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A.U 2017-2018 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel

Chapitre 2 ELTAIEF Maher & BEN NEJMA Manel

Traction et compression simple

A. Traction simple

I. Définition :

Une poutre est sollicitée à la traction simple lorsqu'elle est soumise à deux forces

directement opposées qui tendent à l'allonger ou si le torseur associé aux efforts de

cohésion de la partie droite 2 de la poutre sur la partie 1, peut se réduire en G barycentre

de la section droite, à une résultante portée par la normale à cette section.

Gcoh =

GG

G

NN

00

00

0

01/2 Avec N>0

II. Essai de traction :

Il s’agit de l’essai de base pour l’étude des matériaux. Son principe est le suivant : on

soumet une éprouvette normalisée à un effort d’extension F croissant et on mesure

l’allongement ∆L correspondant. La figure ci-dessous donne l’allure du graphe obtenu pour

un matériau homogène : l’acier doux.

ISET De Sousse Génie Mécanique L1S1


La courbe obtenue LfF est appelée : courbe de traction ; elle est pratiquement

indépendante des dimensions de référence de l’éprouvette. Elle fait apparaître les zones :

OA : zone linéaire : l’éprouvette à une déformation élastique. L’allongement est

proportionnel à l’effort appliqué.

AB : palier ductile (n’existe pas pour certains matériaux).

BCD : zone des grandes déformations. L’éprouvette à une déformation plastique ou

permanente. L’allongement n’est plus proportionnel à l’effort appliqué.

En C : point de striction.

En D : effort ultime (rupture).

N.B : En RDM, on ne traite que la zone OA.

III. Etude des déformations :

Allongement : ∆L = L - Lo

Allongement relatif : 0L

Le

; 100%

0

L

Le

Dans le domaine des déformations élastique (RDM) 0L

Lex

Il existe aussi des déformations dans le plan (déformations transversales) de la section

droite tel que :

xz

xy

Avec : Coefficient de poisson ( = 0,3 pour les métaux ferreux : les aciers).

Remarque :

Le signe (-) traduit le fait qu’une extension (∆L >0) donnera une contraction (∆D<0) et

qu’inversement, une compression (∆L <0) donnera une dilatation (∆D>0).



IV. Etude des contraintes :

Les efforts de cohésion se réduisent à une force N = F normale à la section dSN

Or S

F

S

N

dS

dN

ds

0lim

Remarque : σ : contrainte normale d’extension en [N/mm2] ; elle est répartie

uniformément sur toute la section.

V. Relation contrainte-déformation : loi de HOOKE

La déformation est la réponse d'un matériau à une contrainte.

xx E 00

et L

L

ES

F

Ex

x

x

00

L

LE

S

F

tractionenRigiditéL

ESKAvecLKL

L

ESF :

0

0

0

0

VI. Caractéristique mécanique d'un matériau :

Module d'élasticité longitudinal ou module de YOUNG :

On mesure ∆L et F

x

E

On calcule

0

x

0

et L

L

S

F

On calcule x

E

Charge à la limite élastique Fe :

La force maximale qu'on peut appliquer à l'éprouvette dans le domaine élastique. Il lui

correspond la valeur de σe ou Re. Avec Re : contrainte à la limite élastique0S

Fe .

Charge à la rupture Fr :

σ



La force maximale que peut supporter l'éprouvette. Il lui correspond la valeur de σr ou

Rr. Avec Rr : contrainte de rupture0S

Fr .

Allongement relative A% :

C’est le rapport 100%0

0

L

LLA u . Avec Lu : longueur de l’éprouvette après rupture.

Striction Z% :

C’est le rapport 100%0

0

S

SSZ u . Avec Su : section de l’éprouvette après rupture.

VII. Condition de rigidité :

Pour des raisons fonctionnelles (problème d'alignement d'appuis, cahier des charges ...),

il est parfois important de limiter l'allongement. Il doit rester inférieur à une valeur limite

∆Llim.

D'où la condition de rigidité ou de déformation : limLL ou lim

0

0 LES

FL

VIII. Condition de résistance :

Pour des raisons de sécurité la contrainte doit rester inférieure à la limite élastique à

l’extension (résistance), en adoptant un coefficient de sécurité (s) on aura la contrainte

pratique à l’extension : σp ou Rpe tel ques

RR e

pep .

D'où, la condition de résistance est : pepenom RS

FR

0

IX. Concentration de contraintes :

Pour les poutres présentant des variations brusques de section, la contrainte n'est plus

uniforme, alors un phénomène de concentration de contrainte se produit au voisinage du

changement de la section.



Dans ce cas on définit une contrainte maximale max tel que : nomtK max

Avec Kt : coefficient de concentration de contrainte est donné par des abaques (Voir

annexes A).

Exemple : Pour un filetage triangulaire ISO Kt = 2,5 au fond des filets.



B. Compression simple

I. Définition :

Une poutre est sollicitée à la compression simple lorsqu'elle est soumise à deux forces

directement opposées qui tendent à la raccourcir ou si le torseur associé aux efforts de

cohésion de la partie droite 2 de la poutre sur la partie 1, peut se réduire en G barycentre

de la section droite, à une résultante portée par la normale à cette section.

