

k

m

k

m

F

m

k

m

F

kmk

kkm

km

kF

App

3

2

))((

2

2

2

20~

22

20

2

2

22

1

2

20

2

2

2

0

(5.40)

et

m

k

m

km

kF

m

kF

kmk

kkm

k

Fkm

Bpp

3))((

2

2

0

2

~

22

2

0

2

2

22

1

2

2

0

2

2

0

2

(5.41)


PAGE 196

Tout d’abord, il est utile de remarquer que les inconnues A~

et B~

ont des valeurs réelles

négatives ou positives selon la valeur de la pulsation de la force extérieure . Cela

signifie que les valeurs des phases des masses par rapport à la force excitatrice sont

soit nulles 0A , 0B soit A, B

. En effet, si A~

et B~

sont positives, il

serait possible de les écrire sous la forme

0~ jjAeAeA A

et

0~ jjBeBeB B

où A et B sont les modules des nombres complexes A~

et B~

. Dans ce cas, les masses

oscilleront en phase avec la force extérieure. Dautre part, si A~

et B~

sont négatives, il

serait possible de les écrire sous la forme

jjAeAeA A

~

et

jjBeBeB B

~

Dans ce cas les masses oscilleront en opposition de phase avec la force extérieure. Ce

sont là les deux seules possibilités d’état de phase des masses par rapport à la force

extérieure. Si le système était soumis à des forces d’amortissment, les valeurs des

phases prendront des valeurs entre 0 et . On doit noter ici que l’état de phase d’une

masse par rapport à la force extérieure est indépendante de l’état de phase de l’autre

masse par rapport à cette même force, c’est à dire qu’on peut tomber sur un cas où une

masse oscille en phase alors que l’autre est en opposition de phase avec la force

extérieure.

Pour une valeur 0 , les amplitudes de mouvement des masses sont égales à

k

F

m

k

m

k

m

k

m

F

A3

2

3

2

~ 0

0

(5.42)

et

k

F

m

k

m

km

kF

B33

~ 02

0

(5.43)


PAGE 197

Pour une valeur infinie de , A~

et B~

deviennent nulles.

Remarquons que A~

peut être nulle aussi pour une valeur de m

k2 . C’est le

phénomène d’anti-résonance dans lequel la masse soumise directement à la force

extérieure reste immobile lorsque la pulsation de cette dernière est réglée à la valeur

m

k2 . Aussi, pour des valeurs de

m

k et

m

k3 (pulsations propres du système),

les amplitudes A~

et B~

deviennent infinies. C’est là le phénomène de résonance dans

lequel les amplitudes des deux masses deviennent infinies lorsque la pulsation de la

force extérieure est égale à l’une des pulsations propres du système. Ce résultat nous

permet de se rendre compte de l’utilité de connaitre a priori les pulsations propres du

système avant que celui-ci soit mis sous l’effet d’une force extérieure. Car en

connaissant ces pulsations on pourrait éviter au système l’effet d’une résonance

infinie. Il est utile de noter qu’en appliquant une force de frottement au système à

deux degrés de liberté, on éliminera les singularités au niveau des modes propres. La

figure (5.11) illustre bien les phénomènes de résonance et d’antirésonance sur les

allures des amplitudes de mouvement.

Figure 5.11: Phénomènes de résonance à deux degrés de liberté

Les calculs montrent aussi que les deux masses oscillent en phase pour des valeurs de

inférieures à m

kp 1 . Pour

m

k

m

k 2 les deux masses oscilleront en opposition


PAGE 198

de phase avec la force extérieure. Alors que pour m

k

m

kp

322 la masse soumise

directement à la force extérieure oscille en phase avec cette dernière alors que l’autre

masse oscille en opposition de phase. Enfin, pour m

kp

32 les états de phase des

masses s’inversent : la masse soumise directement à la force oscille en opposition de

phase alors que l’autre masse oscille en phase avec la force extérieure.

Le fait qu’une masse, malgré qu’elle soit soumise à une force extérieure, puisse

s’immobiliser est en soi un résultat intéressant, qui a débouché sur une application fort

utile dans le domaine de controle de vibration des structures (ou machines).

L’amortisseur de FRAHM en est un exemple. Sans entrer dans les détails techniques,

ce dispositif consiste à rajouter à un système mécanique, modélisé par une masse M

et un ressort K soumis à une force extérieure de pulsation connue, une deuxième

masse m avec un ressort k (et optionnellement un amortisseur ) de telle façon que

la pulsation à laquelle la masse M est théoriquement nulle soit égale (ou avoisinante)

de la pulsation extérieure. De cette manière, on est sûr que la masse M restera

immobile (ou presque) pendant que la force extérieure agit.

Figure 5.11: Modèle mécanique de l’amortisseur de FRAHM

Ce dispositif est d’autant plus efficace que la masse m est très faible que la masse M

qui elle doit être amortie.


PAGE 199

Figure 5.12: Application technique de l’amortisseur de FRAHM.

On peut citer d’autres exemples d’applications : l’oscillation des véhicules

5.5 Analogies électriques

L’analogue électrique du système mécanique libre , étudié ci-dessus, et composé de

deux masses 1m et 2m , en mouvement sans frottement ni force extérieure sur un plan

horizontal, attachées à deux ressorts 1k et 2k , et couplées l’une à l’autre par un ressort

k est un système électrique composé de deux circuits 11CL et 22CL rassemblés dans un

seul circuit électrique à travers un condensateur C . dEn partant des équations du

mouvement du système mécanique.

0

0

12222

21111

kxxkkxm

kxxkkxm

(5.44)

et en utilisant les analogies électromécaniques (analogie force-tension) suivantes:

tUtF

R

ix

qxC

k

Lm

1

(5.45)


PAGE 200

on obtient le système d’équations différentielles régissant la circulation des charges

électriques dans le circuit électrique, à savoir :

011

011

12

2

22

21

1

11

kqqCC

qL

kqqCC

qL

(5.46)

Figure 5.13: circuit analogue (analogie force tension) au système

mécanique composé de deux masses attachées horizontalement à deux

ressorts

On pouvait obtenir ces mêmes équations différentielles en utilisant les lois de

Kirchhoff.

Alors qu’en analogie force-courant, où l’on a les analogies suivantes :

titFR

Ux

xL

k

Cm

1

1

(5.47)

où est le flux à travers une bobine et une tension électrique tel que Udt .

On obtient donc :

0111

0111

12

2

22

21

1

11

dtUL

dtULL

UC

dtUL

dtULL

UC

(5.48)


PAGE 201

Figure 5.14: circuit analogue (analogie force courant) au système

mécanique composé de deux masses attachées horizontalement à deux

ressorts

Passons maintenant à un système mécanique à deux degrés de liberté composé de deux

masses 1m et 2m attachées à deux ressorts 1k et 2k soumis à des forces de frottement

de coefficients de frottement 1 et 2 , ainsi qu’à une force extérieure de type

sinusoïdale, tFtF sin0 , appliquée directement à la masse 1m . En effet, les

équations de mouvement du système mécanique montré la figure sont données comme

suit :

0

sin

122212222

022121121111

xxkxxkkxm

tFxxxkxxkkxm

(5.49)

En utilisant les analogies électromécaniques (force-tension) on obtient le système

d’équations différentielles régissant la circulation des charges électriques dans le

circuit électrique analogue:

0111

sin111

122212

1

22

022121121

1

11

qRqRqC

qCC

qL

tUqRqRqRqC

qCC

qL

(5.50)


PAGE 202

Figure 5.15: circuit analogue (analogie force tension) au système

mécanique forcé

A partir de ce système d‘équations il est possible de concevoir le circuit électrique

correspondant. L’analogie force-courant donne le circuit électrique dont les équations

différentielles s’écrivent comme suit :

011111

sin111111

1

2

2

2

12

1

22

02

2

1

2

1

1

21

1

11

UR

UR

dtUL

dtULL

UC

tIUR

UR

UR

dtUC

dtULL

UC

(5.51)

Figure 5.16: circuit analogue (analogie force courant) au système

mécanique forcé


PAGE 203

5.6 Modes propres de vibration d’un système mécanique à trois

degrés de liberté:

Considérons le système mécanique de trois masses 1m , 2m et 3m attachées entre elles

horizontalement par des ressorts 1k , 2k , 3k et 4k . Les positions des masses par rapport

à leurs positions d’équilibre sont données par les variables 1x , 2x et 3x . Le mouvement

est dans ce cas exclusivement sur une droite.

