Chapitre 11 : Temps et relativité restreinte

Travail à réaliser à la maison pour le lundi 6 mars 2017

Veuillez faire le questionnaire en ligne à l’adresse suivante : https://huit.re/questionRelativite Vous aurez ainsi

la correction des questions, et je pourrais ainsi contrôler que vous avez compris les vidéos. Ce questionnaire

papier est à compléter également mais uniquement pour garder une trace écrite dans votre cahier.

Capsule 1 : Vidéo – Dilatation du temps – https://huit.re/relativite1 Durée 1min 10s

Questionnaire 1 :

1. Selon la théorie de la relativité restreinte, la

valeur de la vitesse de la lumière dans le vide

(et dans un référentiel galiléen) :

Ne dépend pas du référentiel d’étude

Dépend du référentiel d’étude

2. Lorsque deux observateurs sont en mouvement

chacun perçoit son temps s’écouler :

Plus rapidement que celui de l’autre

Moins rapidement que celui de l’autre

De la même manière que celui de l’autre

Capsule 2 : https://huit.re/relativite2 (Youtube : Chapitre 11 : La relativité restreinte – Prof2Physique)

Durée 5min 15s

Questionnaire 2 :

1. Un TGV se déplace à 300 km/h soit 83 m/s. Le

référentiel du train est considéré comme

galiléen. Que peut-on dire de la vitesse de la

lumière émise par une lampe dans le train ?

Elle vaut 299 792 458 m/s

Elle vaut 299 792 541 m/s

Elle vaut 299 792 375 m/s

Ça dépend si le train se déplace vers l’Est

ou vers l’Ouest

2. L’horloge située dans la navette d’Herbert

mesure :

Une durée propre dans le référentiel de la

navette

Une durée propre dans le référentiel

terrestre

Une durée impropre dans le référentiel de la

navette

Une durée impropre dans le référentiel

terrestre

3. La durée propre ΔT0 et la durée impropre ΔT’

sont liées par la relation :

00

2

2TT

c

v1

1'T

où

2

2

c

v1

1

.

Quelle inégalité vérifie le coefficient γ ?

1

1

1

1

4. Roro l’astronaute a 32 ans et un enfant de 10

ans, le petit Flo. Il part en voyage dans une

fusée qui se déplace à la vitesse v = 0,99c par

rapport à la Terre.

Il s’écoule une durée propre ΔT0 = 5,0 ans dans

le référentiel de la fusée avant que Roro ne

revienne sur Terre. A ce moment :

Roro a 37 ans et Flo a 15 ans

Roro a 37 ans et Flo a 45 ans

Roro a 67 ans et Flo a 15 ans

Chapitre 11 : Temps et relativité restreinte

Activité 1 : Etude de texte (30 min) Objectif : Vérifier que j’ai bien compris les principes de la relativité restreinte présentés dans les vidéos.

Une situation imaginaire pour mieux comprendre George Gamow (1904-1969) est l’un des physiciens les plus influents du XXème siècle : on lui doit notamment la

théorie du « big bang », aujourd’hui admise pour décrire la naissance de l’Univers. Gamow s’est aussi illustré par

son talent de vulgarisateur : il s’est en effet appliqué à faire comprendre au grand public les théories de la physique

moderne.

Cette activité propose un extrait du Nouveau monde de M. Tomkins, ouvrage dans lequel Gamow raconte les rêveries

d’un employé de bureau. Au début de cet extrait, M. Tomkins rêve d’un monde où la célérité de la lumière est

beaucoup plus faible que dans la réalité : ainsi les effets de la relativité sont beaucoup plus marqués dans les

situations quotidiennes…

Les aiguilles de la grande horloge au-dessus du porche de l’université indiquaient cinq heures. La rue était quasiment déserte, à l’exception d’un cycliste isolé qui s’approchait lentement de lui. (…) L’horloge sonna cinq coups et le cycliste (de toute évidence en retard) appuya plus fort sur les pédales. M. Tompkins n’eut pas l’impression qu’il accélérait réellement (…)

