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CHAPITRE 5 – ELEMENTS FINIS DE POUTRES

1 – ELEMENT DE POUTRE DROITE TRAVAILLANT DANS UN PLAN

Nous nous limitons dans ce paragraphe au cas des structures formées par des poutres droites dont les lignes moyennes sont contenues dans un même plan et chargées par des forces normales ou transversales appartenant à ce plan, ou par des moments perpendiculaires à ce plan. Dans ces conditions, les lignes moyennes restent dans le plan après déformation. Nous utilisons le plan (Oxy) comme plan moyen.

Les nœuds associés à l’élément de poutre sont les 2 points de la ligne moyenne situés aux extrémités du tronçon de poutre considéré.

Dans un premier temps, nous travaillons dans la base locale de l’élément. Nous donnons ensuite les règles pour passer dans la base globale.

1.1 – Formulation dans la base locale.

Il convient de noter que les différents vecteurs et matrices considérés dans ce paragraphe 1.1 sont projetés sur les axes du repère local de l’élément. Conformément aux notations adoptées dans le chapitre précédent, un trait (une barre) devrait normalement être placé sur tous les termes pour le faire apparaître. Ce trait sera omis pour ne pas surcharger le texte et les équations.

1.1.1 – Approximation du champ de déplacement.

Isolons un élément fini. Les 2 nœuds de l’élément sont notés ici de manière générique i et j.

i j M ui

y, v

u uj

v vj vi

x, u

θj θi

θ

Figure 1 – Déplacements

Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor Ch. 5 –

Soit M le point courant appartenant à la ligne moyenne, de coordonnées (x , 0 , 0) dans le repère local. On choisit de donner au vecteur U, associé aux déplacements de M, les composantes suivantes :

- la translation u dans la direction x- la translation v dans la direction y- la rotation θ autour de la direction z.

Ces trois paramètres ne sont pas indépendants puisque : θ=dv /dx=v ,x . Le choix de placer le paramètre θ dans le vecteur U est délibéré. La présence du phénomène de flexion fait que, dans chaque élément, la tangente à la ligne moyenne en chacun des deux nœuds extrémités ne reste pas nécessairement confondue avec le segment liant les deux nœuds. De plus, lorsque plusieurs éléments poutre sont connectés au même nœud i, les paramètres u i et vi ne suffisent pas à eux seuls à exprimer que les éléments connaissent tous en ce nœud la même rotation iθ autour de z après déformation.

Le vecteur des déplacements nodaux de l’élément est :

qeT=[ui vi θ i u j v j θ j ] (1)

Les fonctions retenues pour approximer le champ des déplacements à l’intérieur de l’élément sont les suivantes:

{ u=u x =a0a1 x

v=v x =a2a3 xa4 x2a5 x3

θ=θ x =a32 a4 x3 a5 x2

(2)

Ces fonctions sont conformes au modèle de la Résistance des Matériaux dédié aux poutres de section constante :

- la traction ou la compression induite par deux forces ponctuelles normales agissant aux extrémités se traduit par un déplacement axial linéaire

- la flexion plane induite par des chargements ponctuels appliqués aux extrémités (forces transversales ou moments perpendiculaires) se traduit par des déplacements transversaux décrits par des polynômes de degré 3. En effet, l’équation différentielle de départ est de la forme Mf z=E I d 2 v /dx2=E I v ,x,x où zMf est une fonction linéaire de x.

Les conditions aux limites permettent d’exprimer les 6 composantes de qe en fonction des 6 coefficients ah inconnus :

{u i=u 0 =a0

v i=v 0 =a2

θ i=θ 0 =a3

u j=u L =a0a1 L

v j=v L =a 2a3 La4 L2a5 L3

θ j=θ L =a32 a 4 L3 a5 L2

(3)

On peut en déduire l’expression de chaque coefficient ah en fonction des composantes de qe et établir la relation suivante, de la forme U = A qe :


[uvθ ]=[N1 0 0 N2 0 00 N3 N4 0 N5 N60 N3,x N4,x 0 N5,x N6,x

] [ui

v i

θ i

u j

v j

θ j

] (4)

où N1, N2, N3, N4, N5 et N6 sont six fonctions d’interpolation définies par :

{N1=1−x / LN2=x / LN3=1−3 x2 / L22 x3/ L3

N4=L x / L−2 x2 / L2x3 / L3 N5=3 x2/ L2−2 x3/ L3

N6=L −x2 / L2 x3/ L3

(5)

1.1.2 – Déformations et contraintes.