Le système d’équations de mouvement du système s’écrit sous la forme suivante :

0

0

0

2334333

331223222

2212111

xkxkkxm

xkxkxkkxm

xkxkkxm

(5.52)

Ce qui peut être écrit sous la forme matricielle suivante

0

0

0

0

0

00

00

00

3

2

1

433

3322

221

1

2

1

3

2

1

x

x

x

kkk

kkkk

kkk

x

x

x

m

m

m

ou encore sous une forme plus condensée :

0 KXXM (5.53)

où

3

2

1

00

00

00

m

m

m

M ,

3

2

1

x

x

x

X et

433

3322

221

0

0

kkk

kkkk

kkk

K

Il est possible de récrire l’équation ci-dessus sous forme

01 KXMX (5.54)

où 1M est la matrice inverse de M

En posant KMA 1 , l’équation ci-dessus devient

0 AXX (5.55)

Si la matrice A est diagonalisable (ce qui est vrai dans notre cas) , celle-ci pourrait se

mettre sous la forme :

1 PDPA (5.56)


PAGE 204

où P est une matrice dite de passage construite à partir des vecteurs propres de

A comme étant ses colonnes et D une matrice diagonale dont les éléments sont les

valeurs propres de la matrice A .

L’équation ci-dessus devient alors

01 XPDPX (5.57)

Multiplions l’équation ci-dessus par 1P :

0111 XPDPPXP (5.58)

où encore en faisant le changement de variable suivant :

XPU 1 (5.59)

avec

3

2

1

u

u

u

U , nous obtenons l’équation suivante :

0 DUU (5.60)

Cette équation est très intéressante car elle représente un système d’équations

différentielles découplé puisqu’elle fait intervenir une matrice diagonale. En effet,

l’équation ci-dessus peut se mettre sous une forme plus explicite :

0

0

0

333

222

111

uu

uu

uu

(5.61)

où 1 , 2 et 3 sont les valeurs propres de la matrice A .

Les solutions de ces trois équations différentielles sont données par :

3333

2222

1111

cos

cos

cos

tCtu

tCtu

tCtu

(5.62)

Les variables 1u , 2u et 3u sont appelées coordonnées normales puisqu’elles permettent

de découpler un système linéaire d’équations différentielles. En plus, elles représentent

des mouvements harmoniques simples du système avec trois pulsations d’oscillations :

11 , 22 et 33 ; c’est à dire les modes propres du système.

Cependant, il est intéressant d’avoir l’évolution des coordonnées 1x , 2x et 3x .


PAGE 205

Pour cela, on utilise l’équation :

PUX (5.63)

où encore

3

2

1

333231

132221

131211

3

2

1

u

u

u

PPP

PPP

PPP

x

x

x

Ce qui donne

3332321313

3232221212

3132121111

uPuPuPtx

uPuPuPtx

uPuPuPtx

(5.64)

Les mouvements des masses du système sont finalement des combinaisons linéaires de

mouvements harmoniques simples (modes propres du système) avec les pulsations

correspondantes. Ces résultats nous ramène impérativement à diagonaliser la matrice

A afin que l’étude du mouvement des masses soit complètement établie.

En guise d’exemple d’application, prenons le cas du système mécanique ci-dessus

avec des masses et des ressorts égaux. La matrice correspondante s’écrit sous la forme

210

121

012

m

kA

(5.65)

Il est facile de vérifier que les valeurs propres de cette matrice et partant les pulsations

propres du système sont données par :

m

k

m

k

m

k

m

k

m

k

m

k

2222

22

2222

33

22

11


PAGE 206

Avec les vecteurs propres correspondants :

1

2

1

1V ,

1

0

1

2V et

1

2

1

3V

La matrice de passage s’écrit donc sous la forme :

121

101

121

P

Il serait utile de donner une interprétation des valeurs des vecteurs propres ci- dessus.

En effet, chaque vecteur propre correspond à un mode de vibration, et plus

précisemment , chaque composante du vecteur donne le rapport d’amplitude de

mouvement des différentes masses dans un mode donné. C’est ainsi que le vecteur

1

2

1

1V , correspondant à la pulsation propre m

k221 , indique que les trois

masses oscillent toutes les trois en phase (les signes des composantes sont positives)

avec la deuxième masse qui a une amplitude 2 fois plus grande que les amplitudes

des autres masses.

Les solutions générales de mouvement des masses s’écrivent :

3

2

1

3

2

1

111

202

111

u

u

u

x

x

x

ou encore

3332221113

3331112

3332221111

coscoscos

cos20cos2

coscoscos

tCtCtCtx

tCtCtx

tCtCtCtx

(5.66)

où 1C , 2C , 3C , 1 , 2 et 3 sont des constantes à définir avec les conditions initiales.

Les formes des solutions indique que les masses, dans le premier mode, oscillent en

phase avec les mêmes amplitudes pour la première et la troisième masse, alors que

celle au milieu a une amplitude 2 fois plus grande. Dans le deuxième mode, la masse


PAGE 207

au milieu est immobile, alors que les deux autres masses oscillent en opposition de

phase mais avec les amêmes amplitudes. Dans le troisième mode, la première et la

troisième masse oscillent en phase avec la même amplitude mais en opposition de

phase avec la masse au milieu qui elle oscille avec une mplitude 2 fois plus grande.

De cette façon, tous les aspects du mouvement des masses du système sont établis ; il

ne reste qu’appliquer les conditions initiales (préparation du système) et voir comment

le système évoluera. En effet, cette procédure peut être facilement appliquée à un

système de plusieurs degrés de liberté. Il suffit juste de pouvoir diagonaliser des

matrices de plus en plus grandes, ce qui nécessite le recours à des méthodes

numériques bien établies.


PAGE 208

Applications


PAGE 209

Problème 1:

Deux pendules simples identiques O1A1 et O2A2 de masse m et de longueur l, sont

couplés par un ressort horizontal de raideur k qui relie les deux masses A1 et A2, figure

14.5. A l’équilibre, le ressort horizontal a sa longueur naturelle l0 tel que l0 = O1O2.

Figure 5.14: Couplage de deux pendules identiques par un ressort

Les deux pendules sont repérés, à l’instant t, par leurs élongations angulaires 1(t) et

2(t) supposées petites par rapport à leur position verticale d’équilibre. On désignera g

l’accélération de la pesanteur.

Modes propres :

Déterminer le Lagrangien du système.

Etablir les équations différentielles couplées vérifiées par les deux élongations

angulaires instantanées 1(t) et 2(t)

Exprimer en fonction de g, k, l et m, les deux pulsations propres 1p et 2p de ce

système.

Applications numériques :

Calculer 1p et 2p sachant que: m= 100g ; l= 80cm ; k=9.2 N/m et g= 9.8m/s2.

On lâche sans vitesses initiales le système à l’instant t=0 dans les conditions

initiales suivantes :

1=0 et 2=0

En déduire les lois d’évolution. 1(t) et 2(t) aux instants t 0.

Quel est le phénomène étudié.


PAGE 210

Modes forcés :

La masse A est soumise à une force excitatrice horizontale de forme :

)tcos(F)t(F 0

Ecrire les nouvelles équations différentielles couplées en 1(t) et 2(t).

Exprimer les relations complexes qui concernent les vitesses linéaires V1 et V2

des points A1 et A2 en régime forcé.

En déduire l’impédance d’entrée complexe1

e

V~F

Z .

Solution :

Le Lagrangien du système :

Le système a deux degrés de liberté exprimés en θ1, θ2

L’énergie cinétique on a :

2m2

2m1c 21

Vm2

1Vm

2

1E

En calculant les vitesses par rapport au repère fixe :

2m

2m

2m

2m

2m

2m

22m

22mm

2m

2m

2

11m

11mm

1m

1m

1

222

111

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

yxV

yxV

)sinly

coslx(V)

cosly

sinlx(mO

)sinly

coslx(V)

cosly

sinlx(mO

D’où :

2i

2

1i

2c ml

2

1E

Pour l’énergie potentielle on a :

2

1i

i2

21p cosmgl)ll(k2

1E

Le Lagrangien s’écrit alors :

2

1

2

21

22

1

2

2121 cos)(2

1

2

1),,,(

i

ii

i

mglllkmlL

Les équations différentielles couplées sont :

122

211

22

11

m

k)

m

k

l

g(

m

k)

m

k

l

g(

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(dt

d


PAGE 211

Les pulsations propres 1p et 2p:

On considère les solutions du système de type sinusoïdal :

)t(j

2

)t(j

1

p

p

Be)t(

Ae)t(

En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On

obtient un système linéaire symétrique suivant :

0B)m

k

l

g(A

m

k

0Bm

kA)

m

k

l

g(

2p

2p

Le système admet des solutions non nulles si seulement si :

0det

D’où :

0)()(

2

22 m

k

m

k

l

gp


sradm

k

l

g

sradl

g

pp

pp

/142

/5.3

2

2

2

1

2

1

Les solutions générales s’écrivent :

)cos()cos()(

)cos()cos()(

22112

22111

tBtBt

tAtAt

pp

pp

En appliquant les conditions initiales, on trouve :

ttCtx

ttCtx

pppp

pppp

2sin

2sin)(

2cos

2cos)(

2121

2

2121

1

D’où les solutions générales s’expriment alors comme suit:

tettAvec

ttctx

ttctx

pppp

22

sinsin)(

coscos)(

1212

2

1

Le phénomène étudié est les battements.