« La vitesse limite de la nature doit être beaucoup plus basse ici, conclut-il. J’estime qu’elle ne doit pas dépasser 30 kilomètres à l’heure. Ils n’ont pas besoin de radar dans cette ville. »

De fait, l’ambulance qui passait à vive allure à cet instant n’allait guère plus vite que le cycliste. Malgré ses gyrophares et la sirène hurlante, elle se traînait. M. Tompkins voulut rattraper le cycliste (…) mais comment le rejoindre? Il remarqua alors une bicyclette appuyée contre le mur de l’université. M. Tompkins se dit qu’elle appartenait sans doute à un étudiant en cours et qu’il pouvait sans problème l’emprunter quelques instants. Vérifiant que personne ne le regardait, il sauta en selle et se lança dans la rue à la poursuite de l’autre cycliste. (…)

M. Tompkins était bon cycliste et il faisait de son mieux pour rattraper le jeune homme. Mais il n’était pas du tout facile de prendre de la vitesse avec cette bicyclette. Il avait beau appuyer aussi fort que possible sur les pédales, il n’accélérait pas. Ses jambes devenaient douloureuses, pourtant, en passant devant le lampadaire du coin de la rue, il n’allait guère plus vite qu’au départ. Apparemment, ses efforts ne menaient à rien. Il commençait à comprendre pourquoi l’ambulance ne faisait pas mieux que le cycliste. (…) Le cycliste qui filait devant lui sembla se rapprocher et il finit par le rejoindre.

« Excusez-moi, demanda-t-il. Cela ne vous gêne pas de vivre dans une ville avec une limitation de vitesse aussi faible?

− Une limitation de vitesse? répondit l’autre tout surpris. Il n’y a pas de limitation de vitesse ici. Je peux aller n’importe où aussi vite que je veux. Ou, plus exactement, je le pourrais si j’avais une moto au lieu de ce vieux vélo !

− Mais vous alliez très lentement quand vous êtes passé devant moi il y a quelques instants, dit M. Tompkins.

− Je n’appellerais pas cela aller lentement, rétorqua le jeune homme. (..) D’ailleurs nous y voilà », dit le jeune homme en freinant et en descendant de bicyclette.

M. Tompkins s’arrêta lui aussi. Il regarda l’horloge de la poste, qui indiquait cinq heures et demie.

« Ah! Ah! s’exclama-t-il d’un ton triomphal. C’est bien ce que je vous disais. En vérité, vous rouliez lentement et vous avez mis une bonne demi-heure pour passer ces dix pâtés de maisons. Il était cinq heures quand vous êtes passé devant moi à la hauteur de l’université ; il est maintenant cinq heures et demie !

− Avez-vous eu l’impression qu’une demi-heure était passée? lui demanda son compagnon. Vous a-t-elle vraiment paru durer une demi-heure ? »

M. Tompkins dut admettre que cela ne lui avait pas paru si long, quelques minutes tout au plus. D’ailleurs, en regardant la montre à son poignet, il vit qu’elle ne marquait que cinq heures cinq.

« Oh! murmura-t-il, vous voulez dire que l’horloge de la poste avance?

− Vous pouvez le dire comme cela, répondit le jeune homme. À moins, bien sûr, que ce soit votre montre qui retarde. Elle s’est déplacée par rapport à ces horloges, n’est-ce pas ? À quoi donc vous attendiez-vous ? »

(…) Et le jeune homme disparut dans le bureau de poste.

M. Tompkins (…) remit sa montre à l’heure sur l’horloge de la poste et, pour s’assurer que tout fonctionnait normalement, il attendit dix minutes. Elle indiquait toujours la même heure que l’horloge : tout était en ordre.

En continuant à descendre la rue, il arriva à la gare. Il décida alors de comparer sa montre à l’horloge de la gare et constata, à son grand dépit, qu'elle retardait un peu.