Gcoh = 0N Avec

00

00

0

01/2

GG

G

NN

N.B : La compression pure, n’est ni plus ni moins qu’une extension négative donc tout

ce qui a été dit pour l’extension est valable pour la compression.

II. Etude des contraintes :

Elles sont normales à (S) et uniformément réparties dans cette dernière. La contrainte

σ a pour valeur :

0 donc 0N Avec S

N

III. Etude des déformations :

Dans le domaine élastique, les contraintes et les déformations sont proportionnelles. La

loi de HOOKE est toujours valable dans le domaine élastique et on a : E

Le raccourcissement ∆L (mm) est : 0 0; 0

0

LdoncN

SE

LNL

IV. Condition de résistance :

σ



Pour des raisons de sécurité la contrainte normale doit rester inférieure à la résistance

pratique à la compression Rpc, on définit Rpc par le rapport suivant : s

RR ec

pc .

Avec Rec : résistance élastique à la compression (MPa).

s : cœfficient de sécurité.

D'où, la condition de résistance est : pcpcnom RS

NR

0

Remarques :

Les aciers doux et mi-durs ont la même résistance élastique Re en traction et en

compression.

Le béton et la fonte ont des résistances élastiques très différentes en traction et en

compression, ainsi que tous les matériaux non homogènes et non isotropes.

Si le poids de la poutre verticale n’est pas négligeable (câble d’ascenseurs de grands

immeubles, piles de ponts, cheminées d’usine…), dans ce cas :

La condition de résistance est : pcRS

P

S

N

00

Avec P : poids total de la poutre (N).

V. Condition de rigidité :

Pour des raisons fonctionnelles (problème d'alignement d'appuis, cahier des charges ...),

il est parfois important de limiter le raccourcissement. Il doit rester inférieur à une valeur

limite ∆Llim.

D'où la condition de rigidité ou de déformation : limLL ou lim

0

0L

SE

LN

VI. Concentration de contraintes :

Pour les poutres présentant des variations brusques de section, la contrainte n'est plus

uniforme, alors un phénomène de concentration de contrainte se produit au voisinage du

changement de la section. Cette concentration de contrainte est peu dangereuse en

compression ; elle est, en général, négligée.



VII. Méthodes de calculs en traction-compression :

Il existe deux méthodes de calculs en traction ou en compression.

VII.1. Le calcul de vérification :

Les efforts sont connus, l’organe est bien déterminé (dimensions et matériaux connus)

et on vérifie s’il convient ou non ? Si cela n’est pas le cas, on calcule de nouvelles

dimensions, et /ou on change de matériau.

VII.2. Le calcul de détermination :

Les efforts sont connus (par exemple), le matériau est déterminé et on calcule les

dimensions.

Dans les deux cas, on peut faire soit un calcul de résistance (contraintes déterminantes),

soit un calcul de déformation (déformations déterminantes) soit les deux types de calcul

en même temps.

Remarque : La compression dépend des dimensions de la poutre, tel que sa longueur

doit vérifier : DLD 83 sinon on a du flambement ou du matage.

Organigramme du calcul de détermination :

Calcul de résistance : penom R ou pcR Calcul de déformation : limLL

on connaît :

l’effort N

le matériau

(Rpe ou Rpc)

on connaît :

l’effort N

les dimensions

transversales

on connaît :

le matériau

les dimensions

transversales

on connaît :

l’effort N

le matériau

(module E)

la longueur et

∆Llim

on connaît :

l’effort N

les dimensions

transversales

la longueur et

∆Llim

on connaît :

le matériau

(module E)

les dimensions

transversales

la longueur et

∆Llim

on calcule :

les dimensions

transversales

pe

pe

R

NS

RS

N

0

0

D’où d ou b et h

on calcule :

Rpe ou Rpc

puis Re ou Rec

0S

NRpe

On choisit le

matériau

on calcule :

L’effort max

qui peut supporter

l’organe

0

0

SRN

RS

N

pe

pe

On détermine

Nmax

on calcule :

les

dimensions

transversales

lim

0

0

lim

0

0

LE

LNS

LSE

LN

on calcule :

le module (E)

lim0

0

LS

LNE

On choisit le

matériau

on calcule :

L’effort max

qui peut supporter

l’organe

0

lim

L

SELN

On détermine

Nmax



Organigramme du calcul de vérification :



Exercices d’application

Exercice 1 : Dimension d’un câble (Extrait du DS Novembre 2007)

On se propose de soulever une poutre de longueur L = 6 m dont le poids est égal à

2.104 N. Pour cela, on dispose symétriquement des sangles séparées d’une distance a.

Chaque sangle comporte un anneau sur lequel on ancre les crochets d’une élingue formée

de deux brins de câble de longueur l = 4 m chacun (figure 1).