PAGE 212

Modes forcés :

Les nouvelles équations différentielles couplées :

0kl)klmg(ml

tcosFkl)klmg(ml

122

0211

Les relations complexes qui concernent les vitesses linéaires V1 et V2 :

Les solutions particulières sont :

22

11

lj)t(V~

lj)t(V~

En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un

0V~

)m

k

l

g(V

~

m

k

em

FjV

~

m

kV~

)m

k

l

g(

22

1

tj021

2

L’impédance d’entrée complexe :

)mkl

mg(

mkl

mg

kj

V~F

Z 2

2

2

1

e

Ce système mécanique fonctionne comme un filtre de fréquence puisque son

impédance varie en fonction de la fréquence.

Problème 2 :

Partie 1 :

On considère deux circuits électriques )C,L,R( apind couplés par une capacité

représentés par la figure 15.5 comme suit:

Figure 5.15: Deux circuits couplés par une capacité


PAGE 213

Quel est le nombre de degré de liberté ?


Donner les équations du mouvement

Partie 2 :

On néglige les résistances des deux circuits. On prend les nouvelles grandeurs

physiques telles que :

indind2ind1 LLL , apap2ap1 CCC et apind

2

0CL

1 .

Etablir les nouvelles équations différentielles du mouvement.

En déduire les pulsations propres du système en fonction de 0.

Donner les solutions générales.

Quel est le modèle mécanique équivalent ?

Solution:

Partie 1 :

Le nombre de degré de liberté est 2 car les deux courants parcourus dans les

deux circuits sont différents.

Le Lagrangien du système est exprimé comme suit :

2

1

22

21

22

1

2121

1

2

1)(

2

1

2

1),,,(ˆ

i

iiapap

i

i

iind qC

qqC

qLqqqqL

Le système différentiel s’écrit:

0qC

1q)

C

1

C

1(qL

0qC

1q)

C

1

C

1(qL

1ap

2apap2

2ind2

2ap

1apap1

1ind1


PAGE 214

Partie 2 :

Les nouvelles équations du mouvement :

0qC

1q

C

2qL

0qC

1q

C

2qL

1ap

2ap

2ind

2ap

1ap

1ind

Les pulsations propres :

On considère les solutions du système de type sinusoïdales :

)t(j

2

)t(j

1

p

p

Be)t(q

Ae)t(q


système linéaire symétrique suivant :

0AC

1B)

C

2L(

0BC

1A)

C

2L(

apap

2pap

apap

2pind


0det

D’où :

0)C

1()

C

1L( 2

ap

2

ap

2pind


apind

2p2

apind

2p1

CL

3

CL

1

Les solutions générales sont exprimées comme suit :

)tcos(B)tcos(B)t(q

)tcos(A)tcos(A)t(q

p22p112

p22p111

Le système mécanique équivalent est représenté par la figure 16.5 comme suit:


PAGE 215

Figure 5.16: Mouvement oscillatoire du système mécanique couplé

Problème 3 :

On modélise le mouvement d’une molécule triatomique (A-B-A) a un système

mécanique constitué par trois masses couplées par deux ressorts identiques de

constante de raideur k représenté dans la figure 17.5 comme suit:

Figure 17.5 : Mouvement oscillatoire à trois degrés de liberté

Etablir le Lagrangien du système.

Déterminer les équations différentielles du mouvement.

En déduire les pulsations propres ainsi la nature du mouvement.

Donner la matrice de passage.


Solution:


Pour l’énergie cinétique on a :

233

222

21i1c xm

2

1xm

2

1xm

2

1E


232

221p )xx(k

2

1)xx(k

2

1E

Le Lagrangien s’exprime alors :


PAGE 216

232

221

2i

3

1i

i )xx(k2

1)xx(k

2

1xm

2

1L

L’équation différentielle :

0kxkxxm

0kxkxkx2xm2

0kxkxxm

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

233

3122

211

33

22

11



)t(j

3

)t(j

2

)t(j

1

p

p

p

Ce)t(x

Be)t(x

Ae)t(x


système linéaire suivant :

0kBC)km(

0kCkAB)k2m2(

0kBA)km(

2p

2p

2p


0det

D’ou

0]k)km)[(km( 222p

2p

Les pulsations propres sont :

m

k2

0

m

k

2p3

2p2

2p1

La matrice de passage s’écrit:

000

110

111

P

La solution générale est :


PAGE 217

)tcos(

)tcos(

)tcos(

P

)t(x

)t(x

)t(x

3p3

2p2

1p1

1

2

1

Problème 4 :

Sur un arbre OO’ horizontal et fixe, de masse négligeable, encastré à ses extrémités O

et O’, sont fixés trois disques (D1), (D2) et (D3) de centres respectifs O1, O2 et O3 et de

même moment d’inertie J par rapport à leur axe commun OO’. On désignera 1(t),

2(t) et 3(t), les angles angulaires de rotation de chacun des trois disques par rapport à

leur position de repos, figure 18.5:

Figure 5.18: Mouvement oscillatoire couplés de trois disques de torsion

Les quatre partis OO1, O1O2, O2O3 et O3O’de l’arbre ont même constante de torsion C.

On posera la constante :

J

C2

0 .

Régime libre :

Déterminer le Lagrangien de ce système.

Etablir les équations différentielles du second ordre vérifiées par les angles

1(t), 2(t) et 3(t).

En déduire les trois pulsations propres 1p, 2p et 3p de ce système en fonction

de 0.

Déterminer pour chaque des trois modes propres, les amplitudes angulaires des

disques D2 et D3 si l’amplitude angulaire du disque D1 est A= 1 radian.


PAGE 218

Calculer l’énergie mécanique totale ET de cette chaîne de trois disques, pour

chacun des modes propres, en fonction de C et de l’amplitude angulaire 10 du

disque D1.

Régime forcé :

On applique au seul disque (D1) un couple moteur de moment sinusoïdal, de pulsation

réglable et d’amplitude 0.

)tcos()t( 0 ,

Etablir en fonction du paramètre 2

0

)(X

, les amplitudes angulaires A1, A2 et

A3 de chacun des disques en régime forcé.

Pour quelles valeurs de X ce système est il en résonance ?

Solution:

Régime libre :

Le Lagrangien de ce système :


23i

22

21c J

2

1J

2

1J

2

1E


21

23

232

221p C

2

1C

2

1)(C

2

1)(C

2

1E

Le Lagrangien s’exprime alors :

2

1

2

3

2

32

2

21

23

1

3213212

1

2

1)(

2

1)(

2

1

2

1),,,,,( CCCCJL i

i

Les équations différentielles sont :

0)2(

0)2(

0)2(

0)(

0)(

0)(

23

2

03

312

2

02

21

2

01

33

22

11

LL

dt

d

LL

dt

d

LL

dt

d




PAGE 219

)t(j

3

)t(j

2

)t(j

1

p

p

p

Ce)t(

Be)t(

Ae)t(



0BC)2(

0CAB)2(

0BA)2(

20

20

2p

20

20

20

2p

20

20

2p


0det

Avec

0

20

2

02

20

2p

20

20

20

2p

20

20

20

2p

D’ou :

0])2()2)[(22( 220

22p

20

20

2p


22

22

2

0p3

0p2

0p1

Les amplitudes angulaires des disques D2 et D3

32120p3p

32120p2p

2320p1p

2222

2222

02

L’énergie mécanique totale ET :

21

23

232

221

2i

3

1i

T C2

1C

2

1)(C

2

1)(C

2

1J

2

1E

Régime forcé :

Les amplitudes angulaires A1, A2 et A3 :


PAGE 220

0)2(

0)2(

)tcos()(CCJ

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(dt

d

ML

)L

(dt

d

23203

312202

02111

33

22

i

ext11

En régime forcé les solutions particulières sont de la forme:

tj33

tj22

tj11

eA)t(

eA)t(

eA)t(

En remplaçant dans le système différentiel, on obtient le résultat

suivant :

)X22)(X22)(X2(

1

CA

)X22)(X22(

1

CA

)X22)(X22)(X2(

)X3)(X1(

CA

03

02

01

Ce système entre en résonnance pour les valeurs de X, comme suit :

22X

22X

2X

Problème 5 :

On considère trois pendules simples identiques, de masses m, de longueur l, présentés

dans la figure 19.5. Les masses sont reliées entre elles par l’intermédiaire de deux

ressorts identiques, de raideur k. A l’équilibre, les pendules sont verticaux, les trois

masses sont équidistantes sur une même, et les ressorts ont leur longueur naturelle. Le

système en mouvement est défini, à l’instant t, par les élongations angulaires θ1, θ2, θ3

des pendules avec la verticale descendante.