« Oh mon Dieu, encore la relativité, conclut M. Tompkins. Cela doit arriver chaque fois que je me déplace. Que c’est ennuyeux! Devoir remettre sa montre à l’heure après chaque déplacement ! »

Au même instant, un homme élégamment vêtu sortit de la gare. Il paraissait avoir une quarantaine d’années. Regardant autour de lui, il reconnut une vieille dame qui attendait sur le bord du trottoir et il se dirigea vers elle pour la saluer. À la grande surprise de M. Tompkins, la vieille dame accueillit le nouvel arrivant en l’appelant « cher grand-père ! » Comment cela était-il possible ?

Comment cet homme-là pouvait-il être le grand-père de la vieille dame? Débordant de curiosité, M. Tompkins se dirigea vers le couple et demanda timidement :

« Je vous prie de m’excuser, mais vous ai-je bien entendu ? Êtes-vous vraiment son grand-père ? »

(…)

Le nouveau monde de M. Tomkins

par George Gamow et Russel Stannard

Questions :

(a) Dans le monde dont rêve M. Tomkins, que vaut la célérité de la lumière dans le vide ? Justifier à l’aide du

texte.

(b) Les retards que constate M. Tomkins peuvent-ils résulter d’un défaut de sa montre ? Justifier à l’aide du texte.

(c) Sans calcul, montrer que la relativité permet d’interpréter le décalage que constate M. Tomkins entre l’heure

indiquée par sa montre et celle indiquée par la pendule de la poste. En particulier, définir soigneusement les

événements considérés et utiliser la notion de durée propre entre ces événements.

(d) Pourquoi le retard pris par la montre de M. Tomkins, dans son rêve, est-il beaucoup plus important qu’il ne

l’aurait été dans la réalité ? Justifier à l’aide de la relation entre durée propre et durée mesurée.

(e) Imaginer une réponse possible de l’homme qui sort de la gare à la question que lui pose M. Tomkins à la fin de

l’extrait.

Bilan / Ce Qu’il Faut Retenir : En 5 lignes maximum, résumer quels sont les grands principes de la relativité

restreinte.

Activité 2 : Relativité du temps (30min) Objectif : Etablir la relation entre la durée propre d’un évènement et sa durée mesurée.

NEWTON, en 1687, publia les « principes mathématiques de la philosophie naturelle », ouvrage majeur dans lequel

il exposait sa théorie de la mécanique. La mécanique de Newton, de 1697 jusqu’à la fin du XIXème siècle, fut

considérée comme une référence : aucune expérience n’était venue la remettre en cause et grâce à elle on avait pu

interpréter tous les phénomènes terrestres et astronomiques.

Voici comme, en quelques lignes, Newton traitait la question de la mesure des durées :

« Sans relation à rien d'extérieur, le temps absolu, vrai, mathématique, s'écoule uniformément et s'appelle la durée.

»

Nous l’avons vu dans l’activité précédente, Einstein a postulé en 1905 que la vitesse de la lumière était indépendante

du référentiel considéré. On va voir, dans cette activité, que ce postulat conduit à redéfinir la notion de durée.

Einstein était un théoricien mais imaginait souvent des « expériences de pensée » pour illustrer ses propos. Il s’agit

d’expériences imaginaires, parfaitement irréalisables, mais dont il est facile de deviner le résultat.

On envisage l’expérience de pensée suivante :

Un véhicule non identifié avance à la vitesse v par rapport au sol. Dans ce véhicule, un expérimentateur nommé

« Mobile » a placé une source de lumière et, à sa verticale, un miroir à une hauteur h. Il allume la source et

chronomètre le temps mis par la lumière pour effectuer un aller-retour.

(a) On considère un aller-retour de la lumière. On suppose que la lumière, dans l’air comme dans le vide, se

propage avec la célérité c constante.

Exprimer la durée t de ce parcours en fonction de la célérité c de la lumière et de la hauteur h.

Un autre observateur appelé Fixe, est placé, lui, au sol. Il observe l’expérience réalisée par Mobile et mesure sa durée.

