torsion des poutres circulaires

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  • 5/14/2018 Torsion Des Poutres Circulaires

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    Torsion des poutres circulairesI-Definition

    Une poutre circulaire est dite sollicitee en torsion pure si au centre de gravite de chaque sectiondroite, seulle moment de torsion est different de 0, ~;, = I - < ?

    II-Contraintes et deformations dans une poutre circulaire plaine1)Definition

    Soit un arbre circulaire plein soumis a ses 2 extremites a des moments de torsions egaux et de signeopposes suivant l'axe.Dans chaque section droite, la resultante des efforts exterieurs en G a pour unique composanteToutes les sections droites apres chargement restent planes, circulaires et normales a l'axe ducylindre ( Hypothese de la RDM ) . Ces sections toument chacune autour de leur centre respectif.Un rayon trace dans une section droite reste rectiligne et l'angle entre 2 rayons reste constant aucours de la deformation, ce qui entraine que chaque section droite toume autour de son centrecomme un disque rigide.

    Soit d lP la rotation de ces 2 sectionsl'une par rapport a l'autre.

    9-::. d q >d " . .

    Le volume OABO'A'B' est soumisau cisaillement pur puisqu'il ne subitque des contraintes de cisaillement ?( ou des contraintes tangentielles )

    ,A - l1 1 : : f J ' - P : . f < 9 - -AA' d l l c . .

    ~ . j. .. . . .

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    _ItJ_~ \32 .

    Cette expression montre que les contraintes de cisaillement dans les poutres de sections circulairesvarient de facon lineaire en fonction de ~ et sont proportionnelles a la torsion unitaire So

    Repartition du cisaillement dans la section droite circulaire - Variation lineaire

    c - c ( Effort de cisaillement ? )< 7 ( Mpa ) : Module de Coulombf (m ) : distance au centree- ( rad/m ) : torsion unitaire

    3) Relations entre l'angle de torsion unitaire 6- et Ie moment de torsion HI-La resultante des cisaillements ~ dans une section droite circulaire est nulle d'apres leurdistribution ( schema du dessus ) . Le moment resultant doit etre egal au moment de torsion.Calcul: N I - = ) , ~ f t l ' ! >

    :: ) G f2.e- Js: : < 7 . So ) f'J 5~ r> t.....e",\- q"...J rQ . [" ' ( v~

    Relation:La rotation unitaire a pour expression : ~ ~Pour un arbre circulaire plein:

    4 ) Relation entre Ie cisaillement ?t Ie moment de torsion M tLe cisaillement varie de facon lineaire en fonction de 4 > , il suffit de relier le cisaillement aumoment de torsion.

    G ToLe cisaillement a maintenant pour expression :rolfAvec T... le Module de Resistance en Torsione

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    dLa valeur du cisaillement maximum sera atteinte sur la peripherie de la section droite, done pour f:-;:

    5 ) Rotation axialeLa rotation axiale relative de deux sections extremes distantes de P d'une poutre sollicitee entorsion pure a pour expression:

    6 ) Condition de resistance et deformation des arb res en torsionsLe calcul d'un arbre circulaire en torsion doit satisfaire :

    la condition de resistance en torsion- la condition de deformationa ) Condition de resistance en torsion

    La poutre de section circulaire doit en aucun point atteindre la resistance pratique au cisaillement.

    d/Z

    Avec le moment quadratique Ie dimensionnement a la resistance du diametre est:d ~ ~'(6 .4~

    'i'r > C ~nb ) Condition de deformation en torsion

    La condition de resistance en torsion n'est pas toujours suffisante.K~e-~ ~ erM~

    L 1:.0 ~ J-i{r-G&..L , ",z );f t-

    'Ii Go S-,...Avec e-.. l'angle max acceptable en fonctionnement

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    III - Contraintes et deformations dans une poutre circulaire creuse1)Repartition

    Repartition du cisaillement dans la section circulaire creuse

    On remarque que la valeur des contraintes de cisaillement est negligeable a l'interieur del'evidement par rapport au contour exterieur de la section droite circulaire.

    2 ) Pourquoi utiliser des sections circulaires creuses ?Car le materiaux, au centre de la section droit, n'est plus solliciteAvantages : gain en masseAttention: toujours faire attention entre le prix de l'arbre creux / plein par rapport au domained'utilisation.

    3 ) Calcul des arb res circulaires creuxTout est identique, seulle moment quadratique polaire de la section droite change 10til" Olz""\0 ' (( f 2 .f l pJ\!r li (D"_~t;)) i > ) cllz vz .

    ../6 H \-

    IV - Contraintes et deformations dans les tubes de faible epaisseur1)Repartition du cisaillement

    Considerons une poutre creuse, si l'epaisseur du tube reste faiblepar rapport au rayon. ~ Va peut varier suivant I'epaisseur,Hypotheses: pour les tubes d'epaisseurs minces, la valeurde~ varie tres peu. Dans ce cas, la repartition de la contrainte decisaillement sera supposee uniforme suivant l'epaisseur du tube.

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    - L : la longueur de la poutre de section S- M : moment de torsion ( couples ponctuels )- Densite Iineique de torsion y

    x

    2 ) Calcul du cisaillementQ.: ~ e L . . . . . s . . . . . kS~ ..".._~ t.L ~

    . V - Expression et diagramme du moment de torsion

    ~ : ~~~;2 : -;;:. [ z M: + ) ee ~ ( f 7 e ) J ~ ]o

    A () : ~ -. ~ ~ T .: [~)..(.-.. S L ;f(.J J"" ]lie ...

    VI - Relation entre Ie moment de torsion et la densite lineique de torsionIsolons un element de poutre de longueur h sollicite par des moments de torsions ponctuels et desdensites lineiques de couple de torsion.

    I /

    Si M(x) = 0 ---+d X 1 -- :0--+ Mt = constanted n c ; .