On posera les constantes suivantes :

m

k20 et

l

g20 .


PAGE 221

Figure 5.19: Mouvement oscillatoire couplés de trois pendules

Déterminer le Lagrangien du système

Etablir les équations différentielles du second ordre vérifiées par les élongations

angulaires θ1(t), θ2(t), et θ3(t) pour les petites oscillations du système.

Déterminer les pulsations propres du système.

Application numérique :

On prend : m=1kg, k=10N/m ; l=1m, g=10m s-2. Calculer les pulsations

propres.

Déterminer le rapport des amplitudes angulaires A

B et

A

C pour chacun des

modes propres de ce système.

Solution:


Le système a trois degrés de liberté représentés par : θ1, θ2, θ3.

L’énergie cinétique s’exprime:

23

222

22i

2c ml

2

1ml

2

1ml

2

1E


3

1i

i2

322

21p cosmgl)ll(k2

1)ll(k

2

1E

Le Lagrangien s’exprime comme suit :


PAGE 222

3

1

2

32

2

21

23

1

2

321321 cos)(2

1)(

2

1

2

1),,,,,(

i

ii

i

mglllkllkmlL


0)(

0)2(

0)(

0)(

0)(

0)(

2

2

03

2

0

2

03

3

2

01

2

02

2

0

2

02

2

2

01

2

0

2

01

33

22

11

LL

dt

d

LL

dt

d

LL

dt

d



)t(j

3

)t(j

2

)t(j

1

p

p

p

Ce)t(

Be)t(

Ae)t(



0BC)(

0CAB)2(

0BA)(

20

20

20

2p

20

20

20

20

2p

20

20

20

2p

Le système admet des solutions non nulles si seulement

0det

Avec :

0

0

2

0

20

20

2p

20

20

20

20

2p

20

20

20

20

2p

D’ou :

0]3)32()[( 20

20

40

2p

20

20

4p

20

20

2p

Les pulsations propres sont alors:

s/rad32.63

s/rad46.4

s/rad16.3

p20

20p3

p20

20p2

p0p1


PAGE 223

Les rapports des amplitudes sont :

1A

C2

A

B3

1A

C0

A

B

1A

C1

A

B

20

20p3

20

20p2

0p1

Problème 6:

Soit le système mécanique, constitué de deux pendules simples de longueur l et de

masses m1, m2 représentés dans la figure 20.5 comme suit :

Figure 5.20: Couplage de deux pendules simples par la masse

Etablir le Lagrangien du système

Donner les équations différentielles du mouvement pour les faibles oscillations.

On pose les constantes suivantes :

l

g2

0 et2

1

m

m .

Déterminer dans ce cas les pulsations propres du système 1p et 2p en fonction

des paramètres et 0.

Déterminer les solutions générales

Solution:

Le Lagrangien du système s’écrit : est déjà calculé dans le problème (1.1-B)

)cos(cosglmcosglm

)cos(lmlm2

1l)mm(

2

1L

21211

21212

222

22

21

221


PAGE 224

Le système différentiel devient :

0gll

0g)mm(lml)mm(

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(dt

d

212

12122121

22

11

D’ou :

0

0)1()1(

22012

12021

Avec :

l

get

m

m 20

2

1



)t(j

2

)t(j

1

p

p

Be)t(

Ae)t(



0B)(A

0BA)1)((20

2p

2p

2p

20

2p


0det

D’où

0)1()( 4p

220

2p

Les deux pulsations propres sont 1p et 2p exprimées comme suit :

20

2p1

20

2p1

11

1

11

1

Les solutions générales sont de la forme:

)tcos(B)tcos(B)t(

)tcos(A)tcos(A)t(

p22p112

p22p111


PAGE 225

Problème 7:

Un ressort est relié par ses deux extrémités a deux points matériels, B de masse M et P

de masse m, figure 21.5. Ce dernier peut se déplacer sans frottement le long de l’axe

Ox tandis que B est fixe à l’extrémité inferieur d’un fil inextensible, de longueur l=OA,

de masse négligeable, accroche en a un support horizontal et pouvant tourner

librement autour de l’axe Az . Le ressort a une masse négligeable, une raideur k et une

longueur a vide également négligeable. Il a la possibilité, avec P, d’être à gauche ou à

droite de B. le champ de pesanteur est de la forme yugg

et on suppose que l’angle

(t) défini par l’attitude du fil relativement à la verticale reste petit.

Figure 5.21: Couplage pendule simple avec un oscillateur harmonique

Etablir le Lagrangien du système

Déterminer les équations du mouvement

On pose les constantes suivantes :

l

g20 ,

m

k21 ,

M

k22 et

21

20

2r

.

Mettre les équations du mouvement en fonction les paramètres 0, 1 et 2.

On cherche une solution de la forme :

tj

ppXex

et tj

BpYelY

.

Déterminer dans ce cas les modes propres p2p1 et

On n’admet désormais que m=M.


PAGE 226

Exprimer les deux pulsations propres p2p1 et en fonction de r et 1.

En déduire la solution générale.

Solution:



22pc )l(M

2

1xm

2

1E


cosMgl)lx(k2

1E 2

pp

Le Lagrangien du système s’écrit :

cosMgl)lx(k2

1)l(M

2

1xm

2

1L 2

p22

p

Les équations du mouvement s’écrit:

0lxx

0xl)(l

0x

L)

x

L(

dt

d

0L

)L

(dt

d

21p

21p

p22

20

22

pp

Les solutions sont de la forme :

tjp Xex et tj

B YelY .



0YX)(

0Y)(X21

21

2p

22

20

2p

22


0det

D’où :

0))(( 22

21

21

2p

22

20

2p


PAGE 227


2

4)2(2

2

4)2(2

21

20

221

20

21

202

p2

21

20

221

20

21

202

p1

D’où :

21

20

21p2

21p1

2ravec

1r1r

1r1r

Les solutions générales :

)tcos(Y)tcos(Y)t(Y

)tcos(X)tcos(X)t(x

p22p11

p22p11p

Problème 8 :

Soit un pendule de masse m et de longueur l pivote autour de M qui glisse sans

frottement sur le plan horizontal, comme le montre la figure 22.5 comme suit :

Figure 5.22: Couplage pendule simple avec un oscillateur harmonique

Partie A :

Etablir l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système.

En déduire le Lagrangien du système ?

En déduire les équations différentielles de mouvements.


Trouver le rapport d’amplitude dans les modes normaux.


PAGE 228

Donner les solutions générales lorsque : M tend vers l’infini et l tend vers 0.

Discuter.

Partie B :

On impose au point s un mouvement sinusoïdal de type :

tsinaxs

Comme le montre la figure 23.5:

Figure 5.23: Mouvement oscillatoire forcé à deux degrés de liberté

En déduire les nouvelles équations du mouvement.

Donner le module des amplitudes.

Quelle est la nature du mouvement.

Solution:

Partie A :

Le système a deux degrés de liberté exprimés en x(t) et θ(t)

Pour l’énergie cinétique on a:

2m

2Mc mV

2

1MV

2

1E

En calculant les vitesses par rapport au repère fixe :

)0y

xx(V)

0y

xx(MO

)sinly

coslxx(V)

cosly

sinlxx(mO

M

MM

M

M

m

mm

m

m

D’où :


PAGE 229

coslxm])l(mx)mM[(2

1E 22

c

Pour l’énergie potentielle on a:

cosmglkx2

1E 2

p

Figure 5.24: Différents états du système

On déduit, le Lagrangien du système comme suit:

cosmglkx2

1coslxm])l(mx)mM[(

2

1),,x,x(L 222

Arès le calcul, le système différentiel est donné comme suit :

0xmlmglml

0kxmlx)mM(

0L

)L

(dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

2

Les pulsations propres 1p et 2p:


PAGE 230

On considère les solutions du système de type sinusoïdales :

)t(j

)t(j

p

p

Ae)t(x

Be)t(



0B]gl[A

0BmlA]k)mM([2p

2p

2p

2p


0det

D’où

0ml]gl][k)mM([ 4p

2p

2p

On obtient alors :

0kgM4]klg)mM[(Avec0kg]klg)mM[(Ml 22p

4p

Il existe donc deux pulsations propres sont 2

p2

2

p1 et comme suit :

]kgM4]klg)mM[(klg)mM[(2

1

]kgM4]klg)mM[(klg)mM[(2

1

22p1

22p1

Les rapports d’amplitudes sont calculés comme suit :

k)mM(

ml

B

A

k)mM(

ml

B

A

2p2

2p2

2p1

2p1

p2p

p1p

Les solutions générales sont données :

)tcos(B)tcos(B)t(

)tcos(A)tcos(A)t(x

p22p11

p22p11

La forme des solutions générales lorsqu’on a :

M tend vers l’infini :