Le câble est constitué de 6 torons de 19 fils de diamètre d (diamètre d’un fil) dont la

résistance élastique à l’extension est : Re = 800 MPa et d’une âme textile dont on néglige

la résistance mécanique (figure 2).

Le coefficient de sécuruté pour les structures de levage est s=6.

1. Déterminer la tension du câble en fonction de P et ? (En isolant la poutre)

2. Calculer la tension maximale 𝑻𝒎𝒂𝒙 du câble ?

3. Calculer le diamètre minimal d d’un fil ?

Exercice 2 : Vérification d’un tirant.

Un profilé IPN, sert de chemin de roulement pour un palan. Il est suspendu par 3

tirants de diamètre d=10mm et de longueur

L=400mm. Ces tirants sont en acier de

résistance élastique Re=240 MPa et de module

d’Young E=2.105 MPa. Le tirant le plus chargé

supporte une charge verticale F=600 N.

On adopte un coefficient de sécurité s = 8.

Figure 3 : chemin de roulement pour un palan



1. Modéliser les efforts appliquer sur le tirant 1 et déterminer la nature de la

sollicitation.

2. Vérifier que ce tirant peut supporter la charge F dans des conditions

satisfaisantes de sécurité.

3. Vérifier que l’allongement reste acceptable sachant que l’allongement ne doit

pas dépasser 0.5 mm.

Exercice 3 : Détermination de l’épaisseur d’une joue de chaîne Galle.

Une joue de chaîne Galle a les dimensions définies sur la

figure 4. Elle est en acier dur de limite élastique Re= 600 MPa et

supporte un effort d’extension F=2.103 N.

Le coefficient de sécurité s=4. On adopte, pour tenir compte du

trou de diamètre 6 mm, un coefficient de concentration de contrainte

Kt=2.3.

1. Calculer l’épaisseur e1 minimale au niveau de la section AB.

2. Calculer l’épaisseur e2 minimale au niveau de la section CD.

3. Choisir une épaisseur e pour la joue de la chaîne.

Exercice 4 : Détermination du diamètre d’un câble.

Un système de levage est représenté par la figure 5 (a) ci-dessous. Le moteur transmet

le mouvement de rotation au tambour par l’intermédiaire d’un réducteur à engrenage. On

se limite d’étudier la résistance du câble et le montage crochet câble.

1. Caractéristiques du câble :

Poids négligé.

Limite élastique à la traction Re= 120 MPa.

Module d’Young E =2.105 MPa.

La charge F = 104 N.

a. Déterminer le diamètre minimal du câble sachant que le coefficient de

sécurité est s=2.

b. Déterminer l’allongement absolu du câble.

2. Montage crochet - câble : (à faire au chapitre 3)

Le crochet est assemblé au câble à l’aide de deux plats réunis par des boulons (voir

figure 5 (b). Les boulons en acier ont pour diamètre d = 7 mm et de résistance pratique au

cisaillement Rpg = 70 MPa.

Figure 4



a. Calculer le nombre total des boulons nécessaire pour l’assemblage ?

Figure 5

Exercice 5 :

Une poutre de section circulaire de diamètre D chargée en compression par une force

F. Calculer :

1. La contrainte de compression.

2. La déformation longitudinale et la variation de sa longueur.

3. La déformation transversale et la variation de son diamètre.

On donne : F =103 N D = 10-2 m L = 1 m

E = 2 1011 N/m2 υ = 0.3.

Exercice 6 :

Une éprouvette cylindrique en aluminium de diamètre d=10 mm, de longueur l=100

mm est soumise à un effort de traction F=5000 N. On observe un allongement Δl = 0.092

mm. La force à la limite élastique est Fe=195 kN.


1. Calculer le module d’Young E ?

2. Déterminer la répartition des contraintes et la valeur maximale de la

contrainte ?

3. Calculer la résistance à la limite élastique ?



4. Vérifier la condition de résistance et conclure ?

Exercice 7 : (Extrait du DS Novembre 2016)

Une étude théorique nous a permis de déterminer l’effort

axial appliqué à la bielle d’une pompe hydraulique. Cet effort

est cyclique de période 2π est représenté sur la figure 6.

La bielle est formée par une tige cylindrique de diamètre

D et de longueur L=400mm. Les caractéristiques

mécaniques de l’acier employé sont les suivantes :

La limite élastique : Re = Reg= 300 MPa,

Le module d’Young : E = 210 000 MPa,

Le coefficient de poisson = 0.3.


1. Calculer le diamètre minimal D de la bielle ?

2. Calculer le raccourcissement ΔL de la bielle dans la phase de compression ?

3. Calculer l’allongement ΔL de la bielle dans la phase de l’extension ? En déduire

la déformation longitudinale εx et la déformation transversale εy ?

On suppose maintenant que la bielle présente aussi un trou de perçage. Le coefficient

de concentration de contrainte est Kt=2.2.

4. Calculer dans ce cas le diamètre minimal D de la bielle ?

2 π

Effort axial (N)

15

-23

Figure 6



ANNEXES

Coefficients de concentration des contraintes



Annexe A



Suite Annexe A



Annexe B



Annexe C

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