Il obtient une valeur notée t’.

Du fait du mouvement du véhicule on peut représenter ainsi la manière dont il perçoit le parcours de la lumière :

(b) On admet le postulat d’Einstein. Expliquer, sans faire de calcul, pourquoi ce postulat implique que la durée

du parcours mesurée par Fixe est supérieure à celle mesurée par Mobile.

On va maintenant relier entre elles les durées mesurées par chacun des deux observateurs.

(c) On note d’ la distance que la lumière a parcourue, vue par Fixe. Exprimer d’ ² en fonction de h, v et t’ puis en

fonction de c, v, t et t’.

(d) On combinant les résultats (a) et (c), établir la relation :

2

2

tt '

v1

c

(e) Cette relation bouleverse la notion de temps. En particulier, elle suggère qu’une même expérience a duré plus

longtemps pour l’un des deux observateurs que pour l’autre : lequel et pourquoi ?

(f) D’après la mécanique de Newton, quelle relation aurait-on pu écrire entre t et t’ ? Justifier à l’aide de la

phrase de Newton citée en préambule.

Activité 3 : « Sans la relativité, pas de GPS » … Mais pourquoi ? (40 min) Objectif : Réinvestir les notions acquises sur la relativité restreinte afin d’interpréter des faits expérimentaux

qui ne pourraient pas être expliqués à l’aide de la physique classique.

DOCUMENT : le système GPS Le système de positionnement GPS (global positioning system) repose sur un principe que l’on peut résumer ainsi :

Des satellites en orbite circulaire gravitent autour de la Terre à plus de vingt mille kilomètres d’altitude, à une vitesse de quatorze

mille kilomètres par heure.

Chaque satellite possède une horloge atomique au césium et émet des signaux électromagnétiques qui contiennent des

informations sur la position et la date exacte où ils ont été émis.

La période des horologes atomiques utilisées vaut :

1 00000000000000 0 00000000000001 sT , ,

Un récepteur GPS, au sol, doit recevoir au moins quatre signaux de quatre satellites différents : trois pour pouvoir se localiser et

un pour recevoir l’heure excate à bord des satellites. Alors la comparaison de la date de réception et de la date d’émission permet

au récepteur de calculer la distance qui le sépare de chaque satellite. Grâce à un calcul appelé « triangulation », il peut ainsi

déterminer sa position sur le sol terrestre.

source : mayerwin.free.fr

Questions :

(a) D’après votre expérience personnelle, estimer un ordre de grandeur de la précision avec laquelle un GPS

permet de se localiser.

(b) La période propre de l’horloge embarquée dans le satellite est notée Tp. On considère les deux événements

suivants :

Événement 1 : l’horloge embarquée dans le satellite affiche la date t ;

Événement 2 : l’horloge embarquée dans le satellite affiche la date t + Tp.

On note Tm la durée qui sépare ces deux événements, mesurée par une horloge terrestre. Comparer

qualitativement les valeurs de Tm et Tp et justifier en utilisant vos connaissances sur la dilatation des durées.

On admettra que la période de l’horloge est suffisamment faible pour que le référentiel terrestre soit considéré

comme galiléen.

(c) L’horloge embarquée est-elle en avance ou en retard sur l’horloge terrestre ?

(d) Calculer la valeur de p mT T . Cet écart est-il mesurable par une horloge atomique au césium ? Justifier à

l’aide d’une indication fournie dans le document ci-contre.

(e) Calculer l’écart, noté , accumulé en une journée terrestre, entre la date affichée par l’horloge terrestre et

celle affichée par l’horloge embarquée à bord du satellite.

→ On suppose que le décalage temporel total est la somme des décalages accumulés à chaque période de

l’horloge. Le référentiel terrestre n’étant pas galiléen, ceci n’a rien d’évident et nous ne l’expliquerons pas

en terminale.

(f) Calculer l’erreur d faite par le récepteur GPS s’il calcule la distance qui le sépare du satellite sans tenir

compte du retard pris par son horloge au bout d’une journée. À votre avis, peut-on considérer d comme

« négligeable » ?