Le système devient alors un pendule simple représenté comme suit :


PAGE 231

Figure 5.25: système est équivalent a un pendule simple

l tend vers 0 :

Le système devient dans ce cas un simple oscillateur harmonique représenté

ans la figure 26.5:

Figure 5.26: Système est équivalent à un oscillateur simple

Partie B :

Les nouvelles équations du mouvement sont :

0xmlmglml

kaekxkxmlx)mM(2

tis

Les solutions particulières en régime permanant sont :

)t(ie)(A)t(x et )t(ie)(B)t(

En remplaçant dans le système différentiel, on obtient alors :

0B]gl[A

kaBmlA]k)mM([22

22


PAGE 232

Les modules des amplitudes sont :

))((

kaB

))((

)l

g(ka

A

2p2

22p1

2

2

2p2

22p1

2

2

Les phénomènes étudiés sont :

La résonance

p2p1quandB

A

Anti résonance.

l

gquand

tetanconsB

0A

La figure 27.5 représente les phénomènes étudiés:

Figure 5.27: Phénomène de résonance à deux degrés de liberté


PAGE 233

Problème 9 :

Partie A :

On considère une barre homogène de masse M, de longueur l, moment

d’inertie 2

g Ml12

1J , mobile d’un axe fixe à une de ses extrémités O. A l’autre

extrémité A est fixé un ressort de raideur k1comme la montre la figure 28.5:

Figure 5.28: Mouvement amorti

De plus le système est amorti par le biais d’un amortisseur au lieu de la barre G dont

le coefficient de frottement α. En position d’équilibre la barre est horizontale.

Dans le cas des petites oscillations :

Donner le Lagrangien du système.

Etablir l’équation différentielle du mouvement.

Donner le cas d’un faible amortissement l’expression de la solution générale

θ(t) avec les conditions initiales suivantes:

θ(t=0)=0 et 0)0t( .

Tracer le graphe de θ(t)

Partie B :

On enlève l’amortisseur du milieu G de la barre, et on place un ressort k2 et une masse

m, représenté dans la figure 29.5:


PAGE 234

Figure 5.30: mouvement oscillatoire à deux degrés de liberté

Ecrire le Lagrangien du système.

On pose k1=k, k2=4k et M=3m.

Etablir les équations différentielles du mouvement.

Donner les pulsations propres.

Déterminer les rapports d’amplitudes aux modes propres du système.


En déduire la matrice de passage.

Solution:

Partie A :


Le système a un seul degré de liberté exprimé en θ

Pour l’énergie cinétique :

2O/c J

2

1E


PAGE 235

avec

2G/O/ )

2

l(MJJ


21p )l(k

2

1E

Le Lagrangien s’écrit sous la forme suivante :

221

2O/ )l(k

2

1J

2

1),(L


2

llkJM

LL

dt

d 22

1O/frot

D’ou

0J

lk

J2

l

O/

21

O/

2

Alors :

GG J

lk

J

lavec

/

2

1

2

0

/

22

022

202

La solution générale :

La résolution de cette équation différentielle est de la forme :

22

0

20 sin)cos()(

avectetAet tt

Elle est représentée dans la figure 31.5 comme suit:


PAGE 236

Figure 5.31: Mouvement oscillatoire amorti

Partie B :


Le système actuel possède deux degrés de liberté exprimé en x et y

Pour l’énergie cinétique on a:

22O/c xm

2

1J

2

1E

Avec

2

G/O/ )2

l(MJJ

L’énergie potentielle s’exprime:

21

22p )l(k

2

1)

2

lx(k

2

1E

Le Lagrangien s’écrit alors comme suit :

lyavecyk2

1)

2

yx(k

2

1xm

2

1J

2

1)y,y,x,x(L 2

12

222

O/

Les nouvelles équations différentielles du mouvement :

0kx2ky2ym

0ky2kx4xm

0y

L)

y

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d


Les solutions sont de la forme :

tj pAex

, tj pBely

.


PAGE 237



lyavec

0kA2B)k2m(

0kB2A)k4m(2p

2p


0det

avec

0)k2()k2m)(k4m( 22p

2p

d’où

0mk5'avec0k4m6m 22224p

2

Donc, il existe deux pulsations propres:

)53(m

k

)53(m

k

2p2

2p1

Les raports d’amplitude aux modes propres sont :

51

2

B

A)53(

m

k

51

2

B

A)53(

m

k

p2

p1

2p2

2p1

Les solutions sont données comme suit:

tcos2

51Btcos

2

51A)t(x

tcosBtcosA)t(x

p2p1

p2p1

La Matrice de passage est :

2

51

2

51

11

P

Problème 10 :

Dans le montage représenté dans la figure 5.32, le pendule de longueur l= OA et de

masse m est couplé par l’intermédiaire du ressort horizontal, de raideur k1, au système

oscillant constitué d’une masse m et du ressort de raideur k2 dont l’extrémité O’ est

fixée. L’extrémité O du pendule est fixée.


PAGE 238

Figure 5.32: Couplage chariot-pendule simple

A l’équilibre, le pendule est vertical et deux ressorts ont leurs longueurs naturelles

(ressorts non déformés).

On posera les constantes suivantes :

m

k21 ,

l

g22 et

m

kc2 .

Les déplacements x1(t) du centre de masse G du chariot et x2(t) de l’extrémité H du

pendule, à partir de leur position d’équilibre, sont suffisamment petits pour admettre

que les deux ressorts demeurent pratiquement horizontaux.

Régime 1 :

Etablir Le Lagrangien du système.

Ecrire les équations différentielles du mouvement.

Déterminer les pulsations propres du système 2p1p .

Calculer en fonction des paramètres, 2p1p , 1 et 2, le rapport A

B des

amplitudes des oscillations de la masse H et du centre de masse G du chariot,

pour chacun des deux modes propres du système.

Déterminer la solution générale.

Quelle est la nature du régime 1 ?

Régime 2 :

L’extrémité O’ du ressort de raideur k maintenant soumise à un excitateur qui

lui communique un mouvement sinusoïdal d’amplitude a0 et de pulsation que

l’on peut faire varier :


PAGE 239

tatxs

cos)( 0'

Figure 5.33: Mouvement oscillatoire forcé

Etablir les nouvelles équations différentielles du mouvement.

Déterminer les amplitudes en complexes des mouvements de G et H en fonction

de la pulsation de l’excitation et des paramètres, 1, 2, a0.

On donne g= 9.8 S.I, l= 0.66 S.I m= 0.1 S.I et k2= 1 S.I.

Calculer la période T de l’excitateur pour laquelle le chariot demeurera

immobile.

Quelle est la nature du régime 2 ?

Solution:

Régime 1 :


Le système a deux degrés de liberté exprimés en x1 et x2

L’énergie cinétique s’écrit :

22

21c xm

2

1xm

2

1E

Pour l’énergie potentielle on a:

cosmgl)xx(k2

1kx

2

1E 2

12c21p

Le Lagrangien s’écrit alors comme suit

cosmgl)xx(k2

1kx

2

1xm

2

1xm

2

1L 2

12c21

22

21


PAGE 240

Figure 5.34: Mouvement oscillatoire du système « chariot-pendule simple »

Les équations différentielles du mouvement :

12

222

22

22

122

11

22

11

xx)(x

xx)(x

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d



)t(j

2

)t(j

1

p

p

Be)t(x

Ae)t(x




PAGE 241

0B)(A

0BA)(22

22p

2

2221

2p


0)()2(0det 22

21

22

21

22p

22

21

24p


))((4)2(2

1

2

2

))((4)2(2

1

2

2

22

21

22

21

2222

21

222

21

22

p2

22

21

22

21

2222

21

222

21

22p1

Le rapport des amplitudes des oscillations A

Bs’écrit :

p2p2

222

2p2

2

2

p1p2

221

2p1

1

1

A

B

A

B

La solution générale :

)tcos(B)tcos(B)t(x

)tcos(A)tcos(A)t(x

p22p112

p22p111

La nature du mouvement : le système a un mouvement libre couplé à deux

degrés de libertés.

Régime 2 :



cosmgl)xx(k2

1)xx(k

2

1xm

2

1xm

2

1L 2

12c2

'o122

21

Le système différentiel :

0xx)(x

tcosaxx)(x

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

12

222

22

0212

21

2211

22

11

Les amplitudes en complexes des mouvements de G et H :


PAGE 242

Les solutions particulières sont de type :

)t(jp22

)t(jp11

Be)t(x)t(x

Ae)t(x)t(x

En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient :

tjtj

222

22

210

2221

2

eBB~

AeA~

Avec

0B~

)(A~

aB~

A~

)(

Alors :

4222

2221

2

221j

4222

2221

2

222

221j

))((BeB

~

))((

)(AeA

~

2

1

La période T de l’excitateur pour laquelle le chariot demeurera immobile :

s26.12

T22

2

Problème 11 :

On considère une échelle de perroquet constituée d’une chaine linéaire de pendules

simples. Chaque élément est formé d’un pendule simple de longueur l et de masse m ;

ci-dessous la figure 5.35 attachés à une tige ayant un module de torsion C. Les deux

pendules des extrémités sont montés à la même tige de raideur C sur un bâti rigide.