Nous négligeons la déformation due à l’effort tranchant (cisaillement). Compte-tenu des hypothèses classiques de la théorie des poutres (toute section droite reste droite après déformation…), la déformation en tout point de la poutre appartenant à une section droite S située à la cote x peut être caractérisée par deux paramètres qui ne dépendent que de x, paramètres que l’on peut donc associer au point courant M de la ligne moyenne appartenant à cette section :

- du /dx=u ,x : déformation axiale, due au phénomène de traction/compression- dθ/dx=θ ,x : variation angulaire ramenée à l’unité de longueur, due au phénomène

de flexion.

N

dx u u du

M’ N’ M’

N’

θ θ

dθ

P P’

x

M O

y Q Q’ P’

Q’

Avant déformation Après traction seule Après flexion seule

Figure 2 – Déformations de l’élément poutre dans le plan (Oxy)

Le vecteur qui va jouer le rôle de vecteur déformation n’a pas une forme conventionnelle :


εxx P =P'Q' − PQPQ

=dudx

=u,x εxx P =P'Q' − PQPQ

=-y dθdx

=−y θ ,x

ε=[ε1

ε2] avec : ε1=

dudx

=u ,x et ε2=dθdx

=θ ,x (6)

Les déformations au point P de coordonnées (x , y) se déduisent des deux paramètres par :

εxx=u,x− y θ ,x=ε 1− y ε2 et εyy=ε zz=εxy=εyz=εzx=0 (7)

ε1 est homogène à une déformation, mais pas ε 2 Dans le cas des problèmes d’élasticité plane 2D ou d’élasticité 3D, les déformations se déduisent des seuls déplacements (u , v , w) par une différentiation conforme aux lois de l’élasticité, différentiation synthétisée par l’opérateur matriciel C donné au chapitre 2. Pour les problèmes comportant de la flexion, on est amené à introduire des angles dans le vecteur des déplacements, et à considérer ensuite les variations de ces angles par unité de longueur dans les déformations, notions qui sont homogènes à des courbures (donc, en fait, aux dérivées secondes des déplacements : ε 2=θ ,x=v ,x,x ). L’opérateur de dérivation C à mettre en œuvre dans ce cas ne correspond plus à celui découlant des lois de l’élasticité, il prend une forme spécifique selon le problème considéré. Ici la relation déformations-déplacements ε = C U devient :

[ε1

ε 2]=[d /dx 0 0

0 0 d /dx ] [uvθ ]=[d /dx 0 00 0 d /dx ] [N1 0 0 N2 0 0

0 N3 N4 0 N5 N60 N3,x N4,x 0 N5,x N6,x

] [ui

vi

θ i

u j

v j

θ j

](8)

d’où la relation suivante, de la forme ε = B qe :

[ε1

ε2 ]= [N1,x 0 0 N2,x 0 0

0 N3,x,x N4,x,x 0 N5,x,x N6,x,x ] [u i

v i

θ i

u j

v j

θ j

] (9)

Notons que le vecteur déformation peut aussi être exprimé en fonction des composantes du torseur des efforts intérieurs. Soit N la force normale et Mfz le moment des efforts au point courant M. On a :

NS

=Edudx

et Mf z=E I v,x,x=E I θ ,x=E Idθdx

d’où : ε=[ NE SMf z

E I] (10)

Considérons maintenant les contraintes. Seule la contrainte xxσ est différente de zéro. On a :


σ xx=E εxx (11)

Toutefois, le vecteur des contraintes va prendre une forme particulière, en relation avec celui des déformations. Posons :

σ=[σ1

σ 2] (12)

Les termes σ1 et σ2 doivent être choisis de sorte à permettre le calcul de l’énergie interne We

par l’équation conventionnelle :