Einstein a publié, en 1915, la relativité générale. Cette théorie généralise la relativité aux situations ou le champ

de gravitation est présent. Dans ce cadre on montre que le champ de gravitation, plus faible à l’altitude du

satellite qu’à la surface de la Terre, a pour conséquence, chaque jour, une avance de 45 µs de l’horloge embarquée

par rapport à celle restée au sol.

(g) En tenant compte des deux effets relativistes, calculer le décalage temporel total entre les deux horloges

accumulé en une journée. En déduire l’erreur dtot commise par le récepteur GPS s’il ne tient pas compte des

effets relativistes. Montrer que ce calcul justifie la nécessité de prendre en compte la relativité pour concevoir

un récepteur GPS.

Activité 4 : Comment les muons peuvent-ils traverser l’atmosphère ? (20min) Objectif : Réinvestir les notions acquises sur la relativité restreinte afin d’interpréter des faits expérimentaux

qui ne pourraient pas être expliqués à l’aide de la physique classique.

Le muon est une particule qui porte la même charge électrique que l'électron, mais avec une masse 207 fois plus

grande, c'est pourquoi on l'appelle aussi électron lourd.

Les muons sont produits par l’interaction entre les rayons cosmiques émis par le Soleil et la haute atmosphère de la

Terre, à une altitude d’environ 10 km.

Un muon au repos se désintègre en moyenne au bout d’une durée de valeur = 2,2 µs. Les muons émis dans la haute

atmosphère le sont avec une vitesse égale à 99,8 % de la célérité de la lumière dans le vide. On peut considérer cette

vitesse comme constante.

On considère souvent que le fait de pouvoir détecter des muons à la surface de la Terre est une preuve expérimentale

de la dilatation des durées. Cette partie propose de comprendre cette affirmation.

(a) Calculer la distance parcourue par un muon pendant 2,2 µs.

(b) Pourquoi le fait que des muons parviennent à la surface de la Terre est-il une preuve expérimentale de la

dilatation des durées ?

(c) En tenant compte de la dilatation des durées, calculer la distance que parcourt, en moyenne, un muon, avant

de se désintégrer. On prendra bien soin de définir les événements considérés et durée propres et durée

mesurée depuis la Terre. Montrer que ce calcul permet d’interpréter le fait de pouvoir détecter des muons à

la surface de la Terre.

CORRECTION DES ACTIVITES

Activité 1 : Etude de texte (30 min)

(a) Dans le monde dont rêve M. Tomkins, que vaut la célérité de la lumière dans le vide ? Justifier à

l’aide du texte.

M. Tomkins constate que 30 km·h‒1 est la vitesse limite impossible à dépasser : dans son rêve, 30

km·h‒1 est donc la célérité de la lumière.

(b) Les retards que constate M. Tomkins peuvent-ils résulter d’un défaut de sa montre ? Justifier à

l’aide du texte.

Non, sa montre n’a pas de défaut. En effet, lorsque M. Tomkins attend devant l’horloge de la

poste pendant 10 minutes, sa montre et l’horloge ont avancé de 10 mn.

(c) Sans calcul, montrer que la relativité permet d’interpréter le décalage que constate M. Tomkins

entre l’heure indiquée par sa montre et celle indiquée par la pendule de la poste. En particulier,

définir soigneusement les événements considérés et utiliser la notion de durée propre entre ces

événements.

On considère deux événements :

1) départ de M. Tomkins

2) passage de M. Tomkins devant l’horloge de la poste

La durée propre qui s’écoule entre ces deux événements est celle, notée ∆tp, mesurée par l’horloge

liée à M. Tomkins, autrement dit sa montre.

La durée mesurée depuis le sol terrestre est celle, notée ∆tm, mesurées à l’aide des horloges de la

gare et de la poste. On a bien ∆tm > ∆tp, comme l’indique la relation de dilatation des durées :

p

m2

2

tt

v1

c

Remarque : les horloges de la gare et de la poste sont supposées synchronisées.