PAGE 243

Figure 5.35: Modèle physique de l’échelle de perroquet

Etablir les énergies cinétique et potentielle du système.

En déduire le Lagrangien du système.

En posant les constantes suivantes :

l

get

ml

C 2

022

2

01

Etablir les équations différentielles du système.

Soient les solutions dans le régime libre comme suit :

3,2;1cos)( iavectAt ii


Déterminer la matrice de passage.

En déduire les solutions générales

Soient les conditions initiales suivantes :

000

00

321

1032101

tA

Montrer que seul le deuxième mode est excité.


PAGE 244

Solution:

L’énergie cinétique du système s’écrit comme suit :

2

3

22

2

22

1

2

2

1

2

1

2

1 mlmlmlEc


)coscos(cos2

1

2

1)(

2

1)(

2

1321

2

3

2

1

2

32

2

21 mlCCCCE p

Donc le lagrangien s’écrit comme suit :

)coscos(cos2

1

2

1)(

2

1)(

2

1

2

1

2

1

2

1

321

2

3

2

1

2

32

2

21

2

3

22

2

22

1

2

mlCCCC

mlmlml

EEL pc


0sin)2(

0sin)()(

0sin)2(

0

0

0

3233

2

123212

2

1211

2

33

22

11

mglCml

mglCCml

mglCml

LL

dt

d

LL

dt

d

LL

dt

d

Après linéarisation du système différentielles en posant sin pour les petites

oscillations et en remplaçant les constantes l

get

ml

C 2

022

2

01 ; on trouve :

0)2(

0)2(

0)2(

3

2

0223

2

013

2

2

02312

2

012

1

2

0221

2

011

On a un système différentiel linéaire homogène, qui a admet des solutions

harmoniques de la forme suivantes :

3,2;1cos)( iavectAt ii

D’où :

3,2;1)( 2 iavect ii


PAGE 245

Après calcul on obtient alors le système linéaire suivant :

0)2(

0)2(

0)2(

2

2

013

22

02

2

01

3

2

012

22

02

2

01

2

01

2

2

011

22

02

2

01

AA

AAA

AA

On peut l’écrire sous la forme matricielle :

0

0

0

20

2

02

3

2

1

22

02

2

01

2

01

2

01

22

02

2

01

2

01

2

01

22

02

2

01

A

A

A

Pour que ce système linéaire admet des solutions non nulles il faut que :

0det

Ainsi ; on obtient:

0202

2)2(

22

02

2

01

2

01

2

012

0122

02

2

01

2

01

2

01

22

02

2

0122

02

2

01

D’où :

0)2()2()2( 22

02

2

01

4

01

4

01

222

02

2

01

22

02

2

01

Finalement après calcul on aura les trois modes propres du mouvement comme

suit :

2

02

2

013

2

02

2

012

2

02

2

011

)22(

)22(

2

p

p

p

En appliquant les conditions initiales ; on obtient :

0cos

0cos

0coscos

0coscos

33

11

3311

3311

A

A

AA

AA

De plus on a :

0sin

0sin

0sinsin

0sinsin

33

11

3311

3311

A

A

AA

AA

D’où :

00 31 AetA

On a de plus :


PAGE 246

0sincos 232210 AetA

Avec :

1022 0 Aet

Finalement on a:

)(cos)(

0)(

cos)(

1103

2

101

ttt

t

tt


PAGE 247

Problèmes supplémentaires

Problème 12 :

Mode propre : Deux points matériels A1 et A2 de même masse m ; sont reliés entre eux

par un ressort de raideur k’. Par ailleurs ; ils sont reliés à 2 supports fixes par deux

ressorts ayant chacun la même raideur k. l’ensemble peut coulisser sans frottements le

long d’une tige horizontale fixe. On note )();( 21 txtx les élongations respectives des

points A1 et A2 ; comptées à partir de leur position d’équilibre où les ressorts ne sont ni

allongés ni contractés ; voire la figure 5.36.

Figure 5.36: Couplage de deux oscillateurs harmoniques identiques

Etablir les énergies cinétiques et les énergies potentielles du système.

En déduire le Lagrangien du système.

Déterminer les équations différentielles qui régissent le mouvement du système.

On propose les solutions comme suit :

)()()()()()( 2121 txtxtDettxtxtS

Réécrire les nouvelles équations différentielles en fonction des

variables )()( tDettS .

En déduire les pulsations propres pp et 21

Déterminer les solutions générales )();( 21 txtx .

Mode forcé : Le point A1 est soumis à une force harmonique de type :

xutFtF

).cos()( 0

Déterminer l’amplitude AX du mouvement permanent du point A1.

Représenter la courbe )(fX en faisant ressortir les phénomènes

intéressants.


PAGE 248

Quelles conditions initiales faut-il donner à A1 pour exciter uniquement

l’un ou l’autre des modes propres.

Pourquoi il est nécessaire de supposer un amortissement très léger dans

notre étude.

Problème 13 :

Soit le modèle physique d’un véhicule de longueur l représenté dans la figure 5.37

comme suit :

Figure 5.36: Modélisation physique des oscillations d’un véhicule

Où M représente la masse du véhicule ainsi les passagers.

Les grandeurs (k1, m1) et (k2, m2) représentent successivement la raideur et la masse

des roues avant et arrière de véhicule. Les ressorts k3 et k4 décrivent un modèle simple

à toutes les vibrations extérieures.

On s’intéresse qu’aux vibrations verticales. On considère que les masses m1 et m2 sont

des points matériels.

Quel le nombre de degré de liberté ?


Déterminer les équations différentielles des mouvements.

Déterminer les pulsations propres.


PAGE 249

Problème 12 :

Lors d’un control technique, un véhicule est installé sur un banc d’essai permettant de

communiquer aux roues un mouvement vertical, identique et sinusoïdal de la forme

suivante comme le montre la figure 5.38:

tcosS)t(S 0

Figure 5.38: Modélisation d’un mouvement oscillatoire d’un véhicule

La suspension des ressorts est modélisée par deux ressorts identiques de raideur k et

deux amortisseurs identiques de coefficients de frottement. La masse du véhicule est

de grandeur m et son moment d’inertie par rapport à un axe horizontal e de gravité G

est JG. La voiture peut osciller par rapport à sa position d’équilibre, c'est-à-dire, y=0 et

θ=0.

On s’intéresse dans ce qui suit aux oscillations de tangage, c'est-à-dire, les rotations

d’angle θ autour d’un axe passant par G et parallèle à OZ et aux oscillations de

pompage, c'est-à-dire, les translations de l’ensemble parallèlement à la verticale OY.

Etablir les coordonnées des points A et B de la voiture dans le repère XOY.



PAGE 250

Exprimer les équations différentielles du système.

Déterminer les solutions totales du mouvement y(t) et θ(t).


PAGE 251

Mini projet -1

Partie A : On considère le modèle d’un oscillateur harmonique vertical représenté dans la

figure 5.39 par une masse m placé dans un potentiel élastique du type2

p kx2

1E .

Figure 5.39: Modèle de l’oscillateur harmonique.

Etablir le Lagrangien

Déterminer l’équation différentielle du mouvement du système.

Déterminer la solution générale en utilisant les conditions initiales :

0)0(0)0( vtxettx

Partie B : Le système précédent est couplé à un autre oscillateur harmonique de masse

M et de raideur K. Figure 5.40.

Figure 5.40: Couplage de deux oscillateurs harmoniques.



On propose les solutions générales de la forme :

)(

2

)(

1 )()(

titi pp BetxetAetx


PAGE 252

Déterminer les modes propres pp et 21

Donner les rapports d’amplitudes aux modes propres.

En déduire les solutions générales.

Partie C : On se propose maintenant d’étudier le fonctionnement de l’étouffeur

dynamique des vibrations, modélisé par deux masses couplées M et m oscillent à

l’horizontale comme le montre la figure 5.41. Le système est soumis à une force de

frottement visqueuse dont le coefficient de frottement est et une force extérieure sinusoïdale

de la forme :

tFtF cos)( 0 .

Figure 5.41: Modèle physique d’un étouffeur dynamique des vibrations


On propose les solutions particulières comme suit:

)(

2

)(

1ˆ)(ˆ)( titi eBtxeteAtx

Déterminer les modules d’amplitudes des solutions particulières BetA ˆˆ en

régime permanent.

Quelle est la condition pour avoir l’annulation du mouvement de la masse m.

Commenter les résultats.