W e =∫V

12

σ T ε dv (13)

Les équations (10), (12) et (13) conduisent à :

W e =12∫ x=0

L

[σ 1 σ 2 ] [ε1

ε2 ] S dx =12∫ x=0

L σ 1 N

E

σ 2 Mf z S

E I dx (14)

Dans le cas d’une poutre, nous disposons du résultat suivant :

W e = 12∫ x=0

L ( N 2

E S+

Mf z2

E I )dx (15)

La confrontation des équations (14) et (15) permet de déterminer l’expression de σ1 et σ2 :

σ1=NS

et σ 2=Mf z

S(16)

Notons que le terme σ2 n’est pas homogène à une contrainte. Il apparaît que ce terme permettra d’accéder à la valeur du moment fléchissant au point courant M. La loi σ = D ε , à rapprocher de la loi de Hooke dans la formulation conventionnelle, s’écrit ici :

[σ 1

σ 2 ]=[E 00 E I / S ] [ε1

ε2 ] (17)

D’où la relation suivante, de la forme σ = D B qe :

[σ 1

σ 2]=[E 0

0 E I / S ] [N1,x 0 0 N2,x 0 00 N3,x,x N4,x,x 0 N5,x,x N6,x,x

] [ui

v i

θ i

u j

v j

θ j

] (18)

1.1.3 – Matrice de rigidité de l’élément.

Rappelons que la matrice de rigidité Ke de l’élément e est définie par la relation :

W e =∫V

12

σ T ε dv = 12

qeTK e qe (19)


où We est l’énergie de déformation de l’élément. Sachant que σ = qeT BT D et ε = B qe , la relation (19) induit, de manière générique, que :

K e =∫V( BT D B ) dv (20)

Dans notre cas, les termes de B et D sont seulement dépendants de x, nous avons :

qeT=[ui vi θ i u j v j θ j ] (21)

Tous calculs faits, la matrice de rigidité élémentaire est de la forme suivante :

K e = [a 0 0 −a 0 00 12b 6bL 0 −12b 6bL

0 6bL 4bL2 0 −6bL 2bL2

−a 0 0 a 0 00 −12b −6bL 0 12b −6bL

0 6bL 2bL2 0 −6bL 4bL2] avec : a=

E SL

et b=E I

L3 (22)

1.1.4 – Forces nodales.

L’expression de l’énergie potentielle totale associée à l’élément est :

V e=W e − T e=12

qeT K e qe − qeT Qe (23)

Qe doit regrouper tous les efforts nodaux qui produisent un travail pendant la déformation. Dans notre cas, l’expression du travail à considérer est :

T e=qeT Q e=ui Q x ie +vi Q y i

e +θ i QM z ie +u j Q x j

e +v j Q y je +θ j QM z j

e (24)

Dans cette expression, la composante eixQ représente la force exercée par le nœud i sur

l’élément e dans la direction x et la composante eizQM représente le moment exercé par le

nœud i sur l’élément e autour de la direction z. Nous avons donc :

QeT= [Q x ie Q y i

e QM z ie Q x j

e Q y je QM z j

e ] (25)

Rappelons que le théorème de l’énergie potentielle totale permet d’établir la relation :

K e qe = Qe (26)

1.1.5 – Calcul des efforts intérieurs et des contraintes.

Les équations vues ci-avant permettent d’établir l’expression des efforts intérieurs au point courant M de la ligne moyenne :

. force normale : N =S σ 1=E SL (u j−ui )=Q x j

e =−Q x ie (27)


. moment fléchissant : Mf z=S σ 2=E I [ N3,x,x N4,x,x N5,x,x N6,x,x ] [ v i

θ i

v j

θ j] (28)

De même, il est possible d’obtenir l’expression des déformations et des contraintes au point P de coordonnées (x , y , 0) dans le repère local :

εxx=ε1− y ε 2=N

E S− y

Mf z

E I et ε yy=ε zz=ε xy=ε zy=0 (29)

σ xx=E εxx=NS

− yMf z

I et σ yy=σ zz=σ zy=0 (30)

1.1.6 – Chargement réparti.