(d) Pourquoi le retard pris par la montre de M. Tomkins, dans son rêve, est-il beaucoup plus important

qu’il ne l’aurait été dans la réalité ? Justifier à l’aide de la relation entre durée propre et durée

mesurée.

Dans le monde réel ∆tm et ∆tp auraient été très peu différentes. L’idée de Gamow consistant à

imaginer une célérité faible pour la lumière accentue considérablement les effets relativistes. En

effet, le quotient 2

2

v

cest voisin de 1, le dénominateur de la relation citée à la question précédente

est alors voisin de 0 et donc ∆tm est très supérieure à ∆tp.

(e) Imaginer une réponse possible de l’homme qui sort de la gare à la question que lui pose M. Tomkins

à la fin de l’extrait.

Toute réponse suggérant que l’homme est souvent en mouvement pourra être acceptée. On

gardera bien à l’esprit que cette approche est simpliste, comme nous l’avons indiqué dans les

commentaires de cette activité.

On pourra donner aux élèves la suite du texte de Gamow :

− Ah, je vois, dit l’homme en souriant. Je dois peut-être vous expliquer que mon métier m’oblige à

voyager beaucoup. (...) Je passe dans le train une grande partie de ma vie. »

Activité 2 : Relativité du temps (30min) (a) On considère un aller-retour de la lumière. On suppose que la lumière, dans l’air comme dans le vide,

se propage avec la célérité c constante.

Exprimer la durée t de ce parcours en fonction de la célérité c de la lumière et de la hauteur h.

La lumière parcourt une distance 2h avec la célérité c. La durée de son parcours vaut donc :

2h

tc

(b) On admet le postulat d’Einstein. Expliquer, sans faire de calcul, pourquoi ce postulat implique que

la durée du parcours mesurée par Fixe est supérieure à celle mesurée par Mobile.

Selon le postulat d’Einstein, la célérité de la lumière est c, que l’observateur soit sur Terre ou

dans l’avion.

Si l’expérience est observée par Fixe, immobile par rapport à la Terre, la lumière parcourt un

trajet plus long mais avec la même célérité que si son parcours est observé par Mobile.

L’expérience dure donc plus longtemps pour l’observateur au sol que pour celui qui est dans

l’avion.

(c) On note d’ la distance que la lumière a parcourue, vue par Fixe. Exprimer d’ ² en fonction de h, v et

t’ puis en fonction de c, v, t et t’.

Pour l’observateur placé au sol, le trajet de la lumière a l’allure suivante :

Horizontalement, le faisceau a parcouru la distance effectuée par le véhicule pendant la durée

t’, c’est-à-dire vt’.

Par le théorème de Pythagore on a : 2 2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

d ' v t 'h

2 2

d ' (2h) v t '

c t v t '

(d) On combinant les résultats (a) et (c), établir la relation :

2

2

tt '

v1

c

La distance d’ parcourue par la lumière vue depuis la Terre vaut ct’, puisque sa célérité

vaut c.

On a donc :

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

22 2

2

2

2

d ' c t v t '

c t ' c t v t '

t ' c v c t

vt ' 1 t

c

tt '

v1

c

(e) Cette relation bouleverse la notion de temps. En particulier, elle suggère qu’une même expérience

a duré plus longtemps pour l’un des deux observateurs que pour l’autre : lequel et pourquoi ?

si on admet que v < c, le dénominateur, dans la relation précédente, est inférieur à 1, donc

t’ > t.

Cela montre que le même événement a duré plus longtemps pour l’observateur terrestre que

pour celui placé dans l’avion.

L’observateur terrestre a donc vécu un événement plus long et a vieilli plus vite !

Note : t est la durée propre qui sépare les événements « émission de lumière » et « réception de

lumière ». On considère que l’élève, lorsqu’il traite cette activité, ne connaît pas cette notion,

laquelle fera l’objet du cours suivant. C’est pourquoi elle n’est pas citée dans l’énoncé.