Solution:

Partie A

Le vecteur de position est égal à :

ixvixmo


PAGE 253

L’énergie cinétique s’écrit :

22c xm

2

1mv

2

1E

L’énergie potentielle pour des petites oscillations, s’écrit sous la forme:

2p kx

2

1E

Alors, le Lagrangien du système est de la forme:

22

2

1

2

1kxxmEEL pc

L’équation de mouvement est de la forme :

kxx

Lxm

x

L0

x

L)

x

L(

dt

d

D’ou

0xxm0kxxm 20

La pulsation propre est égale à :

m

k20

La solution de l’équation différentielle s’écrit alors :

)cos()( 0 tAtx

En appliquant les conditions initiales :

20cos0x,0t

2avec

vAvx,0t 0

0

La solution finale sera exprimée comme suit :

tv

txtAtx

sin)()cos()( 0


L’énergie cinétique du système s’écrit :

)(2

1)(

2

1 2

2

2

1 txMtxmEc

L’énergie potentielle du système s’exprime par rapport à l’état d’équilibre:


PAGE 254

2

21

2

1 )(2

1

2

1xxKkxE p

Le Lagrangien s’écrit alors :

2

21

2

1

2

2

2

1 )(2

1

2

1)(

2

1)(

2

1xxKkxtxMtxmEEL pc


0

0)(

0)(

0)(

122

211

22

11

KxKxxM

KxxKkxm

x

L

x

L

dt

d

x

L

x

L

dt

d

On propose les solutions générales :

)(

2

)(

1 )()(

titi pp BetxetAetx

En remplaçant dans le système différentiel, on obtient un système linéaire

comme suit:

0

0)(2

2

BKMKA

KBAKkm

p

p


0det

D’où

0)))((( 222 KKMkKm pp

On obtient alors :

0)(24

mM

Kk

m

kK

M

Kpp

En résolvant l’équation ; on obtient les modes propres comme suit :

mM

kK

m

kK

M

K

m

kK

M

K

mM

kK

m

kK

M

K

m

kK

M

K

p

p

4)(2

1

22

4)(2

1

22

22

2

22

1

Les rapports d’amplitudes aux modes propres :

Kkm

K

B

A

Kkm

K

B

A

p

p

pp

pp

2

22

2

2

11

1

2

1


PAGE 255

Les solutions générales s’écrivent alors :

)tcos(B)tcos(B)t(x

)tcos(A)tcos(A)t(x

p22p112

p22p111

Partie c


0

)()(

0)(

)(

122

1211

22

11

KxKxxM

xtFKxxKkxm

x

L

x

L

dt

d

Fx

L

x

L

dt

d

i

ext

D’où

0

cos)(

122

02111

KxKxxM

tFKxxKkxxm

En régime permanent, En remplaçant la forme des solutions particulières dans

le système différentiel on obtient alors le système linéaire comme suit :

0ˆˆ

ˆ)(2

0

2

BKMAK

FKBAiKkm

p

p

Les modules d’amplitudes des solutions particulières s’écrivent alors comme

suit :

)()(

ˆ

)()(

ˆ

224

0

224

2

0

M

K

mi

m

k

M

K

M

K

m

KkM

K

m

F

B

M

K

mi

m

k

M

K

M

K

m

KkM

K

m

FA

La masse m est immobile lorsque la pulsation de la force extérieure est égale à :

M

Ka

2

D’où l’amplitude A est nulle dans ce cas. Dans ces conditions, un tel dispositif

est appelé un étouffeur dynamique de vibrations.

La figure illustre les phénomènes de résonance et antirésonance.


PAGE 256

Figure 5.42: Phénomène de résonnance et antirésonance


PAGE 257

Mini projet -2

Partie A :

Deux particules m1 et m2 ponctuelles, de masses respectives m1 et m2, sont reliées par

un ressort de raideur k et de longueur à vide l0, la figure 5.43. Les deux masses,

mobiles sans frottement sur une tige horizontale, sont écartées de leur position

d’équilibre puis relâchées sans vitesse ; elles sont repérées à chaque instant t par les

abscisses x1(t)=GM1 et x2(t)=GM2, où G désigne le centre de masse des particules m1

et m2.

Figure 5.43: Modélisation physique des oscillations d’une molécule diatomique


On pose la variable suivante :

X(t)=x2(t)–x1(t)

Déterminer l’équation différentielle du second ordre dont X(t) est la solution du

système.

Exprimer, en fonction de m1, m2 et k, la période T avec laquelle les masses

oscillent l’une par rapport à l’autre.

On suppose que deux masses couplées égales m1=m2=m=0.1kg oscillent avec

une période de 1s.

Calculer la raideur k du ressort de couplage.

Le système étudié modélise les vibrations longitudinales d’une molécule

diatomique d’oxyde de carbone CO dont la fréquence propre f0 est

f0=6.51013Hz.

Calculer la constante de rappelle k de la liaison carbone–oxygène.


PAGE 258

Application numérique :

On donne : C = 12, O = 16 ; Nombre d’Avogadro N=6. 1023.

Partie B :

On veut étudier maintenant les vibrations longitudinales d’une molécule triatomique

linéaire A-B-A’ représentée dans la figure 5.44. Les atomes A, B, A’ ont pour masses

respectives m1, m2, m3 ; on désignera x1, x2, x3 les déplacements des atomes A, B, A’ à

partir de leurs position d’équilibre. On suppose que chaque atome est rappelé à sa

position d’équilibre par une force proportionnelle à l’écart, la constante de la force de

rappelle étant k pour la liaison A-B et k’ pour la liaison B-A’.

On admettra que la molécule, dans son ensemble n’est pas animée par un mouvement

de translation.

Figure 5.44: Modélisation physique des oscillations d’une molécule triatomique


Ecrire les équations différentielles du mouvement en x1(t), x2(t) et x3(t).

Ecrire les équations différentielles du mouvement en X(t) et X’(t), en effectuant

le changement des variables suivantes :

X(t)=x2(t)–x1(t) et X’(t)= x2(t)–x3(t).

Montrer que X(t)et X’(t) peuvent varier sinusoïdalement avec le temps pour

deux valeurs 01 et 02 de la pulsation propre qu’on déterminera en fonction de

k, k’, m2 et des pulsations fondamentales p1 et p2’ de chacune des vibrations

de valence des liaisons A–B et B–A’ si elle était seule (en absence de

l’interaction de couplage).


PAGE 259

Applications numériques :

Expérimentalement on détermine les fréquences propres de la molécule linéaire

d’acide cyanhydrique, soient 01 = 6,25.1014 rd/s et 02=3,951014rd/s.

Calculer les fréquences fondamentales des liaisons

H–C et CN sachant que (C-H CN).

En déduire la constante la force de rappelle de la liaison C–H de la molécule

étudiée et la comparer à celle de la liaison C–H des alcanes (k = 500 SI).

On considère maintenant que la molécule triatomique est symétrique, A-B-A, c'est-à-

dire, k=k’ et m1=m3.

Quelles sont les expressions des pulsations propres en fonction de k, m1 et m2. ?

Donner un exemple concret qui vérifie ce modèle.

Partie C

On considère maintenant une chaine linéaire à un atome par maille de côté a. La

position au repos du nième atome de masse m est nax comme le montre la figure

5.45.

Figure 5.45: Chaine d’atomes identiques

Une onde mécanique longitudinale se propageant sans amortissement le long de

l’axe Ox est caractérisée par :

)txq(jAe

On modélise le mouvement des atomes par un potentiel harmonique de type

2kx2

1comme le montre la figure 5.46 avec k est la constante de rappelle.

Figure 5.46: Modèle physique équivalent de chaine d’atomes identiques


PAGE 260

Écrire l’équation du mouvement pour l’atome de rang n, en appelant

11 ,, nnn xxx les déplacements des atomes de rang n-1, n et n+1.

On cherchera la solution de forme :

)( txqj

nnAex

Déterminer la relation de dispersion )q( .

Tracer le graphe )q( .

En déduire la vitesse de la phase.

Donner l’expression de la vitesse du groupe.

Que peut-on dire sur la nature du milieu aux grandes longueurs

d’onde.