Dans la MEF, la relation de base K e qe = Qe est obtenue à partir de la propriété T e=qeT Q e . Cette propriété n’est vérifiée que si on considère que les efforts qui agissent sur l’élément sont appliqués aux nœuds (structure discrète). Or, dans certains problèmes, il existe des chargements répartis. Dans le cas de l’élément poutre, il est possible de trouver un chargement nodal particulier qui produit le même effet, au sens énergétique, que le chargement réparti.

Supposons que l’élément, en plus du chargement nodal Qe, supporte un chargement réparti défini au point courant M par :

- une force répartie rx(x) dans la direction x- une force répartie ry(x) dans la direction y- un moment réparti mrz(x) autour de la direction z

Soit r le vecteur des actions réparties : r T=[r x r y mr z ] (31)Le travail Tr des actions réparties pendant les déplacements que subit l’élément est :

T r=∫ x=0

L [u v θ ] [ r x

r y

mr z] dx=∫ x=0

LUT r dx (32)

Sachant que U = A qe et que UT = qeT AT, on a :

T r=∫ x=0

LqeT AT r dx=qeT ∫ x=0

LAT r dx (33)

Soit Req le vecteur matérialisant un chargement nodal équivalent au chargement réparti, c’est à dire un chargement qui produit le même travail que le chargement réparti pendant les déplacements que subit l’élément.

Posons : R eqT = [ X eq i Y eq i M eq i X eq j Y eq j M eq j ] (34)

Le travail Teq de ce chargement nodal pendant les déplacements que subit l’élément est :

T eq=qeT Req (35)


A partir des équations (33) et (35), on établit que l’expression de Req qui permet d’obtenir l’égalité des travaux Tr et Teq est :

Req=∫ x=0

LAT r dx (36)

Req=[X eq i

Y eq i

M eq i

X eq j

Y eq j

M eq j

] = ∫ x=0

L [N1 0 00 N3 N3,x

0 N4 N4,x

N2 0 00 N5 N5,x

0 N6 N6,x

] [ r x

r y

mrz] dx (37)

1.1.7 – Cas où l’élément travaille seulement en flexion simple.

Dans le cas où l’élément de poutre travaille seulement en flexion simple, les différents vecteurs peuvent être réduits en :

qeT=[vi θ i v j θ j ] (38)

ε=[ ε2 ]=[Mf z

E I ]= [ N3,x,x N4,x,x N5,x,x N6,x,x ] [ vi

θ i

v j

θ j] (40)

σ=[σ 2 ]=[ E IS

ε2]=[Mf z

S ] (41)

La matrice de rigidité devient :

K e = E I

L3 [12 6L −12 6L6L 4L2 −6L 2L2

−12 −6L 12 −6L6L 2L2 −6L 4L2 ] (42)

1.2 – Formulation dans la base globale.

Reprenons maintenant les notations qui permettent de distinguer les vecteurs selon qu’ils sont donnés en projection dans la base locale ou dans la base globale : notons eq le vecteur déplacement en projection sur les axes ( )z,y,x du repère local et eq ce même vecteur mais en projection les axes ( )z,y,x du repère global (voir figure 3). De même pour les forces nodales, distinguons eQ et eQ .


x

y

i

j

x

y

α

Figure 3 – Repère local et repère global dans le cas d’un problème dans le plan (Oxy)

Nous avons alors, comme dans le cas de l’élément barre (voir chapitre 4, paragraphe 2.2) :

qe=[G 00 G ] qe=H qe et Q e=[G 0

0 G ] Qe=H Qe (43)

avec ici : G=[cosα −sinα 0sinα cosα 0

0 0 1 ]=[c −s 0s c 00 0 1 ] et G−1=GT , H−1=H T (44)

Il en résulte que :

K e=H K e HT (45)

1.2.1 – Cas où l’élément travaille en traction et en flexion simple.