Remarque très importante :

Le fait que la durée mesurée par Fixe soit plus élevée ne signifie pas du tout que « le temps s’écoule

plus vite » comme on le lit trop souvent. En effet cet effet est réciproque. Si c’est Fixe qui réalise

l’expérience et Mobile qui mesure sa durée, c’est Mobile qui mesurera la durée la plus élevée. Il

n’y a là aucun paradoxe puisque les événements considérés ne sont pas les mêmes.

(f) D’après la mécanique de Newton, quelle relation aurait-on pu écrire entre t et t’ ? Justifier à l’aide

de la phrase de Newton citée en préambule.

Newton écrit : « le temps absolu, vrai, mathématique, s'écoule uniformément (…) ». Donc pour

lui : t = t’.

Activité 3 : « Sans la relativité, pas de GPS » … Mais pourquoi ? (40 min)

(a) À partir de vos connaissances courantes sur le GPS, indiquer un ordre de grandeur de la précision

avec laquelle un GPS permet de se localiser.

Un GPS embarqué en voiture permet de déterminer une position à la rue près : cela montre qu’il

nous localise à moins de 10 m près.

(b) La période propre de l’horloge embarquée dans le satellite est notée Tp. On considère les deux

événements suivants :

→ Événement 1 : l’horloge embarquée dans le satellite affiche la date t ;

→ Événement 2 : l’horloge embarquée dans le satellite affiche la date t + Tp.

On note Tm la durée qui sépare ces deux événements, mesurée par une horloge terrestre. Comparer

qualitativement les valeurs de Tm et Tp et justifier en utilisant vos connaissances sur la dilatation

des durées. On admettra que la période de l’horloge est suffisamment faible pour que le référentiel

terrestre soit considéré comme galiléen.

Le référentiel propre aux deux événements considérés est celui du satellite GPS. La durée entre

ces deux événements, mesurée par une horloge terrestre, est donc dilatée : m p pT T T .

(c) L’horloge embarquée est-elle en avance ou en retard sur l’horloge terrestre ?

Comme Tm > Tp, l’horloge terrestre affiche une date postérieure à celle affichée par

l’horloge embarquée.

L’horloge embarquée à bord du satellite retarde par rapport à celle du récepteur terrestre.

(d) Calculer la valeur de |Tp – Tm|. Cet écart est-il mesurable par une horloge atomique au césium ?

Justifier à l’aide d’une indication fournie dans le document ci-contre.

→ Tp est la durée propre entre les deux événements considérés.

Tp = 1,00000000000000 s.

Tm est la durée impropre entre ces deux événements, mesurée par une horloge terrestre.

2

2

2

2

1

1 000000000000001 00000000008414

(14000

299792458

/3,6)1

pm

TT

v

c

,,

   

L’écart entre ces deux durées vaut : 118 414 10 sm pT T ,

Cet écart est supérieur à l’incertitude de la date affichée par une horloge au césium. Elle est donc

mesurable.

(e) Calculer l’écart, noté , accumulé en une journée terrestre, entre la date affichée par l’horloge

terrestre et celle affichée par l’horloge embarquée à bord du satellite.

On a :

2

21

p

m

TT

v

c

Donc 2

21p m

vT T

c

Si l’horloge terrestre mesure une durée de 24 heures, l’horloge embarquée mesure, elle une durée

plus courte. L’écart entre les deux vaut :

2

21 1m p m

vt t t

c

AN :

- tm est la durée du jour terrestre : 24 × 3600 = 86 400 s.

- v est la vitesse du satellite par rapport au sol :

v = 1,4 × 104 km·s‒1

= 41,4 10

10003600

= 3,9 × 103 m·s‒1

D’où :

23

8

3,9 1086400 1 1

3,00 10

-67,3×10 s

L’horloge embarquée retarde de 7,3 µs par jour.