Solutions

Partie A :

Le Lagrangien du système s’écrit :

2

21

2

22

2

11 )(2

1

2

1

2

1xxkxmxmLEEL pc

Le système différentiel s’écrit :

0

0

0)(

0)(

1222

2111

22

11

kxkxxm

kxkxxm

x

L

x

L

dt

d

x

L

x

L

dt

d

En utilisant le changement des variables

X(t)=x2(t)–x1(t)

L’équation différentielle s’écrit alors :

0)11

(21

Xmm

kX

D’où :

00)( 2

0

21

21

XXXmm

mmkX

Avec

21

21

mm

mm


PAGE 261

est appelée la masse réduite du système

Le système est régi par une équation différentielle ordinaire du

second d’ordre avec la pulsation propre ω0:

)(21

210

mm

mmk

La solution est de la forme

)cos()( 0 tAtX

D’où la période des oscillations T s’’écrit comme suit :

)(2

2

21

21

0 mmk

mmTT

Pour un système couplé symétrique mmm 21la masse réduite est

égale à :

221

21 m

mm

mm

Donc la période propre d’oscillation est égale à :

k

mT

22

Alors la raideur du ressort de couplage est égale à :

2

22

T

mk

Comme application numérique on a:

1.2 mNk

La fréquence propre associée à la molécule C-O est :

0

0

cf

Comme application numérique on a:

Hzf 13

0 510.6


PAGE 262

Mini projet -3

Partie A

Nous étudions le cas, important en radioélectricité, de deux circuits )CLR( apind

identiques couplés par induction mutuelle comme le montre la figure 5.47:

Figure 5.47: Couplage mutuel en régime forcé

Dans l’un primaire, on introduit un générateur de tension sinusoïdale :

tcosu)t(u 0

Etablir les équations différentielles du mouvement

En déduire les modules des courants parcourus dans chaque circuit.

Nous voulons examiner les résultats dans un intervalle de pulsation étroit autour de la

valeur 0 de la pulsation propre aux circuits comme suit :

)1(0 .

En déduire l’impédance Z des circuits dans ce cas.

Etablir la tension V aux bornes de la capacité du deuxième circuit.

En introduisant le coefficient de couplage

indL

Mk

Et le facteur de qualité


PAGE 263

R

LQ 0ind

Exprimer la fonction de transfert F définit comme suit : u

VF en fonction de

k, Q et. En déduire son amplitude.

Etudier les variations de F en fonction de. Commenter les résultats.

Partie B :

Soient deux circuits )CL( apind identiques de résistances négligeables, figure 14.5.

Le couplage par inductance mutuelle M est caractérisé par le coefficient de

couplageindL

Mk .

On posera la constante suivante :

apind

20

CL

1 .

Figure 5.48: Couplage mutuel de deux circuits électriques L.C

Ecrire les deux équations différentielles vérifiées par les charges q1(t) et q2(t)

des condensateurs des circuits (1) et (2).

Déterminer les équations différentielles vérifiées par la somme S(t)=q1(t)+q2(t)

et la différence D(t)=q1(t)-q2(t)

En déduire les pulsations propres ’ et ’’ de ce système couplé, en fonction

des paramètres 0 et k.


PAGE 264

On admet que le couplage est faible (indL

Mk 1). A l’instant t =0 où on ferme

l’interrupteur, le condensateur du circuit (1) porte la charge q10 et celui du circuit (2)

est déchargé.

Montrer que la charge du condensateur du circuit (1) évolue au cours du temps

suivant la loi:

tcostcosq)t(q 0101

Où le paramètre sera exprimé en fonction de 0 et k.

En déduire la loi d’évolution de la charge q2(t) du circuit (2).

Quelle est la nature du phénomène étudié ? Commenter.

Partie C:

Le circuit primaire (1) (voir figure 5.49) est maintenant alimenté par un générateur

sinusoïdal de f.é.m. telle que :

tsinu)t(u 0 .

Figure 49.5 : Mouvement forcé pour un couplage mutuel

On étudie le circuit couplé en régime permanent.

Exprimer les charges q1(t) et q2(t) sous la forme

tcos)(A)t(q1 et tcos)(B)t(q2

Où on déterminera les amplitudes q1 () et q2 () en fonction de u0, Lind, 0 et k.

Déterminer la pulsation a d’anti résonance pour laquelle q1(a) = 0.

En déduire l’amplitude q2(a).

Tracer l’allure des graphes q1 () et q2 ().


PAGE 265

Solution :

Le système a deux degrés de liberté exprimés en q1 et q2

Les deux équations différentielles du système s’écrivent :

0dt

diM

dt

diL

C

q2Circuit

0dt

diM

dt

diL

C

q1Circuit

12ind

ap

2

21ind

ap

1

En introduisant le couplage :

indL

Mk

On obtient :

0qkqq2Circuit

0qkqq1Circuit

12202

21201

En posant les nouvelles variables généralisées:

)t(q)t(q)t(D

)t(q)t(q)t(S

21

21

On obtient les nouvelles équations du mouvement représentées comme suit :

0Dk1

D

0Sk1

S

20

20

Les pulsations propres ’ et ’’ sont définies comme suit :

k1et

k1

00

Les lois d’évolution des charges q2(t) et q2(t) :

2

kAvec

tsint2

ksinq)t(q

tcost2

kcosq)t(q

0

00

12

00

11

0

0

La nature du mouvement : Les battements


PAGE 266

Figure 5.50: Phénomène : les battements

Partie B : Régime forcé :

Les charges q1(t) et q2(t) :

0dt

diM

dt

diL

C

q2Circuit

eudt

diM

dt

diL

C

q1Circuit

12ind

ap

2

tj

021

ind

ap

1

En introduisant le couplageindL

Mk , on obtient :

0qkqq2Circuit

eL

uqkqq1Circuit

12

2

02

tj021

2

01

Les solutions particulières :

tcos)(A)t(q1 et tcos)(B)t(q2

En remplaçant dans le système différentiel, on obtient alors :

0AkB)(2CircuitL

uBkA)(1Circuit

22

0

2

022

0

2

Alors après le calcul, on aura :

22222

0

2

ind

0

22222

0

22

0

ind

0

)k()(

k

L

u)(B

)k()(L

u)(A


PAGE 267

La pulsation a d’anti résonance :

2

0ind

0A0A

k

1

L

u)(B

REFERENCES

[1] P. DENEVE, « Mécanique », Edition ELLIPSES, ISBN 2-

7298-8751-2, 1987.

[2] M. TAMINE, O. LAMROUS, « Vibrations et Ondes »,

Edition OPU, ISBN 1-02-3698, 1993.

[3] J. KUNTZMANN, «Mathématiques de la physique et de la

technique », Edition HERMANN, ISBN 530, 1963.

[4] G. LANDSBERG, « Vibrations et Ondes, Optique», Edition

MIR MOSCOU, ISBN 5-03-000128-X, 1988.

[5] IAIN G. MAIN, « Vibrations and Waves in physics», Edition

CAMBRIDGE LOW PRICE, ISBN 0-521-49848-1, 1993.

[6] C. GRUBER, W. BENOIT, « Mécanique Générale», Edition

PRESSES POLYTECHNIQUE ET UNIVERSITAIRES

ROMANDES, ISBN 2-88074-305-2, 1998.

[7] R. GABILLARD, « Vibrations et Phénomène de

propagation », Edition DUNOD, 1972.

[8] M. BALKANSKI, C. SEBENE, « Ondes et phénomènes

vibratoires », Edition DUNOD, 1973.

[9] L. LANDAU ET E. LIFCHITZ, « Mécanique», Edition MIR

MOSCOU, 1966.

[10] H. GOLDSTEIN, C. POOLE, and J. SAFKO, « Classical

Mechanics», Edition World Student, 1980.

[11] F. CRAWFORD, Jr, « Waves », Berkley, 1968.

[12] Josef. TOROK, « Analytical Mechanics », Wiley

interscience pulblication, 2000.

L’ouvrage :

Ce document traite des bases fondamentales des phénomènes de vibration et

présente les outils mathématiques de compréhension permettant d’accéder à

certains concepts associés à ces phénomènes. Il est destiné aux étudiants de

la deuxième année des filières scientifiques des universités et des écoles

préparatoires d’Algérie. Les étudiants y trouveront une initiation au

formalisme de Lagrange, utilisé dans l’analyse des oscillations des systèmes

mécaniques linéaires à un et à plusieurs degrés de liberté. En plus, ils auront

l’occasion de se confronter à des exercices à difficulté variable, leur permettant

de mieux assimiler les concepts traités dans chaque chapitre. Aussi, le

document est enrichi par deux travaux pratiques en relation avec les sujets

traités.

Les auteurs :

Dr Boukli Hacène Fouad est enseignant de physique à l’école préparatoire des

sciences et technologies de Tlemcen. Il est actuellement directeur adjoint

de la pédagogie à l’école et chargé de cours du module « Ondes et vibrations ».

Ses recherches portent sur les énergies renouvelables et compte à son actif

06 publications internationales et d’autres communications nationales et

internationales dans son domaine.

Dr Mebrouki Mohamed est enseignant de physique à l’école préparatoire

des sciences et technologies de Tlemcen. Auparavant, il a assuré le cours

« Ondes et vibrations ». Il est actuellement chargé de cours du module

« Electricité» à l’école. Ses recherches portent sur l’étude numérique des propriétés

physiques des matériaux. Il compte à son actif 04 publications internationales.

chapitre 5 : mouvement oscillatoire · chapitre 5: mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de...

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