Les équations (22) et (45) permettent d’écrire :

K e= [ac2+12bs2 acs−12bcs −6bLs −ac2−12bs2 −acs+12bcs −6bLsacs−12bcs as2+12bc2 6bLc −acs+12bcs −as2−12bc2 6bLc

−6bLs 6bLc 4bL2 6bLs −6bLc 2bL2

−ac2−12bs2 −acs+12bcs 6bLs ac2+12bs2 acs−12bcs 6bLs−acs+12bcs −as2−12bc2 −6bLc acs−12bcs as2+12bc2 −6bLc

−6bLs 6bLc 2bL2 6bLs −6bLc 4bL2]

(46)

avec : a= E SL

et b= E I

L3

1.2.2 – Cas où l’élément travaille seulement en flexion simple.

Les équations (42) et (45) permettent d’écrire :


K e= E IL3 [

12s2 −12cs −6Ls −12s2 12cs −6Ls−12cs 12c2 6Lc 12cs −12c2 6Lc−6Ls 6Lc 4L2 6Ls −6Lc 2L2

−12s2 12cs 6Ls 12s2 −12cs 6Ls12cs −12c2 −6Lc −12cs 12c2 −6Lc−6Ls 6Lc 2L2 6Ls −6Lc 4L2

] (47)

2 – ELEMENT DE POUTRE DROITE TRAVAILLANT DANS L’ESPACE

Nous considérons maintenant le cas général de structures à base de poutres droites chargées aux nœuds par des forces et des moments quelconques.

2.1 – Formulation dans la base locale.

Nous isolons un élément et nous nous plaçons dans son repère local ( )zyxiR = , voir figure 4. Les axes ( )yi et ( )zi sont des axes principaux d’inertie de la poutre en i.

O

y

x

i

y

x

Rg

R

j x

z y

z

z

Figure 4 – Repère local et repère global dans le cas d’une position quelconque

Nous considérons que l’élément travaille en traction dans la direction x , en torsion autour de x et en { flexion + cisaillement } dans les deux plans ( )yxi et ( )zxi . L’extension de l’approche vue au paragraphe précédent conduit à la matrice de rigidité suivante :


Ke= [

ESL

0 0 0 0 0 −ESL

0 0 0 0 0

012EI

Z

L3(1+φ

Y)

0 0 06EI

Z

L2(1+φ

Y)

0−12EI

Z

L3(1+φ

Y)

0 0 06EI

Z

L2(1+φ

Y)

0 012EI

Y

L3(1+φ

Z)

0−6EI

Y

L2(1+φ

Z)

0 0 0−12EI

Y

L3(1+φ

Z)

0−6EI

Y

L2(1+φ

Z)

0

0 0 0GJL

0 0 0 0 0 −GJL

0 0

0 0−6EI

Y

L2(1+φ

Z)

0(4+φ

Z)EI

YL(1+φ

Z)

0 0 06EI

Y

L2(1+φ

Z)

0(2−φ

Z)EI

YL(1+φ

Z)

0

06EI

Z

L2(1+φY

)0 0 0

(4+φY

)EIZ

L(1+φY

)0

−6EIZ

L2(1+φY

)0 0 0

(2−φY

)EIZ

L(1+φY

)

−ESL

0 0 0 0 0ESL

0 0 0 0 0

0−12EI

Z

L3(1+φ

Y)

0 0 0−6EI

Z

L2(1+φ

Y)

012EI

Z

L3(1+φ

Y)

0 0 0−6EI

Z

L2(1+φ

Y)

0 0

−12EIY

L3(1+φ

Z)

0

6EIY

L2(1+φ

Z)

0 0

12EIY

L3(1+φ

Z)

0

6EIY

L2(1+φ

Z)

0

0 0 0 −GJL

0 0 0 0 0GJL

0 0

0 0−6EI

Y

L2(1+φ

Z)

0(2−φ

Z)EI

YL(1+φ

Z)

0 0 06EI

Y

L2(1+φ

Z)

0(4+φ

Z)EI

YL(1+φ

Z)

0

06EI

Z

L2(1+φ

Y)

0 0 0(2−φ

Y)EI

ZL(1+φ

Y)

0−6EI

Z

L2(1+φ

Y)

0 0 0(4+φ

Y)EI

ZL(1+φ

Y)

]avec φY=

12EIZ

kY GSL2 , φZ=12EIY

kZ GSL2

Les fonctions Yφ et Zφ traduisent l’influence de l’effort tranchant sur la flexion. Leur valeur reste faible en général devant 1. Les coefficients de section réduite Yk et Zk sont connus pour les sections de forme usuelle. Leur influence sur les résultats est souvent très faible et il est courant que l’on utilise la valeur proposée par défaut par les codes de calcul :

Yk = Zk =1.