NOTE : on fait une très faible erreur en se contentant de multiplier le résultat trouvé en (d) par

86400 : cela revient à calculer le retard accumulé en une journée mesurée par le satellite et non

par l’horloge terrestre. Cette réponse pourra être jugée acceptable.

(f) Calculer l’erreur d faite par le récepteur GPS s’il calcule la distance qui le sépare du satellite sans

tenir compte du retard pris par son horloge au bout d’une journée. À votre avis, peut-on considérer

d comme « négligeable » ?

L’erreur commise par le récepteur s’il ne tient pas compte de la dilatation des durées est la

distance parcourue par le signal pendant 7,3 µs. Or les signaux sont de nature électromagnétique,

donc se propagent avec la même célérité que la lumière dans le vide.

L’erreur de distance vaut donc :

d = |c| = 3,00 × 108 × 7,3 × 10‒6 = 2,2 × 103 m.

L’erreur commise si on ne tient pas compte des effets relativistes est donc de plus de 2 km ! Or

comme nous l’avons indiqué en (a), la précision du GPS est de quelques mètres : on ne peut donc

en aucun cas négliger d.

(g) En tenant compte des deux effets relativistes, calculer le décalage temporel total entre les deux

horloges accumulé en une journée. En déduire l’erreur dtot commise par le récepteur GPS s’il ne

tient pas compte des effets relativistes. Montrer que ce calcul justifie la nécessité de prendre en

compte la relativité pour concevoir un récepteur GPS.

Le décalage temporel entre les deux horloges, vaut, au total :

tot = 45 – 7,3 = 38 µs

L’erreur totale commise sur un calcul de distance vaut donc :

dtot = |c| = 3,00 × 108 × 38 × 10‒6 = 1,1 × 104 m = 11 km

11 km est une erreur colossale, vu la précision attendue d’un GPS (à peine quelques mètres,

comme nous l’avons indiqué en (a)). Ceci confirme que les corrections relativistes sont

indispensables à la réalisation du système GPS.

Activité 4 : Comment les muons peuvent-ils traverser l’atmosphère ? (20min)

(a) Calculer la distance parcourue par un muon pendant 2,2 µs.

d = v × = 0,998 × c × = 659 m

(b) Pourquoi le fait que des muons parviennent à la surface de la Terre est-il une preuve expérimentale

de la dilatation des durées ?

Les muons sont produits à au moins 10 km de la surface de la Terre. La distance moyenne qu’ils

parcourraient par rapport à la terre, si, dans le référentiel terrestre, leur durée de vie moyenne

valait 2,2 µs est de 659 m.

Or des muons parviennent à la surface de la Terre, donc franchissent une distance beaucoup plus

élevée : cela est compatible avec l’idée selon laquelle, vus de la Terre, leur durée de vie moyenne,

lorsqu’ils sont en mouvement, se dilate.

(c) En tenant compte de la dilatation des durées, calculer la distance que parcourt, en moyenne, un

muon, avant de se désintégrer. On prendra bien soin de définir les événements considérés et de

distinguer durée propre et durée mesurée depuis la Terre. Montrer que ce calcul permet

d’interpréter le fait de pouvoir détecter des muons à la surface de la Terre.

On étudie les événements « naissance du muon » et « désintégration du même muon ». La durée

propre qui sépare ces deux événements est celle qui est mesurée dans le référentiel « muon ».

C’est aussi la durée de vie moyenne d’un muon au repos, soit :

∆tp = 2,2 µs

Lorsque les muons sont en mouvement, leur durée de vie moyenne mesurée depuis la Terre se

dilate et vaut :

p

m2 2

2

t 2,2t

v 1 0,9981

c

35 µs

La distance moyenne parcourue par le muon entre son émission et sa désintégration vaut donc,

mesurée depuis la Terre :

d’ = v × ∆tm = 0,998 × c × ∆tm = 1,0 × 104 m = 10 km

Cette distance permet d’interpréter que les muons peuvent franchir une distance assez grande

dans l’atmosphère pour que nous puissions les détecter au sol.