2.2 – Formulation dans la base globale.

Le passage de la base locale à la base globale est de la même nature que celui proposé dans le cas de l’élément barre (voir chapitre 4, paragraphe 3.2). La matrice de passage G est la même :

G=[cos (x , x ) cos ( x , y ) cos ( x , z )cos ( y , x ) cos ( y , y ) cos ( y , z )cos ( z , x ) cos ( z , y ) cos ( z , z ) ] et U =G U (48)

Par contre, la matrice H est différente :


qe=H T qe et Qe=H T Q e avec : H =[G 0 0 00 G 0 00 0 G 00 0 0 G

] et H−1=H T

(49)


La matrice de rigidité de l’élément poutre dans le repère global est obtenue par :

K e=H K e H T (50)


3 - EXERCICES

Exercice 5.1 – Conduite encastrée

Une conduite OAB est encastrée en O et en B, voir la figure ci-après.Les caractéristiques du tronçon OA sont : E, L et I z . Les caractéristiques du tronçon AB sont : E, 2L et 8 I z . On exerce un couple G z en A.

On adopte un modèle à 3 nœuds et 2 éléments de type poutre (voir figure).

1 - Exprimer la matrice de rigidité de la conduite (flexion dans le plan (Oxy)).

2 - Déterminer les déplacements en fonction de E, L, I z et G z .

3 - Calculer les actions de liaison.

4 - On considère maintenant le seul élément e1. Calculer :

. les forces nodales de cet élément

. les efforts intérieurs au point M de coordonnées (x , 0 , 0) dans le repère local de e1. Représenter la variation de ces efforts en fonction de x

. la contrainte σ xx au point P de coordonnées (x , y , 0) dans le repère local de e1.


E, 2 L, 8 IzE, L, Iz

e1

e2

On pose : a=EI z

L3=

EI ' z

2L 3

* Matrice de rigidité des éléments :

[ K 1]=[ . . . .. . . .. . . .. . . .

][ K 2 ]=[ . . . .

. . . .

. . . .

. . . .]

* Système à résoudre après assemblage et conditions aux limites.

[. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .

]⋅[......

]=[......

]• Calcul des déplacements :

[. .. . ]⋅[ .. ]=[ .. ]

• Calcul des réactions aux appuis :

[. .. .. .. .

]⋅[ .. ]=[ ....

]


Exercice 5.2 – Etude d'une passerelle

On considère la passerelle schématisée ci-après :

Elle est soumise à un effort vertical P appliqué en B.

Elle est modélisée à partir de 10 éléments finis de type poutre et 11 noeuds (voir figure).

Donner les étapes de la résolution du problème.


1 2 3 4 5

6

7

8

9

10

11

P

Exercice 5.3 – Aile haubanée

On considère l'aile haubanée de l'avion léger "Cessna 172" schématisée ci-après. L'aile est modélisée par une poutre encastrée dans le bâti ; elle est soumise aux efforts de portance p, supposés uniformément répartis. Le hauban est assimilé à une barre, articulée à la fois sur le bâti et sur l'aile.

On pose a=E S

L , a'=

E' s

2 L et b=

E I

L3

1 - Proposer un maillage minimal

2 - Ecrire le système obtenu après prise en compte des conditions de déplacement et assemblage.


Matrice de rigidité des éléments :

[ K 1]= [. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .

]

[ K 2 ]= [. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .

][ K 3]= [ . . . .

. . . .

. . . .

. . . .]

Système après assemblage et conditions aux limites :

[. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

]⋅[...........

]=[...........

]Eléments finis – Notes de cours – Marc Sartor Ch. 5 –

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